6.5联立模型的单方程估计方法(一)

164 §6.5联立方程模型的单方程估计方法(一)

联立方程计量经济学模型的估计方法分为两大类：单方程估计方法与系统估计方法。所谓单方程估计方法，指每次只估计模型系统中的一个方程，依次逐个估计；所谓系统估计方法，指同时对全部方程进行估计，同时得到所有方程的参数估计量。显然，从模型估计的性质来讲，系统估计方法必然优于单方程方法，但从方法的复杂性来讲，单方程方法又优于系统估计方法。在实际中，单方程方法得到广泛的应用。

单方程估计方法主要解决的是联立方程模型系统中每一个方程中的随机解释变量问题，同时尽可能地利用单个方程中没有包含的、而在模型系统中包含的变量样本观测值的信息，没有考虑模型系统方程之间的相关性对单个方程参数估计量的影响。

单方程估计方法按其方法原理又分为两类。一类以最小二乘为原理，例如间接最小二乘法、两阶段最小二乘法、工具变量法等，我们称其为经典方法；一类称为有限信息估计方法，例如以最大或然为原理的有限信息最大或然法，以及仍然应用最小二乘原理、但并不以残差平方和最小为判断标准的最小方差比方法等。

联立方程模型的单方程估计方法不同于单方程模型的估计方法，无论是研究对象还是方法本身都是不同的，不要将二者混淆。

一、狭义的工具变量法（IV）

工具变量方法（Instrumental Variables）是一类估计方法的统称，可以有各种不同的选择工具变量的方法。在这里仅指一种特定的工具变量而言，故称为“狭义的工具变量法”。

⒈ 工具变量的选取

对于联立方程模型

YX (6.5.1)

的每一个结构方程，例如第1个方程，可以写成如下形式：

YYYYXXXggkk11221331111122111111 (6.5.2)

该方程包含()g11个内生解释变量和k1个先决解释变量。写成矩阵形式为：

Y1001(,)YX00 (6.5.3)

其中

Y0232131122322231111YYYyyyyyyyyygggnngn

X0121121112222121111XXXxxxxxxxxxkkknnkn 165 0121311g 0111211k Yyyyn111121 111121n

n为样本容量，请读者注意，这里的00,的含义已不同于结构式识别条件中的00,。

欲估计结构方程(6.5.3)，必须克服随机解释变量问题，有效的方法是工具变量法。在§4.4中已经给出了工具变量的条件，在这里，自然就会想到，方程中没有包含的()kk1个先决变量基本满足工具变量的条件，可以选择它们作为方程中包含的()g11个内生解释变量的工具变量。如此选择工具变量的方法被称为狭义的工具变量法。

如果结构方程(4.5.3)是恰好识别的，即满足()kk1=()g11，那么，工具变量的选择就很简单。

如果结构方程(4.5.3)是过度识别的，即满足()kk1>()g11，那么，工具变量的选择就比较麻烦。而且参数估计结果有一定的任意性，因为每从()kk1个没有包含在方程之中的先决变量中选出()g11变量作为工具变量，就得到一组参数估计值。共计可能有Ckkg111种不同的参数估计值。所以，一般认为，这种工具变量方法只适用于恰好识别的结构方程的估计。

⒉ IV参数估计量及其统计特性

选择X0*作为Y0的工具变量，得到参数估计量为：

**0000001001IVYXXYXXX (6.5.4)

其中

X01211211122221211111111*,,,,,,XXXxxxxxxxxxkkkkkkkkkknknkn

(6.5.4)估计量的估计过程已经在§4.4中介绍了，这里不再重复。

工具变量法参数估计量，正如在§4.4中已经说明的，一般情况下，在小样本下是有偏的，但在大样本下是渐近无偏的。如果选取的工具变量与方程随机误差项完全不相关，那么其参数估计量是无偏性估计量。

⒊ 参数估计量与工具变量的次序无关

对于恰好识别的结构方程，选择该方程中没有包含的()kk1个先决变量作为方程中包含的()g11个内生解释变量的工具变量，虽然只能有一组选择，但在这一组中具体哪个先决变量作为哪个内生变量的工具变量，仍然具有任意性。但是这种任意性对参数估计量没有影响。为什么？

从§4.4中知道，工具变量法参数估计量是一个关于该参数估计量的正规方程组的解。由该正规方程组的形成过程可以看出，如果工具变量的次序不同，也就是工具变量被使用的先后不同，那么正规方程组中方程的次序将不相同。但是由代数知识可知，在一个线性代数方程组中，方程的次序不影响方程组的解。所以，只要选择的工具变量组中的变量是相同的，只能得到一种参数估计量，而与变量的次序无关。这是一个重要的概念，请读者能够理解，在后续课程中还将多次用到这个概念。

