2019届高三数学(文)一轮复习导学案及达标训练：第42讲两条直线的位置关系Word版含答案

第二节 两条直线的位置关系考纲传真1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l 1、l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2． ②当直线l 1、l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直：①如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1． ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 3．几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2． (2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2．(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2．1．(人教A 版教材习题改编)过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0『解析』 ∵所求直线与直线x －2y －2＝0平行， ∴所求直线的斜率为12，又直线过(1，0)点，则直线方程为x －2y －1＝0. 『答案』 A2．已知点(a ，2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) A. 2 B ．2－2 C.2－1 D.2＋1『解析』 由题意知|a －2＋3|2＝1，∴|a ＋1|＝2，又a ＞0，∴a ＝2－1. 『答案』 C3．(2013·深圳模拟)已知直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8平行，则实数m 的值为( )A ．－7B ．－1C ．－1或－7 D.133『解析』 l 1的斜率为－3＋m 4，纵截距为5－3m4，l 2的斜率为－25＋m ，纵截距为85＋m.又∵l 1∥l 2，由－3＋m 4＝－25＋m 得，m 2＋8m ＋7＝0，解得m ＝－1或－7.m ＝－1时，5－3m 4＝85＋m ＝2，l 1与l 2重合，故舍去；m ＝－7时，5－3m 4＝132≠85＋m ＝－4，符合题意，故选A.『答案』 A4．(2013·金华调研)若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝________．『解析』 ∵直线x －2y ＋5＝0与2x ＋my －6＝0互相垂直， ∴12×(－2m )＝－1，∴m ＝1. 『答案』 15．若两平行直线3x －2y －1＝0，6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值为________．『解析』 由题意得，63＝a －2≠c－1，∴a ＝－4，c ≠－2.则6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0.∴21313＝|c 2＋1|13，解得c ＝2或－6. 『答案』 2或－6两条直线的平行与垂直(1)a ＝1是直线y ＝ax ＋1和直线y ＝(a －2)x －1垂直的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件(2)已知直线x ＋a 2y ＋6＝0与直线(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0平行，则a 的值为( ) A ．0或3或－1 B ．0或3 C ．3或－1 D ．0或－1『思路点拨』 (1)根据两直线垂直的充要条件，先求a 值，再判断；(2)根据两直线平行或重合的充要条件，求出a 值再检验．『尝试解答』 (1)由a (a －2)＝－1得a 2－2a ＋1＝0， ∴a ＝1，故a ＝1是直线y ＝ax ＋1和直线y ＝(a －2)x －1垂直的充要条件． (2)由3a －(a －2)a 2＝0得a (a 2－2a －3)＝0，∴a ＝－1或0或3.检验当a ＝0或－1时两直线平行， 当a ＝3时两直线重合．『答案』 (1)C (2)D ,1．解答本题(2)时应注意，在利用两直线平行或重合的充要条件求出a 值后，应代入原直线方程检验出两直线平行时的a 值．2．设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则 (1)l 1∥l 2或l 1与l 2重合⇔A 1B 2－A 2B 1＝0. (2)l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.(3)若l 3∥l 1，则l 3可设为A 1x ＋B 1y ＋m ＝0(m ≠C 1)． (4)若l 3⊥l 1，则l 3可设为B 1x －A 1y ＋n ＝0.已知过点A (－2，m )和点B (m ，4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3，若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( )A ．－10B ．－2C ．0D ．8 『解析』 ∵直线l 2的斜率为－2， 又l 1∥l 2，则4－mm ＋2＝－2，得m ＝－8，因为l 2⊥l 3，则－1n ＝12得n ＝－2，∴m ＋n ＝－10. 『答案』 A两直线的交点与距离(1)求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程．(2)已知点P (2，－1)，①求过点P 且与原点距离为2的直线l 的方程；②求过点P 且与原点距离最大的直线l 的方程，并求最大距离．『思路点拨』 (1)可先求出l 1与l 2的交点，再用点斜式；也可利用直线系方程求解．(2)①分直线斜率存在和不存在两种情况求解．②结合图形分析l ⊥OP 时满足条件．『尝试解答』 (1)法一 先解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1、l 2的交点坐标为(－1，2)，再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l ： y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.法二 由于l ⊥l 3，故l 是直线系5x ＋3y ＋C ＝0中的一条，而l 过l 1、l 2的交点(－1，2)， 故5×(－1)＋3×2＋C ＝0，由此求出C ＝－1， 故l 的方程为5x ＋3y －1＝0.法三 由于l 过l 1、l 2的交点，故l 是直线系3x ＋2y －1＋λ(5x ＋2y ＋1)＝0中的一条， 将其整理，得(3＋5λ)x ＋(2＋2λ)y ＋(－1＋λ)＝0， 其斜率－3＋5λ2＋2λ＝－53，解得λ＝15，代入直线系方程即得l 的方程为5x ＋3y －1＝0.(2)①若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝2满足条件． 若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0. 由已知，得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.②作图可得过P 点与原点O 距离最大的直线是过P 点且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1， 所以k l ＝－1k OP＝2.由点斜式得y ＋1＝2(x －2)，2x －y －5＝0.∴直线2x －y －5＝0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.,运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )； (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )；(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.已知直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0互相平行，且l 1，l 2之间的距离为5，求直线l 1的方程．『解』 ∵l 1∥l 2，∴m 2＝8m ≠n－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.(1)当m ＝4时，直线l 1的方程为4x ＋8y ＋n ＝0，把l 2的方程写成4x ＋8y －2＝0. ∴|n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－22或n ＝18.所以，所求直线的方程为2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y ＋9＝0.(2)当m ＝－4时，直线l 1的方程为4x －8y －n ＝0，把l 2的方程写成4x －8y －2＝0. ∴|－n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－18或n ＝22. 所以，所求直线的方程为2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0.对称问题已知点A 的坐标为(－4，4)，直线l 的方程为3x ＋y －2＝0，求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标； (2)直线l 关于点A 的对称直线l ′的方程．『思路点拨』 (1)充分利用对称的特征“垂直”、“平分”建立等量关系；(2)利用点的转移求解或点到直线的距离求解．『尝试解答』 (1)设点A ′的坐标为(x ，y )，由题意可知 ⎩⎪⎨⎪⎧y －4x ＋4＝13，3×x －42＋y ＋42－2＝0，解得x ＝2，y ＝6， ∴A ′点的坐标为(2，6)．(2)法一 在直线l ′上任取一点P ′(x ，y )，其关于点A (－4，4)的对称点(－8－x ，8－y )必在直线l 上，∴即3(－8－x )＋(8－y )－2＝0，即3x ＋y ＋18＝0， 所以所求直线的方程为3x ＋y ＋18＝0.法二 由题意可知l ′∥l ，设l ′的方程为3x ＋y ＋c ＝0， 由题意可知|－12＋4＋c |9＋1＝|－12＋4－2|9＋1，解得c ＝18或c ＝－2(舍)，所以所求直线的方程为3x ＋y ＋18＝0.,1．本题考查是点关于线对称及线关于点对称的问题．2．在对称问题中，点关于点的对称是中心对称中最基本的，处理这类问题主要抓住：已知点与对称点连成线段的中点为对称中心；点关于直线对称是轴对称中最基本的，处理这类问题要抓住两点：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上．直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是( )A ．x －2y ＋3＝0B ．x －2y －3＝0C ．x ＋2y ＋1＝0D ．x ＋2y －1＝0『解析』 设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0x －x 0＝－（y －y 0）得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0. 『答案』 A一条规律一般地，与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0；与之垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋n ＝0.两点注意1.判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．2．(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等． 三种对称1.点P (x 0，y 0)关于A (a ，b )的对称点为P ′(2a －x 0，2b －y 0)．2．设点P (x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点为P ′(x ′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y ′－y0x ′－x 0·k ＝－1，y ′＋y 02＝k ·x ′＋x2＋b ，可求出x ′，y ′.3．直线关于直线的对称．可化归为点关于直线的对称．从近两年高考看，两条直线的位置关系是高考的热点，特别是两条直线平行和垂直的判定及点到直线的距离公式几乎每年都有涉及，其中有关直线和导数的交汇创新，是近年命题的热点．创新探究之十 以点到直线距离为载体的新定义题(2012·浙江高考)定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝________．『解析』 曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离为|0－（－4）|2－r ＝22－2＝2，对于y ＝x 2＋a ，y ′＝2x ＝1， 故切点为(12，14＋a )，切点(12，14＋a )到直线l ：y ＝x 的距离为|12－14－a |2＝2，解得a ＝94或－74.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x 2＋a ， 消去y ，得x 2－x ＋a ＝0.由Δ＝1－4a ＜0可得a ＞14，故a ＝94.『答案』 94创新点拨：(1)利用曲线C 到直线l 的距离的定义，考查点到直线的距离，并巧妙地与导数知识交汇．(2)考查对新定义、新概念的理解和运用，同时考查思维的创新，考查转化和化归能力． 应对措施：(1)要全面准确地掌握各知识点的基础知识和基本方法，重视知识间的联系．(2)要充分理解新定义的具体含义，剥去新定义的外衣，将曲线到直线的距离转化为点到直线的距离，化陌生为熟悉．1．(2013·广州模拟)已知点A (0，2)，B (2，0)．若点C 在函数y ＝x 2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1『解析』 设点C (t ，t 2)，直线AB 的方程是x ＋y －2＝0，|AB |＝22，且S △ABC ＝2. 则△ABC 中AB 边上的高h 满足方程12×22h ＝2，即h ＝ 2.由点到直线的距离公式得2＝|t ＋t 2－2|2.∴t 2＋t －2＝2或者t 2＋t －2＝－2，这两个方程各自有两个不相等的实数根，故这样的点C 有4个． 『答案』 A2．(2013·潍坊模拟)已知直线l 1：(t ＋2)x ＋(1－t )y ＝1与l 2：(t －1)x ＋(2t ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则t 的值为________．『解析』 法一 (1)当l 1，l 2的斜率都存在时， 由k 1·k 2＝－1得t ＝－1.(2)若l 1的斜率不存在，此时 t ＝1. l 1的方程为x ＝13，l 2的方程为y ＝－25，显然l 1⊥l 2，符合条件．若l 2的斜率不存在，此时 t ＝－32，易知l 1与l 2不垂直，综上可知t ＝－1或t ＝1.法二 l 1⊥l 2⇔(t ＋2)(t －1)＋(1－t )(2t ＋3)＝0， 解之得t ＝1或t ＝－1. 『答案』 －1或1。

