云南省腾冲市2017届高三数学模拟试卷2
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云南省腾冲市2017届高三数学模拟试卷7一、选择题(每题5分,共60分)本卷共12题,每题5分,共60分. 1.设集合A={x|﹣2≤x ≤3},B={x|x+1>0},则集合A∩B 等于( )A .{x|﹣2≤x ≤﹣1}B .{x|﹣2≤x <﹣1}C .{x|﹣1<x ≤3}D .{x|1<x ≤3}2.复数z 满足z•i=3﹣i ,则在复平面内,复数z 对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 3.春节前,某市一过江大桥上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的6秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以6秒内间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过3秒的概率是( ) A . B . C . D .4.已知,若A ,B ,C 三点共线,则实数k 的值为( )A .4B .﹣4C .D .5.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2+a 4+a 9=24,则S 9=( )A .36B .72C .144D .706.已知函数f (x )=3cos (﹣ωx )(ω>0),函数f (x )相邻两个零点之间的绝对值为,则下列为函数f (x )的单调递减区间的是( )A .[0,] B .[,π] C .[,] D .[,]7.设不等式4x﹣m (4x+2x+1)≥0对于任意的x ∈[0,1]恒成立,则实数m 的取值范围是( )A .(﹣∞,]B .[]C .[] D .[,+∞)8.高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体,它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示, 则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的( ) A .B .C .D .9.已知抛物线方程为y 2=4x ,直线l 的方程为x ﹣y+4=0,在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1,P 到直线l 的距离为d 2,则d 1+d 2的最小值为( ) A .B .C .D .10.如图所示的程序框图,若执行后的结果是,则在①处应填写的是( )A .i ≤3B .i ≤4C .i ≤5D .i ≤611.已知偶函数f (x )的定义域为{x|x ∈R 且x ≠0},f (x )=,则函数g (x )=4f (x )﹣log 7(|x|+1)的零点个数为( )A .6B .8C .10D .1212.对于曲线C 所在平面内的点O ,若存在以O 为顶点的角θ,使得θ≥∠AOB 对于曲线C 上的任意两个不同点A 、B 恒成立,则称θ为曲线C 相对于O 的“界角”,并称最小的“界角”为曲线C 相对于O 的“确界角”,已知曲线M :y=,(其中e 为自然对数的底数),O 为坐标原点,则曲线M 相对于O 的“确界角”为( ) A .B .C .D .二、填空题(每题5分,共20分)13.若命题“存在x ∈R ,使得2x 2﹣3ax+9<0成立”为假命题,则实数a 的取值范围是 .14.已知变量x ,y 满足约束条件,则z=x+2y 的最大值是 .15.已知m 、n 是两条不重合的直线,α、β、γ是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题,其中所有正确命题的序号是 .①若m ∥β,n ∥β,m 、n ⊂α,则α∥β.②若α⊥γ,β⊥γ,α∩β=m ,n ⊂γ,则m ⊥n .③若m ⊥α,α⊥β,m ∥n ,则n ∥β. ④若n ∥α,n ∥β,α∩β=m ,那么m ∥n . 16.已知椭圆,过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与C 相交于A 、B 两点,若= .三、解答题(共8题,共70分)17.数列{a n }是首项a 1=4的等比数列,s n 为其前n 项和,且S 3,S 2,S 4成等差数列. (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)若b n =log 2|a n |,设T n 为数列{}的前n 项和,求证T n <.18.从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50人测量身高.据测量,被测学生身高全部介于155cm 到195cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160);第二组[160,165);…;第八组[190,195].如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.已知第一组与第八组人数相同,第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列. (1)估计这所学校高三年级全体男生身高在180cm 以上(含180cm )的人数; (2)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图; (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两人,记他们的身高分别为x 、y ,求满足“|x ﹣y|≤5”的事件的概率.19.已知在四棱锥P ﹣ABCD 中,底面ABCD 是直角梯形,平面PAB ⊥平面ABCD ,R 、S 分别是棱AB 、PC 的中点,AD ∥BC ,AD ⊥AB ,PD ⊥CD ,PD ⊥PB ,AB=BC=2AD=2. (Ⅰ)求证:①平面PAD ⊥平面PBC ;②RS∥平面PAD ; (Ⅱ)若点Q 在线段AB 上,且CD ⊥平面PDQ ,求二面角C ﹣PQ ﹣D 的余弦值.20.如图:A ,B ,C 是椭圆的顶点,点F (c ,0)为椭圆的右焦点,原点O 到直线CF 的距离为,且椭圆过点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若P 是椭圆上除顶点外的任意一点,直线CP 交x轴于点E ,直线BC 与AP 相交于点D ,连结DE .设直线AP 的斜率为k ,直线DE 的斜率为k 1,问是否存在实数λ,使得成立,若存在求出λ的值,若不存在,请说明理由.21.已知函数f (x )=(x 2﹣3x+3)•e x 的定义域为[﹣2,t],设f (﹣2)=m ,f (t )=n . (1)试确定t 的取值范围,使得函数f (x )在[﹣2,t]上为单调函数; (2)求证:m <n ;(3)求证:对于任意的t >﹣2,总存在x 0∈(﹣2,t ),满足=(t ﹣1)2;又若方程=(t ﹣1)2;在(﹣2,t )上有唯一解,请确定t 的取值范围.22.已知曲线C 的极坐标方程是ρ=4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直l 的参数方程是(t 是参数)(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,且|AB|=,求直线的倾斜角α的值.数学试卷 7答案一、选择题CCBCBCACDBDB二.13 [﹣2,2] . 14. 9 15:②④. 16:.三.解答题(共8题,共70分)17解:(I )设等比数列{a n }的公比为q .当q=1时,S 3=12,S 2=8,S 4=16,不成等差数列 ∴q ≠1,2S 2=S 3+S 4, ∴,即q 4+q 3﹣2q 2=0.∵q ≠0,q ≠1,∴q=﹣2, ∴a n =4(﹣2)n ﹣1=(﹣2)n+1(Ⅱ)b n =log 2|a n |=log 2|(﹣2)n+1|=n+1, ∴ ∴,∴.18.解:(1)由频率分布直方图得:前五组频率为(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)×5=0.82, 后三组频率为1﹣0.82=0.18,人数为0.18×50=9, ∴这所学校高三年级全体男生身高在180cm 以上(含180cm )的人数为800×0.18=144.…. (2)由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5=0.04,人数为0.04×50=2, 设第六组人数为m ,则第七组人数为9﹣2﹣m=7﹣m , 又m+2=2(7﹣m ),解得m=4,所以第六组人数为4, 第七组人数为3,频率分别等于0.08,0.06.分别等于0.016,0.012.其完整的频率分布直方图如图.…(3)由(2)知身高在[180,185)内的人数为4,设为a 、b 、c 、d ,身高在[190,195]内的人数为2,设为A 、B ,若x ,y ∈[180,185)时,有ab 、ac 、ad 、bc 、bd 、cd 共6种情况;若x ,y ∈[190,195]时,有AB 共1种情况;若x ,y 分别在[180,185)和[190,195]内时,有aA 、bA 、cA 、dA 、aB 、bB 、cB 、dB ,共8种情况.所以基本事件总数为6+1+8=15,….事件“|x ﹣y|≤5”所包含的基本事件个数有6+1=7,∴P(|x﹣y|≤5)=.….19(Ⅰ)①证明:∵在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是直角梯形,平面PAB⊥平面ABCD,AD⊥AB,∴AD⊥平面APB,又PB⊂平面APB,∴PB⊥AD,∵PD⊥PB,AD∩PD=D,∴PB⊥平面PAD,∵PB⊂平面PBC,∴平面PAD⊥平面PBC.②证明:取PB中点M,连结RM,SM,∵R、S分别是棱AB、PC的中点,AD∥BC,∴SM∥CB∥AD,RM∥AP,又AD∩AP=A,∴平面PAD∥平面SMR,∵RS⊂平面SMR,∴RS∥平面PAD.(Ⅱ)解:由已知得,解得AP=1,BP=,PQ=,AQ=,BQ=,以Q为原点,QP为x轴,QB为y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则Q(0,0,0),P(),D(0,﹣,1),C(0,,2),∴,, =(0,,2),设平面PDQ的法向量,则,取y=2,得,设平面PCQ的法向量,则,取b=4,得=(0,4,﹣3),设二面角C﹣PQ﹣D的平面角为θ,∴cosθ=|cos<>|=||=,∴二面角C﹣PQ﹣D的余弦值为.20.解:(Ⅰ)由题意,得C(0,b),∴直线CF的方程为y=﹣+b,即bx+cy﹣bc=0,又原点O到CF的距离为,∴=,由b 2+c 2=a 2整理,得a=2b ,又椭圆过点,∴=1,解得a 2=16,b 2=4, ∴椭圆方程为.(Ⅱ)由(Ⅰ)知B (﹣4,0),C (0,2), 故直线BC 的方程为y=,∵直线AP 的斜率为k ,点A (4,0),∴直线AP 的方程为:y=k (x ﹣4),联立,得(4k 2+1)x 2﹣32k 2x+64k 2﹣16=0,又点P (x P ,y p )在椭圆上,故有:4•x P =,∴x P =,,∴P (,),故直线CP 的方程为y=x+2,即y=,又点E 为直线CP 与x 轴交点,令y=0得x=,∴E (,0),将直线BC 与直线AP 联立,得:,解得,∴D (,),故直线DE 的斜率为:==,∴,∴λ=2.21.解:(1)∵f′(x )=(2x ﹣3)•e x +(x 2﹣3x+3)•e x =x (x ﹣1)e x , 由f′(x )>0可得,x >1或x <0; 由f′(x )><0可得,0<x <1; ∴f (x )在(﹣∞,0),(1,+∞)上递增,在(0,1)上递减, 欲f (x )在[﹣2,t]上为单调函数, 则﹣2<t ≤0;∴t 的取值范围为(﹣2,0].(2)证明:∵f (x )在(﹣∞,0),(1,+∞)上递增,在(0,1)上递减, ∴f (x )在x=1处取得极小值e , 又∵f (﹣2)=m=<e=f (1),∴f (x )在[﹣2,+∞)上的最小值为f (﹣2).从而当t >﹣2时,f (﹣2)<f (t ),即m <n ;(3)证明:∵=﹣x 0,∴=(t ﹣1)2可化为﹣x 0=(t ﹣1)2,令g (x )=x 2﹣x ﹣(t ﹣1)2,则证明方程x 2﹣x ﹣(t ﹣1)2=0在(﹣2,t )上有解,并讨论解的个数.∵g (﹣2)=6﹣(t ﹣1)2=﹣(t+2)(t ﹣4), g (t )=t (t ﹣1)﹣(t ﹣1)2=(t+2)(t ﹣1), ①当t >4或﹣2<t <1时,g (﹣2)•g(t )<0,则方程x 2﹣x ﹣(t ﹣1)2=0在(﹣2,t )上有且只有一解; ②当1<t <4时,g (﹣2)>0,且g (t )>0, 又∵g (0)=﹣(t ﹣1)2<0,∴方程x 2﹣x ﹣(t ﹣1)2=0在(﹣2,t )上有解,且有两解; ③当t=1时,g (x )=x 2﹣x=0, 从而解得,x=0或x=1,故方程x 2﹣x ﹣(t ﹣1)2=0在(﹣2,t )上有且只有一解; ④当t=4时,g (x )=x 2﹣x ﹣6=0, 从而解得,x=﹣2或x=3,故方程x 2﹣x ﹣(t ﹣1)2=0在(﹣2,t )上有且只有一解;综上所述,对于任意的t >﹣2,总存在x 0∈(﹣2,t ),满足=(t ﹣1)2;当方程=(t ﹣1)2在(﹣2,t )上有唯一解时,t 的取值范围为(﹣2,1]∪[4,+∞).22.解:(1)∵ρcos θ=x ,ρsin θ=y ,ρ2=x 2+y 2, ∴曲线C 的极坐标方程是ρ=4cos θ可化为: ρ2=4ρcos θ,∴x 2+y 2=4x ,∴(x ﹣2)2+y 2=4. (2)将代入圆的方程(x ﹣2)2+y 2=4得:(tcos α﹣1)2+(tsin α)2=4, 化简得t 2﹣2tcos α﹣3=0.设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2, 则,∴|AB|=|t 1﹣t 2|==,∵|AB|=,∴=.∴cos.∵α∈[0,π), ∴或. ∴直线的倾斜角或.敬请批评指正。
云南省腾冲市2016-2017学年高三下学期第三次教学质量检测理科数学第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合{}22,1,0,1,2,|01x M N x x -⎧⎫=--=≤⎨⎬+⎩⎭,则M N = ( ) A .{}1,0- B .{}0,1 C .{}1,0,1- D .{}0,1,2 2.设复数z 满足()12i z -=,则z =( ) A .1i -- B .1i -+ C .1i - D .1i +3.各项均为正数的等差数列{}n a 。
