考研数学三真题解析

考研数三真题及答案解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．、１．当0→x 时，用)(x o 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ）（A ）)()(32x o x o x =⋅ （B ）)()()(32x o x o x o = （C ）)()()(222x o x o x o =+ （D ）)()()(22x o x o x o =+【详解】由高阶无穷小的定义可知（A ）（B ）（C ）都是正确的，对于（D ）可找出反例，例如当0→x 时)()(),()(2332x o x x g x o x x x f ===+=，但)()()(x o x g x f =+而不是)(2x o 故应该选（D ）．2．函数xx x x x f xln )1(1)(+-=的可去间断点的个数为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【详解】当0ln →x x 时，x x ex xx xln ~11ln -=-，1ln ln limln )1(1lim)(lim 0==+-=→→→x x x x x x x x x f x xx x ，所以0=x 是函数)(x f 的可去间断点．21ln 2ln limln )1(1lim)(lim 011==+-=→→→xx xx xx x x x f x xx x ，所以1=x 是函数)(x f 的可去间断点． ∞=+-=+-=-→-→-→xx x x xx x x x f x x x x ln )1(ln limln )1(1lim)(lim 111，所以所以1-=x 不是函数)(x f 的可去间断点．故应该选（C ）．３．设k D 是圆域{}1|),(22≤+=y x y x D 的第k 象限的部分，记⎰⎰-=kD k dxdy x y I )(，则（ ）（A ）01>I （B ）02>I （C ）03>I （D ）04>I 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知()ππππππθθθθθθθθ22122110222)1(|cos sin 31)sin (sin 31)cos (sin )(k k kk k k D k d dr r d dxdy x y I k ---+-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰所以ππ32,32,04231-====I I I I ，应该选（B ）． ４．设{}n a 为正项数列，则下列选择项正确的是（ ） （A ）若1+>n n a a ，则∑∞=--11)1(n n n a 收敛；（B ）若∑∞=--11)1(n n n a 收敛，则1+>n n a a ；（C ）若∑∞=1n na收敛．则存在常数1>P ，使n p n a n ∞→lim 存在；（D ）若存在常数1>P ，使n pn a n ∞→lim 存在，则∑∞=1n na收敛．【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D ）正确，故应选（Ｄ）．此小题的（A ）（B ）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A ），但少一条件0lim =∞→n n a ，显然错误．而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，选项（B ）也不正确，反例自己去构造．５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n 阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则（A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价． （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价． （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价． （D ）矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价．【详解】把矩阵A ，C 列分块如下：()()n n C A γγγααα,,,,,,,2121 ==，由于ＡＢ＝Ｃ，则可知),,2,1(2211n i b b b n in i i i =+++=αααγ，得到矩阵C 的列向量组可用矩阵A 的列向量组线性表示．同时由于B 可逆，即1-=CB A ，同理可知矩阵A 的列向量组可用矩阵C 的列向量组线性表示，所以矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价．应该选（B ）．6．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111a a b a a 与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000002b 相似的充分必要条件是（A ）2,0==b a （B ）0=a ，b 为任意常数 （C ）0,2==b a （D ）2=a ，b 为任意常数【详解】注意矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000002b 是对角矩阵，所以矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111a a b a a 与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000002b 相似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．)22)2((111122a b b aa b aaA E -++--=---------=-λλλλλλλ从而可知b a b 2222=-，即0=a ，b 为任意常数，故选择（B ）．7．设321,,X X X 是随机变量，且)3,5(~),2,0(~),1,0(~23221N X N X N X ，{}22≤≤-=i i X P P ，则（A ）321P P P >> （B ）312P P P >> （C ）123P P P >> （D ）231P P P >> 【详解】若),(~2σμN X ，则)1,0(~N X σμ-1)2(21-Φ=P ，{}1)1(212122222-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=≤≤-=X P X P P ， {}())13737)1(3523535222333Φ-⎪⎭⎫⎝⎛Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ--Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-≤--=≤≤-=X P X P P ，=-23P P 0)1(32)1(3371<Φ-<Φ-⎪⎭⎫⎝⎛Φ+．故选择（A ）．8．设随机变量X 和Y 相互独立，且X 和Y 的概率分布分别为X 0 1 2 3P P1/21/41/81/8Y -1 0 1 P1/31/31/3则{}==+2Y X P （ ）（A ）121 （B ）81 （C ）61 （D ）21 【详解】{}{}{}{}612412411211,30,21,12=++=-==+==+====+Y X P Y X P Y X P Y X P ，故选择（C ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．设曲线)(x f y =和x x y -=2在点()0,1处有切线，则=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→2lim n n nf n ． 【详解】由条件可知()1)1(',01==f f ．所以2)1('22222)1(221lim 2lim -=-=-+⋅+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→∞→f nn n f n f n n nf n n 10．设函数()y x z z ,=是由方程()xy y z x=+确定，则=∂∂)2,1(|xz． 【详解】 设()xyy z z y x F x -+=)(,,，则()1)(),,(,)ln()(,,-+=-++=x z x x y z x z y x F y y z y z z y x F ，当2,1==y x 时，0=z ，所以2ln 22|)2,1(-=∂∂xz． 11．=+⎰∞+x d x x12)1(ln ． 【详解】2ln |1ln )1(1|1ln 11ln )1(ln 111112=+=+++-=+-=+∞+∞+∞+∞+∞+⎰⎰⎰x x dx x x x x x xd x d x x 12．微分方程041=+'-''y y y 的通解为．【详解】方程的特征方程为041=+-λλr，两个特征根分别为2121==λλ，所以方程通解为221)(x e x C C y +=，其中21,C C 为任意常数．13．设()ij a A =是三阶非零矩阵，A 为其行列式，ij A 为元素ij a 的代数余子式，且满足)3,2,1,(0==+j i a A ij ij ，则A =．【详解】由条件)3,2,1,(0==+j i a A ij ij 可知0*=+TA A ，其中*A 为A 的伴随矩阵，从而可知A AA A T -===-13**，所以A 可能为1-或0．但由结论⎪⎩⎪⎨⎧-<-===1)(,01)(,1)(,)(*n A r n A r n A r n A r 可知，0*=+T A A 可知*)()(A r A r =,伴随矩阵的秩只能为3，所以.1-=A14．设随机变量X 服从标准正分布)1,0(~N X ，则()=XXeE 2． 【详解】()=X Xe E 2dx ex e dx ex dx exe x x x x⎰⎰⎰∞+∞---∞+∞-+--∞+∞--+-==2)2(222)2(22222)22(2221πππ22222222)(2222e e X E e dt e dt te e t t =+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰⎰∞+∞--∞+∞--π． 所以为22e ．三、解答题15．（本题满分10分）当0→x 时，x x x 3cos 2cos cos 1-与nax 是等价无穷小，求常数n a ,． 【分析】主要是考查0→x 时常见函数的马克劳林展开式． 【详解】当→x 时，)(211cos 22x o x x +-=，)(21)()2(2112cos 2222x o x x o x x +-=+-=，)(291)()3(2113cos 2222x o x x o x x +-=+-=，所以)(7))(291))((21))((211(13cos 2cos cos 122222222x o x x o x x o x x o x x x x +=+-+-+--=-，由于x x x 3cos 2cos cos 1-与nax 是等价无穷小，所以2,7==n a ． 16．（本题满分10分） 设D 是由曲线3x y =，直线a x =)0(>a 及x 轴所转成的平面图形，y x V V ,分别是D 绕x轴和y 轴旋转一周所形成的立体的体积，若y x V V =10，求a 的值． 【详解】由微元法可知πππ35320253a dx x dx y V a ax ===⎰⎰；πππ37340762)(2a dx x dx x xf V a ay ===⎰⎰；由条件y x V V =10，知77=a ． 17．（本题满分10分）设平面区域D 是由曲线8,3,3=+==y x x y y x 所围成，求⎰⎰Ddxdy x 2． 【详解】341683622332222221=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-xx xx D D Ddy dx x dy dx x dxdy x dxdy x dxdy x ． 18．（本题满分10分）设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为,100060QP -=（P 是单价，单位：元，Q 是销量，单位：件），已知产销平衡，求： （1）该的边际利润．（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义． （3）使得利润最大的定价P ． 【详解】（1）设利润为y ，则6000100040)206000(2--=+-=Q Q Q PQ y ， 边际利润为.50040'Q y -= （2）当P=50时，Q=10000，边际利润为20．经济意义为：当P=50时，销量每增加一个，利润增加20． （3）令0'=y ，得.40100002000060,20000=-==P Q19．（本题满分10分）设函数()x f 在),0[+∞上可导，()00=f ，且2)(lim =+∞→x f x ，证明（1）存在0>a ，使得();1=a f（2）对（1）中的a ，存在),0(a ∈ξ，使得af 1)('=ξ． 【详解】证明（1）由于2)(lim =+∞→x f x ，所以存在0>X ，当X x >时，有25)(23<<x f ， 又由于()x f 在),0[+∞上连续，且()00=f ，由介值定理，存在0>a ，使得();1=a f （2）函数()x f 在],0[a 上可导，由拉格朗日中值定理， 存在),0(a ∈ξ，使得aa f a f f 1)0()()('=-=ξ．20．（本题满分11分）设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b B a A 110,011，问当b a ,为何值时，存在矩阵C ，使得B CA AC =-，并求出所有矩阵C ．【详解】显然由B CA AC =-可知，如果C 存在，则必须是2阶的方阵．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321x xx x C ， 则B CA AC =-变形为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-b ax x xx x ax x ax ax x 1103243142132，即得到线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--=++-=+-bax x x x x ax x ax ax x 3243142132110，要使C 存在，此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=b a a b a aa ab A 000010000001011101010111011010010|， 所以，当0,1=-=b a 时，线性方程组有解，即存在矩阵C ，使得B CA AC =-．此时，()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→00000000000011011101|b A ， 所以方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100101110001214321C C x x x x x ，也就是满足B CA AC =-的矩阵C 为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++=211211C C C C C C ，其中21,C C 为任意常数．21．（本题满分11分） 设二次型23322112332211321)()(2),,(x b x b x b x a x a x a x x x f +++++=．记⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321321,b b b a a a βα．（1）证明二次型f 对应的矩阵为 TTββαα+2；（2）若βα,正交且为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为 22212y y +． 【详解】证明：（1）()()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++++=321321321321321321321321321321321321321321233221123322113212,,,,2,,,,,,,,,,2)()(2),,(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x b b b b b b x x x x x x a a a a a a x x x x b x b x b x a x a x a x x x f TT TT ββααββαα所以二次型f 对应的矩阵为 TT ββαα+2． 证明（2）设=A TTββαα+2，由于0,1==αβαT 则()ααββαααββααα2222=+=+=T TT A ，所以α为矩阵对应特征值21=λ的特征向量；()ββββααβββααβ=+=+=222T T T A ，所以β为矩阵对应特征值12=λ的特征向量；而矩阵A 的秩2)()2()2()(=+≤+=T T T Tr r r A r ββααββαα，所以03=λ也是矩阵的一个特征值．故f 在正交变换下的标准形为 22212y y +． 22．（本题满分11分）设()Y X ,是二维随机变量，X 的边缘概率密度为⎩⎨⎧<<=其他,010,3)(2x x x f X ，在给定)10(<<=x x X 的条件下，Y 的条件概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,0,0,3)/(32x y x y x y f XY ．（1）求()Y X ,的联合概率密度()y x f ,； （2）Y 的的边缘概率密度)(y f Y ．【详解】（1）()Y X ,的联合概率密度()y x f ,：()⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=⋅=其他,00,10,9)()/(,2x y x x y x f x y f y x f X XY（2）Y 的的边缘概率密度)(y f Y ：⎪⎩⎪⎨⎧<<-===⎰⎰∞+∞-其他,010,ln 99),()(212y y y dx x y dx y x f y f yY 23．（本题满分11分）设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,);(32x e x x f x θθθ，其中θ为为未知参数且大于零，n X X X ,21为来自总体X 的简单随机样本．（1）求θ的矩估计量； （2）求θ的极大似然估计量．【详解】（1）先求出总体的数学期望E （X ）θθθ===⎰⎰∞+-∞+∞-022)()(dx e xdx x xf X E x ，令∑===n n i X n X X E 11)(，得θ的矩估计量∑=∧==ni i X n X 11θ．（2）当),2,1(0n i x i =>时，似然函数为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==-∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∏∏ni i ix n i i n ni x i ex e x L 11312132)(θθθθθ， 取对数，∑∑==-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ni i n i i x xn L 11ln 31ln 2)(ln θθθ， 令0)(ln =θθd L d ，得0121=-∑=n i ix n θ， 解得的极大似然估计量为．精品 Word 可修改 欢迎下载1、最困难的事就是认识自己。

