一元二次方程解法

一元二次方程解法大全

一元二次方程是数学中的一个基本概念，它的一般形式是 ax^2 + bx + c =

0，其中 a、b 和 c 是常数，x 是未知数。解一元二次方程的方法有多种，包括直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。具体如下：

1、直接开平方法：

形如 x²=p 或（nx+m）²=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程。

如果方程化为 x²=p（p≥0）的形式，那么可得 x=±√p;如果方程能化成（nx+m）²=p（p≥0）的形式，那么 nx+m=±√p。

2、配方法解一元二次方程：

用配方法解一元二次方程的一般步骤：

1) 把原方程化为的形式；

2) 将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；

3) 方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

4) 再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

5) 若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.

3、公式法

一个一元二次方程经过整理化成 ax²+bx+c=0（a≠0）后，其中 ax²是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax²+bx+c=0，当 b²-4ac≥0

时，将 a、b、c 代入式子 x=(−b±√b2−4ac）/2a 就得到方程的根。

这个式子叫作一元二次方程的求根公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法。

4、因式分解法解一元二次方程的步骤:

1) 将方程右边化为0；

2) 将方程左边分解为两个一次式的积；

3) 令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；

4) 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.

- 1 - 一元二次方程单元测试题

一、选择题：(每小题3分,共36分)

1. 下列方程中是一元二次方程的是 （ ）

（A）22)1(2xx （B）01232xx （C）042xx （D）02352xx

2. 方程1)14(2x的根为（ ）

（A）4121xx （B）2121xx （C）,01x 212x （D）,211x 02x

3. 解方程 7(8x + 3)＝6(8x + 3)2的最佳方法应选择( ）

（A）因式分解法 （B）直接开平方法 （C）配方法 （D）公式法

4. 下列方程中, 有两个不相等的实数根的方程是（ ）

（A）x2–3x + 4＝0 （B）x2–x–3＝0 （C）x2–12x + 36＝0 （D）x2–2x + 3＝0

5、已知ｍ是方程012xx的一个根，则代数ｍ2－ｍ的值等于 （ ）

A、１ B、－１ C、0 D、2

6、若方程0152xx的两根为的值为则、212111,xxxx（ ） A、5 B、51 C、5 D、51

7. 以知三角形的两边长分别是2和9, 第三边的长是一元二次方程x2–14x + 48＝0的解, 则这个三角形的周长是（ ）（A）11 （B）17 （C）17或19 （D）19

8. 下列说法中正确的是 （ ）（A）方程280x有两个相等的实数根;

（B）方程252xx没有实数根; （C）如果一元二次方程20axbxc有两个实数根，那么0。 （D）如果ac、异号，那么方程20axbxc有两个不相等的实数根.

9. 若一元二次方程(1–2k)x2 + 12x–10＝0有实数根, 则K的最大整数值为（ ）

（A）1 （B）2 （C）–1 （D）0

精锐教育学科教师辅导讲义

学员编号： 年 级：八 课 时 数：3

学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师

授课

类型 T 同步知识讲解 C 专题方法讲解 T 学法与能力测评

授课日期时段

教学内容

一、同步知识梳理

一元二次方程

1） 概念： 等式，=号两边是整式，只含有一个求知数（一元），并且求知数的最高次数是2（二次）；

2） 表现形式：

（1） 一般形式：)0(02acbxax；

① 当0,0cb，方程为02cax；

② 当0,0bc，方程为02bxax；

③ 当0,0bc，方程为02ax；

3） 注意0a；

（1） 只有当0a，02cbxax才叫做一元二次方程；

（2） 当0,0ba，方程变成0cbx，变成一元一次方程；

（3） 判断一个方程是不是一元二次方程，不能只看表面现象，要看化简后的最简式，整理成一元二次方程的一般形式；

（4） 如果明确指出方程02cbxax是一元二次方程，那就隐含了0a这一条

件；

4） 一元二次方程的解：

（1） 有的一元二次方程有两个不相等的实数解；有的方程有两个相等的实数解；有的方程无实数根；

（2） 判断某个实数是不是一元二次方程的解，代入其方程看是否符号即可；

5） 一元二次方程的解法：

（1） 直接开平方法

形如02cax或0)(2cmxa

（2） 配方法

① 把形如02cbxax的一元二次方程通过配方变形为nmxa2)(的形式，左边是一个含有求知数的完全平方式，右边是一个非负常数，这个方程就能应用直接开平方法求解；

② 配方法的理论依据是完全平方公式：222)(2bababa

一元二次方程的概念及解法和讲义

知识点一：一元二次方程的概念

(1)定义：只含有一个未知数．．．．．．．．，并且未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的整式方程．．．．就是一元二次方程。

(2)一般表达式：)0(02acbxax

(3)四个特点：

(1)只含有一个未知数；

(2)且未知数次数最高次数是2；

(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02acbxax的形式，则这个方程就为一元二次方程．

（4）将方程化为一般形式：02cbxax时，应满足（a≠0）

例1：下列方程①x2+1=0；②2y(3y-5)=6y2+4；③ax2+bx+c=0 ；④0351xx，其中是一元二次方程的有 。

变式:方程：①13122xx ②05222yxyx ③0172x ④022y中一元二次程的是 。

例2：一元二次方程12)3)(31(2xxx化为一般形式为： ，二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。

变式1：一元二次方程3（x—2）2＝5x－1的一般形式是 ，二次项系数是

，一次项系数是 ，常数项是 。

变式2：有一个一元二次方程，未知数为y，二次项的系数为－1，一次项的系数为3，常数项为－6，请你写出它的一般形式______________。

例3：在关于x的方程(m-5)xm-7+(m+3)x-3=0中:当m=_____时，它是一元二次方程；当m=_____时，它是一元一次方程。

变式1：已知关于x的方程(m+1)x2－mx+1=0，它是（ ）