其公差0d >,前n 项和为n S ,若125,,a a a 构成等比数列,则下列能构成等比数列的是( )A .123,,S S SB .124,,S S SC .134,,S S SD .234,,S S S4.已知,m n 为异面直线,,αβ为两个不同的平面,//,//m n αα,直线l 满足,,//l m l n l β⊥⊥,则( )A .//αβ且//l αB .//αβ且l α⊥C .αβ⊥且//l αD .αβ⊥且l α⊥ 5. ()()342x y x y -+的展开式中34x y 项的系数是( )A .3B .12C .17D .356.下列程序框图的输出结果为12345678910+++++++++的是( )A .B .C .D .7.变量,x y 满足约束条件02200x y x y mx y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩,若z x y =-的最大值为2,则实数m 等于( )A .23-B .-1C .1D .238.若正数,x y 满足35x y xy +=,则43x y +取最小值时y 的值为( ) A .1 B .3 C .4 D .59.某几何体的三视图如图1所示,且该几何体的体积是3,则正视图中的x 的值是( )A .2B .92 C .32D .3 10.设函数()1f x x x=-,对任意[)()()1,,0x f ax af x ∈+∞+<恒成立,则实数a 的取值范围是( )A .(),1-∞-B .()1,0-C .()1,1-D .()0,111.棱长为然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球,则这些小球的最大半径为( ) A.2 C.4 D.612.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>,12,F F 为其左、右焦点,P 为椭圆C 上除长轴端点外的任一点,G 为12F PF ∆内一点,满足123PG PF PF =+ ,12F PF ∆的内心为I ,且有12IG F F λ=(其中λ为实数),则椭圆C 的离心率e =( ) A .13 B .12 C .23 D第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在答题纸上)13.圆C 与直线0x y +=及40x y +-=,都相切,圆心在直线0x y -=上,则圆C 的方程为___________. 14.关于x 的一元二次方程22560x mx m ++-=,若m 是从区间[]0,5任取的一个数,则上述方程有实根的概率为__________.15.8个相同的球放入标号为1,2,3的三个盒子中,每个盒子中至少有一个,共有________种不同的放法.16.边长为ABC ,其内切圆与BC 切于点,F E 为内切圆上任意一点,则AE AF的取值范围为__________.三、解答题 (共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分12分)已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且cos sin a b C B =-. (1)求B ;、(2)若点D 为边AC 的中点,1BD =,求ABC ∆面积的最大值.18.(本小题满分12分)一个袋子里装有6个球,其中有红球4个,编号均为1,白球2个,编号分别为2,3.(假设取到任何一个球的可能性相同)(1)现依次不放回地任取出两个球,求在第一个球是红球的情况下,第二个球也是红球的概率; (2)现甲从袋中任取两个球,记其两球编号之和为m ,待甲将球放回袋中后,乙再从袋中任取两个球,记其两球编号之和为n ,求m n <的概率. 19.(本小题满分12分)如图2,直三棱柱ABC A B C '''-,,,E F G 分别是,A C BC ''与B C ''的中点,且AA '=,2,4BC AC ==,平面ABGE ⊥平面BCC B ''.(1)求证:AB BC ⊥;(2)求平面ABE 与平面EFC '所成二面角的平面角的余弦值的绝对值.20.(本小题满分12分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>,作直线l 交椭圆C 于,P Q 两点,M 为线段PQ 的中点,O 为坐标原点,设直线l 的斜率为1k ,直线OM 的斜率为2122,3k k k =-. (1)求椭圆C 的离心率;(2)设直线l 与x 轴交于点()D ,且满足2DP QD =,当O P Q ∆的面积最大时,求椭圆C 的方程.21.(本小题满分12分) 已知函数()ln 1f x x kx =-+.(1)若()0f x ≤恒成立,试确定实数k 的取值范围;(2)证明:()2*2ln 2ln3ln 4ln 1101,2381514nn n n n N n n n ++⎛⎫++++++<∈≥ ⎪-⎝⎭ .请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图3,在ABC ∆中,CD 是ACB ∠的平分线,ACD ∆的外接圆O 交BC 于点,E DF 是O 的切线交BC 于点F ,且33EC EF ==.(1)若E 为BC 的中点,72BD =,求DE 的长; (2)求DEDC.23. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知平面直角坐标系xOy ,以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,P 点极坐标系为3,4π⎛⎫⎪⎝⎭,曲线C 的参数方程为2cos 4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭(θ为参数). (1)写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程;(2)若Q 为曲线C 上的动点,求PQ 的中点M 到直线:2cos 4sin l ρθρθ+=24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数()2f x x a x =++-.(1)当3a =时,求不等式()7f x ≥的解集;(2)若()4f x x ≤-的解集包含[]0,2,求a 的取值范围.云南省腾冲市2016-2017学年高三下学期第三次教学质量检测(理科)数学参考答案一、选择题【解析】 1.不等式201x x -≤+的解集与不等式组()()21010x x x ⎧-+≤⎨+≠⎩相同,即12x -<≤,所以{}0,1,2M N = ,故选D2.由()12i z -=得()()()2121111i z i i i i +===----+,故选A .4.由//,//m n αα,直线l 满足,l m l n ⊥⊥知l α⊥,又//l β得βα⊥,故选D . 5.()()342x y x y -+展开式的通项公式为()()34711343422rrr r r s s s r s r s r sr s T T T C x y C x y C C x y ----+++⎡⎤⎡⎤==-=-⎣⎦⎣⎦,其中0,1,2,3,0,1,2,3,4r s ==,由734r s r s --=⎧⎨+=⎩,得4r s +=,则04r s =⎧⎨=⎩,或13r s =⎧⎨=⎩,或22r s =⎧⎨=⎩,或31r s =⎧⎨=⎩,34x y 的系数为()()()()01230413223134343434222217C C C C C C C C -+-+-+-=,故选C .6.选项A 的程序框图输出的结果为2345678910S =++++++++;选项B 的程序框图输出的结果为234567891011S =+++++++++;选项C 的程序框图输出的结果为123456789S =++++++++; 选项D 的程序框图输出的结果为12345678910S =+++++++++,故选D .7.由约束条件02200x y x y mx y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩,作出可行域如图1,联立2200x y mx y -+=⎧⎨-=⎩,解得22,2121m A m m ⎛⎫ ⎪--⎝⎭,化目标函数z x y =-为y x z =-,由图可知,当直线y x z =-过点A 时,直线在y 轴上的截距最小,z 有最大值为2222121m m m -=--,解得23m =,故选D .8.∵正数,x y 满足35x y xy +=,∴3311555x y xy y x +=+=,∴()31434355x y x y y x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭131231355555x y y x =++≥+,当且仅当12355x y y x =即12x =且1y =时取等号, ∴43x y +取最小值时y 的值为1,故选A .9.根据题图中的三视图判断几何体为四棱锥,其直观图如图2所示,11223332V x x +=⨯⨯⨯=⇒=,故选D . 10.由题意()()()101a f ax af x ax ax x ax x +=-+-<≥恒成立,即222210a x a ax--<,易知0a <,222221210,12a a x a a +--><,∴1a <-,故选A .11.4,4122r r ⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭B . 12.设()00,P x y ,∵由题意可知G 为12F PF ∆的重心,∴G 点坐标为00,33x y G ⎛⎫⎪⎝⎭.∵12IG F F λ= ,∴//IG x 轴,∴I 的纵坐标为3y .在焦点12F PF ∆中,122PF PF a +=,122F F c =, ∴1212012F PF S F F y ∆=.又∵I 为12F PF ∆的内心,∴I 的纵坐标长度03y即为内切圆半径,内心I 把12F PF ∆分为三个底分别为12F PF ∆的三边,高为内切圆半径的小三角形,∴()1201122123F PF y S PF F F PF ∆=++,∴()120112211223y F F y PF F F PF ⋅=++ , 即()0011222223y c y a c ⨯=+ ,∴2c a =,∴椭圆C 的离心率12c e a ==,故选B .二、填空题【解析】13.设圆心坐标为(),a a =,解得1a =,则r ==,所以圆C 的方程为()()22112x y -+-=.14.方程有实根,则()244560m m ∆=--≥,即2560m m -+≥,解得2m ≤或3m ≥,所以概率为45P =. 15.将8个球排成一排,形成7个空隙,在7个空隙中任取两个插入两块隔板,共有2776212C ⨯==种放法.16.以点E 为坐标原点,BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,如图3所示,则点()0,0E ,()0,3A ,内切圆D 的方程为()2211x y +-=,设点()cos ,1sin F θθ+,则()()0,3cos ,sin 2AE AF θθ=--[]63sin 3,9θ=-∈.三、解答题17.解:(1)因为cos sinB a b C =,由正弦定理知sin sin cos sinB 3A B C C =-,即()sin sin cos sin 3B C B C C B +=-,sin cos cos sin sin cos sin B C B C B C C B +=,cos sinC sin B C B =. 又由C 为ABC ∆的内角,故而sin 0C ≠,所以tan B =又由B 为ABC ∆的内角,故而23B π=......................6分(2)如图4,因为点D 为边AC 的中点,故而2BD BA BC =+,两边平方得22242cos BD BA BA BC ABC BC =+∠+ ,又由(1)知23ABC π∠=,设,BA c BC a == ,即224a c a c =+-, 所以2242a c a c ac +=+≥,即4ac ≤,当且仅当2a c ==时取等号.又1sin 2ABC S ac ABC ∆=∠=, 故而当且仅当2a c ==时,ABC S ∆......................12分18.解:(1)由于是不放回地取球,在一个红球被取出的情况下,袋中剩3个红球和2个白球,故而第二个球也取到红球的概率是35............................. 4分 (2)由题意可知,甲、乙取球相互独立,且m 与n 的分布列相同, 而m 的可能取值是2,3,4,5,且()()2114412266642,31515C C C P m P m C C ====== ,()()111141112266414,51515C C C C P m P m C C ====== ,...............................8分 所以()()()()2,23,34,4P m n P m n P m n P m n <==>+=>+=>6646446442611115151515151515151575⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--+---= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ , 所以m n <的概率为2675...............................................12分19.(1)证明:由题意知,GB 是平面ABGE 与平面BCC B ''的交线,如图5,在平面BCC B ''中过点C 作GB 的垂线,垂足为H ,即GB CH ⊥.又由于平面ABGE ⊥平面BCC B '',所以CH ⊥平面ABGE ,则AB CH ⊥.①由三棱柱ABC A B C '''-为直三棱柱,∴CC '⊥平面ABC ,则AB CC '⊥.②又由CC CH C '= 及①②得AB ⊥平面BCC B '',所以AB BC ⊥..............................................6分(2)解:由三棱柱ABC A B C '''-为直三棱柱及AB BC ⊥,则,,BA BC BB '两两垂直,建立如图5所示空间直角坐标系B xyz -,由2,4BC AC ==,则AB =又AA '=()()()(0,0,0,,,0,1,0,B A E F C ',所以())(,,1,0,0,1,BA BE C E C F ''===-=- . 设()1111,,n x y z =为平面ABE 的法向量,则1100n BA n BE ⎧=⎪⎨=⎪⎩,即111100y ⎧=⎪++=, 令11z =-,则110,x y ==所以平面ABE的一个法向量为()11n =- .