重庆八中2020级高三下第三次月考文科数学试卷含答案

2020届重庆市第八中学高三下学期第3次（4月）月考数学（文）试题一、单选题1．已知集合{|1},{3,2,1,0,1}A x x B =>-=---，则A B =I ( )A ．{1,0,1}-B ．{0,1}C ．(]1,1-D ．∅【答案】B【解析】利用交集定义直接求解．【详解】 Q 集合{}1A x x =-，{3,2,1,B =---0，1}，{}0,1A B ∴⋂=．故选：B ．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2．设2i z i +=，则||z =( )A ．B C ．2 D ．5【答案】B【解析】根据复数的基本运算法则进行化简即可．【详解】 ()22212i i i z i i i++===-，则z == 故选：B ．【点睛】本题主要考查复数的除法运算，复数模的计算，比较基础．3．已知向量||1,||2,a b a b ==⋅=r r r r a r 与向量b r 的夹角为( )A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π 【答案】A【解析】根据条件及向量夹角的余弦公式即可得出3cos ,2a b =r r ，然后根据向量夹角的范围即可求出夹角的大小． 【详解】1,2,3a b a b ==⋅=r r r r Q ，3cos ,a b ∴=r r ，且0,a b π≤≤r r ， ∴向量,a b r r 的夹角为6π． 故选：A ．【点睛】本题考查了向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，考查了计算能力，属于基础题． 4．函数()(0)a f x x x =≥，()log a g x x =，则()f x 与()g x 的图象可能为( ) A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】取特殊值，利用排除法即得解．【详解】当12a =时，()()12,f x x g x log x ==，选项B 符合．故选：B ．【点睛】本题考查常见函数的图象，属于基础题．5．已知双曲线22145x y -=的右焦点为F ，过点F 作一条直线与其中一条渐近线垂直，垂足为,A O 为坐标原点，则OAF S ∆=( )A ．3B ．C ．D 【答案】D【解析】求得F 20y +=的距离FA ==即可得2.AO ===从而求得面积．【详解】双曲线22145x y -=的右焦点为()3,0F ，F 20y +=的距离FA ==则2AO ===．则11222OAF S FA OA =⋅==V 故选：D ．【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于基础题．6．为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话：老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”．老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为( )A ．7班、14班、15班B ．14班、7班、15班C ．14班、15班、7班D ．15班、14班、7班【答案】C【解析】分别假设甲、乙、丙预测准确，分析三个人的预测结果，由此能求出一、二、三名的班级．【详解】假设甲预测准确，则乙和丙都预测错误， 14∴班名次比15班靠后，7班没能赢15班，故甲预测错误；假设乙预测准确，则甲和乙都预测错误，7∴班不是第一名，14班名次比15班靠前，7班没能赢15班，则获得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班；假设丙预测准确，则甲和乙都预测错误，7∴班不是第一名，14班名次比15班靠后，7班能赢15班，不合题意．综上，得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班．故选：C ．【点睛】本题考查获得一、二、三名的班级的判断，考查合情推理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．如图是一个算法流程图，输出的S 为( )A ．50B ．50-C ．51D ．51-【答案】B 【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】模拟程序的运行，可得0N =，0T =，1i =满足条件100i <，执行循环体，1N =，2T =，3i =满足条件100i <，执行循环体，13N =+，24T =+，5i =满足条件100i <，执行循环体，135N =++，246T =++，7i =⋯观察规律可知，当99i =时，满足条件100i <，执行循环体，13599N =+++⋯+，246100T =+++⋯+，101i =此时，不满足条件100i <，退出循环，可得()()()()1234569910050S N T =-=-+-+-+⋯-=-．故选：B ．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8．已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<为偶函数，且该函数离原点最近的一个对称中心为(,0)3π，则()f x 在[0,2)π内的零点个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】由函数为偶函数求得ϕ，再由已知求出周期，进一步求得ω，可得函数解析式，根据三角函数的图象判断零点个数即可．【详解】由函数()()sin (0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<为偶函数， 所以2πϕ=，()f x cos x ω=； 又因为该函数离原点最近的一个对称中心为,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以43T π=，423T ππω==，32ω=； 所以3()cos 2f x x =， 由函数图像可知()f x 在[)0,2π内的零点个数为3个．故选：C ．【点睛】本题考查了()y Asin x ωϕ=+型函数的图象及性质，属于基础题． 9．已知函数2,01()log ,1a x f x x x ⎧<≤⎪=⎨>⎪⎩在(0,)+∞为单调递增函数，则a 的取值范围为( )A ．(1,)+∞B ．(1,2)C ．(1.2]D ．(0,2]【答案】C【解析】要使分段函数在()0,+∞上是增函数，必须每一段都是增函数，且整体也是增函数，故1a >且2log 10a a -≤=，解得a 的取值范围即可．【详解】要使得函数()2,01,1a a x xf x log x x ⎧-<≤⎪=⎨>⎪⎩在()0,+∞上为增函数， 则满足120a a >⎧⎨-≤⎩，故12a <≤；则a 的取值范围为(]1,2． 故选：C ．【点睛】本题考查了分段函数为增函数的条件，正确理解增函数的定义是关键，属于基础题． 10．已知三棱锥S ABC -的外接球为球O ，SA 为球O 的直径，且2SA =，若面SAC ⊥面SAB ，则三棱锥S ABC -的体积最大值为( )A ．13B ．23C ．1D ．2【答案】A【解析】由题意画出图形，可得连接OC ，OB ，则S ABC S OBC A OBC V V V ---=+，两三棱锥高的和的最大值为2SA =，再求出三角形OBC 面积的最大值得答案．【详解】如图，连接OC ，OB ，则S ABC S OBC A OBC V V V ---=+，两三棱锥高的和的最大值为2SA =．要使三棱锥S ABC -的体积最大，则OBC V 面积1sin 2OB OC BOC ⨯⨯⨯∠，取最大值1111122⨯⨯⨯=时， ∴三棱锥S ABC -的体积最大值为1112323⨯⨯=．故选：A ．【点睛】本题考查球内接多面体体积最值的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查数学转化思想方法，是中档题．11．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足(1)(1)f x f x +=-，已知[0,1]x ∈时，()f x =若13(log 54)a f =，2019()2b f =，(3)c f =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b << 【答案】C 【解析】根据函数的奇偶性和单调性，结合函数的周期性进行转化判断即可．【详解】()f x Q 为定义在R 上的奇函数，且满足()()11f x f x +=-，()()()111f x f x f x ∴+=-=--，则()()2f x f x +=-，即()()4f x f x +=，则函数的周期是4，[]0,1x ∈时，()f x =()f x 在[]1,1-上为增函数， ()()()()()1333333log 54log 543log 23log 24log 211log 2f f f f f f ⎛⎫=-=-+=-+-=--=- ⎪⎝⎭，20191111100811122222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()3341f f f =-=-，3111log 22-<<-Q ， ()()3111log 22f f f ⎛⎫∴-<<- ⎪⎝⎭， 即c b a <<，故选：C ．【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，结合函数的奇偶性和对称性求出函数的周期是解决本题的关键．有一定的难度．12．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 作直线与抛物线交于,A B 两点，B 点在第一象限，过点B 作抛物线准线的垂线，垂足为C ，点E 为BF 上一点，且12BE EF =u u u r u u u r ，连接CE 并延长交x 轴于点D ，已知BED ∆的面积为2，则D 点的横坐标为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】由抛物线的方程可得焦点F 的坐标，及准线方程，设B 的坐标，可得C 的坐标，由12BE EF =u u u r u u u r ，可得E 的坐标，再由C ，E ，D 三点共线可得D 的坐标用B 的坐标表示的值，再由BED V 的面积可得D 的坐标．【详解】 设2,4b B b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),0D D x ，由题意可得焦点()1,0F ，准线方程为1x =-，所以可得()1,C b -， 由12BE EF =u u u r u u u r ，可得()21,1,42E E E E b x y b x y ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭， 可得226E b x +=，23E b y =，即222,63b E b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 因为C ，E ，D 三点共线，可得CD CE k k =，即2232116D b b b b x -=+----， 可得232D b x =+， 因为BED V的面积为2，所以()13122BFD BED D S S x b ===-⋅V V ，即340b b +-=，可得b =所以2342D x =+=， 故选：B ．【点睛】本题主要考查了抛物线的性质及三点共线的性质，即直线与抛物线的综合，属于中档题．二、填空题13．已知tan 3α=-，则cos2=α_____________. 【答案】45- 【解析】由题意，根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系求得2cos α的值．【详解】3tan α=-Q ，222222cos sin 1tan 1942cos sin 1tan 195cos ααααααα---∴====-+++． 故答案为：45-． 【点睛】本题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系在三角函数化简求值中的应用，属于基础题． 14．若变量,x y 满足约束条件23603020x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则3z x y =-的最大值为_____________.【答案】9【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】由约束条件23603020x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩作出可行域如图：化目标函数3z x y =-为：3y x z =-，由图可知，当直线3y x z =-过()3,0A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为9．故答案为：9．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．15．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2b c a +=，4sin 5sin c B b A =，则cos B =______. 【答案】45【解析】由已知结合正弦定理及余弦定理即可求解.【详解】因为45csinB bsinA =，由正弦定理可得，45bc ba =即45c a =，因为2b c a +=， 所以34b a =，54c a =， 由余弦定理可得，2222222594161652524a a a a cb cosB ac a α+-+-===⋅． 故答案为：45【点睛】 本题主要考查了正弦定理及余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题． 16．若函数()2x f x xe ax =-+（e 为自然对数的底数）在(,0)-∞的区间内有两个极值点，则实数a 的取值范围为___________. 【答案】21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】由已知可得()()'10x f x x e a =+-=在(),0-?的区间内有两个解，分离参数后转化为求解函数的交点问题，构造函数结合导数可求．【详解】 ()2x f x xe ax =-+在(),0-?的区间内有两个极值点，则()()'10x f x x e a =+-=在(),0-?的区间内有两个解，即()1x a x e =+在(),0-?的区间内有两个解，令()()1xg x x e =+，则()()'2xg x x e =+，易得，当(),2x ∈-∞-，()'0g x <，函数单调递减，当()2,0x ∈-，()'0g x >，函数单调递增，又x →-∞时，()0g x <，且()212g e-=-，()01g = 故210a e-<<， 故答案为：21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了函数极值存在条件的应用，解题中体现了转化思想的应用．三、解答题17．已知函数{}n a 满足13a =，11323(N*)n n n a a n ++=+⨯∈，数列{}n b 满足3nn na b =. （1）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；（2）数列{}n b 的前n 项和为n S ，设(1)nn n c S =-⋅，求数列{}n c 的前80项和80T .【答案】（1）证明见解析，21n b n =-（2）3240【解析】()1将已知等式两边同除以13n +，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；()2由等差数列的求和公式，以及平方差公式，结合数列的并项求和，等差数列的求和公式，计算可得所求和． 【详解】()1证明：11323n n n a a ++=+⨯，可得11233n nn na a ++=+， 则12n nb b +=+，即12n n b b +-=，可得数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列； 则()12121n b n n =+-=-，即213nna n =-， 可得()213nn a n =-⋅，*n N ∈；()()212135211212n S n n n n =+++⋯+-=+-=， 2(1)(1)n n n n c S n =-⋅=-⋅，()()()()()()()()2222222280123456798021214343656580798079T =-+-+-++⋯-+=-++-++-++⋯+-+()112345679808018032402=++++++⋯++=⨯⨯+=．【点睛】本题考查等差数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列的并项求和，化简运算能力，属于中档题．18．为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中随机抽取了容量为120的样本，测量树苗高度(单位：cm )，经统计，其高度均在区间[19，31]内，将其按[19，21)，[21，23)，[23，25)，[25，27)，[27，29)，[29，31]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.其中高度为27cm 及以上的树苗为优质树苗.（1）求图中a 的值，并估计这批树苗高度的中位数和平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表)；（2）已知所抽取的这120棵树苗来自于AB 两个试验区，部分数据如下列联表：将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A ，B 两个试验区有关系，并说明理由.参考数据：参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++【答案】（1）0.025a =；中位数为25.75cm ，平均数为25.5cm （2）填表见解析；没有99.9%的把握认为优质树苗与A ，B 两个试验区有关系，详见解析 【解析】（1）先分析频率分布直方图，再由中位数，平均数的求法求解即可； （2）先结合直方图完成列联表，再结合公式求出2K ，然后结合临界值表即可得解. 【详解】解：（1）由频率分布直方图得：()220.20.21a a a ⨯++++=，解得0.025a =. 设中位数为x ，则()0.050.10.2250.20.5x +++-⨯=，解得25.75x =， 平均数200.05220.1240.2260.4280.2300.0525.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 所以估计这批树苗高度的中位数为25.75cm ，平均数为25.5cm .（2）根据直方图可知，样本中优质树苗有()1200.1020.025230⨯⨯+⨯=，列联表如下：()221201030206010.28610.82870503090K ⨯⨯-⨯∴=≈<⨯⨯⨯.所以，没有99.9%的把握认为优质树苗与A ，B 两个试验区有关系. 【点睛】本题考查了频率分布直方图,重点考查了独立性检验,属基础题.19．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，ABP ∆是等边三角形且边长是4，DA DP ==（1）证明：AP BD ⊥；（2）若4BD =，求四棱锥P ABCD -的体积. 【答案】（1）证明见解析（2）163【解析】()1取AP 中点M ，连接DM ，BM ，由等腰三角形的性质可得PA DM ⊥，PA BM ⊥，再由线面垂直的判定可得PA ⊥平面.DMB 进一步得到PA BD ⊥；()2由()1知，PA ⊥平面BDM ，求出三角形BDM 的面积，得到三棱锥P ABD -的体积，进一步求得四棱锥P ABCD -的体积． 【详解】()1证明：取AP 中点M ，连接DM ，BM ，DA DP =Q ，BA BP =， PA DM ∴⊥，PA BM ⊥，DM BM M ⋂=Q ，PA ∴⊥平面DMB ．又BD Q ⊂平面DMB ，PA BD ∴⊥()2由()1知，PA ⊥平面BDM ，在等边三角形P AB 中，由边长为4，得16423BM =-= 在等腰三角形ADP 中，由22AD DP ==2AM =，得2DM =， 又4BD =，222DM BM DB ∴+=，得DM BM ⊥．122DBM S ∴=⨯⨯=V ．则114333P ABD BDM V S PA -=⨯⨯=⨯=V ．23P ABCD P ABD V V --∴==． 【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20．已知A ，B 是椭圆C ：22221(0x y a b a b+=>>)的左右顶点，P 点为椭圆C 上一点，点P 关于x 轴的对称点为H ，且1.2PA BH k k ⋅=（1）若椭圆C 经过了圆22(1)4x y +-=的圆心，求椭圆C 的标准方程；（2）在（1）的条件下，抛物线D ：22(0)y px p =>的焦点F 与点1(,2)8-关于y 轴上某点对称，且抛物线D 与椭圆C 在第四象限交于点Q ，过点Q 作直线与抛物线D 有唯一公共点，求该直线与两坐标轴围成的三角形面积.【答案】（1）2212x y +=（2 【解析】（1）结合斜率公式及椭圆C 经过了圆22(1)4x y +-=的圆心，求出22a =，21b =即可得解；（2）联立抛物线方程及椭圆方程求出交点坐标1,Q ⎛ ⎝⎭，然后设直线方程为()1y k x =-，联立直线方程与抛物线方程，结合0∆=，解得k ，再分别求出横、纵截距，再求三角形面积即可. 【详解】解：（1）设(),P x y ，因为(),0A a -，(),0B a ， 则点P 关于x 轴的对称点(),H x y -， 则PA y k x a =+，BH yk a x=-，因为22221x y a b+=，所以()222222221x b y b a x a a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以22222PA BHy b k k a x a ⋅==-， 又椭圆C 过圆()2214x y +-=的圆心()0,1， 所以22a =，21b =，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=；（2）由题意，抛物线D 焦点为1,08F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故其方程为22y x =， 联立方程组222212x y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得1x =或2x =-（舍去），所以1,2Q ⎛- ⎝⎭，据题意，过1,2Q ⎛-⎝⎭点的直线，斜率存在且不为0， 设直线方程为()1y k x =--， 联立方程组()2212x y y k x ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，整理得220ky y k --=， 由0∆=，解之得4k =-，所以直线方程为)142y x =---即是10x ++=.令0x =，得4y =-； 令0y =，得1x =-.故所求三角形的面积为11248S =⨯⨯=【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，重点考查了运算能力，属中档题. 21．已知函数()2(0)xf x e ax a =->，2()24g x x =-. （1）讨论函数()f x 的零点个数；（2）设4a ≤，证明：当0x ≥时，()()f x g x >.【答案】（1）02a e <<时，无零点；2a e >时，2个零点（2）证明见解析【解析】()1分类讨论，可得2x e a x =，分别()2xe y g x x==，y a =，利用导数求出函数()g x 的最值，即可判断函数的零点的个数，()2当0x =时，不等式成立，当0x >时，转化为2220x e x x -+->，设()222x h x e x x =-+-，0x >，利用导数求出函数的最值即可证明．【详解】()1当0x =时，()02f =，当0x ≠时，()20xf x e ax =-=，即2xe a x=，设()2xe g x x =，()()221'x e x g x x-∴=，当1x <且0x ≠时，()'0g x <，即()g x 在(),0-∞，()0,1上单调递减， 当1x >时，()'0g x >，即()g x 在()1,+∞上单调递递增， 当1x =时，()()12g x g e ==极小值，当x →-∞时，()0g x →，当x →+∞时，()g x →+∞， 分别画出()y f x =与y a =的图象，如图所示，结合图象可得，当2a e =时，()y f x =与y a =的图象只有一个交点， 即函数()f x 只有一个零点，当02a e <<时，()y f x =与y a =的图象没有只有交点，即函数()f x 没有零点， 当2a e >时，()f x 与y a =的图象有两个交点，即函数()f x 有两个零点．()2证明：当0x =时，()()0204f g =>=-，此时a 取任何数都成立，当0x ≠时，要证当0x >时，()()f x g x >，只要证2224x e ax x ->-，即证242x e a x x x<-+，4a ≤Q ，∴只要证2424x e x x x-+>，0x >， 只要证222440x e x x -+->，即证2220x e x x -+-> 设()222xh x e x x =-+-，0x >，()'22x h x e x ∴=--，令()22xx e x ϕ=--，0x >，()'2x x e ϕ∴=-，∴当2x ln >时，()'0x ϕ>，函数()x ϕ在()2,ln +∞上单调递增，当02x ln <<时，()'0x ϕ<，函数()x ϕ在()0,2ln 上单调递减，()()2220min x ln ln ϕϕ∴==-<，()()010x g ϕ<=-<Q ，()140e ϕ=-<，()2260e ϕ=->，∴存在()01,2x ∈，使得()()0000'220x h x x e x ϕ==--=， ∴当()00,x x ∈时，()'0h x <，函数()h x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()'0h x >，函数()h x 单调递增，()0220000()2240x min h x h x e x x x ∴==-+-=->，2220x e x x ∴-+->成立，即当0x >时，()()f x g x >，综上所述：4a ≤时，当0x ≥时，()()f x g x >． 【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，构造函数求函数的导数，利用导数是解决本题的关键．综合考查学生的运算和推理能力，属于难题． 22．已知直线l 的参数方程为x m ty t=+⎧⎨=⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2ρ2－ρ2cos 2θ＝12.若曲线C 的左焦点F 在直线l 上，且直线l 与曲线C 交于A ，B 两点. (1)求m 的值并写出曲线C 的直角坐标方程； (2)求FA FBFB FA+的值. 【答案】(1)221124x y +=；(2)4.【解析】试题分析：（1）根据直角坐标和极坐标系之间的转化关系可知，曲线C 的标准方程为221124x y +=，则其左焦点为()-，将其代入直线的参数方程，即可求得m =-（2）将直线l 的参数方程与曲线C 的方程联立，得2220t t ''--=，则12·2FA FB t t ''==，12 FA FB t t -''+==()224·FA FB FA FB FBFAFB FA++=-=.试题解析：（1）已知曲线C 的标准方程为221124x y +=，则其左焦点为()-，故m =-C 的方程221124x y +=.（2）直线l的参数方程为2{2x t y '=-='，与曲线C 的方程221124x y +=联立，得2220t t ''--=，则12·2FA FB t t ''==，12FA FB t t ''+=-==，故()224·FA FB FA FB FBFAFB FA++=-=.23．已知函数1()||2f x x =-，且对任意的x ，1()()2f x f x m +-+≥. （1）求m 的取值范围；（2）若N m ∈，证明：22(sin )(cos 1)f f m αα-+≤.【答案】（1）12m ≤（2）证明见解析. 【解析】（1）先求得函数1()2f x f x ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭式，结合绝对值三角不等式即可求得最小值，进而得m 的取值范围；（2）由（1）中m 的取值范围，结合N m ∈可得0m =.代入不等式及函数解析式，分类讨论得分段函数解析式，并求得各自的最大值，即可证明不等式成立. 【详解】（1）函数1()||2f x x =-， 由绝对值三角不等式可得11()22f x f x x x ⎛⎫+-+=-+- ⎪⎝⎭ ()1122x x ≥-+-= 当且仅当()102x x ⎛⎫-⋅-≥ ⎪⎝⎭时取等号， 因而12m ≤（2）证明：由（1）可知12m ≤，且N m ∈， 则0m =，第 21 页 共 21 页 要证明22(sin )(cos 1)f f m αα-+≤，只需证明22(sin )(cos 1)0f f αα-+≤， 而222211(sin )(cos 1)sin cos 22f f αααα-+=--+ 2211sin cos 22αα=--- 22212sin 2,sin 1211,0sin 2ααα⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩， 当21sin 12α≤≤时，222(sin )(cos 1)2sin 20f f ααα-+=-≤. 当210sin 2α≤<时，22(sin )(cos 1)1f f αα-+=-，综上可知22(sin )(cos 1)0f f αα-+≤，原命题得证.【点睛】本题考查了绝对值三角不等式的综合应用，去绝对值化简函数表达式，由分段函数最值证明不等式成立，属于中档题.。