2023年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)试题一、选择题：1～10小题,每小题5分,共50分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．1.已知函数(,)ln(sin )f x y y x y =+则（）A.(0,1)f x ∂∂不存在，(0,1)fy ∂∂存在B.(0,1)f x ∂∂存在，(0,1)fy ∂∂不存在C.(0,1)f x ∂∂，(0,1)fy∂∂均存在D.(0,1)f x ∂∂，(0,1)fy∂∂均不存在解析：A将0,1x y ==带入(0,1)0f =，由偏导数的定义00(0,1)ln(1sin1)(,1)(0,1)limlim sin1lim ,x x x x x f f x f xx xx →→→+⋅∂-===⋅∂因为0lim 1x x x +→=，0lim 1x x x -→=-，所以(0,1)fx ∂∂不存在；111(0,1)(0,)(0,1)ln ln(11)limlim lim 1,111y y y f f y f y y yy y y →→→∂-+-====∂---所以(0,1)fy∂∂存在.2.函数0,()(1)cos ,0,x f x x x x ≤=+>⎩的原函数为（）.A．),0,()(1)cos sin ,0,x x F x x x x x ⎧⎪≤=⎨+->⎪⎩B．)1,0,()(1)cos sin ,0,x x F x x x x x ⎧⎪-+≤=⎨+->⎪⎩C．),0,()(1)sin cos ,0,x x F x x x x x ⎧⎪-≤=⎨++>⎪⎩D．)1,0,()(1)sin cos ,0,x x F x x x x x ⎧⎪++≤=⎨++>⎪⎩解析：D当0x ≤时，1()ln(F x x C ==++⎰（常用积分公式）当0x >时，2()(1)cos (1)sin cos F x x xdx x x x C =+=+++⎰由于()F x 在0x =处可导，则()F x 在0x =处连续，即0lim ()lim ()x x F x F x +-→→=10lim ln(x x C -→++20lim (1)sin cos x x x x C +→=+++1C ⇒21C =+因此仅有选项D 满足条件.3.已知微分方程0y ay by '''++=的解在(,)-∞∞上有界，则,a b 的取值范围为（）.A.0, 0a b <>B.0, 0a b >>C.0, 0a b =>D.0, 0a b =<解析：C微分方程0y ay by '''++=的特征方程为20r ar b ++=，当240a b ∆=->时，特征方程有两个不同的实根12λλ，，则12λλ，至少有一个不等于零，若12C C ，都不为零，则微分方程的解1212xx y C eC e λλ--=+在(,)-∞+∞无界；当240a b ∆=-=时，特征方程有两个相同的实根122a λ-，＝，若20C ≠，则微分方程的解2212aa x x y C eC xe =+在(,)-∞+∞无界；当240a b ∆=-<时，特征方程的根为1,2422a i λ=-±，则通解为21244cossin 22a x y eC x C -⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，此时，要使微分方程的解在(,)-∞+∞有界，则0a =，再由240a b ∆=-<，知0b >.4.已知(1,2,)n n a b n <= ，若级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑均收敛，则1nn a∞=∑绝对收敛是1nn b∞=∑绝对收敛的（）A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要解析：A 由条件知()1nn n ba ∞=-∑为收敛的正项级数，进而绝对收敛；设1nn a∞=∑绝对收敛，则由 ||n n n n n n n b b a a b a a ≤＝－＋－＋与比较判别法，得1nn b∞=∑绝对收敛；设1nn b∞=∑绝对收敛，则由 ||n n n n n n n a a b b b a b ≤＝－＋－＋与比较判别法，得1nn a∞=∑绝对收敛.5.设,A B 为n 阶可逆矩阵，E 为n 阶单位矩阵，*M 为矩阵M 的伴随矩阵，则*A E OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.****A B B A O B A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ B.****B A A B O A B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C.****B A B A O A B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D.****A B A B O B A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭解析：B*111111111A E A E A EB A A A A B B A A B A B O B O B O B O A B B O B ---------⎛⎫-⎛⎫-⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭****B A A B O A B ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，应选B.6.二次型222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++--的规范形为（）A ．2212y y + B.2212y y -C ．2221234y y y +- D.222123y y y +-解析：B222123123121323(,,)233228f x x x x x x x x x x x x =--+++211134143A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦211211212134134131143077070A E λλλλλλλλλλλλ----=--=--=-----+--+(7)(3)λλλ=+-.故选B.7.1123α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2211α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1259β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2101β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭若γ既可由12,αα线性表示，也可由12,ββ线性表示，则γ=（）.A ．33,4k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭B ．35,10k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭C ．11,2k k R -⎛⎫ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭D ．15,8k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭解析：D设11221122r x x y y ααββ+==+则112211220x x y y ααββ+--=又()121212211003,,,2150010131910011ααββ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--=-→- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭故TT1212()(1,,,3,,1,1)x x y y c c R--∈＝，所以T12(1,5,8).15,8r c k k R c c ββ⎛⎫⎪+==∈ ⎪⎪⎝⎭=----8.设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则()E X EX -=（）.A ．1eB.12C.2eD.1解析：C由题可知1EX =，所以1, 01, 1,2,...X X EX X X =⎧-=⎨-=⎩，故{}(){}1101k E X EX P X k P X k ∞=-=⋅=+-=∑(){}(){}()()011010112101k k P X k P X e E X e e e∞==+-=--==+---=∑故选（C ）.9.设1,,n X X 为总体21(,)N μσ的简单随机样本，1,,n Y Y 为总体22(,2)N μσ的简单随机样本，且两样本相互独立，11n i i X X n ==∑，11m i i Y Y m ==∑，()221111n i i S X X n ==--∑，()222111m i i S Y Y m ==--∑，则（）A ．2122~(,)S F n m S B.2122~(1,1)S F n m S --C ．21222~(,)S F n m S D.21222~(1,1)S F n m S --解析：D12,,,n X X X 的样本方差()221111ni i S X X n ==--∑12,,,n Y Y Y 的样本方差()222111ni i S Y Ym ==--∑则()()()()2212222211~1,~12n S m S n m χχσσ----，两个样本相互独立所以()()()()()21222211222222221/1/2~1,11/2/12n S n S S F n m m S S S m σσσσ--==----，故选（D ）.10.设12,X X 为总体2(,)N μσ的样本，0σ>为未知参数，若12ˆa X X σ=-为σ的无偏估计，则a =（）A．2B.2C.D.解析：A由题可知212~(0,2)X X N σ-.令12Y X X =-，则Y 的概率密度()2222y f y σ-⋅=.()22222240d d y y E Y y yey σσ--+∞+∞⋅-∞===⎰，()()12E a X X aE Y a-==由12a X X σ=-为σ的无偏估计，有()E σσ=，得2a =.故选（A ）.二、填空题：11~16小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.11.211lim 2sincos _______x x x x x →∞⎛⎫--= ⎪⎝⎭.