设()2222,,n x y z =为平面EFC '的法向量,则2200n C E n C F ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩,即222200y y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩令2y 221,1x z ==-,所以平面EFC '的一个法向量为()21n =- . 设θ为平面ABE 与平面EFC '所成二面角的平面角, 则1212cos n n n n θ=== ................12分 20.解:(1)设()()1122,,,P x y Q x y ,代入椭圆的方程有,2222221122221,1x y x y a b a b+=+=,.....................................................2分 两式相减:22222121220x x y y a b--+=, 即()()()()21212121220x x x x y y y y a b -+-++=, 又2121122121,y y y y k k x x x x -+==-+, 联立两个方程有212223b k k a =-=-,........................................4分 解得c e a ==..................................................... 5分 (2)由(1)知c e a ==22223,2a c b c ==, 可设椭圆方程为222236x y c +=.设直线l 的方程为x my =()22223660m y c +-+-=.......................................6分因为直线与椭圆相交,所以()()22248423660m m c ∆=-+->,由韦达定理得212122266,2323c y y y y m m -+==++. 又2DP QD =,所以122y y =-, 代入上述两式有222966623m c m -=-+,................................... 8分所以1212OPQ S OD y y ∆=-==........................................................................ 9分2118183232mm m m ==≤++,....................................10分 当且仅当232m =时,等号成立. 此时25c =,代入∆有0∆>成立,所以所求椭圆方程为2211510x y +=...........................12分 21.(1)解:由()0f x ≤有ln 1kx x ≥+,即ln 1x k x +≥,令()()2ln 1ln ,0x x h x h x x x+-'===, 解得1x =.....................................................2分在()0,1上,()0h x '>,在()1,+∞上,()0h x '<,所以在1x =时,()h x 取得最大值()11h =,即1k ≥.......................4分(2)证明:由(1)知,当1k =时,ln 1x x ≤-,令()2*,2x nn N n =∈≥,有22ln 1n n <-, 即2ln 1122n n n <<-..............................................6分 ()()()212ln 2ln 3ln 4ln 1233815124n n n n n -+++++<+++=- ,①....................9分令11x n =+,有111ln 113ne n n n ⎛⎫⎛⎫+<⇒+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②...............................11分 ①+②有: ()2*2ln 2ln3ln 4ln 1101,2381514n n n n n N n n n ++⎛⎫++++++<∈≥ ⎪-⎝⎭ ............12分 22.解:(1)因为E 为BC 的中点,所以3,6BE BC ==.由割线定理知,BD BA BE BC = ,所以7182BA = ,............................2分 可得3623,714BA AD ==...................................4分 又因为CD 是ACB ∠的平分线, 所以2314DE AD ==...........................................5分 (2)因为DF 是圆O 的切线,D 为切点,FC 为圆O 的割线,由切割线定理知,()2DF FE FC FE FE EC ==+ , 因为3EC EF =,所以224DF FE =,即2DF FE =,...........................8分由DFE CFD ∆∆ ,所以12DE EF DC DF ==..............................10分 23.解:(1)点P的直角坐标为22⎛ ⎝⎭;............................ 2分 由2cos 4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭得2cos sin ρθθ ①,...........................3分 将222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==代入①,可得曲线C的直角坐标方程为22122x y ⎛⎛-+-= ⎝⎭⎝⎭....................5分 (2)直线:2cos 4sin l ρθρθ+240x y +.......................................................................6分 设点Q的直角坐标为cos ,sin 22θθ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭,则cos sin 22M θθ⎫⎪⎭,................................... 8分那么M 到直线l 的距离d θϕ+===,∴d ≥=()sin 1θϕ+=-时取等),所以M 到直线:2cos 4sin l ρθρθ+=12..................10分 24.解:(1)当3a =时,()21,35,3221,2x x f x x x x --≤-⎧⎪=-<<⎨⎪+≥⎩,.............................2分当3x ≤-时,由()7f x ≥得217x --≥,解得4x ≤-;当32x -<<时,()7f x ≥无解;当2x ≥时,由()7f x ≥得217x +≥,解得3x ≥,所以()7f x ≥的解集为(][),43,-∞-+∞ ..................................5分(2)()4f x x ≤-等价于42x a x x +≤---.........................6分 当[]0,2x ∈时,42x a x x +≤---等价于22a x a --≤≤-,.................... 8分 由条件得20a --≤且22a -≥,即20a -≤≤.故满足条件的a 的取值范围为[]2,0-................................10分。
云南省腾冲市2017届高三数学模拟试卷7一、选择题(每题5分,共60分)本卷共12题,每题5分,共60分. 1.设集合A={x|﹣2≤x ≤3},B={x|x+1>0},则集合A∩B 等于( )A .{x|﹣2≤x ≤﹣1}B .{x|﹣2≤x <﹣1}C .{x|﹣1<x ≤3}D .{x|1<x ≤3}2.复数z 满足z•i=3﹣i ,则在复平面内,复数z 对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 3.春节前,某市一过江大桥上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的6秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以6秒内间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过3秒的概率是( ) ABC4.若A ,B ,C 三点共线,则实数k 的值为( )A .4B .﹣4 CD5.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2+a 4+a 9=24,则S 9=( )A .36B .72C .144D .706.已知函数f (x )=3cosωx )(ω>0),函数f (x )相邻两个零点之间的绝对则下列为函数f (x )的单调递减区间的是( )A .[0.π] C .D .7.设不等式4x﹣m (4x+2x+1)≥0对于任意的x ∈[0,1]恒成立,则实数m 的取值范围是( )A .B .C .D .+∞)8.高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体,它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示, 则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的( ) ABCD9.已知抛物线方程为y 2=4x ,直线l 的方程为x ﹣y+4=0,在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1,P 到直线l 的距离为d 2,则d 1+d 2的最小值为( ) ABCD 10 )A .i ≤3B .i ≤4C .i ≤5D .i ≤6 11.已知偶函数f (x )的定义域为{x|x ∈R 且x ≠0},f (x )g (x )=4f (x )﹣log 7(|x|+1)的零点个数为( ) A .6B .8C .10D .1212.对于曲线C 所在平面内的点O ,若存在以O 为顶点的角θ,使得θ≥∠AOB 对于曲线C 上的任意两个不同点A 、B 恒成立,则称θ为曲线C 相对于O 的“界角”,并称最小的“界角”为曲线C 相对于O 的“确界角”,已知曲线M :(其中e 为自然对数的底数),O 为坐标原点,则曲线M 相对于O 的“确界角”为( )ABCD二、填空题(每题5分,共20分)13.若命题“存在x ∈R ,使得2x 2﹣3ax+9<0成立”为假命题,则实数a 的取值范围是 .14.已知变量x ,yz=x+2y 的最大值是 .15.已知m 、n 是两条不重合的直线,α、β、γ是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题,其中所有正确命题的序号是 .①若m ∥β,n ∥β,m 、n ⊂α,则α∥β.②若α⊥γ,β⊥γ,α∩β=m ,n ⊂γ,则m ⊥n .③若m ⊥α,α⊥β,m ∥n ,则n ∥β. ④若n ∥α,n ∥β,α∩β=m ,那么m ∥n .16.过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与C 相交于A 、B = .三、解答题(共8题,共70分)17.数列{a n }是首项a 1=4的等比数列,s n 为其前n 项和,且S 3,S 2,S 4成等差数列. (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式; (Ⅱ)若b n =log 2|a n |,设T n 为数列的前n 项和,求证T n18.从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50人测量身高.据测量,被测学生身高全部介于155cm 到195cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160);第二组[160,165);…;第八组[190,195].如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.已知第一组与第八组人数相同,第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列. (1)估计这所学校高三年级全体男生身高在180cm 以上(含180cm )的人数; (2)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图;(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两人,记他们的身高分别为x 、y ,求满足“|x ﹣y|≤5” 的事件的概率.19.已知在四棱锥P ﹣ABCD 中,底面ABCD 是直角梯形,平面PAB ⊥平面ABCD ,R 、S分别是棱AB 、PC 的中点,AD ∥BC ,AD ⊥AB ,PD ⊥CD ,PD ⊥PB ,AB=BC=2AD=2. (Ⅰ)求证:①平面PAD ⊥平面PBC ;②RS∥平面PAD ; (Ⅱ)若点Q 在线段AB 上,且CD ⊥平面PDQ ,求二面角C ﹣PQ ﹣D 的余弦值.20.如图:A ,B ,CF (c ,0)为椭圆的右焦点,原点O 到直线CF(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若P 是椭圆上除顶点外的任意一点,直线CP 交x 轴于点E ,直线BC 与AP 相交于点D ,连结DE .设直线AP 的斜率为k ,直线DE 的斜率为k 1,问是否存在实数λ,使得λ的值,若不存在,请说明理由.21.已知函数f (x )=(x 2﹣3x+3)•e x 的定义域为[﹣2,t],设f (﹣2)=m ,f (t )=n . (1)试确定t 的取值范围,使得函数f (x )在[﹣2,t]上为单调函数; (2)求证:m <n ;。
