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实数1

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实数(1)教案

实数(1)教案

2 π
3
6 7
，

3
4 这些数中，
有理数是 无理数是 2.判断对错：对的画“√” ，错的画“×”.
； ；
(1)无理数都是无限小数.（ ）(2)无限小数都是无理数. （ ） (3) 2 5 是无理数. （ ）(4) 1 5 是无理数. （ ）55 (5)带根号的数都是无理数. （ ） (6)有理数都是实数. （ ） 探究案 二、认真阅读课本 54、55 页的有关内容，回答下列问题： 1、教材中确定 2 ，∏在数轴上的位置的依据是什么？你能类似地找 到-∏，- 2 等无理数的点吗？ 2、总结： ①事实上，每一个无理数都可以用数轴上的__________表示出来，这 就是说，数轴上的点有些表示__________，有些表示__________ 当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是__________的，即 每一个实数都可以用数轴上的__________来表示；反过来，数轴上的 __________都是表示一个实数 ②用什么方法比较两个实数的大小？ ③数从有理数扩充到实数以后， 有理数关于相反数和绝对值的意义同样 适合于实数吗？请填写课本 54 页下面的思考栏目。 对于任意实数 a ，其相反数为_____ 一个正实数的绝对值是______；一个负实数的绝对值是它的______； 0 的绝对值是______ 【尝试练习 2】 1、 — 3 的相反数是 2、 绝对值等于 5 的数是 ，绝对值是 ， — 3 的平方是
3、
4、下列说法正确的有（ ） ⑴不存在绝对值最小的无理数 ⑵不存在绝对值最小的实数 ⑶不存在与本身的算术平方根相等的数 ⑷比正实数小的数都是负实数 ⑸非负实数中最小的数是 0 A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D.5 个 三、学生自学，教师巡视： 生先独立完成自学指导，将其中的疑惑和不同解法说出来，小组解决。 四、更正、讨论、归纳、总结 1、自由更正 做完的同学请看板演的内容，你认为有问题的请上来更正，有不同 见解的请上来补充。 2、讨论、归纳 五、当堂检测 1、目标 58 页上的自主测评， 2、课本 56 页的练习 1、2 题。57 页的 2、3 题。

实数1

实数1

请你谈谈 这节课的收获索斯提出他的发现之后，毕达哥 拉斯大吃一惊，原来世界上真的有“另类数” 存在。 15世纪意大利著名画家达.芬奇称之 为“无理的数”，17世纪德国天文学家开普 勒称之为“不可名状”的数。这一发现使该 学派领导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们 在学术界的统治地位。希勃索斯因此被囚禁， 受到百般折磨，最后竞遭到沉舟身亡的惩处。 希勃索斯终于为宣传科学而献出了宝贵 的生命，这在科学史上留下了悲壮的一页。 正因为希勃索斯发现了无理数，数的概念才 得以扩充。从此，数学的研究范围扩展到了 实数领域。
实数（1）
探索： 边长为1的正方形的 对角线的长是多少？ 1 D A 1
2
BD2=12+12
1
BD=
2
B
1
C
在数轴上画出表示 2 的点
-1
0
1 2
2
3
2 是怎样的一个数呢？
事实上，人们已经证明 2 是一 个无限不循环小数，它的值为 1.414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7…
0.12121121112…
0.12121121112… 3
…}
无理数集合{ 27
正实数集合{ 3 1
2
…}
…} …}
27
负实数集合{ 3 8 -0.5 -3.14159
讨论
有理数都可以用数轴上 的点来表示，反过来，数轴 上的点是否都表示有理数？
实数和数轴上的点一一对应。
无理数的由来
2500多年前，古希腊有一位伟大的数学家——毕达 哥拉斯。他最伟大的贡献就是发现了“勾股定理”。所 以直到现在，西方人仍然称勾股定理为“毕达哥拉斯定 理”。据传说，当勾股定理被发现之后，毕达哥拉斯学 派的成员们曾经杀了99头牛来大摆筵席，以示庆贺。

