微专题19圆锥曲线的标准方程的求法答案

圆锥曲线的解题方法(精选4篇)（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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圆锥曲线标准方程求法一、椭圆标准方程求法1、定义法【例1】已知ABC ∆的周长是18，)0,4(),0,4(B A -，求点C 的轨迹方程。

【变式】：在周长为定值的△ABC 中,已知|AB|=6,且当顶点C 位于定点P 时,cosC 有最小值为257.建立适当的坐标系,求顶点C 的轨迹方程.【例2】已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的一个焦点为()0,1，点⎪⎪⎭⎫⎝⎛26,23M 在椭圆上，求椭圆C 的方程；【例3】已知圆221:(1)16F x y ++=，定点2(1,0)F ．动圆M 过点F 2，且与圆F 1相内切．求点M 的轨迹C 的方程.【例4】设j i R y x ,,,∈为直角坐标系内y x ,轴正方向的单位向量，,)2(j y i x a ++=j y i x b )2(-+=，且8||||=+b a ．求点),(y x M 的轨迹C 的方程；2、待定系数法1.已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，椭圆G 的方程．2．已知椭圆1C ：22221(0)y x a b a b+=>>的右顶点为(1,0)A ，过1C 的焦点且垂直长轴的弦长为1．求椭圆1C 的方程．3.已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．求椭圆C 的方程．4.设椭圆:E 22221x y a b+=（,0a b >>）过2)M ，(6,1)N 两点，O 为坐标原点，求椭圆E 的方程。

3、转化已知条件【例1】已知点,A B 的坐标分别是(0,1)-,(0,1),直线,AM BM 相交于点M ,且它们的斜率之积为12-.求点M 轨迹C 的方程;【例2】设Q 、G 分别为ABC ∆的外心和重心,已知)0,1(-A ,)0,1(B ,AB QG //｡求点C 的轨迹E【例3】已知动点P 到直线334-=x 的距离是到定点(0,3-)的距离的332倍.求动点P 的轨迹方程;【例4】已知M （4，0）、N （1，0），若动点P 满足||6PN MP MN =⋅。

经典例题精析类型一：求曲线的标准方程1. 求中心在原点,一个焦点为且被直线截得的弦AB的中点横坐标为的椭圆标准方程.思路点拨：先确定椭圆标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、（定量）.解析：方法一：因为有焦点为，所以设椭圆方程为，,由，消去得，所以解得故椭圆标准方程为方法二：设椭圆方程,,,因为弦AB中点,所以，由得,（点差法）所以又故椭圆标准方程为.举一反三：【变式】已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，且该焦点与长轴上较近的端点的距离为.求该椭圆的标准方程.【答案】依题意设椭圆标准方程为()，并有，解之得，,∴椭圆标准方程为2．根据下列条件，求双曲线的标准方程.（1）与双曲线有共同的渐近线，且过点；（2）与双曲线有公共焦点，且过点解析：（1）解法一：设双曲线的方程为由题意，得，解得，所以双曲线的方程为解法二：设所求双曲线方程为（），将点代入得，所以双曲线方程为即（2）解法一：设双曲线方程为－=1由题意易求又双曲线过点，∴又∵，∴，故所求双曲线的方程为.解法二：设双曲线方程为，将点代入得，所以双曲线方程为.总结升华：先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、.在第（1）小题中首先设出共渐近线的双曲线系方程.然后代点坐标求得方法简便.第（2）小题实轴、虚轴没有唯一给出.故应答两个标准方程.(1)求双曲线的方程，关键是求、，在解题过程中应熟悉各元素（、、、及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用.(2)若已知双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程为（）.举一反三：【变式】求中心在原点，对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程.（1）一渐近线方程为，且双曲线过点.（2）虚轴长与实轴长的比为，焦距为10.【答案】（1）依题意知双曲线两渐近线的方程是,故设双曲线方程为，∵点在双曲线上，∴，解得，∴所求双曲线方程为.（2）由已知设, ,则()依题意，解得.∴双曲线方程为或.3．求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：（1）过点；（2）焦点在直线：上思路点拨：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数；从实际分析，一般需结合图形确定开口方向和一次项系数两个条件，否则，应展开相应的讨论解析：（1）∵点在第二象限，∴抛物线开口方向上或者向左当抛物线开口方向左时，设所求的抛物线方程为（），∵过点，∴，∴，∴，当抛物线开口方向上时，设所求的抛物线方程为（），∵过点，∴，∴，∴，∴所求的抛物线的方程为或，对应的准线方程分别是，.（2）令得，令得，∴抛物线的焦点为或当焦点为时，，∴，此时抛物线方程；焦点为时，，∴，此时抛物线方程为∴所求的抛物线的方程为或，对应的准线方程分别是，.总结升华：这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解.求抛物线的标准方程关键是根据图象确定抛物线开口方向，选择适当的方程形式，准确求出焦参数P.举一反三：【变式1】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.（1）焦点为F(4,0)；（2）准线为；（3）焦点到原点的距离为1；（4）过点（1，－2）；（5）焦点在直线x-3y+6=0上.【答案】（1）所求抛物线的方程为y2=16x；（2）所求抛物线的标准方程为x2=2y；（3）所求抛物线的方程y2=±4x或x2=±4y；（4）所求抛物线的方程为或；（5）所求抛物线的标准方程为y2=－24x或x2=8y.【变式2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴负半轴上，过顶点且倾角为的弦长为，求抛物线的方程.【答案】设抛物线方程为()，又弦所在直线方程为由，解得两交点坐标,∴，解得.∴抛物线方程为.类型二：圆锥曲线的焦点三角形4．已知、是椭圆（）的两焦点，P是椭圆上一点，且，求的面积.思路点拨：如图求的面积应利用，即.关键是求.由椭圆第一定义有,由余弦定理有，易求之.解析：设,,依题意有(1)2-(2)得，即.∴.举一反三：【变式1】设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（）A．B．C．D．【答案】依据双曲线的定义有，由得、，又，则，即，所以，故选A.【变式2】已知双曲线实轴长6，过左焦点的弦交左半支于、两点，且，设右焦点，求的周长.【答案】：由双曲线的定义有: ，，两式左、右分别相加得(.即∴.故的周长.【变式3】已知椭圆的焦点是,直线是椭圆的一条准线.①求椭圆的方程；②设点P在椭圆上,且,求.【答案】①.②设则，又.【变式4】已知双曲线的方程是.（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，求的大小【答案】（1）由得，∴，，.焦点、，离心率，渐近线方程为.（2），∴∴【变式5】中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与双曲线有共同焦点和，且，又椭圆长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比.（1）求椭圆与双曲线的方程；（2）若为这两曲线的一个交点，求的余弦值.【答案】（1）设椭圆方程为()，双曲线方程，则，解得∵,∴, .故所求椭圆方程为，双曲线方程为.（2）由对称性不妨设交点在第一象限.设、.由椭圆、双曲线的定义有:解得由余弦定理有.类型三：离心率5．已知椭圆上的点和左焦点，椭圆的右顶点和上顶点，当，（O为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.思路点拨：因为，所以本题应建立、的齐次方程，使问题得以解决.解析：设椭圆方程为（），，，则，即.∵，∴，即，∴.又∵，∴.总结升华：求椭圆的离心率，即求的比值，则可由如下方法求.（1）可直接求出、；（2）在不好直接求出、的情况下，找到一个关于、的齐次等式或、用同一个量表示；（3）若求的取值范围，则想办法找不等关系.举一反三：【变式1】如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】连接，则是直角三角形，且，令，则，，即，，所以，故选D.【变式2】已知椭圆（）与x轴正半轴交于A点，与y轴正半轴交于B点，F点是左焦点，且，求椭圆的离心率.法一：,,∵, ∴,又,，代入上式，得，利用代入，消得,即由，解得,∵,∴.法二：在ΔABF中，∵，，∴，即下略）【变式3】如图，椭圆的中心在原点, 焦点在x轴上, 过其右焦点F作斜率为1的直线, 交椭圆于A、B两点, 若椭圆上存在一点C, 使. 求椭圆的离心率.【答案】设椭圆的方程为（），焦距为,则直线l的方程为:,由，消去得,设点、,则∵＋, ∴C点坐标为.∵C点在椭圆上,∴.∴∴又∴∴【变式4】设、为椭圆的两个焦点，点是以为直径的圆与椭圆的交点，若，则椭圆离心率为_____.【答案】如图，点满足，且.在中，有：∵，∴,令此椭圆方程为则由椭圆的定义有,,∴又∵，∴，，∴∴，∴，即.6．已知、为椭圆的两个焦点，为此椭圆上一点，且.求此椭圆离心率的取值范围；解析：如图，令, ,,则在中，由正弦定理，∴，令此椭圆方程为(),则,,∴即（），∴, ∴,∵,且为三角形内角，∴，∴,∴, ∴.即此椭圆离心率的取值范围为.举一反三：【变式1】已知椭圆，F1，F2是两个焦点，若椭圆上存在一点P，使，求其离心率的取值范围.【答案】△F1PF2中，已知，|F1F2|=2c，|PF1|+|PF2|=2a，由余弦定理：4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos120°①又|PF1|+|PF2|=2a ②联立①②得4c2=4a2-|PF1||PF2|，∴【变式2】椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【答案】由得，即，解得，故离心率.所以选D.【变式3】椭圆中心在坐标系原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F的直线交椭圆P、Q两点，且OP⊥OQ，求其离心率e的取值范围．【答案】e∈[,1)【变式4】双曲线(a＞1,b＞0)的焦距为2c,直线过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线的距离与点(-1,0)到直线的距离之和s≥c．求双曲线的离心率e的取值范围．【答案】直线的方程为bx+ay-ab=0．由点到直线的距离公式,且a＞1,得到点(1,0)到直线的距离．同理得到点(-1,0)到直线的距离．=．由s≥c,得≥c,即5a≥2c2．于是得5≥2e2．即4e4-25e2+25≤0．解不等式,得≤e2≤5．由于e＞1,所以e的取值范围是．类型五：轨迹方程7．已知中，,,为动点，若、边上两中线长的和为定值15.求动点的轨迹方程.思路点拨：充分利用定义直接写出方程是求轨迹的直接法之一.应给以重视解法一：设动点,且,则、边上两中点、的坐标分别为,.∵,∴,即.从上式知，动点到两定点,的距离之和为常数30，故动点的轨迹是以,为焦点且,,的椭圆，挖去点.∴动点的轨迹方程是().解法二：设的重心，,动点,且，则.∴点的轨迹是以,为焦点的椭圆（挖去点），且,,.其方程为().又, 代入上式，得()为所求.总结升华：求动点的轨迹，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，建立等式，利用直接法或间接法得到轨迹方程.举一反三：【变式1】求过定点且和圆:相切的动圆圆心的轨迹方程.【答案】设动圆圆心, 动圆半径为,.（1）动圆与圆外切时，，（2）动圆与圆内切时，，由（1）、（2）有.∴动圆圆心M的轨迹是以、为焦点的双曲线，且,,.故动圆圆心的轨迹方程为.【变式3】已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程.【答案】设动圆圆心P（x，y），动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：，.∴.∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，其中c=4，a=2，∴b2=12，故所求轨迹方程为.【变式4】若动圆与圆:相外切，且与直线:相切，求动圆圆心的轨迹方程.法一：设,动圆半径，动圆与直线切于点，点.依题意点在直线的左侧，故∵,∴.化简得, 即为所求.法二：设,作直线：.过作于，交于，依题意有, ∴,由抛物线定义可知，点的轨迹是以为顶点，为焦点，：为准线的抛物线.故为所求.。

