2020-2021上海 上海市实验学校附属光明学校高一数学上期中试题(及答案)

2020-2021学年上海市某校高一（上）期中数学试卷一、填空题：（每小题3分，满分36分）1. 当a <b 时，化简√(a −b)2=________． 【答案】 b −a 【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值 【解析】根据a −b 的符号，去绝对值求出答案即可． 【解答】a <b 即a −b <0，故√(a −b)2=|a −b|＝b −a ，2. 已知全集U ＝{0, 1, 2, 3, 4}，集合A ＝{x|x 2−3x +2≤0, x ∈Z}，则A ¯=________． 【答案】 {0, 3, 4} 【考点】 补集及其运算 【解析】可求出集合A ，然后进行补集的运算即可． 【解答】∵ 全集U ＝{0, 1, 2, 3, 4}，A ＝{x|1≤x ≤2, x ∈Z}＝{1, 2}， ∴ A ¯={0,3,4}．3. 已知a >1，比较大小√a √a ________1log 312+2log 122．【答案】 >【考点】对数值大小的比较 【解析】根据a >1及指数函数的单调性可得出√a √a >1，根据对数的运算即可得出1log 312+2log 122=1，然后即可得出答案． 【解答】∵ a >1，∴ √a √a =a 34>a 0=1，1log 312+2log 122=log 33log 312+log 124=log 123+log 124＝1，∴ √a √a >1log 312+2log 122．4. 命题“设a ，b ∈R ，若a +b <4，则a <2或b ≤2”是________命题．（填“真”或“假”） 【答案】 真【考点】四种命题的真假关系 【解析】根据不等式的性质即可直接判断． 【解答】设a ，b ∈R ，若a +b <4，则a ，b 至少有一个小于等于2，故若a +b <4，则a <2或b ≤2是真命题，5. 已知x >0，y >0，且2x +5y =20，则lg x +lg y 的最大值为________． 【答案】 1【考点】 基本不等式 对数的运算性质【解析】利用基本不等式先求出xy 的范围，再根据对数的运算性质进行化简即可求得最大值，注意等号成立的条件． 【解答】解：∵ x >0，y >0，且2x +5y =20， ∴ 2x +5y =20≥2√10xy ，即xy ≤10， 当且仅当2x =5y ，即x =5，y =2时取等号． ∴ lg x +lg y =lg xy ≤lg 10=1，即最大值为1． 故答案为：1．6. 设不等式|x −a|<b 的解集为{x|−1<x <2}，当m >0时，用根式表示m ab ＝________． 【答案】√m 34【考点】绝对值不等式的解法与证明 【解析】先根据|x −a|<b 的解集为{x|−1<x <2}，求出a ，b 的值，再用根式表示m ab 即可． 【解答】由|x −a|<b ，得−b +a <x <a +b ， ∵ |x −a|<b 的解集为{x|−1<x <2}， ∴ −b +a ＝−1且a +b ＝2，∴ a =12，b =32， ∴ 当m >0时，m ab =√m 34．7. 已知关于x 的不等式kx 2−kx +1≥0的解集为R ，则实数k 的取值范围是________．【答案】 [0, 4] 【考点】一元二次不等式的应用 【解析】根据题意讨论k ＝0和k ≠0时，求出不等式解集为R 时实数k 的取值范围． 【解答】k ＝0时，不等式为1≥0，解集为R ，满足题意； k ≠0时，应满足{k >0△=(−k)2−4k ×1≤0 ，解得0<k ≤4；综上知，实数k 的取值范围是[0, 4]．8. 测量地震级别的里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A −lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，常数A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，而此次地震的里氏震级恰好为6级，那么里氏9级地震的最大的振幅是里氏5级地震最大振幅的________倍．【答案】 10000 【考点】对数的运算性质 【解析】根据题意中的假设，可得M ＝lg A −lg A 0＝lg 1000−lg A 0＝6；设9级地震的最大的振幅是x ，5级地震最大振幅是y ，9＝lg x +3，5＝lg y +3，由此知9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的10000倍． 【解答】根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此次地震的里氏震级恰好为6级，则M ＝lg A −lg A 0＝lg 1000−lg A 0＝3−lg A 0＝6，解得：lg A 0＝−3， 设9级地震的最大的振幅是x ，5级地震最大振幅是y ， 9＝lg x +3，5＝lg y +3，解得x ＝106，y ＝102， ∴ xy =106102=10000．9. 若关于x 的不等式组{(2x −3)(x +1)≤0x >a 没有整数解，则实数a 的取值范围是________．【答案】 a ≥1 【考点】其他不等式的解法 【解析】先求出不等式(2x −3)(x +1)≤0的解集，然后确定不等式组的解集，进而确可求a 的范围． 【解答】由(2x −3)(x +1)≤0可得−1≤x ≤32，其中有整数−1，0，1，因为不等式组{(2x −3)(x +1)≤0x >a 没有整数解，故不等式组的解集a <x ≤32且其范围内没有整数，故a ≥1．10. 已知M =m 2+1m−1，其中m >1，则M 的最小值为________．【答案】2√2+2 【考点】基本不等式及其应用 【解析】 M =m 2+1m−1=(m −1)+2m−1+2，根据基本不等式即可求出．【解答】 ∵ m >1 ∴ M =m 2+1m−1=(m−1)2+2(m−1)+2m−1=(m −1)+2m−1+2≥2√2+2，当且仅当m −1=2m−1时，即m ＝1+√2时取等号， 故M 的最小值为2√2+2，11. 定义：对于非空集合A ，若元素x ∈A ，则必有(m −x)∈A ，则称集合A 为“m 和集合”．已知集合B ＝{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，则集合B 所有子集中，是“8和集合”的集合有________个．【答案】 15【考点】元素与集合关系的判断 【解析】考察子集的概念以及对数学新概念的理解，由x ∈A 及(m −x)∈A 可以得到两个数之和为m 的元素必须同时出现在集合A 中． 【解答】①含有1个元素的“8和集合”：{4}；②含有2个元素的“8和集合”：{1, 7}，{2, 6}，{3, 5}；③含有3个元素的“8和集合”：{1, 4, 7}，{2, 4, 6}，{3, 4, 5}；④含有4个元素的“8和集合”：{1, 7, 2, 6}，{1, 7, 3, 5}，{2, 6, 3, 5}；⑤含有5个元素的“8和集合”：{1, 7, 2, 6, 4}，{1, 7, 3, 5, 4}，{2, 6, 3, 5, 4}； ⑥含有6个元素的“8和集合”：{1, 7, 2, 6, 3, 5}； ⑦含有7个元素的“8和集合”：{1, 7, 2, 6, 3, 5, 4}．12. 研究问题：“已知关于x 的不等式ax 2−bx +c >0的解集为(1, 2)，则关于x 的不等式cx2−bx+a>0有如下解法：由ax2−bx+c>0⇒a−b(1x )+c(1x)2>0，令y=1x，则y∈(12,1)，所以不等式cx2−bx+a>0的解集为(12,1)．参考上述解法，已知关于x的不等式kx+a +x+bx+c<0的解集为(−2, −1)∪(2, 3)，则关于x的不等式kxax−1+bx−1cx−1<0的解集________(−12,−13)∪(12,1)．【答案】(−12,−13)∪(12,1)【考点】类比推理【解析】先明白题目所给解答的方法：ax2−bx+c>0化为a−b(1x )+c(1x)2>0，类推为cx2−bx+a>0，解答不等式；然后依照所给定义解答题目即可．【解答】关于x的不等式ka+x +b+xc+x<0的解集为(−2, −1)∪(2, 3)，用−1x 替换x，不等式可以化为：k(−1x)+a+(−1x)+b(−1x)+c=kxax−1+bx−1cx−1<0可得−1x∈(−2,−1)∪(2,3)可得12<x<1−12<x<−13二、选择题：（每小题4分，满分16分）如果a<b<0，那么下列不等式中正确的是（）A.ab <1 B.a2>ab C.1b2<1a2D.−1a<1b【答案】B【考点】不等式的概念不等式的基本性质【解析】由不等式的性质逐一判断即可．【解答】若a<b<0，则ab>1，故A错误；若a<b<0，则a2>ab，故B正确；若a<b<0，则a+b<0，a−b<0，所以1b2−1a2=a2−b2a2b2=(a+b)(a−b)a2b2>0，即1b2>1a2，故C错误；若a<b<0，则−1a >0>1b，故D错误．下列表示图中的阴影部分的是（）A.(A∪C)∩(B∪C)B.(A∪B)∩(A∪C)C.(A∪B)∩(B∪C)D.(A∪B)∩C【答案】A【考点】Venn图表达集合的关系及运算【解析】由韦恩图分析阴影部分表示的集合，关键是要分析阴影部分的性质，先用自然语言将其描述出来，再根据集合运算的定义，将共转化为集合语言，再去利用集合运算的方法，对其进行变形和化简．【解答】图中阴影部分表示元素满足：是C中的元素，或者是A与B的公共元素故可以表示为C∪(A∩B)也可以表示为：(A∪C)∩(B∪C)已知a，s，t都是正实数，且a≠1，下列运算一定正确的是（）A.a s+a t＝a s+tB.a s a t＝a s+tC.log a s+log a t＝log a(s+t)D.log a s⋅log a t＝log a(st)【答案】B【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值对数的运算性质【解析】根据指数幂的运算性质以及对数的运算性质判断即可．【解答】根据指数幂的运算性质得：A错误，B正确；根据对数的运算性质得：C，D错误；已知a1，a2，b1，b2，c1，c2均为非零实数，则“a1a2=b1b2=c1c2”是“关于x的方程a1x2+b1x+c1＝0与a2x2+b2x+c2＝0解集相同”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】 A【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】根据方程的性质，我们可以判断“a 1a 2=b 1b 2=c1c 2”⇒“关于x 的方程a 1x 2+b 1x +c 1=0与a 2x 2+b 2x +c 2=0解集相同”；根据方程的解集可能为空集，可判断“M ＝N ”⇒“a 1a 2=b 1b 2=c1c 2”的真假，进而得到答案．【解答】∵ “a 1a 2=b 1b 2=c 1c 2”时，对应项系数成比例，对应方程的解集相同，即“a 1a 2=b 1b 2=c1c 2”是“M＝N ”的充分条件但当“M ＝N ＝⌀”时，不等式a 1x 2+b 1x +c 1＝0和a 2x 2+b 2x +c 2＝0可能是不同的方程，则“a 1a 2=b 1b 2=c1c 2”不一定成立即“a 1a 2=b 1b 2=c1c 2”是“M ＝N ”的不必要条件，故“a 1a 2=b 1b 2=c1c 2”是“M ＝N ”的充分不必要条件．三、解答题（共5大题，满分48分）解不等式组{|4x +1|>21x≥3 ．【答案】 由题意可得，{4x +1>21−3xx ≥0 或−4x +1<−2，即{x >14x <−340<x ≤13 ，解得，14<x ≤13． 故不等式的解集(14,13]．【考点】其他不等式的解法 【解析】由已知结合绝对值不等式及分式不等式分别求解即可． 【解答】由题意可得，{4x +1>21−3x x ≥0 或−4x +1<−2，即{x >14x <−340<x ≤13，解得，14<x≤13．故不等式的解集(14,13 ]．艺术中心要用木料制作如图所示的框架，框架下部是边长分别为x，y（单位：米）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8平方米，问：总用料最省时，用料为多少米？此时x，y分别为多少米？（最后结果精确到0.01）【答案】故当x为2.343m，y为2.828m时，用料最省．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】根据三角形和矩形面积公式得出x和y的关系式，确保有意义求出x的范围得到定义域；根据解析式进而表示出框架用料长度为根据均值不等式求得l的最小值，求得此时的x和y．【解答】由题意得：x⋅y+12x⋅12x=8(x>0, y>0)，∴y=8x −x4，∵y>0，即8x −x4>0，∴0<x<4√2，设框架用料长度为l，则l＝2x+2y+√2x=( 32+√2)x+16x≥2√16(32+√2)=4√6+4√2，当且仅当(32+√2)x=16x，即x＝8−4√2时，取等号，已知p：关于x的一元二次方程x2−2√3x+|m−2|＝0有两个不相等的实数根．q：关于x的一元二次方程x2−mx+|a+1|+|a−3|＝0对于任意实数a都没有实数根．（1）若p成立，求实数m的取值范围；（2）若p和q中有且只有一个成立，求实数m的取值范围．【答案】若命题p成立，即关于x的一元二次方程x2−2√3x+|m−2|＝0有两个不相等的实数根，故△＝12−4|m−2|>0，求得−1<m<5．由q：关于x的一元二次方程x2−mx+|a+1|+|a−3|＝0对于任意实数a都没有实数根，恒成立，可得△′＝m2−4(|a+1|+|a−3|)<0，即|a+1|+|a−3|>m24∴4>m2恒成立，−4<m<4．4若p成立而q不成立，则4≤m<5，若q成立而p不成立，则−4<m≤−1．综上，当p和q中有且只有一个成立时，则4≤m<5，或−4<m≤−1．【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系【解析】（1）由题意利用判别式大于零，求得m的范围．（2）求出命题q正确时，m的范围，再分别求得p成立而q不成立、q成立而p不成立时，m的范围，综合可得结论．【解答】若命题p成立，即关于x的一元二次方程x2−2√3x+|m−2|＝0有两个不相等的实数根，故△＝12−4|m−2|>0，求得−1<m<5．由q：关于x的一元二次方程x2−mx+|a+1|+|a−3|＝0对于任意实数a都没有实数根，恒成立，可得△′＝m2−4(|a+1|+|a−3|)<0，即|a+1|+|a−3|>m24∴4>m2恒成立，−4<m<4．4若p成立而q不成立，则4≤m<5，若q成立而p不成立，则−4<m≤−1．综上，当p和q中有且只有一个成立时，则4≤m<5，或−4<m≤−1．已知有限集A＝(a1, a2,……,a n)(n≥2, n∈N)，如果中A元素a i(i＝1, 2,…,n)满足a1+a2+...+a n＝a1×a2×……×a n，就称A为“完美集”．（1）如果方程：x2−bx+5＝0的解集是一个“完美集”，求log√5b的值．（2）利用反证法证明：若a1，a2是两个不同的正数，且{a1, a2}是“完美集”，则a1，a2至少有一个大于2．【答案】设x1，x2为方程x2−bx+5＝0的两根，∵x2−bx+5＝0的解集是一个“完美集”，∴x1+x2＝b，x1x2＝5且x1+x2＝x1x2，∴b＝5，∴logb=2．√5证明：假设0<a1≤2且0<a2≤2，由a1，a2是两个不同的正数，且{a1, a2}是“完美集”，)2，∴a1+a2>4或a1+a2<0，可知a1+a2=a1a2<(a1+a22∴由0<a1≤2且0<a2≤2，可得a1+a2≤4与a1+a2>4或a1+a2<0矛盾，因此假设不成立，原命题成立．【考点】反证法与放缩法【解析】（1）设x1，x2为方程x2−bx+5＝0的两根，然后根据条件得到x1+x2＝b，x1x2＝5且x1+x2＝x1x2，再求出b即可得到log√5b的值；（2）假设0<a1≤2且0<a2≤2，然后根据条件得到a1+a2>4或a1+a2<0，得到矛盾结论，从而证明原命题成立．