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勾股定理及其应用习题及答案一、选择题(每小题3分,共36分)1.如图所示,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A,B 都是格点,则线段AB的长度为( A )A.5B.6C.7D.25第1题图2.下列各组数中,以它们为边长不能构成直角三角形的是( D )A.60,80,100B.13,5,12C.0.3,0.4,0.5D.2,3,43.(2021泰安期中)如图所示,阴影部分是一个正方形,则此正方形的面积为( A )A.64B.32C.16D.128第3题图4.如图所示,把长方形纸条ABCD沿EF,GH同时折叠,B,C两点恰好落在AD边的P点处,若∠FPH=90°,PF=8,PH=6,则长方形ABCD的边BC 长为( A )A.24B.22C.20D.30第4题图5.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一,在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?”翻译成数学问题是:如图所示,在△ABC中,∠ACB= 90°,AC+AB=10尺,BC=3尺,求AC的长.在这个问题中,AC的长为( C )A.4尺B.9尺2尺 D.5尺C.9120第5题图6.如图所示,在波平如镜的湖面上,有一朵盛开的美丽的红莲,它高出水面3尺,突然一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵刚好齐及水面,如果知道红莲移动的水平距离为6尺,则水深是( C )A.3.5尺B.4尺C.4.5尺D.5尺第6题图7.如图所示,高速公路上有A,B两点相距25 km,C,D为两村庄,已知DA=10 km,CB=15 km.DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,现要在AB上建一个服务站E,使得C,D两村庄到E站的距离相等,则AE的长是( C ) A.5 km B.10 km C.15 km D.25 km第7题图8.在△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,则BC等于( C )A.14B.4C.14或4D.9或59.某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜(如图所示).在三棱镜的侧面上,从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝,已知此三棱镜的高为9 cm,底面边长为4 cm,则这圈金属丝的长度至少为( D )A.8 cmB.10 cmC.12 cmD.15 cm第9题图10.如图①所示,美丽的弦图蕴含着四个全等的直角三角形.已知每个直角三角形较长的直角边为a,较短的直角边为b,斜边长为c.如图②所示,现将这四个全等的直角三角形紧密拼接,形成飞镖状,已知外围轮廓(实线)的周长为24,OC=3,则该飞镖状图案的面积为( C )A.6B.12C.24D.24√3第10题图11.如图所示,在Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC折叠,使点A与BC的中点D重合,折痕为PQ,则线段BQ的长度为( C )A.53B.52C.4D.5第11题图12.给出下列四个说法:①如果a,b,c为一组勾股数,那么4a,4b,4c仍是勾股数;②如果直角三角形的两边是5,12,那么第三边必是13;③如果一个三角形的三边是12,25,21,那么此三角形必是直角三角形;④如果三角形三边长分别是n2-4,4n,n2+4(n>2),那么此三角形是直角三角形.其中正确的说法是( C )A.①②B.①③C.①④D.②④二、填空题(每小题3分,共18分)13.已知在△ABC中,AB=5,BC=8,BC边上的中线AD=3,则AC= 5 .14.如图所示,AB,BC,CD,DE是四根长度均为5 cm的火柴棒,点A,C,E 共线.若AC=6 cm,CD⊥BC,则线段CE的长度是8 cm.第14题图15.如图所示,四边形ABCD是边长为9的正方形纸片,将纸片沿MN折叠,使点B落在CD边上的B′处,点A的对应点为A′,且B′C=3,则AM的长是 2 .第15题图16.如图所示,AB⊥BC于点B,DC⊥BC于点C,E是BC上一点,∠BAE= ∠DEC=60°,AB=3,CE=4,则AD= 10 .第16题图17.如图所示,A,B两个小镇在河流CD的同侧,到河边的距离分别为AC=10 km,BD=30 km,且CD=30 km,现在要在河边建一自来水厂,向A,B两镇供水,铺设水管的费用为每千米3万元,在河流CD上选择水厂的位置为点M,使铺设水管的费用最节省,则总费用是150 万元.第17题图18.如图所示,在正方形网格中,A,B,C,D均为格点,则∠BAC-∠DAE= 45°.第18题图三、解答题(共46分)19.(8分)(2021泰安期中)如图所示的是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20 dm,3 dm,2 dm,A和B是这个台阶上两个相对的端点,点A处有一只蚂蚁,想到点B处去吃可口的食物,则蚂蚁从A 点沿着台阶面爬行到B点的最短路程为多少?解:如图所示,三级台阶平面展开图为长方形,长为20 dm,宽为(2+3)×3 dm,则蚂蚁从A点沿台阶面爬行到B点的最短路程是此长方形的对角线长.设蚂蚁从A点沿台阶面爬行到B点的最短路程为x dm,根据勾股定理,得x2=202+[(2+3)×3]2.解得x=25.即蚂蚁从A点沿着台阶面爬行到B点的最短路程为25 dm.20.(8分)(2021沂源期中)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°, AB=20 cm,AC=16 cm,点P从点A出发,以每秒1 cm的速度向点C运动,连接PB,设运动时间为t s(t>0).(1)求BC的长;(2)当PA=PB时,求t的值.解:(1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=20 cm,AC=16 cm,所以BC2=AB2-AC2.解得BC=12 cm.(2)设AP=t cm,则BP=AP=t cm,PC=(16-t)cm.在Rt△PCB中,因为∠PCB=90°,所以PC2+BC2=PB2,即(16-t)2+122=t2.解得t=12.5.所以当点P运动到PA=PB时,t的值为12.5.21.(8分)《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》规定:机动车在同方向只有一条机动道的公路上行驶的速度不得超过 70 km/h.如图所示,一辆小汽车在同方向只有一条机动道的公路上行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30 m的C处,过了2 s后,测得小汽车与车速检测仪间距离为50 m,这辆小汽车超速了吗? (参考数据转换:1 m/s=3.6 km/h)解:由题意,知△ABC是直角三角形,∠C=90°,AC=30 m,AB=50 m,根据勾股定理,有BC2+AC2=AB2,即BC2+302=502.解得BC=40 m.=20(m/s).所以小汽车的速度为40220 m/s=(20×3.6)km/h=72 km/h.因为72 km/h>70 km/h,所以这辆小汽车超速行驶.22.(10分)如图所示,一架25 m长的梯子AC斜靠在一面竖直的墙AB 上,这时梯子底端C到墙的距离BC为7 m.(1)求这架梯子的顶端距地面的高度AB的长;(2)如果梯子的顶端A沿墙下滑4 m到点A′,小明说梯子的底端C在水平方向向右也滑动4 m.你认为小明说的对吗?请说明你的理由. 解:(1)在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB2+BC2=AC2,即AB2+72=252,所以AB=24 m,即这架梯子的顶端距地面的高度AB的长是24 m.(2)小明说的不对.理由:因为梯子的顶端A下滑了4 m至点A′,所以BA′=AB-AA′=24-4=20(m).在Rt△BA′C′中,由勾股定理,得BA′2+BC′2=A′C′2,即202+BC′2=252.所以BC′=15m,所以CC′=BC′-BC=15-7=8(m),即梯子的底端在水平方向向右滑动了8 m.23.(12分)我国海监船在某岛海域的巡航如图所示,OA⊥OB,OA= 45 n mile,OB=15 n mile,该岛位于O点,我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船,自A点出发沿着AO方向匀速驶向该岛所在地点O,我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船,结果在点C处截住了渔船.(1)请用直尺和圆规作出C处的位置;(2)求我国海监船行驶的航程BC的长.解:(1)如图所示,作AB的垂直平分线与OA交于点C.(2)连接BC,如图所示.由作图可得CD为AB的中垂线,则CB=CA.由题意可得OC=45-CA=45-CB.因为OA⊥OB,在Rt△BOC中,BO2+OC2=BC2,所以152+(45-BC)2=BC2,解得BC=25.故我国海监船行驶的航程BC的长为25 n mile.。
勾股定理及应用 题集一、勾股定理与逆定理A. B. C. D.1.如图所示的一块地，，，，，，这块地的面积为（ ）．【答案】B 【解析】连接，在中，，∴，∵，，，∴是直角三角形，．【标注】【知识点】勾股逆定理的应用2.如图，在四边形中，，，，．求的度数．【答案】．【解析】连接，在中，，，∴，∴，∴，∵，，∴．在中，，∴是直角三角形，即，∵，∴．【标注】【知识点】勾股定理的逆定理【知识点】勾股定理的证明A.尺B.尺C.尺D.尺3.如图，有一个水池，其底面是边长为尺的正方形，一根芦苇生长在它的正中央，高出水面部分的长为尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则这根芦苇的长是（ ）．【答案】C 【解析】苇长尺，则水深尺，∵尺，∴尺，∵中，．∴．【标注】【知识点】勾股定理与实际问题（1）（2）4.如图，一架云梯长米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面米．这个梯子底端离墙有多少米．如果梯子的顶端下滑米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了米吗？【答案】（1）（2）米．不是．【解析】（1）（2）由题意得此时米，米，根据，∴可求米．设滑动后梯子的底端到墙的距离为米，得方程，，解得，所以梯子向后滑动了米．综合得：如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底部在水平方向不是滑米．【标注】【知识点】勾股定理的综合应用A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形5.若的三边长，，满足，则是（ ）．【答案】D【解析】∵，∴或．∴或．∴为等腰三角形或直角三角形．【标注】【知识点】勾股逆定理的应用A. B. C. D.6.如图，已知在中，，分别以、为直径作半圆，面积分别记为、，则等于（ ）．【答案】A【解析】由勾股定理可知：．，，∴．【标注】【知识点】勾股定理与几何问题（1）（2）7.下表中给出的每行三个数、、满足，根据表中已有的数的规律填空：当时， ， ．用含字母的代数式分别表示、，，．【答案】（1）（2）;; 【解析】（1）（2）∵，∴，．∵，，；，，；，，；∴，．【标注】【知识点】勾股树（1）（2）（3）8.若一个直角三角形的两条直角边长为、，斜边为，斜边上的高为．求证：．．以、、为边构成的三角形是直角三角形．【答案】（1）（2）（3）证明见解析证明见解析证明见解析【解析】（1）（2）（3）∵，，∴，代入得，∴．由，，则，∴，即，∴略【标注】【知识点】解直角三角形的综合应用二、勾股定理的方程思想1.如图，已知等腰的底边，是腰上一点，且，，求的周长．【答案】．【解析】由勾股定理逆定理得，是直角三角形．在中，应用勾股定理，设，代入数值得，.所以的周长=．【标注】【知识点】方程思想在勾股定理的应用2.如图，在中，，平分，，，求的长．【答案】．【解析】过作，∵平分，∴，∵，∴由勾股定理得，设，则，在由勾股定理得：，解得，∴．【标注】【知识点】方程思想在勾股定理的应用（1）（2）3.如图，在中，，，，的平分线与相交于点，过点作，垂足为．求的长．求的长．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）∵平分，，，∴，在和中，（2），∴≌，∴．∵，，，∴在中，，∴，．设，则，，在中，，，解得，∴．【标注】【知识点】方程思想在勾股定理的应用4.如图，在中，，，，求边上的高．【答案】．【解析】设为，则，∵为的高，∴在中，，在中，，∴．即，解得：．∴．∴在中，．