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双曲线的图象与性质PPT课件

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双曲线定义PPT课件

双曲线定义PPT课件

x2 a2
by22
1(a,bo)
x2 y2 b2 a2 1(a,bo)
y
y
. .B
A1 o A x
. B.
A1 o A x
B1
B1
关系
c2 = a2 + b 2
例题：
根据下列条件，求双曲线的标准方程：
1、过点 P ( 3 , 15 )、Q ( 16 , 5 ) 且焦点在坐标
4
3
轴上；
2、 c = 6 ，经过点 (－5 , 2 )，焦点在 x 轴上；
的焦点坐标．
3．已知方程
x2
y2
1表示双曲线，求的取值范围．
2m m1
精选
•
例3，证明椭圆
x2 25
+
y2 =1
9
与双曲线x2-15y2=15的焦点相同.
• 变:椭圆与双曲线的一个交点为P， F1是椭圆的左焦点,求|PF1|.
精选
小结
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
定义 方程
图象
| | MF1 | － | MF2 | | = 2a ( 2a ＜| F1F2 | )
共性： 1、两者都是平面内动点到两定点的距离问题； 2、两者的定点都是焦点； 3、两者定点间的距离都是焦距。
区别： 椭圆是距离之和； 双曲线是距离之差的绝对值。
求双曲线的标准方程
点击观看动画
精选
1、建系设点。
设M（x , y）,双曲线的焦距 为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0)
常数=2a
同的符号。
精选
• 例线1，、求如m果的方范程围mx-21+2-ym2 = 1表示双曲 • 解（m-1)(2-m)<0，∴m>2或m<1

3-2-1双曲线及其标准方程 课件(共67张PPT)

3-2-1双曲线及其标准方程 课件(共67张PPT)
【解析】 距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若 F1，F2 表示双曲线的左、右焦点，且点 P 满足|PF1|－|PF2|＝2a，则点 P 在右支上；若点 P 满足|PF2|－|PF1|＝2a，则点 P 在左支上．
互动 2 在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”， 那么“常数等于|F1F2|”“常数大于|F1F2|”或“常数为 0”时，动 点的轨迹是什么？
【解析】 (1)若“常数等于|F1F2|”时，此时动点的轨迹是以 F1，F2 为端点的两条射线 F1A，F2B(包括端点)，如图所示．
(2)若“常数大于|F1F2|”，此时动点轨迹不存在． (3)若“常数为 0”，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线．
互动 3 已知点 P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各 条件下点 P 的轨迹是什么图形？
2．关于双曲线应注意的几个问题 (1)双曲线的标准方程与选择的坐标系有关，当且仅当双曲线 的中心在原点，焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形 式．
(2)如图，设 M(x，y)为双曲线上任意一点，若 M 点在双曲线 的右支上，则|MF1|＞|MF2|，|MF1|－|MF2|＝2a(0＜2a＜|F1F2|)；若 M 在双曲线的左支上，则|MF1|＜|MF2|，|MF1|－|MF2|＝－2a，因 此得|MF1|－|MF2|＝±2a，这与椭圆不同．
(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a， 可得 （x＋c）2＋y2－ （x－c）2＋y2＝±2a.①
(4)化简：移项，平方后可得 (c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)． 令 c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为xa22－yb22＝1(a>0，b>0)．② (5)从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方 程②；以方程②的解(x，y)为坐标的点到双曲线两个焦点(－c， 0)，(c，0)的距离之差的绝对值为 2a，即以方程②的解为坐标的 点都在双曲线上．这样，就把方程②叫作双曲线的标准方程．

3.2.2双曲线的简单几何性质 课件(共24张PPT)

3.2.2双曲线的简单几何性质 课件(共24张PPT)
2
2
=λ(λ≠0).
(5)渐近线为y=±kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).
(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
跟踪训练 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
5
（1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为3 ；ห้องสมุดไป่ตู้
跟踪训练
A.
1
4
双曲线x2-my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于
B.
1
2
C.2
D.4
（D）
二、求双曲线方程
例2
根据下列条件，求双曲线方程:
（1）双曲线 x
2
9

y2
1 有共同渐近线，且过点 ( 3, 2 3) ；
16
（2）与双曲线 x
2
16
解
y2
1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) .
第三章
3.2
双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质
学习目标
1.理解双曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、渐近线、离心率）.
2.能用双曲线的简单性质解决一些简单的问题
核心素养：数学运算、数学建模
新知学习
复习引入
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
(2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为
2
(3)与双曲线
2
2 +
2
−
2
2
2
−
=1(a>0,b>0).
2
2
=1 共焦点的双曲线方程可设为