【解答】设x1，x2为方程x2−bx+5＝0的两根，∵x2−bx+5＝0的解集是一个“完美集”，∴x1+x2＝b，x1x2＝5且x1+x2＝x1x2，∴b＝5，∴logb=2．√5证明：假设0<a1≤2且0<a2≤2，由a1，a2是两个不同的正数，且{a1, a2}是“完美集”，)2，∴a1+a2>4或a1+a2<0，可知a1+a2=a1a2<(a1+a22∴由0<a1≤2且0<a2≤2，可得a1+a2≤4与a1+a2>4或a1+a2<0矛盾，因此假设不成立，原命题成立．已知一元二次函数f(x)＝ax2+bx+c(a>0, c>0)的图象与x轴有两个不同的公共点，其中一个公共点的坐标为(c, 0)，且当0<x<c时，恒有f(x)>0．时，求出不等式f(x)<0的解；（1）当a＝1，c=12（2）求出不等式f(x)<0的解（用a，c表示）；（3）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求a的取值范围；（4）若不等式m2−2km+1+b+ac≥0对所有k∈[−1, 1]恒成立，求实数m的取值范围．试卷第11页，总12页【答案】当a ＝1，c =12时，f(x)=x 2+bx +12，f(x)的图象与x 轴有两个不同交点，∵ f(12)=0，设另一个根为x 2，则12x 2=12，∴ x 2＝1，则 f(x)<0的解集为 (12,1)． f(x)的图象与x 轴有两个交点， ∵ f(c)＝0，设另一个根为x 2，则cx 2=c a∴ x 2=1a，又当0<x <c 时，恒有f(x)>0，则1a>c ， ∴ f(x)<0的解集为(c,1a )⋯由（2）的f(x)的图象与坐标轴的交点分别为(c,0),(1a ,0),(0,c) 这三交点为顶点的三角形的面积为S =12(1a −c)c =8， ∴ a =c16+c 2≤2√16c=18故a ∈(0,18]． ∵ f(c)＝0，∴ ac 2+bc +c ＝0，又∵ c >0，∴ ac +b +1＝0，要使m 2−2km ≥0，对所有k ∈[−1, 1]恒成立，则 当m >0时，m ≥(2k)max ＝2 当m <0时，m ≤(2k)min ＝−2当m ＝0时，02≥2k ⋅0，对所有k ∈[−1, 1]恒成立 从而实数m 的取值范围为 m ≤−2或m ＝0或m ≥2． 【考点】二次函数的图象 二次函数的性质 【解析】（1）当a ＝1，c =12时，f(x)=x 2+bx +12，f(x)的图象与x 轴有两个不同交点，由此能求出 f(x)<0的解集．（2）f(x)的图象与x 轴有两个交点，由f(c)＝0，设另一个根为x 2，由此能求出f(x)<0的解集．（3）由（2）的f(x)的图象与坐标轴的交点分别为(c,0),(1a ,0),(0,c)，这三交点为顶点的三角形的面积为S =12(1a −c)c =8，由此能求出a 的取值范围．（4）由f(c)＝0，知ac 2+bc +c ＝0，由c >0，知ac +b +1＝0，由此能求出实数m 的取值范围． 【解答】当a ＝1，c =12时，f(x)=x 2+bx +12，试卷第12页，总12页f(x)的图象与x 轴有两个不同交点，∵ f(12)=0，设另一个根为x 2，则12x 2=12，∴ x 2＝1，则 f(x)<0的解集为 (12,1)． f(x)的图象与x 轴有两个交点， ∵ f(c)＝0，设另一个根为x 2，则cx 2=c a∴ x 2=1a，又当0<x <c 时，恒有f(x)>0，则1a >c ， ∴ f(x)<0的解集为(c,1a )⋯由（2）的f(x)的图象与坐标轴的交点分别为(c,0),(1a,0),(0,c)这三交点为顶点的三角形的面积为S =12(1a −c)c =8， ∴ a =c 16+c≤2√16c=18故a ∈(0,18]．∵ f(c)＝0，∴ ac 2+bc +c ＝0， 又∵ c >0，∴ ac +b +1＝0，要使m 2−2km ≥0，对所有k ∈[−1, 1]恒成立，则 当m >0时，m ≥(2k)max ＝2 当m <0时，m ≤(2k)min ＝−2当m ＝0时，02≥2k ⋅0，对所有k ∈[−1, 1]恒成立 从而实数m 的取值范围为 m ≤−2或m ＝0或m ≥2．。

上海市2021-2021高一数学上学期期中试题（含解析）一. 填空题1.已知全集{}5,6,7,8,9U =，{}6,7,8A =，那么UA________.【答案】{}5,9 【解析】 【分析】根据补集的定义可得出集合UA .【详解】全集{}5,6,7,8,9U =，{}6,7,8A =，由补集的定义可得5,9UA .故答案为：{}5,9.【点睛】本题考查补集的计算，考查对补集定义的理解，属于基础题. 2.不等式2101x x +<-的解集是________. 【答案】112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】将分式不等式等价变形为()()2110x x +-<，解此不等式即可. 【详解】不等式2101x x +<-等价于()()2110x x +-<，解得112x -<<， 因此，不等式2101x x +<-的解集是112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.故答案为：112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题. 3.命题“若0xy ≠，则0x ≠且0y ≠”的逆否命题是________ 【答案】若0x =或0y =，则0xy =. 【解析】 【分析】根据原命题与逆否命题之间的关系可得出答案.【详解】由题意可知，命题“若0xy ≠，则0x ≠且0y ≠”的逆否命题是“若0x =或0y =，则0xy =”.故答案为：若0x =或0y =，则0xy =.【点睛】本题考查逆否命题的改写，解题时要充分了解原命题与逆否命题之间的关系，属于基础题.4.已知函数()222019,0,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则()2f =________.【答案】4- 【解析】 【分析】根据分段函数()y f x =的解析式可计算出()2f 的值.【详解】()222019,0,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，()2224f ∴=-=-.故答案为：4-.【点睛】本题考查分段函数值的计算，解题时要根据自变量所满足的定义域选择合适的解析式来进行计算，考查计算能力，属于基础题.5.若“x a >”是“5x >”的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是________. 【答案】()5,+∞ 【解析】 【分析】根据充分非必要条件关系得出()(),5,a +∞+∞，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】“x a >”是“5x >”的充分非必要条件，()(),5,a ∴+∞+∞，则5a >.因此，实数a 的取值范围是()5,+∞. 故答案为：()5,+∞.【点睛】本题考查利用充分不必要条件求参数，一般转化为集合包含关系来求解，考查化归与转化思想的应用，属于基础题.6.若x 、y +∈R ，且4xy =，则4x y +的最小值是________.【答案】8 【解析】 【分析】直接利用基本不等式可求出4x y +的最小值.【详解】由基本不等式可得48x y +≥==，当且仅当4y x =时，等号成立. 因此，4x y +的最小值为8. 故答案为：8.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值时，也要注意“一正、二定、三相等”条件的成立，考查计算能力，属于基础题.7.函数y =的定义域是________.【答案】()2,+∞ 【解析】 【分析】根据偶次根式被开方数非负、分式中分母不为零，列出关于x 的不等式组，解出即可得出函数的定义域.【详解】由题意可得2102520x x x -≥⎧⎨-+>⎩，解得2x >.因此，函数y =的定义域是()2,+∞.故答案为：()2,+∞.【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，解题时要根据函数解析式有意义列不等式组进行求解，考查计算能力，属于基础题.8.设函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()3f x >的解集是________.【答案】()()3,13,-+∞【解析】 【分析】分0x ≥与0x <两种情况解不等式()3f x >，得出不等式的解集与定义域取交集，然后将两段解集取并集可得出()3f x >的解集.【详解】当0x ≥时，由()3f x >，得2463x x -+>，即2430x x -+>，解得1x <或3x >， 此时，01x ≤<或3x >；当0x <时，由()3f x >，得63x +>，解得3x >-，此时，30x -<<. 综上所述，不等式()3f x >的解集是()()3,13,-+∞.故答案为：()()3,13,-+∞.【点睛】本题考查分段不等式的求解，解题时要注意对自变量的取值范围进行分类讨论，在得出不等式的解集后要注意与定义域取交集，考查运算求解能力，属于中等题.9.若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是______.【答案】1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】由题意知，对任意的x ∈R ，不等式()221940mx m x m ++++≥恒成立，然后分0m =和m >⎧⎨∆≤⎩两种情况分析，由此可得出实数m 的取值范围. 【详解】由题意可知，对任意的x ∈R ，不等式()221940mx m x m ++++≥恒成立.①当0m =时，则有240x +≥，该不等式在R 上不恒成立；②当0m >时，由于不等式()221940mx m x m ++++≥在R 上恒成立，则()()()224149448210m m m m m ∆=+-+=⨯--+≤，即28210m m +-≥，解得12m ≤-或14m ≥，此时，14m ≥.因此，实数m 的取值范围是1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查利用函数的定义域求参数，解题的关键就是将问题转化二次不等式在R 上恒成立问题，利用首项系数和判别式的符号来进行求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.10.若(){}2210,A x x m x x R =+++=∈，且A+=∅R ，则m 的取值范围是________.【答案】()4,-+∞ 【解析】 【分析】由0A ∉，结合题意得出关于x 的方程()2210x m x +++=有负根或无实根，分二次方程有两个相等的负根、两根一正一负、两个负根以及无实根进行分类讨论，可求出实数m 的取值范围.【详解】由于0A ∉，且A+=∅R ，则关于x 的方程()2210x m x +++=有负根或无实根. ①若方程有两个相等的负根时，则()2240202m m ⎧∆=+-=⎪⎨+-<⎪⎩，解得0m =；②若方程的两根1x 、2x 一正一负，则120x x <，事实上1210x x =>，不合乎题意；③若方程的两根1x 、2x 不等，且两根均为负数，则()()212122402010m x x m x x ⎧∆=+->⎪+=-+<⎨⎪=>⎩，解得0m >；④若方程无实根，则()222440m m m ∆=+-=+<，解得40m -<<. 综上所述，实数m 的取值范围是()4,-+∞. 故答案为：()4,-+∞.【点睛】本题考查二次函数根的分布问题，解题时要结合判别式、两根之和与差的符号来进行分析，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.11.关于x 的不等式2315x x a a +--≤-的解集不是∅，则实数a 的取值范围为______. 【答案】(][),14,-∞+∞【解析】 【分析】由题意知，存在x ∈R ，使得2315x x a a +--≤-，然后利用绝对值三角不等式求出31x x +--的最小值4-，将问题转化为解不等式254a a -≥-，解出即可.【详解】由题意知，存在x ∈R ，使得2315x x a a +--≤-，则()2min 531a a x x -≥+--.由绝对值三角不等式得()()31314x x x x +--≤+--=，4314x x ∴-≤+--≤，()2min 5314a a x x ∴-≥+--=-，即2540a a -+≥，解得1a ≤或4a ≥.因此，实数a 的取值范围是(][),14,-∞+∞.故答案为：(][),14,-∞+∞.【点睛】本题考查绝对值不等式成立问题，一般转化为绝对值不等式的最值问题，可利用绝对值三角不等式来得到，考查化归与转化思想的应用，属于中等题. 12.已知x、y +∈R ，21x y +=，可以利用不等式1ax x+≥42ay y +≥()0a >求得14x y+的最小值，则其中正数a 的值是________.【答案】9+【解析】 【分析】利用两个基本不等式等号成立的条件得出x 、y 的表达式，代入21x y +=可求出实数a 的值.详解】由基本不等式得1ax x +≥()10,0ax x a x=>>时，即当x =等号成立.由基本不等式得4242ay a y +≥，当且仅当()420,0ay y a y=>>时，即当2y a=时，等号成立. 此时，2212221x y a a a++=+==，则122a =+， 所以，()2122942a =+=+.故答案为：942+.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值时等号成立的条件，求出对应的变量后，还应将变量代入定值条件求出参数，考查运算求解能力，属于中等题. 二. 选择题13.对于集合M 、N ，若M N ，则下面集合的运算结果一定是空集的是（ ）A. UMNB.UM NC.UUMN D. M N ⋂【答案】A 【解析】 【分析】作出韦恩图，利用韦恩图来判断出各选项集合运算的结果是否为空集. 【详解】作出韦恩图如下图所示：如上图所示，UM N =∅，UMN ≠∅，U UMN ≠∅，M N M =≠∅.故选：A.【点睛】本题考查集合的运算，在解题时可以充分利用韦恩图法来表示，考查数形结合思想的应用，属于基础题.14.如果a 、b 、c 满足c b a <<，且0ac <，那么下列选项不恒成立的是（ ） A. ab ac > B. 22cb ab < C. ()0c b a -> D. ()0ac a c -<【答案】B 【解析】试题分析：依题意可得，．不等式两边同乘以一个正数不等号方向不变，所以选项A 正确；,,所以()0c b a ->，故选项C 正确；,所以()0ac a c -<，故选项D 正确；当时，选项B 错误．故选B ．考点：证明简单的不等式（或比大小）．15.若集合{}2540A x x x =-+<，{}1B x x a =-<，则“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】解出集合A 、B ，由B A ⊆得出关于a 的不等式组，求出实数a 的取值范围，由此可判断出“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的充分非必要条件.【详解】解不等式2540x x -+<，解得14x <<，{}14A x x ∴=<<.解不等式1x a -<，即11x a -<-<，解得11a x a -<<+，{}11B x a x a ∴=-<<+.B A ⊆，则有1114a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得23a ≤≤.因此，“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的充分非必要条件. 