九年级数学下册高频考点专训3.4确定圆的条件同步练习

北师大版九年级数学下册第三章圆3.5.2：确定圆的条件同步练习一、选择题1、下列命题为真命题的是（）A．平面内任意三点确定一个圆B．五边形的内角和为540°C．如果a＞b，则ac2＞bc2D．如果两条直线被第三条直线所截，那么所截得的同位角相等2、下列叙述正确的是（）A．三点确定一个圆B．对角线相等的四边形为矩形C．顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等3、如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）A．点P B．点Q C．点R D．点M4、如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，4）、（5，4）、（1，﹣2），则△ABC外接圆的圆心坐标是（）A．（2，3）B．（3，2）C．（1，3）D．（3，1）5、如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=21，BC=20．若有一半径为10的圆分别与AB、BC相切，则下列何种方法可找到此圆的圆心（）A．∠B的角平分线与AC的交点B．AB的中垂线与BC中垂线的交点C．∠B的角平分线与AB中垂线的交点D．∠B的角平分线与BC中垂线的交点6、小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块B．第②块C．第③块D．第④块7、如图，设AD，BE，CF为三角形ABC的三条高，若AB=6，BC=5，EF=3，则线段BE 的长为（）A．B．4C．D．二、填空题8、正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定个不同的圆．9、如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为．10、平面直角坐标系中，点A（2，9）、B（2，3）、C（3，2）、D（9，2）在⊙P上．（1）在图中清晰标出点P的位置；（2）点P的坐标是．11、在△AOB中，AB=OB=2，△COD中，CD=OC=3，∠ABO=∠DCO．连接AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点．①若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO=2α，则=（用含有α的式子表示）；②固定△AOB，将△COD绕点O旋转，PM最大值为．三、解答题12、如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB=24cm，CD=8cm．（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求（1）中所作圆的半径．13、已知：如图，在△ABC中，点D是∠BAC的角平分线上一点，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E．求证：点E是过A，B，D三点的圆的圆心．14、如图，AB为⊙0的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA与⊙の的另一个交点为E，连接AC，CE(1)求证:∠B＝∠D(2)若AB＝4，BC-AC＝2，求CE的长.15、如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．（1）求证：BD=CD；（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．16、如图，在▱ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD．（1）求证：A、E、C、F四点共圆；（2）设线段BD与（1）中的圆交于M、N．求证：BM=ND．17、如图，点A，B，D，C在⊙0上，AD平分∠BAC，交BC于点E.(1)求证:BD＝CD;(2)求证:DC2＝DE・DA(3)若3，AE＝4，求DE的长。

2023年中考数学高频考点专题训练--圆的综合题1．已知：△ABC内接于△O，直径AM平分△BAC．（1）如图1，求证AB＝AC；（2）如图2，弦FG分别交AB、AC于点D、E，AE＝BD，当△ADE+△DEC＝90°时，连接CD，直径AM分别交DE、CD、BC于N、H、R，若CD△AB，求证：△NDC＝△ACB；（3）在（2）的条件下，若DE长为√2，求△ACH的面积．2．在平面直角坐标系xOy中，对于点P，Q和图形G，给出如下定义：若图形G上存在一点C，使△PQC＝90°，则称点Q为点P关于图形G的一个“直角联络点”，称Rt△PCQ为其对应的“联络三角形”．如图为点P关于图形G的一个“直角联络点”及其对应的“联络三角形”的示例．（1）已知点A（4，0），B（4，4）①在点Q1（2，2），Q2（4，﹣1）中，点O关于点A的“直角联络点”是；②点E的坐标为（2，m），若点E是点O关于线段AB的“直角联络点”，直接写出m的取值范围；（2）△T的圆心为（t，0），半径为√10，直线y＝﹣x+2与x，y轴分别交于H，K两点，若在△T上存在一点P，使得点P关于△T的一个“直角联络点”在线段HK 上，且其对应的“联络三角形”是底边长为2的等腰三角形，直接写出t的取值范围．3．对于平面直角坐标系xOy中的点P和△C，给出如下定义：若△C上存在一个点M，使得PM = MC，则称点P为△C的“等径点”．已知点D (12，13)，E(0，2√3)，F (−2，0)．（1）当△O的半径为1时，①在点D，E，F中，△O的“等径点”是；②作直线EF，若直线EF上的点T（m，n）是△O的“等径点”，求m的取值范围．（2）过点E作EG△EF交x轴于点G，若△EFG上的所有点都是某个圆的“等径点”，求这个圆的半径r的取值范围．4．问题背景：如图①，在四边形ADBC中，△ACB=△ADB=90°，AD=BD，探究线段AC，BC，CD之间的数量关系．小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，点B，C分别落在点A，E处（如图②），易证点C，A，E在同一条直线上，并且△CDE 是等腰直角三角形，所以CE= √2CD，从而得出结论：AC+BC= √2CD．简单应用：（1）在图①中，若AC= √2，BC=2 √2，则CD=．（2）如图③，AB是△O的直径，点C、D在△上，AD̂= BD̂，若AB=13，BC=12，求CD的长．拓展规律：（3）如图④，△ACB=△ADB=90°，AD=BD，若AC=m，BC=n（m＜n），求CD 的长（用含m，n的代数式表示）（4）如图⑤，△ACB=90°，AC=BC，点P为AB的中点，若点E满足AE= 1 3AC，CE=CA，点Q为AE的中点，则线段PQ与AC的数量关系是．5．如图，等边三角形ABC中，AB= 2√3，AH△BC于点H，过点B作BD△AB交线段AH的延长线于点D，连结CD. 点E为线段AD上一点(不与点A，D重合)，过点E作EF△AB交BC于点F，以EF为直径作△O. 设AE的长为x.（1）求线段CD的长度.（2）当点E在线段AH上时，用含x的代数式表示EF的长度.（3）当△O与四边形ABDC的一边所在直线相切时，求所有满足条件的x的值. 6．如图1，⊙O是ΔABC的外接圆，AB是直径，D是⊙O外一点且满足∠DCA=∠B，连接AD.（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD⊥CD，AB=8，AD=6，求AC的长；（3）如图2，当∠DAB=45°时，AD与⊙O交于E点，试写出AC、EC、BC 之间的数量关系并证明.7．问题探究（1）如图1，在△ABC中，BC=8，D为BC上一点，AD=6，则△ABC面积的最大值是。

初三数学同步练习：确定圆的条件课堂练习：1.过一点可以作条直线;2.过不相同的两点可以作条直线;3.过一点可以作个圆;4.过不相同的两点可以作个圆，这些圆的圆心所在的地址有什么特点 ?5.下面有不在同一条直线上的三点 A ，B ，C，同时过这三点能作多少个圆 ?试着用尺规作图作一下。

结论：6.分别作出下面三类三角形的外接圆，并说出它们的外心的地址有什么特点。

7.一个 Rt△ ABC, 两条直角边分别为3，4 则，它外接圆的半径为8.请用尺规作图的方法找出以下图的圆心。

晚间训练：1.如图，点 A 、B、C 表示三个农村，现要建一座深水井泵站，向三个农村分别送水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在哪处 ?请画出图，并说明原由.2..以下图是一个圆形物体的碎片，请用尺规作图的方法找出其圆心，并把这个圆复原。

3.已知线段 AB=2cm ，以 1.5cm 的长为半径作圆，使得它经过点 A 和点 B，这样的圆能作出几个?并把它们画出来。

4.如图， AB 是⊙ O 的直径，弦 CDAB 于点 M, AM = 2 ，BM=8，求 CD 的长度。

5、如图是一个装有水的水管的截面，已知水管的直径是100cm，装有水的液面宽度为AB=60cm ，则水管中水的最大深度为多少 ?6、如图 AB 是⊙ O 的直径，弦 CD 垂直 AB 于 P，若 AP =5cm ，CD=12cm ，求半径的长。