云南省腾冲市2017届高三数学模拟试卷7一、选择题(每题5分,共60分)本卷共12题,每题5分,共60分. 1.设集合A={x|﹣2≤x ≤3},B={x|x+1>0},则集合A∩B 等于( )A .{x|﹣2≤x ≤﹣1}B .{x|﹣2≤x <﹣1}C .{x|﹣1<x ≤3}D .{x|1<x ≤3}2.复数z 满足z•i=3﹣i ,则在复平面内,复数z 对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 3.春节前,某市一过江大桥上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的6秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以6秒内间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过3秒的概率是( ) A. B. C. D.4.已知,若A ,B ,C 三点共线,则实数k 的值为( )A .4B .﹣4 C.D.5.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2+a 4+a 9=24,则S 9=( )A .36B .72C .144D .706.已知函数f (x )=3cos(﹣ωx )(ω>0),函数f (x )相邻两个零点之间的绝对值为,则下列为函数f (x )的单调递减区间的是( )A .[0,] B .[,π] C .[,] D .[,]7.设不等式4x ﹣m (4x +2x +1)≥0对于任意的x ∈[0,1]恒成立,则实数m 的取值范围是( )A .(﹣∞,] B .[]C .[] D .[,+∞)8.高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体,它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示, 则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的( ) A.B.C.D.9.已知抛物线方程为y 2=4x ,直线l 的方程为x ﹣y+4=0,在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1,P 到直线l 的距离为d 2,则d 1+d 2的最小值为( ) A.B.C.D.10.如图所示的程序框图,若执行后的结果是,则在①处应填写的是( )A .i ≤3B .i ≤4C .i ≤5D .i ≤611.已知偶函数f (x )的定义域为{x|x ∈R 且x ≠0},f (x )=,则函数g (x )=4f (x )﹣log 7(|x|+1)的零点个数为( ) A .6B .8C .10D .1212.对于曲线C 所在平面内的点O ,若存在以O 为顶点的角θ,使得θ≥∠AOB 对于曲线C 上的任意两个不同点A 、B 恒成立,则称θ为曲线C 相对于O 的“界角”,并称最小的“界角”为曲线C 相对于O 的“确界角”,已知曲线M :y=,(其中e 为自然对数的底数),O 为坐标原点,则曲线M 相对于O 的“确界角”为( ) A.B.C.D.二、填空题(每题5分,共20分)13.若命题“存在x ∈R ,使得2x 2﹣3ax+9<0成立”为假命题,则实数a 的取值范围是 .14.已知变量x ,y满足约束条件,则z=x+2y 的最大值是 .15.已知m 、n 是两条不重合的直线,α、β、γ是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题,其中所有正确命题的序号是 .①若m ∥β,n ∥β,m 、n ⊂α,则α∥β.②若α⊥γ,β⊥γ,α∩β=m ,n ⊂γ,则m ⊥n .③若m ⊥α,α⊥β,m ∥n ,则n ∥β. ④若n ∥α,n ∥β,α∩β=m ,那么m ∥n .16.已知椭圆,过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与C 相交于A 、B两点,若= .三、解答题(共8题,共70分)17.数列{a n }是首项a 1=4的等比数列,s n 为其前n 项和,且S 3,S 2,S 4成等差数列. (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式; (Ⅱ)若b n =log 2|a n |,设T n 为数列{}的前n 项和,求证T n<.18.从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50人测量身高.据测量,被测学生身高全部介于155cm 到195cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160);第二组[160,165);…;第八组[190,195].如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.已知第一组与第八组人数相同,第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列. (1)估计这所学校高三年级全体男生身高在180cm 以上(含180cm )的人数; (2)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图; (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两人,记他们的身高分别为x 、y ,求满足“|x ﹣y|≤5”的事件的概率.19.已知在四棱锥P ﹣ABCD 中,底面ABCD 是直角梯形,平面PAB ⊥平面ABCD ,R 、S 分别是棱AB 、PC 的中点,AD ∥BC ,AD ⊥AB ,PD ⊥CD ,PD ⊥PB ,AB=BC=2AD=2. (Ⅰ)求证:①平面PAD ⊥平面PBC ;②RS∥平面PAD ; (Ⅱ)若点Q 在线段AB 上,且CD ⊥平面PDQ ,求二面角C ﹣PQ ﹣D 的余弦值.20.如图:A ,B ,C是椭圆的顶点,点F (c ,0)为椭圆的右焦点,原点O 到直线CF的距离为,且椭圆过点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若P 是椭圆上除顶点外的任意一点,直线CP 交x 轴于点E ,直线BC 与AP 相交于点D ,连结DE .设直线AP 的斜率为k ,直线DE 的斜率为k 1,问是否存在实数λ,使得成立,若存在求出λ的值,若不存在,请说明理由.21.已知函数f(x)=(x2﹣3x+3)•e x的定义域为[﹣2,t],设f(﹣2)=m,f(t)=n.(1)试确定t的取值范围,使得函数f(x)在[﹣2,t]上为单调函数;(2)求证:m<n;(3)求证:对于任意的t>﹣2,总存在x0∈(﹣2,t),满足=(t﹣1)2;又若方程=(t﹣1)2;在(﹣2,t)上有唯一解,请确定t的取值范围.22.已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直l的参数方程是(t是参数)(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点,且|AB|=,求直线的倾斜角α的值.数学试卷 7答案一、选择题CCBCBCACDBDB二.13[﹣2,2] .14.9 15:②④.16:.三.解答题(共8题,共70分)17解:(I)设等比数列{a n}的公比为q.当q=1时,S3=12,S2=8,S4=16,不成等差数列∴q≠1,2S2=S3+S4,∴,即q4+q3﹣2q2=0.∵q≠0,q≠1,∴q=﹣2,∴a n=4(﹣2)n﹣1=(﹣2)n+1(Ⅱ)b n=log2|a n|=log2|(﹣2)n+1|=n+1,∴∴,∴.18.解:(1)由频率分布直方图得:前五组频率为(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)×5=0.82,后三组频率为1﹣0.82=0.18,人数为0.18×50=9,∴这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上(含180cm)的人数为800×0.18=144.….(2)由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5=0.04,人数为0.04×50=2,设第六组人数为m,则第七组人数为9﹣2﹣m=7﹣m,又m+2=2(7﹣m),解得m=4,所以第六组人数为4,第七组人数为3,频率分别等于0.08,0.06.分别等于0.016,0.012.其完整的频率分布直方图如图.…(3)由(2)知身高在[180,185)内的人数为4,设为a、b、c、d,身高在[190,195]内的人数为2,设为A、B,若x,y∈[180,185)时,有ab、ac、ad、bc、bd、cd共6种情况;若x,y∈[190,195]时,有AB共1种情况;若x,y分别在[180,185)和[190,195]内时,有aA、bA、cA、dA、aB、bB、cB、dB,共8种情况.所以基本事件总数为6+1+8=15,….事件“|x﹣y|≤5”所包含的基本事件个数有6+1=7,∴P(|x﹣y|≤5)=.….19(Ⅰ)①证明:∵在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是直角梯形,平面PAB⊥平面ABCD,AD⊥AB,∴AD⊥平面APB,又PB⊂平面APB,∴PB⊥AD,∵PD⊥PB,AD∩PD=D,∴PB⊥平面PAD,∵PB⊂平面PBC,∴平面PAD⊥平面PBC.②证明:取PB中点M,连结RM,SM,∵R、S分别是棱AB、PC的中点,AD∥BC,∴SM∥CB∥AD,RM∥AP,又AD∩AP=A,∴平面PAD∥平面SMR,∵RS⊂平面SMR,∴RS∥平面PAD.(Ⅱ)解:由已知得,解得AP=1,BP=,PQ=,AQ=,BQ=,以Q为原点,QP为x轴,QB为y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则Q(0,0,0),P(),D(0,﹣,1),C(0,,2),∴,, =(0,,2),设平面PDQ的法向量,则,取y=2,得,设平面PCQ的法向量,则,取b=4,得=(0,4,﹣3),设二面角C﹣PQ﹣D的平面角为θ,∴cosθ=|cos<>|=||=,∴二面角C﹣PQ﹣D的余弦值为.20.解:(Ⅰ)由题意,得C(0,b),∴直线CF的方程为y=﹣+b,即bx+cy﹣bc=0,又原点O到CF的距离为,∴=,由b2+c2=a2整理,得a=2b,又椭圆过点,∴=1,解得a2=16,b2=4,∴椭圆方程为.(Ⅱ)由(Ⅰ)知B(﹣4,0),C(0,2),故直线BC的方程为y=,∵直线AP的斜率为k,点A(4,0),∴直线AP的方程为:y=k(x﹣4),联立,得(4k2+1)x2﹣32k2x+64k2﹣16=0,又点P(x P,y p)在椭圆上,故有:4•x P=,∴x P=,,∴P(,),故直线CP的方程为y=x+2,即y=,又点E为直线CP与x轴交点,令y=0得x=,∴E(,0),将直线BC与直线AP联立,得:,解得,∴D(,),故直线DE的斜率为:==,∴,∴λ=2.21.解:(1)∵f′(x)=(2x﹣3)•e x+(x2﹣3x+3)•e x=x(x﹣1)e x,由f′(x)>0可得,x>1或x<0;由f′(x)><0可得,0<x<1;∴f(x)在(﹣∞,0),(1,+∞)上递增,在(0,1)上递减,欲f(x)在[﹣2,t]上为单调函数,则﹣2<t≤0;∴t的取值范围为(﹣2,0].(2)证明:∵f(x)在(﹣∞,0),(1,+∞)上递增,在(0,1)上递减,∴f(x)在x=1处取得极小值e,又∵f(﹣2)=m=<e=f(1),∴f(x)在[﹣2,+∞)上的最小值为f(﹣2).从而当t>﹣2时,f(﹣2)<f(t),即m<n;(3)证明:∵=﹣x0,∴=(t﹣1)2可化为﹣x0=(t﹣1)2,令g(x)=x2﹣x﹣(t﹣1)2,则证明方程x2﹣x﹣(t﹣1)2=0在(﹣2,t)上有解,并讨论解的个数.∵g(﹣2)=6﹣(t﹣1)2=﹣(t+2)(t﹣4),g(t)=t(t﹣1)﹣(t﹣1)2=(t+2)(t﹣1),①当t>4或﹣2<t<1时,g(﹣2)•g(t)<0,则方程x2﹣x﹣(t﹣1)2=0在(﹣2,t)上有且只有一解;②当1<t<4时,g(﹣2)>0,且g(t)>0,又∵g(0)=﹣(t﹣1)2<0,∴方程x2﹣x﹣(t﹣1)2=0在(﹣2,t)上有解,且有两解;③当t=1时,g(x)=x2﹣x=0,从而解得,x=0或x=1,故方程x2﹣x﹣(t﹣1)2=0在(﹣2,t)上有且只有一解;④当t=4时,g(x)=x2﹣x﹣6=0,从而解得,x=﹣2或x=3,故方程x2﹣x﹣(t﹣1)2=0在(﹣2,t)上有且只有一解;综上所述,对于任意的t>﹣2,总存在x0∈(﹣2,t),满足=(t﹣1)2;当方程=(t﹣1)2在(﹣2,t)上有唯一解时,t的取值范围为(﹣2,1]∪[4,+∞).22.解:(1)∵ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为:ρ2=4ρcosθ,∴x2+y2=4x,∴(x﹣2)2+y2=4.(2)将代入圆的方程(x﹣2)2+y2=4得:(tcosα﹣1)2+(tsinα)2=4,化简得t2﹣2tcosα﹣3=0.设A、B两点对应的参数分别为t1、t2,则,∴|AB|=|t1﹣t2|==,∵|AB|=,∴=.∴cos.∵α∈[0,π),∴或.∴直线的倾斜角或.。
