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系部 专业班级 学号 姓名 密封线 答题留空不够时，可写到纸的背面 注意保持装订完整，试卷折开无效 装订线二．填空题（每题2分，共10分）1.已知().P A =06, ()|.P B A =03, 则()P A B ⋂= ___0.18_______;2.甲、乙、丙3人独立地译出一种密码，他们能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4，则能译出这种密码的概率为35； 3．一种动物的体重X 是一随机变量，设()(),E X D X ==334，10个这种动物的平均体重记作Y ，则()D Y ＝__ 0.4 _;4. 已知,36)(,25)(==Y D X D X 与Y 的相关系数为4.0=XY ρ,则)(Y X D -= 37 ;5. 设12,,,n X X X 是取自总体),(2σμN 的样本，则统计量2211()nii Xμσ=-∑服从2()n χ分布.三．计算下列各题（共80分）1．（10分）例 1.某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录三家厂的次品率分别为0.02,0.01,0.03，三家厂所提供的份额分别为0.15,0.80,0.05。
设这三家厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志.（1）在仓库中随机取一只元件，求它是次品的概率；（2）在仓库中随机取一只元件，若已知取到的是次品，求出此次品由第一家工厂生产的概率是多少？解：设A 表示“取到的是一只次品”，（i=1,2，3）表示“所取到的产品是由第i 家工厂提供的”,则P()=0.15 P()=0.80 P()=0.05P(=0.02 P(=0.01 P(=0.03 （3分）1>.由全概率公式()112233(|)()(|)()(|) ?()A B B A B B B A A B =++P P P P P P P 0.0125= （5分） 2>.由贝叶斯公式P() = = = 0.24 （10分）桂林理工大学考试试卷 (2014--2015 学年度第 一 学期)课 程 名 称：概率统计 A 卷 命 题：基础数学教研室 题 号 一二三总 分得 分一． 单项选择题（每小题2分，共10分）1．如果 1)()(>+B P A P ，则 事件A 与B 必定（ C ）)(A 独立 )(B 不独立 )(C 相容 )(D 不相容2．设随机变量X 服从二项分布(,)B n p ，且()()2.1 1.47==E X D X ，则二项分布的参数,n p 的值为( A ) ()70.3==A n p ()30.7==B n p ()210.1==C n p ()40.6==D n p3．设随机变量X 服从)1,0(N 分布，12+=X Y ，则~Y （ B ） ()(0,1)()(1,4)()(1,2)()(0,4)A N B N C N D N4. 已知X 服从泊松分布，则()D X 与()E X 的关系为（ C ） )(A ()()D X E X > )(B ()()D X E X < )(C ()()D X E X = )(D 以上都不是5. 设321,,X X X 是取自N (,)μ1的样本，以下μ的四个估计量中最有效的是（ D ）)(A 32112110351ˆX X X ++=μ)(B 3212949231ˆX X X ++=μ)(C 3213216131ˆX X X ++=μ)(D 32141254131ˆX X X ++=μX-1-1 0.12将联合分布表每行相加得-10.6将联合分布表每列相加得-10.30,1,;0θ<<!!n e X ， （4分）()1ln !!!n X X θ- n ，令ln 0,d d θ=得1n θ= (10000,0.005b49.75， ()2.84Φ-Φ。
2015年高考理数专题复习---概率统计预测2013年高考中，本节的内容还是一个重点考查的内容，因为这部分内容与实际生活联系比较大，随着新课改的深入，高考将越来越重视这部分的内容，排列、组合、概率、统计都将是重点考查内容，至少会考查其中的两种类型。
（1）概率统计试题的题量大致为2道，约占全卷总分的6％-10％，试题的难度为中等或中等偏易。
（2）概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。
这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神。
复习建议在复习中，要注意理解变量的多样性，深化函数的思想方法在实际问题中的应用，充分注意一些概念的实际意义，理解概率中处理问题的基本思想方法，掌握所学概率知识的实际应用.1.把握基本题型应用本章知识要解决的题型主要分两大类：一类是应用随机变量的概念，特别是离散型随机变量分布列以及期望与方差的基础知识，讨论随机变量的取值范围，取相应值的概率及期望、方差的求解计算；另一类主要是如何抽取样本及如何用样本去估计总体.作为本章知识的一个综合应用，教材以实习作业作为一节给出，应给予足够的重视.2.强化双基训练主要是培养扎实的基础知识，迅捷准确的运算能力，严谨的判断推理能力.3.强化方法选择特别在教学中要掌握思维过程，引导学生发现解决问题的方法，达到举一反三的目的，还要进行题后反思，使学生在大脑记忆中构建良好的数学认知结构，形成条理化、有序化、网络化的有机体系.4.培养应用意识要挖掘知识之间的内在联系，从形式结构、数字特征、图形图表的位置特点等方面进行联想和试验，找到知识的“结点”.再有就是将实际问题转化为纯数学问题进行训练，以培养利用所学知识解决实际问题的能力.母题一：5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲然后由乙各抽一张，求：（1）甲中奖的概率；（2）甲、乙都中奖的概率； （3）只有乙中奖的概率； （4）乙中奖的概率.母题二：某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都“合格”则该课程考核“合格”.甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9、0.8、0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9.所有考核是否合格相互之间没有影响.（1）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；（2）求这三人该课程考核都合格的概率（结果保留三位小数）.母题三：某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查（简称安检）.若安检不合格，则必须整改，若整改后经复查仍不合格，则强制关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算（结果精确到0.01）： （1）恰好有两家煤矿必须整改的概率；（2）至少关闭一家煤矿的概率.母题四：袋中有3个白球，3个红球和5个黑球.从中抽取3个球，若取得1个白球得1分，取得1个红球扣1分，取得1个黑球得0分.求所得分数 的分布列.母题五:.A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验.每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效.若在一个试验组中，服用A有效的小白2，服鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组.设每一只小白鼠服用A有效的概率为31. （1）求一个试验组为甲类组的概率；（2）观察3个试验组，用ξ表示这3用B有效的概率为2个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望.7 8 99 4 4 6 4 7 3高考模拟1．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是( )（A ）8，8 （B ）10，6 （C ）9，7 （D ）12，4【答案】C2.右图是 2011年在某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )A.84,4.84B. 84,1.6C. 85,1.6D. 85,4【答案】C 【解析】2580855x =+=,244 1.6.5s +== 3.如图，矩形O A B C 内的阴影部分是由曲线()()()sin 0,f x x x π=∈及直线()()0,x a a π=∈与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为14，则a 的值是( ) A .712π B.23π C .34π D.56π 【答案】B【答案】A6．右图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约（ ） A ．523 B ．521 C ．519 D ．516 【答案】A 7．设一直角三角形两直角边的长均是区间（0，1）的随机数，则斜边的长小于34的概率为（ ） A ．964 B ．964π C ．916π D ．916【答案】B8．已知椭圆2214x y +=的焦点为12,F F ，在长轴A 1A 2上任取一点M ，过M 作垂直于A 1A 2的直线交椭圆于点P ，则使得120PF PF ⋅< 的点M 的概率为（ ）A B C D ．12【答案】B9.在样本的频率分布直方图中, 共有9个小长方形, 若第一个长方形的面积为0.02, 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数,若样本容量为160,则中间一组（即第五组）的频数为（）A.12B.24C.36D.48【答案】C10．盒子中放有编号为1,2,3,4,5的形状和大小完全相同的5个白球和5个黑球，则取出球的编号互不相同的概率为（）A．115B．112C．12D．23【答案】D【解析】32352180.33243 P C⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.对某种花卉的开放花期追踪调查，调查情况如下：则这种卉的平均花期为__ _天．【答案】16天（15.9天给满分）16．（本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[)4050，，[)5060，，…，[]90100，后得到如下图的频率分布直方图．（1）求图中实数a的值；（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（3）若从数学成绩在[)4050，与[]90100，两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率。
2005级建筑工程（本）自考班 概率统计期末考试题（A 卷）参考答案一、填空 1. ABBC AC 或 ABC ABC ABC ABC2. 出现的点数恰为53. r p -A 与B 互斥∴ ()()()P A B P A P B =+ 则 ()()()P B P A B P A r p =-=-4.21 ()22~21124()114412X e EX DX EX DX EX ∴===+=+=，则5. 0.25由题设，可得X sin 的概率分布为{}sin 00.250.250.5P X ==+={}5.021sin =⎭⎬⎫⎩⎨⎧===πX P X P则 ()sin 0.5E X =，()sin 0.50.50.25D X =⨯=二、单项选择 1．D 2. A 3. A利用集合的运算性质可得. 4．DA 与B 互斥()0P AB ∴=故 ()()()()P A B P A P AB P A -=-= 5．