【标注】【知识点】方程思想在勾股定理的应用（1）（2）5.如图，在中，，，，点为边上的动点，点从点出发，沿边往运动，当运动到点时停止，设点运动的时间为秒，速度为每秒个单位长度．若是直角三角形，求的值．若是等腰三角形，求的值．【答案】（1）（2）或．，或．【解析】（1）（2）当时，是直角三角形，，，故．∵，∴，即，，．当时，是直角三角形，此时与重合，∴，，综上所述，或．当时，即，解得，当时，取中点，连接．∵，∴，∴，∴，∴，即．当时，过点作于点．∵，，，∴，在中，，即，综上所述，的值为，或．【标注】【知识点】方程思想在勾股定理的应用6.如图，是一张直角三角形纸片，，两直角边、，现将折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为 ．【答案】【解析】依题可知≌，∴．设，则，在中，，，∴，解得，，∴．【标注】【知识点】翻折问题与勾股定理7.如图，在中，，，，将折叠，使点恰好落在斜边上，与点重合，为折痕，则 ．【答案】 或【解析】在中，，∵将折叠得到，∴，，∴．设，则．在中，，∴，解得．∴．【标注】【知识点】解直角三角形的综合应用A. B. C. D.8.如图，在矩形中，，，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则线段的长为（ ）．【答案】A【解析】设，则，∵四边形为矩形，∴，，，∴，由题意得：，∴，∴，由勾股定理得，即，解得：，∴，∴．【标注】【知识点】其它翻折问题9.如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处．当为直角三角形时，的长为 ．【答案】或【解析】当为直角三角形时，有两种情况：图图①当点落在矩形内部时，如答图所示．连接，在中，，，，沿折叠，使点落在点处，，当为直角三角形时，只能得到，点、、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处，，，，设，则，，在中，，，解得，；②当点落在边上时，如答图所示．此时为正方形，．综上所述，的长为或．故答案为：或．【标注】【知识点】四边形与折叠问题三、勾股定理与最短路径问题A. B. C. D.1.如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是（ ）．【答案】B【解析】将长方体展开，连接、，根据两点之间线段最短，（）如图，，，由勾股定理得：．（）如图，，，由勾股定理得，．（）只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图：∵长方体的宽为，高为，点离点的距离是，∴，，在直角三角形中，根据勾股定理得：∴．由于，故最短距离为．【标注】【知识点】勾股定理与展开图最短路径问题2.如图所示，无盖玻璃容器，高，底面周长为，在外侧距下底的点处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口的处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度．【答案】最短路线长为．【解析】如下图可知，最短路线的长度为线段的长度，作于，则，，∵底面周长为，∴，∴．∴最短路线长为．【标注】【知识点】勾股定理与展开图最短路径问题。
勾股定理的应用（习题）➢例题示范例1：如图，在四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，AD=12，CD=13，求四边形ABCD 的面积．解：如图，连接AC，在Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，由勾股定理，得AB2+BC2=AC2，∴32+42=AC2．∴AC=5．在△ACD 中，AC=5，AD=12，CD=13，∵52+122=132，∴AC2+AD2=CD2．∴△ACD 是直角三角形，且∠CAD=90°．∴S四边形ABCD =S△ACD-S△ABC=1AD ⋅AC -1AB ⋅BC2 2=1⨯12 ⨯ 5 -1⨯ 3⨯ 42 2= 24 ．➢复习巩固1.已知甲、乙两人从同一地点出发，甲往东走了12 km，乙往南走了5 km，这时甲、乙两人之间的距离为．2.小明从家出发向正北方向走了150 m，接着向正东方向走到离家250 m 远的地方，则小明向正东方向走了m．3.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7 米，顶端距离地面2.4 米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2 米，则这条小巷的宽度为．第3 题图第4 题图4.如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面30 cm．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为60 cm，则水深是（）cm．A．35 B．40 C．50 D．455.11 世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望．一棵树高30 肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵树高20 肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50 肘尺．每棵树的树顶上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻以相同的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标．则这条鱼出现的地方与较高的棕榈树之间的距离为．6.如图，有两只猴子在一棵树CD 上高5 m 的点B 处，它们都要到A 处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树10 m 处的池塘A 处，另一只猴子爬到树顶D 后直线跃向池塘的A 处．如果两只猴子所经过的路程相等，那么这棵树高有多少米？7.男孩戴维是城里的飞盘冠军，戈里是城里踩高跷的人，两人约定一比高低．戴维直立肩高 1 m，他投飞盘很有力，但需要在13 m 内才有威力；戈里踩高跷时鼻子离地13 m，他的鼻子是他唯一的弱点．戴维要通过击中对方的鼻子获胜，需离戈里的最远距离为（）A．7 m B．8 m C．6 m D．5 m8.如图所示，小河的同一侧有A，B 两个村庄，它们到小河所在的直线的垂直距离分别为AA1=2 千米，BB1=5 千米，A1B1=24 千米，要在小河上修建一座小型发电站P，使它到A，B 两个村庄的电线之和最短，则这个最短距离是千米．9.如图是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5 m（踏板厚度忽略不计），右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B 位置时，点离地面垂直高度BC 为1 m，离秋千支柱AD 的水平距离BE 为1.5 m（不考虑支柱的直径），求秋千支柱AD 的高．10.如图，一块四边形菜地ABCD，已知∠B=90°，AB=9 m，BC=12 m，AD=8 m，CD=17 m．求这块菜地的面积．11.据说古埃及人曾用下面的方法得到直角：如图所示，他们用13 个等距的结把一根绳子分成等长的12 段，一个工匠同时握住绳子的第1 个结和13 个结，两个助手分别握住第4 个结和第8 个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4 个结处．你能说说其中的道理吗？➢思考小结1.观察图中的3 个图案，设△ABC 的三边长分别为a，b，c，请根据三角形的形状，猜测a2，b2，c2 满足的条件．（1）如果△ABC 是直角三角形，则a2+b2c2；（2）如果△ABC 是锐角三角形，则a2+b2c2；（3）如果△ABC 是钝角三角形，则a2+b2c2．【参考答案】➢复习巩固1. 13 km2. 2003. 2.2 m4. D5.20 肘尺6.树高7.5 米7. D8. 259.秋千支柱AD 的高为3 m10.这块菜地的面积为114 m211.此三角形是直角三角形，理由略➢思考小结1. （1）= （2）＞（3）＜。
专题01 勾股定理的基本应用题型一 求面积1．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设“赵爽弦图”中直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若2()24a b +=，大正方形的面积为14，则小正方形的面积为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：设大正方形的边长为c ，则22214c a b ==+，2()24a b +=Q ，22224a ab b \++=，解得5ab =，\小正方形的面积是：1441425141042ab -´=-´=-=，故选：C ．2．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、D 的面积依次为6、10、24，则正方形C 的面积为( )A ．4B ．6C ．8D ．12【解答】解：由题意：A B E S S S +=正方形正方形正方形，D C E S S S -=正方形正方形正方形，A B D CS S S S \+=-正方形正方形正方形正方形Q 正方形A 、B 、D 的面积依次为6、10、24，24610C S \-=+正方形，8C S \=正方形．故选：C ．3．如图，点C 是线段AB 上的一点，分别以AC 、BC 为边向两侧作正方形．设6AB =，两个正方形的面积和1220S S +=，则图中BCD D 的面积为( )A ．4B ．6C ．8D ．10【解答】解：设AC a =，BC b =，由题意得：6a b +=，2220a b +=，222()2a b a b ab +=+-Q ，22062ab \=-，8ab \=，BCD \D 的面积118422ab ==´=．图中BCD D 的面积为4．故选：A ．4．正方形ABCD 的边长为1，其面积记为1S ，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为2S ，L 按此规律继续下去，则2022S 的值为( )A ．20221()2B ．20211()2C ．2022D ．2021【解答】解：在图中标上字母E ，如图所示．Q 正方形ABCD 的边长为1，CDE D 为等腰直角三角形，222DE CE CD \+=，DE CE =，221S S S \+=．观察，发现规律：2111S ==，211122S S ==，321124S S ==，431128S S ==，¼，11()2n n S -\=．当2022n =时，202212021202211()()22S -==，故选：B ．5．如图，以正方形ABCD 的边AD 为直径作一个半圆，点M 是半圆上一个动点，分别以线段AM 、DM 为边各自向外作一个正方形，其面积分别为1S 和2S ，若正方形的面积为10，随点M 的运动12S S +的值为( )A ．大于10B ．小于10C ．等于10D ．不确定【解答】解：AB Q 为半圆的直径，90AMD \Ð=°，22210AM DM AD \+==，21S AM =Q ，22S DM =，1210S S \+=．故选：C ．6．如图，在四边形ABDE 中，//AB DE ，AB BD ^，点C 是边BD 上一点，BC DE a ==，CD AB b ==，AC CE c ==．下列结论：①ABC CDE D @D ；②90ACE Ð=°；③四边形ABDE 的面积是21()2a b +；④22111()2222a b c ab +-=´；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是( )A ．5B ．4C ．3D ．2【解答】解：//AB DE Q ，AB BD ^，DE BD \^，90B D \Ð=Ð=°．在ABC D 和CDE D 中，90AB CD B D BC DE =ìïÐ=Ð=°íï=î，()ABC CDE SAS \D @D，A DCE \Ð=Ð，ACB E Ð=Ð．90A ACB Ð+Ð=°Q ，90DCE ACB \Ð+Ð=°．180DCE ACB ACE Ð+Ð+Ð=°Q ，90ACE \Ð=°，故①②正确；//AB DE Q ，AB BD ^，\四边形ABDE 的面积是21()2a b +；故③正确；Q 梯形ABDE 的面积-直角三角形ACE 的面积=两个直角三角形的面积，\22111()2222a b c ab +-=´，222a b c \+=．故③④⑤都正确．故选：A ．7．如图，Rt ABC D 中，90C Ð=°，AD 平分BAC Ð，交BC 于点D ，6CD =，12AB =，则ABD D 的面积是( )A ．18B ．24C ．36D ．72【解答】解：作DH AB ^于D ，如图，AD Q 平分BAC Ð，DH AB ^，DC AC ^，6DH DC \==，1126362ABD S D \=´´=．