高考数学一轮总复习课件：平面向量的数量积

- 1 - 专题26 平面向量的数量积及平面向量的应用

1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．

2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．

3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．

4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．

1．平面向量的数量积

(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos__θ 叫作a与b的数量积(或内积)，记作a²b，即a²b＝|a||b|cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0²a＝0.

(2)几何意义：数量积a²b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos__θ的乘积．

2．平面向量数量积的性质及其坐标表示

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．

(1)数量积：a²b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.

(2)模：|a|＝a²a＝x21＋y21.

(3)夹角：cos θ＝a²b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21²x22＋y22.

(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a²b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.

(5)|a²b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ x21＋y21²x22＋y22.

3．平面向量数量积的运算律

(1)a²b＝b²a(交换律)．

(2)λa²b＝λ(a²b)＝a²(λb)(结合律)．

(3)(a＋b)²c＝a²c＋b²c(分配律)．

4．向量在平面几何中的应用

向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题． - 2 - (1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0．

【考纲解读】

考 点 考纲内容 5年统计 分析预测

平面向量的数量积 ①理解平面向量数量积的概念及其意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系。

②掌握平面向量数量积的坐标运算，掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系。

③会用坐标表示平面向量的平行与垂直。 2014•浙江文9；理8；

2015•浙江文13；理15；

2016·浙江文理15；

2017•浙江10,15.

2018•浙江9. 1.以考查向量的数量积、夹角、模、垂直的条件等问题为主，基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下；

2.同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．

3.备考重点：

(1) 理解数量积的概念是基础，掌握数量积的两种运算的方法是关键；

(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，注意运用数形结合的数学思想，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.

【知识清单】

1．平面向量的数量积及其运算

一、两个向量的夹角

1．定义

已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．

2．范围

向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.

3．向量垂直

如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.

二、平面向量数量积

1．已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角．

规定0·a＝0.

当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.

2．a·b的几何意义：

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．

三、向量数量积的性质

1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a.

2．a⊥ba·b＝0.

3．a·a＝|a|2，||=aaa.

4．cos θ＝||||abab.(θ为a与b的夹角)

5．|a·b|≤|a||b|.

第 1 页 共 11 页 第3讲 平面向量的数量积及应用举例

【知识归纳】

1．向量的夹角

定义 图示 范围 共线与垂直

已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB就是a与b的夹角 设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是

0°≤θ≤180° 若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直

2.平面向量的数量积

定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos__θ叫做a与b的数量积，记作a·b

投影 |a|cos__θ叫做向量a在b方向上的投影，

|b|cos__θ叫做向量b在a方向上的投影

几何

意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos__θ的乘积

3．向量数量积的运算律

(1)a·b＝b·a；

(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

4．平面向量数量积的有关结论

已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.

结论 几何表示 坐标表示

模 |a|＝a·a |a|＝x21＋y21

夹角 cos θ＝a·b|a||b| cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22

a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0

[疑误辨析]

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )

(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( )

(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.( )

(4)(a·b)c＝a(b·c)．( ) 第 2 页 共 11 页 (5)两个向量的夹角的范围是0，π2.( )

(6)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．( )

[教材衍化]

1．(必修4P108A组T6改编)已知a·b＝－122，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|为( )

第3讲 平面向量的数量积及应用举例

最新考纲 考向预测

1.通过物理中的功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.

2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.

3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 命题趋势 平面向量数量积的概念及运算，与长度、夹角、平行、垂直有关的问题，平面向量数量积的综合应用仍是高考考查的热点，题型仍是选择题与填空题.

核心素养 数学运算、逻辑推理

1．向量的夹角

(1)条件：平移两个非零向量a和b至同一起点，

结论：∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做a与b的夹角．

(2)范围：0°≤θ≤180°.

特殊情况：当θ＝0°时，a与b共线同向．

当θ＝180°时，a与b共线反向．

当θ＝90°时，a与b互相垂直．

2．向量的数量积

(1)条件：两个向量a与b，夹角θ，

结论：数量|a||b|cos_θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos_θ．

(2)数量积的几何意义

条件：a的长度|a|，b在a方向上的投影|b|cos_θ

(或b的长度|b|，a在b方向上的投影|a|cos_θ)， 结论：数量积a·b等于|a|与|b|cos_θ的乘积(或|b|与|a|cos_θ的乘积)．

3．平面向量数量积的运算律

(1)a·b＝b·a(交换律)．

(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．

4．平面向量数量积的有关结论

已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝a，b．

结论 几何表示 坐标表示

向量的模 |a|＝a·a |a|＝x21＋y21

夹角余弦 cos θ＝a·b|a||b| cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x2＋y2

a⊥b充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0

|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤x21＋y21x22＋y2