1989考研数学三真题和详解

数三考研真题及答案数学是考研数学一和数学二中的一门科目，也是许多考生最为关注的科目之一。

为了更好地备考数学，考生们普遍会通过做真题来提高自己的解题能力。

本文将为大家提供一份数学三（数三）考研真题及答案，希望对考生们的备考有所帮助。

一、选择题1. 集合A由m个不同的整数组成，集合B由n个不同的整数组成，A与B有r个公共元素。

则A与B的并集有几个元素？A. m + nB. m + n - rC. m + n + rD. m - n + r答案：B2. 设函数f(x) = x^n，其中n为大于1的正整数。

若f(2+x) = f(2-x)，则x的值为多少？A. 0B. 1C. 2D. -1答案：A二、填空题1. 若f(x) = x^2 + 1，则f(a) + f(-a)的值为________。

答案：22. 设A为一个n阶方阵，若A^2 = A，则称A满足条件________。

答案：幂等矩阵三、解答题1. 解方程组：2x + 4y = 103x - 2y = 7解答：首先，将第二个方程两边同乘以2，得到方程6x - 4y = 14。

然后，将第一个方程和得到的方程相加，得到8x = 24，解得x = 3。

将x的值代入第一个方程，得到3*2 + 4y = 10，解得y = 1。

因此，方程组的解为x = 3，y = 1。

2. 求函数f(x) = e^xln(1 - x)的定义域。

解答：首先，根据指数函数的定义域可知，e^x的定义域为实数集R。

其次，根据对数函数的定义域可知，ln(1 - x)的定义域为(-∞, 1)。

因此，函数f(x) = e^xln(1 - x)的定义域为x < 1。

以上就是数学三（数三）考研真题及答案的部分内容。

希望通过这些题目的练习，考生们能够提高自己的解题能力，为考研数学的顺利通过打下坚实的基础。

祝愿所有的考生都能在考试中取得优异的成绩！。

1989－2004数学三、四考研试题（线性代数部分3）三、计算证明题1. 已知X=AX+B ，其中A =，B = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−1-01111010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−350211求矩阵X .。

（1989年数学三、四）2. 设)t ,3,1(),3,2,1(),1,1,1(321===ααα。

（1）问当t 何值时，向量组321,,ααα线性无关? (2) 问当t 何值时，向量组321,,ααα线性相关?（3）当向量组321,,ααα线性相关时，将3α表示为21,αα的线性组合。

（1989年数学三）3. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=1-222-12221A（1） 试求矩阵A 的特征值（2） 利用（1）小题的结果，求矩阵1−+A E 的特征值，其中E 是三阶单位矩阵。

（1989年数学三）4. 讨论向量组)t ,3,5(),-1,3,1(),0,1,1(321===ααα的线性相关性。

（1989年数学四）5. 已知线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−+++=+++=−+++=++++2334562203235432154325432154321x x x x x b x x x x x x x x x ax x x x x （1）为何值时，方程组有解？b a ,（2）方程组有解时，求出方程组的导出组的一个基础解系；（3）方程组有解时，求出方程组的全部解。

（1990年数学三、四）6. 已知对于n 阶矩阵A ，存在自然数k ，使得。

试证明矩阵可逆，并写0A k =A E −出其逆矩阵的表达式（E 为n 阶单位阵）。

（1990年数学三）7. 设A 为n 阶矩阵，21,λλ是A 的两个不同的特征值，是分别属于21x ,x 21λλ和的特征向量。

试证明21x x +不是A 的特征向量。

（1990年数学三）8. 设A 为矩阵，1010×⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000101000001000001000001010"""""""""""A计算行列式||E A λ−.（1990年数学四）9. 设方阵A 满足条件E A A T=，其中是A 的转置矩阵，E 为单位阵。

随机变量及其分布考研试题一、填空题1．（2000年数学三）设随机变量X 的概率分布密度为()[][]101323690x f x x ⎧∈⎪⎪⎪=∈⎨⎪⎪⎪⎩，若，，，若，，，其它. 若k 使得{}P X k ≥=23,则k 的取值范围是____________. 2．（1989年数学一）若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程210x x ξ++=有实根的概率是_________.3．（1993年数学一）若随机变量X 在（0，2）上服从均匀分布，则随机变量Y =2X 在（0，4）内的概率分布密度()Y f y =_____.4．（1994年数学三）设随机变量X 的分布密度为()201,0,x x f x <<⎧=⎨⎩， 其它. 以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件12X ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭出现的次数，则{}2P Y ==_______. 5.(2005年数学一、三、四)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X ,再从1X ，，中任取一个数,记为Y ,则{}2P Y == .二、选择题1．（1993年数学四）设随机变量X 与Y 均服从正态分布，X 22(,4),(,5)N Y N μμ;记1{4},p P X μ=≤-2{5}p P Y μ=≥+，则（ ）A ．对任何实数μ，都有1p =2p ；B ．对任何实数μ，都有1p <2p ；C ．只对μ的个别值，才有1p =2pD ．对任何实数μ，都有1p >2p ；2.（1995年数学三、四）设随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则随σ的增大，概率{}||P X μσ-<( ).A ．单调增大，B ．单调减少，C ．保持不变，D ．增减不定．3．(2006年数学四)设随机变量X 服从正态分布N μσ211（，）,随机变量Y 服从正态分布N μσ222（，）,且{}{}1211P X P Y μμ-<>-<,则必有（ ）. 12121212.,.,.,..A B C D σσσσμμμμ<><>4.(1998年数学三、四)设1()F x 与2()F x 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数.为使12()()()F x aF x bF x =-是某一随机变量的分布函数,在下列给定的各组数值中应取( ).A ．32,55a b ==-，B ．22,33a b ==， C ．13,22a b =-=， D ．13,22a b ==-. 三、计算与证明题1.（1995年数学三、四）假设一厂家生产的每台仪器,以概率0.70可以直接出厂;以概率0.30需进一步调试,经调试后以概率0.80可以出厂;以概率0.20定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了(2)n n ≥台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立).求(1)全部能出厂的概率α;(2)其中恰好有两件不能出厂的概率β;(3)其中至少有两件不能出厂的概率θ.2.（1989年数学三）设随机变量X 在[2,5]上服从均匀分布,现在对X 进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.3.(1993年数学三、四)假设一大型设备在任何长为t 的时间内发生故障的次数()N t 服从参数为t λ的泊松分布,(1)求相继两次故障之间时间间隔T 的概率分布;(2)求在设备已经无故障工作8小时的情形下,再无故障运行8小时的概率Q .4．（2003年数学三）设随机变量X的概率密度为[1,8],()0x f x ∈=⎩，其它.()F x 为X 的分布函数，求随机变量()Y F X =的分布函数.5.(1995年数学四)假设随机变量X 服从参数2的指数分布.证明: 21X Y e -=-在区间(0,1)上服从均匀分布.6.(1997年数学三),数学四)假设随机变量X 的绝对值不大于1；11{1},{1}84P X P X =-===；在事件{11}X -<<出现的条件下, X 在(1,1)-内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比.试求:(1) X 的分布函数(){}F x P X x =≤；(2) X 取负值的概率p .。

考研数学真题——数三１９８９－２０１４1999年全国硕士研究生入学统一考试1999年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）一、填空题：（本题共5小题，每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上）（1）设()f x 有一个原函数sin x x ，则2()xf x dx ππ'=⎰.（2）111()2n n n ∞-==∑_____________.（3）设101020101A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，而2n ≥为正整数，则12n n A A --=________.（4）在天平上重复称量一重为α的物品，假设各次称量结果相互独立且服从正太分布2(,0.2)N a 。

若以n X 表示n 次称量结果的算术平均值，则为使{<0.1}0.95n P X a -≥，n 的最小值应不小于自然数___________.（5）设随机变量(,1,2,,;2)ij X i j n n =⋅⋅⋅≥独立同分布，2ij Ex =，则行列式111212122212n n n n X X X X X X Y X X Xnn⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅的数学期望EY =________.二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设()f x 是连续函数，()F x 是()f x 的原函数，则()(A)当()f x 为奇函数时，()F x 比为偶函数.(B)当()f x 为偶函数时，()F x 比为奇函数.(C)当()f x 为周期函数时，()F x 比为周期函数.(D)当()f x 为单调增函数时，()F x 比为单调增函数.（2）设(,)f x y 连续，且(,)(,)D f x y xy f u v dudv =+⎰⎰，其中D 是由0y =，2y x =，1x =1999年全国硕士研究生入学统一考试所围成的区域，则(,)f x y 等于()(A)xy .(B)2xy .(C)18xy +.(D)1xy +.（3）设向量β可由向量组12,,,m ααα⋅⋅⋅线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：12-1,,,m ααα⋅⋅⋅表示，记向量组（Ⅱ）：12-1,,,,m αααβ⋅⋅⋅，则()(A)m α不能由(Ⅰ)线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示.(B)m α不能由(Ⅰ)线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示.(C)m α可由(Ⅰ)线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示.(D)m α可由(Ⅰ)线性表示，但不可由（Ⅱ）线性表示.（4）设,A B 为n 阶矩阵，且A 与B 相似，E 为n 阶单位矩阵，则()(A)E A E B λλ-=-.(B)A 与B 有相同的特征值和特征向量.(C)A 与B 都相似于一个对角矩阵.(D)对任意常数t ，tE A -与tE B -相似.（5）设随机变量101~(1,2)111424i X i -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，且满足{}1201P X X ==，则{}12=P X X 等于()(A)0.(B)14.(C)12.(D)1.三、（本题满分6分）曲线1y x=的切线与x 轴和y 轴围成一个图形，记切点的横坐标为a .试求切线方程和这个图形的面积。

1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.)(1) 曲线2sin y x x =+在点122,ππ⎛⎫+⎪⎝⎭处的切线方程是__ _ . (2)幂级数0n n ∞=的收敛域是__ _ . (3) 齐次线性方程组1231231230,0,0x x x x x x x x x λλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 只有零解,则λ应满足的条件是__ _ .(4) 设随机变量X 的分布函数为()00sin 0212,x ,F x A x,x ,,x ,ππ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩ 则A =__________,6P X π⎧⎫<=⎨⎬⎩⎭ . (5) 设随机变量X 的数学期望()E X μ=,方差2()D X σ=,则由切比雪夫(Chebyshev)不等式,有{3}P X μσ-≥≤__ _ .二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设()232x xf x ,=+-则当0x →时 ( ) (A) ()f x 与x 是等价无穷小量 (B) ()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量(C) ()f x 是比x 较高阶的无穷小量 (D) ()f x 是比x 较低阶的无穷小量(2) 在下列等式中,正确的结果是 ( )(A)()()f x dx f x '=⎰ (B) ()()df x f x =⎰ (C) ()()d f x dx f x dx=⎰ (D) ()()d f x dx f x =⎰ (3) 设A 为n 阶方阵且0A =,则 ( )(A) A 中必有两行(列)的元素对应成比例(B) A 中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合(C) A 中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合(D) A 中至少有一行(列)的元素全为0(4) 设A 和B 均为n n ⨯矩阵,则必有 ( )(A) A B A B +=+ (B)AB BA = (C) AB BA = (D) ()111A B A B ---+=+(5) 以A 表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件A 为 ( )(A) “甲种产品滞销,乙种产品畅销” (B) “甲、乙两种产品均畅销”(C) “甲种产品滞销” (D) “甲种产品滞销或乙种产品畅销”三、计算题(本题满分15分,每小题5分)(1) 求极限11lim sin cos xx .x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭ (2) 已知(,),,,z f u v u x y v xy ==+=且(,)f u v 的二阶偏导数都连续.求2z x y∂∂∂. (3) 求微分方程562x y y y e -'''++=的通解.四、(本题满分9分)设某厂家打算生产一批商品投放市场.已知该商品的需求函数为 2()10x P P x e -==,且最大需求量为6,其中x 表示需求量,P 表示价格.(1) 求该商品的收益函数和边际收益函数.(2分)(2) 求使收益最大时的产量、最大收益和相应的价格.(4分)(3) 画出收益函数的图形.(3分)五、(本题满分9分)已知函数 ,01,()2,1 2.x x f x x x ≤≤⎧=⎨-≤≤⎩试计算下列各题：(1) 200();x S f x e dx -=⎰(4分) (2) 412(2);x S f x e dx -=-⎰(2分) (3) 222(2)(2,3,);n xn n S f x n e dx n +-=-=⎰(1分) (4) 0n n S S ∞==∑.(2分)六、(本题满分6分)假设函数()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,且()0f x '≤,记1()(),x aF x f t dt x a =-⎰ 证明在(,)a b 内,()0F x '≤.七、(本题满分5分)已知X AX B,=+其中010111101A ,⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦112053B ,-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦求矩阵X .八、(本题满分6分)设123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,)t ααα===.(1) 问当t 为何值时,向量组123,,ααα线性无关?(3分)(2) 问当t 为何值时,向量组123,,ααα线性相关?(1分)(3) 当向量组123,,ααα线性相关时,将3α表示为1α和2α的线性组合.(2分)九、(本题满分5分)设122212221A .-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦(1)试求矩阵A 的特征值；(2分)(2)利用(1)小题的结果,求矩阵1E A -+的特征值,其中E 是三阶单位矩阵.(3分)十 、(本题满分7分)已知随机变量X 和Y 的联合密度为 (),,,(,)0,x y e x y f x y -+⎧<<+∞<<+∞=⎨⎩ 00其它. 试求：(1) {}P X Y <；(5分) (2) ()E XY .(2分)十一、(本题满分8分) 设随机变量X 在[2,5]上服从均匀分布,现在对X 进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.。