学案48 直线与直线的位置关系导学目标： 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．自主梳理1．两直线的位置关系平面上两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况．(1)两直线平行对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2⇔________________________.对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2B2C2≠0)，l1∥l2⇔________________________.(2)两直线垂直对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔k1·k2＝____.对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝____.2．两条直线的交点两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，如果两直线相交，则交点的坐标一定是这两个方程组成的方程组的____；反之，如果这个方程组只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是l1和l2的________，因此，l1、l2是否有交点，就看l1、l2构成的方程组是否有________．3．有关距离(1)两点间的距离平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝__________________________________.(2)点到直线的距离平面上一点P(x0，y0)到一条直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝________________________.(3)两平行线间的距离已知l1、l2是平行线，求l1、l2间距离的方法：①求一条直线上一点到另一条直线的距离； ②设l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，则l 1与l 2之间的距离d ＝________________. 自我检测1．(2011·济宁模拟)若点P (a,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y －3<0表示的平面区域内，则实数a 的值为( )A ．7B ．－7C ．3D ．－32．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点( ) A ．(0,4) B ．(0,2)C ．(－2,4)D ．(4，－2)3．已知直线l 1：ax ＋by ＋c ＝0，直线l 2：mx ＋ny ＋p ＝0，则am bn＝－1是直线l 1⊥l 2的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．(2009·上海)已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或25．已知2x ＋y ＋5＝0，则x 2＋y 2的最小值是________.探究点一 两直线的平行与垂直例1 已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0.求满足以下条件的a 、b 的值：(1)l 1⊥l 2且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且原点到这两条直线的距离相等．变式迁移1 已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0， (1)试判断l 1与l 2是否平行； (2)l 1⊥l 2时，求a 的值．探究点二 直线的交点坐标例2 已知直线l 1：4x ＋7y －4＝0，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：2x ＋3my －4＝0.当m 为何值时，三条直线不能构成三角形．变式迁移2 △ABC 的两条高所在直线的方程分别为2x －3y ＋1＝0和x ＋y ＝0，顶点A 的坐标为(1,2)，求BC 边所在直线的方程．探究点三 距离问题例3 (2011·厦门模拟)已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0 (a >0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0.且l 1与l 2的距离是7510.(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件： ①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶ 5. 若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．变式迁移3 已知直线l过点P(3,1)且被两平行线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，求直线l的方程．转化与化归思想的应用例(12分)已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．【答题模板】解(1)设A′(x，y)，再由已知∴A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.[4分] (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设对称点M ′(a ，b )，则得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.[6分]设直线m 与直线l 的交点为N ，则由 得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.[8分] (3)方法一 在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如M (1,1)，N (4,3)，则M ，N 关于点A (－1，－2)的对称点M ′，N ′均在直线l ′上， 易得M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，[10分]再由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0.[12分]方法二 ∵l ∥l ′，∴设l ′的方程为2x －3y ＋C ＝0 (C ≠1)，∵点A (－1，－2)到两直线l ，l ′的距离相等，∴由点到直线的距离公式得 |－2＋6＋C |22＋32＝|－2＋6＋1|22＋32，解得C ＝－9，[10分] ∴l ′的方程为2x －3y －9＝0.[12分] 方法三 设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，[10分] ∵点P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0.[12分] 【突破思维障碍】点关于直线对称是轴对称中最基本的，要抓住两点：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是已知点与对称点为端点的线段中点在对称轴上．直线关于点的对称可转化为点关于点的对称，直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称．【易错点剖析】(1)点关于线对称，不能转化为“垂直”及“线的中点在轴上”的问题．(2)线关于线对称，不能转化为点关于线的对称问题；线关于点的对称，不能转化为点关于点的对称问题．1．在两条直线的位置关系中，讨论最多的还是平行与垂直，它们是两条直线的特殊位(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．直线3x ＋2y ＋4＝0与2x －3y ＋4＝0( ) A ．平行 B ．垂直C ．重合D ．关于直线y ＝－x 对称2．(2011·六安月考)若直线x ＋ay －a ＝0与直线ax －(2a －3)y －1＝0互相垂直，则a 的值是( )A ．2B ．－3或1C ．2或0D ．1或03．已知直线l 的倾斜角为3π4，直线l 1经过点A (3,2)、B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．24．P 点在直线3x ＋y －5＝0上，且点P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则P 点坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2)5．设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a 、b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，且0≤c ≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( )A.24，12B.2，22C.2，12D.22，12二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2011·重庆云阳中学高三月考)直线l 1：x ＋my ＋6＝0和l 2：3x －3y ＋2＝0，若l 1∥l2，则m的值为______．7．设直线l经过点(－1,1)，则当点(2，－1)与直线l的距离最大时，直线l的方程为______________．8．若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是________．三、解答题(共38分)9．(12分)(2011·福州模拟)k为何值时，直线l1：y＝kx＋3k－2与直线l2：x＋4y－4＝0的交点在第一象限．10．(12分)已知点P1(2,3)，P2(－4,5)和A(－1,2)，求过点A且与点P1，P2距离相等的直线方程．11．(14分)(2011·杭州调研)过点P(3,0)作一直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程．学案48 直线与直线的位置关系自主梳理1．(1)k 1＝k 2且b 1≠b 2A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(2)－1 0 2．解 交点 唯一解 3.(1)x 2－x 12＋y 2－y 12(2)|Ax 0＋By 0＋C|A 2＋B 2 (3)②|C 1－C 2|A 2＋B2自我检测1．D 2.B 3.A 4.C 5. 5课堂活动区例1 解题导引 运用直线的斜截式y ＝kx ＋b 时，要特别注意直线斜率不存在时的特殊情况．运用直线的一般式Ax ＋By ＋C ＝0时，要特别注意A 、B 为0时的情况，求解两直线平行或垂直有关的问题并与求直线方程相联系，联立方程组求解，对斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法研究．解 (1)由已知可得l 2的斜率必存在，且k 2＝1－a.