中考数学压轴题分析-函数图象中点的存在性问题-由比例线段产生的函数关系问题
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中考数学压轴题分析-函数图象中点的存在性问题-由比例线段产生的函数关系问题
例1 2015年呼和浩特市中考第25题
已知抛物线y＝x2＋(2m－1)x＋m2－1经过坐标原点，且当＜0时，y随x的增大而减小。
（1）求抛物线的解析式，并写出y < 0时，对应x的取值范围；
（2）设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B， DC⊥x轴于点C.
①当BC＝1时，直接写出矩形ABCD的周长；
②设动点A的坐标为(a, b)，将矩形ABCD的周长L表示为a的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A的坐标；如果不存在，请说明理由．
动感体验
请打开几何画板文件名“15呼和浩特25”，拖动点A在x轴下方的抛物线上运动，观察L随a变化的图像，可以体验到，有两个时刻，L取得最大值，这两个时刻的点A关于抛物线的对称轴对称．
思路点拨
1．先用含a的式子表示线段AB、AD的长，再把L表示为a的函数关系式．
2．点A与点D关于抛物线的对称轴对称，根据对称性，点A的位置存在两个情况．
满分解答
（1）因为抛物线y＝x2＋(2m－1)x＋m2－1经过原点，所以m2－1＝0．解得m＝±1。
如图1，当m＝1时，抛物线y＝x2＋x的对称轴在y轴左侧，不符合当x＜0时，y随x的增大而减小。
当m＝－1时，抛物线y＝x2－3x符合条件。
图1 图2 图3
（2）①当BC＝1时，矩形ABCD的周长为6。
②如图2，抛物线y＝x2－3x的对称轴为直线32x，如果点A在对称轴的左侧，那么3322Dax。
解得3Dxa。所以AD＝3－2a。
当x＝a时，y＝x2－3x＝a2－3a。所以AB＝3a－a2。 所以L＝矩形ABCD的周长＝2(AB＋AD)＝2(3a－a2＋3－2a)＝21132()22a。
因此当12a时，L的最大值为132。此时点A的坐标为15(,)24。
如图3，根据对称性，点A的坐标也可以是55(,)24。
考点伸展
第（2）①题的思路是：如图2，抛物线的对称轴是直线32x，当BC＝1时，点B的坐标为(1, 0)，此时点A的横坐标为1，可以求得AB＝2。
第（2）②题中，L随a变化的图像如图4所示。
图4
例2 2014年上海市静安区中考模拟第24题
已知⊙O的半径为3，⊙P与⊙O相切于点A，经过点A的直线与⊙O、⊙P分别交于点B、C，cos∠BAO＝13．设⊙P的半径为x，线段OC的长为y．
（1）求AB的长；
（2）如图1，当⊙P与⊙O外切时，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）当∠OCA＝∠OPC时，求⊙P的半径．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14静安24”，拖动圆心P运动，可以体验到，△OAB与△PAC保持相似，∠OCA的大小保持不变．两圆外切和内切，各存在一次∠OPC＝∠OCA．从图像中可以体验到，当两圆外切时，y随x的增大而增大．
思路点拨
1．第（1）题求弦AB的长，自然想到垂径定理或三线合一．
2．第（2）题构造直角三角形，使得y成为斜边长，再用勾股定理．
3．第（3）题两圆外切可以直接用第（2）的结论，两圆内切再具体分析．
4．不论两圆外切还是内切，两个等腰△OAB与△PAC相似．
满分解答
（1）如图2，作OE⊥AB，垂足为E，由垂径定理，得AB＝2AE．
在Rt△AOE中，cos∠BAO＝13AEAO，AO＝3，所以AE＝1．所以AB＝2．
（2）如图2，作CH⊥AP，垂足为H．
由△OAB∽△PAC，得AOAPABAC．所以32xAC．所以23ACx．
在Rt△ACH中，由cos∠CAH＝13，得1322AHACCH．
所以1239AHACx，224239CHACx．
在Rt△OCH中，由OC2＝OH2＋CH2，得222422()(3)99yxx．
整理，得23649813yxx．定义域为x＞0．
图2 图3
（3）①如图3，当⊙P与⊙O外切时，如果∠OCA＝∠OPC，那么△OCA∽△OPC．
因此OAOCOCOP．所以2OCOAOP．
解方程236493(3)813xxx，得154x．此时⊙P的半径为154．
②如图4，图5，当⊙P与⊙O内切时，同样的△OAB∽△PAC，23ACx． 如图5，图6，如果∠OCA＝∠OPC，那么△ACO∽△APC．
所以AOACACAP．因此2ACAOAP．
解方程22()33xx，得274x．此时⊙P的半径为274．
图4 图5 图6
考点伸展
第（3）题②也可以这样思考：
如图4，图5，图6，当∠OCA＝∠OPC时，3个等腰三角形△OAB、△PAC、△CAO都相似，每个三角形的三边比是3∶3∶2．
这样，△CAO的三边长为92、92、3．△PAC的三边长为274、274、92．
例3 2013年宁波市中考第26题
如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(4,0)，点C的坐标为(－4,0)，点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P、D、B三点作⊙Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于F，连结EF、BF．