八年级数学实数1

八年级数学实数1
实 数
重要知识回 顾
1.算术平方根、平方根、立方根的联系与区别。
2.几个重要公式。
3.实数的分类
区别
算术平方根 表示方法
你知道算术平方根、平方根、立方根联 系和区别吗？
平方根
立方根
3
a
≠
0

a的取值
性 质
正数 0 负数
a≥
0 没有
a a≥ 0
0 没有
a
a 是任何数
0 负数（一个）
正数（一个） 互为相反数（两个） 正数（一个）
C）
A.原点左侧 B.原点右侧 C.原点或原点左侧 D.原点或原点右侧
3、若式子 （ 4-a） 是一个实数，则满足这个条件的a的值有（B ）
2
A.0个
B.1 个
C.2个
D.3个
4、已知 a 5，b2 7，且 a +b a b，则a b的值为（ D ）
A.2或12 B.2或-12 C.-2或12 D.-2或-12
5、已知5 7的小数部分是a？ 7的小数 5 部分是b？求a b的值
求a b的相反数的立方根
1
1
变式：已知9 13和9 13的小数部分分别为a和b
6、设a和b互为相反数，c和d互为负倒数，x的绝对值为 5，
4 5 则代数式x a b cd）x a b 3 cd） ___________ （ （
2
一、判断： 1.实数不是有理数就是无理数。（ 2.无理数都是无限不循环小数。（ 3.无理数都是无限小数。（ ） 4.带根号的数都是无理数。（ ×） 5.无理数一定都带根号。（ × ） 6.两个无理数之积不一定是无理数。（ 7.两个无理数之和一定是无理数。（× ） ） ） ）

实数(1)

实数(1)

导案 上课日期： 月 日课题14.3实数(1) 班 级 授课教师课 时 1 教 具 导学目标 1. 通过对实际问题的探究,认识到数的扩充的必要性. 2．会识别有理数、无理数、实数。

重 点 识别有理数、无理数、实数。

难 点 识别有理数、无理数、实数。

导 学 环 节个性导 学设计 口答： 9的平方根是 ， 9的算术平方根是 ， 2的平方根是 ，2的算术平方根是一起探究如图1所示，在半透明纸上画一个两条直角边都是2cm 的直角三角形ABC ，然后剪下这个三角形，再沿斜边上的高CD 剪开后，拼成图2所示的正方形。

（1）这个三角形的面积和拼成的正方形的面积是不是相等？面积是多少？（2）如果正方形的边长为xcm,那么x 与这个正方形的面积有怎样的关系？问题： （1）2-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3的平方等于2吗？有平方等于2的整数吗？（2）2是一个分数吗? （3）2是一个有理数吗? 2会是一个我们学过的数吗?一：复习回顾有理数的概念： 有理数包括 和A BC D 的分数吗？吗？有平方等于的平方等于2221,31,32,35±±±二、观察与思考如果我们把整数和分数都用小数来表示会有什么发现？（1）把下列整数写成小数的形式：-10，-1，0，2，3，50，100…(2)把下列分数写成有限小数或无限循环小数：结论：有理数总可以写成 小数或 小数的形式。

导 学 环 节 个性导学设计227,32,31,163,27,53,1001---三、阅读归纳：我们借助计算器得到 2=1.414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 6…… 这种无限且不循环的小数叫做无理数。

1、 π=3.1415926535897932384626433832795028841971…,像π和含有π这样的数都是无理数？ 2π ,21π, 2π+1是无理数吗?3、有一定的规律，但不循环的无限小数都是无理数。

2020人教版七年级数学下册第六章6.3实数(1)实数的概念课件(共32张PPT)

2020人教版七年级数学下册第六章6.3实数(1)实数的概念课件(共32张PPT)

6,

••
, 1. 2 3,
22 , 36
2
7
1.232232223 (两个3之间依次多一个 2)
有理数是：1.
•
2
•
3
22
,7
36
无理数是： 6
,,