若k 2＝0，则a ＝1.由l 1⊥l 2，l 1的斜率不存在，∴b＝0. 又l 1过(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0，∴b＝3a －4＝－1，矛盾．∴此情况不存在，即k 2≠0.若k 2≠0，即k 1＝ab ，k 2＝1－a.由l 1⊥l 2，得k 1k 2＝ab(1－a)＝－1.由l 1过(－3，－1)，得－3a ＋b ＋4＝0， 解之得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴l 1的斜率存在，∴k 1＝k 2，即ab＝1－a.又原点到两直线的距离相等，且l 1∥l 2，∴l 1、l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b.解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.∴a、b 的值为2和－2或23和2.变式迁移1 解 (1)方法一 当a ＝1时， l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不平行；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1与l 2不平行；当a≠1且a≠0时，两直线可化为l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a ，－3≠－a ＋1，解得a ＝－1，综上可知，a ＝－1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行．方法二 由A 1B 2－A 2B 1＝0， 得a(a －1)－1×2＝0.由A 1C 2－A 2C 1≠0，得a(a 2－1)－1×6≠0，∴l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧aa －1－1×2＝0aa 2－1－1×6≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a a 2－1≠6.∴a＝－1，故当a ＝－1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行．(2)方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直； 当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1与l 2不垂直；当a≠1且a≠0时，l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，由⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2·11－a＝－1⇒a ＝23.方法二 由A 1A 2＋B 1B 2＝0，得a ＋2(a －1)＝0⇒a ＝23.例2 解题导引 ①转化思想的运用三条直线l 1、l 2、l 3不能构成三角形⇐l 1、l 2、l 3交于一点或至少有两条直线平行⇐三条直线交于一点⇐l 2与l 3的交点在l 1上⇐l 2与l 3对应方程组的解适合l 1的方程②分类讨论思想的运用本题依据直线的位置关系将不能构成三角形的情况分成两类，分类应注意按同一标准，不重不漏．解 当三条直线共点或至少有两条直线平行时，不能围成三角形． ①三条直线共点时，由⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋y ＝0，2x ＋3my ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝42－3m 2y ＝－4m2－3m2(m 2≠23)，即l 2与l 3的交点为⎝⎛⎭⎪⎫42－3m 2，－4m 2－3m 2，代入l 1的方程得4×42－3m 2＋7×－4m2－3m2－4＝0，解得m ＝13，或m ＝2.②当l 1∥l 2时，4＝7m ，∴m＝47；当l 1∥l 3时，4×3m＝7×2，∴m＝76；当l 2∥l 3时，3m 2＝2，即m ＝±63. ∴m 取集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－63，13，63，47，76，2中的元素时，三条直线不能构成三角形．变式迁移2 解 可以判断A 不在所给的两条高所在的直线上，则可设AB ，AC 边上的高所在直线的方程分别为2x －3y ＋1＝0，x ＋y ＝0，则可求得AB ，AC 边所在直线的方程分别为y －2＝－32(x －1)，y －2＝x －1，即3x ＋2y －7＝0，x －y ＋1＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －7＝0x ＋y ＝0，得B(7，－7)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝02x －3y ＋1＝0，得C(－2，－1)，所以BC 边所在直线的方程为2x ＋3y ＋7＝0.例3 解题导引 在应用平行线间的距离公式求两条平行线间的距离时，应注意公式的适用条件，即在两条平行线的方程中x 与y 的系数化为分别对应相等的条件下，才能应用该公式．如本例中求两条直线2x －y ＋a ＝0与－4x ＋2y ＋1＝0间的距离时，需将前一条直线化为－4x ＋2y －2a ＝0，或将后一条直线化为2x －y －12＝0后，再应用平行线间的距离公式．解 (1)∵l 1：4x －2y ＋2a ＝0 (a>0)，l 2：4x －2y －1＝0，∴两条平行线l 1与l 2间的距离为d ＝|2a ＋1|25，由已知，可得|2a ＋1|25＝7510.又a>0，可解得a ＝3.(2)设点P 的坐标为(x ，y)， 由条件①，可知x>0，y>0. 由条件②和③，可得⎩⎪⎨⎪⎧|2x －y ＋3|5＝|4x －2y －1|455·|2x －y ＋3|5＝2·|x ＋y －1|2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧4|2x －y ＋3|＝|4x －2y －1||2x －y ＋3|＝|x ＋y －1|，于是可得，4|x ＋y －1|＝|4x －2y －1|，也就是4(x ＋y －1)＝4x －2y －1，或4(x ＋y －1)＝－4x ＋2y ＋1，解得y ＝12，或8x ＋2y －5＝0.当y ＝12时，代入方程|2x －y ＋3|＝|x ＋y －1|，解得x ＝－3<0或x ＝－23<0，均舍去．由⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋2y －5＝0|2x －y ＋3|＝|x ＋y －1|，化简得⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋2y －5＝0x －2y ＋4＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋2y －5＝03x ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝19y ＝3718或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－23<0y ＝316(舍去)．即存在满足题设条件的点P ，其坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718. 变式迁移3 解 方法一 若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝3，此时与l 1，l 2的交点分别是A(3，－4)，B(3，－9)，截得的线段长|AB|＝|－4＋9|＝5，符合题意．当直线l 的斜率存在时，则设直线l 的方程为y ＝k(x －3)＋1，分别与直线l 1，l 2的方程联立，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －3＋1，x ＋y ＋1＝0， 解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1，1－4kk ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －3＋1，x ＋y ＋6＝0，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －7k ＋1，1－9kk ＋1.由两点间的距离公式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1－3k －7k ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4k k ＋1－1－9kk ＋12＝25，解得k ＝0，即所求直线方程为y ＝1.综上可知，直线l 的方程为x ＝3或y ＝1.方法二 因为两平行线间的距离d ＝|6－1|2＝522，如图，直线l 被两平行线截得的线段长为5，设直线l 与两平行线的夹角为θ，则sin θ＝22，所以θ＝45°.因为两平行线的斜率是－1，故所求直线的斜率不存在或为0.又因为直线l 过点P(3,1)，所以直线l 的方程为x ＝3或y ＝1.课后练习区1．B 2.C 3.B 4.C 5.D6．－1 7.3x －2y ＋5＝0 8.①⑤9．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋3k －2x ＋4y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12－12k 4k ＋1y ＝7k －24k ＋1.(5分)∵两直线的交点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 12－12k 4k ＋1>07k －24k ＋1>0，∴27<k<1.(11分) 即当27<k<1时， 两直线的交点在第一象限．(12分)10．解 设所求直线为l ，由于l 过点A 且与点P 1，P 2距离相等，所以有两种情况，(1)当P 1，P 2在l 同侧时，有l∥P 1P 2，此时可求得l 的方程为y －2＝5－3－4－2(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0；(5分) (2)当P 1，P 2在l 异侧时，l 必过P 1P 2的中点(－1,4)，此时l 的方程为x ＝－1.(10分) ∴所求直线的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. (12分)11．解 设点A(x ，y)在l 1上，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋x B 2＝3，y ＋y B 2＝0，∴点B(6－x ，－y)，(6分)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －2＝0，6－x ＋－y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝113，y ＝163，∴k＝163－0113－3＝8.(12分) ∴所求的直线方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0. (14分)。