宋今后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称号皆称之为“教谕”。

至元明清之县学一律循之不变。

明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。

到清末，学堂流行，各科教师仍沿用“教习” 一称。

其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。

而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。

“教授”“学正”和“教谕”的帮手一律称“训导”。

于民间，特别是汉代今后，对于在“校”或“学”中教授经学者也称为“经师”。

在一些特定的讲学场合，比方书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。

《确定圆的条件》同步练习1 一、选择题 1．若△ABC 的外接圆的圆心在△ABC 的外部，则△ABC 是 ( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定2．可以作圆且只可以作一个圆的条件是 ( )A ．已知圆心B ．已知半径C ．过三个已知点D ．过不在同一条直线上的三个点3．半径为R 的圆内接正三角形的面积是 ( )A ．232RB ． πR 2C ．2332RD ．2334R 4．如图3－81所示，△ABC 内接于⊙O ，∠C ＝45°．AB ＝4，则⊙O 的半径为 ( )A ．22B ．4C ．23D ．55．（2014•山西，第8题3分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，连接OA 、OB ，∠OBA=50°，则∠C 的度数为（ ）A ． 30°B． 40°C． 50°D．80°6. （2014•丽水，第9题3分）如图，半径为5的⊙A 中，弦BC ，ED 所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD．已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC 的弦心距等于（ ）A ．B ．C ． 4D ．3二、填空题7．等腰三角形ABC内接于半径为5 cm的⊙O，若底边BC＝8 cm，则△ABC的面积是．8．若等边三角形的边长为4 cm，则它的外接圆的面积为．9．已知Rt△ABC的两条直角边长为a和b，且a，b是方程x2－3x＋1＝0的两根，则Rt△ABC的外接圆面积为．10. （2014•黑龙江龙东,第6题3分）直径为10cm的⊙O中，弦AB=5cm，则弦AB所对的圆周角是30°或150°．11. （2014•湖南衡阳,第17题3分）如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=25°，∠BAD的度数为65°．三、作图与解答题12．如图3－82所示，已知两点A，B及直线l，求作经过A，B两点，且圆心在直线l的圆．13．先阅读，再解答．我们在判断点(－7，20)是否在直线y＝2x＋6上时，常用的方法是：把x＝－7代入y ＝2x＋6中，由2×(－7)＋6＝－8≠20，判断出点(－7，20)不在直线y＝2x＋6上．小明由此方法并根据“两点确定一条直线”，推断出点A(1，2)，B(3，4)，C(－1，6)三点可以确定一个圆，你认为他的推断正确吗?请你利用上述方法说明理由．14．如图3－83所示，等腰三角形ABC内接于半径为5的⊙O中，AB＝AC，且tan B＝13．(1)求BC的长；(2)求AB边上的高．【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。

《确定圆的条件》分层练习◆基础题1．给出下列四个结论,其中正确的结论为( ）A．三点确定一个圆B．同圆中直径是最长的弦C．圆周角是圆心角的一半D．长度相等的弧是等弧2．给定下列图形可以确定一个圆的是（）A．已知圆心B．已知半径C．已知直径D．不在同一直线上的三个点3．下列命题正确的个数有（）①过两点可以作无数个圆；②经过三点一定可以作圆；③任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆；④任意一个圆有且只有一个内接三角形．A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，⊙O是△ABC的外接圆,∠BOC=120°,则∠BAC的度数是（）A．120°B．80°C．60°D．30°5．过四边形的任意三个顶点能画圆的个数最多为个．6．平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0,﹣3)、C（2,﹣3）确定一个圆（填“能"或“不能”)．7．如图△ABC中外接圆的圆心坐标是．8．直角三角形的两直角边长分别为8和6,则此三角形的外接圆半径是．9．如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB=24cm，CD=8cm．（1）求作此残片所在的圆(不写作法，保留作图痕迹)；(2）求（1)中所作圆的半径．10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在△ABC的高CD 上,点E、F分别是边AC和BC的中点，请你判断四边形CEDF的形状，并说明理由．◆能力题1．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了,其中四块碎片如图所示,为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是( ）A．第一块B．第二块C．第三块D．第四块2．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1,0),点B的坐标是（3，0），在y轴的正半轴上取一点C，使A、B、C三点确定一个圆，且使AB为圆的直径,则点C的坐标是（)A．(0，3）B．(3，0) C．(0，2）D．（2，0）3．如图，已知点平面直角坐标系内三点A（3，0)、B（5,0）、C （0，4）,⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为( ）A．(6,8）B．（4,5）C．（4，318) D．（4，338）4．若A（1，2），B(3，﹣3），C（x，y）三点可以确定一个圆,则x、y需要满足的条件是．5．已知直线l：y=x﹣4，点A（0，2），点B（2，0），设点P 为直线l上一动点，当P的坐标为时，过P，A，B三点不能作出一个圆．6．等边三角形的边长为4厘米,它的外接圆的面积为平方厘米．7．如图所示，BD，CE是△ABC的高,求证:E,B，C，D四点在同一个圆上．8．如图，AD为△ABC外接圆的直径,AD⊥BC,垂足为点F,∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD,CD．（1）求证：BD=CD;（2)请判断B,E，C三点是否在以D为圆心,以DB为半径的圆上?并说明理由．◆提升题1．△ABC的三边长分别为6、8、10，则其外接圆的半径是（) A．3 B．4 C．5 D．102．如图，O是△ABC的外心，OD⊥BC,OE⊥AC，OF⊥AB，则OD：OE：OF=（)C．cosA:cosB:cosC D．sinA：sinB:sinC A．a:b:c B．111::a b c3．如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0,2），∠OCB=60°,∠COB=45°，则OC= ．4．我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆．若在△ABC中，AB=5,AC=3,BC=4，则△ABC的最小覆盖圆的半径是;若在△ABC中，AB=AC,BC=6,∠BAC=120°，则△ABC的最小覆盖圆的半径是．5．已知:如图，在△ABC中，点D是∠BAC的角平分线上一点,BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E．求证：点E是过A，B，D三点的圆的圆心．6．如图,四边形ABCD为圆内接四边形,对角线AC、BD交于点E，延长DA、CB交于点F，且∠CAD=60°，DC=DE．求证:(1）AB=AF;（2）A为△BEF的外心（即△BEF外接圆的圆心）．答案和解析◆基础题1．【答案】B解:A、错误，不在同一直线上的三点确定一个圆；B、正确;C、错误，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半;D、错误，能够重合的弧是等弧．2．【答案】D解：A、已知圆心只能确定圆的位置不能确定圆的大小，故错误；B、C、已知圆的半径和直径只能确定圆的大小并不能确定圆的位置,故错误；D、不在同一直线上的三点确定一个圆,故正确．3．【答案】B解：①过两点可以作无数个圆，正确;②经过三点一定可以作圆,错误；③任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆，正确;④任意一个圆有且只有一个内接三角形,错误,正确的有2个．4．【答案】C解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC=120°，∴∠BAC=1∠2 BOC=1×120°=60°．25．【答案】4解：过四边形的任意三个顶点能画圆的个数最多4个．6．【答案】能解：∵B（0,﹣3）、C（2,﹣3）,∴BC∥x轴，而点A（1，0）在x轴上,∴点A、B、C不共线,∴三个点A（1，0)、B（0,﹣3)、C（2，﹣3）能确定一个圆．7．【答案】(6，2）解：分别做三角形的三边的垂直平分线,可知相交于点（6，2），即△ABC中外接圆的圆心坐标是（6,2)．8．【答案】5解:如图，∵AC=8，BC=6,∴AB=22=10，∴外接圆半径为5．689．解：（1)作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O 点,以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆，如图．（2）连接OA,设OA=x，AD=12cm，OD=（x﹣8）cm,则根据勾股定理列方程：x2=122+（x﹣8)2，解得：x=13．答：圆的半径为13cm．10．解：四边形CEDF为菱形．证明：∵AB为弦，CD为直径所在的直线且AB⊥CD，∴AD=BD,又∵CD=CD，∴△CAD≌△CBD，∴AC=BC；又∵E，F分别为AC，BC的中点，D为AB中点，∴DF=CE=12AC，DE=CF=12BC，∴DE=DF=CE=CF，∴四边形CEDF为菱形．◆能力题1．【答案】A解:第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦,作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．2．【答案】A解：如图，连结AC,CB．依相交弦定理的推论可得：OC2=OA•OB，即OC2=1×3=3，解得：OC=3或﹣3（负数舍去），故C点的坐标为(0,3）．3．【答案】C解:∵⊙P 经过点A 、B 、C ，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上,∴点P 的横坐标为4，设点P 的坐标为（4,y )，作PE ⊥OB 于E ,PF ⊥OC 与F ，由题意,得()2222441y y +-=+，解得，y =318．4．【答案】5x +2y ≠9解：设直线AB 的解析式为y =kx +b ，∵A （1，2),B （3，﹣3)，∴2k b +=,33k b +=-，解得：k =﹣52，b =92，∴直线AB 的解析式为y =﹣52x +92，∵点A （1，2）,B （3，﹣3）,C （x ,y )三点可以确定一个圆时,∴点C 不在直线AB 上,∴5x +2y ≠9．5．【答案】(3，﹣1）解：设直线AB 的解析式为y =kx +b ,∵A （0，2）,点B （2,0），∴220b k b =⎧⎨+=⎩，解得21b k =⎧⎨=-⎩,∴y =﹣x +2．解方程组24y x y x =-+⎧⎨=-⎩，得31x y =⎧⎨=-⎩，∴当P 的坐标为（3，﹣1）时，过P ,A ，B 三点不能作出一个圆．6．【答案】163π 解：∵等边三角形的边长为4厘米，OD ⊥AB ，∴AD =2厘米,又∵∠DAO=12∠BAC=60°×12=30°，∴AO=cos30AD︒=433，∴S=π×（433）2=163π平方厘米．7．证明：如图所示，取BC的中点F,连接DF，EF．∵BD,CE 是△ABC的高，∴△BCD和△BCE都是直角三角形．∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线,∴DF=EF=BF=CF．∴E,B，C,D四点在以F点为圆心，12BC为半径的圆上．8．（1）证明：∵AD为直径，AD⊥BC,∴由垂径定理得：BD CD=，∴根据圆心角、弧、弦之间的关系得:BD=CD．（2）解:B，E，C三点在以D为圆心,以DB为半径的圆上．理由：由（1)知：BD CD=，∴∠1=∠2,又∵∠2=∠3，∴∠1=∠3,∴∠DBE=∠3+∠4，∠DEB=∠1+∠5,∵BE是∠ABC的平分线，∴∠4=∠5，∴∠DBE=∠DEB，∴DB=DE．由(1)知：BD=CD,∴DB=DE=DC．∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．◆提升题1．【答案】C解:∵62+82=102，∴△ABC为直角三角形，∴△ABC的外接圆的半径=5．2．【答案】C解:如图，连接OA、OB、OC;∵∠BOC=2∠BAC=2∠BOD，∴∠BAC=∠BOD；同理可得：∠BOF=∠BCA，∠AOE=∠ABC；设⊙O的半径为R，则:OD=R•cos∠BOD=R•cos∠BAC，OE=R•cos∠AOE=R•cos∠ABC，OF=R•cos∠BOF=R•cos∠ACB,故OD：OE:OF=cos∠BAC：cos∠ABC:cos∠ACB．3．【答案】1+3解:连接AB，则AB为⊙M的直径．Rt△ABO中，∠BAO=∠OCB=60°，∴OB=3OA=3×2=6．过B作BD⊥OC于D．Rt△OBD中，∠COB=45°,则OD=BD=22OB=3．Rt△BCD中，∠OCB=60°,则CD=33BD=1．∴OC=CD+OD=1+3．4．【答案】2.5；3解：如图1，要求△ABC的最小覆盖圆的半径,即求其外接圆的半径．∵AB=5，AC=3，BC=4．∴△ABC是直角三角形．∴其外接圆的半径，即为斜边的一半,是2.5；如图2,△ABC的最小覆盖圆的半径是BC边的一半,即12×6=3．5．证明:∵点D在∠BAC的平分线上，∴∠1=∠2．又∵DE∥AC，∴∠2=∠3,∴∠1=∠3．∴AE=DE．又∵BD⊥AD于点D，∴∠ADB=90°．∴∠EBD+∠1=∠EDB+∠3=90°．∴∠EBD=∠EDB．∴BE=DE．∴AE=BE=DE．∵过A，B，D三点确定一圆,又∠ADB=90°，∴AB是A，B，D所在的圆的直径．∴点E是A，B，D所在的圆的圆心．6．证明：（1）∠ABF=∠ADC=120°﹣∠ACD=120°﹣∠DEC=120°﹣(60°+∠ADE)=60°﹣∠ADE，而∠F=60°﹣∠ACF,因为∠ACF=∠ADE,所以∠ABF=∠F，所以AB=AF．（2）四边形ABCD内接于圆,所以∠ABD=∠ACD,又DE=DC,所以∠DCE=∠DEC=∠AEB,所以∠ABD=∠AEB，所以AB=AE．∵AB=AF，∴AB=AF=AE，即A是三角形BEF的外心．。

