2021届全国开卷教育联盟新高考原创预测试卷(二十)文科数学

全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）1．（5 分）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N，则P 的子集共有（）A．2 个B．4 个C．6 个D．8 个2．（5 分）复=（）A．2﹣i B．1﹣2i C．﹣2+i D．﹣1+2i3．（5 分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=2x3 B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+4 D．y=2﹣|x|4．（5 分）椭=1 的离心率为（）A．B．C．D．5．（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（）A．120 B．720 C．1440 D．50406．（5 分）有3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A ．B ． ）A ．B ．C ．D ．7．（5 分）已知角 θ 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 y=2x 上，则 cos2θ=（）A ．﹣B ．﹣C ．D ．8．（5 分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）C ．D ．9．（5 分）已知直线 l 过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直．l 与 C 交于 A ， B 两点，|AB |=12，P 为 C 的准线上一点，则△ABP 的面积为（ ）A ．18B ．24C ．36D ．4810．（5 分）在下列区间中，函数 f （x ）=e x +4x ﹣3 的零点所在的区间为（ ）A ．（，），0）） ，）11．（5 分）设函数，则）+cos （2x +），则（）A ．y=f （x ）在 ）单调递增，其图象关于直线 对称B ．y=f （x ）在 ）单调递增，其图象关于直线 对称C ．y=f （x ）在 ）单调递减，其图象关于直线 对称D ．y=f （x ）在 ）单调递减，其图象关于直线对称12．（5 分）已知函数 y=f （x ）的周期为 2，当 x ∈[﹣1，1]时 f （x ）=x 2，那么第 2 页（共28 页）二、填空题（共4 小题，每小题5 分，满分20 分）13．（5 分）已知a 与b 为两个垂直的单位向量，k 为实数，若向+与向量k ﹣垂直，则k= ．14．（5 分）若变量x，y 满足约束条，则z=x+2y 的最小值为．15．（5 分）△ABC 中，∠B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC 的面积为．16．（5 分）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为．三、解答题（共8 小题，满分70 分）17．（12 分）已知等比数列{a n}中，公比．（Ⅰ）S n为{a n}的前n 项和，证明（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{b n}的通项公式．18．（12 分）如图，四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形．∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD（Ⅱ）设PD=AD=1，求棱锥D﹣PBC 的高．19．（12 分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102 的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100 件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A 配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102） [102，106） [106，110] 频数8 20 42 22 8B 配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102） [102，106） [106，110] 频数 4 12 42 32 10 （Ⅰ）分别估计用 A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；（Ⅱ）已知用B 配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t 的关系式为y=从用B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X 的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）20．（12 分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线y=x2﹣6x+1 与坐标轴的交点都在圆 C 上．（Ⅰ）求圆 C 的方程；（Ⅱ）若圆C 与直线x﹣y+a=0 交与A，B 两点，且OA⊥OB，求a 的值．21．（12 分）已知函数+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0．（Ⅰ）求a、b 的值；（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1 时．22．（10 分）如图，D，E 分别为△ABC 的边AB，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合．已知AE 的长为m，AC 的长为n，AD，AB 的长是关于x 的方程x2﹣14x+mn=0 的两个根．（Ⅰ）证明：C，B，D，E 四点共圆；（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E 所在圆的半径．23．在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程（α为参数）M 是C1上的动点，P 点满=2，P 点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．24．设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=1 时，求不等式f（x）≥3x+2 的解集（Ⅱ）若不等式f（x）≤0 的解集为{x|x≤﹣1}，求a 的值．2011 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）1．（5 分）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N，则P 的子集共有（）A．2 个B．4 个C．6 个D．8 个【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题．【分析】利用集合的交集的定义求出集合P；利用集合的子集的个数公式求出P 的子集个数．【解答】解：∵M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，∴P=M∩N={1，3}∴P 的子集共有22=4故选：B．【点评】本题考查利用集合的交集的定义求交集、考查一个集合含n 个元素，则其子集的个数是2n．2．（5 分）复=（）A．2﹣i B．1﹣2i C．﹣2+i D．﹣1+2i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】将分子、分母同时乘以1+2i，再利用多项式的乘法展开，将i2 用﹣1 代替即可．【解答】解：=﹣2+i故选：C．【点评】本题考查复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数．3．（5 分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=2x3 B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+4 D．y=2﹣|x|【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义和性质，对选项一一加以判断，即可得到既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数．【解答】解：对于A．y=2x3，由f（﹣x）=﹣2x3=﹣f（x），为奇函数，故排除A ；对于B．y=|x|+1，由f（﹣x）=|﹣x|+1=f（x），为偶函数，当x＞0 时，y=x+1，是增函数，故B 正确；对于C．y=﹣x2+4，有f（﹣x）=f（x），是偶函数，但x＞0 时为减函数，故排除C；对于D．y=2﹣|x|，有f（﹣x）=f（x），是偶函数，当x＞0 时，y=2﹣x，为减函数，故排除D．故选：B．【点评】本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和单调性及运用，注意定义的运用，以及函数的定义域，属于基础题和易错题．4．（5 分）椭=1 的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题．【分析】根据椭圆的方程，可得a、b 的值，结合椭圆的性质，可得 c 的值，有椭圆的离心率公式，计算可得答案．【解答】解：根据椭圆的方=1，可得a=4，b=2 ，则=2；则椭圆的离心率为=，故选：D．【点评】本题考查椭圆的基本性质：a2=b2+c2，以及离心率的计算公式，注意与双曲线的对应性质的区分．5．（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（）A．120 B．720 C．1440 D．5040【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】执行程序框图，写出每次循环p，k 的值，当k＜N 不成立时输出p 的值即可．【解答】解：执行程序框图，有N=6，k=1，p=1P=1，k＜N 成立，有k=2P=2，k＜N 成立，有k=3 P=6，k＜N 成立，有k=4 P=24，k＜N 成立，有k=5 P=120，k＜N 成立，有k=6P=720，k＜N 不成立，输出p 的值为720．故选：B．【点评】本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．6．（5 分）有3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3 种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有 3 种结果，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3=9 种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有 3 种结果，根据古典概型概率公式得到，故选：A．【点评】本题考查古典概型概率公式，是一个基础题，题目使用列举法来得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，出现这种问题一定是一个必得分第10 页（共28 页）题目．7．（5 分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y=2x 上，则cos2θ=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】GS：二倍角的三角函数；I5：直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．【专题】11：计算题．【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到tanθ 的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cosθ 的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把cosθ 的平方代入即可求出值．【解答】解：根据题意可知：tanθ=2，所以= ，则cos2θ=2co s2θ﹣1=2× ﹣1=﹣．故选：B．【点评】此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．8．（5 分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）第11 页（共28 页）【考点】L7：简单空间图形的三视图．【专题】13：作图题．【分析】由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体的侧视图．【解答】解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，∴侧视图是一个中间有分界线的三角形，故选：D．【点评】本题考查简单空间图形的三视图，考查由三视图看出原几何图形，再得到余下的三视图，本题是一个基础题．9．（5 分）已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直．l 与C 交于A，B 两点，|AB|=12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为（）A．18 B．24 C．36 D．48【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】44：数形结合法．【分析】首先设抛物线的解析式y2=2px（p＞0），写出次抛物线的焦点、对称轴以及准线，然后根据通径|AB|=2p，求出p，△ABP 的面积是|AB|与DP 乘积一半．【解答】解：设抛物线的解析式为y2=2px（p＞0），则焦点为F（，0），对称轴为x 轴，准线为x=﹣∵直线l 经过抛物线的焦点，A、B 是l 与C 的交点，又∵AB⊥x 轴∴|AB|=2p=12∴p=6又∵点P 在准线上∴DP=（+| |）=p=6∴S= （DP•AB）= ×6×12=36△ABP故选：C．【点评】本题主要考查抛物线焦点、对称轴、准线以及焦点弦的特点；关于直线和圆锥曲线的关系问题一般采取数形结合法．10．（5 分）在下列区间中，函数f（x）=e x+4x﹣3 的零点所在的区间为（）A．（，），0）），）【考点】52：函数零点的判定定理．【专题】52：导数的概念及应用．【分析】根据导函数判断函数f（x）=e x+4x﹣3 单调递增，运用零点判定定理，判定区间．【解答】解：∵函数f（x）=e x+4x﹣3∴f′（x）=e x+4当x＞0 时，f′（x）=e x+4＞0∴函数f（x）=e x+4x﹣3 在（﹣∞，+∞）上为f（0）=e0﹣3=﹣2＜0f（）= ﹣1＞0f（）= ﹣2= ﹣＜0∵f（）•f（）＜0，∴函数f（x）=e x+4x﹣3 的零点所在的区间为（，）故选：A．【点评】本题考察了函数零点的判断方法，借助导数，函数值，属于中档题．11．（5 分）设函数，则）+cos（2x+），则（）A．y=f（x）在）单调递增，其图象关于直线对称B．y=f（x）在）单调递增，其图象关于直线对称C．y=f（x）在）单调递减，其图象关于直线对称D．y=f（x）在）单调递减，其图象关于直线对称【考点】H5：正弦函数的单调性；H6：正弦函数的奇偶性和对称性．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】利用辅助角公式（两角和的正弦函数）化简函数）+cos（2x+），然后求出对称轴方程，判断y=f（x）在）单调性，即可得到答案．【解答】解：因为）+cos（2x+）= ）= cos2x ．由于y=cos2x 的对称轴为kπ（k∈Z），所以y= cos2x 的对称轴方程是：x=（k∈Z），所以A，C 错误；y= cos2x 的单调递减区间为2kπ≤2x≤π+2kπ（k∈Z），（k∈Z），函数y=f（x）在）单调递减，所以 B 错误，D 正确．故选：D．【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简，三角函数的性质：对称性、单调性，考查计算能力，常考题型．12．（5 分）已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈[﹣1，1]时f（x）=x2，那么函数y=f（x）的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有（）A．10 个B．9 个C．8 个D．1 个【考点】3Q：函数的周期性；4N：对数函数的图象与性质．【专题】16：压轴题；31：数形结合．【分析】根据对数函数的性质与绝对值的非负性质，作出两个函数图象，再通过计算函数值估算即可．【解答】解：作出两个函数的图象如上∵函数y=f（x）的周期为2，在[﹣1，0]上为减函数，在[0，1]上为增函数∴函数y=f（x）在区间[0，10]上有 5 次周期性变化，在[0，1]、[2，3]、[4，5]、[6，7]、[8，9]上为增函数，在[1，2]、[3，4]、[5，6]、[7，8]、[9，10]上为减函数，且函数在每个单调区间的取值都为[0，1]，再看函数y=|lgx|，在区间（0，1]上为减函数，在区间[1，+∞）上为增函数，且当x=1 时y=0；x=10 时y=1，再结合两个函数的草图，可得两图象的交点一共有10 个，故选：A．【点评】本题着重考查了基本初等函数的图象作法，以及函数图象的周期性，属于基本题．二、填空题（共4 小题，每小题5 分，满分20 分）13．（5 分）已知a 与b 为两个垂直的单位向量，k 为实数，若向+与向量k ﹣垂直，则k= 1 ．【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】11：计算题．【分析】利用向量垂直的充要条件：数量积为0；利用向量模的平方等于向量的平方列出方程，求出k 值．【解答】解：∵∴∵垂直∴即∴k=1故答案为：1【点评】本题考查向量垂直的充要条件、考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方．14．（5 分）若变量x，y 满足约束条件，则z=x+2y 的最小值为﹣6 ．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题．【分析】在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，把目标函数z=x+2y 变化为x+，当直线沿着y 轴向上移动时，z 的值随着增大，当直线过A 点时，z 取到最小值，求出两条直线的交点坐标，代入目标函数得到最小值．【解答】解：在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，目标函数z=x+2y，变化为x+，当直线沿着y 轴向上移动时，z 的值随着增大，当直线过A 点时，z 取到最小值，由y=x﹣9 与2x+y=3 的交点得到A（4，﹣5）∴z=4+2（﹣5）=﹣6故答案为：﹣6．【点评】本题考查线性规划问题，考查根据不等式组画出可行域，在可行域中，找出满足条件的点，把点的坐标代入，求出最值．15．（5 分）△ABC 中，∠B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC 的面积为．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】先利用余弦定理和已知条件求得BC，进而利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：由余弦定理可知=﹣，求得BC=﹣8 或3（舍负）∴△ABC 的面积•AB•BC•si nB=×5×3×=故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在求三角形面积过程中，利用两边和夹角来求解是常用的方法．16．（5 分）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】所成球的半径，求出球的面积，然后求出圆锥的底面积，求出圆锥的底面半径，即可求出体积较小者的高与体积较大者的高的比值．【解答】解：不妨设球的半径为：4；球的表面积为：64π，圆锥的底面积为：12π，圆锥的底面半径为；由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，求的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形由此可以求得球心到圆锥底面的距离，所以圆锥体积较小者的高为：4﹣2=2，同理可得圆锥体积较大者的高为：4+2=6；所以这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为．