2000年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题二、选择题2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(1) 设生产函数为Q AL K αβ=, 其中Q 是产出量, L 是劳动投入量, K 是资本投入量,而A , α, β均为大于零的参数,则当Q =1时K 关于L 的弹性为(2) 某公司每年的工资总额比上一年增加20％的基础上再追加2 百万.若以t W 表示第t 年的工资总额(单位：百万元)，则t W 满足的差分方程是___(3) 设矩阵111111,111111k k A k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦且秩(A )=3,则k = (4) 设随机变量X ,Y 的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5.则根据切比雪夫不等式{}-6P X Y ≥≤ .(5) 设总体X 服从正态分布2(0,0.2),N 而1215,,X X X 是来自总体X 的简单随机样本，则随机变量()221102211152X X Y X X ++=++服从___分布，参数为_______ 二、选择题(1) 设函数f (x )的导数在x =a 处连续,又'()lim1,x af x x a→=--则( ) (A) x = a 是f (x )的极小值点. (B) x = a 是f (x )的极大值点. (C) (a , f (a ))是曲线y = f (x )的拐点.(D) x =a 不是f (x )的极值点, (a , f (a ))也不是曲线y =f (x )的拐点.(2) 设函数0()(),xg x f u du =⎰其中21(1),012(),1(1),123x x f x x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩则g (x )在区间(0,2) 内( )(A)无界 (B)递减 (C) 不连续 (D) 连续(3) 设1112131414131211212223242423222113132333434333231414243444443424100010100,,,00101000a a a a a a a a a a a a a a a a A B P a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 210000010,01000001P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中A 可逆,则1B -等于( ) (A)112A P P - (B)112P A P - (C)112P P A - (D)121P A P -.(4) 设A 是n 阶矩阵，α是n 维列向量.若秩0TA αα⎛⎫=⎪⎝⎭秩(A)，则线性方程组( )(A)AX =α必有无穷多解 ()B AX =α 必有惟一解.()C 00TA X y αα⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭仅有零解 ()D 00TAX y αα⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭必有非零解.(5) 将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数,则X 和Y 的相关系数等于( )(A) -1 (B) 0 (C)12(D) 1三 、(本题满分5 分)设u = f (x ,y ,z )有连续的一阶偏导数,又函数y =y (x )及z =z (x )分别由下列两式确定:2xy e xy -=和0sin ,x zxt e dt t -=⎰求dudx四 、(本题满分6 分)已知f (x )在(−∞,+∞)内可导,且lim '(),x f x e →∞=lim()lim[()(1)],xx x x c f x f x x c→∞→∞+=--- 求c的值.五 、(本题满分6 分)求二重积分221()2[1]x y Dy xedxdy ++⎰⎰的值,其中D 是由直线y =x , y = −1及x =1围成的平面区域六、(本题满分7 分)已知抛物线2y px qx =+(其中p <0,q >0)在第一象限与直线x +y =5相切，且此抛物线与x 轴所围成的平面图形的面积为S.(1) 问p 和q 为何值时，S 达到最大? (2)求出此最大值.七、(本题满分6 分)设f (x )在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足1130(1)(),(1).x f k xe f x dx k -=>⎰证明：存在ξ∈(0,1), 使得1'() 2(1)().f f ξξξ-=-八、(本题满分7 分)已知()n f x 满足'1()()n x n n f x f x x e -=+(n 为正整数)且(1),n ef n=求函数项级数 1()ni fx ∞=∑之和.九、(本题满分9 分)设矩阵11111,1.112a A a a β⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦已知线性方程组AX =β有解但不唯一,试求: (1) a 的值;(2) 正交矩阵Q,使T Q AQ 为对角矩阵.十、(本题满分8 分)设A 为n 阶实对称矩阵，秩(A)=n ，ij A 是()ijn nA a ⨯=中元素ij a 的代数余子式(i ,j=1,2,…,n )，二次型1211(,,).n nij n i j i j A f x x x x x A===∑∑(1) 记12(,,),n A x x x =把1211(,,).nnij n i j i j A f x x x x x A===∑∑写成矩阵形式，并证明二次型()f X 的矩阵为1A -;(2) 二次型()T g X X AX =与()f X 的规范形是否相同？说明理由.十一、(本题满分8 分)生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的,假设每箱平均重50 千克,标准差为5千克.若用最大载重量为5 吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977. (Φ(2)=0.977,其中Φ(x) 是标准正态分布函数).十二、(本题满分8 分)设随机变量X 和Y 对联和分布是正方形G={(x,y)|1≤x≤3,1≤y≤3}上的均匀分布，p u试求随机变量U={X−Y} 的概率密度().2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上) (1) 设常数12a ≠，则21lim ln .(12)nn n na n a →∞⎡⎤-+=⎢⎥-⎣⎦(2)交换积分次序：111422104(,)(,)yydy f x y dx dy f x y dx +=⎰⎰⎰.(3) 设三阶矩阵122212304A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，三维列向量(),1,1T a α=.已知A α与α线性相关，则a =.(4) 设随机变量X 和Y 的联合概率分布为X 和Y 的协方差22cov(,)X Y =.(5) 设总体X 的概率密度为(),,(;)0,x e x f x x θθθθ--⎧≥=⎨<⎩若若 而12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，则未知参数θ的矩估计量为二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上有定义，在开区间(,)a b 内可导，则 ( )(A)当()()0f a f b <时，存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ=.(B)对任何(,)a b ξ∈，有lim[()()]0x f x f ξξ→-=.(C)当()()f a f b =时，存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ'=. (D)存在(,)a b ξ∈，使()()()()f b f a f b a ξ'-=-.(2) 设幂级数1nn n a x ∞=∑与1nn n b x ∞=∑的收敛半径分别为3与13，则幂级数221nn i na xb ∞=∑的收敛半径为 ( )(A) 5 (B)13 (D)15(3) 设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则线性方程组()0AB x = ( )(A)当n m >时仅有零解 (B)当n m >时必有非零解 (C)当m n >时仅有零解 (D)当m n >时必有非零解(4) 设A 是n 阶实对称矩阵，P 是n 阶可逆矩阵，已知n 维列向量α是A 的属于特征值λ的特征向量，则矩阵()1TP AP-属于特征值λ的特征向量是 ( )(A) 1P α- (B) TP α (C)P α (D)()1TPα-(5) 设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布，则 ( )(A)X Y +服从正态分布 (B)22X Y +服从2χ分布(C)2X 和2Y 都服从2χ分布 (D)22/X Y 服从F 分布 三、(本题满分5分)求极限 200arctan(1)lim(1cos )xu x t dt du x x →⎡⎤+⎢⎥⎣⎦-⎰⎰四、(本题满分7分)设函数(,,)u f x y z =有连续偏导数，且(,)z z x y =由方程x y z xe ye ze -=所确定，求du .五、(本题满分6分)设2(sin ),sin x f x x =求()x dx .六、(本题满分7分)设1D 是由抛物线22y x =和直线,2x a x ==及0y =所围成的平面区域；2D 是由抛物线22y x =和直线0y =,x a =所围成的平面区域，其中02a <<.(1)试求1D 绕x 轴旋转而成的旋转体体积1V ；2D 绕y 轴旋转而成的旋转体体积2V ； (2)问当a 为何值时，12V V +取得最大值？试求此最大值.七、(本题满分7分)(1)验证函数()()3693()13!6!9!3!nx x x x y x x n =+++++++-∞<<+∞满足微分方程x y y y e '''++=(2)利用(1)的结果求幂级数()303!nn x n ∞=∑的和函数.设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续，且()0g x >.利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点[,]a b ξ∈，使()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰.九、(本题满分8分)设齐次线性方程组1231231230,0,0,n n n ax bx bx bx bx ax bx bx bx bx bx ax ++++=⎧⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩其中0,0,2a b n ≠≠≥，试讨论,a b 为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解.十、(本题满分8分)设A 为三阶实对称矩阵，且满足条件220A A +=，已知A 的秩()2r A = (1)求A 的全部特征值(2)当k 为何值时，矩阵A kE +为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵.假设随机变量U 在区间[]2,2-上服从均匀分布，随机变量1,1-1,11,1;1,1;U U X Y U U -≤-≤⎧⎧==⎨⎨>->⎩⎩若若若若 试求：(1)X 和Y 的联合概率分布；(2)()D X Y +.十二、(本题满分8分)假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从指数分布，平均无故障工作的时间()E X 为5小时.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数()F y .2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设,0,0,0,1cos )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x xx x f 若若λ其导函数在x=0处连续，则的取值范围是_____.（2）已知曲线与x 轴相切，则可以通过a 表示为________.（3）设a>0，而D 表示全平面，则=_______.（4）设n 维向量；E 为n 阶单位矩阵，矩阵 ， ， 其中A 的逆矩阵为B ，则a=______.（5）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若，则Y 与Z 的相关系数为________.（6）设总体X 服从参数为2的指数分布，为来自总体X 的简单随机样本，则当时，依概率收敛于______.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且存在，则函数 (A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0. (C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ ] （2）设可微函数f(x,y)在点取得极小值，则下列结论正确的是(A) 在处的导数等于零. （B ）在处的导数大于零. (C) 在处的导数小于零. (D) 在处的导数不存在. [ ]λb x a x y +-=2332b =2b ，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(0,),0,,0,(<=a a a T αT E A αα-=T aE B αα1+=4.0-=X Z n X X X ,,,21 ∞→n ∑==ni i n X n Y 121)0(f 'xx f x g )()(=),(00y x ),(0y x f 0y y =),(0y x f 0y y =),(0y x f 0y y =),(0y x f 0y y =（3）设，，，则下列命题正确的是(A) 若条件收敛，则与都收敛.(B) 若绝对收敛，则与都收敛.(C) 若条件收敛，则与敛散性都不定.(D) 若绝对收敛，则与敛散性都不定. [ ]（4）设三阶矩阵，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有 (A) a=b 或a+2b=0. (B) a=b 或a+2b 0.(C) a b 且a+2b=0. (D) a b 且a+2b 0. [ ] （5）设均为n 维向量，下列结论不正确的是(A) 若对于任意一组不全为零的数，都有，则线性无关.(B) 若线性相关，则对于任意一组不全为零的数，都有(C) 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D) 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ ] （6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：={掷第一次出现正面}，={掷第二次出现正面}，={正、反面各出现一次}，={正面出现两次}，则事件(A) 相互独立. (B) 相互独立. (C) 两两独立. (D) 两两独立. [ ] 三、（本题满分8分） 设 2nn n a a p +=2nn n a a q -=,2,1=n ∑∞=1n n a ∑∞=1n n p ∑∞=1n n q ∑∞=1n n a ∑∞=1n n p ∑∞=1n n q ∑∞=1n n a ∑∞=1n n p ∑∞=1n n q ∑∞=1n n a ∑∞=1n n p ∑∞=1n n q ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ≠≠≠≠s ααα,,,21 s k k k ,,,21 02211≠+++s s k k k ααα s ααα,,,21 s ααα,,,21 s k k k ,,,21 .02211=+++s s k k k ααα s ααα,,,21 s ααα,,,21 1A 2A 3A 4A 321,,A A A 432,,A A A 321,,A A A 432,,A A A ).1,21[,)1(1sin 11)(∈--+=x x x x x f πππ试补充定义f(1)使得f(x)在上连续.四 、（本题满分8分）设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足，又,求五、（本题满分8分） 计算二重积分其中积分区域D=六、（本题满分9分）求幂级数的和函数f(x)及其极值.七、（本题满分9分）设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在内满足以下条件： ，，且f(0)=0, (1) 求F(x)所满足的一阶微分方程；(2) 求出F(x)的表达式.]1,21[12222=∂∂+∂∂vfu f )](21,[),(22y x xy f y x g -=.2222yg x g ∂∂+∂∂.)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x+=⎰⎰-+-π}.),{(22π≤+y x y x ∑∞=<-+12)1(2)1(1n nnx n x ),(+∞-∞)()(x g x f =')()(x f x g ='.2)()(x e x g x f =+八、（本题满分8分）设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在，使九、（本题满分13分） 已知齐次线性方程组其中 试讨论和b 满足何种关系时，(1) 方程组仅有零解；(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.十、（本题满分13分） 设二次型，中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12.(1) 求a,b 的值；(2) 利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.)3,0(∈ξ.0)(='ξf ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nn nn n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a .01≠∑=ni i a n a a a ,,,21 )0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T十一、（本题满分13分） 设随机变量X 的概率密度为F(x)是X 的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.十二、（本题满分13分）设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为，而Y 的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y 的概率密度g(u).;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7.03.021~X2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）(1) 若，则a =______，b =______. (2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y ) ≠ 0，则. (3) 设，则.(4) 二次型的秩为 . (5) 设随机变量服从参数为的指数分布, 则_______.(6) 设总体服从正态分布, 总体服从正态分布,和 分别是来自总体和的简单随机样本, 则.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3).[ ](8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且， ，则(A) x = 0必是g (x )的第一类间断点.(B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.(C) x = 0必是g (x )的连续点.(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关.[ ]5)(cos sin lim 0=--→b x a e xx x 2f u v∂=∂∂⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x 212(1)f x dx -=⎰213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=X λ=>}{DX X P X ),(21σμN Y ),(22σμN 1,,21n X X X 2,,21n Y Y Y X Y 12221112()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f a x f x =∞→)(lim ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x x f x g(9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则(A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点.[ ](10) 设有下列命题：(1) 若收敛，则收敛.(2) 若收敛，则收敛.(3) 若，则发散.(4) 若收敛，则，都收敛.则以上命题中正确的是 (A) (1) (2). (B) (2) (3).(C) (3) (4).(D) (1) (4).[ ](11) 设在[a , b]上连续，且，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点，使得> f (a ). (B) 至少存在一点，使得> f (b ). (C) 至少存在一点，使得. (D) 至少存在一点，使得= 0.[ D ](12) 设阶矩阵与等价, 则必有(A) 当时, . (B) 当时, . (C) 当时, . (D) 当时, . [ ](13) 设阶矩阵的伴随矩阵 若是非齐次线性方程组 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.∑∞=-+1212)(n n n u u ∑∞=1n n u ∑∞=1n n u ∑∞=+11000n n u 1lim 1>+∞→nn n u u ∑∞=1n n u ∑∞=+1)(n n n v u ∑∞=1n n u ∑∞=1n n v )(x f '0)(,0)(<'>'b f a f ),(0b a x ∈)(0x f ),(0b a x ∈)(0x f ),(0b a x ∈0)(0='x f ),(0b a x ∈)(0x f n A B )0(||≠=a a A a B =||)0(||≠=a a A a B -=||0||≠A 0||=B 0||=A 0||=B n A ,0*≠A 4321,,,ξξξξb Ax =0=Ax(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量.[ ](14) 设随机变量服从正态分布, 对给定的, 数满足,若, 则等于 (A) . (B) . (C) . (D) . [ ]三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分) 求.(16) (本题满分8分) 求，其中D 是由圆和所围成的平面区域(如图).(17) (本题满分8分)设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续，且满足 ，x ∈ [a , b )，.证明：.X )1,0(N )1,0(∈ααu αu X P α=>}{αx X P =<}|{|x 2αu 21αu-21αu -αu -1)cos sin 1(lim 2220xxx x -→⎰⎰++Dd y y x σ)(22422=+y x 1)1(22=++y x ⎰⎰≥xaxadt t g dt t f )()(⎰⎰=babadt t g dt t f )()(⎰⎰≤babadx x xg dx x xf )()(设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P ，其中价格P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性(> 0)； (II) 推导(其中R 为收益)，并用弹性说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.(19) (本题满分9分)设级数的和函数为S (x ). 求：(I) S (x )所满足的一阶微分方程； (II) S (x )的表达式.(20)(本题满分13分)设, , , , 试讨论当为何值时,(Ⅰ) 不能由线性表示;(Ⅱ) 可由唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) 可由线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式.d E d E )1(d E Q dPdR-=d E )(864264242864+∞<<-∞+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅x x x x T α)0,2,1(1=T ααα)3,2,1(2-+=T b αb α)2,2,1(3+---=T β)3,3,1(-=b a ,β321,,αααβ321,,αααβ321,,ααα设阶矩阵. (Ⅰ) 求的特征值和特征向量;(Ⅱ) 求可逆矩阵, 使得为对角矩阵.(22) (本题满分13分)设，为两个随机事件,且, , , 令 求(Ⅰ) 二维随机变量的概率分布; (Ⅱ) 与的相关系数 ; (Ⅲ) 的概率分布.n ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111b b b b b b A A P AP P 1-A B 41)(=A P 31)|(=AB P 21)|(=B A P ⎩⎨⎧=不发生，，发生，A A X 0,1⎩⎨⎧=.0,1不发生，发生，B B Y ),(Y X X Y XY ρ22Y X Z +=设随机变量的分布函数为其中参数. 设为来自总体的简单随机样本,(Ⅰ) 当时, 求未知参数的矩估计量; (Ⅱ) 当时, 求未知参数的最大似然估计量; (Ⅲ) 当时, 求未知参数的最大似然估计量.X ⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，，，αx αx x αβαx F β0,1),,(1,0>>βαn X X X ,,,21 X 1=αβ1=αβ2=βα2005年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）极限= . （2） 微分方程满足初始条件的特解为______. （3）设二元函数，则________.（4）设行向量组，，，线性相关，且，则a=_____.（5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从中任取一个数，记为Y, 则=______.（6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1已知随机事件与相互独立，则a= ， b= .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）当a 取下列哪个值时，函数恰好有两个不同的零点.(A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ ] （8）设,,,其中，则(A) . （B ）.(C) . (D) . [ ]12sinlim 2+∞→x xx x 0=+'y y x 2)1(=y )1ln()1(y x xe z y x +++=+=)0,1(dz)1,1,1,2(),,1,2(a a ),1,2,3(a )1,2,3,4(1≠a X ,,2,1 }2{=Y P }0{=X }1{=+Y X a x x x x f -+-=1292)(23σd y x I D ⎰⎰+=221cos σd y x I D⎰⎰+=)cos(222σd y x I D⎰⎰+=2223)cos(}1),{(22≤+=y x y x D 123I I I >>321I I I >>312I I I >>213I I I >>（9）设若发散，收敛，则下列结论正确的是(A) 收敛，发散 . （B ） 收敛，发散.(C) 收敛. (D) 收敛. [ ]（10）设,下列命题中正确的是(A) f(0)是极大值，是极小值. （B ） f(0)是极小值，是极大值.（C ） f(0)是极大值，也是极大值. (D) f(0)是极小值，也是极小值.[ ]（11）以下四个命题中，正确的是(A) 若在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （B ）若在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （C ）若在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界.(D) 若在（0，1）内有界，则在（0，1）内有界. [ ] （12）设矩阵A= 满足，其中是A 的伴随矩阵，为A 的转置矩阵. 若为三个相等的正数，则为(A). (B) 3. (C) . (D) . [ ]（13）设是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，线性无关的充分必要条件是(A) . (B) . (C) . (D) . [ ]（14） 设一批零件的长度服从正态分布，其中均未知. 现从中随机抽取16个零件，测得样本均值，样本标准差，则的置信度为0.90的置信区间是(A) (B) (C)(D) [ ] ,,2,1,0 =>n a n ∑∞=1n n a ∑∞=--11)1(n n n a ∑∞=-112n n a ∑∞=12n n a ∑∞=12n n a ∑∞=-112n n a )(1212∑∞=-+n n n a a )(1212∑∞=--n n n a a x x x x f cos sin )(+=)2(πf )2(πf )2(πf )2(πf )(x f ')(x f )(x f ')(x f )(x f '33)(⨯ij a T A A =**A T A 131211,,a a a 11a 3331321,λλ21,αα1α)(21αα+A 01=λ02=λ01≠λ02≠λ),(2σμN 2,σμ)(20cm x =)(1cm s =μ)).16(4120),16(4120(05.005.0t t +-)).16(4120),16(4120(1.01.0t t +-)).15(4120),15(4120(05.005.0t t +-)).15(4120),15(4120(1.01.0t t +-三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分8分） 求（16）（本题满分8分）设f(u)具有二阶连续导数，且，求（17）（本题满分9分）计算二重积分，其中.（18）（本题满分9分） 求幂级数在区间(-1,1)内的和函数S(x).（19）（本题满分8分）设f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0,,.证明：对任何a ,有).111(lim 0xe x x x --+-→)()(),(y x yf x y f y xg +=.222222yg y x g x ∂∂-∂∂σd y x D⎰⎰-+122}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D ∑∞=-+12)1121(n n x n 0)(≥'x f 0)(≥'x g ]1,0[∈⎰⎰≥'+'ag a f dx x g x f dx x f x g 01).1()()()()()(（20）（本题满分13分） 已知齐次线性方程组（i ）和（ii ） 同解，求a,b, c 的值.（21）（本题满分13分）设为正定矩阵，其中A,B 分别为m 阶，n 阶对称矩阵，C 为矩阵.(I) 计算，其中； （II ）利用(I)的结果判断矩阵是否为正定矩阵，并证明你的结论.（22）（本题满分13分） 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为求：（I ） (X,Y)的边缘概率密度； （II ） 的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,0532,032321321321ax x x x x x x x x ⎩⎨⎧=+++=++,0)1(2,03221321x c x b x cx bx x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B CC AD Tn m ⨯DP P T⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-n mE o C A EP 1C A C B T 1--.,20,10,0,1),(其他x y x y x f <<<<⎩⎨⎧=)(),(y f x f Y X Y X Z -=2).(z f Z考研资料( III )（23）（本题满分13分）设为来自总体N(0,)的简单随机样本，为样本均值，记求：（I ） 的方差； （II ）与的协方差（III ）若是的无偏估计量，求常数c.}.2121{≤≤X Y P )2(,,,21>n X X X n 2σX .,,2,1,n i X X Y i i =-=i Y n i DY i ,,2,1, =1Y n Y ).,(1n Y Y Cov 21)(n Y Y c +2σ2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、 填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）（2）设函数在的某邻域内可导,且，，则（3）设函数可微,且,则在点(1,2)处的全微分（4）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则 .（5）设随机变量相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则_______.（6）设总体的概率密度为为总体的简单随机样本，其样本方差为，则二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，分别为在点处对应的增量与微分，若，则(A) . (B) .(C) . (D) . [ ] （8）设函数在处连续，且，则(A) 存在 (B) 存在 (C) 存在 (D)存在 [ ] （9）若级数收敛，则级数()11lim ______.nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭()f x 2x =()()e f x f x '=()21f =()2____.f '''=()f u ()102f '=()224z f x y =-()1,2d _____.z=2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭E B 2BA B E =+=B X Y 与[]0,3{}{}max ,1P X Y ≤=X ()()121,,,,2xn f x e x X X X -=-∞<<+∞X 2S 2____.ES =()y f x =()0,()0f x f x '''>>x ∆x 0x d y y ∆与()f x 0x 0x ∆>0d y y <<∆0d y y <∆<d 0y y ∆<<d 0y y <∆<()f x 0x =()22lim1h f h h →=()()000f f -'=且()()010f f -'=且()()000f f +'=且()()010f f +'=且1n n a ∞=∑(A) 收敛 . （B ）收敛.(C) 收敛. (D) 收敛. [ ] （10）设非齐次线性微分方程有两个不同的解为任意常数，则该方程的通解是（Ａ）. （Ｂ）. （Ｃ）. （Ｄ） [ ]（11）设均为可微函数，且，已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是(A) 若，则. (B) 若，则. (C) 若，则.(D) 若，则. [ ] （12）设均为维列向量，为矩阵，下列选项正确的是(A) 若线性相关，则线性相关.(B) 若线性相关，则线性无关. (C) 若线性无关，则线性相关.(D) 若线性无关，则线性无关. [ ]（13）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的倍加到第2列得，记，则（Ａ）. （Ｂ）.（Ｃ）. （Ｄ）. ［ ］（14）设随机变量服从正态分布，服从正态分布，且则必有1n n a ∞=∑1(1)n n n a ∞=-∑11n n n a a ∞+=∑112n n n a a ∞+=+∑()()y P x y Q x '+=12(),(),y x y x C []12()()C y x y x -[]112()()()y x C y x y x +-[]12()()C y x y x +[]112()()()y x C y x y x ++(,)(,)f x y x y ϕ与(,)0y x y ϕ'≠00(,)x y (,)f x y (,)0x y ϕ=00(,)0x f x y '=00(,)0y f x y '=00(,)0x f x y '=00(,)0y f x y '≠00(,)0x f x y '≠00(,)0y f x y '=00(,)0x f x y '≠00(,)0y f x y '≠12,,,s αααn A m n ⨯12,,,s ααα12,,,s A A A ααα12,,,s ααα12,,,s A A A ααα12,,,s ααα12,,,s A A A ααα12,,,s ααα12,,,s A A A αααA A B B 1-C 110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1C P AP -=1C PAP -=T C P AP =T C PAP =X 211(,)N μσY 222(,)N μσ{}{}1211P X P Y μμ-<>-<(A) (B)(C) (D) [ ]三 、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分7分）设,求 (Ⅰ) ； (Ⅱ) .（16）（本题满分7分） 计算二重积分，其中是由直线所围成的平面区域.（17）（本题满分10分） 证明：当时，.（18）（本题满分8分）在坐标平面上，连续曲线过点，其上任意点处的切线斜率与直线的斜率之差等于（常数）.(Ⅰ) 求的方程；(Ⅱ) 当与直线所围成平面图形的面积为时，确定的值. 12σσ<12σσ>12μμ<12μμ>()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+()()lim ,y g x f x y →+∞=()0lim x g x +→d Dx y D ,1,0y x y x ===0a b π<<<sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++xOy L ()1,0M ()(),0P x y x ≠OP ax >0a L L y ax =83a求幂级数的收敛域及和函数.（20）（本题满分13分）设4维向量组，问为何值时线性相关?当线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.（21）（本题满分13分）设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3,向量是线性方程组的两个解. (Ⅰ)求的特征值与特征向量；(Ⅱ)求正交矩阵和对角矩阵,使得；（Ⅲ）求及，其中为3阶单位矩阵.()()1211121n n n x n n -+∞=--∑()s x ()()()TTT1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+()T44,4,4,4a α=+a 1234,,,αααα1234,,,ααααA ()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-0Ax =A Q ΛT Q AQ =ΛA 632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭E设随机变量的概率密度为，令为二维随机变量的分布函数. (Ⅰ)求的概率密度； (Ⅱ)；(Ⅲ).（23）（本题满分13分）设总体的概率密度为其中是未知参数，为来自总体的简单随机样本，记为样本值中小于1的个数. （Ⅰ）求的矩估计； （Ⅱ）求的最大似然估计X ()1,1021,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩　其他()2,,Y X F x y =(,)X Y Y ()Y f y Cov(,)X Y 1,42F ⎛⎫- ⎪⎝⎭X (),01,;1,12,0,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他,θ()01θ<<12n ,...,X X X X N 12,...,n x x x θθ2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一． 选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内） （1） 当等价的无穷小量是（ ）.（2）设函数在处连续，下列命题错误的是： ( ).若存在，则 若存在，则.若存在，则存在 若存在，则存在（3） 如图.连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设则下列结论正确的是：（ ）.（4） 设函数连续，则二次积分等于（ ）（5） 设某商品的需求函数为，其中，分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（ ） 10 20 30 40 （6） 曲线渐近线的条数为（ ） 0 1 2 3（7）设向量组线性无关，则下列向量组线相关的是( )（A ） (B) （C ） (D)0x +→A 1-.ln(1B +1C -.1D -()f x 0x =A 0()limx f x x →(0)0f =.B 0()()lim x f x f x x →+-(0)0f =.C 0()limx f x x →'(0)f .D 0()()lim x f x f x x→--'(0)f ()y f x =[][]3,2,2,3--[][]2,0,0,2-0()(),xF x f t dt =⎰.A (3)F 3(2)4F =--.B (3)F 5(2)4F =.C (3)F -3(2)4F =-.D (3)F -5(2)4F =--(,)f x y 1sin 2(,)xdx f x y dy ππ⎰⎰.A 1arcsin (,)xdy f x y dx ππ+⎰⎰.B 10arcsin (,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰.C 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰.D 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰1602Q ρ=-Q ρ.A .B .C .D 1ln(1),x y e x=++.A .B .C .D 12αα-2131,,αααα--21αα-2331,,αααα++1223312,2,2αααααα---1223312,2,2αααααα+++（8）设矩阵，则A 与B （ ）（A ）合同，且相似 (B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 ( )(10) 设随机变量服从二维正态分布，且与不相关，分别表示X, Y 的概率密度，则在条件下，的条件概率密度为( ) （A ） (B) (C) (D)二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上（11）.（12）设函数，则. （13）设是二元可微函数，则________. （14）微分方程满足的特解为__________.（15）设距阵则的秩为_______.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于的概率为________. 三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本题满分10分）211121112A --⎧⎫⎪⎪=--⎨⎬⎪⎪--⎩⎭100010000B ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭2()3(1)A p p -2()6(1)B p p -22()3(1)C p p -22()6(1)D p p -(,)X Y X Y (),()x y f x f y Y y =X ()X Y x y f ()X f x ()y f y ()()x y f x f y ()()x y f x f y 3231lim (sin cos )________2x x x x x x x →∞+++=+123y x =+()(0)_________n y =(,)f u v (,),y x z f x y =z zy x y∂∂-=∂∂31()2dy y y dx x x=-11x y ==01000010,00010000A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭3A 12设函数由方程确定，试判断曲线在点（1，1）附近的凹凸性.（18）（本题满分11分） 设二元函数计算二重积分其中（19）（本题满分11分）设函数，在上内二阶可导且存在相等的最大值，又＝，＝，证明：（Ⅰ）存在使得； （Ⅱ）存在使得 （20）（本题满分10分）将函数展开成的幂级数，并指出其收敛区间.（22）（本题满分11分）设3阶实对称矩阵A 的特征值是A 的属于的一个特征向量.记，其中E 为3阶单位矩阵.（Ⅰ）验证是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量； （Ⅱ）求矩阵B.（23）（本题满分11分）设二维随机变量的概率密度为()y y x =ln 0y y x y -+=()y y x=2. 1.(,)1 2.x x y f x y x y ⎧+≤⎪=≤+≤(,).Df x y d σ⎰⎰{}(,)2D x y x y =+≤()f x ()g x [],a b ()f a ()g a ()f b ()g b (,),a b η∈()()f g ηη=(,),a b ξ∈''()''().f g ξξ=21()34f x x x =--1x -1231232123123(21)(11)020(1)4021(2)x x x x x ax x x a x x x x a a ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩++=-本题满分分设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解12311,2,2,(1,1,1)T λλλα===-=-1λ534B A A E =-+1α(,)X Y（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的概率密度. （24）（本题满分11分）设总体的概率密度为.其中参数未知，是来自总体的简单随机样本，是样本均值.（Ⅰ）求参数的矩估计量；（Ⅱ）判断是否为的无偏估计量，并说明理由.2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.2,01,0 1.(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他{}2P X Y >Z X Y =+()Z f z X 1,0,21(;),1,2(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他(01)θθ<<12,,...n X X X X X θθ24X 2θ（1）设函数在区间上连续，则是函数的（ ）跳跃间断点. 可去间断点.无穷间断点.振荡间断点.（2）曲线段方程为，函数在区间上有连续的导数，则定积分等于（ ）曲边梯形面积. 梯形面积.曲边三角形面积.三角形面积.（3）已知（A ），都存在 （B ）不存在，存在 （C ）不存在，不存在 （D ），都不存在 （4）设函数连续，若，其中为图中阴影部分，则（ ） （A ） （B）（C ） （D ） （5）设为阶非0矩阵为阶单位矩阵若，则（ ）不可逆，不可逆.不可逆，可逆.可逆，可逆.可逆，不可逆.（6）设则在实数域上域与合同矩阵为（ ）.... ()f x [1,1]-0x =0()()xf t dtg x x=⎰()A ()B ()C ()D ()y f x =()f x [0,]a 0()at af x dx ⎰()A ABCD ()B ABCD ()C ACD ()D ACD (,)f x y =(0,0)x f '(0,0)y f '(0,0)x f '(0,0)y f '(0,0)x f '(0,0)y f '(0,0)x f '(0,0)y f 'f 22(,)uvD f u v =uv D Fu∂=∂2()vf u 2()v f u u ()vf u ()vf u uA E 30A =()A E A -E A +()B E A -E A +()C E A -E A +()D E A -E A +1221A ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ()A 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭()B 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭()C 2112⎛⎫⎪⎝⎭()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭（7）随机变量独立同分布且分布函数为，则分布函数为（ ）....（8）随机变量，且相关系数，则（ ）. . ..二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数在内连续，则 .（10）设，则.（11）设，则.（12）微分方程满足条件的解.（13）设3阶矩阵的特征值为1，2，2，E 为3阶单位矩阵，则. （14）设随机变量服从参数为1的泊松分布，则. 三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) （本题满分10分）求极限. (16) （本题满分10分）设是由方程所确定的函数，其中具有2阶导数且时.（1）求 （2）记，求. ,X Y X ()F x {}max ,Z X Y =()A ()2F x ()B ()()F x F y ()C ()211F x --⎡⎤⎣⎦()D ()()11F x F y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()~0,1X N ()~1,4Y N 1XY ρ=()A {}211P Y X =--=()B {}211P Y X =-=()C {}211P Y X =-+=()D {}211P Y X =+=21,()2,x x cf x x c x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩(,)-∞+∞c =341()1x x f x x x ++=+2()______f x dx =⎰22{(,)1}D x y x y =+≤2()Dx y dxdy -=⎰⎰ 0xy y '+=(1)1y =y = A 14_____A E --=X {}2P X EX == 201sin limlnx xx x→(,)z z x y =()22x y z x y z ϕ+-=++ϕ1ϕ'≠-dz ()1,z z u x y x y x y ⎛⎫∂∂=- ⎪-∂∂⎝⎭u x ∂∂(17) （本题满分11分）计算其中.(18) （本题满分10分）设是周期为2的连续函数， （1）证明对任意实数，有；（2）证明是周期为2的周期函数．(19) （本题满分10分）设银行存款的年利率为，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A 万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n 年提取（10+9n ）万元，并能按此规律一直提取下去，问A 至少应为多少万元？ (20) （本题满分12分）设矩阵，现矩阵满足方程，其中，，（1）求证; （2）为何值，方程组有唯一解; （3）为何值，方程组有无穷多解. （21）（本题满分10分）设为3阶矩阵，为的分别属于特征值特征向量，向量满足，证明（1）线性无关；（2）令，求. （22）（本题满分11分）设随机变量与相互独立，的概率分布为，的概率密度为，记max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤()f x t ()()22t tf x dx f x dx +=⎰⎰()()()202x t t G x f t f s ds dt +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰0.05r =2221212n na a aA a a ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭A AX B =()1,,Tn X x x =()1,0,,0B =()1n A n a =+a a A 12,a a A 1,1-3a 323Aa a a =+123,,a a a ()123,,P a a a =1P AP -X Y X {}()11,0,13P X i i ===-Y ()1010Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它Z X Y =+（1）求；（2）求的概率密度． （23） （本题满分11分）是总体为的简单随机样本.记，，. （1）证 是的无偏估计量. （2）当时 ，求.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.102P Z X ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭Z 12,,,n X X X 2(,)N μσ11ni i X X n ==∑2211()1n ii S X X n ==--∑221T X S n=-T 2μ0,1μσ==DT（1）函数的可去间断点的个数为(A)1.(B)2.(C)3.(D)无穷多个.（2）当时，与是等价无穷小，则(A)，. （B ），. (C)，. （D ），. （3）使不等式成立的的范围是 (A).(B). (C).(D).（4）设函数在区间上的图形为则函数的图形为(A)(B)3()sin x x f x xπ-=0x →()sin f x x ax =-2()ln(1)g x x bx =-1a =16b =-1a =16b =1a =-16b =-1a =-16b =1sin ln xtdt x t>⎰x (0,1)(1,)2π(,)2ππ(,)π+∞()y f x =[]1,3-()()0xF x f t dt =⎰(C)(D)（5）设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩阵的伴随矩阵为 (A). (B). (C).(D). （6）设均为3阶矩阵，为的转置矩阵，且，若，则为(A).(B).(C).(D).（7）设事件与事件B 互不相容，则(A). (B).(C).(D).（8）设随机变量与相互独立，且服从标准正态分布，的概率分布为，记为随机变量的分布函数，则函数的间断点个数为 ,A B *,A B *,A B ||2,||3A B ==O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭**32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭**23O B AO ⎛⎫⎪⎝⎭**32O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭,A P T P P 100010002TP AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+T Q AQ 210110002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭110120002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭100020002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A ()0P AB =()()()P AB P A P B =()1()P A P B =-()1P A B ⋃=X Y X (0,1)N Y 1{0}{1}2P Y P Y ====()z F Z Z XY =()z F Z(A) 0. (B)1. (C)2 . (D)3.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） .（10）设，则. （11）幂级数的收敛半径为 . （12）设某产品的需求函数为,其对应价格的弹性，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 元.（13）设,，若矩阵相似于，则 .(14)设，,…,为来自二项分布总体的简单随机样本，和分别为样本均值和样本方差，记统计量，则 .三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分9分）求二元函数的极值. （16）（本题满分10 分） 计算不定积分 . （17）（本题满分10 分）计算二重积分，其中.（18）（本题满分11 分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数在上连续，在上可导，则，得证.（Ⅱ）证明：若函数在处连续，在内可导，且，则存在，且. cos 0x x →=()y x z x e =+(1,0)zx ∂=∂21(1)n n nn e x n ∞=--∑()Q Q P =P 0.2p ξ=(1,1,1)T α=(1,0,)T k β=T αβ300000000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭k =1X 2X n X (,)B n p X 2S 2T X S =-ET =()22(,)2ln f x y x y y y =++ln(1dx +⎰(0)x >()Dx y dxdy -⎰⎰22{(,)(1)(1)2,}D x y x y y x =-+-≤≥()f x [],a b (),a b (),a b ξ∈()'()()()f b f a f b a ξ-=-()f x 0x =()0,,(0)σσ>'0lim ()x f x A +→='(0)f +'(0)f A +=。