《确定圆的条件》同步练习◆选择题1.下列命题中，正确的是（）A．平面上三个点确定一个圆B．等弧所对的圆周角相等C．平分弦的直径垂直于这条弦D．与某圆一条半径垂直的直线是该圆的切线2.下列说法错误的是（）A．直径是弦B．最长的弦是直径C．垂直弦的直径平分弦D．经过三点可以确定一个圆3.下列命题中的假命题是（）A．三点确定一个圆B．三角形的内心到三角形各边的距离都相等C．同圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等D．同圆中，相等的弧所对的弦相等4.如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，4）、（5，4）、（1，-2），则△ABC外接圆的圆心坐标是（）A．（2，3）B．（3，2）C．（1，3）D．（3，1）5.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块B．第②块C．第③块D．第④块6.到三角形各顶点的距离相等的点是三角形（）A．三边的垂直平分线的交点B．三条高的交点C．三条角平分线的交点D．三条中线的交点7.小红的衣服被铁钉划了一个呈直角三角形的洞，其中三角形的两边长分别为1cm和2cm，若用同色圆形布将此洞全部覆盖，那么这块圆布的直径最小应等于（）A．2cm B．3cm C．2cm或3cm D．2cm或5cm8.下列说法中错误的是（）A．三角形的外心不一定在三角形的外部B．圆的两条非直径的弦不可能互相平分C．两个三角形可能有公共的外心D．任何梯形都没有外接圆9.如图，已知△ABC的外接圆⊙O的半径为1，D，E分别为AB，AC的中点，则sin∠BAC 的值等于线段（）A．BC的长B．DE的长C．AD的长D．AE的长10.如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AC=5，DC=3，AB=42，则⊙O的直径AE=（）A．52B．5 C．42D．3211.如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OC，⊙O的半径R=2，sinB=34，则弦AC的长为（）A．3 B．C．D．。

C BA A CB AC B 5 确定圆的条件【基础练习】一、 填空题：1. 经过一点可以作 个圆，经过两点可以作 个圆，经过不在同一条直线上的三个点 个圆；2. 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的 ，这个圆的圆心是三角形三条边的 的交点，叫做三角形的 ，它到三角形 的距离相等；3. 锐角三角形的外心位于 ，直角三角形的外心位于 ，钝角三角形的外心位于 .二、选择题：1. 下列说法正确的是（ ）；A. 三点确定一个圆B. 任何一个三角形有且只有一个外接圆C. 任何一个四边形都有一个外接圆D. 等腰三角形的外心一定在三角形内部2. 若等边三角形的边长为2 cm ，则其外接圆的半径等于（ ）； A. 33cm B. 332cm C. 23cm D. 3cm3. 在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AC = 20 cm ，BC = 21 cm ，则它的外心与顶点C的距离等于（ ）.A. 13 cmB. 13.5 cmC. 14 cmD. 14.5 cm三、解答题：1. 请画出下列各三角形的外接圆.2. 已知三角形的三边长分别为22cm ，23cm ，25cm ，求它的外接圆半径.【综合练习】如图3-22，已知：⊙O 是△ABC 的外接圆，∠ACB = 90°，弦CD 平分∠ACB ，交AB 于E ，连接AD 、BD .（1）写出图中所有的相似三角形；（2）求CD BC AC 的值； （3）若AD = 5 cm ，求⊙O 的直径.O图3-22DEB A C参考答案【基础练习】一、1.无数，无数，只可以作一；2.外接圆，垂直平分线，外心，三个顶点；3.三角形内部，斜边的中点，三角形外部.二、1. B； 2. B； 3. D.三、1.略. 2.5cm.【综合练习】（1）△ACE∽△DBE∽△DCB，△BCE∽△DAE∽△DCA；（2）2；（3）52cm.。