专题：解圆锥曲线问题常用方法（一）【学习要点】解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法（1）椭圆有两种定义。

第一定义中，r 1+r 2=2a 。

第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。

（2）双曲线有两种定义。

第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。

（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。

3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。

设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k b y a x 。

（2）)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020=-k by a x（3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.【典型例题】例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________(2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 标为 。

圆锥曲线大题全攻略含答案详解本文介绍了圆锥曲线中常见的问题和解题技巧，包括求轨迹方程问题、定点问题、定值问题、最值问题、点差法解决中点弦问题、常见几何关系的代数化方法、非对称“韦达定理”问题处理技巧、三点共线问题、巧用曲线系方程解决四点共圆问题、抛物线中阿基米德三角形的常见性质及应用、双切线题型等。

求轨迹方程问题是圆锥曲线中的高频题型，求轨迹方程的主要方法有直译法、相关点法、定义法、参数法等。

直译法的步骤是设求轨迹的点为P(x,y)，由已知条件建立关于x,y的方程，化简整理；相关点法的步骤是设求轨迹的点为P(x,y)，相关点为Q(xO,yO)，根据点的产生过程，找到(x,y)与(xO,yO)的关系，并将xO,yO用x和y表示，将(xO,yO)代入相关点的曲线，化简即得所求轨迹方程；定义法的步骤是分析几何关系，由曲线的定义直接得出轨迹方程；参数法的步骤是引入参数，将求轨迹的点(x,y)用参数表示，消去参数，研究范围。

本文还给出了四个例题，分别是求点P的轨迹方程、求动点M的轨迹方程、求动点Q的轨迹方程、求AB中点M的轨迹方程。

最后，给出两道专题练题，帮助读者巩固所学知识。

3.抛物线C的焦点为F，点A在抛物线上运动，点P满足AP=-2FA，求动点P的轨迹方程。

改写：已知抛物线C的焦点为F，点A在抛物线上运动，设点P的坐标为(x,y)，则有AP=-2FA，求P的轨迹方程。

4.已知定圆M的方程为(x+y+4)^2=100，定点F的坐标为(0,4)，动圆P过定点F且与定圆M内切，求动圆圆心P的轨迹方程。

改写：已知定圆M的方程为(x+y+4)^2=100，定点F的坐标为(0,4)，设动圆P的圆心坐标为(x,y)，则P过定点F且与定圆M内切，求P的轨迹方程。

5.已知定直线l的方程为x=-2，定圆A的方程为(x-4)^2+y^2=16，动圆H与直线l相切，与定圆A外切，求动圆圆心H的轨迹方程。

改写：已知定直线l的方程为x=-2，定圆A的方程为(x-4)^2+y^2=16，设动圆H的圆心坐标为(x,y)，则H与直线l相切，与定圆A外切，求H的轨迹方程。

圆锥曲线常见题型归纳一、基础题涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。

此类题在考试中最常见，解此类题应注意：（1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系； （2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在x 轴和y 轴的两种（或四种）情况；（3）注意2,2,a a a ，2,2,b b b ，2,2,c c c ，2,,2p p p 的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中222b a c -=，双曲线中222b a c +=，离心率a c e =，准线方程a x 2±=；例题：（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 （ ）A ．421=+PF PFB ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （答：C ）；（2）方程8=表示的曲线是_____ （答：双曲线的左支）（3）已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2）（4）已知方程12322=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____ （答：11(3,)(,2)22---）； （5）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2214x y -=）；（6）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=）二、定义题对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。

此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。

圆锥曲线1.圆锥曲线的两定义：第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。

若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

如方程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+bya x （0ab >>），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。

方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。

若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，22y x +的最小值是___）（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222by a x - =1，焦点在y 轴上：2222bx a y -＝1（0,0a b >>）。

方程22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A ，B 异号）。

如设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C的方程为_______（答：226x y -=）（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。