故答案为：【点评】本题是基础题，考查旋转体的体积，球的内接圆锥的体积的计算，考查计算能力，空间想象能力，常考题型．三、解答题（共8 小题，满分70 分）17．（12 分）已知等比数列{a n}中，公比．（Ⅰ）S n为{a n}的前n 项和，证明（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{b n}的通项公式．【考点】89：等比数列的前n 项和．【专题】15：综合题．【分析】（I）根据数列{a n}是等比数列，公比，求出通项公式a n和前n 项和S n，然后经过运算即可证明．（II）根据数列{a n}的通项公式和对数函数运算性质求出数列{b n}的通项公式．【解答】证明：（I）∵数列{a n}为等比数列，q=∴a n=×=，S n=又∵= =S n∴S n=（II）∵a n =∴b n=log3a1+log3a2+…+log3a n=﹣log33+（﹣2log33）+…+（﹣nlog33）=﹣（1+2+…+n）=﹣∴数列{b n}的通项公式为：b n=﹣【点评】本题主要考查等比数列的通项公式、前n 项和以及对数函数的运算性质．18．（12 分）如图，四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形．∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD（Ⅱ）设PD=AD=1，求棱锥D﹣PBC 的高．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直．【专题】11：计算题；14：证明题；15：综合题．【分析】（Ⅰ）因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得，利用勾股定理证明BD⊥AD，根据PD⊥底面ABCD，易证BD⊥PD，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可证PA⊥BD；（II）要求棱锥D﹣PBC 的高．只需证BC⊥平面PBD，然后得平面PBC⊥平面PBD ，作DE⊥PB 于E，则DE⊥平面PBC，利用勾股定理可求得DE 的长．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得，从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD．（II）解：作DE⊥PB 于E，已知PD⊥底面ABCD，则PD⊥BC，由（I）知，BD⊥AD，又BC∥AD，∴BC⊥BD．故BC⊥平面PBD，BC⊥DE，则DE⊥平面PBC．由题设知PD=1，则，PB=2．根据DE•PB=PD•BD，得，即棱锥D﹣PBC 的高为．【点评】此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和判定定理，以及点到面的距离，查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题能力．第20 页（共28 页）19．（12 分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102 的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100 件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A 配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102） [102，106） [106，110] 频数8 20 42 22 8B 配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102） [102，106） [106，110] 频数 4 12 42 32 10 （Ⅰ）分别估计用 A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；（Ⅱ）已知用B 配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t 的关系式为y=从用B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X 的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）【考点】B2：简单随机抽样；BB：众数、中位数、平均数；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题；15：综合题．【分析】（I）根据所给的样本容量和两种配方的优质的频数，两个求比值，得到用两种配方的产品的优质品率的估计值．（II）根据题意得到变量对应的数字，结合变量对应的事件和第一问的结果写出变量对应的概率，写出分布列和这组数据的期望值．【解答】解：（Ⅰ）由试验结果知，用 A 配方生产的产品中优质的频率为∴用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为∴用 B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42；（Ⅱ）用 B 配方生产的100 件产品中，其质量指标值落入区间[90，94），[94，102），[102，110]的频率分别为0.04，0.54，0.42，∴P（X=﹣2）=0.04，P（X=2）=0.54，P（X=4）=0.42，即X 的分布列为X ﹣2 2 4P 0.04 0.54 0.42∴X 的数学期望值EX=﹣2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68【点评】本题考查随机抽样和样本估计总体的实际应用，考查频数，频率和样本容量之间的关系，考查离散型随机变量的分布列和期望，本题是一个综合问题20．（12 分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线y=x2﹣6x+1 与坐标轴的交点都在圆 C 上．（Ⅰ）求圆 C 的方程；（Ⅱ）若圆C 与直线x﹣y+a=0 交与A，B 两点，且OA⊥OB，求a 的值．【考点】J1：圆的标准方程；J8：直线与圆相交的性质．【专题】5B：直线与圆．【分析】（Ⅰ）法一：写出曲线与坐标轴的交点坐标，利用圆心的几何特征设出圆心坐标，构造关于圆心坐标的方程，通过解方程确定出圆心坐标，进而算出半径，写出圆的方程；法二：可设出圆的一般式方程，利用曲线与方程的对应关系，根据同一性直接求出参数，（Ⅱ）利用设而不求思想设出圆C 与直线x﹣y+a=0 的交点A，B 坐标，通过OA⊥OB 建立坐标之间的关系，结合韦达定理寻找关于a 的方程，通过解方程确定出a 的值．【解答】解：（Ⅰ）法一：曲线y=x2﹣6x+1 与y 轴的交点为（0，1），与x 轴的交点为，0），（3﹣2，0）．可知圆心在直线x=3 上，故可设该圆的圆心 C 为（3，t），则有）2+t2，解得t=1，故圆 C 的半径为，所以圆C 的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=9．法二：圆x2+y2+Dx+Ey+F=0x=0，y=1 有1+E+F=0y=0，x2 ﹣6x+1=0 与x2+Dx+F=0 是同一方程，故有D=﹣6，F=1，E=﹣2，即圆方程为x2+y2﹣6x﹣2y+1=0（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程组，消去y，得到方程2x2+（2a﹣8）x+a2﹣2a+1=0，由已知可得判别式△=56﹣16a﹣4a2＞0．在此条件下利用根与系数的关系得到①，由于OA⊥OB 可得x1x2+y1y2=0，又y1=x1+a，y2=x2+a，所以可得2x1x2+a（x1+x2）+a2=0②由①②可得a=﹣1，满足△=56﹣16a﹣4a2＞0．故a=﹣1．【点评】本题考查圆的方程的求解，考查学生的待定系数法，考查学生的方程思想，直线与圆的相交问题的解决方法和设而不求的思想，考查垂直问题的解决思想，考查学生分析问题解决问题的能力，属于直线与圆的方程的基本题型．21．（12 分）已知函数f（x）= + ，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0．（Ⅰ）求a、b 的值；（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1 时．【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】15：综合题；16：压轴题；32：分类讨论；35：转化思想．【分析】（I）据切点在切线上，求出切点坐标；求出导函数；利用导函数在切点处的值为切线的斜率及切点在曲线上，列出方程组，求出a，b 的值．（II）构造新函数，求出导函数，通过研究导函数的符号判断出函数的单调性，求出函数的最值，证得不等式．【解答】解：（I）．由于直线x+2y﹣3=0 的斜率为﹣，且过点（1，1）所以解得a=1，b=1（II）由（I）知所以考虑函，则所以当x≠1 时，h′（x）＜0 而h（1）=0，从而当x＞0 且x≠1 时，当x∈（0，1）时，h（x）＞0 可得；当【点评】本题考查导函数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查通过判断导函数的符号求出函数的单调性；通过求函数的最值证明不等式恒成立．22．（10 分）如图，D，E 分别为△ABC 的边AB，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合．已知AE 的长为m，AC 的长为n，AD，AB 的长是关于x 的方程x2﹣14x+mn=0 的两个根．（Ⅰ）证明：C，B，D，E 四点共圆；（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E 所在圆的半径．【考点】N7：圆周角定理；NC：与圆有关的比例线段．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（I）做出辅助线，根据所给的AE 的长为m，AC 的长为n，AD，AB 的长是关于x 的方程x2﹣14x+mn=0 的两个根，得到比例式，根据比例式得到三角形相似，根据相似三角形的对应角相等，得到结论．（II）根据所给的条件做出方程的两个根，即得到两条线段的长度，取CE 的中点G，DB 的中点F，分别过G，F 作AC，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH ，根据四点共圆得到半径的大小．【解答】解：（I）连接DE，根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD×AB=mn=AE×AC，即又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB因此∠ADE=∠ACB∴C，B，D，E 四点共圆．（Ⅱ）m=4，n=6 时，方程x2﹣14x+mn=0 的两根为x1=2，x2=12．故AD=2，AB=12．取CE 的中点G，DB 的中点F，分别过G，F 作AC，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH．∵C，B，D，E 四点共圆，∴C，B，D，E 四点所在圆的圆心为H，半径为DH．由于∠A=90°，故GH∥AB，HF∥AC．HF=AG=5，DF=（12﹣2）=5．故C，B，D，E 四点所在圆的半径为5【点评】本题考查圆周角定理，考查与圆有关的比例线段，考查一元二次方程的解，考查四点共圆的判断和性质，本题是一个几何证明的综合题．23．在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程（α为参数）M 是C1上的动点，P 点满=2，P 点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．【考点】J3：轨迹方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】（I）先设出点P 的坐标，然后根据点P 满足的条件代入曲线C1的方程即可求出曲线C2的方程；（II）根据（I）将求出曲线C1的极坐标方程，分别求出射线与C1的交点A的极径为ρ1，以及射线与C2的交点B 的极径为ρ2，最后根据|AB|=|ρ2﹣ρ1|求出所求．【解答】解：（I）设P（x，y），则由条件知，）．由于M 点在C1上，所以从而C2的参数方程为（α为参数）（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ．射线与C1的交点A 的极径为，射线与C2的交点B 的极径为．所以|AB|=|ρ2﹣ρ1|= ．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及轨迹方程的求解和线段的度量，属于中档题．24．设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=1 时，求不等式f（x）≥3x+2 的解集（Ⅱ）若不等式f（x）≤0 的解集为{x|x≤﹣1}，求a 的值．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题；16：压轴题；32：分类讨论．【分析】（Ⅰ）当a=1 时，f（x）≥3x+2 可化为|x﹣1|≥2．直接求出不等式f（x）≥3x+2 的解集即可．（Ⅱ）由f（x）≤0 得|x﹣a|+3x≤0 分x≥a 和x≤a 推出等价不等式组，分别求解，然后求出a 的值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1 时，f（x）≥3x+2 可化为|x﹣1|≥2．由此可得x≥3 或x≤﹣1．故不等式f（x）≥3x+2 的解集为{x|x≥3 或x≤﹣1}．（Ⅱ）由f（x）≤0 得|x﹣a|+3x≤0此不等式化为不等式组或即或因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x }由题设可得﹣=﹣1，故a=2【点评】本题是中档题，考查绝对值不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，考查计算能力，常考题型．。

2021届全国开卷教育联盟新高考原创预测试卷（三）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求.1.已知集合{-1,0,1,2}A =，{|10}B x x =-<，则A B =（ ）A. {2}B. {1,0}-C. {0,1}D. {1,0,1}-【答案】B 【解析】 【分析】由集合交集的运算，可得解【详解】由题意，集合{-1,0,1,2}A =，{|10}B x x =-< 由交集的定义，AB ={1,0}-【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题. 2.已知复数z 满足i z11=-，则z =（ ） A. 1122i - B.1122i + C. 1122-+iD. 1122i --【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法运算，可得解 【详解】由题意，111111(1)(1)222i i z i i i i ++====+--+ 故选：B【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题 3.已知向量(,3),(3,3)a x b ==，若a b ⊥，则x =（ ）AC. 1-D. 1【答案】A 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示，列出等式，即得解 【详解】由题意，向量(,3),(3,3)a x b ==， 若a b⊥，则30a b x x ⋅=+=∴=故选：A【点睛】本题考查了向量垂直的坐标表示，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题.4.双曲线2222:1x y C a b-=0y -=，则双曲线的离心率为（）B. 2 D. 3【解析】 【分析】由双曲线的方程，可判断双曲线的焦点在x 轴上，可得3b a =，再结合c e a ==解【详解】由题意，双曲线的焦点在x 轴上， 故渐近线方程为：b y x a=± ，故3ba =又222c a b =+故2c e a a ====故选：B【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程和离心率，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.5.已知,m n 为两条不重合直线，,αβ为两个不重合平面，下列条件中，αβ⊥的充分条件是（ ）A. m ∥n m n ,,αβ⊂⊂B. m ∥n m n ,,αβ⊥⊥C. m n m ,⊥∥,n α∥βD. m n m ,⊥n ,αβ⊥⊥【答案】D 【解析】 【分析】根据面面垂直的判定定理，对选项中的命题进行分析、判断正误即可.【详解】对于A ，当//m n ，m α⊂，n β⊂时，则平面α与平面β可能相交，αβ⊥，//αβ，故不能作为αβ⊥的充分条件，故A 错误；对于B ，当//m n ，m α⊥，n β⊥时，则//αβ，故不能作为αβ⊥的充分条件，故B 错误；对于C ，当m n ⊥，//m α，//n β时，则平面α与平面β相交，αβ⊥，//αβ，故不能作为αβ⊥的充分条件，故C 错误；对于D ，当m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则一定能得到αβ⊥，故D 正确. 故选：D.【点睛】本题考查了面面垂直的判断问题，属于基础题.6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若35154,60a a S +==，则20a = （ ） A. 4 B. 6C. 10D. 12【答案】C 【解析】 由题意35422a a a +==，1581560S a ==，84a =，所以204844()24(42)10a a a a =+-=+⨯-=，故选C ．点睛：解决等差数列的通项与前n 项和问题，基本方法是基本量法，即用首项1a 和公差d 表示出已知并求出，然后写出通项公式与前n 项和公式，另一种方法就是应用等差数列的性质解题，可以减少计算量，增加正确率，节约时间，这是高考中尤其重要有用，象本题应用了以下性质：数列{}n a 是等差数列，（1）正整数,,,m n p q ，m n p q +=+⇒m n p q a a a a +=+，p q =时也成立；（2）21(21)n n S n a -=-；（3）等差数列{}n a 中抽取一些项，如48124,,,,,k a a a a 仍是等差数列．7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.103B. 3 C .83D.73【答案】A 【解析】【分析】根据题意，可得几何体，利用体积计算即可. 【详解】由题意，该几何体如图所示：该几何体的体积11110222222323V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=. 故选：A.【点睛】本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题． 8.已知函数()cos(2)(||)2f x x πϕϕ=-<的一条对称轴为3x π=，则函数()f x 的对称轴不可能为（ ） A. 6x π=-B. 56x π= C. 43x π=D. 6x π=【答案】D 【解析】 【分析】由题意()f x 的周期为22T ππ==，由余弦型函数的性质，每隔半个周期有一个对称轴，分析即得解.【详解】由题意()cos(2)(||)2f x x πϕϕ=-<的周期为22T ππ== 由余弦型函数的性质，每隔半个周期有一个对称轴， 故()f x 的对称轴为：,32k x k Z ππ=+∈ 当1,1,2k =-时，分别为A ，B ，C 选项，不存在k Z ∈使得6x π=故选：D【点睛】本题考查了余弦型函数的周期和对称轴，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.9.已知数列{}n a 为等比数列，若a a a 76826++=，且a a 5936⋅=，则a a a 768111++=（ ） A.1318B.1318或1936C.139 D.136【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可得25968736a a a a a ⋅=⋅==，通分化简即可. 【详解】由题意，数列{}n a 为等比数列，则25968736a a a a a ⋅=⋅==，又a a a 76826++=，即68726a a a +=-，所以，()()76877786867678777683636261113636a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +⋅++⋅-⋅+⋅+⋅++===⋅⋅⋅⋅， ()277777777773626362636263626133636363618a a a a a a a a a a +⋅-+⋅-+⋅-⋅=====⋅⋅⋅⋅.