高中不定方程

高中数学解题技巧之不定方程求解不定方程在高中数学中是一个重要的概念，涉及到求解方程中的未知数的取值范围。

本文将介绍不定方程的求解方法和一些解题技巧，帮助高中学生更好地应对这类题目。

一、不定方程的定义和基本概念不定方程是指含有未知数的方程，但未知数的取值范围不确定，需要通过一定的条件来求解。

常见的不定方程包括线性不定方程、二次不定方程等。

例如，求解线性不定方程3x + 4y = 7，其中x和y为未知数。

这个方程的解是指满足条件的x和y的取值，使得等式成立。

二、线性不定方程的求解方法1. 列举法：对于简单的线性不定方程，可以通过列举的方法来求解。

例如，解线性不定方程3x + 4y = 7，我们可以列举出一些满足条件的整数解，如(1, 1)、(3, 1)等。

通过观察这些解的规律，我们可以发现解的特点，进而得到一般解。

2. 欧几里得算法：对于形如ax + by = c的线性不定方程，可以利用欧几里得算法来求解。

首先，我们需要找到一个特殊解(x0, y0)，然后利用欧几里得算法求出方程的通解。

例如，求解线性不定方程3x + 4y = 7。

我们可以先找到一个特殊解(3, -2)，然后利用欧几里得算法求出方程的通解。

具体步骤如下：步骤一：利用欧几里得算法求出3和4的最大公约数d，同时求出一组整数解(u0, v0)，使得3u0 + 4v0 = d。

步骤二：将方程两边同时除以d，得到(3/d)x + (4/d)y = 7/d。

步骤三：将特殊解(3, -2)代入上式，得到(3/d)x + (4/d)y = 7/d。

通过观察我们可以发现，方程的通解为x = 3 + 4k，y = -2 - 3k，其中k为整数。

三、二次不定方程的求解方法二次不定方程是指含有二次项的不定方程，例如x^2 + y^2 = 25。

对于这类方程，我们可以利用一些特定的方法来求解。

1. 分类讨论法：对于形如x^2 + y^2 = n的二次不定方程，我们可以通过分类讨论的方法来求解。

不 定 方 程【知识精要】形如x +y =4，x +y +z =3，yx 11+=1的方程叫做不定方程，其中前两个方程又叫做一次不定方程．这些方程的解是不确定的，我们通常研究（1）不定方程是否有解？（2）不定方程有多少个解？（3）求不定方程的整数解或正整数解．对于二元一次不定方程问题，我们有以下两个定理： 定理1．二元一次不定方程ax +by =c ，（1）若其中（a ，b ） c ，则原方程无整数解；（2）若（a ，b ）=1，则原方程有整数解；（3）若（a ，b ）｜c ，则可以在方程两边同时除以（a ，b ），从而使原方程的一次项系数互质，从而转化为（2）的情形．如：方程2x +4y =5没有整数解；2x +3y =5有整数解．定理2．若不定方程ax +by =1有整数解⎩⎨⎧==00y y x x ，则方程ax +by =c 有整数解⎩⎨⎧==00cy y cx x ，此解称为特解．方程方程ax +by =c 的所有解（即通解）为⎩⎨⎧-=+=ak cy y bkcx x 00（k 为整数）．对于非二元一次不定方程问题，常用求解方法有：（1）恒等变形．通过因式分解、配方、换元等方法将方程变形，使之易于求解； （2）构造法．先利用恒等式构造一些特解，再进一步证明不定方程有无穷多组解； （3）估算法．先缩小方程中某些未知数的取值范围，然后再求解． 【例题精讲】一 二元一次不定方程例1．求方程4x +5y =21的整数解．解：因为方程4x +5y =1有一组解⎩⎨⎧=-=11y x ，所以方程4x +5y =21有一组解⎩⎨⎧=-=2121y x ．又因为方程4x +5y =0的所有整数解为⎩⎨⎧-==k y kx 45（k 为整数），所以方程4x +5y =21的所有整数解为⎩⎨⎧-=+-=k y kx 421521（k 为整数）．说明：本题也可直接观察得到方程4x +5y =21的一组特解⎩⎨⎧=-=51y x ，从而得到4x +5y =21的通解⎩⎨⎧-=+-=k y kx 4551（k 为整数）．练习1．求方程5x +3y =22的所有正整数解．