圆锥曲线的方程及计算、证明、最值与范围问题1(2023·江苏南通模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆E ：(x +2)2+y 2=4和定点F (2，0)，P 为圆E 上的动点，线段PF 的垂直平分线与直线PE 交于点Q ，设动点Q 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设曲线C 与x 轴正半轴交于点A ，过点T (t ，0)(-1<t <1)的直线l 与曲线C 交于点M ，N (异于点A )，直线MA ，NA 与直线x =t 分别交于点G ，H .若F ，A ，G ，H 四点共圆，求实数t 的值．解：(1)因为点Q 在线段PF 的中垂线上，所以|QP |=|QF |，故||QE |-|QF ||=||QP |±|EP |-|QF ||=|±2|=2<|EF |=4，所以点Q 的轨迹是以E ，F 为焦点的双曲线，其焦距2c =4，c =2，且2a =2，a =1，故b 2=c 2-a 2=3，所以曲线C 的方程为x 2-y 23=1.(2)设直线l ：x =my +t ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程组x =my +t ，x 2-y 23=1，整理得(3m 2-1)y 2+6mty +3t 2-3=0，则3m 2-1≠0，Δ=36m 2t 2-4(3m 2-1)(3t 2-3)>0， 且y 1+y 2=-6mt 3m 2-1，y 1y 2=3t 2-33m 2-1. 因为F ，A ，G ，H 四点共圆，所以∠HAF +∠HGF =π，又∠HAF +∠TAH =π，所以∠TAH =∠TGF ，故Rt △TAH ∽Rt △TGF ，所以|TH ||TA |=|TF ||TG |，即|TA |·|TF |=|TH |·|TG |，所以(1-t )(2-t )=|y G |·|y H |.又直线AM ：y =y 1x 1-1(x -1)，令x =t ，得y G =(t -1)y 1x 1-1，同理，y H =(t -1)y 2x 2-1，故|y G y H |=(t -1)2·y 1y 2(x 1-1)(x 2-1)=(t -1)2·y 1y 2(my 1+t -1)(my 2+t -1)=(t -1)2·3t 2-33m 2-1m 2·3t 2-33m 2-1+m (t -1)·-6mt 3m 2-1+(t -1)2=(t -1)2·3(t +1)-(t -1)=3|t 2-1|=3(1-t 2)，其中-1<t <1，所以(1-t )(2-t )=3(1-t 2)，解得t =-14，所以实数t 的值为-14.2(2023·河南开封模拟)在平面直角坐标系xOy 中，一动圆经过点F (1，0)且与直线x =-1相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)过点F 且斜率为k (k ≠±2)的直线l 与C 交于A ，B 两点，点P 是C 上的一点，且OP ∥l ，直线OP 与直线x =1交于点Q ，点M 是线段PQ 的中点，求|AF |·|BF |4|OM |2-|PQ |2的值．解：(1)因为动圆经过点F (1，0)且与直线x =-1相切，所以该动圆的圆心到点F (1，0)和直线x =-1的距离相等，所以曲线C 为抛物线，焦点为F (1，0)，即p2=1，所以p =2，所以曲线C 的方程为y 2=4x .(2)设直线l 的方程为y =k (x -1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立y 2=4x ，y =k (x -1)， 消去y 得k 2x 2-(2k 2+4)x +k 2=0，则k 2≠0，Δ=(2k 2+4)2-4k 4=16k 2+16>0，所以k ≠0，则x 1+x 2=2k 2+4k 2，x 1x 2=1.又|AF |=x 1+1，|BF |=x 2+1，所以|AF |·|BF |=(x 1+1)(x 2+1)=x 1x 2+(x 1+x 2)+1=4+4k 2=4(1+k 2)k 2，因为OP ∥l ，则可设OP 的方程为y =kx ，联立y =kx ，y 2=4x ，消去y 得k 2x 2-4x =0，解得x =0或x =4k2，所以P 4k 2，4k，因为直线OP 与直线x =1交于点Q ，则Q (1，k )，故M 4+k 22k 2，4+k 22k，所以|OM |2=4+k 22k2))2+4+k 22k 2=(1+k 2)(4+k 2)24k 4，|PQ |2=4k 2-12+4k -k 2=(1+k 2)(4-k 2)2k 4，所以4|OM |2-|PQ |2=(1+k 2)(4+k 2)2k 4-(1+k 2)(4-k 2)2k 4=16(1+k 2)k 2，所以|AF |·|BF |4|OM |2-|PQ |2=4(1+k 2)k 216(1+k 2)k2))=14.3(2023·四省联考)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)过点A (42，3)，且焦距为10.(1)求C 的方程；(2)已知点B (42，-3)，D (22，0)，E 为线段AB 上一点，且直线DE 交C 于G ，H 两点．证明：|GD ||GE |=|HD ||HE |.解：(1)由题意可得32a 2-9b2=1，2a 2+b 2=10，故a =4，b =3，所以C 的方程为x 216-y 29=1.(2)证明：设E (42，t )(|t |<3)，G (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，因为双曲线的渐近线方程为y =±34x ，故当直线DE 与渐近线平行时，和双曲线仅有一个交点，此时直线DE 的方程为y =±34(x -22)，令x =42，则y =±322，故|t |≠322.则直线DE ：y =t22(x -22)．由y =t 22(x -22)，x216-y 29=1，得(9-2t 2)x 2+82t 2x -16t 2-144=0，所以x 1+x 2=82t 22t 2-9，x 1x 2=16t 2+1442t 2-9.GD ·HE -GE ·DH=(22-x 1，-y 1)·(42-x 2，t -y 2)-(42-x 1，t -y 1)·(x 2-22，y 2)=2x 1x 2+2y 1y 2-62(x 1+x 2)-t (y 1+y 2)+32=2+t 24 x 1x 2-324t 2+62 (x 1+x 2)+4t 2+32=4(t 2+8)(t 2+9)2t 2-9-4t 2(3t 2+24)2t 2-9+4t 2+32=0，所以GD ·HE =GE ·DH ，所以|GD ||HE |cos0=|GE ||DH|cos0，即|GD ||GE |=|HD ||HE |.4已知圆M ：(x +2)2+y 2=274的圆心为M ，圆N ：(x -2)2+y 2=34的圆心为N ，一动圆与圆N 内切，与圆M 外切，动圆的圆心E 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)已知定点P 32，0，过点N 的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，证明：∠APN =∠BPN .解：(1)如图，设圆E 的圆心坐标为(x ，y )，半径为r ，则|EM |=r +332，|EN |=r -32，所以|EM |-|EN |=23<|MN |.由双曲线定义可知，E 的轨迹是以M ，N 为焦点，实轴长为23的双曲线的右支，所以曲线C 的方程为x 23-y 2=1，x ≥ 3.(2)证明：由题意可知，直线l 的斜率不为0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为x =my +2，由于直线l 与曲线C 交于两点，故-3<m <3，由x 23-y 2=1，x =my +2， 得(m 2-3)y 2+4my +1=0，故y 1+y 2=-4m m 2-3，y 1y 2=1m 2-3，要证明∠APN =∠BPN ，只要证明直线AP 的斜率与直线BP 的斜率互为相反数即可，即k AP =-k BP ，即证y 1x 1-32=-y 2x 2-32.又x 1=my 1+2，x 2=my 2+2，即证y 1my 1+2-32=-y 2my 2+2-32.又y 1≠0，y 2≠0，得my 1+12y 1=-my 2+12y 2，即证-2m =12·y 1+y 2y 1y 2.由y 1+y 2=-4m m 2-3，y 1y 2=1m 2-3，得12·y 1+y 2y 1y 2=12·-4mm 2-31m 2-3=-2m ，得证．5在△ABC 中，A ，B 的坐标分别是(-2，0)，(2，0)，点G 是△ABC 的重心，y 轴上一点M 满足GM ∥AB ，且|MC |=|MB |.(1)求△ABC 的顶点C 的轨迹E 的方程；(2)直线l ：y =kx +m 与轨迹E 相交于P ，Q 两点，若在轨迹E 上存在点R ，使得四边形OPRQ 为平行四边形(其中O 为坐标原点)，求m 的取值范围．解：(1)设点C 的坐标为(x ，y )，x ≠0，y ≠0，因为G 为△ABC 的重心．所以点G 的坐标为x 3，y3 ，所以M 0，y 3.由|MC |=|MB |，得x 2+23y 2=2+y 32，即x 22+y 26=1(x ≠0，y ≠0)，所以△ABC 的顶点C 的轨迹E 的方程是x 22+y 26=1(x ≠0，y ≠0)．(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立y =kx +m ，x 22+y 26=1，消去y ，得(k 2+3)x 2+2kmx +m 2-6=0，Δ=4k 2m 2-4(k 2+3)(m 2-6)=12(2k 2-m 2+6)>0，①且x 1+x 2=-2km k 2+3，x 1x 2=m 2-6k 2+3.