01-1 即墨实验高中高三数学（文）复习学案
正弦定理和余弦定理 编号：08
编写人： 隋海波 审核人： 高三文科数学 时间：2015-09-16
一.知识梳理
1．仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线_____时叫仰角，目标视线在水平视线_____时叫俯角．(如图(a))．
2．方位角
从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α(如图(b))．
3．方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度．
二．课前自主检测
1若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的( )
A．北偏东15° B．北偏西15°
C．北偏东10° D．北偏西10°
2．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为( )
A．502 m B．503 m
C．252 m D.2522 m
【课堂自主导学】
考点分析
考点一 测量距离问题
角度一 两点都不可到达
1.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出AB的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.
若测得CD＝32 km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．
专题突破 应用 河北汤万宁 正弦定理、余弦定理都是解三角形的重要工具， 但它们的作用有所不同，若能综合运用这２个定理， 则能灵活解题，现举例说明． ＿ 例 １ △ＡＢＣ中，ｓｉｎ Ａ—ｓｉｎ Ｂ＋ｓｉｎＢ・ｓｉｎＣ＋ ｓｉｎ Ｃ，求Ａ的畎小． 解由正弦定理，得 ｓｉｎＡ一 ，ｓｉｎＢ一条，ｓｉｎＣ一 ｃ，代人正知等式有 一 ＋ ＋ ，而ａ２一 ＋ ＋，ｂ２＋ －－（１２—４Ｒ２ ａｚ Ｃｚ ａ２ 一 十 十 ，砌一 十 十，＋ 一 ６ｆ． 由余弦定理，得 ． ６ 十（ ２一（２ ２ 一ｂｆ １ ∞ Ａ一— ■一一 一一 ・ 因为０。＜Ａ＜１８０。，所以Ａ一１２Ｏ。． 点 此题解法用到了正弦定理的变式，即２Ｒ的 评 桥梁作用． 一 ： 。例２ 在△ＡＢｃ中，ｎ、ｂ、ｃ分别是 Ａ、 Ｂ、 Ｃ的对边， Ａ一６０。，６、Ｃ恰好是方程ｚ 一７ｚ＋１】一０ 的２根，求边口的长及△ＡＢＣ的外接圆的面积． 解由韦达定理得６＋Ｃ一７，ｂｃ一１１． 由余弦定理，得。。一ｂ ＋ｆ 一２ｂｃｃｏｓＡ，变形得 １２。一（６＋ｃ）。一２ｂｃ（１＋ｃｏｓＡ）一 ７。一２×ｌｌ（１＋ｃｏｓ６０。）一１６． 因为ａ＞０，所以ａ一４． 由正弦定理，得ａ一２ＲｓｉｎＡ，所以４＝＝＝２Ｒｓｉｎ６０。， 所以Ｒ＝ 一 一去 一萼・ …２ 故Ｓ 目一 Ｒ 一 ． 已知△ＡＢＣ中，ａ。＋ｂ。～Ｃ。一Ｃ （ｎ＋６一 Ｌ・高二 ｃ），且ａｃｏｓＢ—ｂｃｏｓＡ，试判定△ＡＢＣ的形状． 解 由ａ。－ｔ—ｂ。～Ｃ。一Ｃ。（ｎ＋６～ｆ），得 ｎ。＋ｂ。一Ｃ。＝＝＝（ｄ＋６）Ｃ。一Ｃ。，即ａ。＋ｂ３一Ｃ２（ｎ＋６）， 所以ｎ ＋ｂ ～Ｃ。一ａｂ，由余弦定理，得 ｃｓｃ一 一 一专，所以ｃ—ｅ。。．。 Ｌ一— 一一 一 ，所以ｃ一６ｕ ・ 由ｄＣＯＳ￣一ｂｃｏｓＡ及正弦定理，得 ２ＲｓｉｎＡｃｏｓＢ一２ＲｓｉｎＢ・ｃｏｓＡ，即 ｓｉｎＡｃｏｓＢ—ｃｏｓＡｓｉｎＢ＝＝＝０，所以ｓｉｎ（Ａ—Ｂ）＝＝＝０，Ａ～Ｂ一 ０，Ａ—Ｂ，且Ａ＋Ｂ一１２Ｏ。． 所以Ａ—Ｂ＝＝＝６Ｏ ，即Ａ＝＝＝Ｂ—Ｃ＝＝＝６０。，故△ＡＢＣ 是正三角形． 一，． 