解析：22332222221111111lim 2sin cos lim 2()1()621112lim ()623x x x x x x x x x x x x x x x x xx οοο→∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=---- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤=++=⎢⎥⎣⎦12.已知函数(,)f x y 满足22(,)xdy ydxdf x y x y-=+，(1,1)4f π=，则______f =.解析：由题意可得22(,)x y f x y x y -'=+，则(,)arctan ()xf x y c y y=-+.又因为22(,)y xf x y x y '=+，可得()c y C =，由(1,1)4f π=可得2c π=.即(,)arctan2x f x y y π=-+，故3f π=.13.20_______(2)!nn x n ∞==∑.解析：令20()(2)!n n x S x n ∞==∑，则211()(21)!n n x S x n -∞='=-∑，22210()().(22)!(2)!n nn n x x S x S x n n -∞∞==''===-∑∑即有()()0S x S x ''-=，解得12()x xS x C e C e-=+.又由(0)1,(0)0,S S '==有12121,0,C C C C +=-=解得1211,,22C C ==故11()22x x S x e e -=+.14.某公司在t 时刻的资产为()f t ，从0到t 时刻的平均资产为()f t t t-，其中()f t 连续，(0)0f =，求()________f t =.解析：由题意()()tf x dx f t t tt=-⎰，即20()()t f x dx f t t =-⎰，两边同时对t 求导得()()2f t f t t '=-，即()()2f t f t t '-=由一阶线性微分方程通解公式有()(2)(2)(22)2 2.dt dtt t t t tf t e te dt C e te dt C e t e C Ce t ---⎰⎰=+=+⎡⎤=-++=--⎣⎦⎰⎰又由于(0)0f =，则20C -=，即2C =，故()222tf t e t =--.15.已知线性方程组13123123121202ax x x ax x x x ax ax bx +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩有解，其中,a b 为常数，若0111412a a a =，则1112_________0a a a b=.解析：0111412a a a =，所以01113120aa r a ab ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，线性方程组131231231210202ax x x ax x x x ax ax bx +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩有解，所以011110312002a a r a ab ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，故011110012002a a a a b=，按照第四列展开可得1101112211=0012a a a a a ba⋅-，所以111280a a a b=.16.设随机变量X 与Y 相互独立，且~(1,)X B p ，~(2,)Y B p ，(0,1)p ∈，则X Y +与X Y -的相关系数为________.解析：因为~(1,)X B p ，所以(1)DX p p =-；因为~(2,)Y B p ，所以2(1)DY p p =-；(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(1).Cov X Y X Y Cov X Y X Cov X Y Y Cov X X Cov Y X Cov X Y Cov Y Y DX DY p p +-=+-+=+--=-=--因为X 与Y 相互独立，所以()3(1),D X Y DX DY p p +=+=-()3(1),D X Y DX DY p p -=+=-故13ρ=-.三、解答题：17~22小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸制定位置上.17.（本题满分10分）已知可导函数()y y x =满足2ln(1)cos 0xae y y x y b ++-++=，且(0)0y =，(0)0y '=；（1）求,a b 的值.（2）判断0x =是否为()y x 的极值点.解析：（1）方程两边同时对x 求导得()cos 2ln(1)sin 01x yae y y y x y y x'''+⋅+-++⋅⋅=+，将0,0x y ==带入题设方程得0a b +=，将0,0,(0)0x y y '===带入得10a -=，综上得1, 1.a b ==-（2）继续对上式方程求导得()()()22sin (1)cos 22ln(1)sin 01x y y x yae y y y y x y y x '-⋅⋅+-'''''''++⋅+-++⋅⋅=⎡⎤⎣⎦+将0,0,(0)0x y y '===带入得(0)1 2.y a ''=--=-由于(0)0,(0)2y y '''==-，故0x =是()y x 的极大值点.18.（本题满分12分）已知平面区域(,)|01D x y y x ⎧⎫=≤≤≥⎨⎬⎩⎭，（1）求D 的面积；（2）求D 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积.解析：(1)对题设区域进行定积分.2111S +∞+∞+∞===⎰⎰⎰，令t =2221111(1)ln 2(1)121t d t dt t tt t +∞+∞-=-==--+1)=；(2)根据旋转体体积公式，有2222211111(1)1V dx dx dx x x x x πππ+∞+∞+∞===++⎰⎰⎰24ππ=-.19.（本题满分12分）已知平面区域{}22(,)|(1)1D x y x y =-+≤，求1Ddxdy -.解析：将平面区域划分成{}22221(,)|1,(1)1D x y x y x y =+≤-+≤{}22222(,)|1,(1)1D x y x y x y =+>-+≤其中112cos 32032323(12(1)2(1)182(2cos cos )93432.929D dxdy d r rdr d r rdrd ππθπππθθπθθθπ=-+-=+-=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2112cos 2021)1)(1)(1)(153392D DD D dxdy dxdy dxdy d r rdr dxdyπθπθπ-=-=-+-=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式12(11)D D dxdy dxdy =-+⎰⎰⎰⎰4333253332.9299299ππ=+--+=20.（本题满分12分）设函数()f x 在[,]a a -上具有2阶连续导数，证明：（1）若(0)0f =，则存在(,)a a ξ∈-，使得21()[()()]f f a f a a ξ''=+-；（2）若()f x 在(,)a a -内取得极值，则存在(,)a a η∈-使得21()()()2f f a f a aη''≥--.（1）证明：()()()()()()220002!2!f u f u f x f f x x f x ''''''=++=+，u 介于0与x 之间，则()()()()1210,02!f u f a f a a u a '''=+<<①()()()()2220,02!f u f a f a a a u '''-=-+-<<②①＋②得：()()()()2122a f a f a f u f u ''''+-=+⎡⎤⎣⎦③又()f x ''在21[,]u u 上连续，则必有最大值M 与最小值m ，即12)(m f u M m f u M ''''≤≤≤≤；()；从而()()122f u f u m M ''''+≤≤；由介值定理得：21[,](,)u u a a ξ∃∈⊂-，有()()()122f u f u f ξ''''+''=，代入③得：2)()()f a f a a f ξ''-(＋＝，即()()()2f a f a f a ξ+-''=（2）证明：设()f x 在0(,)x x a a =∈-取极值，且()f x 在0(,)x x a a =∈-可导，则0(0)f x '=.又()()()()()()()()()220000002!2!f f f x f x f x x x x x f x x x γγ'''''=+-+-=+-，γ介于0与x 之间，则()()()()21001,02!f f a f x a x a γγ''-=+---<<()()()()22002,02!f f a f x a x aγγ''=+-<<从而()()()()()()2202011122f a f a a x f a x f γγ''''--=--+()()()()2202011122a x f a x f γγ''''≤-++又 (|)|f x ''连续，设12{|) ( )}(|||M max f f γγ''''=，，则()()()()()22220001122f a f a M a x M a x M a x --≤++-=+又0(,)x a a ∈-则2220()()(2||)f a f a M a x Ma ≤≤－－＋，则()()212M f a f a a ≥--即存在1ηγ=或2(,)a a ηγ=∈-，有()()()212f f a f a a η''≥--.21.（本题满分12分）设矩阵A 满足：对任意123,,x x x 均有112321233232x x x x A x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，（1）求A ；（2）求可逆矩阵P 与对角矩阵Λ，使得1P AP -=Λ.解析：（1）112312123232331112211011x x x x x A x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪=-+=- ⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故111211011A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭；（2）(2)(2)(1)0A E λλλλ-=-+-+=则A 中1232,2,1λλλ=-==-，A 中1λ对应的线性无关特征向量()1011Tα=-；A 中2λ对应的线性无关特征向量()2431T α=；A 中3λ对应的线性无关特征向量()3102Tα=-。