2
1.232232223 ,(两个3之间依次多一个 2)
思考：无理数一般有哪些形式?
（1）像 7, 3, 12 的开不尽方的数是无理数。
020
002
000
02…是无
理数吗？
1.57079632679...
2
它们都是无限 不循环小数，
2.02002000200002…
是无理数
常见的一些无理数：
(1)含 π 的一些数；
(2)含开不尽方的数； (3)有规律但不循环的小数,如1.01001000100001…
例：判断下列数哪些是有理数？哪些是无理数？
人教版七年级数学 下册
6.3 实 数 第1课时 实数的概念
1.了解实数的意义，并能将实数按要求进 行准确的分类；
2.熟练掌握实数大小的比较方法；（重点） 3.了解实数和数轴上的点一一对应，能用 数轴上的点 表示无理数.（难点）
认真阅读课本中6.3 实数的 内容，完成下面练习并体验知 识点的形成过程。
• 这个矛盾说明， 2 不能写成分数的形式， 即 2 不是有理数。
• 实际上， 2 是无限不循环小数。
实数的概念：
在前面的学习中,我们知道,许多数的平方根和 立方根都是无限不循环小数,它们不能化成分数.我 们给无限不循环小数起个名字，叫“无理数”.有理 数和无理数统称为实数.
思考：

人教版初中数学一年级下册《实数(1)》图文课件

人教版初中数学一年级下册《实数(1)》图文课件

这些分数都可以 写成有限小数或者无 限循环小数的形式.
如果把整数看成小数点后是0的小数，
例如将3看成3.0
那么
有限小数
有理数
无限循环小数
想 小数除了上述前的学习，我们知道. 很多数的平 方根和立方根都是无限不循环小数.
无限不循环小数又叫做无理数.
有理数和无理数统称为实数. 正有理数 有理数 0 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 有限小数或无 限循环小数
以单位长度为边长画一个正方形，以原点为 圆心，正方形的对角线为半径画弧.
2
-3
-2
-1
0
1
2 2
3
弧与正半轴的交点就表示 2 ， 弧与负半轴的交点就表示 2.
基础巩固
随堂演练
1. 判断下列说法是否正确： （1）有限小数都是有理数; （ √） （2）无限小数都是无理数; （ ×） （3）所有有理数都可以用数轴上的点表示，反 过来，数轴上的所有点都表示有理数; （ ×） （4）所有实数都可以用数轴上的点表示，反过 来，数轴上的所有点都表示实数; （ √） （5）对于数轴上的任意两个点，右边的点表示 的实数总比左边的点表示的实数大. （ √）
实数
正无理数
非0有理数和无理数都有正负之分，实数也 有正负之分，所以实数还可以按大小分类如下： 正实数 实数 0 负实数
练习
1.下列实数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
4 5，3.14，0， 3 ， ，0.57 ， 4 ，– π， 3
0.1010010001……（相邻两个1之间0的个数逐
次加1）．
2
在数轴上表示实数
每个有理数都可以用数轴上的点来表示，那 么，无理数呢？
探究

实数(1)

实数(1)

实数（一）【教学目的】1、积极参与问题引导下的思考和操作活动，体验发现无理数的过程，知道无理数是客观存在的数。

2、通过对比分析，知道无理数是无限不循环小数；会识别一个数是否是无理数。

3、了解数的范围从整数到有理数、再到实数的扩展过程，知道实数的分类；体会分类思想。

【教学重点】问题驱动指导思想。

【教学难点】理解无理数是无限不循环小数，会辨别一个数是否是无理数.【教学方法】讲解、分析、对比【教学用具】各种大小的正方形纸片若干、小剪刀若干、多媒体设备.教学过程设计一、 复习引入教师设问：(1)我们已经学习了有理数，你能举出几个有理数吗？(2)有理数都可以表示为哪种统一的形式？(3)是不是所有的数都能表示为分数)0,( q q p qp 都是整数，且的形式？ 答：不是，无限不循环小数（如：π）就不能表示为该形式.[说明]前两个问题带领学生复习已有的相关知识；第三个问题设置疑问，引发学生的思考，带着这样的困惑和好奇学习新知.二、 学习新知一个满脸胡子的学者看着广阔的海面兴奋地说：“毕达哥拉斯先生的理论一点不错。