双曲线及其标准方程PPT课件(公开课)ppt文档

双曲线及其标准方程PPT课件(公开课)ppt文档

M
2、|MF2| － | MF 1| =2a (2a< |F1F2| )
F1
F2
3、若常数2a=0
F1
F2
4、若常数2a = | F1F2 |
F1
F2
5、若常数2a＞| F1F2 |
轨迹不存在
变式１ 已知两定点F1(-5,0),F2(5,0)，平面上一动 点P，｜PF1|－|PF2|= 6，求点P的轨迹方程.
解: 由题知点P的轨迹是双曲线的右支，
根据双曲线的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为：
x2 y2 a2b2 1 (a0,b0)
∵ 2a = 6, c=5 ∴ a = 3, c = 5
双曲线及其标准方程PPT课件(公开课)
1、复习
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数
2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹是 椭圆 .
动
画
Y Mx,y
2. 引入问题：
O
F 1c,0
F 2 c,0 X
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢？
平面上动点M到两定点距离的差为常数的轨迹是什么 ?
∴ a = 3, c = 5
∴ b2 = 52-32 =16
所以所求双曲线的标准方程为： x2 y2 1 9 16
走进高考
x2 y2
1.若双曲线 16 9 1 上的点P 到点
(5,0) 的距离是15，则点P 到点(5,0) 的
距离是（ D ） A.7 B. 23 C. 5或25 D. 7或23
所以所求双曲线的标准方程为：
x2 y2 1 或
y2 x2 1
9 16
9 16
课堂练习

双曲线的简单几何性质课件

双曲线的简单几何性质课件
A1（- a，0），A2（a，0）
e c (e 1) a
y b x a
例3：
x2 y2 1 16 9
1、双曲线 9x2-16y2=144的实半轴长
等于 4 虚半轴长等于 3 顶点坐
标是 4,0 渐近线方是y
3 4
x (或 x
4
y
.3
0)
5
离心率e= 4 。
2、离充心要率e=条件2 是。双（曲用线“为充等分轴条双件曲”线“的必要 条件”“充要条件”填空。）
双曲线定义的简单几何性质
定义
图象
方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
F1
o
F2
x
x
F1
x2 a2
y2 b2
1
x≤－a或x≥a
y2 a2
x2 b2
1
y≤－a或y≥a
关于坐标轴、原点对称（实轴、虚轴、中心）
(－a, 0) (a, 0)
法二 由双曲线的渐近线方程为 y＝±12x， 可设双曲线方程为x222－y2＝λ(λ≠0)， ∵A(2，－3)在双曲线上， ∴2222－(－3)2＝λ，即 λ＝－8. ∴所求双曲线的标准方程为y82－3x22 ＝1.
5 离心率
与椭圆类似,双曲线的焦距与实轴长的比 c , a
叫做双曲线的离心率.因为c a 0,所以双
2 2
y2 b2
1
渐进线方程
k
b a
B2
b
k
y
(a,b)
b a
yb x a
可由双曲线

2.双曲线的简单几何性质PPt

2.双曲线的简单几何性质PPt
双曲线的 简单几何性质(2)
5、离心率 c 双曲线的焦距与实轴长 的比e ,叫做 （1）定义： a 双曲线的 离心率。
（2）e的范围：
c>a>0
e >1
（3） e是反映双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大!
b c2 a2 c 2 ( ) 1 e2 1 a a a b b 当e越大， 越大, 且e增大, 即渐近线y 的绝对值越大， a a 这时，双曲线的形状从扁狭逐渐开阔，即开口越大，
结论：
x2 y 2 x2 y 2 双曲线 2 2 ( 0) 渐近线方程 2 2 0. a b a b 等轴双曲线x2 y 2 λ (λ ≠0) 渐近线方程y x
想一想:有相同渐近线的双曲线方程相同吗？试举例说明。
例1、求下列双曲线的实半轴和虚半轴长、焦点坐标、 离心率、渐近线方程。
y x 1 (a 0,b 0 ) a b
x a 或 x a，y R
y a 或 y a，x R
关于x轴、y轴、原点对称
A1（－ a，0），A2（a，0）
关于x轴、y轴、原点对称
A1（0，－a），A2（0，a）
c e a
b y x a
(e 1)
c e a
3 4
，
例4．求满足下列条件的双曲线标准方程.
3 ，且过（-1，2） 的双曲线。 e 2呢？ x2 y 2 （2）与双曲线 1有相同焦点，且过 点（3 2，2） 16 4 x2 y 2 1 共渐近线 ，并且过点 M (2 3, 3) （3）已知双曲线 16 9
（1）离心率为
x2 y 2 （2）与双曲线 1 有相同焦点，且过 点（3 2，2） 16 4

