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用机械能守恒定律解决连接体问题1．首先分析多个物体组成的系统所受的外力是否只有重力或弹力做功，内力是否造成了机械能与其他形式能的转化，从而判断系统机械能是否守恒．2．若系统机械能守恒，则机械能从一个物体转移到另一个物体，ΔE 1＝－ΔE 2，一个物体机械能增加，则一定有另一个物体机械能减少．例1 如图1所示，左侧为一个半径为R 的半球形的碗固定在水平桌面上，碗口水平，O 点为球心，碗的内表面及碗口光滑．右侧是一个固定光滑斜面，斜面足够长，倾角θ＝30°.一根不可伸长的不计质量的细绳跨在碗口及光滑斜面顶端的光滑定滑轮两端上，绳的两端分别系有可视为质点的小球m 1和m 2，且m 1＞m 2.开始时m 1恰在碗口水平直径右端A 处，m 2在斜面上且距离斜面顶端足够远，此时连接两球的细绳与斜面平行且恰好伸直．当m 1由静止释放运动到圆心O 的正下方B 点时细绳突然断开，不计细绳断开瞬间的能量损失．图1(1)求小球m 2沿斜面上升的最大距离s ；(2)若已知细绳断开后小球m 1沿碗的内侧上升的最大高度为R 2，求m 1m 2.(结果保留两位有效数字) 当m 1由静止释放运动到圆心O 的正下方B 点时细绳突然断开．答案 (1)2(2＋1)m 12m 1＋m 2R (2)1.9 解析 (1)设重力加速度为g ，小球m 1到达最低点B 时，m 1、m 2速度大小分别为v 1、v 2 如图所示，由运动的合成与分解得v 1＝2v 2对m 1、m 2组成的系统由机械能守恒定律得m 1gR －m 2gh ＝12m 1v 12＋12m 2v 22 h ＝2R sin 30°联立以上三式得v 1＝ 22m 1－2m 22m 1＋m 2gR ，v 2＝ 2m 1－2m 22m 1＋m 2gR 设细绳断开后m 2沿斜面上升的距离为s ′，对m 2由机械能守恒定律得m 2gs ′sin 30°＝12m 2v 22 小球m 2沿斜面上升的最大距离s ＝2R ＋s ′ 联立以上两式并代入v 2得s ＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋2m 1－2m 22m 1＋m 2R ＝2(2＋1)m 12m 1＋m 2R (2)对m 1由机械能守恒定律得： 12m 1v 12＝m 1g R 2代入v 1得m 1m 2＝22＋12≈1.9.。
绳连接体机械能守恒问题例题
以下是绳连接体机械能守恒问题的例题：
例1：
轻绳一端通过光滑的定滑轮与物块P连接，另一端与套在光滑竖直杆上的圆环Q 连接，Q从静止释放后，上升一定距离到达与定滑轮等高处，则在此过程中（）。
A. 任意时刻P、Q两物体的速度大小满足vP<vQ
B. 任意时刻Q受到的拉力大小与P的重力大小相等
C. 物块P和圆环Q组成的系统机械能守恒
D. 当Q上升到与滑轮等高时，它的机械能最大
例2：
1、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a和b。
a球质量为m，静置于水平地面上；b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好拉紧。
现将b球释放，则b球着地瞬间a球的速度大小为( )。
A. gh
B. 2gh
C. gh/2
D. 2gh 答案A 在b球落地前，a、b两球组成的系统机械能守恒，且a、b两球速度大小相等，设为v，根据机械能守恒定律有：
3mgh=mgh+1/2(3m+m)v^2，解得：v=gh，故A正确。
解析：对于例1，在P和Q组成的系统中，只有重力和拉力做功，满足机械能守恒的条件。
同时，由于轻绳的拉力是变力，它们在运动过程中速度会变化，但沿绳方向的分速度大小相等，因此P和Q的速度大小不等。
当Q上升到与滑轮等高时，它的机械能不是最大的。
因此，正确答案为C。
对于例2，在b球落地前，a、b两球组成的系统机械能守恒，且a、b两球速度大小相等。
根据机械能守恒定律可以求出a球的速度大小为gh。
因此，正确答案为A。