你们看这海浪一层一层，波峰波谷，就好像奇数、偶数相间一样。

世界就是数字的秩序。

”“是的，是的。

”这时一个正在摇桨的大个子插进来说：“就说这小船和大海吧。

用小船去量海水，肯定能得出一个精确的数字。

一切事物之间都是可以用数字互相表示的。

”“我看不一定。

”这时船尾的一个学者突然发话了，他沉静地说:“要是量到最后，不是整数呢？” “那就是个小数。

”“要是这个小数既除不尽，又不能循环呢？”“不可能，世界上的一切东西，都可以相互用数直接准确地表达。

”这时，那个学者以一种不想再争辩的口气冷静地说：“并不是世界上一切事物都可以用我们现在知道的数来互相表示。

就以毕达哥拉斯先生研究最多的直角三角形来说吧，假如是等腰直角三角形，你就无法用一个直角边准确地量出斜边来。

”这个学者叫希帕索斯，他在毕达哥拉斯学派中是一个聪明、好学、很有独立思考能力的青年数学家。

实数(1)答案

实数(1)答案

实数（1）答案一．选择题（每小题3分，共24分）分析： 由于表示4的算术平方根，所以根据算术平方根定义即可求出结果． 解答： 解：=2． 故选：A ．2．（3分）在﹣1.732，，π，3.，2+，3.212212221…，3.14这些数中，无理数的个A ． 5B ． 2C ．3 D ．4 分析： 根据无理数是无限不循环小数，可得答案．解答： 解：，π，2+，3.212212221…是无理数，故选：D ．①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个．． =﹣ B ． ﹣=﹣0.6 C ． =﹣13D ． =±6 解答： 解：A ，=﹣，故A 选项正确； B 、﹣≈﹣1.9，故B 选项错误； C 、=13，故C 选项错误；D 、=6，故D 选项错误．故选：A ．．不带根号的数不是无理数B．绝对值是的实数是D解答：解：A、不带根号的数π是无理数，故选项错误；B、8的立方根是2，故选项错误；C、绝对值是的实数是±，故选项错误；D、每个实数都对应数轴上一个点是正确的．故选：D．故选：D．A．3B．7C．8D．7或8围，由此即可求解．解答：解：∵49＜60＜64，∴7＜＜8．故选D．点评：此题主要考查了无理数的估算，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学二．填空（每空3分，共33分）9．（3分）若x的立方根是﹣8，则x=﹣2．漳州）平方根等于它本身的数是0．故填0．11．（6分）1﹣的相反数是﹣1，绝对值是﹣1．解答：解：1﹣的相反数是﹣1，绝对值是﹣1，故答案为：﹣1，﹣1．12．（3分）（2013•黔西南州）的平方根是±3．解答：解：=9，9的平方根是±3，故答案为：±3．13．（3分）已知（2a+1）2+=0，则﹣a2+b2004=．解答：解：已知（2a+1）2+=0，2a+1=0，b﹣1=0，a=﹣，b=1，﹣a2+b2004=﹣（﹣）2+12004=﹣+1=，故答案为：．的整数有5解答：解：∵2＜＜3，∴绝对值小于的整数有0，±1，±2，共5个，故答案为：5．的算术平方根是3．16．（3分）比较大小：＞．解答：解：∴∴故答案为：＞．17．若=5，则=0.5．解答：解：∵=5，∴=0.5．故答案为：0.5．18．（3分）已知在数轴上一个点到原点的距离是，则这个点表示的数是±．解答：解：根据互为相反数的两个点到原点的距离相等可知，在数轴上一个点到原点的距离是，则这个点表示的数是±．故答案为±．19．（6分）将下列各数填入相应的集合内．﹣7，0.32，，0，，，，π，0.1010010001…①有理数集合{ …}②无理数集合{ …}③负实数集合{ …}．解答：解：=5，=2．①有理数集合{﹣7，0.32，，0，，0.1010010001}②无理数集合{，，π}③负实数集合{﹣7}．故答案是：﹣7，0.32，，0，，0.1010010001；，，π；﹣7．20．（16分）（1）25x2﹣49=0；（2）125x3=8；解答：解：（1）移项得：25x2=49，系数化为1得：x2=，解得：x=±；（2）系数化为1得：x3=，解得：x=；（3）原式=2﹣2+=2﹣；（4）原式=﹣3．点评：本题考查了二次根式的加减法，涉及了平方根、立方根的求法，属于基础题．21．（8分）实数a、b在数轴上的位置如图所示，请化简：|a|﹣﹣．本身得出即可．解答：解：∵从数轴可知：a＜0＜b，∴：|a|﹣﹣=|a|﹣|a|﹣|b|=﹣|b|=﹣b．点评：本题考查了二次根式的性质，实数与数轴等知识点，解此题的关键是根据数轴得出a ＜0＜b，注意：=|a|，当a≥0时，|a|=a，当a≤0时，|a|=﹣a．22．（8分）y=++8，求3x+2y的值．考点：二次根式有意义的条件．可．解答：解：∵与有意义，∴，解得x=3，∴y=8，∴3x+2y=3×3+2×8=9+16=25．点评：本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．23．（8分）若一个正数的平方根分别为3a+1和4﹣2a，求这个正数．。