故选：A【点睛】本题考查充分非必要条件的判断，一般将问题转化为集合的包含关系来判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.16.已知A 与B 是集合{}1,2,3,,100的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且A B为空集，若n A ∈时总有22n B +∈，则集合A B 的元素个数最多为（ ）A. 62B. 66C. 68D. 74【答案】B 【解析】 【分析】令22100n +≤，解得49n ≤，从A 中去掉形如22n +的数，此时A 中有26个元素，注意A中还可含以下7个特殊元素：10、14、18、26、32、42、46，故A 中元素最多时，A 中共有33个元素，由此可得出结论.【详解】令22100n +≤，解得49n ≤，所以，集合A 是集合{}1,2,3,,49的一个非空子集.再由AB =∅，先从A 中去掉形如()22n n N *+∈的数，由2249n +≤，可得23n ≤，492326-=，此时，A 中有26个元素.由于集合A 中已经去掉了4、6、8、12、16、20、22这7个数，而它们对应的形如22n +的数分别为10、14、18、26、32、42、46，并且10、14、18、26、32、42、46对应的形如22n +的数都在集合B 中.故集合A 中还可有以下7个特殊元素：10、14、18、26、32、42、46，故集合A 中元素最多时，集合A 中共有33个元素，对应的集合B 也有33个元素， 因此，A B 中共有66个元素.故选：B.【点睛】本题考查集合中参数的取值问题，同时也考查了集合中元素的个数问题，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 三. 解答题17.解不等式组()()31150x x x ⎧->⎪⎨--≥⎪⎩.【答案】[)(]1,24,5【解析】 【分析】分别解出两个不等式，然后将两个不等式解集取交集即可得出不等式组的解集.【详解】解不等式31x ->，即31x -<-或31x ->，解得2x <或4x >. 解不等式()()150x x --≥，即()()150x x --≤，解得15x ≤≤.因此，不等式组()()31150x x x ⎧->⎪⎨--≥⎪⎩的解集为[)(]1,24,5.【点睛】本题考查不等式组的解法，涉及绝对值不等式和一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.18.已知：a 、b 是正实数，求证：22a ba b b a++≥.【答案】见解析. 【解析】 【分析】由基本不等式得出22a b a b+≥，22b a b a +≥，然后利用同向不等式的可加性可得出证明.【详解】由基本不等式得出2222a a b b a b b +≥⋅=，2222b b a a b a a+≥⋅=，上述两个不等式当且仅当a b =时，等号成立，由同向不等式的可加性得2222a b a b a b b a +++≥+，即22a b a b b a++≥.【点睛】本题考查不等式的证明，考查基本不等式的应用，考查推理论证能力，属于中等题.19.若()f x x x =+，()()02x x g x x--=，()()()F x f x g x =+.（1）分别求()f x 与()g x 的定义域；（2）求()F x 的定义域与值域；（3）在平面直角坐标系内画出函数()F x 的图象，并标出特殊点的坐标. 【答案】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()g x 的定义域为()()0,22,+∞；（2）()F x 的定义域是()()0,22,+∞，()F x 的值域是[)2,+∞；（3）图象见解析. 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式有意义列不等式组，由此可得出函数()y f x =和()y g x =的定义域； （2）将函数()y f x =和()y g x =的定义域取交集可得出函数()y F x =的定义域，并求出函数()y F x =的解析式，利用基本不等式可得出函数()y F x =的值域； （3）根据双勾函数的图象可得出函数()y F x =在其定义域上的图象. 【详解】（1）对于函数()f x x =+0x >，则函数()f x x =+的定义域为()0,∞+.对于函数()()02x g x x -=，有20x x x -≠⎧⎪≥⎨⎪≠⎩，解得0x >且2x ≠， 所以，函数()()02x g x x-=的定义域为()()0,22,+∞；（2）()()()1F x f x g x x x x=+==+，定义域为()()0,22,+∞.由基本不等式可得()12F x x x =+≥=，当且仅当1x =时，等号成立. 因此，函数()y F x =的值域为[)2,+∞； （3）函数()1F x x x=+，()()0,22,x ∈+∞为双勾函数图象的一部分，如下图所示：【点睛】本题考查函数的定义域与值域的求解，同时也涉及到了函数图象的画法，解题时要熟悉几种常见的函数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20.设集合{}210A x x =-=，集合{}20,B x x ax b x R =-+=∈，且B ≠∅. （1）若B A ⊆，求实数a 、b 的值； （2）若A C ⊆，且{}21,21,C m m=-+，求实数m 的值.【答案】（1）2a =，1b =或2a =-，1b =或0a =，1b =-；（2）0m =或1m =. 【解析】 【分析】（1）解出集合{}1,1A =-，分集合{}1B =-、{}1、{}1,1-三种情况讨论，结合韦达定理可得出实数a 、b 的值；（2）由A C ⊆可得出211m +=或21m =，并利用集合C 中的元素满足互异性得出实数m 的值. 【详解】（1）{}{}2101,1A x x =-==-，B A ⊆，且B ≠∅，分以下三种情况讨论：①当{}1B =-时，由韦达定理得()212211a b =-⨯=-⎧⎪⎨=-=⎪⎩； ②当{}1B =时，由韦达定理得212211a b =⨯=⎧⎨==⎩； ③当{}1,1B =-时，由韦达定理得()()110111a b ⎧=+-=⎪⎨=⨯-=-⎪⎩.综上所述，2a =，1b =或2a =-，1b =或0a =，1b =-； （2）A C ⊆，且{}21,21,C m m =-+，211m ∴+=或21m =，解得0m =或1m =±.当0m =时，{}1,1,0C =-，集合C 中的元素满足互异性，合乎题意； 当1m =-时，211m +=-，集合C 中的元素不满足互异性，舍去； 当1m =时，{}1,3,1C =-，集合C 中的元素满足互异性，合乎题意. 综上所述，0m =或1m =.【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，同时也考查了一元二次方程根与系数的关系，解题时要注意有限集中的元素要满足互异性，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 21.按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为m m a +，如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为nn a+，如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为1h 和2h ，则他对这两种交易的综合满意现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元（根据经济学常识，212A m ≤≤，520B m ≤≤），甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙.（1）求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式，当35A B m m =时，求证：h h =甲乙； （2）设35A B m m =，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？（3）记（2）中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立？试说明理由.【答案】（1）见解析；（2）当6A m =，10B m =时，甲、乙两人的综合满意度均最大，最大值为23；（3）不存在满足条件的A m 、B m 的值. 【解析】 【分析】（1）表示出甲和乙的满意度，整理出最简形式，在条件35A B m m =时，表示出要证明的相等的两个式子相等；（2）在上一问表示的结果中，整理出关于变量的符合基本不等式的形式，利用基本不等式求出两个人满意度最大时的结果，并且写出等号成立的条件； （3）先写出结论：不能由（2）知023h =，因为49h h ≤甲乙，不能取到A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立. 【详解】（1）甲：买进A 的满意度11212A A h m =+，卖出B 的满意度为15B B B m h m =+.所以，甲买进A 和卖出B的综合满意度为h ===甲乙：卖出A 的满意度为23A A A m h m =+，买进B 的满意度为22020B B h m =+.所以，乙卖出A 和买进B的综合满意度为h ===乙当35A B m m =时，h ==甲.h ==乙h h =甲乙；（2）设()0B m x x =>，当35A B m m =时，h h ====≤甲乙23==，当且仅当100x x =时，即当10x =时，等号成立，即31065A m =⨯=，10B m =时，甲、乙两人的综合满意度最大，最大综合满意度为23； （3）不能由（2）知023h =，因为49h h ⋅≤甲乙， 因此，不能取到A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，因为等号不同时取到. 【点睛】本题考查函数模型的选择和应用，解题的关键就是理解题意，在求最值时应该根据代数式的机构合理选择，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.。

2020-2021学年上海市实验学校高一上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1.下列说法中，错误的是()A. 命题“若x2−3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2−3x+2≠0”B. 对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1<0，则￢p为：∀x∈R，均有x2+x+1≥0C. 若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D. “x>2”是“x2−3x+2>0”的充分不必要条件2.给出下列四个命题：①命题p：∀x∈R，sinx≤1，则¬p：∃x∈R，sinx<1．②当a≥1时，不等式|x−4|+|x−3|<a的解集为非空．③当x>1时，有lnx+1lnx≥2．④设复数z满足(1−i)z=2i，则z=1−i．其中真命题的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 33.已知集合A={1,3，5，7，9}，B={0,3，6，9，12}，则A∩(∁N B)=()A. {1,5，7}B. {3,5，7}C. {1,3，9}D. {0,6，9}4.若关于x的不等式2−>|x−a|至少有一个负数解，则a的取值范围为()A. B. C. D.二、单空题（本大题共10小题，共30.0分）5.已知定义在实数集R上的函数满足，且的导数在R上恒有，则不等式的解集为_______________6.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a,b，c∈(0,1))已知他投篮一次得分的期望为2，则2a +13b的最小值为______．7. 若方程表示双曲线，则 的取值范围是________． 8.设a =(12) 34，b =(15) 34，c =(12) 12，则a ，b ，c 的大小关系为______． 9. 不等式|x −3|<2的解集为______．10. 已知函数f(x)={lnx,(x >0)2x +1,(x ≤0)，g(x)=ax ，若两函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的公共点A(m,f(m))、B(n,f(n))、C(t,f(t))，m <n <t ，则1m +n +2的范围为______．11. 0≤α≤π，不等式8x −(8iα)x +cs2α≥对∈R 成立，则α的取范围为______ ．12. 不等式x 9−x <0的解集为______.(用区间表示)13. 已知集合A ={y|y =x 2−2x,x ∈R}，B ={y|=−x 2+2x +6,x ∈R}，则A ∩B = ______ ．14. (理)函数f(x)=min{2√x,|x −2|}，其中min{a,b}={a,a ≤b b,a >b，若动直线y =m 与函数y =f(x)的图象有三个不同的交点，它们的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，则x 1⋅x 2⋅x 3是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在”______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15. 已知0< x <，化简：lg(cos x ·tan x +1−2sin 2)+lg[cos(x −)]−lg(1+sin2 x ).16. 设n ∈N ∗，x n 是曲线y =x 2n+2+1在点(1,2)处的切线与x 轴交点的横坐标(1)求数列{x n }的通项公式；(2)记T n =x 12x 32…x 2n−12，证明：T n ≥14n ．17. 政府为了稳定房价，决定建造批保障房供给社会，计划用1600万的价格购得一块建房用地，在该土地上建10幢楼房供使用，每幢楼的楼层数相同且每层建10套每套100平方米，经测算第x 层每平方米的建筑造价y(元)与x 满足关系式y =kx +800(其中k 为整数且被10整除)，根据某工程师的个人测算可知，该小区只有每幢建8层时每平方米平均综合费用才达到最低，其中每平方米平均综合费用=购地费用+所有建筑费用总的建筑面积． (1)求k 的值；(2)为使该小区平均每平方米的平均综合费用控制在1400元以内，每幢至少建几层⋅至多造几层⋅18. 18.已知函数的定义域都是集合，函数和的值域分别为和，(1)若，求；(2)若且，求实数的值；(3)若对于集合的任意一个数的值都有，求集合．19. 已知函数f(x)=|x−2|+|x−a|．(1)当a=2时，求不等式f(x)≥4的解集；(2)不等式f(x)<4的解集中的整数有且仅有1，2，3，求实数a的取值范围．20. 已知集合A=｛2，−1，x2−x+1｝，B=｛2y，−4，x+4｝，C=｛−1，7｝，且A∩B=C，求实数x，y的值．【答案与解析】1.答案：C解析：解：A.命题“若x2−3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2−3x+2≠0”，正确．B.命题p：∃x∈R，使得x2+x+1<0，的否定￢p为：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，正确．C.若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，错误．D.由x2−3x+2>0得x>2或x<1，即“x>2”是“x2−3x+2>0”的充分不必要条件，正确，故错误的是C，故选：CA.根据逆否命题的定义进行判断．B.根据含有量词的命题的否定进行判断．C.根据复合命题之间的关系进行判断．D.根据充分条件和必要条件的进行判断．本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点有四种命题之间关系，含有量词的命题的否定，复合命题之间的关系以及充分条件和必要条件的判断．2.答案：B解析：解：对①，￢P：：∃x∈R，sinx>1，故①为假命题；对②，当a=1时，∵|x−4|+|x−3|≥|(x−4)−(x−3)|=1，∴不等式|x−4|+|x−3|<1的解集为空集，故②为假命题；对③，∵x>1，∴lnx>0，∴lnx+1lnx≥2，当lnx=1即x=10时取等号，故③是真命题；对④，∵复数z满足z(1−i)=2i，∴z=2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i，故④为假命题．故答案为：B．根据全称命题的否定是特称命题，是条件不变，否定结论，来判断①是否正确；举例判断②是否正确；利用基本不等式求最值，来验证③是否正确；④根据所给的等式两边同时除以1−i，得到z的表示式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，得到结果．本题借助考查命题的真假判断，考查了全称命题的否定、绝对值不等式、幂函数与指数函数的性质．利用基本不等式求最值时，要注意：一“正”；二“定”；三“相等”．3.答案：A解析：解：A∩∁N B={1,3，5，7，9}∩{1，2，4，5，7，8，10，11，13，14，…}={1,5，7}．故选A．先求B的补集，再求交集．本题考查了集合的运算，属于基础题．4.答案：A解析：5.答案：解析：试题分析：不等式化为，令，则，由于，所以，故函数在Ｒ上为减函数，又因为，所以，画出函数的大致图像如下：。