BB A ⊂ AB B ∴=故 ()()P AB P B = 6. (C )由已知X 服从二项分布(,)B n p ，则()1DX np p =- 又由方差的性质知,(21)4(1)D X np p -=-7. (B )()04X N 服从，04EX DX ∴==，于是 ()222E X X EX EX -=-⎡⎤⎣⎦()24DX EX EX =+-=28. (A ) 由正态分布密度的定义,有 22()2()()x p x x μσ--=-∞<<+∞24()()x x x ϕ--∞<<+∞⇒由 22242σσ=⇒=9. (D )X EX DX λ==若服从泊松分布,则∴如果EX DX ≠时,只能选择泊松分布. 10. (D )∵ X 为服从正态分布N (-1, 2), EX = -1 ∴ E (2X - 1) = -3三、计算与应用题 1. 解：设 A 表示“取到的两球颜色不同”，则1153A n C C =而样本点总数28C n =故 ()1153281528A C C n P A n C ===2. 解：设 A 表示“能把门锁打开”，则112373A n C C C =+，而210C n = 故 ()1123732108A 15A C C C n P n C +=== 3. 解：设 A 表示“有4个人的生日在同一月份”，则21124611C C n A =而样本点总数为612=n故 412612611()0.007312A C C n P A n === 4. 解：设 A 表示“至少取到一个次品”，因其较复杂，考虑逆事件A =“没有取到次品”则 A 包含的样本点数为A n 346C =。
概率统计综合测验(一)一、选择填空题(每小题3分，共18分)1. 箱中有5个白球3个红球，任取2个，则两个都是红球的概率为( )A.15/28B.13/28C.5/28D.3/282. 设X〜N(,2)，则随增加，概率P(|X | )( )A.单调增加B.单调减少C. 保持不变D.与有关3. 设总体错误！未找到引用源。
X : N(u, 2),X!,X2,X3是总体X的样本，贝U以下的无偏估计中，最有效的估计量是().A. 2X X1B. 1 2 X2 1 X2 3 6D. 2 4 1C. X X X2 X5 5 54. ________________________________________________________ 设P(A) 0.5, P(AUB) 0.8，且A与B互斥，则P(B) _________________________5. 设随机变量X在(1,6 )服从均匀分布，则P(2 X 4) __________________6. 若总体X ~ N( , 2)，其中2未知，则对总体均值进行区间估计时选择的枢轴量为_________二、计算题(每小题10分，共30分)1. 某保险公司把投保人分成三类：“谨慎的”、“一般的”、“冒险的”，占的比例分别为20%、50%、30%。
一年中他们出事故的概率分别为0.05、0.15、0.30.(1)求一年中投保人出事故的概率；(2)现有一投保人出了事故，求他是“谨慎的”客户的概率.2. 设随机变量X(1)求E(X) ; (2)求D(X).3.设随机变量X的概率密度为f(x)3x 小ce , x 00, 其他(1)求常数c;(2)求P(X 1).三、计算题(每小题10分，共40分) 1. 设二维随机变量(X,Y)具有联合分布律求(1)X 的边缘分布律；(2)P(X 2 Y 2 1). 2. 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y) (1) 求X 与Y 的边缘概率密度； (2) 判断X 与丫是否独立?(说明理由)1…、x 0x13.设总体X 的概率密度为f(x, )，0 x [错误！未找到引用0,其他源。
概率统计试卷 A一、填空题（共5 小题，每题 3 分，共计15分）1、设P(A) =a , P(B) = 0.3, P(A B ) = 0.7，若事件A 与B 互不相容，则 a = .2、设在一次试验中，事件A 发生的概率为p ，现进行n 次重复试验，则事件A 至少发生一次的概率为 .3、已知P(A ) = 0.3, P(B) = 0.4 , P(AB ) = 0.5，则P(|B A B )= .4、设随机变量X 的分布函数为0,0,()sin ,0,21.2x F x A x x x ππ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩则A = .5、设随机变量X ~(1)π，则P{2()X E X =}= . 二、选择题（共5 小题，每题3 分，共计15分）1、设P(A|B) = P(B|A)=14,2()3P A =, 则( )一定成立. (A) A 与B 独立，且2()5P A B =. (B) A 与B 独立，且()()P A P B =. (C) A 与B 不独立，且7()12P A B =. (D) A 与B 不独立， 且(|)(|)P A B P A B =.2、下列函数中，（ ）可以作为连续型随机变量的概率密度.(A)3sin ,,()20x x f x ππ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它. (B) 3sin ,,()20x x g x ππ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其它. (C)3s ,,()20co x x x ππϕ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它. (D) 31s ,,()20co x x h x ππ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其它. 3、设X 为一随机变量，若D(10X ) =10，则D(X ) = ( ).(A) 110. (B) 1. (C) 10. (D) 100.4、设随机变量X 服从正态分布2(1,2)N ，12100,,X X X 是来自X 的样本，X 为样本均值，已知~(0,1)Y aX b N =+，则有（ ）.(A)11,55a b ==. (B) 5,5a b ==.(C)11,55a b ==-. (D) 5,5a b ==-. 5、在假设检验中，显著性水平α的意义是（ ）. (A) 原假设0H 成立，经检验不能拒绝的概率.