解：方程5x +3y =1有一组解为⎩⎨⎧=-=21y x所以方程5x +3y =22有一组解为⎩⎨⎧=-=4422y x又因为5x +3y =0的所有整数解为⎩⎨⎧-==k y kx 53，k 为整数所以方程5x +3y =22的所有整数解为⎩⎨⎧+-=-=445223k y k x ，k 为整数由⎩⎨⎧>+->-04450223k k 解得⎪⎩⎪⎨⎧<>544322k k ，所以k =8，原方程的正整数解为⎩⎨⎧==42y x ．说明：由此题可见，求不定方程的正整数解的方法是先求不定方程的所有整数解（通解），然后再求其中的正整数解．这通常需要解不等式组求出通解中k 的取值范围．若一次不定方程的特解不易观察得出，我们可以用辗转相除法求特解．下面通过例题说明这种方法．例2．求方程63x +8y =－23的整数解．解：（1）用x 、y 中系数较大者除以较小者．63=8×7+7． （2）用上一步的除数除以上一步的余数．8=7×1+1 （3）重复第二步，直到余数为1为此． （4）逆序写出1的分解式． 1=8－7×1=8－（63－8×7）×1=8－63+8×7=8×8－63． （5）写出原方程的特解和通解．所以方程63x +8y =1有一组特解⎩⎨⎧=-=81y x ，方程63x +8y =－23有一组特解⎩⎨⎧⨯-==23823y x ，所以原方程的所有整数解为⎩⎨⎧-⨯-=+=k y kx 63238823，k 为整数．练习2．求方程37x +107y =25的整数解． 解：107=2×37+3337=1×33+4 33=4×8+1所以1=33－4×8=33－（37－1×33）×8=37×（－8）+33×9=37×（－8）+（107－2×37）×9=107×9+37×（－26）所以方程37x +107y =1有一组整数解为⎩⎨⎧=-=926y x ，原方程的所有整数解为⎩⎨⎧-⨯=+⨯-=k y kx 372591072526，k 为整数．二 多元一次不定方程（组）的整数解多元一次不定方程的整数解问题可转化为二元一次不定方程来求解．下面通过例题进行说明．例3．求方程12x +8y +36z =100的所有整数解． 解：原方程可化为3x +2y +9z =25．将①分为⎩⎨⎧=+=+25923z t ty x②的一组解为⎩⎨⎧-==t y tx ，所以②的所有整数解为⎩⎨⎧--=+=1132k t y k t xk 1为整数．③的一组解为⎩⎨⎧==27z t ，所以③的所有整数解为⎩⎨⎧-=+=22297k z k tk 2为整数．将⑥代入④⑤，消去t 得，⎪⎩⎪⎨⎧-=---=++=212122397297k z k k y k k x （k 1，k 2为整数）．练习3．一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的小球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3．小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字之和等于21，则小明摸出的球中红球个数最多为几个？解：设红、黄、蓝球各摸出x 、y 、z 个，则⎩⎨⎧=++=++213210z y x z y x )2()1( ②③④ ⑤⑥⑦（2）－（1）消去x 得y +2z =11 （3）（3）的通解为⎩⎨⎧-=+=kz ky 521，k 为整数．所以x =10－y －z =4－k ，当k =0时，x 最大，此时y =1，z =5． 所以小明摸出的球中红球个数最多为4个．三 其他不定方程 例4．求不定方程2111=+y x 的正整数解． 解：原式变形为2x +2y =xy ，即（x －2）（y －2）=4所以⎩⎨⎧=-=-2222y x 或⎩⎨⎧=-=-1242y x 或⎩⎨⎧=-=-4212y x解得⎩⎨⎧==44y x 或⎩⎨⎧==36y x 或⎩⎨⎧==63y x ．练习4．求方程x 2－y 2=105的正整数解．解：（x +y ）（x －y ）=105=3×5×7所以⎩⎨⎧=-=+1105y x y x 或⎩⎨⎧=-=+335y x y x 或⎩⎨⎧=-=+521y x y x 或⎩⎨⎧=-=+715y x y x解得⎩⎨⎧==5253y x 或⎩⎨⎧==1619y x 或⎩⎨⎧==813y x 或⎩⎨⎧==411y x ．