历年考研数学三真题解析及复习思路（数学三）2020年-1987年2020全国硕士研究生入学统一考试数学三试题详解一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设()()limx af x f a b x a →-=-，则sin ()sin lim x a f x ax a→-=- （ ）（A ）sin b a （B ）cos b a （C ）sin ()b f a （D ）cos ()b f a 【答案】（B ） 【解析】由()lim,x a f x ab x a →-=-得(),()f a a f a b '==，则（2）函数11ln 1()(1)(2)x xe xf x e x -+=--的第二类间断点的个数为 （ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】（C ）【解析】由题设，函数的可能间断点有1,0,1,2x =-，由此11121111ln 1lim ()limlim ln 1(1)(2)3(1)x x x x x e x ef x x e x e ---→-→-→-+==-+=-∞---； 111000ln 1ln(1)1lim ()lim lim (1)(2)22x x x x x e x e x f x e x x e--→→→++==-=---； 1111111111111ln 1ln 2lim ()lim lim 0;(1)(2)1ln 1ln 2lim lim ;(1)(2)1x x x x x x x x x x x e x f x e e x e e x e e x e ---++--→→→--→→+===---+==-∞---；112222ln 1ln 31lim ()limlim (1)(2)(1)2x x x x x e x e f x e x e x -→→→+===∞---- 故函数的第二类间断点（无穷间断点）有3个，故选项（C ）正确。