故选：C ．8．如图，Rt ABC D 中，90C Ð=°，5AC =，12BC =，分别以AB 、AC 、BC 为边在AB 的同侧作正方形ABEF 、ACPQ 、BCMN ，四块阴影部分的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，则1234S S S S +++等于( )A ．60B ．80C ．90D ．120【解答】解：连接PF ，过点F 作FD AK ^于点D ，AB EB =Q ，90ACB ENB Ð=Ð=°，而90CBA CBE EBN CBE Ð+Ð=Ð+Ð=°，CBA EBN \Ð=Ð，()CBA NBE AAS \D @D ，故4ABC S S D =；同理ADF ABC D @D ，AC DF AQ CP \===，90QAC KDF PCD Ð=Ð=Ð=°Q ，//AQ DF \，\四边形CDFP 是矩形，90CPF \Ð=°，180QPC CPF \Ð+Ð=°，Q \，P ，F 三点共线，又FA AB =Q ，90FDA ACB Ð=Ð=°，而90FAD CAB CAB ABC Ð+Ð=Ð+Ð=°，FAD ABC \Ð=Ð，()FAD ABC AAS \D @D ，同理可证ACT FDK D @D ，2FDA ABC S S S D D \==，同理可证TPF KME D @D ，AQF ABC D @D ，13ADF ABC S S S S D D \+==，综上所证：1234133125902ABC S S S S S D +++==´´´=．故选：C ．9．如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为4和10，则b 的面积为 14 ．【解答】解：如图，a Q 、b 、c 都为正方形，BC BF \=，90CBF Ð=°，24AC =，210DF =，1290Ð+Ð=°Q ，2390Ð+Ð=°，13\Ð=Ð，在ABC D 和DFB D 中，13BAC FDB BC FB Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，ABC DFB \D @D ，AB DF \=，在ABC D 中，2222241014BC AC AB AC DF =+=+=+=，b \的面积为14．故答案为14．10．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，90BAC Ð=°，3AB =，4AC =，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则空白部分的面积为 60 ．【解答】解：如图，延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，所以，四边形AOLP 是正方形，90BAC Ð=°Q ，3AB =，4AC =，347AO AB AC \=+=+=，3710KL \=+=，4711LM =+=，因此，矩形KLMJ 的面积为1011110´=，\空白部分的面积为22211034560---=，故答案为：60．11．我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图，若勾6AE =，弦10AD =，则小正方形EFGH 的面积是 4 ．【解答】解：如图，Q 勾6AE =，弦AD =弦10AB =，\股8BE ==，\小正方形的边长862=-=，\小正方形的面积224==．故答案是：4．12．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A 、C 、D 的面积依次为4、6、18，则正方形B 的面积为 8 ．【解答】解：由题意：A B E S S S +=正方形正方形正方形，D C E S S S -=正方形正方形正方形，A B D CS S S S \+=-正方形正方形正方形正方形Q 正方形A 、C 、D 的面积依次为4、6、18，4186B S \+=-正方形，8B S \=正方形．故答案为：8．13．如图，在同一平面内，直线l 同侧有三个正方形A ，B ，C ，若A ，C 的面积分别为9和4，则阴影部分的总面积为 6 ．【解答】解：如图，作LM FE ^交FE 的延长线于点M ，交JI 的延长线于点N ，Q 四边形A 、B 、C 都是正方形，且正方形A 、C 的面积分别为9、4，90EKI EDR IHG \Ð=Ð=Ð=°，29DE =，24HI =，3DE \=，2HI =，1809090EDK KHI Ð=Ð=°-°=°Q ，90DKE KHI HIK \Ð=°-Ð=Ð，在EDK D 和KHI D 中，EDK KHI DKE HIK EK KI Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()EDK KHI AAS \D @D ，2DK HI \==，3DE HK ==，13232EDK KHI S S D D \==´´=；90DEF HIJ Ð=Ð=°Q ，18090DEM DEF \Ð=°-Ð=°，18090HIN HIJ Ð=°-Ð=°，90KEL KIL Ð=Ð=°Q，90MEL DEK KEM \Ð=Ð=°-Ð，90NIL HIK KIN Ð=Ð=°-Ð，//EF l Q ，//IJ l ，//EF IJ \，90EML EMN N \Ð=Ð=Ð=°，在EML D 和EDK D 中，MIL DEK EML EDK EL EK Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()EML EDK AAS \D @D ，EM ED EF \==，3EFL EML EDK S S S D D D \===；在LNI D 和KHI D 中，NIL HIK N KHI IL IK Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()LNI KHI AAS \D @D ，IN IE IJ ==Q ，3LJI LNI KHI S S S D D D \===，336EFL LJI S S D D \+=+=，\阴影部分的总面积为6．14．如图，正方形ABDE 、CDFI 、EFGH 的面积分别为25、9、16，AEH D 、BDC D 、GFI D 的面积分别为1S 、2S 、3S ，则123S S S ++= 18 ．【解答】解：DF DC =Q ，DE DB =，且180EDF BDC Ð+Ð=°，过点A 作AJ EH ^，交HE 的延长线于点J ，90J DFE \Ð=Ð=°，90AEJ DEJ DEJ DEF Ð+Ð=Ð+Ð=°Q ，AEJ DEF \Ð=Ð，AE DE =Q ，()AEJ DEF AAS \D @D ，AJ DF \=，EH EF =Q ，AHE DEF S S D D \=，同理：BDC GFI DEF S S S D D D ==，1233AHE BDC GFI DEF S S S S S S S D D D D ++=++=´，13462DEF S D =´´=，12318S S S \++=．故答案为：18．题型二 求线段长15．一个大正方形，被两条线段分割成两个小正方形和两个小长方形，若两个小正方形的面积分别为10和6，则小长方形的对角线AB 的长为( )A ．4B ．6C ．10D ．16【解答】解：如图，Q 两个小正方形的面积分别为10和6，26AC \=，210BC =，由勾股定理得，4AB ===．故选：A ．16．如图，在Rt ABC D 中，90ABC Ð=°，以AB 为边在ABC D 外作正方形，其面积为9，以BC 为斜边在ABC D 外作等腰直角三角形，其面积为4，过点B 作BD AC ^交AC 于点D ，则(AD = )A ．85B ．94C ．95D ．2【解答】解：Q 以AB 为边的正方形的面积为9，29AB \=，Q 以BC 为斜边的等腰直角三角形的面积为4，\等腰直角三角形的腰长为216BC \=，在Rt ABC D 中，90ABC Ð=°，则5AC ===，1122ABC S AB AC AC BD D =´´=´´Q ，\1134522BD ´´=´´，解得：125BD =，由勾股定理得：95AD ===，故选：C ．17．如图，在Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，CD AB ^于D ．已知15AB =，Rt ABC D 的周长为15+，则CD 的长为( )A ．5BC ．D ．6【解答】解：如图所示：Rt ABC D Q 的周长为15+，90ACB Ð=°，15AB =，AC BC \+=，222215225AC BC AB +===，22()AC BC \+=，即222405AC AC BC BC +´+=，2405225180AC BC \´=-=，90AC BC \´=，Q 1122AB CD AC BC ´=´，90615AC BC CD AB ´\===；故选：D ．18．若ABC=，高24=，则BC的长为( )cm．AD cmAC cmD中，30AB cm=，26A．28或8B．8C．28D．以上都不对Q为边BC上的高，【解答】解：AD\Ð=Ð=°．90ADB ADCBD===，在Rt ABDD中，18CD===．在Rt ACDD中，10当点D在线段BC上时，如图1，181028=+=+=；BC BD CD当点D在线段CB的延长线上时，如图2，18108=-=-=．BC BD CD\的长为28或8．BC故选：A．19．如图，在ABCBC=，6AB=，4AC=，则DE的^于D，且5D中，CE是AB边上的中线，CD AB长 2 ．【解答】解：设BD x=-，=，则5AD x在Rt ACD D 中，222CD AC AD =-，在Rt BCD D 中，222CD BC BD =-，2222AC AD BC BD \-=-，即22226(5)4x x --=-，解得，12x =，则12BD =，2DE BE BD \=-=，贵答案为：2．20．如图，锐角三角形ABC 中，2C B Ð=Ð，AB =，8BC CA +=，则ABC D 的面积为 【解答】解：过A 作AE BC ^于E ，延长BC 到D 使CD AC =，则CAD D Ð=Ð，ACB D CAD Ð=Ð+ÐQ ，2ACB D \Ð=Ð，2C B Ð=ÐQ ，B D \Ð=Ð，AB AD \=，BE DE \=，8BC CA +=Q ，8BD BC CD BC AC \=+=+=，4BE \=，AE \==，222AE CE AC \+=，即228(4)(8)BC BC +-=-，解得：5BC =，ABC \D 的面积11522BC AE ==´´=g故答案为：．21．如图所示，ABC D 的顶点A 、B 、C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD AC ^于点D ，则BD 的长为 3 ．【解答】解：由图形可知，5BC =，BC 边上的高为3，ABC \D 的面积1155322=´´=，由勾股定理得，5AC ==，则115522BD ´´=，解得，3BD =，故答案为：3．22．如图，在Rt ABC D 中，90B Ð=°，3AB =，6BC =，AC 的中垂线DE 交AC 于点D ，交BC 于点E ．延长DE 交AB 的延长线于点F ，连接CF ．（1）求出CD 的长；（2）求出CF 的长．【解答】解：（1）在Rt ABC D 中，90B Ð=°，3AB =，6BC =，则AC ===，DE Q 是AC 的中垂线，12CD AC \==（2）DF Q 是AC 的中垂线，FA FC \=，3AB =Q ，33FB FA CF \=-=-，在Rt FBC D 中，222CF BC FB =+，即2226(3)CF CF =+-，解得：152CF =．23．如图，在ABC D 中，AB AC =，AD BC ^于点D ，45CBE Ð=°，BE 分别交AC ，AD 于点E 、F ．（1）如图1，若13AB =，10BC =，求AF 的长度；（2）如图2，若AF BC =，求证：222BF EF AE +=．【解答】（1）解：如图1，AB AC =Q ，AD BC ^，BD CD \=，10BC =Q ，5BD \=，Rt ABD D 中，13AB =Q ，12AD \==，Rt BDF D 中，45CBE Ð=°Q ，BDF \D 是等腰直角三角形，5DF BD \==，1257AF AD DF \=-=-=；（2）证明：如图2，在BF 上取一点H ，使BH EF =，连接CF 、CH 在CHB D 和AEF D 中，Q 45BH EFCBH AFE BC AF=ìïÐ=Ð=°íï=î，()CHB AEF SAS \D @D ，AE CH \=，AEF BHC Ð=Ð，CEF CHE \Ð=Ð，CE CH \=，BD CD =Q ，FD BC ^，CF BF \=，45CFD BFD \Ð=Ð=°，90CFB \Ð=°，EF FH \=，Rt CFH D 中，由勾股定理得：222CF FH CH +=，222BF EF AE \+=．24．