2014年秋新人教版九年级下28.2解直角三角形及其应用随堂优化训练课件

解法步骤
a 由 tanA＝b求∠A；∠B＝90° －∠A；c＝
a2＋b2
a 由 sinA＝c求∠A；∠B＝90° －∠A；b＝ 斜边，一直角边(c，a) c2－a2 b 锐角，邻边 ∠B＝90° －∠A；a＝b· tanA；c＝cosA 一直角边 (∠A，b) 一锐角 锐角，对边 a a ∠B＝90° －∠A；b＝tanA；c＝sinA (∠A，a) 斜边， 一锐角(c，∠A) ∠B＝90°－∠A；a＝c· sinA；b＝c· cosA
图 28-2-6
解：如图 D72，过点 A 作 AB⊥BO，垂足为 B.
图 D72
AB 在 Rt△AOB 中，cos∠BAO＝AO， ∴AB＝AO市 A 不会受到此次台风的侵袭． 2≈282.8>260.
知识点 3 解直角三角形的应用(知识综合) 【例 3】 如图 28-2-7，线段AB，CD分别表示甲、乙两建 筑物的高，AB⊥BC，CD⊥BC，从点A测得点D的俯角α为 30°， 测得 C 点的俯角β为 60°，已知乙建筑物高CD＝40 米，试求甲 建筑物高 AB.
图 28-2-2
3．方向角 北偏东 40° 如图 28-2-3，点 A 在点 O 的__________ 方向上，点 B 在点 西北 东偏南 26°方向上． O 的__________ 方向上，点 C 在点 O 的___________
图 28-2-3
4．坡度与坡角 如图 28-2-4，坡面的铅垂高度(h)与水平长度(l)的比叫做坡
图 28-2-7
思路点拨：过点 D 作 DE⊥AB，构造 Rt△ADE，通过解 Rt△ADE 和 Rt△ABC 求得 AB. 解：过点D作DE⊥AB于点E，则∠ADE＝α＝30°. 根据题意，得∠BAC＝90°－β＝30°，
5.
a 2 15 由 tanA＝b＝ ＝ 3，得∠A＝60° . 2 5 ∴∠B＝90° －∠A＝30° .
图 D69
图 D70
(2)如图 D70，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，b＝12，∠A＝30°.
12 b b 由 cosA＝c ，得 c＝cosA＝cos30° ＝8 3.
已知条件 两直角边(a，b)
图 D71
＝80×cos25° ≈80×0.91＝72.8(海里) 在 Rt△BPC 中，∠B＝34° ， PC ∵sinB＝PB， 72.8 72.8 PC ∴PB＝sinB＝sin34° ＝0.559≈130.23(海里)．
因此，当海轮到达位于灯塔 P 的南偏东 34°方向时，它距 离灯塔 P 大约 130.23 海里．
【跟踪训练】 1．在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，a＝6
2，b＝6
6，解直
角三角形．
解：∵a＝6 ∴c＝ 6
2，b＝6 22＋6
6， 2.
62＝12
6 2 1 ∴sinA＝ ＝ .∴∠A＝30° . 12 2 2 ∴∠B＝90° －∠A＝60° .
2．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝60°，c＝6，解直角
(2)b＝12，∠A＝30°，求 c 的值． 思路点拨：本例的两个问题都是已知两边解直角三角形， 其中(1)应法度出斜边 c 和两锐角，(2)已知∠A 的邻边 b 和∠A， b 求斜边 c，故可以由 cosA＝c变形后求解．
解：(1)如图 D69，∠C＝90° ，a＝2 15，b＝2 由勾股定理，得 c＝ a2＋b2 ＝ 2 ＝4 5. 152＋2 52
h 面的坡度(或坡比)，记作 i，即 i＝________ ；而坡面与水平面 l
坡角 ，记作α，即 i＝________. tanα 的夹角叫做________
图 28-2-4
知识点 1 解直角三角形(重难点)
【例 1】 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°.
(1)a＝2
15，b＝2
5，解直角三角形；
∠A＋∠B＝________ 90° ；
③边角之间的关系：
a b a sinA＝________ ，cosA＝________ ，tanA＝________. c c b
2．仰角和俯角的定义
视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做 俯角 ，如图 28-2-2. 仰角 ；视线在水平线下方的角叫做________ ________
图 28-2-5
思路点拨：因为△APB 不是一个直角三角形，所以我们把 一个三角形分解为两个直角三角形△ACP 与△PCB.PC 是东西 走向的一条直线．AB 是南北走向的一条直线，所以 AB 与 PC 是相互垂直的，即∠ACP 与∠BCP 均为直角． 解：如图 D71，在Rt△APC 中，PC＝PA · cos(90°－65°)
三角形．
解：∵∠B＝60° ，∴∠A＝90° －∠B＝30° ， 1 3 ∴cosB＝2，sinB＝ 2 . a b 又∵cosB＝c ，sinB＝c ， 1 3 ∴a＝c· cosB＝6× sinB＝6× 2 ＝3 2＝3，b＝c· 3.
知识点 2 与方向角有关的计算问题(重点) 【例 2】 如图 28-2-5，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65° 方向，距离灯塔 80 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后。 到达位于灯塔 P 的南偏东 34°方向上的 B 处．这时。海轮所在 的 B 处距离灯塔 P 有多远(精确到 0.01 海里)?
【跟踪训练】 3．据气象台预报，有一由南向北移动的台风，其中心在南
偏东 45°，离某市 A 400 km 的 O 地登陆(如图 28-2-6)．已知在
台风中心 260 km 的范围内的地方都会受到台风侵袭，那么某市
A 会不会受到此次台风的侵袭？为什么( 下列数据供参考：
3≈1.732， 2≈1.414)?
28.2 解直角三角形及其应用
1．解直角三角形 (1)由直角三角形中已知元素求出未知元素的过程叫做 解直角三角形 ． ________________ (2)在解直角三角形中，一般用到下面的关系：如图 28-2-1.
图 28-2-1
①三边之间的关系：
a2＋b2＝________ c2 ；
②两锐角之间的关系．