云南省腾冲市2017届高三数学模拟试卷2第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.集合{}{}2,1,0,1xA y R yB =∈==-,则下列结论正确的是A .{}0,1AB ⋂=B .),0(+∞=⋃B AC .()(),0R C A B ⋃=-∞D .(){}1,0R C A B ⋂=-2.欧拉公式x i x eixsin cos +=(i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知,2ie 表示的复数在复平面中位于 A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 3.已知向量)3,1(),32,0(=-=,则向量在方向上的投影为 A .3-B .3-C .3D .34.两个相关变量满足如下关系:根据表格得回归方程:ˆ9.49.2yx =+,表中有一数据模糊不清,推算该数据是 A .37 B .38.5 C .39 D .40.55.已知函数()sin()(00)f x A x x A ωϕωϕπ=+∈>><R ,,,的图象(部分)如图所示,则()f x 的解析式是 A .()2sin()6f x x π=π+ B .()2sin(2)6f x x π=π+C .()2sin()3f x x π=π+D .()2sin(2)3f x x π=π+6.已知点),(y x 在ABC ∆所包围的阴影区域内(包括边界), 若有且仅有)2,4(B 是使得y ax z -=取得最大值的最优 解,则实数a 的取值范围为 A. 11<<-aB. 11≤≤-aC.11<≤-aD. 11≤<-a7.某几何体的三视图如图所示,其俯视图是由一个 半圆与其直径组成的图形,则此几何体的体积是 A .π3 B .310πC .311πD .π48.执行如图所示的程序框图,输出20152016s =, 那么判断框内应填()A .2015?k ≤B .2016?k ≤C .2015?k ≥D .2016?k ≥9.已知圆222410x y x y +-++=和两坐标轴的公共点分别为A ,B ,C ,则C ∆AB 的面积为 A .4 B .2 C .10.已知1sin cos 63παα⎛⎫--= ⎪⎝⎭,则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A .518 B .518- C .79 D .79-11.已知抛物线24y x =,圆22:(1)1F x y -+=,过点F 作直线l ,自上而下顺次与上述两曲线交于点,,,A B C D (如图所示), 则AB CD ⋅的值正确的是 A .等于4B .最小值是1各分数段人数C .等于1D .最大值是4 12.已知)(x f 对任意[)+∞∈,0x ,都有)(1x f x f -=+)(,且当[)1,0∈x 时,x x f =)(,若函数)10)(1(log )()(<<+-=a x x f x g a 在区间[]40,上有2个零点,则实数a 的取值范围是 A .⎥⎦⎤⎢⎣⎡3141,B .⎪⎭⎫⎢⎣⎡3141,C .⎪⎭⎫⎢⎣⎡3151,D .⎥⎦⎤⎢⎣⎡3151,第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第23题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.函数()()1,03,0xx f x f x x ⎧⎛⎫>⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-<⎩,则31log 6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ .14.以坐标原点为对称中心,两坐标轴为对称轴的双曲线C 的一条渐近线倾斜角为3π, 则双曲线C 的离心率为 .15.三棱柱111C C AB -A B 各顶点都在一个球面上,侧棱与底面垂直,C 120∠A B =,C C A =B =,14AA =,则这个球的表面积为 .16.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,且675S S S >>,给出下列五个命题:①0d <;②110S >;③120S <;④数列{}n S 中的最大项为11S ;⑤ 67a a >. 其中正确命题的是 .三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17.(本小题满分12分)在△ABC ,角C B A ,,的对边分别为,,,c b a 已知.cos 2sin ,31cos B A C == (1)求B tan 的值;(2)若,5=c 求△ABC 的面积.18.(本小题满分12分)某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试,现从中随机抽取40名学生的测试成绩,整理数据并按分数段[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]进行分组,假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,则得到体育成绩的折线图(如下).(1)体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”. 已知该校高一年级有1000名学生,试估计高一年级中“体育良好”的学生人数;(2)为分析学生平时的体育活动情况,现从体育成绩在[60,70)和[80,90)的样本学生中随机抽取2人,求在抽取的2名学生中,至少有1人体育成绩在[60,70)的概率;(3)假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a b c ,,,且分别在[70,80),[80,90),[90,100]三组中,其中a b c ∈N ,,.当数据a b c ,,的方差2s 最大时,写出a b c ,,的值.(结论不要求证明)(注:2222121[()(()]n s x x x x x x n=-+-++-,其中x 为数据12,,,n x x x 的平均数)19.(本小题满分12分)在下图所示的几何体中,底面ABCD 为正方形,PD ⊥平 面ABCD ,//EC PD ,且22PD AD EC ===,N 为线段PB 的中点.(1)证明:NE ⊥PB ;(2)求四棱锥B CEPD -的体积.20.(本小题满分12分)已知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率为2,它的一个顶点恰好是抛物线2x =的焦点.(1)求椭圆C 的方程;(2)直线2x =与椭圆交于P,Q 两点,P 点位 于第一象限,A,B 是椭圆上位于直线2x =两侧的 动点.当点A,B 运动时,满足APQ BPQ ∠=∠, 问直线AB 的斜率是否为定值,请说明理由. 21.(本小题满分12分)已知函数2()1x f x e ax bx =---,其中,a b R ∈,e 为自然对数的底数.(1)若函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程是()11y e x =--,求实数a 及b 的值; (2)设()g x 是函数()f x 的导函数,求函数()g x 在区间[]0,1上的最小值.请考生在第22、23、三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.(本小题满分10分) 选修4 - 4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,直线l 的方程是y = 8,圆C 的参数方程是2cos 22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩(φ为参数)。
2017年云南省高考数学二模试卷(理科)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合S=,则S∩T=()A.{2}B.{1,2}C.{1,3}D.{1,2,3} 2.(5分)已知i为虚数单位,若z1=1+2i,z2=1﹣i,则复数在复平面内对应点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.(5分)已知等比数列{a n}的前n项和为S n,若S3=7,S6=63,则数列{na n}的前n项和为()A.﹣3+(n+1)×2n B.3+(n+1)×2nC.1+(n+1)×2n D.1+(n﹣1)×2n4.(5分)已知平面向量、都是单位向量,若,则与的夹角等于()A.B.C.D.5.(5分)要得到函数的图象,只需将函数的图象()A.向右平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向左平移个单位6.(5分)执行如图所示程序框图,如果输入的k=2017,那么输出的a i=()A.3B.6C.﹣3D.﹣67.(5分)如图是由圆柱与两个半球组合而成的几何体的三视图,则该几何体的体积与表面积分别为()A.B.C.D.8.(5分)在的二项展开式中,若第四项的系数为﹣7,则n=()A.9B.8C.7D.69.(5分)已知a>2,b>2,直线与曲线(x﹣1)2+(y﹣1)2=1只有一个公共点,则ab的取值范围为()A.B.C.D.10.(5分)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表,是“算经十书”中最重要的一种,是当时世界上最简练有效的应用数字,它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系.其中《方田》章有弧田面积计算问题,计算术曰:以弦乘矢,矢又自乘,并之,二而一.其大意是,弧田面积计算公式为:弧田面积=(弦×矢+矢×矢),弧田是由圆弧(简称为弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(简称为弧田弧)围成的平面图形,公式中“弦”指的是弧田弦的长,“矢”等于弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差.现有一弧田,其弦长AB等于6米,其弧所在圆为圆O,若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米,则cos∠AOB=()A.B.C.D.11.(5分)若偶函数f(x)满足f(x)=则曲线y=f(x)在点(﹣1,0)处的切线方程为()A.6x﹣y+6=0B.x﹣3y+1=0C.6x+y+6=0D.x+3y+1=012.(5分)已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2,|F1F2|=2c.若双曲线M的右支上存在点P,使,则双曲线M 的离心率的取值范围为()A.B.C.(1,2)D.(1,2]二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.(5分)已知实数x、y满足,则z=2x+y﹣6的最小值是.14.(5分)在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,P、Q是直线DD1上的两个动点.如果PQ=2,那么三棱锥P﹣BCQ的体积等于.15.(5分)已知椭圆E的中心为原点O,焦点在x轴上,E上的点与E的两个焦点构成的三角形面积的最大值为12,直线4x+5y+12=0交椭圆于E于M,N两点.设P为线段MN的中点,若直线OP的斜率等于,则椭圆E的方程为.16.(5分)在数列{a n}中,a1=2,若平面向量与平行,则{a n}的通项公式为.三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(12分)已知a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C对的边,.(1)若,△ABC的面积为,求c;(2)若,求2a﹣c的取值范围.18.(12分)为吸引顾客,某公司在商场举办电子游戏活动.对于A,B两种游戏,每种游戏玩一次均会出现两种结果,而且每次游戏的结果相互独立,具体规则如下:玩一次游戏A,若绿灯闪亮,获得50分,若绿灯不闪亮,则扣除10分,绿灯闪亮的概率为;玩一次游戏B,若出现音乐,获得60分,若没有出现音乐,则扣除20分(即获得﹣20分),出现音乐的概率为.玩多次游戏后累计积分达到130分可以兑换奖品.(1)记X为玩游戏A和B各一次所得的总分,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)记某人玩5次游戏B,求该人能兑换奖品的概率.19.(12分)如图,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,点E,F分别为A1B,C1C的中点.(1)求证:EF∥平面ABCD;(2)若四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1是长方体,且AB=AD=2AA1,求平面A1BF与平面ABCD 所成二面角的正弦值.20.(12分)已知抛物线E的顶点为原点O,焦点为圆F:x2+y2﹣4x+3=0的圆心F.经过点F的直线l交抛物线E于A,D两点,交圆F于B,C两点,A,B在第一象限,C,D 在第四象限.(1)求抛物线E的方程;(2)是否存在直线l,使2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项?若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.21.(12分)已知e是自然对数的底数,f(x)=me x,g(x)=x+3,φ(x)=f(x)+g(x),h(x)=f(x)﹣g(x﹣2)﹣2017.(1)设m=1,求h(x)的极值;(2)设m<﹣e2,求证:函数φ(x)没有零点;(3)若m≠0,x>0,设,求证:F(x)>3.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).以原点O 为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ.直线l交曲线C于A,B两点.(1)写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程;(2)设点P的直角坐标为(﹣2,﹣4),求点P到A,B两点的距离之积.[选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f(x)=|2x+1|+|2x﹣1|.(1)求证:f(x)的最小值等于2;(2)若对任意实数a和b,,求实数x的取值范围.2017年云南省高考数学二模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合S=,则S∩T=()A.{2}B.{1,2}C.{1,3}D.{1,2,3}【解答】解:集合S={1,2,3},T={x|≤0}={x|1≤x<3},则S∩T={1,2}.故选:B.2.(5分)已知i为虚数单位,若z1=1+2i,z2=1﹣i,则复数在复平面内对应点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解答】解:∵z1=1+2i,z2=1﹣i,则复数=.∴复数在复平面内对应点的坐标为(﹣1,),位于第二象限.故选:B.3.(5分)已知等比数列{a n}的前n项和为S n,若S3=7,S6=63,则数列{na n}的前n项和为()A.﹣3+(n+1)×2n B.3+(n+1)×2nC.1+(n+1)×2n D.1+(n﹣1)×2n【解答】解:由题意可得,公比q≠1,∴=7,=63,相除可得1+q3=9,∴q=2,∴a1=1.故a n=a1q n﹣1=2n﹣1,∴na n=n2n﹣1,数列{na n}的前n项和M n=1•20+2•21+…+n•2n﹣1,2M n=1•21+2•22+…+(n﹣1)•2n﹣1+n•2n,两式相减可得,﹣M n=1+21+22+…+2n﹣1﹣n•2n=﹣n•2n=2n﹣1﹣n•2n=(1﹣n)•2n ﹣1,∴M n=(n﹣1)•2n+1故选:D.4.(5分)已知平面向量、都是单位向量,若,则与的夹角等于()A.B.C.D.【解答】解:设向量、的夹角为θ,∵,∴•(2﹣)=2•﹣=2×1×1×cosθ﹣12=0,解得cosθ=,又θ∈[0,π],∴θ=,即与的夹角为.故选:C.5.(5分)要得到函数的图象,只需将函数的图象()A.向右平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向左平移个单位【解答】解:将函数的图象向左平移个单位,可得y=sin(2x+)=cos2x 的图象,故选:D.6.