考研数三试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3-3x，求f'(x)。

A. 3x^2 - 3B. x^3 - 3x^2C. 3x^2 - 3xD. x^3 - 3答案：A2. 计算积分∫(0到1) x dx。

A. 1/2B. 1C. 0D. 2答案：A3. 设矩阵A为3x3矩阵，且|A|=2，则矩阵A的逆矩阵的行列式|A^(-1)|等于多少？A. 1/2B. 2C. 1/4D. 4答案：C4. 求极限lim(x→0) (sin x)/x。

A. 1B. 0C. 2D. -1答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 设函数g(x)=x^2+2x+1，求g(-1)的值为_________。

答案：06. 计算定积分∫(1到2) (x^2-1) dx的值为_________。

答案：27. 设向量a=(1,2)，向量b=(3,-4)，则向量a和向量b的点积a·b 为_________。

答案：-58. 设函数h(x)=e^x，求h'(x)的值为_________。

答案：e^x三、解答题（每题10分，共60分）9. 求函数y=x^2-4x+4的极值。

答案：函数y=x^2-4x+4可以写成y=(x-2)^2，这是一个开口向上的抛物线，因此它没有极值。

10. 计算定积分∫(0到π) sin x dx。

答案：011. 设矩阵B为2x2矩阵，B=|1 2; 3 4|，求矩阵B的行列式。

答案：-212. 求极限lim(x→∞) (1+1/x)^x。

答案：e13. 计算二重积分∬D (x^2+y^2) dxdy，其中D为x^2+y^2≤1的区域。

答案：π14. 设函数z=x^2y+y^2x，求偏导数∂z/∂x和∂z/∂y。

答案：∂z/∂x = 2xy + y^2，∂z/∂y = x^2 + 2xy四、证明题（每题10分，共20分）15. 证明：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】1y x =+【解析】对函数2sin y x x =+两边对x 求导,得12cos y sin x x,'=+ 令2x π=得212sincos122x y .πππ='=+=所以该曲线在点122,ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭处的切线的斜率为1,所以 切线方程是122y x ,ππ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭即1y x =+为所求. (2)【答案】[1,1)-【解析】因系数1n n a a +==,从而1lim1,n n n n a a +→∞== 即幂级数的收敛半径1R =,当11x -<<时幂级数绝对收敛. 当1x =-时得交错级数n n ∞=(条件收敛)；当1x =时得正项级数0n ∞=(发散). 于是,幂级数的收敛域是[1,1)-. (3)【答案】1λ≠【解析】n 个方程n 个未知数的齐次方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是0A =, 因为此时未知数的个数等于方程的个数,即A 为方阵时,用0A =判定比较方便.而 21110011010(1),111111A λλλλλ-==-=- 所以当0A ≠时1λ≠.所以此题应填:1λ≠. (4)【答案】1,12【解析】由于任何随机变量X 的分布函数()F x 是右连续函数,因此对任何x ,有()(0)F x F x =+.对于2x π=,有()sin,(0) 1.222F A A F πππ==+= 令 ()2F π=(0)2F π+,得到1A =,其中0(0)lim ()x F x F x +→+=.又 666P X P X ,πππ⎧⎫⎧⎫<=-<<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭因()F x 在6x π=处连续,连续函数在任何一个点上的概率为0,因此06P X .π⎧⎫==⎨⎬⎩⎭所以 666P X P X πππ⎧⎫⎧⎫<=-<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭66F F ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭162sin .π== (5)【答案】19【解析】由切比雪夫不等式2{}DXP X EX εε-≥≤,有221{3}(3)9P X σμσσ-≥≤=.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】(B)【解析】由洛必达法则有()0002322ln23ln3lim lim lim ln2ln31x x x x x x x f x x x →→→+-+===+. 所以()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量. (2)【答案】(C)【解析】由不定积分的概念和性质可知,()()()()df x dx f x dx f x .dx'==⎰⎰()()()f x dx df x f x C,'==+⎰⎰C 为常数.()()d f x dx f x dx.=⎰故应选(C).(3)【答案】(C)【解析】本题考查||0A =的充分必要条件,而选项(A)、(B)、(D)都是充分条件,并不必要.因为对矩阵A 来说,行和列具有等价性,所以单说列或者单说行满足什么条件就构成了||0A =的必要条件,但是不具有任意性,只需要存在一列向量是其余列向量的线性组合.以3阶矩阵为例,若 112123134A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,条件(A)必有一列元素全为0,(B)必有两列元素对应成比例均不成立,但有||0A =,所以(A)、 (B)不满足题意,不可选.若123124125A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则||0A =,但第三列并不是其余两列的线性组合,可见(D)不正确.这样用排除法可知应选(C).(4)【答案】(C) 【解析】当行列式的一行(列)是两个数的和时,可把行列式对该行(列)拆开成两个行列式之和,拆开时其它各行(列)均保持不变.对于行列式的这一性质应当正确理解.因此,若要拆开n 阶行列式A B +,则应当是2n 个n 阶行列式的和,所以(A)错误.矩阵的运算是表格的运算,它不同于数字运算,矩阵乘法没有交换律,故(B)不正确.若1010,0102A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,则 ()111111020020102,1310301000223A B A B ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+==+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 而且()1A B -+存在时,不一定11,A B --都存在,所以选项(D)是错误的. 由行列式乘法公式AB A B B A BA =⋅=⋅=知(C)正确.注意,行列式是数,故恒有A B B A ⋅=⋅.而矩阵则不行,故(B)不正确. (5)【答案】D【解析】设事件B =“甲种产品畅销”,事件C =“乙种产品滞销”,则 A 事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”可表示为A BC,=则_____A BCBC ===“甲种产品滞销或乙种产品畅销”,应选(D).三、计算题(本题满分15分,每小题5分.) (1)【解析】这是1∞型未定式求极限.设1u x=,则当x →∞时,0u →.于是 1011lim(sin cos )lim(sin cos )xux u u u x x→∞→+=+ 1sin cos 1sin cos 10lim(1sin cos 1)u u u u uu u u +-⋅+-→=++-,令sin cos 1u u t +-=,则0u →时0t →, 所以 11sin cos 1lim(1sin cos 1)lim(1)u u tu t u u t e +-→→++-=+=,所以 01sin cos 1sin cos 1sin cos 1limsin cos 10lim(1sin cos 1)lim u u u u u u u u u uuuu u u u ee→+-+-+-⋅+-→→++-==,由洛必达法则得00sin cos 1cos sin limlim 11u u u u u uu →→+--==,所以 111lim(sin cos )x x e e x x→∞+==.(2)【解析】方法一：先求zx∂∂,再求2z x y ∂∂∂.由复合函数求导法则,z f u f v f fy ,x u x v x u v∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂ 故2()z f fy x y y u v∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂ 222222f u f v ff u f v y u y u v y v v u y v y ⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++++ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭222222f f f f f x y xy u u v v u v v ∂∂∂∂∂=++++∂∂∂∂∂∂∂ 22222()f f f fx y xy u u v v v∂∂∂∂=++++∂∂∂∂∂. 方法二：利用一阶全微分形式不变性,可得1212()()()()dz f d x y f d xy f dx dy f ydx xdy ''''=++=+++1212()()f yf dx f xf dy ''''=+++.于是有 12x z f yf '''=+. 再对y 外求偏导数,即得122111221222()()()xy y y z f y f f f xf y f xf f ''''''''''''''''=++=++++1112222()f x y f xyf f '''''''=++++. 【相关知识点】复合函数求导法则：若(,)u u x y =和(,)v v x y =在点(,)x y 处偏导数存在,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数[(,),(,)]z f u x y v x y =在点(,)x y 处的偏导数存在,且,z f u f v z f u f vx u x v x y u y v y∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂. (3)【解析】微分方程562xy y y e -'''++=对应的齐次方程560y y y '''++=的特征方程为2560r r ++=,特征根为122,3r r =-=-,故对应齐次微分方程的通解为2312xx C eC e --+.设所给非齐次方程的特解为*()xy x Ae -=,代入方程562xy y y e-'''++=,比较系数,得1A =,故所求方程的通解为231212,,x x x y C e C e e C C ---=++ 为常数.【相关知识点】关于微分方程特解的求法:如果()()xm f x P x e λ=,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=具有形如*()k xm y x Q x e λ=的特解,其中()m Q x 与()m P x 同次(m 次)的多项式,而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2.四、(本题满分9分) 【解析】(1)收益函数2()10,06x R x xP xe x -==≤≤.边际收益函数25(2)x dRMR x e dx-==-.(2)由 25(2)0x dRx e dx-=-=,得2x =.又2222255(4)02x x x d Rx e dx e-===-=-<.因此()R x 在2x =取极大值.又因为极值点惟一,故此极大值必为最大值,最大值为20(2)R e=. 所以,当生产量为2时,收益取最大值,收益最大值为20e .而相应的价格为10e. (3)五、(本题满分9分)【解析】(1)()f x 为分段函数,由定积分的性质, 212001()()()xxx S f x e dx f x e dx f x e dx ---==+⎰⎰⎰1201(2)x x xe dx x e dx --=+-⎰⎰ 121(2)x x xde x de --=-+-⎰⎰12120101(2)x xxxxe edx x e e dx ----⎡⎤⎡⎤=-++--⎣⎦⎣⎦⎰⎰1220111101()x xe e e e e --⎡⎤⎡⎤=+---=-+--+⎣⎦⎣⎦2121e e=-+. (2)用定积分换元法,令2x t -=,则2,x t dx dt =+=,所以 422(2)212(2)()()x t t S f x e dx f t e dt e f t e dt --+--=-==⋅⎰⎰⎰,而 202012()1x S f x e dx e e-==-+⎰, 故 2222102012()(1)t S e f t e dt S e e e e----=⋅==-+⎰. (3) 用定积分换元法,令2x n t -=,则2,x t n dx dt =+=,所以2222(2)220(2)()()n xt n nt n nS f x n e dx f t edt ef t e dt +--+--=-==⋅⎰⎰⎰而 20212()1x S f x e dx e e-==-+⎰, 故 22220212()(1)nt n n n S ef t e dt S e e e e----=⋅==-+⎰. (4)利用以上结果,有2002001nnn n n n S S S e S e ∞∞∞-===⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑()22002221111111e S e S e e e e e--====--+-.六、(本题满分6分) 【解析】对1()()xa F x f t dt x a=-⎰两边对x 求导,得 22()()()()()()()()xxa a f t dtx a f x f t dtf x F x x a x ax a ---'=+=---⎰⎰.证法一：由积分中值定理知,在(,)a x 内存在一点ξ使得()()()xaf t dt f x a ξ=-⎰,所以 22()()()()()()()()()()()()xa x a f x f t dtx a f x f x a f x f F x x a x a x aξξ------'===---⎰. 又因为()0,f x a x ξ'≤<<,故有()()0f x f ξ-≤,所以()0F x '≤. 证法二：令()()()()xag x x a f x f t dt =--⎰,则()()()()()()()g x f x x a f x f x x a f x '''=+--=-.因为,()0x a f x '>≤,所以()0g x '≤, 即()()()()xag x x a f x f t dt =--⎰在(,)a b 上为减函数,所以()()0g x g a ≤=,所以 2()()0()g x F x x a '=≤-.七、(本题满分5分)【解析】方法一：本题可采用一般的解法如下： 由X AX B,=+得()E A X B.-=因为 ()1111002111013213102011E A ,---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦所以 ()102111311321202030115311X E A B .---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 方法二：本题还可用由()E A X B -=作初等行变换()()E A B E X -→,此解法优点是少算一次矩阵乘法,可以适当减少计算量.()110111012010253E A B --⎡⎤⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 第一行乘以()1-分别加到第二行和第三行上,再第三行乘以()1-加到第三行上,得110110111100333--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦第三行自乘13,再加到第二行上,第二行再加到第一行上,有100310102000111-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 所以312011X .-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦八、(本题满分6分) 【解析】m 个n 维向量12m ,,,ααα线性相关的充分必要条件是齐次方程组.()12120m m x x x ααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦有非零解.特别地,n 个n 维向量12,,,n ααα线性相关的充分必要条件是行列式12,,,0n ααα=.由于123111,,123513t tααα==-,故当5t ≠时,向量组123,,ααα线性无关；5t =时向量组123,,ααα线性相关. 当5t =时,设11223x x ααα+=将坐标代入有1212121,23,3 5.x x x x x x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解出121, 2.x x =-=即3122ααα=-+.九、(本题满分5分)【解析】(1) 矩阵A 的特征方程为122212221E A λλλλ+---=-+-+, 经过行列式一系列的初等行变换和初等列变换,有122122112034021021E A λλλλλλλλ-------=-+=+++ ()()()234115021λλλλλ+=-=-+=+,故矩阵A 的特征值为：115,,-.(2)由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端左乘1A -,得1A αλα-=.因为0α≠,故0λ≠,于是有11Aααλ-=.按特征值定义知1λ是1A -的特征值.由A 的特征值是115,,,-可知1A -的特征值为1115,,.-又因为()11(1)E A ααλ-+=+, 那么1E A -+的特征值是4225,,.【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.十 、(本题满分7分)【解析】(1) 由二维连续型随机变量的概率求法,概率等于对应区域上的二重积分()0{}(,)yx y x yP X Y f x y dxdy dy e dx +∞-+<<==⎰⎰⎰⎰y y x e dy e dx +∞--=⎰⎰0()x y y x x e e dy +∞=--==-⎰201(1)2y y y y e e dy e e +∞+∞----⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭⎰1.2=(2) 由二维连续型随机变量的数学期望定义得()0()(,)x y E XY xyf x y dxdy xye dxdy +∞+∞+∞+∞-+-∞-∞==⎰⎰⎰⎰x y xe dx ye dy +∞+∞--=⎰⎰.因为由分部积分法有y y y y ye dy yde ye e d y +∞+∞+∞----+∞=-=-+⎰⎰⎰yyye e --+∞+∞=--,由洛必达法则,对∞∞型极限,有1lim lim 0yy y y ye e -→∞→∞==.所以有() 1.E XY =十一、(本题满分8分)【解析】以A 表示事件“对X 的观测值大于3”,依题意,X 的概率密度函数为1,25,()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它. 因此 5312(){3}.33P A P X dx p =>==⎰设随机变量Y 表示三次独立观测中观测值大于3的次数(即在三次独立试验中事件A 出现的次数).显然, Y 服从参数23,3n p ==的二项分布,因此,所求概率为 {2}{2}{3}P Y P Y P Y ≥==+=223321220()()()33327C =+=.【相关知识点】二项分布的概率计算公式：若(,)Y B n p ~,则{}(1)k kn k n P Y k C p p -==-, 0,1,,k n =.。