2020年高考模拟高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、选择题1．若集合M＝{x|log2x＜1}，集合N＝{x|x2﹣1≤0}，则M∩N＝（）A．{x|1≤x＜2}B．{x|﹣1≤x＜2}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|0＜x≤1} 2．设（i为虚数单位），则|z|＝（）A．B．C．D．23．已知向量，，，则t＝（）A．B．C．D．4．设a＝log56，b＝log0.32，c＝e﹣2，则（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c 5．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．B．C．0D．6．设函数f（x）＝sin（2x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为πB．f（x）的图象关于直线x＝对称C．f（x）的一个零点为x＝﹣D．f（x）在区间（0，）上单调递减7．已知等差数列{a n}的前n项为S n，b n＝且b1+b3＝17，b2+b4＝68，则S10＝（）A．90B．100C．110D．1208．已知直线m、n与平面α、β，下列命题正确的是（）A．m⊥α，n∥β且α⊥β，则m⊥n B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nC．α∩β＝m，n⊥m且α⊥β，则n⊥αD．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n9．已知函数f（x）＝x2﹣ln|x|，则函数y＝f（x）的大致图象是（）A．B．C．D．10．中国明代数学家程大位的著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第四天比第六天多走了（）A．24里B．18里C．12里D．6里11．过球的一条半径的中点，作与该半径所在直线成30°的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．12．已知奇函数f（x）是定义在R上的单调函数，若函数g（x）＝f（x2）+f（a﹣2|x|）恰有4个零点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（0，1]D．（0，1）二、填空题13．已知函数f（x）＝xlnx，则曲线y＝f（x）在点x＝e处切线的倾斜角的余弦值为．14．设f（x）＝ln（x+），若f（a）＝，则f（﹣a）＝．15．若椭圆上一点到两个焦点的距离之和为m﹣3，则此椭圆的离心率为．16．已知函数，有下列四个命题：①函数f（x）是奇函数；②函数f（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）是单调函数；③当x＞0时，函数f（x）＞0恒成立；④当x＜0时，函数f（x）有一个零点，其中正确的是三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，ABCD是边长为2的菱形，EB⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，EB＝2FD＝4．（1）求证：EF⊥AC；（2）求几个体EFABCD的体积．·18．已知△ABC的内角A，B，C所对边19．分别为a、b、c，且2a cos C＝2b﹣c．（1）求角A的大小；（2）若AB＝3，AC边上的中线BD的长为，求△ABC的面积．19．在某区“创文明城区”（简称“创城”）活动中，教委对本区A，B，C，D四所高中学校按各校人数分层抽样，随机抽査了100人，将调查情况进行整理后制成如表：学校A B C D 抽查人数50151025“创城”活动中参与的人数4010915（注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值）假设每名高中学生是否参与”创城”活动是相互独立的．（Ⅰ）若该区共2000名高中学生，估计A学校参与“创城”活动的人数；（Ⅱ）在随机抽查的100名高中学生中，随机抽取1名学生，求恰好该生没有参与“创城”活动的概率；（Ⅲ）在表中从B，C两校没有参与“创城”活动的同学中随机抽取2人，求恰好B，C 两校各有1人没有参与“创城”活动的概率是多少？20．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）经过点A（0，1），右焦点到直线x＝的距离为．（1）求椭圆E的标准方程；（2）过点A作两条互相垂直的直线l1，l2分别交椭圆于M，N两点，求证：直线MN恒过定点P（0，﹣）．21．已知函数f（x）＝e x+x2﹣x，g（x）＝x2+ax+b，a，b∈R．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求a+b的最大值．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）＝0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程是（α为参数）．（Ⅰ）求直线l被曲线C截得的弦长；（Ⅱ）从极点作曲线C的弦，求各弦中点轨迹的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x+2|，记f（x）的最小值为m．（Ⅰ）解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）若正实数a，b满足＝，求证：≥2m．参考答案一、选择题1．若集合M＝{x|log2x＜1}，集合N＝{x|x2﹣1≤0}，则M∩N＝（）A．{x|1≤x＜2}B．{x|﹣1≤x＜2}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|0＜x≤1}【分析】化简集合M、N，根据交集的定义写出M∩N即可．解：集合M＝{x|log2x＜1}＝{x|0＜x＜2}，集合N＝{x|x2﹣1≤0}＝{x|﹣1≤x≤1}，则M∩N＝{x|0＜x≤1}．故选：D．2．设（i为虚数单位），则|z|＝（）A．B．C．D．2【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．解：设＝＝＝＝﹣+i，∴|z|＝＝，故选：A．3．已知向量，，，则t＝（）A．B．C．D．【分析】根据题意，求出向量的坐标，进而由向量平行的坐标表示方法计算可得答案．解：根据题意，向量＝（2，3），＝（1，t﹣3），则＝（3，t），又由，则2t＝9，解可得t＝；故选：B．4．设a＝log56，b＝log0.32，c＝e﹣2，则（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．解：∵log56＞log55＝1，∴a＞1，∵log0.32＜log0.31＝0，∴b＜0，∵0＜e﹣2＜1，∴0＜c＜1，∴a＞c＞b，故选：C．5．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．B．C．0D．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：当i＝1时，执行完循环体后：S＝，满足继续循环的条件，故i＝2；当i＝2时，执行完循环体后：S＝，满足继续循环的条件，故i＝3；当i＝3时，执行完循环体后：S＝，满足继续循环的条件，故i＝3；当i＝4时，执行完循环体后：S＝，满足继续循环的条件，故i＝5；当i＝5时，执行完循环体后：S＝0，满足继续循环的条件，故i＝6；当i＝6时，执行完循环体后：S＝0，满足继续循环的条件，故i＝7；当i＝7时，执行完循环体后：S＝，满足继续循环的条件，故i＝8；当i＝8时，执行完循环体后：S＝，满足继续循环的条件，故i＝9；当i＝9时，执行完循环体后：S＝，不满足继续循环的条件，故输出结果为，故选：A．6．设函数f（x）＝sin（2x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为πB．f（x）的图象关于直线x＝对称C．f（x）的一个零点为x＝﹣D．f（x）在区间（0，）上单调递减【分析】根据正弦函数的周期性、单调性以及图象的对称性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．解：对于函数f（x）＝sin（2x+），它的周期为＝π，故A正确；令x＝，求得f（x）＝1，为函数的最大值，故f（x）的图形关于直线x＝对称，故B正确；令x＝﹣，求得f（x）＝0，故f（x）的一个零点为x＝﹣，故C正确；在区间（0，）上，2x+∈（，），故函数f（x）没有单调性，故D错误，故选：D．7．已知等差数列{a n}的前n项为S n，b n＝且b1+b3＝17，b2+b4＝68，则S10＝（）A．90B．100C．110D．120【分析】等差数列{a n}的公差设为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，再由等差数列求和公式计算可得所求值．解：等差数列{a n}的公差设为d，前n项为S n，b n＝且b1+b3＝17，b2+b4＝68，可得+＝17，+＝68，解得a1＝0，d＝2，则S10＝10a1+×10×9d＝0+45×2＝90，故选：A．8．已知直线m、n与平面α、β，下列命题正确的是（）A．m⊥α，n∥β且α⊥β，则m⊥n B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nC．α∩β＝m，n⊥m且α⊥β，则n⊥αD．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n【分析】利用空间中线线、线面、面面的判定定理及其性质定理，即可得出结论．解：对于A，m⊥α，n∥β且α⊥β，则m∥n，故不正确；对于B，由m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m与n一定不平行，否则有α∥β，与已知α⊥β矛盾，通过平移使得m与n相交，且设m与n确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α与β所成的角，因为α⊥β，所以m与n所成的角为90°，故命题正确；对于C，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，利用面面垂直的性质定理即可得出：n⊥α，因此不正确；对于D，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，A1D1∥平面ABCD，AD∥平面A1B1C1D1，A1D1∥AD；EP∥平面ABCD，PQ∥平面A1B1C1D1，EP∩PQ＝P；A1D1∥平面ABCD，PQ∥平面A1B1C1D1，A1D1与PQ异面．综上，直线m，n与平面α，β，m∥α，n∥β且α∥β，则直线m，n的位置关系为平行或相交或异面．故选：B．9．已知函数f（x）＝x2﹣ln|x|，则函数y＝f（x）的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】判断f（x）的奇偶性和单调性，计算极值，从而得出函数图象．解：f（﹣x）＝（﹣x）2﹣ln|﹣x|＝x2﹣ln|x|＝f（x），∴f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除D；当x＞0时，f（x）＝x2﹣lnx，f′（x）＝2x﹣＝，∴当0＜x＜时，f′（x）＜0，当x＞时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，排除C，当x＝时，f（x）取得最小值f（）＝﹣ln＞0，排除B，故选：A．10．中国明代数学家程大位的著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第四天比第六天多走了（）A．24里B．18里C．12里D．6里【分析】由题意可得：该人每天所走的路程为等比数列{a n}，其中S6＝378，q＝．利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．解：由题意可得：该人每天所走的路程为等比数列{a n}，其中S6＝378，q＝．∴＝378，解得a1＝192，∴a4﹣a6＝192×＝18里．故选：B．11．过球的一条半径的中点，作与该半径所在直线成30°的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．【分析】画出大圆，过半径的中点A做截面与半径所得直线成30°的角，可得线线角为30°，如图可得AE的值，在三角形ACO中，由余弦定理可得AC，进而可得截面圆的半径，进而求出所得截面的面积与球的表面积的比值．解：画大圆O，设半径为R，取半径OB的中点A，过A做截面，CD为直径，取中点E，连接OE，OE⊥截面CD，由题意可得∠OAE＝30°，所以AE＝OA＝＝，在三角形OAC中，OC2＝OA2+AC2﹣2•OA•AC•cos∠OAC，即R2＝（）2+AC2﹣2•AC•cos150°，整理可得：4AC2+2•AC﹣3R2＝0，解得：AC＝＝R，所以CE＝AC+AE＝R+R＝R，所以所得截面的面积与球的表面积的比为＝，故选：C．12．已知奇函数f（x）是定义在R上的单调函数，若函数g（x）＝f（x2）+f（a﹣2|x|）恰有4个零点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（0，1]D．（0，1）【分析】由函数的奇偶性、单调性得：x2﹣2|x|+a＝0有4个根，由二次方程的区间根问题得：x2﹣2x+a＝0有2个不等正根，即，解得：0＜a＜1，得解．解：由奇函数f（x）是定义在R上的单调函数，令f（x2）+f（a﹣2|x|）＝0，由函数g（x）＝f（x2）+f（a﹣2|x|）恰有4个零点，则x2﹣2|x|+a＝0有4个根，则x2﹣2x+a＝0有2个不等正根，即，解得：0＜a＜1，即a的取值范围是0＜a＜1，故选：D．二、填空题13．已知函数f（x）＝xlnx，则曲线y＝f（x）在点x＝e处切线的倾斜角的余弦值为．【分析】求导f′（x），求出切线的斜率；从而求切线的倾斜角．解：∵f（x）＝lnx+1，f′（e）＝lne+1＝2；故曲线y＝f（x）在x＝e处的切线的倾斜角θ的正切函数值为：tanθ＝2．所以曲线y＝f（x）在点x＝e处切线的倾斜角θ的余弦值为：cosθ＝＝＝．故答案为：．14．设f（x）＝ln（x+），若f（a）＝，则f（﹣a）＝．【分析】可求出f（﹣x）＝﹣f（x），从而可求出f（﹣a）＝﹣f（a）＝．解：＝；∴．故答案为：．15．若椭圆上一点到两个焦点的距离之和为m﹣3，则此椭圆的离心率为．【分析】根据题意，按椭圆的焦点位置分2种情况讨论，结合椭圆的定义分析可得m的值，即可得椭圆的标准方程为：+＝1，据此求出a、b、c的值，由椭圆的离心率公式计算可得答案．解：根据题意，对于椭圆，分2种情况讨论：①，椭圆的焦点在x轴上，有4＞m，则a＝＝2，若椭圆上一点到两个焦点的距离之和为m﹣3，则有2a＝m﹣3＝4，解可得m＝7，又由4＞m，m＝7不合题意，舍去；②，椭圆的焦点在y轴上，有4＜m，则a＝，若椭圆上一点到两个焦点的距离之和为m﹣3，则有2a＝m﹣3＝2，解可得：m＝9或m＝﹣1（舍）故m＝9，椭圆的标准方程为：+＝1，则a＝3，b＝2，则c＝，则椭圆的离心率e＝；故答案为：．16．已知函数，有下列四个命题：①函数f（x）是奇函数；②函数f（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）是单调函数；③当x＞0时，函数f（x）＞0恒成立；④当x＜0时，函数f（x）有一个零点，其中正确的是③④【分析】直接利用函数的性质来判定函数的定义域，奇偶性，及利用函数的求导求出函数的单调区间，利用分类讨论思想的应用求出函数的零点．解：函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）．由于函数f（﹣x）＝，且f（x）+f（﹣x）＝2x2≠0，所以函数f（x）不为奇函数．故①错误．对于②，函数f（x）＝，当x＞0时，，所以＝，令h（x）＝2x3﹣1+lnx，则h（1）＝1＞0，h（）＝．所以，存在，使得h（x0）＝0，所以x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，所以函数为单调递减函数．当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，所以函数为单调递增函数．故②错误．对于③，由②知：当x＝时，f（x）在（0，+∞）上有最小值．且，所以，则x＝x0时，y＝，由于，整理得，则，所以当x＞0时，f（x）＞0恒成立．故③正确．对于④：当x＜0时，，且f（﹣1）＝1＞0，f（）＝，所以函数f（x）在区间（﹣1，﹣）内有一个零点．故④正确．故答案为：③④三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，ABCD是边长为2的菱形，EB⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，EB＝2FD＝4．（1）求证：EF⊥AC；（2）求几个体EFABCD的体积．【分析】（1）如图，连接BD，利用线面垂直的性质定理可得：EB∥FD，即可得出E，F，D，B四点共面，利用线面垂直的性质定理、判定定理即可证明结论．（2）由EB∥FD，EB⊥BD，可得四边形EFDB为直角梯形，利用菱形的性质、梯形的面积计算公式、四棱锥的体积计算公式即可得出．解：（1）证明：如图，连接BD，∵FD⊥平面ABCD，EB⊥平面ABCD，∴EB∥FD，∴E，F，D，B四点共面，∵AC⊂平面ABCD，∴AC⊥EB．设DB∩AC＝O，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥DB．∵DB∩EB＝B，∴AC⊥平面EFDB，∵EF⊂平面EFDB，∴AC⊥EF．（2）∵EB∥FD，EB⊥BD，∴四边形EFDB为直角梯形，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，BD＝2，，∴梯形EFDB的面积，∵AC⊥平面EFDB，∴V几何体EFABCD＝V四棱锥C﹣EFDB+V四棱锥A﹣EFDB＝．18．已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a、b、c，且2a cos C＝2b﹣c．（1）求角A的大小；（2）若AB＝3，AC边上的中线BD的长为，求△ABC的面积．【分析】（1）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简方程，即可求角A的余弦值，得到A的值；（2）在△ABD中，由余弦定理可得3AD的值，进而求得AC＝2AD＝8，利用三角形的面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵2a cos C＝2b﹣c，由正弦定理可得：sin A cos C+sin C＝sin B，∴sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C．∴sin C＝cos A sin C，∵sin C≠0，∴cos A＝，∴由A∈（0，π），可得角A＝；…6分（2）在△ABD中，AB＝3，BD＝，cos A＝，由余弦定理可得：13＝9+AD2﹣3AD，解得：AD＝4（负值舍去），…9分∵BD为AC边上的中线，∴D为AC的中点，∴AC＝2AD＝8，∴S△ABC＝AB•AC•sin A＝＝6．…12分19．在某区“创文明城区”（简称“创城”）活动中，教委对本区A，B，C，D四所高中学校按各校人数分层抽样，随机抽査了100人，将调查情况进行整理后制成如表：学校A B C D 抽查人数50151025“创城”活动中参与的人数4010915（注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值）假设每名高中学生是否参与”创城”活动是相互独立的．（Ⅰ）若该区共2000名高中学生，估计A学校参与“创城”活动的人数；（Ⅱ）在随机抽查的100名高中学生中，随机抽取1名学生，求恰好该生没有参与“创城”活动的概率；（Ⅲ）在表中从B，C两校没有参与“创城”活动的同学中随机抽取2人，求恰好B，C 两校各有1人没有参与“创城”活动的概率是多少？【分析】（Ⅰ）根据抽查比例进行计算即可．（Ⅱ）根据古典概型的概率公式进行计算即可．（Ⅲ）利用列举法结合古典概型的概率公式进行计算即可．解：（I）A学校高中生的总人数为50÷＝1000人．A学校参与“创城”活动的人数为1000×＝800人（II）设恰好该生没有参与“创城”活动这一事件为M，则P（M）＝．（II）B校这5人分别记为A1，A2，A3，A4，A5，C校这1人记为B，任取2人共有A1A2，A1A3，A1A4，A1A5，A1B，A2A3，A2A4，A2B，A2A5，A3A4，A3B，A3A5，A4A5，A4B，A5B，15种情况，设事件N为抽取2人中B，C两校各有1人参与”创城”活动，则P（C）＝＝．20．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）经过点A（0，1），右焦点到直线x＝的距离为．（1）求椭圆E的标准方程；（2）过点A作两条互相垂直的直线l1，l2分别交椭圆于M，N两点，求证：直线MN恒过定点P（0，﹣）．【分析】（1）由题意知得b，，结合隐含条件求得a，则椭圆C的标准方程可求．（2）设直线l1的方程为y＝kx+1，联立直线方程与椭圆方程，求得M坐标，同理求得N 的坐标，推导出直线MP与直线NP的斜率相等，从而得到M，N，P三点共线，并证明直线MN恒过定点P（0，﹣）．【解答】（1）解：由题意知，b＝1，，又a2＝1+c2，解得a2＝4．∴椭圆的标准方程为．（2）证明：设直线l1的方程为y＝kx+1，联立，得（4k2+1）x2+8kx＝0，解得，x2＝0，∴，．同理可得，，则＝，，∴k MP＝k NP，故直线MN恒过定点P（0，﹣）．21．已知函数f（x）＝e x+x2﹣x，g（x）＝x2+ax+b，a，b∈R．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求a+b的最大值．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线斜率，进而可求切线方程；（2）构造函数h（x）＝f（x）﹣g（x），然后对h（x）求导，结合导数与单调性的关系对a进行分类讨论即可求解．解：（1）因为f'（x）＝e x+2x﹣1，所以f'（0）＝0．又f（0）＝1，所以该切线方程为y＝1（2）设h（x）＝f（x）﹣g（x）＝e x﹣（a+1）x﹣b，则h（x）≥0恒成立．易得h'（x）＝e x﹣（a+1）．（i）当a+1≤0时，h'（x）＞0，此时h（x）在R上单调递增．①若a+1＝0，则当b≤0时满足h（x）≥0恒成立，此时a+b≤﹣1；②若a+1＜0，取x0＜0且，此时，所以h（x）≥0不恒成立，不满足条件．（ii）当a+1＞0时，令h'（x）＝0，得x＝ln（a+1）．由h'（x）＞0，得x＞ln（a+1）；由h'（x）＜0，得x＜ln（a+1）．所以h（x）在（﹣∞，ln（a+1））上单调递减，在（ln（a+1），+∞）上单调递增．要使h（x）＝e x﹣（a+1）x﹣b≥0恒成立，必须有当x＝ln（a+1）时，h（ln（a+1））＝（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0恒成立．所以b≤（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）．故a+b≤2（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣1令G（x）＝2x﹣xlnx﹣1，x＞0，则G'（x）＝1﹣lnx．令G'（x）＝0，得x＝e．由G'（x）＞0，得0＜x＜e；由G'（x）＜0，得x＞e．所以G（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，所以当x＝e时，G（x）的值最大，G（x）max＝e﹣1．从而，当a＝e﹣1，b＝0时，a+b的值最大，为e﹣1．综上，a+b的最大值为e﹣1请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）＝0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程是（α为参数）．（Ⅰ）求直线l被曲线C截得的弦长；（Ⅱ）从极点作曲线C的弦，求各弦中点轨迹的极坐标方程．【分析】（I）直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）＝0，展开可得：＝0，化为直角坐标方程．曲线C的参数方程是（α为参数），利用平方关系消去参数α可得普通方程，求出圆心C到直线l的距离d，可得直线l被曲线C截得的弦长＝2．（II）设Q圆C上的任意一点，P（x，y）为线段OQ的中点，则Q（2x，2y），代入圆C的方程可得各弦中点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可．解：（I）直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）＝0，展开可得：＝0，化为：y﹣x＝0．曲线C的参数方程是（α为参数），消去参数α可得：x2+（y﹣2）2＝4，圆心C（0，2），半径r＝2．∴圆心C到直线l的距离d＝＝1，∴直线l被曲线C截得的弦长＝2＝2＝2．（II）设Q圆C上的任意一点，P（x，y）为线段OQ的中点，则Q（2x，2y），代入圆C的方程可得：（2x）2+（2y﹣2）2＝4，化为：x2+y2﹣2y＝0，可得ρ2﹣2ρsinθ＝0，即ρ＝2sinθ，即为各弦中点轨迹的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x+2|，记f（x）的最小值为m．（Ⅰ）解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）若正实数a，b满足＝，求证：≥2m．【分析】（Ⅰ）由题意结合不等式的性质零点分段求解不等式的解集即可；（Ⅱ）首先确定m的值，然后利用柯西不等式即可证得题中的不等式．解：（Ⅰ）①当x＞1时，f（x）＝（x﹣1）+（x+2）＝2x+1≤5，即x≤2，∴1＜x≤2；②当﹣2≤x≤1时，f（x）＝（1﹣x）+（x+2）＝3≤5，∴﹣2≤x≤1；③当x＜﹣2时，f（x）＝（1﹣x）﹣（x+2）＝﹣2x﹣1≤5，即x≥﹣3，∴﹣3≤x＜﹣2．综上所述，原不等式的解集为{x|﹣3≤x≤2}；（Ⅱ）∵f（x）＝|x﹣1|+|x+2|≥|（x﹣1）﹣（x+2）|＝3，当且仅当﹣2≤x≤1时，等号成立．∴f（x）的最小值m＝3．∴≥，即，当且仅当即3a＝2b时，等号成立．又，∴a＝，b＝时，等号成立．∴≥2m．。

