2019年上海市高三二模数学填选难题及解析

第二学期期中高三年级数学学科教学质量监测试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 若集合{}0A x x =>，{}1B x x =<，则AB = ．2. 已知复数z 满1z i ⋅=+（i 为虚数单位），则z = ．3. 函数()sinx cosxf x cosx sinx=的最小正周期是 ．4. 已知双曲线222181x y a -=（0a >）的一条渐近线方程为3y x =，则a = ．5. 若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则圆柱的体积为 ．6. 已知x y ，满足0220x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值是 ． 7. 直线12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线32x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的交点个数是 ．8. 已知函数()()220()01xx f x log x x ⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩ 的反函数是1()f x -，则11()2f -= ．9. 设多项式231(1)(1)(1)nx x x x ++++++++（*0x n N ≠∈，）的展开式中x 项的系数为n T ，则2nn T limn →∞= ．10. 生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p ，每道工序产生废品相互独立．若经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p = ．11. 设向量m ()x y =，，n ()x y =-，，P 为曲线1m n ⋅=（0x >）上的一个动点，若点P 到直线10x y -+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为 ．12. 设1210x x x ，，，为1210，，，的一个排列，则满足对任意正整数m n ，，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 设a b R ∈，，则“4a b +>”是“1a >且3b >”的………………………（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件14. 如图，P 为正方体1111ABCD A BC D -中1AC 与1BD 的交点，则PAC ∆在该正方体各个面上的射影可能是 …………………………………………………………………（ ）（A ）①②③④ （B ）①③ （C ）①④ （D ）②④ 15. 如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线12l l ，同侧，且P 到12l l ，的距离分别为13，．点M N ，分别在12l l ，上，8PM PN +=，则PM PN ⋅的最大值为…………………（ ）（A ）15 （B ）12 （C ）10 （D ）9 16. 若存在t R ∈与正数m ，使()()F t m F t m -=+成立，则称“函数()F x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”．设2()x f x xλ+=（0x >），若对于任意t ∈，总存在正数m ，使得“函数()f x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，则实数λ的取值范围是…………………………………………………………………………………………（ ）（A ）(]02， （B ）(]12，（C ）[]12， （D ）[]14， 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤．17. （本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E F 、分别是线段1BC CD 、的中点．（1）求异面直线EF 与1AA 所成角的大小； （2）求直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小．18. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知抛物线22y px =（0p >），其准线方程为10x +=，直线l 过点(0)T t ，（0t >）且与抛物线交于A B 、两点，O 为坐标原点．（1）求抛物线方程，并证明：OB OA ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关； （2）若P 为抛物线上的动点，记||PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式．19. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[]m n D ⊆，（m n <），同时满足： ①()f x 在[]m n ，内是单调函数；②当定义域是[]m n ，时，()f x 的值域也是[]m n ，．则称函数()f x 是区间[]m n ，上的“保值函数”． （1）求证：函数2()2g x x x =-不是定义域[01]，上的“保值函数”； （2）已知211()2f x a a x=+-（0a R a ∈≠，）是区间[]m n ，上的“保值函数”，求a 的取值范围．20. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）数列{}n a 中，已知12121()n n n a a a a k a a ++===+，，对任意*n N ∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（这里a k ，均为实数） （1）若{}n a 是等差数列，求k 的值；（2）若112a k ==-，，求n S ； （3）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12m m m a a a ++，，按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由．21. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设T R ⊂≠，若存在常数0M >，使得对任意t T ∈，均有t M ≤，则称T 为有界集合，同时称M 为集合T 的上界．（1）设12121x x A y y x R ⎧⎫-⎪⎪==∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭，、212A x sinx ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，试判断1A 、2A 是否为有界集合，并说明理由； （2）已知2()f x x u =+，记11()()()(())n n f x f x f x f f x -==，（23n =，，）．若m R ∈，1[)4u ∈+∞，，且{}()n B f m n N *=∈为有界集合，求u 的值及m 的取值范围；（3）设a b c 、、均为正数，将222()()()a b b c c a ---、、中的最小数记为d ．是否存在正数(01)λ∈，，使得λ为有界集合222{|dC y y a b c==++，a b c 、、均为正数}的上界，若存在，试求λ的最小值；若不存在，请说明理由．参考答案及评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分） 1、()0,1 2、1 3、π 4、3 5、16π6、37、28、1-9、1210、0.03 1112、512 二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 13、B 14、C 15、A 16、A三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17. 解：（1）方法一：设正方体棱长为2，以D 为原点，直线DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(000)D ，，，(220)B ，，，(020)C ，，，1(002)D ，，，故(12E ，，，(011)F ，，，()111EF =--，，，()1002AA =，，， …………………4/设异面直线EF 与1AA 所成角的大小为α，向量EF 与1AA 所成角为β，则11EF AA cos cos EF AA αβ⋅==⋅…… 6/3==，……7/注意到02πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，故3arccosα=，即异面直线EF 与1AA 所成角的大小为3arccos．…………………8/ （2）由（1）可知，平面11AA B B 的一个法向量是(100)n =，，，…………………10/设直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小是θ，向量EF 与n 所成角为γ，则EF n sin cos EF nθγ⋅==⋅………12/3=13/1又02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，θ∴=线EF 与平面11AA B B 所成角的大小为．………………14/方法二：设正方体棱长为2．（1）在面11CC D D 内，作FH CD ⊥于H ，联结HE ．因为正方体1111ABCD A BC D -，所以1AA ∥1DD ；在面11CC D D 内，有FH ∥1DD ，故异面直线EF 与1AA 所成的角就是EFH ∠（或其补角）．………………………4/由已知及作图可知，H 为CD 的中点，于是，在Rt EFH ∆中，易得1FH =，HE=，故HE tanEFH FH∠=， ………………………………………… 6/== 7/ 又(0)2EFH π∠∈，，所以EFH∠=从而异面直线EF 与1AA 所成角的大小为8/（2）因为正方体1111ABCD A BC D -，所以平面11AA B B ∥平面11CC D D ，故直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小就是直线EF 与平面11CC D D 所成角．注意到BC ⊥平面11CC D D ，即EC ⊥平面11CC D D ，所以直线EF 与平面11AA B B所成角的大小即为EFC∠． ………………………………10/在Rt EFC∆中，易得1EC FC ==，，故ECtan EFCFC∠=……………………12/2==，………………13/又(0)2EFCπ∠∈，，故2E F C a r c ta n∠=，即直线EF与平面11AA B B所成角的大小为……14/18.解：（1）方法一：由题意，2=p，所以抛物线的方程为xy42=．……………2/当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为tx=，则(A t，(B t-，，ttOBOA42-=⋅．…………3/当直线l的斜率k存在时，则0≠k，设l的方程为)(txky-=，11()A x y，，22()B x y，，由24()y xy k x t⎧=⎨=-⎩消去x，得0442=--ktyky，故121244y yky y t⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，所以，ttyyyyyyxx41622122212121-=+=+=⋅．…………………………………………5/综上，OBOA⋅的值与直线l倾斜角的大小无关．…………………………………………6/方法二：由题意，2=p，所以抛物线的方程为xy42=．………………………………2/依题意，可设直线l 的方程为x my t =+（m R ∈），11()A x y ，，22()B x y ，，由24y x x my t ⎧=⎨=+⎩得2440y my t --=， 故121244y y my y t+=⎧⎨=-⎩， 所以，12121212()()OA OB x x y y my t my t y y ⋅=+=+++221212(1)()m y y mt y y t =++++ …………………………5/22(1)(4)4m t mt m t =+-+⋅+24t t =-综上，OB OA ⋅的值与直线l倾斜角的大小无关． …………………………6/（2）设00()P x y ，，则0204x y =，||PT =， ……………………… (8)/注意到00≥x ，所以，若20t -≥，即2t ≥，则当02x t =-时，||PT 取得最小值，即()2)d t t =≥；………10/若20t -<，即有02t <<，则当00x =时，||PT 取得最小值，即()(02)d t t t =<<；………12/综上所述，()()2()02t d t tt ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩…………………………………………………14/19.解：（1）函数2()2g x x x =-在[01]x ∈，时的值域为[10]-，，…………………………4/不满足“保值函数”的定义，因此函数2()2g x x x =-不是定义域[01]，上的“保值函数”．………………………6/（2）因xa a x f 2112)(-+=在[]m n ，内是单调增函数，故()()f m mf n n ==，，……8/这说明m n ，是方程x xa a =-+2112的两个不相等的实根， ………………………………10/其等价于方程1)2(222=++-x a a x a 有两个不相等的实根，……………………………11/由222(2)40a a a ∆=+->解得23-<a 或21>a ． ………………………………………13/ 故a的取值范围为3122⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，． ………………………………………………14/20.解：（1）若{}n a 是等差数列，则对任意*n N ∈，有122n n n a a a ++=+，………………2/即121()2n n n a a a ++=+，………………………………………………………………………3/故12k =．………………………………………………………………………………………4/（2）当12k =-时，121()2n n n a a a ++=-+，即122n n n a a a ++=--， 211()n n n n a a a a ++++=-+，故32211()n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+． …………………………………………5/所以，当n 是偶数时，1234112()(11)22n n n n nS a a a a a a a a n -=++++++=+=+=；……………………7/当n 是奇数时，2312()2a a a a +=-+=-，12341n n n S a a a a a a -=++++++123451()()()n n a a a a a a a -=+++++++11(2)22n n -=+⨯-=-． ……………9/综上，()()222n n n S nn-=⎧⎪=⎨=⎪⎩（*k N ∈）． …………………………………………10/（3）若}{n a 是等比数列 ，则公比a a a q ==12，由题意1≠a ，故1-=m m a a ，m m a a =+1，12++=m m a a ．……11/① 若1m a +为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+⇔221a a =+，解得1=a （舍去）；……12/② 若ma 为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+⇔22a a =+，因1≠a ，故解得，2a =-，11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++； ……………………………14/③ 若2m a +为等差中项，则212m m m a a a ++=+，即112221m mma a aa a+-=+⇔=+， 因为1≠a ，解得212215a a k a =-==-+，． …………………………………………15/综上，存在实数k满足题意，25k =-．…………………………………………………16/21.解：（1）对于1A ，由2121x xy -=+得1201x y y +=>-，解得11y -<<，………………2/1A ∴为有界集合； …………………………………………3/显然252266A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+<<+∈⎨⎬⎭⎩，不是有界集合． ………………………4/（2）记()n n a f m =，则21n n a a u +=+．若14u =，则21()4f m m =+，22111()42n n n n n a a a a a +=+=-+≥，即1n n a a +≥，且211111()()2422n n n n a a a a +-=-=-+，从而1111222n n n a a a +-=-⋅+． （ⅰ）当12m =时，1()2n n f m a ==，所以1{}2B =，从而B 为有界集合．…………5/（ⅱ）当12m <时，由2114n n a a +=+，2111()()4a f m f m m ===+，显然，此时0n a >，利用数学归纳法可得12n a <，故B 为有界集合．…………………………………………6/（ⅲ）当12m >时，211111()()42n n a a a f m f m m m +≥≥≥===+≥>，2114n n n n a a a a +-=-+21()2n a =- 211()2a ≥-，即2111()2n n a a a +-≥-，由累加法得2111(1)()2n a a n a ≥+--→+∞，故B 不是有界集合．因此，当14u =，且12m ≤时，B 为有界集合；当14u =，且12m >时，B 不是有界集合； 若14u >，则211()()a f m f m m u u ===+≥，即114a u ≥>， 又2114n n a a u u +=+>>（n N *∈）， 即14n a >（n N *∈）． 于是，对任意n N *∈，均有221111()244n n n n n a a a a u a u u +-=-+=-+-≥-，即114n n a a u +-≥-（n N *∈），再由累加法得11(1)()4n a a n u ≥+--→+∞，故B 不是有界集合．………8/综上，当14u =，且12m ≤时，B 为有界集合；当14u =，且12m >时，B 不是有界集合；当14u >(m R ∈)时，B 不是有界集合． 故，满足题设的实数u 的值为14，且实数m 的取值范围是11[]22-，．………………10/ （3）存在．………………………………………………………………………11/不妨设a b c ≥≥．若2a cb +≤，则2a b c ≥-，且2()d b c =-． 故22222225()5()()d a b c b c a b c -++=--++22225()[(2)]b c b c b c ≤---++3(2)0c c b =-<，即22222215()05d d a b c a b c -++<⇔<++；…………13/若2a cb +>，则2a ac b <+<，即220a b a b <⇔-<， 又2a cb bc a b +>⇔->-，故2()d a b =-，又 22222225()5()()d a b c a b a b c -++=--++22(2)(2)0a b a b c =---<，即 2225()0d a b c -++<22215d a b c ⇔<++，因此，15是有界集合C 的一个上界．…………………………15/下证：上界15λ<不可能出现． 假设正数15λ<出现，取2a c b +=，1()05c a λ=->，则22a c d -⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时，d22222213()()()55a b c a b c acλλ=+++-++-22221()()5a b c a acλλ>+++--222()a b c λ=++（*）…17/由式（*）可得222222()dd a b c a b c λλ>++⇔>++，与λ是C 的一个上界矛盾！．综上所述，满足题设的最小正数λ的值为15． …………………………………………18/。