3.5 确定圆的条件1．下列给定的三点能确定一个圆的是()A．线段AB的中点C及两个端点B．角的顶点及角的边上的两点C．三角形的三个顶点D．矩形的对角线交点及两个顶点2．对于三角形的外心，下列说法错误的是()A．它到三角形三个顶点的距离相等B．它是三角形外接圆的圆心C．它是三角形三条边垂直平分线的交点D．它一定在三角形的外部3．A，B，C为平面上的三点，AB＝2，BC＝3，AC＝5，则()A．可以画一个圆，使A，B，C都在圆周上B．可以画一个圆，使A，B在圆周上，C在圆内C．可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆外D．可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆内4．已知⊙O是△ABC的外接圆，若AB＝AC＝5，BC＝6，则⊙O的半径为() A．4 B．3.25 C．3.125 D．2.255．正三角形的外接圆的半径和高的比为()A．1∶2 B．2∶3 C．3∶4 D．1∶ 36．已知△ABC的三边长分别为6cm，8cm，10cm，则这个三角形的外接圆的面积为__________cm2.(结果用含π的代数式表示)7．已知△ABC的一边长为10，另两边长分别是方程x2－14x＋48＝0的两个根，若用一圆形纸片将此三角形完全覆盖，则该圆形纸片的最小半径是__________．8．如图，网格的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都在格点上，那么△AB C的外接圆半径是______．9．如图，是一个破损的机器部件，它的残留边缘是圆弧，请作图找出圆心(用尺规作图，保留作图痕迹，写出作法，不用证明)．10．如图，已知等腰△ABC ，AB ＝AC ＝8，∠BAC ＝120°，请用圆规和直尺作出△ABC 的外接圆．并计算此外接圆的半径．11．“不在同一直线上的三点确定一个圆”．请你判断平面直角坐标系内的三个点A(2，3)，B(－3，－7)，C(5，11)是否可以确定一个圆．北师大版九年级数学上册期中测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是 A.1 B.12C.13D.142. 关于方程x 2-2＝0的理解错误的是A.这个方程是一元二次方程B.方2 乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..C.这个方程可以化成一元二次方程的一般形式D.这个方程可以用公式法求解 3.下列说法正确的个数是①菱形的对角线相等 ②对角线互相垂直的四边形是菱形;③有两个角是直角的四边形是矩形 ④正方形既是菱形又是矩形⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分 A.1 B.2 C.3 D.4 4.方程x 2-3x+6＝0的根的情况是A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定5.如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果.下面有三个推断:①某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则“钉尖向上”的频率是0.616;②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618;③若再次用计算机模拟试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上＂”的频率一定是0.620.其中合理的是乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..A.①②B.②③C.①③D.①②③ 6.将一张正方形纸片按如图所示步骤①②沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是7.现有三张质地大小完全相同的卡片，上面分别标有数字-2，-1，1，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张卡片，记下数字后放回，洗匀，再任意抽取一张卡片，则第一次抽取的卡片上的数字大于第二次抽取的卡片上的数字的概率是A.23B.12C.13D.498.如图，在菱形ABCD 中，AB ＝13，对角线AC ＝10，若过点A 作AE ⊥BC 垂足为E ，则AE 的长为 A.8 B.6013 C.12013 D.24013乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..9.如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM ∥AB 交AD 于点M ，若OM ＝3，BC ＝10，则OB 的长为 A.5 B.4 C.342D.3410.如图，已知正方形ABCD 的边长为12，BE ＝EC ，将正方形的边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于G ，连接DG ，现在有如下4个结论:①△ADG ≌△FDG:②GB ＝2AG:③3∠GDE ＝45°④S △BEF ＝725,在以上4个结论中，正确的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分) 11.将分别标有“柠”“檬”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球不放回，再随机摸出球，两次摸出的球上的汉字能组成“柠幪”的概率是________.12.如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝2∠A ，若对角线BD ＝3，乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..则菱形ABCD的周长为________.13.桌上放有完全相同的三张卡片，卡片上分别标有数字2，1，4，随机摸出一张卡片(不放回)，其数字记为P，再随机摸出一张卡片，其数字记为q，则关于的方程x2+px+q＝0有实数根的概率是________.14.某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下:由此可以估计油菜籽发芽的概率约为________.(精确到0.1)15.一个两位数，十位数字比个位数字大3，而这两个数字之积等于这个两位数的27，若设个位数字为x ，则列出的方程为________.16.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分別在AD ，DC 上，AE ＝DF ＝1，BE 与AF 相交于点G ，点为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为________.三、解答题(本题共7小题，共66分) 17.(8分)解方程:(1)2x 2-4x+1＝0 (2)(x+8)(x+1)＝-1218.(8分)甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A 、B 分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示.游戏规定:转动两个转盘停止后，指针必须指到某数字，否则重转(1)请用画树状图法或列表法列出所有可能的结果;乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..(2)若指针所指的两个数字都是方程x2-5x+6＝0的解，则甲获胜若指针所指的两个数字都不是方程x2-5x+6＝0的解，则乙获胜.问他们两人谁获胜的概率大?请分析说明19.(10分)某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件村衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件. (1)若商场平均每天要盈利1200元，且让顺客尽可能多得实惠，则每件衬衫应降价多少元?(2)商场平均每天可能盈利1700元吗?请说明理由.20.(10分)如图，矩形ABCD 中AB ＝3，BC ＝2，过对角线BD 的中点O 的直线分別交AB 、CD 边于点E 、F.乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..(1)求证:四边形BEDF 是平行四边形; (2)当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长.21.(10分)如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，另三边用竹篱笆園成，篱笆总长33米，墙对面有一个2米宽的门，国成长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙.求:(1)若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米?(2)能围成面积为200平方米的鸡场吗?22.(10分)某茶叶专卖店经销一种日照绿茶，每千克成本80元，据销售人员调查发现，每月的销售量(千克)与销售单价x(元/千克)之间存在如图所示的变化规律. (1)求每月销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式; (2)若某月该茶叶专卖店销售这种绿茶获得利润1350元，乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..试求该月茶叶的销售单价x.23.(10分)如图①，将一张矩形纸片ABCD 沿着对角线BD向上折叠，顶点C 落到点E 处，BE 交AD 于点F.(1)求证:△BDF 是等腰三角形;(2)如图②，过点D 作DG ∥BE ，交BC 于点G ，连接FC 交BD 于点O①判断四边形BFDC 的形状，并说明理由;②若AB ＝6，AD ＝8，求FG 的长.乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..。