(5分)执行如图所示程序框图,如果输入的k=2017,那么输出的a i=()A.3B.6C.﹣3D.﹣6【解答】解:第一次循环,a3=a2﹣a1=6﹣3=3,i=3,第二次循环,a4=a3﹣a2=3﹣6=﹣3,i=4第三次循环,a5=a4﹣a3=﹣3﹣3=﹣6,i=5第四次循环,a6=a5﹣a4=﹣6+3=﹣3,i=6,第五次循环,a7=a6﹣a5=﹣3+6=3,i=7第六次循环,a8=a7﹣a6=3﹣(﹣3)=6,i=8则a i的取值具备周期性,周期为6,当i=2016时,不满足条件.此时i=2017,此时a2017=a336×6+1=a1=3,此时程序结束,故选:A.7.(5分)如图是由圆柱与两个半球组合而成的几何体的三视图,则该几何体的体积与表面积分别为()A.B.C.D.【解答】解:该几何体的体积V=π×12×2+=.表面积S=2π×1×2+4π×12=8π.故选:A.8.(5分)在的二项展开式中,若第四项的系数为﹣7,则n=()A.9B.8C.7D.6【解答】解:的二项展开式的通项为T r+1=∁n r(﹣2﹣1)r,∵第四项的系数为﹣7,∴r=3,∴∁n3(﹣2﹣1)3=﹣7,解得n=8,故选:B.9.(5分)已知a>2,b>2,直线与曲线(x﹣1)2+(y﹣1)2=1只有一个公共点,则ab的取值范围为()A.B.C.D.【解答】解:由题意,圆心到直线的距离d==1,化简可得2(a+b)=ab+2≥4,∵a>2,b>2,∴ab≥6+4,故选:C.10.(5分)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表,是“算经十书”中最重要的一种,是当时世界上最简练有效的应用数字,它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系.其中《方田》章有弧田面积计算问题,计算术曰:以弦乘矢,矢又自乘,并之,二而一.其大意是,弧田面积计算公式为:弧田面积=(弦×矢+矢×矢),弧田是由圆弧(简称为弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(简称为弧田弧)围成的平面图形,公式中“弦”指的是弧田弦的长,“矢”等于弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差.现有一弧田,其弦长AB等于6米,其弧所在圆为圆O,若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米,则cos∠AOB=()A.B.C.D.【解答】解:如图,由题意可得:AB=6,弧田面积S=(弦×矢+矢2)=(6×矢+矢2)=平方米.解得矢=1,或矢=﹣7(舍),设半径为r,圆心到弧田弦的距离为d,则,解得d=4,r=5,∴cos∠AOD==,∴cos∠AOB=2cos2∠AOD﹣1=﹣1=.故选:D.11.(5分)若偶函数f(x)满足f(x)=则曲线y=f(x)在点(﹣1,0)处的切线方程为()A.6x﹣y+6=0B.x﹣3y+1=0C.6x+y+6=0D.x+3y+1=0【解答】解:当x<﹣时,﹣x>时,偶函数f(x)满足f(x)=f(﹣x)==,当x<﹣时f′(x)=可得曲线y=f(x)在点(﹣1,0)处的切线斜率为f′(﹣1)==﹣6.则曲线y=f(x)在点(﹣1,0)处的切线方程为y﹣0=﹣6(x+1),即有6x+y+6=0.故选:C.12.(5分)已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2,|F1F2|=2c.若双曲线M的右支上存在点P,使,则双曲线M 的离心率的取值范围为()A.B.C.(1,2)D.(1,2]【解答】解:由,在△PF1F2中,由正弦定理可得=,可得3c•PF2=a•PF1,且PF1﹣PF2=2a联立可得PF2=>0,即得3c﹣a>0,即e=>,…①又PF2>c﹣a(由P在双曲线右支上运动且异于顶点),∴PF2=>c﹣a,化简可得3c2﹣4ac﹣a2<0,即3e2﹣4e﹣1<0,得<e<…②又e>1,③由①②③可得,e的范围是(1,).故选:A.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.(5分)已知实数x、y满足,则z=2x+y﹣6的最小值是﹣5.【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分).由z=2x+y﹣6得y=﹣2x+z+6,平移直线y=﹣2x+z+6,由图象可知当直线y=﹣2x+z+6经过点A时,直线y=﹣2x+z+6的截距最小,此时z最小.由,解得,即A(﹣1,3),代入目标函数z=2x+y﹣6得z=2×(﹣1)+3﹣6=﹣5.即目标函数z=2x+y﹣6的最小值为﹣5.故答案为:﹣514.(5分)在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,P、Q是直线DD1上的两个动点.如果PQ=2,那么三棱锥P﹣BCQ的体积等于12.【解答】解:∵在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,P、Q是直线DD1上的两个动点,PQ=2,∴S△PQC=×2×6=6,∴三棱锥P﹣BCQ的体积:V P﹣BCQ=V B﹣PQC===12.故答案为:12.15.(5分)已知椭圆E的中心为原点O,焦点在x轴上,E上的点与E的两个焦点构成的三角形面积的最大值为12,直线4x+5y+12=0交椭圆于E于M,N两点.设P为线段MN的中点,若直线OP的斜率等于,则椭圆E的方程为.【解答】解:设椭圆的方程(a>b>0),则当M为于椭圆的上下顶点时,则焦点三角形面积最大,则S=×2c×b=12,即bc=12,①设M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN的斜率k==﹣,由直线OP的斜率k==,则,两式相减得:+=0,整理得:=﹣×=﹣×,﹣=﹣×,整理得:=,②a2=b2﹣c2,③,由①②③解得:a=5,b=4,c=3,故答案为:.16.(5分)在数列{a n}中,a1=2,若平面向量与平行,则{a n}的通项公式为a n=+2.【解答】解:∵平面向量与平行,∴2a n=(n+1)(﹣1+a n+1﹣a n),整理为:(n+3)a n+(n+1)=(n+1)a n+1,n≥2时,(n+2)a n﹣1+n=na n,相减可得:(2n+3)a n+1﹣(n+2)a n﹣1=(n+1)a n+1,∴(2n+5)a n+1+1﹣(n+3)a n=(n+2)a n+2.相减可得:3a n+1﹣3a n=a n+2+a n﹣1.∴(a n+2﹣a n+1)+(a n﹣a n﹣1)=2(a n+1﹣a n),又a1=2,∴a2=5,a3=.∴数列{a n+1﹣a n}是等差数列,首项为3,公差为.∴a n+1﹣a n=3+=.∴a n=++…++2=+2=+2.故答案为:a n=+2.三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(12分)已知a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C对的边,.(1)若,△ABC的面积为,求c;(2)若,求2a﹣c的取值范围.【解答】解:(1)∵,△ABC的面积为,,∴由三角形的面积公式S=,则a=2.由余弦定理得c2=a2+b2﹣2ab cos C=.∴,c的值为;(2)由正弦定理得=2R.∴a==2sin A,c==2sin C,∴=,∵,∴,∴,∴,∴2a﹣c的取值范围为.18.(12分)为吸引顾客,某公司在商场举办电子游戏活动.对于A,B两种游戏,每种游戏玩一次均会出现两种结果,而且每次游戏的结果相互独立,具体规则如下:玩一次游戏A,若绿灯闪亮,获得50分,若绿灯不闪亮,则扣除10分,绿灯闪亮的概率为;玩一次游戏B,若出现音乐,获得60分,若没有出现音乐,则扣除20分(即获得﹣20分),出现音乐的概率为.玩多次游戏后累计积分达到130分可以兑换奖品.(1)记X为玩游戏A和B各一次所得的总分,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)记某人玩5次游戏B,求该人能兑换奖品的概率.【解答】解:(1)随机变量X的所有可能取值为110,50,30,﹣30,分别对应以下四种情况:①玩游戏A,绿灯闪亮,且玩游戏B,出现音乐;②玩游戏A,绿灯不闪亮,且玩游戏B,出现音乐;③玩游戏A,绿灯闪亮,且玩游戏B,没有出现音乐;④玩游戏A,绿灯不闪亮,且玩游戏B,没有出现音乐,所以,,,,即X的分布列为:数学期望为;(2)设某人玩5次游戏B的过程中,出现音乐n次,则没出现音乐5﹣n次,依题意得60n﹣20(5﹣n)≥130,解得,所以n=3或4或5;设“某人玩5次游戏B能兑换奖品”为事件M,则.19.(12分)如图,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,点E,F分别为A1B,C1C的中点.(1)求证:EF∥平面ABCD;(2)若四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1是长方体,且AB=AD=2AA1,求平面A1BF与平面ABCD 所成二面角的正弦值.【解答】证明:(1)设AB的中点为M,连接EM、MC.∵E为A1B的中点,∴EM∥A1A,且.又∵F为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的棱C1C的中点,∴EM∥FC,且EM=FC,∴四边形EMCF是平行四边形.∴EF∥MC.又∵MC⊂平面ABCD,EF⊄平面ABCD,∴EF∥平面ABCD.解:(2)根据四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1是长方体,建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz,设AB=2,由已知得.,设平面A1BF的一个法向量为,则.∴,取z=4,解得,∴是平面A1BF的一个法向量.由已知得到是平面ABCD的一个法向量.设平面A1BF与平面ABCD所成二面角的大小为θ,则.∵0<θ<π,∴.∴平面A1BF与平面ABCD所成二面角的正弦值为.20.(12分)已知抛物线E的顶点为原点O,焦点为圆F:x2+y2﹣4x+3=0的圆心F.经过点F的直线l交抛物线E于A,D两点,交圆F于B,C两点,A,B在第一象限,C,D 在第四象限.(1)求抛物线E的方程;(2)是否存在直线l,使2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项?若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.【解答】解:(1)根据已知设抛物线E的方程为y2=2px(p>0).∵圆F的方程为(x﹣2)2+y2=1,∴圆心F的坐标为F(2,0),半径r=1.∴,解得p=4.∴抛物线E的方程为y2=8x.(2)根据题意,∵2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项,∴|AB|+|CD|=4|BC|=4×2r=8.∴|AD|=|AB|+|BC|+|CD|=10.若l垂直于x轴,则l的方程为x=2,代入y2=8x,得y=±4.此时|AD|=|y1﹣y2|=8≠10,即直线x=2不满足题意.若l不垂直于x轴,设l的斜率为k,由已知得k≠0,l的方程为y=k(x﹣2).设A(x1,y1),B(x2,y2),由得k2x2﹣(4k2+8)x+4k2=0.∴.∵抛物线E的准线为x=﹣2,∴|AD|=|AF|+|DF|=(x1+2)+(x2+2)=x1+x2+4,∴,解得k=±2.当k=±2时,k2x2﹣(4k2+8)x+4k2=0化为x2﹣6x+4=0,∵△=(﹣6)2﹣4×1×4>0,∴x2﹣6x+4=0有两个不相等实数根.∴k=±2满足题意,即直线y=±2(x﹣2)满足题意.∴存在满足要求的直线l,它的方程为2x﹣y﹣4=0或2x+y﹣4=0.21.(12分)已知e是自然对数的底数,f(x)=me x,g(x)=x+3,φ(x)=f(x)+g(x),h(x)=f(x)﹣g(x﹣2)﹣2017.(1)设m=1,求h(x)的极值;(2)设m<﹣e2,求证:函数φ(x)没有零点;(3)若m≠0,x>0,设,求证:F(x)>3.【解答】(1)解:∵f(x)=me x,g(x)=x+3,m=1,∴f(x)=e x,g(x﹣2)=x+1,∴h(x)=f(x)﹣g(x﹣2)﹣2017=e x﹣x﹣2018.∴h'(x)=e x﹣1,由h'(x)=0得x=0.∵e是自然对数的底数,∴h'(x)=e x﹣1是增函数.∴当x<0时,h'(x)<0,即h(x)是减函数;当x>0时,h'(x)>0,即h(x)是增函数.∴函数h(x)没有极大值,只有极小值,且当x=0时,h(x)取得极小值.∴h(x)的极小值为h(0)=﹣2017.(2)证明:∵f(x)=me x,g(x)=x+3,∴φ(x)=f(x)+g(x)=m•e x+x+3,∴φ'(x)=m•e x+1.∵m<﹣e2<0,∴φ'(x)=m•e x+1是减函数.由φ'(x)=m•e x+1=0解得.当时,φ'(x)=m•e x+1>0,此时函数φ(x)是增函数,当时,φ'(x)=m•e x+1<0,此时函数φ(x)是减函数,∴当时,函数φ(x)取得最大值,最大值为.∵m<﹣e2,∴2﹣ln(﹣m)<0,∴φ(x)<0,∴当m<﹣e2时,函数φ(x)没有零点.(3)证明:∵f(x)=me x,g(x)=x+3,=+.∵x>0,∴F(x)>3化为(x﹣2)e x+x+2>0.设u(x)=(x﹣2)e x+x+2,则u′(x))=(x﹣1)e x+1.设v(x)=(x﹣1)e x+1,则v′(x)=xe x.∵x>0,∴v'(x)>0.又∵当x=0时,v'(x)=0,∴函数v(x)在[0,+∞)上是增函数.∵x>0,∴v(x)>v(0),即v(x)>0.又∵x=0,v(x)=0,∴当x>0时,u'(x)>0;当x=0时,u'(x)=0,∴函数u(x)在[0,+∞)上是增函数.∴当x>0时,u(x)>u(0),即(x﹣2)e x+x+2>0.∴当x>0时,F(x)>3.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).以原点O 为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ.直线l交曲线C于A,B两点.(1)写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程;(2)设点P的直角坐标为(﹣2,﹣4),求点P到A,B两点的距离之积.【解答】解:(1)由直线l的参数方程为(t为参数),消去参数和,得l的普通方程为x﹣y﹣2=0.∴直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣2=0.∵曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ,即ρ2sin2θ=2ρcosθ∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x.(2)∵直线l:x﹣y﹣2=0经过点P(﹣2,﹣4),∴直线l的参数方程为(T为参数).将直线l 的参数方程为代入y2=2x,化简得,∴|P A|•|PB|=|T1T2|=40.[选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f(x)=|2x+1|+|2x﹣1|.(1)求证:f(x)的最小值等于2;(2)若对任意实数a和b ,,求实数x的取值范围.【解答】(1)证明:∵|2x+1|+|2x﹣1|=|2x+1|+|1﹣2x|≥|(2x+1)+1﹣2x|=2,∴f(x)≥2.当且仅当(2x+1)(1﹣2x)≥0时“=”成立,即当且仅当时,f(x)=2.∴f(x)的最小值等于2.(2)解:当a+b=0即a=﹣b 时,可转化为2|b|﹣0•f(x)≥0,即2|b|≥0成立,∴x∈R.当a+b≠0时,∵|2a+b|+|a|=|2a+b|+|﹣a|≥|(2a+b)﹣a|=|a+b|,当且仅当(2a+b)(﹣a)≥0时“=”成立,即当且仅当(2a+b)a≤0时“=”成立,∴,且当(2a+b)a≤0时,,∴的最小值等于1,∵,,∴,即f(x)≤2.由(1)知f(x)≥2,∴f(x)=2.由(1)知当且仅当时,f(x)=2.综上所述,x 的取值范围是.第21页(共21页)。