因为四边形OPRQ 为平行四边形，所以线段PQ 的中点即为线段OR 的中点，所以点R 的坐标为(x 1+x 2，y 1+y 2)，整理得R -2km k 2+3，6mk 2+3(m ≠0)．由点R 在椭圆上，所以-2kmk 2+322+6m k 2+326=1，整理得2m 2=k 2+3.②将②代入①得m 2>0恒成立，由②得2m 2≥3，所以m ≥62或m ≤-62，所以m 的取值范围为-∞，-62 ∪62，+∞.6(2023·广东广州二模)已知点F (1，0)，P 为平面内一动点，以PF 为直径的圆与y 轴相切，点P 的轨迹记为C .(1)求C 的方程；(2)过点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，过点A 且垂直于l 的直线交x 轴于点M ，过点B 且垂直于l 的直线交x 轴于点N .当四边形MANB 的面积最小时，求直线l 的方程．解：(1)设P (x ，y )，则以PF 为直径的圆的圆心为x +12，y2，根据圆与y 轴相切，可得x +12 =12|PF |=12(x -1)2+y 2，化简得y 2=4x ，所以C 的方程为y 2=4x .(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，设直线l ：y =k (x -1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立y =k (x -1)，y 2=4x ，消去y ，得k 2x 2-2(k 2+2)x +k 2=0，所以x 1+x 2=2(k 2+2)k 2，x 1x 2=1，所以|AB |=x 1+x 2+2=2(k 2+2)k 2+2=4k 2+4k 2，设直线l 的倾斜角为θ，则|AM |=|AF ||tan θ|，|BN |=|BF ||tan θ|，所以|AM |+|BN |=|AF ||tan θ|+|BF ||tan θ|=|AB ||tan θ|=|AB ||k |，由题意可知四边形MANB 为梯形，所以四边形MANB 的面积S =12|AB |(|AM |+|BN |)=|AB |2|k |2=8(k 2+1)2|k |3=8(k 4+2k 2+1)|k |3，设t =|k |>0，则S (t )=8(t 4+2t 2+1)t 3=8t +2t +1t3，所以S ′(t )=81-2t 2-3t 4=8×t 4-2t 2-3t 4=8×(t 2+1)(t -3)(t +3)t 4，令S ′(t )=0，得t =3，当t >3时，S ′(t )>0，S (t )单调递增，当0<t <3时，S ′(t )<0，S (t )单调递减，所以当t =3，即|k |=3时，面积最小，此时k =±3，故直线l 的方程为y =±3(x -1)，即3x -y -3=0或3x +y -3=0.综合测试1(2023·全国甲卷)已知直线x -2y +1=0与抛物线C ：y 2=2px (p >0)交于A ，B 两点，且|AB |=415.(1)求p ；(2)设C 的焦点为F ，M ，N 为C 上两点，MF ·NF =0，求△MNF 面积的最小值．解：(1)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，由x -2y +1=0，y 2=2px ，可得y 2-4py +2p =0，所以y A +y B =4p ，y A y B =2p ，所以|AB |=(x A -x B )2+(y A -y B )2=5|y A -y B |=5×(y A +y B )2-4y A y B =5×16p 2-8p =415，即2p 2-p -6=0，因为p >0，解得p =2.(2)因为F (1，0)，显然直线MN 的斜率不可能为零，设直线MN ：x =my +n ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由y 2=4x ，x =my +n ， 可得y 2-4my -4n =0，所以y 1+y 2=4m ，y 1y 2=-4n ，Δ=16m 2+16n >0⇒m 2+n >0，因为MF ·NF=0，所以(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2=0，即(my 1+n -1)(my 2+n -1)+y 1y 2=0，即(m 2+1)y 1y 2+m (n -1)(y 1+y 2)+(n -1)2=0，将y 1+y 2=4m ，y 1y 2=-4n 代入，得4m 2=n 2-6n +1，4(m 2+n )=(n -1)2>0，所以n ≠1，且n 2-6n +1≥0，解得n ≥3+22或n ≤3-2 2.设点F 到直线MN 的距离为d ，所以d =|1-n |1+m2))，|MN |=1+m 2·|y 1-y 2|=1+m 2·16m 2+16n =1+m 2·4(n 2-6n +1)+16n =21+m 2|n -1|，所以△MNF 的面积S =12|MN |·d =12×21+m 2|n -1|×|1-n |1+m2))=(n -1)2，而n ≥3+22或n ≤3-22，所以当n =3-22时，△MNF 的面积取得最小值，S min =(2-22)2=12-8 2.2(2023·新课标Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点0，12的距离，记动点P 的轨迹为W .(1)求W 的方程；(2)已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD 的周长大于33.解:(1)设P (x ，y )，则|y |=x 2+y -122，两边同时平方，化简得y =x 2+14，故W 的方程为y =x 2+14.(2)证法一：不妨设A ，B ，D 在W 上，且AB ⊥AD ，依题意可设A a ，a 2+14，易知直线AB ，AD 的斜率均存在且不为0，则设AB ，AD 的斜率分别为k 和-1k，由对称性，不妨设|k |≤1，直线AB 的方程为y =k (x -a )+a 2+14，联立y =x 2+14，y =k (x -a )+a 2+14，得x 2-kx +ka -a 2=0，Δ=k 2-4(ka -a 2)=(k -2a )2>0，则k ≠2a ，则|AB |=1+k 2|k -2a |，同理|AD |=1+1k 21k +2a ，所以|AB |+|AD |=1+k 2|k -2a |+1+1k 21k +2a ≥1+k 2|k -2a |+1k+2a ≥1+k 2k +1k=(1+k 2)3k 2.令k 2=m ，则m ∈(0，1]，设f (m )=(m +1)3m =m 2+3m +1m+3，则f ′(m )=2m +3-1m 2=(2m -1)(m +1)2m 2，令f ′(m )=0，解得m =12，当m ∈0，12 时，f ′(m )<0，f (m )单调递减，当m ∈12，1时，f ′(m )>0，f (m )单调递增，则f (m )min =f 12 =274，所以|AB |+|AD |≥332，但1+k 2|k -2a |+1+1k 21k+2a ≥1+k 2·|k -2a |+1k +2a ，此处取等号的条件为|k |=1，与最终取等号的条件|k |=22不一致，故|AB |+|AD |>332，故矩形ABCD 的周长大于3 3.证法二：设矩形的三个顶点A a ，a 2+14 ，B b ，b 2+14 ，C c ，c 2+14在W 上，a <b <c ，且AB ⊥BC ，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在且不为0，则k AB ·k BC =-1，a +b <b +c ，令k AB =b 2+14-a 2+14b -a=a +b =m <0，同理，令k BC =b +c =n >0，且mn =-1，则m =-1n，设矩形的周长为l ，由对称性，不妨设|m |≥|n |，k BC -k AB =c -a =n -m =n +1n，则12l =|AB |+|BC |=(b -a )1+m 2+(c -b )1+n 2≥(c -a )1+n 2=n +1n1+n 2，n >0，易知n +1n 1+n 2>0，令f (x )=x +1x 2(1+x 2)，x >0，f ′(x )=2x +1x 22x -1x，令f ′(x )=0，解得x =22，当x ∈0，22 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈22，+∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，则f (x )min =f 22 =274，故12l ≥274=332，即l ≥3 3.当l =33时，n =22，m =-2，且(b -a )1+m 2=(b -a )1+n 2，即当|m |=|n |时等号成立，矛盾，故l >33，得证．证法三：为了计算方便，我们将抛物线向下移动14个单位得抛物线W ′：y =x 2，矩形ABCD 变换为矩形A ′B ′C ′D ′，则问题等价于矩形A ′B ′C ′D ′的周长大于3 3.设B ′(t 0，t 20)，A ′(t 1，t 21)，C ′(t 2，t 22)在W ′上，且A ′B ′⊥B ′C ′，根据对称性，不妨设t 0≥0，则k A ′B ′=t 1+t 0，k B ′C ′=t 2+t 0，由于A ′B ′⊥B ′C ′，则(t 1+t 0)(t 2+t 0)=-1.由于|A ′B ′|=1+(t 1+t 0)2|t 1-t 0|，|B ′C ′|=1+(t 2+t 0)2|t 2-t 0|，且t 0介于t 1，t 2之间，不妨设t 1<t 0<t 2，则|A ′B ′|+|B ′C ′|=1+(t 1+t 0)2(t 0-t 1)+1+(t 2+t 0)2(t 2-t 0)．令t 2+t 0=tan θ，θ∈0，π2，则t 1+t 0=-1tan θ，则t 2=tan θ-t 0，t 1=-1tan θ-t 0，所以|A ′B ′|+|B ′C ′|=1+1tan 2θ2t 0+1tan θ +1+tan 2θ(tan θ-2t 0)，故|A ′B ′|+|B ′C ′|=2t 01sin θ-1cos θ +sin θcos 2θ+cos θsin 2θ=2t 0(cos θ-sin θ)sin θcos θ+sin 3θ+cos 3θsin 2θcos 2θ.