如图，在ABC D 中，AD BC ^，垂足为点D ，13AB =，5BD =，15AC =．（1）求AD 的长；（2）求BC的长．【解答】解：（1）AD BC ^Q ，90ADB CDA \Ð=Ð=°．在Rt ADB D 中，90ADB Ð=°Q ，222AD BD AB \+=，222144AD AB BD \=-=．0AD >Q ，12AD \=．（2）在Rt ADC D 中，90CDA Ð=°Q ，222AD CD AC \+=，22281CD AC AD \=-=．0CD >Q ，9CD \=．5914BC BD CD \=+=+=．题型三 通过勾股定理设方程25．如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD 和正方形EFGH ，即赵爽弦图．连接AC ，分别交EF 、GH 于点M ，N ，连接FN ．已知3AH DH =，且21ABCD S =正方形，则图中阴影部分的面积之和为( )A ．214B ．215C ．225D ．223【解答】解：21ABCD S =Q 正方形，221AB \=，设DH x =，则33AH DH x ==，22921x x \+=，22110x \=，根据题意可知：AE CG DH x ===，3CF AH x ==，32FE FG CF CG x x x \==-=-=，2FGN CGNS S D D \=AEM CGN S S D D =Q ，FGN AEM CGN S S S D D D \=+，\阴影部分的面积之和为：()12NGFM S NG FM FG =+×梯形1()2EM MF FG =+×12FE FG =×21(2)2x =´22x =215=．故选：B ．26．如图，在ABC D 中，90C Ð=°，点M 是AB 的中点，点N 在AC 上，MN AB ^．若8AC =，4BC =，则NC 的长为( )A ．3B ．4C ．5D ．【解答】解：如图，连接BN ，AB Q 的垂直平分线交AB 、AC 于点M 、N ，AN BN \=，设NC x =，则8AN BN x ==-，在Rt BCN D 中，由勾股定理得：222BN BC CN =+，即222(8)4x x -=+，解得：3x =，即3NC =，故选：A ．27．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE a =，HG b =，则斜边BD 的长是()A B C ．a b +D ．a b-【解答】解：设CD x =，则DE a x =-，HG b =Q ，AH CD AG HG DE HG a x b x \==-=-=--=，2a bx -\=，22a b a bBC DE a -+\==-=，2222222()()222a b a b a b BD BC CD +-+\=+=+=，BD \=，故选：B ．28．在长方形ABCD 中，52AB =，4BC =，CE CF =，延长AB 至点E ，连接CE ，CF 平分ECD Ð，则BE = 76 ．【解答】解：如图，延长CF ，BA 交于点G ，连接EF ，过点F 作FH CE ^于H ，过点E 作EM CF ^于M ，Q 四边形ABCD 是矩形，且52AB =，4BC =，//AB CD \，52AB CD ==，90D ABC CBE Ð=Ð=Ð=°，DCF G \Ð=Ð，CF Q 平分ECD Ð，DCF FCE \Ð=Ð，FH DF =，G ECF \Ð=Ð，EC EG \=，ECG \D 是等腰三角形，CM MG \=，CE CF =Q ，ECF \D 是等腰三角形，EM CF ^Q ，FH CE ^，EM \和FH 是等腰三角形腰上的高，EM FH DF \==，Rt CDF Rt CME(HL)\D @D ，52CM CD \==，5CG \=，Rt CBG D 中，3BG ===，设BE x =，则3EC EG x ==+，Rt CBE D 中，222(3)4x x +=+，解得：76x =，76BE \=．故答案为：76．29．如图是“赵爽弦图”， ABH D ，BCG D ，CDF D 和DAE D 是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，如果10AB =，且:3:4AH AE =．那么AH 等于 6 ．【解答】解：10AB =Q ，:3:4AH AE =，设AH 为3x ，AE 为4x ，由勾股定理得：222222(3)(4)(5)AB AH AE x x x =+=+=，510x \=，2x \=，6AH \=，故答案为：6．30．[阅读理解]如图，在ABC D 中，4AB =，6AC =，7BC =，过点A 作直线BC 的垂线，垂足为D ，求线段AD 的长．解：设BD x =，则7CD x =-．AD BC ^Q ，90ADB ADC \Ð=Ð=°．在Rt ABD D 中，222AD AB BD =-，在Rt ACD D 中，222AD AC CD =-，2222AB BD AC CD \-=-．又4AB =Q ，6AC =，222246(7)x x \-=--．解得2914x =，2914BD \=．AD \==．[知识迁移]（1）在ABC D 中，13AB =，15AC =，过点A 作直线BC 的垂线，垂足为D ．)i 如图1，若14BC =，求线段AD 的长；)ii 若12AD =，求线段BC 的长．（2）如图2，在ABC D 中，AB =，AC =，过点A 作直线BC 的垂线，交线段BC 于点D ，将ABD D 沿直线AB 翻折后得到对应的ABD D ¢，连接CD ¢，若252AD =，求线段CD ¢的长．【解答】解：（1）)i 设BD x =，则14CD x =-，AD BC ^Q ，90ADB ADC \Ð=Ð=°，在Rt ABD D 中，222AD AB BD =-，在Rt ACD D 中，222AD AC CD =-，2222AB BD AC CD \-=-，13AB =Q ，15AC =，22221315(14)x x \-=--，5x \=，5BD \=，12AD \===；)ii 在Rt ABD D 中，5BD ===，在Rt ACD D 中，9CD ===，当ABC Ð为锐角时，如图11-，5914BC BD CD =+=+=，当ABC Ð为钝角时，如图12-，954BC BD CD =-=-=；（2）如图2，连接DD ¢交AB 于点N ，则DD AB ¢^，过点D ¢作D H BD ¢^于H ，在Rt ABD D 中，254BD ==；在Rt ACD D 中，5CD ==，AB Q 垂直平分DD ¢，254D B DB ¢\==，2D D DN ¢=，1122ABD S AD BD AB DN D =×=×Q ，\252524DN ´=，DN \=2D D DN ¢\==，设HB m =，则254HD HB BD m =+=+，22222D H D D HD D B HB ¢¢¢=-=-Q ，22222525(()44m m \-+=-，154m \=，154HB \=，152541544HC HB BD CD \=++=++=，5D H ¢===，D C ¢\===．。
![18[1].1勾股定理的应用(习题课)——10年3月18日](https://uimg.taocdn.com/a8e61ee3aeaad1f346933f47.webp)
1.3 勾股定理的应用1．若正整数a，b，c是一组勾股数，则下列各组数一定仍然是勾股数的是（）A．a+1，b+1，c+1 B．a2，b2，c2C．2a，2b，2c D．a－1，b－1，c－1你能否再多写几组勾股数，从这些勾股数中，你能发现什么规律？2．如图1，有一个底面半径为6cm，高为24cm的圆柱，在圆柱下底面的点A 有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物后再返回到A点处休息，请问它需爬行的最短路程约是多少？（π取整数3）3．有一个长宽高分别为2cm，1cm，3cm的长方体，如图2，有一只小蚂蚁想从点A爬到点C1处，请你帮它设计爬行的最短路线，并说明理由．4．在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，请问水深多少？参考答案1．C若a，b，c为一组勾股数，那么ka，kb，kc（k≠0，k为常数）也是勾股数．2．解：如下图：将圆柱沿着过A点的高AC剪开，并将侧面展开．1·2πr=π·r≈18（cm）则AC=24cm，BC=2∴在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=242+182，∴AB=30（cm）∴它最短的爬行路程约为30×2=60（厘米）3．（1）当蚂蚁在侧面A1ABB1和侧面B1BCC1上爬行时，爬行的最短路线的长设为d1，则d12=（2+1）2+32=18（2）当蚂蚁在侧面A1ABB1和上底面A1B1C1D1上爬行时，由A到C1的最短路线的长设为d2，则d22=22+（3+1）2=20（3）同理可求得蚂蚁在侧面A1ADD1和D1DCC1上爬行时，d32=32+（1+2）2=18，蚂蚁在底面ABCD，侧面D1DCC1上爬行时，d32=22+（1+3）2=20所以，蚂蚁可沿A—M—C1爬行，如下图：或蚂蚁沿A—N—C1爬行，如下图：4．解：设水深为x尺如图，Rt△ABC中，AB=h，AC=h+3，BC=6由勾股定理得：AC2=AB2+BC2，即（h+3）2=h2+62∴h2+6h+9=h2+36，解得：h=4.5答：水深4.5尺.。
勾股定理的应用（北京习题集）（教师版）一．选择题（共5小题）1．（2019春•西城区期末）小红同学经常要测量学校旗杆的高度，她发现旗杆的绳子刚好垂到地面上，当她把绳子下端拉开5m 后，发现这时绳子的下端正好距地面1m ，学校旗杆的高度是( ) A ．21mB ．13mC ．10mD ．8m2．（2018秋•通州区期末）如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A ，又在河的另一岸边取两点B 、C ，测得30α∠=︒，45β∠=︒，量得BC 长为80米．如果设河的宽度为x 米，那么下列关系式中正确的是( )A ．1802x x =+ B ．180xx =+ C ．2802x x =+ D ．3803x x =+ 3．（2017春•朝阳区期末）如图，在我海军某次海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O 同时出发，1号舰沿南偏东30︒方向以12节(1节1=海里/小时）的速度航行，2号舰以16节的速度航行，离开港口1.5小时后它们分别到达A ，B 两点且相距30海里，则2号舰的航行方向是( )A ．北偏西30︒B ．南偏西30︒C ．南偏东60︒D ．南偏西60︒4．（2017春•西城区校级期中）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2米，当他把绳子的下端拉开6米后，发现绳子拉直且下端刚好接触地面，则旗杆的高是( ) A ．4米B ．6米C ．8米D ．10米5．（2016秋•朝阳区校级月考）放学以后，小明和小华从学校分开，分别向北和东走回家，若小明和小华行走的速度都是50米/分，小明用10分到家，小华用24分到家，小明和小华家的距离为()A ．600米B ．800米C ．1000米D ．1300米二．填空题（共7小题）6．（2019秋•怀柔区期末）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷《勾股》主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求，之中记载了一道有趣的“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”译文：“一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”（备注：1丈10=尺）如果设竹梢到折断处的长度为x尺，那么折断处到竹子的根部用含x的代数式可表示为尺，根据题意，可列方程为．7．（2018秋•北京期末）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中记载了一个“折竹抵地”问题：“今有竹高二丈，末折抵地，去本六尺，问折者高几何？”译文：“有一根竹子，原高二丈(1丈10=尺），现被风折断，竹梢触地面处与竹根的距离为6尺，问折断处离地面的高度为多少尺？”如图，我们用点A，B，C分别表示竹梢，竹根和折断处，设折断处离地面的高度BC x=尺，则可列方程为．8．（2019春•海淀区期末）如图，某港口P位于南北延伸的海岸线上，东面是大海远洋号，长峰号两艘轮船同时离开港P，各自沿固定方向航行，“远洋”号每小时航行12n mile，“长峰”号每小时航行16n mile，它们离开港口1小时后，分别到达A，B两个位置，且20AB n=mile，已知“远洋”号沿着北偏东60︒方向航行，那么“长峰”号航行的方向是．9．（2019•怀柔区一模）如图，这是怀柔地图的一部分，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向建立直角坐标系．