《双曲线的简单几何性质(1)》示范公开课教学课件【高中数学北师大】

解：双曲线一个顶点的坐标为(0，2)，可得双曲线的焦点在y轴上，且a＝2， 又2a＋2b＝2c，所以a＋b＝c，①
又c2＝a2＋b2＝4＋b2，②联立①②，解得c＝2，b＝2，
所以双曲线的标准方程为．故选B．
B
知识点 双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质．
题型归纳 数形结合法．
双曲线的简单几何性质(1)
第二章 圆锥曲线
我们已经学习了双曲线的概念与双曲线的标准方程，
类比对椭圆的研究，接下来我们应该研究双曲线的哪些内容？
平面内到两个定点距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于的点的集合（或轨迹）叫做双曲线．
双曲线的标准方程：
观察平面直角坐标系中的双曲线，它有怎样的范围？
观察双曲线的图象，我们发现双曲线上点的横坐标的范围是，或，纵坐标的范围是．
中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的实轴与虚轴长相等的双曲线的方程是( )A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4 C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝4
∴c＝4，a2＝b2＝c2＝ ×16＝8，∴双曲线方程为x2－y2＝8．故选Ａ．
中心、顶点坐标、实轴和虚轴的长，并画出该双曲线．
解：将x2 4y2=1化为标准方程为=1，
由此可得实半轴长a=１，虚半轴长b=，半焦距．
所以双曲线的焦点坐标为(0)，(0)，中心坐标为(0)，顶点坐标为(0)，(0) ，实轴长为2，虚轴长为1.
先将双曲线方程化为标准方程形式，再进行求解．
设双曲线的标准方程为，
解: 图（2）是冷却塔的轴截面，为了得到双曲线的标准 方程，以最小直径处所在直线为x轴，最小直径的垂 直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则点A的坐 标为（33.5，0）.

3.2.2双曲线的简单几何性质课件(人教版)


A1 A2
O
B1
•
F2
x
5.离心率 双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小
c
(1)定义： 双曲线的焦距与实轴长的比 e , 叫做双曲线的离心率.
a
∴e >1
(2)e的范围： ∵c>a>0
y
B2
(3)e的含义：e越接近1，双曲线开口越小；
e越大，双曲线开口越大.
(4)等轴双曲线的离心率e= ?
解：依题意可设双曲线的方程为 2 2 1
a
b
2a 16，
a 8
c 5
又 e , c 10
a 4
b2 c 2 a 2 102 82 36
x2 y2
双曲线的方程为

1
64 36
3
渐近线方程为y x ,且焦点F1 (10, 0), F2 (10, 0)
-a
a
F1 A1 O
A2
B2 -b
F2
4.双曲线的渐近线:
2
2
一般地，双曲线 2 − 2 = 1 ( > 0, > 0)的两支向外延伸时，与两条直




线 ± = 0逐渐接近，但永不相交.我们把这两条直线叫做双曲线的渐


近线.
y
x y
b
x2 y2
双曲线 2 2 1的渐近线方程为 0,即y x .
A1 (0,-a ), A2(0, a )
线段A1A2叫实轴 , 长度为2a
线段B1B2叫虚轴 , 长度为2b
c
e (e 1)
a
x y
b
0,即y x

选择必修 第三章 3.2.1 双曲线及其标准方程 课件(共23张PPT)

0)，焦点F1，F2的坐标分别为(-c , 0) ，(c , 0).
又设||MF1|-|MF2||= 2a( a为大于0的常数, a<c)．
由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：
P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<a<|F1F2|}.
y
M
F1
O
F2 x
知新探究
y
设 M(x, y) 是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为 2c（ c >
拓展2：根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点在某
条曲线上，但不能确定爆炸点的准确位置. 而现实生活中为了安全，我们最关心的是
炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸点的准确位置呢?
利用两个不同的观测点A, B测得同一点P发出信号的时间差, 可以确定点P所在
双曲线方程. 如果再增设一个观测点C，利用B、C(或A、C)两处测得的爆炸声的时
因为|PA|－|PB|=340×2=680＞0，
所以点P的轨迹是双曲线的右支，因此x＞340.
所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为
2
115600
2
−
=1(x＞340).
44400
P
A o
B x
知新探究
拓展1：若在A，B两地同时听到炮弹爆炸声，则炮弹爆炸点的轨迹是什么?
提示: 爆炸点的轨迹是线段AB的垂直平分线.
思考：
1.与两定点的距离的差的绝对值等于常数(当2a=|F1F2|时)的轨迹是什么？
在直线F1F2上且 以F1、F2为端点向外的两条射线.
2.与两定点的距离的差的绝对值等于常数(当2a>|F1F2| )时的轨迹是什么？
不存在
3.当||MF1|-|MF2||=2a=0时的轨迹是什么？