2020-2021上海市高一数学上期中第一次模拟试题(含答案)一、选择题1．已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．不等式()2log 231a x x -+≤-在x ∈R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞ B ．(]1,2C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦3．设0.13592,ln ,log 210a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>4．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③5．函数2xy x =⋅的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知定义域为R 的函数()f x 在[1,)+∞单调递增，且(1)f x +为偶函数，若(3)1f =，则不等式(21)1f x +<的解集为（ ） A ．(1,1)- B ．(1,)-+∞ C ．(,1)-∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞U 7．三个数20.420.4,log 0.4,2a b c ===之间的大小关系是（ ）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．b c a <<8．已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（ ） A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,4-C ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]5,5-9．已知函数2221,2,()2,2,x x x x f x x -⎧-++<=⎨≥⎩且存在三个不同的实数123,,x x x ，使得123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围为（ ）A ．(4,5)B ．[4,5)C ．(4,5]D ．[4,5]10．已知函数21(1)()2(1)ax x f x xx x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-11．函数()2log ,0,2,0,x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩则函数()()()2384g x f x f x =-+的零点个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．612．函数()245f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为5，最小值为1，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞B ．[]2,4C ．[]0,4D ．(]2,4二、填空题13．已知函数()(),y f x y g x ==分别是定义在[]3,3-上的偶函数和奇函数，且它们在[]0,3上的图象如图所示，则不等式()()0f x g x ≥在[]3,3-上的解集是________.14．己知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，01x <<时，()4xf x =，5()(2019)2f f -+的值是____.15．某在校大学生提前创业,想开一家服装专卖店,经过预算,店面装修费为10000元,每天需要房租水电等费用100元,受营销方法、经营信誉度等因素的影响,专卖店销售总收入P 与店面经营天数x 的关系是P(x)=21300,0300245000,300x x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪≥⎩则总利润最大时店面经营天数是___.16．已知函数()2()lg 2f x x ax =-+在区间(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______. 17．设，则________18．已知函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则m的取值范围为______．19．有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两种都没买的有 人.20．己知函数()f x =x a b +的图象经过点(1,3),其反函数()1fx -的图象经过点(2.0),则()1f x -=___________. 三、解答题21．已知函数()()()3 01a f x log ax a a -≠＝＞且 ．（1）当[]02x ∈，时，函数()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围； （2）是否存在这样的实数a ，使得函数f （x ）在区间[]12，上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．22．已知集合A ＝{x|2a ＋1≤x≤3a －5}，B ＝{x|x ＜－1，或x ＞16}，分别根据下列条件求实数a 的取值范围．（1）A∩B ＝∅；（2）A ⊆（A∩B ）． 23．已知函数()2x f x =，1()22xg x =+．（1）求函数()g x 的值域；（2）求满足方程()()0f x g x -=的x 的值．24．在扶贫活动中，为了尽快脱贫（无债务）致富，企业甲将经营情况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费（不计息）．在甲提供的资料中有：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q （百件）与销售价格P （元）的关系如图所示；③每月需各种开支2000元．（1）当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；（2）企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？25．设()()()log 1log (30,1)a a f x x x a a =++->≠,且()12f =. （1）求a 的值及()f x 的定义域； （2）求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．26．已知函数()lg(2)lg(2)f x x x =++-. （1）求函数()y f x =的定义域； （2）判断函数()y f x =的奇偶性； （3）若(2)()f m f m -<，求m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】【分析】 【详解】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义， 集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.2．C解析：C 【解析】 【分析】由()2223122-+=-+≥x x x 以及题中的条件，根据对数函数的单调性性，对a 讨论求解即可. 【详解】由()2log 231a x x -+≤-可得()21log 23log -+≤a ax x a， 当1a >时，由()2223122-+=-+≥x x x 可知2123-+≤x x a无实数解，故舍去； 当01a <<时，()2212312-+=-+≥x x x a在x ∈R 上恒成立，所以12a ≤，解得112a ≤<. 故选：C 【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，涉及到复合函数问题，属于中档题.3．A解析：A 【解析】 试题分析：，，即，，．考点：函数的比较大小．4．C解析：C 【解析】 【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴Q 为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．5．A解析：A 【解析】 【分析】先根据奇偶性舍去C,D,再根据函数值确定选A. 【详解】因为2xy x =⋅为奇函数，所以舍去C,D; 因为0x >时0y >,所以舍去B ，选A. 【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．6．A解析：A 【解析】 【分析】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，再利用函数的单调性，即可求出不等式的解集． 【详解】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，且在[1，+∞）上单调递增，所以不等式f （2x+1）＜1=f （3）⇔ |2x+1﹣1|）＜|3﹣1|， 即|2x |＜2⇔|x |＜1，解得-11x ＜＜ 所以所求不等式的解集为：()1,1-. 故选A ． 【点睛】本题考查了函数的平移及函数的奇偶性与单调性的应用，考查了含绝对值的不等式的求解，属于综合题．7．B解析：B 【解析】20.4200.41,log 0.40,21<<Q ,01,0,1,a b c b a c ∴<<∴<<，故选B.8．C解析：C 【解析】∵函数y =f (x )定义域是[−2,3]， ∴由−2⩽2x −1⩽3， 解得−12⩽x ⩽2， 即函数的定义域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，本题选择C 选项.9．A解析：A 【解析】不妨设123x x x <<，当2x <时，()()212f x x =--+，此时二次函数的对称轴为1x =，最大值为2，作出函数()f x 的图象如图，由222x -=得3x =，由()()()123f x f x f x ==，，且1212x x +=，即122x x +=，12332,x x x x ∴++=+ 由图可知3323,425x x <<∴<+<， 即123x x x ++的取值范围是()4,5，故选A.10．C解析：C 【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1，x >1时,()()21,10a a f x x f x x x=++'=-…在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1， 综上,a ∈[−1,1]， 本题选择C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．11．A解析：A 【解析】 【分析】通过对()g x 式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数． 【详解】函数()()()2384g x f x f x =-+=()()322f x f x --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的零点即方程()23f x =和()2f x =的根， 函数()2log ,0,2,0x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩的图象如图所示：由图可得方程()23f x =和()2f x =共有5个根， 即函数()()()2384g x f x f x =-+有5个零点,故选：A . 【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准．12．B解析：B 【解析】 【分析】由函数的解析式可得函数f （x ）＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1的对称轴为x ＝2，此时，函数取得最小值为1，当x ＝0或x ＝4时，函数值等于5，结合题意求得m 的范围． 【详解】∵函数f （x ）＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1的对称轴为x ＝2，此时，函数取得最小值为1， 当x ＝0或x ＝4时，函数值等于5．且f （x ）＝x 2﹣4x +5在区间[0，m ]上的最大值为5，最小值为1， ∴实数m 的取值范围是[2，4]， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质应用，利用函数图像解题是关键，属于中档题．二、填空题13．【解析】【分析】不等式的解集与f （x ）g(x)0且g （x ）0的解集相同观察图象选择函数值同号的部分再由f （x ）是偶函数g （x ）是奇函数得到f（x ）g （x ）是奇函数从而求得对称区间上的部分解集最后两部 解析：(]()(]3,21,01,2--⋃-⋃【解析】 【分析】 不等式()()f x 0g x ≥的解集，与f （x ）⋅g(x)≥0且g （x ）≠0的解集相同，观察图象选择函数值同号的部分，再由f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，得到f （x ）⋅g （x ）是奇函数，从而求得对称区间上的部分解集，最后两部分取并集即可. 【详解】 将不等式()()f x 0g x ≥转化为f （x ）⋅g(x)≥0且g （x ）≠0，如图所示：满足不等式的解集为：（1,2]∵y=f （x ）是偶函数，y=g （x ）是奇函数∴f （x ）⋅g （x ）是奇函数, 故在y 轴左侧，满足不等式的解集为(-3,-2]U (-1,0) 故不等式()()0f x g x ≥在[]3,3-上的解集是(-3,-2]U (-1,0)U （1,2]【点睛】本题考查了函数的奇偶性在解不等式中的应用，考查了数形结合，转化，分类讨论等思想方法，根据函数奇偶性的性质以及数形结合是解决本题的关键.14．