21考研数学三真题详解考研数学三，作为考研数学中的一大难点，对很多考生来说都是一个绕不过去的槛。

在这里，我们将为大家详细解析21考研数学三的真题，帮助大家更好地理解和掌握考点。

下面，我们将按照题目的顺序进行逐一解析。

1. 题目一：题目描述：设A与B是n阶矩阵，且满足AB-A=2B。

若C=BA，则下列结论正确的是？解析：首先，我们可以将原方程转化为AB-A-2B=0，进一步整理得到AB-2B-A=0。

然后，我们对C进行展开，得到C=BA。

由此，我们可以推出C-2B-A=0。

综上所述，选项C正确。

2. 题目二：题目描述：设函数f(x)在区间[a,b]上可导，且满足f(a)=f(b)=0，请证明在区间(a,b)内存在ξ，使得f'(\(\xi\))=\(\frac{f(\(\xi\))}{\(\xi\)}\)。

解析：根据题目条件，我们可以利用罗尔定理进行证明。

由于f(x)在区间[a,b]上连续，在区间闭区间[a,b]上可导，且满足f(a)=f(b)=0，所以存在a<ξ<b，使得f'(ξ)=0。

然后，我们需要利用中值定理来进一步证明。

根据中值定理，存在η∈(a,ξ)，使得\(\frac{f(\(\xi\))}{\(\xi\)-a}\)=f'(η)。

将上述结果代入，我们可以得到f'(η)=\(\frac{f(\(\xi\))}{\(\xi\)-a}\)。

因此，在区间(a,b)内存在ξ，使得f'(\(\xi\))=\(\frac{f(\(\xi\))}{\(\xi\)}\)。

通过以上的解析，我们可以看出，21考研数学三的真题内容相对较为复杂，需要考生具备扎实的数学基础和一定的解题技巧。

希望大家能够通过这次详解更好地理解和掌握这道题目，并在考试中取得好成绩。

祝各位考生顺利通过考研数学三！。

2023 考研数学三真题及解析一、选择题：1~10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1．已知函数 f( ,x y ) = ln ( y + x sin y )，则（ ）.（A ）()0,1f x ∂∂不存在，()0,1fy∂∂存在（B ）()0,1f x∂∂存在，()0,1fy ∂∂不存在（C ）()0,1f x∂∂()0,1f y∂∂均存在（D ）()0,1f x∂∂()0,1f y∂∂均不存在【答案】（A ）【解析】 本题考查具体点偏导数的存在性，直接用定义处理，()0,10f =()()()()0,1000ln 1sin1sin1,10,1sin1,0lim lim limsin1,0x x x x x f x f x fx x x x x +−→→→+ −→∂=== ∂−→ 故()0,1f x∂∂不存在()()()0,1110,0,1ln lim lim 111y y f y f f y y y y →→−∂===∂−−，()0,1f y∂∂存在，选（A ）2.函数() 0,()1cos ,0.x f x x x x ≤=+>的一个原函数是( )(A)), 0,()(1)cos sin ,0.x x F x x x x x −≤= +−>(B))1, 0,()(1)cos sin ,0.x x F x x x x x +≤=+−>(C)), 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x −≤= ++>(D))1, 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x +≤=++> 【答案】(D) .【分析】本题主要考查原函数的概念,分段函数不定积分的求法以及函数可导与连续的关系.【详解】由于当0x <时，)1()lnF xx x C==+∫当0x >时，()()2()1cos d 1sin cos F x x x x x x x C =+=+++∫由于()F x 在0x =处可导性，故()F x 在0x =处必连续因此，有00lim ()lim ()x x F x F x −+→→=，即 121C C =+.取20C =得)1, 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x −+≤= ++> 应选(D) .【评注】此题考查分段函数的不定积分，属于常规题，与2016年真题的完全类似，在《真题精讲班》系统讲解过. 原题为已知函数2(1),1,()ln , 1.x x f x x x −< = ≥则()f x 的一个原函数是( )(A) 2(1),1,()(ln 1), 1.x x F x x x x −<= −≥ (B) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<=+−≥ (C) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<= ++≥ (D) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<= −+≥3．若微分方程0y ay by ′′′++=的解在(,)−∞+∞上有界，则（ ）（A ）00a b <>， （B ）00a b >>， （C ）00a b =>， （D ）00a b =<， 【答案】（C ）【解析】特征方程为20r ar b ++=，解得1,2r =．记24a b ∆=−当0∆>时，方程的通解为1212()e e r x r x yx c c ⋅⋅=+，当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当0∆=时，1202ar r −=<=，方程的通解为1112()e e r x r x yx c c x =+，当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当0∆<时，1,22a r i β=−±,方程的通解为()212()e cos sin axy x c x c x ββ−=+． 只有当0a =，且240a b ∆=−<，即0b >时，lim ()lim ()0x x y x y x →+∞→−∞==，此时方程的解在(,)−∞+∞上有界. 故选（C ）【评注】此题关于x →+∞方向的讨论，在《基础班》习题课上讲解过，见《基础班》习题课第八讲《常微分方程》第15题.4.已知()1,2,n n a b n <=，若1nn a∞=∑与1n n b ∞=∑均收敛.则1nn a∞=∑绝对收敛是1n n b ∞=∑绝对收敛的（ ）（A ）充分必要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件（D ）既非充分也非必要条件 【答案】（A ） 【解析】由题设条件知()1nn n ba ∞=−∑为收敛的正项级数，故()1n n n b a ∞=−∑也是绝对收敛的若1nn a∞=∑绝对收敛，则n n n n n n n b b a a b a a =−+≤−+，由比较判别法知，1n n b ∞=∑绝对收敛；若1n n b ∞=∑绝对收敛，则则nn n n n n n aa b b a b b =−+≤−+，由比较判别法知，1n n a ∞=∑绝对收敛；故应选（A ）【评注】本题考查正项级数的比较判别法，及基本不等式放缩.关于上述不等式《基础班》第一讲在讲解数列极限定义时就反复强调过.5.设A,B 分别为n 阶可逆矩阵，E 是n 阶单位矩阵，*M 为M 的伴随矩阵，则AE OB 为（ ） （A ）*****−A B B A O A B （B ）****− A B A B OB A（C ）****−B A B A OA B （D ）****−B A A B OA B 【答案】（D ）【解析】由分块矩阵求逆与行列式的公式，结合1∗−=A A A 得11111∗−−−−− −==A E A E A E E A A AB B O B O B O B O B ∗∗∗∗−=B O A A A B B 选（D ）【评注】这钟类型的题在02年，09年均考过完全类似的题，《基础班》第二讲也讲过，原题为【例1】设,A B ∗∗分别为n 阶可逆矩阵,A B 对应的伴随矩阵，∗∗=A O C O B6.二次型()()()222123121323(,,)4f x x x x x x x x x =+++−−的规范形为（ ）. （A ）2212y y + （B ）2212y y −（C ）222123y y y −−（D ）222123y y y +−【答案】（B ）【详解】因为123(,,)f x x x 222123121323233228x x x x x x x x x =−−+++方法1.二次型的矩阵为 211134143 =− −A , 由()()211134730143λλλλλλλ−−−−=−+−=+−=−−+E A ，得特征值为0,7,3−，故选（B ）方法2.()222123123121323,,233228f x x x x x x x x x x x x =−−+++()()()22232322211232323233842x x x x x x x x x x x x ++=+++−−−+ 222222322332323126616222x x x x x x x x x x x +++++−=+−()22231237222x x x x x +=+−− 故所求规范形为()2212312,,f x x x y y =−【评注】本题考查二次型的规范形，与考查正负惯性指数是同一类题，在《基础班》《强化班》均讲过. 《解题模板班》类似例题为【11】设123123(,,),(,,)T T a a a b b b αβ==，,αβ线性无关，则二次型123112233112233(,,)()()f x x x a x a x a x b x b x b x =++++的规范型为( )．(A)21y (B) 2212y y + (C) 2212y y − (D) 222123y y y ++7．已知向量12121,,1222150390,1====ααββ，若γ既可由12,αα表示，也由与12,ββ表示，则=γ（ ）.（A ）334k （B ）3510k（C ）112k − （D ）158k【答案】（D ） 【解析】由题意可设11212212x y x y +==+γααββ，只需求出21,x x 即可即解方程组112112220x y y x +−−=ααββ()121212211003,,2150010131910011,−−−−=−→− −−ααββ 得()()2211,,1,3,,1,1TTx k x y y =−−，k 为任意常数11221212133215318x k k k k k x+=−+=−+=−=γαααα，故选（D ）【评注】1.此题与《强化班》讲义第三讲练习第12题完全类似，原题为【12】(1)设21,αα，21,ββ均是三维列向量，且21,αα线性无关, 21,ββ线性无关，证明存在非零向量ξ，使得ξ既可由21,αα线性表出，又可由21,ββ线性表出．(2)当 =4311α，=5522α：1231β= − ，2343β−=−时，求所有既可由21,αα线性表出，又可21,ββ线性表出的向量。