①当θ∈0，π4时，|A ′B ′|+|B ′C ′|≥sin 3θ+cos 3θsin 2θcos 2θ=sin θcos 2θ+cos θsin 2θ≥21sin θcos θ=22sin2θ≥22>322；②当θ∈π4，π2 时，由于t 1<t 0<t 2，从而-1tan θ-t 0<t 0<tan θ-t 0，从而-12tan θ<t 0<tan θ2，又t 0≥0，故0≤t 0<tan θ2，所以|A ′B ′|+|B ′C ′|=2t 0(cos θ-sin θ)sin θcos θ+sin 3θ+cos 3θsin 2θcos 2θ>sin θ(cos θ-sin θ)sin θcos 2θ+sin 3θ+cos 3θsin 2θcos 2θ=1sin 2θcos θ=2sin 2θsin 2θ·2cos 2θ=2(1-cos 2θ)(1-cos 2θ)·2cos 2θ≥2(1-cos 2θ)+(1-cos 2θ)+2cos 2θ33=2233=332，当且仅当cos θ=33时等号成立，故|A ′B ′|+|B ′C ′|>332，故矩形ABCD 的周长大于3 3.3已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，且过点3，12 .(1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆C 与x 轴相交于A ，B 两点，P 为椭圆C 上一动点，直线PA ，PB 与直线x =3交于M ，N 两点，设△PMN 与△PAB 的外接圆的半径分别为r 1，r 2，求r1r 2的最小值．解:(1)由题意知c a =32，且3a 2+14b2=1，a 2=b 2+c 2，∴a =2，b =1，∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)由题意，不妨设A (-2，0)，B (2，0)，椭圆C 上的动点P (x ，y )，x ≠±2，则直线PA ，PB 的斜率存在且不为0，则有k PA =y x +2，k PB =yx -2，∴k PA ·k PB =y x +2·y x -2=y 2x 2-4=1-x24x 2-4=-14.设直线PA 的方程为y =k (x +2)，则直线PB 的方程为y =-14k(x -2)，根据对称性不妨设k >0.令x =3，得y M =5k ，y N =-14k，即M (3，5k )，N 3，-14k，则|MN |=5k +14k.由正弦定理得2r 1=|MN |sin ∠MPN，2r 2=|AB |sin ∠APB，又∠MPN +∠APB =180°，∴sin ∠MPN =sin ∠APB ，∴r 1r 2=|MN ||AB |=5k +14k 4≥25k ·14k 4=54，当且仅当5k =14k ，即k =510时，等号成立，即r 1r 2的最小值为54.强化训练1(2023·山东菏泽二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (-3，0)，点P 为动点，点Q 为线段PA 的中点，直线PA 与直线OQ 的斜率之积为-59.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点F (-2，0)且不与坐标轴垂直的直线l 与C 交于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线与x 轴交于点B ，若点B 的横坐标x B >-13，求|MN |的取值范围．解:(1)设动点P (x ，y )，则线段PA 的中点Q x -32，y 2，∴k PA =y x +3，k OQ =y x -3，则k PA ·k OQ =y x +3·y x -3=y 2x 2-9，依题意，k PA ·k OQ =-59，∴y 2x 2-9=-59，整理得x 29+y 25=1，又y ≠0，∴x ≠±3，故动点P 的轨迹C 的方程为x 29+y 25=1(x ≠±3)．(2)设直线l ：x =my -2(m ≠0)，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点E (x E ，y E )，联立直线与椭圆方程x =my -2，x 29+y 25=1， 得(5m 2+9)y 2-20my -25=0，则Δ=(-20m )2-4(5m 2+9)×(-25)=900m 2+900>0恒成立，∴y 1+y 2=20m 5m 2+9，y 1y 2=-255m 2+9，∴y E =12(y 1+y 2)=10m 5m 2+9，∴x E =my E -2=-185m 2+9，∴MN 的中点为E -185m 2+9，10m 5m 2+9，∴线段MN 的垂直平分线方程为y -10m 5m 2+9=-m x +185m 2+9 ，令y =0，得x =-85m 2+9，∴B -85m 2+9，0 ，由已知条件得-85m 2+9>-13，解得m 2>3，∴|MN |=(1+m 2)[(y 1+y 2)2-4y 1y 2]=30(m 2+1)5m 2+9=6-45m 2+9+1，∵m 2>3，∴0<15m 2+9<124，∴|MN |∈(5，6)，即|MN |的取值范围为(5，6)．2(2023·唐山二模)已知抛物线C ：y 2=2px (p >0)的焦点为F ，A 为C 上一点，B 为准线l 上一点，BF =2FA ，|AB |=9.(1)求抛物线C 的方程；(2)M ，N ，E (x0，-2)是C 上的三点，若k EM +k EN =-43，求点E 到直线MN 距离的最大值．解:(1)如图所示，∵BF =2FA ，∴|AF |=13|AB |=3，由BF =2FA ，x B =-p 2，x F =p 2，可得x A =p ，由抛物线的定义可知，|AF |=p +p 2=3，解得p =2.则抛物线C 的方程为y 2=4x .(2)如图所示，E (x0，-2)在抛物线C 上，所以x 0=1，由题意可知，直线MN 的斜率不为0，设直线MN 的方程为x =ty +n ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将x =ty +n 代入y 2=4x ，得y 2-4ty -4n =0，则y 1+y 2=4t ，y 1y 2=-4n ，∴k EM =y 1+2x 1-1=21y 1+2y 4-1=4y 1-2，同理k EN =4y 2-2，k EM +k EN =4y 1-2+4y 2-2=4(y 1+y 2)-16y 1y 2-2(y 1+y 2)+4=16t -16-4n -8t +4=-43，整理得n =t -2，直线MN 的方程为x =ty +t -2，∴直线MN 过定点T (-2，-1)，当ET ⊥MN 时，点E 到直线MN 的距离最大，且最大距离为|ET |=(-2-1)2+(-1+2)2=10.3(2023·辽宁实验中学模拟)已知一动圆与圆E ：(x +3)2+y 2=18外切，与圆F ：(x -3)2+y 2=2内切，该动圆的圆心的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的标准方程；(2)直线l 与C 交于A ，B 两点，点P 在线段AB 上，点Q 在线段AB 的延长线上，从下面①②③中选取两个作为已知条件，证明另外一个成立．①P (8，1)；②|AP |·|BQ |=|BP |·|AQ |；③Q 是直线l 与直线x -y -1=0的交点．注：如果选择不同的组合分别解答，按第一个解答计分．解:(1)设动圆的圆心为M (x ，y )，半径为r ，则|ME |=r +32，|MF |=r -2，所以|ME |-|MF |=42<|EF |，由双曲线定义可知，M 的轨迹是以E ，F 为焦点，实轴长为42的双曲线的右支，所以2a =42，2c =6，即a =22，c =3，所以b 2=c 2-a 2=1，所以曲线C 的标准方程为x 28-y 2=1(x ≥22)．(2)证明：若选①②⇒③：由题意可设直线l ：x -8=m (y -1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Q (x 0，y 0)，y 0≠1，因为直线l 与C 交于A ，B 两点，所以-22<m <22，联立x -8=m (y -1)，x 28-y 2=1，得(m 2-8)y 2-2m (m -8)y +(m -8)2-8=0，所以y 1+y 2=2m (m -8)m 2-8，y 1y 2=(m -8)2-8m 2-8，由|AP |·|BQ |=|BP |·|AQ |，得|AP ||BP |=|AQ ||BQ |，即y 1-11-y 2=y 0-y 1y 0-y 2，由题意知|AQ ||BQ |≠1，所以|AP ||BP |≠1，即P 异于AB 的中点，所以y 1+y 2≠2，即m ≠1，得y 0=2y 1y2-(y 1+y 2)y 1+y 2-2=-1+2y 1y 2-2y 1+y 2-2=-1+2(m -8)2-16m 2-8-22m (m -8)m 2-8-2=1-6m -1，又x 0-8=m (y 0-1)，所以m =x 0-8y 0-1，故y 0=1-6x 0-8y 0-1-1，化简得x0-y 0-1=0，所以点Q 在直线x -y -1=0上，又Q 是直线l 上的点，所以③成立．若选①③⇒②：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Q (x 0，y 0)，y 0≠1，则x 0-y 0-1=0.由P，A ，B，Q 四点共线，设AP =λAQ ，BP =μBQ ，其中λ>0且λ≠1，μ<0，则x 1=λx 0-8λ-1，y 1=λy 0-1λ-1，x 2=μx 0-8μ-1，y 2=μy 0-1μ-1.