166 二、间接最小二乘法(ILS)

联立方程模型的结构方程中包含有内生解释变量，不能直接采用普通最小二乘法估计其参数。但是对于简化式方程，正如在关于简化式模型概念介绍中提到的，可以采用普通最小二乘法直接估计其参数。于是就提出了间接最小二乘法：先对关于内生解释变量的简化式方程采用普通最小二乘法估计简化式参数，得到简化式参数估计量，然后通过参数关系体系，计算得到结构式参数的估计量。

间接最小二乘法（Indirect Least Square）只适用于恰好识别的结构方程的参数估计，因为只有恰好识别的结构方程，才能从参数关系体系中得到唯一一组结构参数的估计量。

⒈ 一个简单的例子

现有一个联立方程模型，其结构式模型为：

YYXXYYXYYYX112211112212233233233113223333

现欲估计第1个结构方程的参数，可以证明，该方程是恰好识别的，可以采用间接最小二乘法。该方程中有两个内生变量，相应的简化式方程为：

YXXXYXXX1111122133122112222332

应用普通最小二乘法，在样本数据的支持下对每个简化式方程分别估计其参数，得到参数估计量,,,,,ijij12123。将简化式代入第1个结构方程，得到参数关系体系

11122111121222121312230

由简化式参数估计量,,,,,ijij12123，计算得到结构参数估计值

12132311132123111213222312

⒉一般间接最小二乘法的估计过程

现在对结构方程(4.5.2)的参数进行间接最小二乘估计。将(4.5.3)改写成：

Y100001YX

即

1010010YXY (6.5.5)

00000001YX

其中

0001 000 YY0010Y

内生变量的简化式模型为： 167 YX0000 (6.5.6)

代入结构式模型，得到

00000000XX

0000000000XXX*

将00分成两部分，一部分对应结构方程中包含的先决变量X0，一部分对应结构方程中未包含的先决变量X0*。即

00001002

于是有参数关系体系：

000010000020 (6.5.7)

用普通最小二乘法估计简化式模型(6.5.6)，得到00，代入参数关系体系(6.5.7),先由第2组方程计算得到00，然后再代入第1组方程计算得到0。于是得到了结构方程(6.5.2)的结构参数估计量。

⒊ 间接最小二乘法参数估计的统计性质

对于简化式模型应用普通最小二乘法得到的参数估计量具有线性、无偏性、有效性。通过参数关系体系计算得到结构方程的结构参数估计量在小样本下是有偏的，在大样本下是渐近无偏的。

⒋ 间接最小二乘法也是一种工具变量方法

可以从数学上严格证明，采用间接最小二乘法估计结构方程(6.5.3)等价于一种工具变量方法，选择X作为(,)YX00的工具变量，即用(,,,,,)XXXXXkkk12111依次作为(,,,,,,,)YYYXXXgk231211的工具变量。请注意，这里对于结构方程中包含的先决变量也选择了其它先决变量作为工具变量。于是，结构方程(6.5.3)参数的间接最小二乘估计量可以写作：

000011ILSYXYXX (6.5.8)

这是一个重要的结论。关于它的数学证明，有兴趣的读者可以参考《计量经济学—方法与应用》（李子奈编著，清华大学出版社，1992年3月）第126—128页。

三、二阶段最小二乘法(2SLS)

狭义的工具变量方法和间接最小二乘法一般只适用于联立方程模型中恰好识别的结构方程的估计。但是，在实际的联立方程模型中，恰好识别的结构方程很少出现，一般情况下结构方程都是过度识别的。因为实际的联立方程模型一般包含较多数目的结构方程和先决变量，例如一个100个方程、30个先决变量的宏观经济模型不是大模型；而在每个结构方程中，例如宏观经济模型中的生产方程、消费方程，一般仅包含3-5个变量，包括内生变量和先决变量。于是就出现了

kkgii1

的情况，所以，结构方程大多是过度识别的。

二阶段最小二乘法(Two Stage Least Squares)是一种既适用于恰好识别的结构方程，又适用于过度识别的结构方程的单方程估计方法，由Theil和Basmann分别于1953年和1957年各自独立提出，是一种应用最普遍的方法。 168 ⒈二阶段最小二乘法

对于联立方程模型(6.5.1)中的第1个结构方程(6.5.3)，由于内生解释变量Y0是随机变量，不能直接采用普通最小二乘法。但是对于Y0的简化式方程，即简化式模型

YX000 (6.5.9)

中的每个方程，不存在随机解释变量问题，可以直接采用普通最小二乘法估计其参数，并得到关于Y0的估计值：