故选：A.【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了推理能力与运算能力，属于基础题.10.已知b a bc a 0.2121()2,log 0.2,===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A. a b c <<B. c a b <<C. a c b <<D.b c a <<【答案】B 【解析】 【分析】利用函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数12log y x =互为反函数，可得01a b <<<，再利用对数运算性质比较a,c 进而可得结论.【详解】依题意，函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数12log y x =关于直线y x =对称，则0.21210log 0.22⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即01a b <<<，又0.211220.2log 0.2log 0.20.20.20.211110.22252b c a a ⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====<= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，c a b <<. 故选：B.【点睛】本题主要考查对数、指数的大小比较，属于基础题.11.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小正三角形组成的一个大正三角形，设AC C A '''=，若在大正三角形中随机取一点，则此点取自小正三角形的概率为（ ）3B.137 D.17【答案】D 【解析】 【分析】设AC C A x '''==，由余弦定理，可知：222''2''cos120o AB AA BA AA BA =+- ，分别计算''',ABC A B C S S ∆∆，由面积测度的几何概型，即得解【详解】设AC C A x '''==，因为ABC ∆由三个全等的三角形与中间的等边三角形构成 所以2'2,'3AA x AA B π=∠=由余弦定理，可知：222''2''cos120o AB AA BA AA BA =+-代入可得：227AB x = 由三角形的面积公式：22373ABCx S AB ∆==同理22'''33A B C x S BD ∆==所以由面积测度的几何概型可得：在大正三角形中随机取一点，则此点取自小正三角形的概率'''17A B C ABC S P S ∆∆==故选：D【点睛】本题考查了面积测度的几何概型，考查了学生数形结合，逻辑推理，数学运算能力，属于中档题.12.设点P 为椭圆22:12516x y C +=上一点，1F 、2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，且12PF F ∆的重心为点G ，如果12||:||2:3PF PF =，那么1GPF ∆的面积为（ ）A.42B. 22C.823D. 32【答案】C 【解析】 【分析】由题设条件及椭圆的定义，可得12||4,||6PF PF ==，进而可得12PF F ∆为等腰三角形，计算12PF F S ∆，由重心和中点的定义，1112221332GPF OPF PF F SS S ==⨯，即得解【详解】由于点P 为椭圆22:12516x y C +=上一点，1212||:||2:3,||||210PF PF PF PF a =+== 12||4,||6PF PF ∴==又12||26F F c ===故12PF F ∆为等腰三角形，以1PF 为底的高为：h =故1211||2PF F S PF h ∆=⨯= 111222182332GPF OPF PF F SS S ==⨯=故选：C【点睛】本题考查了椭圆的定义和性质，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13.若点P 在角56π的终边上，且||2OP =（点O 为坐标原点），则点P 的坐标为_______ .【答案】()【解析】 【分析】由任意角三角函数定义，即得解 【详解】设点P 的坐标为(,)x y由三角函数定义，55||cos ||sin 166x OP y OP ππ====故点P 的坐标为()故答案为：()【点睛】本题考查了任意角三角函数的定义，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题.14.为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据1122334455(,),(,),(,),(,),(,),x y x y x y x y x y 根据收集到的数据可知60y =，由最小二乘法求得回归直线方程为ˆ0.648yx =+，则12345x x x x x ++++=__________ . 【答案】100；【解析】 【分析】由于线性回归直线方程过样本中心点，代入可得20x =，再由123455x x x x x x ++++=，即得解【详解】由于线性回归直线方程过样本中心点，设样本中心点为(,)x y 由题意60y =，故0.648y x =+ 代入计算可得：20x =故123455100x x x x x x ++++== 故答案为：100【点睛】本题考查了线性回归直线方程过样本中心点的性质，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算能力，属于基础题.15.已知两圆相交于两点(),3A a ,()1,1B -，若两圆圆心都在直线0x y b ++=上，则+a b 的值是________________ . 【答案】1- 【解析】 【分析】根据题意，相交两圆的连心线垂直平分相交弦，可得AB 与直线0x y b ++=垂直，且AB 的中点在这条直线0x y b ++=上，列出方程解得即可得到结论. 【详解】由(),3A a ,()1,1B -，设AB 的中点为1,22a M -⎛⎫⎪⎝⎭， 根据题意，可得1202a b -++=,且3111AB k a -==+， 解得，1a =,2b =-，故1a b +=-. 故答案为：1-.【点睛】本题考查相交弦的性质，解题的关键在于利用相交弦的性质，即两圆的连心线垂直平分相交弦，属于基础题.16.已知函数2ln ,1()13,122x x f x x x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，若实数12,x x 满足12x x ≠，12()()4f x f x +=，则12x x +的取值范围为___________ . 【答案】[)32ln 2,-+∞ 【解析】 【分析】画出()f x 的图像如图所示，可知()f x 为R 上的单调递增函数，又(1)2f =，可得121x x ，故112213(),()2ln 22f x x f x x =+=+ ，结合12()()4f x f x +=，可得1212ln x x =-，有122212ln x x x x ，构造()12ln ,1g x x x x =-+>，利用导数研究单调性，可得min ()(2)32ln 2g x g ==-，即得解【详解】画出()f x 的图像如图所示，可知()f x 为R 上的单调递增函数， 由于(1)2f =，不妨设12x x <，可知121x x故112213(),()2ln 22f x x f x x =+=+ 1212132ln 412ln 22x x x x +++=∴=- 122212ln x x x x不妨设()12ln ,1g x x x x =-+>22'()1,1x g x x x x-=-=> 故()g x 在(1,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增， 故min ()(2)32ln 2g x g ==-可得12x x +的最小值为32ln 2- 故答案为：[)32ln 2,-+∞【点睛】本题考查了导数在函数性质探究中的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算能力，属于较难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分17.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且ABC ∆222)a c b +-. （1）求角B 的大小；（2）若2,4,a b ==求sin C ．【答案】（1）3B π=（2）8【解析】 【分析】（1）结合余弦定理和面积公式，可得tan B =即得解；（2）由正弦定理，可得sin A =，结合[]sin sin ()C A B π=-+即得解【详解】解：(1)由已知得222)4a cb +-=1sin 2ac Bsin B =， tan B =()0,,3B B ππ∈∴=(2)由正弦定理得sin sin a b A B =即sin A =cos A B A <∴=4=[]sin sin ()C A B π∴=-+sin()3A π=+12=+=.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理和面积公式的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.18.在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占813，统计成绩后得到如下22⨯列联表：（1）请完成上面22⨯列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；（2）在上述样本中从分数不少于120分的学生中，按照分层抽样的方法，抽到线上学习时间不少于5小时和线上学习时间不足5小时的学生共5名，若在这5名学生中随机抽取2人，求至少1人每周线上学习时间不足5小时的概率. （下面的临界值表供参考）（参考公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 其中n a b c d =+++）【答案】（1）见解析，有（2）710【解析】 【分析】（1）利用题中数据补全列联表，利用2K 公式代入数据，结合临界值判断，即得解； （2）依题意，抽到线上学习时间不少于5小时的学生3人，计算所有基本事件数和满足条件的基本事件个数，由古典概型的计算公式，即得解 【详解】解：（1）2245(1516104)7.29 6.63525201926K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯∴有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”（2）依题意，抽到线上学习时间不少于5小时的学生155325⨯=人，设为1A ，2A ，3A ，线上学习时间不足5小时的学生2人，设为1B ，2B 所有基本事件有：11(,)B A ，12(,)B A ，13(,)B A ，21(,)B A ，22(,)B A ，23(,)B A ，12(,)B B ，12(,)A A ，13(,)A A ，23(,)A A共10种至少1人每周线上学习时间不足5小时包括：11(,)B A ，12(,)B A ，13(,)B A ，21(,)B A ，22(,)B A ，23(,)B A ，12(,)B B 共7种故至少1人每周线上学习时间不足5小时的概率为710（或0.7）【点睛】本题考查了统计和概率综合，考查了列联表的计算和应用和古典概型的概率计算，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算能力，属于中档题. 19.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ∥CD ，AD AB CD DAB 1,602==∠=︒，点,E F 分别为CD AP ,的中点.（1）证明：PC ∥面BEF ；（2）若PA PD ⊥，且PA PD =，面PAD ⊥面ABCD ，求PC 与底面ABCD 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（222【解析】 【分析】（1）先证明ABH ∆≌CEH ∆，可证明//FH PC ，即得证；（2）先证明PO ⊥面ABCD ，可得PCO ∠即为PC 与底面所成角，在ODC ∆中，由余弦定理可计算OC ，又22PC PO OC =+.【详解】（1）证明：连接AC 交BE 于H ，连接FH .,,AB CE HAB HCE =∠=∠BHA CHA ∠=∠ABH ∴∆≌CEH ∆//AH CH FH PC ∴=∴ FH ⊂面,FBE PC ⊄面FBEPC ∴∥面FBE（2）取AD 中点O ，连PO ，OB ，OC .由PA PD =，PO AD ∴⊥. 又面PAD ⊥面ABCD ，PO ∴⊥面ABCD ，PCO ∴∠即为PC 与底面所成角设2AD =，则1PO OD ==，4DC =.又由60DAB ∠=，120ODC ∴∠= 在ODC ∆中，由余弦定理得2222cos OC OD DC OD DC ODC =+-∠21=2222PC PO OC ∴+=22sin 2222PCO ∴∠== 即PC 与底面ABCD 所成角的正弦值为2222【点睛】本题考查了空间向量和立体几何综合，考查了线面平行的证明和定义法求线面角，考查了学生空间想象，逻辑推理，数形运算能力，属于中档题. 20.已知倾斜角为4π的直线经过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F ，与抛物线C 相交于A 、B 两点，且||8AB =.（1）求抛物线C 的方程；（2）求过点,A B 且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.【答案】（1）24x y =（2）22(6)(11)144x y ++-=或22(2)(3)16x y -+-=【解析】 【分析】（1）设直线AB 的方程为2py x =+与抛物线联立，结合12AB y y p =++，利用韦达定理可求解p ，即得解；（2）利用韦达定理，可得AB 的中点为(2,3)M ，可求解AB 的垂直平分线的方程，圆心为(,5)a a -，利用圆半径、弦长、弦心距的勾股关系，可求解a ，可得圆方程.【详解】解：（1）由题意设直线AB 的方程为2py x =+，令11(,)A x y 、22(,)B x y ， 联立222p y x x py ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得22304p y py -+=123y y p ∴+=根据抛物线的定义得124AB y y p p =++= 又8AB =， 48,2p p ∴== 故所求抛物线方程为24x y =（2）由（1）知1236y y p +==，12124x x y y p +=+-=AB ∴的中点为(2,3)M ，AB 的垂直平分线方程为3(2)y x -=--即5y x =-+设过点,A B 的圆的圆心为(,5)a a -， 该圆与C 的准线1y =-相切，∴半径6r a =-圆心(,5)a a -到直线:1AB y x =+的距离为d =,8AB =2224(6)a ∴+=-，解得6a =-或2a =∴圆心的坐标(6,11)-为，半径为12，或圆心的坐标为(2,3)，半径为4圆的方程为22(6)(11)144x y ++-=或22(2)(3)16x y -+-=【点睛】本题考查了直线与抛物线综合，考查了弦长，直线和圆的位置关系等知识点，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于较难题. 21.已知函数2()ln (1)1(,).f x x ax a b x b a b R =-+--++∈ （1）若0a =，试讨论()f x 的单调性；（2）若对1[,]x e e∀∈，()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()f x 的单调增、减区间分别为10,1b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭、1,1b ⎛⎫+∞ ⎪+⎝⎭（2）22(1)e a e -≥-【解析】 【分析】（1）求导，分1b ≤-，1b >-讨论导函数的正负，得到函数单调性即可；（2）转化为max ()0f x ≤，求导分析函数的单调性，分0a ≥，0a <讨论函数最大值，即可得解【详解】解：（1）依题意0x >，当0a =时，1()(1)f x b x'=-+ ①当1b ≤-时，()0f x '>恒成立，此时()f x 在定义域上单调递增； ②当1b >-时，若10,1x b ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭，()0f x '>；若1,1x b ⎛⎫∈+∞ ⎪+⎝⎭，()0f x '<故此时()f x 的单调增、减区间分别为10,1b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭、1,1b ⎛⎫+∞⎪+⎝⎭(2)由1()21f x ax a b x'=-+--，又(1)0f =， 故()f x 在1x =处取得极大值，从而()01f '=，即1210,a a b -+--==-b a 进而得1()221f x ax a x '=-+-=(21)(1)ax x x +-- 当0a ≥时，若1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，()0f x '>则；若(]1,x e ∈，则()0f x '<.所以()=(1)0f x f =最大值 故0a ≥符合题意当0a <时，依题意，有112()0a f e ⎧->⎪⎨⎪≤⎩即2122(1)a e a e ⎧>-⎪⎪⎨-⎪≥-⎪⎩，故此时220(1)e a e -≤<- 综上所求实数a 的范围为22(1)e a e -≥-【点睛】本题考查了函数与导数综合，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论，数学运算能力，属于较难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()26πρθ+=.（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）设,A B 为曲线1C 上位于第一，二象限的两个动点，且2AOB π∠=，射线,OA OB 交曲线2C 分别于,D C ，求AOB ∆面积的最小值，并求此时四边形ABCD 的面积.【答案】（1）2213x y +=；40x +-=（2）AOB 面积的最小值为34；四边形的面积为294【解析】 【分析】（1）将曲线1C 消去参数即可得到1C 的普通方程，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入曲线2C 的极坐标方程即可；（2）由（1）得曲线1C 的极坐标方程，设1,()A ρθ，2(,)2B πρθ+，3(,)D ρθ，4(,)2C πρθ+利用方程可得22121143ρρ+=，再利用基本不等式得22121221143ρρρρ≤+=，即可得121324AOB S ρρ∆=≥，根据题意知ABCD COD AOB S S S ∆∆=-，进而可得四边形ABCD 的面积. 【详解】（1）由曲线1C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）消去参数得2213xy +=曲线2C 的极坐标方程为sin()26πρθ+=，即sin cos cos sin266ππρθρθ+=，所以，曲线2C的直角坐标方程40x -=. （2）依题意得1C 的极坐标方程为2222cos sin 13ρθρθ+=设1,()A ρθ，2(,)2B πρθ+，3(,)D ρθ，4(,)2C πρθ+则222211cos sin 13ρθρθ+=，222222sin cos 13ρθρθ+=，故22121143ρρ+=22121221143ρρρρ∴≤+=，当且仅当12ρρ=（即4πθ=）时取“=”， 故121324AOB S ρρ∆=≥，即AOB ∆面积的最小值为34. 此时34112222sin()cos()4646COD S ρρππππ∆==⋅++48cos 3π==， 故所求四边形的面积为329844ABCD COD AOB S S S ∆∆=-=-=. 【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 23.已知,,a b c 均为正实数，函数()2221114f x x x a b c =++-+的最小值为1.证明： （1）22249a b c ++≥； （2）111122ab bc ac++≤. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值，再运用柯西不等式，即可得到最小值.（2）利用基本不等式即可得到结论，注意等号成立条件. 【详解】（1）由题意,,0a b c >，则函数222111()4f x x x a b c =++-+222111()4x x a b c ≥+--+2221114a b c =++， 又函数()f x 的最小值为1，即2221114a b c ++1=， 由柯西不等式得222(4)a b c ++2221114a b c ⎛⎫++ ⎪⎝⎭2(111)9≥++=，当且仅当2a b c ===故22249a b c ++≥.（2）由题意，利用基本不等式可得22121a b ab ，221114b c bc+≥，221114a c ac +≥，（以上三式当且仅当2a b c ===由（1）知，22211114a b c ++=， 所以，将以上三式相加得211ab bc ac ++≤222111224a b c ⎛⎫++= ⎪⎝⎭ 即111122ab bc ac++≤. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算能力，属于中档题.。