又点A 在C 上，所以21x 8-y 21=1，所以λx 0-8λ-1 28-λy 0-1λ-1 2=1，整理得(x 20-8y 20-8)λ2-16(x 0-y 0-1)λ+48=0，又x 0-y 0-1=0，所以(x 20-8y 20-8)λ2+48=0，同理(x 20-8y 20-8)μ2+48=0，所以λ2=μ2=2200488y -x +8，又λ>0，μ<0，所以λ=-μ，故AP =-μAQ ，BP =μBQ ，所以|AP||AQ |=|BP ||BQ |=|μ|，故|AP |·|BQ |=|BP |·|AQ |，即|AP |·|BQ |=|BP |·|AQ |成立，所以②成立．若选②③⇒①：由题意，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ′，y ′)，Q (x 0，y 0)，由|AP |·|BQ |=|BP |·|AQ |，得|AP ||AQ |=|BP ||BQ |=λ，又点P 为线段AB 上一点，点Q 为线段AB 延长线上一点，所以设AP =λAQ ，BP =-λBQ ，其中λ>0且λ≠1，则x 1=x ′-λx 01-λ，y 1=y ′-λy 01-λ，x 2=x ′+λx 01+λ，y 2=y ′+λy 01+λ，又点A 在C 上，所以21x 8-y 21=1，所以x ′-λx 01-λ 28-y ′-λy 01-λ2=1，整理得(x 20-8y 20-8)λ2-(2x ′x 0-16y ′y 0-16)λ+x ′2-8y ′2-8=0，同理(x 20-8y 20-8)λ2+(2x ′x 0-16y ′y 0-16)λ+x ′2-8y ′2-8=0，所以2x ′x 0-16y ′y 0-16=-(2x ′x 0-16y ′y 0-16)，故x ′x 0-8y ′y 0-8=0，将x 0=y 0+1代入，得(x ′-8y ′)y 0+x ′-8=0，所以x ′-8y ′=0，x ′-8=0，解得x ′=8，y ′=1，即①P (8，1)成立．4(2023·江苏南通二模)已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为22，焦距为2，过E 的左焦点F 的直线l 与E 交于A ，B 两点，与直线x =-2交于点M .(1)若M (-2，-1)，求证：|MA |·|BF |=|MB |·|AF |；(2)过点F 作直线l 的垂线m 与E 相交于C ，D 两点，与直线x =-2相交于点N .求1|MA |+1|MB |+1|NC |+1|ND |的最大值．解:(1)证明：因为椭圆E 的焦距为2，所以2c =2，解得c =1.又因为椭圆E 的离心率e =c a =22，所以a =2，所以b 2=a 2-c 2=2-1=1，所以椭圆E 的方程为x 22+y 2=1.因为直线l 经过M (-2，-1)，F (-1，0)两点，k MF =-1-0-2-(-1)=1，所以直线l 的方程为y =x +1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立y =x +1，x 2+2y 2=2， 可得3x 2+4x =0，解得x =-43或x =0，不妨设x 1=-43，x 2=0.所以|MA |·|BF |=2|x 1+2|·2|x 2+1|=2×23×1=43，|MB |·|AF |=2|x 2+2|·2|x 1+1|=2×2×13=43，因此|MA |·|BF |=|MB |·|AF |.(2)若直线l ，m 中两条直线分别与两条坐标轴垂直，则其中有一条必与直线x =-2平行，不符合题意，所以直线l 的斜率存在且不为零，公众号：慧博高中数学最新试题设直线l 的方程为y =k (x +1)，k ≠0，则直线m 的方程为y =-1k (x +1)．联立y =k (x +1)，x 2+2y 2=2， 可得(1+2k 2)x 2+4k 2x +2k 2-2=0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则Δ=16k 4-8(2k 2+1)(k 2-1)=8(k 2+1)>0，所以x 1+x 2=-4k 22k 2+1，x 1x 2=2k 2-22k 2+1，易知x 1>-2且x 2>-2，所以1|MA |+1|MB |=11+k 2|x 1+2|+11+k 2|x 2+2|=11+k 21x 1+2+1x 2+2=11+k 2·x 1+x 2+4x 1x 2+2(x 1+x 2)+4=11+k 2·-4k 21+2k 2+42k 2-21+2k 2-8k 21+2k 2+4=11+k 2·4k 2+42k 2+2=21+k 2，同理，1|NC |+1|ND |=21+-1k 2=2|k |1+k 2，所以1|MA |+1|MB |+1|NC |+1|ND |=2(1+|k |)1+k 2=2k 2+1+2|k |k 2+1=21+2|k |+1|k |≤21+22|k |·1|k |=22，当且仅当k =±1时，等号成立，因此，1|MA |+1|MB |+1|NC |+1|ND |的最大值为2 2.5设A (2，n )是抛物线E ：x 2=4y 上一点，不过点A 的直线l 交E 于M ，N 两点，F 为E 的焦点．(1)若直线l 过点F ，求1|FM |+1|FN |的值；(2)设直线AM ，AN 和直线l 的斜率分别为k 1，k 2和k ，若k 1+k 2=2，求k 的值．解:(1)设直线l 的方程为y =kx +1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y =kx +1代入x 2=4y ，得y 2-(2+4k 2)y +1=0，于是y 1+y 2=2+4k 2，y 1y 2=1.由焦点弦公式，得|FM |=y 1+1，|FN |=y 2+1，∴1|FM |+1|FN |=|FM |+|FN ||FM ||FN |=y 1+y 2+2y 1+y 2+y 1y 2+1=4k 2+44k 2+4=1.(2)设直线l 的方程为y =kx +m ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y =kx +m 代入x 2=4y ，得x 2-4kx -4m =0，于是x 1+x 2=4k ，x 1x 2=-4m ，y 1=kx 1+m ，y 2=kx 2+m ，且A (2，1)，∴k 1+k 2=y 1-1x 1-2+y 2-1x 2-2=x 1y 2+x 2y 1-2(y 1+y 2)-(x 1+x 2)+4(x 1-2)(x 2-2)=2kx 1x 2+(m -2k -1)(x 1+x 2)+4-4m x 1x 2-2(x 1+x 2)+4=-8km +4k (m -2k -1)+4-4m -4m -8k +4=-km -2k 2-k +1-m -m -2k +1.∵k 1+k 2=2，∴2k 2+(m -3)k +1-m =0，即(k -1)(2k +m -1)=0.∵直线l ：y =kx +m 不过点A (2，1)，∴2k +m -1≠0，故k =1.6已知抛物线C ：x 2=2py (p >0)的焦点为F ，且F 与圆M ：x 2+(y +4)2=1上点的距离的最小值为4.(1)求p ；(2)若点P 在M 上，PA ，PB 是C 的两条切线，A ，B 是切点，求△PAB 面积的最大值．解:(1)因为焦点F 0，p 2 到圆M ：x 2+(y +4)2=1上点的距离的最小值为|FM |-1=p 2+4-1=p 2+3，所以p 2+3=4，所以p =2.(2)解法一：由(1)知抛物线C ：x 2=4y ，即y =x 24，所以y ′=x 2.设切点A 21x 1，x 4，切点B 22x 2，x 4 ，则l PA ：y =x12x -21x 4，l PB ：y =x22x -22x 4.从而可得P x 1+x 22，x 1x 24 .由题意可知直线AB 的斜率存在，设l AB ：y =kx +b ，与抛物线C ：x 2=4y 联立，得y =kx +b ，x 2=4y ， 消去y ，得x 2-4kx -4b =0，则Δ=16k 2+16b >0，即k 2+b >0，且x 1+x 2=4k ，x 1x 2=-4b ，所以P (2k ，-b )．因为|AB |=1+k 2(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1+k 2·16k 2+16b ，点P 到直线AB 的距离d =|2k 2+2b |k 2+1，所以S △PAB =12|AB |·d =1216k 2+16b ·|2k 2+2b |=4(k 2+b )32.(*)又点P (2k ，-b )在圆M ：x 2+(y +4)2=1上，所以k 2=1-(b -4)24.将该式代入(*)式，得S △PAB =4-b 2+12b -154 32.而y P =-b ∈[-5，-3]，所以b ∈[3，5]．所以当b =5时，△PAB 的面积最大，最大值为20 5.解法二：由(1)知抛物线C ：x 2=4y ，即y =x 24，所以y ′=x 2.设切点A (x 1，y 1)，切点B (x 2，y 2)，圆M 上任意一点P (x 0，y 0)，则易得l PA ：y =x 12x -y 1，l PB ：y =x22x -y 2，联立y =x12x -y 1，y =x 22x -y 2， 得Px 1+x 22，x 1x 24 .所以x 0=x 1+x 22，y 0=x 1x 24，又线段AB 的中点Q 的坐标为x 1+x 22，y 1+y 22 .所以S △PAB =12|PQ |·|x 1-x 2|=12y 1+y 22-y 0)) ·|x 1-x 2|=142212x +x 4-2y 0)) ·|x 1-x 2|=116|x 1-x 2|3=116|x 1-x 2|2)) 3=1 16(x1+x2)2-4x1x2)) 3=1 1624x-16y0)) 3=122x-4y0))3.(*)又点P(x0，y0)在圆M：x2+(y+4)2=1上，所以x20=1-(y0+4)2，代入(*)式，得S△PAB=12(-y20-12y0-15)32.而y0∈[-5，-3]，所以当y0=-5时，△PAB的面积最大，最大值为20 5.。