云南省腾冲市2017届高三数学模拟试卷5一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A={x|﹣1≤x<2},B={x|log2x>0},则A∪B=( )A.(1,2) B.[﹣1,2)C.[﹣1,+∞)D.(1,+∞)2.复数z=(m∈R,i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.若随机变量X~N(μ,σ2)(σ>0),则有如下结论:P(μ﹣σ<X≤μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<X≤μ+2σ)=0.9544,P(μ﹣3σ<X≤μ+3σ)=0.9974高三(1)班有48名同学,一次数学考试的成绩服从正态分布,平均分为120,方差为100,理论上说在130分以上人数约为( )A.32 B.24 C.16 D.84.公元263年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3。
14,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术"思想设计的一个程序框图,则输出n 的值为()(参考数据:≈1.732,sin15°≈0.2588,sin7。
5°≈0.1305)A.12 B.24 C.36 D.485.命题p:a=﹣1;命题q:直线ax+y+1=0与直线x+ay+2a﹣1=0平行,则p 是q()A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6.现将4个“优秀班级"名额和1个“优秀团支部”名额分给4个班级,每个班级至少获得1个名额,则不同分法有()种.A.24 B.28 C.32 D.167.如图:网格纸上的小正方形边长都为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为()1A.4 B .C .D.88.设实数x,y 满足,则xy的最大值为()A .B .C.12 D.169.若函数f(x)=2sin(x+φ)(0<φ<π)的某一个极大值点为某一个极小值点的2倍,则φ的取值为( )A .B .C .D .10.已知正三棱锥P﹣ABC中,E,F分别是AC,PC的中点,若EF⊥BF,AB=2,则下列说法中正确的个数为( )①EF⊥PC②PA与BE 所成角的正切值为③正三棱锥P﹣ABC的外接球表面积为6π④正三棱锥P﹣ABC 的内切球表面积为.A.1 B.2 C.3 D.411.已知双曲线C:mx2+ny2=1(m<0,n>0)的一条渐近线与圆x2+y2﹣6x﹣2y+9=0相切,则C的离心率等于()A .B .C .D .或12.已知函数f(x)=x ﹣存在单调递减区间,且y=f(x)的图象在x=0处的切线l与曲线y=e x相切,符合情况的切线l( )A.有3条B.有2条C.有1条D.不存在二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在机读卡上相应的位置.)13.(x ﹣)(1﹣)6的展开式中x的系数是31,则常数a=________.14.已知函数f(x)=e x+ae﹣x为偶函数,则f(x﹣1)>的解集为________.15.在正方形ABCD中,AB=AD=2,M,N分别是边BC,CD上的动点,且MN=,则的取值范围为________.16.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若△ABC为锐角三角形,且满足b2﹣a2=ac ,则﹣的取值范围是________.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
新课标高考理科数学模拟试题含答案The following text is amended on 12 November 2020.2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试卷(一)第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题:p x ∀∈R ,sin x ≤1,则( )A .:p x ⌝∃∈R ,sin x ≥1B .:p x ⌝∀∈R ,sin x ≥1C .:p x ⌝∃∈R ,sin x >1 不能D .:p x ⌝∀∈R ,sin x >12.已知平面向量a =(1,1),b (1,-1),则向量1322-=a b ( )A .(-2,-1)B .(-2,1)C .(-1,0)D .(-1,2)3.函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,的简图是( )4.已知{a n }是等差数列,a 10=10,其前10项和S 10=70,则其公差d =( )A .23-B .13-C .13D .235.如果执行右面的程序框图,那么输出的S=( )A .2450B .2500 y x11-2π-3π-O6ππyx11-2π-3π-O 6ππy x11-2π-3πO 6π-πy xπ2π-6π-1O1-3π A.B.C .D .6.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),P 3(x 3,y 3)在抛物线上,且2x 2=x 1+x 3, 则有( )A .123FP FP FP +=B .222123FP FP FP += C .2132FP FP FP =+ D .2213FPFP FP =· 7.已知x >0,y >0,x ,a ,b ,y 成等差数列,x ,c ,d ,y 成等比数列,则2()a b cd+的最小值是( )A .0B .1C .2D .48.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm ),可得这个几何体的体积是( )A .34000cm 3 B .38000cm 3C .2000cm 3D .4000cm 3 9.若cos 22π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭,则cos sin αα+的值为( ) A .7.12- C .12D 7 10.曲线12e x y =在点(4,e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A .29e 2年B .4e 2, C .2e 2 D .e 2s 1,s 2,s 3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差,则有( )甲的成绩 环数7 8 9 10 频数 5 5 5 5 乙的成绩 环数7 8 9 1频数 6 4 4 6 丙的成绩 环数7 8 9 1频数4 6 6 412.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱,这个四棱锥的底面为正方形,且底面边长与各侧棱长相等,这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等。
云南省腾冲市2017届高三数学模拟试卷7一、选择题(每题5分,共60分)本卷共12题,每题5分,共60分.1.设集合A={x|﹣2≤x≤3},B={x|x+1>0},则集合A∩B等于()A.{x|﹣2≤x≤﹣1} B.{x|﹣2≤x<﹣1} C.{x|﹣1<x≤3}D.{x|1<x≤3} 2.复数z满足z•i=3﹣i,则在复平面内,复数z对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.春节前,某市一过江大桥上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的6秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以6秒内间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过3秒的概率是()A .B .C .D .4.已知,若A,B,C三点共线,则实数k的值为( )A.4 B.﹣4 C . D .5.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a2+a4+a9=24,则S9=( )A.36 B.72 C.144 D.70 6.已知函数f(x)=3cos (﹣ωx)(ω>0),函数f 为,则下列为函数f(x)的单调递减区间的是()A.[0,] B.[,π] C.[, 7.设不等式4x﹣m(4x+2x+1)≥0对于任意的x∈[0,()A.(﹣∞,] B.[]C.[] D.[,+∞)8.高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体,它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示,则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的()A .B .C .D .9.已知抛物线方程为y2=4x,直线l的方程为x﹣y+4=0距离为d1,P到直线l的距离为d2,则d1+d2的最小值为(A .B .C .10.如图所示的程序框图,若执行后的结果是,则在①处A.i≤3B.i≤4C.i≤5D.i≤611.已知偶函数f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠0},f(x)=,则函数g(x)=4f(x)﹣log7(|x|+1)的零点个数为()A.6 B.8 C.10 D.1212.对于曲线C所在平面内的点O,若存在以O为顶点的角θ,使得θ≥∠AOB对于曲线C 上的任意两个不同点A、B恒成立,则称θ为曲线C相对于O的“界角”,并称最小的“界角”为曲线C相对于O的“确界角”,已知曲线M:y=,(其中e为自然对数的底数),O为坐标原点,则曲线M相对于O的“确界角”为()A .B .C .D .二、填空题(每题5分,共20分)13.若命题“存在x∈R,使得2x2﹣3ax+9<0成立”为假命题,则实数a的取值14.已知变量x,y 满足约束条件,则z=x+2y 的最大值是15.已知m、n是两条不重合的直线,α、β、γ是三个两两不重合的平面,个命题,其中所有正确命题的序号是.①若m∥β,n∥β,m、n⊂α,则α∥β.②若α⊥γ,β⊥γ,α∩βm⊥n.③若m⊥α,α⊥β,m∥n,则n∥β.④若n∥α,n∥β,α∩β=m 16.已知椭圆,过右焦点F且斜率的直线与C相交于A、B两点,若= .三、解答题(共8题,共70分)17.数列{a n}是首项a1=4的等比数列,s n为其前n项和,且S3,S2,S4成等差(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)若b n=log2|a n|,设T n为数列{}的前n项和,求证T n<.18.从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50人测量身高.据测量,被测学生身高全部介于155cm到195cm之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160);第二组[160,165);…;第八组[190,195].如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.已知第一组与第八组人数相同,第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列.(1)估计这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上(含180cm)的人数;(2)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图;(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两人,记他们的身高分别为x、y,求满足“|x﹣y|≤5”的事件的概率.19.已知在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是直角梯形,平面PAB⊥平面ABCD,R、S分别是棱AB、PC的中点,AD∥BC,AD⊥AB,PD⊥CD,PD⊥PB,AB=BC=2AD=2.(Ⅰ)求证:①平面PAD⊥平面PBC;②RS∥平面PAD;(Ⅱ)若点Q在线段AB上,且CD⊥平面PDQ,求二面角C﹣PQ﹣D的余弦值.20.如图:A,B,C 是椭圆的顶点原点O到直线CF 的距离为,且椭圆过点(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若P是椭圆上除顶点外的任意一点,直线CP交x D,连结DE.设直线AP的斜率为k,直线DE的斜率为k1,问是成立,若存在求出λ的值,若不存在,请说明理由.21.已知函数f(x)=(x2﹣3x+3)•e x的定义域为[﹣(1)试确定t的取值范围,使得函数f(x)在[﹣2,t (2)求证:m<n;(3)求证:对于任意的t>﹣2,总存在x0∈(﹣2,t),若方程=(t﹣1)2;在(﹣2,t)上有唯一解22.已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直l 的参数方程是(t是参数)(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点,且|AB|=,求直线的倾斜角α的值.数学试卷 7答案一、选择题CCBCBCACDBDB二。