2019届上海市黄浦区高三二模数学试题一、单选题1．设，“”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【答案】A【解析】先解不等式得到的范围，再根据充分条件与必要条件的概念即可求出结果.【详解】解不等式可得或，所以，由“”能推出“或”；由“或”不能推出“”，故“”是“”的充分不必要条件.故选A【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件，熟记概念即可，属于常考题型.2．已知梯形，，设，向量的起点和终点分别是、、、中的两个点，若对平面中任意的非零向量，都可以唯一表示为、的线性组合，那么的个数为（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【解析】根据对平面中任意的非零向量，都可以唯一表示为、的线性组合，可知：、不共线，进而可得出结果.【详解】因为对平面中任意的非零向量，都可以唯一表示为、的线性组合，所以、不共线；又，向量的起点和终点分别是、、、中的两个点，所以，起点和终点分别是、、、中的两个点的向量与共线的有，，，，共四个向量；又起点和终点分别是、、、中的两个点的向量共有，因此，满足题意的的个数为.故选B【点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及排列组合问题，熟记可作为基底的向量的特征即可，属于常考题型.3．在某段时间内，甲地不下雨的概率为（），乙地不下雨的概率为（），若在这段时间内两地下雨相互独立，则这段时间内两地都下雨的概率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据相互独立事件的概率，可直接写出结果.【详解】因为甲地不下雨的概率为，乙地不下雨的概率为，且在这段时间内两地下雨相互独立，所以这段时间内两地都下雨的概率为.故选D【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率，熟记概念即可，属于基础题型.4．在△中，，，，下列说法中正确的是（）A．用、、为边长不可以作成一个三角形B．用、、为边长一定可以作成一个锐角三角形C．用、、为边长一定可以作成一个直角三角形D．用、、为边长一定可以作成一个钝角三角形【答案】B【解析】由三角形的性质可得：任意两边之和大于第三边，再由余弦定理即可得出结果. 【详解】因为在△中，，，，所以，，，所以，所以；同理可得；，故、、可以作为三角形的三边；若、、分别对应三角形的三边，根据余弦定理可得：；；；即、、所对应的三个角均为锐角，所以用、、为边长一定可以作成一个锐角三角形.故选B【点睛】本题主要考查三角形的性质以及余弦定理，熟记余弦定理即可，属于常考题型.二、填空题5．行列式的值为__________．【答案】-1【解析】根据直接得，即可得出结果.【详解】因为.故答案为【点睛】本题主要考查行列式的简单计算，熟记公式即可，属于基础题型.6．计算：__________．【答案】【解析】分子分母同除以，即可求出结果.【详解】因为.故答案为【点睛】本题主要考查“”型的极限计算，熟记常用做法即可，属于基础题型.7．椭圆的焦距长为__________．【答案】2【解析】根据椭圆方程求出，进而可求出结果.【详解】因为椭圆中，，所以，所以焦距为.故答案为2【点睛】本题主要考查椭圆的焦距，熟记椭圆的性质即可，属于基础题型.8．若函数的反函数为，则________【答案】9【解析】根据函数的反函数解析式可求出解析式，进而可求出结果.【详解】因为函数的反函数为，令，则，所以，故.故答案为9【点睛】本题主要考查反函数，熟记反函数与原函数之间的关系即可求解，属于基础题型. 9．若球主视图的面积为，则该球的体积等于________【答案】【解析】根据球的三视图都相当于过球心的截面圆，由题中数据可得球的半径，从而可求出结果.【详解】设球的半径为，因为球主视图的面积为，所以，故，所以该球的体积为.故答案为【点睛】本题主要考查球的体积，熟记球的三视图以及球的体积公式即可，属于基础题型. 10．不等式的解集为________【答案】【解析】先由可得，从而可直接得出结果.【详解】因为，所以，所以或，即或，因此，原不等式的解集为.故答案为【点睛】本题主要考查含绝对值不等式的解法，先将原式进行变形即可求解，属于基础题型. 11．若等比数列的前项和，则实数________【答案】【解析】根据为等比数列，由求出，得到，再由即可求出结果.【详解】因为等比数列的前项和，所以，所以，又，所以.故答案为【点睛】本题主要考查等比数列，熟记前项和公式即可，属于基础题型.12．在的二项展开式中，若所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于______【答案】112【解析】由题意可得：，结合二项式展开式通项公式可得：，令可得：，则常数项为：.13．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为________【答案】【解析】由函数在区间上单调递增，得到在每一部分都单调递增，且，即可求出结果.【详解】因为函数在区间上单调递增，所以在每一部分都单调递增，且，即，解得.故答案为【点睛】本题主要考查分段函数单调的问题，只需满足每一部分单调，并且特别主要结点位置的取值即可，属于常考题型.14．设，若关于的方程在区间上有三个解，且它们的和为，则________【答案】或【解析】由关于的方程在区间上有三个解，且函数的最小正周期为可得，最大和最小的解分别为和，根据它们的和为，可求出中间的解，列出等式，根据的范围即可求出结果.【详解】因为关于的方程在区间上有三个解，且函数的最小正周期为，再由三角函数的对称性可知：方程在区间上的解的最小值与最大值分别为和；又它们的和为，所以中间的解为，所以有，即，故，又，所以或.故答案为或【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质，熟记正弦型函数的性质即可，属于常考题型.15．已知复数集合，其中为虚数单位，若复数，则对应的点在复平面内所形成图形的面积为________【答案】【解析】先由复数的几何意义确定集合所对应的平面区域，再确定集合所对应的平面区域，由复数，可得复数对应的点在复平面内所形成图形即为集合与集合所对应区域的重叠部分，结合图像求出面积即可.【详解】因为复数集合，所以集合所对应的平面区域为与所围成的正方形区域；又，设，且,,，所以，设对应的点为，则，所以，又,，所以，因为复数，对应的点在复平面内所形成图形即为集合与集合所对应区域的重叠部分，如图中阴影部分所示，由题意及图像易知：阴影部分为正八边形，只需用集合所对应的正方形区域的面积减去四个小三角形的面积即可.由得，由得，所以.故答案为【点睛】本题主要考复数的几何意义，以及不等式组所表示平面区域问题，熟记复数的几何意义，灵活掌握不等式组所表示的区域即可，属于常考题型.三、解答题16．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点.（1）求证：直线平行于平面；（2）求异面直线与所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）【答案】（1）略；（2）【解析】（1）取中点为，连结，证明，即可得出直线平面；(2)连结，根据可得，直线与所成角即等于直线与所成角，连结，解三角形即可得出结果.【详解】(1) 取中点为，连结，因为在棱长为2的正方体中，为的中点，所以平行且等于，所以四边形为平行四边形，因此，，又平面，平面，所以平面；(2) 连结，因为在正方体中，易知，所以直线与所成角，即等于直线与所成角，连结，因为正方体棱长为2，所以，，所以，所以异面直线与所成角的大小为.【点睛】本题主要考查线面平行的判定以及异面直线所成的角，熟记线面平行的判定定理以及异面直线所成角的几何求法即可，属于常考题型.17．经济订货批量模型，是目前大多数工厂、企业等最常采用的订货方式，即某种物资在单位时间的需求量为某常数，经过某段时间后，存储量消耗下降到零，此时开始订货并随即到货，然后开始下一个存储周期，该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的存储问题，具体如下：年存储成本费（元）关于每次订货（单位）的函数关系，其中为年需求量，为每单位物资的年存储费，为每次订货费. 某化工厂需用甲醇作为原料，年需求量为6000吨，每吨存储费为120元/年，每次订货费为2500元.（1）若该化工厂每次订购300吨甲醇，求年存储成本费；（2）每次需订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少？最少费用为多少？【答案】（1），；（2），【解析】(1)根据题中数据求出，，，得到，再将代入即可得出结果；(2)根据基本不等式求出最小值，注意等号成立的条件，即可得出结果.【详解】(1)因为年存储成本费（元）关于每次订货（单位）的函数关系，其中为年需求量，为每单位物资的年存储费，为每次订货费.由题意可得：，，，所以存储成本费，若该化工厂每次订购300吨甲醇，所以年存储成本费为；(2)因为存储成本费，，所以，当且仅当，即时，取等号；所以每次需订购吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少，最少费用为.【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可求解，属于常考题型.18．已知函数.（1）设，判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）设函数，对任意，求在区间上零点个数的所有可能值。

上海市普陀区2019届高三3月模拟练习（二模）数学试题一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由题意得到OA、OB、OC两两垂直，结合几何体，设为ABC所在平面截球所得圆的圆心，由勾股定理即可求出结果.【详解】显然OA、OB、OC两两垂直，如图，设为ABC所在平面截球所得圆的圆心，，且，．为的中心．由，可得．故选：B．【点睛】本题主要考查点到平面的距离，结合勾股定理即可求解，属于基础题型.2.在中，，，，若将绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，绕直线旋转一周，，则所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去一个以ABD为轴截面的校园追后剩余的部分.因为，，，所以.，所以.故选D.3.将函数图象上的点向左平移个单位，得到点，若位于函数的图象上，则A. ，s的最小值为B. ，s的最小值为C. ，s的最小值为D. ，s的最小值为【答案】C【解析】【分析】先由题意求出，再由将函数图象上的点向左平移个单位，得到点，以及位于函数的图象上，可表示出，进而可求出结果.【详解】将代入得：，进而求出平移后的坐标，将函数图象上的点向左平移个单位，得到点()，若位于函数的图象上，则，则，，则，，由得：当时，s的最小值为，故选：C．【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，熟记平移原则以及三角函数性质即可，属于常考题型.4.已知x，，且，则存在，使得成立的构成的区域面积为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由目标函数作出可行域，根据可得，由换元法令，则，可将存在，使得成立，转化为存在，使得成立，进而可确定x，所满足的平面区域，继而可求出结果.【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：对应的区域为三角形OAB，若存在，使得成立，则，令，则，则方程等价为，即，存在，使得成立，，即，则对应的区域为单位圆的外部，由，解得，即，，则三角形OAB的面积，直线的倾斜角为，则，即扇形的面积为，则构成的区域面积为，故选：A．【点睛】本题主要考查线性规划问题，只需作出可行域，再根据题意确定x，所满足的平面区域，即可求解，属于常考题型.二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.已知集合，，则______．【答案】【解析】【分析】先解将得到集合，进而可求出结果.【详解】或或，则，故答案为：．【点睛】本题主要考查补集的运算，熟记概念即可，属于基础题型.6.已知复数是虚数单位，则的虚部等于______．【答案】-1【解析】【分析】先由复数的运算化简，进而可求出结果.【详解】，的虚部等于．故答案为：．【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记运算法则和复数的概念即可，属于基础题型.7.计算______．【答案】【解析】【分析】先对化简，再分子与分母同除以，即可求出结果.【详解】，．原式．故答案为：．【点睛】本题主要考查“”的极限问题，先将原式进行化简即可，属于基础题型.8.行列式中第2行第1列元素的代数余子式的值为，则______．【答案】-14【解析】【分析】先由题意得到，再进一步计算即可得出结果.【详解】由题意得解得：．故答案为：．【点睛】本题主要考查矩阵的计算，熟记概念和公式即可，属于基础题型.9.被7除后的余数为______．【答案】2【解析】【分析】先由化为，再由二项展开式展开即可得出结果.【详解】．被7除后的余数为2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，熟记二项展开式即可，属于常考题型.10.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是______【答案】【解析】观察三视图可知：该几何体为底面半径为2，高为6的圆锥，则母线长为，故侧面积为，故答案为.11.已知，，则______．【答案】【解析】【分析】利用两角差正切公式即可得到结果.【详解】,故答案为：【点睛】本题考查两角和与差的正切公式，考查计算能力，属于基础题.12.从5名同学中任选3人担任上海进博会志愿者，则“甲被选中，乙没有被选中”的概率是______．【答案】【解析】【分析】先求出“从5名同学中任选3人担任上海进博会志愿者”所包含的基本事件总数，再求出满足“甲被选中，乙没有被选中”的基本事件数，即可求出结果.【详解】从5名同学中任选3人担任上海进博会志愿者，基本事件总数，“甲被选中，乙没有被选中”包含的基本事件有，“甲被选中，乙没有被选中”的概率．故答案为：．【点睛】本题主要考查古典概型，熟记概率计算公式即可求解，属于常考题型.13.如果的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是______．【答案】【解析】二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则,令可得展开式中的所有项的系数之和是.14.若关于x、y的二元一次方程组至少有一组解，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】先将方程组化为二元一次方程组，根据题意求出直线与直线平行时的值，即可得出满足题意的m的取值范围。

上海市虹口区2019届高三二模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.设全集，若，则________【答案】【解析】【分析】先化简集合A，再利用补集定义直接求解．【详解】∵全集U＝R，集合A＝{x||x﹣3|＞1}＝{x|x＞4或x＜2），∴∁U A＝{x|2≤x≤4}＝[2，4]故答案为：[2，4]【点睛】本题考查补集的求法，考查补集定义、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.若复数（为虚数单位），则的共轭复数________【答案】【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【详解】由z＝i（2﹣i）＝1+2i，得．故答案为：1﹣2i．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的基本概念，是基础题．3.已知，在第四象限，则________【答案】【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系及诱导公式，求得的值．【详解】∵cosθ，且θ是第四象限角，则sinθ，又sinθ=，故答案为．【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用，考查了三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．4.行列式的元素的代数余子式的值等于________【答案】7【解析】【分析】利用代数余子式的定义和性质直接求解．【详解】行列式的元素π的代数余子式的值为：（﹣1）2+1（4cos9sin）＝﹣（2﹣9）＝7．故答案为：7．【点睛】本题考查行列式的元素的代数余子式的值的求法，考查代数余子式的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.5位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为________【答案】【解析】【分析】设A＝{周六、周日都有同学参加公益活动}，计算出事件A包含的基本事件的个数，除以基本事件的总数可得．【详解】设A＝{周六、周日都有同学参加公益活动}，基本事件的总数为25＝32个，而5人都选同一天包含2种基本事件，故A包含32﹣2＝30个基本事件，∴p（A）．故填：．【点睛】本题考查古典概型的概率计算，考查了利用对立事件来求事件A包含的基本事件的方法，属于基础题．6.已知、是椭圆的两个焦点，点为椭圆上的点，，若为线段的中点，则线段的长为________【答案】2【解析】【分析】求出椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义转化求解即可．【详解】F1、F2是椭圆的两个焦点，可得F1（﹣3，0），F2（3，0）．a＝6．点P为椭圆C上的点，|PF1|＝8，则|PF2|＝4，M为线段PF1的中点，则线段OM的长为：|PF2|＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查椭圆的的定义及简单性质的应用，是基本知识的考查．7.若函数（）有3个零点，则实数的取值范围是________【答案】【解析】【分析】利用数形结合，通过a与0的大小讨论，转化求解a的范围即可．【详解】函数f（x）＝x|x﹣a|﹣4有三个不同的零点，就是x|x﹣a|＝4有三个不同的根；当a＞0时，函数y＝x|x﹣a|与y＝4的图象如图：函数f（x）＝x|x﹣a|﹣4（a∈R）有3个零点，必须，解得a＞4；当a≤0时，函数y＝x|x﹣a|与y＝4的图象如图：函数f（x）＝x|x﹣a|﹣4不可能有三个不同的零点，综上a∈（4，+∞）．故答案为：（4，+∞）．【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，考查数形结合以及分类讨论思想的应用，考查计算能力．8.若函数（）为偶函数，则的值为________【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义可得f（﹣x）＝f（x），即log3（9x+1）+kx＝log3（9﹣x+1）+k（﹣x），变形可得k的值，即可得答案．【详解】根据题意，函数（k∈R）为偶函数，则有f（﹣x）＝f（x），即log3（9x+1）+kx＝log3（9﹣x+1）+k（﹣x），变形可得：2kx＝log3（9﹣x+1）﹣log3（9x+1）＝﹣2x，则有k＝﹣1；故答案为：﹣1【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用以及对数的运算性质，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．9.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________【答案】【解析】【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，由三视图的数据可分析出底面的底和高及棱锥的高，代入棱锥体积公式，可得答案．【详解】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，如图:由三视图可知：底面的底和高均为2，棱锥的高为2，故底面S2×2故棱锥的体积V Sh2，故答案为．【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中由已知中的三视图判断出几何体的形状，及棱长，高等几何量是解答的关键．10.在平面直角坐标系中，边长为1的正六边形的中心为坐标原点，如图所示，双曲线是以、为焦点的，且经过正六边形的顶点、、、，则双曲线的方程为________【答案】【解析】【分析】求出B的坐标，代入双曲线方程，结合焦距，求出a，b即可得到双曲线方程．【详解】由题意可得c＝1，边长为1的正六边形ABCDEF的中心为坐标原点O，如图所示，双曲线Γ是以C、F为焦点的，且经过正六边形的顶点A、B、D、E，可得B（，），代入双曲线方程可得：，a2+b2＝1，解得a2，b2，所求双曲线的方程为：．故答案为：．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用以及双曲线方程的求法，是基本知识的考查．11.若函数，则的值为________【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（0）与f（﹣1）的值，据此依次求出f（1）、f（2）、f（3）的值，分析可得f（x）＝f（x+6），（x>0），据此可得f（2019）＝f（3+336×6）＝f（3），即可得答案．【详解】根据题意，函数，当x≤0时，f（x）＝2﹣x，则f（0）＝20＝1，f（﹣1）＝2﹣1＝2，当x＞0时，f（x）＝f（x﹣1）﹣f（x﹣2），①f（x+1）＝f（x）﹣f（x﹣1），②①+②得f（x+1）＝﹣f（x﹣2），∴f（x+4）＝﹣f（x+1）= f（x﹣2），即f（x+6）＝f（x），，又f（2019）＝f（3+336×6）＝f（3）而f（1）＝f（0）﹣f（﹣1）＝1﹣2＝﹣1，f（2）＝f（1）﹣f（0）＝﹣1﹣1＝﹣2，f（3）＝f（2）﹣f（1）＝﹣2﹣（﹣1）＝﹣1，∴f（2019）＝f（3+336×6）＝f（3）＝﹣1；故答案为：﹣1．【点睛】本题考查分段函数值的计算，考查了周期性的推导与应用，属于中档题．12.过点作圆（）的切线，切点分别为、，则的最小值为________【答案】【解析】【分析】根据圆心到点P的距离以及平面向量的数量积定义，求出PC的最小值，计算再计算的最小值．【详解】圆C：（x m）2+（y﹣m+1）2＝1的圆心坐标为（m，m﹣1），半径为1，∴PC，P A＝PB，cos∠APC，∴cos∠APB＝2（）2﹣1＝1，∴•（PC2﹣1）×（1）＝﹣3+PC23+23+2，当且仅当PC时取等号，∴的最小值为23．故答案为：23．【点睛】本题考查了平面向量的数量积的定义及基本不等式求最值问题，考查了直线与圆的位置关系应用问题，是中档题．二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.已知、是两个不同平面，为内的一条直线，则“∥”是“∥”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】m∥β不一定得到直线与平面平行，由此可判断不充分，由面面平行的定义及性质可判断必要性.