重庆市育才中学2020届高三下学期3月月考数学（文)试题第I 卷（选择题)一、单选题1．若集合{}2|log 1M x x =<，集合{}2|10N x x =-≤，则M N =I （ ） A ．{}12x x ≤<B ．{}|12x x -≤<C ．{}11x x -<≤D ．{}|01x x <≤ 2．设31i z i =+（i 为虚数单位），则z =（ ）A B C ．12 D ．23．已知向量()2,3AB =u u u r ，()1,3BC t =-u u u r ，//AB AC u u u r u u u r ，则t =（ ）A ．32B ．92C ．73D ．1134．设5log 6a =，0.3log 2b =，2c e -=，则（ ）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．a b c >> 5．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A B C ．0 D ．6．设函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（ ） A ．()f x 的一个周期为2πB ．()f x 的图形关于直线8x π=对称 C ．()f x 的一个零点为8x π=-D ．()f x 在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 7．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，2n a n b =且1317b b +=，2468b b +=，则10S =( )A ．90B ．100C ．110D ．1208．已知直线m ，n 与平面α，β，下列命题正确的是（ ）A ．m αP ，n βP 且αβ∥，则m n PB ．m α⊥，n βP 且αβ⊥，则m n ⊥C ．m αβ=I ，m n ⊥且αβ⊥，则n α⊥D ．m α⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥ 9．已知函数()2f x x ln x =-，则函数的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．10．中国明代数学家程大位的著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第四天比第六天多走了( )A ．24里B ．18里C ．12里D ．6里11．过球的一条半径的中点，作与该半径所在直线成30°的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（ ）A ．15256B ．45256C ．1564D ．456412．已知奇函数()f x 是定义在R 上的单调函数，若函数2()()(2||)g x f x f a x =+-恰有4个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．(1)-∞，B ．(1)+∞，C ．(01]，D ．(01)，第II 卷（非选择题)二、填空题13．已知函数()ln f x x x =，则曲线()y f x =在点e x =处切线的倾斜角的余弦值为__________．14．设(()ln f x x =，若()f a =()f a -=______.15．若椭圆2214x y m+=上一点到两个焦点的距离之和为3m -，则此椭圆的离心率为__________．16．已知函数()2ln xf x x x =-，有下列四个命题：①函数()f x 是奇函数；②函数()f x 在()(),00,-∞⋃+∞是单调函数；③当0x >时，函数()0f x >恒成立；④当0x <时，函数()f x 有一个零点，其中正确的是____________三、解答题17．如图，ABCD 是边长为2的菱形，60DAB ∠=︒，EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，24EB FD ==.（1）求证：EF AC；（2）求几何体EFABCD的体积.18．已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a、b、c，且2a cosC=2b-c．（1）求角A的大小；（2）若AB=3，AC边上的中线BD△ABC的面积．19．在某区“创文明城区”（简称“创城”）活动中，教委对本区,,,A B C D四所高中学校按各校人数分层抽样，随机抽查了100人，将调查情况进行整理后制成下表：（注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值）假设每名高中学生是否参与”创城”活动是相互独立的.（1）若该区共2000名高中学生，估计A学校参与“创城”活动的人数；（2）在随机抽查的100名高中学生中，随机抽取1名学生，求恰好该生没有参与“创城”活动的概率；（3）在上表中从,B C两校没有参与“创城”活动的同学中随机抽取2人，求恰好,B C 两校各有1人没有参与“创城”活动的概率是多少？20．已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点A(0,1)，右焦点到直线x=a2c的距离为√33．（1）求椭圆E的标准方程（2）过点A作两条互相垂直的直线l1，l2分别交椭圆于M，N两点．求证：直线MN恒过定点P (0,−35)．21．已知函数()2x x x e f x =+-，()2g x x ax b =++，,a b ∈R . （1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若()()f x g x ≥恒成立，求+a b 的最大值.22．已知直线l 的极坐标方程是πsin()03ρθ-=,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系,曲线C 的参数方程是2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩,（α为参数）.（1）求直线l 被曲线C 截得的弦长；（2）从极点作曲线C 的弦,求各弦中点轨迹的极坐标方程.23．已知函数f(x)=|x −1|+|x +2|，记f(x)的最小值为m .（Ⅰ）解不等式f(x)≤5；（Ⅱ）若正实数a ，b 满足1a +1b =√5，求证：2a 2+3b 2≥2m .参考答案1．D【解析】由题意得(0,2),[1,1],(0,1]M N M N ==-⋂=，选D.2．A【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求模即可． 详解：∵复数()()()311,11112i i i i i z i i i i ⋅+-+====+--⋅+Q122i z -+∴== ．． 故选A.点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 3．B【解析】【分析】先求得AC u u u r ,再由//AB AC u u u r u u u r 求解即可.【详解】由题,()3,AC AB BC t =+=u u u r u u u r u u u r ,因为//AB AC u u u r u u u r ,所以233t =⨯,则92t =, 故选:B【点睛】本题考查向量加法的坐标表示,考查已知向量平行求参数.4．C【解析】【分析】借助0,1,使,,a b c 与0,1比较大小,即可得到结果.【详解】由题,55log 6log 51a =>=,0.30.3log 2log 10b =<=,2001c e e -<=<=,所以10a c b >>>>,故选:C【点睛】本题考查指数、对数比较大小,考查指数函数、对数函数的单调性的应用.5．A【解析】试题分析：第一次循环：1a S ==,第二次循环：2a S ==30,a S ==第四次循环：4a S ==第五次循环：50a S ==,第六次循环：20,0a S ==,第七次循环：2a S ==第八次循环：8a S ==此时98i =>，结束循环，输出S = A.考点：循环结构流程图6．D【解析】逐一考查所给的选项：函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，则函数的周期为：()*T k k N π=∈，取2k =可得函数的一个周期为2π； 函数图象的对称轴满足：()242x k k Z πππ+=+∈，则：()28k x k Z ππ=+∈， 令0k =可得函数的一条对称轴为8x π=； 函数的零点满足：()24x k k Z ππ+=∈，则：()28k x k Z ππ=-∈， 令0k =可得函数的一个零点为8x π=-；若0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则32,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则函数在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上不具有单调性； 本题选择D 选项.7．A【解析】分析：{}n b 是等比数列，因此把两已知等式相除可化简.详解：设{}n a 公差为d ，32413311241322226824222217a d a a a d d a a a ab b b b +++++=====+++，∴2d =， 3111213222217a a a a d b b ++=+=+=，121a =，10a =， ∴1011091091029022S a d ⨯⨯=+=⨯=， 故选A.点睛：等差数列与等比数列之间通过函数的变换可以相互转化，如{}n a 是等差数列，则{}n a a 是等比数列，如{}n a 是等比数列且均为正，则{}log a n a 是等差数列.8．D【解析】【分析】对于立体几何中的线线、线面、面面关系的判定可列举反例从而说明不正确即可.【详解】选项A ，由面面平行的性质定理知，m 与n 可能相交，故A 不对;选项B ，m α⊥，n βP 且αβ⊥，m 与n 可能平行，故B 不对;选项C ，由面面垂直的性质定理知，必须有m n ⊥，n β⊂ 时，n α⊥，否则不成立，故C 不对；选项D ，由n β⊥且αβ⊥，得n ⊂α或n αP ，又因m α⊥，则m n ⊥.故D 正确.故选：D .【点睛】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系,以及空间中直线与平面之间的位置关系和平面与平面之间的位置关系,属于基础题.9．A【解析】【分析】根据函数的奇偶性和特殊值进行排除可得结果．【详解】由题意()()2ln f x x x f x -=-=， 所以函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除C 、D ；又()211ln110f =-=>，所以排除B ． 故选A ．【点睛】已知函数的解析式判断图象的大体形状时，可根据函数的奇偶性，判断图象的对称性：如奇函数在对称的区间上单调性一致，偶函数在对称的区间上单调性相反，这是判断图象时常用的方法之一．10．B【解析】根据题意,设此人每天所走的路程为{}n a ,其首项为1a ,即此人第一天走的路程为1a ,又从第二天起每天走的路程为前一天的一半，则{}n a 是以1a 为首项, 12为公比的等比数列,又166112378112a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-,解得1192a =,则4635511192319219218222a a ⨯-=⨯-⨯==,故选B.11．C【解析】 【分析】由题画出图形可得1OO ⊥截面,则130OBO ∠=︒,利用1Rt OBO V求得1OO ,再利用1Rt OCO V 求得1CO ,进而求解即可.【详解】由题画出图形,设球心为O ,则OA 为一条半径,B 为OA 中点,过点B 的平面与OA 所成角为30°,截面的圆心为1O ,截面与球一交点为C ,则130OBO ∠=︒,1OO ⊥截面,则11OO BO ⊥,11OO CO ⊥,设OA OC r ==,则12OB r =,11sin 304OO OB r =⋅︒=, 所以在1Rt OO C V中,22211CO CO OO =-,则1CO =,所以所得截面的面积与球的表面积的比为2215464r ππ⎫⎪⎝⎭=,故选:C 【点睛】本题考查球中的截面问题,考查球的表面积问题,考查线面夹角的应用,考查空间想象能力. 12．D 【解析】 【分析】利用函数与方程的关系，由函数的奇偶性和单调性，进行转化，利用参数分离法进行求解即可． 【详解】∵g （﹣x ）＝f （x 2）+f （a ﹣2|x |）＝g （x ），∴g （x ）是偶函数， 若g （x ）＝f （x 2）+f （a ﹣2|x |）恰有4个零点， 等价于当x ＞0时，g （x ）有两个不同的零点，∵f （x ）是奇函数，∴由g （x ）＝f （x 2）+f （a ﹣2|x |）＝0， 得f （x 2）＝﹣f （a ﹣2|x |）＝f （2|x |﹣a ），∵f （x ）是单调函数，∴x 2＝2|x |﹣a ，即﹣a ＝x 2﹣2|x |， 当x ＞0时，﹣a ＝x 2﹣2|x |=x 2﹣2x 有两个根即可， 设h （x ）＝x 2﹣2x ＝（x ﹣1）2﹣1， 要使当x ＞0时，﹣a ＝x 2﹣2|x |有两个根， 则﹣1＜﹣a ＜0，即0＜a ＜1， 即实数a 的取值范围是（0，1）， 故选：D【点睛】本题考查函数与方程的应用，利用参数分离法，结合数形结合是解决本题的关键．13 【解析】因为()ln f x x x =，所以()ln 1f x x '=+，所以()2f e '=，即tan 2k α==，且[0,)απ∈，则cos 5α=，所以曲线()y f x =在点x e =.14．【解析】∵()(ln f x x =为奇函数，()f a =∴()()f a f a -=-=故答案为15【解析】当4m <时，由椭圆定义知34m -=，解得7m =，不符合题意，当4m >时，由椭圆定义知3m -=9m =，所以c e a ===点睛：本题由于不知道椭圆的焦点位置，因此必须进行分类讨论，分析椭圆中22,a b 的取值，从而确定c,计算椭圆的离心率. 16．③④ 【解析】 【分析】①根据()f x -与()f x 的关系即可判断；②当0x >时,()2ln xf x x x=-,对()f x 求导可得()3221ln 21ln 2x x x f x x x x--+'=-=,设()321ln h x x x =-+,显然()h x 连续,利用零点存在性定理可得存在1301,12x ⎛⎫⎛⎫⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,使得()00h x =,即可判断0x >时()f x 的单调性,进而判断②；由②可知当0x >时,()0f x 为()f x 的最小值,判断()00f x >是否成立即可判断③；利用零点存在性定理即可判断④. 【详解】由题,()f x 的定义域为()(),00,-∞+∞U ,①()()22ln ln x x f x x x x x-=--=+-,且()()220f x f x x +-=≠,所以()f x 不是奇函数,故①错误；②()()22ln ,0ln ,0x x x x f x x x x x ⎧->⎪⎪=⎨-⎪-<⎪⎩,当0x >时,()2ln x f x x x =-,则()3221ln 21ln 2x x xf x x x x --+'=-=, 令()321ln h x x x =-+,则()110h =>,13111ln 0232h ⎛⎫⎛⎫ ⎪=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以存在1301,12x ⎛⎫⎛⎫⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,使得()00h x =,所以当()00,x x ∈时,()0f x ¢<,()f x 是单调减函数；当()0,x x ∈+∞时,()0f x ¢>,()f x 是单调增函数,所以②错误；③由②可知,当0x x =时,()f x 在()0,+?上有最小值,且302ln 10xx +-=,所以20000ln 12x x x x =-, 因为()2222000000000ln 1123x f x x x x x x x x ⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭, 由130112x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭,则30112x <<,即303332x <<, 所以3200031130x x x x --=>, 所以当0x >时,()0f x >恒成立,故③正确； ④当0x <时,()()2ln x f x x x-=-,且()110f -=>,2110f e e e⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭,所以()f x 在11,e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭内有一个零点,故④正确. 故答案为:③④ 【点睛】本题考查函数奇偶性的判断,考查利用导函数判断函数的单调性,考查利用导函数处理不等式恒成立问题.17．（1）详见解析；（2）【解析】 【分析】（1）由FD ⊥平面ABCD ,EB ⊥平面ABCD 可得//EB FD ,则E ,F ,D ,B 四点共面,先证得AC ⊥平面EFDB ,再证明EF AC ⊥即可；（2）由菱形的性质及60DAB ∠=︒,可求得BD ,AO ,CO ,由（1）可知四边形EFDB 为直角梯形,再利用 C EFDB A EFDB EFABCD V V V --=+几何体求解即可. 【详解】（1）证明:如图,连接BD ,交AC 于O ,FD ⊥Q 平面ABCD ,EB ⊥平面ABCD ,//EB FD ∴,E ∴,F ,D ,B 四点共面,AC ⊂Q 平面ABCD ,AC EB ∴⊥,设DB AC O =I ,Q 四边形ABCD 为菱形,AC DB ∴⊥,DB EB B ⋂=Q ,AC ∴⊥平面EFDB ,EF ⊂Q 平面EFDB ,AC EF ∴⊥（2）//EB FD Q ,EB BD ⊥,∴四边形EFDB 为直角梯形, 在菱形ABCD 中,60DAB ∠=︒,2AB =,∴2BD =,AO CO ==∴梯形EFDB 的面积(24)262S +⨯==, AC ⊥Q 平面EFDB ,C EFDB A EFDB EFABCD V V V --∴=+几何体11··33S AO S CO =+=【点睛】本题考查线面垂直的性质的应用,考查线线垂直的证明,考查几何体的体积,考查运算能力.18．（1）A=π3；（2）【解析】 【分析】（1）先根据正弦定理化边为角，再利用三角形内角关系以及两角和正弦公式化简得cosA=12，即得结果，（2）根据余弦定理求AD ，再根据三角形面积公式得结果. 【详解】（1）∵2a cosC=2b-c ，由正弦定理可得：sinAcosC+12sinC=sinB ， ∴sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC ．∴12sinC=cosAsinC ，∵sinC≠0，∴cosA=12， ∴由A ∈（0，π），可得角A=π3；（2）在△ABD 中，AB=3，cosA=12，由余弦定理可得：13=9+AD 2-3AD ，解得：AD=4（负值舍去），∵BD 为AC 边上的中线，∴D 为AC 的中点，∴AC=2AD=8，∴S △ABC =12AB•AC•sinA=1382⨯⨯ 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 19．（1）800；（2）1350；（3）13【解析】 【分析】（1）根据总数、频数与频率关系求结果，（2）根据总数、频数与频率关系求概率，（3）利用枚举法确定总事件数以及所求事件包含事件数，最后根据古典概型概率公式求解. 【详解】（1）A 学校高中生的总人数为1005010002000÷=人 A 学校参与“创城”活动的人数为40100080050⨯=人（2）设恰好该生没有参与“创城”活动这一事件为M ， 则()261310050P M == （3）B 校这5人分别记为12345,,,,A A A A A ，C 校这1人记为1B ， 任取2人共15种情况，如下：121314111523242125343135414515,,,,,,,,,,,,,,A A A A A A A B A A A A A A A B A A A A A B A A A B A A B A设事件N 为抽取2人中,B C 两校各有1人参与”创城”活动， 则()51153P C == 【点睛】本题考查总数、频数与频率关系以及古典概型概率，考查分析求解能力，属基础题. 20．（1）x 24+y 2=1（2）见证明【解析】 【分析】(1)由题意列出关于a,b,c 的方程组，解得a,b 的值，即可得椭圆的标准方程.(2)设出直线l 1,l 2的方程，代入椭圆方程，可求得点M,N 的坐标，由k MP =k NP 即可证得直线MN 恒过定点P . 【详解】 （1）由题意知，a 2c−c =√33，b =1，a 2=b 2+c 2，解得a =2，b =1，c =√3． 所以椭圆的标准方程为x 24+y 2=1．（2）证明：显然直线l 1,l 2的斜率存在． 设直线l 1的方程为y =kx +1，联立方程组{y =kx +1,x 24+y 2=1,得(4k 2+1)x 2+8kx =0， 解得x 1=−8k4k +1，x 2=0， 所以x M =−8k4k 2+1，y M =1−4k 24k 2+1．由l 1,l 2垂直，可得直线l 2的方程为y =−1k x +1. 用−1k 替换前式中的k ，可得x N =8k k 2+4，y N =k 2−4k 2+4.则k MP =1−4k 24k 2+1+35−8k4k 2+1=−8k 25+85−8k =k 2−15k ，k NP =k 2−4k 2+4+358kk 2+4=8k 25−858k =k 2−15k，所以k MP =k NP ，故直线MN 恒过定点P(0,−35)． 【点睛】本题考查椭圆的综合问题.求椭圆方程的方法一般是解关于a,b 的方程组，是简单题. 要证明过两点的直线恒过第三点，相当于证明三点共线，可由用任意两点求得的斜率相等来证.21．（1）1y =；（2）1e -. 【解析】【分析】（1）先对()f x 求导,再求得()0f ',即为切线斜率,进而可求得切线方程；（2）设()()()()1xh x f x g x e a x b =-=-+-,求导可得()()1x h x e a '=-+,通过讨论a 的范围,问题转化为()()()11ln 1b a a a ≤+-++恒成立,得到()()()211ln 11a b a a a +≤+-++-,令()2ln 1G x x x x =--,0x >,根据函数的单调性求出+a b 的最大值即可.【详解】解:（1）因为()e 21xf x x '=+-,所以()00f '=,又()01f =,所以该切线方程为1y =（2）设()()()()1xh x f x g x e a x b =-=-+-,则()0h x ≥恒成立,易得()()1xh x e a '=-+,（i ）当10a +≤时,()0h x '>,此时()h x 在R 上单调递增, ①若10a +=,则当0b ≤时满足()0h x ≥恒成立, 此时1a b +≤-；②若10a +<,取00x <且011bx a -<+， 此时()()()000111101xbh x e a x b a b a -=-+-<-+-=+,所以()0h x ≥不恒成立,不满足条件.（ii ）当10a +>时,令()0h x '=,得()ln 1x a =+,当()0h x '>时,()ln 1x a >+；当()0h x '<时,()ln 1x a <+. 所以()h x 在()(),ln 1a -∞+上单调递减,在()()ln 1,a ++∞上单调递增.要使()()10xh x e a x b =-+-≥恒成立,必须有当()ln 1x a =+时,()()()()()ln 111ln 10h a a a a b +=+-++-≥恒成立,所以()()()11ln 1b a a a ≤+-++,故()()()211ln 11a b a a a +≤+-++-,令()2ln 1G x x x x =--,0x >,则()1ln G x x '=-, 令()0G x '=,得x e =,当()0G x '>时,得0x e <<；当()0G x '<时,得x e >,所以()G x 在()0,e 上单调递增,在(),e +∞上单调递减, 所以当x e =时,()G x 的值最大,()max 1G x e =-,1a b e ∴+≤-从而,当1a e =-,0b =时,+a b 的值最大为1e -, 综上,+a b 的最大值为1e - 【点睛】本题考查求在某点处的切线方程,考查利用导函数处理函数恒成立问题,考查分类讨论思想,考查运算能力.22．（1）（2）2sin (0)ρθρ=≠. 【解析】 【分析】（1）求得直线l 和曲线C 的直角坐标方程，利用弦长=求得弦长.（2）根据曲线C 的参数方程，求得中点的参数方程，消去参数后求得中点轨迹的直角坐标方程，并转化为极坐标方程. 【详解】（1）由题意可知,直线l 的直角坐标系方程是y =, 曲线C 的普通方程是22(2)4x y +-=, 则圆心C 到直线l 的距离1d ==,故所求的弦长是=（2）从极点作曲线C 的弦,弦的中点的轨迹'C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩,（α为参数）, 且3π3π[0,)(,2π)22α∈⋃,其普通方程为22(1)1(0)x y y +-=≠, 极坐标方程为22sin 0ρρθ-=,化简得2sin (0)ρθρ=≠.【点睛】本小题主要考查参数方程、直角坐标方程和极坐标方程的相互转化，考查直线和圆相交所得弦长计算，考查中点的轨迹方程的求法，属于中档题.23．（Ⅰ）{x|−3≤x ≤2}（Ⅱ）见证明【解析】【分析】(Ⅰ)由题意结合不等式的性质零点分段求解不等式的解集即可；(Ⅱ)首先确定m 的值，然后利用柯西不等式即可证得题中的不等式.【详解】（Ⅰ）①当x >1时，f(x)=(x −1)+(x +2)=2x +1≤5，即x ≤2，∴1<x ≤2；②当−2≤x ≤1时，f(x)=(1−x)+(x +2)=3≤5，∴−2≤x ≤1；③当x <−2时，f(x)=(1−x)−(x +2)=−2x −1≤5，即x ≥−3，∴−3≤x <−2.综上所述，原不等式的解集为{x|−3≤x ≤2}.（Ⅱ）∵f(x)=|x −1|+|x +2|≥|(x −1)−(x +2)|=3，当且仅当−2≤x ≤1时，等号成立.∴f(x)的最小值m =3.∴[(√2a )2+(√3b )2][(√2)2+(√3)2]≥(√2a √2+√3b √3)2=5，即2a 2+3b 2≥6， 当且仅当√2a ×3=√3b 2即3a =2b 时，等号成立. 又1a +1b =√5，∴a =√53，b =√52时，等号成立.∴2a2+3b2≥2m.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，柯西不等式及其应用，绝对值三角不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。