2020-2021学年（新课标i卷）⾼考数学⽂科模拟试题及答案解析绝密★启封并使⽤完毕前试题类型：普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试⽂科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(⾮选择题)两部分.第Ⅰ卷1⾄3页，第Ⅱ卷3⾄5页. 2.答题前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上⽆效.4.考试结束后，将本试题和答题卡⼀并交回.第Ⅰ卷⼀. 选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.（1）设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B =I（A ）{1,3}（B ）{3,5}（C ）{5,7}（D ）{1,7}(2)设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=（A ）－3（B ）－2（C ）2（D ）3（3）为美化环境，从红、黄、⽩、紫4种颜⾊的花中任选2种花种在⼀个花坛中，余下的2种花种在另⼀个花坛中，则红⾊和紫⾊的花不在同⼀花坛的概率是（A ）13（B ）12（C ）13（D ）56（4）△ABC 的内⾓A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =2c =，2cos 3A =，则b=（A （B C ）2（D ）3（5）直线l 经过椭圆的⼀个顶点和⼀个焦点，若椭圆中⼼到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离⼼率为（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34（6）若将函数y=2sin (2x+π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（A ）y=2sin(2x+π4) （B ）y=2sin(2x+π3) （C ）y=2sin(2x –π4) （D ）y=2sin(2x –π3)（7）如图，某⼏何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该⼏何体的体积是28π3，则它的表⾯积是（A ）17π（B ）18π（C ）20π（D ）28π（8）若a>b>0，0（A ）log a c（D ）c a>c b（9）函数y=2x 2–e |x|在[–2,2]的图像⼤致为（A ）（B ）（C ）（D ）（10）执⾏右⾯的程序框图，如果输⼊的0,1,x y ==n=1,则输出,x y 的值满⾜（A ）2y x =（B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x =（11）平⾯α过正⽂体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A 11//CB D α平⾯,ABCD m α=I 平⾯，11ABB A n α=I 平⾯，则m ，n 所成⾓的正弦值为（A ）3（B ）22（C ）3（D ）13（12）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（A ）[]1,1-（B ）11,3??-（C ）11,33??-（D ）11,3--第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考⽣都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考⽣根据要求作答. ⼆、填空题：本⼤题共3⼩题，每⼩题5分（13）设向量a=(x ，x+1)，b=(1，2)，且a ⊥b ，则x=. （14）已知θ是第四象限⾓，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ–π4)=. （15）设直线y=x+2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay-2=0相交于A ，B 两点，若，则圆C 的⾯积为。

绝密★启封并使用完毕前试题类型：普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.（1）设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B =I（A ）{1,3}（B ）{3,5}（C ）{5,7}（D ）{1,7}(2)设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=（A ）－3（B ）－2（C ）2（D ）3（3）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（A ）13（B ）12（C ）13（D ）56（4）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =2c =，2cos 3A =，则b=（A （B C ）2（D ）3（5）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34（6）若将函数y=2sin (2x+π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（A ）y=2sin(2x+π4) （B ）y=2sin(2x+π3) （C ）y=2sin(2x –π4) （D ）y=2sin(2x –π3)（7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π （8）若a>b>0，0<c<1，则（A ）log a c<log b c （B ）log c a<log c b （C ）a c<b c（D ）c a>c b（9）函数y=2x 2–e |x|在[–2,2]的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）（10）执行右面的程序框图，如果输入的0,1,x y ==n=1,则输出,x y 的值满足（A ）2y x =（B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x =（11）平面α过正文体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A 11//CB D α平面,ABCD m α=I 平面，11ABB A n α=I 平面，则m ，n 所成角的正弦值为（A ）3（B ）22（C ）3（D ）13（12）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是 （A ）[]1,1-（B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）设向量a=(x ，x+1)，b=(1，2)，且a ⊥b ，则x=. （14）已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ–π4)=. （15）设直线y=x+2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay-2=0相交于A ，B 两点，若，则圆C 的面积为。

2021届全国学海大联考新高考原创预测试卷（二）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}ln 0A x x =>，311B xx ⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则A B =（ ）A ．()1+∞， B ．()-12， C ．()2,+∞D ．()1,22．若复数z 满足1zi i =-（i 为虚数单位），则其共轭复数z 的虚部为（ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．13．设变量,x y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数23z x y =+的最小值（ ）A ．5B ．4C ．9D ．24．已知等差数列{}n a 的首项12a =，前n 项和为n S ，若810S S =，则18a =（ ）A ．4-B ．2-C ．0D ．25．数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美。

2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（二十）数学试题（文史类）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

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3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第一卷（选择题，共60分）一、单项选择题1.设集合{}1,0,1M =-，{}2|N x x x =≤，则MN =（ ）A. {}0B. {}0,1C. {}1,1-D. {}1,0,1-【答案】B 【解析】 【分析】求出集合N ，根据交集定义，即可求得答案. 【详解】{}2|{|01}N x x x x x =≤=≤≤,{1,0,1}M∴{0,1}M N ⋂=故选：B ．【点睛】本题主要考查了交集运算，解题关键是掌握交集定义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.2.已知复数32a iz i-=+（a R ∈，i 是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值等于（ ） A.23B. 32C. 23-D. 32-【答案】A 【解析】()()()()3232321313a i i a a i z ---+--==，因为是纯虚数，所以320-=a ，23a =．故选A ．3.已知0,,sin 25πθθ⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，则cos 2tan θθ=（ ） A. 310-B.310C. 65-D.65【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系式求得cos ,tan θθ，由此求得cos2θ，进而求得表达式的值.【详解】0,,sin 2πθθ⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，所以cos θ==sin 1tan cos 2θθθ==. 因为231cos 212sin ,tan 52θθθ=-==，所以cos 26tan 5θθ=. 故选：D【点睛】本题考查三角恒等变换的知识，考查运算求解能力. 4.下列叙述中正确的是( )A. 若,,a b c ∈R ，则“20ax bx c ++≥”的充分条件是“240b ac -≤”B. 若,,a b c ∈R ，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”C. 命题“对任意x ∈R ，有20x ≥”的否定是“存在x ∈R ，有20x ≥”D. l 是一条直线，,αβ是两个不同的平面，若,l l αβ⊥⊥，则//αβ 【答案】D 【解析】试题分析：当0a <时，2"40"b ac -≤推不出2"0"ax bx c ++≥，A 错，当0b =时，""a c >推不出22""ab cb >，B 错，命题“对任意x ∈R ，有20x ≥”的否定是“存在x ∈R ，有20x <”，C 错，因为与同一直线垂直的两平面平行，所以D 正确. 考点：充要关系5.已知3log 0.5a =，0.5log 0.6b =，0.23c =，则（） A. a b c << B. b c a <<C. b a c <<D. c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数和指数函数单调性，利用临界值0和1可得到,,a b c 所处的大致范围，从而得到结果. 【详解】00.2330.50.50.5log 0.5log 10log 1log 0.6log 0.5133<==<<==< a b c ∴<<本题正确选项：A【点睛】本题考查根据指数函数和对数函数单调性比较大小的问题，关键是能够确定临界值，利用临界值确定所求式子所处的大致区间.6.若同一平面内向量a b c ，，两两所成的角相等，且113a b c ＝，＝，＝，则||a b c ＋＋等于( )A. 2B. 5C. 2或5D.【答案】C 【解析】【详解】因为同一平面内向量a b c ，，两两所成的角相等，所以当三个向量所成的角都是120°时，2222||2221191334a b c a b c a b a c b c ++=+++⋅+⋅+⋅=++---=，即||2a b c =＋＋；当三个向量所成的角都是0°时，||5a b c =＋＋.故||2a b c =＋＋或5.选C. 【点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式||||cos a b a b θ⋅=⋅；二是坐标公式1212a b x x y y ⋅=+；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简. 7.德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P 表示π的近似值),若输入10n ＝,则输出的结果是( )A. 11114(1)35717P =-+-+⋅⋅⋅+ B. 11114(1)35719P =-+-+⋅⋅⋅- C. 11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅+D. 11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅-【答案】B 【解析】 【分析】执行给定的程序框图，输入10n =，逐次循环，找到计算的规律，即可求解. 【详解】由题意，执行给定的程序框图，输入10n =，可得： 第1次循环：1,2S i ==；第2次循环：11,33S i =-=；第3次循环：111,435S i =-+=；第10次循环：11111,1135719S i =-+-+-=， 此时满足判定条件，输出结果111144(1)35719P S ==-+-+⋅⋅⋅-，故选：B.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，得到程序框图的计算功能是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8.设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极大值，则函数()y xf x '=的图象可能是A. B.C. D.【答案】D 【解析】【详解】因为-2为极值点且为极大值点，故在-2的左侧附近()f x '>0，-2的右侧()f x '<0,所以当x>-2且在-2的右侧附近时，()'0xf x >排除BC ，当x<-2且在-2的左侧附近时，()'0xf x <，排除AC ， 故选D9.在区间[0,2]中随机取两个数，则两个数中较大的数大于23的概率为（ ） A. 89 B. 79C. 49D. 19【答案】A 【解析】 【分析】两个数构成有序数对，对应平面区域，两个数中较大的数大于23，其对立事件是两个数都小于等于23，求出概率即可.【详解】在区间[0,2]中随机取两个数，两个数构成有序数对(),x y ，0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩构成的区域如图中大正方形， 又“这两个数中较大的数大于23”为“这两个数都小于或等于23”的对立事件， 且在区间[0,2]中随机取两个数，这两个数都小于或等于23，203203x y ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩所构成的平面区域的面积为224=339⨯，故两个数中较大的数大于23的概率489149P =-=. 故选：A【点睛】此题考查几何概型，将题目所给条件准确转化成平面直角坐标系内的区域，利用面积求解. 10.已知直三棱柱111ABC A B C -，90ABC ∠=︒，12AB BC AA ===，1BB 和11B C 的中点分别为E 、F ，则AE 与CF 夹角的余弦值为（ ） A.35B.25C.45D.155【答案】B 【解析】 【分析】如图所示：分别以1,,BA BC BB 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，得到()0,2,1AE =-，()1,0,2CF =-，计算夹角得到答案.【详解】如图所示：分别以1,,BA BC BB 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.故()0,2,0A ，()2,0,0C ，()0,0,1E ，()1,0,2F ，故()0,2,1AE =-，()1,0,2CF =-.2cos ,5AE CF AE CF AE CF⋅==⋅，即AE 与CF 夹角的余弦值为25. 故选：B .【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.11.已知不等式2230x y ->所表示的平面区域内一点(,)P x y 到直线3y x =和直线3y x =-的垂线段分别为,PA PB ，若三角形PAB 的面积为33，则点P 轨迹的一个焦点坐标可以是（ ） A. (2,0) B. (3,0)C. (0,2)D. (0,3)【答案】A 【解析】 【分析】如图所示，不等式2230x y ->所表示的平面区域内一点(,)P x y ，可得点P 的轨迹为直线3y x =±之间并且包括x 轴在内的区域，再根据三角形PAB 的面积为33，即可求得点P 轨迹的一个焦点坐标. 【详解】如图所示，则120AOB ∠=︒，60APB ∠=︒.不等式2230x y ->所表示的平面区域内一点(,)P x y ，可得点P 的轨迹为直线3y x =之间并且包括x轴在内的区域．∴2234x y PA PB -==∵ 三角形PAB的面积为16∴)2213sin 6032PABS PA PB x y ∆==-=即P 点轨迹方程为22113x y -=. ∴焦点坐标为()2,0. 故选：A.【点睛】本题考查了线性规划的有关知识、双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．12.函数()23f x x x a =-+-，()22xg x x =-，若()0f g x ⎡⎤≥⎣⎦对]1[0x ∈，恒成立，则实数a 的范围是（） A. (,2]-∞ B. (,]e -∞ C. (,ln 2]-∞D. 1[0,)2【答案】A 【解析】 【分析】利用导数可得()g x 在[]0,1x ∈上的取值范围为()01,g x ⎡⎤⎣⎦，其中()02g x <，令()t g x =换元，把()0f g x ⎡⎤≥⎣⎦对[]0,1x ∈恒成立转化为230t t a -+-≥对()01,t g x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，分离参数a 后利用函数单调性求出函数23t t -+的最小值得答案.