【详解】α、β表示两个不同的平面，直线m⊂α，m∥β，不一定得到直线与平面平行，还有一种情况可能是直线和平面相交，∴不满足充分性；当两个平面平行时，由面面平行的定义及性质可知：其中一个平面上的直线一定平行于另一个平面，一定存在m∥β，∴满足必要性，∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件故选：B．【点睛】本题考查充分必要条件的判断和线面、面面平行的定义及性质的应用，解题的关键是熟练掌握平面与平面平行的判定与性质定理，是一个基础题．14.钝角三角形的面积是，，，则等于（）A. 1B. 2C.D. 5【答案】C【解析】【分析】由三角形的面积公式求得角B，再由余弦定理求得AC的值．【详解】由题意，钝角△ABC的面积是S•AB•BC•sin B1sin B sin B，∴sin B，∴B或（不合题意，舍去）；∴cos B，由余弦定理得：AC2＝AB2+CB2﹣2AB•CB•cos B＝1+2﹣2×1（）＝5，解得AC的值为．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的面积公式和余弦定理的应用问题，是基础题．15.已知直线经过不等式组表示的平面区域，且与圆相交于、两点，则当最小时，直线的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】画出不等式组表示的区域，过点P的直线l与圆C：x2+y2＝16相交于A、B两点，则|AB|的最小值时，区域内的点到原点（0，0）的距离最大．由此可得结论．【详解】不等式组表示的区域如图阴影部分，其中AB的中点为P，则AP⊥OP，所以|OP|最长时，AB最小，因为最小l经过可行域，由图形可知点P为直线x﹣2y+1＝0与y﹣2＝0的交点（3，2）时，|OP|最长，因为k OP，则直线l的方程为：y﹣2（x﹣4），即．故选：D．【点睛】本题考查线性规划知识，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是|AB|的最小值时，区域内的点到原点（0，0）的距离最大．16.已知等比数列的首项为2，公比为，其前项和记为，若对任意的，均有恒成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】S n•，①n为奇数时，S n•，根据单调性可得：S n≤2；②n为偶数时，S n•，根据单调性可得：≤S n．可得S n的最大值与最小值分别为：2，．考虑到函数y＝3t在（0，+∞）上单调递增，即可得出．【详解】S n•，①n为奇数时，S n•，可知：S n单调递减，且•，∴S n≤S1＝2；②n为偶数时，S n•，可知：S n单调递增，且•，∴S2≤S n．∴S n的最大值与最小值分别为：2，．考虑到函数y＝3t在（0，+∞）上单调递增，∴A．B．∴B﹣A的最小值．故选：B．【点睛】本题考查了等比数列的求和公式及数列单调性的判断和应用问题，考查了恒成立问题的转化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.已知函数（，）.（1）若函数的反函数是其本身，求的值；（2）当时，求函数的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由互为反函数的函数定义域和值域互换得反函数解析式．（2）得到解析式后根据基本不等式求最小值．【详解】（1）由题意知函数f（x）的反函数是其本身，所以f（x）的反函数a y＝9﹣3x，x＝，反函数为y＝，所以a＝3．（2）当时，f（x）＝，f（﹣x）＝，则y＝f（x）+f（﹣x）＝﹣3，故最小值为﹣3．【点睛】本题考查了反函数和基本不等式的应用，属于简单题．18.如图，在多面体中，、、均垂直于平面，，，，.（1）求与平面所成角的大小；（2）求二面角的大小.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】由题意建立空间直角坐标系．（1）由已知分别求出的坐标与平面A1B1C1的一个法向量，则线面角可求；（2）求出平面AA1B1的一个法向量，结合（1），由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣A1B1﹣C1的大小．【详解】由题意建立如图所示空间直角坐标系，∵AA1＝4，CC1＝3，BB1＝AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，∴A（0，0，0），A1（0，0，4），B1（，﹣1，2），C1（0，2，3）．（1），，，设平面A1B1C1的一个法向量为，由，取y＝1，得．∴AB1与A1B1C1所成角的最小值sinθ＝|cos|．∴AB1与A1B1C1所成角的大小为；（2）设平面AA1B1的一个法向量为，由，取x1＝1，得．∴cos．∴二面角A﹣A1B1﹣C1的大小为．【点睛】本题考查利用空间向量法求解空间角，考查计算能力，是中档题．19.如图，一块长方形区域，，，在边的中点处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为，设，探照灯照射在长方形内部区域的面积为.（1）求关于的函数关系式；（2）当时，求的最大值.【答案】（1）S（2）【解析】【分析】（1）根据条件讨论α的范围，结合三角形的面积公式进行求解即可．（2）利用两角和差的三角公式进行化简，结合基本不等式的性质进行转化求解即可．【详解】（1），则OA＝1，即AE＝tanα，∠HOFα，HF＝tan（α），则△AOE，△HOF得面积分别为tanα，tan（α），则阴影部分的面积S＝1，，当∈[，）时，E在BH上，F在线段CH上，如图②，EH，FH，则EF，则S（），即，；同理当，；即S．（2）当时，S＝12（1+tanα）∵0≤tanα≤1，即1≤1+tanα≤2，则1+tanα22，当且仅当1+tanα，即1+tanα时取等号，即，即S的最大值为2【点睛】本题主要考查函数的应用问题，结合三角形的面积公式以及两角和差的正切公式以及利用基本不等式的性质是解决本题的关键，考查学生的运算能力，属于中档题．20.设为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线相交于、两点.（1）若，求此时直线的方程；（2）若与直线垂直的直线过点，且与抛物线相交于点、，设线段、的中点分别为、，如图，求证：直线过定点；（3）设抛物线上的点、在其准线上的射影分别为、，若△的面积是△的面积的两倍，如图，求线段中点的轨迹方程.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，由直线方程的点斜式写出直线l的方程，和抛物线方程联立后利用2得直线方程．（2由（1）得点P，又直线与直线垂直，将m换为,同理可得Q（，﹣）．由此可求直线PQ的方程，可得结论；（3）利用△的面积是△的面积的两倍，求出N的坐标，再利用直线的斜率公式及点差法求TS中点的轨迹方程．【详解】（1）抛物线焦点坐标为F（1，0），设直线方程为x＝my+1，设点A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得：y2﹣4my﹣4＝0，则由韦达定理有：y1+y2＝4m，①，y1y2＝﹣4，②∵2，∴1﹣x1＝2（x2﹣1），﹣y1＝2y2，③，由①②③可得m2，∴,∴直线方程为x＝y+1，即．（2）由（1）得点P，又直线与直线垂直，将m换为,同理可得Q（，﹣）．m 时，直线PQ的斜率k PQ，直线PQ的方程为：y-2m（x﹣1﹣2），整理为m（x﹣3）﹣（m2﹣1）y＝0，于是直线PQ恒过定点E（3，0），m＝±1时，直线PQ的方程为：x＝3，也经过点E（3，0）．综上所述：直线PQ恒过定点E（3，0）．（3）设S（x1，y1），T（x2，y2），F（1，0），准线为x＝﹣1，2||＝|y1﹣y2|，设直线TS与x轴交点为N，∴S△TSF|FN||y1﹣y2|，∵的面积是△TSF的面积的两倍，∴|FN|＝，∴|FN|=1,∴x N＝2，即N（2，0）．设TS中点为M（x，y），由得﹣＝4（x1﹣x2），又，∴，即y2＝2x﹣4．∴TS中点轨迹方程为y2＝2x﹣4．【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及其几何性质的应用，考查轨迹方程的求解，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，是中档题．21.设各项均为正数的数列的前项和为，且，（，），数列满足（）.（1）求数列、的通项公式；（2）设，是的前项和，求正整数，使得对任意的，均有；（3）设，且，其中（，），求集合中所有元素的和.【答案】（1），；（2）；（3）见解析.【解析】【分析】（1）①a1＝1，a n2＝S n+S n﹣1（n∈N*，n≥2），S n+1+S n，相减可得：a n+1+a n，化简利用已知条件及其等差数列的通项公式可得a n．②数列{b n}满足（n∈N*）．n≥2时，b1b2•…b n﹣1，相除可得b n．（2）c n，利用求和公式与裂项求和方法可得：T n．作差T n+1﹣T n，利用其单调性即可得出．（3）x＝k1b1+k2b2+…+k n b n，且x＞0，其中k1，k2，…，k n∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），①要使x＞0，则必须k n＝1．其它k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．通过放缩及其求和公式即可证明．另外k n＝1．此时：x≥﹣2﹣22﹣……﹣2n﹣1+2n＞0．②其它k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．此时集合内的元素x共有2n﹣1个互不相同的正数，利用乘法原理可得：表示x的式子共有2n﹣1个．利用反证法证明这2n﹣1个式子所表示的x互不相等，再分析求解所有元素的和．【详解】（1）①a1＝1，a n2＝S n+S n﹣1（n∈N*，n≥2），∴S n+1+S n，相减可得：a n+1+a n，化为：（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣1）＝0，∵a n+1+a n＞0，∴a n+1﹣a n＝1，又S2+S1，可得a2﹣2＝0，a2＞0，解得：a2＝2，∴a2﹣a1＝1，∴数列{a n}设等差数列，a n＝1+n﹣1＝n．②数列{b n}满足（n∈N*）．n≥2时，b1b2•…b n﹣1，∴．（2）c n，∴T n（1）．T n+1﹣T n（）．n≤3时，T n+1≥T n．n≥4时，T n+1≤T n．当m＝4时，使得对任意的n∈N*，均有T m≥T n．（3）x＝k1b1+k2b2+…+k n b n，且x＞0，其中k1，k2，…，k n∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），①要使x＞0，则必须k n＝1．其它k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．证明：若k n＝﹣1，则x＝k1•2+k2•22+…+k n﹣1•2n﹣1﹣k n•2n≤2+22+……+2n﹣1﹣2n2n＝﹣2＜0，此时x恒为负数，不成立．∴k n＝1．此时：x≥﹣2﹣22﹣……﹣2n﹣1+2n2n＝2＞0，故k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．②其它k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．此时集合内的元素x共有2n﹣1个互不相同的正数．证明：k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），利用乘法原理可得：表示x的式子共有2n﹣1个．下面证明这2n﹣1个式子所表示的x互不相等，具体如下：证明：假如这2n﹣1个式子所表示的x存在相等的数，x1＝2n+k n﹣1•2n﹣1+……+k2•22+k1•2＝x2＝2n•2n﹣1•22•2．k i，∈{﹣1，1}（i∈N*，n﹣1≥i≥2），即满足k i∈{﹣1，1}（i∈N*，n﹣1≥i≥2）的第一组系数的下标数为m．则•2m•2m﹣1+（）•2m﹣2+……+（）•2，而|•2m﹣1+（）•2m﹣2+……+（）•2|≤2•2m﹣1+2•2m﹣2+……+2×2＝2m+1﹣4＜|•2m|＜2m+1．因此，假设不成立，即这2n﹣1个式子所表示的x互不相等．③这2n﹣1个x互不相等的正数x（每个均含k n b n＝2n）．又k i＝1或﹣1（i＝1，2，……，n﹣1）等可能出现，因此所有k i b i（i＝1，2，……，n﹣1）部分的和为0．故集合B中所有元素的和为所有k n b n＝2n的和，即2n•2n﹣1＝22n﹣1．【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、数学归纳法、方程与不等式的解法、反证法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2019届上海市黄浦区高三二模考试数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、填空题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.行列式的值为__________．【答案】-1【解析】【分析】根据直接得，即可得出结果.【详解】因为.故答案为2.计算：__________．【答案】【解析】【分析】分子分母同除以，即可求出结果.【详解】因为.故答案为【点睛】本题主要考查“”型的极限计算，熟记常用做法即可，属于基础题型.3.椭圆的焦距长为__________．【答案】2【解析】【分析】根据椭圆方程求出，进而可求出结果.【详解】因为椭圆中，，所以，所以焦距为.故答案为24.若函数的反函数为，则________【答案】9【解析】【分析】根据函数的反函数解析式可求出解析式，进而可求出结果.【详解】因为函数的反函数为，令，则，所以，故.故答案为95.若球主视图的面积为，则该球的体积等于________【答案】【解析】【分析】根据球的三视图都相当于过球心的截面圆，由题中数据可得球的半径，从而可求出结果.【详解】设球的半径为，因为球主视图的面积为，所以，故，所以该球的体积为.故答案为6.不等式的解集为________【答案】【解析】【分析】先由可得，从而可直接得出结果.【详解】因为，所以，所以或，即或，因此，原不等式的解集为.故答案为7.若等比数列的前项和，则实数________【答案】【解析】【分析】根据为等比数列，由求出，得到，再由即可求出结果. 【详解】因为等比数列的前项和，所以，所以，又，所以.故答案为【点睛】本题主要考查等比数列，熟记前项和公式即可，属于基础题型.8.在的二项展开式中，若所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于______【答案】112【解析】由题意可得：，结合二项式展开式通项公式可得：，令可得：，则常数项为：.9.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为________【答案】【解析】 【分析】 由函数在区间上单调递增，得到在每一部分都单调递增，且，即可求出结果.【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以在每一部分都单调递增，且，即，解得.故答案 10.设，若圆（）与直线有交点，则的最小值为________ 【答案】【解析】 【分析】根据直线与圆相交，可得圆心到直线的距离小于等于半径，列出不等式即可求出结果.【详解】因为圆的圆心为， 又圆（）与直线有交点，所以存在，使得圆心到直线的距离即可，即成立即可，其中，又，所以的最小值为.故答案为11.设，若关于的方程在区间上有三个解，且它们的和为，则________【答案】或 【解析】【分析】 由关于的方程在区间上有三个解，且函数的最小正周期为可得，最大和最小的解分别为和，根据它们的和为，可求出中间的解，列出等式，根据的范围即可求出结果. 【详解】因为关于的方程在区间上有三个解，且函数的最小正周期为，再由三角函数的对称性可知：方程在区间上的解的最小值与最大值分别为和；又它们的和为，所以中间的解为， 所以有，即，故，又，所以或.故答案为或 12.已知复数集合，其中为虚数单位，若复数，则对应的点在复平面内所形成图形的面积为________【答案】 【解析】 【分析】先由复数的几何意义确定集合所对应的平面区域，再确定集合所对应的平面区域，由复数，可得复数对应的点在复平面内所形成图形即为集合与集合所对应区域的重叠部分，结合图像求出面积即可. 【详解】因为复数集合，所以集合所对应的平面区域为与所围成的正方形区域；又，设，且,,，所以，设对应的点为，则，所以，又,，所以，因为复数，对应的点在复平面内所形成图形即为集合与集合所对应区域的重叠部分，如图中阴影部分所示，由题意及图像易知：阴影部分为正八边形，只需用集合所对应的正方形区域的面积减去四个小三角形的面积即可.由得，由得，所以.故答案为第Ⅱ卷（共90分）二、选择题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设，“”是“”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】A【解析】【分析】先解不等式得到的范围，再根据充分条件与必要条件的概念即可求出结果.【详解】解不等式可得或，所以，由“”能推出“或”；由“或”不能推出“”，故“”是“”的充分不必要条件.故选A【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件，熟记概念即可，属于常考题型.14.已知梯形，，设，向量的起点和终点分别是、、、中的两个点，若对平面中任意的非零向量，都可以唯一表示为、的线性组合，那么的个数为（）A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】B【解析】【分析】根据对平面中任意的非零向量，都可以唯一表示为、的线性组合，可知：、不共线，进而可得出结果.【详解】因为对平面中任意的非零向量，都可以唯一表示为、的线性组合，所以、不共线；又，向量的起点和终点分别是、、、中的两个点，所以，起点和终点分别是、、、中的两个点的向量与共线的有，，，，共四个向量；又起点和终点分别是、、、中的两个点的向量共有，因此，满足题意的的个数为.故选B【点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及排列组合问题，熟记可作为基底的向量的特征即可，属于常考题型.15.在某段时间内，甲地不下雨的概率为（），乙地不下雨的概率为（），若在这段时间内两地下雨相互独立，则这段时间内两地都下雨的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据相互独立事件的概率，可直接写出结果.【详解】因为甲地不下雨的概率为，乙地不下雨的概率为，且在这段时间内两地下雨相互独立，所以这段时间内两地都下雨的概率为.故选D【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率，熟记概念即可，属于基础题型.16.在△中，，，，下列说法中正确的是（）A. 用、、为边长不可以作成一个三角形B. 用、、为边长一定可以作成一个锐角三角形C. 用、、为边长一定可以作成一个直角三角形D. 用、、为边长一定可以作成一个钝角三角形【答案】B【解析】【分析】由三角形的性质可得：任意两边之和大于第三边，再由余弦定理即可得出结果. 【详解】因为在△中，，，，所以，，，所以，所以；同理可得；，故、、可以作为三角形的三边；若、、分别对应三角形三边，根据余弦定理可得：；；；即、、所对应的三个角均为锐角，所以用、、为边长一定可以作成一个锐角三角形.故选B【点睛】本题主要考查三角形的性质以及余弦定理，熟记余弦定理即可，属于常考题型.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，在棱长为2的正方体中，为的中点.（1）求证：直线平行于平面；（2）求异面直线与所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）【答案】（1）略；（2）【解析】【分析】（1）取中点为，连结，证明，即可得出直线平面；(2)连结，根据可得，直线与所成角即等于直线与所成角，连结，解三角形即可得出结果.【详解】(1) 取中点为，连结，因为在棱长为2的正方体中，为的中点，所以平行且等于，所以四边形为平行四边形，因此，，又平面，平面，所以平面；(2) 连结，因为在正方体中，易知，所以直线与所成角，即等于直线与所成角，连结，因为正方体棱长为2，所以，，所以，所以异面直线与所成角的大小为.【点睛】本题主要考查线面平行的判定以及异面直线所成的角，熟记线面平行的判定定理以及异面直线所成角的几何求法即可，属于常考题型.18.经济订货批量模型，是目前大多数工厂、企业等最常采用的订货方式，即某种物资在单位时间的需求量为某常数，经过某段时间后，存储量消耗下降到零，此时开始订货并随即到货，然后开始下一个存储周期，该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的存储问题，具体如下：年存储成本费（元）关于每次订货（单位）的函数关系，其中为年需求量，为每单位物资的年存储费，为每次订货费. 某化工厂需用甲醇作为原料，年需求量为6000吨，每吨存储费为120元/年，每次订货费为2500元.（1）若该化工厂每次订购300吨甲醇，求年存储成本费；（2）每次需订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少？最少费用为多少？【答案】（1），；（2），【解析】【分析】(1)根据题中数据求出，，，得到，再将代入即可得出结果；(2)根据基本不等式求出最小值，注意等号成立的条件，即可得出结果.【详解】(1)因为年存储成本费（元）关于每次订货（单位）的函数关系，其中为年需求量，为每单位物资的年存储费，为每次订货费. 由题意可得：，，，所以存储成本费，若该化工厂每次订购300吨甲醇，所以年存储成本费为；(2)因为存储成本费，，所以，当且仅当，即时，取等号；所以每次需订购吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少，最少费用为. 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可求解，属于常考题型.19.已知函数.（1）设，判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）设函数，对任意，求在区间上零点个数的所有可能值。