例5．求方程y 2+3x 2y 2=30x 2+517的所有正整数解解：原方程可变形为y 2+3x 2y 2－30x 2－10=517，即：（y 2－10）（3x 2+1）=3×13×13． 由于3（3x 2+1），所以3｜（y 2－10）．又因为3x 2+1>1，所以y 2－10>0，经实验可知y 2－10=39，3x 2+1=13． 所以x =2，y =7．说明：本题虽然简单，但也综合运用了恒等变形、估算等多种方法．练习5．求证方程x 3+113=y 3没有正整数解．解：假设方程有正整数解，则由x 3+113=y 3得（y －x ）（y 2+xy +x 2）=113． 由于y >x ，y >11，所以y 2+xy +x 2>112，于是y －x =1，y 2+xy +x 2=113． 所以（x +1）2+x （x +1）+x 2=3x 2+3x +1=113=1331，即3（x 2+x ）=1330． 这与31330矛盾，所以原方程没有正整数解．例6．求方程x +y =x 2－xy +y 2的全部整数解．解：将原方程看成关于x 的一元二次方程：x 2－（y +1）x +（y 2－y ）=0． 若此方程有解，则△=（y +1）2－4（y 2－y ）≥0，即3y 2－6y －1≤0．解得：1－3321332+≤≤y ，所以y =0，1或2． 将y 的值代入原方程可解得：⎩⎨⎧==00y x ，⎩⎨⎧==01y x ，⎩⎨⎧==10y x ，⎩⎨⎧==12y x ，⎩⎨⎧==21y x ，⎩⎨⎧==22y x ．练习6．求方程x 2+y 2=2x +2y +xy 的所有正整数解．解：将原方程看成关于x 的一元二次方程x 2－（y +2）x +（y 2－2y ）=0． 若此方程有整数解，则△=（y +2）2－4（y 2－2y ）为完全平方数． 又因为△=－3（y －2）2+16∈[0，16]，所以△=0，1，4，9或16． 解得y =2或4．代入原方程解得⎩⎨⎧==24y x ，⎩⎨⎧==42y x 或⎩⎨⎧==44y x ．例7．求方程x 6+3x 3+1=y 4的整数解．解：（1）当x >0时，x 6+2x 3+1<y 4<x 6+4x 3+2，即（x 3+1）2<y 4<（x 3+2）2所以x 3+1<y 2<x 3+2，而x 3+1与x 3+2为两个相邻整数，中间不可能有其他整数，这说明x >0不成立．（2）当x =0时，y 4=1，y =±1．（3）当x =－1时，y 4=－1，y 无实数解．（4）当x ≤－2时，x 3+1<0，所以x 6+4x 3+2<y 4<x 6+4x 3+1，即（x 3+2）2<y 4<（x 3+1）2 所以－（x 3+2）<y 2<－（x 3+1），与（1）类似可证x ≤－2不成立．综上所述，⎩⎨⎧==10y x 或⎩⎨⎧-==10y x ．说明：本题先将原方程变形，利用不等式缩小x 的取值范围，再进行求解．练习7．求方程x 2+x =y 4+y 3+y 2+y 的整数解．解：原方程可变形为4x 2+4x +1=4y 4+4y 3+4y 2+4y +1． ∴（2x +1）2=（2y 2+y ）2+3y 2+4y +1 =（2y 2+y ）2+2×（2y 2+y ）+1+（－y 2+2y ） =（2y 2+y +1）2+（－y 2+2y ）（1）当⎩⎨⎧<+->++02014322y y y y ，即当y <－1或y >2时， （2y 2+y ）2<（2x +1）2<（2y 2+y +1）2而2y 2+y 与2y 2+y +1为两相邻整数，所以此时原方程没有整数解． （2）当y =－1时，x 2+x =0，所以x =0或－1． （3）当y =0时，x 2+x =0，所以x =0或－1． （4）当y =1时，x 2+x =4，此时x 无整数解． （5）当y =2时，x 2+x =30，所以x =－6或5．综上所述：⎩⎨⎧-==10y x ，⎩⎨⎧-=-=11y x ，⎩⎨⎧==00y x ，⎩⎨⎧=-=01y x ，⎩⎨⎧=-=26y x ，⎩⎨⎧==25y x ．说明：本题与例7的解法基本思想相同，但各种条件更隐蔽，需要较高的洞察力．。