2020年高考模拟高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、选择题1．若集合M＝{x|log2x＜1}，集合N＝{x|x2﹣1≤0}，则M∩N＝（）A．{x|1≤x＜2}B．{x|﹣1≤x＜2}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|0＜x≤1} 2．设（i为虚数单位），则|z|＝（）A．B．C．D．23．已知向量，，，则t＝（）A．B．C．D．4．设a＝log56，b＝log0.32，c＝e﹣2，则（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c 5．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．B．C．0D．6．设函数f（x）＝sin（2x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为πB．f（x）的图象关于直线x＝对称C．f（x）的一个零点为x＝﹣D．f（x）在区间（0，）上单调递减7．已知等差数列{a n}的前n项为S n，b n＝且b1+b3＝17，b2+b4＝68，则S10＝（）A．90B．100C．110D．1208．已知直线m、n与平面α、β，下列命题正确的是（）A．m⊥α，n∥β且α⊥β，则m⊥n B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nC．α∩β＝m，n⊥m且α⊥β，则n⊥αD．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n9．已知函数f（x）＝x2﹣ln|x|，则函数y＝f（x）的大致图象是（）A．B．C．D．10．中国明代数学家程大位的著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第四天比第六天多走了（）A．24里B．18里C．12里D．6里11．过球的一条半径的中点，作与该半径所在直线成30°的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．12．已知奇函数f（x）是定义在R上的单调函数，若函数g（x）＝f（x2）+f（a﹣2|x|）恰有4个零点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（0，1]D．（0，1）二、填空题13．已知函数f（x）＝xlnx，则曲线y＝f（x）在点x＝e处切线的倾斜角的余弦值为．14．设f（x）＝ln（x+），若f（a）＝，则f（﹣a）＝．15．若椭圆上一点到两个焦点的距离之和为m﹣3，则此椭圆的离心率为．16．已知函数，有下列四个命题：①函数f（x）是奇函数；②函数f（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）是单调函数；③当x＞0时，函数f（x）＞0恒成立；④当x＜0时，函数f（x）有一个零点，其中正确的是三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，ABCD是边长为2的菱形，EB⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，EB＝2FD＝4．（1）求证：EF⊥AC；（2）求几个体EFABCD的体积．18．已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a、b、c，且2a cos C＝2b﹣c．（1）求角A的大小；（2）若AB＝3，AC边上的中线BD的长为，求△ABC的面积．19．在某区“创文明城区”（简称“创城”）活动中，教委对本区A，B，C，D四所高中学校按各校人数分层抽样，随机抽査了100人，将调查情况进行整理后制成如表：学校A B C D 抽查人数50151025“创城”活动中参与的人数4010915（注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值）假设每名高中学生是否参与”创城”活动是相互独立的．（Ⅰ）若该区共2000名高中学生，估计A学校参与“创城”活动的人数；（Ⅱ）在随机抽查的100名高中学生中，随机抽取1名学生，求恰好该生没有参与“创城”活动的概率；（Ⅲ）在表中从B，C两校没有参与“创城”活动的同学中随机抽取2人，求恰好B，C 两校各有1人没有参与“创城”活动的概率是多少？20．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）经过点A（0，1），右焦点到直线x＝的距离为．（1）求椭圆E的标准方程；（2）过点A作两条互相垂直的直线l1，l2分别交椭圆于M，N两点，求证：直线MN恒过定点P（0，﹣）．21．已知函数f（x）＝e x+x2﹣x，g（x）＝x2+ax+b，a，b∈R．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求a+b的最大值．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）＝0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程是（α为参数）．（Ⅰ）求直线l被曲线C截得的弦长；（Ⅱ）从极点作曲线C的弦，求各弦中点轨迹的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x+2|，记f（x）的最小值为m．（Ⅰ）解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）若正实数a，b满足＝，求证：≥2m．参考答案一、选择题1．若集合M＝{x|log2x＜1}，集合N＝{x|x2﹣1≤0}，则M∩N＝（）A．{x|1≤x＜2}B．{x|﹣1≤x＜2}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|0＜x≤1}【分析】化简集合M、N，根据交集的定义写出M∩N即可．解：集合M＝{x|log2x＜1}＝{x|0＜x＜2}，集合N＝{x|x2﹣1≤0}＝{x|﹣1≤x≤1}，则M∩N＝{x|0＜x≤1}．故选：D．2．设（i为虚数单位），则|z|＝（）A．B．C．D．2【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．解：设＝＝＝＝﹣+i，∴|z|＝＝，故选：A．3．已知向量，，，则t＝（）A．B．C．D．【分析】根据题意，求出向量的坐标，进而由向量平行的坐标表示方法计算可得答案．解：根据题意，向量＝（2，3），＝（1，t﹣3），则＝（3，t），又由，则2t＝9，解可得t＝；故选：B．4．设a＝log56，b＝log0.32，c＝e﹣2，则（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．解：∵log56＞log55＝1，∴a＞1，∵log0.32＜log0.31＝0，∴b＜0，∵0＜e﹣2＜1，∴0＜c＜1，∴a＞c＞b，故选：C．5．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．B．C．0D．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：当i＝1时，执行完循环体后：S＝，满足继续循环的条件，故i＝2；当i＝2时，执行完循环体后：S＝，满足继续循环的条件，故i＝3；当i＝3时，执行完循环体后：S＝，满足继续循环的条件，故i＝3；当i＝4时，执行完循环体后：S＝，满足继续循环的条件，故i＝5；当i＝5时，执行完循环体后：S＝0，满足继续循环的条件，故i＝6；当i＝6时，执行完循环体后：S＝0，满足继续循环的条件，故i＝7；当i＝7时，执行完循环体后：S＝，满足继续循环的条件，故i＝8；当i＝8时，执行完循环体后：S＝，满足继续循环的条件，故i＝9；当i＝9时，执行完循环体后：S＝，不满足继续循环的条件，故输出结果为，故选：A．6．设函数f（x）＝sin（2x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为πB．f（x）的图象关于直线x＝对称C．f（x）的一个零点为x＝﹣D．f（x）在区间（0，）上单调递减【分析】根据正弦函数的周期性、单调性以及图象的对称性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．解：对于函数f（x）＝sin（2x+），它的周期为＝π，故A正确；令x＝，求得f（x）＝1，为函数的最大值，故f（x）的图形关于直线x＝对称，故B正确；令x＝﹣，求得f（x）＝0，故f（x）的一个零点为x＝﹣，故C正确；在区间（0，）上，2x+∈（，），故函数f（x）没有单调性，故D错误，故选：D．7．已知等差数列{a n}的前n项为S n，b n＝且b1+b3＝17，b2+b4＝68，则S10＝（）A．90B．100C．110D．120【分析】等差数列{a n}的公差设为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，再由等差数列求和公式计算可得所求值．解：等差数列{a n}的公差设为d，前n项为S n，b n＝且b1+b3＝17，b2+b4＝68，可得+＝17，+＝68，解得a1＝0，d＝2，则S10＝10a1+×10×9d＝0+45×2＝90，故选：A．8．已知直线m、n与平面α、β，下列命题正确的是（）A．m⊥α，n∥β且α⊥β，则m⊥n B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nC．α∩β＝m，n⊥m且α⊥β，则n⊥αD．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n【分析】利用空间中线线、线面、面面的判定定理及其性质定理，即可得出结论．解：对于A，m⊥α，n∥β且α⊥β，则m∥n，故不正确；对于B，由m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m与n一定不平行，否则有α∥β，与已知α⊥β矛盾，通过平移使得m与n相交，且设m与n确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α与β所成的角，因为α⊥β，所以m与n所成的角为90°，故命题正确；对于C，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，利用面面垂直的性质定理即可得出：n⊥α，因此不正确；对于D，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，A1D1∥平面ABCD，AD∥平面A1B1C1D1，A1D1∥AD；EP∥平面ABCD，PQ∥平面A1B1C1D1，EP∩PQ＝P；A1D1∥平面ABCD，PQ∥平面A1B1C1D1，A1D1与PQ异面．综上，直线m，n与平面α，β，m∥α，n∥β且α∥β，则直线m，n的位置关系为平行或相交或异面．故选：B．9．已知函数f（x）＝x2﹣ln|x|，则函数y＝f（x）的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】判断f（x）的奇偶性和单调性，计算极值，从而得出函数图象．解：f（﹣x）＝（﹣x）2﹣ln|﹣x|＝x2﹣ln|x|＝f（x），∴f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除D；当x＞0时，f（x）＝x2﹣lnx，f′（x）＝2x﹣＝，∴当0＜x＜时，f′（x）＜0，当x＞时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，排除C，当x＝时，f（x）取得最小值f（）＝﹣ln＞0，排除B，故选：A．10．中国明代数学家程大位的著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第四天比第六天多走了（）A．24里B．18里C．12里D．6里【分析】由题意可得：该人每天所走的路程为等比数列{a n}，其中S6＝378，q＝．利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．解：由题意可得：该人每天所走的路程为等比数列{a n}，其中S6＝378，q＝．∴＝378，解得a1＝192，∴a4﹣a6＝192×＝18里．故选：B．11．过球的一条半径的中点，作与该半径所在直线成30°的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．【分析】画出大圆，过半径的中点A做截面与半径所得直线成30°的角，可得线线角为30°，如图可得AE的值，在三角形ACO中，由余弦定理可得AC，进而可得截面圆的半径，进而求出所得截面的面积与球的表面积的比值．解：画大圆O，设半径为R，取半径OB的中点A，过A做截面，CD为直径，取中点E，连接OE，OE⊥截面CD，由题意可得∠OAE＝30°，所以AE＝OA＝＝，在三角形OAC中，OC2＝OA2+AC2﹣2•OA•AC•cos∠OAC，即R2＝（）2+AC2﹣2•AC•cos150°，整理可得：4AC2+2•AC﹣3R2＝0，解得：AC＝＝R，所以CE＝AC+AE＝R+R＝R，所以所得截面的面积与球的表面积的比为＝，故选：C．12．已知奇函数f（x）是定义在R上的单调函数，若函数g（x）＝f（x2）+f（a﹣2|x|）恰有4个零点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（0，1]D．（0，1）【分析】由函数的奇偶性、单调性得：x2﹣2|x|+a＝0有4个根，由二次方程的区间根问题得：x2﹣2x+a＝0有2个不等正根，即，解得：0＜a＜1，得解．解：由奇函数f（x）是定义在R上的单调函数，令f（x2）+f（a﹣2|x|）＝0，由函数g（x）＝f（x2）+f（a﹣2|x|）恰有4个零点，则x2﹣2|x|+a＝0有4个根，则x2﹣2x+a＝0有2个不等正根，即，解得：0＜a＜1，即a的取值范围是0＜a＜1，故选：D．二、填空题13．已知函数f（x）＝xlnx，则曲线y＝f（x）在点x＝e处切线的倾斜角的余弦值为．【分析】求导f′（x），求出切线的斜率；从而求切线的倾斜角．解：∵f（x）＝lnx+1，f′（e）＝lne+1＝2；故曲线y＝f（x）在x＝e处的切线的倾斜角θ的正切函数值为：tanθ＝2．所以曲线y＝f（x）在点x＝e处切线的倾斜角θ的余弦值为：cosθ＝＝＝．故答案为：．14．设f（x）＝ln（x+），若f（a）＝，则f（﹣a）＝．【分析】可求出f（﹣x）＝﹣f（x），从而可求出f（﹣a）＝﹣f（a）＝．解：＝；∴．故答案为：．15．若椭圆上一点到两个焦点的距离之和为m﹣3，则此椭圆的离心率为．【分析】根据题意，按椭圆的焦点位置分2种情况讨论，结合椭圆的定义分析可得m的值，即可得椭圆的标准方程为：+＝1，据此求出a、b、c的值，由椭圆的离心率公式计算可得答案．解：根据题意，对于椭圆，分2种情况讨论：①，椭圆的焦点在x轴上，有4＞m，则a＝＝2，若椭圆上一点到两个焦点的距离之和为m﹣3，则有2a＝m﹣3＝4，解可得m＝7，又由4＞m，m＝7不合题意，舍去；②，椭圆的焦点在y轴上，有4＜m，则a＝，若椭圆上一点到两个焦点的距离之和为m﹣3，则有2a＝m﹣3＝2，解可得：m＝9或m＝﹣1（舍）故m＝9，椭圆的标准方程为：+＝1，则a＝3，b＝2，则c＝，则椭圆的离心率e＝；故答案为：．16．已知函数，有下列四个命题：①函数f（x）是奇函数；②函数f（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）是单调函数；③当x＞0时，函数f（x）＞0恒成立；④当x＜0时，函数f（x）有一个零点，其中正确的是③④【分析】直接利用函数的性质来判定函数的定义域，奇偶性，及利用函数的求导求出函数的单调区间，利用分类讨论思想的应用求出函数的零点．解：函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）．由于函数f（﹣x）＝，且f（x）+f（﹣x）＝2x2≠0，所以函数f（x）不为奇函数．故①错误．对于②，函数f（x）＝，当x＞0时，，所以＝，令h（x）＝2x3﹣1+lnx，则h（1）＝1＞0，h（）＝．所以，存在，使得h（x0）＝0，所以x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，所以函数为单调递减函数．当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，所以函数为单调递增函数．故②错误．对于③，由②知：当x＝时，f（x）在（0，+∞）上有最小值．且，所以，则x＝x0时，y＝，由于，整理得，则，所以当x＞0时，f（x）＞0恒成立．故③正确．对于④：当x＜0时，，且f（﹣1）＝1＞0，f（）＝，所以函数f（x）在区间（﹣1，﹣）内有一个零点．故④正确．故答案为：③④三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，ABCD是边长为2的菱形，EB⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，EB＝2FD＝4．（1）求证：EF⊥AC；（2）求几个体EFABCD的体积．【分析】（1）如图，连接BD，利用线面垂直的性质定理可得：EB∥FD，即可得出E，F，D，B四点共面，利用线面垂直的性质定理、判定定理即可证明结论．（2）由EB∥FD，EB⊥BD，可得四边形EFDB为直角梯形，利用菱形的性质、梯形的面积计算公式、四棱锥的体积计算公式即可得出．解：（1）证明：如图，连接BD，∵FD⊥平面ABCD，EB⊥平面ABCD，∴EB∥FD，∴E，F，D，B四点共面，∵AC⊂平面ABCD，∴AC⊥EB．设DB∩AC＝O，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥DB．∵DB∩EB＝B，∴AC⊥平面EFDB，∵EF⊂平面EFDB，∴AC⊥EF．（2）∵EB∥FD，EB⊥BD，∴四边形EFDB为直角梯形，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，BD＝2，，∴梯形EFDB的面积，∵AC⊥平面EFDB，∴V几何体EFABCD＝V四棱锥C﹣EFDB+V四棱锥A﹣EFDB＝．18．已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a、b、c，且2a cos C＝2b﹣c．（1）求角A的大小；（2）若AB＝3，AC边上的中线BD的长为，求△ABC的面积．【分析】（1）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简方程，即可求角A的余弦值，得到A的值；（2）在△ABD中，由余弦定理可得3AD的值，进而求得AC＝2AD＝8，利用三角形的面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵2a cos C＝2b﹣c，由正弦定理可得：sin A cos C+sin C＝sin B，∴sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C．∴sin C＝cos A sin C，∵sin C≠0，∴cos A＝，∴由A∈（0，π），可得角A＝；…6分（2）在△ABD中，AB＝3，BD＝，cos A＝，由余弦定理可得：13＝9+AD2﹣3AD，解得：AD＝4（负值舍去），…9分∵BD为AC边上的中线，∴D为AC的中点，∴AC＝2AD＝8，∴S△ABC＝AB•AC•sin A＝＝6．…12分19．在某区“创文明城区”（简称“创城”）活动中，教委对本区A，B，C，D四所高中学校按各校人数分层抽样，随机抽査了100人，将调查情况进行整理后制成如表：学校A B C D 抽查人数50151025“创城”活动中参与的人数4010915（注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值）假设每名高中学生是否参与”创城”活动是相互独立的．（Ⅰ）若该区共2000名高中学生，估计A学校参与“创城”活动的人数；（Ⅱ）在随机抽查的100名高中学生中，随机抽取1名学生，求恰好该生没有参与“创城”活动的概率；（Ⅲ）在表中从B，C两校没有参与“创城”活动的同学中随机抽取2人，求恰好B，C 两校各有1人没有参与“创城”活动的概率是多少？【分析】（Ⅰ）根据抽查比例进行计算即可．（Ⅱ）根据古典概型的概率公式进行计算即可．（Ⅲ）利用列举法结合古典概型的概率公式进行计算即可．解：（I）A学校高中生的总人数为50÷＝1000人．A学校参与“创城”活动的人数为1000×＝800人（II）设恰好该生没有参与“创城”活动这一事件为M，则P（M）＝．（II）B校这5人分别记为A1，A2，A3，A4，A5，C校这1人记为B，任取2人共有A1A2，A1A3，A1A4，A1A5，A1B，A2A3，A2A4，A2B，A2A5，A3A4，A3B，A3A5，A4A5，A4B，A5B，15种情况，设事件N为抽取2人中B，C两校各有1人参与”创城”活动，则P（C）＝＝．20．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）经过点A（0，1），右焦点到直线x＝的距离为．（1）求椭圆E的标准方程；（2）过点A作两条互相垂直的直线l1，l2分别交椭圆于M，N两点，求证：直线MN恒过定点P（0，﹣）．【分析】（1）由题意知得b，，结合隐含条件求得a，则椭圆C的标准方程可求．（2）设直线l1的方程为y＝kx+1，联立直线方程与椭圆方程，求得M坐标，同理求得N 的坐标，推导出直线MP与直线NP的斜率相等，从而得到M，N，P三点共线，并证明直线MN恒过定点P（0，﹣）．【解答】（1）解：由题意知，b＝1，，又a2＝1+c2，解得a2＝4．∴椭圆的标准方程为．（2）证明：设直线l1的方程为y＝kx+1，联立，得（4k2+1）x2+8kx＝0，解得，x2＝0，∴，．同理可得，，则＝，，∴k MP＝k NP，故直线MN恒过定点P（0，﹣）．21．已知函数f（x）＝e x+x2﹣x，g（x）＝x2+ax+b，a，b∈R．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求a+b的最大值．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线斜率，进而可求切线方程；（2）构造函数h（x）＝f（x）﹣g（x），然后对h（x）求导，结合导数与单调性的关系对a进行分类讨论即可求解．解：（1）因为f'（x）＝e x+2x﹣1，所以f'（0）＝0．又f（0）＝1，所以该切线方程为y＝1（2）设h（x）＝f（x）﹣g（x）＝e x﹣（a+1）x﹣b，则h（x）≥0恒成立．易得h'（x）＝e x﹣（a+1）．（i）当a+1≤0时，h'（x）＞0，此时h（x）在R上单调递增．①若a+1＝0，则当b≤0时满足h（x）≥0恒成立，此时a+b≤﹣1；②若a+1＜0，取x0＜0且，此时，所以h（x）≥0不恒成立，不满足条件．（ii）当a+1＞0时，令h'（x）＝0，得x＝ln（a+1）．由h'（x）＞0，得x＞ln（a+1）；由h'（x）＜0，得x＜ln（a+1）．所以h（x）在（﹣∞，ln（a+1））上单调递减，在（ln（a+1），+∞）上单调递增．要使h（x）＝e x﹣（a+1）x﹣b≥0恒成立，必须有当x＝ln（a+1）时，h（ln（a+1））＝（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0恒成立．所以b≤（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）．故a+b≤2（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣1令G（x）＝2x﹣xlnx﹣1，x＞0，则G'（x）＝1﹣lnx．令G'（x）＝0，得x＝e．由G'（x）＞0，得0＜x＜e；由G'（x）＜0，得x＞e．所以G（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，所以当x＝e时，G（x）的值最大，G（x）max＝e﹣1．从而，当a＝e﹣1，b＝0时，a+b的值最大，为e﹣1．综上，a+b的最大值为e﹣1请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）＝0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程是（α为参数）．（Ⅰ）求直线l被曲线C截得的弦长；（Ⅱ）从极点作曲线C的弦，求各弦中点轨迹的极坐标方程．【分析】（I）直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）＝0，展开可得：＝0，化为直角坐标方程．曲线C的参数方程是（α为参数），利用平方关系消去参数α可得普通方程，求出圆心C到直线l的距离d，可得直线l被曲线C截得的弦长＝2．（II）设Q圆C上的任意一点，P（x，y）为线段OQ的中点，则Q（2x，2y），代入圆C的方程可得各弦中点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可．解：（I）直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）＝0，展开可得：＝0，化为：y﹣x＝0．曲线C的参数方程是（α为参数），消去参数α可得：x2+（y﹣2）2＝4，圆心C（0，2），半径r＝2．∴圆心C到直线l的距离d＝＝1，∴直线l被曲线C截得的弦长＝2＝2＝2．（II）设Q圆C上的任意一点，P（x，y）为线段OQ的中点，则Q（2x，2y），代入圆C的方程可得：（2x）2+（2y﹣2）2＝4，化为：x2+y2﹣2y＝0，可得ρ2﹣2ρsinθ＝0，即ρ＝2sinθ，即为各弦中点轨迹的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x+2|，记f（x）的最小值为m．（Ⅰ）解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）若正实数a，b满足＝，求证：≥2m．【分析】（Ⅰ）由题意结合不等式的性质零点分段求解不等式的解集即可；（Ⅱ）首先确定m的值，然后利用柯西不等式即可证得题中的不等式．解：（Ⅰ）①当x＞1时，f（x）＝（x﹣1）+（x+2）＝2x+1≤5，即x≤2，∴1＜x≤2；②当﹣2≤x≤1时，f（x）＝（1﹣x）+（x+2）＝3≤5，∴﹣2≤x≤1；③当x＜﹣2时，f（x）＝（1﹣x）﹣（x+2）＝﹣2x﹣1≤5，即x≥﹣3，∴﹣3≤x＜﹣2．综上所述，原不等式的解集为{x|﹣3≤x≤2}；（Ⅱ）∵f（x）＝|x﹣1|+|x+2|≥|（x﹣1）﹣（x+2）|＝3，当且仅当﹣2≤x≤1时，等号成立．∴f（x）的最小值m＝3．∴≥，即，当且仅当即3a＝2b时，等号成立．又，∴a＝，b＝时，等号成立．∴≥2m．。