规定：一个单位长度表示1km，北京生存岛实践基地A处的坐标是(2,0)，A处到雁栖湖国际会展中心B处相距4km，且A在B南偏西45︒方向上，则雁栖湖国际会展中心B处的坐标是．10．（2018春•海淀区期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有 3 尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8 尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为．11．（2018春•西城区期末）如图，一根垂直于地面的木杆在离地面高3m处折断，若木杆折断前的高度为8m，则木杆顶端落在地面的位置离木杆底端的距离为m．12．（2017秋•昌平区期末）现在人们锻炼身体的意识日渐增强，但是一些人保护环境的意识却很淡薄．右图是昌平滨河公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角ABC∠，而走“捷径AC”，于是在草坪内走出了一条不该有的“路AC”．已知40BC=米，他们踩坏了米的草坪，只为少走米的路．AB=米，30三．解答题（共2小题）13．（2019春•海淀区期末）小东和小明要测量校园里的一块四边形场地ABCD（如图所示）的周长，其中边CD上有水池及建筑遮挡，没有办法直接测量其长度小东经测量得知5=，150BC mABC∠=︒A∠=︒，12AB AD m==，60小明说根据小东所得的数据可以求出CD的长度．你同意小明的说法吗？若同意，请求出CD的长度；若不同意，请说明理由．14．（2017秋•门头沟区期末）如图，小明想知道湖中两个小亭A、B之间的距离，他在与小亭A、B位于同一水平面且东西走向的湖边小道上某一观测点M处，测得亭A在点M的北偏东60︒，亭B在点M的北偏东30︒，当小明由点M沿小道向东走60米时，到达点N处，此时测得亭A恰好位于点N的正北方向，继续向东走30米时到达点Q处，此时亭B恰好位于点Q的正北方向．根据以上数据，请你帮助小明写出湖中两个小亭A、B之间距离的思路．勾股定理的应用（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2019春•西城区期末）小红同学经常要测量学校旗杆的高度，她发现旗杆的绳子刚好垂到地面上，当她把绳子下端拉开5m 后，发现这时绳子的下端正好距地面1m ，学校旗杆的高度是( ) A ．21mB ．13mC ．10mD ．8m【分析】根据题意设旗杆的高AB 为x 米，则绳子AC 的长为x 米，在Rt ACH ∆利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【解答】解：如图，已知AB AC =，CD BD ⊥，CH AB ⊥，1CD =米，5CH =米，设AB AC x ==米．在Rt ACH ∆中，222AC AH CH =+，2225(1)x x ∴=+-， 13x ∴=， 13AB ∴=（米)，故选：B ．【点评】此题考查了勾股定理在实际问题中的应用，能够正确理解题意继而构造直角三角形是解决本题的关键，难度一般．2．（2018秋•通州区期末）如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A ，又在河的另一岸边取两点B 、C ，测得30α∠=︒，45β∠=︒，量得BC 长为80米．如果设河的宽度为x 米，那么下列关系式中正确的是( )A ．1802x x =+ B ．180xx =+ C ．280x x +D ．380x x + 【分析】过点A 作AD BC ⊥于点D ，直接利用已知条件得出AD CD =，再利用tan30ADBD︒=，进而得出关系式． 【解答】解：如图，过点A 作AD BC ⊥于点D ， 45β∠=︒，AD CD x ∴==， Rt ABD ∆中，tan ADBDα=， 3tan30803x x ∴︒==+． 故选：D ．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．3．（2017春•朝阳区期末）如图，在我海军某次海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O 同时出发，1号舰沿南偏东30︒方向以12节(1节1=海里/小时）的速度航行，2号舰以16节的速度航行，离开港口1.5小时后它们分别到达A ，B 两点且相距30海里，则2号舰的航行方向是( )A ．北偏西30︒B ．南偏西30︒C ．南偏东60︒D ．南偏西60︒【分析】直接利用已知得出AO ，BO ，AB 的长，再利用勾股定理的逆定理得出BOA ∠的度数，进而得出答案． 【解答】解：由题意可得：16 1.524BO =⨯=（海里）， 12 1.518AO =⨯=（海里），30AB =海里， 则此时：222AO BO AB +=， 故AOB ∆是直角三角形， 则90BOA ∠=︒， 30AOD ∠=︒， 60DOB ∴∠=︒，2∴号舰的航行方向是：南偏西60︒．故选：D ．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确得出AOB ∆是直角三角形是解题关键．4．（2017春•西城区校级期中）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2米，当他把绳子的下端拉开6米后，发现绳子拉直且下端刚好接触地面，则旗杆的高是( ) A ．4米B ．6米C ．8米D ．10米【分析】根据题意设旗杆的高AB 为x 米，则绳子AC 的长为(2)x +米，再利用勾股定理即可求得AB 的长，即旗杆的高．【解答】解：画出示意图如下所示：设旗杆的高AB 为xm ，则绳子AC 的长为(2)x m +， 在Rt ABC ∆中，222AB BC AC +=，2226(2)x x ∴+=+， 解得：8x =， 8AB m ∴=，即旗杆的高是8m ． 故选：C ．【点评】此题考查了勾股定理在实际问题中的应用，能够正确理解题意继而构造直角三角形是解决本题的关键，难度一般．5．（2016秋•朝阳区校级月考）放学以后，小明和小华从学校分开，分别向北和东走回家，若小明和小华行走的速度都是50米/分，小明用10分到家，小华用24分到家，小明和小华家的距离为()A ．600米B ．800米C ．1000米D ．1300米【分析】根据题意画出图形，再根据勾股定理求解即可． 【解答】解：如图所示，小明用10分到家，小华用24分到家，1050500OA ∴=⨯=（米)，24501200OB =⨯=（米)， 221300AB OA OB ∴=+=（米)． 答：小明和小华家的距离为1300米． 故选：D ．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，熟知在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．二．填空题（共7小题）6．（2019秋•怀柔区期末）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷《勾股》主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求，之中记载了一道有趣的“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”译文：“一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”（备注：1丈10=尺）如果设竹梢到折断处的长度为x 尺，那么折断处到竹子的根部用含x 的代数式可表示为 (10)x - 尺，根据题意，可列方程为 ．【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为(10)x -尺．利用勾股定理解题即可．【解答】解：设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为(10)x -尺， 根据勾股定理得：222(10)4x x -+= 故答案为：(10)x -，222(10)4x x -+=．【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．7．（2018秋•北京期末）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中记载了一个“折竹抵地”问题：“今有竹高二丈，末折抵地，去本六尺，问折者高几何？”译文：“有一根竹子，原高二丈(1丈10=尺），现被风折断，竹梢触地面处与竹根的距离为6尺，问折断处离地面的高度为多少尺？”如图，我们用点A ，B ，C 分别表示竹梢，竹根和折断处，设折断处离地面的高度BC x =尺，则可列方程为2226(20)x x +=- ．【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为(20)x -尺，利用勾股定理解题即可．【解答】解：设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为(20)x -尺， 根据勾股定理得：2226(20)x x +=-． 故答案为2226(20)x x +=-．【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 8．（2019春•海淀区期末）如图，某港口P 位于南北延伸的海岸线上，东面是大海远洋号，长峰号两艘轮船同时离开港P ，各自沿固定方向航行，“远洋”号每小时航行12n mile ，“长峰”号每小时航行16n mile ，它们离开港口1小时后，分别到达A ，B 两个位置，且20AB n =mile ，已知“远洋”号沿着北偏东60︒方向航行，那么“长峰”号航行的方向是 南偏东30︒ ．【分析】由题意得：P 与O 重合，得出222OA OB AB +=，由勾股定理的逆定理得出PAB ∆是直角三角形，90AOB ∠=︒，求出30COP ∠=︒，即可得出答案．【解答】解：由题意得：P 与O 重合，如图所示： 12OA n =mile ，16OB n =mile ，20AB n =mile ，222121620+=， 222OA OB AB ∴+=，PAB ∴∆是直角三角形，90AOB ∴∠=︒， 60DOA ∠=︒，180906030COP ∴∠=︒-︒-︒=︒，∴ “长峰”号航行的方向是南偏东30︒，故答案为：南偏东30︒．【点评】此题主要考查了直角三角形的判定、勾股定理的逆定理及方向角的理解及运用．利用勾股定理的逆定理得出PAB ∆为直角三角形是解题的关键．9．（2019•怀柔区一模）如图，这是怀柔地图的一部分，分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴正方向建立直角坐标系．规定：一个单位长度表示1km ，北京生存岛实践基地A 处的坐标是(2,0)，A 处到雁栖湖国际会展中心B 处相距4km ，且A 在B 南偏西45︒方向上，则雁栖湖国际会展中心B 处的坐标是 (222+，22) ．【分析】如图，过点B 作BC x ⊥轴于C ，作BD y ⊥轴于D ，利用勾股定理求得BC 的长度，则AC BC =，易得BD 的长度，从而求得点B 的坐标．【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，过点B 作BC x ⊥轴于C ，作BD y ⊥轴于D ， 则BD OC =．A 处到雁栖湖国际会展中心B 处相距4km ，A 在B 南偏西45︒方向上，4AB km ∴=，45BAC ABC ∠=∠=︒．AC BC ∴=．22216AC BC AB +==， 22AC BC ∴==．222OC OA AC ∴=+=+．(222B ∴+，22)．故答案是：(222+，22)．【点评】考查了勾股定理的应用，坐标确定位置，方向角，根据题意建立平面直角坐标系是确定点B 坐标的关键所在．10．（2018春•海淀区期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载： 今有立木， 系索其末， 委地三尺 ． 引索却行， 去本八尺而索尽， 问索长几何？译文： 今有一竖立着的木柱， 在木柱的上端系有绳索， 绳索从木柱上端顺木柱下垂后， 堆在地面的部分尚有 3 尺 ． 牵着绳索 （绳 索头与地面接触） 退行， 在距木根部 8 尺处时绳索用尽 ． 问绳索长是多少？设绳索长为x 尺， 可列方程为 22(3)64x x -+= ． 【分析】设绳索长为x 尺， 根据勾股定理列出方程解答即可 ．【解答】解： 设绳索长为x 尺， 可列方程为22(3)64x x -+=，故答案为：22(3)64x x -+=【点评】本题考查了勾股定理的应用， 找准等量关系， 正确列出一元二次方程是解题的关键 ．11．（2018春•西城区期末）如图，一根垂直于地面的木杆在离地面高3m 处折断，若木杆折断前的高度为8m ，则木杆顶端落在地面的位置离木杆底端的距离为 4 m ．【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出木杆顶端落在地面的位置离木杆底端的距离．