圆锥曲线的标准方程推导圆锥曲线是平面上各点与一个定点（称为焦点）和一个定直线（称为准线）的距离之比为定值的点的轨迹。

根据圆锥曲线的形状不同，可以分为椭圆、双曲线和抛物线三类。

本文将以直角坐标系下的圆锥曲线为例进行推导。

设圆锥的焦点为F(x₁, y₁)，准线为直线l，该直线与坐标轴交于原点O，与x轴正方向的交点为A，与y轴正方向的交点为B。

设坐标系上的任意一点P(x, y)，我们将推导出圆锥曲线的标准方程。

首先，假设P与焦点F的距离为r，与直线l的距离为d。

根据定义，我们可以得到以下两个关系式：1. 根据焦准定理，有：r/d = e （1）其中，e为圆锥曲线的离心率，满足0 < e < 1（对应椭圆），e = 1（对应抛物线），e > 1（对应双曲线）。

2. 根据直角三角形AOB，可得：r² = x² + y²（2）由式（1）和式（2）可得：(x² + y²) / d² = e²（3）接下来，我们将推导出不同类型圆锥曲线的标准方程。

一、椭圆：当0 < e < 1时，圆锥曲线为椭圆。

将式（2）带入式（3）中得：x² + y² = e²d²（4）由于直线l与x轴正方向相交于点A，所以直线l的方程为y = kx，其中k为直线l的斜率。

将y = kx代入式（4）中并整理得：x² + (kx)² = e²d²（5）化简式（5）得：1 + k² = e²（6）将方程（6）代入方程（5）得：x² + (kx)² = (1 + k²)d²（7）将方程（7）除以d²并整理得：(x²/d²) + (k²x²/d²) = 1 （8）令a² = 1/d²，b² = k²/d²，则方程（8）可以进一步简化为：(x²/a²) + (y²/b²) = 1 （9）方程（9）即为椭圆的标准方程。

圆锥曲线1. 圆锥曲线的两定义 ：第必定义 中要 重视“括号”内的限制条件 ：椭圆中 ，与两个定点F 1 ， F 2 的距离的和等于常数2a ，且此 常 数 2a 必定要大于 F 1 F 2 ，当常数等于F 1 F 2 时，轨迹是线段 F 1F 2 ，当常数小于 F 1 F 2 时，无轨迹； 双曲线 中，与两定点 F 1 ，F 2 的距离的差的绝对值等于常数 2a ，且此常数 2a 必定要小于 | F 1 F 2 | ，定义中的 “绝对值”与2a ＜ |F 1 F 2 | 不行忽略 。

若 2a ＝ |F 1 F 2 | ，则轨迹是以 F 1 ， F 2 为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2 | ，则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线 的一支。

如 方 程 ( x 6)2y 2( x6)2 y 28表示的曲线是 _____（答：双曲线的左支）2. 圆锥曲线的标准方程 （标准方程是指中心 （极点） 在原点，坐标轴为对称轴时的标准地点的方程） ：（ 1 ） 椭 圆 ： 焦 点 在 x 轴 上 时 x2y 2 1a 2b 2b 0 ）， 焦 点 在 y 轴 上 时 y2 2（ a 2x2 ＝ 1（ ab 0 ）。

方程 Ax2By2abC 表示椭圆的充要条件是什么？（ ABC ≠ 0，且 A ， B ，C 同号， A ≠ B ）。

若 x, yR ，且 3x22 y26 ，则 xy 的最大 值是 ____， x2y 2 的最小值是 ___（答：5,2 ）22（ 2）双曲线 ：焦点在 x 轴上： x2y 2 =1，焦ab点 在 y 轴 上 ： y2x 2＝ 1 （ a 0, b0 ）。

方程Ax2By2a 2b 2C 表示双曲线的充要条件是什么？（ ABC≠ 0，且 A ，B 异号）。

如 设中心在座标原点 O ，焦点 F 1 、 F 2 在座标轴上，离心率 e 2 的双曲线 C 过点 P(4, 10) ，则 C的方程为 _______（答： x 2y 2 6 ）（ 3）抛物线 ：张口向右时 y 22 px( p 0) ，开口向左时y22 px( p 0) ，张口向上时x 22 py( p0) ，张口向下时 x 22 py( p 0) 。

圆锥曲线的解题方法导语：定义中提到的定点，称为圆锥曲线的焦点；定直线称为圆锥曲线的准线；固定的常数（即圆锥曲线上一点到焦点与准线的距离比值）称为圆锥曲线的离心率；焦点到准线的距离称为焦准距；焦点到曲线上一点的线段称为焦半径。

过焦点、平行于准线的直线与圆锥曲线相交于两点，此两点间的线段称为圆锥曲线的通径，物理学中又称为正焦弦。

第一、圆锥曲线的解题方法：一、求圆锥曲线方程（1）轨迹法：设点建立方程，化简证明求得。

例题：动点P（x，y）到定点A（3，0）的距离比它到定直线x=—5的距离少2、求动点P的轨迹方程。

解析：依题意可知，{C}，由题设知{C}，{C}{C}。

（2）定义法：根据圆锥曲线的定义确定曲线的形状。

上述例题同样可以由定义法求出曲线方程：作直线x=—3，则点P到定点A与到定直线x=—3的距离相等，所以点P的轨迹是以A为焦点，以x=—3为准线的抛物线。

（3）待定系数法：通过题设条件构造关系式，待定参数即可。

例1：已知点（—2，3）与抛物线{C}的焦点的距离是5，则P=_____。

解析：抛物线{C}的焦点为{C}，由两点间距离公式解得P=4例2：设椭圆{C}的右焦点与抛物线{C}的焦点相同，离心率为{C}，则椭圆的方程为_____。

解析：抛物线{C}的焦点坐标为（2，0），所以椭圆焦半径为2，故离心率{C}得m=4，而{C}，所以椭圆方程为{C}。

二、圆锥曲线最值问题（1）化为求二次函数的最值根据已知条件求出一个参数表示的二次函数解析式，用配方法求出在一定范围自变量下函数的最值。

例题：曲边梯形由曲线{C}及直线x=1，x=2所围成，那么通过曲线上哪一点作切线，能使此切线从曲边梯形上切出一个最大面积的普通梯形。

解析：设切点{C}，求出切线方程{C}，再求出这条切线与直线x=1，x=2的交点纵坐标，根据梯形面积公式列出函数关系式：梯形面积={C}，从而得出结论。

（2）利用圆锥曲线性质求最值先利用圆锥曲线的定义性质列出关系式，再用几何或代数方法求最值。

《圆锥曲线大题全攻略》系列课程1.求轨迹方程问题2.圆锥曲线中的定点问题3.圆锥曲线中的定值问题4.圆锥曲线中的最值问题5.点差法解决中点弦问题6.常见几何关系的代数化方法7.圆锥曲线中的非对称“韦达定理”问题处理技巧8.圆锥曲线中的三点共线问题9.巧用曲线系方程解决圆锥曲线中的四点共圆问题10.抛物线中阿基米德三角形的常见性质及应用11.圆锥曲线中的双切线题型圆锥曲线中的求轨迹方程问题解题技巧求动点的轨迹方程这类问题可难可易是高考中的高频题型，求轨迹方程的主要方法有直译法、相关点法、定义法、参数法等。