实数(1)

实数(1)


3 9

3
0.13

4
3
64
0.6
4
3 9
3
0.13

你能求出下列各数的相反数、倒数 和绝对值吗？
2；0； 2 ；3 5 ；3 8 ； 49
在实数范围内，相反数、倒数、绝对 值的意义和有理数范围内的相反数、 倒数、绝对值的意义完全一样。
（1）a是一个实数，它的相反数为
它既不是整数，又不是整数之比的怪东西。这引起了毕达哥 拉斯学派信徒们的恐慌，为他招来了杀身之祸，后来被投入 大海，他这一死，使得这类数的发展被推迟了500多年，给 数学的发展造成了不可弥补的损失。你知道这是怎样的一类 数吗？那就赶快来学习吧！
1
2
1
探究1：
把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？
永清县第一中学 单凤荣
复习提问：
1、说一说有理数的基本概念和分类？
π 2、你能说出圆周率 的多少位小数？
情景导读：
毕达哥拉斯有一句名言，叫做“万物皆数”，他错误的认 为：宇宙间的一切现象，都可以归结为整数或者整数的比， 即都可用有理数来描述，有一天，毕达哥拉斯的一个学生研
究一个边长为1的正方形，发现这个正方形对角线的长是 2
3 47 9 11 3 ， － 5 ， 8 ，11 ， 90
5 ，9
动手试一试，说说你的发现并与同学交流
3=__3_.0__
－3
5
11
.
90 =__0_.1_2___
=__－__0_._6_ 47 =_5__.8_7_5__ 9
8
11
5
.
9 =___0_.5____
.. =__0_._8_1___

第1章实数

第1章实数

第一章 实数集与函数§1 实数一 实数及其性质 有理数可用分数形式p q（,p q 为整数，0q ≠）表示，也可以用有限十进小数或无限十进循环小数来表示；而无限十进不循环小数则称为无理数.有理数和无理数统称为实数。

规定：对于正有限小数(包括正整数)x ，当012.n x a a a a = 时，其中009,1,2,,0,i n a i n a a ≤≤=≠ 为非负整数，记012.(1)999n x a a a a =- ；而当0x a =为正整数时，则记0(1).999x a =- 。

对于负有限小数(包括负整数)y ，则先将y -表示为无限小数,再将所得无限小数之前加负号。

又规定数0表示为0.000 。

于是，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示。

定义1 给定两个非负实数012012.,.n n x a a a a y b bb b == ，其中00,a b 为非负整数，,(1,2,)k k a b k = 为整数，09,09k k a b ≤≤≤≤。

若有(0,1,2,k k a b k == ，则称x 与y 相等，记为x y =；若00a b >或存在非负整数l ，使得(0,1,2,)k k a b k l == 而11l l a b ++>，则称x 大于y ，记为x y >或y x <。

对于负实数x 与y ，当x y -=-时，规定x y =；当x y ->-时，规定x y <（或y x >）。

规定任何非负数实数大于任何负实数。

定义2 设012.,n x a a a a = 为非负实数。

称有理数012().n n x a a a a = 为实数x 的n 位不足近似，而有理数1()()10n n n x x =+称为实数x 的n 位过剩近似，0,1,2,n = 。

对于负实数012.,n x a a a a =- 其n 位不足近似与n 位过剩近似分别规定为0121().10n n nx a a a a =-- 与012().n n x a a a a =- 。