城东蜊市阳光实验学校两直线的位置关系课题两直线的位置关系备注三维目的掌握直线平行，垂直的位置关系的内在关系，能纯熟求点到直线的间隔，能灵敏应用知识培养学生的数形结合思想和良好的思维品质重点直线平行，垂直的位置关系的内在关系，点到直线的间隔难点灵敏应用知识辨析(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(×)(2)假设两条直线l1与l2垂直，那么它们的斜率之积一定等于－1.(×)(3)直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1、B1、C1、A2、B2、C2为常数)，假设直线l1⊥l2，那么A1A2＋B1B2＝0.(√)(4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的间隔为.(×)(5)直线外一点与直线上一点的间隔的最小值就是点到直线的间隔．(√)(6)假设点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，那么直线AB的斜率等于－，且线段AB的中点在直线l上．(√)考点自测1．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝02．点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的间隔为1，那么a等于()A. B．2－C.－1 D.＋13．直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y ＝8平行，那么实数m的值是()A．－7 B．－1 C．－1或者者－7 D.4．直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的间隔是，那么直线l1的方程为________________．知识梳理1．两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直①两条直线平行：②两条直线垂直：(2)两条直线的交点2．几种间隔(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的间隔|P1P2|＝.(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的间隔d＝(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的间隔d＝.例题选讲题型一两条直线的平行与垂直例1两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b ＝0，求满足以下条件的a，b的值．(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的间隔相等变式训练两直线l1：x＋ysinα－1＝0和l2：2x·sinα＋y＋1＝0，求α的值，使得：(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2.题型二两直线相交例2求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．变式训练如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l3：x－y－1＝0上，求其方程．题型三间隔公式的应用例3正方形的中心为点C(－1,0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．变式训练点P(2，－1)．(1)求过P点且与原点间隔为2的直线l的方程；(2)求过P点且与原点间隔最大的直线l的方程，并求出最大间隔．(3)是否存在过P点且与原点间隔为6的直线？假设存在，求出方程；假设不存在，请说明理由．题型四对称问题例4直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．变式训练在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA发射后又回到原点P(如图)．假设光线QR经过△ABC 的重心，那么AP等于()A．2 B．1 C. D.高考链接假设直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y ＋3＝0所截得的线段的长为2，那么m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是________．每日一练,1，直线l1：4x＋7y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3：2x＋3my－4＝0.当m为何值时，三条直线不能构成三角形．2，三条直线：l1：2x－y＋a＝0(a>0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0.且l1与l2的间隔是.(1)求a的值；(2)能否找到一点P，使P同时满足以下三个条件：①点P在第一象限；②点P到l1的间隔是点P到l2的间隔的；③点P到l1的间隔与点P到l3的间隔之比是∶.假设能，求点P的坐标；假设不能，说明理由．求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．后记。