绝密★启用前上海市嘉定区2019届高三年级第二次质量调研(二模)数学试题（解析版）2019年4月一、填空题：考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.已知集合，，则________．【答案】【解析】【分析】直接进行交集的运算即可．【详解】解：∵A＝{1,2,3,4},B＝{x|2＜x＜5,x∈R}；∴A∩B＝{3,4}．故答案为：{3,4}．【点睛】本题考查列举法、描述法的定义,以及交集的运算．2.已知复数满足（是虚数单位）,则______．【答案】【解析】【分析】利用复数的四则运算求出后用公式算其模.【详解】,故．【点睛】本题考查复数的四则运算,属于基础题.3.若线性方程组的增广矩阵为,解为,则_______．【答案】【解析】【分析】根据增广矩阵可得线性方程组,代入解后可求,从而得到.【详解】线性方程组为,因其解为,故,所以【点睛】本题考查增广矩阵的概念,属于基础题.4.在的二项展开式中,常数项的值为_______．【答案】【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式即可得出【详解】解：在的二项展开式中,通项公式为：T r+1x4﹣r x4﹣2r,令4﹣2r＝0,解得r＝2．∴常数项6．故答案为：6．【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题．5.已知一个圆锥的主视图（如图所示）是边长分别为,,的三角形,则该圆锥的侧面积为_____．【答案】【解析】【分析】根据圆锥的主视图可知：圆锥的母线长为5,底面半径为2,所以底面周长为4π再代入侧面积公式可得．【详解】解：根据圆锥的主视图可知：圆锥的母线长为5,底面半径为2,所以底面周长为4π,侧面积为5×4π＝10π,故答案为：10π．【点睛】本题考查了圆锥的侧面积,考查了计算能力,属基础题．6.已知实数,满足,则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】解：由实数x,y满足,作出可行域如图,由解得A（0,﹣1）．化z＝x+2y为y x,由图可知,当直线y x过A（0,﹣1）时,直线在y轴上的截距最小,z有最小值等于z＝0+2×（﹣1）＝﹣2．故答案为：﹣2．【点睛】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题．7.设函数（其中为常数）的反函数为,若函数的图像经过点,则方程的解为____．【答案】【解析】【分析】求出原函数的反函数,代入已知点的坐标求得a,则方程f﹣1（x）＝2的解可求．【详解】解：由y＝f（x）,得x﹣a＝y2（y≥0）,∴函数f（x）的反函数f﹣1（x）＝x2+a（x≥0）．把点（0,1）代入,可得a＝1．∴f﹣1（x）＝x2+1（x≥0）．由f﹣1（x）＝2,得x2+1＝2,即x＝1．故答案为：x＝1．【点睛】本题考查函数的反函数的求法,关键是明确反函数的定义域是原函数的值域,是基础题．8.学校从名男同学和名女同学中任选人参加志愿者服务活动,则选出的人中至少有名女同学的概率为_______（结果用数值表示）．【答案】【解析】【分析】基本事件总数n10．选出的2人中至少有1名女同学包含的基本事件个数m7,由此能求出选出的2人中至少有1名女同学的概率．【详解】解：学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动,基本事件总数n10．选出的2人中至少有1名女同学包含的基本事件个数m7,则选出的2人中至少有1名女同学的概率为p．故答案为：．【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型概率计算公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题．9.已知直线（为参数）与抛物线相交于、两点,若线段中点的坐标为,则线段的长为____．【答案】【解析】【分析】化简直线的参数方程为普通方程与抛物线方程联立,利用韦达定理求出m,通过弦长公式求解即可．【详解】解：直线（t为参数）,可得直线的方程y＝k（x﹣1）,k＝tanα,把直线的方程代入抛物线方程可得：ky2﹣4y﹣4k＝0,直线（t为参数）与抛物线y2＝4x相交于A、B两点,设A（,）,B（,）,线段AB中点的坐标为（m,2）,可得+＝4,解得k＝1,y2﹣4y﹣4＝0,＝﹣4,线段AB的长：•8．故答案为：8．【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用,弦长公式的应用,考查计算能力．10.在中．已知,为线段上的一点,且满足．若的面积为,,则的最小值为_______．【答案】【解析】【分析】利用A,P,D三点共线可求出m,并得到．再利用平面向量的基本性质和基本不等式即可求出的最小值．【详解】解∵∵A,P,D三点共线,∴,即m．∴,又∵．∴,即CA•CB＝8．∴∴．故答案为：2．【点睛】本题考查平面向量共线定理,是中档题,解题时要认真审题,注意平面向量线性运算的运用．11.已知有穷数列共有项,记数列的所有项和为,第二项及以后所有项和为,……,第项及以后所有项和为．若是首项为、公差为的等差数列的前项和．则当时,______．【答案】【解析】【分析】设数列{}的前n项和为T n,则S（n）＝T m﹣T n,又知道S（n）是首项为1,公差为2的等差数列的前n项和,则当1≤n＜m时,即可得到的表达式．【详解】解：S（n）是首项为1,公差为2的等差数列的前n项和,所以S（n）＝n n2, 则＝S（n）﹣S（n+1）＝n2﹣（n+1）2＝﹣2n﹣1,故填：﹣2n﹣1．【点睛】本题考查了数列通项的求法,等差数列的前n项和公式,属于基础题．12.已知定义在上的奇函数满足．且当时,．若对于任意,都有,则实数的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】f（x）为周期为4的函数,且是奇函数．0在函数定义域内,故f（0）＝0,得a＝1,先得到[﹣1,3]一个周期内f（x）的图象,求出该周期内使f（x）≥1﹣log23成立的x的范围,从而推出的范围,再分t的范围讨论即可．【详解】解：由题意,f（x）为周期为4的函数,且是奇函数．0在函数定义域内,故f（0）＝0,得a＝1,所以当0≤x≤1时,f（x）＝log2（x+1）,当x∈[﹣1,0]时,﹣x∈[0,1],此时f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣log2（﹣x+1）,又知道f（x+2）＝﹣f（x）＝f（﹣x）,所以f（x）以x＝1为对称轴．且当x∈[﹣1,1]时f（x）单调递增,当x∈[1,3]时f（x）单调递减．当x∈[﹣1,3]时,令f（x）＝1﹣log23,得x,或x,所以在[﹣1,3]内当f（x）＞1﹣log23时,x∈[,]．设g（x）,若对于x属于[0,1]都有,因为g（0）∈[,]．故g（x）∈[,]．①当0时,g（x）在[0,1]上单调递减,故g（x）∈[t,]⊆[,]．得t≥0,无解．②0≤t≤1时,,此时g（t）最大,g（1）最小,即g（x）∈[t﹣1,]⊆[,]．得t∈[0,1]．③当1＜t≤2时,即,此时g（0）最小,g（t）最大,即g（x）∈[,]⊆[,]．得t∈（1,2],④当t＞2时,g（x）在[0,1]上单调递增,故g（x）∈[,t]⊆[,]．解得,t∈（2,3],综上t∈[0,3]．故填：[0,3]．【点睛】本题考查了复合函数的值域、对称区间上函数解析式的求法、二次函数在闭区间上的最值、函数的对称性、周期性、恒成立等知识．属于难题．二、选择题：每题有且只有一个正确选项．13.已知,则“”是“”的（）．A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】A【解析】【分析】解不等式简化条件,结合充分必要性定义即可作出判断.【详解】解：“”⇔0＜x＜1．∴“”是“x＜1”的充分不必要条件．故选：A．【点睛】本题考查了不等式的解法、充分必要性的判定,考查了推理能力与计算能力,属于基础题．14.产能利用率是指实际产出与生产能力的比率,工r产能利用率是衡量工业生产经营状况的重要指标．下图为国家统计局发布的2015年至2018年第2季度我国工业产能利用率的折线图．在统计学中,同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较,例如2016年第二季度与2015年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较,例如2015年第二季度与2015年第一季度相比较．据上述信息,下列结论中正确的是（）．A. 2015年第三季度环比有所提高B. 2016年第一季度同比有所提高C. 2017年第三季度同比有所提高D. 2018年第一季度环比有所提高【答案】C【解析】【分析】根据同比和环比的定义比较两期数据得出结论．【详解】解：2015年第二季度利用率为74.3%,第三季度利用率为74.0%,故2015年第三季度环比有所下降,故A错误；2015年第一季度利用率为74.2%,2016年第一季度利用率为72.9%,故2016年第一季度同比有所下降,故B错误；2016年底三季度利用率率为73.2%,2017年第三季度利用率为76.8%,故2017年第三季度同比有所提高,故C正确；2017年第四季度利用率为78%,2018年第一季度利用率为76.5%,故2018年第一季度环比有所下降,故D错误．故选：C．【点睛】本题考查了新定义的理解,图表认知,考查分析问题解决问题的能力,属于基础题．15.已知的圆心为．过点且与轴不重合的直线交圆于、两点,点在点与点之间．过点作直线的平行线交直线于点,则点的轨迹为（）．A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分【答案】C【解析】【分析】根据题意可得PM﹣PC＝BC＝3（定值）,且3＜MC．即可得点P的轨迹是双曲线的一部分．【详解】解：可得圆（x﹣2）2+y2＝9的圆心为C（2,0）,半径为R＝3．如图,∵CB＝CA＝R＝3,∴∠CBA＝∠CAB,∵AC∥MP,∴,∴∠CBA＝∠CAB＝∠PMA,∴PM＝PB＝PC+BC⇒PM﹣PC＝BC＝3（定值）,且3＜MC．∴点P的轨迹是双曲线的一部分,故选：C．【点睛】本题考查了动点轨迹方程的求法,考查了定义法求轨迹方程,考查了数形结合思想,属于中档题.16.对于,若存在 ,满足,则称为“类三角形”．“类三角形”一定满足（）．A. 有一个内角为B. 有一个内角为C. 有一个内角为D. 有一个内角为【答案】B【解析】【分析】由对称性,不妨设和为锐角,结合同角三角函数关系进行化简求值即可．【详解】解：由对称性,不妨设和为锐角,则A,B,所以：+＝π﹣（A+B）＝C,于是：cos C＝sin＝sin（+）＝sin C,即：tan C＝1,解得：C＝45°,故选：B．【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值,注意新定义运算法则,诱导公式的应用,属于中档题．三、解答题：解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.已知正四棱柱的底面边长为,与底面所成的角为．（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成的角的大小．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由AA1⊥平面ABCD,得∠A1BA是A1B与底面ABCD所成的角,从而∠A1BA,进而AA1＝AB ＝1,由此能求出三棱锥A1﹣BCD的体积；（2）由A1D∥B1C,得∠DA1B是异面直线A1B与B1C所成的角（或所成角的平面角）,由此能求出异面直线A1B与B1C所成的角的大小．【详解】解：（1）因为正四棱柱,所以底面为正方形,平面,所以就是与底面所成角,即,进而得,,（2）因为,所以就是异面直线与所成角,由知,所以异面直线与所成角为.【点睛】本题考查三棱锥的体积的求法,考查异面直线所成角的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题．18.已知函数．（1）若,且,求的值；（2）求函数的最小正周期及函数在上的单调递减区间．【答案】（1）（2）周期为,【解析】【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系求得f（α）的值；（2）利用三角恒等变换,化简函数的解析式,再利用正弦函数的周期性、单调性得出结论．【详解】解：（1）因为,且,所以,所以（2）,,所以的最小正周期为当时,,再由得,,函数在上的递减区间为【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系,三角恒等变换,正弦函数的周期性、单调性,属于中档题．19.为了在夏季降温和冬季取暖时减少能源消耗,业主决定对房屋的屋顶和外墙喷涂某种新型隔热材料,该材料有效使用年限为20年．已知房屋外表喷一层这种隔热材料的费用为每毫米厚6万元,且每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度（毫米）满足关系：．设为隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和．（1）请解释的实际意义,并求的表达式；（2）当隔热层喷涂厚度为多少毫米时,业主所付的总费用最少？并求此时与不建隔热层相比较,业主可节省多少钱？【答案】（1）（2）90【解析】【分析】（1）将建造费用和能源消耗费用相加得出f（x）的解析式；（2）利用基本不等式得出f（x）的最小值及对应的x的值,与不使用隔热材料的总费用比较得出结论．【详解】解：（1）表示不喷涂隔热材料时该房屋能源消耗费用为每年8万元,设隔热层建造厚度为毫米,则,（2）当,即时取等号所以当隔热层厚度为时总费用最小万元,如果不建隔热层,年业主将付能源费万元,所以业主节省万元.【点睛】本题考查了函数解析式的求解,函数最值的计算,考查分析问题解决问题的能力,属于中档题．20.已知椭圆：的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆相交于、两点．（1）求的周长；（2）设点为椭圆的上顶点，点在第一象限，点在线段上．若，求点的横坐标；（3）设直线不平行于坐标轴，点为点关于轴的对称点，直线与轴交于点．求面积的最大值． 【答案】（1）8（2）（3）【解析】 【分析】（1）由椭圆定义可得结果； （2）设，利用及点在椭圆上，即可解得点的横坐标；（3）设，直线的方程为，联立方程利用韦达定理可得结果.【详解】解:（1） 椭圆的长轴长为由椭圆定义知，的周长为；（2）由椭圆方程得，设，由，得， ①点线段上，所以满足方程为②将①式代入②，得， 代入椭圆方程，得，因为，所以（3）设，直线方程为，则点的坐标为，直线的方程为，，将直线方程代入椭圆方程得：，则，所以，，所以面积的最大值为【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查了转化思想与计算能力，是中档题．21.记无穷数列的前项中最大值为，最小值为，令．（1）若，写出，，，的值； （2）设，若，求的值及时数列的前项和；（3）求证：“数列是等差数列”的充要条件是“数列是等差数列”．【答案】（1），（2）见解析（3）见解析【解析】 【分析】（1）分别计算出，，，结合题意即可得b 1，b 2，b 3，b 4的值；（2）由新定义，可得λ＞0，考虑三种情况求得λ，检验可得所求λ；进而得到b n ，由数列的分组求和，可得所求和；（3）充分性易证，无论d 为何值，始终有b n ，即可证得结果，必要性须分类证明．【详解】解：（1） 因为，所以，所以，（2），当时，，无解；当时，，无解；当时，,解得；当时，无解，此时，当时，，所以当时递增，，所以当时，（3）必要性：数列是等差数列，设其公差为.当时是递增数列；当时是常数列；当时，是递减数列；都有，所以数列是等差数列.充分性：数列是等差数列，设其公差为则，由题意知，，当时，对任意都成立，即，所以是递增数列，，所以是公差为的等差数列，当时，，进而所以是递减数列，，，所以是公差为的等差数列当时，，因为与中至少有一个为，所以二者都为，进而得为常数列，综上，充分性成立.【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，考查数列性质、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于难题．。

目录第一套：2019年上海市静安区高考数学二模试卷第二套：2019年上海市虹口高考数学二模试卷2019年上海市静安区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．设f ﹣1（x ）为的反函数，则f ﹣1（1）= ．2．函数y=2sin 2（2x ）﹣1的最小正周期是 ． 3．设i 为虚数单位，复数，则|z|= ．4．= ．5．若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与轴所成角的大小是 ．6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若=，则= ．7．直线（t 为参数）与曲线（θ为参数）的公共点的个数是 ．8．已知双曲线C 1与双曲线C 2的焦点重合，C 1的方程为，若C 2的一条渐近线的倾斜角是C 1的一条渐近线的倾斜角的2倍，则C 2的方程为 ． 9．若，则满足f （x ）＞0的x 的取值范围是 ．10．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为 ．11．设等差数列{a n }的各项都是正数，前n 项和为S n ，公差为d ．若数列也是公差为d 的等差数列，则{a n }的通项公式为a n = ．12．设x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数（如[2.32]=2，[﹣ 4.76]=﹣5），对于给定的n ∈N *，定义C =，其中x ∈[1，+∞），则当时，函数f （x ）=C的值域是 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．命题“若x=1，则x 2﹣3x+2=0”的逆否命题是（ ） A ．若x ≠1，则x 2﹣3x+2≠0 B ．若x 2﹣3x+2=0，则x=1 C ．若x 2﹣3x+2=0，则x ≠1 D ．若x 2﹣3x+2≠0，则x ≠1 14．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 、E 是AB 的三等分点，G 、N 是CD 的三等分点，F 、H 分别是BC 、MN 的中点，则四棱锥A 1﹣EFGH 的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．15．已知△ABC 是边长为4的等边三角形，D 、P 是△ABC 内部两点，且满足，，则△ADP 的面积为（ ） A ．B ．C ．D ．16．已知f （x ）是偶函数，且f （x ）在[0，+∞）上是增函数，若f （ax+1）≤f （x ﹣2）在上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[﹣2，1]B ．[﹣2，0]C ．[﹣1，1]D ．[﹣1，0]三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ﹣b=2，c=4，sinA=2sinB ． （Ⅰ）求△ABC 的面积； （Ⅱ）求sin （2A ﹣B ）．18．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=8，BC=5，AA 1=4，平面α截长方体得到一个矩形EFGH ，且A 1E=D 1F=2，AH=DG=5．（1）求截面EFGH 把该长方体分成的两部分体积之比； （2）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．19．如图，已知椭圆C ：（a ＞b ＞0）过点，两个焦点为F 1（﹣1，0）和F 2（1，0）．圆O 的方程为x 2+y 2=a 2． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过F 1且斜率为k （k ＞0）的动直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，与圆O 交于P 、Q 两点（点A 、P 在x 轴上方），当|AF 2|，|BF 2|，|AB|成等差数列时，求弦PQ 的长．20．如果函数y=f （x ）的定义域为R ，且存在实常数a ，使得对于定义域内任意x ，都有f （x+a ）=f （﹣x ）成立，则称此函数f （x ）具有“P（a ）性质”．（1）判断函数y=cosx 是否具有“P （a ）性质”，若具有“P （a ）性质”，求出所有a 的值的集合；若不具有“P（a ）性质”，请说明理由；（2）已知函数y=f （x ）具有“P（0）性质”，且当x ≤0时，f （x ）=（x+m ）2，求函数y=f （x ）在区间[0，1]上的值域； （3）已知函数y=g （x ）既具有“P （0）性质”，又具有“P （2）性质”，且当﹣1≤x ≤1时，g （x ）=|x|，若函数y=g （x ）的图象与直线y=px 有2019个公共点，求实数p 的值．21．给定数列{a n }，若满足a 1=a （a ＞0且a ≠1），对于任意的n ，m ∈N *，都有a n+m =a n •a m ，则称数列{a n }为指数数列． （1）已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为，，试判断{a n }，{b n }是不是指数数列（需说明理由）；（2）若数列{a n }满足：a 1=2，a 2=4，a n+2=3a n+1﹣2a n ，证明：{a n }是指数数列；（3）若数列{a n }是指数数列，（t ∈N *），证明：数列{a n }中任意三项都不能构成等差数列．