不定方程结论不定方程是指未知数在方程中有多个解的方程。

在数学中，不定方程是一个经典的研究对象，它在代数学、数论和计算机科学等领域都有着广泛的应用。

本文将从不定方程的定义、求解方法以及一些重要的结论等方面进行探讨。

我们来看一下不定方程的定义。

不定方程一般形式为：$ax + by = c$，其中$a$、$b$、$c$为已知数，$x$、$y$为未知数。

不定方程的求解即是要找到$x$、$y$的所有满足方程的整数解。

根据不定方程的定义，我们可以总结出以下几个重要的结论：1. 整数解存在性：对于不定方程$ax + by = c$，存在整数解的充要条件是$c$是$a$和$b$的最大公约数$gcd(a,b)$的倍数。

换句话说，如果$c$不能被$gcd(a,b)$整除，那么方程$ax + by = c$就没有整数解。

2. 通解的存在性：对于不定方程$ax + by = c$，如果存在整数解$(x_0, y_0)$，那么该方程的任意一个解都可以表示为$(x_0 + \frac{b}{gcd(a,b)}t, y_0 - \frac{a}{gcd(a,b)}t)$，其中$t$为任意整数。

这个解的形式被称为不定方程的通解。

3. 整数解的个数：对于不定方程$ax + by = c$，如果存在整数解$(x_0, y_0)$，那么该方程的整数解的个数为$gcd(a,b)$的倍数。

具体来说，如果$(x_0, y_0)$是方程的一个解，那么方程的整数解个数为$gcd(a,b)$。

4. 解的唯一性：对于不定方程$ax + by = c$，如果存在整数解，那么解不一定是唯一的。

具体来说，方程的整数解可以表示为$(x_0 + \frac{b}{gcd(a,b)}t, y_0 - \frac{a}{gcd(a,b)}t)$，其中$t$为任意整数。

因此，方程的解具有无穷多个。

除了上述结论外，不定方程还有一些其他的性质和特点：1. 不定方程的求解可以通过扩展欧几里得算法来实现。

不定方程的所有解法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：不定方程是指含有未知数的方程，且未知数的值不受限制，可以是整数、分数、无理数等。