数学三考研真题和答案解析数学三是很多考研学子心中的一块巨石，考查的内容广泛，难度也较大。

本文将以为题材，为大家探讨一些常见的考点和解题技巧。

首先，我们先来分析一道典型的数学三考研题目：已知函数$f(x)$在区间$(a,b)$上连续，$(a,b)$上的导数在区间$(a,b)$内存在有界，并且$f(a) \neq f(b)$。

证明：存在$c \in(a,b)$，使得$f'(c)=0$。

对于这道题目，考生需要运用中值定理进行解答。

根据题目条件，我们可以得知函数$f(x)$在区间$(a,b)$内连续且可导。

中值定理的应用需要满足连续函数在闭区间上可导的条件，而本题已经给出了这个条件，所以我们可以放心地使用中值定理。

根据中值定理，存在$c \in (a,b)$，满足：$$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$由于$f(a) \neq f(b)$，所以$f(b)-f(a) \neq 0$，而$b-a>0$。

因此，我们可以得出结论：$f'(c) \neq 0$。

下面我们将分析这个条件：$(a,b)$上的导数在区间$(a,b)$内存在有界。

这个条件实际上是在说函数的导数在$(a,b)$这个区间内不会无限增长或无限减小。

这种情况下，我们可以使用导函数的介值性质，即函数的导数可以取到区间内的任意值。

假设函数$f'(x)$在$(a,b)$区间内的导数有界，存在$M$，使得$|f'(x)| \leq M$。

根据之前得出的结论，我们知道$f'(c) \neq 0$，所以$|f'(c)|>0$。

由于$|f'(c)| \leq M$，所以我们可以推出：$|f'(c)| \leq M < |f'(c)|$，这是一个矛盾！因此，我们可以得出结论：存在$c \in (a,b)$，使得$f'(c)=0$。

是c+等价无穷小，则(C) R = 3,c = 4已知 f(x)在 X = O 处可导，且 /(0) = 0,则 Iim x ~f M~2 / CV)Λ→0设｛冷｝是数列，则下列命题正确的是OOX若£心收敛’则∑(∕G H -I +U 2π)收敛/1-1n-1X OC若£(%如)收敛，则收敛“■]/1-1OO X若X ©收敛，则X(∕Y 2^1 T6)收敛 ∕ι≡lπ-! 若X("2-1 Tf 2』收敛‘则X ©收敛π-l ∕ι≡lπ JT π设/ =JJIn(Sin x)dx , J = JJ In(COt x)dx, K = U In(COS x)dx 贝IJ 八 J , K的大 小关系是解，k lt k 2为任意常数.则Ax = β的通解为(A) k = l,c = 4(B) IC = ^C =-4⑷-2/(0)(B) -/'(O) (C) /(O) (D) 0(C) (D)(A) I<J<K (B) I<K<J (C) J <I<K (D) K<J<I⑸ 设A 为3阶矩阵・将A 的第2列加到第1列得矩阵3.再交换B 的第2行与第31 O OU O 0,行得单位矩阵记为片=1 1 O，£ = O O 1,0 0 1’O 1 O 丿(C) P 2P 1 (D) P['P ∖(6)设人为4x3矩阵，7，J Il > “3 是非齐次线性方程组AX = 0的3个线性无关的(B) P^P I (A)砒 ,则4 =(B)t h∑211 + k2{η2-η^(C)T h；+ & (% - 帀)+ £(“2 - 7)(D)+ «2(〃2 一〃1)+ 鸟3(〃3一帀)(7)设F i(x), F2(X)为两个分布函数，其相应的概率密度f l(x), /I(X)是连续函数, 则必为概率密度的是(A)∕1U)Λ(x)(B) If2(X)FM(C) ∕1(X)F2(X)(D) f l(x)F2(x) + f2(x)F i(x)(8)设总体X服从参数2(Λ>0)的泊松分布，X P X l,..∙X,1(∕z≥2)为来自总体的简1" IilZil单随即样本，贝IJ对应的统iiS7；=-yx(., T l =——Vx1-+-X,,刃台^ H-I ⅛r IJ '(A) ET i > ET2i DT l > DT2(B) ETl > ET^DT i < DT2(C) ET x < ET2.DT x > DT1(D) ET x < ET1,DT x < DT1二、填空题：旷14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.X(9)设/(x) = IimX(I+ 3r)7,则 / (X) = __ ・∕→0X(10)设函数2 = (1 +丄)匚则^I(II= _______ ・y(11)曲线tan(x + y + -)="在点(0,0)处的切线方程为_______ ・4(12)曲线y = 直线X = I及X轴所囤成的平面图形绕X轴旋转所成的旋转体的体积 _____ .(13)设二次型/(X P X2,X3)= XΓAΛ-的秩为1, A中行元素之和为3,则/在正交变换下X = Qy的标准型为 ____ •(14)设二维随机变⅛(X,K)服从N(“,“;bSb?;。