重庆南开中学高2020级高三（下）3月考试数学试题（文科）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求，答案请涂写在答题卡上.1.复数421i z i -=+的虚部为( ) A. 1- B. 3- C. 1 D. 22.“a=1”是“函数()f x x a =-在区间[1, +∞)上为增函数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米．因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现高大约为（ ）A. 128.5米B. 132.5米C. 136.5米D. 110.5米4.已知1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭( ) A. 15 B. 23 C. 79- D. 595.已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin A B =，cos cos 2a B b A +=，a =则ABC ∆面积为（ ）A. B. C. D.6.若x ，y 满足约束条件02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则z x y =-的最大值为M ，最小值为m ，则M m -=（ ）A. 0B. 32C. -3D. 3 7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. 42B. 45C. 46D. 48 8.已知向量5168,77AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u v ，68,77AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u v ，D ，E 是线段BC 上两点，且15BD BC =u u u v u u u v ，13CE CB =u u u v u u u v ，则向量AD uuu v 与AE u u u v 的关系是（ ） A. 2AD AE =u u u v u u u vB. 12AD AE =u u u v u u u v C . AD AE ⊥u u u vu u u vD. AD uuu v 与AE u u u v 成60︒夹角 9.已知函数()cos 3x f x π=，根据下列框图，输出S 的值为( ) A. 670B. 16702C. 671D. 672 10.奇函数f （x ）在R 上存在导数()f x '，当x ＜0时，()f x '2x-＜f （x ），则使得（x 2﹣1）f （x ）＜0成立的x 的取值范围为（ ）A. （﹣1，0）∪（0，1）B. （﹣∞，﹣1）∪（0，1）C. （﹣1，0）∪（1，+∞）D. （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 11.在ABC ∆中，sin 3sin 2B C =，60BAC ∠=︒，D 是BC 的中点.若AE EC λ=u u u r u u u r ，且AD BE ⊥，则实数λ=（ ）A. 75B. 712C. 43D. 4712.如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥P ABCD -中，E 为侧棱PD 的中点，则异面直线PB 与CE 所成角的余弦值是（ ）A. 34B. 234C. 517D. 317第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）.13.已知集合{}2|60A x x x =--≤，{}|2B x x =≤，则A B =U ______.14.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若122n n S +=-，则n a =______. 15.已知椭圆2221x y a+=的左、右焦点为1F 、2F ，点1F 关于直线y x =-的对称点P 仍在椭圆上，则12PF F ∆的周长为__________．16.把函数sin2y x =的图象沿x 轴向左平移6π个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数()y f x =的图象，对于函数()y f x =有以下四个判断：①该函数的解析式为；2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； ②该函数图象关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称； ③该函数在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数；④函数()y f x a =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为3，则23a =． 其中，正确判断的序号是______．三、解答题（共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分.17.某工厂有两种日工资方案供员工选择，方案一规定每日底薪50元，计件工资每件3元；方案二规定每日底薪100元，若生产的产品数不超过44则没有计件工资，若超过则从第45件开始，计件工资每件5元.该工厂随机抽取100天的工人生产量的数据.将样本数据分为[)25,35，[)35,45，[)45,55，[)55,65，[)65,75，[)75,85，[]85,95七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）随机选取一天，估计这一天该工厂的人均生产量不少于65件的概率；（2）若甲、乙选择了日工资方案一，丙、丁选择了日工资方案二.现从上述4名工人中随机选取2人.求至少有1名工人选择方案一的概率；（3）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘工人做出日工资方案的选择，并说明理由.（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）18.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，4AB =，110BB =，D ，E 分别是线段1BB ，1AC 的中点.（1）求证：//DE 平面ABC ；（2）求三棱锥A DCE -的体积.19.已知首项为2的数列{}n a 满足11221n n n na a n +++=+. （1）证明：数列2n n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列． （2）令n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S . 20.已知抛物线C ：()220x py p =>，过焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且当直线l 倾斜角为45︒时，与抛物线相交所得弦的长度为8.（1）求抛物线C 的方程；（2）若分别过点A ，B 两点作抛物线C 的切线1l ，2l ，两条切线相交于点P ，点P 关于直线AB 的对称点Q ，判断四边形PAQB 是否存在外接圆，如果存在，求出外接圆面积的最小值；如果不存在，请说明理由. 21.已知函数()()ln 11f x x x a x =-++，a R ∈.（1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）若方程()()121120f x a a x x x⎛⎫-+++++= ⎪⎝⎭有三个解，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡相应题号处填涂，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 04πρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭. （1）将曲线1C 上各点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变）得到曲线2C ，求2C 的参数方程； （2）若M ，N 分别是直线l 与曲线2C 上的动点，求MN 的最小值.23.已知()|1||1|f x x ax =-++,()|1|2g x x =++（Ⅰ）若12a =,求不等式()2f x <的解集； （Ⅱ）设关于x 的不等式()()f x g x ≤的解集为A ,若集合(0,1]A ⊆,求a 的取值范围.重庆南开中学高2020级高三（下）3月考试数学试题（文科）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求，答案请涂写在答题卡上.1.复数421i z i -=+的虚部为( ) A. 1-B. 3-C. 1D. 2【答案】B【解析】【分析】利用复数的商的运算进行化简，然后由虚部的概念可得答案. 【详解】()()()()42142426131112i i i i z i i i i -----====-++-, 则复数z 的虚部为-3，故选B【点睛】本题考查复数的商的运算及有关概念，需要注意a+bi 的虚部为b ，不要误写为bi .2.“a=1”是“函数()f x x a =-在区间[1, +∞)上为增函数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 【详解】函数f (x )的单调增区间为[a ，＋∞)，减区间为(－∞，a ]，所以当a ＝1时，增区间为[1，＋∞)，所以在[2，＋∞)上也递增．当f (x )在区间[2，＋∞)上为增函数，则有a ≤2，所以a ＝1不一定成立．“a=1”是“函数()f x x a =-在区间[1, +∞)上为增函数”的充分不必要条件，故选A.3.埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米．因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现高大约为（ ）A. 128.5米B. 132.5米C. 136.5米D. 110.5米 【答案】C【解析】【分析】设出胡夫金字塔原高，根据题意列出等式，解出等式即可根据题意选出答案．【详解】胡夫金字塔原高为h ，则2304 3.141592h ⨯= ，即2304146.42 3.14159h ⨯=≈⨯米， 则胡夫金字塔现高大约为136.4米．故选C ．【点睛】本题属于数学应用题，一般设出未知数，再根据题意列出含未知数的等式，解出未知数，即可得到答案．属于常规题型．4.已知1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭( ) A. 15 B. 23 C. 79- D. 59【答案】C【解析】【分析】 利用三角函数的诱导公式化简得22cos(2)cos[(2)]cos[2()]336πππαπαα-=---=-+，再利用余弦的倍角公式，即可求解． 【详解】由题意，可得22cos(2)cos[(2)]cos(2)cos[2()]3336ππππαπααα-=---=-+=-+ 22172sin ()12()1639πα=+-=⨯-=-，故选C ． 【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式的化简、求值，其中解答中熟练应用三角函数的诱导公式和余弦倍角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 5.已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin A B =，cos cos 2a B b A +=，a =则ABC ∆面积为（ ）【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理得到2c =，再根据余弦定理得到3cos 4C =，再计算面积得到答案.【详解】sin 2sin A B =，故2a b ==()cos cos 2sin cos sin cos 2sin 2a B b A R A B B A R C c +=+===， 所以2223cos 24a b c C ab +-==，所以sin 4C =，1sin 22ABC S ab C ∆==.故选：C .【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的综合应用能力.6.若x ，y 满足约束条件02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则z x y =-的最大值为M ，最小值为m ，则M m -=（） A. 0 B. 32 C. -3D. 3 【答案】D【解析】【分析】做出可行域，根据图象求出目标函数的最大值和最小值，即可求解.【详解】做出可行域如图所示，目标函数过A 点时取得最大值，由2323x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，即(1,1)A ， 所以z x y =-的最大值0M =当z x y =-过(0,3)B 时，取得最小值为3m =-，所以3M m -=.故选:D.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题. 7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. 42B. 45C. 46D. 48【答案】C【解析】【分析】 先通过三视图找到几何体原图，再求几何体的体积.【详解】由三视图可知原几何体为如图所示的多面体ABEHM-CDGF, 所以该几何体的体积为11434-(23)24824632⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-=.故选C【点睛】本题主要考查三视图找几何体原图，考查几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 8.已知向量5168,77AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u v ，68,77AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u v ，D ，E 是线段BC 上两点，且15BD BC =u u u v u u u v ，13CE CB =u u u v u u u v ，则向量AD uuu v 与AE u u u v的关系是（ ） A. 2AD AE =u u u v u u u v B. 12AD AE =u u u v u u u v C. AD AE ⊥u u u v u u u vD. AD uuu v 与AE u u u v 成60︒夹角【答案】A【解析】【分析】 先求出=6,8AD u u u r （），=3,4AE u u u r （），所以2AD AE =u u u r u u u r，即得解. 【详解】1141()5555AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 45168168,,(6,8)577577⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 111215168268(),,3333377377AE AC CE AC CB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+=+=+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r (3,4)=，所以2AD AE =u u u r u u u r .故选：A.【点睛】本题主要考查基底法和向量的坐标运算，考查共线向量，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.已知函数()cos 3xf x π=，根据下列框图，输出S 的值为( )A. 670B. 16702C. 671D. 672【答案】C【解析】【分析】 根据框图的流程，依次计算前六次的运算结果，判断终止运行的n 值，再根据余弦函数的周期性计算即可. 【详解】由程序框图知：第一次运行()11cos32f π==，10.1122S n =+=+=； 第二次运行()212cos 32f π==-，12S =，213n =+=， 第三次运行()3cos 1f π==-，12S =，314n =+=， 第四次运行()414cos 32f π==-，12S =，415n =+=， 第五次运行()515cos 32f π==，1S =，6n =， 第六次运行()6cos21f π==，2S =，7n =，直到2016n =时，程序运行终止，Q 函数cos 3n y π=是以6为周期的周期函数，201563355=⨯+， 又()()2016cos336cos 21381f ππ==⨯=，∴若程序运行2016次时，输出2336672S =⨯=，∴程序运行2015次时，输出33621671S =⨯-=．故选C ．【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．10.奇函数f （x ）在R 上存在导数()f x '，当x ＜0时，()f x '2x -＜f （x ），则使得（x 2﹣1）f （x ）＜0成立的x 的取值范围为（ ）A. （﹣1，0）∪（0，1）B. （﹣∞，﹣1）∪（0，1）C. （﹣1，0）∪（1，+∞）D. （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 【答案】C【解析】【分析】根据当x ＜0时，()f x ¢2x-＜f （x ）的结构特征，构造函数()()2h x x f x =，求导得()()()(2)h x x xf x f x ''=+，由当x ＜0时，()f x ¢2x -＜f （x ），得()()2h x x f x =在()0-∞，上是减函数，再根据f （x ）奇函数，则()()2h x x f x =也是奇函数，()()2h x x f x =在()0∞，+上也是减函数，又因为函数f （x ）在R 上存在导数()f x ¢， 所以函数f （x ）是连续的，所以函数h （x ）在R 上是减函数，并且()h x 与()f x 同号，将（x 2﹣1）f （x ）＜0转化为()21()0x h x -<求解.【详解】设()()2h x x f x =， 所以()()()(2)h x x xf x f x ''=+，因为当x ＜0时，()f x ¢2x-＜f （x ）， 即()()20xf x f x '+>，所以()()()(2)0h x x xf x f x ''=+<，所以()()2h x x f x =在()0-∞，上是减函数. 又因为f （x ）奇函数，所以()()2h x x f x =也是奇函数， 所以()()2h x x f x =在()0∞，+上也是减函数， 又因为函数f （x ）在R 上存在导数()f x ¢， 所以函数f （x ）是连续的，所以函数h （x ）在R 上是减函数，并且()h x 与()f x 同号，所以（x 2﹣1）f （x ）＜0()21()0x h x ⇔-<210()0x h x ⎧->⇔⎨<⎩或210()0x h x ⎧-<⎨>⎩解得1x >或10x -<<故选：C【点睛】本题主要考查了导数与函数的单调性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题. 11.在ABC ∆中，sin 3sin 2B C =，60BAC ∠=︒，D 是BC 的中点.若AE EC λ=u u u r u u u r ，且AD BE ⊥，则实数λ=（ ） A. 75 B. 712 C. 43 D. 47【答案】A【解析】【分析】 由已知可得32b c =，以,AB AC u u u r u u u r 为基底，将,AD BE u u u r u u u r 用基底表示，再由AD BE ⊥u u u r u u u r ，建立λ方程，即可求解. 【详解】sin 333,,sin 222B b b c C c =∴==Q ， D 是BC 的中点，1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ， ,1AE EC AE AC λλλ=∴=+u u u r u u u r u u u r u u u r Q ， 1BE AE A AB AC B λλ=-=-+u u u r u u u r u u u r u u u u r r u u ， ,AD BE AD BE ⊥⊥u u u r u u u r Q ，1()()21AC AB AD B AC E AB λλ+⋅+-⋅=u u u r u u u u u u u ur u u u r u u r u u r r 221[(]01121)AC AB AC AB λλλλ=+=++⋅--u u u r u u u r u u u r u u u r 2201)cos6011(b bc c λλλλ∴+-︒++=-， 整理得77,1125λλλ=∴=+. 故选:A.【点睛】本题考查正弦定理、共线向量、向量基本定理、垂直向量的应用，考查计算求解能力，属于中档题.12.如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥P ABCD -中，E 为侧棱PD 的中点，则异面直线PB 与CE 所成角的余弦值是（ ）A. 34B. 234C. 517D. 317 【答案】D【解析】【分析】首先通过作平行的辅助线确定异面直线PB 与CE 所成角的平面角，在PCD ∆中利用余弦定理求出cos DPC ∠进而求出CE ，再在GFH ∆中利用余弦定理即可得解.【详解】如图，取PA 的中点F ，AB 的中点G ，BC 的中点H ，连接FG ，FH ，GH ，EF ，则//EF CH ，EF CH =，从而四边形EFHC 是平行四边形，则//EC FH ，且EC FH =.因为F 是PA 的中点，G 是AB 的中点，所以FG 为ABP ∆的中位线，所以//FG PB ，则GFH ∠是异面直线PB 与CE 所成的角.由题意可得3FG =，1222HG AC ==. 在PCD ∆中，由余弦定理可得2223636167cos 22669PD PC CD DPC PD PC +-+-∠===⋅⨯⨯，则2222cos 17CE PC PE PC PE DPC =+-⋅∠=，即CE =在GFH ∆中，由余弦定理可得222cos2FG FH GH GFH FG FH +-∠=⋅==. 故选：D【点睛】本题考查异面直线所成的角，余弦定理解三角形，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）.13.已知集合{}2|60A x x x =--≤，{}|2B x x =≤，则A B =U ______.【答案】[]2,3-【解析】【分析】化简集合,A B ，按并集定义即可求解.【详解】{}2|60[2,3]A x x x =--≤=-， {}|2[2,2]B x x =≤=-，[2,3]A B ⋃=-.故答案为:[]2,3-【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.14.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若122n n S +=-，则n a =______.【答案】2n n a =-【解析】【分析】利用n a 和n S 的关系计算得到答案.【详解】11122222+22(2)n n n n n n n n S S S a n ++-⇒=-=-=--≥=-当1n =时，112a S ==- 满足通项公式故答案为2n n a =-【点睛】本题考查了n a 和n S 的关系，忽略1n =的情况是容易发生的错误.15.已知椭圆2221x y a+=的左、右焦点为1F 、2F ，点1F 关于直线y x =-的对称点P 仍在椭圆上，则12PF F ∆的周长为__________．【答案】2【解析】【分析】由题意首先求得点P 的坐标，然后结合椭圆的定义求解焦点三角形的周长即可.【详解】设()()()12,0,,00F c F c c ->，F 1关于直线y x =-的对称点P 坐标为（0，c ），点P 在椭圆上，则：2201c a+=，则c =b =1,2222a b c =+=，则a =故12PF F △的周长为：1212222PF PF F F a c ++=+=.【点睛】椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，得到a ，c 的关系．16.把函数sin2y x =的图象沿x 轴向左平移6π个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数()y f x =的图象，对于函数()y f x =有以下四个判断： ①该函数的解析式为；2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； ②该函数图象关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称； ③该函数在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数；④函数()y f x a =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则a =． 其中，正确判断的序号是______．【答案】②④【解析】【分析】先把函数sin 2y x =的图象沿x 轴向左平移6π个单位，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数2sin[2()]2sin(2)63y x x ππ=+=+的图象，再根据三角函数的图象与性质逐项判定，即可求解． 【详解】把函数sin 2y x =的图象沿x 轴向左平移6π个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后，得到函数2sin[2()]2sin(2)63y x x ππ=+=+的图象， 由于()2sin(2)3f x x π=+，故①不正确； 令2,3x k k Z ππ+=∈，求得,26k x k Z ππ=-∈，故函数的图象关于点(,0)26k ππ-对称，故函数的图象关于点(,0)3π对称，故②正确； 令222,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，可得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，故函数的增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-+∈，故函数[0,]6π上不是增函数，故③不正确；当[0,]2x π∈时，42[,]333x πππ+∈，故当4233x ππ+=时，()f x 取得最小值为函数()y f x a =+取得最小值为a =a =故答案为②④．【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，合理准确判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题． 三、解答题（共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分.17.某工厂有两种日工资方案供员工选择，方案一规定每日底薪50元，计件工资每件3元；方案二规定每日底薪100元，若生产的产品数不超过44则没有计件工资，若超过则从第45件开始，计件工资每件5元.该工厂随机抽取100天的工人生产量的数据.将样本数据分为[)25,35，[)35,45，[)45,55，[)55,65，[)65,75，[)75,85，[]85,95七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）随机选取一天，估计这一天该工厂的人均生产量不少于65件的概率；（2）若甲、乙选择了日工资方案一，丙、丁选择了日工资方案二.现从上述4名工人中随机选取2人.求至少有1名工人选择方案一的概率；（3）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘工人做出日工资方案的选择，并说明理由.（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）【答案】（1）0.4（2）56（3）新聘工人应选择方案一，详见解析【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求出[)65,75，[)75,85，[]85,95的频率，即可求出结论；（2）列出4人中随机选取的所有情况，确定满足条件基本事件的个数，按古典概型的概率求法，即可求解；（3）求出该工厂的人均产量的平均数，分别求出两种日新方案的平均值，选择选择高的方案即可.【详解】（1）设事件A为”随机选取一天，这一天该工厂的人均生产量不少于65件”，依题意，该工厂的人均生产量不少于65件的频率分别为：0.2，0.15，0.05，∴()0.20.150.050.4P A=++=.（2）设事件B为“从4名工人中随机选取2人，至少有1名工人选择方案一”，从4名工人中随机选取2人，所有情况有：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁），共有6种情况，其中至少有1名工人选择方案一的情况有5种情况，∴()5 6P B=.（3）由频率分布直方图可知：该工厂的人均产量的平均数为：300.05400.05500.2600.3⨯+⨯+⨯+⨯700.2800.15900.0562+⨯+⨯+⨯=.∴方案一平均工资约为：50623236+⨯=，方案二平均日工资约为：()10062445190+-⨯=.可知方案二平均工资低于方案一平均日工资.故新聘工人应选择方案一.【点睛】本题考查由频率分布直方图求频率和平均数、古典概型，属于基础题.18.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，4AB =，110BB =，D ，E 分别是线段1BB ，1AC 的中点.（1）求证：//DE 平面ABC ；（2）求三棱锥A DCE -的体积.【答案】（1）证明见解析（2）2033 【解析】【分析】（1）取AC 中点为H ，连接HE ，BH ，证明四边形HEDB 是平行四边形，可得//HB DE ，即可证明结论；（2）利用等体积法结合E 是线段AC 中点，可得111122A DCE E ACD C ACD C ABC V V V V ----==⨯=，即可求解. 【详解】（1）取AC 中点为H ，连接HE ，BH ，∴1//BD CC ，112BD CC =，1//HE CC ， 112HE CC =，∴四边形HEDB 是平行四边形， ∴//HB DE ，HB ⊂平面ABC ，DE ⊄平面PAD ，∴//DE 平面ABC .（2）E 是线段AC 中点，则112A DCE E ACD C ACD V V V ---==111111222A CDC A BCC C ABC V V V ---=⨯⨯=⨯=. 11120323410232=⨯⨯⨯⨯⨯=.【点睛】本题考查线面平行的证明以及求椎体的体积，合理应用等体积法是解题的关键，属于中档题.19.已知首项为2的数列{}n a 满足11221n n n na a n +++=+. （1）证明：数列2n n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列． （2）令n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）见解析；（2）12112222n n S n n +=++- 【解析】 【分析】（1）由原式可得11(1)22n n n n a na +++=+,等式两端同时除以12n +,可得到11(1)122n n n n n a na +++=+,即可证明结论;（2）由（1）可求得2n n na 的表达式,进而可求得,n n a b 的表达式,然后求出{}n b 的前n 项和n S 即可. 【详解】（1）证明:因为11221n n n na a n +++=+,所以11(1)22n n n n a na +++=+, 所以11(1)122n n n n n a na +++=+,从而11(1)122n n n n n a na +++-=,因为12a =,所以112a =, 故数列2n n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1,公差为1的等差数列. （2）由（1）可知()112n nna n n =+-=,则2n n a =,因为n n b a n =+,所以2n n b n =+, 则123n n S b b b b =+++⋯+()()()23(21)22232n n =++++++++L()232222(123)n n =+++++++++L L ()212(1)122nn n ⨯-+=+-12112222n n n +=++-. 【点睛】本题考查了等差数列的证明,考查了等差数列及等比数列的前n 项和公式的应用,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.20.已知抛物线C ：()220x py p =>，过焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且当直线l 倾斜角为45︒时，与抛物线相交所得弦的长度为8.（1）求抛物线C 的方程；（2）若分别过点A ，B 两点作抛物线C 的切线1l ，2l ，两条切线相交于点P ，点P 关于直线AB 的对称点Q ，判断四边形PAQB 是否存在外接圆，如果存在，求出外接圆面积的最小值；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）24x y =（2）存在；最小面积为4π【解析】【分析】（1）根据题意求出直线l 倾斜角为45︒时的方程，与抛物线方程联立，利用根与系数关系和焦半径公式，求出弦长，即可求出p ；（2）点P 关于直线AB 的对称点为Q ，可得ABP ABQ ≅V V ，从而有APB AQB ∠=∠，判断四边形PAQB 是否存在外接圆，只需判断是否有2APB π∠=，即,PA PB 是否垂直，根据切线的几何意义，求出,PA PB的斜率，即可得出结论，如果存在外接圆，外接圆的直径为AB ，要使外接圆面积最小，即求||AB 最小，利用根与系数关系和相交弦长公式，即可求解.【详解】（1）由题意知0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点()11,A x y ，()22,B x y ， 当直线l 倾斜角为45︒时，直线l 的方程为2p y x =+， 由222x py p y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得：22304p y py -+=， 所以123y y p +=.又由128y y p MN =++=，所以2p =，所以抛物线的方程为24x y =.（2）四边形PAQB 存在外接圆.设直线AB 方程为1y kx =+，代入24x y =中，得2440x kx --=，则216160k ∆=+>，且124x x k +=，124x x =-， 所以()222112()441x AB y y k x k =+=+=+++， 因为C ：24x y =，即24x y =，所以'2x y =. 因此，切线1l 的斜率为112x k =，切线2l 的斜率为222x k =， 由于121214x x k k ==-，所以PA PB ⊥，即PAB ∆是直角三角形， 所以PAB ∆的外接圆的圆心为线段AB 的中点，线段AB 是圆的直径，所以点Q 一定在PAB ∆的外接圆上，即四边形PAQB 存在外接圆. 又因()241AB k =+，所以当0k =时，线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、焦点弦长、切线的几何意义的应用，要熟练掌握焦点弦长求法，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.21.已知函数()()ln 11f x x x a x =-++，a R ∈.（1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）若方程()()121120f x a a x x x⎛⎫-+++++= ⎪⎝⎭有三个解，求实数a 的取值范围.【答案】（1）调递减区间是()0,a e ，单调递增区间是(),a e +∞，()f x 的极小值为1a e -，无极大值（2）3,22e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）求出()f x '，求解不等式()0,()0f x f x ''><，得出单调区间，进而求出极值； （2）设()()()12112f x a a x x x xh ⎛⎫=-+++++ ⎪⎝⎭，()h x 有三个零点，()h x 至少有三个单调区间，求出()h x '，对a 分类讨论，求出至少有三个单调区间a 的范围， 再结合零点存在性定理，确定区间存在零点的不等量关系，即可求解.【详解】（1）()'ln f x x a =-，令ln 0x a -=，解得a x e =，当0a x e <<时，()'0f x <；当a x e >，()'0f x >.所以函数()f x 的单调递减区间是()0,a e，单调递增区间是(),a e +∞， 所以()f x 的极小值为()1a a f e e =-，无极大值.（2）设()()()12112f x a a x x x xh ⎛⎫=-+++++ ⎪⎝⎭， 即()()l 2212n a x x xh x a +=-++， ()()2222122121'x a x a a a x x xh x +---=-+= ()()()2120x x a x x -+=>.①若0a ≥，则当()0,1x ∈时，()'0h x <，()h x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()'0h x >，()h x 单调递增，()h x 至多有两个零点. ②若12a =-，则()0,x ∈+∞，()'0h x ≥， （仅()'10h =），()h x 单调递增，()h x 至多有一个零点. ③若102a -<<，则021a <-<，当()0,2x a ∈-或()1,x ∈+∞时， ()'0h x >，()h x 单调递增；当()2,1x a ∈-时，()'0h x <，()h x 单调递减，要使()h x 有三个零点，必须有()()2010h a h ⎧->⎪⎨<⎪⎩成立， 由()10h <，得32a <-， 这与102a -<<矛盾，所以()h x 不可能有三个零点.④若12a <-，则21a ->，当()0,1x ∈或()2,x a ∈-+∞时，()'0h x >， ()h x 单调递增：当()1,2x a ∈-时，()'0h x <，()h x 单调递减，要使()h x 有三个零点，必须有()()1020h h a ⎧>⎪⎨-<⎪⎩成立， 由()10h >，得32a >-， 由()()()221ln 210h a a a -=---<⎡⎤⎣⎦及12a <-， 得2e a <-，∴322e a -<<-. 且当322e a -<<-时，201e -<<，22e a >-， ()()()2222242242h e e a e e e e --=++-<+--4150e <+-<，()()()222222232h e e a e e e --=++>-+2226370e e e -=-->->.综上，a 的取值范围为3,22e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及到函数的单调性、极值、零点问题，以及零点存在性定理的应用，考查分类讨论思想，意在考查直观想象、逻辑推理和计算求解能力，属于较难题.（二）选考题：共10分.请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡相应题号处填涂，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 04πρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭. （1）将曲线1C 上各点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变）得到曲线2C ，求2C 的参数方程； （2）若M ，N 分别是直线l 与曲线2C 上的动点，求MN 的最小值.【答案】（1）cos 42sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）；（2）. 【解析】【分析】（1）将曲线1C 上各点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变）得到cos 2sin 2x y αα=⎧⎪⎨=+⎪⎩，变形后可得2C 的参数方程；（2）由sin 04πρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，展开两角和的正弦，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l 的直角坐标方程，然后利用点到直线的距离公式及三角函数求最值得答案.【详解】解析：（1）曲线1C 上各点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变）得到曲线2C ，2cos :2sin 2x C y αα=⎧⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），即cos 42sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）. （2）直线:sin 04l πρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，sin cos 022ρθρθ∴⨯+⨯+=， ∴直线l 的直角坐标方程为80x y ++=，||MN d ∴≥== ∴当sin()1αϕ+=-时，min ||MN ==． 【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查普通方程化参数方程，训练了利用三角函数求最值，是中档题.23.已知()|1||1|f x x ax =-++,()|1|2g x x =++ （Ⅰ）若12a =,求不等式()2f x <的解集； （Ⅱ）设关于x 的不等式()()f x g x ≤的解集为A ,若集合(0,1]A ⊆,求a 的取值范围.【答案】(Ⅰ) 4|03x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；(Ⅱ) []5,3-． 【解析】【分析】（Ⅰ）利用零点分区间法去掉绝对值，转化为不等式组求解即可．（Ⅱ）根据题意将问题转化为“对于(]0,1x ∈，不等式1112x ax x -++≤++恒成立”求解，通过去掉绝对值得到3122a x x--≤≤+对(]0,1x ∈恒成立，求出最值可得结果．【详解】（Ⅰ）当12a =时，不等式()2f x <即为1122x x -++<， 等价于1322x x ≥⎧⎪⎨<⎪⎩或21222x x -≤<⎧⎪⎨-<⎪⎩或2322x x <-⎧⎪⎨-<⎪⎩ 解得413x ≤<或01x <<， 所以403x <<． 所以原不等式的解集为4|03x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭． （Ⅱ）由题意可知，对于(]0,1x ∈，不等式1112x ax x -++≤++恒成立， 故不等式113x ax x -++≤+对于(]0,1x ∈恒成立， 化简得122ax x +≤+所以(]23210,1x ax x x --≤≤+∈对于恒成立，， 即3122a x x--≤≤+对于(]0,1x ∈恒成立， 又当(]0,1x ∈时，123x +≥，且325x --≤-， 所以53a -≤≤，所以实数a 的取值范围为[]5,3-．【点睛】解含有两个绝对值号的不等式时，常用的方法是利用零点分区间法去掉绝对值号，转化为不等式组求解．解答第二问的关键是将问题转化为不等式恒成立求解，然后通过分离参数再转化为求函数最值的问题处理．。