解不定方程的方法有很多种，根据方程的形式和要求选择不同的解法。

本文将介绍不定方程的所有解法，包括质因数分解法、辗转相除法、模运算法、裴蜀定理、试错法等各种方法。

1. 质因数分解法对于形如ax+by=c的不定方程，可以通过质因数分解的方法来求解。

首先分别对a和b进行质因数分解，得到a=p1^a1 * p2^a2 * ... * pn^an，b=q1^b1 * q2^b2 * ... * qm^bm。

然后利用质因数分解的特性，可知如果c不能被a和b的所有质因数整除，那么方程就无整数解；如果c能被a和b的所有质因数整除，那么方程就有整数解。

这个方法在求解一些简单的不定方程时很有效。

2. 辗转相除法辗转相除法又称为欧几里德算法，用于求两个整数的最大公约数。

对于形如ax+by=c的不定方程，可以先利用辗转相除法求出a和b的最大公约数d，然后如果c能被d整除，就存在整数解；如果不能被d整除，那么方程就无解。

这个方法比较简单，但只适用于求解一次不定方程。

3. 模运算法模运算法是一种基于模运算的解法，对于形如ax≡b(mod m)的不定方程，可以通过求解同余方程得到解。

将方程转化为标准形式ax-my=b，然后求解同余方程ax≡b(mod m)，如果方程有解，则可以通过一些变换得到原方程的解。

这个方法适用于求解模运算的不定方程。

4. 裴蜀定理裴蜀定理也称为贝祖定理，是解一元不定方程的重要方法。

对于形如ax+by=c的不定方程，根据裴蜀定理，当且仅当c是a和b的最大公约数的倍数时，方程有整数解。

此时可以通过扩展欧几里德算法求出一组解，然后通过变换得到所有解。

这个方法适用于求解一元不定方程的情况。

5. 试错法试错法是一种通过列举所有可能解，然后逐一验证的方法。

对于一些简单的不定方程，可以通过试错法找到所有整数解。

第十六讲 一次不定方程一、知识要点1、不定方程：未知数的个数多于方程的个数的方程（或方程组）称为不定方程（或方程组）。

2、二元一次不定方程的一般形式：ax+by=c 。

3、二元一次不定方程ax+by=c 有整数解的判定：定理1：若二元一次不定方程ax+by=c 中，a 和b 的最大公约数不能整除c ，则方程没有整数解。

例如，方程2x+4y=5没有整数解。

（想一想为什么？）定理2：如果正整数a,b 互质，则方程ax+by=1有整数解，同时方程ax+by=c 有整数解。

例如，3x+5y=7，3与5互质，x=-1,y=2是这个方程的一组整数解。

定理3：如果a,b 互质，且方程ax+by=c 有一组整数解x 0,y 0，则此方程式的所有整数解可表示为⎩⎨⎧-=+=）t at y y bt x x 为整数(00 或 ⎩⎨⎧+=-=）t at y y bt x x 为整数(00 例如，3x+5y=7的所有整数解可表示为⎩⎨⎧+=--=）t t y t x 为整数(3251 4、一次不定方程的整数解的求法：观察法；辗转相除法。

二、例题示范例1、判断下列不定方程（组）哪些有整数解，哪些没有整数解。

(1) 4x+6y=7 (2) 4x+8y=10(3) ⎩⎨⎧=-=+12536z y y x (4) ⎩⎨⎧=-=+121036z y y x例2、求方程3x+5y=1的整数解。

（1）观察法； （2）辗转相除法。

练习：求4x+5y=7的整数解。

例3、求方程37x+107y=25的整数解。

例4、求方程7x+4y=100的所有正整数解。

例5、如果三个既约真分数32,4a ,5b 的分子都加上b ，这时得到的三个分数的和为6，求这三个既约真分数的积。

例7、百鸡问题：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？提示：列不定方程组，化为不定方程解之。

例8、设七位数42762xy 为99的倍数，则x,y 的值是 。

第 13 讲初等数论不定方程13.1 不定方程不定方程是指求含有多个未知数的方程的整数解的问题. 这类问题，常常需要进行较高技巧的代数变形，同时亲密注意方程中隐含的各样数论性质，综合性很强，是数论命题中一个重要部分.本讲研究一些较为基础的不定方程，这些方程的求解过程中代数方法( 代数变形、因式分解或许不等式控制等 ) 所占比率较大，只用到较为浅易的数论知识.【例 1】求全部正整数n ，使得 n318n2115n391 为正立方数．【例 2】求方程的全部整解：y2 2 y x420x3104x240x2015 .【例 3】设 n 是一个三位数（100 n 999）.求全部的n，使得n2的末三位数等于n .【例 4】求全部的三元整数组(x, y, z) ，使得 x3y3z3 3 xyz2015 .【例 5】设p是质数，整数x, y, z 知足0 x y z p . 若 x3 , y3 , z3除以p的余数相等，证明：x y z | x2y2z2 .【例 6】已知 34! 295 232 799 039 604 cd0 847 618 609 643 5ab 000 000 .求 abcd【例 7】求全部质数p ,使得p x y31建立，此中x, y 为正整数.【例 8】方程x y201500 有多少对整数解(x, y) ？【例 9】求出全部的奇质数p ,使得p |1p 1 2 p 1...2015 p 1 .实战操练【操练 1】设 P x46x311x23x 31 ，求使P为完整平方数的整数x 的值．【操练 2】求方程的全部整数解：(m2n)( m n2 ) (m n)3【操练 3】求全部的两位正整数a, b ，使得 100a b,201a b 均为四位数，且均是平方数【操练 4】求有多少个正整数对(m, n) ，使得 7m 3n102004，且 m | n .【操练 5】求全部这样的 2 的幂，将其（十进制表示中的）首位删去后，剩下的数还是一个 2 的幂．【操练 6】求方程y2 1 x x2x3x4的全部整数解．。