1989年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考解答及评分标准数 学（试卷一）一、填空题 (本题满分15分，每小题3分) (1) 以知f '(3)=2,则0(3)(3)lim2h f h f h→--=-1(2) 设()f x 是连续函数，且⎰+=1)(2)(dt t f x x f ，则()f x =1x -.(3) 设平面曲线L 为下半圆Y=－21x -，则曲线积分=+⎰)(22y x Lπ(4) 向量场22(,,)ln(1)z u x y z xy i ye j x z k =+++ 在点p(1,1,0)处的散度div u = 2 (5) 设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡304041003，I =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001则逆矩阵1(2)A I --=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-10002121001二、选择题 (本题满分15分，每小题3分) (1) 当0x >时，曲线1siny x x= (A) 有且仅有水平渐近线； (B) 有且仅有铅直渐近线.(C) 既有水平渐近线，也有铅直渐近线； (D) 既无水平渐近线，也无铅直渐近线.(2) 已知曲面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210x y z ++-=，则点P 的坐标是(A) (1,-1,2) (B)(-1,1,2) (C)(1,1,2) (D)(-1,-1,2) (C)(3) 设线性无关的函数123,,y y y 都是二阶非齐次线性方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的解，12,c c 是任意常数，则该非齐次方程的通解是(A)32211y y c y c ++(B)3212211)1(y c c y c y c +--+ (C)3212211)1(y c c y c y c ---+ (D)3212211)1(y c c y c y c --++(D)(4) 设函数2(),01,()f x x x s x =≤<=1sin ,n bn n x π∞=∑,x -∞<<+∞，其中102()sin ,(1,2,)n b f x n xdx n π==⎰ ，.则1()2s -)等于(A) 12-(B) 14-(C)41 (D) 21 (B) (5) 设A 是4阶矩阵，且A 的行列式0A =，则A 中(A) 必有一列元素全为0； (B) 必有两列元素对应成比例；(C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合；(D) 任一列向量是其余列向量的线性组合. (C) 三、(本题满分15分，每小题5分)(1) 设),()2(xy x g y x f z +-=,其中函数()f t 二阶可导，(,)g u v 具有连续的二阶偏导数，求y x z∂∂∂2.解：2u v z f g yg x∂'=++∂,……2分 22uv vv v zf xg xyg g x y∂''=-+++∂∂. …5分(2) 设曲线积分⎰+02)(dy x y dx xy α与路径无关，其中)(x α具有连续的导数，且)0(α=0.计算⎰+)1,1()0,0(2)(dy x y dx xy α的值.解：由2(,),(,)(),P QP x y xy Q x y y x y xϕ∂∂===∂∂, ……1分 得22(),()xy y x x x C ϕϕ'==+. 再由(0)0C=0ϕ=得，故2()x x ϕ=. ……3分所以(1,1)(1,1)222(0,0)(0,0)()xy dx y x dy xy dx x ydy ϕ+=+⎰⎰.沿直线y x =从点(0,0)到点(1,1)积分，得(1,1)123(0,0)1()22xy dx y x dy x dx ϕ+==⎰⎰ ……5分 (3) 计算三重积分⎰⎰⎰Ω+dy z x )(，其中是Ω由曲面z=22y x +与z=221y x --所围成的区域.解：利用球面坐标计算21240sin cos sin xdv d d r r dr ππθϕϕθϕΩ=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰……1分 4240011sin [(sin 2)]0244d d πππϕθθϕϕ=⋅-⋅=⎛⎜⎠⎰. ……2分2124000cos sin zdv d d r r dr ππθϕϕϕΩ=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰240112sin 248d πππϕϕ=⋅⋅=⎰. ……4分所以()8x z dv πΩ+=⎰⎰⎰. ……5分四、(本题满分6分) 将函数arctgx f =)(xx-+11展为x 的幂级数. 解： 由221()(1),(11)1n n n f x x x x ∞='==--<<+∑ ……2分得12210000(1)()(0)()(1)21xn xn nn n n f x f f t dt t dt x n +∞∞+==-'-==-=+⎛⎜⎠∑∑⎰.而(0)arctan14f π==， ……5分 所以2101(1)arctan ,(11)1421n n n x x x x n π∞+=+-=+-≤<-+∑.……6分五、(本题满分7分) 设0()sin ()()xf x x x t f t dt =--⎰,其中f 为连续函数，求()f x .解：0()sin ()()xx f x x xf t dt tf t dt =-+⎰⎰,0()cos (),()sin ()xf x x f t dt f x x f x '''=-=--⎰.即()()sin f x f x x ''+=-， ……2分 这是二阶常系数非齐次线性微分方程,初始条件为00|(0)0,|(0)1x x y f y f ==''====. ……3分 其对应齐次方程的通解为12sin cos y C x C x =+. ……4分设非齐次方程的特解*(sin cos )y x a x b x =+,可得10,2a b ==；于是*cos 2xy x =. ……5分 因此非齐次方程的通解为12sin cos cos 2xy C x C x x =++. ……6分 又由初始条件定出121,02C C ==，从而1()sin cos 22xf x x x =+.……7分六、(本题满分7分)证明方程lnx=x e x 2cos 10--⎰πdx 在区间(0，+∞)内有且仅有两个不同实根.解：1cos 222xdx π-=⎰.……2分记()ln 22x F x x e =--11()F x e x'=-，()0F e '=. 因当0x e <<时，()0F x '<，()F x 递减；当e x <<+∞时，()0F x '>，()F x 递增；故()F x 在区间(0,)()e e +∞和，内分别至多一个零点. ……5分又()220F e =-<，34()0,()0F e F e ->>.由零点定理，()F x 在区间34(,)()e e e e -和，内分别有一个零点.故方程0ln 1cos 2x x xdx e π=--⎰在(0,)+∞内有且仅有两个实根. ……7分 七、(本题满分6分)问λ为何值时，线性方程组13123123()4226423x x f x x x x x x x λλλ+=⎧⎪=++=+⎨⎪++=+⎩有解，并求出解的一般形式.解：对方程组的增广矩阵进行初等行变换得1011014122012326142301243λλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+→--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+--+⎝⎭⎝⎭101012320001λλλ⎛⎫ ⎪→--+⎪ ⎪-+⎝⎭ ……3分 当10λ-+=，即1λ=时，方程组有解. ……4分这时方程组为131231231423645x x x x x x x x +=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，而1323121x x x x +=⎧⎨-=-⎩为其同解方程组. ……5分解之得1323112x x x x =-⎧⎨=-+⎩.其中3x 取任意常数. ……6分八、(本题满分7分)假设λ为n 阶可逆矩阵A 的一个特征值，证明： (1)λ1为A-1的特征值；(2) —λ||A 为A 的伴随矩阵A*的特征值.证：（1）由条件知有非零向量ξ满足ξλξ=A……2分 两端左乘以1-A ，得1ξλξ-=A .……3分因ξ为非零向量，故0λ≠，于是有11ξξλ-=A ，所以1λ为1-A 的特征值.……4分 （2）由于1*1||-=AA A ， ……5分 故前一式又可写为*11||ξξλ=A A ，……7分从而有*||ξξλ=A A ，所以||λA 为*A 的特征值.……8分九、(本题满分9分)设半径为R 的圆面∑的球心在定球面2222,(0)x y z a a ++=>上，问当R 取何值时，球面∑在定球面内部的那部分的面积最大？解：设球面∑的方程为2222()x y z a R ++-=.两球面的交线在xoy 面上的投影为222222(4)40R x y a R a z ⎧+=-⎪⎨⎪=⎩. ……2分记投影曲线所围平面区域为xy D .球面∑在定球面内的部分的方程为z a = 这部分球面的面积22222()1xyxyx y D D S R z z dxdy R x y''=++=--⎰⎰⎰⎰……4分2232422222Ra R a R d R aR rππθπ-==--⎰.……6分 令23()40R S R R a ππ'=-=，得驻点1240(),3aR R ==舍去， ……8分 由于4()403a S π''=-<.故当43aR =时，球面∑在定球面内的部分的面积最大.……9分十、填空题 (本题满分6分，每小题2分)(1) 已知随机事件A 的概率P(A)=0.5,随机事件B 的概率P(B)=0.6及条件概率P(B|A)=0.8， 则和事件A ⋃B 的概率P(A ⋃B)=0.7(2) 甲，乙两人独立的对同一目标射击一次.其命中率分别为0.6和0.5.先已知目标被命中，则它是甲射中的概率是0.75(3) 若随机变量ξ在(1，6)上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是0.8.十一、(本题满分6分)设随机变量X 与Y 独立，且X 服从均值为1，标准差(均方差)为2的正态分布，而Y 服从标准正态分布，试求随机变量Z=2X-Y+3的概率密度函数解：因相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，故只需确定Z 的均值()E Z 和方差()D Z .……1分 由于()2()()35E Z E X E Y =-+=，……3分2()2()()9D Z D X D Y=+=. ……5分所以Z的概率密度函数为2(5)18()32zzf zπ--=. ……6分数 学（试卷二）一、填空题 【 同数学一 第一题 】 二、选择题 【 同数学一 第二题 】 三、【 同数学一 第三题 】 四、(本题满分18分，每小题6分) (1) 【 同数学一第四（1）题 】(2) 求八分之一球面2222x y z R ++=，0,0,0x y z ≥≥≥的边界曲线的重心，设曲线的线密度1ρ=.解：设曲线在XOY ，YOZ ，ZOX 坐标平面内的弧段分别为123L ,L ,L (如图)， 则曲线质量为123L +L L 23342R m ds R ππ+==⨯=⎰. ……2分 记曲线重心为(,,)x y z ，则123L +L L 1x xds m+=⎰ ……3分 ()123L L L 1xds xds xds m =++⎰⎰⎰()131L L L 120xds xds xds m m =++=⎰⎰⎰22202243R R R dx m m R x π===-⎛⎜⎠. ……5分由对称性知43R y z x π===，即所求重心为444333R R R πππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，.……6分 (3) 设空间区域Ω由曲面222z a x y =--与平面0z =围成，其中a 为正的常数，记Ω表面的外侧为S ，Ω的体积为V ，求证：V dxdy xyz z dzdx z y x dydz z y x S=++-⎰⎰)1(2222.证： 由高斯公式知原式＝12xyz dxdydz Ω⎰⎰⎰（＋） ……2分 2V xyzdxdydz Ω=+⎰⎰.……4分因Ω关于XOZ 坐标平面对称,xyz 是Ω上关于y 的奇函数,故有0xyzdxdydz Ω=⎰⎰⎰.……6分所以欲证等式成立.五、(本题满分7分)【 同数学一 第五题 】 六、(本题满分7分)【 同数学一 第六题 】 七、(本题满分6分)【 同数学一 第七题 】 八、(本题满分8分)【 同数学一 第八题 】 九、(本题满分9分)【 同数学一 第九题 】数 学（试卷三）一、填空题 (本题满分21分，每小题3分) (1) 0lim 21/2x xctg x →=.(2)⎰πsin tdt t =π.(3) 曲线y =⎰--xdt t t 0)2)(1( 点(0,0)处的切线方程是2y x =.(4) 设()(1)(2)()f x x x x x n =+++ ，则!)0(n f ='(5) 【 同数学一 第一、(2)题 】(6) 设()f x =0,0,sin 2>≤⎪⎩⎪⎨⎧+x x xbx bx a 在0x =处连续，则常数a 与b 应满足的关系是a b =.(7) 设tan y x y =+，则dy =2cot ydx .二、(本题满分20分，每小题4分) (1) 已知arcsin xy e -=y '解：222()12(1)(1)(1)x xx xx x e x y eex e -----'⋅'===----. ……4分(2) 求⎰x x dx2ln .解： 22ln ln ln dx d x x x x =⎛⎛⎜⎜⎠⎠. ……2分 1ln C x=-+.……4分(3) 求 xx x x 10)cos sin 2(lim +→.解： 1ln ln(2sin cos )y x x x=+ ……2分 利用罗比塔法则有002cos sin limln lim 22sin cos x x x xy x x→→-==+.……3分 故120lim(2sin cos )xx x x e →+=.……4分(4) 已知2ln(1)x t y arctgt⎧=+⎨=⎩ 求 dx dy及 22dx y d . 解： 22111221dy t t dx t t +==+，……2分2222321112241d y t t dx t t t +=-⋅=-+.……4分(5) 已知1(2),(2)02f f '== 及 ⎰=201)(dx x f ，求 ⎰''102)2(dx x f x .解： 设2t x =，则 2122001(2)()24t x f x dx f t dt ''''=⎰⎰……1分 222001()2()8t f t tf t dt ⎡⎤''=-⎢⎥⎣⎦⎰……2分 2012()8tdf t ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰……3分 220011()()[11]044tf t f t dt ⎡⎤=--=--=⎢⎥⎣⎦⎰.……4分三、选择题 (本题满分18分，每小题3分) (1) 【 同数学一 第二、(1) 题 】(2) 若2350a b -<，则方程043235=+++c bx ax x (B)(A) 无实根 (B) 有唯一实根 (C) 有三个不同实根 (D) 有五个不同实根 (3) 曲线cos y x =(22x ππ-≤≤)与x 轴围成的图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为(A) /2π (B) π (C) 2/2π (D) π2 (4) 设函数()f x 及()g x 都在x a =处取得极大值，则函数()()()F x f x g x =在x a = (D)(A) 必取极大值 . (B) 必取极小值.(C) 不可能取极值. (D) 是否取极值不能确定.(5) 微分方程1+=-''x e y y 的一个特解应具有形式（式中,a b 为常数） (B)(A) x ae b + (B) x axe b + (C) x ae bx + (D) xaxe bx +(6) ()f x 在点a x =可导的一个充分条件是 (D)(A) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++∞→)()1(lim a f h a f h h 存在 (B) hh a f h a f h )()2(lim0+-+→存在(C) h h a f h a f h 2)()(lim--+→存在 (D) hh a f a f h )()(lim 0--→存在四、(本题满分6分)微分方程)0()1(2+∞<<=-+'x e y x y x x 满足0)1(=y 的解. 解：由通解公式有112()xxx dx dx xxe y ee dx C x---⎛⎜⎠⎰=+⎰……2分 即y =2x xCe e x+.……4分 再由(1)0y =，得C e =-.……5分 故所求通解为()x x e e e y x-=.……6分五、(本题满分7分)【 同数学一 第五题 】 六、(本题满分7分)【 同数学一 第六题 】 七、(本题满分11分) 对函数y=21xx +，填写下表. 单调减区间 单调增区间 极 值 点 极 值 凹 区 间 凸 区 间 拐 点 渐 近 线单调减少区间 (,2),(0,)-∞-+∞ （２分） 单调增加区间 (2,0)-（３分） 极值点 2- （４分） 极值 1/4- （５分） 凹区间 (3,0)(0,)-+∞, （７分） 凸区间 (,3)-∞- （８分） 拐点 (3,2/9)--（9分） 渐进线00x y ==和（1１分）八、(本题满分10分)设抛物线2y ax bx c =++过原点，当01x ≤≤，时0y ≥，又已知该抛物线与x 轴及直线1x =所围成的面积为31.试确定,,a b c 的值，使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小.解：因曲线过原点，故0c =. ……1分由题设有1201()323a b ax bx dx +=+=⎰，即2(1)3b a =-. ……3分 又2212201()()523a b V ax bx dx ab ππ=+=++⎰. ……5分将b 的表达式代入上式得22114[(1)(1)]5339a V a a a π=+-+⋅-. ……6分令2128(1)053327a a V a a π⎡⎤'=+---=⎢⎥⎣⎦，解得54a =-.……8分 代入b 的表达式得32b =. ……9分因a V π''>５４（－）＝０４135及实际情况，知当53,,042a b c =-==时，体积最小. ……10分数 学（试卷四）一、填空题：(本题满分15分，每小题3分)(1) 曲线2sin y x x =+在点(,1)22ππ+处的切线方程是1y x =+.(2) 幂级数∑∞=+11n nn x 的收敛域是[1,1)-.(3) 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足的条件是1λ≠.(4) 设随机变量X 的分布函数为=)(x F 00sin 0/21/2x A x x x ππ<⎧⎪≤≤⎨⎪>⎩若若若,则A = 1 ；P {|x |<6π}=2/1.(5) 设随机变量X 的数学期望EX=μ,方差DX=2σ，则由切比雪夫(chebyshev)不等式，有≤≥-}3{σμX P 1/9 .二、选择题：(本题满分15分，每小题3分)(1) 设232)(-+=x x x f , 则当x →0时， (B)(A) ()f x 与x 是等价无穷小量 (B) ()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量(C) ()f x 是比x 较高阶的无穷小量 (D) ()f x 是比x 较低阶的无穷小量 (2) 在下列等式中，正确的结果是(C)(A)⎰=')()(x f dx x f (B) ⎰=)()(x f x df (C) ⎰=)()(x f dx x f dx d (D) ⎰=)()(x f dx x f d(3) 【 同数学一 第二、(5) 题 】(4) 设A 和B 均为n ⨯n 矩阵 , 则必有 (C)(A) B A B A +=+ ( B) BA AB =(C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A (5) 以A 表示事件 “甲种产品畅销，乙种产品滞销”， 则其对立事件A 为(D)(A)“甲种产品滞销，乙种产品畅销” (B)“甲，乙产品均畅销”(C)“甲种产品滞销” (D)“甲种产品滞销或乙种产品畅销” 三、计算题 (本题满分15分，每小题5分) (1) 求极限11lim(sincos )x x x x→∞+ 解：设1u x=，则当x →∞时，0u →. 01sin cos )limlim(sin cos )u u u u →+→=+=ｕln(uu ｕ原式ｅ. ……1分 而00ln(sin cos )cos sin limlim 1sin cos u u u u u u u →→+-==+ｕｕ……4分 于是原式＝e .……5分(2) 已知(,)z f u v =,u x y v x y =+=，且(,)f u v 的二阶偏导数都连续, 求 yx z∂∂∂2.解：z f u f v x u x v x ∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂f f y u v∂∂=+⋅∂∂ ……2分 2222222z f u f vf u f v f y x y u y u v y v u y v y v ⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅⋅+⋅+ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ ……4分222222f f f f f x y xy u u v v u v v ∂∂∂∂∂=+⋅+⋅++∂∂∂∂∂∂∂ 22222()f f f f x y xy u u v v v∂∂∂∂=++⋅++∂∂∂∂∂. ……5分(3) 求微分方程 x e y y y -=+'+''265 的通解.解：由特征方程为256(2)(3)0r r r r ++=++=，知特征根为2,3--.……1分 于是对应齐次微分方程的通解为2312()xx y x C eC e --=+.……2分 其中12,C C 为任意常数.设所给非齐次方程的特解为*()xy x Ae -=.……3分 将*()y x 代入原方程，可得1A =，故所给非齐次微分方程的特解为*()x y x e -=. ……4分 从而，所给微分方程的通解为2312()x x x y x C e C e e ---=++.……5分四、（本题满分9分）设某厂家打算生产一批商品投放市场，已知该商品的需求函数为2()10xp p x e -== 且最大需求量为6，其中x 表示需求量，p 表示价格.（1）求该商品的边际收益函数；（2分）（2）求使收益最大时的产量，最大收益和相应价格. （4分） （3）画出收益函数的图形.（3分）解：(1) 收益函数为2()10,06;x R x px xe x -==≤≤……1分 边际收益函数为25(2)x dR MR x e dx-==-.……2分(2) 由25(2)0x R x e-'=-=，得驻点02x =. 由于12005|(4)502xx x R x e e --==''=-=-<.……4分可见()R x 在点2x =处达到极大值，亦即最大值122(2)1020x x R xee --===.于是当产量为２时，收益取最大值120e -，而相应的价格为110e -.……6分(3) 由上面的计算结果，易得下表x[0,2]2[2,4]4[4,6]R ' + 0-- R '' ---+R单增，凸极大值20e单减，凸240(4,)e单减，凹……9分收益函数的图形为五、（本题满分9分）已知函数⎩⎨⎧≤<-≤≤=21210)(x x x x x f 若若，试计算下列各题：(1) 200()x S f x e dx -=⎰，（4分）； (2) 412(2)xS f x e dx -=-⎰，（2分）；(3) 222(2)n xn nS f x n e dx +-=-⎰（n=2,3,…）（1分）； (4) ∑∞==0n n S S .（2分）解：(1) 12001(2)xx S xe dx x e dx --=+-⎰⎰.……1分其中111100012x x x xe dx xe e dx e ----=+=-⎰⎰，……2分 2222111(2)(2)x x x x e dx x e e dx e -----=---=⎰⎰.……3分 从而1212012(1)S e e e ---=-+=-.……4分(2) 令2t x =-，则4222102(2)()x t S f x e dx f t e dt S e ----=-==⎰⎰.……6分 (3) 令2t x n =-，则22200()t n n n S f t e dt S e ---==⎰.……7分 (4) 22000()nn nn n n S S S eS e ∞∞∞--======∑∑∑……8分 02111S e e e --==-+. ……9分六、（本题满分6分）假设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且0)(≤'x f ，记⎰-=xadt t f a x x F )(1)(，证明在(,)a b 内0)(≤'x F . 证： 由于()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，因此21111()()()()()()x x a a F x f x f t dt f x f t dt x a x a x a x a ⎡⎤'=-=-⎢⎥----⎣⎦⎰⎰. ……2分由积分中值定理知，存在,a x ξξ<<，使1()()xa f f t dt x aξ=-⎰. 因此[]1()()()F x f x f x aξ'=--. ……4分又由于()0f x '≤，知()f x 在(,)a b 上非增函数，所以当x ξ>时，()()f x f ξ≤.因10x a>-，故由此可知()0F x '≤. ……6分七、（本题满分5分）已知X=AX+B,其中010111101A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭,112053B -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,求矩阵X..解： 以E 表示3阶单位矩阵，由X =AX +B ，有(-)=E A X B . ……1分 其中110101102-⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭E A .……2分其逆矩阵为102/31/3()12/31/301/31/3-⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭E A ； ……4分于是102/31/31131()12/31/3202001/31/35311---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=-=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭X E A B .……5分八、（本题满分6分）设()1,1,11=α，()3,2,12=α，()t ,3,13=α， (1) 问当t 为何值时，向量组321,,ααα线性无关？（3分） (2) 问当t 为何值时，向量组321,,ααα线性相关？（1分） (3) 当向量组321,,ααα 线性相关时，将3α表示为1α和2α的线性组合.（2分）解：设有实数123,,k k k ，使1212330k a a k k a ++=，则得方程组：123123123023030k k k k k k k k k t ++=++⎧=++=⎪⎨⎪⎩ （*）， 其系数行列式为 111123513D t t ==-. ……2分(1) 当5t ≠时，0D ≠，方程组（*）只有零解：1230k k k ===.这时，向量组3,21,a a a 线性无关.……3分 (2) 当5t =时，0D ≠，方程组（*）有非零解，即不存在不全为0的常数123,,k k k ，使1212330k a a k k a ++=，这时，向量3,21,a a a 线性相关.……4分(3) 设5t =.由111111123012135000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知方程组（*）可化为1323020k k k k -=+=⎧⎨⎩. 令31k =，得121,2k k ==-.因此，有12320a a a -+=.从而3a 可以通过1a 和,2a 表示为3122a a a =-+.……6分九、（本题满分5分）设122212221A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，(1) 试求A 矩阵的特征值.（2分）(2) 利用(1)小题的结果，求矩阵1-+A E 的特征值.其中E 是三阶单位矩阵（3分）解：（1）矩阵A 的特征方程为2122||212(1)(5)0221λλλλλλ+---=-+=-+=-+E A ，由此得矩阵A 的特征值1,1,5-.……2分（2）由于矩阵A 的特征值1,1,5-，可知1-A 的特征值为11,1,5-.……3分因此，有1||0--=E A ，11()05---=E A .由此可见1|(11)()|0-+-+=E E A ，11|(1)()|05--+-+=E E A ，即1|2()|0--+=E E A ，14|()|05--+=E E A .于是，矩阵1-+E A 的特征值42,2,5.……5分十、(本题满分7分)已知随机变量X 和Y 的联合密度为⎩⎨⎧+∞<<∞<<=+-其他若00,0),()(y x e y x f y x ，试求：(1) {}P X Y < (5分) ； （2）()E XY (2分)解：(1) {}(,)X YP X Y f x y dxdy <<=⎰⎰……2分()01(1)2yyx y y x y y e dxdy e dy e dy e e dy +∞+∞+∞-+----===-=⎰⎰⎰⎰⎰. ……5分 (2) ()()1x y xy E XY xyedxdy xe dx ye dy +∞+∞+∞+∞-+--===⎰⎰⎰⎰.……7分十一、(本题满分8分)设随机变量在 [2,5]上服从均匀分布.现在对X 进行三次独立观 测.试求至少有两次观测值大于3的概率.解：以A 表示事件“对X 的观测值大于3”，即A {3}X =>，由条件知，X 的密度函数为125()30x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩若其他，5312(){3}33P A P X dx =>==⎰. ……4分以3u 表示三次观测值大于3的次数（即在三次独立观测中事件A 出现的次数）.显然，3u 服从参数为3n =，23p =的二项分布， 因此，所求概率为223333321220{2}()()33327P u C C ≥=+=. ……8分数 学（试卷五）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 【 同数学四 第一、(1) 题 】(2) 某商品的需求量Q 与价格P 的函数关系为b Q ap =，其中a 和b 为常数，且0≠a ，则需求量对价格P 的弹性是 b .(3) 行列式1111111111111111--+---+---x x x x 4x .(4) 设随机变量123,,X X X 相互独立，其中1X 在[0,6]上服从均匀分布，2X 服从正态分布23(0,2),N X 服从参数为3=λ的泊松分布.记12323Y X X X =-+，则DY = 46 .(5) 【 同数学四 第一、(4) 题 】二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 【 同数学四 第二、(1) 题 】 (2) 【 同数学四 第二、(2) 题 】 (3) 【 同数学一 第二、(2) 题 】(4) 设n 元齐次线性方程组AX ＝0的系数矩阵A 的秩为r ，则AX ＝0有非零解的充分必要条件是 (B) (A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r > (5) 【 同数学四 第二、(5) 题】三、(本题满分20分，每小题5分) (1) 求极限1lim ()x xx x e →+∞+.解：原式ln()lim x x x e xe→+∞+=. ……1分 而ln()1lim lim x xx x x x e e x x e→+∞→+∞++=+ ……2分 lim1xxx e e →+∞=+ ……3分 lim 1xx x e e→+∞==. ……4分因此1lim ()x xx x e e →+∞+=.……5分(2) 已知22y x a z -=，其中1,0≠>a a ,求dz .解：222222ln x y z a a x x y x y -∂==∂--， ……2分222222ln x y z a a yx yx y-∂=⋅=∂--. ……4分222222)z z dz dx dy xdx ydy x y x y x y x y ∂∂=+==-∂∂---. ……5分(3) 求不定积分dx xx x ⎰-+2)1ln(. 解：11ln(1)dx x d x x--⎰⎰原式＝ ……1分11ln ||ln(1)(1)x x dx x x x =----⎰……2分 111ln ||ln(1)1x x dx x x x ⎛⎫=---+ ⎪-⎝⎭⎛⎜⎠……3分 1ln ||ln(1)ln ||ln(1)x x x x C x =---+-+……4分 1(1)ln(1)x C x=--+.……5分 (4) 求二重积分dxdy y x y x D⎰⎰++--222211，其中D 是122=+y x ，0,0==y x 所围成的区域在第I 象限部分.解：作极坐标变换cos sin x r x r θθ=⎧⎨=⎩，……1分 原式21220011rd rdr r πθ-=+⎰⎰……2分 1202(1)21rdr r π=-+⎰ ……3分 12201ln(1)22r r π⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦ ……4分 1[ln 2]22π=-. ……5分四、(本题满分6分)已知某企业的总收入函数为324226x x x R --=,总成本函数为28x x C +=，其中x 表示产品的产量.求利润函数，边际收入函数，以及企业获得最大利润时的产量和最大利润.解：(1) 利润函数为23223262481834L R C x x x x x x x x =-=----=--.……1分 (2) 边际收入函数为226412dRMR x x x dx ==--. ……2分 (3) 边际成本函数为82dCMC x dx==+.……3分 (4) 解方程2186120dLx x dx=--=，得1, 1.5()x x ==-舍去.……4分 而由2211(624)300x x d lx x dx ===--=-< ……5分知，当1x =时Ｌ达到极大值2311|(1834)|11x x L x x x ===--=.因为0x >时，()L x 只有一个极大值，没有极小值，故此极大值就是最大值. 于是，当产量为１时利润最大，最大利润为11.……6分五、(本题满分12分)已知函数22)1(2x x y -=，试求其单调区间，极值点，及图形的凹凸性，拐点和渐近线，并画出函数图形.解：34(1)xy x '=-，令0y '=，得0x =. ……1分 84(1)x y x +''=-４，令0y ''=，得12x =-……2分于是，可列出如下表格：(1) 由表中计算结果可见：0x =是函数的极小值点，极小值为０；……3分点12(,)29-是该曲线的拐点； ……4分 区间(,0)(1,)-∞+∞和是函数的单调减区间；……5分 区间(0,1)是函数的单调增区间； ……6分 在1(,)2-∞-上函数图形凸，……7分 在1(,1)2-和(1,)+∞上函数图形凹.……8分 (2) 由lim 2x y →∞=，知2y =为函数图形的水平渐近线；……9分 由1lim x y →=∞，知1x =为函数的图形的铅垂渐近线.……10分(3) 函数图形如下：……12分六、(本题满分5分)【 同数学四 第七题 】 七、(本题满分6分)【 同数学四 第八题 】 八、(本题满分5分)【 同数学四 第九题 】 九、(本题满分8分)已知随机变量X 和Y 的联合概率分布为：(,)X Y(0,0) (0,1) (1,0) (1,1) (2,0) (2,1) {}y Y x X P ==,0.10 0.15 0.25 0.20 0.15 0.15求：(1) X 的概率分布； (2) X ＋Y 的概率分布； (3)2sinY X Z +=π的数学期望.解：(1) X 的概率分为X 0 1 2{}P X x =0.25 0.45 0.30……3分(2) X+Y 的概率分为……6分(3) ()[sin]2X Y E π+sin 00.10sin0.40sin 0.35sin0.1522πππ3=⨯+⨯+⨯+⨯ 0.400.150.25=-=.……8分十、(本题满分8分)某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：小时）都服从同一指数分布，分布密度为6001,0()6000,0xe xf x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩若若，试求：在仪器使用的最初200小时那，至少有一只电子元件损坏的概率α.解：设三只元件编号分别为1，2，3；以(1,2,3)i A i =表示事件“在仪器使用的最初 200小时内，第i 只元件损坏”；以(1,2,3)i X i =表示“第i 只元件的使用寿命”. 由题意知(1,2,3)i X i =服从密度为()f x 的指数分布.易见160032001()(200)600x i i P A P X e dx e --+∞=>==⎰.……5分所求事件的概率1313123123()1()1()1P A A A P A A A e e α--==-=-=- . ……8分X Y + 0 1 2 3{}P X Y s +=0.10 0.40 0.35 0.15。