它们的解题步骤分别如下：1. 直译法求轨迹的步骤：（1）设求轨迹的点为);,(y x P（2）由已知条件建立关于y x ,的方程；（3）化简整理。

2. 相关点法求轨迹的步骤：（1）设求轨迹的点为),(y x P ，相关点为),(O O y x Q ;（2）根据点的产生过程，找到),(y x 与),(O O y x 的关系，并将O O y x ,用x 和y 表示；（3）将),(O O y x 代入相关点的曲线，化简即得所求轨迹方程。

3. 定义法求轨迹方程：（1）分析几何关系；（2）由曲线的定义直接得出轨迹方程。

4. 参数法求轨迹的步骤：（1）引入参数；（2）将求轨迹的点),(y x 用参数表示；（3）消去参数；（4）研究范围。

【例1.】已知平面上两定点),,(),,(2020N M -点P 满足MN MP =•求点P 的轨迹方程。

【例2.】已知点P 在椭圆1422=+y x 上运动，过P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足,PQ PM 31=求动点M 的轨迹方程。

【例3.】已知圆),,(,)(:0236222B y x A =++点P 是圆A 上的动点，线段PB 的中垂线交PA 于点Q ，求动点Q 的轨迹方程。

【例4.】过点),(10的直线l 与椭圆1422=+y x 相交于B A ,两点，求AB 中点M 的轨迹方程。

参考答案1．1-,02⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】把椭圆方程化为标准方程，得到2a ，2b 的值，由隐含条件求出c ，则答案可求．【详解】解：由22241x y +=，化为标准方程得：2211124x y +=，∴椭圆是焦点在x 轴上的椭圆，且2211,24a b ==， ∴222111244c a b =-=-=，则12c =． ∴焦点坐标为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭． 故答案为：1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆的标准方程，是基础题．2．2218172x y += 【解析】【分析】根据题意，分析可得椭圆中9a =，3c =，计算可得b 的值，又由椭圆焦点的位置，分析可得答案．【详解】根据题意，要求椭圆的焦点在x 轴上，若长轴长为18，且焦距为6，即9a =，3c =，则22281972b a c =-=-=，故椭圆的标准方程为：2218172x y +=， 故答案为：2218172x y +=. 【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，注意椭圆的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，属于基础题.3．3【解析】【分析】利用标准方程，求出a ，b ，然后求解c ，即可求解离心率．【详解】椭圆22194x y +=的长半轴为a ＝3，短半轴为b ＝2，则半焦距为c ==所以椭圆的离心率为：e c a ==．故答案为：3． 【点睛】 本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．4．12【解析】【分析】根据抛物线的解析式，即可得到抛物线的焦点坐标，即可得到椭圆的焦点坐标，再由椭圆中222a b c =+，即可解出m 的值.【详解】因为抛物线24y x =的焦点为(1,0).所以椭圆221mx y +=的焦点坐标在x 轴上且为(1,0). 即1c = .又因为椭圆221mx y +=的221,1a b m==，222a b c =+. 所以111m =+12m ⇒= . 故填：12. 【点睛】本题考查抛物线的焦点，根据椭圆的焦点坐标求椭圆的基本量，属于基础题，解本题的关键在于熟练掌握椭圆中基本量的关系.5【解析】【分析】依题意，在12F PF ∆中，123F PF π∠=，12||||24PF PF a +==，122F F =，利用余弦定理可求得12||||F P P F ⋅的值，从而可求得12F PF ∆面积．【详解】解：∵椭圆22:143x y C +=，2,1a b c ∴===．又∵P 为椭圆上一点，123F PF π∠=，12,F F 为左右焦点，∴12||||24PF PF a +==，122F F =，()221212121222cos 3F F PF PF PF PF PF PF π∴=+-⋅-⋅12163PF PF =-⋅4=，124P P F F ∴⋅=，121211sin 42322PF F S PF PF π∆∴=⋅=⨯⨯=．本题考查椭圆的简单性质，考查余弦定理的应用与三角形的面积公式，属于中档题． 6．()6,1--【解析】【分析】 由椭圆22146x y k k+=-+的焦点在x 轴上，则460k k ->+>，再求解即可. 【详解】 解：由方程22146x y k k+=-+的曲线为焦点在x 轴上的椭圆， 则460k k ->+>，解得 61k -<<-，即实数k 的取值范围是61k -<<-，故答案为：()6,1--.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及椭圆的焦点所在的位置，属基础题.7．5【解析】【分析】根据椭圆的定义，|PF 1|+|PF 2|＝2a ，求出结果即可．【详解】 ∵椭圆222116x y b+=， ∴当椭圆上的点P 到它的左焦点距离是3时，点P 到它的右焦点的距离是2a ﹣3＝2×4﹣3＝5． 故答案为：5．【点睛】本题考查了椭圆的定义及标准方程的应用问题，是基础题目．8．18【解析】解析过程略9．【解析】【分析】由题意得到关于a ,b 的方程组，求解方程组即可确定椭圆的短轴长度.【详解】 不妨设椭圆方程为：()222210x y a b a b +=>>，由题意可得155a c a c +=⎧⎨-=⎩，解得105a c =⎧⎨=⎩，则椭圆的短轴长度为：2b ==.故答案为：【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，方程的数学思想，椭圆短轴的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．125【解析】【分析】由椭圆方程得到,,a b c ，由1MF 为椭圆的半通径可求得1MF ，根据椭圆定义求得2MF ，进而通过面积求得所求距离.【详解】由椭圆方程知：4a =，b =2c =1MF x ⊥轴，即1MF 为椭圆的半通径 213b MF a∴== 2125MF a MF ∴=-=设1F 到直线2F M 的距离为d ，则1221211122F F M S F M d F F MF ∆=⋅=⋅即562d =，解得：125d = 故答案为：125 【点睛】本题考查椭圆定义和几何性质的应用，涉及到椭圆通径长、由椭圆方程求,,a b c 、椭圆定义等知识点，属于基础题.11．2211122x y -= 【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的半焦距，利用双曲线的渐近线的夹角，可得a b ，关系，然后求解即可．【详解】双曲线的右焦点恰好是24y x =的焦点，可得1c =，双曲线的两条渐近线的夹角为2π， 可得a b =，所以2a b ==， 可得双曲线方程为：2211122x y -=． 故答案为：2211122x y -=．【点睛】本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，是基本知识的考查． 12．y x =±【解析】【分析】根据离心率公式和双曲线的,,a b c 的关系进行求解【详解】由题知：222⎧==⎪⇒=⎨⎪=+⎩c e a b ac a b ，双曲线的渐近线方程为y x =± 故答案为：y x =±【点睛】本题考查双曲线渐近线的求法，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质13．125【解析】【分析】先由双曲线方程得到其顶点坐标，与渐近线方程，再由点到直线距离，即可求出结果.【详解】 因为双曲线22:1169x y C -=的顶点为(4,0)±，渐近线方程为：34=±=±b y x x a ， 即340±=x y ，125=. 故答案为：125【点睛】 本题主要考查双曲线顶点到渐近线的距离，熟记双曲线的性质，以及点到直线距离公式即可，属于基础题型.14．(1,)+∞【解析】【分析】 本题首先根据“方程22121x y m m -=+-表示焦点在x 轴上的双曲线”可得出两分母的符号，然后通过计算即可得出m 的范围。