高三数学一轮复习试题：两条直线的位置关系导读：高考，比的不是智商高低，比的是谁的耐心好，经过一轮、二轮、三轮复习的摧残还能有几个小伙伴说自己屹立不倒的?今天本文库末宝就给大家带来了高考数学一轮复习的同步练习，快来看看吧。

1.已知两条直线l1：(a-1)x+2y+1=0，l2：x+ay+3=0平行，则a=()A.-1B.2C.0或-2D.-1或26.直线(a-1)x+y-a-3=0(a&gt;1)，当此直线在x，y轴的截距和最小时，实数a的值是()A.1B.C.2D.37.若直线l1：2x-5y+20=0，l2：mx-2y-10=0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m的值为__________。

【解析】：l1、l2与坐标轴围成的四边形有外接圆，则四边形对角互补。

因为两坐标轴垂直，故l1⊥l2，即2m+10=0，∴m=-5。

【答案】：-59.已知点A(-5,4)和B(3,2)，则过点C(-1,2)且与点A，B的距离相等的直线方程为__________。

10.已知直线l的方程为3x+4y-12=0，求满足下列条件的直线l′的方程。

(1)l′与l平行且过点(-1,3);(2)l′与l垂直且l′与两坐标轴围成的三角形面积为4;(3)l′是l绕原点旋转180°而得到的直线。

【解析】：(1)直线l：3x+4y-12=0，kl=-4(3)，又∵l′∥l，∴kl′=kl=-4(3)。

∴直线l′：y=-4(3)(x+1)+3，即3x+4y-9=0。

(2)∵l′⊥l，∴kl′=3(4)。

设l′与x轴截距为b，则l′与y轴截距为3(4)b，由题意可知，S=2(1)|b|·|3(4)b|=4，∴b=±。

∴直线l′：y=3(4)x+或y=3(4)x-。

(3)∵l′是l绕原点旋转180°而得到的直线，∴l′与l关于原点对称。

任取点在l上(x0，y0)，则在l′上对称点为(x， y)。

高考数学一轮复习两条直线的位置关系与点到直线的距离（2）导学案文文五、课时作业（一）1、如果直线ax+2y+2=0与直线3x－y－2=0平行，那么系数a 的值为（ B ）（A）－（B）－6 （C）－3 （D）2、若直线(2a+5)x+(a－2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y－1=0互相垂直，则（ C ）（A）a=2 （B）a=－2 （C）a=2或a=－2 （D）a=2，0，－3、如果直线ax+y－4=0与直线x－y－2=0相交于第一象限，则实数a的取值范围是（ A ）（A）－1<a<2 （B）a>－1 （C）a<2 （D）a<－2或a>24、直线Ax+4y－1=0与直线3x－y－C=0重合的条件是（ D ）（A）A=12，C≠0 （B）A=－12，C= （C）A=－12，C≠－（D）A=－12，C=－5、若两条直线l1，l2的方程分别为 A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0，l1与l2只有一个公共点，则（ B ）（A）A1B1－A2B2=0 （B）A1B2－A2B1≠0 （C）（D）6、已知点P(1，1)和直线l：3x－4y－20=0，则过P与l平行的直线方程是3x－4y+1=0 ；过P与l垂直的直线方程是4x+3y －7=0 、7、设直线l1：(m－2)x+3y+2m=0与l2：x+my+6=0，当m≠3且m≠－1 时，l1与l2相交；当m= －1 时，l1与l2平行；当m= 时，l1⊥l2、8、设三条直线：x－2y=1，2x+ky=3，3kx+4y=5交于一点，求k的值、解：解方程组：，解得即前两条直线的交点为，因为三直线交于一点，所以第三条直线必过此定点，故，解得k=1或k=。