【详解】解：()22xg x x =-，()'222xg x ln x =-，()'020g ln =>，()'12220g ln =-<， ()'g x ∴在()0,1上有零点，又()2''2220xg x ln ⎡⎤=⋅-<⎣⎦在[]0,1上成立，()'g x ∴在()0,1上有唯一零点，设为0x ，则当()00,x x ∈时，()'0g x >，当()0,1x x ∈时，()'0g x <，()g x ∴在[]0,1x ∈上有最大值()02g x <，又()()011g g ==，()()01,g x g x ⎡⎤∴∈⎣⎦，令()()01,t g x g x ⎡⎤=∈⎣⎦，要使()0f g x ⎡⎤≥⎣⎦对[]0,1x ∈恒成立，则()0f t ≥对()01,t g x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，即230t t a -+-≥对()01,t g x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立， 分离a ，得23a t t ≤-+， 函数23t t -+的对称轴为32t =，又()02g x <， ()232mint t∴-+=，则2a ≤.则实数a 的范围是(],2-∞. 故选A【点睛】本题考查函数恒成立问题，训练了利用导数研究函数的单调性，考查了利用分离变量法求解证明取值范围问题，属难题.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图，根据图形推断，该时段时速超过50/km h 的汽车辆数为 ．【答案】77 【解析】 【分析】根据频率分布直方图，求出时速超过50/km h 的汽车的频率，即可求出对应的汽车辆数．【详解】根据频率分布直方图，得时速超过50/km h 的汽车的频率为(0.0390.0280.01)100.77++⨯=； 所以时速超过50/km h 的汽车辆数为1000.7777⨯=． 故答案为：77．【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应根据频率分布直方图，会计算样本数据，频率与频数的大小，是基础题．14.函数2cos 2y x x =-的图象向右平移(0)2πϕϕ<<个长度单位后，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的值为___________. 【答案】6π 【解析】 【分析】由2cos 22sin 26y x x x π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，向右平移(0)2πϕϕ<<个长度单位后，得到函数()2sin 22sin )2266(x g x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再根据函数()g x 为偶函数求解.【详解】函数2cos 22sin 26y x x x π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭， 向右平移(0)2πϕϕ<<个长度单位后，得到函数()2sin 22sin )2266(x g x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为函数()g x 为偶函数， 所以2,62k k Z ππϕπ--=+∈，即23k ππϕ=--， 因为02πϕ<<，所以6π=ϕ. 故答案为：6π 【点睛】本题主要考查三角函数的图象平移变换和性质的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 15.已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC|＋|BD|的最小值为________.【答案】3 【解析】不妨设()()111,0A x y y >，()()222,0B x y y <，则222114y AC BD x y y +=+=+，又2124y y p =-=-，所以()2222404y AC BD y y +=-<，利用导数易知22244y y y =-在(),2-∞-上递减，在()2,0-上递增，所以当22y =-时，AC BD ＋的最小值为3，故答案为3.16.已知正三棱锥P ABC 一的侧面是直角三角形，P ABC 一的顶点都在球O 的球面上，正三棱锥P ABC 一的体积为36，则球O 的表面积为__________． 【答案】108π 【解析】 【分析】先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将问题转化为正方体的外接球问题．【详解】∵正三棱锥P ﹣ABC ，PA ，PB ，PC 两两垂直，∴此正三棱锥的外接球即以PA ，PB ，PC 为三边的正方体的外接球O ， 设球O 的半径为R ， 23R， ∵正三棱锥P ABC 一的体积为36， ∴V=11123232336332333PACR R RS PB ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ∴R=33∴球O 的表面积为S=4πR 2=108π 故答案为108π．【点睛】本题考查球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱的几何特征，球的几何特征，三棱锥体积的表示方法，有一定难度，属中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.如图，在直角梯形ABCD 中，90,//,4,2ADC CD AB AB AD CD ︒∠====，将ADC ∆沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D ABC -，如图所示.（1）求证：BC ⊥平面ACD ； （2）求点A 到平面BCD 的距离h . 【答案】（1）证明见解析；（2）2. 【解析】 【分析】（1）根据90,//,4,2ADC CD AB AB AD CD ︒∠====，得到2,AC BC ==再根据勾股定理得到AC BC ⊥，然后根据平面ADC ⊥平面ABC ，利用面面垂直的性质定理证明.（2）由（1）知：BC 为三棱锥B ACD -的高，22BC =分别求得ADC S △，BDC S △，再根据B ADC A BDC V V --=求解.【详解】（1）因为90,//,4,2ADC CD AB AB AD CD ︒∠====， 所以22222,,AC BC AC BC AB AC BC ==∴+=∴⊥， 因为平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC平面,ABC AC BC =⊂平面,ABCBC ∴⊥平面ACD ;（2）由（1）知：BC 为三棱锥B ACD -的高，BC =122ADCSAD DC =⨯⨯=，12BDCS DC BC =⨯⨯= 因为B ADC A BDC V V --=， 即1133ADCBDCSBC S h ⨯⨯=⨯⨯，解得2h =.【点睛】本题主要考查面面垂直，线面垂直的转化和等体积法求点到面的距离，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.18.某商店为了更好地规划某种产品的进货量，该商店从某一年的销售数据中，随机抽取了8组数据作为研究对象，如表（x 吨）为该商品的进货量，y （天）为销售天数：（1）根据上述提供的数据，求出y 关于x 的回归方程；（2）在该商品进货量x 不超过6吨的前提下任取2个值，求该商品进货量x 恰好有1个值不超过3吨的概率.参考数据和公式：121,ni ii ni i x y nx yb a y bx x nx==-==--∑∑，88211356,241i i i i i x x y ====∑∑【答案】（1）49116834y x =-；（2）35. 【解析】 【分析】（1）根据提供的数据，分别求得,,,x y b a ，然后写出回归直线方程；（2）根据古典概型的概率求法，先列举出从进货量不超过6吨的前提下任取2个值的基本事件的个数，然后找出恰好有1次不超过3吨的基本事件的个数，再代入公式求解. 【详解】（1）由题意得：49116,4,,6834x y b a ===∴=-， 所以回归直线方程为49116834y x =-；（2）进货量不超过6吨有2，3，4，5，6共5个，任取2个有()2,3,(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)有10个结果， 恰好有1次不超过3吨的有：(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6)共6种所以所求的概率为63105p == 【点睛】本题主要考查线性回归分析和古典概型的概率求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 19.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2423n n n S a a =+-.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11(N ),n n n n b n T a a *+=∈是{}n b 的前n 项和，求使215n T <成立的最大正整数n . 【答案】（1）21n a n =+；（2）5. 【解析】 【分析】（1）当2n ≥时，根据2423n n n S a a =+-，得到2111423n n n S a a ---=+-，两式相减得12n n a a --=，再利用等差数列的定义求解. （2）根据（1）得到1111(21)(23)22123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，用裂项相消法求n T ，然后再代入215nT <求解.【详解】（1）当2n ≥时，由2423n n n S a a =+-，得2111423n n n S a a ---=+-，两式相减得12,n n a a --=， 当1n =时，13a =，且212,a a -= 所以数列{}n a 是等差数列，21n a n ∴=+；（2）1111(21)(23)22123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，11111112355721233(23)n n T n n n ⎛⎫∴=-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪+++⎝⎭， 2,3(23)15n n ∴<+解得6n <，所以最大的正整数为5.【点睛】本题主要考查数列通项公式和前n 项和间的关系以及裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，左右焦点分别是12,F F ，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点.（1）若以线段1AF 为直径的动圆内切于圆229x y +=，求椭圆的长轴长；（2）当1b =时，问在x 轴上是否存在定点T ，使得TA TB ⋅为定值？如果存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）6；（2）存在，(,0)9T -， 781-. 【解析】 【分析】（1）设1AF 的中点为M ，连接2,OM AF ，根据中位线得到211111(2)3222OM AF a AF AF ==-=-求解.（2）直线AB 的斜率存在时，设直线AB 方程为1122((,),(,)y k x A x y B x y =+，与椭圆方程2219x y +=联立整理得到2222(91)7290k x x k +++-=，设2012120012(,0),()T x TA TB x x x x x x y y ⋅=-+++=，若为定值，则需220009719(9)x x ++=-成立求解.【详解】（1）设1AF 的中点为M ，连接2,OM AF ，在12AF F ∆中，所以211111(2)3222OM AF a AF AF ==-=-， 所以3a =，故椭圆的长轴长为6；（2）因为椭圆方程为2219x y +=，当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 方程为1122((,),(,)y k x A x y B x y =+，则222222(,(91)729099y k x k x x k x y ⎧=+⎪+++-=⎨+=⎪⎩，222121212222729+=,,919191k k x x x x y y k k k ---==+++， 设2012120012(,0),()T x TA TB x x x x x x y y ⋅=-+++，2220002(971)991x k x k +++-=+,当220009719(9)x x ++=-时，即09x =-， TA TB ⋅为定值，定值为781-，当直线AB 的斜率不存在时，11(),()33A B ---，当(,0)9T -时，TA TB ⋅781=-，综上，在x 轴上存在定点(9T -，使得TA TB ⋅为定值781-.【点睛】本题主要考查椭圆的定义和直线与椭圆的位置关系以及定值问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21.已知函数2()(12)ln f x ax a x x =+--，a R ∈. （1）当0a <时，求函数()f x 在区间1[,1]2上的最小值； （2）记函数()y f x =图象为曲线C ，设点1122(,),(,)A x y B x y 是曲线C 上不同的两点，点M 为线段AB的中点，过点M 作x 轴的垂线交曲线C 于点N ，试问：曲线C 在点N 处的切线是否平行于直线AB ？并说明理由.【答案】（1）min13ln 2,12411()1ln(2),14211,02a a f x a a aa a ⎧-+<-⎪⎪⎪=-+--≤≤-⎨⎪⎪--<<⎪⎩；（2）不平行，理由见解析.【解析】 【分析】（1）求导(21)(1)()ax x f x x +-'=，分0a <，112a ->，11122a ≤-≤，1122a -<四种情况讨论求解. （2）设00(,)M x y ，则点N 的横坐标为1202x x x +=，表示直线AB 的斜率1k =211212ln ln ()(12)x x a x x a x x -++-+-，再表示曲线在点N 处的切线的斜率2001201212()2(12)()(12)k f x ax a a x x a x x x '==+--=++--+，然后假设曲线在点N 处的切线平行于直线AB ，则12k k =，论证211212ln ln 2x x x x x x -=--+是否成立即可.【详解】（1）(21)(1)()ax x f x x +-'=，当0a <时，由(=0,f x '）得121,12x x a=-=， 当111,022a a ->-<<时，()f x 在()0,1单调递减， 所以()f x 在1[,1]2上最小值为(1)1f a =-，当1111,1222a a ≤-≤-≤≤-时，()f x 11[,]22a -上单调递减，在1[,1]2a-上单调递增， 所以()f x 在1[,1]2上最小值为11()1ln(2)24f a a a-=-+-， 当11,122a a -<<-时，()f x 在1[,1]2上单调递增， 所以()f x 在1[,1]2上最小值为11()223ln 24f a -+=，综上，函数()f x 在1[,1]2上最小值为min13ln 2,12411()1ln(2),14211,02a a f x a a aa a ⎧-+<-⎪⎪⎪=-+--≤≤-⎨⎪⎪--<<⎪⎩；（2）设00(,)M x y ，则点N 的横坐标为1202x x x += 直线AB 的斜率为2212112122112121[()(12)()ln ln ]y y k a x x a x x x x x x x x -==-+--+-=--211212ln ln ()(12)x x a x x a x x -++-+-曲线在点N 处的切线的斜率为2001201212()2(12)()(12)k f x ax a a x x a x x x '==+--=++--+ 假设曲线在点N 处的切线平行于直线AB ，则12k k =即211212ln ln 2x x x x x x -=--+所以22211211212(1)2()ln 1x x x x x x x x x x --==++，设212(1)1,ln 1x t t t x t-=>=+ 令222(1)(1)()ln ,()01(1)t t g t t g t t t t --'=-=>++ 所以()g t 在()1,+∞是增函数，又(1)0,=g 所以2(1)()ln 01t g t t t-=->+， 即2(1)ln 1t t t ->+， 所以2(1)ln 1t t t-=+不成立，所以曲线C 在点N 处的切线不平行于直线AB .【点睛】本题主要考查导数与函数的最值以及导数与切线问题，还考查了分类讨论，转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.选修4-4参数方程极坐标22.在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为53x ty t⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），在以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos()4πρθ+=（1）求椭圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与,x y 轴分别交于两点,A B ，点P 是圆上任意一点，求APB ∆面积的最大值. 【答案】（1）22(5)(3)2x y ++-=，20x y -+=；（2）8. 【解析】 【分析】（1）根据参数方程53x t y t⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，消去t 即可.由cos()4πρθ+=得cos sin 2ρθρθ-=-，再利用cos ,sin x y ρθρθ==求解.（2）直线与两坐标轴的交点分别是(2,0),(0,2)A B -，根据参数方程，设点P的坐标为(5,3)αα-+，可得点P到直线的距离为d =，利用三角函数的性质求得最值，再由12S d AB =⨯⨯求解. 【详解】（1）由参数方程53x t y t⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩，消去t 得，22(5)(3)2x y ++-=，所以圆的普通方程为22(5)(3)2x y ++-=.由cos()4πρθ+=cos sin 2,20x y ρθρθ-=-∴-+=，所以直线的直角坐标方程为：20x y -+=.（2）直线与两坐标轴的交点分别是(2,0),(0,2)A B -， 设点P的坐标为(5,3)αα-++，点P 到直线的距离为d =，当cos()14πα+=-，24k παππ+=+时点到直线的距离最大，所以max d AB ==所以PAB ∆的面积的最大值为182S =⨯=. 【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程转化和直线参数方程的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.选修4-5不等式选讲23.选修4-5：不等式选讲 设函数()1,f x x x R =-∈.（1）求不等式()()31f x f x ≤--的解集；（2）已知关于x 的不等式()()1f x f x x a ≤+--的解集为M ，若31,2M ⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭，求 实数a 的取值范围.【答案】（1）[]0,3（2）1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：（1）根据题目进行分类讨论的化简123x x -+-≤，继而算出结果（2）利用不等式求解101x x x a x a x x --+-≤⇔-≤--，再根据条件计算出实数a 的取值范围解析：（1）因为()()31f x f x ≤--，所以132x x -≤--，123x x ⇔-+-≤，1,323,x x <⎧⇔⎨-≤⎩或12,13,x ≤≤⎧⎨≤⎩或2,233x x >⎧⎨-≤⎩ 解得01x ≤<或12x ≤≤或23x <≤， 所以03x ≤≤，故不等式()()31f x f x ≤--的解集为[]0,3. （2）因为31,2M ⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭，所以当31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()1f x f x x a ≤+--恒成立， 而()()1f x f x x a ≤+-- 101x x x a x a x x ⇔--+-≤⇔-≤--， 因为31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1x a -≤，即11x a x -≤≤+， 由题意，知11x a x -≤≤+对于31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，所以122a≤≤，故实数a的取值范围1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。