【解答】解：一棵垂直于地面的木杆在离地面3米处折断，木杆折断前的高度为8m ，∴木杆顶端落在地面的位置离木杆底端的距离为22534()m -=，故答案为：4．【点评】此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力． 12．（2017秋•昌平区期末）现在人们锻炼身体的意识日渐增强，但是一些人保护环境的意识却很淡薄．右图是昌平滨河公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角ABC ∠，而走“捷径AC ”，于是在草坪内走出了一条不该有的“路AC ”．已知40AB =米，30BC =米，他们踩坏了 50 米的草坪，只为少走 米的路．【分析】根据勾股定理求出AC 即可解决问题．【解答】解：在Rt ABC ∆中，40AB =米，30BC =米，22304050AC ∴=+，30405020+-=，∴他们踩坏了50米的草坪，只为少走20米的路．故答案为50，20【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是理解题意，属于中考基础题．三．解答题（共2小题）13．（2019春•海淀区期末）小东和小明要测量校园里的一块四边形场地ABCD （如图所示）的周长，其中边CD 上有水池及建筑遮挡，没有办法直接测量其长度小东经测量得知5AB AD m ==，60A ∠=︒，12BC m =，150ABC ∠=︒小明说根据小东所得的数据可以求出CD 的长度．你同意小明的说法吗？若同意，请求出CD 的长度；若不同意，请说明理由．【分析】直接利用等边三角形的判定方法得出ABD ∆是等边三角形，再利用勾股定理得出答案．【解答】解：同意小明的说法．理由：连接BD ，5AB AD m ==，60A ∠=︒，ABD ∴∆是等边三角形，5BD m ∴=，60ABD ∠=︒，150ABC ∠=︒，90DBC ∴∠=︒，12BC m =，5BD m =， 2212513()DC m ∴=+=，答：CD 的长度为13m ．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及等边三角形的判定，正确得出ABD ∆是等边三角形是解题关键．14．（2017秋•门头沟区期末）如图，小明想知道湖中两个小亭A 、B 之间的距离，他在与小亭A 、B 位于同一水平面且东西走向的湖边小道上某一观测点M 处，测得亭A 在点M 的北偏东60︒，亭B 在点M 的北偏东30︒，当小明由点M 沿小道向东走60米时，到达点N 处，此时测得亭A 恰好位于点N 的正北方向，继续向东走30米时到达点Q 处，此时亭B 恰好位于点Q 的正北方向．根据以上数据，请你帮助小明写出湖中两个小亭A 、B 之间距离的思路．【分析】如图，由题意AMN ∆，BMQ ∆都是直角三角形，作AH BQ ⊥于H ，只要求出AH 、BH 即可利用勾股定理求出AB 的长．【解答】解：如图，由题意AMN ∆，BMQ ∆都是直角三角形，作AH BQ ⊥于H ，只要求出AH 、BH 即可利用勾股定理求出AB 的长．易知四边形ANQH 是矩形，可得30AH NQ ==米，在Rt AMN ∆中，根据tan 30203AN QH MN ==︒=米，在Rt MBQ ∆中，tan 60903BQ MQ =︒=，可得703BH BQ QH =-=米，再利用勾股定理求出AB 即可．【点评】本题考查勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．。
八年级数学下册《第十七章勾股定理的应用》练习题-附答案(人教版)一、选择题1.如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要( )A.4米B.5米C.6米D.7米2.某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形土地时，在BC上有一处古建筑D，使得BC 的长不能直接测出，工作人员测得AB＝130米，AD＝120米，BD＝50米，在测出AC＝150米后，测量工具坏了，使得DC的长无法测出，请你想办法求出BC的长度为( )A.90米B.120米C.140米D.150米3.《九章算术》第九章有如下题目，原文：今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐.引木却行一尺，其木至地.问木长几何？译文是：今有墙高1丈，倚木杆于墙.使木杆之上端与墙平齐.牵引木杆下端退行1尺，则木杆(从墙上)滑落至地上.间木杆长是多少？(1丈＝10尺，1尺＝10寸)( )A.5尺5寸B.1丈1尺C.5丈5寸D.5丈5尺4.如图，长方形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是( )A.2.5B.2 2C. 3D. 55.如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米.则小明到达的终止点与原出发点的距离是( )A.90米B.100米C.120米D.150米6.如图，有一个由传感器控制的灯A装在门上方离地高4.5 m的墙上，任何东西只要移至距该灯5 m及5 m以内时，灯就会自动发光，请问一个身高1.5 m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？( )A.4 mB.3 mC.5 mD.7 m7.如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺.突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，则水深是( )尺A.3.5B.4C.4.5D.58.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计)( )A.12 mB.13 mC.16 mD.17 m9.如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是( )A. 3B. 5C. 6D.710.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F.若AC＝3，AB＝5，则CE的长为( )A.32B.43C.53D.8511.如图，已知线段BC，分别以B、C为圆心，大于12BC为半径作弧，两弧相交于E、F两点，连接CE，过点E作射线BA，若∠CEA＝60°，CE＝4，则△BCE的面积为( )A.4B.4 3C.8D.8 312.如图，圆柱形纸杯高8 cm，底面周长为12 cm，在纸杯内壁离杯底2 cm的点C处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁正好在纸杯外壁，离杯上沿2 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为( )3 B.6 2 C.10 D.以上答案都不对二、填空题13.上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得∠BAC＝60°，点C在点B的正西方向，海岛B与灯塔C之间的距离是海里.14.在平面直角坐标系中，点P(﹣5，2)到原点的距离是．15.如图，要做一个两条直角边的长分别是7 cm和4 cm的三角尺，斜边长应为 cm.16.如图，A，B，C，D为四个养有珍稀动物的小岛，连线代表连接各个小岛的晃桥(各岛之间也可以通过乘船到达)，四边形ABCD为长方形，如果黄芳同学想从A岛到C岛，则至少要经过________米.17.某快递公司要在街道旁设立一个派送还点，向A、B两居民区投送快递，派送点应该设在什么地方，才能使它到A、B的距离之和最短？快递员根据实际情况，以街道为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，测得坐标A(﹣2，2)、B(6，4)，则派送点的坐标是.18.如图，在平面直角坐标系中，已知点P(2，1)，点A是x轴上的一个动点，当△PAO是等腰三角形时，点A的坐标为．三、解答题19.如图所示，一棵36米高的树被风刮断了，树顶落在离树根24米处，求折断处的高度AB.20.如图，飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶50000米.飞机每小时飞行多少千米？21.如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了5003m 到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点.(1)求A、C两点之间的距离；(2)确定目的地C在营地A的什么方向？22.如图，∠AOB＝90°，OA＝45cm，OB＝15cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球.如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？23.如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝∠90°，D为AB边上一点．(1)求证：△ACE≌△BCD；(2)若AD＝6，BD＝8，求ED的长．24.如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，∠BAD＝90°，AB＝2，AC＝11，求BC的长．25.如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m.假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？参考答案1.D2.C3.C4.D5.B.6.A.7.C8.D.9.B.10.A11.B.12.C.13.答案为：30 3.14.答案为：3.15.答案为：65.16.答案为：370.17.答案为：(23，0).18.答案为：A(4，0)，(5，0)，(﹣5，0)．19.解：设AB＝x米，则AC＝(36﹣x)米∵AB⊥BC∴AB2＋BC2＝AC2∴x2＋242＝(36﹣x)2.∴x＝10∴折断处的高度AB是10米.20.解：如图，在Rt△ABC中，根据勾股定理可知BC＝3000(米).3000÷20＝150米/秒＝540千米/小时.所以飞机每小时飞行540千米.21.解：(1)过B点作BE∥AD如图，∴∠DAB＝∠ABE＝60°.∵30°＋∠CBA＋∠ABE＝180°∴∠CBA＝90°.即△ABC为直角三角形.由已知可得：BC＝500 m，AB＝500 3 m由勾股定理可得：AC2＝BC2＋AB2所以AC＝1 000(m)；(2)在Rt△ABC中，∵BC＝500 m，AC＝1 000 m∴∠CAB＝30°∵∠DAB＝60°∴∠DAC＝30°.即点C在点A的北偏东30°的方向.22.解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等即BC＝CA设AC为x，则OC＝45﹣x由勾股定理可知OB2＋OC2＝BC2又∵OA＝45，OB＝15把它代入关系式152＋(45﹣x)2＝x2解方程得出x＝25(cm)．答：如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是25cm．23.(1)证明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝∠90°∴AC＝BC，EC＝DC，∠B＝∠CAB＝45°，∠ACE＝∠BCD＝90°﹣∠ACD在△ACE和△BCD中∴△ACE ≌△BCD(SAS)；(2)解：∵△ACE ≌△BCD∴∠CAE ＝∠B ，AE ＝BD ＝8∵∠CAB ＝∠B ＝45°∴∠EAD ＝45°＋45°＝90°在Rt △EAD 中，由勾股定理得：ED ＝10．24.解：延长AD 至点E ，使AD ＝ED ，连结CE.∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD.在△ABD 和△ECD 中∵⎩⎨⎧AD ＝ED ，∠ADB ＝∠EDC ，BD ＝CD ，∴△ABD ≌△ECD(SAS)∴EC ＝AB ＝ 2∴∠CED ＝∠BAD ＝90°.在Rt △AEC 中，∵AE 2＝AC 2﹣EC 2∴AE ＝（11）2－（2）2＝3∴AD ＝12AE ＝32. 在Rt △ABD 中，∵BD 2＝AB 2＋AD 2∴BD ＝172∴BC ＝2BD ＝17.25.解：作AB⊥MN，垂足为B在 RtΔABP中，∵∠ABP＝90°，∠APB＝30°， AP＝160∴ AB＝12AP＝80∵点 A到直线MN的距离小于100m∴这所中学会受到噪声的影响.如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响那么AC＝100(m)由勾股定理得： BC2＝1002﹣802＝3600∴ BC＝60.同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响那么AD＝100(m)，BD＝60(m)∴CD＝120(m).拖拉机行驶的速度为：18km/h＝5m/s，t＝120m÷5m/s＝24s.答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒.。