机械能守恒定律在轻绳连接体中的应用一、连接体物体系统的机械能守恒两个或两个以上的物体通过细绳或轻杆或弹簧联系在一起，系统仅在重力作用下运动，对系统中某一个物体来说机械能不守恒，但整个系统与外界无能量交换，机械能仅在系统内物体间转移或转化，所以系统机械能守恒。
二、系统机械能守恒的常用表达式三、绳连接的物体系统机械能守恒如图所示的两物体组成的系统，释放B而使A、B运动的过程中，A、B的速度均沿绳子方向，在相等时间内A、B运动的路程相等，A、B的速率也相等。
但有些问题中两物体的速率并不相等，这时就需要先进行运动的合成与分解找出两物体运动速度之间的关系。
【题型1】如图所示，质量分别为3kg和5kg的物体A、B，用足够长的轻绳连接跨在一个光滑轻质定滑轮两侧，轻绳正好拉直，且A物体底面与地接触，B物体距地面0.8m，不计空气阻力，求：(1)放开B物体，当B物体着地时A物体的速度大小；(2)B物体着地后(不反弹)A物体还能上升多高.(g取10m/s2)【题型2】一半径为R的半圆形竖直圆柱面，用轻质不可伸长的细绳连接的A、B两球悬挂在圆柱面边缘两侧，A球质量为B球质量的2倍，现将A球从圆柱边缘处由静止释放，如图所示．已知A球始终不离开圆柱内表面，且细绳足够长，若不计一切摩擦，求：A球沿圆柱内表面滑至最低点时速度的大小．【题型3】如图所示，跨过同一高度处的定滑轮的细线连接着质量相同的物体A 和B ，A 套在光滑水平杆上，定滑轮离水平杆的高度h ＝0.2 m ，开始时让连着A 的细线与水平杆的夹角θ1＝37°，由静止释放B ，当细线与水平杆的夹角θ2＝53°时，A 的速度为多大？在以后的运动过程中，A 所获得的最大速度为多大？(设B 不会碰到水平杆，sin 37°＝0.6，sin 53°＝0.8，取g ＝10 m/s 2)针对训练1.有一竖直放置的“T”形架，表面光滑，滑块A 、B 分别套在水平杆与竖直杆上，A 、B 用一根不可伸长的轻细绳相连，A 、B 质量相等，且可看做质点，如图所示，开始时细绳水平伸直，A 、B 静止。
第五章机械能（五）“机械能守恒定律中的连接体问题”面面观1．(2022·重庆高三模拟)一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m和2m的小球A和B。
支架的两直角边长度分别为2l和l，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图所示。
开始时OA边处于水平位置，由静止释放，重力加速度为g，则()A．A球的最大速度为2glB．A球的速度最大时，两小球的总重力势能最小C．A球第一次转动到与竖直方向的夹角为45°时，A球的速度大小为8(2＋1)gl3D．A、B两球的最大速度之比v A∶v B＝3∶12．(多选)如图所示，固定于地面、倾角为θ的光滑斜面上有一轻质弹簧，轻质弹簧一端与固定于斜面底端的挡板C连接，另一端与物块A连接，物块A上方放置有另一物块B，物块A、B的质量均为m且不粘连，整个系统在沿斜面向下的外力F作用下处于静止状态。
某一时刻将力F撤去，在弹簧将A、B弹出过程中，若A、B能够分离，重力加速度为g。
则下列叙述正确的是()A．A、B刚分离的瞬间，两物块速度达到最大B．A、B刚分离的瞬间，A的加速度大小为g sin θC．从撤去力F到A、B分离的过程中，A物块的机械能一直增加D．从撤去力F到A、B分离的过程中，A、B物块和弹簧构成的系统机械能守恒3．(多选)如图所示，由长为L的轻杆构成的等边三角形支架位于竖直平面内，其中两个端点分别固定质量均为m的小球A、B，系统可绕O点在竖直面内转动，初始位置OA水平。
由静止释放，重力加速度为g，不计一切摩擦及空气阻力。
则()A．系统在运动过程中机械能守恒B．B球运动至最低点时，系统重力势能最小C．A球运动至最低点过程中，动能一直在增大D．摆动过程中，小球B的最大动能为34mgL4.如图所示，长为2L 的轻弹簧AB 两端等高地固定在竖直墙面上，弹簧刚好处于原长，现在其中点O 处轻轻地挂上一个质量为m的物体P 后，物体向下运动，当它运动到最低点时，弹簧与竖直方向的夹角为θ，重力加速度为g ，下列说法正确的是( )A ．向下运动的过程中，物体的加速度先增大后减小B ．向下运动的过程中，物体的机械能先增大后减小C ．物体在最低点时，弹簧的弹性势能为mgL tan θD ．物体在最低点时，弹簧中的弹力为mg 2cos θ5．(多选)如图所示，半径为R 的光滑圆环固定在竖直面内，质量均为m 的A 、B 两球用轻杆连接套在圆环上。