北师大版九年级数学下册课时同步练习-3.4确定圆的条件（2）附答案一、判断题1．钝角三角形的外心在三角形的外部．( )2．锐角三角形的外心在三角形的内部．( )二、选择题1．有一个三角形的外接圆的圆心在它的某一边上则这个三角形一定是_____________．[ ]A．等边三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形2．三角形外心具有的性质是 _____________．[ ]A．到三个顶点距离相等B．到三边距离相等C．外心必在三角形外D．到顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍3．可以作圆,且只可以作一个圆的条件是 _____________．[ ]A．已知圆心 B．已知半径C．过三个已知点 D．过不在一直线上的三点4．下列命题中,正确的命题是 _____________．[ ]A．三点确定一个圆 B．经过四点不能作一个圆C．三角形有一个且只有一个外接圆 D．三角形外心在三角形的外面5．两直角边分别为15和20的直角三角形的外接圆半径为 ______．[ ]A．12．5 B．25 C．20 D．106．在下列三角形中,外心在它一条边上的三角形是 _____________．[ ]A．三角形的边长分别为2cm, 2cm, 3cmB．三角形的边长都等于4cmC．三角形的边长分别为5cm, 12cm, 13cmD．三角形的边长分别为4cm, 6cm, 8cm7．下列命题中正确的为__________．[ ]A．三点确定一个圆B．圆有切只有一个内接三角形C．三角形的外心是三角形任意两边的垂直平分线的交点D．面积相等的三角形的外接圆是等圆8．钝角三角形的外心在__________．[ ]A．三角形的内部 B．三角形的外部C．三角形的钝角所对的边上 D．以上都有可能9．己知命题：(1)三角形中最少有一个内角不小于60°；(2)三角形的外心到三角形各边的距离都相等．下面判断中正确的是__________．[ ]A．命题(1)(2)都正确 B．命题(1)正确，(2)不正确C．命题(1)不正确，(2)正确 D．命题(1)(2)都不正确三、填空题1．用反证法证明a＞b时，应先假设_________．2．若一个圆经过梯形ABCD的四个顶点，则这个梯形是_________梯形．四、解答题1．已知直线a和直线外的两点A、B，经过A、B作一圆，使它的圆心在直线a上．2．如图，在△ABC中，D、E两点分别在AB和AC上，求证CD、BE不可能互相平分．参考答案一、判断题1．√2．√二、选择题1． B 2．A 3．D 4．C 5． A6． C 7．C 8．B 9．B；三、填空题1．a≤b； 2．等腰；四、解答题1．略．；2．提示：应用反证法略．制定学习计划有什么好处？一、计划是实现目标的蓝图。

４．确定圆的条件㊀１．记住不在同一直线上的三点确定一个圆 的结论,掌握过不在同一直线上的三个点作圆的方法．㊀２．说出三角形的外接圆㊁三角形的外心的概念．㊀开心预习梳理,轻松搞定基础.１．经过直角三角形的三个顶点的圆的圆心在(㊀㊀)．A．直角三角形内B ．直角三角形外C ．直角三角形斜边上D．位置不定２．有个长㊁宽分别为４和３的矩形A B C D ,现以点A 为圆心作一个圆．若B ㊁C ㊁D 至少有一个点在圆内,且至少有一个点在圆外,则☉A 的半径r 的取值范围是㊀㊀㊀㊀．㊀重难疑点,一网打尽.３．判断:(１)三点确定一个圆;(㊀㊀)(２)三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等;(㊀㊀)(３)经过线段两端的圆的圆心在这条线段的中垂线上;(㊀㊀)(４)所有的四边形都有一个外接圆．(㊀㊀)４．一个直角三角形的两边长分别为６,８,则这个直角三角形的外接圆半径是㊀㊀㊀㊀．５．☉O 是әA B C 的外接圆,☉O 的半径是５c m ,B C 的长为８c m ,则圆心O 到边B C 的距离为㊀㊀㊀㊀．６．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了,其中四块碎片如图所示,为配到与原来大小一样的圆形玻璃,小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是(㊀㊀)．(第６题)A．第①块B ．第②块C ．第③块D．第④块７．三角形的外心一定在该三角形外的三角形是(㊀㊀)．A．等腰三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D．钝角三角形８．已知线段A B ＝２c m ．(１)画半径为１c m 的圆,使它经过A ㊁B 两点,这样的圆能画几个?(２)画半径为２c m 的圆,使它经过A ㊁B 两点,这样的圆能画几个?(３)能画出半径为０．５c m 的圆,使它经过A ㊁B 两点吗?㊀源于教材,宽于教材,举一反三显身手.９．如图,在平面直角坐标系中,点A ㊁B ㊁C 的坐标分别为(１,４),(５,４),(１,－１),则әA B C 外接圆的圆心坐标是(㊀㊀)．A．(２,３)B ．(３,２)C ．(１,３)D．(３,１)(第９题)㊀㊀㊀㊀(第１０题)１０．如图,A B ＝５c m ,øC ＝３０ʎ,则әA B C 的外接圆的直径为㊀㊀㊀㊀．１１．如图,在R t әA B C 中,求作:R t әA B C 的外接圆．(第１１题)１２．如图,现需测量一井盖(圆形)的直径,但只有一把角尺(尺的两边互相垂直,一边有刻度,且两边长度都长于井盖的半径),请配合图形,用文字说明测量方案,写出测量的步骤．(要求写出两种测量方案)(第１２题)１３．坐标平面内有三点A (１,１),B (－２,－５),C (３,５),试判定经过A ㊁B ㊁C 三点是否可以作圆．㊀瞧,中考曾经这么考!１４．(２０１２ 四川资阳)直角三角形的两边长分别为１６和１２,则此三角形的外接圆半径是㊀．(第１５题)１５．(２０１２ 浙江湖州)如图,әA B C 是☉O 内接三角形,A C 是☉O 的直径,øC ＝５０ʎ,øA B C 的平分线B D 交☉O 于点D ,则øB A D 的度数是(㊀㊀)．A．４５ʎB ．８５ʎC ．９０ʎD．９５ʎ４．确定圆的条件１．C㊀２．３＜r＜５３．(１)✕㊀(２) ㊀(３) ㊀(４)✕４．４或５㊀５．３c m㊀６．B７．D㊀８．略㊀９．D㊀１０．１０c m１１．取A B的中点O,以点O为圆心,O C长为半径作圆．１２．方案１:使角尺顶点在圆上,角尺两边与圆两交点连接就是圆的直径,用刻度尺量出直径．方案２:任画圆的一条弦,用尺量出弦的中点,利用角尺过弦中点做弦的垂线,垂线与圆的两交点间的线段为圆的直径．１３．过A㊁B㊁C三点不能作圆,易知直线A B解析式为y＝２x －１,点C在直线A B上．１４．１０或８㊀１５．B。

《确定圆的条件》同步练习31．经过平面上不在同一直线上的三点可以作个圆．2．锐角三角形的外心在；直角三角形的外心在；钝角三角形的外心在．。

3、下面四个命题中真命题的个数是（）①经过三点一定可以做圆；②任意一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆；③任意一个圆一定有一个内接三角形，而且只有一个内接三角形；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．A．4个B．3个C．2个D．1个4．下列图形一定有外接圆的是（）A．三角形B．平行四边形C．梯形D．菱形5．圆内接梯形是_____梯形，圆内接平行四边形是_______．6．已知a、b、c是△ABC三边长，外接圆的圆心在△ABC一条边上的是（）A．a=15，b=12，c=1 B．a=5，b=12，c=12C．a=5，b=12，c=13 D．a=5，b=12，c=147．一个三角形的外心在其内部，则这个三角形是（）A．任意三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形8．锐角△ABC中，当∠A逐渐增大时，其外心向边移动，∠A=90°，外心位置是．9．△ABC的外心是它的两条中线交点，则△ABC的形状为．10．如图，有一个圆形的盖水桶的铁片，部分边沿由于水生锈残缺了一些，很不美观．为了废物利用，将铁片剪去一些使其成为圆形的，应找到圆心，并找到合理的半径，在铁片上画出圆，沿圆剪下即可，问应怎样找到圆心半径？11.有一圆形花坛，要把它分成面积相等的四份，一同学利用圆中互相垂直的直径把花坛分成了四等份.如图9中甲，现请你在图乙中采用不同于图甲的方法也将该花坛四等分.以便在上面种不同的花草.甲乙12.如图，是平行四边形铁皮上一个圆形的洞，现要把它用一条直线分成面积相等的两部分，你怎样做？请在图中画出你分割的方法. .【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。