不定方程组的解法1. 引言在高中数学中，不定方程组通常是初等代数学习中的一部分。

不定方程组是指方程组中未知数的个数等于或大于方程的个数，同时这些方程中的系数不全为常数的方程组。

解决这些方程组的问题通常是找到一组合适的值满足所有方程，即找到所有未知数的值，这些值称为方程组的解。

本文将介绍几种不定方程组的解法。

2. 全消元法全消元法是求解不定方程组的一种基本方法。

它的基本思想是通过将方程组中一部分未知数用其他未知数来表示，逐步消去所有未知数的系数，以达到求解的目的。

举例来说，考虑以下不定方程组：$$\begin{cases}x+2y+3z=6\\2x-y+z=1\\3x+y+2z=8\end{cases}$$我们可以使用全消元法解决这个问题。

我们可以先使用第二个方程的系数消除第一和第三个方程中的$x$系数。

消去后，方程组变为：$$\begin{cases}x+4y=4\\-9y-4z=-10\\5y+4z=4\end{cases}$$然后，我们使用第一和第三个方程的系数消除$y$系数。

消去后，方程组变为：$$\begin{cases}29x=-8\\-29z=-42\end{cases}$$这里$x=\frac{-8}{29}$，$z=\frac{42}{29}$。

通过代回，我们可以求出$y$。

因此，由于全消元法，我们可以找到方程组的唯一解。

3. 高斯-约旦消元法高斯-约旦消元法也是一种求解不定方程组的方法。

它的基本思想是通过加减消元和除法操作来将方程组转化为阶梯形矩阵，从而解决问题。

举例来说，考虑以下不定方程组：$$\begin{cases}x+2y+3z=6\\2x-y+z=1\\3x+y+2z=8\end{cases}$$我们可以使用高斯-约旦消元法解决这个问题。

我们可以先使用第一个方程的系数消除第二个方程中的$x$系数。

消去后，方程组变为：$$\begin{cases}x+2y+3z=6\\-5y-z=-11\\3x+y+2z=8\end{cases}$$然后，我们使用第二个方程的系数消除第三个方程中的$x$系数。

不定方程三种解法不定方程是指方程中含有一个或多个未知量，并且在给定范围内存在多个整数解的方程。

解决不定方程的问题在数学中具有重要意义，因为它们可以应用于各种实际问题，如商业、工程和密码学等领域。

在这篇文章中，我们将讨论三种解决不定方程的常见方法。

## 1. 穷举法穷举法是最简单的解决不定方程的方法之一。

它的原理是通过穷举所有可能的解来找到符合方程要求的整数解。

首先，我们需要确定未知数的取值范围。

然后，使用循环结构，从最小值开始逐个尝试，直到找到满足方程条件的解或超出最大值。

例如，考虑求解方程x + y = 8，其中x和y是整数。

我们可以通过以下伪代码来实现穷举法：```for x in range(1, 9):for y in range(1, 9):if x + y == 8:print("x =", x, "y =", y)```通过这个方法，我们可以得到方程的所有整数解：(1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2), (7, 1)和(8, 0)。