2022年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题及参考答案一、选择题：1~10题，每小题5分，共50分.1、当0→x 时，)()(x x βα、是非零无穷小量，给出以下四个命题 ① 若)(~)(x x βα，则)(~)(22x x βα； ② 若)(~)(22x x βα，则)(~)(x x βα； ③ 若)(~)(x x βα，则))(()()(x o x x αβα=-； ④ 若))(()()(x o x x αβα=-，则)(~)(x x βα. 其中正确的序号是（ ）A ：①②；B ：①④；C ：①③④；D ：②③④. 答案：C .解析：当0→x 时，若)(~)(x x βα，则1)()(lim 0=→x x x βα，故1)()(lim )()(lim 20220=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=→→x x x x x x βαβα，即)(~)(22x x βα，且011)()()(lim0=-=-→x x x x αβα，故))(()()(x o x x αβα=-.所以①③正确.当0→x 时，)(~)(22x x βα，则1)()(lim 220=→x x x βα，此时1)()(lim 0±=→x x x βα，而1)()(lim 0-=→x x x βα时，)(x α与)(x β不是等价无穷小，故 ②不正确.当0→x 时，若))(()()(x o x x αβα=-，1)()(lim ))(()()(lim )()(lim000==-=→→→x x x o x x x x x x x αααααβα，所以)(~)(x x βα，④正确.综上，C 为选项.2 、已知),2,1()1( =--=n nn a nnn ，则}{n a （ ） A ：有最大值，有最小值； B ：有最大值，没有最小值； C ：没有最大值，有最小值； D ：没有最大值，没有最小值. 答案：A .解析：1212,1221<-=>=a a ，又1lim =∞→n n a ，故存在0>N ，当N n >时，12a a a n <<，所以}{n a 有最大值和最小值，选项A 正确.3、设函数)(t f 连续，令⎰---=y x dt t f t y x y x F 0)()(),(，则（ ）A ：2222y F x F y F x F ∂∂=∂∂∂∂=∂∂，； B ：2222y Fx F y F x F ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂，； C ：2222y F x F y F x F ∂∂=∂∂∂∂-=∂∂，； D ：2222yF x F y F x F ∂∂-=∂∂∂∂-=∂∂，. 答案：C .解析：⎰⎰⎰-----=--=y x y x y x dt t tf dt t f y x dt t f t y x y x F 0)()()()()(),(，⎰⎰--=-----+=∂∂y x y x dt t f y x f y x y x f y x dt t f x F 00)()()()()()(，)(22y x f x F -=∂∂，同理⎰⎰---=--+----=∂∂y x y x dt t f y x f y x y x f y x dt t f yF00)()()()()()(，)(22y x f y F -=∂∂， 综上2222yF x F y F x F ∂∂=∂∂∂∂-=∂∂，，选项C 正确. 4、已知⎰⎰⎰+=++=+=101031021sin 12,cos 1)1ln(,)cos 1(2dx x xI dx x x I dx x x I ，则（ ） A ：321I I I <<； B ：312I I I <<； C ：231I I I <<； D ：123I I I <<. 答案：A .解析：⎰⎰⎰+=++=+=1010310212sin 1,cos 1)1ln(,)cos 1(2dx xx I dx x x I dx x xI ，先比较21,I I 的大小，令)1,0()1ln(2)(∈+-=x x xx f ，此时0)0(=f ，此时0)1(211121)(<+-=+-='x x x x f ，即)(x f 单调递减，从而0)0()(=<f x f ，可得)1,0()1ln(2∈+x x x《，从而21I I <.再比较23,I I 的大小，因)1,0(,cos 12sin 1,)1ln(∈+<+<+x x x x x ，则2sin 1cos 1)1ln(x xxx +<++，从而23I I >.综上，可得A 正确.5、设A 为3阶矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ000010001，则A 的特征值为011，，-的充分必要条件是（ ）A ：存在可逆矩阵Q P ,，使得Q P A Λ=；B ：存在可逆矩阵P ，使得1-Λ=P P A ； C ：存在正交矩阵Q ，使得1-Λ=Q Q A ； D ：存在可逆矩阵P ，使得TP P A Λ=； 答案：B解析：3阶A 有011，，-三个不同的特征值，所以A 可以相似对角化，故存在可逆矩阵P ，使得1-Λ=P P A ；若存在可逆矩阵P ，使得1-Λ=P P A ，即A 相似与Λ，而相似矩阵具有相同的特征值，而Λ的特征值为011，，-，故A 的特征值为011，，-.因此选B . 6、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=421,1111122b b b a a A ，则线性方程组b Ax =解的情况为（ ）A ：无解； B: 有解； C:有无穷多解或无解 ； D: 有唯一解或无解； 答案：D .解析：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→31101110111141211111)|2222b b a a b b a a b A （（1）当1=a 或1=b 时，)|()(b A r A r ≠，方程无解（2）当1≠a 且1≠b 时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+→11130011110111113110111101111)|a b a b a a b b a a b A （ （i ）当b a ≠时，3)|()(==b A r A r ，方程有唯一解 （ii ）当b a =时，3)|(2)(==b A r A r ，，方程无解； 综述：方程有唯一解或无解，选D .7、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=243211,11,11,11λλαλαλαλα，若向量组321,,ααα与421,,ααα等价，则λ的取值范围（ ）A ：}1,0{ ； B:}2,|{-≠∈λλλR ；C:}2,1,|{-≠-≠∈λλλλR ； D:}1,|{-≠∈λλλR . 答案：C解析：向量组321,,ααα与421,,ααα等价的充要条件是()),,.,,(,,),,(421321421321ααααααααααααr r r ==，而),,,(),,.,,(4321421321αααααααααα，r r =()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→λλλλλλλλλλλλαααα2222431201101101111111111,,,（1）当1=λ时，()1).,,(,,),,(4321421321===ααααααααααr r r ，此时向量组等价 （2）当1≠λ时()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++---→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++→24312)1(2001110111111001101110110110111,,,λλλλλλλλλλλαααα（i ）当2-=λ时，3).,,(),,(2),,(4321421321===ααααααααααr r r ，，此时向量组不等价 （ii ）当1,2-=-≠λλ时，3).,,(2),,(3),,(4321421321===ααααααααααr r r ，，，此时向量组不等价（iii ）当1,2-≠-≠λλ时，3).,,(),,(),,(4321421321===ααααααααααr r r ，此时向量组等价 综上，当1,2-≠-≠λλ时，向量组321,,ααα与421,,ααα等价；选C8、随机变量)4,0(~N X ，随机变量⎪⎭⎫⎝⎛31,3~B Y ，且X 与Y 不相关，则=+-)13(Y X D （ ）A: 2； B: 4； C: 6； D: 10. 答案：D .解析：由题意知，0),(32)(,4)(===Y X Cov Y D X D ，； 10)(9)()3()13(=+=-=+-Y D X D Y X D Y X D ，故选D .9、设随机变量序列 ,,,21n X X X 独立同分布，且i X 的概率密度为⎩⎨⎧<-=其他11)(x xx f 则当∞→n 时，∑=n i i X n 121依概率收敛于（ ）A :81； B : 61； C: 31； D: 21. 答案：B .解析：61)1(2)1()()(1211222=-=-==⎰⎰⎰-+∞∞-dx x x dx x x dx x f x X E i ，从而∑∑====⎪⎭⎫ ⎝⎛n i i n i i X E n X n E 121261)(11，由辛钦大数定律可得，∑=n i i X n 121依概率收敛于⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=n i i X n E 121，从而选B .10、设二维随机变量),(Y X 的概率分布若事件}2},{max{==Y X A 与事件}1},{min{==Y X B 相互独立，则=),(Y X Cov （ ）A ：6.0- ； B: 36.0-； C: 0； D: 48.0. 答案：B .解析：1.0}2,1{)(,2.0)(,1.0)(=====+=Y X P AB P B P b A P ，由B A ,相互独立，故)()()(B P A P AB P =，解得4.0=b ，由分布律的性质得2.0=a ，6.0)(,2.1)(,2.0)(-==-=XY E Y E X E从而36.0)()()(),(-=-=Y E X E XY E Y X Cov ，故选B . 二、填空题：11~16题，每题5分，共30分.11、若=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→xx x e cot 021lim .答案：21e .解析：21tan 21lim21ln cot lim cot 00021lim e eeex e e x xxx x x xx ===⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→→→.12、⎰=++-2024242dx x x x .答案：333ln π-. 解析：原式⎰⎰++-+++=2022024*******dx x x dx x x x ⎰⎰++-++++=20222022)3()1(1642)42(dx x x x x x d 20202|31arctan 36|)42ln(+-++=x x x 333ln π-=.13、已知函数x xe e xf sin sin )(-+=，则=''')2(πf .