9、光线由点A(－1，4)射出，在直线l：2x+3y－6=0上进行反射，已知反射光线过点B(3，)，求反射光线所在直线的方程、解：设点A关于直线l：2x+3y－6=0的对称点A’的坐标为(x0，y0)，则由直线l的斜率为k=－，得，即，得3x0－2y0=－11，因为AA1的中点在直线l上，所以，得2x0+3y0=2联立方程组解得，所以反射光线A’B所在直线的方程为：，得13x－26y+85=0、课时作业（二）1、过两直线3x+y－1=0与x+2y－7=0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是（ B ）（A）x－3y+7=0 （B）x－3y+13=0 （C）2x－7=0 （D）3x－y－5=02、过点P(1，4)和Q(a，2a+2)的直线与直线2x－y－3=0平行，则a的值（ B ）（A）a=1 （B）a≠1 （C）a=－1 （D）a≠－13、直线2x+y+m=0和x+2y+n=0的位置关系是（ C ）（A）平行（B）垂直（C）相交但不垂直（D）不能确定，与m，n取值有关4、经过两条直线2x+y－8=0和x－2y+=0的交点，且平行于直线4x－3y－7=0的直线方程是4x－3y－6=0 、5、直线ax+4y－2=0与直线2x－5y+c=0垂直相交于点(1，m)，则a=10 ，c= －12 ，m= －2 、6、已知直线(a－2)y=(3a－1)x－1 (1)求证无论a 为何值，直线总过第一象限、(2)为使这直线不过第二象限，求a 的范围、解：(1)将方程整理得为a(3x－y)+(－x+2y－1)=0，对任意实数a，恒过直线3x－y=0与x－2y+1=0的交点(，)，∴直线系恒过第一象限内的定点(，)； (2)当a=2时，直线为x=不过第二象限；当a≠2时，直线方程化为：y=x－，不过第二象限的充要条件为或 a>2，总之，a≥2时直线不过第二象限、7、过点P(2，1)作直线l，与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，| PA|| PB|的最小值及此时l的方程、分析本题除了用斜率、角度作为参数外，我们再给出以直线的参数方程来求解的方法、解设直线AB的倾斜角为(<<), 则直线AB的参数方程为令x=O，则得B点所对应的参数t=－，令y=O，则得A点所对应的参数t=－∴|PA||PB|=|－||－|= 当a=时|PA||PB|有最小值4，此时直线l的方程为即8、下面三条直线l1：4x＋y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3：2x －3my－4＝0不能构成三角形，求m的取值集合、分析：根据平面几何知识：当三条直线交于一点或至少两条直线平行或重合时，这三条直线不能构成三角形，分两种情况讨论解：（1）三条直线交于一点时：由，解得l1和l2的交点A的坐标（，），由A在l3上可得2－3m=4，解之m＝或m ＝－1、（2）至少两条直线平行或重合时：l1、l2、l3至少两条直线斜率相等，这三条直线中至少两条直线平行或重合，当m＝4时，l1∥l2；当m＝－时，l1∥l3；若l2∥l3，则需有＝，m2＝－不可能综合（1）、（2）可知，m＝－1，－，，4时，三条直线不能组成三角形，因此m的取值集合是{－1，－，，4}、点评善于将原问题等价转化，讨论问题注意全面性、9、一直线过点P（2，3），且和两平行直线3x＋4y＋8＝0及3x＋4y－7＝0都相交，两交点间线段长3，求这直线方程、分析：由两平行线的距离以及所求直线与两平行线交点间线段的长，结合平面几何知识，求出所求直线与已知直线夹角的正切，进一步求出所求直线的斜率、解：两平行线间的距离为＝3设直线交两平行线于A、B，直线与平行线的夹角为α，则｜AB｜＝3∴sinα＝＝∴α＝45，tanα＝1，设所求直线的斜率为k，则tanα＝｜|＝1，解得k＝或k＝－7 ∴所求直线的方程为x－7y＋19＝0或7x ＋y－17＝0 点评要注意平几知识、平几方法在解析几何中的应用课时作业（三）1、两直线ax＋y－4＝0与x－y－2＝0相交于第一象限，则实数a的取值范围是（）A、－1＜a＜2B、a＞－1C、a＜2D、a＜－1或a＞22、设两直线L1，L2的方程分别为x＋y＋b＝0，xsinα＋y －α＝0，（a，b为常数，α为第三象限角），则l1与l2 （）A、平行B、垂直C、平行或重合D、相交但不一定垂直3、设a，b，k，p分别表示同一直线的横截距，纵截距，斜率和原点到直线的距离，则有（）A、a2k2＝p2(1＋k2)B、k＝C、＋＝pD、a＝－kb4、若点（1，1）到直线xcosα＋ysinα＝2的距离为d，则d的最大值是、5、一束光线经过点A（－2，1），由直线l：x－3y＋2＝0反射后，经过点B（3，5）射出，则反射光线所在直线的方程为、6、直线2x－y－4＝0上有一点P，它与两定点A（4，－1）、B（3，4）距离之差最大，则P点坐标是、7、在△ABC中，｜AB｜＝｜AC｜，∠A＝120，A（0，2），BC所在直线方程为x－y－1＝0，求边AB、AC所在直线方程、8、已知△ABC中，点A（3，－1），AB 边上的中线所在直线的方程为6x＋10y－59＝0，∠B的平分线所在直线的方程为x－4y＋10＝0，求BC边所在直线的方程、ClBDA 甲乙9、如图，足球比赛场地宽为a米，球门宽b米，在足球比赛中，甲方边锋从乙方球门附近带球过人沿直线l（贴近球场边线）向前推进，试问：该边锋在距乙方底线多远时起脚射门的可命中角最大？（注：图中AB表示乙方所守球门；AB所在直线为乙方底线；l表示甲方边锋前进的直线）参考答案1、A2、B3、A4、2＋5、29x－22y+23＝06、（5，6）7、由题意得∠B＝∠C＝30，设AB边斜率的夹角公式得||＝，从而得k = 又AB斜率不存在时也适合题意，∴AB边所在直线方程为y＝x+2和x＝0、8、设B（a,b），则AB边中点为（, ）在AB边中线上，∴6+10－59＝0，①又点B在∠B的平分线上，∴a－4b+10＝0②由①②得a＝10 ，b＝5、由题意得＝，∴k＝－从而BC边所在直线方程为2x+9y－65＝0、9、以l与直线AB的交点D为原点，l为x轴， DA为y轴，建立直角坐标系设AB中点为M，则DA＝DM＋MA＝+＝ DB＝DM－BM＝故定点A、B坐标分别为（0，），（0，）（显然a＞b＞0），设动点C（边锋起脚处）坐标为（x，0）（x＞0）tan∠ACB＝tan（∠ACO－∠BCO）＝tan（α－β），其中α=∠ACO，β=∠BCD 且α、β∈（0，） tan（α－β）＝＝＝∵x+≥2＝∴tan∠ACB≤由正切函数在（0，）是增函数，知∠ACB≤a rctan，当且仅当x＝时，∠ACB达最大角，即x＝，∴C（，0）即该边锋在距乙方底线米时起脚射门，可命中角最大、课时作业（四）1、点(0，5)到直线y=2x的距离是（ B ）（A）（B）（C）（D）2、点P(x，y)在直线x+y－4=0上，O是原点，则|OP|的最小值是（ B ）（A）（B）2 （C）（D）23、过点P(1，2)的直线l与两点A(2，3)、B(4，－5)的距离相等，则直线l的方程为（ C ）（A）4x+y－6=0 （B）x+4y－6=0 （C）3x+2y=7或4x+y－6=0 （D）2x+3y=7或x+4y－6=04、P 点在直线3x+y－5=0上，且P到直线x－y－1=0的距离等于，则P 点坐标为（ C ）（A）(1，2)（B）(2，1)（C）(1，2)或(2，－1)（D）(2，1)或(－1，2)5、点P(2，3)到直线ax+(a－1)y+3=0的距离等于3，则a的值等于或－3 、6、设点P在直线x+3y=0上，且P到原点的距离与P到直线x+3y－2=0的距离相等，则P点坐标为、7、求经过点P(2，1)，且到点Q(1，－2)的距离为的直线方程。