勾股定理的应用习题精选（一）1．填空题(1)若一个三角形三边长分别为45，28，52则这个三角形是＝(2)在△ABC中，若AC2＋AB2＝BC2，则∠B＋∠C＝(3)若三角形三边长分别为n＋1，n＋2，n＋3，当n＝时，这三角形是直角三角形。
2．3．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AC=b，BC=a，AB=c，CD=h(2)a+b＜c+h(3)以a+b，h和c+h为边的三角形是直角三角形4．若△ABC的三边a、b、c满足条件a2＋b2＋c2＝10a＋24b＋26c－338。
求证：△ABC是直角三角形。
答案：1．(1)直角三角形(2)90°(3)n＝22．分析：作法：(1)过点O作l⊥OA(2)在l上截取OM=OA，连结AM(3)以 A为圆心，AM为半径作弧交正半轴于点C(4)作OC的垂直平分线交OC于B点，则点B就是所求的点。
3．分析：(1)利用三角形面积公式判定a、b、c、h的关系，将其公式变形可得。
(2)利用求差方法进行大小比较(3)验证勾股定理的逆定理证明：(1)∵∠ACB=90° CD⊥AB于D∴AB·CD=AC·BC即ch=ab(2)∵(c+h)-(a+b)∵c＞a，c＞b∴(c+h)-(a+b)＞0∴c+h＞a+b即a+b＜c+h(3)∵c+h＞a+b c+h＞h∴c+h是三角形的最长边∴(c+h)2=c2+2ch+h2=a2+b2+2ab+h2=(a+b)2+h2∴以a+b,h,c+h为边的三角形为直角三角形此题第二问还有其它证法：(2)证法二(分析法)欲证c+h＞a+b只须证c2+2ch+h2＞a2+2ab+b2只须证c2+h2＞a2+b2只须证h2＞0最后这个不等式虽然成立，且每一步都是前一步成立的充分条件，所以原不等式成立。
证法三(作差c-b，a-h，将它们集中在同一三角形中)如图在AB上截取AE=b，作EG⊥AC，作EF⊥BC，连接CE又AE=AC∴EG=CD=CF∴EB=c-b，BF=a-h在Rt△FEB中∵EB＞BF∴c-b＞a-h∴c+h＞a+b说明：此题综合了多个知识点，像三角形三边关系定理、三角形面积公式、公式运算、因式分解中的分组分解法以及勾股定理及其逆定理的应用等，并且涉及了一些解题的重要方法：如怎样比较两个数的大小，我们说常用的方法有做差、做商等，在这里第②问的证法一就是利用做差，计算(c+h)-(a+b)的结果大于零，从而证明c+h〉a+b。
1、如图：〔1〕你能得到关于a，b，c的一个等式吗？写出你的过程．〔2〕请用一句话描绘你的发现：在直角三角形中，______〔3〕请应用你学到的新知识解决下面这个问题：将一根长为30cm的筷子置于底面直径为5cm，高12cm的圆柱形的空水杯中，那么露出杯子外面的长度最短是______cm，最长是______ cm．假如把圆柱体换成一个长，宽，高分别为6，8，24的无盖长方体盒子．那么这根筷子露出盒子外面的长度最短是______cm．2、某楼梯的侧面视图如下图，其中AB=6.5米，BC=2.5米，∠C=90°，楼梯的宽度为6米，因某种活动要求铺设红色地毯，那么在AB段楼梯所铺地毯的面积应为．3、如下图，一只小蚂蚁从棱长为1的正方体的顶点A出发，经过每个面的中心点后，又回到A点，蚂蚁爬行最短程S满足〔〕A．5＜S≤6B．6＜S≤7C．7＜S≤8D．8＜S≤94、如图，：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将一块三角尺的直角顶点与斜边AB的中点M重合，当三角尺绕着点M旋转时，两直角边始终保持分别与边BC、AC交于D，E两点〔D、E不与B、A重合〕．〔1〕试说明：MD=ME；〔2〕求四边形MDCE的面积．5、小明在测量学校旗杆的高度时发现，旗杆的绳子垂到地上还多一米，当他把绳子拉直并把绳子的下端触地时，绳子分开旗杆5米，求旗杆的高度．6、印度数学家什迦逻〔1141年-1225年〕曾提出过“荷花问题〞：平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲．出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，分开原处二尺远，花贴湖面像睡莲．能算诸君请解题，湖水如何知深浅？7、如图，在每个小方格的面积为1的4×4的方格纸上画一个正方形ABCD，使正方形ABCD的面积为5，并计算正方形的边长和周长．8、在以下4×4各图中，每个小正方形的边长都为1，请在每一个图中分别画出一条线段，且它们的长度均表示不等的无理数．表示：______9、自动门开启的连动装置如下图，∠AOB为直角，滑杆AB为定长100cm，端点A，B可分别在OA，OB上滑动，当滑杆AB的位置如下图时，OA=80cm、假设端点A向上滑动10cm，那么端点B滑动的间隔〔〕A．大于10cm B．等于10cm C．小于10cm D．不能确定10、如图，在长15米，宽8米的长方形ABCD花园内修一条长13米的笔直小路EF，小路出口一端E选在AD边上距D点3米处，另一端出口F应选在AB边上距B点几米处？11、如图，把一块三角形〔△ABC〕土地挖去一个直角三角形〔∠ADC=90°〕后，测得CD=6米，AD=8米，BC=24米，AB=26米．求剩余土地〔图中阴影局部〕的面积．12、距沿海某城市A的正南方向km的B处有一台风中心．根据海事预报，以台风中心为圆心，250km为半径的圆形区域内会受到台风影响．该台风中心如今正以15km/h的速度沿北偏东45°方向往C挪动，问：该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由．13、如图，设A城气象站测得台风中心在A城正西方向300千米的B处，正向北偏东60°的BF方向挪动，距台风中心200千米的范围内是受台风影响的区域，那么A城是否受到这次台风的影响？为什么？14、如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知下在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，AB=6海里，BC=8海里，假设该船只的速度为12.8海里/小时，那么可疑船只最早何时进入我领海？15、如图，铁路AB的一边有C、D两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，AB=25km，DA=15km，CB=10km，现要在铁路上建一个农产品收买站E，并使DE=CE．那么农产品收买站E应建在距点A多少千米处？16、如图，三个村庄A、B、C之间的间隔分别为AB=15km，BC=9km，AC=12km．A、B两村之间已修建了一条笔直的村级公路AB，为了实现村村通公路，如今要从C村修一条笔直公路CD直达AB．公路的造价为10000元/km，求修这条公路的最低造价是多少？17、如下图，一根长2.5米的木棍〔AB〕，斜靠在与地面〔OM〕垂直的墙〔ON〕上，此时OB的间隔为0.7米，设木棍的中点为P．假设木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．〔1〕假如木棍的顶端A沿墙下滑0.4米，那么木棍的底端B向外挪动多少间隔？〔2〕请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的间隔是否变化，并简述理由．〔3〕在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值．18、在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破，点C与公路上的停靠站A的间隔为300米，与公路上另一停靠站B的间隔为400米，且CA⊥CB，如图，为了平安起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进展爆破时，公路AB 段是否有危险，是否而需要暂时封锁？请通过计算进展说明．19、如图1，四根长度一定的木条，其中AB=6cm，CD=15cm，将这四根木条用小钉绞合在一起，构成一个四边形ABCD〔在A、B、C、D四点处是可以活动的〕．现固定AB边不动，转动这个四边形，使它的形状改变，在转动的过程中有以下两个特殊位置．位置一：当点D在BA的延长线上时，点C在线段AD上〔如图2〕；位置二：当点C在AB的延长线上时，∠C=90°．〔1〕在图2中，假设设BC的长为x，请用x的代数式表示AD的长；〔2〕在图3中画出位置二的准确图形；〔各木条长度需符合题目要求〕〔3〕利用图2、图3求图1的四边形ABCD中，BC、AD边的长．20、如图，小明准备建一个鲜花大棚，棚宽BE=4米，高AE=3米，长AD=10米，棚的斜面用矩形玻璃ABCD遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积．21、公园里有一块形如四边形ABCD的草地，测得BC=CD=20米，∠A=45°，∠B=∠C=120°，恳求出这块草地面积．22、如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．∠BAC=60°，∠DAE=45°，点D到地面的垂直间隔DE=3m．那么点B到地面的垂直间隔BC是．23、如图在一块直角三角形地被分成BD分成两块，其中斜边AB长为13m，一条直角边BC长为5m，∠BDC=45°，要在△ABD内种草皮，这种草皮每平方米售价a元，那么购置这种草皮至少需要元．24、一个游泳爱好者，要横跨一条宽AC=8m的河流，由于水流速度的原因，这位游泳爱好者向下游偏离了BC=6m，这位游泳爱好者在横跨河流的实际游泳间隔为多少米？25、，△ABC是边长3cm的等边三角形．动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动．〔1〕如图1，设点P的运动时间为t〔s〕，那么t=______〔s〕时，△PBC是直角三角形；〔2〕如图2，假设另一动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，假如动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t〔s〕，那么t为何值时，△PBQ是直角三角形？〔3〕如图3，假设另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D．假如动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t〔s〕，那么t为何值时，△DCQ是等腰三角形？〔4〕如图4，假设另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D，连接PC．假如动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．请你猜测：在点P、Q的运动过程中，△PCD和△QCD的面积有什么关系？并说明理由．26、罗师傅想将一个正方形ABCD〔四个角都是直角，四条边都相等〕的余料，修剪成四边形ABEF的零件〔如图〕，要求∠AFE为直角．他是这样做的：取CD的中点F，取BC的四等分点E〔即〕，然后沿AF、FE剪裁就得到四边形AFEB．你认为这样剪裁得到的四边形AFEB符合要求吗？请说明理由．27、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？28、一块试验田的形状如下图，：∠CAB=90°，AC=3m，AB=4m，BD=13m，DC=12m．求这块试验田的面积．29、如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m，高3m，长8m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，假设塑料薄膜每平方米1.2元，问小李至少要花多少钱？〔30题〕30、八年级三班小明和小亮同学学习了“勾股定理〞之后，为了测得以下图风筝CE的高度，他们进展了如下操作：〔1〕测得BD的长度为25米．〔2〕根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为65米．〔3〕牵线放风筝的小明身高1.6米．求风筝的高度CE．31、如图，一个电子跳蚤在4×5的网格〔网格中小格子均为边长为1的正方形〕中，沿A→B→C→A跳了一圈，它跳的总路程是．32、课间，小聪拿着教师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间〔如下图〕，∠ACB=90°，AC=BC，从三角板的刻度可知AB=20cm，小聪很快就知道了砌墙砖块的厚度〔每块砖的厚度相等〕为 cm．33、由于水资源缺乏，B，C两地不得不从黄河上的扬水站A处引水，这就需要在A，B，C之间铺设地下输水管道．有人设计了3种铺设方案〔图中实线表示管道铺设线路〕．