学 习 资 料 汇编正视图 侧视图云南省腾冲市2017届高三数学模拟试卷6一、选择题(本题共12个小题,每小题5分,共60分) 1. 已知集合{|||2}A x R x =∈<,B ={R x ∈∣}5221<<x ,则A∩B=( )A. {|22}x R x ∈-<< B . {|12}x R x ∈-<< C .2{|2log 5}x R x ∈-<< D .2{|1log 5}x R x ∈-<<2.若a 为实数,1a ii+- 为纯虚数,则a 的值为( )A. 1-B. 1C. 0D.2-3. 投掷一枚均匀硬币10次,恰有3次背面向上的概率( )A. 15128B. 310C. 18 D . 以上都不对4. “1a =-”是“直线260a x y -+=与直线4(3)90x a y --+=互相垂直”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件5. 执行如右图所示的程序框图,若输入x 的值为2,则输出的x 值为( ) A .25 B .24 C .23 D .226. 设,,l m n 是三条不同的直线,,,αβγ是三个不同的平面,则下列命题不正确的是( ) A .若l ∥m ,m ∥n ,则l ∥n B .若α∥β,β∥γ,则α∥γ C .若l ∥α,m ⊂α,则l ∥m ,D .若l ∥α,m ∥α,则l 不一定平行于m 7. 如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为A .9+122πB .9+182π C. 9+42π D. 36+18π 8.设x R ∈ ,如果(37)lgx x a -++< 恒成立那么( )A 、1a ≥B 、1a >C 、01a ≤<D 、1a < 9. 函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象如下,此函数 的解析式为( ).A.22sin(2)3y x π=+B.2sin(2)3y x π=+C.2sin()23x y π=-D.2sin(2)3y x π=-10.过双曲线的一个焦点1F 且垂直于实轴的弦PQ ,若2F 是另一个焦点,且290PF Q ∠= ,则此双曲线的离心率是( )AC1 11.直线x-y+m(2x+y-1)=0(m∈R)与圆x 2+y 2=1的位置关系是( )。
文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.侧(左)视图42 1 俯视图2正(主)视x-2yO 2 云南省腾冲市2017届高三数学模拟试卷2第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.集合{}{}2,1,0,1xA y R yB =∈==-,则下列结论正确的是A .{}0,1AB ⋂=B .),0(+∞=⋃B AC .()(),0R C A B ⋃=-∞D .(){}1,0R C A B ⋂=-2.欧拉公式x i x e ixsin cos +=(i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知,2ie 表示的复数在复平面中位于 A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 3.已知向量)3,1(),32,0(=-=b a ,则向量在方向上的投影为 A .3-B .3-C .3D .34.两个相关变量满足如下关系:x 2 3 4 5 6 y25●505664A .37B .38.5C .39D .40.55.已知函数()sin()(00)2f x A x x A ωϕωϕπ=+∈>><R ,,,的图象(部分)如图所示,则()f x 的解析式是 A .()2sin()6f x x π=π+ B .()2sin(2)6f x x π=π+C .()2sin()3f x x π=π+D .()2sin(2)3f x x π=π+6.已知点),(y x 在ABC ∆所包围的阴影区域内(包括边界), 若有且仅有)2,4(B 是使得y ax z -=取得最大值的最优 解,则实数a 的取值范围为 A. 11<<-aB. 11≤≤-aC.11<≤-aD. 11≤<-a7.某几何体的三视图如图所示,其俯视图是由一个 半圆与其直径组成的图形,则此几何体的体积是 A .π3 B .310πC .311πD .π48.执行如图所示的程序框图,输出20152016s =, 那么判断框内应填( )A .2015?k ≤B .2016?k ≤C .2015?k ≥D .2016?k ≥9.已知圆222410x y x y +-++=和两坐标轴的公 共点分别为A ,B ,C ,则C ∆AB 的面积为A .4B .2C .233 10.已知1sin cos 63παα⎛⎫--= ⎪⎝⎭,则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A .518 B .518- C .79 D .79- 11.已知抛物线24y x =,圆22:(1)1F x y -+=,过点F 作直线l ,自上而下顺次与上述两曲线交于点,,,A B C D (如图所示), 则AB CD ⋅的值正确的是 A .等于4B .最小值是1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.C .等于1D .最大值是412.已知)(x f 对任意[)+∞∈,0x ,都有)(1x f x f -=+)(,且当[)1,0∈x 时,x x f =)(,若函数)10)(1(log )()(<<+-=a x x f x g a 在区间[]40,上有2个零点,则实数a 的取值范围是 A .⎥⎦⎤⎢⎣⎡3141,B .⎪⎭⎫⎢⎣⎡3141,C .⎪⎭⎫⎢⎣⎡3151,D .⎥⎦⎤⎢⎣⎡3151,第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第23题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.函数()()1,03,0xx f x f x x ⎧⎛⎫>⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-<⎩,则31log 6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ .14.以坐标原点为对称中心,两坐标轴为对称轴的双曲线C 的一条渐近线倾斜角为3π,则双曲线C 的离心率为 .15.三棱柱111C C AB -A B 各顶点都在一个球面上,侧棱与底面垂直,C 120∠A B =,C C 23A =B =,14AA =,则这个球的表面积为 .16.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,且675S S S >>,给出下列五个命题:①0d <;②110S >;③120S <;④数列{}n S 中的最大项为11S ;⑤ 67a a >. 其中正确命题的是 .三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17.(本小题满分12分)在△ABC ,角C B A ,,的对边分别为,,,c b a 已知.cos 2sin ,31cos B A C ==(1)求B tan 的值;(2)若,5=c 求△ABC 的面积. 18.(本小题满分12分)某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试,现从中随机抽取40名学生的测试成绩,整理数据并按分数段[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]进行分组,假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,则得到体育成绩的折线图(如下).(1)体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”. 已知该校高一年级有1000名学生,试估计高一年级中“体育良好”的学生人数;(2)为分析学生平时的体育活动情况,现从体育成绩在[60,70)和[80,90)的样本学生中随机抽取2人,求在抽取的2名学生中,至少有1人体育成绩在[60,70)的概率;(3)假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a b c ,,,且分别在[70,80),[80,90),[90,100]三组中,其中a b c ∈N ,,.当数据a b c ,,的方差2s 最大时,写出a b c ,,的值.(结论不要求证明)(注:2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-,其中x 为数据12,,,n x x x 的平均数)19.(本小题满分12分)在下图所示的几何体中,底面ABCD 为正方形,PD ⊥平 面ABCD ,//EC PD ,且22PD AD EC ===,N 为线段PB 的中点.(1)证明:NE ⊥PB ;(2)求四棱锥B CEPD -的体积. 20.(本小题满分12分)已知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率为3,它的一个顶点恰好是抛物线242x y =的焦点.(1)求椭圆C 的方程;(2)直线2x =与椭圆交于P,Q 两点,P 点位 于第一象限,A,B 是椭圆上位于直线2x =两侧的 动点.当点A,B 运动时,满足APQ BPQ ∠=∠, 问直线AB 的斜率是否为定值,请说明理由. 21.(本小题满分12分)已知函数2()1x f x e ax bx =---,其中,a b R ∈,e 为自然对数的底数.(1)若函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程是()11y e x =--,求实数a 及b 的值; (2)设()g x 是函数()f x 的导函数,求函数()g x 在区间[]0,1上的最小值.文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.请考生在第22、23、三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.(本小题满分10分) 选修4 - 4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,直线l 的方程是y = 8,圆C 的参数方程是2cos 22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩(φ为参数)。
以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l 和圆C 的极坐标方程;(2)射线OM :θ = α(其中02a π<<)与圆C 交于O 、P 两点,与直线l 交于点M ,射线ON :2πθα=+与圆C 交于O 、Q 两点,与直线l 交于点N ,求||||||||OP OQ OM ON ⋅的最大值. 23.(本小题满分10分) 选修4 - 5:不等式选讲已知函数()|3|f x m x =--,不等式()2f x >的解集为(2,4).(1)求实数m 的值;(2)若关于x 的不等式参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 答案 D BACAABADCC C13. 14. 2or 15. 64 16. ①②⑤三.解答题17. 【解析】(1)因为,,所以.因为,所以,…………2分由题意,所以,所以.……………………………………………………………………6分(2)由(1)知,所以,.由正弦定理得,所以 …………………………8分又,所以.………………………………………12分18.(Ⅰ)解:由折线图,知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有人,所以该校高一年级学生中, “体育良好”的学生人数大约有人.(Ⅱ)解:设 “至少有1人体育成绩在”为事件, 记体育成绩在的数据为,, 体育成绩在的数据为,,,则从这两组数据中随机抽取2个,所有可能的结果有10种, 它们是:,,,,,,,,,. 而事件的结果有7种,它们是:,,,,,,, 因此事件的概率.(Ⅲ)解: a ,b ,c 的值分别是为,,.19.解:(I )连接AC ,BD .令AC 交BD 于F .连接NF∵四边形ABCD 是正方形,∴F 为BD 的中点.∵N 为PB 的中点.∴且.……2分又∵EC ∥PD 且,∴NF ∥EC 且NF =EC .∴四边形NFCE 为平行四边形. ∴NE ∥FC ,即NE ∥AC .又∵PD ⊥平面ABCD ,AC 平面ABCD ,∴PD ⊥AC .∵四边形ABCD 为正方形,∴AC ⊥BD .∵,平面,平面,∴⊥平面.∵NE ∥AC ,∴NE ⊥平面.∴NE ⊥PB . …6分(II )∵PD ⊥平面ABCD ,平面PDCE ,∴平面PDCE ⊥平面ABCD .∵BC ⊥CD ,平面PDCE ∩平面ABCD =CD ,且BC 平面ABCD ,∴BC ⊥平面PDCE .∴BC 是四棱锥B -PDCE 的高。
………9分∵,四边形ABCD 是正方形,∴BC =CD =2,EC =1.∵,………11分.word 版本可编辑.欢迎下载支持.∴四棱锥B-CEPD的体积.…12分20.21. 解:(1)由得,…………………1分∴,,. …………………………………2分∵函数在点处的切线方程是,∴即…………………………3分(2)由得,∴,∴.当即时,对一切恒成立,∴在内单调递增,∴在上的最小值是;…………………………………4分(ⅱ)当即时,令,得,从而有①当即时,列表如下:依表格知在上的最小值是;………………………………5分②当即时,列表如下:1 依表格知在上的最小值是;………………7分③当即时,列表如下:依表格知在上的最小值是. …………………………8分综上所述:当时,在上的最小值是;当时,在上的最小值是;当时,在上的最小值是. ……………………………9分22.解:(Ⅰ)直线的极坐标方程分别是.圆的普通方程分别是,所以圆的极坐标方程分别是. …….5分(Ⅱ)依题意得,点的极坐标分别为和所以,,从而.同理,.所以,故当时,的值最大,该最大值是. …10分23.解:(Ⅰ)由已知得,得,即…… 5分(Ⅱ)得恒成立(当且仅当时取到等号)文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.解得或故的取值范围为或…… 10分。