【解析】【分析】根据题意由函数的奇偶性与周期性分析可得f （﹣）＝f （﹣）＝﹣f （）结合解析式求出f （）的值又因为f （2019）＝f （1+2×1009）＝f （1）＝0；据此分析可得答案【详解】解：根据 解析：2-【解析】 【分析】根据题意，由函数的奇偶性与周期性分析可得f （﹣52）＝f （﹣12）＝﹣f （12），结合解析式求出f （12）的值，又因为f （2019）＝f （1+2×1009）＝f （1）＝0；据此分析可得答案． 【详解】解：根据题意，函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的奇函数，则f （﹣52）＝f （﹣12）＝﹣f （12），f （2019）＝f （1+2×1009）＝f （1），又由函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的奇函数，则有f （1）＝f （﹣1）且f （1）＝﹣f （﹣1），故f （1）＝0，则f （2019）＝0，又由0＜x＜l时，f（x）＝4x，则f（12）＝124＝2，则f（﹣52）＝﹣f（12）＝﹣2；则5f f(2019)2⎛⎫-+⎪⎝⎭＝﹣2；故答案为：﹣2【点睛】本题考查函数的周期性与函数值的计算，属于基础题．15．200【解析】【分析】根据题意列出总利润L(x)的分段函数然后在各个部分算出最大值比较大小就能确定函数的最大值进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数【详解】设总利润为L(x)则L(x)=则L(x)解析：200【解析】【分析】根据题意，列出总利润L(x)的分段函数，然后在各个部分算出最大值，比较大小，就能确定函数的最大值，进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数.【详解】设总利润为L(x),则L(x)=2120010000,0300 210035000,300x x xx x⎧-+-≤<⎪⎨⎪-+≥⎩则L(x)=21(200)10000,0300 210035000,300x xx x⎧--+≤<⎪⎨⎪-+≥⎩当0≤x<300时,L(x)max=10000,当x≥300时,L(x)max=5000,所以总利润最大时店面经营天数是200.【点睛】本题主要考查分段函数的实际应用，准确的写出各个部分的函数关系式是解决本题的关键. 16．【解析】【分析】根据复合函数单调性同增异减以及二次函数对称轴列不等式组解不等式组求得实数的取值范围【详解】要使在上递增根据复合函数单调性需二次函数对称轴在的左边并且在时二次函数的函数值为非负数即解得解析：(],3-∞【解析】【分析】根据复合函数单调性同增异减，以及二次函数对称轴列不等式组，解不等式组求得实数a 的取值范围.【详解】要使()f x 在()2,+∞上递增，根据复合函数单调性，需二次函数22y x ax =-+对称轴在2x =的左边，并且在2x =时，二次函数的函数值为非负数，即2222220a a ⎧≤⎪⎨⎪-+≥⎩，解得3a ≤.即实数a 的取值范围是(],3-∞.【点睛】本小题主要考查复合函数的单调性，考查二次函数的性质，属于中档题.17．-1【解析】【分析】由分段函数的解析式先求出f(-2)的值并判定符号从而可得f(f(-2))的值【详解】∵fx=1-xx≥0x2x<0-2<0∴f-2=-22=4>0所以f(f(-2))=f4=1-解析：-1 【解析】 【分析】由分段函数的解析式先求出的值并判定符号，从而可得的值.【详解】， ，所以，故答案为-1. 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于简单题. 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值．18．或【解析】【分析】分类讨论的范围利用对数函数二次函数的性质进一步求出的范围【详解】解：∵函数若有最大值或最小值则函数有最大值或最小值且取最值时当时由于没有最值故也没有最值不满足题意当时函数有最小值没解析：{|2m m >或2}3m <- 【解析】 【分析】分类讨论m 的范围，利用对数函数、二次函数的性质，进一步求出m 的范围. 【详解】解：∵函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则函数2(2)2y mx m x m =+-+-有最大值或最小值，且y 取最值时，0y >.当0m =时，22y x =--，由于y 没有最值，故()f x 也没有最值，不满足题意. 当0m >时，函数y 有最小值，没有最大值，()f x 有最大值，没有最小值.故y 的最小值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m--->，求得 2m >；当0m <时，函数y 有最大值，没有最小值，()f x 有最小值，没有最大值.故y 的最大值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m--->，求得23m <-. 综上，m 的取值范围为{|2m m >或2}3m <-. 故答案为：{|2m m >或2}3m <-. 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，二次函数的最值，属于中档题.19．【解析】【分析】【详解】试题分析：两种都买的有人所以两种家电至少买一种有人所以两种都没买的有人或根据条件画出韦恩图：(人)考点：元素与集合的关系 解析：【解析】 【分析】 【详解】试题分析：两种都买的有人，所以两种家电至少买一种有人.所以两种都没买的有人.或根据条件画出韦恩图：(人).考点：元素与集合的关系.20．【解析】∵函数=的图象经过点(13)∴∵反函数的图象经过点(20)∴函数=的图象经过点(02)∴∴∴==∴= 解析：()2log 1,1x x ->【解析】∵函数()f x =x a b +的图象经过点(1,3), ∴3a b +=,∵反函数()1fx -的图象经过点(2,0),∴函数()f x =x a b +的图象经过点(0,2), ∴12b +=. ∴2, 1.a b == ∴()f x =x a b +=2 1.x + ∴()1fx -=()2log 1, 1.x x ->三、解答题21．（1）3(0,1)(1,)2U ； （2）不存在. 【解析】 【分析】（1）结合题意得到关于实数a 的不等式组，求解不等式，即可求解，得到答案； （2）由题意结合对数函数的图象与性质，即可求得是否存在满足题意的实数a 的值，得到答案． 【详解】（1）由题意，函数()()log 3 (0a f x ax a =->且1)a ≠，设()3g x ax =-， 因为当[]0,2x ∈时，函数()f x 恒有意义，即30ax ->对任意[]0,2x ∈时恒成立， 又由0a >，可得函数()3g x ax =-在[]0,2上为单调递减函数， 则满足()2320g a =->，解得32a <， 所以实数a 的取值范围是3(0,1)(1,)2U ． （2）不存在，理由如下：假设存在这样的实数a ，使得函数f （x ）在区间[]12，上为减函数，并且最大值为1， 可得()11f =，即log (3)1a a -=，即3a a -=，解得32a =，即()323log (3) 2f x x =-， 又由当2x =时，33332022x -=-⨯=，此时函数()f x 为意义， 所以这样的实数a 不存在． 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，以及复数函数的单调性的判定及应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，合理求解函数的最值，列出方程求解是解答的关键，着重考查了对基础概念的理解和计算能力，属于中档试题． 22．（1）{a|a≤7}；（2）{a|a ＜6或a ＞152}【解析】 【分析】（1）根据A∩B=∅，可得-1≤2a+1≤x≤3a -5≤16，解不等式可得a 的取值范围；（2）由A ⊆（A∩B ）得A ⊆B ，分类讨论，A ＝∅与A≠∅，分别建立不等式，即可求实数a 的取值范围 【详解】（1）若A ＝∅，则A∩B ＝∅成立． 此时2a ＋1＞3a －5， 即a ＜6．若A≠∅，则2135{2113516a a a a +≤-+≥--≤解得6≤a≤7．综上，满足条件A∩B ＝∅的实数a 的取值范围是{a|a≤7}． （2）因为A ⊆（A∩B ），且（A∩B ）⊆A ， 所以A∩B ＝A ，即A ⊆B ． 显然A ＝∅满足条件，此时a ＜6．若A≠∅，则2135{351a a a +≤--<-或2135{2116a a a +≤-+>由2135{351a a a +≤--<-解得a ∈∅；由2135{2116a a a +≤-+>解得a ＞152．综上，满足条件A ⊆（A∩B ）的实数a 的取值范围是{a|a ＜6或a ＞152}． 考点：1．集合关系中的参数取值问题；2．集合的包含关系判断及应用23．（1）(2,3]；（2）2log (1x =． 【解析】试题分析：（1）化简函数的解析为||||11()2()222x x g x =+=+，根据||10()12x <≤，即可求解函数的值域；（2）由()()0f x g x -=，得||12202xx --=，整理得到2(2)2210x x -⋅-=，即可求解方程的解．试题解析：（1）||||11()2()222x x g x =+=+， 因为||0x ≥，所以||10()12x <≤，即2()3g x <≤，故()g x 的值域是(2,3]．（2）由()()0f x g x -=，得||12202xx --=， 当0x ≤时，显然不满足方程，即只有0x >时满足12202xx --=，整理得2(2)2210x x -⋅-=，2(21)2x -=，故21x =±因为20x >，所以21x =2log (1x =． 考点：指数函数的图象与性质．24．（1）当P ＝19.5元，最大余额为450元；（2）20年后 【解析】 【分析】（1）根据条件关系建立函数关系，根据二次函数的图象和性质即可求出函数的最值； （2）根据函数的表达式，解不等式即可得到结论． 【详解】设该店月利润余额为L ，则由题设得L ＝Q （P ﹣14）×100﹣3600﹣2000，① 由销量图，易得Q ＝250,14P 20340,20P 262p p -+⎧⎪⎨-+<⎪⎩剟„代入①式得L ＝(250)(14)1005600,14P 20340(14)100560,20P 262P P P P -+-⨯-⎧⎪⎨⎛⎫-+-⨯-< ⎪⎪⎝⎭⎩剟„ （1）当14≤P ≤20时，2(250)(14)1005600200780075600L P P p p =-+-⨯-=-+-，当P ＝19.5元，L max ＝450元，当20＜P ≤26时，23340(14)100560615656022L P P P p ⎛⎫=-+-⨯-=-+- ⎪⎝⎭，当P ＝613元时，L max ＝12503元. 综上：月利润余额最大，为450元，（2）设可在n 年内脱贫，依题意有12n ×450﹣50000﹣58000≥0，解得n ≥20，即最早可望在20年后脱贫． 【点睛】本题主要考查实际函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用二次函数的图象和性质是即可得到结论，属于中档题．25．（1）2a =，定义域为()1,3-；（2）2 【解析】 【分析】（1）由()12f =,可求得a 的值,结合对数的性质,可求出()f x 的定义域;（2）先求得()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性,进而可求得函数的最大值.【详解】（1）()1log 2log l 242og a a a f =+==,解得2a =. 故()()22log 1)g 3(lo f x x x =++-,则1030x x +>⎧⎨->⎩,解得13x -<<, 故()f x 的定义域为()1,3-.（2）函数()()()()()222log 1log 3log 31f x x x x x =++-=-+,定义域为()1,3-,()130,2,3⎡⎤⊆⎥-⎢⎣⎦,由函数2log y x =在()0,∞+上单调递增,函数()()31y x x =-+在[)0,1上单调递增,在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,可得函数()f x 在[)0,1上单调递增,在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 故()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()21log 42f ==.【点睛】本题考查了函数的定义域,考查了函数的单调性与最值,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.26．（1）{|22}x x -<<（2）偶函数（3）01m << 【解析】 【分析】 【详解】（Ⅰ）要使函数有意义，则，得.函数的定义域为. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，函数的定义域为，关于原点对称，对任意，.由函数奇偶性可知，函数为偶函数.（Ⅲ）函数由复合函数单调性判断法则知，当时，函数为减函数又函数为偶函数，不等式等价于，得.。

2020-2021学年上海市实验学校高一（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1.下列条件中，使“{x>0x−2<0”成立的充分不必要条件是()A. 0<x<1B. 0<x<2C. 0<x<3D. −1<x<12.若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式中，一定成立的是()A. a+b>b−cB. ac≥bcC. c2a−b>0 D. (a−b)c2≥0 3.设全集U=R，A={x|x<−4或x≥3}，B={x|−1<x<6}，则集合{x|−1<x<3}是()A. A−∪B−B. A∪B− C. A−∩B D. A∩B4.定义：区间[a,b]，(a,b]，(a,b)，[a,b)的长度均为b−a，若不等式1x−1+2x−2≥m(m≠0)的解集是互不相交区间的并集，则该不等式的解集中所有区间的长度之和为l，则()A. 当m>0时，l=√m2+2m+9mB. 当m>0时，l=3mC. 当m<0时，l=−√m2+2m+9mD. 当m<0时，l=−3m二、单空题（本大题共10小题，共30.0分）5.不等式1x≤3的解集是______．6.已知正数x，y满足x+y=1，则1x +4y的最小值是______．7.已知关于x的不等式kx2−kx+1≤0解集为空集，则实数k的取值范围是______．8.化简：(a √23)√2×3b√ba−13b12=______(其中a>0，b>0)．9.不等式|x|<4−|x+1|的解集是______．10.已知关于x的方程x2−(k+1)x+14k2+1=0有两个实数根x1、x2，若x12+x22= 6x1x2−15，则k的值为______．11.若不等式|x+4|−|x−3|≤a对一切实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围是______．12.已知关于x的不等式(mx−5)(x2−m)<0的解集为A，若2∈A且3∉A，则实数m的取值范围为______．13.已知集合A={(x,y)|y=−x2+ax−1}，B={(x,y)|x+y=3，0≤x≤3}，若A∩B中有且仅有一个元素，则实数a的取值范围______．14.已知正数a，b满足a2b(2a+b)=4，则a+b的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15.(1)已知3a=5b=m，且1a +1b=2，求实数m的值；(2)已知lg2=a，lg3=b，试用a、b表示log23，log1225．16.(1)当x>1时，求证：x2+1x2>x+1x；(2)已知x∈R，a=x2−x+1，b=4−x，c=x2−2x.试证明a，b，c至少有一个不小于1．17.