例４ 在△ＡＢＣ中，角Ａ、Ｂ、Ｃ的对边分别是 证明 Ｃ一 Ｓ １ｎ ． Ｌ一 证明 由余弦定理得 ＆ 一ｂ ＋ｆ 一２ｂｃｃｏｓＡ，则 ～ａ２ｒ－ｂ２一—ｃｚ－—２ ｂｃｃｏ—ｓＡ一１—２…ｂ ｃ。ｓＡ． 又依正弦定理有 一 ｓｉｎ Ｂ，所以 堡＝＝＝ 一２・ ・ｃ。ｓＡ一 三一＿繁害拿 坠一 ｓ—ｉ—ｎ———（Ａ———ｔ————Ｂ）——－————２ｃ—ｏ——ｓ——Ａ—、—ｓｉｎ——Ｂ——：一ｓｉｎＡｃｏｓＢ－ｃｏｓＡｓｉｎＢ ｓｉｎＣ ｓｉｎＣ 一右边． 故原等式成立． Ａ ＃侈ｑ ５如图１，在ＡＡＢＣ 中，ＡＣ＝２，ＢＣ＝１，ｃ。ｓＣ－ ３， 求ｓｉｎ（２Ａ＋Ｃ）的值． 解由余弦定理，得 Ａ 一Ａ 十故 一２ＡＣ‘ 图ｌ ＢＣ・ｃｏｓＣ一２ ＋１。一２×２Ｘ１×ＣＯＳＣ一２． 那么ＡＢ一 ，由ｃ。ｓｃ一 ３，且ｏ＜ｃ＜ ，得ｓｉｎｃ＝：＝ ＿二丽一 ．由正弦定理得 一 Ｂ Ｃ，解得 ｓｉｎ 一 一孚，所以ｃ。ｓＡ一 ． 由正弦二倍角公式得ｓｉｎ２Ａ￣－２ｓｉｎＡｃ。ｓＡ一 ， ｃ。ｓ２Ａ＝１—２ｓｉ Ａ一 ，故ｓｉｎ（２Ａ＋Ｃ）＝ｓｉｎ２Ａｃ。ｓｃ＋ ２ｃｏＳ２Ａｓｉｎｃ一 ．
1 正弦定理、余弦定理的实际应用
一、教学目标：
应用正余弦定理解决三角形中常见的有关：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、航海问题、物理问题等。
二、教学重点、难点：
将实际问题转化为解三角形问题。
三、应用
（一）实际问题中常用的角
（1）仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角。
（2）方位角：指从正北方向顺时针转到目标方位线的水平角。
（3）坡度：坡面与水平面所成的二面角。
（二）例题选讲：
例1、如图示，为了测量小河两岸之间的距离，在河的一岸边（观察者所在的一边）选定A和B两点，选择对岸的一参照物C，测得004575120CABCBAAB，，米，设A、B、C在同一平面内，求河宽
变式：如图示，为了测量河对岸两点A、B之间的距离，在河岸这边取点C、D,测得
mCDBCDACDBDCADC100,75,45,60,75，设A,B,C,D在同一平面内，试求A,B两点之间的距离
A C
B
D C B A
2 例2、在塔底的水平面上测得塔顶的仰角为由此点向塔的方向沿直线行走30米，测得塔顶的仰角为2，再向塔前进103米，又测得塔顶的仰角为4，则塔高多少米？。
例3、如图示，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号。我海军舰艇在A处获悉后，测出该渔轮正沿方位角为45度，距离为10n mile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105度的方向，以9n mile/h的速度向小岛靠拢，我海军立即以21n mile/h的速度前去营救。求舰艇的航向和靠拢渔轮所需的时间（角度精确到0.1度，时间精确到1分钟）。
变式：如图示，某岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北东60度的C处，12时20分测得轮船在海岛北偏西60度的B处，12时40分轮船到达位于海岛正西方向且距海岛5km的E港口，假设轮船始终匀速直线前进，求船速。