1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.) (1) 曲线2sin y x x =+在点122,ππ⎛⎫+⎪⎝⎭处的切线方程是__ _ .(2)幂级数nn ∞=的收敛域是__ _ . (3) 齐次线性方程组1231231230,0,0x x x x x x x x x λλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 只有零解,则λ应满足的条件是__ _ . (4) 设随机变量X 的分布函数为()00sin 0212,x ,F x A x,x ,,x ,ππ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩则A =__________,6P X π⎧⎫<=⎨⎬⎩⎭ . (5) 设随机变量X 的数学期望()E X μ=,方差2()D X σ=,则由切比雪夫(Chebyshev)不等式,有{3}P X μσ-≥≤__ _ .二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设()232xxf x ,=+-则当0x →时 ( )(A) ()f x 与x 是等价无穷小量 (B) ()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量 (C) ()f x 是比x 较高阶的无穷小量 (D) ()f x 是比x 较低阶的无穷小量 (2) 在下列等式中,正确的结果是 ( )(A)()()f x dx f x '=⎰ (B) ()()df x f x =⎰(C)()()df x dx f x dx =⎰(D) ()()d f x dx f x =⎰ (3) 设A 为n 阶方阵且0A =,则 ( ) (A) A 中必有两行(列)的元素对应成比例(B) A 中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合 (C) A 中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合 (D) A 中至少有一行(列)的元素全为0(4) 设A 和B 均为n n ⨯矩阵,则必有 ( )(A) A B A B +=+ (B)AB BA = (C) AB BA = (D) ()111A B A B ---+=+(5) 以A 表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件A 为 ( )(A) “甲种产品滞销,乙种产品畅销” (B) “甲、乙两种产品均畅销”(C) “甲种产品滞销” (D) “甲种产品滞销或乙种产品畅销”三、计算题(本题满分15分,每小题5分)(1) 求极限11lim sin cos xx .x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭(2) 已知(,),,,z f u v u x y v xy ==+=且(,)f u v 的二阶偏导数都连续.求2zx y∂∂∂.(3) 求微分方程562xy y y e-'''++=的通解.四、(本题满分9分)设某厂家打算生产一批商品投放市场.已知该商品的需求函数为2()10x P P x e -==,且最大需求量为6,其中x 表示需求量,P 表示价格.(1) 求该商品的收益函数和边际收益函数.(2分)(2) 求使收益最大时的产量、最大收益和相应的价格.(4分) (3) 画出收益函数的图形.(3分)五、(本题满分9分)已知函数,01,()2,1 2.x x f x x x ≤≤⎧=⎨-≤≤⎩试计算下列各题：(1) 200();xS f x e dx -=⎰(4分) (2) 412(2);x S f x e dx -=-⎰(2分)(3) 222(2)(2,3,);n xn nS f x n e dx n +-=-=⎰(1分) (4) 0n n S S ∞==∑.(2分)六、(本题满分6分)假设函数()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,且()0f x '≤,记1()(),xa F x f t dt x a=-⎰ 证明在(,)a b 内,()0F x '≤.七、(本题满分5分)已知X AX B,=+其中010111101A ,⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦112053B ,-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦求矩阵X .八、(本题满分6分)设123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,)t ααα===. (1) 问当t 为何值时,向量组123,,ααα线性无关?(3分) (2) 问当t 为何值时,向量组123,,ααα线性相关?(1分)(3) 当向量组123,,ααα线性相关时,将3α表示为1α和2α的线性组合.(2分)九、(本题满分5分)设122212221A .-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦(1)试求矩阵A 的特征值；(2分)(2)利用(1)小题的结果,求矩阵1E A -+的特征值,其中E 是三阶单位矩阵.(3分)十 、(本题满分7分)已知随机变量X 和Y 的联合密度为(),,,(,)0,x y e x y f x y -+⎧<<+∞<<+∞=⎨⎩ 00其它.试求：(1) {}P X Y <；(5分) (2) ()E XY .(2分)十一、(本题满分8分)设随机变量X 在[2,5]上服从均匀分布,现在对X 进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】1y x =+【解析】对函数2sin y x x =+两边对x 求导,得12cos y sin x x,'=+ 令2x π=得212sincos122x y .πππ='=+=所以该曲线在点122,ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭处的切线的斜率为1,所以 切线方程是122y x ,ππ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭即1y x =+为所求. (2)【答案】[1,1)-【解析】因系数1n n a a +==,从而1lim1,n n n n a a +→∞== 即幂级数的收敛半径1R =,当11x -<<时幂级数绝对收敛. 当1x =-时得交错级数nn ∞=(条件收敛)；当1x =时得正项级数0n ∞=(发散).于是,幂级数的收敛域是[1,1)-. (3)【答案】1λ≠【解析】n 个方程n 个未知数的齐次方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是0A =, 因为此时未知数的个数等于方程的个数,即A 为方阵时,用0A =判定比较方便.而 21110011010(1),111111A λλλλλ-==-=- 所以当0A ≠时1λ≠.所以此题应填:1λ≠.(4)【答案】1,12【解析】由于任何随机变量X 的分布函数()F x 是右连续函数,因此对任何x ,有()(0)F x F x =+.对于2x π=,有()sin,(0) 1.222F A A F πππ==+= 令 ()2F π=(0)2F π+,得到1A =,其中0(0)lim ()x F x F x +→+=.又 666P X P X ,πππ⎧⎫⎧⎫<=-<<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭因()F x 在6x π=处连续,连续函数在任何一个点上的概率为0,因此06P X .π⎧⎫==⎨⎬⎩⎭所以 666P X P X πππ⎧⎫⎧⎫<=-<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭66F F ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭162sin .π== (5)【答案】19【解析】由切比雪夫不等式2{}DXP X EX εε-≥≤,有221{3}(3)9P X σμσσ-≥≤=.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】(B)【解析】由洛必达法则有()0002322ln23ln3lim lim lim ln2ln31x x x x x x x f x x x →→→+-+===+. 所以()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量. (2)【答案】(C)【解析】由不定积分的概念和性质可知,()()()()df x dx f x dx f x .dx'==⎰⎰()()()f x dx df x f x C,'==+⎰⎰C 为常数.()()d f x dx f x dx.=⎰故应选(C). (3)【答案】(C)【解析】本题考查||0A =的充分必要条件,而选项(A)、(B)、(D)都是充分条件,并不必要.因为对矩阵A 来说,行和列具有等价性,所以单说列或者单说行满足什么条件就构成了||0A =的必要条件,但是不具有任意性,只需要存在一列向量是其余列向量的线性组合.以3阶矩阵为例,若 112123134A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,条件(A)必有一列元素全为0,(B)必有两列元素对应成比例均不成立,但有||0A =,所以(A)、 (B)不满足题意,不可选.若123124125A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则||0A =,但第三列并不是其余两列的线性组合,可见(D)不正确.这样用排除法可知应选(C).(4)【答案】(C) 【解析】当行列式的一行(列)是两个数的和时,可把行列式对该行(列)拆开成两个行列式之和,拆开时其它各行(列)均保持不变.对于行列式的这一性质应当正确理解.因此,若要拆开n 阶行列式A B +,则应当是2n个n 阶行列式的和,所以(A)错误.矩阵的运算是表格的运算,它不同于数字运算,矩阵乘法没有交换律,故(B)不正确.若1010,0102A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,则()111111020020102,1310301000223A B A B ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+==+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 而且()1A B -+存在时,不一定11,A B --都存在,所以选项(D)是错误的. 由行列式乘法公式AB A B B A BA =⋅=⋅=知(C)正确.注意,行列式是数,故恒有A B B A ⋅=⋅.而矩阵则不行,故(B)不正确.(5)【答案】D【解析】设事件B =“甲种产品畅销”,事件C =“乙种产品滞销”,则 A 事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”可表示为A BC,=则_____A BCBC ===“甲种产品滞销或乙种产品畅销”,应选(D).三、计算题(本题满分15分,每小题5分.) (1)【解析】这是1∞型未定式求极限.设1u x=,则当x →∞时,0u →.于是 1011lim(sin cos )lim(sin cos )xux u u u x x→∞→+=+ 1sin cos 1sin cos 10lim(1sin cos 1)u u u u uu u u +-⋅+-→=++-,令sin cos 1u u t +-=,则0u →时0t →, 所以 11sin cos 1lim(1sin cos 1)lim(1)u u tu t u u t e +-→→++-=+=,所以 01sin cos 1sin cos 1sin cos 1limsin cos 10lim(1sin cos 1)lim u u u u u u u u u uuuu u u u ee→+-+-+-⋅+-→→++-==,由洛必达法则得00sin cos 1cos sin limlim 11u u u u u uu →→+--==,所以 111lim(sin cos )x x e e x x→∞+==.(2)【解析】方法一：先求z x ∂∂,再求2zx y∂∂∂.由复合函数求导法则,z f u f v f fy ,x u x v x u v∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂ 故 2()z f fy x y y u v∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂222222f u f v ff u f v y u y u v y v v u y v y ⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++++ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭222222f f f f f x y xy u u v v u v v ∂∂∂∂∂=++++∂∂∂∂∂∂∂ 22222()f f f fx y xy u u v v v∂∂∂∂=++++∂∂∂∂∂. 方法二：利用一阶全微分形式不变性,可得1212()()()()dz f d x y f d xy f dx dy f ydx xdy ''''=++=+++1212()()f yf dx f xf dy ''''=+++.于是有 12x z f yf '''=+. 再对y 外求偏导数,即得122111221222()()()xy y y z f y f f f xf y f xf f ''''''''''''''''=++=++++1112222()f x y f xyf f '''''''=++++. 【相关知识点】复合函数求导法则：若(,)u u x y =和(,)v v x y =在点(,)x y 处偏导数存在,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数[(,),(,)]z f u x y v x y =在点(,)x y 处的偏导数存在,且,z f u f v z f u f vx u x v x y u y v y∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂. (3)【解析】微分方程562xy y y e-'''++=对应的齐次方程560y y y '''++=的特征方程为2560r r ++=,特征根为122,3r r =-=-,故对应齐次微分方程的通解为2312xx C eC e --+.设所给非齐次方程的特解为*()xy x Ae -=,代入方程562xy y y e-'''++=,比较系数,得1A =,故所求方程的通解为231212,,x x x y C e C e e C C ---=++ 为常数.【相关知识点】关于微分方程特解的求法:如果()()xm f x P x e λ=,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=具有形如*()k xm y x Q x e λ=的特解,其中()m Q x 与()m P x 同次(m 次)的多项式,而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2.四、(本题满分9分) 【解析】(1)收益函数2()10,06x R x xP xe x -==≤≤.边际收益函数25(2)x dR MR x e dx-==-.(2)由 25(2)0x dRx e dx-=-=,得2x =. 又2222255(4)02x x x d Rx e dx e-===-=-<.因此()R x 在2x =取极大值.又因为极值点惟一,故此极大值必为最大值,最大值为20(2)R e=. 所以,当生产量为2时,收益取最大值,收益最大值为20e .而相应的价格为10e. (3)五、(本题满分9分)【解析】(1)()f x 为分段函数,由定积分的性质, 212001()()()x x x S f x e dx f x e dx f x e dx ---==+⎰⎰⎰1201(2)xx xe dx x e dx --=+-⎰⎰121(2)xx xdex de --=-+-⎰⎰1212011(2)x x x xxe e dx x e e dx ----⎡⎤⎡⎤=-++--⎣⎦⎣⎦⎰⎰1220111101()x xe e e e e --⎡⎤⎡⎤=+---=-+--+⎣⎦⎣⎦2121e e=-+. (2)用定积分换元法,令2x t -=,则2,x t dx dt =+=,所以 422(2)212(2)()()x t t S f x e dx f t e dt e f t e dt --+--=-==⋅⎰⎰⎰,而 20212()1x S f x e dx e e-==-+⎰,故 2222102012()(1)t S e f t e dt S e e e e----=⋅==-+⎰. (3) 用定积分换元法,令2x n t -=,则2,x t n dx dt =+=,所以 2222(2)220(2)()()n x t n n t n nS f x n e dx f t e dt e f t e dt +--+--=-==⋅⎰⎰⎰而 202012()1x S f x e dx e e-==-+⎰, 故 22220212()(1)nt n n n S ef t e dt S e e e e----=⋅==-+⎰. (4)利用以上结果,有2002001nnn n n n S S S eS e ∞∞∞-===⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑()22002221111111e S e S e e e e e--====--+-.六、(本题满分6分)【解析】对1()()xa F x f t dt x a=-⎰两边对x 求导,得 22()()()()()()()()xxa a f t dtx a f x f t dtf x F x x a x ax a ---'=+=---⎰⎰.证法一：由积分中值定理知,在(,)a x 内存在一点ξ使得()()()xaf t dt f x a ξ=-⎰,所以 22()()()()()()()()()()()()xa x a f x f t dtx a f x f x a f x f F x x a x a x aξξ------'===---⎰.又因为()0,f x a x ξ'≤<<,故有()()0f x f ξ-≤,所以()0F x '≤. 证法二：令()()()()xag x x a f x f t dt =--⎰,则()()()()()()()g x f x x a f x f x x a f x '''=+--=-.因为,()0x a f x '>≤,所以()0g x '≤, 即()()()()xag x x a f x f t dt =--⎰在(,)a b 上为减函数,所以()()0g x g a ≤=,所以 2()()0()g x F x x a '=≤-.七、(本题满分5分)【解析】方法一：本题可采用一般的解法如下： 由X AX B,=+得()E A X B.-=因为 ()1111002111013213102011E A ,---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦所以 ()102111311321202030115311X E A B .---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 方法二：本题还可用由()E A X B -=作初等行变换()()E A B E X -→,此解法优点是少算一次矩阵乘法,可以适当减少计算量.()110111012010253E A B --⎡⎤⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 第一行乘以()1-分别加到第二行和第三行上,再第三行乘以()1-加到第三行上,得110110111100333--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦第三行自乘13,再加到第二行上,第二行再加到第一行上,有100310102000111-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 所以312011X .-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦八、(本题满分6分) 【解析】m 个n 维向量12m ,,,ααα线性相关的充分必要条件是齐次方程组.()12120m m x x x ααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦有非零解.特别地,n 个n 维向量12,,,n ααα线性相关的充分必要条件是行列式12,,,0n ααα=.由于123111,,123513t tααα==-,故当5t ≠时,向量组123,,ααα线性无关；5t =时向量组123,,ααα线性相关. 当5t =时,设11223x x ααα+=将坐标代入有1212121,23,3 5.x x x x x x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解出121, 2.x x =-=即3122ααα=-+.九、(本题满分5分)【解析】(1) 矩阵A 的特征方程为122212221E A λλλλ+---=-+-+, 经过行列式一系列的初等行变换和初等列变换,有122122112034021021E A λλλλλλλλ-------=-+=+++ ()()()234115021λλλλλ+=-=-+=+,故矩阵A 的特征值为：115,,-.(2)由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端左乘1A -,得1A αλα-=.因为0α≠,故0λ≠,于是有11Aααλ-=.按特征值定义知1λ是1A -的特征值.由A 的特征值是115,,,-可知1A -的特征值为1115,,.-又因为 ()11(1)E A ααλ-+=+, 那么1E A -+的特征值是4225,,.【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.十 、(本题满分7分)【解析】(1) 由二维连续型随机变量的概率求法,概率等于对应区域上的二重积分()0{}(,)yx y x yP X Y f x y dxdy dy e dx +∞-+<<==⎰⎰⎰⎰yy x e dy e dx +∞--=⎰⎰0()x y y x x e e dy +∞=--==-⎰201(1)2yy y y e e dy e e +∞+∞----⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭⎰1.2=(2) 由二维连续型随机变量的数学期望定义得()0()(,)x y E XY xyf x y dxdy xye dxdy +∞+∞+∞+∞-+-∞-∞==⎰⎰⎰⎰xy xe dx ye dy +∞+∞--=⎰⎰.因为由分部积分法有yyyy ye dy ydeyee dy +∞+∞+∞----+∞=-=-+⎰⎰⎰yyye e --+∞+∞=--,由洛必达法则,对∞∞型极限,有1lim lim 0yy y y ye e -→∞→∞==.所以有() 1.E XY =十一、(本题满分8分)【解析】以A 表示事件“对X 的观测值大于3”,依题意,X 的概率密度函数为1,25,()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它. 因此 5312(){3}.33P A P X dx p =>==⎰设随机变量Y 表示三次独立观测中观测值大于3的次数(即在三次独立试验中事件A 出现的次数).显然, Y 服从参数23,3n p ==的二项分布,因此,所求概率为 {2}{2}{3}P Y P Y P Y ≥==+=223321220()()()33327C =+=.【相关知识点】二项分布的概率计算公式：若(,)Y B n p ~,则{}(1)k kn k n P Y k C p p -==-, 0,1,,k n =.。