高三数学第一轮复习讲义（46）两条直线的位置关系一．复习目标： 1．掌握两直线平行与垂直的条件，两直线的夹角和点到直线的距离公式．2．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．二．知识要点：1．已知两条直线1l 与2l ：（1）12//l l ⇔ ．（2）12l l ⊥⇔ ；（3）1l 与2l 重合⇔ ．2．直线1l 到2l 的角公式： ；直线1l 与2l 的夹角公式： ．3．点到直线的距离公式： ；两平行直线间的距离公式： ．三．课前预习：1．ABC ∆中，,,a b c 是内角,,A B C 的对边，且lgsin ,lgsin ,lgsin A B C 成等差数列，则直线21:(sin )(sin )0l A x A y a +-=与22:(sin )(sin )0l B x C y c +-=的位置关系（ ）()A 重合 ()B 相交不垂直 ()C 垂直 ()D 平行2．点(1,1)到直线cos sin 1x y θθ+=的距离为()f θ的最大值是 （ ）()A 2 ()B 3 ()C 1 ()D 13．设直线1l ：(1)(2)30m x m y ++--=与直线2l ：(2)(51)20m x m y -+-+=. ①若互相垂直，则m 的值为 ；②若没有公共点，则m 的值为 .4．已知三角形的三个顶点为(3,3)A 、(2,2)B -、(7,1)C -．（1）A ∠= ；（2）A ∠的平分线AD 所在的直线方程为 .5．点(7,1)P -关于直线:250l x y --=的对称点Q 的坐标为 ．四．例题分析：例1．光线从点(2,4)A -射出，经直线l ：270x y --=反射，反射光线过点(5,8)B ．（1）求入射光线所在直线方程；（2）求光线从A 到B 经过的路程S .小结：例2．已知ABC ∆的顶点(31)A -，过点B 的内角平分线的方程是4100x y -+=，过点C 的中线方程为610590x y +-=，求顶点B 的坐标和直线BC 的方程．小结：例3．求过点(2,3)A 且被两直线1l ：3470x y +-=，2l :3480x y ++=所截得的线段长.五．课后作业： 班级 学号 姓名1．过点(1,2)P 引直线，使它与两点(2,3)A 、(4,5)B -距离相等，则此直线方程为（ ）()A 2370x y +-=或460x y +-= ()B 460x y +-=()C 3270x y +-=或460x y +-= ()D 46x y +=2．把直线y x =绕原点逆时针方向转动，使它与圆22230x y y ++-+=相切，则直线转动的最小正角是 （ ）()A 3π ()B 2π ()C 23π ()D 56π 3．等腰三角形底边所在的直线1l 的方程为10x y +-=,一腰所在的直线2l 的方程为220x y --=,点(2,0)-在另一腰上,则此腰所在的直线3l 的方程为 .4．已知O 为坐标原点，点A 的坐标为(4,2)，P 为线段OA 垂直平分线上的一点，若OPA ∠为锐角，则点P 的横坐标x 的取值范围是 ．5．△ABC 中，顶点(9,1)A 、(3,4)B 、内心(4,1)I ，则顶点C 的坐标为 ．6．已知直线1l ：10x y +-=，2l ：230x y -+=，求直线2l 关于直线1l 对称的直线l 的方程.7．已知三条直线1l ：0mx y m -+=，2l ：(1)0x my m m +-+=，3l ：(1)(1)0m x y m +-++=，它们围成ABC ∆.（1）求证：不论m 取何值时，ABC ∆中总有一个顶点为定点；（2）当m 取何值时，ABC ∆的面积取最大值、最小值？并求出最大值、最小值.8．已知正方形的中心为直线220x y --=和10x y ++=的交点，正方形一边所在直线的方程为350x y +-=，求其它三边所在的直线方程．经典语录1、最疼的疼是原谅，最黑的黑是背叛。