对数学课堂教学的几点思考 一、 重新认识并正确把握课堂中教师与学生的地位关系。

随着对课程改革的理解和参与的不断深入，教师的角色在不知不觉中发生了很大的变化。

以往的教学中，教师是整个课堂的主角，自始至终担任着知识的传授者这一单一的角色，因此课堂中教师的地位是至高无上的，自己的“权威、尊严”不容受到损害。

始终以严肃的面孔面对学生，似乎学生最怕的老师就是最成功的老师。

但是在新课程的理念下，学生才是数学学习的主人，教师充其量只是学生学习的合作伙伴。

教学中我们更应时刻关注学生在课堂中的表现，倾听、了解他们对数学的理解与感受，因为他们才是课堂的主角。

记得在一次公开课中，老师让一位学生回答在黑板中出示的一个问题，想不到这位学生说：“老师，我看不清楚。

”要是在以前课堂中出现类似的情况，上课的老师可能会说：“那你坐下。

”甚至会批评：“看不清楚黑板还怎么上课，怎么早不去配眼镜！”但是这位老师却向学生说：“对不起，老师没注意到你看不清楚，请你坐到前面来好吗？”听到这位老师竟然向学生说对不起，听课的老师在意外之余都为之感动。

这虽然是发生在一节公开课中微不足道的一件小事，但从这件小事中更能看出我们教师的观念在变，学生的地位在变。

而这种变化正是课程改革所带来的，正合乎了“以人为本”这一理念。

还有，在课堂中教师与学生的关系主要不再是“教师讲，学生听”、“教师演示，学生模仿”，否则我们所培养出来的学生只是会一味地模仿与复制，毫无创新与个性，那么我们的社会还怎么进步和发展呢？事实上，教师应该以平等的身份成为学生学习数学的合作者，在学生需要的时候，向他们提供必要的帮助，即“教师是数学学习的组织者、引导者与合作者”。

我们有责任在课堂里创设一个宽松、民主的交流氛围，这样学生才会积极地表达他们对数学问题的思考，教师与学生之间的交流、学生与学生之间的交流才会和谐地进行，并且我们还会有一些意想不到的惊喜与收获。