(B) 原假设0H 不成立，经检验被拒绝的概率. (C) 原假设0H 成立，经检验被拒绝的概率.(D)原假设0H 不成立，经检验不能拒绝的概率. 三、10片药片中有5片是安慰剂，(1)从中任取5片，求其中至少有2片是安慰剂的概率.(2)从中每次取一片，作不放回抽样，求前3次都取到安慰剂的概率. (本题10分)四、以X 表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（以分计），X 的分布函数是0.41,0,()0,0.x X e x F x x -⎧->=⎨≤⎩ 求下述概率：（1）P {至多3分钟}.（2）P {3分钟至4分钟之间}. (本题10分)五、设随机变量(X ,Y)的概率密度为()1(),0,0,(,)20x y x y ex y f x y -+⎧+>>⎪=⎨⎪⎩其它. (1) 求边缘概率密度(),()X Y f x f y .(2) 判断X 和Y 是否相互独立？ (本题10分)六、设随机变量X 的分布律为X -2 0 2 p k 0.4 0.3 0.3求22(),(35)E X E X +. (本题10分)七、设12,,n X X X 为总体的一个样本，12,,,n x x x 为一相应的样本值，总体密度函数为1,01,()0x f x ≤≤=⎪⎩其它. 其中θ>0,求θ为未知参数的矩估计值和估计量. (本题10分)八、用金球测定引力常数（单位：10-11312m kg s --⋅⋅），观察值为6.683 6.681 6.676 6.678 6.679 6.672设测定值总体为N 2(,)μσ，2,μσ均未知，试求2σ的置信水平为0.9的置信区间.(本题10分)(2s = 0.15×10-4,20.05χ(5) = 11.070, 20.05χ(6) = 12.592, 20.95χ(5) = 1.145，20.95χ(6)=1.635 ).九、按规定，100g 罐头番茄汁中的平均维生素C 含量不得少于21/mg g ，现从工厂的产品中抽取17个罐头，其 100g 番茄汁中测得平均维生素C 含量（/mg g ）记录如下：16 25 21 20 23 21 19 15 13 23 17 20 29 18 22 16 22设维生素含量服从正态分布2(,)N μσ，2,μσ均未知，问这批罐头是否符合要求（取显著性水平α= 0.05）.(本题10分) （225416s =, 0.05t (16) = 1.7459, 0.05t (17) = 1.7396, 0.025t (16) = 2.1199, 0.025t (17) =2.1098）参考答案一、1、0.3 2、1(1)np -- 3、0.25 4、1 5、12e 二、1、C 2、B 3、A 4、D 5、C三、解 (1)设A=“任取5片，至少2片安慰剂.” ……1分法一23324155555555510113()126C C C C C C C P A C +++== ……4分 法二514555510113()1126C C C P A C +=-= ……4分 （2）设B=“不放回任取5片，前3次都取到安慰剂.” ……1分5431()109812P B =⋅⋅=……4分四、解（1） 设A={至多3分钟} ……1分0.431()(3)(3)11P A P X F e e -⨯-=≤==-=- ……4分(2) 设B={3分钟至4分钟之间} ……1分1.6 1.2 1.2 1.6()(34)(4)(3)(4)1(1)0P B P X F F P X e e e e ----=≤≤=-+==---+=- ……4分五、解 (1) (X, Y) 关于X 的边缘密度为()01(),0()(,)20,0x y X x y edy x f x f x y dy x +∞-++∞-∞⎧+>⎪==⎨⎪≤⎩⎰⎰ ……2分=1(1),020,0xx e x x -⎧+>⎪⎨⎪≤⎩ ……2分 (X, Y) 关于Y 的边缘密度为()01(),0()(,)20,0x y Y x y edx y f y f x y dx y +∞-++∞-∞⎧+>⎪==⎨⎪≤⎩⎰⎰ ……2分 =1(1),020,0yy e y y -⎧+>⎪⎨⎪≤⎩ ……2分 (2) ()()X Y f x f y ⋅=()1(1)(1),0,040,x y x y ex y -+⎧++>>⎪⎨⎪⎩其它 ……1分显然()()(,)X Y f x f y f x y ⋅≠，故X 和Y 不独立. ……1分六、解 E(X 2 )=(-2)2 ×0.4+ 02 ×0.3+22 ×0.3=2.8 …… 5分E(3X 2 +5)=3 E(X 2 )+5=3×2.8 +5=13.4 ……5分 七、解11()E X dx ==⎰⎰……3分110|==……3分由矩估计定义知11nii X X n ===∑ ……2分 解得矩估计值为2ˆ()1x x θ=- ……1分矩估计量为2ˆ()1X X θ=- ……1分八、解 2,μσ均未知，2σ的置信度为0.9的置信区间为2222/21/2(1)(1)[,](1)(1)n S n S n n ααχχ----- ……2分这里n = 6, 2α= 0.05, 2s =0.15×10-5查表得20.05χ(5)=11.070, 20.95χ(5)=1.145 ……3分 计算得 2462/2(1)50.1510 6.77410,(1)11.070n s n αχ---⨯⨯==⨯- ……2分24521/2(1)50.1510 6.55010,(1) 1.145n s n αχ----⨯⨯==⨯- ……2分即2σ的置信区间为[6.774×10-6,6.550×10-5]. ……1分九、解 检验假设H 0：μ≥21, H 1：μ<21. ……1分2σ未知，检验问题的拒绝域为(1)x t t n α=≤-- ……3分n = 17, α= 0.05, x = 20, 2s =254/16,查表得0.025t (16) = 1.7459 ……2分t ==–1.03>-1.7459 ……2分 故接受H 0即认为这批罐头符合要求. ……2分 概率统计试卷 B一、填空题（共5 小题，每题 3 分，共计15分）1、设A 、B 为两个随机事件，()P A = 0.7, ()P A B -= 0.3则()P AB = .2、已知()P A =14, (|)P B A =13, (|)P A B =12，则()P A B = .3、若随机变量X 的概率密度为,01(),02,40,2x ke x f x x x ⎧<⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩，则k = .4、设随机变量X 的分布率为 X -1 0 1k p 13 16 12 则X 的分布函数()F x = .5、设X 为随机变量，若已知2,()1,2XEX D ==则2(2)E X -= .