2019年上海市静安区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．设f﹣1（x）为的反函数，则f﹣1（1）= 1 ．【考点】4R：反函数．【分析】根据反函数的性质，原函数的值域是反函数的定义域即可求解【解答】解：的反函数，其反函数f﹣1（x），反函数的性质，反函数的定义域是原函数的值域，即．可得：x=1，∴f﹣1（x）=1．故答案为1．2．函数y=2sin2（2x）﹣1的最小正周期是．【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用二倍角公式基本公式将函数化为y=Acos（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，【解答】解：函数y=2sin2（2x）﹣1，化简可得：y=1﹣cos4x﹣1=﹣cos4x；∴最小正周期T=．故答案为3．设i为虚数单位，复数，则|z|= 1 ．【考点】A8：复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数===﹣i，则|z|=1．故答案为：1．4． = 3 ．【考点】8J：数列的极限．【分析】通过分子分母同除3n+1，利用数列极限的运算法则求解即可．【解答】解： ===3．故答案为：3．5．若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与轴所成角的大小是30°．【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】根据圆锥的底面积公式和侧面积公式，结合已知可得l=2R ，进而解母线与底面所成角，然后求解母线与轴所成角即可． 【解答】解：设圆锥的底面半径为R ，母线长为l ，则： 其底面积：S 底面积=πR 2，其侧面积：S 侧面积=2πRl=πRl， ∵圆锥的侧面积是其底面积的2倍， ∴l=2R ，故该圆锥的母线与底面所成的角θ有， cosθ==， ∴θ=60°，母线与轴所成角的大小是：30°． 故答案为：30°．6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若=，则=．【考点】85：等差数列的前n 项和． 【分析】=，可得3（a 1+4d ）=5（a 1+2d ），化为：a 1=d ．再利用等差数列的求和公式即可得出． 【解答】解：∵=，∴3（a 1+4d ）=5（a 1+2d ），化为：a 1=d ．则==．故答案为：．7．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点的个数是 1 ．【考点】QK：圆的参数方程；QJ：直线的参数方程．【分析】根据题意，将直线的参数方程变形为普通方程，再将曲线的参数方程变形为普通方程，分析可得该曲线为圆，且圆心坐标为（3，5），半径r=，求出圆心到直线的俄距离，分析可得直线与圆相切，即可得直线与圆有1个公共点，即可得答案．【解答】解：根据题意，直线的参数方程为，则其普通方程为x+y﹣6=0，曲线的参数方程为，则其普通方程为（x﹣3）2+（y ﹣5）2=2，该曲线为圆，且圆心坐标为（3，5），半径r=，圆心到直线x+y﹣6=0的距离d===r，则圆（x﹣3）2+（y﹣5）2=2与直线x+y﹣6=0相切，有1个公共点；故答案为：1．8．已知双曲线C1与双曲线C2的焦点重合，C1的方程为，若C2的一条渐近线的倾斜角是C1的一条渐近线的倾斜角的2倍，则C2的方程为．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的焦点坐标，利用渐近线的倾斜角的关系，列出方程，然后求解即可．【解答】解：双曲线C1与双曲线C2的焦点重合，C1的方程为，焦点坐标（±2，0）．双曲线C1的一条渐近线为：y=，倾斜角为30°，C 2的一条渐近线的倾斜角是C1的一条渐近线的倾斜角的2倍，可得C2的渐近线y=．可得，c=2，解得a=1，b=，所求双曲线方程为：．故答案为：．9．若，则满足f（x）＞0的x的取值范围是（1，+∞）．【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】由已知得到关于x的不等式，化为根式不等式，然后化为整式不等式解之．【解答】解：由f（x）＞0得到即，所以，解得x＞1；故x的取值范围为（1，+∞）；故答案为：（1，+∞）；10．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为．【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式． 【分析】利用对立事件的概率公式，计算即可，【解答】解：设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A 且事件B 为事件A 的对立事件，则事件B 为一种新产品都没有成功， 因为甲乙研发新产品成功的概率分别为和． 则P （B ）=（1﹣）（1﹣）=，再根据对立事件的概率之间的公式可得P （A ）=1﹣P （B ）=，故至少有一种新产品研发成功的概率．故答案为．11．设等差数列{a n }的各项都是正数，前n 项和为S n ，公差为d ．若数列也是公差为d 的等差数列，则{a n }的通项公式为a n =．【考点】84：等差数列的通项公式． 【分析】由题意可得：S n =na 1+d ．a n ＞0.=+（n ﹣1）d ，化简n ≠1时可得：a 1=（n ﹣1）d 2+2d ﹣d ．分别令n=2，3，解出即可得出．【解答】解：由题意可得：S n =na 1+d ．a n ＞0．=+（n ﹣1）d ，可得：S n =a 1+（n ﹣1）2d 2+2（n ﹣1）d ．∴na 1+d=a 1+（n ﹣1）2d 2+2（n ﹣1）d ． n ≠1时可得：a 1=（n ﹣1）d 2+2d ﹣d ． 分别令n=2，3，可得：a 1=d 2+2d ﹣d ，a 1=2d 2+2d ﹣d ．解得a 1=，d=． ∴a n =+（n ﹣1）=．故答案为：．12．设x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数（如[2.32]=2，[﹣ 4.76]=﹣5），对于给定的n ∈N *，定义C =，其中x ∈[1，+∞），则当时，函数f （x ）=C的值域是．【考点】57：函数与方程的综合运用．【分析】分类讨论，根据定义化简C x n ，求出C x 10的表达式，再利用函数的单调性求出C x 10的值域．【解答】解：当x ∈[，2）时，[x]=1，∴f （x ）=C =， 当x ∈[，2）时，f （x ）是减函数，∴f （x ）∈（5，）；当x ∈[2，3）时，[x]=2，∴f （x ）=C=，当x ∈[2，3）时，f （x ）是减函数，∴f （x ）∈（15，45]； ∴当时，函数f （x ）=C 的值域是，故答案为：．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．命题“若x=1，则x 2﹣3x+2=0”的逆否命题是（ ） A ．若x ≠1，则x 2﹣3x+2≠0 B ．若x 2﹣3x+2=0，则x=1 C ．若x 2﹣3x+2=0，则x ≠1 D ．若x 2﹣3x+2≠0，则x ≠1 【考点】25：四种命题间的逆否关系．【分析】根据逆否命题的定义，我们易求出命题的逆否命题 【解答】解：将命题的条件与结论交换，并且否定可得逆否命题：若x 2﹣3x+2≠0，则x ≠1 故选：D14．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 、E 是AB 的三等分点，G 、N 是CD 的三等分点，F 、H 分别是BC 、MN 的中点，则四棱锥A 1﹣EFGH 的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】确定5个顶点在面DCC 1D 1上的投影，即可得出结论． 【解答】解：A 1在面DCC 1D 1上的投影为点D 1，E 在面DCC 1D 1的投影为点G ，F 在面DCC 1D 1上的投影为点C ，H 在面DCC 1D 1上的投影为点N ，因此侧视图为选项C 的图形． 故选C15．已知△ABC 是边长为4的等边三角形，D 、P 是△ABC 内部两点，且满足，，则△ADP 的面积为（ ） A ．B ．C ．D ．【考点】9V ：向量在几何中的应用．【分析】以A 为原点，以BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系．由于等边三角形△的边长为4，可得B ，C 的坐标，再利用向量的坐标运算和数乘运算可得，，利用△APD 的面积公式即可得出．【解答】解：以A 为原点，以BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系．∵等边三角形△的边长为4， ∴B （﹣2，﹣2），C （2，﹣2），由足= [（﹣2，﹣2）+（2，﹣2）]=（0，﹣），=（0，﹣）+（4，0）=（，﹣），∴△ADP的面积为S=||•||=××=，故选：A．16．已知f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，若f（ax+1）≤f（x﹣2）在上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，1] B．[﹣2，0] C．[﹣1，1] D．[﹣1，0]【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】因为偶函数在对称区间上单调性相反，根据已知中f（x）是偶函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，易得f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，又由若时，不等式f（ax+1）≤f（x﹣2）恒成立，结合函数恒成立的条件，求出时f（x﹣2）的最小值，从而可以构造一个关于a的不等式，解不等式即可得到实数a的取值范围．【解答】解：∵f（x）是偶函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，当时，x﹣2∈[﹣，﹣1]，故f（x﹣2）≥f（﹣1）=f（1），若时，不等式f（ax+1）≤f（x﹣2）恒成立，则当时，|ax+1|≤1恒成立，∴﹣1≤ax+1≤1，∴≤a≤0，∴﹣2≤a≤0，故选B．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a ﹣b=2，c=4，sinA=2sinB．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）求sin（2A﹣B）．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】解法一：（I）由已知及正弦定理可求a，b的值，由余弦定理可求cosB，从而可求sinB，即可由三角形面积公式求解．（II）由余弦定理可得cosA，从而可求sinA，sin2A，cos2A，由两角差的正弦公式即可求sin（2A﹣B）的值．解法二：（I）由已知及正弦定理可求a，b的值，又c=4，可知△ABC为等腰三角形，作BD⊥AC于D，可求BD==，即可求三角形面积．（II）由余弦定理可得cosB，即可求sinB，由（I）知A=C⇒2A ﹣B=π﹣2B．从而sin（2A﹣B）=sin（π﹣2B）=sin2B，代入即可求值．【解答】解：解法一：（I）由sinA=2sinB⇒a=2b．又∵a﹣b=2，∴a=4，b=2．cosB===．sinB===．=acsinB==．∴S△ABC（II）cosA===．sinA===．sin2A=2sinAcosA=2×．cos2A=cos2A﹣sin2A=﹣．∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．解法二：（I）由sinA=2sinB⇒a=2b．又∵a﹣b=2，∴a=4，b=2．又c=4，可知△ABC为等腰三角形．作BD ⊥AC 于D ，则BD===．∴S △ABC ==． （II ）cosB===． sinB===．由（I ）知A=C ⇒2A ﹣B=π﹣2B ． ∴sin （2A ﹣B ）=sin （π﹣2B ）=sin2B =2sinBcosB =2××=．18．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=8，BC=5，AA 1=4，平面α截长方体得到一个矩形EFGH ，且A 1E=D 1F=2，AH=DG=5． （1）求截面EFGH 把该长方体分成的两部分体积之比； （2）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．【考点】MI ：直线与平面所成的角；LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）由题意，平面α把长方体分成两个高为5的直四棱柱，转化求解体积推出结果即可．（2）解法一：作AM ⊥EH ，垂足为M ，证明HG ⊥AM ，推出AM ⊥平面EFGH ．通过计算求出AM=4．AF ，设直线AF 与平面α所成角为θ，求解即可．解法二：以DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，求出平面α一个法向量，利用直线AF 与平面α所成角为θ，通过空间向量的数量积求解即可．【解答】（本题满分，第1小题满分，第2小题满分8分） 解：（1）由题意，平面α把长方体分成两个高为5的直四棱柱，，… ，…所以，．…（2）解法一：作AM ⊥EH ，垂足为M ，由题意，HG ⊥平面ABB 1A 1，故HG ⊥AM ，所以AM ⊥平面EFGH ． … 因为，，所以S △AEH =10，）因为EH=5，所以AM=4． … 又，…设直线AF 与平面α所成角为θ，则．… 所以，直线AF 与平面α所成角的正弦值为． …解法二：以DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A （5，0，0），H （5，5，0），E （5，2，4），F （0，2，4），… 故，，…设平面α一个法向量为，则即所以可取． …设直线AF 与平面α所成角为θ，则． …所以，直线AF 与平面α所成角的正弦值为． …19．如图，已知椭圆C ：（a ＞b ＞0）过点，两个焦点为F 1（﹣1，0）和F 2（1，0）．圆O 的方程为x 2+y 2=a 2． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过F 1且斜率为k （k ＞0）的动直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，与圆O 交于P 、Q 两点（点A 、P 在x 轴上方），当|AF 2|，|BF 2|，|AB|成等差数列时，求弦PQ 的长．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）求出c=1，设椭圆C的方程为，将点代入，解得a2=4，然后求解椭圆C的方程．（2）由椭圆定义，|AF1|+|AF2|=4，|BF1|+|BF2|=4，通过|AF2|，|BF2|，|AB|成等差数列，推出．设B（x，y），通过解得B，然后求解直线方程，推出弦PQ的长即可．【解答】（本题满分，第1小题满分，第2小题满分8分）解：（1）由题意，c=1，…设椭圆C的方程为，将点代入，解得a2=4（舍去），…所以，椭圆C的方程为．…（2）由椭圆定义，|AF1|+|AF2|=4，|BF1|+|BF2|=4，两式相加，得|AB|+|AF 2|+|BF 2|=8，因为|AF 2|，|BF 2|，|AB|成等差数列，所以|AB|+|AF 2|=2|BF 2|， 于是3|BF 2|=8，即． …设B （x 0，y 0），由解得，…（或设，则，解得，，所以）． 所以，，直线l 的方程为，即，… 圆O 的方程为x 2+y 2=4，圆心O 到直线l 的距离，…此时，弦PQ 的长． …20．如果函数y=f （x ）的定义域为R ，且存在实常数a ，使得对于定义域内任意x ，都有f （x+a ）=f （﹣x ）成立，则称此函数f （x ）具有“P（a ）性质”．（1）判断函数y=cosx 是否具有“P （a ）性质”，若具有“P （a ）性质”，求出所有a 的值的集合；若不具有“P（a ）性质”，请说明理由；（2）已知函数y=f （x ）具有“P（0）性质”，且当x ≤0时，f （x ）=（x+m ）2，求函数y=f （x ）在区间[0，1]上的值域； （3）已知函数y=g （x ）既具有“P （0）性质”，又具有“P （2）性质”，且当﹣1≤x ≤1时，g （x ）=|x|，若函数y=g （x ）的图象与直线y=px 有2019个公共点，求实数p 的值．【考点】57：函数与方程的综合运用．【分析】（1）根据题意可知cos（x+a）=cos（﹣x）=cosx，故而a=2kπ，k∈Z；（2）由新定义可推出f（x）为偶函数，从而求出f（x）在[0，1]上的解析式，讨论m与[0，1]的关系判断f（x）的单调性得出f（x）的最值；（3）根据新定义可知g（x）为周期为2的偶函数，作出g（x）的函数图象，根据函数图象得出p的值．【解答】解：（1）假设y=cosx具有“P（a）性质”，则cos（x+a）=cos（﹣x）=cosx恒成立，∵cos（x+2kπ）=cosx，∴函数y=cosx具有“P（a）性质”，且所有a的值的集合为{a|a=2kπ，k∈Z}．（2）因为函数y=f（x）具有“P（0）性质”，所以f（x）=f （﹣x）恒成立，∴y=f（x）是偶函数．设0≤x≤1，则﹣x≤0，∴f（x）=f（﹣x）=（﹣x+m）2=（x﹣m）2．①当m≤0时，函数y=f（x）在[0，1]上递增，值域为[m2，（1﹣m）2]．②当时，函数y=f（x）在[0，m]上递减，在[m，1]上递增，y=f（m）=0，，值域为[0，（1﹣m）2]．min③当时，y=f（m）=0，，值域为[0，m2]．min④m＞1时，函数y=f（x）在[0，1]上递减，值域为[（1﹣m）2，m2]．（3）∵y=g（x）既具有“P（0）性质”，即g（x）=g（﹣x），∴函数y=g（x）偶函数，又y=g（x）既具有“P（2）性质”，即g（x+2）=g（﹣x）=g （x），∴函数y=g（x）是以2为周期的函数．作出函数y=g（x）的图象如图所示：由图象可知，当p=0时，函数y=g（x）与直线y=px交于点（2k，0）（k∈Z），即有无数个交点，不合题意．当p＞0时，在区间[0，2016]上，函数y=g（x）有1008个周期，要使函数y=g（x）的图象与直线y=px有2019个交点，则直线在每个周期内都有2个交点，且第2019个交点恰好为，所以．同理，当p＜0时，．综上，．21．给定数列{a n }，若满足a 1=a （a ＞0且a ≠1），对于任意的n ，m ∈N *，都有a n+m =a n •a m ，则称数列{a n }为指数数列． （1）已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为，，试判断{a n }，{b n }是不是指数数列（需说明理由）；（2）若数列{a n }满足：a 1=2，a 2=4，a n+2=3a n+1﹣2a n ，证明：{a n }是指数数列；（3）若数列{a n }是指数数列，（t ∈N *），证明：数列{a n }中任意三项都不能构成等差数列． 【考点】8B ：数列的应用．【分析】（1）利用指数数列的定义，判断即可； （2）求出{a n }的通项公式为，即可证明：{a n }是指数数列；（3）利用反证法进行证明即可．【解答】（1）解：对于数列{a n }，因为a 3=a 1+2≠a 1•a 2，所以{a n }不是指数数列． …对于数列{b n }，对任意n ，m ∈N *，因为，所以{b n }是指数数列． …（2）证明：由题意，a n+2﹣a n+1=2（a n+1﹣a n ），所以数列{a n+1﹣a n }是首项为a 2﹣a 1=2，公比为2的等比数列． … 所以．所以，=，即{a n }的通项公式为（n ∈N *）． …所以，故{a n }是指数数列． …（3）证明：因为数列{a n }是指数数列，故对于任意的n ，m ∈N *，有a n+m =a n •a m ，令m=1，则，所以{a n }是首项为，公比为的等比数列，所以，． …假设数列{a n }中存在三项a u ，a v ，a w 构成等差数列，不妨设u ＜v ＜w ，则由2a v =a u +a w ，得，所以2（t+4）w ﹣v （t+3）v ﹣u =（t+4）w ﹣u +（t+3）w ﹣u ，… 当t 为偶数时，2（t+4）w ﹣v （t+3）v ﹣u 是偶数，而（t+4）w ﹣u 是偶数，（t+3）w ﹣u 是奇数，故2（t+4）w ﹣v （t+3）v ﹣u =（t+4）w ﹣u +（t+3）w ﹣u 不能成立； … 当t 为奇数时，2（t+4）w ﹣v （t+3）v ﹣u 是偶数，而（t+4）w ﹣u 是奇数，（t+3）w ﹣u 是偶数，故2（t+4）w ﹣v （t+3）v ﹣u =（t+4）w ﹣u +（t+3）w ﹣u 也不能成立．… 所以，对任意t ∈N *，2（t+4）w ﹣v （t+3）v ﹣u =（t+4）w ﹣u +（t+3）w ﹣u不能成立，即数列{a n }的任意三项都不成构成等差数列． …2019年上海市虹口高考数学二模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．设f ﹣1（x ）为的反函数，则f ﹣1（1）= ．2．函数y=2sin 2（2x ）﹣1的最小正周期是 ． 3．设i 为虚数单位，复数，则|z|= ．4．= ．5．若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与轴所成角的大小是 ．6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若=，则= ．7．直线（t 为参数）与曲线（θ为参数）的公共点的个数是 ．8．已知双曲线C 1与双曲线C 2的焦点重合，C 1的方程为，若C 2的一条渐近线的倾斜角是C 1的一条渐近线的倾斜角的2倍，则C 2的方程为 ．9．