第五章 角动量 习题
5.1.1 我国发射的第一颗人造地球卫星近地点高度d 439km =近，远地点d 2384km =远，地球半径R 6370km =地，求卫星在近地点和远地点的速度之比.
[解 答]
卫星所受的引力对O 点力矩为零，卫星对O 点角动量守恒。
r m =r m νν远远近近
2384+6370
1.29439+6370d +R r r d +R νν====远近远地远近近地
5.1.2 一个质量为m 的质点沿着一条由ˆˆr =acos ti bsin tj ωω+定义的空间
曲线运动，其中a,b 及ω皆为常数，求此质点所受的对原点的力矩.
[解 答]
2222ˆˆˆˆˆˆˆˆ()r =acos ti
bsin tj a sin ti b cos tj a =-a cos ti
b sin tj acos ti
bsin tj r ωωνωωωωωωωωωωωω+=-+-=-+=-
2F m r ω=-，通过原点0τ=。
5.1.3 一个具有单位质量的质点在力场ˆˆ2F =(3t -4t)i +(12t -6)j
中运动，其中t 是时间.设该质点在t=0时位于原点，且速度为零，求t=2时该质点所受的对原点的力矩.
[解 答]
已知，m=1kg
有牛顿第二定律 F ma =
1ˆˆa F m 2(3t -4t)i +(12t -6)j =
= 0d a ,t 0,0
dt νν===
t
t
322ˆˆd adt dt ˆˆ=(t 2t )(6t 6t)2(3t -4t)i +(12t -6)j i j
ν
νν∴==-+-⎰⎰⎰
同理由
,t 0,0dr
r dt ν=
==
t
3220
ˆˆd [(t 2t )(6t 6t)]dt
r
r i j =-+-⎰
⎰
ˆˆ423212r =(t -t )i
+(2t -3t )j 43
ˆˆˆˆ4t =2:r =i 4j,F =4i 18j 3-++ 0ˆˆˆˆM r F ()()4i 4j 4i 18j 3=⨯=-+⨯+ x y y y x x x y y x
x y ˆˆˆ i j k
ˆˆˆA B A A A (A B A B )i (A B A B )j (A B A B )k B B B z z z z z z
⨯==-+-+-
0ˆˆˆ i j k 4ˆM 4 040k 3
4 18 0
=-=-
5.1.4 地球质量为24
6.010kg ⨯，地球与太阳相距6
14910km ⨯，视地球为
质点，它绕太阳作圆周运动.求地球对医圆轨道中心的角动量.
[解 答]
2L rm mr ,
2(rar/s)
365243600νωπ
ω===⨯⨯
将
624r 14910km,m 6.010kg =⨯=⨯代入上式得 402L 2.6510kg m /s =⨯⋅
5.1.5 根据5.1.2题所给的条件，求该质点对原点的角动量.
[解 答]
ˆˆˆˆr =acos ti
bsin tj a sin ti
b cos tj ωωνωωωω+∴=-+ 质点对原点的角动量：
ˆˆˆˆL r m ()m()
acos ti bsin tj a sin ti b cos tj νωωωωωω=⨯=+⨯-+
ˆˆˆ i j k
ˆcos sin 0abm k
m m 0
a t
b t a sin t b cos t ωωωωωωω==-
5.1.6 根据5.1.3题所给的条件，求该质点在t=2时对原点的角动量.
[解 答]
由5.1.3，t=2s 时
22ˆˆˆ,12j,
m 1kg 4r =i 4j 3ν-+==
ˆˆˆL r m ()12j 4i 4j 3ν=⨯=-+⨯
2ˆˆˆ i j k
4ˆL 4 016k(kg m /s)3
0 12 0
=-=-⋅
5.1.7 水平光滑桌面中间有一光滑小孔，轻绳一端伸入孔中，另一端系一质量为10g 的小球，沿半径为40cm 的圆周做匀速圆周运动，这
是从孔下拉绳的力为3
10N -.如果继续向下拉绳，而使小球沿半径为
10cm 的圆周做匀速圆周运动，这时小球的速率是多少？拉力所做的功是多少？
[解 答]
(1)小球角动量守恒：00m R m R νν= ①
由牛顿第二定律：最初
2
00020
F T m
R ν== ②
又②解出0ν代入①得 0
0R 0.8(m /s)R νν=
=
（2）拉力所作的功
223011
A m m 3.010(J)22νν-=
-=⨯
5.1.8 一个质量为m 的质点在O-xy 平面内运动，其位置矢量为
ˆˆr =acos ti bsin tj ωω+
其中a,b 和ω是正常数，试以运动学及动力学观点证明该质点对于坐标原点角动量守恒.
[解 答]
（1）以运动学观点证明
ˆˆ
r =acos ti bsin tj ωω+
ˆˆdr a sin ti b cos tj dt νωωωω=
=-+
质点对坐标原点的角动量为：
ˆˆˆˆL r m ()m()acos ti bsin tj a sin ti b cos tj νωωωωωω=⨯=+⨯-+
ˆˆˆ i j k
ˆcos sin 0abm k
m m 0
a t
b t a sin t b cos t ωωωωωωω==-=常矢量（守恒）
（2）以动力学观点证明
222d r
a ==-r
dt ω
由牛顿第二定律：2
F =ma =-m r ω
质点对坐标原点的力矩为：
20()0M r F r m r ω=⨯=⨯-=