然而，穷举法在大规模的问题上效率较低，因为它需要遍历所有可能的解，而不是有针对性地解决问题。

## 2. 辗转相除法辗转相除法，也称为欧几里德算法，用于求解关于两个未知数的不定方程。

这种方法的关键思想是利用两个整数的最大公约数来解决方程。

例如，考虑求解方程ax + by = c，其中a、b和c是已知整数，x和y是未知数。

我们可以使用辗转相除法来求解。

首先，我们需要计算a和b的最大公约数。

然后，检查c是否可以被最大公约数整除。

如果是，则方程有解，否则方程无解。

如果方程有解，我们可以使用扩展欧几里德算法来找到x和y的值。

扩展欧几里德算法可以通过递归方式计算出未知数的值。

辗转相除法是一种较为高效的方法，因为它只需要计算最大公约数和进行有限次的递归运算。

## 3. 数论方法数论方法是解决特定类型不定方程的一种方法。

第二十一讲 不定方程（三）：求不定方程的一些方法1、 公式法解不定方程：例如，二元一次不定方程、勾股方程、佩尔方程。

2、 同余分析法解不定方程在方程两边取适当的模后，往往能找到方程的解应满足的某些必要条件，甚至推出方程有无整数解。

例1、证明：不定方程68322=-+z y x 没有整数解。

3、 不等式估计法不等式估计法是指通过对所考察的量的放缩得到未知数取值条件的不等式，解这些不等式就得到未知数取值的范围，从而达到求解目的的方法。

例2、求方程6133+=-xy y x 的正整数解。

例3、求出所有满足方程xyz zx yz xy 4)(5=++的正整数z y x ,,。

4、 代数恒等变形解不定方程:例如，因式分解、配方、换元等。

①、 因式分解法：将方程的一边化为常数，作质因数分解，另一边含未知数的代数式也作因式分解，考查各个因式的取值情况，再配对求解。

例4、求方程073222=--+y x y x 的整数解。

例5、求不定方程24222222222444+++=++x z z y y x z y x 的全部解.②、 配方法例6、已知实数y x ,满足,43)123)(32(22=++++y y x x 求y x +。

③、 换元法：若能判明不定方程的未知数之间有倍数关系，则常使用换元法消去未知数或倍数，使方程简化。

例7、试求出所有的正整数c b a ,,，其中c b a <<<1，且使得)1)(1)(1(---c b a 是1-abc 的约数。

第二十一讲 不定方程（三）练习1、 若8)(422-+=+b a b a ，则=a ____=b ____.2、 已知一件工程某队干了一天后，另一队接着又干了一天，共完成工程量的74，问各队干几天才能完成整个工程？3、 证明：方程75222=-y x 无整数解.4、 求满足方程xy y x y x ++=+)(222的所有正整数y x ,.5、 若三个棱长为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为564cm 2 ,则这个正方体的体积之和为多少？附加题：1、证明以下命题：（1）对任一正整数a ，都存在正整数,()b c b c <，使得222,,a b c 成等差数列；（2）存在无穷多个互不相似的三角形n ∆,其边长,,n n n a b c 为正整数且222,,n n na b c 成等差数列.。

第六节 不定方程所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。

不定方程也称为丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。

不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。

不定方程的重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现，每年世界各地的数学竞赛吉，不定方程都占有一席之地；另外它也是培养学生思维能力的好材料，数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决问题。

在本节我们来看一看不定方程的基础性的题目。

基础知识1．不定方程问题的常见类型：（1）求不定方程的解；（2）判定不定方程是否有解；（3）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。

2．解不定方程问题常用的解法：（1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；（2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；（3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；（4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；（5）无穷递推法。

以下给出几个关于特殊方程的求解定理：（一）二元一次不定方程（组）定义1.形如c by ax =+(,,,,Z c b a ∈b a ,不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。

定理1.方程c by ax =+有解的充要是c b a |),(；定理2.若1),(=b a ，且00,y x 为c by ax =+的一个解，则方程的一切解都可以表示成⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t b a a y y t b a b x x ),(),(00t (为任意整数)。

定理3.n 元一次不定方程c x a x a x a n n =+++ 2211，(N c a a a n ∈,,,,21 )有解的充要条件是c a a a n |),,,(21 .方法与技巧：1．解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。