正弦定理、余弦定理的变形应用 一黄文华 摘要：正弦定理和余弦定理是三角形中的两个重要定理， 对三角形的边角转化起重要作用．它是。解三角形”这一章最 基础最核 的内容，也是考试的一个常考内容．本文主要讲两 个定理的几种变形及应用． 关键词：正弦定理；余弦定理；变形 正弦定理、余弦定理是解三角形的工具，也是高考的重点 和热点，在高中数学中占有重要地位，它的变形形式有很多， 应用比较灵活，除教材上的变形外还有以下几种变形应用： 一、方程式 通过将余弦定理公式移项整理可以得到变形如下： 口 一（２ｂｃＯｓ Ｃ）Ⅱ４－ｂ 一Ｃ２＝０：６ 一（２ｃｃＯｓ Ａ）ｂ＋ｃ ０一 ｄ ０＝０；ｃ。一（２ａ ＣＯＳＢ）ｃ＋ｎ 一ｂ ＝０． 这组变形可以看作是关于某一边的一元二次方程，通过 判断该方程的正根个数来判断三角形解的个数． 例１在△ＡＢＣ中，三边分别为ａ，６，ｃ，所对的角分别为 Ａ，Ｂ，Ｃ，根据下列条件，分别判断三角形解的个数． （１）ｎ一４，６—３，Ｂ＝６０。；（２）Ⅱ＝３，６—６，Ａ一３０。；（３）ｆ一 ９，ｂ—ｌ２。Ｃ＝４５。 解：（１）由余弦定理ｂ ＝Ⅱ ＋ｃ。一２ａｃＣＯＳＢ可得，ｃ 一４ｃ ＋７＝Ｏ．△一（一４）。一４×ｌ×７一一１２＜０，所以方程无实根，故 满足条件的三角形不存在． （２）由余弦定理易得ｃ 一６ ｃ＋２７—０，显然该方程有两 个相等正根，故满足条件的三角形只有一解． （３）由余弦定理得８１：ｎ ＋１４４—１２ Ⅱ，整理可得口。一 １２√ Ⅱ＋６３＝０．因为△一３６＞０， ｌ＋ｚ ２—１２４５， ｌ ２＝６３，所 以方程有两个正根，故三角形有两个解． 点评：拳变形是将解三角形问题转化为判断一个一元二 次方程不相等正根个数问题，注意方程思想的体现． 二、比例式 由正弦定理可得如下变形式： — 一 口＋ｂ＋ ｂ ｃ＝ｓｉｎ Ａ 例２ 在△ＡＢＣ中，Ａ一６０ ，口＝￣／１３，ｂ＝１，ｃ一４则 羔 的值为（）． Ｂ． ｃ． 。． 解：直接由ｓｉｎ。Ａ一 ａ ＋ ｂ百＋干ｃ； ，可计算。答案 选Ｂ． 例３ 在△ＡＢＣ中，Ａ、Ｂ、Ｃ的对边分别为口，６，ｃ，且 ｓ Ｂ＝ ， ｉｎｃ＝ ，则ｎ：６： 为（ ） Ａ．１：√ｉ：２ Ｂ．１：ｌ： Ｃ １：２：＾ Ｄ．２：ｌ：√可或ｌ：ｌ：√可 解：由ｓｉｎＢ— １，ｓｉｎ Ｃ＝ 得：Ｂ一詈或 ，ｃ一号或 ＿ｊ＿２ ．当Ｂ＝詈，ｃ一詈时，求出Ａ＝ｙ ，根据正弦定理得ｎ：６ ｃ＝ｓｉｎＡ：ｓｉｎＢ：ｓｉｎ Ｃ＝１：÷： ２ 当Ｂ＝ 詈，ｃ＝了２ 时，求出Ａ＝ｙ ．同理得：ｎ：ｂ：ｃ一÷：１２： ２ 一ｌ：１； ；当Ｂ＝ ，ｃ一 或了２Ⅱ时，与三角形的内角和 ｂ ５ 定理相矛盾，应舍去．综上，ｎ：ｂ：ｃ一２：ｌ：√可或ｌ：ｌ：√ ， 故选Ｄ． 点评：正弦定理结合等比定理、合分比定理可证明或计算 一些较复杂的比例式． 三、配方式 通过将余弦定理的右边配成一个完全平方式，可以得到 变形式如下： Ⅱ ＝（６＋ｃ） 一２ｂ （１＋ＣＯＳＡ）：６ 一（ｎ＋ｃ） 一２口 （１－４－ ＣＯＳＢ）；ｃ ＝（ｄ＋ｂ） 一２ａｂ（１＋ＣＯＳＣ）． 这组变形可以用来求三角形的某两边之积，进一步求三 角形的面积． 例４在△ＡＢＣ中，已知１２—８，ｂ＋ｃ一１２，Ａ一６０。，求 ＡＡＢＣ的面积． 解：由口。一（＾４－ｃ） 一２ｂｃ（１＋ＣＯＳ Ａ）得：６４ １２ 一 ２ｂｃ（１－ｔ－ｃ。ｓ ６０￣）．解得ｂｃ：＿＝＿８Ｏ． 所以Ｓ△ 一÷ ｉ Ａ： ． 点评：本题已知一条边及其对角，并且还给出其余两边的 关系，求面积应联想到余弦定理，注意整体思想的体现． 四、边角互化式 根据边角关系判断三角形的形状是一类热点问题，解答 此类问题一般先运用正、余弦定理转化已知的边角关系，再进 一步判断三角形的形状，这种转化一般有两个通道，即化角为 边或化边为角． 例５ ＡＡＢＣ中，已知３ｂ＝２ ｎ ｓ；ｎ Ｂ，且ｃ＝÷，则 △ＡＢＣ的形状为（ ）． Ａ．直角三角形 Ｂ．等腰三角形 Ｃ．等边三角形 Ｄ．等腰直角三角形 解：因为３ｂ＝２√ｉｎ ｓｉｎ Ｂ，所以由正弦定理得３ｓｉｎ Ｂ一 ２√ ｓｉｎＡｓｉｎＢ．在ＡＡＢＣ中ｓｉｎＢ≠０，所以３＝２√ ｓｉｎＡ，即 ｓｉｎＡ＝ ，则Ａ＝．ｊ－ｘ或了２：ｒ．当Ａ＝警时，Ａ－ｔ－Ｃ＝ 不满足条 件，所以此时Ａ＝÷，故Ａ＝Ｂ＝Ｃ，即ＡＡＢＣ的形状为等边 三角形． 作者单位：湖北省潜江市实验高级中学 中学生效理亿．掌趼版