2021年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅱ）（含解析版）通过整理的2021年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅱ）（含解析版）相关文档，希望对大家有所帮助，谢谢观看！2021年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）i（2+3i）=（）A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i 2．（5分）已知集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，则A∩B=（）A．{3} B．{5}C．{3，5} D．{1，2，3，4，5，7}3．（5分）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．4．（5分）已知向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=（）A．4 B．3 C．2 D．05．（5分）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（）A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 6．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x7．（5分）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4B．C．D．28．（5分）为计算S=1﹣+﹣+…+﹣，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（）A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+49．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（）A．B．C．D．10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π11．（5分）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，则C的离心率为（）A．1﹣B．2﹣C．D．﹣112．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f （50）=（）A．﹣50 B．0 C．2 D．50二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届全国卓越联盟新高考原创预测试卷（二十）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足(1+2)34i z i =-+，则z =（ ） 2 B. 555 【答案】C 【解析】()()()()34i 12i 510i 12i,12i 512i 12i 5z -+-+===++=+-故选C .2.已知集合{|2}A x Z x =∈≥，()(){|130}B x x x =--<，则A B ⋂=（ ） A. ∅B. {}2C. {}2,3D.{}|23x x ≤<【答案】B 【解析】 【分析】化简集合B ，根据交集的定义写出A B ⋂即可． 【详解】解：集合{|2}A x Z x =∈≥，()(){}{|130}=|13B x x x x x =--<<<，则{}2A B ⋂= 故选B ．【点睛】本题主要考查集合的交集，熟记概念即可，属于基础题型. 3.已知131log 4a =，154b=，136c =，则（ ） A. a b c >>B. a c b >>C. c a b >>D.b c a >>【答案】C 【解析】 【分析】首先将b 表示为对数的形式，判断出0b <，然后利用中间值以及对数、指数函数的单调性比较32与,a c的大小，即可得到,,a b c 的大小关系. 【详解】因为154b=，所以551log log 104b =<=，又因为(133331log log 4log 3,log 4a ==∈，所以31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 又因为131133336,82c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，所以3,22c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以c a b >>. 故选：C.【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较大小，难度一般.利用指、对数函数的单调性比较大小时，注意数值的正负，对于同为正或者负的情况可利用中间值进行比较. 4.2011年国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源于中国古代数学家祖冲之的圆周率。

2021届全国开卷教育联盟新高考原创预测试卷（二十二）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、单选题（本卷共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1.设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,3,4U A B ===，则()UA B ⋂=( )A. {}2,3B. {}1,4,5C. {}4,5D. {}1,5【答案】B 【解析】∵{}{}1,2,3,2,3,4A B ==∴{}2,3A B ⋂= 又∵{}1,2,3,4,5U =∴(){}1,4,5UA B ⋂=故选B ；【考点】：此题重点考察集合的交集，补集的运算； 【突破】：画韦恩氏图，数形结合；2.已知i 是虚数单位，复数201924(1)iz i i =+-在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标得答案． 【详解】∵()2019241iz i i =+-=42i i-+（i 4）504•i 32i =--，∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为（﹣2，-1），位于第三象限． 故选C ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤,中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤？”（ ）A. 6斤B. 7斤C. 8斤D. 9斤【答案】D 【解析】 【分析】将原问题转化为等差数列的问题，然后利用等差数列的性质求解即可. 【详解】原问题等价于等差数列中，已知154,2a a ==，求234a a a ++的值. 由等差数列的性质可知：15241536,32a a a a a a a ++=+===， 则2349a a a ++=，即中间三尺共重9斤. 本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查等差数列的实际应用，等差数列的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.已知向量a 和b 的夹角为3π，且2,3a b ==，则(2)(2)a b a b -+=（ ） A. 10- B. 7-C. 4-D. 1-【答案】D 【解析】 【分析】根据数量积的运算律直接展开()()22a b a b -⋅+，将向量的夹角与模代入数据，得到结果． 【详解】()()22a b a b -⋅+= 2223?2a a b b +-＝8+3cos 3a b π－18＝8+3×2×3×12－18＝－1， 故选D.【点睛】本题考查数量积的运算，属于基础题．5.已知实数,x y 满足{0134x y x y ≥≥+≤，则231x y x +++的取值范围是（ ）A. 2[,11]3B. [3,11]C. 3[,11]2D. [1,11]【答案】C 【解析】232(1)1.11x y y x x +++=+++其中11y x ++表示两点(,)x y 与(1,1)--所确定直线的斜率，由图知，min max 10114,5,13410PB PA k k k k ----======----所以11y x ++的取值范围是1[,5],4231x y x +++的取值范围是3[,11].2选C.6.已知不重合的直线,a b 和平面,αβ，a α⊥，b β⊥，则“a b ⊥”是“αβ⊥”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【详解】a⊥b 可得两平面的法向量垂直，则两平面垂直α⊥β， 平面垂直α⊥β可得两平面的法向量垂直a⊥b， 故选C ．7.执行如图所示的程序框图，若输出S 的值为0.99，则判断框内可填入的条件是 （ ）A. 100i <B. 100i ≤C. 99i <D. 98i <【答案】A 【解析】本程序框图的主要功能是计算数列()11i i +的前n 项和； 由于()11111i i i i =-++可知，数列()11i i +的前i 项和为1111111 (122311)i i i -+-++-=-++，由于输出S 的值为0.99，所以99i = ，因此 判断框内可填入的条件是100i <，故选A.8.已知函数()()()cos 20f x x ϕπϕ=+-<<向右平移4π个单位后得到()g x ，当712x π=时，函数()g x 取得最大值，则6g π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ） A. 3 3 C. 12-D.12【解析】 【分析】把函数()()()cos 20f x x ϕπϕ=+-<<向右平移4π个单位后得到()g x ，根据()g x 在712x π=取得最大值可求得ϕ，即可求6g π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值． 【详解】()()cos 2sin 24g x x x πϕϕ⎡⎤⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由712x π=时，函数()g x 取得最大值，且0πϕ-<<，得23πϕ=-，()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，3sin 63g ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题主要考查正、余弦函数的图象的特征，诱导公式，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题．9.已知函数()f x 在定义域(0,)+∞上是单调函数，若对任意(0,)x ∈+∞，都有1[()]2f f x x -=，则1()7f 的值是（ ）.A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D 【解析】 试题分析：设，所以，那么，当时，，解得，所以，那么，故选D.考点：抽象函数10.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 且倾斜角为120︒的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若AF ，BF 的中点在y 轴上的射影分别为M ，N ，且43MN =抛物线C 的准线方程为（ ） A. 32x =-B. 2x =-C. 3x =-D. 4x =-【答案】C 【解析】设AF,FB 的中点分别为D,E, 求出|AB|=16，再利用直线和抛物线的方程利用韦达定理求出p 的值，即得抛物线的准线方程.【详解】设AF,FB 的中点分别为D,E,则|AB|=2|DE|,由题得8,sin3=所以|DE|=8,所以|AB|=16，设1122(,),(,)A x y B x y ，则1212++16,+16x x p x x p =∴=-，联立直线和抛物线的方程得22223,3504)2y pxx px p py x ⎧=⎪∴-+=⎨=-⎪⎩， 所以516-,63pp p =∴=， 所以抛物线的准线方程为x=-3. 故选C【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查抛物线的定义和准线方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请100名同学每人随机写下一个x ，y 都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数m ；最后再根据统计数m 估计π的值，假如某次统计结果是28m =，那么本次实验可以估计π的值为（ ）． A.227B.4715C.7825D.5317【答案】C 【解析】 【分析】根据约束条件22110x y x y +>⎧⎨+-<⎩画出可行域，得到面积，根据几何概型得到答案.【详解】∵0101x y <<⎧⎨<<⎩而满足构成钝角三角形，则需22110x y x y +>⎧⎨+-<⎩画出图像：弓形面积：28π110042=-，∴78π25=． 故选C【点睛】本题考查了几何概型，画出图像是解题的关键，意在考查学生的综合应用能力.12.已知函数()2ln xz e f x k x kx x=+-，若2x =是函数f x （）的唯一极值点，则实数k 的取值范围是（ ）A. 2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. ,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C. (]0,2 D. [)2,+∞ 【答案】A 【解析】 【分析】由f x （）的导函数形式可以看出，需要对k 进行分类讨论来确定导函数为0时的根． 【详解】解：∵函数f x （）的定义域是0（，）+∞ ∴()()()233222'x x e kx x e x k f x k x x x---=+-=（）， ∵2x =是函数f x （）的唯一一个极值点∴2x =是导函数'0f x =（）的唯一根， ∴20x e kx -=在0（，）+∞无变号零点， 即2xe k x=在0x ＞上无变号零点，令()2x e g x x =，因为()32'x e x g x x （）-=，所以g x （）在02（，）上单调递减，在2x ＞上单调递增 所以g x （）的最小值为224e g =（），所以必须24e k ≤，故选A ．【点睛】本题考查由函数的导函数确定极值问题．对参数需要进行讨论． 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分）13.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱．．．．称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的底的等腰三角形，面积最大的侧面是正方形，则该“堑堵”的外接球．．．的表面积为______. 【答案】8π 【解析】 【分析】由题意可知该直三棱柱是底面为直角三角形，又面积最大的侧面是正方形，则直三棱柱的高为2，进而可得外接球的半径R =，即可得表面积.的等腰直角三角形，又最大侧面为正方形，则该直三棱柱的高为2，所以该“堑堵”的外接球的半径R ==248S R ππ==. 故答案为：8π.【点睛】本题考查了空间几何体的外接球的表面积的计算问题，属于基础题.14.以双曲线2222:1x yCa b-=()0,0a b>>的右焦点(),0F c为圆心，a为半径的圆与C的一条渐近线交于A，B两点，若23AB c=，则双曲线C的离心率为__________．【解析】【分析】根据直线和圆相交时的弦长公式结合双曲线离心率的公式进行转化求解即可．【详解】解：∵双曲线的一个焦点为F（c，0），双曲线的一条渐近线为yba=x，即bx﹣ay＝0，∴焦点到渐近线的距离dbcbc===，∵|AF|＝|BF|＝a，∴|AD|==，则|AB|＝2|AD|＝23=c，平方得4（a2﹣b2）49=c2，即a2﹣c2+a219=c2，则2a2109=c2，则c295=a2，则c=a，即离心率e=，．【点睛】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据直线和圆相交的弦长公式建立方程关系是解决本题的关键．15.在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C的对边，若cos cos 2cos c B b C a A +=，M为BC 的中点，且1AM =，则b c +的最大值是______ 43【解析】 【分析】先化简cos cos 2cos c B b C a A +=得到A=3π，因为M 是BC 中点，所以()12AM AB AC =+，平方化简得22c b c b 4++⋅=，结合基本不等式得到所求． 【详解】由题意cos cos 2cos c B b C a A +=，将边化角，得到sinC cos cos 2cos B sinB C sinA A +=,∴2cos sinA sinA A =,又在ABC ∆中，0sinA ≠，∴1cos 2A =，得到A=3π， ∵M 是BC 中点， ∴()12AM AB AC =+， 平方得，22242AM AB AC AB AC =++⋅=4，即22c b 2c bcosA 4++⋅=，所以22222b c c b c b 4b c bc b c 4+++⋅==+-≥+-=23b c4+，∴216b c 3+≤,43 b c +≤则b c +43，故答案为43． 【点睛】本题考查了正弦定理以及三角形中线的向量表示，考查了基本不等式的应用，属于中档题.16.定义在R 上的可导函数()f x ，其导函数为()f x '满足()2f x x '>恒成立，则不等式()()4816f x f x x -<-+的解集为__________．【答案】()2,+∞ 【解析】 令()()2g x f x x =-，则()()()''20,g x f x x g x =->在R递增，由()()4816f x x f x -+<+，得()()4g x g x -<，故4x x -<，解得2x >，故答案为()2,+∞.【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数求范围,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数 三、解答题（共6题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.如图，四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为平行四边形，若∠DAB =60°，AB =2，AD =1．（1）求证：PA ⊥BD ；（2）若∠PCD =45°，求点D 到平面PBC 的距离h ．【答案】（1）证明将解析；（2）7【解析】 【分析】（1）证明BD ⊥平面PAD 得到答案. （2）利用等体积法13D PBC PBC P BCD V S h V -∆-=⋅=，计算得到答案.【详解】（1）在ABD ∆中，2222cos 3BD AB AD AB AD DAB =+-⋅∠=，故BD =. 故AD BD ⊥.PD ⊥平面ABCD ，故BD ⊂平面ABCD ，故BD PD ⊥，ADPD D =，故BD ⊥平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，故PA BD ⊥.（2）45PCD ∠=︒，故2PD =，故1123323P BCD BCD V S PD -∆=⨯⋅=⨯=.PBC ∆中：1,BC PC PB ===PBC S ∆=.故13D PBC PBC P BCD V S h V -∆-=⋅==，故h =. 【点睛】本题考查了线线垂直，点面距离，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 18.某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x 与乘客等候人数y 之间的关系，经过调查得到如下数据：调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验.检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数y ，再求y 与实际等候人数y 的差，若差值的绝对值不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”. （1）若选取的是后面4组数据，求y 关于x 的线性回归方程y bx a =+； （2）判断（1）中的方程是否是“恰当回归方程”；（3）为了使等候的乘客不超过35人，试用（1）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分钟？