在图〔2〕中，AD⊥BC于点D，且BC=DC；在图〔3〕中，OA=OB=OC，且AO的延长线交BC于点E，AE⊥BC，BE=EC，OE=．为减少渗漏，节约水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短．假设△ABC恰好是一个边长为a的等边三角形，请你通过计算，判断哪一个铺设方案最好．34、某消防队进展消防演练，在模拟现场，有一建筑物发生了火灾，消防车到达后，发现离建筑物的程度间隔最近为12米，即AD=BC=12米，此时建筑物中距地面12.8米高的P处有一被困人员需要救援，消防云梯的车身高AB是3.8米．为此消防车的云梯至少应伸长多少米？35、明朝数学家程大位在他的著作?算法统宗?中写了一首计算秋千绳索长度的词?西江月?：“平地秋千未起，踏板一尺离地°送行二步恰竿齐，五尺板高离地…〞翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺〔AC=1尺〕，将它往前推进两步〔EB=10尺〕，此时踏板升高离地五尺〔BD=5尺〕，求秋千绳索〔OA或OB〕的长度．36、两根电线杆AB、CD，AB=5m，CD=3m，它们的底部相距8m，如今要在两根电线杆底端之间〔线段BD上〕选一点E，由E分别向两根电线杆顶端拉钢索AE、CE．假设使钢索AE与CE相等，那么点E应该选在距点B多少米处？37、如图，是一块四边形草坪，∠B=∠D=90°，AB=24m，BC=7m，CD=15m，求草坪面积．38、中日钓鱼岛争端持续，我海监船加大钓鱼岛海域的巡航维权利度．如图，OA⊥OB，OA=45海里，OB=15海里，钓鱼岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向钓鱼岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以一样的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．〔1〕请用直尺和圆规作出C处的位置；〔2〕求我国海监船行驶的航程BC的长39、探究：请你利用图1验证勾股定理．〔2〕应用：如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2，那么S1+S2的值等于______．〔请直接写出结果〕〔3〕拓展：如图3所示，MN表示一条铁路，A、B是两个城市，它们到铁路所在直线MN的垂直间隔分别为AC=40千米，BD=60千米，且CD=80千米，现要在CD之间设一个中转站O，求出O应建在离C点多少千米处，才能使它到A、B两个城市的间隔相等．40、如图，A，B是笔直公路l同侧的两个村庄，且两个村庄到公路的间隔分别是300m和500m，两村庄之间的间隔为d 〔d2=400000m2〕，现要在公路上建一汽车停靠站，使两村到停靠站的间隔之和最小，问最小值是多少？41、如图，点A是4×5网格图形中的一个格点〔小正方形的顶点〕，图中每个小正方形的边长为1，以A为其中的一个顶点，腰长等于的格点等腰直角三角形〔三角形的三个顶点都是格点〕的个数是〔〕A．10 B．12 C．14 D．1642、如图，以数轴的单位长线段为边作一个矩形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线逆时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴负半轴的点A处，那么点A表示的数是．43、阅读下面的情景对话，然后解答问题：教师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．小华：等边三角形一定是奇异三角形！小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？〔1〕根据“奇异三角形〞的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形〞这句话是对还是错？______〔2〕在Rt△ABC中，两边长分别是a=5、c=10，这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．〔3〕在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，假设Rt△ABC是奇异三角形，求〔b+c〕：a的值．44、如图，1号、4号两个正方形的面积和为7，2号、3号两个正方形的面积和为4，那么a，b，c三个正方形的面积和为〔〕A．11 B．15 C．10 D．2245、如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成．假设图中大小正方形的面积分别为和4，那么直角三角形的两条直角边边长分别为．46、如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米，小明到达的终止点与原出发点的间隔为〔〕米．A．80 B．100 C．110 D．18047、如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A-C-B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．AC=10km，∠A=30°，∠B=45°，那么隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？〔结果准确到0.1km〕〔参考数据：≈1.41〕48、如图，让两个长为12，宽为8的矩形重叠，图中线段AB长为7，那么两个矩形重叠的阴影局部面积为．49、学校操场上有一块如下图三角形空地，量得AB=AC=10米，∠°×105平方厘米草皮，请你通过计算说明草皮是否够用．50、在合肥市地铁一号线的修建过程中，原设计的地铁车站出入口高度较低，为适应地形，把地铁车站出入口上下楼梯的高度普遍增加了，如下图，原设计楼梯BD长20米，在楼梯程度长度〔BC〕不发生改变的前提下，楼梯的倾斜角由30°增大到45°，那么新设计的楼梯高度将会增加多少米？〔结果保存整数，参考数据：≈1.414，≈1.732〕。
17.1勾股定理第2课时勾股定理在求距离中应⽤同步练习17.1 勾股定理第2课时勾股定理在求距离中应⽤基础训练知识点1 长度的计算1.(2016·哈尔滨)如图,⼀艘轮船位于灯塔P的北偏东60°⽅向,与灯塔P 的距离为30海⾥的A处,轮船沿正南⽅向航⾏⼀段时间后,到达位于灯塔P的南偏东30°⽅向上的B处,则此时轮船所在的位置B处与灯塔P之间的距离为( )A.60海⾥B.45海⾥C.20海⾥D.30海⾥2.如图,有两棵树,⼀棵⾼10⽶,另⼀棵⾼4⽶,两树相距8⽶,⼀只⼩鸟从⼀棵树的树顶飞到另⼀棵树的树顶,⼩鸟⾄少飞⾏( )A.8⽶B.10⽶C.12⽶D.14⽶3.如图,⼀棵树在离地⾯4.5 m处断裂,树的顶部落在离底部6 m处.则这棵树折断之前⾼( )A.10.5 mB.7.5 mC.12 mD.8 m4.如图,⼀架梯⼦AB长2.5⽶,顶端A靠在墙AC上,这时梯⼦底端B 与墙脚C的距离为0.7⽶,如果梯⼦滑动后停在DE的位置,测得BD 长为0.8⽶,则梯⼦顶端A下滑了( )A.0.4⽶B.0.3⽶C.0.5⽶D.0.2⽶知识点2 最短距离的计算5.如图,⼀只蚂蚁沿着棱长为2的正⽅体表⾯从点A出发,经过3个⾯爬到点B,如果它运动的路径是最短的,则AC的长为 .6.将⼀根长为24 cm的筷⼦置于底⾯直径为15 cm,⾼为8 cm的圆柱形⽔杯中,如图所⽰,设筷⼦露在杯⼦外的长度为h cm,则h的取值范围是( )A.h≤17B.h≥8C.15≤h≤16D.7≤h≤167.如图,⼀圆柱形油罐的底⾯周长为12 m,⾼为5 m,要以点A为底端环绕油罐做⼀圈梯⼦,正好顶端在点A的正上⽅点B处,那么梯⼦最短需( )A.17 mB.7 mC.13 mD.12 m易错点求最短路径时对⽴体图形展开情况考虑不全⾯导致错解8.如图,正四棱柱的底⾯边长为5 cm,侧棱长为8 cm,⼀只蚂蚁欲从正四棱柱底⾯上的顶点A沿棱柱的表⾯爬到点C'处吃⾷物,那么它需要爬⾏的最短路程是多少?提升训练考查⾓度1 利⽤勾股定理借助⽔中物体变化情况求⽔深9.在波平如镜的湖⾯上,有⼀朵盛开的美丽的红莲,它⾼出⽔⾯3尺(如图).突然⼀阵⼤风吹过,红莲被吹⾄⼀边,花朵刚好齐及⽔⾯,如果知道红莲移动的⽔平距离为6尺,请问⽔深多少?考查⾓度2 利⽤勾股定理借助等距变化求树⾼(⽅程思想)10.如图,在⼀棵树的10 m⾼的B处有两只猴⼦,其中⼀只猴⼦爬下树,⾛到离树20 m处的池塘A处,另⼀只猴⼦爬到树顶D后直接跃向池塘A处(假设它经过的路线为直线),如果两只猴⼦所经过的路程相等,求这棵树的⾼.探究培优拔尖⾓度1 利⽤勾股定理解答实际⽣活中综合应⽤问题11.如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN=30°.点A处有⼀所中学,AP=160 m.假设⼀拖拉机在公路MN上沿PN⽅向⾏驶,周围100 m以内(包括100 m)会受到噪⾳的影响.(1)该学校是否会受到噪⾳的影响?请说明理由.(2)若受影响,已知拖拉机的速度为18 km/h,则学校受到影响的时间有多长?拔尖⾓度2 利⽤勾股定理解最短距离问题(对称法)12.如图,A,B两村在河边CD的同侧,两村到河边的距离分别为AC=1 km,BD=3 km,且CD=3 km.现要在河边CD上建⼀⽔⼚向A,B 两村输送⾃来⽔,铺设⽔管的⼯程费⽤为每千⽶2 000元.请你在CD上选择⽔⼚位置O,使铺设⽔管的费⽤最省,并求出此时铺设⽔管的总费⽤.参考答案1.【答案】D 解：由题意可得∠B=30°,AP=30海⾥,∠APB=90°,故AB=2AP=60海⾥,则此时轮船所在的位置B处与灯塔P之间的距离为BP==30海⾥.故选D.2.【答案】B 解：=10(⽶),∴⼩鸟⾄少飞⾏10⽶.3.【答案】C4.A 解：在Rt△ABC中,AC===2.4(⽶),在Rt△CDE中,CE====2(⽶),∴AE=AC-CE=2.4-2=0.4(⽶).5. 解：沿过点A的侧棱将正⽅体的侧⾯展开,如图.AB==2,∴AC=.6.【答案】D 解：设筷⼦在杯⼦中的最⼤长度为a cm,则由a2=152+82=289=172,得a=17,易知筷⼦在杯⼦中的最短长度为8 cm,则筷⼦露在杯⼦外⾯的长度h cm的范围为24-17≤h≤24-8,即7≤h≤16,故选D.7.【答案】C8.解:(1)沿棱A'B'将上底⾯A'B'C'D'和侧⾯A'ABB'展开,如图①,连接AC'.在Rt△ABC'中,AB=5,BC'=BB'+B'C'=8+5=13,由勾股定理,得AC'2=AB2+BC'2=52+132=194,∴AC'=.(2)沿侧棱BB'将侧⾯A'ABB'和侧⾯B'BCC'展开,如图②,连接AC'.在Rt△ACC'中,AC=AB+BC=5+5=10,CC'=8,由勾股定理,得AC'2=AC2+CC'2=102+82=164,∴AC'==2.∵>=2,∴蚂蚁需要爬⾏的最短路程是2 cm.解：在将空间图形中最短路程问题转化为平⾯图形来解决的同时,还必须全⽅位考虑各种可能情况,只有这样才能得到正确的答案.9.解:设⽔深h尺.如图,在Rt△ABC中,AB=h尺,AC=(h+3)尺,BC=6尺.由勾股定理得AC2=AB2+BC2,即(h+3)2=h2+62.解得h=4.5.所以⽔深4.5尺.10.解:设BD=x m,由题意知BC+AC=BD+AD,∴AD=(30-x)m,∴(10+x)2+202=(30-x)2,解得x=5,∴x+10=15,即这棵树⾼15 m.11.分析:如图,过点A作AB⊥PN于点B,根据垂线段最短可知若AB>100 m,则不受影响;若AB≤100m,则受影响.若受影响,则⾸先需要找出受影响时拖拉机⾏驶的路段,再构建直⾓三⾓形并利⽤勾股定理求出该路段的长,进⽽可求出受影响的时间.解:(1)如图,过点A作AB⊥PN,垂⾜为点B,则有∠ABP=90°. ∵AP=160 m,∠QPN=30°,∴AB=AP=×160=80(m).∵80 m<100 m,∴学校会受到噪⾳的影响.(2)如图,以A为圆⼼,100 m为半径作弧,交PN于点C,D(C,D分别在BP,BN上),连接AC,AD.即当拖拉机在公路MN上沿PN⽅向⾏驶到点C处时,学校开始受到噪⾳的影响,直到拖拉机⾏驶到点D以外时,学校才不受拖拉机噪⾳的影响.在Rt△ABC中,由勾股定理,得BC2=AC2-AB2=1002-802=3 600. ∴BC==60(m).同理BD=60 m.∴CD=BC+BD=60+60=120(m). ∴学校受噪⾳影响的时间为(120÷1 000)÷18=(h)=24(s).12.分析:铺设⽔管的费⽤与⽔管的长有关,所以本题的关键是使点O到点A,B的距离之和最⼩.此时可考虑作点A关于CD的对称点,根据“两点之间线段最短”先确定点O的位置,再利⽤勾股定理进⾏求解.解:如图所⽰,作点A关于CD的对称点A',连接A'B交CD于点O,则点O即为⽔⼚的位置.连接AO,过点A'作A'E⊥BD交BD的延长线于点E,则A'E=CD=3 km,DE=A'C=AC=1 km.∴BE=BD+DE=3+1=4(km). 在Rt△A'EB中,A'B===5(km). ∴OA+OB=OA'+OB=A'B=5 km.∴总费⽤为5×2 000=10 000(元).。