1989年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案考生注意：这份试题共三道大题（24个小题），满分120分. 一．选择题（本题满分36分，共12个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题选对得3分，不选或选错一律得0分）1．如果I={a,b,c,d,e},M={a,c,d},N={b,d,e},其中I 是全集，那么N M ⋂等于 （ A ）（A ）φ （B ）{d} （C ）{a,c} （D ）{b,e}2．与函数y=x 有相同图象的一个函数是 （ D ）（A ）2x y = （B ）xx y 2=（C ）.1a ,0a .a y x a log ≠>=其中 （D ）.1a ,0a .a log y x a ≠>=其中3．如果圆锥的底面半径为2，高为2，那么它的侧面积是（ C ） （A ）π34 （B ）π22 （C ）π32 （D ）π244．)]53arccos()54(cos[arcsin ---的值等于 （ A ） （A ）-1 （B ）257-（C ）257 （D ）510- 5．已知}a {n 是等比数列，如果,9a a a ,18a a a 432321-=++=++ 且n n n 21n S lim ,a a a S ∞→+++=那么 的值等于 （ B ）（A ）8 （B ）16 （C ）32 （D ）486．如果2sin ,325,51|cos |θπ<θ<π=θ那么的值等于 （ C ） （A ）510-（B ）510 （C ）515- （D ）5157．设复数z 满足关系式i 2|z |z +=+，那么z 等于 （ D ） （A ）i 43+- （B ）i 43- （C ）i 43-- （D ）i 43+8．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是 （ B ） （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）5 9．已知椭圆的极坐标方程是,cos 235θ-=ρ那么它的短轴长是（C ）（A ）310（B ）5 （C ）52 （D ）32 10．如果双曲线136y 64x 22=-上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的右准线的距离是 （ D ） （A ）10 （B ）7732 （C ）72 （D ）53211．已知,x x 28)x (f 2-+=如果),x 2(f )x (g 2-=那么)x (g （ A ） （A ）在区间（-1，0）上是减函数 （B ）在区间（0，1）上是减函数 （C ）在区间（-2，0）上是增函数 （D ）在区间（0，2）上是增函数12．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 （ C ） （A ）60个 （B ）48个 （C ）36个 （D ）24个二．填空题（本题满分24分，共6个小题，每一个小题满分4分要求直接写出结果.）13．方程2x cos 3x sin =-的解集是_________________答案：}Z k ,12)1k 2(x ,127k 2x |x {∈π+π+=π+π=或 或}Z k ,34)1(k x |x {k ∈π+π-+π=14．不等式4|x 3x |2>-的解集是____________________ 答案：}4x ,1x |x {>-<或15．函数1e 1e y x x +-=的反函数的定义域是_____________答案：（-1，1）16．已知,x a x a x a a )x 21(7722107++++=- 那么=+++721a a a ____答案：-217．已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么B 是A 的_______条件;B A 是的______条件答案：必要，必要（注：仅答对一个结果的，只给2分）18．如图，已知圆柱的底面半径是3，高是4，A 、B 两点分别在两底面的圆周上，并且AB=5，那么直线AB 与轴O O '之间的距离等于________________答案：233三．解答题（本题满分60分，共6个小题.）19．（本小题满分8分）证明：x2cos x cos xsin 22x tg 2x 3tg+=- 证：2x cos2x 3cos x sin 2x cos 2x 3cos 2x sin2x 3cos 2x cos 2x 3sin 2x cos 2x sin 2x 3cos 2x 3sin 2x tg 2x 3tg =-=-=-Bx2cos x cos xsin 2+=20．（本小题满分10分）如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=.3π（Ⅰ）求证：顶点A 1在底面ABCD 的射影O 在∠BAD 的平分线上; （Ⅱ）求这个平行六面体的体积（Ⅰ）证：连结A 1O ，则A 1O ⊥底面ABCD 作OM ⊥AB 交AB 于M ，作ON ⊥AD 交AD 于N ，连结A 1M ，A 1N由三垂线定理得A 1M ⊥AB ，A 1N ⊥AD ∵∠A 1AM=∠A 1AN ， ∴Rt △A 1NA ≌Rt △A 1MA ∴A 1M= A 1N ∴OM=ON ∴点O 在∠BAD 的平分线上（Ⅱ）∵AM=AA 1,232133cos=⋅=π∴AO=AM .2234csc =π 又在职Rt △AOA 1中，A 1O 2=AA 12-AO 2=,29299=-∴A 1O=.223∴平行六面体的体积V=.23022345=⋅⋅21．（本小题满分10分）自点A （-3，3）发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2-4x-4y+7=0相切，求光线L 所在直线的方程解：已知圆的标准方程是 （x-2)2+(y-2)2=1,D 1 C 1A 1B 1A YC它关于x 轴的对称圆的方程是 （x-2)2+(y+2)2=1, 设光线L 所在直线的方程是 y-3=k(x+3)(其中斜率k 待定）由题设知对称圆的圆心C '（2，-2）到这条直线的距离等于1，即.34k ,43k :,012k 25k 12:.k 1|5k 5|d 22-=-==++++=或解得整理得故所求的直线方程是),3x (343y ),3x (433y +-=-+-=-或 即3x+4y-3=0,或4x+3y+3=0. 22．（本小题满分12分）已知,1a ,0a ≠>试求使方程)a x (log )ak x (log 222a a -=-有解的k 的取值范围解：由对数函数的性质可知，原方程的解x 应满足⎪⎩⎪⎨⎧>->--=-)3(.0a x )2(,0ak x )1(,a x )ak x (22222 当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解⎩⎨⎧>--=-)2(,0ak x )1(,a x )ak x (222 由（1）得)4()k 1(a kx 22+=当k=0时，由a>0知（4）无解，因而原方程无解 当k ≠0时，（4）的解是)5(.k2)k 1(1x 2+=把（5）代入（2），得.k k2k 12>+解得：.1k 01k <<-<<∞-或综合得，当k 在集合)1,0()1,(⋃--∞内取值时，原方程有解23．（本小题满分10分）是否存在常数a,b,c 使得等式)c bn an (12)1n (n )1n (n 32212222+++=++⋅+⋅ 对一切自然数n 都成立？并证明你的结论解：假设存在a,b,c 使题设的等式成立，这时，n=1,2,3得.10c ,11b ,3a :.10c b 3a 9,44c b 3a 4,24c b a ===⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++解得 于是，对n=1,2,3下面等式成立：).10n 11n 3(12)1n (n )1n (n 32212222+++=++⋅+⋅ 记.)1n (n 3221S 222n ++⋅+⋅=设n=k 时上式成立，即),10k 11k 3(12)1k (k S 2k +++=那么222k 1k )2k )(1k ()10k 11k 3(12)1k (k )2k )(1k (S S ++++++=+++=+ 2)2k )(1k ()5k 3)(2k (12)1k (k ++++++=]10)1k (11)1k (3[12)2k )(1k ()24k 12k 5k 3(12)2k )(1k (22++++++=+++++=也就是说，等式对n=k+1也成立综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设的等式对一切自然数n 成立24．（本小题满分10分）设f(x)是定义在区间),(+∞-∞上以2为周期的函数，对Z k ∈,用kI 表示区间],1k 2,1k 2(+-已知当0I x ∈时，f(x)=x 2.（1）求f(x)在k I 上的解析表达式;（2）对自然数k,求集合上有两个在使方程k k I ax )x (f |a {M ==不等的实根}解：（1）∵f(x)是以2为周期的函数， ∴当Z k ∈时，2k 也是f(x)的周期又∵当k I x ∈时，0I )k 2x (∈-， ∴.)k 2x ()k 2x (f )x (f 2-=-=即对Z k ∈，当k I x ∈时，.)k 2x ()x (f 2-=（2）当Z k ∈且k I x ∈时，利用（1）的结论可得方程).k 8a (a k 16)a k 4(.0k 4)a k 4(x :,ax )k 2x (22222+=-+=∆=++-=-它的判别式是整理得上述方程在区间k I 上恰有两个不相等的实根的充要条件是a 满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++≥++-+<->+].)k 8a (a a k 4[211k 2],)k 8a (a a k 4[211k 2,0)k 8a (a ⎪⎩⎪⎨⎧-≤++<+>+).3(,a 2)k 8a (a )2(,a 2)k 8a (a )1(,0)k 8a (a 化简得 由（1）知a>0，或a<-8k.当a>0时：因2+a>2-a ，故从（2），（3） 可得,a 2)k 8a (a -≤+即1k 21a 0.2a ,1)1k 2(.0a 2,)a 2()k 8a (a 2+≤<⎩⎨⎧<≤+⎩⎨⎧>--≤+即即 当a ＜-8k 时：,0k 82a 2<-<+ 易知a 2)k 8a (a +<+无解， 综上所述，a 应满足1k 21a 0+≤<故所求集合}1k 21a 0|a {M k +≤<=1989年试题(理工农医类)一、选择题:每一个小题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中只有一个是正确的,把你认为正确的结论的代号写在题后的括号内.【】(2)与函数y=x有相同图象的一个函数是【】【】【】(A)8 (B)16(C)32 (D)48【】【】【】(8)已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同一侧,且相距为1,那么这个球的半径是(A)4 (B)3(C)2 (D)5【】【】【】(11)已知f(x)=8+2x-x2,如果g(x)=f(2-x2),那么g(x)(A)在区间(-1,0)上是减函数(B)在区间(0,1)上是减函数(C)在区间(-2,0)上是增函数(D)在区间(0,2)上是增函数【】(12)由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有(A)60个(B)48个(C)36个(D)24个【】二、填空题:只要求直接填写结果.(14)不等式│x2-3x│>4的解集是 .(16)已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,那么a1+a2+…+a7= .(18)如图,已知圆柱的底面半径是3,高是4,A、B两点分别在两底面的圆周上,并且AB=5,那么直线AB与轴OO＇之间的距离等于 .三、解答题.(Ⅰ)求证:顶点A1在底面ABCD的射影O在∠BAD的平分线上;(Ⅱ)求这个平行六面体的体积.(21)自点A(-3,3)发出的光线L射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线L所在直线的方程.(22)已知a>0,a≠1,试求使方程log a(x-ak)=log a2(x2-a2有解的k的取值范围.(23)是否存在常数a,b,c使得等式对一切自然数n都成立？并证明你的结论.(24)设f(x)是定义在区间(-∞,+∞)上以2为周期的函数,对k∈Z,用I k表示区间(2k-1,2k+1],已知当x∈I0时f(x)=x2.(Ⅰ)求f(x)在I k上的解析表达式;(Ⅱ)对自然数k,求集合M k={a│使方程f(x)=ax在I k上有两个不相等的实根}.1989年试题(理工农医类)答案一、本题考查基本概念和基本运算.(1)A (2)D (3)C (4)A (5)B (6)C(7)D (8)B (9)C (10)D (11)A (12)C二、本题考查基本概念和基本运算,只需要写出结果.(15)(-1,1)(16)-2(17)必要,必要(18)三、解答题.(19)本题主要考查:运用三角公式进行恒等变形的能力.证法一:证法二:(20)本题主要考查:线面关系,三垂线定理以及空间想象能力.(Ⅰ)证明:如图(),连结A1O,则A1O⊥底面ABCD.作OM⊥AB交AB于M,作ON⊥AD交AD于N,连结A1M,A1N.由三垂线定理得A1M⊥AB,A1N⊥AD.∵∠A1AM=∠A1AN,∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA.∴A1M=A1N.∴OM=ON.∴点O在∠BAD的平分线上.(Ⅱ)解:∴平行六面体的体积(21)本题主要考查:直线和圆的方程以及灵活应用有关知识解决问题的能力.()解法一:已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=1,它关于x轴的对称圆的方程是(x-2)2+(y+2)2=1.设光线L所在直线的方程是y-3=k(x+3)(其中斜率k待定).由题设知对称圆的圆心C?2,-2)到这条直线的距离等于1,即整理得12k2+25k+12=0,故所求的直线方程是即3x+4y-3=0,或4x+3y+3=0.解法二:已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=1.设光线L所在直线的方程是y-3=k(x+3)(其中斜率k待定).由题意知k≠0,于是L的反射点的坐标是因为光线的入射角等于反射角,所以反射光线L＇所在直线的方程是即y+kx+3(1+k)=0.这条直线应与已知圆相切,故圆心C到它的距离等于1,以下同解法一.(22)本题主要考查:对数函数的性质以及解不等式的能力.解:由对数函数的性质可知,原方程的解x应满足当①,②同时成立时,③显然成立,因此只需解由①得 2kx=a(2+k2). ④当k=0时,由a>0知④无解,因而原方程无解.把⑤代入②,得当k<0时得k2>1,即-∞<k<-1.当k>0时得k2<1,即0<k<1.综合得,当k在集合(-∞,-1)∪(0,1)内取值时,原方程有解.(23)本题主要考查:综合运用待定系数法、数学归纳法解决问题的能力.解法一:假设存在a,b,c使题设的等式成立,这时,令n=3 得70=9a+3b+c,经整理得解得a=3,b=11,c=10.于是,对n=1,2,3下面等式成立:记S n=1·22+2·32+…+n(n+1)2.设n=k时上式成立,即那么S k+1=S k+(k+1)(k+2)2也就是说,等式对n=k+1也成立.综上所述,当a=3,b=11,c=10时,题设的等式对一切自然数n成立. 解法二:因为n(n+1)2=n3+2n2+n,所以S n=1·22+2·32+…+n(n+1)2=(13+2·12+1)+(23+2·22+2)+…+(n3+2n2+n)=(13+23+…+n3)+2(12+22+…+n2)+(1+2+…+n).由于下列等式对一切自然数n成立:由此可知综上所述,当a=3,b=11,c=10时,题设的等式对一切自然数n成立.(24)本题主要考查:周期函数的概念,解不等式的能力.(Ⅰ)解:∵f(x)是以2为周期的函数,∴当k∈Z时,2k是f(x)的周期.又∵当x∈I k时,(x-2k)∈I0,∴f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2.即对k∈Z,当x∈I k时,f(x)=(x-2k)2.(Ⅱ)解:当k∈N且x∈I k时,利用(Ⅰ)的结论可得方程(x-2k)2=ax, 整理得x2-(4k+a)x+4k2=0.它的判别式是△=(4k+a)2-16k2=a(a+8k).上述方程在区间I k上恰有两个不相等的实根的充要条件是a满足化简得由①知a>0,或a<-8k.当a>0时:当a<-8k时:故所求集合1989年试题(理工农医类)一、选择题:每一个小题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中只有一个是正确的,把你认为正确的结论的代号写在题后的括号内.【】(2)与函数y=x有相同图象的一个函数是【】【】【】(A)8 (B)16(C)32 (D)48【】【】【】(8)已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同一侧,且相距为1,那么这个球的半径是(A)4 (B)3(C)2 (D)5【】【】【】(11)已知f(x)=8+2x-x2,如果g(x)=f(2-x2),那么g(x)(A)在区间(-1,0)上是减函数(B)在区间(0,1)上是减函数(C)在区间(-2,0)上是增函数(D)在区间(0,2)上是增函数【】(12)由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有(A)60个(B)48个(C)36个(D)24个【】二、填空题:只要求直接填写结果.(14)不等式│x2-3x│>4的解集是 .(16)已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,那么a1+a2+…+a7= .(18)如图(198901),已知圆柱的底面半径是3,高是4,A、B两点分别在两底面的圆周上,并且AB=5,那么直线AB与轴OO＇之间的距离等于 .三、解答题.(198902)(Ⅰ)求证:顶点A1在底面ABCD的射影O在∠BAD的平分线上;(Ⅱ)求这个平行六面体的体积.(21)自点A(-3,3)发出的光线L射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线L所在直线的方程.(22)已知a>0,a≠1,试求使方程log a(x-ak)=log a2(x2-a2有解的k的取值范围.(23)是否存在常数a,b,c使得等式对一切自然数n都成立？并证明你的结论.(24)设f(x)是定义在区间(-∞,+∞)上以2为周期的函数,对k∈Z,用I k表示区间(2k-1,2k+1],已知当x∈I0时f(x)=x2.(Ⅰ)求f(x)在I k上的解析表达式;(Ⅱ)对自然数k,求集合M k={a│使方程f(x)=ax在I k上有两个不相等的实根}.1989年试题(理工农医类)答案一、本题考查基本概念和基本运算.(1)A (2)D (3)C (4)A (5)B (6)C(7)D (8)B (9)C (10)D (11)A (12)C二、本题考查基本概念和基本运算,只需要写出结果.(15)(-1,1)(16)-2(17)必要,必要(18)三、解答题.(19)本题主要考查:运用三角公式进行恒等变形的能力.证法一:证法二:(20)本题主要考查:线面关系,三垂线定理以及空间想象能力.(Ⅰ)证明:如图(198903),连结A1O,则A1O⊥底面ABCD.作OM⊥AB交AB于M,作ON⊥AD交AD 于N,连结A1M,A1N.由三垂线定理得A1M⊥AB,A1N⊥AD.∵∠A1AM=∠A1AN,∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA.∴A1M=A1N.∴OM=ON.∴点O在∠BAD的平分线上.(Ⅱ)解:∴平行六面体的体积(21)本题主要考查:直线和圆的方程以及灵活应用有关知识解决问题的能力.(198904)解法一:已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=1,它关于x轴的对称圆的方程是(x-2)2+(y+2)2=1.设光线L所在直线的方程是y-3=k(x+3)(其中斜率k待定).由题设知对称圆的圆心C?2,-2)到这条直线的距离等于1,即整理得12k2+25k+12=0,故所求的直线方程是即3x+4y-3=0,或4x+3y+3=0.解法二:已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=1.设光线L所在直线的方程是y-3=k(x+3)(其中斜率k待定).由题意知k≠0,于是L的反射点的坐标是因为光线的入射角等于反射角,所以反射光线L＇所在直线的方程是即y+kx+3(1+k)=0.这条直线应与已知圆相切,故圆心C到它的距离等于1,以下同解法一.(22)本题主要考查:对数函数的性质以及解不等式的能力.解:由对数函数的性质可知,原方程的解x应满足当①,②同时成立时,③显然成立,因此只需解由①得 2kx=a(2+k2). ④当k=0时,由a>0知④无解,因而原方程无解.把⑤代入②,得当k<0时得k2>1,即-∞<k<-1.当k>0时得k2<1,即0<k<1.综合得,当k在集合(-∞,-1)∪(0,1)内取值时,原方程有解.(23)本题主要考查:综合运用待定系数法、数学归纳法解决问题的能力.解法一:假设存在a,b,c使题设的等式成立,这时,令n=3 得70=9a+3b+c,经整理得解得a=3,b=11,c=10.于是,对n=1,2,3下面等式成立:记S n=1·22+2·32+…+n(n+1)2.设n=k时上式成立,即那么S k+1=S k+(k+1)(k+2)2也就是说,等式对n=k+1也成立.综上所述,当a=3,b=11,c=10时,题设的等式对一切自然数n成立. 解法二:因为n(n+1)2=n3+2n2+n,所以S n=1·22+2·32+…+n(n+1)2=(13+2·12+1)+(23+2·22+2)+…+(n3+2n2+n)=(13+23+…+n3)+2(12+22+…+n2)+(1+2+…+n).由于下列等式对一切自然数n成立:由此可知综上所述,当a=3,b=11,c=10时,题设的等式对一切自然数n成立.(24)本题主要考查:周期函数的概念,解不等式的能力.(Ⅰ)解:∵f(x)是以2为周期的函数,∴当k∈Z时,2k是f(x)的周期.又∵当x∈I k时,(x-2k)∈I0,∴f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2.即对k∈Z,当x∈I k时,f(x)=(x-2k)2.(Ⅱ)解:当k∈N且x∈I k时,利用(Ⅰ)的结论可得方程(x-2k)2=ax, 整理得x2-(4k+a)x+4k2=0.它的判别式是△=(4k+a)2-16k2=a(a+8k).上述方程在区间I k上恰有两个不相等的实根的充要条件是a满足化简得由①知a>0,或a<-8k. 当a>0时:当a<-8k时:故所求集合。