双曲线及其标准方程ppt课件


课后提升
1.必做题：P127页课本习题3.2第1，2，5题
2. 思考题（选做）:定位问题
某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告，正西、
正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其
它两个观测点晚4秒。已知各观测点到该中心的距离都是1020m，试
确定该巨响发生的位置。
（假定声音传播的速度为340m/s,相关各点均在同一平面内。）


−
= 令 = −



−
你能在y轴上找一点B，使得|OB|=b吗？
1
验证
设点
2
坐标法
4
化简
列式
3
绝对值
教学过程分析
3
通过图象，生成定义
绘制图象，合作探究
2
1
类比启发，方程推导
重
点
4
5
类比推理，举一反三
列表对比，加深理解
教学过程分析
方程推导
在学生脑海里留下更加深刻的印象。
通过学生的自主学习、小组合作、师生互
动，让学生学会交流、表达、质疑、反思。
04
01
02
03
谢
大
谢
家
5.及时练习，巩固所学
6.回顾小结，思维提升
7.课后延伸，探究发现
教学过程分析
复习回顾，课题导入
复习回顾：
椭圆及其标准方程
创设情境
导入课题：双曲线及其标准方程
教学过程分析
3
通过图象，生成定义
绘制图象，合作探究
2
1
类比启发，方程推导
4
类比推理，举一反三
5
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a2 b2
双曲线性质：
1、 范围： y≥a或y≤-a
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。
3、顶点 B1（0，-a），B2（0，a）
A1
4、轴：实轴 B1B2 ; 虚轴 A1A2
5、渐近线方程： x y 0 ab
6、离心率： e=c/a
Y
F2 B2
o
B1
F2
A2 X
2020年10月2日
5
例题1:求双曲线 9x2 16y2 144的实半轴长,虚半轴长, 焦点坐标,离心率.渐近线方程。
c
1
焦点在x轴上的双曲线图像
Y
x2 a2
y2 b2
1
B2
F1
A1
2020年10月2日
A2 F2 X B1
2
焦点在x轴上的双曲线的几何性质
双曲线标准方程： x 2 y 2 1 a2 b2
双曲线性质：
1、 范围： x≥a或x≤-a
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。
3、顶点 A1（-a，0），A2（a，0）
xy
|y|≥5 (0,±5)
0, 74
e 74 5
x7 y 57
例2:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫原 双曲线的共轭双曲线,求证:
(1)双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线; (2)双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点在同一个圆上.
Y
F1
B2
F’1 A1 o
B1
X
A2 F’2
F2
2020年10月2日
标准 方程
x2 y2 1
a2 b2
范 围 |x|a,|y|≤b
对称性
顶点
关于X,Y轴, 原点对称
(±a,0),(0,±b)
焦点
(±c,0)
对 称 轴 A1A2 ; B1B2
离心率 准线
e c a
x a2 c
2020年10月2日
椭圆的图像与性质
Y
B2
A1
F1
o
A2
F2
X
x a2 c
B1
x a2
2b
4
范围
|x|≥
顶点
4 2,
焦点
6,0
离心率
e 3 2 2
渐进线
y 2x
2020年10月2日
4
42 82
9 x 2 y 2 81 x 2 y 2 4
6
4
18
4
x2 y 2 1 49 25
10
14
|x|≥3
|y|≥2
(±3,0)
(0,±2)
31,00 0,2 2
e 10
e 2
y=±3x
8
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A1
4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2
5、渐近线方程：
6、离心率： e= c
a
x y 0 ab
Y
B2
X
A2
B1
2020年10月2日
3
焦点在y轴上的双曲线图像
Y
y2 x2 1
a2 b2
F2
A2
B1
2020年10月2日
O
B2
A1
F1
X
4
焦点在y轴上的双曲线的几何性质
双曲线标准方程：
y2
x2
1
解：把方程化为标准方程： y 2
42
x2 32
1
可得:实半轴长a=4
虚半轴长b=3
半焦距c= 42 32 5 焦点坐标是(0,-5),(0,5)
离心率:
e c a
5 4
渐近线方程:
x 3 y, 即
4
y 4x 3
2020年10月2日
6
练习题:填表
标 准 方 x 2 8 y 2 32
程
2a
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
9