已知函数f(x)=ax2−(4a+1)x+4(a∈R)．(1)若关于x的不等式f(x)≥b的解集为{x|1≤x≤2}，求实数a，b的值；(2)解关于x的不等式f(x)>0．18.设关于x的不等式x2−(2a+1)x+(a+2)(a−1)>0和(x−a2)(x−a)<0的解集分别为A和B．(1)求集合A；(2)是否存在实数a，使得A∪B=R？如果存在，求出a的值，如果不存在，请说明理由；(3)若A∩B≠⌀，求实数a的取值范围．19.对∀a∈R，|a+1|+|a−1|的最小值为M．(1)若三个正数x，y，z满足x+y+z=M，证明：x2y +y2z+z2x≥2；(2)若三个正数x，y，z满足x+y+z=M，且(x−2)2+(y−1)2+(z+m)2≥13恒成立，求实数m的取值范围．20.已知集合A={a1,a2,…a n}中的元素都是正整数，且a1<a2<⋯<a n，集合A具有性质M：对于任意的x，y∈A(x≠y)，都有|x−y|>xy25(Ⅰ)判断集合{1,2，3，4}是否具有性质M(Ⅱ)求证：1a1−1a n≥n−125(Ⅲ)求集合A中元素个数的最大值，并说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：{x >0x −2<0解之得：0<x <2，则选项中0<x <1为0<x <2的充分不必要条件， 故选：A ．先化简命题，再判断充要性．本题考查充要性，以及不等式，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：取a =2，b =1，c =−3，可判断选项A 不一定成立； 取c =0，ac =bc ，可判断选项B 不一定成立； 取c =0，则c 2a−b=0，可判断选项C 不一定成立；因为a >b ，所以a −b >0，所以(a −b)c 2≥0，故D 一定成立． 故选：D ．由不等式的基本性质逐一判断即可．本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：∵全集U =R ，A ={x|x <−4或x ≥3}，B ={x|−1<x <6}， ∴A −={x|−4≤x <3}， ∴A −∩B ={x|−1<x <3}． 故选：C ．先求出A −={x|−4≤x <3}，从而A −∩B ={x|−1<x <3}.由此能求出结果． 本题考查补集、交集的求法，考查补集、交集的定义等基础知识，是基础题．4.【答案】B【分析】本题考查分式不等式的解法，涉及对新定义区间长度的理解，属于难题．当m>0时，∵1x−1+2x−2≥m⇔mx2−(3+3m)x+2m+4(x−1)(x−2)≤0，令f(x)=mx2−(3+3m)x+2m+4=0的两根为x1，x2，且x1<x2，根据韦达定理以及f(1)，f(2)的符号，判断x1，x2与1和2的大小可得不等式的解集，再根据区间长度的定义可得，同理可判断m<0的情况．【解答】解：当m>0时，∵1x−1+2x−2≥m⇔mx2−(3+3m)x+2m+4(x−1)(x−2)≤0，令f(x)=mx2−(3+3m)x+2m+4=0的两根为x1，x2，且x1<x2，则m(x−x1)(x−x2)(x−1)(x−2)≤0，且x1+x2=3+3mm=3+3m，∵f(1)=m−3−3m+2m+4=1>0，f(2)=4m−6−6m+2m+4=−2<0，且f(x)图象的对称轴为3+3m2m =32+32m>1，∴1<x1<2<x2，所以不等式的解集为(1,x1]∪(2，x2]，∴l=x1−1+x2−2=x1+x2−3=3+3m −3=3m，当m<0时，结合穿针引线法可知l为无限大，故选：B．5.【答案】(−∞,0)∪[13,+∞)【解析】解：不等式1x ≤3，即3x−1x≥0，∴{x⋅(3x−1)≥0x≠0，求得x≥13，或x<0，故答案为：(−∞,0)∪[13，+∞)．原不等式即3x−1x ≥0，即{x⋅(3x−1)≥0x≠0，由此求得x的范围．本题主要考查分式不等式的解法，属于基础题．6.【答案】9【解析】本题考查了基本不等式的应用，关键是掌握等号成立的条件，属于基础题． 有题意可得1x +4y =(1x +4y )(x +y)=1+4+yx +4x y，再利用基本不等式即可求出．【解答】解：∵正数x ，y 满足x +y =1， 则1x +4y =(1x +4y )(x +y)=1+4+yx +4x y≥5+2√y x ⋅4x y=9，当且仅当x =13，y =23时取等号，故则1x +4y 的最小值是9， 故答案为：9．7.【答案】[0,4)【解析】解：当k =0时，原不等式可化为1≤0，符合解集为空集； 当k ≠0时，则{k >0△=(−k)2−4k <0，解得0<k <4，综上，实数k 的取值范围是[0,4)． 故答案为：[0,4)．分k =0和k ≠0两种情况进行讨论，其中k ≠0时，需结合二次函数的图象与性质进行分析．本题考查含参不等式的解集问题，考查学生的分类讨论思想和运算求解能力，属于基础题．8.【答案】a【解析】解：3b √b =(b ⋅b 12)13=b 32×13=b 12 原式=a 23−(−13)b 12−12=a ， 故答案为：a ．根据指数幂的运算法则即可求出． 本题考查了指数幂的运算，属于基础题．9.【答案】(−52,3 2 )【解析】解：不等式|x|<4−|x+1|，当x≤−1时，−x<4+x+1，解得−52<x≤−1，当−1<x<0时，−x<4−x−1，解得−1<x<0，当x≥0时，x<4−x−1，解得0≤x32，综上，不等式的解集是(−52,3 2 ).故答案为：(−52,3 2 ).分别求出当x≤−1，−1<x<0，x≥0时不等式的解集，最后取并集，即可得解．本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题．10.【答案】4【解析】解：根据题意，关于x的方程x2−(k+1)x+14k2+1=0有两个实数根x1、x2，则x1+x2=k+1，x1x2=14k2+1，同时△=(k+1)2−4×(14k2+1)=2k−3≥0，解可得k≥32，若x12+x22=6x1x2−15，变形可得(x1+x2)2=8x1x2，即k2−2k−8=0，解可得k1=4或k2=−2，又由k≥32，则k=4，故答案为：4．根据题意，由一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=k+1，x1x2=14k2+1，同时有△=2k−3≥0，解可得k的取值范围，将x12+x22=6x1x2−15，变形可得(x1+ x2)2=8x1x2，代入x1、x2关系式可得k2−2k−8=0，解可得k的值，结合k的范围分析可得答案．本题考查一元二次方程根与系数的关系，关键是得到关于k的方程，属于基础题．11.【答案】a≥7【解析】解：由不等式|x +4|−|x −3|≤a 对一切实数x ∈R 恒成立， 设f(x)=|x +4|−|x −3|，x ∈R ；则f(x)≤|(x +4)−(x −3)|=7，当且仅当x ≥3时取等号； 所以实数a 的取值范围是a ≥7． 故答案为：a ≥7．设f(x)=|x +4|−|x −3|，x ∈R ；问题转化为a ≥f(x)max ，由绝对值不等式求出即可．本题考查了含有绝对值的不等式恒成立问题，是基础题．12.【答案】[53,52)∪(4,9]【解析】解：∵2∈A 且3∉A ，∴(2m −5)(4−m)<0且(3m −5)(9−m)≥0， 解得m >4或m <52且53≤m ≤9， 综上，53≤m <52或4<m ≤9， ∴实数m 的取值范围为[53,52)∪(4,9]． 故答案为：[53,52)∪(4,9]．由2∈A 且3∉A ，可得(2m −5)(4−m)<0且(3m −5)(9−m)≥0，解之即可． 本题考查一元二次不等式的解集问题，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．13.【答案】{a|a =3或a >103}【解析】解：集合A ={(x,y)|y =−x 2+ax −1}，B ={(x,y)|x +y =3，0≤x ≤3}， 若A ∩B 中有且仅有一个元素，则由{y =−x 2+ax −1x +y =30≤x ≤3，得x 2−(a +1)x +4=0在x ∈[0,3]上有且仅有一解；①△=0时方程有相等实根且在[0,3]上，即{△=(a +1)2−4×1×4=00≤a+12≤3，a =3； ②△>0时，只有一根在[0,3]上，两根之积为4>0，则32−(a+1)×3+4<0，a>103；所以a的取值范围是a=3或a>103．故答案为：{a|a=3或a>103}.由A∩B中有且仅有一个元素，等价于两个方程联立得到的方程组有且仅有一个根，利用判别式讨论，结合二次方程相应的函数，求出a的取值范围．本题考查了二次方程的实数根分布问题，也考查了运算求解能力，是中档题．14.【答案】2【解析】解：令t=a+b，b=t−a，对于正数a，b，t，则4=a2b(2a+b)=a2(t−a)(t+a)=a2(t2−a2)≤(a2+t2−a22)2=t44，当且仅当t=√2a取等号，故t≥2，即a+b的最小值为2，故答案为：2．利用换元法，与基本不等式的性质即可得出．本题考查了基本不等式的性质，属于基础题15.【答案】解：(1)∵3a=5b=m，∴a=log3m，b=log5m，∴1a +1b=log m3+log m5=log m15=2，∴m2=15且m>0，∴m=√15；(2)∵lg2=a，lg3=b，∴log23=lg3lg2=ba，log1225=lg25lg12=2lg5lg3+lg4=−2(1−lg5)+2lg3+2lg2=2−2lg2lg3+2lg2=2−2a2a+b ．【解析】(1)根据条件可得出1a =log m 3,1b =log m 5，从而可得出log m 15=2，进而可得出m 的值；(2)根据对数的换底公式和对数的运算即可用a ，b 表示出log 23和log 1225．本题考查了对数的定义，对数的换底公式，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．16.【答案】证明：(1)x 2+1x 2−(x +1x )=(x−1)2(x 2+x+1)x 2∵x >1，∴(x −1)2>0，x 2>0，x 2+x +1>0 ∴x 2+1x 2>x +1x ;(2)假设a ，b ，c 都小于1，即a <1，b <1，c <1， 则有a +b +c <3①而a +b +c =2x 2−4x +5=2(x −1)2+3≥3② ①与②矛盾，故a ，b ，c 至少有一个不小于1．【解析】本题考查反证法的运用，属于基础题.注意用反证法时，需要首先否定原命题，特别是带至少、最多词语一类的否定． (1)根据作差法即可证明;(2)根据题意，首先假设命题错误，即假设a ，b ，c 均小于1，进而可得a +b +c <3，再分析a 、b 、c 三项的和，可得矛盾，即可证原命题成立．17.【答案】解：(1)函数f(x)=ax 2−(4a +1)x +4(a ∈R)，不等式f(x)≥b 化为ax 2−(4a +1)x +4−b ≥0， 由该不等式的解集为{x|1≤x ≤2}，所以a <0，且1和2是方程ax 2−(4a +1)x +4−b =0的两根， 所以{1+2=−−(4a+1)a1×2=4−ba，解得a =−1，b =6；(2)不等式f(x)>0，即(ax −1)(x −4)>0.①当a =0时，不等式为−x +4>0，解得x <4；②当a <0时，不等式为(x −1a )(x −4)<0，此时1a <4，解得1a <x <4；③当a >0时，不等式为(x −1a )(x −4)>0，若0<a <14，则1a >4，解得x <4或x >1a ； 若a =14，则1a =4，不等式为(x −4)2>0，解得x ≠4； 若a >14，则1a <4，解得x <1a 或x >4； 综上知，a =0时，不等式的解集为{x|x <4}； a <0时，不等式的解集为{x|1a <x <4}； 0<a <14时，不等式的解集为{x|x <4或x >1a }； a =14时，不等式的解集为{x|x ≠4}； a >14时，不等式的解集为{x|x <1a 或x >4}．【解析】(1)根据不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系列方程组求出a 、b 的值；(2)不等式化为(ax −1)(x −4)>0，讨论a 的取值，从而求出不等式的解集． 本题考查了含有字母系数的一元二次不等式解法与应用问题，是中档题．18.【答案】解：(1)不等式x 2−(2a +1)x +(a +2)(a −1)>0可化为[x −(a +2)][x −(a −1)]>0，解得x <a −1或x >a +2，所以不等式的解集为A ={x|x <a −1或x >a +2}； (2)当a =0时，不等式(x −a 2)(x −a)<0化为x 2<0，此时不等式无解， 当a <0时，a 2>a ，不等式(x −a 2)(x −a)<0的解集为{x|a <x <a 2}， 当0<a <1时，a 2<a ，不等式(x −a 2)(x −a)<0的解集为{x|a 2<x <a}， 当a =1时，a 2=a ，不等式(x −a 2)(x −a)<0化为(x −1)2<0，此时不等式无解， 当a >1时，a 2>a ，不等式(x −a 2)(x −a)<0的解集为{x|a <x <a 2}， 综上所述：当a =0或a =1时，B =⌀， 当a <0或a >1时，B ={x|a <x <a 2}， 当0<a <1时，B ={x|a 2<x <a}， 要使A ∪B =R ，当B ={a|a <x <a 2}时，a 2>a ，a <x <a 2，a −1≥a 或a +2≤a 2，无解， 当B ={a|a 2<x <a}时，a 2<a ，a 2<x <a ，a +2≤a ，a 2=a −1，无解， 故不存在实数a ，使得A ∪B =R ．(3)∵A ∩B ≠⌀，∴当B ={a|a <x <a 2}时，a −1<a ，或a +2>a 2，即a 2−a −2<0， 解得−1<a <0或1<a <2，此时实数a 的取值范围是(−1,0)∪(1,2)，当B ={a|a 2<x <a}时，a −1<a 2或 a +2>a ，即a 2−a +1>0， 解得0<a <1，此时，实数a 的取值范围是(0,1)．【解析】(1)解一元二次不等式能求出集合A ．(2)由A ∪B =R ，根据B ={a|a <x <a 2}和B ={a|a 2<x <a}分类讨论，得到不存在实数a ，使得A ∪B =R ．(3)由A ∩B ≠⌀，根据B ={a|a <x <a 2}和B ={a|a 2<x <a}分类讨论，能求出实数a 的取值范围．本题考查集合的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．19.【答案】解：(1)证明：由∀a ∈R ，|a +1|+|a −1|≥|a +1−a +1|=2，当且仅当−1≤a ≤1时取得等号，可得x +y +z =2， 又x ，y ，z >0，x 2y+y ≥2√x 2y⋅y =2x ，同理可得y 2z+z ≥2y ，z 2x +x ≥2z ，三式相加可得，x 2y +y 2z +z 2x≥x +y +z =2，当且仅当x =y =z =23时，取得等号， 则x 2y +y 2z+z 2x≥2；(2)(x −2)2+(y −1)2+(z +m)2≥13恒成立，等价为13≤[(x −2)2+(y −1)2+(z +m)2]min ，由(12+12+12)[(x −2)2+(y −1)2+(z +m)2]≥(x −2+y −1+z +m)2=(m −1)2，当且仅当x −2=y −1=z +m 可取得等号．则13≤13(m −1)2，即|m −1|≥1，解得m ≥2或m ≤0， 即m 的取值范围是(−∞,0]∪[2,+∞)．【解析】(1)由绝对值不等式的性质可得M =2，再由基本不等式和累加法，即可得证； (2)运用柯西不等式，化简变形，由不等式恒成立思想，并结合绝对值不等式的解法可得所求范围．本题考查绝对值不等式的性质和基本不等式、柯西不等式的运用，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．20.【答案】解：(I)由于|1−2|≥1×225，|1−3|≥1×325，|1−4|≥1×425，|2−3|≥2×325，|2−4|≥2×425，|3−4|≥3×425∴集合{1,2，3，4}具有性质P ； (Ⅱ)依题意有：|a i −a i+1|≥a i a i+125(i =1,2，3…n −1)，又a 1<a 2<⋯<a n ，因此：a i+1−a i ≥a i a i+125(i =1,2，3…n −1)可得：1a i−1an+i≥125，(i =1,2，3…n −1)所以有：1a 1−1a 2+1a 2−1a 3+⋯+1an−1−1a n≥n−125，即1a 1−1a n≥n−125．得证； (Ⅲ)由1a 1≥n−125，a ≥1，可得1>n−125，因此n <26，同理1a i−1a n≥n−i25，可得，1a i>n−i 25．又∵a i ≥i ，可得1i >n−i 25，那么：25>i(n −i)，(i =1,2，3…n −1)也均成立．当n ≥10时，取i =5，则i(n −i)=5(n −5)≥25，可知n <10． 又当n ≤9时，i(n −i)≤(i+n−i 2)2=n 22<25，所以n ≤9因此集合A 中元素个数的最大值为9．【解析】(Ⅰ)利用性质对任意的x ，y ∈A ，x ，y ∈A(x ≠y)，都有|x −y|>xy 25，代入可判断(Ⅱ)依题意有：|a i −a i+1|≥a i a i+125(i =1,2，3…n −1)，又a 1<a 2<⋯<a n ，因此：a i+1−a i ≥a i a i+125(i =1,2，3…n −1)，由此能够证明：1a 1−1a n≥n−125．(Ⅲ)由1a1≥n−125，a≥1可得由1>n−125，因此n<26，同理1a i−1a n≥n−i25，可得，1a i>n−i25.由此能够推导出集合A中元素个数的最大值．本题考查数列的性质的综合运用，解题时要认真审题，注意公式的合理运用，合理地进行等价转化和变形．属于难题．。