实数1的教案

实数1的教案

实数1的教案教案标题：实数1的教案一、教学目标：1. 理解实数的概念及其在数轴上的表示。

2. 掌握实数的分类和性质。

3. 运用实数进行简单的计算和比较。

二、教学重点：1. 实数的概念和表示。

2. 实数的分类和性质。

三、教学难点：1. 掌握实数的分类和性质。

2. 运用实数进行简单的计算和比较。

四、教学准备：1. 教材：教科书《数学实用教程》等。

2. 工具：数轴模型、实数分类表格等。

3. 多媒体设备：投影仪、电脑等。

五、教学过程：步骤一：导入（5分钟）1. 利用数轴模型向学生介绍实数的概念，并与有理数进行对比。

2. 引导学生思考实数的分类和性质。

步骤二：概念讲解（15分钟）1. 通过多媒体展示实数的分类表格，解释各类实数的定义和特点。

2. 引导学生讨论实数的性质，如传递性、稠密性等。

步骤三：实数表示（15分钟）1. 利用数轴模型演示如何表示实数，并解释实数在数轴上的位置。

2. 给学生一些实数，让他们在数轴上标出对应的位置。

步骤四：实数计算（20分钟）1. 通过多个例子，教授实数的加法、减法、乘法和除法运算规则。

2. 给学生练习计算实数的运算题目，检查他们的理解和掌握程度。

步骤五：实数比较（15分钟）1. 引导学生掌握实数的大小比较方法，包括绝对值法和数轴法。

2. 给学生一些实数比较的例题，让他们运用所学方法进行比较。

步骤六：归纳总结（10分钟）1. 让学生总结实数的分类和性质，并归纳实数的表示、计算和比较方法。

2. 检查学生对实数的理解和掌握程度。

六、教学延伸：1. 给学生更多实数计算和比较的练习题，巩固所学知识。

2. 引导学生探究无理数的概念和性质，拓展实数的概念。

七、教学评价：1. 课堂练习：教师布置实数计算和比较的练习题，检查学生的掌握情况。

2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与度和表现，评价其对实数概念的理解程度。

八、教学反思：1. 教学方法：通过多媒体和实物模型的运用，增加学生对实数概念的感性认识。

人教版七年级数学下册第第六章实数第4课-实数(1)——无理数、有理数

人教版七年级数学下册第第六章实数第4课-实数(1)——无理数、有理数

17. 填空： (1)小于的 10 非负整数有________0_，__1_，__2_，__3___________； (2)在数轴上离原点的距离是的 5 点表示的数是__5_或__-__5_； (3)比较大小：22 ____>____π； (4)请你写出一7个大于0而小于2的无理数：____2____.
10. 无限不循环小数叫做__无__理__数__.
11. (2020期末)在0.25，π ，7，1 中，无理数有(
2 12
B
)
A.1个
B．2个
C．3个
D．4个
12. 如图，在数轴上标有字母的各点中，与实数 5 对应的点 可能是( C )
A.A
B．B
C．C
D．D
13. 下列说法正确的是( C ) A.无限小数都是无理数 B.带根号的数都是无理数 C.无理数都是无限小数 D.不循环的小数都是无理数
负有理数 负无理数
6. (例3)下列说法正确的是( D ) A.正整数和负整数统称整数 B.正数、0、负数统称有理数 C.开方开不尽的数和π统称无理数 D.有理数、无理数统称为实数
7. 下列说法错误的是( D ) A.有理数和无理数统称实数 B.实数包括正实数、0、负实数 C.整数和分数统称有理数 D.无理数包括正无理数、0、负无理数
14. 与数轴上的点一一对应的数是( D )
A.整数
B．有理数
C.无理数
D．实数
15. 有四个实数：3，－ 2 ，π， 5 ，其中最大的是( C )
A.3
B．－ 2
C．π
D. 5
16. 把下列各数分类：
π，－3.14，0，0.101 001…， 9,- 3 8,22 .
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第13章实数一、知识要点：1.有理数：整数和分数统称为有理数。

有理数都可以表示为有限小数或无限循环小数，如可表示为0.4，可表示为等等；所有形如(m, n为互质的整数，n≠0)的数都是有理数。

2.无理数：无限不循环小数叫做无理数，无理数不能表示成分数的形式。

如：π，，- ，- ……。

3.实数：有理数和无理数统称为实数。

我们一般用下列两种情况将实数进行分类：4.实数与数轴上的点是一一对应的。

每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反之数轴上的每一个点又都表示一个实数。

5.实数的相反数：如果a表示一个正实数，-a就表示一个负实数。

又如果a表示一个负实数，则-a表示一个正实数。

a与-a互为相反数。

0的相反数仍是0。

如π与-π，与- ，m与-m…均互为相反数。

6.实数的绝对值：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

即如果a是一个实数，则有|a|=例如，|- |= ，|-π|=π，| |= ，| - |=-( - )= - …注意：-a(a<0)是正数，例如：-( - )7.平方根：①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。