二、选择题（共5 小题，每题3 分，共计15分）1、设A 、B 是两个相互独立的事件，且()0,()0,P A P B >>则()P A B ) =( )一定成立.(A) ()()P A P B + (B) 1()()P A P B -(C) 1()()P A P B + (D) 1()P AB -2、下列函数中，( )可以作为连续型随机变量的分布函数.(A) 1,0()10x e x F x x ⎧<=⎨≥⎩ (B)2,0()10x e x F x x -⎧<=⎨≥⎩ (C) 30,0()10x x F x e x <⎧=⎨-≥⎩ (D)40,0()10xx F x e x -<⎧=⎨+≥⎩ 3、设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，DX = 4，DY =2，则(32)D X Y -=( ).(A) 8 (B) 16(C) 28 (D) 444、设12,,(1)n X X X n >是来自正态总体N 2(,)μσ的简单随机样本，X 是样本均值，222212112222341111(),(),111(),(),1n n i i i i n n i i i i S X X S X X n n S X S X n n μμ=====-=--=-=--∑∑∑∑则服从自由度为n -1的t 分布的随机变量是( ).(A)X t =(B) X t =(C)X t =(D)X t =5、在假设检验中，0H 表示原假设，1H 为备择假设，则称为犯第二类错误是( ).(A) 1H 不真，接受1H (B) 1H 不真，接受0H (C) 0H 不真，接受0H (D) 0H 不真，接受1H三、已知在10件产品中有2件次品，在其中任取两次，每次任取一件，作不放回抽样，求下列事件的概率： (1) 两件都是正品;(2) 第二次取出的是次品. (本题10分)四、设事件A 在每次试验发生的概率为0.3，A 发生不少于3次时，指示灯发出信号，进行了5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率. (本题10分)五、设随机变量(X,Y)的概率密度为(),01,0(,)10x y e e x y f x y e -+⎧<<<<+∞⎪=-⎨⎪⎩其它 (1) 求边缘概率密度(),()X Y f x f y ;(2) 判断X 和Y 是否相互独立？ (本题10分)六、设随机变量12,X X 的概率密度别为212,0,()0,0.x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩ 424,0,()0,0.x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩ （1）求212(23)E X X -; （2）又设12,X X 相互独立，求12()E X X . (本题10分)七、设12,,(1)n X X X n >为总体X 的一个样本，12,,,n x x x 为一相应的样本值，总体密度函数为(1),()0c x x c f x θθθ-+⎧>=⎨⎩其它, 其中c>0为已知，θ>1,求θ为未知参数的最大似然估计值和估计量. (本题10分)八、用铂球测定引力常数（单位：10-11m 3.kg -1.s -2），观察值为6.661 6.661 6.667 6.667 6.664设测定值总体为N 2(,)μσ，2,μσ未知，试求2σ的置信水平为0.9的置信区间. (本题10分)（250.910,s -=⨯20.05χ(4) = 9.488, 20.05χ(5) = 11.071,20.95χ(4) = 0.711，20.95χ(5)=1.145 ）九、如果一个矩形的宽度与长度的比为11)2≈0.618，这样的矩形称为黄金矩形，某工艺厂生产的矩形的宽度与长度的比值总体服从正态分布N 2(,)μσ，现随机抽取16个，测得x = 0.6544, s = 0.0925， 其均值为μ，方差为2σ，2,μσ均未知，试检验假设H 0：μ= 0.618, H 1：μ≠0.618 （取α= 0.05）. (本题10分)（0.025t (19) = 2.0930, 0.025t (20) = 2.0860, 0.05t (19) = 1.7291, 0.05t (20) =1.72470.025t (15) = 2.1315, 0.025t (16) = 2.1199, 0.05t (15) = 1.7531, 0.05t (16) =1.7459）参考答案一、1、0.6 2、1/3 3、0.5 4、0,11,103()1,01211x x F x x x <-⎧⎪⎪-≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩ 5、4 二、1、B 2、A 3、D 4、B 5、C 三、解 设i A =“第i 次取出的是正品.”i B =“第i 次取出的是次品.” ……2分（1）121218728()()(|)10945P A A P A P A A ==⋅= ……4分 212121212121121(2)()()()()()(|)()(|)822191109109455P B P A B B B P A B P B B P A P B A P B P B B =⋃=+=+=⋅+⋅== ……4分四、解 设A 发生的次数为X ，B 为指示灯发出信号，则X 服从b （n ，p ）， n=5，p=0.3 ……4分法一5553()(3)(0.3)(0.7)0.163kk kk P B P X C -==≥=≈∑……6分法二2550()1(3)1(0.3)(0.7)0.163k k k k P B P X C -==-<=-≈∑ ……6分五、解 (1) (X, Y) 关于X 的边缘密度为()0,01()(,)1,x y X e e dy x f x f x y dy e +∞-++∞-∞⎧<<⎪==-⎨⎪⎩⎰⎰其它 ……2分 =,0110,xe e x e -⎧<<⎪-⎨⎪⎩其它 ……2分 (X, Y) 关于Y 的边缘密度为1()0,0()(,)1,0x y Y e e dx y f x f x y dx e y -++∞-∞⎧>⎪==-⎨⎪≤⎩⎰⎰……2分 =,00,0y e y y -⎧>⎨≤⎩ ……2分(2) ()()X Y f x f y ⋅(),01,010x y e e x y e -+⎧<<<<+∞⎪=-⎨⎪⎩其它 ……1分显然()()(,)X Y f x f y f x y ⋅=，故X 和Y 相互独立. ……1分 六、解11()2E X =，21()4E X = …… 2分 2222222111()()[()]()()448E X D X E X =+=+=……2分221212(1)(23)2()3()11523288E X X E X E X -=-=⋅-⋅=…… 3分（2）12,X X 独立，1212111()()()248E X X E X E X ==⋅= ……3分七、解 样本X 1,X 2,…,X n 的似然函数为(1)(1)11()nnnn i i i i L c xc x θθθθθθθ-+-+===∏⋅=⋅∏ ……3分 而1ln ()ln ln (1)ln nii L n n c x θθθθ==+-+∑ ……2分令1ln ()ln ln 0ni i d nL n c x d θθθ==+-=∑ ……2分解得的最大似然估计值为1ˆln ln nii nx n cθ==-∑ ……2分最大似然估计量为1ˆln ln nii nXn cθ==-∑ ……1分八、解 2,μσ均未知，2σ的置信度为0.9的置信区间为2222/21/2(1)(1)[,](1)(1)n S n S n n ααχχ----- ……2分这里n = 5, 2α= 0.05, 2s =0.9×10-5查表得20.05χ(4)=9.488, 20.95χ(4)=0.711 ……3分 计算得 2562/2(1)40.910 3.79410,(1)9.488n s n αχ---⨯⨯==⨯- ……2分25521/2(1)40.910 5.06310,(1)0.711n s n αχ----⨯⨯==⨯- ……2分即2σ的置信区间为[3.794×10-6,5.063×10-5]. ……1分九、解 检验假设H 0：μ= 0.618, H 1：μ≠ 0.618. ……1分2σ未知，检验问题的拒绝域为/2|||(1)x t t n α=≥- ……3分n = 16, α= 0.05, α/2 = 0.025, x = 0.6544, s = 0.0925, 查表得0.025t (15) = 2.1315 ……2分||||t ==1.574 < 2.1315 ……2分 故接受H 0即认为矩形的宽度与长度的比为0.618. ……2分概率统计试卷 C一、填空题（共5 小题，每题 3 分，共计15分） 1、设A 、B 、C 为三个随机事件， 11()()(),()()0,(),48P A P B P C P AB P BC P AC ======则()P A B C = . 2、设随机变量X 的概率密度为2(1),11,()0,k x x f x ⎧--<<=⎨⎩其他.，则k = .3、设随机变量X,Y 相互独立，~(1,4),~(10,0.4),X N Y b 则(2)D X Y -= .4、设12,,,n X X X 是来自总体2(,)N μσ的样本，X 是样本均值，则X 服从的分布为 .5、设12,,,n X X X 是来自总体2(,)N μσ的样本，2S 为样本方差，μ未知时，则2σ的一个置信水平为1α-的置信区间为 . 二、选择题（共5 小题，每题3 分，共计15分）1、设A 、B 是两个相互独立的事件，且()0,()0,P A P B >>则 ( )一定成立.(A) (|)1()P A B P A =- (B) (|)0P A B = (C) ()1()P A P B =- (D) (|)()P A B P B =2、函数()=y f x 是一连续型随机变量X 的概率密度，则（ ）一定成立. (A) ()f x 的定义域为[0,1] (B) ()f x 的值域为[0,1](C) ()f x 非负 (D) ()f x 在(-∞,∞)内连续3、设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，且都服从泊松分布，又知()2,()3,E X E Y ==则2()E X Y +=( ).(A) 51 (B) 10 (C) 25 (D) 304、设总体2~(,)X N μσ，其中μ已知，2σ未知，123,,X X X 是来自正态总体X 的一个容量为3的样本，则下列选项中不是统计量的是 ( ). (A) 123X X X ++ (B) 123max{,,}X X X(C)2222123()X X X σ++ (D) 132X X μ+- 5、设总体2~(,)X N μσ， 12,,,n X X X 是来自正态总体的样本，则2σ的无偏估计量是( ). (A) 211()n i i X X n =-∑ (B) 211()1n i i X X n =--∑(C) 2211n i i X X n =-∑ (D) 211()1n i i X X n =-+∑三、有两种花籽，发芽率分别为0.8, 0.9，从中各取一颗，设各花籽是否发芽相互独立，求（1）这两颗花籽都能发芽的概率， （2）恰有一颗能发芽的概率. (本题12分)四、设随机变量X 的分布函数为0,1,()ln ,1,1,.X x F x x x e x e <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩（1）求{2 2.5},P X <<（2）求密度函数().X f x (本题12分)五、设随机变量(X,Y )的概率密度为225.25,1,(,)0,x y x y f x y ⎧≤≤=⎨⎩其它. (1) 求边缘概率密度(),()X Y f x f y ;(2) 判断X 和Y 是否相互独立？ (本题12分)六、设随机变量(X,Y )的概率密度为212,01,(,)0,.y y x f x y ⎧≤≤≤=⎨⎩其他求(),().E X E XY (本题10分)七、设随机变量X 的分布律为1{}(1),0,1x xP X x p p x -==-=，1,2,,n X X X 是来自X的一个样本，12,,,n x x x 为一相应的样本值， p 为未知参数，求p 的最大似然估计值和估计量. (本题12分)八、某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%） 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24设测定值总体服从正态分布，但参数均未知，问在α= 0.01下能否接受假设：这批矿砂的镍含量的均值为 3.25. (本题12分)（s = 0.013, 0.005t (4) = 4.6041, 0.005t (5) = 4.0322, 0.01t (4) = 3.7459, 0.01t (5) = 3.3649）参考答案一、1、5/8=0.625 2、3/8=0.375 3、18.4 4、2(,)N n σμ5、2222/21/2(1)(1)(,)(1)(1)n S n S n n ααχχ-----二、1、A 2、C 3、D 4、C 5、B 三、解 设i A =“第i 种花籽取一颗.”（i =1,2）(1) P (两颗花籽都能发芽)=12()P A A12()()0.80.90.72P A P A ==⨯= ……6分(2) P (恰有一颗能发芽)=12121212()()()P A A A A P A A P A A =+1212()()()()0.80.10.20.90.26.P A P A P A P A =+=⨯+⨯= ……6分 四、解 (1) (2 2.5)(2.5)(2)X X P X F F <<=-5l n 2.5l n 2l n4=-= ……6分 (2)1,1,()()0,.X X x e f x F x x⎧<<⎪'==⎨⎪⎩其他 ……6分 五、解 (1) (X, Y ) 关于X 的边缘密度为 2125.25,11()(,)0,x X x ydy x f x f x y dy +∞-∞⎧-≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它 ……3分 2221241215.25(1),11280,xx y x x x ⎧=--≤≤⎪=⎨⎪⎩其它 ……2分 (X, Y ) 关于Y 的边缘密度为2,01()(,)0,Y x ydx y f y f x y dx +∞-∞⎧≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰其它 ……3分35/225.25 3.5,0130,y x y y ⎧=≤≤⎪=⎨⎪⎩其它……2分(2) ()()(,)X Y f x f y f x y ⋅≠，故X 和Y 不相互独立. ……2分 六、解()(,)E X x f x y dxdy∞∞-∞-∞=⎰⎰…… 2分 112400041245x dx xy dy x dx ===⎰⎰⎰， ……3分()(,)E XY xy f x y dxdy∞∞-∞-∞=⎰⎰……2分 113500011232x dx xy dy x dx ===⎰⎰⎰ …… 3分七、解 设12,,,n x x x 是相应于样本X 1,X 2,…,X n 的的一个样本值，X 的分布律为1{}(1),0,1x x P X x p p x -==-=故似然函数为1111()(1)(1)nniii i i i x n x nx x i L p p p p p ==--=∑∑=∏-=- ……4分 而11ln ()()ln ()ln(1)nni i i i L p x p n x p ===+--∑∑令11ln ()01nniii i xn x dL p dp pp==-=-=-∑∑ ……4分解得p 的最大似然估计值为 11ˆni i px x n ===∑最大似然估计量为 11ˆ.ni i pX X n ===∑ ……4分八、解 检验假设H 0：μ= 3.25, H 1：μ≠3.25 .2σ未知，检验问题的拒绝域为/2|||(1)x t t n α=≥- ……4分n = 5, α= 0.01, α/2 = 0.005, x = 3.252, s = 0.013,查表得0.005t (4) = 4.6041 ……4分|||t == 0.343 < 4.6041 故接受H 0即认为这批矿砂的镍含量的均值为3.25. ……4分概率统计试卷 D一、填空题（共5 小题，每题 3 分，共计15分）1、设事件A,B 相互独立，()0.4,()0.7,==P A P A B 则()P B = .2、设随机变量X 的概率密度为cos ,,()220,k x x f x ππ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其他.，则k = . 3、设随机变量123,,X X X 相互独立且都服从参数为λ的泊松分布，令1231()3Y X X X =++则()D Y = .4、设12,,,n X X X 是来自总体2(,)N μσ的样本，2,X S 分别是样本均值和样本方差，则22(1)n S σ-服从的分布为 .5、设12,,,n X X X 是来自总体2(,)N μσ的样本，2,X S 分别是样本均值和样本方差，2σ已知时，μ的一个置信水平为1-α的置信区间为 . 二、选择题（共5 小题，每题3 分，共计15分）1、设A 、B 是两个相互独立的事件，且()0,()0,P A P B >>则 ( )一定成立.(A) (|)1()P A B P A =- (B) (|)0P A B = (C) ()1()P A P B =- (D) (|)()P A B P B =2、函数()=y f x 是一连续型随机变量X 的概率密度，则（ ）一定成立.