上海市上海师范大学附属中学2021-2021高一数学上学期期中试题（含解析）一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，只要求直接填写结果，第1-6题每个空格填对得4分，第7-12 题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1.已知集合{}{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==，则A B =_________.【答案】{}3,9 【解析】 【分析】根据集合的交集运算定义可得.【详解】因为{}{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==, 所以AB ={3,9}.故答案为: {}3,9【点睛】本题考查了集合的交集运算,属于基础题.2.函数()()02f x x =+-的定义域为______.【答案】{|1x x ≥-且}2x ≠ 【解析】 【分析】由中根式内部的代数式大于等于0，0指数幂的底数不为0，联立不等式组求解．【详解】由1020x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥-且x≠2．∴函数()()02f x x =+-的定义域是】{|1x x ≥-且}2x ≠．即答案为】{|1x x ≥-且}2x ≠【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．3.已知函数()1(1)3(1)x f x x x >=-+≤⎪⎩，则()5f f -=⎡⎤⎣⎦__________. 【答案】3【分析】先计算(5)8f -=,再计算(8)3f =.【详解】因为()1(1)3(1)x f x x x >=-+≤⎪⎩,所以(5)(5)38f -=--+=,所以(8)13f ==. 故答案为:3【点睛】本题考查了分段函数的求值,属于基础题. 4.“4x >”是“2x >”的___________条件. 【答案】充分非必要 【解析】 【分析】根据充分非必要条件的定义可得答案,【详解】因为“4x >”可以推出“2x >”,且“2x >”不能推出“4x >”, 所以“4x >”是“2x >”的充分非必要条件. 故答案为充分非必要【点睛】本体考查了充分非必要条件的定义,属于基础题. 5.不等式11x≤的解集为__________ 【答案】（-∞，0）∪[1,+∞） 【解析】 【详解】11x≤变形10x x-≥， 等价于()100x x x ⎧-≥⎨≠⎩，解得1x ≥或0x <，即不等式的解集为（-∞，0）∪[1,+∞）. 6.已知1x >，则41x x +-的取值范围是__________. 【答案】[5,)+∞【分析】化成积为定值的形式后,利用基本不等式可得. 【详解】因为1x >,所以10x ->,所以41x x +-411151x x =-++≥=-,当且仅当411x x -=-,即3x =时取等号.故答案为:[5,)+∞.【点睛】本题考查了基本不等式求最小值,属于基础题.7.不等式()2212(1)10a x a x ----<的解集为R ，则实数a 的取值范围为________. 【答案】01a <≤ 【解析】 【分析】讨论2x 项的系数,根据二次函数的图象和性质列不等式组可解得答案. 【详解】当1a =时,不等式化为:10-<,符合题意; 当1a =-时,不等式化为:410x -<,解得14x <,不符合题意; 当1a ≠±时,要使不等式()2212(1)10a x a x ----<的解集为R, 必有224(1)4(1)0a a -+-<且210a -<,解得01a <<, 综上所述: 实数a 的取值范围为:01a <≤. 故答案为 01a <≤【点睛】本题考查了分类讨论思想,二次函数的图象和性质,属于基础题.8.已知{(,)|1},{(,|},{(,)|,}M x y y x N x y y x U x y x R y R =≠+=≠-=∈∈，则()U C M N =________. 【答案】11{(,)}22- 【解析】【根据摩根律()()()U U U C M N C M C N ⋃=⋂计算可得答案.【详解】因为{(,)|1},{(,|},{(,)|,}M x y y x N x y y x U x y x R y R =≠+=≠-=∈∈, 所以{(,)|1}U C M x y y x ==+,{(,)|}U C N x y y x ==-,所以()()()U U UC M N C M C N ⋃=⋂=1{(,)|}y x x y y x=+⎧⎨=-⎩11{(,)}22=-. 故答案为: 11{(,)}22-【点睛】本题考查了集合的交集和补集运算,属于基础题.9.已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22(xf x x m m =++为常数)，则()f m 的值为__________.【答案】3- 【解析】 【分析】根据奇函数的定义域中有0,可得(0)0f =,根据0x ≥时的解析式求得(0)1f m =+,从而可求得1m =-,再根据奇函数可得(1)(1)f f -=-,根据解析式可求得.【详解】因为函数()f x 为定义在R 上的奇函数,所以()()f x f x -=-,所以(0)0f =, 又0(0)220f m =+⨯+,所以10m +=,所以1m =-, 所以()221x f x x ,所以1()(1)(1)(2211)3f m f f =-=-=-+⨯-=-, 故答案为:-3【点睛】本题考查了奇函数的定义,利用奇函数求函数值,属于基础题.10.设集合A ，B 是R 中两个子集，对于x ∈R ，定义: 0,,0,1,,1,x A x Bm n x A x B ⎧∉∉⎧==⎨⎨∈∈⎩⎩.①若A B ⊆；则对任意(),10x R m n ∈-=；②若对任意,0x R mn ∈=，则A B φ⋂=；③若对任意,1x R m n ∈+=，则A ，B 的关系为R A C B =.上述命题正确的序号是______. (请填写所有正确命题的序号) 【答案】①②③ 【解析】 【分析】对于①,按照x A ∈和x A ∉两种情况讨论,可得①正确;对于②,根据,m n 不可能都为1,可得x 不可能既属于A ,又属于B 可得②正确;对于③,根据,m n 中的一个为0,另一个为1,可得x A ∈时,必有x B ∉,或x B ∈时,必有x A ∉,由此可知③正确.【详解】对于①,因为A B ⊆,所以当x A ∉时,根据定义可得0m =,所以(1)0m n -=, 当x A ∈,则必有x B ∈,根据定义有1n =,所以(1)0m n -=, 故对于任意x ∈R ,都有(1)0m n -=,故①正确;对于②,因为对任意,0x R mn ∈=,所以,m n 中不可能都为1,即x A ∈和x B ∈不可能同时成立,所以A B φ⋂=,故②正确;对于③,因为对任意,1x R m n ∈+=,所以,m n 中的一个为0,另一个为1,即x A ∈时,必有x B ∉,或x B ∈时,必有x A ∉,所以R A C B =,故③正确.综上所述: 所有正确命题的序号为:①②③. 故答案为①②③【点睛】本题考查了元素与集合,集合与集合之间的关系,对新定义的理解能力,属于中档题. 11.设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1]( x 2－ax －1)≥0，则a ＝__________． 【答案】32a = 【解析】 【详解】当时，代入题中不等式显然不成立当时，令，，都过定点考查函数，令，则与轴的交点为时，均有也过点解得或（舍去），故12.设关于x 的不等式()()222222224704547x a x a a x a a x a a ++-+-<++--+-的解集是一些区间的并集， 且这些区间的长度和(规定:(),a b 的长度为b a -)不小于12，则a 的取值范围为__________. 【答案】1a ≤-或5a ≥. 【解析】 【分析】 设222(22)470x a x a a ++-+-= 的根为:()1212,x x x x <，()22245470x a a x a a ++--+-=的根为: ()3434,x x x x <，根据根与系数的关系,分析可知1324x x x x <<<,再用1234,,,x x x x 表示不等式的解集,根据这些区间的长度和不小于12列不等式可解得.【详解】设222(22)470x a x a a ++-+-= 的根为: ()1212,x x x x <，()22245470x a a x a a ++--+-=的根为: ()3434,x x x x <，则()212212220470x x a x x a a ⎧+=-+<⎪⎨=-+-<⎪⎩,所以1200x x <⎧⎨>⎩,且()23423445470x x a a x x a a ⎧+=-+-⎪⎨=-+-<⎪⎩,所以3400x x <⎧⎨>⎩,又()()()()22234124522470x x x x a a a a a +-+=-+-++=-+>，优质资料\word 可编辑且22123447(2)30x x x x a a a ==-+-=---<,所以1234,,,x x x x 的大小关系为:1324x x x x <<<, 由()()()()()()22212222342247004547x a x a a x x x x x x x x x a a x a a ++-+---<⇒<--++--+-,故由数轴穿根法得原不等式的解集是: ()()1324,,x x x x ⋃,由题意可得()()()()()()22314234124522x x x x x x x x a a a -+-=+-+=-+-++2247124501a a a a a =-+≥⇒--≥⇒≤-或 5a ≥.故答案为: 1a ≤-或5a ≥.【点睛】本题考查了根与系数的关系,一元二次不等式,高次不等式的解法,分式不等式的解法,属于中档题.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的.选对得5分，否则一律得零分.13.A ， B ， C 三个学生参加了一次考试，已知命题p :若及格分高于70分，则A ， B ， C 都没有及格.则下列四个命题中为p 的逆否命题的是（ ） A. 若及格分不高于70分，则A ，B ， C 都及格 B. 若A ，B ， C 都及格，则及格分不高于70分 C. 若A ，B ， C 至少有一人及格，则及格分不高于70分 D. 若A ， B ， C 至少有一人及格，则及格分高于70分 【答案】C 【解析】 【分析】根据逆否命题的定义,直接写出命题p 的逆否命题即可. 【详解】根据原命题与它的逆否命题之间的关系知, 命题p :若及格分高于70分，则A ， B ， C 都没有及格,则p 的逆否命题是:若,,A B C 至少有一人及格,则及格分不低于70分. 故选C【点睛】本题考查了由原命题写其逆否命题,属于基础题. 14.下列各组不等式中解集相同的是（ ）A. 22311x x x x -<--与223x x -< B. (3)(1)01x x x -+>+与30x ->C. 5x <与221153232x x x x x +<+-+-+D.(3)(1)03x x x -+>-与10x +> 【答案】B 【解析】 【分析】对各组不等式中的不等式求解可知答案.【详解】对于A ,根据分母不为0,可知22311x x x x -<--的解集中没有元素1,而223x x -<的解集中有元素1,故A 不正确; 对于B ,由(3)(1)01x x x -+>+得30x ->且1x ≠-,即3x >,由30x ->得3x >,故选项B 正确; 对于C ,由221153232x x x x x +<+-+-+整理得5x <且2320x x -+≠,即5x <且1x ≠且2x ≠,故选项C 不正确; 对于D ,由(3)(1)03x x x -+>-得10x +>且30x -≠,即1x >-且3x ≠,故D 不正确.故选:B【点睛】本题考查了分式不等式的解法,属于基础题.15.观察下列四个函数的图象，其中值域为[]0,4的函数是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的值域的定义,观察图象可知选D .【详解】对于A ,由图象观察可知,值域为(0,4],故A 不正确; 对于B ,观察图象可知,值域不是[0,4],故B 不正确; 对于C ,观察图象可知,值域不是[0,4],故C 不正确; 对于D ,观察图象可知,值域是[0,4],故D 正确; 故选:D【点睛】本题考查了函数的值域的定义,属于基础题. 16.已知非空集合,A B 满足以下两个条件： （ⅰ）{}1,2,3,4,5,6AB =，A B =∅；（ⅱ）A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素，则有序集合对(),A B 的个数为 （ ） A. 10 B. 12 C. 14D. 16【答案】A 【解析】 【分析】根据条件：A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素，分别讨论集合A 、B 中元素的个数，列举所有可能，即可得到结果．【详解】根据条件：A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素1、当集合A 只有一个元素时，集合B 中有5个元素，1A ∉且5B ∉，此时仅有一种结果{}5A =，{}1,2,3,4,6B =；2、当集合A 有两个元素时，集合B 中有4个元素，2A ∉且4B ∉，此时集合A 中必有一个元素为4，集合B 中必有一个元素为2，故有如下可能结果：（1）{}1,4A =，{}2,3,5,6B =；（2）{}3,4A =，{}1,2,5,6B =；（3）{}5,4A =，{}1,2,3,6B =；（4）{}6,4A =，{}1,2,3,5B =．共计4种可能．3、可以推测集合A 中不可能有3个元素；4、当集合A 中的4个元素时，集合B 中的2个元素，此情况与2情况相同，只需A 、B 互换即可．共计4种可能．5、当集合A 中的5个元素时，集合B 中的1个元素，此情况与1情况相同，只需A 、B 互换即可．共1种可能．综上所述，有序集合对（A ，B ）的个数为10．答案选A ．