若，则满足f （x ）＞0的x 的取值范围是 ．10．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为 ．11．设等差数列{a n }的各项都是正数，前n 项和为S n ，公差为d ．若数列也是公差为d 的等差数列，则{a n }的通项公式为a n = ．12．设x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数（如[2.32]=2，[﹣ 4.76]=﹣5），对于给定的n ∈N *，定义C =，其中x ∈[1，+∞），则当时，函数f （x ）=C的值域是 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．命题“若x=1，则x 2﹣3x+2=0”的逆否命题是（ ） A ．若x ≠1，则x 2﹣3x+2≠0 B ．若x 2﹣3x+2=0，则x=1 C ．若x 2﹣3x+2=0，则x ≠1 D ．若x 2﹣3x+2≠0，则x ≠1 14．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 、E 是AB 的三等分点，G 、N 是CD 的三等分点，F 、H 分别是BC 、MN 的中点，则四棱锥A 1﹣EFGH 的左视图是（ ）A．B．C．D．15．已知△ABC是边长为4的等边三角形，D、P是△ABC内部两点，且满足，，则△ADP的面积为（）A．B．C．D．16．已知f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，若f（ax+1）≤f（x﹣2）在上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，1] B．[﹣2，0] C．[﹣1，1] D．[﹣1，0]三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a ﹣b=2，c=4，sinA=2sinB．（Ⅰ）求△ABC 的面积； （Ⅱ）求sin （2A ﹣B ）．18．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=8，BC=5，AA 1=4，平面α截长方体得到一个矩形EFGH ，且A 1E=D 1F=2，AH=DG=5． （1）求截面EFGH 把该长方体分成的两部分体积之比； （2）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．19．如图，已知椭圆C ：（a ＞b ＞0）过点，两个焦点为F 1（﹣1，0）和F 2（1，0）．圆O 的方程为x 2+y 2=a 2． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过F 1且斜率为k （k ＞0）的动直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，与圆O 交于P 、Q 两点（点A 、P 在x 轴上方），当|AF 2|，|BF 2|，|AB|成等差数列时，求弦PQ 的长．20．如果函数y=f （x ）的定义域为R ，且存在实常数a ，使得对于定义域内任意x ，都有f （x+a ）=f （﹣x ）成立，则称此函数f （x ）具有“P（a ）性质”．（1）判断函数y=cosx 是否具有“P （a ）性质”，若具有“P （a ）性质”，求出所有a 的值的集合；若不具有“P（a ）性质”，请说明理由；（2）已知函数y=f （x ）具有“P（0）性质”，且当x ≤0时，f （x ）=（x+m ）2，求函数y=f （x ）在区间[0，1]上的值域； （3）已知函数y=g （x ）既具有“P （0）性质”，又具有“P （2）性质”，且当﹣1≤x ≤1时，g （x ）=|x|，若函数y=g （x ）的图象与直线y=px 有2019个公共点，求实数p 的值．21．给定数列{a n }，若满足a 1=a （a ＞0且a ≠1），对于任意的n ，m ∈N *，都有a n+m =a n •a m ，则称数列{a n }为指数数列． （1）已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为，，试判断{a n }，{b n }是不是指数数列（需说明理由）；（2）若数列{a n }满足：a 1=2，a 2=4，a n+2=3a n+1﹣2a n ，证明：{a n }是指数数列；（3）若数列{a n }是指数数列，（t ∈N *），证明：数列{a n }中任意三项都不能构成等差数列．2019年上海市虹口高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．设f﹣1（x）为的反函数，则f﹣1（1）= 1 ．【考点】4R：反函数．【分析】根据反函数的性质，原函数的值域是反函数的定义域即可求解【解答】解：的反函数，其反函数f﹣1（x），反函数的性质，反函数的定义域是原函数的值域，即．可得：x=1，∴f﹣1（x）=1．故答案为1．2．函数y=2sin2（2x）﹣1的最小正周期是．【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用二倍角公式基本公式将函数化为y=Acos（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，【解答】解：函数y=2sin2（2x）﹣1，化简可得：y=1﹣cos4x﹣1=﹣cos4x；∴最小正周期T=．故答案为3．设i为虚数单位，复数，则|z|= 1 ．【考点】A8：复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数===﹣i，则|z|=1．故答案为：1．4． = 3 ．【考点】8J：数列的极限．【分析】通过分子分母同除3n+1，利用数列极限的运算法则求解即可．【解答】解： ===3．故答案为：3．5．若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与轴所成角的大小是30°．【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】根据圆锥的底面积公式和侧面积公式，结合已知可得l=2R ，进而解母线与底面所成角，然后求解母线与轴所成角即可． 【解答】解：设圆锥的底面半径为R ，母线长为l ，则： 其底面积：S 底面积=πR 2， 其侧面积：S 侧面积=2πRl=πRl， ∵圆锥的侧面积是其底面积的2倍， ∴l=2R ，故该圆锥的母线与底面所成的角θ有， cosθ==， ∴θ=60°，母线与轴所成角的大小是：30°． 故答案为：30°．6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若=，则=．【考点】85：等差数列的前n 项和． 【分析】=，可得3（a 1+4d ）=5（a 1+2d ），化为：a 1=d ．再利用等差数列的求和公式即可得出． 【解答】解：∵=，∴3（a 1+4d ）=5（a 1+2d ），化为：a 1=d ．则==．故答案为：．7．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点的个数是 1 ．【考点】QK：圆的参数方程；QJ：直线的参数方程．【分析】根据题意，将直线的参数方程变形为普通方程，再将曲线的参数方程变形为普通方程，分析可得该曲线为圆，且圆心坐标为（3，5），半径r=，求出圆心到直线的俄距离，分析可得直线与圆相切，即可得直线与圆有1个公共点，即可得答案．【解答】解：根据题意，直线的参数方程为，则其普通方程为x+y﹣6=0，曲线的参数方程为，则其普通方程为（x﹣3）2+（y ﹣5）2=2，该曲线为圆，且圆心坐标为（3，5），半径r=，圆心到直线x+y﹣6=0的距离d===r，则圆（x﹣3）2+（y﹣5）2=2与直线x+y﹣6=0相切，有1个公共点；故答案为：1．8．已知双曲线C1与双曲线C2的焦点重合，C1的方程为，若C2的一条渐近线的倾斜角是C1的一条渐近线的倾斜角的2倍，则C2的方程为．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的焦点坐标，利用渐近线的倾斜角的关系，列出方程，然后求解即可．【解答】解：双曲线C1与双曲线C2的焦点重合，C1的方程为，焦点坐标（±2，0）．双曲线C1的一条渐近线为：y=，倾斜角为30°，C 2的一条渐近线的倾斜角是C1的一条渐近线的倾斜角的2倍，可得C2的渐近线y=．可得，c=2，解得a=1，b=，所求双曲线方程为：．故答案为：．9．若，则满足f（x）＞0的x的取值范围是（1，+∞）．【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】由已知得到关于x的不等式，化为根式不等式，然后化为整式不等式解之．【解答】解：由f（x）＞0得到即，所以，解得x＞1；故x的取值范围为（1，+∞）；故答案为：（1，+∞）；10．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为．【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式． 【分析】利用对立事件的概率公式，计算即可，【解答】解：设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A 且事件B 为事件A 的对立事件，则事件B 为一种新产品都没有成功， 因为甲乙研发新产品成功的概率分别为和． 则P （B ）=（1﹣）（1﹣）=，再根据对立事件的概率之间的公式可得P （A ）=1﹣P （B ）=，故至少有一种新产品研发成功的概率．故答案为．11．设等差数列{a n }的各项都是正数，前n 项和为S n ，公差为d ．若数列也是公差为d 的等差数列，则{a n }的通项公式为a n =．【考点】84：等差数列的通项公式． 【分析】由题意可得：S n =na 1+d ．a n ＞0.=+（n ﹣1）d ，化简n ≠1时可得：a 1=（n ﹣1）d 2+2d ﹣d ．分别令n=2，3，解出即可得出．【解答】解：由题意可得：S n =na 1+d ．a n ＞0．=+（n ﹣1）d ，可得：S n =a 1+（n ﹣1）2d 2+2（n ﹣1）d ．∴na 1+d=a 1+（n ﹣1）2d 2+2（n ﹣1）d ． n ≠1时可得：a 1=（n ﹣1）d 2+2d ﹣d ． 分别令n=2，3，可得：a 1=d 2+2d ﹣d ，a 1=2d 2+2d ﹣d ．解得a 1=，d=． ∴a n =+（n ﹣1）=．故答案为：．12．设x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数（如[2.32]=2，[﹣ 4.76]=﹣5），对于给定的n ∈N *，定义C =，其中x ∈[1，+∞），则当时，函数f （x ）=C的值域是．【考点】57：函数与方程的综合运用．【分析】分类讨论，根据定义化简C x n ，求出C x 10的表达式，再利用函数的单调性求出C x 10的值域．【解答】解：当x ∈[，2）时，[x]=1，∴f （x ）=C =， 当x ∈[，2）时，f （x ）是减函数，∴f （x ）∈（5，）；当x ∈[2，3）时，[x]=2，∴f （x ）=C=，当x ∈[2，3）时，f （x ）是减函数，∴f （x ）∈（15，45]； ∴当时，函数f （x ）=C 的值域是，故答案为：．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．命题“若x=1，则x 2﹣3x+2=0”的逆否命题是（ ） A ．若x ≠1，则x 2﹣3x+2≠0 B ．若x 2﹣3x+2=0，则x=1 C ．若x 2﹣3x+2=0，则x ≠1 D ．若x 2﹣3x+2≠0，则x ≠1 【考点】25：四种命题间的逆否关系．【分析】根据逆否命题的定义，我们易求出命题的逆否命题 【解答】解：将命题的条件与结论交换，并且否定可得逆否命题：若x 2﹣3x+2≠0，则x ≠1 故选：D14．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 、E 是AB 的三等分点，G 、N 是CD 的三等分点，F 、H 分别是BC 、MN 的中点，则四棱锥A 1﹣EFGH 的左视图是（ ）。

2019届上海市普陀区高三下学期二模数学试题一、单选题1．若椭圆的焦点在x 轴上，焦距为，则该椭圆的标准方程为（ ）A.22193y x += B.2213612x y += C.2213612y x += D.22193x y += 【答案】D【解析】先由题意得到2c =，求出c =x 轴上，设椭圆方程为： 22221(0)6+=>-x y a a a ，将代入方程，即可求出结果.【详解】因为焦距为2c =c =又椭圆的焦点在x 轴上，所以设椭圆方程为： 22221(0)6+=>-x ya a a ，又椭圆过点，所以223216+=-a a ，解得29a =， 因此所求椭圆的方程为：22193x y +=.故选：D 【点睛】本题主要考查由椭圆的焦距与椭圆所过的点求椭圆方程，熟记椭圆的标准方程，用待定系数法求解即可，属于常考题型.2．在△ABC 中，设三个内角A 、B 、C 的对边依次为a 、b 、c ，则“2{,}33C ππ∈”是“222a b c ab +=+”成立的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件【答案】B【解析】先由222a b c ab +=+求出角C ，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.【详解】因为在△ABC 中，设三个内角A 、B 、C 的对边依次为a 、b 、c ，若222a b c ab +=+，则222cos 122a b c C ab +-==，所以3C π=；所以由“2{,}33C ππ∈”不能推出“222a b c ab +=+”；反之，能成立；故“2{,}33C ππ∈”是“222a b c ab +=+”成立的必要非充分条件.故选：B 【点睛】本题主要考查命题的必要不充分条件，熟记充分条件与必要条件的概念，以及余弦定理即可，属于常考题型.3．某公司对4月份员工的奖金情况统计如下：根据上表中的数据，可得该公司4月份员工的奖金：①中位数为800元；②平均数为1373元；③众数为700元，其中判断正确的个数为（ ） A.0 B.1C.2D.3【答案】C【解析】根据中位数，平均数，众数的概念，结合题中数据，逐个计算，即可得出结果. 【详解】对于①，中位数是指出现在中间位置的数字，由题中数据可知，该公司共60人，处在中间位置的应该是第29和第30，对于的奖金都是800，所以，中位数为800元；①正确；对于②，根据题中数据可得，平均数800010000160001200012000640014000300010004120603++++++++==，故②错；对于③，众数是指出现次数最多的数，由题中数据可得：众数为700元；故③正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查求一组数据的中位数、平均数、众数，熟记概念即可，属于基础题型.4．设函数()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若对于任意5,62ππα⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，在区间[]0,m 上总存在唯一确定的β，使得()()0f f αβ+=，则m 的最小值为（ ）A.π6 B.π2C.7π6D.π【答案】B【解析】先求()[2f α∈-，再由存在唯一确定的β，使得()()f f βα=-∈，得2[,)633m πππ-∈，从而得解.【详解】当5,62ππα⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，有2,36ππαπ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，所以()[f α∈. 在区间[]0,m 上总存在唯一确定的β，使得()()0f f αβ+=，所以存在唯一确定的β，使得()()f f βα=-∈. []0,,[,]666m m πππββ∈-∈--，所以25[,),[,)63326m m πππππ-∈∈.故选B. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图像和性质，考查了函数与方程的思想，正确理解两变量的关系是解题的关键，属于中档题.二、填空题5．设集合{1,2,3}A =，2{|20}B x x x =--≤，则A B =I ________ 【答案】{1,2}【解析】先化简集合B ，再由交集的概念，即可得出结果. 【详解】因为{}2{|20}12B x x x x x =--≤=-≤≤，{1,2,3}A =， 所以{1,2}A B =I . 故答案为：{1,2}【点睛】本题主要考查交集的运算，熟记交集的概念即可，属于基础题型.6．双曲线22:1169x y C -=的顶点到其渐近线的距离为________【答案】125【解析】先由双曲线方程得到其顶点坐标，与渐近线方程，再由点到直线距离，即可求出结果. 【详解】因为双曲线22:1169x y C -=的顶点为(4,0)±，渐近线方程为：34=±=±b y x x a ，即340±=x y ，125=. 故答案为：125【点睛】本题主要考查双曲线顶点到渐近线的距离，熟记双曲线的性质，以及点到直线距离公式即可，属于基础题型.7．函数122log (1)y x x =+-的定义域为________【答案】[0,1)【解析】由题意，列出不等式组求解，即可得出结果. 【详解】因为122log (1)y x x =+-，所以010x x ≥⎧⎨->⎩，解得01x ≤<.故答案为：[0,1) 【点睛】本题主要考查具体函数的定义域，只需求出使解析式有意义的自变量的范围即可，属于基础题型.8．设直线l 经过曲线12cos :12sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数，02θπ≤≤）的中心，且其方向向量(1,1)d =u r，则直线l 的方程为____【答案】y x =【解析】先由曲线的参数方程，得到该曲线表示圆，得到圆心坐标，再由直线方向向量确定直线斜率，从而可得出直线方程. 【详解】 由12cos :12sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩消去参数可得22(1)(1)4x y -+-=，所以曲线C 表示以(1,1)为圆心，以2为半径的圆； 因此直线l 过点(1,1)，又直线l 的方向向量为(1,1)d =u r，所以斜率为1k =， 因此，所求直线方程为：11y x -=-，即y x =. 故答案为：y x = 【点睛】本题主要考查求直线的方程，熟记圆的参数方程，以及直线的点斜式方程即可，属于常考题型.9．若复数1z i =+（i 为虚数单位）是方程20x cx d ++=（c 、d 均为实数）的一个根，则||c di +=___【答案】【解析】先由题意，得到2(1)(1)0++++=i c i d ，化简整理，再由复数相等，得到22c d =-⎧⎨=⎩，根据复数模的计算公式，即可求出结果. 【详解】因为复数1z i =+（i 为虚数单位）是方程20x cx d ++=（c 、d 均为实数）的一个根， 所以2(1)(1)0++++=i c i d ，整理得：(2)()0+++=c i c d ，因此200c c d +=⎧⎨+=⎩，解得22c d =-⎧⎨=⎩.所以||22+=-+==c di i .故答案为：【点睛】本题主要考查求复数的模，熟记复数模的计算公式，以及复数相等的充要条件即可，属于常考题型.10．若圆柱的主视图是半径为1的圆，且左视图的面积为6，则该圆柱的体积为________ 【答案】3π【解析】先设圆柱的底面圆半径为r ，高为h ，由题意，列出方程组求解，再由圆柱的体积公式，即可求出结果. 【详解】设圆柱的底面圆半径为r ，高为h ，由题意可得：126r rh =⎧⎨=⎩，解得13r h =⎧⎨=⎩，所以该圆柱的体积为23ππ==V r h . 故答案为：3π 【点睛】本题主要考查求圆柱的体积，熟记体积公式即可，属于基础题型. 11．设x 、y 均为非负实数，且满足526x y x y +≤⎧⎨+≤⎩，则68x y +的最大值为________【答案】40【解析】先由约束条件，作出可行域，再令68z x y =+，由68z x y =+得到348=-+z y x ，因此，当直线348=-+zy x 在y 轴截距最大时，68z x y =+取最大值，结合图像，即可求出结果. 【详解】 由约束条件526x y x y +≤⎧⎨+≤⎩可出可行域如图所示，令68z x y =+，则348=-+z y x ， 因此68z x y =+表示直线348=-+zy x 在y 轴截距的8倍，当直线348=-+zy x 在y 轴截距最大时，68z x y =+取最大值，由图像可得：当直线348=-+zy x 过点A 时，在y 轴截距最大，令0x =，由5x y +=得，(0,5)A ；所以max 8540=⨯=z . 故答案为：40【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，通常需要由约束条件作出可行域，根据目标函数的几何意义，结合图像即可求解，属于常考题型.12．甲约乙下中国象棋，若甲获胜的概率为0.6，甲不输的概率为0.9，则甲乙和棋的概率为______． 【答案】0.3【解析】利用互斥事件概率加法公式直接进行求解 【详解】甲约乙下中国象棋，甲获胜的概率为0.6，甲不输的概率为0.9 甲乙和棋的概率为：0.9-0.6=0.3=P 故答案为：0.3 【点睛】互斥事件最大的特点在于每个概率事件互不受影响，相互独立13．设实数a 、b 、c 满足1a ≥，1b ≥，1c ≥，且10abc =，lg lg lg 10a b c a b c ⋅⋅≥，则a b c ++=___ 【答案】12【解析】先由题意，得到0lg 1≤≤a ，0lg 1≤≤b ，0lg 1≤≤c ，推出222lg lg lg lg lg lg ++≤++a b c a b c ；再由lg lg lg 10a b c a b c ⋅⋅≥，推出222lg lg lg lg lg lg ++≥++a b c a b c ，从而可得出结果.