(A) ()f x 的定义域为[0,1] (B) ()f x 的值域为[0,1] (C) ()f x 非负 (D) ()f x 在(-∞,∞)内连续3、设()0,E X ≥且2111(1)2,(1),222E X D X -=-=则()E X =（ ）. (A)(B) 2(C) 1 (D) 04、设1234,,,X X X X 是来自正态总体X 的样本，其中μ已知，2σ未知，则下列选项中不是统计量的是 ( ).(A) 4114ii X X ==∑ (B) 142X X μ+-(C) 42211()3i i S X X ==-∑ (D) 42211()i i K X X σ==-∑5、设总体2~(,)X N μσ， 12,,,n X X X 是来自正态总体的样本，则2σ的无偏估计量是( ).(A) 211()n i i X X n =-∑ (B) 211()1n i i X X n =-+∑(C) 211()1n i i X X n =--∑ (D) 2211n i i X X n =-∑三、有两种花籽，发芽率分别为0.8, 0.9，从中各取一颗，设各花籽是否发芽相互独立，求（1）这两颗花籽都能发芽的概率，（2）恰有一颗能发芽的概率. (本题12分)四、设随机变量X 的分布函数为0,1,()ln ,1,1,.X x F x x x e x e <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩（1）求{03}P X <≤，（2）求密度函数().X f x (本题12分)五、设随机变量(X,Y )的概率密度为 4.8(2),01,0,(,)0,y x x y x f x y -≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它.(1) 求边缘概率密度(),()X Y f x f y ;(2) 判断X 和Y 是否相互独立？ (本题12分)六、设随机变量(X,Y )的概率密度为2,01,01,(,)0,.y x y f x y <<<<⎧=⎨⎩其他 ，求(),().E Y E XY (本题10分)七、设1,2,,n X X X 是来自总体X 的一个样本，12,,,n x x x 为一相应的样本值，总体X 的密度函数为 1,01,(,)(0)0,x x f x θθθθ-⎧<<=>⎨⎩其它.,求θ为未知参数的矩估计值和估计量. (本题12分)八、某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%） 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24设测定值总体服从正态分布，但参数均未知，问在α= 0.01下能否接受假设：这批矿砂的镍含量的均值为 3.25. (本题12分)（s = 0.013, 0.005t (4) = 4.6041, 0.005t (5) = 4.0322, 0.01t (4) = 3.7459, 0.01t (5) = 3.3649）参考答案一、1、0.5 2、1/2=0.5 3、13λ 4、2(1)n χ- 5、/2()X z α二、1、A 2、C 3、B 4、D 5、C 三、解 设i A =“第i 种花籽取一颗.”（i =1,2）(1) P (两颗花籽都能发芽)=12()P A A12()()0.80.90.72P A P A ==⨯= ……6分(2) P (恰有一颗能发芽)=12121212()()()P A A A A P A A P A A =+1212()()()()0.80.10.20.90.26.P A P A P A P A =+=⨯+⨯= ……6分 四、解 (1) (03)(3)(0)101X X P X F F <≤=-=-= ……6分(2)1,1,()()0,.X Xx e f x F x x ⎧<<⎪'==⎨⎪⎩其他 ……6分 五、解 (1) (X, Y ) 关于X 的边缘密度为4.8(2),01()(,)0,x X y x dy x f x f x y dy +∞-∞⎧-≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它 ……3分 2202.4(2) 2.4(2),010,x x y x x x ⎧-=-≤≤⎪=⎨⎪⎩其它 ……2分 (X, Y ) 关于Y 的边缘密度为14.8(2),01()(,)0,yY y x dx y f y f x y dx +∞-∞⎧-≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它 ……3分 21214.8[(2)] 2.4(34),0120,y y x y y y y ⎧--=-+≤≤⎪=⎨⎪⎩其它 ……2分(2) ()()(,)X Y f x f y f x y ⋅≠，故X 和Y 不相互独立. ……2分 六、解()(,)E Y y f x y dxdy∞∞-∞-∞=⎰⎰……2分 11112311000000222223333dx y dy y dx dx x =====⎰⎰⎰⎰， ……3分 ()(,)E XY xy f x y dxdy∞∞-∞-∞=⎰⎰……2分 1111231100000022112.3333dx xy dy xy dx xdx x =====⎰⎰⎰⎰ ……3分七、解 由矩法估计1()(,)E X x f x d xμθ∞-∞==⎰11110011x x dx x θθθθθθθ-+===++⎰ ……4分 以1A 代1μ得 1111ni i A X Xn θθ====+∑ ……4分得θ的矩估计量为ˆ,1X X θ=- θ的矩估计值为 ˆ1x x θ=-. ……4分 八、解 检验假设H 0：μ= 3.25, H 1：μ≠3.25 .2σ未知，检验问题的拒绝域为/2|||(1)x t t n α=≥- ……4分n = 5, α= 0.01, α/2 = 0.005, x = 3.252, s = 0.013,查表得0.005t (4) = 4.6041 ……4分|||t ==0.343 < 4.6041 故接受H 0即认为这批矿砂的镍含量的均值为3.25. ……4分。