【点睛】本题主要考查排列组合的应用，根据元素关系分别进行讨论是解决本题的关键． 三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置.17.已知集合{|A x y ==，集合{}2|7120B x x x =--->，集合{|121}C x m x m =+≤≤-.(1)求AB ；(2) 若A C A ⋃=，求实数m 的取值范围.【答案】(1) ()4,3--； (2) 2m <或6m ≥.【解析】【分析】(1) 根据定义域求得集合A ，解一元二次不等式求得集合B ，再根据数轴求交集;(2) 先将条件转化为集合包含关系: CA ，再根据空集进行讨论，最后根据数轴研究两集合包含关系.【详解】(1) 25140x x --≥，2x ∴≤-或7x ≥,即(,2][7,)A =-∞-⋃+∞,227120,7120,x x x x --->++<所以43x -<<-即(4,3)B =--,(4,3)A B ∴⋂=--(2) A C A ⋃=,所以 C A ,当211m m -<+时,即2m <时,C 为空集满足条件:2m <,当211m m -≥+,即2m ≥时,212m -≤-或17m +≥， 解得12m ≤-,或6m ≥, 又2m ≥,所以6m ≥,综上2m <或6m ≥.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,子集关系,分类讨论思想,容易遗漏空集,属于基础题.18.记关于x 的不等式30ax x a-≤+的解集为P . (1)若1a =，求P ；(2)若1P ∉，求实数a 的取值范围.【答案】(1){|13}P x x =-<≤；(2) (,1](3,)-∞-⋃+∞.【解析】【分析】(1)解分式不等式可得,注意分母不为0;(2) 1P ∉转化为301a a->+或10a +=后可解得. 【详解】(1)当1a =时,30ax x a -≤+化为301x x -≤+,即(3)(1)0x x -+≤且10x +≠, 所以13x -<≤,故{|13}P x x =-<≤.(2)因为1P ∉,所以301a a->+或10a +=, 解得1a <-或3a >或1a =-,故实数a 的取值范围是(,1](3,)-∞-⋃+∞.【点睛】本题考查了一元二次不等式以及分式不等式的解法,注意分母不为0,属于基础题. 19.2021年10月1日为庆祝中华人民共和国成立70周年在北京天安门广场举行了盛大的阅兵仪式，共有580台(套)装备、160 余架各型飞机接受检阅．受阅装备均为中国国产现役主战装备，其中包括部分首次公开亮相的新型装备．例如，在无人机作战第三方队中就包括了两型侦察干扰无人机，可以在遥控设备或自备程序控制操纵的情况下执行任务，进行对敌方通讯设施的电磁压制和干扰，甚至压制敌人的防空系统．某作战部门对某处的战场实施“电磁干扰”实验，据测定，该处的“干扰指数”与无人机干扰源的强度和距离之比成反比，比例系数为常数()0k k >.现已知相距36km 的A. B 两处配置两架无人机干扰源，其对敌干扰的强度分别为1和()0a a >，它们连线段上任意一点C 处的干扰指数y 等于两机对该处的干扰指数之和，设()AC x km =.(1)试将y 表示为x 的函数，指出其定义域；(2)当25,1a k ==时，试确定“干扰指数”最小时C 所处位置.【答案】(1) (036)36k ka y x x x=+<<-；(2) “干扰指数”最小的C 所处位置在距离A 点6km 处.【解析】【分析】(1) 依题意，点C 受A 干扰指数为k x ，点C 受B 干扰指数为36ka x -,两个指数相加可得答案;(2) 将1251125(36)363636y x x x x x x ⎛⎫=+=+-+ ⎪--⎝⎭变形后利用基本不等式可求得最小值. 【详解】(1)依题意，点C 受A 干扰指数为k x ，点C 受B 干扰指数为36ka x -， 其中(0)k k >， 从而点C 处干扰指数: (036)36k ka y x x x =+<<- (2) 036x <<,当25,1a k ==时,1251125(36)363636y x x x x x x ⎛⎫∴=+=+-+ ⎪--⎝⎭136251125(261363636x x x x -⎛⎫=+++≥+= ⎪-⎝⎭ (当且仅当362536x x x x-=-时等号成立)，此时6x =， 答:“干扰指数”最小的C 所处位置在距离A 点6km 处.【点睛】本题考查了函数的应用,基本不等式求和的最小值,属于中档题.20.已知函数()1()||3,,0m f x x m R x x-=+-∈≠. (1)判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；(2)若对于任意的[]()1,4,1x f x ∈≥-恒成立，求满足条件的实数m 的最小值M .(3)对于(2)中的M ，正数a ，b 满足22a b M +=，证明: 2a b ab +≥.【答案】(1) 当1m =时，()f x 为偶函数, 当1m ≠时，既不是奇函数也不是偶函数，理由见解析；(2)2；(3) 证明见解析.【解析】【分析】(1)对m 分类讨论,结合奇偶性的定义进行判断可得;(2)将不等式转化为212m x x -≥-+对任意的[1,4]x ∈都成立,再构造函数,利用单调性求出最大值即可得到答案;(3)由(2)知2M =,所以1ab ≤,2a b +≤变形可证. 【详解】(1)(i)当m=1时，()||3f x x =-，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞,因为()||3||3()f x x x f x -=--=-=,所以()f x 为偶函数；(ii)当1m ≠时,(1)3f m =-,(1)1f m -=-,(1)(1)f f ≠-,(1)(1)f f ≠--,所以既不是奇函数也不是偶函数.(2) 对于任意的[]()1,4,1x f x ∈≥-,即131m x x-+-≥-恒成立， 所以212m x x -≥-+对任意的[1,4]x ∈都成立,设2()2,[1,4]g x x x x =-+∈,则()g x 为[1,4]上的递减函数,所以1x =时,()g x 取得最大值1,所以11m -≥,即2m ≥.所以2M =.(3)证明: 由(2)知2M =, 222a b ab +≥，所以22ab ≥,1ab ∴≤,1≤，当且仅当a b =时取等号，①又1,22a b ab +≤≤2ab a b ∴≤+，当且仅当a b =时取等号，② 由①②得，12ab a b ≤+, 所以2a b ab +≥,【点睛】本题考查了函数奇偶性的讨论,不等式恒成立问题,不等式的证明问题,属于中档题.21.符号[]x 表示不大于x 的最大整数()x R ∈，例如:[][][]1.31,22,1,22==-=-.(1)解下列两个方程[][]3,23x x ==-；(2)设方程: [|||1|]3x x +-=的解集为A ，集合{}22|211150B x x kx k =-+≥，AB R =，求实数k 的取值范围；(3)求方程2440[]510x x -+=的实数解.【答案】(1)[3,4)，3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭；(2) 1245,{0},2556k ⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；(3) x =；x =；x =x =【解析】【分析】(1)根据对符号[]x 的定义理解可得答案;(2)将[|||1|]3x x +-=化为3|||1|4x x ≤+-<,再分三种情况去绝对值解不等式可得集合A ,然后对k 分类讨论解得集合B ,再根据A B R =,列式可求得k 的范围;(3)先判断出[]0x ≥,再将[][]1x x x ≤<+平方得222([])([]1)x x x ≤<+,再结合方程2440[]510x x -+=可得不等式224([])40[]514([]1)x x x ≤-<+,解不等式可得[]2x =或[]6x =或[]7x =或[]8x =,分别代入方程2440[]510x x -+=可解得答案.【详解】(1) []3,[3,4)x x =∴∈3[2]3,2[3,2),,12x x x ⎡⎫=-∴∈--∴∈--⎪⎢⎣⎭, (2) [|||1|]3x x +-=，3|||1|4x x ≤+-<,当1x ≥时，有314x x ≤+-<,解得 522x ≤<, 当01x <<时，有314x x ≤+-<,[|||1|]3x x +-=无解,当0x ≤时，有314x x ≤--+<,解得: 312x -<≤- 综上所述:35,12,22A ⎛⎤⎡⎫=-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 因为{|(25)(3)0}B x x k x k =--≥当0k >时，5,[3,)2k B k ⎛⎤=-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦因为A B R =，所以552322k k ≤<≤，解得4556k ≤≤；当k 0<时，5(,3],2k B k ⎡⎫=-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭，因为A B R =,所以353122kk -≤<≤-，解得: 1225k -≤≤-，当0k =时，B R =,A B R =成立，综上: 实数k 的取值范围1245,{0},2556⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.(3)因[][]1x x x ≤<+， 又[]0x <时,方程2440[]510x x -+=不成立, 所以[]0x ≥,所以222([])([]1)x x x ≤<+,所以224([])40[]514([]1)x x x ≤-<+,224([]1)40[]5104[]40[]510x x x x ⎧+-+>∴⎨-+≤⎩,所以224[]32[]5504[]40[]510x x x x ⎧-+>⎨-+≤⎩所以(2[]5)(2[]11)0(2[]3)(2[]17)0x x x x -->⎧⎨--≤⎩,所以11[]2x >或5[]2x <且317[]22x ≤≤,所以35[]22x ≤< 或1117[]22x <≤,所以[]2x =或[]6x =或[]7x =或[]8x =,当[]2x =时,原方程化为24290x -=,所以x =,当[]6x =时,原方程化为241890x -=,所以2x ==,当[]7x =时,原方程化为242290,x x -==,当[]8x =时,原方程化为242690,x x -==， 经检验知，这四个值都是原方程的解.故方程2440[]510x x -+=的实数解为:x =或2x =或2x =或2x =. 【点睛】本题考查了对新定义的理解,一元二次不等式的解法,属于难题.。

2020-2021上海市高一数学上期中第一次模拟试题及答案一、选择题1．若集合{}|1,A x x x R =≤∈，{}2|,B y y x x R ==∈，则A B =IA ．{}|11x x -≤≤B ．{}|0x x ≥C ．{}|01x x ≤≤D ．∅2．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-≤≤⋂=Z ，则A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，， 3．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=L （ ）A ．50-B ．0C ．2D ．504．已知函数224()(log )log (4)1f x x x =++，则函数()f x 的最小值是A ．2B ．3116C ．158D ．15．函数()1ln f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．6．已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（ ） A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,4-C ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]5,5-7．函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．8．已知定义在R 上的函数()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<9．已知0.80.820.7,log 0.8, 1.1a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．b c a <<10．三个数0.377,0.3,ln 0.3a b c ===大小的顺序是（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>11．方程 4log 7x x += 的解所在区间是（ ） A ．(1,2)B ．(3,4)C ．(5,6)D ．(6,7)12．函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．若函数()24,43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩恰有2个零点，则λ的取值范围是______.14．函数()22()log 23f x x x =+-的单调递减区间是______．15．已知函数()(),y f x y g x ==分别是定义在[]3,3-上的偶函数和奇函数，且它们在[]0,3上的图象如图所示，则不等式()()0f x g x ≥在[]3,3-上的解集是________.16．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.17．已知2()y f x x =+是奇函数，且f （1）1=，若()()2g x f x =+，则(1)g -=___．18．定义在[3,3]-上的奇函数()f x ，已知当[0,3]x ∈时，()34()x xf x a a R =+⋅∈，则()f x 在[3,0]-上的解析式为______．19．若集合(){}22210A x k x kx =+++=有且仅有2个子集，则满足条件的实数k 的最小值是____.20．已知函数()()0f x ax b a =->，()()43ff x x =-，则()2f =_______．三、解答题21．某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为212m ，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元.如果墙高为3m ，且不计房尾背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低造价是多少？22．已知函数22()f x x x=+. （1）求(1)f ，(2)f 的值；（2）设1a b >>，试比较()f a 、()f b 的大小，并说明理由； （3）若不等式2(1)2(1)1f x x m x -≥-++-对一切[1,6]x ∈恒成立，求实数m 的最大值. 23．设集合222{|40},{|2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=，若A ∩B=B ，求a 的取值范围．24．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收益P 、种黄瓜的年收益Q 与投入a(单位：万元)满足P ＝80＋1a 4Q =＋120.设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)． (1)求f(50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？25．已知()221g x x ax =-+在区间[]13， 上的值域为[]0,4。