附：对于一组数据11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)n n x y ，其回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1221ˆn i ii nii x y nxy bxnx ==-=-∑∑121()()()niii nii x x y y x x ==--=-∑∑，a y bx =-.【答案】（1） 1.49.6y x =+（2）是“恰当回归方程”.（3）18 【解析】 【分析】（1）由题中的数据及给出的公式可得 1.4,9.ˆˆ6b a ==，进而可得所求方程；（2）根据（1）中的方程求出当10,11x x ==时的估计值，然后根据题中的标准进行验证即可得到结论；（3）解不等式1.49.635x +≤可得所求结论． 【详解】（1）有题意得后面4组数据是：所以1213141513.54x +++==，2629283128.54y +++==，4112261329142815311546i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑，422222112131415734ii x==+++=∑，所以1221ˆni i i n i i x y nxy b x nx ==-=-∑∑ 227571546422 1.42773442-⨯⨯==⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭， 故28.ˆˆ5 1.413.59.6ay bx =-=-⨯=， 所以所求的回归方程为 1.4.6ˆ9yx =+． （2）当10x =时， 1.4109. 3.ˆ626y=⨯+=，故23.6230.61-=<； 当11x =时， 1.4119.2ˆ65y=⨯+=，故252501-=<． 所以求出的线性回归方程是“恰当回归方程”． （3）由1.49.635x +≤，得1187x ≤， 故间隔时间最多可设置为18分钟．【点睛】本题考查线性回归方程的求法及其应用，属于统计在实际中的应用类问题，解题的关键是正确进行计算以得到回归方程，属于基础题．19.设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且23a 是13a +和34a +的等差中项． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()111n n n n ab a a +=++，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：12n T <．【答案】（1）12n n a （2）证明见解析【解析】 【分析】（1）利用条件建立方程组，求出首项与公比，即可求得数列{}n a 的通项公式； （2）利用裂项相消法求数列的前n 项和n T ，即可证得结论．【详解】（1）由已知，得()()12313273432a a a a a a ++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得22a =，设数列n {}a 的公比为q ，则12a q =，∴12a q =，2312a a q q ==．由37S =，可知2227q q++=，∴22520q q -+=，解得12q =，212q =， 由题意，得1q >，∴2q．∴11a =．故数列n {}a 的通项公式为122n a -=．（2）()()()()11112111121212121n n n n n n n n n a b a a ---+===-++++++，0122231111111112121212121212121n nn T -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111212212n n =-=-<+++． 【点睛】本题考查等差数列、等比数列的概念及其性质，数列求和的“裂项相消法”；学生的运算能力和思维能力，属于中档题．20.设椭圆M ：()222210y x a b a b+=>>的离心率与双曲线221x y -=的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4. （1）求椭圆M 的方程； （2）若直线y m =+交椭圆M 于A ，B两点，(P 为椭圆M 上一点，求PAB ∆面积的最大值．【答案】（1）22142y x += （2【解析】 分析】（1）求得双曲线的离心率，由题意可得椭圆的离心率，求得a ，b ，即可得到椭圆方程； （2）联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，由三角形的面积公式，结合基本不等式，即可得到最大值．【详解】（1，则椭圆的离心率2c e a ==，由24a =，c a =，222b ac =-，得2a =，c =b =M 的方程为22142y x +=. （2）不妨设()11,A x y ，()22,B x y，联立方程组22124y mx y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得22440x m ++-=，由()()221640m ∆=-->，得m -<<且1221244x x m x x ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，所以12AB x =-===. 又P 到直线AB的距离为d =所以122PABS AB d ∆=⋅===()2282m m +-≤=.当且仅当(2m =±∈-时取等号，所以()max PAB S ∆.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式，考查直线和椭圆联立，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题． 21.已知f （x ）＝ln ()ax x x a R +∈．（1）曲线()y f x =在点（1，f （1））处的切线斜率为0，求f （x ）的单调区间； （2）若f （x ）＜x 2在（1，＋∞）恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）增区间为(1,)+∞，减区间为(0,1)；（2）(1]-∞，． 【解析】 【分析】第一问，对()f x 求导，(1)f '为切线的斜率，解出a 的值，再利用()0f x '>和()0f x '<判断函数的单调性；第二问，先将2()f x x <在（1，＋∞）恒成立，转化为ln xa x x<-恒成立，再构造函数()g x ，通过求导，判断函数的单调性，求出函数()g x 的最小值，从而得到a 的取值范围．【详解】（1）()f x 的定义域为(0)+∞，，求导可得()ln 1f x a x '=++， 由()01f '=得101a a +=⇒=-，()ln ()1ln 1ln f x x x x f x x x ∴=-+=-+='+，， 令()0f x '>得1x >； 令()0f x '<得01x <<，所以()f x 的增区间为(1,)+∞，减区间为(0,1)． （2）由题意：2ln ax x x +<，即2ln ax x x <-，ln 1xx a x x>∴<-，恒成立． 令ln ()x g x x x =-，则2221ln ln 1()1x x x g x x x+='--=-，[ 令2()ln 1h x x x =+-，则1()20h x x x'=+>， ()h x ∴在(1)+∞，上单调递增，又(1)0h =，∴当(1)x ∈+∞，时，()0()0h x g x >∴'>，， ()g x ∴在(1)+∞，上单调递增，所以min ()(1)1g x g >=， ∴当1a ≤时，()a g x <恒成立，∴a 的取值范围为(1]-∞，． 【点晴】本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求曲线的切线、利用导数求函数的最值、恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为sin cos 1sin 2x y ααα=+⎧⎨=+⎩(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin π()24θ+=，曲线C 2的极坐标方程为3π22cos()4a ρθ=-(a >0)． (1)求直线l 与曲线C 1的交点的极坐标(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)； (2)若直线l 与C 2相切，求a 的值． 【答案】(1) π(2,)4；(2)1. 【解析】试题分析：（1）根据二倍角关系消参数得曲线C 1的普通方程，注意参数范围，再根据222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，联立直线方程与圆方程，解出交点，最后转化为极坐标（2）根据222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+将曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程，根据直线与圆相切得圆心到切线距离为半径，解得a 的值．试题解析：(1)曲线C 1的普通方程为y ＝x 2，x ∈[－，]，直线l 的直角坐标方程为x＋y ＝2，联立解得或(舍去)，故直线l 与曲线C 1的交点的直角坐标为(1，1)，其极坐标为.(2)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0，即(x ＋a )2＋(y －a )2＝2a 2(a >0)． 由直线l 与C 2相切，得＝a ，故a ＝1.23.设函数()|21|f x x =-．（1）解关于x 的不等式(2)(1)f x f x ≤+；（2）若实数a ，b 满足22a b -=，求(1)(21)f a f b ++-的最小值．【答案】(1) [0,1] (2) 8. 【解析】 【分析】（1）利用平方去绝对值，然后解一元二次不等式； （2）利用绝对值不等式的性质，即可求得结果. 【详解】解：（1）|41||21|x x -≤+221681441x x x x ⇔-+≤++ 212120x x ⇔-≤，解得01x ≤≤，故原不等式的解集为[0,1]． （2）(1)(21)f a f b ++-|2(1)1||2(21)1|a b =+-+--|45||43||4543|8b b b b =++-≥+-+=．【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，以及利用绝对值不等式性质求最值，属于中档题.。

2021届全国卓越联盟新高考原创预测试卷（十）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|15}A x x =-<，则R C A =（ ） A. {|4}x x >- B. {}|4x x ≤ C. {|4}x x <- D. {|4}x x ≤-【答案】D 【解析】 【分析】先解出A 中x 的范围,再求A R即可.【详解】{|15}{|4}A x x x x =-<=>-,故A =R{|4}x x ≤-【点睛】本题主要考查集合的基本运算,属于基础题型. 2.2(3)i -=（ ） A. 86i -- B. 86i + C. 86i - D. 86i -+【答案】C 【解析】 【分析】根据复数运算法则得到化简的结果，进而得到答案.【详解】根据复数的运算法则得到：22(3)9686i i i i -=-+=-. 故选C ．【点睛】本题考查了复数的运算，属于基础题.3.已知平面向量()1,2a =-，()2,b y =，且//a b ，则32(a b += ) A. ()1,7- B. ()1,2-C. ()1,2D. ()1,2-【答案】D 【解析】 【分析】由共线向量可知1y 220-⨯-⨯=，可得y 值，进而可得向量b 的坐标，由向量的运算可得结果． 【详解】()a 1,2=-，()b 2,y =，且a //b ，1y 220∴-⨯-⨯=，解得y 4=-，故可得()()()3a 2b 31,222,41,2+=-+-=- 故选D ．【点睛】本题考查平面向量共线的坐标表示，属基础题． 4.已知数列{}n a 为等差数列，若2610πa a a 2++=，则()39tan a a +的值为( )A. 0 C. 1【答案】D【分析】由等差数列的性质得6πa .6=从而396πa a 2a 3+==，由此能求出()39tan a a +的值． 【详解】数列{}n a 为等差数列，1610πa a a 2++=，26106πa a a 3a 2∴++==，解得6πa 6=．396πa a 2a 3∴+==，()39πtan a a tan 3∴+==．故选D ．【点睛】本题考查正切值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5.设a ，b 是非零向量，“a b a b ⋅=”是“//a b ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】cos ,a b a b a b ⋅=⋅，由已知得cos ,1a b =，即,0a b =，//a b .而当//a b 时，,a b还可能是π，此时a b a b ⋅=-，故“a b a b ⋅=”是“//a b ”的充分而不必要条件，故选A.考点：充分必要条件、向量共线.6.设()f x 是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(2,1]-上的图象，则(2018)(2019)f f +=（ ）A. 0B. 1C. 1-D. 2【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用函数的周期性以及图象分析可得；【详解】解：由题意可得：(2018)(20186733)f f =-⨯(1)2f =-=，(2019)(20196733)f f =-⨯(0)0f ==，则(2018)(2019)2f f +=.故选：D.【点睛】本题考查函数的周期性以及函数的求值，属于基础题．7.若函数()32236f x x mx x =-+在区间()1,+∞上为增函数，则实数m 的取值范围是（ ）A. (],1-∞B. (),1-∞C. (],2-∞D. (),2-∞【答案】C 【解析】 【分析】求()2f'x 6x 6mx 6=-+，根据题意可知()f'x 0≥在()1,∞+上恒成立，可设()2g x 6x 6mx 6=-+，法一：讨论的取值，从而判断()g x 0≥是否在()1,∞+上恒成立：0≤时，容易求出2m 2-≤≤，显然满足()g x 0≥；0>时，得到关于m 的不等式组，这样求出m 的范围，和前面求出的m 范围求并集即可，法二：分离参数，求出m 的范围即可． 【详解】()2f'x 6x 6mx 6=-+；由已知条件知()x 1,∞∈+时，()f'x 0≥恒成立；设()2g x 6x 6mx 6=-+，则()g x 0≥在()1,∞+上恒成立；法一：()1若()236m 40=-≤，即2m 2-≤≤，满足()g x 0≥在()1,∞+上恒成立；()2若()236m 40=->，即m 2<-，或m 2>，则需：()m 121660g m ⎧<⎪⎨⎪=-≥⎩解得m 2≤；m 2∴<-， ∴综上得m 2≤，∴实数m 的取值范围是(],2∞-；法二：问题转化为1m x x≤+在()1,∞+恒成立， 而函数1y x 2x=+≥， 故m 2≤； 故选C ．【点睛】考查函数单调性和函数导数符号的关系，熟练掌握二次函数的图象，以及判别式的取值情况和二次函数取值的关系．8.已知某运动员每次投篮命中的概率都是40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有一次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数作为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数：907，966，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，393，027，556，488，730，113，537，989.据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A. 0.25 B. 0.2 C. 0.35 D. 0.4【答案】A 【解析】 【分析】当三次投篮恰有两次命中时，就是三个数字xyz 中有两个数字在集合{}1,2,3,4，再逐个考察个数据，最后利用古典概型的概率公式计算可得．【详解】解：由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393.共5组随机数，∴所求概率为510.25204==. 故选：A【点睛】本题主要考查了随机事件概率的含义及其运算，以及用数值表示随机事件的意义，属于基础题．9.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知b a cosC 3⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，a 2=，c 3=，则角C (= ) A.π3B.π6C.3π4D.π4【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式tanA =结合范围()A 0,π∈，可求sinA 的值，进而根据正弦定理可得sinC 的值，结合大边对大角可求C 为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求解．【详解】b a cosC sinC 3⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，∴由正弦定理可得：sinB sinAcosC sinCsinA 3=+，又()sinB sin A C sinAcosC cosAsinC =+=+，∴可得：sinA cosA 3=，可得：tanA =()A 0,π∈，πA 3∴=，可得：sinA 2=，又a 2=，c =∴由正弦定理可得：c sinA 32sinC a 22⋅===， c a <，C 为锐角， πC 4∴=． 故选D ．【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．10.已知点O 为双曲线C 的对称中心，直线12,l l 交于点O 且相互垂直，1l 与C 交于点11,A B ，2l 与C 交于点22,A B ，若使得1122||||A B A B =成立的直线12,l l 有且只有一对，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ） A. (1,2]B.C. 2]D.)+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据使得1122A B A B =成立的直线12,l l 有且只有一对，可得双曲线渐近线的斜率大于1，进而可求出结果.【详解】设双曲线方程为22221(00)x y a b a b-=>>，；所以渐近线方程为y b x a =±因为直线12,l l 交于点O 且相互垂直，1l 与双曲线C 交于点11,A B ，2l 与C 交于点22,A B ，且使得1122A B A B =成立直线12,l l 有且只有一对，所以可得451btan a>︒=， 所以b a >，即222c a a ->，所以e ca=>故选D【点睛】本题主要考查双曲线的性质，解题关键在于搞清双曲线的渐近线与已知直线12,l l 斜率之间的关系，属于常考题型.11. 下列命题：①“在三角形ABC 中，若sin sin A B >,则A B >”的逆命题是真命题； ②命题:2p x ≠或3y ≠，命题:5q x y +≠则p 是q 的必要不充分条件； ③“32,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是“32,10x R x x ∀∈-+>”； ④“若,221aba b >>-则”的否命题为“若a b ≤，则221a b ≤-”； 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】试题分析：对于①“在ABC ∆中，若sin sin A B >，则A B >” 的逆命题为“在ABC ∆中，若A B >，则sin sin A B >”，若A B >，则a b >，根据正弦定理可知，sin sin A B >，所以逆命题是真命题，所以①正确；对于②，由2x ≠，或3y ≠，得不到5x y +≠，比如1,4x y ==，5x y +=，p ∴不是q 的充分条件；若5x y +≠，则一定有2x ≠，则3y ≠，即能得到2x ≠，或3y ≠，p ∴是q 的必要条件，p ∴是q 的必要不充分条件，所以②正确；对于③，“32,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是“32,10x R x x ∃∈-+>” ,所以③不对；对于④“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b ≤，则221a b ≤-”；所以④正确，故选C ．