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）当点P在线段AB（不包括A、B两点）上时．
①求证：∠BDE＝∠ADP；
②设DE＝x，DF＝y，请求出y关于x的函数解析式；
（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B、D、F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2∶1？如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 图1
动感体验
请打开几何画板文件名“13宁波26”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，△DEF保持等腰直角三角形的形状，y是x的一次函数．观察BD∶BF的度量值，可以体验到，BD∶BF可以等于2，也可以等于0.5．
请打开超级画板文件名“13宁波26”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，△DEF保持等腰直角三角形的形状．观察BD∶BF的度量值，可以体验到，BD∶BF可以等于2，也可以等于0.5．
答案
（1）直线AB的函数解析式为y＝－x＋4．
（2）①如图2，∠BDE＝∠CDE＝∠ADP；
②如图3，∠ADP＝∠DEP＋∠DPE，如图4，∠BDE＝∠DBP＋∠A，
因为∠DEP＝∠DBP，所以∠DPE＝∠A＝45°．
所以∠DFE＝∠DPE＝45°．因此△DEF是等腰直角三角形．于是得到2yx．
图2 图3 图4
（3）①如图5，当BD∶BF＝2∶1时，P(2,2)．思路如下：
由△DMB∽△BNF，知122BNDM．
设OD＝2m，FN＝m，由DE＝EF，可得2m＋2＝4－m．解得23m．
因此4(0,)3D．再由直线CD与直线AB求得交点P(2,2)．
②如图6，当BD∶BF＝1∶2时，P(8,－4)．思路同上．
图5 图6
例4 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，53sinB，⊙B的半径长为1，⊙B交边CB于点P，点O是边AB上的动点．
（1）如图1，将⊙B绕点P旋转180°得到⊙M，请判断⊙M与直线AB的位置关系；
（2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP是等腰三角形时，求OA的长；
（3）如图3，点N是边BC上的动点，如果以NB为半径的⊙N和以OA为半径的⊙O外切，设NB＝y，OA＝x，求y关于x的函数关系式及定义域．
图1 图2 图3
动感体验
请打开几何画板文件名“12徐汇25”，拖动点O在AB上运动，观察△OMP的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以体验到，点O和点P可以落在对边的垂直平分线上，点M不能．
请打开超级画板文件名“12徐汇25”， 分别点击“等腰”按钮的左部和中部，观察三个角度的大小，可得两种等腰的情形．点击“相切”按钮，可得y关于x的函数关系．
思路点拨
1．∠B的三角比反复用到，注意对应关系，防止错乱．
2．分三种情况探究等腰△OMP，各种情况都有各自特殊的位置关系，用几何说理的方法比较简单．
3．探求y关于x的函数关系式，作△OBN的边OB上的高，把△OBN分割为两个具有公共直角边的直角三角形．
满分解答
（1） 在Rt△ABC中，AC＝6，53sinB，
所以AB＝10，BC＝8．
过点M作MD⊥AB，垂足为D．
在Rt△BMD中，BM＝2，3sin5MDBBM，所以65MD．
因此MD＞MP，⊙M与直线AB相离． 图4
（2）①如图4，MO≥MD＞MP，因此不存在MO＝MP的情况．
②如图5，当PM＝PO时，又因为PB＝PO，因此△BOM是直角三角形．
在Rt△BOM中，BM＝2，4cos5BOBBM，所以85BO．此时425OA．
③如图6，当OM＝OP时，设底边MP对应的高为OE．
在Rt△BOE中，BE＝32，4cos5BEBBO，所以158BO．此时658OA．
图5 图6
（3）如图7，过点N作NF⊥AB，垂足为F．联结ON．
当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ON＝x＋y．
在Rt△BNF中，BN＝y，3sin5B，4cos5B，所以35NFy，45BFy．
在Rt△ONF中，4105OFABAOBFxy，由勾股定理得ON2＝OF2＋NF2．
于是得到22243()(10)()55xyxyy．
整理，得2505040xyx．定义域为0＜x＜5．
图7 图8
考点伸展
第（2）题也可以这样思考：
如图8，在Rt△BMF中，BM＝2，65MF，85BF．
在Rt△OMF中，OF＝8421055xx，所以222426()()55OMx．
在Rt△BPQ中，BP＝1，35PQ，45BQ．
在Rt△OPQ中，OF＝4461055xx，所以222463()()55OPx．
①当MO＝MP＝1时，方程22426()()155x没有实数根．
②当PO＝PM＝1时，解方程22463()()155x，可得425xOA
③当OM＝OP时，解方程22426()()55x22463()()55x，可得658xOA．