答案：0.解析：方法一：x xxe xex f sin sin cos cos )(--='，x x e x x e x x x f sin 2sin 2)sin (cos )sin (cos )(-++-='',)cos sin cos 2()sin (cos cos )sin (cos cos )cos sin cos 2()(sin sin 2sin 2sin x x x eex x x e x x x e x x x x f xxxx +-++--+--='''--从而01111)2(=+--='''πf . 方法二：x xe ex f sin sin )(-+=，显然)()(sin sin x f e e x f x x=+=--，故)(x f 为偶函数，且周期π2=T ，于是)(x f '为奇函数，)(x f ''为偶函数，)(x f '''为奇函数，从而0)0(='''f ，而0)0()2(='''='''f f π.14、已知⎩⎨⎧≤≤=其他,010,)(x e x f x ，则=-⎰⎰∞+∞-∞+∞-dy x y f x f dx )()( .答案：2)1(-e .解析：记}10,10|),{(≤-≤≤≤=x y x y x D ，原式⎰⎰⎰⎰-=-=Dx y x Ddxdy e e dxdy x y f x f )()(，2111)1()1(-=-==⎰⎰⎰+-e dy e e dy edx e x x xxy x.15、设A 为3阶矩阵，交换A 的第2行和第3行，再将第2列的1-倍加到第一列，得到矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=001011112B ，则1-A 的迹=-)(1A tr .答案：-1.解析：令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100011001,010********P P ，则B AP P =21 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==--0100011111000110010010111120101000011211BP P A 0)1)(1(1011112=++-=-------=-λλλλλλE A ，解得i i -==-=321,,1λλλ 故1-A 的特征值为i i =-=-=321,,1λλλ，从而1)(1-=-A tr16、设C B A ,,为随机事件，且A 与B 互不相容，A 与C 互不相容，B 与C 相互独立，31)()()(===C P B P A P ，则=)|(C B A C B P .答案：85. 解析：()C B A P C B P C B A C B P )()|(=()98)()())(()()(95)()()()()()()()(=+=-+==-+=-+=C B P A P C B A P C B P A P C B A P C P B P C P B P BC P C P B P C B P从而85)|(=C B A C B P . 三、解答题：17~22小题，共94分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17、（本题满分10分）设函数)(x y 是微分方程x y xy +=+'221满足条件3)1(=y 的解，求曲线)(x y y =的渐近线.解：])2([)(2121C dx ex ex y dxxdxx+⎰+⎰=⎰-])2([C dx e x e x x ++=⎰-]2[C xee xx +=-xCe x -+=2，其中C 为任意常数，又3)1(=y ，得e C =，即xe x x y -+=12)(.22limlim 1=+==-+∞→+∞→xe x x y a xx x ，0lim )2(lim 1==-=-+∞→+∞→xx x e x y b ，故x y 2=为曲线)(x y y =的斜渐近线.18、（本题满分12分）设某产品的产量Q 由资本投入量x 和劳动投入量y 决定，生产函数为612112y x Q =，该产品的销售单价P 与Q 的关系为Q P 5.11160-=，若单位资本投入量和单位蓝洞投入量的价格分别为6和8，求利润最大时的产量.解：利润y x xy y x y x Q Q y x PQ L 862161392086)6.11160(86316121---=---=--=令⎪⎩⎪⎨⎧=--=--='=--=--='--------08)722320(872232006)722320(362166960612132326521612131316121y x xy xy y x L y x y y y x L yx，得驻点)64,256(， 此时38464256126=⨯⨯=Q ，在实际问题中由于驻点唯一，故利润L 在384=Q 处取到最大值. 19、（本题满分12分）已知平面区域}20,42|),{(2≤≤-≤≤-=y y x y y x D ，计算⎰⎰+-=Ddxdy y x y x I 222)(. 解：⎰⎰⎰⎰⎰⎰--+-=+-=ππϕϕπρρϕϕϕρρϕϕϕ2cos sin 20220202222)sin (cos )sin (cos )(d d d d dxdy y x y x I D⎰⎰+-=πππϕϕϕϕ2202)cos sin 21(2d d 22)12(2|)sin (2202-=+-=+-=ππππϕϕπ. 20、（本题满分12分）求幂级数∑∞=++-02)12(41)4(n nnn x n 的收敛域及和函数)(x S . 解：1)12(41)4()32(41)4(lim 22211n <++-++-+++∞→nnn n n n x n xn ，解得1||<x ，从而1=R ，收敛区间)1,1(-，当1±=x 时，∑∞=++-0)12(41)4(n nn n 收敛，故收敛域为]1,1[-. 当]1,1[-∈x ，令∑∑∞=∞=+++-=012)12(412)1()(n n n nn n n x x n x S ， 令∑∑∞=+∞=≠+-=+-=0120210,12)1(112)1()(n n n n n n x n x x n x x S ，此时∑∑∞=∞=++=-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-02201211)1(12)1(n nn n n n x x n x ，x dx x n x x n n n arctan 1112)1(0202=+=+-⎰∑∞=，故0,arctan 1)(1≠=x x xx S .∑∑∞=+∞=≠+=+=0120220,1241)12(4)(n n n n n n x n x x n x x S ）（，此时2202012444114124x x x n x n n nn n n -=-=='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∑∞=∞=+）（，0,22ln 4412402012≠-+=-=+⎰∑∞=+x x x dx x n x x n n n ）（，故0,22ln 1)(2≠-+=x xx x x S .0=x 时，2)0(=S .综上当]1,1[-∈x ，⎪⎩⎪⎨⎧=-∈-++=0,2]1,0)0,1[,22ln1arctan 1)(x x xx x x x x S （ . 21、（本题满分12分）已知二次型312322213212343),,(x x x x x x x x f +++=，（1）求正交变换Qy x =将),,(321x x x f 化为标准形； （2）证明：2)(min=≠xx x f T x . 解：（1）二次型对应矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=301040103A ，0)2()4(3010401032=---=---=-λλλλλλE A ，解得4,2321===λλλ21=λ对应特征向量满足0)2(=-x E A ，解得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1011ξ432==λλ对应特征向量满足0)4(=-x E A ，解得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0102ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1013ξ321,,ξξξ已经两两正交，单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=22022,010,22022321ηηη，故存在正交矩阵),,(321ηηη=Q ，当Qy x =时232221321442),,(y y y y y y f ++=.（2）2322212322232221232221222442)()()(y y y y y y y y y y y y y y f Qy Q y y f x x x f T T T Qy x T ++++=++++==== 当0≠x 时，由Qy x =得0≠y ，当0,0132≠==y y y 时，2322212322222y y y y y ++++的最小值为2，故2)(min=≠xx x f Tx . 22、（本题12分）设n X X X ,,,21 为来自均值为θ的指数分布总体X 的简单随机样本，m Y Y Y ,,,21 为来自均值为θ2的指数分布总体Y 的简单随机样本，且两样本相互独立，其中)0(>θθ是未知参数，利用样本n X X X ,,,21 ，m Y Y Y ,,,21 ，求θ的最大似然估计量θˆ，并求)ˆ(θD . 解：由题知：总体Y X ,的概率密度为,0021)(,0001)(2⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>=--y y ey f x x ex f y YxX θθθθ令θθθθθθθθθ21211111121211),(),(∑∑=⋅=⋅===--+=-=-==∏∏∏∏mj j ni ij iy x n m m mj y ni x m j j Y ni i Xee e ey f x fLθθθ2ln )(2ln ln 11∑∑==--+--=mj jni i yx n m m L02ln 2121=+++-=∑∑==θθθθmj jni i yx n m d L d 解得⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=∑∑==m j j n i i y x n m 11211ˆθ故θ的最大似然估计量⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=∑∑==m j j n i i Y X n m 11211ˆθ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=∑∑∑∑====m j j n i i m j j n i i Y D X D n m Y X n m D D 11211)(41)()(1211)ˆ(θ⎪⎭⎫ ⎝⎛++=)(4)()(12j i Y D m X nD n m 而224)(,)(θθ==j i Y D X D ，从而n m m n n m D +=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++=222244)(1)ˆ(θθθθ。