机械能守恒在模型中的应用（一）连绳模型【例1】 如图所示，甲、乙两个物体的质量分别为m 甲和m 乙(m 乙＞m 甲)，用细绳连接跨在半径为R 的光滑半圆柱的两端，连接体由图示位置从静止开始运动，当甲到达半圆柱体顶端时对圆柱体的压力为多大？解析：设甲到达半圆柱体顶部时，二者的速度的大小为v ，以半圆柱顶部为零势能面，由机械能守恒定律可得－(m 乙＋m 甲)gR ＝12(m 乙＋m 甲)v 2－m 乙g ⎝⎛⎭⎫R ＋π2R ① 或以半圆柱底部为零势能面，由机械能守恒定律有0＝m 甲gR ＋12(m 乙＋m 甲)v 2－m 乙g ·π2R (与上式一样，可见零势能面的选取与解题无关，可视问题方便灵活选择零势能面)设甲到达顶部时对圆柱体的压力为F N ，以甲为受力分析对象，则m 甲g －F N ＝m 甲v 2R ② 联立①②两式可得F N ＝m 甲g ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3m 甲－π－1 m 乙m 乙＋m 甲. 由牛顿第三定律对圆柱体压力 F N ′＝F N ＝m 甲g ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3m 甲－π－1 m 乙m 乙＋m 甲 点评：此类问题要认清物体的运动过程，注意物体运动到最高点或最低点时速度的隐含条件及认清两者的速度关系。
（二）连杆模型【例2】如图所示，两个质量分别为m 和2m 的小球a 和b ，之间用一长为2l 的轻杆连接，杆在绕中点O 的水平轴无摩擦转动。
今使杆处于水平位置，然后无初速释放，在杆转到竖直位置的过程中，求：（1）杆在竖直位置时，两球速度的大小（2）杆对b 球做的功【解析】（1）以a 、b 和地球组成的系统为研究对象，以轻杆的水平位置为零势能面，由机械能守恒定律得：0= (mv a 2/2+mgl ) + (2mv b 2/2 – 2mgl ) ①由圆周运动规律得：v a =v b =lw=v ②①②结合解得：32gl =υ（2）对b 球，由动能定理得：W F +2mgl=2mv 2/2 -0综合（1）结果解得：W F = -4mgl/3。
高中力学中的机械能守恒定律有哪些典型例题在高中力学的学习中，机械能守恒定律是一个非常重要的知识点。
它不仅在解决物理问题时经常用到，也是理解能量转化和守恒的关键。
下面，我们就来一起探讨一些机械能守恒定律的典型例题。
例题一：自由落体运动一个质量为 m 的物体从高度为 h 的地方自由下落，忽略空气阻力，求物体下落至地面时的速度 v。
解析：在自由落体运动中，物体只受到重力的作用，重力势能逐渐转化为动能。
初始时刻，物体的机械能为重力势能 mgh，下落至地面时，物体的机械能为动能 1/2mv²。
因为机械能守恒，所以有 mgh ＝1/2mv²，解得 v ＝√2gh 。
这个例题是机械能守恒定律的最基本应用之一，它清晰地展示了重力势能如何转化为动能。
例题二：竖直上抛运动一个质量为 m 的物体以初速度 v₀竖直上抛，忽略空气阻力，求物体上升的最大高度 h。
解析：物体竖直上抛时，动能逐渐转化为重力势能。
在初始时刻，物体的机械能为动能 1/2mv₀²，当物体上升到最大高度时，速度为 0，机械能为重力势能 mgh。
由于机械能守恒，所以 1/2mv₀²＝ mgh，解得 h ＝ v₀²／ 2g 。
这个例题与自由落体运动相反，是动能转化为重力势能的过程。
例题三：光滑斜面运动一个质量为 m 的物体从光滑斜面的顶端由静止开始下滑，斜面的高度为 h，斜面的长度为 L，求物体滑到底端时的速度 v。
解析：物体在斜面上运动时，重力势能转化为动能。
初始时刻，物体的机械能为重力势能 mgh，滑到底端时，物体的机械能为动能1/2mv²。
因为斜面光滑，没有摩擦力做功，机械能守恒。
根据几何关系，物体下落的高度 h 与斜面长度 L 和斜面倾角θ 有关，h ＝Lsinθ。
所以mgh ＝ 1/2mv²，解得 v ＝√2gh ＝√2gLsinθ 。
这个例题展示了在斜面这种常见的情境中机械能守恒定律的应用。