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《圆》高频考点专题练习一遍过（四）1．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，AD为弦，OC∥AD．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若OA＝2，求ADOC的值．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O，点D在⊙O上，BD＝BC，DE⊥AC，垂足为点E，DE与⊙O和AB分别交于点M、F．连接BO、DO、AM．（1）证明：BD是⊙O的切线；（2）若tan∠AMD＝，AD＝2，求⊙O的半径长；（3）在（2）的条件下，求DF的长．3．如图，△ABC中，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，E为弧BD上一点，连接AD、DE、AE，交BD于点F．（1）若∠CAD＝∠AED，求证：AC为⊙O的切线；（2）若DE2＝EFEA，求证：AE平分∠BAD；（3）在（2）的条件下，若AD＝4，DF＝2，求⊙O的半径．4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A、D的⊙O分别交AB、AC于点E、F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BE＝8，sin B＝，求⊙O的半径；（3）求证：AD2＝ABAF．5．如图，以矩形ABCD的边CD为直径作⊙O，点E是AB的中点，连接CE交⊙O于点F，连接AF并延长交BC于点H．（1）若连接AO，试判断四边形AECO的形状，并说明理由；（2）求证：AH是⊙O的切线；（3）若AB＝6，CH＝2，则AH的长为．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．（1）求证：AE为⊙O的切线；（2）当BC＝4，AC＝6时，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求线段BG的长．7．如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h．（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；（2）求证：ABAC＝2Rh；（3）设∠BAC＝2α，求的值（用含α的代数式表示）．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求证：AD2＝ABAF；（3）若BE＝8，sin B＝，求AD的长，9．如图，⊙O过▱ABCD的三顶点A、D、C，边AB与⊙O相切于点A，边BC与⊙O相交于点H，射线AP交边CD于点E，交⊙O于点F，点P在射线AO上，且∠PCD＝2∠DAF．（1）求证：△ABH是等腰三角形；（2）求证：直线PC是⊙O的切线；（3）若AB＝2，AD＝，求⊙O的半径．10．如图，AB是半圆O的直径，射线AM⊥AB，点P在AM上，连接OP交半圆O于点D，PC切半圆O于点C，连接BC，OC．（1）求证：△OAP≌△OCP；（2）若半圆O的半径等于2，填空：①当AP＝时，四边形OAPC是正方形；②当AP＝时，四边形BODC是菱形．参考答案1．（1）证明：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴OA＝OB＝OD，∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°，∵OC∥AD，∴∠A＝∠COB，∠ODA＝∠COD，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA，∴∠COD＝∠COB，在△COD和△COB中，，∴△COD≌△COB（SAS），∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴OD⊥CD，∴DC是⊙O的切线；（2）连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠OBC＝90°，∵∠BOC＝∠A，∴△BAD∽△COB，∴，∴ADCO＝BAOB，∵OA＝2，∴BA＝2OA＝4，OB＝2，∴ADCO＝BAOB＝8．2．解：（1）在△BDO和△BCO中，BD＝BC，OD＝OC，BO＝BO，故△BDO≌△BCO（SSS），∴∠BDO＝∠ABC＝90°，BD是⊙O的切线；（2）连接CD，则∠AMD＝∠ACD，AB是直径，故∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，tan∠ACD＝tan∠AMD＝＝，∵AD＝2，∴CD＝4，故圆的半径为5；（3）在Rt△ADC中，DE⊥AC，则DE＝＝4，则AE＝2，由（1）知△BDO≌△BCO，∴∠BOC＝∠BOD＝∠DOC，∵∠DAE＝∠DOC，∴∠DAE＝∠BOC，∵ED⊥AC，∴∠AED＝∠OCB＝90°，∴△DAE∽△BOC，∴，即，解得：BC＝10，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∴∠F AE＝∠AFE＝45°，∴FE＝AE＝2，DF＝DE﹣EF＝2．3．证明：（1）∵AB是直径，∴∠BDA＝90°，∴∠DBA+∠DAB＝90°，∵∠CAD＝∠AED，∠AED＝∠ABD，∴∠CAD＝∠ABD，∴∠CAD+∠DAB＝90°，∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC，且AO是半径，∴AC为⊙O的切线；（2）∵DE2＝EFEA，∴，且∠DEF＝∠DEA，∴△DEF∽△AED，∴∠EDF＝∠DAE，∵∠EDF＝∠BAE，∴∠BAE＝∠DAE，∴AE平分∠BAD；（3）如图，过点F作FH⊥AB，垂足为H，∵AE平分∠BAD，FH⊥AB，∠BDA＝90°，∴DF＝FH＝2，＝AB×FH＝×BF×AD，∵S△ABF∴2AB＝4BF，∴AB＝2BF，在Rt△ABD中，AB2＝BD2+AD2，∴（2BF）2＝（2+BF）2+16，∴BF＝，BF＝﹣2（不合题意舍去）∴AB＝，∴⊙O的半径为．4．解：（1）如图，连接OD，则OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，∵点D在⊙O上，∴BC是⊙O的切线；（2）∵∠BDO＝90°，∴sin B＝＝，∴OD＝5，∴⊙O的半径为5；（3）连接EF，∵AE是直径，∴∠AFE＝90°＝∠ACB，∴EF∥BC，∴∠AEF＝∠B，又∵∠AEF＝∠ADF，∴∠B＝∠ADF，又∵∠OAD＝∠CAD，∴△DAB∽△F AD，∴，∴AD2＝ABAF．5．（1）解：连接AO，四边形AECO是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD．∵E是AB的中点，∴AE＝AB．∵CD是⊙O的直径，∴OC＝CD．∴AE∥OC，AE＝OC．∴四边形AECO为平行四边形．（2）证明：由（1）得，四边形AECO为平行四边形，∴AO∥EC∴∠AOD＝∠OCF，∠AOF＝∠OFC．∵OF＝OC∴∠OCF＝∠OFC．∴∠AOD＝∠AOF．∵在△AOD和△AOF中，AO＝AO，∠AOD＝∠AOF，OD＝OF ∴△AOD≌△AOF（SAS）．∴∠ADO＝∠AFO．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADO＝90°．∴∠AFO＝90°，即AH⊥OF．∵点F在⊙O上，∴AH是⊙O的切线．（3）∵CD为⊙O的直径，∠ADC＝∠BCD＝90°，∴AD，BC为⊙O的切线，又∵AH是⊙O的切线，∴CH＝FH，AD＝AF，设BH＝x，∵CH＝2，∴BC＝2+x，∴BC＝AD＝AF＝2+x，∴AH＝AF+FH＝4+x，在Rt△ABH中，∵AB2+BH2＝AH2，∴62+x2＝（4+x）2，解得x＝．∴．故答案为：．6．（1）证明：连接OM，如图1，∵BM是∠ABC的平分线，∴∠OBM＝∠CBM，∵OB＝OM，∴∠OBM＝∠OMB，∴∠CBM＝∠OMB，∴OM∥BC，∵AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，∴AE⊥BC，∴OM⊥AE，∴AE为⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r，∵AB＝AC＝6，AE是∠BAC的平分线，∴BE＝CE＝BC＝2，∵OM∥BE，∴△AOM∽△ABE，∴＝，即＝，解得r＝，即设⊙O的半径为；（3）解：作OH⊥BE于H，如图，∵OM⊥EM，ME⊥BE，∴四边形OHEM为矩形，∴HE＝OM＝，∴BH＝BE﹣HE＝2﹣＝，∵OH⊥BG，∴BH＝HG＝，∴BG＝2BH＝1．7．解：（1）如图1，连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，又∵OD是半径，∴OD⊥BC，∵MN∥BC，∴OD⊥MN，∴MN是⊙O的切线；（2）如图2，连接AO并延长交⊙O于H，连接BH，∵AH是直径，∴∠ABH＝90°＝∠AFC，又∵∠AHB＝∠ACF，∴△ACF∽△AHB，∴，∴ABAC＝AF AH＝2Rh；（3）如图3，过点D作DQ⊥AB于Q，DP⊥AC，交AC延长线于P，连接CD，∵∠BAC＝2α，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝α，∴＝，∴BD＝CD，∵∠BAD＝∠CAD，DQ⊥AB，DP⊥AC，∴DQ＝DP，∴Rt△DQB≌Rt△DPC（HL），∴BQ＝CP，∵DQ＝DP，AD＝AD，∴Rt△DQA≌Rt△DP A（HL），∴AQ＝AP，∴AB+AC＝AQ+BQ+AC＝2AQ，∵cos∠BAD＝，∴AD＝，∴＝＝2cosα．8．解：（1）如图1，连接OD，则OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，∵点D在⊙O上，∴BC是⊙O的切线；（2）如图2，连接OD，DF，EF，∵AE是⊙O的直径，∴∠AFE＝90°＝∠C，∴EF∥BC，∴∠B＝∠AEF，∵∠AEF＝∠ADF，∴∠B＝∠ADF，由（1）知，∠BAD＝∠DAF，∴△ABD∽△ADF，∴，∴AD2＝ABAF；（3）如图3，连接OD，由（1）知，OD⊥BC，∴∠BDO＝90°，设⊙O的半径为R，则OA＝OD＝OE＝R，∵BE＝8，∴OB＝BE+OE＝8+R，在Rt△BDO中，sin B＝，∴sin B＝＝，∴R＝5，∴AE＝2OE＝10，AB＝BE+2OE＝18，连接EF，由（2）知，∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C＝90°，∴sin∠AEF＝sin B＝，在Rt△AFE中，sin∠AEF＝＝＝，∴AF＝由（2）知，AD2＝ABAF＝18×＝，∴AD＝＝．9．（1）证明：∵四边形ADCH是圆内接四边形，∴∠ADC+∠AHC＝180°，又∵∠AHC+∠AHB＝180°，∴∠ADC＝∠AHB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝∠B，∴∠AHB＝∠B，∴AB＝AH，∴△ABH是等腰三角形；（2）证明：连接OC，如右图所示，∵边AB与⊙O相切于点A，∴BA⊥AF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴CD⊥AF，又∵F A经过圆心O，∴，∠OEC＝90°，∴∠COF＝2∠DAF，又∵∠PCD＝2∠DAF，∴∠COF＝∠PCD，∵∠COF+∠OCE＝90°，∴∠PCD+∠OCE＝90°，即∠OCP＝90°，∴直线PC是⊙O的切线；（3）∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB＝2，∵F A⊥CD，∴DE＝CE＝1，∵∠AED＝90°，AD＝，DE＝1，∴AE＝，设⊙O的半径为r，则OA＝OD＝r，OE＝AE﹣OA＝4﹣r，∵∠OED＝90°，DE＝1，∴r2＝（4﹣r）2+12解得，r＝，即⊙O的半径是．10．（1）证明：∵PC切半圆O于点C，∴OC⊥PC，∵AM⊥AB，∴∠OAP＝90°，在Rt△OAP和Rt△OCP中，∴Rt△OAP≌Rt△OCP；（2）解：①∵Rt△OAP≌Rt△OCP，∴P A＝PC，而OA＝OC，∴当AO＝AP时，四边形OAPC为菱形，而∠OAP＝90°，∴四边形OAPC是正方形，此时AP＝OA＝2；②∵四边形BODC是菱形，∴OB＝OD＝CD＝BC，BC∥OD，∴△OBC为等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠AOP＝60°，在Rt△OAP中，∵tan∠AOP＝，∴AP＝2tan60°＝2，即AP＝2时，四边形BODC是菱形．故答案为2，2．。