考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编13(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设随机变量X～N(0，1)，y～N(1，4)，且相关系数ρXY＝1，则A．P{Y＝－2X－1}＝1B．P{Y＝2X－1}＝1C．P{Y＝－2X＋1}＝1D．P{Y＝2X＋1}＝1正确答案：D解析：如果选项A或C成立，则应ρXY＝1，矛盾；如果选项B成立，那么EY＝2EX－1＝－1，与本题中EY＝1矛盾．只有选项D成立时，ρXY＝1，EY＝2EX＋1＝1，DY＝4DX＝4，符合题意，故选D．知识模块：概率论与数理统计2．设随机变量X与Y相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(1，4)，则D(XY)＝A．6．B．8．C．14．D．15．正确答案：C解析：由题意知：EX＝1，DX＝2，EY＝1，DY＝4，于是E(X2)＝DX＋(EX)2＝2＋12＝3，E(Y2)＝DY＋(EY)2＝4＋12＝5，注意到X2与y2是独立的，于是D(XY)＝E(XY)2－E[(XY)]2 ＝E(X2Y2)－[EX.EY]2 ＝E(X2).EY2－(EX)2(EY)2 ＝3×5－12×12＝14 故选C．知识模块：概率论与数理统计3．设”个随机变量X1，X2，…，Xn独立同分布，DX1＝σ2，，则A．S是σ的无偏估计量．B．S是σ的最大似然估计量．C．S是σ的相合估计量(即一致估计量)．D．S与相互独立．正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计4．设一批零件的长度服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2均未知．现从中随机抽取16个零件，测得样本均值＝20(cm)，样本标准差s＝1(cm)，则μ的置信度为0．90的置信区间是A．(20－t0．05(16)，20＋t0．05(16))B．(20－t0．1(16)，20＋t0．1(16))C．(20－t0．05(15)，20＋t0．05(15))D．(20－t0．1(15)，20＋t0．1(15))正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计填空题5．设随机变量X的概率分布为P{X＝－2}＝，P{X＝1}＝a，P(X＝3}＝b．若EX＝0，则DX＝_______．正确答案：解析：由题知：＋a＋b＝1，0＝EX＝(－2)×＋1×a＋3×b＝a＋3b－1 联立得a＝b＝所以DX＝E(X2)－(EX)2＝E(X2)＝(－2)2×．知识模块：概率论与数理统计6．设X为随机变量且EX＝μ，DX＝σ2．则由切比雪夫不等式，有P{｜X－μ｜≥3σ}≤_______．正确答案：解析：由题意及切比雪夫不等式，得：P{｜X－μ｜≥3σ}≤．知识模块：概率论与数理统计7．在天平上重复称量一重为a的物品．假设各次称量结果相互独立且服从正态分布N(a，0，2*)．若以表示n次称量结果的算术平均值，则为使n的最小值应不小于自然数_______．P{｜－a｜＜0．1}≥0．95正确答案：16解析：设第i次称量结果为Xi，i＝1，2，…，n．由题意：，且X1，…，Xn独立同分布，X1～N(a，0．22)．由题意得2Ф()－1≥0．95，∴Ф()≥0．075 查表得≥1．96，∴n≥4×(1．96)2＝15．36 故n的最小值应不小于自然数16．知识模块：概率论与数理统计8．设随机变量X和Y的数学期望分别为一2和2，方差分别为1和4，而相关系数为－0．5，则根据切比雪夫不等式有P{｜X＋Y｜≥6}≤_______．正确答案：解析：若记ξ＝X＋Y，则Eξ＝EX＋EY＝－2＋2＝0，而Dξ＝D(X ×Y)＝DX＋DY＋2cov(X，Y)＝DX＋DY＋2.ρ(χ，y) ＝1＋4＋2×(－0．5).＝3 其中ρ(χ，y) 知识模块：概率论与数理统计9．设总体X的方差为1，根据来自X的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5．则X的数学期望的置信度近似等于0．95的置信区间为________．正确答案：(4．804，5．196) 涉及知识点：概率论与数理统计10．设由来自正恣总体X～N(μ，0．92)容量为9的简单随机样本，得样本均值＝5．则未知参数μ的置信度为0．95的置信区间是_______．正确答案：(4．412，5．588) 涉及知识点：概率论与数理统计11．设总体X的概率密度为而X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，则未知参数θ的矩估计量为_______．正确答案：Xi－1－1解析：知识模块：概率论与数理统计12．设总体X的概率密度为f(χ)＝e－｜χ｜(－∞＜χ＜＋∞)，X1，X2，…，Xn为总体X的简单随机样本，其样本方差为S2，则ES2_______．正确答案：2解析：EX＝∫－∞＋∞χf(χ)dχ＝∫－∞＋∞χ.e｜－χ｜dχ＝0 DX ＝E(X2)－(EX)2＝E(X2)＝∫－∞＋∞χ2f(χ)dχ＝∫－∞＋∞χ2.e｜－χ｜d χ＝∫0＋∞χ2e－χdχ＝2 而E(S2)＝DX，故ES2＝2．知识模块：概率论与数理统计13．设X1，…，Xn是来自正态总体N(μ，σ2)的简单随机样本，其中参数μ，σ2未知．记则假设H0：μ＝0的t检验使用的统计量t＝_______．正确答案：解析：由题意可得：又有～χ2(n－1)，且Q2与相互独立，故由t分布的构成得：当H0成立(即μ＝0)时，成舍～t(n－1)．故填知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