②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。

③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。

④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。

8.立方根：①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。

②正数的立方根是正数/0的立方根是0/负数的立方根是负数。

③求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数。

9. 有理数的运算加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。

②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

③一个数与0相加不变。

减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。

②任何数与0相乘得0。

③乘积为1的两个有理数互为倒数。

除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。

②0不能作除数。

乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。

混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。

二、经典例题例1.找出下列各数中的无理数：-5，3.1416, , - , ，，π，- ，0.808008…，，，。

解：无理数是无限不循环小数。

3.1416是有限小数；是无限循环小数；-5，- =-3，=-2是整数；= ，是分数，所以它们都是有理数。

那么无理数有：, ，π，- ，0.808008…，因为它们都是无限不循环小数。

注意：0.808008…是无限不循环小数，只是数字有规律，但不是循环小数，两者区分开。

例2.比较下列各组数的大小：-与-7(2)π与(3) - 与-(1)50(4)把下列各数按照由小到大的顺序，用不等号连结起来：4, -3, -4 ，1.414, 0, 0.8, - , π, -|4 |,分析：实数比较大小是综合性较强的题目，往往需要把无理数用近似的有理数代替，再用有理数比较大小的方法来进行比较；有些需要用平方的方法，平方后再比较大小；有时还需找中介值等等。

解：(1)变成统一形式∵|- |= , |-7|=7= <∴- <-7 (两个负数比较大小，绝对值大的反而小)(2)利用近似数∵π=3.14159…, =3.1428… ∴π<(3) 用平方的方法：( - )2=13+7-2 =20-2 ( - )2=20-2∵20-2 <20-2 即( - )2<( - )2且- >0, - >0 ∴- < -(4) ∵- =-1.414…, =-1.414…, -|4 |=-4 , π=3.14159…，把所有的数在数轴上找到与它们对应的点(或者变成近似数)，从左到右便可得到：-4 <-|4 |<-3<- <0<0.8<1.414< <π<4例3.化简下列各式：(1) | - |(2) |π-3.142|(3) | - |(4) |x-|x-3|| (x≤3) (5) |x2+6x+10|分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。

解：(1)∵=1.414…< ∴| - |= -(2) ∵π=3.14159…<3.142 ∴|π-3.142|=3.142-π(3) ∵< , ∴| - |= -(4) ∵x≤3, ∴x-3≤0,∴|x-|x-3||=|x-(3-x)|=|2x-3|=说明：这里对|2x-3|的结果采取了分类讨论的方法，我们对这个绝对值的基本概念要有清楚的认识，并能灵活运用。

(5) |x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1|∵(x+3)2≥0, ∴(x+3)2+1>0 ∴|x2+6x+10|= x2+6x+10例4.计算下列各式：(1) (2)(3) (4)0.2 -0.7(1) =-4+2-3-2=-7(2) =- +1 =- =-(3) =0.8-0.14+1.1=1.76(4)0.2 -0.7 =0.2×20-0.7×90=4-63=-59例5.已知(x-6)2+ +|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。

解：∵(x-6)2+ +|y+2z|=0 且(x-6)2≥0, ≥0, |y+2z|≥0,几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为0。

∴解这个方程组得∴(x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65例6.已知：=0，求实数a, b的值。

分析：已知等式左边分母不能为0，只能有>0，则要求a+7>0，分子+|a2-49|=0，由非负数的和的性质知：3a-b=0且a2-49=0，由此得不等式组从而求出a, b的值。

由题意得由(2)得 a2=49，∴a=±7 由(3)得 a>-7，∴a=-7不合题意舍去。

∴只取a=7 把a=7代入(1)得b=3a=21 ∴a=7, b=21为所求。

例7.有一个边长为11cm 的正方形和一个长为13cm ，宽为8cm 的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm 。

解：设新正方形边长为xcm ，根据题意得 x2=112+13×8 ∴x2=225 ∴x=±15∵边长为正，∴x=-15不合题意舍去， ∴只取x=15(cm)答：新的正方形边长应取15cm 。