二、创设一个良好的问题情境，设计一个有效的数学活动。

重庆市第八中学2020届高三数学下学期第3次月考试题 理（含解析）第1卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.设集合{1,A =-0，1，2}，集合{|2}x B y y ==，则(A B ⋂= ) A. {}0,1 B. {}1,2C. {0,1，2}D. ()0,+∞【答案】B 【解析】 【分析】先求得集合B 中函数的值域，然后求两个集合的交集.【详解】解：集合{1,A =-0，1，2}，集合{}{|2}0xB y y y y ===，{}1,2A B ∴⋂=．故选B ．【点睛】本小题主要考查集合的交集的概念及运算，考查指数函数的值域的求法，属于基础题.2.1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式e ix ＝cosx+isinx ，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e 2i 表示的复数所对应的点在复平面中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得2i e cos2isin2=+，再由三角函数的象限符号得答案． 【详解】由题意可得，2i e cos2isin2=+，π2π2<<，cos20∴<，sin20>， 则2i e 表示的复数所对应的点在复平面中位于第二象限． 故选B ．【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.已知1a =，2b =，且()()52a b a b +⊥-，则a 与b 的夹角为（ ） A.6π B.3π C.23π D.56π 【答案】C 【解析】 【分析】根据两平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的运算性质、平面向量数量积的定义进行求解即可. 【详解】()()()()2252,520,55220a b a b a b a b a a b a b b +⊥-∴+⋅-=∴-⋅+⋅-=即223523,1a b a b a b ⋅=-=-∴⋅=-. 设a 与b 的夹角为θ ，则11cos 122a b a bθ⋅-===-⨯⋅， 因为[0,]θπ∈，所以23πθ=. 故选：C.【点睛】本题主要考查利用向量的数量积求向量的夹角知识，属于基础题目. 4.若7sin 225α=-，且324ππα<<，则cos 4απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A. 45-B. 35C. 45D.35【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式，结合二倍角的余弦公式、余弦三角函数的正负性进行求解即可. 【详解】因为7sin 225α=-，且324ππα<<，故7sin 2cos 2225παα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，2271cos(2)19252cos 22cos 1cos 2442225παππααα-+-+π⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--∴-===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为324ππα<<，所以,424ππαπ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，因此cos 04απ⎛⎫-> ⎪⎝⎭.所以3 cos45πα⎛⎫-=⎪⎝⎭.故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，属于中档题目.5.2019年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行.这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异.今年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵.他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建．若已知甲、乙、丙三人来自上述三所学校，学历分别有学士、硕士、博士学位.现知道：①甲不是军事科学院的；②来自军事科学院的不是博士；③乙不是军事科学院的；④乙不是博士学位；⑤国防科技大学的是研究生．则丙是来自哪个院校的，学位是什么( ) A. 国防大学，研究生 B. 国防大学，博士C. 军事科学院，学士D. 国防科技大学，研究生【答案】C【解析】【分析】根据①③可判断丙的院校；由②和⑤可判断丙的学位.【详解】由题意①甲不是军事科学院的，③乙不是军事科学院的；则丙来自军事科学院；由②来自军事科学院的不是博士，则丙不是博士；由⑤国防科技大学的是研究生，可知丙不是研究生，故丙为学士.综上可知，丙来自军事科学院，学位是学士.故选：C.【点睛】本题考查了合情推理的简单应用，由条件的相互牵制判断符合要求的情况，属于基础题.6.函数()4 41 xxf x=-的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义域,奇偶性,单调性及特殊值即可得出答案.【详解】由已知得：44444()4(41)()()4141144141x x x x xx x x x x x x f x f x -----=-=-=----- 当0x >时，41>x ，故 ()()0f x f x --≠ 当0x <时，041x << ，故 ()()0f x f x --≠所以函数()441x x f x =-不是偶函数，因此不能关于纵轴对称，故排除A ，B.当x →-∞ 时，40x → ，则411x-→，而4x →+∞ ，所以()f x →+∞因此排除C,所以选D. 故选：D.【点睛】本题主要考查根据题目所给的函数解析式找对应图象的问题，属于中档题目. 该类型题目，从以下几个方面出发,即可得出正确答案： （1）函数的定义域. （2）函数的奇偶性. （3）函数的单调性. （4）特殊值.7.现有5名学生，甲、乙、丙、丁、戊排成一队照相，则甲与乙相邻，且甲与丁不相邻的站法种数为( )A. 36B. 24C. 22D. 20【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，先求得甲乙相邻的所有排列方法，再扣除甲乙相邻且甲和丁也相邻的情况，即为甲与乙相邻，且甲与丁不相邻的站法种数.【详解】当甲乙相邻，捆绑后作为一个整体，与另外三人全排列共有24242432148A A =⨯⨯⨯⨯=种；若甲和乙相邻、甲和丁也相邻，则甲不能在最左端和最右端，当甲站在中间三个位置时，乙和丁分别位于两侧，另两个人站剩余两个位置，共有12232232212C A A =⨯⨯=种.故甲与乙相邻，且甲与丁不相邻的站法种数为481236-=种， 故选：A.【点睛】本题考查了排列组合问题的实际应用，对位置由特殊要求的排列问题，选择用总数去掉不合题意的部分，即为所求内容，是常用方法，属于中档题.8.已知数列{}n a 满足211112n n n n n n a a a a a a -+-++=⋅++，n S 为其前n 项和，若11a =，23a =，则5S =（ ） A. 57 B. 64 C. 124 D. 120【答案】A 【解析】 【分析】根据完全平方公式和分组分解因式法对已知等式左右两边进行因式分解，结合等比中项的定义、等比数列前n 项和公式进行求解即可. 【详解】由211112n n n n n n a a a a a a -+-++=⋅++，化简得：()()()2211111121111n n n n n n n n n a a a a a a a a a -+-+-+++=⋅+++⇒+=+1⋅+即数列{}1n a + 是以11a +为首项的等比数列， 又因为11a =，23a =，所以公比21121a q a +==+设数列{}1n a +前n 项和为T n ，则515(1)(1)2(31)6211a q T q +-⨯-===-- 又因为55557S T =-= 故选：A.【点睛】本题主要考查等比数列及前n 项和的有关知识，属于中档题目.9.抛物线C ：28y x =的焦点为F ，N 为准线上一点，M 为y 轴上一点，且0NM NF ⋅=，若线段MF 的中点E 在抛物线C 上，则MNF 的面积为（ ）A. B. C. D.2【答案】B 【解析】 【分析】由0NM NF ⋅=得MNF 为直角三角形，又因为E 为线段MF 的中点12NE MF EF == 且NE HK ⊥，从而得NE 及MF 的长度，进而得,,,MH HN NK KF 的长度，故62MNFMHKFMNHKNFSSSS=--=【详解】作图如下：作准线l ' ，过点M 作MH l '⊥于H ，过点F 作FK l '⊥于K .因为0NM NF ⋅=，所以MNF 为直角三角形，又因为E 为线段MF 的中点，所以12NE MF EF == 且NE HK ⊥ 又因为28y x =，所以12,4,()3,62MH KF NE MH KF MF ===+== 22232,42OM MF OF OM ∴=-==故22HN NK ==则：111()62222MNFMHKFMNHKNFSSSSMH KF HK MH HN NK KF =--=+⋅-⋅-⋅= 故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的焦半径知识，属于中档题目.10.我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，设ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积公式”为222222142a c b S a c ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，若()()()2sin sin 24sin a C B c b a A -+=-，2sin 24sin a C A =，则用“三斜求积公式”求得的S =（ ）A.1574B. 66C. 63D. 123【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理把两个等式进行边角转化，然后把转化后的式子代入三斜求积公式中即可. 【详解】由()()()2sin sin 24sin a C B c b a A-+=-化简得：()()()()()()22sin sin 24sin 24a C B c b a A a c b c b a a -+=-⇒-+=-即：22224a c b +-=由2sin 24sin a C A =化简得：22424a c a ac =⇒=，代入公式得：22222222211634242424a c b S a c ⎡⎤⎡⎤⎛⎫+-⎛⎫=-=-=⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦故选：C.【点睛】本题主要考查正弦定理的边角互化，属于中档题目. 11.如图，AD 为ABC ∆的外接圆的直径，若2BC =，且32AB BC ⋅=-，则AD BC ⋅=（ ）A. 2B.43C. 1D.23【答案】C 【解析】作AE BC ⊥于点E ，OM BC ⊥于点M ，根据平面向量的定义，结合锐角三角函数的定义、垂径定理、平面向量的几何意义进行求解即可. 【详解】作图如下：由题意得：作AE BC ⊥于点E ，OM BC ⊥于点M ，因为32AB BC ⋅=-，即：32BA BC ⋅=所以3cos 2AB BC B ⋅⋅=，又因为2BC =， 所以3cos 4AB B ⋅=.即34BE =.又因为OM BC ⊥，所以1BM CM == ，所以14EM =.即AO 在BC 上的投影为14. 122214AD BC AO BC ⋅=⋅=⨯⨯=. 故选：C.【点睛】本题主要考查向量的数量积的几何意义，属于较难题. 12.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()1xf x e x =+，给出下列命题：①函数()f x 有2个零点；②()0f x >的解集为()()1,01,-⋃+∞； ③1x ∀，2x R ∈，都有()()122f x f x -<； ④当21x -≤<-时，()21212kf x x x ≥++，则2k e ≤. 其中真命题的个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】 【分析】函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()1xf x ex =+，故当0x >时，()()1x f x e x -=-；当0x =时，()0f x =.对于①：令()0f x =，解得函数()f x 有3个零点. 对于②：令()0f x >，解得()()1,01,-⋃+∞,对于③:求出函数()f x 是定义在R 上的最大值与最小值，即可得出结论. 对于④：通过对()21212kf x x x ≥++转化为最值问题，即可得出结论. 【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()1xf x e x =+，当0x >时，()()1xf x ex -=-，当0x =时，()0f x =，对于①：令()0f x =得：1230,1,1x x x ===- ，故函数()f x 有3个零点；故①错误. 对于②：当0x <时，()()1xf x ex =+，令()0f x >，解得：10x -<<当0x >时，()()1xf x ex -=-，令()0f x >，解得：1x >故()0f x >的解集为()()1,01,-⋃+∞；故②正确. 对于③：当0x <时，()()1xf x ex =+，()(2)x f x e x '=+ ，()f x 在2x =- 处取最小值21e -. 当0x >时，()()1xf x ex -=-，()(2)x f x e x -'=-+，()f x 在2x = 处取最大值21e. 而最大值减去最小值：222112()2e e e --=< ∴ 1x ∀，2x R ∈，都有()()122f x f x -<；故③正确.对于④：要使 ()21212kf x x x ≥++，又因为21x -≤<-时，()0f x <，即 21212(1)xx x k e x ++≤+令21212()(1)xx x F x e x ++=+，22222221121(2)(1)(21)(2)(2)22()0(1)(1)(1)x xx x x x x x x e x x x e x x x e F x e x e x e x '⎛⎫++++-+++ ⎪-+'===≥ ⎪+++ ⎪⎝⎭所以21212()(1)x x x F x e x ++=+在[)2,1-- 上单调递增，所以()F x 的最小值为2(2)F e -=. 故④正确. 故选C.【点睛】本题是一道函数的综合题目，属于选择题压轴题，难度较大.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.在()41x +的二项展开式中，二项式系数最大的项为______. 【答案】26x 【解析】 【分析】由二项式系数的性质可得，展开式中中间项的系数最大,即最大项为：22246C x x =【详解】根据二项式展开式的二项式系数的性质得：二项式系数最大的项为展开式的中间项，即二项式系数最大的项为：22246C x x =. 故答案为：26x .【点睛】主要考查二项式展开式中知识，属于基础题目.14.已知{}n a 是等比数列，其中22a =，514a =，则12231n n a a a a a a ++++（n *∈N ）的取值范围是______. 【答案】328,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】 根据等比数列的定义可以判断数列{}1n n a a +是等比数列，利用等比数列的通项公式求出数列{}n a 的公比，再利用等比数列前n 项和公式化简所求的代数式，结合指数函数的单调性进行求解即可.【详解】由{}n a 是等比数列，设公比为q ， 因为2121n n n n a a q a a +++=， 所以数列{}1n n a a +是以12a a 为首项，2q 为公比的等比数列. 又因为22a =，514a =，35212a a q q =⋅⇒=21212231218(1())(1)3214131344n n n n na a a a a a a a q q +⨯-⎡⎤-⎛⎫===-⎢⎥ ++⎪-⎝⎭⎢⎣+⎥⎦当1n =时，12231128n n a a a a a a a a ++=++=当n →+∞ 时，12231321321343nn n a a a a a a +⎡⎤⎛⎫=-→⎢⎥ +++⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 12231n n a a a a a a ++++（n *∈N ）的取值范围是328,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：328,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查等比数列的前n 项和知识，属于中档题目.15.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点为1F 、2F ，过1F且斜率为2的直线l 与C 的一条渐近线在第一象限相交于A 点，若21AF AF ⊥，则该双曲线的离心率为【答案】3 【解析】 【分析】由21AF AF ⊥得AO c =，从而有(,)A a b ，再由直角三角形性质得22b ac =+，变形可得. 【详解】∵21AF AF ⊥，∴12AF F ∆是直角三角形，又O 是12F F 中点，∴AO c =，又A 在双曲线渐近线上，∴(,)A a b ，∴12tan AF F ∠=22b ac =+，变形可得：22230c ac a --=，()(3)0c a c a +-=，∴3c a =，3ce a==.故答案为3. 【点睛】本题考查双曲线的几何性质，解题关键是掌握双曲线的性质：即过双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的右顶点A 作x 轴垂线，交渐近线于点P ，则OP c =，AP b =. 16.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，点,,M N E 分别为棱1,,AA AB AD 的中点，以A 为圆心，1为半径，分别在面11 ABB A 和面 ABCD 内作弧MN 和 NE ，并将两弧各五等分，分点依次为 M 、1P 、2P 、3P 、4P 、N 以及 N 、1Q 、2 Q 、3Q 、4Q 、E ．一只蚂蚁欲从点1 P 出发，沿正方体的表面爬行至4 Q ，则其爬行的最短距离为________．参考数据：cos90.9877︒=； cos180.9511 ︒=；cos 270.8910︒=）【答案】1.7820 【解析】根据空间位置关系，将平面旋转后使得各点在同一平面内，结合角的关系即可求得两点间距离的三角函数表达式.根据所给参考数据即可得解.【详解】棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，点,,M N E 分别为棱1,,AA AB AD 的中点，以A 为圆心，1为半径，分别在面11 ABB A 和面 ABCD 内作弧MN 和 NE . 将平面ABCD 绕AB 旋转至与平面11ABB A 共面的位置，如下图所示：则14180814410P AQ ∠=⨯=，所以142sin 72PQ =； 将平面ABCD 绕AD 旋转至与平面11ADD A 共面的位置，将11ABB A 绕1AA 旋转至与平面11ADD A 共面的位置，如下图所示：则14902901265P AQ ∠=⨯+=，所以142sin 63PQ =；因为sin 63sin 72<，且由诱导公式可得sin63cos27=， 所以最短距离为142sin 6320.8910 1.7820PQ ==⨯=， 故答案为：1.7820.【点睛】本题考查了空间几何体中最短距离的求法，注意将空间几何体展开至同一平面内求解的方法，三角函数诱导公式的应用，综合性强，属于难题. 