数学三考研真题和答案解析数学三是很多考研学子心中的一块巨石，考查的内容广泛，难度也较大。

本文将以为题材，为大家探讨一些常见的考点和解题技巧。

首先，我们先来分析一道典型的数学三考研题目：已知函数$f(x)$在区间$(a,b)$上连续，$(a,b)$上的导数在区间$(a,b)$内存在有界，并且$f(a) \neq f(b)$。

证明：存在$c \in(a,b)$，使得$f'(c)=0$。

对于这道题目，考生需要运用中值定理进行解答。

根据题目条件，我们可以得知函数$f(x)$在区间$(a,b)$内连续且可导。

中值定理的应用需要满足连续函数在闭区间上可导的条件，而本题已经给出了这个条件，所以我们可以放心地使用中值定理。

根据中值定理，存在$c \in (a,b)$，满足：$$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$由于$f(a) \neq f(b)$，所以$f(b)-f(a) \neq 0$，而$b-a>0$。

因此，我们可以得出结论：$f'(c) \neq 0$。

下面我们将分析这个条件：$(a,b)$上的导数在区间$(a,b)$内存在有界。

这个条件实际上是在说函数的导数在$(a,b)$这个区间内不会无限增长或无限减小。

这种情况下，我们可以使用导函数的介值性质，即函数的导数可以取到区间内的任意值。

假设函数$f'(x)$在$(a,b)$区间内的导数有界，存在$M$，使得$|f'(x)| \leq M$。

根据之前得出的结论，我们知道$f'(c) \neq 0$，所以$|f'(c)|>0$。

由于$|f'(c)| \leq M$，所以我们可以推出：$|f'(c)| \leq M < |f'(c)|$，这是一个矛盾！因此，我们可以得出结论：存在$c \in (a,b)$，使得$f'(c)=0$。

考研数学3真题及答案考研数学一直是考生们备战考研的重点之一。

为了更好地帮助考生备考，我们整理了一份考研数学3的真题及答案，希望对大家有所帮助。

一、选择题部分1. 题目设A、B、C三个事件相互独立，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，P(C)=0.5，则P(AB'C')=（）。

A. 0.1B. 0.12C. 0.21D. 0.282. 答案解析由于A、B、C三个事件相互独立，所以P(AB'C')=P(A)P(B')P(C')。

又因为P(B')=1-P(B)=1-0.4=0.6，P(C')=1-P(C)=1-0.5=0.5，所以P(AB'C')=0.3×0.6×0.5=0.09。

所以答案为A. 0.1。

二、填空题部分1. 题目若函数y=f(x)在区间[0,1]上可导，且f(0)=1，满足方程y'=f(x)+∫[0,1](x²t+eˣ)·f(t)dt，则f(x)=（）。

2. 答案解析根据题目中的方程，可以得到f'(x)=f(x)+∫[0,1](x²t+eˣ)·f(t)dt。

化简上述方程得到f'(x)-f(x)=∫[0,1](x²t+eˣ)·f(t)dt。

根据常微分方程的解法，可以得到f(x)=eˣ∫[0,1](x²t+eˣ)·f(t)dt。

所以答案为f(x)=eˣ∫[0,1](x²t+eˣ)·f(t)dt。

三、解答题部分1. 题目已知函数y=f(x)满足微分方程dy/dx=2x²+1/3y³，且曲线上存在点(1,1)，求通过该点的特解。

2. 答案解析根据题目中的微分方程可以得到dy/dx=2x²+1/3y³。

将上述方程重新整理得到3y³dy=(6x²+3)dx。

1989考研数学三真题和详解1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.)(1) 曲线2sin y x x =+在点122,ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭处的切线方程是__ _ . (2)幂级数0nn ∞=的收敛域是__ _ .(3) 齐次线性方程组1231231230,0,0x x x x x x x x x λλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 只有零解,则λ应满足的条件是__ _ .(4) 设随机变量X 的分布函数为()00sin 0212,x ,F x A x,x ,,x ,ππ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩则A=__________,6P Xπ⎧⎫<=⎨⎬⎩⎭.(5) 设随机变量X 的数学期望()E X μ=,方差2()D X σ=,则由切比雪夫(Chebyshev)不等式,有{3}P X μσ-≥≤__ _ .二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设()232x x f x ,=+-则当x →时( )(A) ()f x 与x 是等价无穷小量 (B)()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量(C) ()f x 是比x 较高阶的无穷小量 (D) ()f x 是比x 较低阶的无穷小量(2) 在下列等式中,正确的结果是 ( )(A) ()()f x dx f x '=⎰ (B) ()()df x f x =⎰(C) ()()df x dx f x dx =⎰ (D)()()d f x dx f x =⎰(3) 设A为n阶方阵且A =,则( )(A) A 中必有两行(列)的元素对应成比例 (B) A 中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合(C) A 中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合(D) A 中至少有一行(列)的元素全为0 (4) 设A 和B 均为n n ⨯矩阵,则必有( )(A) A B A B +=+ (B)AB BA =(C) AB BA = (D) ()111A B A B ---+=+(5) 以A 表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件A 为 ( )(A) “甲种产品滞销,乙种产品畅销” (B) “甲、乙两种产品均畅销”(C) “甲种产品滞销”(D) “甲种产品滞销或乙种产品畅销”三、计算题(本题满分15分,每小题5分) (1) 求极限11lim sin cos xx .x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭(2) 已知(,),,,z f u v u x y v xy ==+=且(,)f u v 的二阶偏导数都连续.求2z x y∂∂∂.(3) 求微分方程562xy y y e -'''++=的通解.设某厂家打算生产一批商品投放市场.已知该商品的需求函数为2()10x P P x e-==,且最大需求量为6,其中x 表示需求量,P 表示价格.(1) 求该商品的收益函数和边际收益函数.(2分)(2) 求使收益最大时的产量、最大收益和相应的价格.(4分)(3) 画出收益函数的图形.(3分)五、(本题满分9分)已知函数,01,()2,1 2.x x f x x x ≤≤⎧=⎨-≤≤⎩试计算下列各题：(1) 2();xS f x e dx -=⎰(4分) (2)412(2);x S f x e dx -=-⎰(2分)(3) 222(2)(2,3,);n xnnS f x n e dx n +-=-=⎰L (1分) (4) 0n n S S ∞==∑.(2分)假设函数()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,且()0f x '≤,记1()(),xaF x f t dt x a =-⎰证明在(,)a b 内,()0F x '≤.七、(本题满分5分)已知X AX B,=+其中010111101A ,⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦112053B ,-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦求矩阵X.八、(本题满分6分)设123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,)t ααα===.(1) 问当t 为何值时,向量组123,,ααα线性无关?(3分)(2) 问当t 为何值时,向量组123,,ααα线性相关?(1分)(3) 当向量组123,,ααα线性相关时,将3α表示为1α和2α的线性组合.(2分)九、(本题满分5分)设122212221A .-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦(1)试求矩阵A 的特征值；(2分)(2)利用(1)小题的结果,求矩阵1E A -+的特征值,其中E 是三阶单位矩阵.(3分)十 、(本题满分7分)已知随机变量X 和Y 的联合密度为(),,,(,)0,x y e x y f x y -+⎧<<+∞<<+∞=⎨⎩ 00其它.试求：(1) {}P X Y <；(5分) (2) ()E XY .(2分)十一、(本题满分8分)设随机变量X 在[2,5]上服从均匀分布,现在对X 进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】1y x =+【解析】对函数2sin y x x =+两边对x 求导,得12cos y sin x x,'=+令2x π=得212sincos122x y .πππ='=+=所以该曲线在点122,ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭处的切线的斜率为1,所以 切线方程是122y x ,ππ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭即1y x =+为所求. (2)【答案】[1,1)-【解析】因系数1nn aa +==,从而1lim1,n n n n a a +→∞==即幂级数的收敛半径1R =,当11x -<<时幂级数绝对收敛.当1x =-时得交错级数0nn ∞=(条件收敛)；当1x =时得正项级数0n ∞=(发散).于是,幂级数的收敛域是[1,1)-. (3)【答案】1λ≠【解析】n 个方程n 个未知数的齐次方程组Ax =有非零解的充分必要条件是0A =,因为此时未知数的个数等于方程的个数,即A 为方阵时,用0A =判定比较方便. 而21110011010(1),111111A λλλλλ-==-=-所以当0A ≠时1λ≠.所以此题应填:1λ≠. (4)【答案】1,12【解析】由于任何随机变量X 的分布函数()F x 是右连续函数,因此对任何x ,有()(0)F x F x =+.对于2x π=,有()sin ,(0) 1.222F A A F πππ==+= 令 ()2F π=(0)2F π+,得到1A =,其中0(0)lim ()x F x F x +→+=.又 666P X P X ,πππ⎧⎫⎧⎫<=-<<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭因()F x 在6x π=处连续,连续函数在任何一个点上的概率为0,因此06P X .π⎧⎫==⎨⎬⎩⎭所以 666P XP X πππ⎧⎫⎧⎫<=-<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭66F F ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭162sin .π==(5)【答案】19【解析】由切比雪夫不等式2{}DXP X EXεε-≥≤,有221{3}(3)9P X σμσσ-≥≤=.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】(B)【解析】由洛必达法则有()0002322ln23ln3lim lim lim ln2ln31x x x x x x x f x x x →→→+-+===+.所以()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量. (2)【答案】(C)【解析】由不定积分的概念和性质可知,()()()()df x dx f x dx f x .dx'==⎰⎰()()()f x dx df x f x C,'==+⎰⎰C 为常数.()()d f x dx f x dx.=⎰故应选(C). (3)【答案】(C)【解析】本题考查||0A =的充分必要条件,而选项(A)、(B)、(D)都是充分条件,并不必要.因为对矩阵A 来说,行和列具有等价性,所以单说列或者单说行满足什么条件就构成了||0A =的必要条件,但是不具有任意性,只需要存在一列向量是其余列向量的线性组合. 以3阶矩阵为例,若112123134A ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭,条件(A)必有一列元素全为0,(B)必有两列元素对应成比例均不成立,但有||0A =,所以(A)、 (B)不满足题意,不可选. 若123124125A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭,则||0A =,但第三列并不是其余两列的线性组合,可见(D)不正确. 这样用排除法可知应选(C).(4)【答案】(C)【解析】当行列式的一行(列)是两个数的和时,可把行列式对该行(列)拆开成两个行列式之和,拆开时其它各行(列)均保持不变.对于行列式的这一性质应当正确理解.因此,若要拆开n 阶行列式A B +,则应当是2n个n 阶行列式的和,所以(A)错误.矩阵的运算是表格的运算,它不同于数字运算,矩阵乘法没有交换律,故(B)不正确.若1010,0102A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,则()111111020020102,1310301000223A B A B ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+==+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦.而且()1A B -+存在时,不一定11,A B --都存在,所以选项(D)是错误的.由行列式乘法公式AB A B B A BA =⋅=⋅=知(C)正确. 注意,行列式是数,故恒有A B B A ⋅=⋅.而矩阵则不行,故(B)不正确. (5)【答案】D【解析】设事件B =“甲种产品畅销”,事件C =“乙种产品滞销”,则 A 事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”可表示为A BC,=则_____A BCBC ===U “甲种产品滞销或乙种产品畅销”,应选(D).三、计算题(本题满分15分,每小题5分.) (1)【解析】这是1∞型未定式求极限.设1u x=,则当x →∞时,0u →.于是 1011lim(sin cos )lim(sin cos )xu x u u u x x→∞→+=+1sin cos 1sin cos 10lim(1sin cos 1)u u u u uu u u +-⋅+-→=++-, 令sin cos 1u u t +-=,则0u →时0t →,所以 11sin cos 1lim(1sin cos 1)lim(1)u u tu t u u t e+-→→++-=+=,所以1sin cos 1sin cos 1sin cos 1limsin cos 10lim(1sin cos 1)lim u u u u u u u u u uuuu u u u ee→+-+-+-⋅+-→→++-==,由洛必达法则得00sin cos 1cos sin limlim 11u u u u u uu →→+--==,所以 111lim(sin cos )xx e ex x→∞+==.(2)【解析】方法一：先求zx∂∂,再求2z x y∂∂∂.由复合函数求导法则,z f u f v f f y ,x u x v x u v∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂故2()z f fy x y y u v∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂222222f u f v ff u f v y u y u v y v v u y v y ⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++++ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭222222f f f f fx y xy u u v v u v v ∂∂∂∂∂=++++∂∂∂∂∂∂∂22222()f f f f x y xy u u v v v∂∂∂∂=++++∂∂∂∂∂.方法二：利用一阶全微分形式不变性,可得1212()()()()dz f d x y f d xy f dx dy f ydx xdy ''''=++=+++1212()()f yf dx f xf dy''''=+++.于是有 12xz f yf '''=+.再对y 外求偏导数,即得122111221222()()()xy y y z f y f f f xf y f xf f ''''''''''''''''=++=++++1112222()f x y f xyf f '''''''=++++.【相关知识点】复合函数求导法则：若(,)u u x y =和(,)v v x y =在点(,)x y 处偏导数存在,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数[(,),(,)]z f u x y v x y =在点(,)x y 处的偏导数存在,且,z f u f v z f u f vx u x v x y u y v y∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂.(3)【解析】微分方程562xy y y e -'''++=对应的齐次方程560y y y '''++=的特征方程为2560r r ++=,特征根为122,3r r=-=-,故对应齐次微分方程的通解为2312xxC eC e --+.设所给非齐次方程的特解为*()xy x Ae -=,代入方程562xy y y e -'''++=,比较系数,得1A =,故所求方程的通解为231212,,x x x y C e C e e C C ---=++ 为常数.【相关知识点】关于微分方程特解的求法:如果()()xm f x P x e λ=,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=具有形如*()k xm yx Q x e λ=的特解,其中()mQ x 与()mP x 同次(m 次)的多项式,而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2.四、(本题满分9分) 【解析】(1)收益函数2()10,06x R x xP xex -==≤≤. 边际收益函数25(2)x dRMR x e dx-==-.(2)由25(2)0x dRx e dx-=-=,得2x =.又2222255(4)02x x x d R x e dx e-===-=-<.因此()R x 在2x =取极大值.又因为极值点惟一,故此极大值必为最大值,最大值为20(2)R e=. 所以,当生产量为2时,收益取最大值,收益最大值为20e .而相应的价格为10e. (3) 由以上分析可列下表,并画出收益函数的图形.五、(本题满分9分)【解析】(1)()f x 为分段函数,由定积分的性质,2121()()()xxxS f x e dx f x e dx f x e dx ---==+⎰⎰⎰121(2)x x xe dx x e dx--=+-⎰⎰121(2)xxxdex de --=-+-⎰⎰12120101(2)x x x xxe e dx x e e dx----⎡⎤⎡⎤=-++--⎣⎦⎣⎦⎰⎰1220111101()x x ee e e e--⎡⎤⎡⎤=+---=-+--+⎣⎦⎣⎦2121e e =-+. (2)用定积分换元法, 令2x t -=,则2,x t dx dt =+=,所以422(2)212(2)()()xt t S f x e dx f t edt e f t e dt--+--=-==⋅⎰⎰⎰,而 22012()1x S f x e dx e e-==-+⎰,故 222210212()(1)t Se f t e dt S ee e e----=⋅==-+⎰.(3) 用定积分换元法, 令2x n t -=,则2,x t n dx dt =+=,所以2222(2)220(2)()()n xt n n t nnS f x n e dx f t edt e f t e dt+--+--=-==⋅⎰⎰⎰而 22012()1x S f x e dx e e-==-+⎰,故 22220212()(1)n t n n nSe f t e dt S e e e e----=⋅==-+⎰.(4)利用以上结果,有2002001nnn n n n S S S e S e ∞∞∞-===⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑ ()22002221111111e S e S e e e e e--====--+-.六、(本题满分6分) 【解析】对1()()xaF x f t dtx a =-⎰两边对x 求导,得22()()()()()()()()xxa a f t dtx a f x f t dtf x F x x a x ax a ---'=+=---⎰⎰.证法一：由积分中值定理知,在(,)a x 内存在一点ξ使得()()()x af t dt f x a ξ=-⎰,所以22()()()()()()()()()()()()xa x a f x f t dtx a f x f x a f x f F x x a x a x aξξ------'===---⎰.又因为()0,f x a x ξ'≤<<,故有()()0f x f ξ-≤,所以()0F x '≤.证法二：令()()()()x ag x x a f x f t dt =--⎰,则()()()()()()()g x f x x a f x f x x a f x '''=+--=-.因为,()0x a f x '>≤,所以()0g x '≤,即()()()()x ag x x a f x f t dt =--⎰在(,)a b 上为减函数,所以()()0g x g a ≤=,所以 2()()0()g x F x x a '=≤-.七、(本题满分5分)【解析】方法一：本题可采用一般的解法如下： 由X AX B,=+得()E A X B.-= 因为()1111002111013213102011E A ,---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦所以()102111311321202030115311X E A B .---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦方法二：本题还可用由()E A X B -=作初等行变换()()E A B E X -→MM ,此解法优点是少算一次矩阵乘法,可以适当减少计算量.()110111012010253E A B --⎡⎤⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦M M M M ,第一行乘以()1-分别加到第二行和第三行上,再第三行乘以()1-加到第三行上,得110110111100333--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦M M M第三行自乘13,再加到第二行上,第二行再加到第一行上,有100310102000111-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦M M M ,所以312011X .-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦八、(本题满分6分)【解析】m 个n 维向量12m,,,αααL 线性相关的充分必要条件是齐次方程组.()1212m m x x x ααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦LM有非零解.特别地,n 个n 维向量12,,,nαααL 线性相关的充分必要条件是行列式12,,,0nααα=L .由于123111,,123513t t ααα==-,故当5t ≠时,向量组123,,ααα线性无关；5t =时向量组123,,ααα线性相关.当5t =时,设11223x x ααα+=将坐标代入有1212121,23,3 5.x x x x x x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解出121, 2.x x =-=即3122ααα=-+.九、(本题满分5分)【解析】(1) 矩阵A 的特征方程为122212221E A λλλλ+---=-+-+,经过行列式一系列的初等行变换和初等列变换,有12212211203421021E A λλλλλλλλ-------=-+=+++()()()234115021λλλλλ+=-=-+=+,故矩阵A 的特征值为：115,,-.(2)由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端左乘1A -,得1A αλα-=.因为0α≠,故0λ≠,于是有11Aααλ-=.按特征值定义知1λ是1A -的特征值.由A 的特征值是115,,,-可知1A -的特征值为1115,,.-又因为()11(1)E A ααλ-+=+,那么1E A -+的特征值是4225,,.【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.十 、(本题满分7分)【解析】(1) 由二维连续型随机变量的概率求法,概率等于对应区域上的二重积分()0{}(,)yx y x yP X Y f x y dxdy dy e dx+∞-+<<==⎰⎰⎰⎰y y x e dy e dx +∞--=⎰⎰0()x y y x x e e dy+∞=--==-⎰ 201(1)2y y y y e e dy e e +∞+∞----⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭⎰1.2=(2) 由二维连续型随机变量的数学期望定义得()()(,)x y E XY xyf x y dxdy xye dxdy +∞+∞+∞+∞-+-∞-∞==⎰⎰⎰⎰x y xe dx ye dy+∞+∞--=⎰⎰. 因为由分部积分法有y y yy ye dy yde ye e d y+∞+∞+∞----+∞=-=-+⎰⎰⎰yyye e --+∞+∞=--,由洛必达法则,对∞∞型极限,有1lim lim0yyy y yee -→∞→∞==.所以有() 1.E XY =十一、(本题满分8分)【解析】以A 表示事件“对X 的观测值大于3”,依题意,X 的概率密度函数为1,25,()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.因此 5312(){3}.33P A P X dx p =>==⎰@设随机变量Y 表示三次独立观测中观测值大于3的次数(即在三次独立试验中事件A 出现的次数).显然, Y 服从参数23,3n p ==的二项分布,因此,所求概率为{2}{2}{3}P Y P Y P Y ≥==+=223321220()()()33327C =+=.【相关知识点】二项分布的概率计算公式：若(,)Y B n p ~,则{}(1)k kn kn P Y k C p p -==-, 0,1,,k n =L .。