数学建模问题类型

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中考试题数学建模的常见类型

作者：廖清光

来源：《文理导航》2012年第35期

全日制义务教育数学课程标准对数学建模提出了明确要求，强化学生数学建模的能力，不仅能使学生更好地掌握数学基础知识，学会数学的基本思想和方法。也能增强学生应用数学的意识，提高分析问题，解决实际问题的能力。近几年全国各地的中考试题考查学生建模思想和意识的题目有许多，比较常见类型有以下四类：

一、建立“函数”模型

函数反映了事物间的广泛联系，揭示了现实世界众多的数量关系及运动规律。现实生活中，诸如最大获利、用料价造、最佳投资、最小成本、方案最优化问题，常可建立函数模型求解。

例1 （贵阳市中考）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱。

（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式。

（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式。

（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

解：（1）y=90-3（x-50） 化简，得y=-3x+240

（2）w=（x-40）（-3x+240）=-3x2+360x-9600

（3）w=-3x2+360x-9600= -3（x-60）2+1125

∵a=-3

∴当x=55时，w的最大值为1125元。

∴当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得最大利润1125元的最大利润。

二、建立“不等式（组）”模型 龙源期刊网

现实生活建立中同样也广泛存在着数量之间的不等关系。诸如统筹安排、市场营销、生产决策、核定价格范围等问题，可以通过给出的一些数据进行分析，将实际问题转化成相应的不等式问题，利用不等式的有关性质加以解决。

备战2020年中考数学压轴题之二次函数

专题01 二次函数基础上的数学建模类

【方法综述】

此类问题以实际问题为背景，一般解答方法是先按照题目要求利用各种数学知识，构造二次函数的数学模型，再通过将临界点带入讨论或者通过考察二次函数最值讨论解决实际问题。

【典例示范】

类型一 临界点讨论

例1：（2019河北石家庄毕业班教学质量检测）跳绳是大家喜闻乐见的一项体育运动,集体跳绳时,需要两人同频甩动绳子,当绳子甩到最高处时,其形状可近似看作抛物线,下图是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图,两人拿绳子的手之间的距离为4𝑚,离地面的高度为1𝑚,以小明的手所在位置为原点建立平面直角坐标系.

(1)当身高为15𝑚的小红站在绳子的正下方,且距小明拿绳子手的右侧1𝑚处时,绳子刚好通过小红的头顶,求绳子所对应的抛物线的表达式;

(2)若身高为1.65𝑚的小丽也站在绳子的正下方.

①当小丽在距小亮拿绳子手的左侧1.5𝑚处时,绳子能碰到小丽的头吗?请说明理由；

②设小丽与小亮拿绳子手之间的水平距离为𝑑𝑚,为保证绳子不碰到小丽的头顶,求𝑑的取值范围.(参考数据:

√10取3.16)

【答案】（1）𝑦=−16𝑥2+23𝑥；（2）①绳子能碰到小丽的头，理由见解析；②1.684⩽𝑑⩽2.316.

【思路引导】

（1）因为抛物线过原点，可设抛物线的解析式为：y=ax2+bx（a≠0），把小亮拿绳子的手的坐标（4，0），以及小红头顶坐标（1，1.5-1）代入，得到二元一次方程组，解方程组便可；

（2）①由自变量的值求出函数值，再比较便可；①由y=0.65时求出其自变量的值，便可确定d的取值范围．

【解析】

（1）根据题意,设绳子所对应的抛物线的表达式为𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥 (𝑎≠0)

∵1.5-1=0.5，

∴抛物线经过点(4,0)和点(1,0.5)

【数学建模】数学模型总结 吴翔

1 四类基本模型

1 优化模型

1.1 数学规划模型

线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。

1.2 微分方程组模型

阻滞增长模型、SARS传播模型。

1.3 图论与网络优化问题

最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。

1.4 概率模型

决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov链模型。

1.5 组合优化经典问题

 多维背包问题(MKP)

背包问题：n个物品，对物品i，体积为iw，背包容量为W。如何将尽可能多的物品装入背包。

多维背包问题：n个物品，对物品i，价值为ip，体积为iw，背包容量为W。如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。

多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。该问题属于NP难问题。

 二维指派问题(QAP)

工作指派问题：n个工作可以由n个工人分别完成。工人i完成工作j的时间为ijd。如何安排使总工作时间最小。

二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n台机器要布置在n个地方，机器i与k之间的物流量为ikf，位置j与l之间的距离为jld，如何布置使费用最小。

二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。

 旅行商问题(TSP)

旅行商问题：有n个城市，城市i与j之间的距离为ijd，找一条经过n个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。

 车辆路径问题(VRP)

车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n个客户的位置坐标和货物需求，在【数学建模】数学模型总结 吴翔

2 可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。

深圳杯数学建模2023题目

摘要：

一、深圳杯数学建模竞赛介绍

1.深圳杯数学建模竞赛背景

2.2023 年深圳杯数学建模竞赛题目类型及难度

二、2023 年深圳杯数学建模 ABCD 题思路分析

1.A 题：数学模型在城市交通中的应用

2.B 题：新冠疫情的传播与防控策略

3.C 题：无人机航线路径规划问题

4.D 题：机器人路径规划问题

三、深圳杯数学建模竞赛的准备与策略

1.组队与分工合作

2.资料查找与学习

3.论文撰写与格式要求

4.时间管理与心态调整

四、深圳杯数学建模竞赛对参赛者的意义与收获

1.提升数学建模能力

2.增强团队合作与沟通能力

3.拓宽学术视野与思维

4.对未来发展的帮助与影响

正文： 深圳杯数学建模 2023 题目涵盖了多个领域，包括城市交通、新冠疫情传播、无人机航线路径规划以及机器人路径规划等。这些题目旨在培养学生的创新思维、问题解决能力和团队合作精神，并通过模拟实际问题，运用数学工具和方法，提出解决方案。以下是针对 2023 年深圳杯数学建模 ABCD 题的思路分析：

A 题：数学模型在城市交通中的应用。此题需要参赛者对城市交通有一定的了解，能够运用数学模型对城市交通问题进行分析和优化。例如，可以研究信号灯控制、道路拓宽、公共交通优化等问题，并提出解决方案。

B 题：新冠疫情的传播与防控策略。此题需要参赛者对新冠疫情的传播有一定的了解，能够运用数学模型对疫情传播进行预测和防控。例如，可以研究病毒传播速度、防控策略的有效性等问题，并提出解决方案。

C 题：无人机航线路径规划问题。此题需要参赛者对无人机航线路径规划有一定的了解，能够运用数学模型对无人机航线路径进行优化。例如，可以研究无人机在避开障碍圆、保持安全距离的前提下，如何规划最短飞行路径等问题，并提出解决方案。