三、解答题：（共70分）17.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PB BC ⊥，PD CD ⊥，且PA AB =，E 为PD 中点.（1）求证：PA ⊥平面ABCD ； （2）求二面角A BE C --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（215【解析】 【分析】（1）由PB BC ⊥，BC AB ⊥，即：BC PA ⊥，又因为PD CD ⊥，CD AD ⊥，即：CD AD ⊥，所以PA ⊥平面ABCD .（2）通过建立空间直角坐标系，运用向量法即可求出二面角A BE C --正弦值.【详解】解：（1）∵底面ABCD 是正方形，BC AB ∴⊥，又BC PB ⊥，AB PB B ⋂=，BC ∴⊥平面PAB ，BC PA ∴⊥.同理可得CD PA ⊥，又BC CD C ⋂=，PA ∴⊥平面ABCD . （2）建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设底面正方形的边长为2，则()0,0,0A ，()2,2,0C ，()0,1,1E ，()2,0,0B .设(),,m x y z =是平面ABE 的法向量，则0,0,m AE m AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩又()0,1,1AE =，()2,0,0AB =，令1y =-，则1z =， 得()0,1,1m =-.设(),,n x y z =是平面BCE 的法向量，则0,0,n CE n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩又()2,1,1CE =--，()0,2,0BC =，令1x =-，2z =()1,0,2n =是平面BCE 的一个法向量，则10cos ,25m m m nn n ⋅===⨯，15sin ,m n ∴=∴二面角A BE C --15【点睛】本题主要考查线面垂直及二面角的知识，属于中档题目. 18.在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . （1）若()sin 23sin A B B +=，求tan tan AC的值； （2）若2sin cos sin A C B =，求ac的值.【答案】（1）12-；（2）1. 【解析】 【分析】（1）由A B C π++=，变形化简得：()()sin 3sin A C A C ππ+-=-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，展开化简即可得出答案.（2）由边角关系互化得：2cos a C b =，再由222cos 2a b c C ab+-=，化简即可得出答案.【详解】解：（1）在斜三角形ABC 中，A B C π++=，所以()sin 23sin A B B +=可化为()()sin 3sin A C A C ππ+-=-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 即()()sin 3sin A C A C --=+.故()sin cos cos sin 3sin cos cos sin A C A C A C A C -+=+.整理得4sin cos 2cos sin A C A C =-，因为ABC 是斜三角形，所以cos cos 0A C ≠，所以tan 1tan 2A C =-. （2）由正弦定理得sin sin A aB b=.从而2sin cos sin A C B =可化为2cos a C b =. 由余弦定理得22222a b c a b ab+-⨯=.整理得a c =，即1ac=. 【点睛】本题主要考查三角形中的恒等变换，通过边角互化，即可得出答案.属于中档题目.19.设直线:AC y x =与直线:BD y x =分别与椭圆22:14x y E m m +=(0)m >交于点,,,A B C D ，且四边形ACBD 的面积为（1）求椭圆E 的方程；（2）设过点 (0,2)P 的动直线 l 与椭圆E 相交于 M ，N 两点，是否存在经过原点，且以 M N 为直径的圆？若有，请求出圆的方程，若没有，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）存在，圆的方程为221622601717289x y ⎛⎫⎛⎫±+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】 【分析】（1）根据两条直线解析式特征可知直线AC 与直线BD 关于坐标轴对称，则ACBD 为矩形，将:AC y x =与椭圆方程联立，表示出交点的横纵坐标，即可由四边形ACBD 的面积确定参数，求得椭圆E 的方程；（2）设直线MN 的方程2y kx =+，两个交点坐标()()1122,,,M x y N x y .联立椭圆方程后化简，用韦达定理表示出1212,x x x x +，经过原点，且以M N 为直径的圆满足OM ON ⊥，即0OM ON ⋅=，由平面向量数量积的坐标运算代入即可求得斜率k .由中点坐标公式即可求得线段MN 中点G 的坐标，进而求得2OG 的值，即可得圆的标准方程.【详解】（1）由题意可知直线AC 与直线BD 关于坐标轴对称，所以四边形ACBD 为矩形，则2214x y m m y x⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得A A x y ==所以4D A B A AC x y S ⋅=== 解得1m =，代入椭圆方程可得2214x y +=.（2）存在.设()()1122,,,M x y N x y ，由题意可知直线MN 的斜率必然存在.直线MN 过点 (0,2)P ，设直线MN 的方程为2y kx =+， 则22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简可得()224116120k x kx +++=， 所以1212221612,4141k x x x x k k +=-=++，经过原点，且以M N 为直径的圆满足OM ON ⊥，即0OM ON ⋅=，则1212OM ON x x y y ⋅=+()()121222x x kx kx =+++()()21212124k x x k x x =++++ ()()21212124k x x k x x =++++()222121612404141k k k k k ⎛⎫=+⨯+-+= ⎪++⎝⎭， 解方程可得2k =±，经检验可知都满足>0∆. 设线段MN 的中点为()00,G x y .则1202816,21741x x k x k +==-=±+ ()121202422,221741k x x y y y k +++====+所以22200260289OG x y =+=， 所以存在满足条件的圆，圆的方程为221622601717289x y ⎛⎫⎛⎫±+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查了直线与椭圆位置关系，直线与椭圆交点坐标求法，由韦达定理求参数值，中点坐标公式的应用，圆的标准方程求法，平面向量数量积的坐标运算，综合性强，属于难题.20.2019年4月，河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆等8省市发布高考综合改革实施方案，决定从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施“312++”高考模式.所谓“312++”，即“3”是指考生必选语文、数学、外语这三科；“1”是指考生在物理、历史两科中任选一科；“2”是指考生在生物、化学、思想政治、地理四科中任选两科. （1）若某考生按照“312++”模式随机选科，求选出的六科中含有“语文，数学，外语，物理，化学”的概率.（2）新冠疫情期间，为积极应对“312++”新高考改革，某地高一年级积极开展线上教学活动.教育部门为了解线上教学效果，从当地不同层次的学校中抽取高一学生2500名参加语数外的网络测试，并给前400名颁发荣誉证书，假设该次网络测试成绩服从正态分布，且满分为450分.①考生甲得知他的成绩为270分，考试后不久了解到如下情况：“此次测试平均成绩为171分，351分以上共有57人”，请用你所学的统计知识估计甲能否获得荣誉证书，并说明理由； ②考生丙得知他的实际成绩为430分，而考生乙告诉考生丙：“这次测试平均成绩为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙同学辨别乙同学信息的真伪，并说明理由. 附：()0.6828P X μσμσ-≤≤+=；()220.9544P X μσμσ-≤≤+=； ()330.9974P X μσμσ-≤≤+=.【答案】（1）14；（2）①能，理由见解析；②无法辨别乙同学信息真假，理由见解析 【解析】 【分析】（1）已经选出五科，再从剩余三个科目中选1个科目的方法为13C ，计算出从物理、历史里选一门，生物、化学、思想政治、地理4门中选2门的总方案数，即可得其概率. （2）①由题意可知，171μ= ，而570.02282500= ，结合3σ原则可求得σ的值，结合获奖概率，并求得()P X μσ≥+，比较后可求得获奖的最低成绩，即可由甲的成绩得知甲能否获得荣誉证书.②假设乙所说为真，求得()2P X μσ≥+，进而求得σ的值，从而确定3μσ+的值，即可确定3X μσ≥+的概率.比较后即可知该事件为小概率事件，而丙已经有这个成绩，因而可判断乙所说为假.【详解】解：（1）设事件A ：选出的六科中含有“语文，数学，外语，物理，化学”，则()13122414C P A C C ==⋅（2）设此次网络测试的成绩记为X ，则()2,X N μσ①由题知171μ=，因为570.02282500=，且()12210.95440.022822P X μσμσ--≤≤+-== 所以351171902σ-==，而4000.162500=， 且()()110.68280.15870.1622P X P X μσμσμσ--≤≤+-≥+===< 所以前400名的成绩的最低分高于261μσ+=分而270261>，所以甲同学能获得荣誉证书②假设乙所说的为真，则201μ=()()12210.954420.022822P X P X μσμσμσ--≤≤+-≥+===， 而570.2282500=，所以351201752σ-==，从而3201375426430μσ+=+⨯=<， 而()()13310.997430.00130.00522P X P X μσμσμσ--≤≤+-≥+===< 答案示例1：可以认为乙同学信息为假，理由如下：事件“3X μσ≥+”为小概率事件，即“丙同学的成绩为430分”是小概率事件，可认为其不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙同学信息为假；答案示例2：无法辨别乙同学信息真假，理由如下：事件“3X μσ≥+”即“丙同学的成绩为430分”发生的概率虽然很小，一般不容易发生，但是还是有可能发生的，所以无法辨别乙同学信息真假.【点睛】本题考查了古典概型概率求法，由组合数求法求概率，结合3σ原则求概率值， 并由3σ原则判断事件真伪，综合性强，属于难题.21.已知函数()2(0)x f x e ax a =->.（1）讨论函数()f x 的零点个数；（2）若m n a e e =+（,m n 为给定的常数，且m n <），记()f x 在区间(,)m n 上的最小值为(,)g m n ，求证：(,)(1ln 2)(1ln 2)m n g m n m e n e <--+-+.【答案】（1）①当02e a <<时，()f x 无零点；②当2a e =时，()f x 有一个零点；③当2a e >时，()f x 有两个零点；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据解析式求得导函数，并令()0f x '=求得极值点.在极值点两侧，判断导函数的符号，并求得最小值.结合当x →-∞及x →+∞时函数值特征，即可确定零点个数.（2）根据m n a e e =+及m n <，可得ln ln ln ln 22m n mn a e e m e e n +=<=<=.进而确定(,)g m n 的表达式，代入不等式化简变形，并令n m t e -=，构造函数()4ln ln 11t h t t t t =+⋅++，求得()h t '后由导函数符号判断()h t 的单调性及最值，即可证明不等式成立.【详解】（1）函数()2(0)x f x e ax a =->，则()2x f x e a '=-，令()0f x '=，解得ln 2a x =， 当,ln 2a x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 在,ln 2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭为单调递减； 当ln ,,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 在ln ,,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭为单调递增； 所以ln 2min ()ln 2ln 1ln 222a a a a f x f e a a ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当,x →-∞时()f x →+∞；当,x →+∞时()f x →+∞； ①当ln 12a <，即02e a <<时，()f x 无零点； ②当ln 12a =，即2a e =时，()f x 有一个零点；③当ln 12a>，即2a e >时，()f x 有两个零点；（2）证明：因为m n a e e =+， 所以ln ln ln ln 22m nm n ae e m e e n +=<=<=，由（1）可知()f x 在区间(,)m n 上的最小值(,)g m n ，()(,)ln 1ln 1ln 222m n m n a a e e g m n f a e e ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫==-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以不等式(,)(1ln 2)(1ln 2)m n g m n m e n e <--+-+可化为()1ln (1ln 2)(1ln 2)2m n m n m n e e e e m e n e ⎛⎫++-<--+-+ ⎪⎝⎭， 移项化简可得ln 2ln ln 2ln 022m n m n m n e e e e m e n e ⎛⎫⎛⎫+++-+--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以4ln ln 0m nm nm n m n e e e e e e e e ⋅+⋅<++， 即4ln ln 011n mn m n m n m e e e e ----+⋅<++，令n m t e -=，则1t >. 所以原不等式可化为4ln ln 011tt t t +⋅<++，令()4ln ln ,111th t t t t t =+⋅>++.则()11ln ln ln101111tth t t t t t '=-++=<=++++，所以()h t 在()1,+∞单调递减，则()()11ln 2ln 02h t h <=+=，即4ln ln 011t t t t +⋅<++成立， 原不等式得证.【点睛】本题考查了由导数求函数的单调区间，根据单调区间的取值特点判断零点个数，由导函数的单调性证明不等式成立，由不等式性质化简变形，对理解问题分析问题能力要求高，属于难题.请从下面所给的22、23两题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.【选修4-4：极坐标与参数方程】22.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=，设曲线1C 与曲线2C 的公共弦所在直线为l .（1）在直角坐标系下，求曲线1C 与曲线2C 的普通方程；（2）若以坐标原点为中心，直线l 顺时针方向旋转6π后与曲线1C 、曲线2C 分别在第一象限交于A 、B 两点，求AB .【答案】（1）1C ：()2224x y -+=；2C ：()2224x y +-=；（2）【解析】【分析】（1）由22sin cos 1αα+= 消参数得到1C 的普通方程，对于4sin ρθ=两边同乘以ρ，即可得到曲线2C 的普通方程.（2）将1C 与2C 的普通方程相减，即直线l 的方程：0x y -=，即l 的极坐标方程为4πθ=（ρ∈R ），顺时针方向旋转6π后，即可得出直线AB 的极坐标方程，即直线AB 的极坐标方程为12πθ=，设1,12A πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,12B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12AB ρρ=-=【详解】解：（1）圆1C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）， 其普通方程为()2224x y -+=， 圆2C 的极坐标方程为2224sin 4sin 4x y y ρθρρθ=⇒=⇒+=，化为普通方程为()2224x y +-=， （2）由()()22222424x y x y ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩，两式作差可得：0x y -=， 即直线l 的极坐标方程为4πθ=（ρ∈R ）； 由题可知直线AB 的极坐标方程为4312πππθ=-=，圆1C 的极坐标方程为4cos ρθ=， 不妨设1,12A πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,12B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中10ρ>，20ρ>，则124cos 4sin 12123AB πππρρ=-=-==【点睛】此题主要考查圆的参数方程、圆的极坐标方程与普通方程的转化，属于中档题目.【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数1()||2f x x =-，且对任意的x ，1()()2f x f x m +-+≥. （1）求m 的取值范围；（2）若N m ∈，证明：22(sin )(cos 1)f f m αα-+≤.【答案】（1）12m ≤（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）先求得函数1()2f x f x ⎛⎫+-+⎪⎝⎭式，结合绝对值三角不等式即可求得最小值，进而得m 的取值范围；（2）由（1）中m 的取值范围，结合N m ∈可得0m =.代入不等式及函数解析式，分类讨论得分段函数解析式，并求得各自的最大值，即可证明不等式成立.【详解】（1）函数1()||2f x x =-， 由绝对值三角不等式可得11()22f x f x x x ⎛⎫+-+=-+- ⎪⎝⎭ ()1122x x ≥-+-= 当且仅当()102x x ⎛⎫-⋅-≥ ⎪⎝⎭时取等号， 因而12m ≤ （2）证明：由（1）可知12m ≤，且N m ∈， 则0m =，要证明22(sin )(cos 1)f f m αα-+≤，只需证明22(sin )(cos 1)0f f αα-+≤， 而222211(sin )(cos 1)sin cos 22f f αααα-+=--+ 2211sin cos 22αα=--- 22212sin 2,sin 1211,0sin 2ααα⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩， 当21sin 12α≤≤时，222(sin )(cos 1)2sin 20f f ααα-+=-≤. 当210sin 2α≤<时，22(sin )(cos 1)1f f αα-+=-， 综上可知22(sin )(cos 1)0f f αα-+≤，原命题得证.【点睛】本题考查了绝对值三角不等式的综合应用，去绝对值化简函数表达式，由分段函数最值证明不等式成立，属于中档题.。