三适时训练一精心选一选1．下列运算正确的是（ ） A ．2(3)- ＝ 3± Ｂ．—25- ＝ －（－５）＝５Ｃ．1149+ ＝ 1123+ Ｄ．2268+ ＝１０⒉ ()22-的平方根为()A ．2±B ． 1.414±C ．2±D ．－2⒊ －2的相反数为()A ．22 B ．—22C ．2D ．－2 ⒋ 16的算术平方根为()A ．4B ．4±C ．2D ．2±⒌若一个数的立方根与它的算术平方根相同，则这个数为()A ．1B ．1或0C ．0D ．非负数⒍－3216- 的算术平方根()A ．－6B ．3±C ．36D ．－3⒎－a33a 的值必为()A ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数⒏实数,a b 在数轴上的对应点分别为A,B,且A 在原点右侧，B 在原点左侧，且b ﹥a ，则a ba b-+的值为()A ．大于零B ．小于零C ．等于零D ．不能确定⒐对于实数,,a b 若()2a b b a -=-，则()A ．a ﹥bB ．a ﹤ bC ．a ≥bD ．a ≤b⒑在实数π，0，13，1．732，9，－10．232 232 232 …中无理数有()A ．2B ．3C ．4D ．5 ⒒实数a 与b 互为相反数，则a 与b 的关系为()A ．ab ＝1B ．ab ＝－1C ．a ＋b ＝0D ．a －b ＝0⒓三峡工程全部竣工后，其年发电量为847亿千瓦时，则该年发电量（单位：千瓦时）用科学计数法表示为()千瓦时。

A ．8．47×1010 B ．8．47×1110 C ．847×810 D ．0．847×1110⒔现有以下四个结论①绝对值等于本身的实数只有零；②相反数等于它本身的只有零；③倒数等于它本身的实数只有1；④算术平方根等于它本身的实数只有1.其中正确的个数()A ．0B ． 1C ．2D ．3 ⒕绝对值大于1小于4的整数的和是()A ．0B ．5C ．－5D ．10⒖天安门广场的面积约为44万平方米，请你估计一下，它的百万之一约相当于()A ． 教室地面的面积B ．黑板面的面积C ．课桌面的面积D ．铅笔盒偭的面积 ⒗已知x ＝3，v ＝7，且xv ＜0，则x ＋v 的值等于()A ． 10B ．4C ．10±D ．4± ⒘下列命题中正确的个数有()① 实数不是有理数就是无理数；②a ＜a ＋a ；③121的平方根是11±；④在实数范围内，非负数一定是正数；⑤两个无理数之和一定是无理数A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个 二细心填一填⒈若2a ＝212⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a 等于＿＿＿＿。

⒉若1a - ＋1a -有意义，则a 为＿＿＿＿。

⒊若 1.354 1.164≈，0.1164x ≈，则x ＝＿＿＿＿。

⒋在数轴上与表示3的距离最近的整数点所表示的数为＿＿＿＿。

⒌绝对值最小的实数为＿＿＿＿，绝对值小于7的整数有＿＿＿＿个。

⒍当实数,a b 均为正数时，若a ﹥b 时，则a ＿＿b ；当实数,a b 均为负数时，若a ﹤b 时，则a ＿＿b 。

（填﹥ 或﹤）。

⒎一个数的倒数的相反数是135，这个数是＿＿＿＿。

⒏4的算数平方根是＿＿＿＿。

⒐若23,x =则x ＝＿＿＿＿。

⒑当x ﹥0，y ＿＿＿时，xy 在实数范围内无意义。

⒒当m ﹥0时，则323m m m -+-=＿＿＿＿＿。

⒓边长为＿＿＿＿㎝的正方形与长、宽分别为9㎝、4㎝的矩形面积相等。

⒔当2k k =-，则k 在数轴中的＿＿＿＿＿处。

⒕一个自然数的算数平方根是a ，则与其相邻的下一个自然数的平方根为＿＿＿＿。

⒖ 2004年我国外汇储备3275.34亿美元，用科学计数法表示为＿＿＿＿＿＿亿美元。

⒗近似数0.020精确到＿＿＿＿＿位，它有＿＿＿＿＿个有效数字。

⒘若n 为自然数，那么()()22111nn +-+-=＿＿＿＿＿＿。