【详解】因为1a ≥，1b ≥，1c ≥，且10abc =， 所以0lg 1≤≤a ，0lg 1≤≤b ，0lg 1≤≤c ，所以2lg lg ≤a a ，2lg lg ≤b b ，2lg lg ≤c c ，即222lg lg lg lg lg lg ++≤++a b c a b c ；又lg lg lg 10a b c a b c ⋅⋅≥，所以()lg lg lg lg lg101⋅⋅≥=a b ca b c， 即222lg lg lg 1lg()lg lg lg ++≥==++a b c abc a b c ， 所以2lg lg =a a ，2lg lg =b b ，2lg lg =c c ， 则10a =或1，10b =或1，10c =或1， 不妨令10a =，则1b c ==， 因此12a b c ++=. 故答案为：12 【点睛】本题主要考查对数的运算，熟记对数运算法则与对数的性质即可，属于常考题型.14．在四棱锥P ABCD -中，设向量()4,2,3AB =-u u u v ，()4,1,0AD =-u u u v，()6,2,8AP =--u u u v，则顶点P 到底面ABCD 的距离为_________【答案】2；【解析】根据法向量的求法求得平面ABCD 的法向量()3,12,4n =v，利用点到面的距离的向量求解公式直接求得结果. 【详解】设平面ABCD 的法向量(),,n x y z =v则423040AB n x y z AD n x y ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩u u u v v u u u v v，令3x =，则12y =，4z = ()3,12,4n ∴=v ∴点P 到底面ABCD的距离：2AP n d n ⋅===u u u v v v本题正确结果：2 【点睛】本题考查点到面的距离的向量求法，关键是能够准确求解出平面的法向量，考查学生对于点到面距离公式掌握的熟练程度.15．《九章算术》中称四个面均为直角三角形的四面体为鳖臑，如图所示，若四面体ABCD 为鳖臑，且AB ⊥平面BCD ，AB BC CD ==，则AD 与平面ABC 所成角大小为________（结果用反三角函数值表示）【答案】2tan2arc 【解析】先由线面垂直判定定理，得到CD ⊥平面ABC ，推出CAD ∠为AD 与平面ABC 所成角，再由题中数据，即可得出结果.【详解】因为AB ⊥平面BCD ，所以AB CD ⊥；又四面体ABCD 四个面均为直角三角形，AB BC CD ==， 所以BC CD ⊥，又BC AB B =I ，BC ⊂平面ABC ，AB Ì平面ABC ； 所以CD ⊥平面ABC ，所以CD AC ⊥， 因此CAD ∠为AD 与平面ABC 所成角， 又222=+=AC AB BC ，所以2tan 22∠===CD CAD AC AB， 因此AD 与平面ABC 所成角大小为2tan 2arc 【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角，根据线面角的定义找出线面角，即可求解，属于常考题型.16．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，记2()()g x f x x =-，且函数()g x 在区间[0,)+∞上是增函数，则不等式2(2)(2)4f x f x x +->+的解集为_____【答案】()(),40,-∞-+∞U【解析】根据题意，分析可得()g x 为偶函数，进而分析可得原不等式转化为()()22g x g +>，结合函数的奇偶性与单调性分析可得22x +>，解可得x 的取值范围．【详解】根据题意()()2g x f x x =-，且()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()()()()22g x f x x f x x g x -=---=-=，则函数()g x 为偶函数，()()()()()()()22224222422f x f x x f x x f g x g +->+⇒+--⇒+>>+，又由()g x 为增函数且在区间[0,)+∞上是增函数，则22x +>， 解可得：4x <-或0x >，即x 的取值范围为()(),40,-∞-+∞U ， 故答案为()(),40,-∞-+∞U ； 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析()g x 的奇偶性与单调性，属于中档题．三、解答题17．如图所示，圆锥的顶点为P ，底面中心为O ，母线4PB =，底面半径OA 与OB 互相垂直，且2OB =.（1）求圆锥的表面积；（2）求二面角P AB O --的大小（结果用反三角函数值表示）. 【答案】（1）12π；（2）7arc 【解析】（1）根据圆锥的表面积公式，即可求出结果；（2）以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面PAB 与平面ABO 的法向量，结合向量夹角公式，即可求出结果. 【详解】（1）由题意可得， 底面圆的周长为：24ππ⋅=OB ， 所以，圆锥的表面积为：21442122πππ=⋅⋅+⋅=S ；（2）以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 因为4PB =，2OB =，则2223=-=OP PB OB ，所以(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，(0,0,23)P ，则(2,0,23)=-u u u r PA ，(0,2,23)=-u u u rPB ，设平面PAB 的法向量为(,,)n x y z =r，则22302230PA n x z PB n y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u v v u u u v v ，取1z =，得(3,3,1)=r n ， 记平面ABO 的一个法向量为(0,0,1)m =u r，设二面角P AB O --的大小为θ，则7cos 7θ⋅===u r r u r r m n m n， 所以7cosθ=arc . 所以二面角P AB O --的大小为7cosarc .【点睛】本题主要考查圆锥的表面积，以及求二面角的大小，熟记圆锥的表面积公式，以及空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型. 18．设函数23()sin()cos 33f x x x x π=+⋅+（1）当x ∈R 时，求函数()f x 的最小正周期； （2）设44x ππ-≤≤，求函数()f x 的值域及零点.【答案】（1）周期T π=；（2）值域11[,]24-，零点6x π=【解析】（1）对函数化简整理，再由正弦函数的最小正周期，即可得出结果； （2）由44x ππ-≤≤得到52636πππ-≤-≤x ，根据正弦函数的性质，即可求出值域；再由1()sin 2023π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭f x x ，结合题中范围，即可求出零点. 【详解】（1）因为221()sin()cos sin cos 32π=+⋅-+=+f x x x x x x x11sin 2sin 2423π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭x x ， 所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==； （2）因为44x ππ-≤≤，所以52636πππ-≤-≤x ， 因此11sin 232x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，由1()sin 2023π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭f x x 得：23x k ππ-=，k Z ∈，所以62k x ππ=+，k Z ∈，又44x ππ-≤≤，所以6x π=，即函数()f x 的零点为6x π=. 【点睛】本题主要考查三角函数的最小正周期，值域以及零点，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.19．某热力公司每年燃料费约24万元，为了“环评”达标，需要安装一块面积为x （0x ≥）（单位：平方米）可用15年的太阳能板，其工本费为2x（单位：万元），并与燃料供热互补工作，从此，公司每年的燃料费为20100kx +（k 为常数）万元，记y 为该公司安装太阳能板的费用与15年的燃料费之和. （1）求k 的值，并建立y 关于x 的函数关系式； （2）求y 的最小值，并求出此时所安装太阳能板的面积. 【答案】（1）2400k =，180052xy x =++；（2）55x =时，min 57.5y =【解析】（1）根据题意，先取0x =，得24100=k，求出2400k =，从而可得出结果；（2）由180018005552522+=+=+-++x x y x x ，根据基本不等式，即可求出结果. 【详解】（1）因为公司每年的燃料费为20100kx +（k 为常数）万元，取0x =，得24100=k，则2400k =， 所以，该公司安装太阳能板的费用与15年的燃料费之和为：240018001520100252=⨯+=+++x xy x x ，0x ≥；（2）因为180********57.5525222+=+=+-≥=++x x y x x ， 当且仅当1800552+=+x x ，即55x =时取等号. 所以安装太阳能板的面积为55时，y 取得最小值为57.5万元. 【点睛】本题主要考查函数模型的应用，以及基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型.20．设数列{}n a 满足：12a =，121n n a t a ++=⋅（其中t 为非零实常数）. （1）设2t =，求证：数列{}n a 是等差数列，并求出通项公式； （2）设3t =，记1||n n n b a a +=-，求使得不等式1233940k b b b b +++⋅⋅⋅+≥成立的最小正整数k ；（3）若2t ≠，对于任意的正整数n ，均有1n n a a +<，当1p a +、1t a +、1q a +依次成等比数列时，求t 、p 、q 的值. 【答案】（1）1322n a n =+，见解析；（2）10；（3）见解析 【解析】(1)1t =时,根据定义可证数列是等差数列,根据等差数列的通项公式可求; (2)3t =时,将已知变形可得数列{1}na -是等比数列,可得{}n a 的通项公式,可得{}n b 的通项公式,再求和解不等式可得; (3)2t ≠且t N ∈时,将已知变形为1121()22n n a a t t t +-=---,可得数列1{}2n a t --为等比数列,可求得n a ,再根据数列{}n a 递增可求得1t =,再由1p a +、1t a +、1q a +依次成等比数列,可得(321)(321)25p q⨯-⨯-=,因为,p q ∈N ,所以只能是1p q t ===.(1)证明:2t =时,由1212n n a a ++= 得112n n a a +-=, 所以数列{}n a 是首项为12a =,公差为12的等差数列, 所以113(1)2(1)22n n a a n d n +=+-=+-⨯=. (2)3t =时,由1213n n a a ++=得121(1)3n n a a +-=-.因为11211a -=-=,所以数列{1}n a -是首项为1,公比为23的等比数列, 所以1211()3n n a --=⨯12()3n -=, 所以121()3n n a -=+,所以112212|||1()1()|()3323nn n n n n b a a -+=-=+--=⨯, 所以122k b b b b ++++K 22[1()]1332213k -=⨯-21()3k =-, 所以2391()340k -≥,即21()340k ≤, 所以21lg lg340k ≤,所以(lg 2lg3)2lg 21k -≤--, 所以2lg 21lg 3lg 2k +≥-20.301010.47710.3010⨯+=-9.097≈.所以使得不等式1233940k b b b b +++⋅⋅⋅+≥成立的最小正整数k 为10. (3)2t ≠时,由121n n a t a ++=⋅,得121n n a a t t+=+, 得1121()22n n a a t t t +-=---, 所以11112()()22n n a a t t t--=---, 所以1121(2)()22n n a t t t -=-+--, 由1t a +知t 为自然数,所以122t --0>, 又对于任意的正整数n ，均有1n n a a +<, 所以数列{}n a 为递增数列, 所以21t>,又t N ∈,所以1321n n a -=⨯-,所以123215t a a +==⨯-=, 因为1p a +、1t a +、1q a +依次成等比数列, 所以2111t p q a a a +++=⋅,即25(321)(321)pq=⨯-⨯⨯-. 即(321)(321)25pq⨯-⨯-=,因为,p q ∈N ,3211p ⨯-≠,3211q ⨯-≠, 所以只能有3213215p q ⨯-=⨯-=, 所以1p q ==, 综上1p q t ===. 【点睛】本题考查了由递推关系式求通项公式,等差数列的证明,等比数列的通项公式,数列的单调性,本题属于难题.21．设曲线2:2y px Γ=（0p >），D 是直线:2l x p =-上的任意一点，过D 作Γ的切线，切点分别为A 、B ，记O 为坐标原点. （1）设(4,2)D -，求DAB ∆的面积；（2）设D 、A 、B 的纵坐标依次为0y 、1y 、2y ，求证：1202y y y +=；（3）设点M 满足OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r，是否存在这样的点D ，使得M 关于直线AB 的对称点N 在Γ上？若存在，求出D 的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）见解析；（3）存在，点D 的坐标为(2,0)p -【解析】（1）由题意求出抛物线方程2:4y x Γ=，得到=±y ，对函数求导，设切点坐标11(,)A x y ，22(,)B x y ，由题意得到切线DA 、DB 的方程根据(4,2)D -在两切线上，求出直线AB 的方程，联立直线AB 与抛物线，根据弦长公式，以及三角形面积公式，即可求出结果；（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，类比（1）求出直线DA 、DB 的方程，联立方程求出点D 纵坐标，根据题意，即可证明结论成立；（3）先假设存在点D ，使得M 关于直线AB 的对称点N 在Γ上，设33(,)N x y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)D x y ，由题意得到MN 的中点Q 和点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭都在直线AB 上，列出方程组，根据题意求出(0,0)N 或2002,2⎛⎫⎪⎝⎭y N y p ；分别讨论00y =和00y ≠两种情况，即可得出结果. 【详解】（1）因为(4,2)D -，且D 是直线:2l x p =-上的任意一点，所以24p =，所以2p =，曲线2:4y x Γ=，即=±y，所以'=y ， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，其中10y >，20y <，则2114y x =，2224y x =，所以切线DA12=y ，切线DB22=y ，故切线DA 的方程为：1112()-=-y y x x y ，即211112222=-+=+y y x x y x x ， 同理：切线DB 的方程为2222=+y y x x ，因为(4,2)D -在两切线上，所以1122282282y x y x =-+⎧⎨=-+⎩，故A 、B 都在直线282=-+y x ，即40x y --=上， 所以，直线AB 的方程为40x y --=，由2404x y y x --=⎧⎨=⎩可得：212160-+=x x ，所以12121216x x x x +=⎧⎨=⎩，因此AB 又D 到直线AB的距离为：==d ，所以12∆=⨯=DAB S （2）如图所示：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线DA 的方程为：11()=+y y P x x ，即2112=+y y y px ， 同理可得直线DB 的方程为：2222=+yy y px ，由21122222y y y px y y y px ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得122y y y +=，由于点D 的纵坐标为0y ， 所以1202y y y +=，即1202y y y +=； （3）假设存在点D ，使得M 关于直线AB 的对称点N 在Γ上， 设33(,)N x y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)D x y ， 由题意得：1212(,)++M x x y y ，则MN 的中点Q 的坐标为123123,22++++⎛⎫⎪⎝⎭x x x y y y ， 又122212120222-===+-AB y y p pk y y y y y p p， 直线AB 的方程为：110()-=-py y x x y ， 由点Q 在直线AB 上，并注意到点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭也在直线AB 上， 即12312311022++++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭y y y x x x p y x y ，121211022++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭y y x x p y x y ， 两式相减可得：330=py x y ； 若33(,)N x y 在抛物线上，则2332=y px ，因此30=y 或302=y y ，即(0,0)N 或2002,2⎛⎫⎪⎝⎭y N y p ；①当00y =时，12020+==y y y ，此时(2,0)-D p ，满足题意；②当00y ≠时，对于(0,0)N ，此时22120,22⎛⎫+⎪⎝⎭y y M y p ， 0022221212242==++MN y py k y y y y p，又0AB pk y =，由MN AB ⊥，所以02201241⋅=⋅=-+MN AB py pk k y y y ， 即222124+=-y y p ，矛盾；对于2002,2⎛⎫⎪⎝⎭y N y p ，因为22120,22⎛⎫+ ⎪⎝⎭y y M y p ，此时直线MN 平行于x 轴， 又0AB pk y =，所以直线MN 与直线AB 不垂直，与题设矛盾； 所以00y ≠时，不存在符合题意的点D ； 综上所述，仅存在一点(2,0)-D p ，满足题意. 【点睛】本题主要考查直线与抛物线位置关系，以及抛物线中存在定点满足条件的问题，熟记抛物线的简单性质，以及直线与抛物线的位置关系即可，属于常考题型.。