考点：1、四种命题及其关系；2、充要条件及全称命题的否定． 12.方程3sin x x =的根的个数是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】试题分析：大致图形如图所示,接下来比较与在处的切线斜率,,时,,即在处的切线方程为轴,又,在,因此在轴右侧图象较缓,由图象可知,共有个交点,故选C ．考点：图象的交点．【思路点晴】本题考查的是两个函数的交点个数问题．首先运用函数与方程的思想,把给定方程转化成为两个基本函数的交点问题,再通过函数的性质与比较函数在相同自变量处的函数值的大小关系画出两个基本函数图象,需要注意的是,两个函数都过点,而轴右侧的高低情况需要比较两个函数在处的切线斜率得到,为本题的易错点．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.点()M 2,1到抛物线2y ax =准线的距离为2，则a 的值为______．【答案】14或112- 【解析】 【分析】求出抛物线的准线方程，利用已知条件列出方程求解即可．【详解】抛物线2y ax =的标准方程为：21x y a =，准线方程为：1y 4a=-， 1124a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得1a 4=或112-．故答案为14或1..12- 【点睛】本题考查抛物线方程，简单性质的应用，注意抛物线方程的标准方程的应用，是易错题．14.若π0α2<<，πβ02-<<，π1cos α43⎛⎫+= ⎪⎝⎭，βπ3sin 24⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()cos 2αβ+=______．【答案】2327【解析】 【分析】利用两角和的正弦公式，余弦公式，二倍角公式化简已知等式，可求sin2α，sin β，进而利用同角三角函数基本关系式可求cos β的值，利用二倍角的余弦函数公式可求cos2α，利用两角和的余弦函数公式即可计算求值得解．【详解】()π1cos αcos αsin α423⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，可得：cos αsin α3-=，①∴两边平方可得，21sin2α9-=，解得：7sin2α9=， π0α2<<，可得：4cos αsin α3+==，②∴由①②解得：()()cos2αcos αsin αcos αsin α9=-+=，又βπsin 243⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得：ββsin cos 2223⎫+=⎪⎝⎭1sin β3=-，cos β3=，()7123cos 2αβcos2αcos βsin2αsin β9327⎛⎫∴+=-=-⨯-=⎪⎝⎭． 故答案为2327． 【点睛】本题主要考查了两角和的正弦函数公式，余弦函数公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 15.菱形ABCD 边长为6，60BAD ∠=，将BCD ∆沿对角线BD 翻折使得二面角C BD A --的大小为120，已知A 、B 、C 、D 四点在同一球面上，则球的表面积等于__________． 【答案】84π 【解析】如图，点12,O O 分别为,BAD CBD ∆∆外接圆的圆心，点O 为球心，因为菱形ABCD 边长为6，60BAD ∠=，所以113163,3tan 6033O G OO ====，136233AO =⨯=222221121,484R OA AO OO S R ππ∴==+===，故答案为84π.16.已知函数()212ln x x f x e e ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，()1g x mx =+，若()f x 与()g x 的图象上存在关于直线1y =对称的点，则实数m 的取值范围是_____________.【答案】322,3e e -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】求出函数()g x 关于直线1y =的对称函数()h x ，令()f x 与()h x 的图象有交点得出m 的范围即可．【详解】()1g x mx =+关于直线1y =对称的直线为()1y h x mx ==-， ∴直线1y mx =-与2ln y x =在21[,]e e上有交点， 作出1y mx =-与2ln y x =的函数图象，如图所示：若直线1y mx =-经过点12e-（，），则3m e =，若直线1y mx =-与2ln y x =相切，设切点为(),x y ，则1 22y mx y lnx m x⎧⎪=-⎪=⎨⎪⎪=-⎩，解得3232 32x e y m e -⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩． ∴322?3e m e --≤≤，故答案为322,3e e -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了函数的对称问题解法，注意运用转化思想，以及零点与函数图象的关系，导数的几何意义，属于中档题．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.设数列{}n a 满足：1a 1=，213a a 1-=，且()n 1n 1n n 1n 1a a 2n 2a a a -+-++=≥ (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列11b 2=，n n 1n 4b a a -=，设{}n b 的前n 项和n T .证明：n T 1<． 【答案】（1）n 2a n 1=+；（2）证明见解析.【解析】 【分析】(1)由已知得n n 1n 1211a a a -+=+，从而推导出n 1a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列，由此能求出数列{}n a 的通项公式;(2)由()n 111b n n 1n n 1==-++，利用裂项相消法能证明n T 1<．【详解】(1)数列{}n a 满足：1a 1=，213a a 1-=，且()n 1n 1n n 1n 1a a 2n 2a a a -+-++=≥， n n 1n 1211a a a -+∴=+， 又1a 1=，213a a 1-=，121131,a a 2∴==，21111a a 2∴-=， n 1a ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列，()()n 1111n 1n 1a 22∴=+-=+， n 2a .n 1∴=+ (2)证明：数列11b 2=，n n 1n 4b a a -=， ()n 111b n n 1n n 1∴==-++，n 12n 111111T b b b 111223n n 1n 1⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++⋯+=-+-+⋯+-=-< ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故n T 1.<【点睛】本题考查数列通项公式的求法，考查数列的前n 项和小于1的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．这个题目也涉及了数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知n S 和n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1n S -做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等．18.已知甲、乙两名工人在同样条件下每天各生产100件产品，且每生产1件正品可获利20元，生产1件次品损失30元，甲，乙两名工人100天中出现次品件数的情况如表所示.（1）将甲每天生产的次品数记为x （单位：件），日利润记为y （单位：元），写出y 与x 的函数关系式；（2）如果将统计的100天中产生次品量的频率作为概率，记X 表示甲、乙两名工人1天中各自日利润不少于1950元的人数之和，求随机变量X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）因为甲每天生产的次品数为x ，所以损失30x 元，则其生产的正品数为100x -，获得的利润为20(100)x -元，即可列出y 与x 的函数关系式；（2）由题意，可得甲、乙1天中生产的次品数不超过1的人数之和的可能取值0,1,2，分别求得取每个值对应的概率，即可列出分布列，利用公式求解数学期望． 【详解】（1）因为甲每天生产的次品数为x ，所以损失30x 元， 则其生产的正品数为100x -，获得的利润为()20100x -元，因而y 与x 的函数关系式为()2010030y x x =-- 200050x =-，其中04x ≤≤，x N ∈. （2）同理，对于乙来说，200050y x =-，03x ≤≤，x N ∈.由2000501950x -≥，得1x ≤， 所以X 是甲、乙1天中生产的次品数不超过1的人数之和，所以X 的可能值为0，1，2，又甲1天中生产的次品数不超过1的概率为204031005+=， 乙1天中生产的次品数不超过1的概率为30251110020+=，所以()299052050P X ==⨯=， ()39211491520520100P X ==⨯+⨯=，()311332520100P X ==⨯=，所以随机变量X 的分布列为所以()94933230125010010020E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，当随机变量取这些值时所对应的事件的概率有是多少，计算出概率值后，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.19.已知椭圆C ：223412x y +=，试确定m 的取值范围，使得对于直线l ：4y x m =+，椭圆C 上有不同两点关于这条直线对称. 【答案】1313m -<<【解析】 【分析】根据对称性可知线段AB 被直线4y x m =+垂直平分，从而可得直线AB 的斜率14k =-，线AB 与椭圆有两个交点，且AB 的中点M 在直线4y x m =+，可设直线AB 的方程为14y x n =-+，联立方程组22341214x y y x n⎧+=⎪⎨=-+⎪⎩，整理可得2213816(3)0x nx n -+-=可求中点M ，由226441316(3)0n n ∆=-⨯⨯->可求n 的范围，由中点M 在直线4y x m =+可得m ，n 的关系，从而可求m 的范围．【详解】解：设椭圆上关于直线4y x m =+对称的点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则根据对称性可知线段AB 被直线4y x m =+垂直平分． 可得直线AB 的斜率14k =-， 直线AB 与椭圆有两个交点，且AB 的中点()00,M x y 在直线4y x m =+， 故可设直线AB 的方程为14y x n =-+， 联立方程组22341214x y y x n⎧+=⎪⎨=-+⎪⎩， 整理可得2213816(3)0x nx n -+-= 12813n x x ∴+=，1212124()2413n y y x x n +=-++=， 226441316(3)0n n ∆=-⨯⨯->，n <， 0413n x ∴=，01213n y =，代入4y x m =+，413n m =-，∴m <，m ∴的范围就是1313⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题重点考查了椭圆的基本性质、直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题，解题关键是熟练运用直线与椭圆的位置关系求解．20.如图，三棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是平行四边形，11BC C C ⊥，平面11AC CA ⊥平面11BCC B ，且,E F 分别是11,BC A B 的中点.（Ⅰ）求证：11BC A C ；（Ⅱ）求证：//EF 平面11AC CA ；（Ⅲ）在线段AB 上是否存在点P ，使得1BC ⊥平面EFP ？若存在，求出APAB的值；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）当点P 是线段AB 的中点时，1BC ⊥平面EFP .此时，12AP AB = 【解析】 【分析】（Ⅰ）由11BC C C ⊥，利用面面垂直的性质，证得1BC ⊥平面11ACC A ，在线面垂直的性质，即可得到11BC A C .（Ⅱ）取11A C 中点G ，连,FG 连GC ，得到四边形11BCC B 为平行四边形，又由E 是BC 的中点，证得EC FG //，且EC FG =，进而得到FE GC //，利用线面平行的判定定理，即可证得//EF 平面11AC CA .（Ⅲ）取AB 的中点P ，连PE ，连PF ，由线面垂直的性质，得到1BC ⊥AC ,1BC ⊥CG ，又在在△ABC 中，利用中位线得//PE AC ，再由（Ⅱ）知FE CG //，进而得到1BC ⊥平面EFP ，得出结论.【详解】（Ⅰ）因为11BC C C ⊥，又平面11AC CA ⊥平面11BCC B ， 且平面11AC CA ⋂平面111BCC B C C =， 所以1BC ⊥平面11ACC A .又因为1AC ⊂平面11A C CA ， 所以11BC AC ⊥. （Ⅱ）取11A C 中点G ，连,FG 连GC .在△111A B C 中，因为,F G 分别是1111,A B AC 中点， 所以11//FG B C ，且111=2FG B C . 在平行四边形11BCC B 中，因为E 是BC 的中点， 所以11//EC B C ，且111=2EC B C . 所以//EC FG ，且=EC FG . 所以四边形FECG 是平行四边形. 所以//FE GC .又因为FE ⊄平面11A C CA ，GC ⊂平面11A C CA ，所以//EF 平面11A C CA . （Ⅲ）在线段AB 上存在点P ，使得1BC ⊥平面EFP . 取AB 的中点P ，连PE ，连PF .因为1BC ⊥平面11ACC A ，AC ⊂平面11ACC A ,CG ⊂平面11ACC A , 所以1BC ⊥ AC ,1BC ⊥ CG .在△ABC 中，因为,P E 分别是,AB BC 中点，所以//PE AC . 又由（Ⅱ）知//FE CG ， 所以1BC ⊥ PE ，1BC EF ⊥. 由PE EF E ⋂=得1BC ⊥平面EFP .故当点P 是线段AB 的中点时，1BC ⊥平面EFP .此时，12AP AB =. 【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明，及线面位置关系的应用，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．21.已知函数f(x)＝x2－ax－alnx(a∈R)．(1)若函数f(x)在x＝1处取得极值，求a的值；(2)在(1)的条件下，求证：f(x)≥－33x＋252x－4x＋116.【答案】(1) a＝1.(2) 见解析.【解析】试题分析：（1）根据极值的定义即导函数的变号零点，求导使得f′(1)＝0，解得a＝1；并检验a＝1时1是函数的变号零点即可（2）构造函数g(x)＝f(x)－35114326xx x⎛⎫-+-+⎪⎝⎭，研究这个函数的单调性，使得这个函数的最小值大于等于0即可. 解析：(1)解f′(x)＝2x－a－ax，由题意可得f′(1)＝0，解得a＝1.经检验，a＝1时f(x)在x＝1处取得极值，所以a＝1.(2)证明由(1)知，f(x)＝x2－x－lnx，令g(x)＝f(x)－35114326xx x⎛⎫-+-+⎪⎝⎭＝33x－232x＋3x－lnx－116，由g′(x)＝x2－3x＋3－1x＝31xx-－3(x－1)＝()31xx-(x>0)，可知g(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，所以g(x)≥g(1)＝0，所以f(x)≥－33x＋252x－4x＋116成立．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为32(12x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．()1求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；()2若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的中点P 到坐标原点O 的距离．【答案】（1）30x --=，22(2)4x y -+=（2）2【解析】 【分析】 （I ）将2ty代入3x =+，即可得到直线的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到曲线C 的直角坐标方程；（II ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，利用韦达定理和参数的几何意义，即可求解点P 到原点O 的距离.详解】解：（I ）将2t y =代入32x =+，整理得30x --=， 所以直线l 的普通方程为30x -=.由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入24cos ρρθ=，得2240x y x +-=，即曲线C 的直角坐标方程为()2224x y -+=. （II ）设A ，B参数分别为1t ，2t .将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得2213242t ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得230t +-=，由韦达定理得12t t +=于是122p t t t +==. 设()00,P x y，则0093,41224x y ⎧⎛==⎪ ⎪⎝⎭⎨⎛⎪=⨯-=- ⎪ ⎝⎭⎩则9,4P ⎛ ⎝⎭.所以点P 到原点O. 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数的几何意义的应用，其中熟记互化公式，合理利用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.23.已知函数()|21|||()f x x x m m R =+--∈.（1）当1m =时，解不等式()2f x ≥；（2）若关于x 的不等式()|3|f x x ≥-的解集包含[3,4]，求m 的取值范围.【答案】（1）2(,4][,)3-∞-+∞（2）[4,10]- 【解析】 【分析】（I ）当1m =，不等式为2112x x +--≥，分类讨论，即可求解不等式的解集.（II ）由题意()|21||||3|f x x x m x =+--≥-的解集包含[3,4]，转化为当[3,4]x ∈时，|21||||3|x x m x +--≥-恒成立，即||4x m x -≤+，再利用绝对值的定义，即可求解.【详解】解：（I ）当12x ≤-时，()()2112f x x x x =--+-=--， 由()2f x ≥解得4x ≤-，综合得4x ≤-；当112x -<<时，()()()2113f x x x x =++-=，由()2f x ≥解得23x ≥，综合得213x ≤<； 当1x ≥时，()()()2112f x x x x =+--=+，由()2f x ≥解得0x ≥，综合得1x ≥.所以()2f x ≥的解集是][2,4,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭. （II ）∵()213f x x x m x =+--≥-的解集包含[]3,4，∴当[]3,4x ∈时，213x x m x +--≥-恒成立 原式可变为213x x m x +--≥-，即4x m x -≤+，∴44x x m x --≤-≤+即424m x -≤≤+在[]3,4x ∈上恒成立，显然当3x =时，24x +取得最小值10，即m 的取值范围是[]4,10-.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．同时注意绝对值不等式有时与函数以及不等式恒成立等知识点相互交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。