课时作业(二十四)[第三章 5 确定圆的条件]一、选择题1．下列四个命题中正确的有( )①经过三角形顶点的圆是三角形的外接圆；②任何一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；③任何一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；④三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点．A．1个B．2个C．3个D．4个2．三角形的外心具有的性质是( )A．到三个顶点的距离相等B．到三条边的距离相等C．是三角形三条角平分线的交点D．是三角形三条中线的交点图K－24－13．2017·市中区三模如图K－24－1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，3)，点B的坐标为(2，1)，点C的坐标为(2，－3)．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是( )A．(0，0) B．(1，0)C．(－2，－1) D．(2，0)4．如图K－24－2，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是( )图K－24－2A．△ABE B．△ACFC．△ABD D．△ADE5．如图K－24－3，AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，BC＝5，AE＝6，则DE的长为( )图K －24－3 A ．4 2 B ．3 3 C ．4 D .726．若点O 是△ABC 的外心，且∠BOC ＝70°，则∠BAC 的度数为( ) A ．35° B ．110°C ．35°或145°D ．35°或140° 二、填空题7．已知△ABC 的三条边长分别为6 cm ，8 cm ，10 cm ，则这个三角形的外接圆的面积为________cm 2.(结果用含π的代数式表示)8．2017·十堰模拟如图K －24－4，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接OB ，OC ，若∠BAC ＋∠BOC ＝180°，BC ＝2 3 cm ，则⊙O 的半径为________cm .图K －24－49．直角三角形两边的长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是________.链接听课例2归纳总结 10．2018·内江已知△ABC 的三边长a ，b ，c 满足a ＋b 2＋|c －6|＋28＝4 a －1＋10b ，则△ABC 的外接圆半径为________．三、解答题11．如图K －24－5，已知弧上三点A ，B ，C.(1)用尺规作图法，找出BAC ︵所在圆的圆心O(保留作图痕迹，不写作法)； (2)设△ABC 为等腰三角形，底边BC ＝16 cm ，腰AB ＝10 cm ，求圆片的半径R. 链接听课例1归纳总结图K －24－512.2017·安徽如图K－24－6，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠B＝∠D，AD不平行于BC，过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆⊙O于点E，连接AE.(1)求证：四边形AECD为平行四边形；(2)连接CO，求证：CO平分∠BCE.图K－24－613．如图K－24－7，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为(6，8)，点B的坐标为(12，0)．(1)求证：AO＝AB；(2)用直尺和圆规作出△AOB的外心P；(3)求点P的坐标．图K－24－714．如图K－24－8，D是△ABC 的边BC 的中点，过AD延长线上的点E作AD的垂线EF，E为垂足，EF与AB的延长线相交于点F，点O在AD 上，AO＝CO，BC∥EF.(1)求证：AB＝AC；(2)求证：点O是△ABC外接圆的圆心；(3)当AB＝5，BC＝6时，连接BE，若∠ABE＝90°，求AE的长．图K－24－8探究题我们知道：过任意一个三角形的三个顶点都能作一个圆，那么我们来探究过四边形四个顶点作圆的条件．(1)分别测量图K－24－9①②③中四边形的内角．如果过某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其相对的两个角之间有什么关系？图K－24－9(2)如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个角之间有上面的关系吗？试结合图K－24－9④⑤说明其中的道理(提示：考虑∠B＋∠D与180°之间的关系)；(3)由上面的探究，试归纳出判定过四边形的四个顶点能作一个圆的条件．详解详析【课时作业】 [课堂达标] 1．[答案] B 2．[答案] A3．[解析] C ∵△ABC 的外心就是三角形三边垂直平分线的交点，∴作图如图， ∴EF 与MN 的交点O′就是所求的△ABC 的外心，∴△ABC 的外心坐标是(－2，－1)．故选C .4．[解析] B 只有△ACF 的三个顶点不都在圆上，故外心不是点O 的是△ACF.5．[解析] C ∵OD ⊥AC ，∴AE ＝CE ＝6.∵AB 是△ABC 的外接圆⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴AB ＝BC 2＋AC 2＝52＋122＝13.∵OA ＝OB ，AE ＝CE ，∴OE 为△ABC 的中位线，∴OE ＝12BC ＝2.5，∴DE ＝OD －OE ＝12×13－2.5＝4.故选C . 6．[解析] C ①当点O 在三角形的内部时， 如图①所示，则∠BAC ＝12∠BOC ＝35°；②当点O 在三角形的外部时，如图②所示，则∠BAC ＝12(360°－70°)＝145°.故选C .7．[答案] 25π[解析] 因为62＋82＝102，所以△ABC 为直角三角形，且斜边长为10 cm ，则其外接圆的半径为5 cm ，所以外接圆的面积为25π cm 2.8．[答案] 2[解析] 如图，过点O 作OE ⊥BC 于点E.∵∠BAC ＋∠BOC ＝180°，∠BOC ＝2∠BAC ， ∴∠BOC ＝120°，∠BAC ＝60°.∵OE ⊥BC ，∴BE ＝EC ＝3，∠BOE ＝∠COE ＝60°，∴∠OBE ＝30°，∴OB ＝2OE.设OE ＝x cm ，则OB ＝2x cm ，∴4x 2＝x 2＋(3)2，∴x ＝1(负值已舍去)，∴OB ＝2 cm . 9．[答案] 10或8[解析] 分类讨论：①当16和12是两直角边长时，可得此直角三角形的斜边长为20，其外接圆的半径为10；②当16和12分别是斜边长和直角边长时，可由直角三角形的外接圆半径为直角三角形斜边长的一半，知其外接圆的半径为8.10．[答案] 258[解析] 原式整理，得b 2－10b ＋25＋a －1－4 a －1＋4＋|c －6|＝0，即(b －5)2＋(a －1)2－4 a －1＋4＋|c －6|＝0，(b －5)2＋(a －1－2)2＋|c －6|＝0.∵(b －5)2≥0，(a －1－2)2≥0，|c －6|≥0，∴b ＝5，a ＝5，c ＝6，∴△ABC 为等腰三角形．如图所示，过点C 作CD ⊥AB ，设O 为外接圆的圆心，则OA ＝OC ＝R ，∵AC ＝BC ＝5，AB ＝6，∴AD ＝BD ＝3，∴CD ＝AC 2－AD 2＝4，∴OD ＝CD －OC ＝4－R.在Rt △AOD 中，R 2＝32＋(4－R)2，解得R ＝258. 11．[解析] (1)作AB ，AC 的中垂线即得圆心O ；(2)已知BC 和AB 的长度，所以可以构造直角三角形，利用勾股定理可求得半径R.解： (1)如图，作AB ，AC 的垂直平分线，垂直平分线的交点就是圆心，标出圆心O. (2)连接AO 交BC 于点E ，连接BO.∵AB ＝AC ，∴AB ︵＝AC ︵， ∴AE ⊥BC ， ∴BE ＝12BC ＝8 cm .在Rt △ABE 中，AE ＝AB 2－BE 2＝100－64＝6(cm )．在Rt △OBE 中，R 2＝82＋(R －6)2， 解得R ＝253 cm ，即圆片的半径R 为253 cm .12．证明：(1)由圆周角定理，得∠B ＝∠E.又∠B ＝∠D ，∴∠E ＝∠D.∵CE ∥AD ，∴∠D ＋∠ECD ＝180°， ∴∠E ＋∠ECD ＝180°，∴AE ∥CD ，∴四边形AECD 为平行四边形．(2)如图，过点O 作OM ⊥BC 于点M ，ON ⊥CE 于点N ， ∵四边形AECD 为平行四边形，∴AD ＝CE. 又AD ＝BC ，∴CE ＝BC ， ∴OM ＝ON.又OM ⊥BC ，ON ⊥CE ，∴CO 平分∠BCE.13．解：(1)证明：过点A 作AC ⊥x 轴于点C. ∵A(6，8)，∴OC ＝6，AC ＝8.∵B(12，0)，∴OB ＝12，∴BC ＝6＝OC ， ∴AC 是OB 的垂直平分线，∴AO ＝AB.(2)如图，作OA 的垂直平分线交AC 于点P ，点P 就是所求的外心． (3)连接PO.∵点P 是△AOB 的外心，∴PA ＝PO ＝r.∵AC ＝8，∴PC ＝8－r.在Rt △POC 中，PO 2＝OC 2＋PC 2， ∴r 2＝62＋(8－r)2，解得r ＝254，∴PC ＝74，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，74.14．解：(1)证明：∵AE ⊥EF ，EF ∥BC ，∴AD ⊥BC. 又∵D 是BC 的中点，∴AD 是BC 的垂直平分线，∴AB ＝AC.(2)证明：连接BO ，由(1)知AD 是BC 的垂直平分线，∴BO ＝CO. 又∵AO ＝CO ，∴AO ＝BO ＝CO ， ∴点O 是△ABC 外接圆的圆心．(3)解法1：∵∠ABE ＝∠ADB ＝90°， ∴∠ABD ＋∠BAD ＝∠AEB ＋∠BAE ＝90°， ∴∠ABD ＝∠AEB. 又∵∠BAD ＝∠EAB ， ∴△ABD ∽△AEB ，∴AB AE ＝ADAB.在Rt △ABD 中，∵AB ＝5，BD ＝12BC ＝3，∴AD ＝4，∴AE ＝254.解法2：由(2)得AO ＝BO ，∴∠ABO ＝∠BAO. ∵∠ABE ＝90°，∴∠ABO ＋∠OBE ＝∠BAO ＋∠OEB ＝90°， ∴∠OBE ＝∠OEB ，∴OB ＝OE.在Rt △ABD 中，∵AB ＝5，BD ＝12BC ＝3，∴AD ＝4.设 OB ＝x, 则 OD ＝4－x ， 由32＋(4－x)2＝x 2，解得x ＝258，∴AE ＝2OB ＝254.[素养提升]解：(1)对角互补(对角之和等于180°)． (2)没有．题图④中，∠B ＋∠D ＜180°； 题图⑤中，∠B ＋∠D ＞180°.(3)过四边形的四个顶点能作一个圆的条件是：四边形的对角互补(对角之和等于180°)．。