2019年上海市高三二模数学填选难题解析宝山11. 已知无穷等比数列1a ，2a ，3a ，⋅⋅⋅各项的和为92，且22a =-，若49||102n S --<，则n 的最小值为【解析】10. 根据题意，0||1q <<，1912a q =-，12a q =-，解得13q =-，16a =， ∴1(1)91[1()]123n n n a q S q -==---，∴49911||()22310n n S -=⨯<，且n ∈*N ，∴10n ≥， 即n 的最小值为10.12. 在线段12A A 的两端点各置一个光源，已知1A 、2A 光源的发光强度之比为1:2，则该线段上光照度最小的一点到1A 、2A 的距离之比为 （光学定律：P 点的光照度与P 到光源距离的平方成反比，与光源的发光强度成正比）【解析】31:2. 设1PA a =，2PA b =，不妨设线段12A A 定长为d ，1A 光源的发光强度为定值1，则2A 光源的发光强度为2，即转化为“已知a b d +=，当2212a b+取得最小值时，求ab的值”，∵3221133a a a a a a ++≥⋅⋅⋅=，332222332b b b b b b ++≥⋅⋅⋅=，两不等式相加，即3221222332a b a b +++≥+，∵a b d +=，∴322123322d a b +≥+-，当且仅 当21a a =，22b b=时等号成立，即1a =，32b =，∴距离之比为31:2. 16. 设向量(,,0)u a b =，(,,1)v c d =，且22221a b c d +=+=，则下列判断错误的是（ ） A. 向量v 与z 轴正方向的夹角为定值（与c 、d 之值无关） B. u v ⋅的最大值为2 C. u 与v 夹角的最大值为34πD. ad bc -的最大值为1【解析】选B. 结合空间直角坐标系，u 、v 向量如图，由题意，u OU =，v OV =， 图中圆柱底面半径为1，高为1. A 选项，4VOz π∠=，即v 与z 轴正方向夹角为4π， 正确；B 选项，结合投影的几何意义，2||1u v u ⋅≤=，即u v ⋅的最大值为1，∴B 选项错误；C 选项，VOU ∠最大值为34π，正确；D 选项，∵111||222V OU S ad bc OV OU '∆'=-≤⋅⋅=，∴1ad bc -≤，正确；综上所述，选B. 杨浦11. 若△ABC 的内角A 、B 、C ，其中G 为△ABC 的重心，且0GA GB ⋅=，则cos C 的 最小值为【解析】45. 方法一：如左图构造，GA GB ⊥，根据题意，AA '、BB '均为中线， 设1GA '=，GB t '=，作CD BD ⊥，∴△AGB '与△CDB '全等， ∴2CD =，DB t '=，4BD t =，∴2tan tan 333tan tan()1tan tan 222/24BCD B CD t C BCD B CD BCD B CD t t t '∠-∠'=∠-∠===≤'+∠∠++， ∴tan C 的最大值为34，即cos C 的最小值为45.方法二：如右图构造，GA GB ⊥，点G 在以AB 中点O 为圆心的圆上，不妨设半径为1， 则3CO =，要求cos C 的最小值，即求C ∠的最大值，很明显CO AB ⊥时，C ∠会最大，此时1tan23C =，∴3tan 4C =，即4cos 5C =. 12. 定义域为集合{1,2,3,,12}⋅⋅⋅上的函数()f x 满足：①(1)1f =；②|(1)()|1f x f x +-=（1,2,,11x =⋅⋅⋅）；③(1)f 、(6)f 、(12)f 成等比数列； 这样的不同函数()f x 的个数为【解析】155. 根据题意，当n 为奇数，()f n 也为奇数，当n 为偶数，()f n 也为偶数，且()f n n ≤，因为2(12)(6)f f =，∴(12)f 只能为平方数4，∴(6)2f =±.① (1)1f =，(6)2f =，(12)4f =；其中(1)(6)f f →的五步中有2步1-、3步1+，(6)(12)f f →的六步中有2步1-、4步1+，∴()f x 的个数为2256150C C =；② (1)1f =，(6)2f =-，(12)4f =；其中(1)(6)f f →的五步中有4步1-、1步1+，(6)(12)f f →的六步中有0步1-、6步1+，∴()f x 的个数为40565C C =； 综上所述，这样的不同函数()f x 的个数为1505155+=个16. 已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且7cos 8A =，I 为△ABC 内部的一点，且0aIA bIB cIC ++=，若AI x AB y AC =+，则x y +的最大值为（ ） A.54 B. 12C. 56D. 45【解析】选D. ∵()()a AI bIB cIC b IA AB c IA AC bIA cIA bAB cAC =+=+++=+++， ∴()a b c AI bAB cAC ++=+，即b c AI AB AC a b c a b c=+++++，∴b cx y a b c++=++，由余弦定理：22222152cos ()4a b c bc A a b c bc =+-⇒=+-，∵2()4b c bc +≤，∴2221511()()()4164a b c bc b c a b c =+-≥+⇒≥+，∴45x y +≤，故选D.奉贤11. 实系数一元二次方程210ax bx ++=(0)ab ≠的两个虚根1z 、2z ，1z 的实部1Re()0z <，则1220212020292020m m m z z +--的模等于1，则实数m =【解析】2. 设1i z x y =+，x ∈R ，y ∈R ，且0x <，则2i z x y =-，∴1220212020202120202020i2920202920202020im m m m m m z x y z x y +-+--=--+，其模为1，即20212020292020m m m x x +-=-或20212020202029m m m x x +-=-（由0x <舍），∴202129m m m +=，用计算器可求出2m =.12. 设点P 在以A 为圆心，半径为1的圆弧BC 上运动（包含B 、C 两个端点），23BAC π∠=，且AP x AB y AC =+，x y xy ++的取值范围为【解析】[1,3]. 以A 为原点，AB 为x 正半轴建立平面直角坐标系，∴(1,0)AB =，13(,)22AC =-，设(cos ,sin )P θθ，2[0,]3πθ∈，13(,)22AP xAB y AC x y y =+=-，∴1cos 2x y θ-=，3sin 2y θ=，即23sin 3y θ=，3cos sin 3x θθ=+， ∴31121cos 3sin sin 2cos22sin()sin(2)3336363x y xy ππθθθθθθ++=++-+=++-+∵1sin()6y πθ=+和2sin(2)6y πθ=-均在[0,]3π上单调递增，在2[,]33ππ上单调递减， 且3x π=为两个三角函数的对称轴，∴0θ=或23π时，min ()1x y xy ++=，3πθ=时，max ()3x y xy ++=，∴x y xy ++的取值范围为[1,3].16. 设有△000A B C ，作它的内切圆，得到的三个切点确定一个新的三角形△111A B C ，再作 △111A B C 的内切圆，得到的三个切点又确定一个新的三角形△222A B C ，以此类推，一次一次不停地作下去可以得到一个三角形序列△n n n A B C （1,2,3,n =⋅⋅⋅），它们的尺寸越来越小，则最终这些三角形的极限情形是（ ）A. 等边三角形B. 直角三角形C. 与原三角形相似D. 以上均不对【解析】选A. 如右图所示，由△n n n A B C 内切圆的三个切点确定△111n n n A B C +++， ∵内切圆圆心为三条角平分线的交点，到三边距离相等， ∴12n n n B C A +∠+∠∠=，12n n n A C B +∠+∠∠=，12n nn A B C +∠+∠∠=， ∴△111n n n A B C +++内角为△n n n A B C 内角的均值，故三个内角会趋于相等，即等边三角形.虹口11. 若函数20()(1)(2)0x x f x f x f x x -⎧≤=⎨--->⎩，则(2019)f 的值为【解析】1-. 0x >，(3)(2)(1)[(1)()](1)()f x f x f x f x f x f x f x +=+-+=+--+=-，∴(6)(3)()f x f x f x +=-+=，即0x >时，周期为6. 或者简单归纳，(1)2f -=，(0)1f =，(1)(0)(1)1f f f =--=-，(2)2f =-，(3)1f =-，(4)1f =，(5)2f =， (6)1f =，…，观察可得，周期为6，∴(2019)(33663)(3)1f f f =⨯+==-12. 过点1(,2)2P -作圆224:()(1)13C x m y m -+-+=（m ∈R ）的切线，切点分别为A 、B ，则PA PB ⋅的最小值为【解析】223-. 设ACP θ∠=，(0,)2πθ∈，2ACB θ∠=，1cos CP θ=， ∴()()PA PB PC CA PC CB ⋅=+⋅+2PC PC CB CA PC CA CB =+⋅+⋅+⋅2111cos2cos θθ=--+2212cos 3223cos θθ=+-≥-，当22cos 2θ=时等号成立.16. 已知等比数列{}n a 的首项为2，公比为13-，其前n 项和记为n S ，若对任意的*n ∈N ，均有13n nA SB S ≤-≤恒成立，则B A -的最小值为（ ） A.72 B. 94 C. 114D. 136【解析】选B. 31[1()]23n n S =--，11()3n --取值依次为113+、119-、1127+、1181-、…， ∴21n S S S ≤≤，即423n S ≤≤，设1()3n n n f S S S =-，可知其在4[,2]3上单调递增，∴4()()(2)3n f f S f ≤≤，即1311()42n f S ≤≤，∴min 11139()244B A -=-=，故选B.普陀11. 《九章算术》中称四个面均为直角三角形的四面体为鳖 臑，如图，若四面体ABCD 为鳖臑，且AB ⊥平面BCD ，AB BC CD ==，则AD 与平面ABC 所成角大小为（结果用反三角函数值表示） 【解析】2arctan2. 根据题意，CD ⊥平面ABC ，∴AD 与平面ABC 所成角即DAC ∠，设1AB BC CD ===，∴2AC =，∴12tan 22DAC ∠==，即所求角为2arctan 2. 12. 设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，记2()()g x f x x =-，且函数()g x 在区间[0,)+∞上是增函数，则不等式2(2)(2)4f x f x x +->+的解集为【解析】(,4)(0,)-∞-+∞. 根据题意，()g x 为偶函数，由2(2)(2)4f x f x x+->+得，22(2)(2)(2)2f x x f +-+>-，即(2)(2)g x g +>，∵()g x 为偶函数，且在区间[0,)+∞上是增函数，∴|2|2x +>，∴4x <-或0x >，即解集为(,4)(0,)-∞-+∞.方法二：取特殊情况，不妨设2()2f x x =，符合题意，解得解集为(,4)(0,)-∞-+∞.16. 设函数()sin()6f x x π=-，若对于任意5[,]62ππα∈--，在区间[0,]m 上总存在唯一确 定的β，使得()()0f f αβ+=，则m 的最小值为（ ）A.6π B. 2πC. 76πD. π【解析】选B. ∵5[,]62ππα∈--，∴3()[,0]2f α∈-，3()[0,]2f α-∈，设()t f α=-，即对任意3[0,]2t ∈，()f t β=在区间[0,]m 上有唯一解，结合图像可知， ∵53()()262f f ππ==， ∴526m ππ≤<，即m 的最小值为2π徐汇10. 已知函数4()1f x x x =+-，若存在121,,,[,4]4n x x x ⋅⋅⋅∈使得 121()()()()n n f x f x f x f x -++⋅⋅⋅+=，则正整数n 的最大值是【解析】6. ∵当1[,4]4x ∈，1()[3,15]4f x ∈，11153544÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，∴n 的最大值为6 11. 在平面直角坐标系中，设点(0,0)O ，(3,3)A ，点(,)P x y 的坐标满足303200x y x y y ⎧-≤⎪⎪-+≥⎨⎪≥⎪⎩，则OA 在OP 上的投影的取值范围是 【解析】[3,3]-. 点P 在图中阴影部分（含边界），结合图像可知，5[,]66AOP ππ∠∈，OA 在OP 上的投影即||cos 23cos [3,3]OA AOP AOP ∠=∠∈-12. 函数()sin f x x ω=（0ω>）的图像与其对称轴在y 轴右侧的交点从左到右依次记为123,,,,,n A A A A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，在点列{}n A 中存在三个不同的点k A 、i A 、p A ，使得△k i p A A A 是等腰直角三角形，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数列记为{}n ω，则2019ω=【解析】40372π. 先求1ω，如左图所示，11242T ππωω==⇒=；再分析2ω， 如右图所示，22233342T ππωω=⋅=⇒=； 归纳可得，2(21)(21)(21)42n n n n T n ππωω--=-⋅=⇒=.15. 已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，则抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ） A.3716 B. 115 C. 2 D. 74【解析】选C. ∵动点P 到直线2:1l x =-的距离等于P 到焦点(1,0)F 的距离，∴所求的距离之和的最小值可以转化为焦点(1,0)F 到直线1:4360l x y -+=的距离，2d =，选C. 16. 设()f x 是定义在R 上的函数，若存在两个不等实数12,x x ∈R ，使得1212()()()22x x f x f x f ++=，则称函数()f x 具有性质P ，那么下列函数： ① 10()00x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩；② 3()f x x =；③ 2()|1|f x x =-；④ 2()f x x =；不具有性质P 的函数为（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④【解析】选D. 函数()f x 要具有性质P ，即函数图像上存在两点，使它们中点也在图像上. 如图，对于①②，均为奇函数，存在12x x =-满足题意；对于③，存在1x =，2x =使之具有性质P ；对于④，函数图像上任意两点的中点都不在2y x =上，故选D.青浦10. 已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 【解析】22. 构造如图边长为3的正方体， 四棱锥P ABCD -即满足题意的四棱锥，可知PC 最长，22233222PC =++=11. 已知函数2()f x x ax b =++（,a b ∈R ），在区间(1,1)-内有两个零点，则22a b -的取值范围是【解析】(0,2). 由函数在(1,1)-内有两个零点，可得(1)0f >，(1)0f ->，(1,1)2a-∈-， 0∆>，即10a b ++>，10a b -+>，22a -<<，24a b >，转化为线性规划问题，画出可行域如图阴影部分所示，求目标函数22z a b =-的取值范围.结合图像可知，2z-为函数222a z b =-在y 轴上的截距，(1,0)2z-∈-，即(0,2)z ∈方法二：设两根为s 、t ，(1,1)s ∈-，(1,1)t ∈-，s t a +=-，st b =，∴22222()2(0,2)a b s t st s t -=+-=+∈. 12. 已知O 为△ABC 的外心，3ABC π∠=，BO BA BC λμ=+，则λμ+的最大值为【解析】23. 如图所示，作BD AC ⊥，OF BD ⊥，OE AC ⊥， BO BA BC BO BD BA BD BC BD λμλμ=+⇒⋅=⋅+⋅，∴22||||BF BD OEBF BD BD BD BD BDλμλμ-⋅=+⇒+==， 设外接圆半径为1，则32BD ≤，12OE =，即23λμ+≤.16. 等差数列12,,,n a a a ⋅⋅⋅（3n ≥，*n ∈N ）满足121|||||||1|n a a a a ++⋅⋅⋅+=+2|1|a ++|1|n a +⋅⋅⋅++12|2||2||2|2019n a a a =-+-+⋅⋅⋅+-=，则（ ）A. n 的最大值为50B. n 的最小值为50C. n 的最大值为51D. n 的最小值为51【解析】选A. 构造函数()|||||2||(1)|f x x x d x d x n d =+++++⋅⋅⋅++-，可知方程()2019f x =至少有三个解1a 、11a +、12a -，∴该绝对值函数为平底型，∴n 为偶数，且3d ≥，不妨设2n k =，k ∈*N ， ∴12,,,k a a a ⋅⋅⋅均为负，122,,,k k k a a a ++⋅⋅⋅均为正， ∴12112||||||n k k k a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=--⋅⋅⋅-++⋅⋅⋅+211222()()()2019k k k k a a a a a a k d ++-+-+⋅⋅⋅+-==，3d ≥，∴220192019253k k d =≤⇒≤，250n k =≤.黄浦11. 设[0,2)ϕπ∈，若关于x 的方程sin(2)x a ϕ+=在区间[0,]π上有三个解，且它们的和为43π，则ϕ= 【解析】6π或76π. sin(2)y x ϕ=+周期π，且三解和为43π，∴(0)()()3f f f a ππ===， ∴2sin sin()3πϕϕ=+，∵[0,2)ϕπ∈，∴23πϕϕπ++=或3π，解得ϕ=6π或76π. 12. 已知复数集合{i |||1,||1,,}A x y x y x y =+≤≤∈R ，221133{|(i),}44B z z z z A ==+∈，其中i 为虚数单位，若复数z A B ∈，则z 对应的点Z 在复平面内所形成图形的面积为【解析】72. 1i z x y =+，设2333333i (i)(i)()i 444444z m n x y x y x y =+=++=-++，∴3344m x y =-，3344n x y =+，∴2()3x m n =+，2()3y m n =-+，∵||1x ≤，||1y ≤，∴3||2m n +≤，3||2m n -≤，∴集合A 、B 图形如图为两个正方形，其公共部分面积为17422-=.16. 在△ABC 中，BC a =，CA b =，AB c =，下列说法中正确的是（ ）A. 为边长不可以作成一个三角形B. 为边长一定可以作成一个锐角三角形C. 为边长一定可以作成一个直角三角形D. 为边长一定可以作成一个钝角三角形【解析】选B. 不妨设a b c ≤≤，∴a b c +>为边长构成的三角形≤≤所对角，设其为C '，由余弦定理222cos 0C '==>，即最大角为锐角，故为锐角三角形.长宁、嘉定10. 在△ABC 中，已知2CD DB =，P 为线段AD 上的一点，且满足49CP mCA CB =+，若△ABC 3ACB π∠=，则||CP 的最小值为________【解析】43. 4293CP mCA CB mCA CD =+=+，由共线定理，13m =，由ABC S 4CA CB ⋅=，∴2CA CB ⋅=，222214148()()()393927CP CA CB CA CB CA CB =+=++⋅≥1416162()()39279CA CB ⋅⋅+=，∴||CP 43≥.11. 已知有穷数列{}n a 共有m 项，记数列{}n a 所有项的和为(1)S ，第二及以后所有项的和 为(2)S ，⋅⋅⋅ ，第n （1n m ≤≤）及以后所有项的和为()S n ，若()S n 是首项为1公差为2的等差数列前n 项的和，则当1n m ≤<时，n a =________ 【解析】21n --. 2(1)()122n n S n n n -=⋅+⋅=，根据题意，1()n n m S n a a a +=++⋅⋅⋅+， 12(1)n n m S n a a a +++=++⋅⋅⋅+，∴()(1)21n a S n S n n =-+=--，1n m ≤<.12. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(2)()f x f x +=-，且当01x ≤≤时，2()log ()f x x a =+，若对于任意[0,1]x ∈，都有221()1log 32f x tx -++≥-，则实数t 的取值范围为________【解析】[0,3]. ∵()f x 为定义在R 上奇函数，∴(0)01f a =⇒=，∵(2)()f x f x +=-，∴周期为4，画出()f x 图像如图所示，∵22115()1log 3()()222f x tx f f -++≥-=-=， ∴211544222k x tx k -+≤-++≤+，k ∈Z ，∵对于任意[0,1]x ∈都成立，∴代入0x =，∴11544222k k -+≤≤+，即0k =，∴对于任意[0,1]x ∈，2115222x tx -≤-++≤成立， 当(0,1]x ∈，分离参数得12x t x x x -≤≤+恒成立，∴max min 12()()x t x x x-≤≤+，[0,3]t ∈15. 已知圆22(2)9x y -+=的圆心为C ，过点(2,0)M -且与x 轴不重合的直线l 交圆C 于A 、B 两点，点A 在点M 与点B 之间，过点M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，则点P 的轨迹是（ ）A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分 【解析】选C. 如上右图，AC BC =，AC ∥MP ，B BAC BMP ∠=∠=∠，∴PM PB =，∴34PM PC PB PC BC MC -=-==<=，∴点P 的轨迹是双曲线的一部分. 16. 对于△ABC ，若存在△111A B C ，满足111cos cos cos 1sin sin sin A B CA B C ===，则称△ABC 为“V 类三角形”，“V 类三角形”一定满足有一个内角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°【解析】选B. ∵△111A B C 中，1sin A 、1sin B 、1sin C 均为正，∴cos A 、cos B 、cos C 均为正，即△ABC 为锐角三角形. 假设△111A B C 也为锐角三角形，由1sin cos A A =可得，190A A ︒+=，同理190B B ︒+=，190C C ︒+=， 相加为111270A B C A B C ︒+++++=，明显不成立，故△111A B C 为钝角三角形. 不妨设1A 为钝角，∴118090A A ︒︒-+=，190B B ︒+=，190C C ︒+=，相加整理得，11190B C A ︒+-=-，∴1180290A ︒︒-=-，∴1135A ︒=，即45A ︒=.金山11、若集合{}2|(2)20,A x x a x a x Z =-++-<∈中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围是 . 【答案】12,23⎛⎤⎥⎝⎦【解析】法一：由题意可知方程2(2)20x a x a -++-=存在两个不同的根1212,()x x x x <设， 韦达定理可知121222x x a x x a+=+⎧⎨⋅=-⎩121202,2a x x x x >∴+>⋅<，两根之间只存在一个整数∴1x 不可能为负，即120x x <<若11x >，则21x >，与 122x x ⋅<矛盾，故12012x x <<<≤，即存在的元素为1由求根公式可得012<<<≤解得12,23a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦法二：由2(2)20x a x a -++-<得222(1)x x a x -+<+数形结合：左边为抛物线()f x ，右边为过定点(1,0)-的直线()g x ，只存在一个整数解必为1；故(0)g(0)(2)g(2)(1)g(1)f f f ≥⎧⎪≥⎨⎪<⎩解得12,23a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦12、正方形ABCD 的边长为2，对角线AC BD 、相交于点O ，动点P 满足22OP =若AP mAB nAD =+，其中,m n R ∈，则2122m n ++的最大值是 .【答案】1【解析】以点A 为原点，,AB AD 所在直线分别为,x y 轴，建立直角坐标系。