九年级数学下册 第三章 圆 3.5 确定圆的条件 同步俩习题一、选择题(8分×3＝24分)A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．等边三角形外接圆的半径等于边长的____倍．( )A.12B.32C.33D. 33．如图，点P 是等边三角形ABC 外接圆⊙O 上的点，在以下判断中，不正确的是( )A ．当弦PB 最长时，△APC 是等腰三角形B ．当△APC 是等腰三角形时，PO ⊥ACC ．当PO ⊥AC 时，∠ACP ＝30°D ．当∠ACP ＝30°时，△BPC 是直角三角形二、填空题(8分×3＝24分)4．如图，△ABC 的外心坐标是_________．5．直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形外接圆的半径是_______．6．如图，在△ABC 中，BC ＝3cm ，∠BAC ＝60°，那么△ABC 能被半径至少为______cm 的圆形纸片所覆盖．三、解答题(15分＋17分＋20分＝52分)7．如图，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A 、B 、C.(1)用尺规作图法找出BAC ︵所在圆的圆心(保留作图痕迹，不写作法)；(2)设△ABC 是等腰三角形，底边BC ＝8cm ，腰AB ＝5cm ，求圆片的半径R.8．如图，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆⊙O 的直径，且AC ＝5，DC ＝3，AB ＝42，求⊙O 的直径AE.9．如图，AD 为△ABC 外接圆的直径，AD ⊥BC ，垂足为点F ，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，连接BD 、CD.(1)求证：BD ＝CD ；(2)请判断B 、E 、C 三点是否在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上？并说明理由答案:1. D2. C3. C4. (－2，－1)5. (10或8)6. 37. 解：(1)分别作AB 、AC 的垂直平分线，两线交于点O ，则点O 为BAC ︵所在圆的圆心(2)连接OA ，则OA ⊥BC ，设垂足为D ，在Rt △ABD 中，易求AD ＝3cm.连接OB ，在Rt △OBD 中，设OB ＝R ，易求得R ＝256cm.8. 解：连接BE.∵AE 为⊙O 直径，∴∠ABE ＝90°，∵AD 为△ABC 的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠ABE ＝∠ADC ，∵∠E ＝∠C ，∴△ABE ∽△ADC ，∴AB AD ＝AE AC ，∵Rt △ADC 中，AC ＝5，DC ＝3，∴AD ＝4， ∴424＝AE 5，∴AE ＝5 29. 解：(1)∵AD 为直径，AD ⊥BC ，∴BD ︵＝CD ︵，∴BD ＝CD(2)B 、E 、C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上，理由：由(1)知BD ︵＝CD ︵，∴∠BAD ＝∠CBD.∵∠DBE ＝∠CBD ＋∠CBE ，∠DEB ＝∠BAD ＋∠ABE ，∠CBE ＝∠ABE ，∴∠DBE ＝∠DEB ， ∴DB ＝DE.由(1)知BD ＝CD ，∴DB ＝DE ＝DC ，∴B 、E 、C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上。