第2课时 两直线的位置关系1．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．2．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． 3．会用两直线的斜率判定两直线的平行或垂直．『梳理自测』一、两条直线平行与垂直1．(教材改编)直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －3y －1＝0垂直，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－43C ．2D ．32．过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0 『答案』：1.D 2.A◆以上题目主要考查了以下内容： 两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1、l 2，其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，特别地，当直线l 1、l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为平行．(2)两条直线垂直①如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1．②如果l 1、l 2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l 1与l 2的关系为垂直．二、两直线相交及距离1．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( )A ．1B .3C ．2D .52．过点A(4，a)和B(5，b)的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则|AB|的值为( ) A ．6 B .2 C ．2 D ．不能确定3．直线Ax ＋3y ＋C ＝0与直线2x －3y ＋4＝0的交点在y 轴上，则C 的值为________． 4．两平行线y ＝2x 与2x －y ＝－5间的距离为________． 『答案』：1.D 2.B 3.－4 4.5 ◆以上题目主要考查了以下内容： (1)两直线相交交点：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应． 相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数组解． (2)三种距离公式①平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2． 特别地，原点O(0，0)与任一点P(x ，y)的距离|OP|＝x 2＋y 2 ②点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C|A 2＋B 2.③两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.『指点迷津』1．一条规律与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)平行、垂直的直线方程的设法：一般地，平行的直线方程设为Ax ＋By ＋m ＝0；垂直的直线方程设为Bx －Ay ＋n ＝0. 2．三点提醒(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．(2)求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应先化为一般式． (3)在运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2时，一定要注意将两方程中的x ，y 系数化为分别相等．考向一 两条直线平行、垂直的判定及应用已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，求m 的值，使得： (1)l 1与l 2相交； (2)l 1⊥l 2； (3)l 1∥l 2； (4)l 1，l 2重合．『审题视点』 分别写出两直线的斜率k 1和k 2，当k 1≠k 2时，l 1与l 2相交；当k 1k 2＝－1时，l 1⊥l 2；当k 1＝k 2时，l 1∥l 2；当k 1＝k 2且b 1＝b 2时，l 1与l 2重合．『典例精讲』 (1)k 1＝－1m ，k 2＝－m －23，∵l 1与l 2相交∴－1m ≠－m －23，∴m≠－1，m≠3.(2)∵l 1⊥l 2，∴⎝⎛⎭⎫－1m ×⎝⎛⎭⎫－m －23＝－1，∴m ＝12. (3)∵l 1∥l 2，∴1m －2＝m 3≠62m∴m ＝－1. (4)∵l 1，l 2重合，∴1m －2＝m 3＝62m，∴m ＝3. 『类题通法』 (1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1和l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．(2)①若直线l 1和l 2有斜截式方程l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则直线l 1⊥l 2的充要条件是k 1·k 2＝－1.②设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0. 则l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.1．(1)已知两条直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a ＝( ) A ．－1 B ．2 C ．0或－2 D ．－1或2(2)(2014·山东烟台模拟)设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3，2)处的切线与直线ax ＋y ＋3＝0垂直，则a ＝( )A ．2B ．－2C .12D ．－12『解析』：(1)l 1∥l 2的充要条件是(a －1)a ＝1×2， 解得a ＝－1，2. (2)函数的导函数为y′＝－2（x －1）2，所以函数在(3，2)处的切线斜率为k ＝－12，直线ax＋y ＋3＝0的斜率为－a ，所以－a·⎝⎛⎭⎫－12＝－1，解得a ＝－2，选B . 『答案』：(1)D (2)B考向二 两直线的交点与距离(1)求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程；(2)已知直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0互相平行，且l 1，l 2之间的距离为5，求直线l 1的方程．『审题视点』 (1)可先求l 1与l 2的交点，由垂直关系求斜率，建立直线方程．也可依据共点直线系待定直线方程．(2)利用平行求m ，利用距离求n.『典例精讲』 (1)方法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0x ＋y －2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P(0，2)． ∵l ⊥l 3，∴k l ＝－43，∴直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.方法二：∵直线l 过直线l 1和l 2的交点，∴可设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0， 即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0， ∵l 与l 3垂直，∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0， ∴λ＝11，∴直线l 的方程为12x ＋9y －18＝0， 即4x ＋3y －6＝0.(2)∵l 1∥l 2，∴m 2＝8m ≠n－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n≠2.①当m ＝4时，直线l 1的方程为4x ＋8y ＋n ＝0，把l 2的方程写成4x ＋8y －2＝0，∴|n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－22或n ＝18.所以，所求直线的方程为2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y＋9＝0.②当m ＝－4时，直线l 1的方程为4x －8y －n ＝0，l 2的方程为4x －8y －2＝0，∴|－n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－18或n ＝22.所以，所求直线的方程为2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0.『类题通法』 (1)两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点．(2)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R)，但不包括l 2.2．(1)(2014·重庆第一次诊考)已知直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l 1与l 2的距离为( )A .85B .32 C ．4 D ．8(2)圆C ：x 2＋y 2＝4上的点到直线l ：3x ＋4y －20＝0距离的最大值为________． 『解析』：(1)l 2的方程为3x ＋4y ＋12＝0∴d ＝⎪⎪⎪⎪－7－1232＋42＝32.(2)圆心到l 的距离d ＝|－20|5＝4，r ＝2，∴最大距离为4＋2＝6. 『答案』：(1)B (2)6考向三 对称问题光线从A(－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1，6)，求BC 所在的直线方程．『审题视点』 设A 关于直线y ＝x 的对称点为A′，D 关于y 轴的对称点为D′，则直线A′D′经过点B 与C.『典例精讲』 作出草图，如图所示．设A 关于直线y ＝x 的对称点为A′，D 关于y 轴的对称点为D′，则易得A′(－2，－4)，D′(1，6)．由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B 与C.故BC 所在的直线方程为y －66＋4＝x －11＋2，即10x －3y ＋8＝0.『类题通法』 对称问题主要包括中心对称和轴对称 (1)中心对称①点P(x ，y)关于O(a ，b)的对称点P′(x′，y′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2a －x ，y′＝2b －y.②直线关于点的对称，可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称①点A(a ，b)关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B≠0)的对称点A′(m ，n)，则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ×⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，A·a ＋m 2＋B·b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．3．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A(－1，－2)．求： (1)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m′的方程； (2)直线l 关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程． 『解析』：(1)在直线m 上取一点，如M(2，0)， 则M(2，0)关于直线l 的对称点M′必在直线m′上． 设对称点为M′(a ，b)，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝⎛⎭⎫a ＋22－3×⎝⎛⎭⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0.得N(4，3)．又∵m′经过点N(4，3)，∴由两点式得直线m′的方程为9x －46y ＋102＝0.(2)在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如M(1，1)，N(4，3)，则M ，N 关于点A(－1，－2)的对称点M′，N′均在直线l′上．易得M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，再由两点式可得l′的方程为2x －3y －9＝0.两条直线垂直的应用(2014·山东青岛模拟)已知a≠0，直线ax ＋(b ＋2)y ＋4＝0与直线ax ＋(b －2)y －3＝0互相垂直，则ab 的最大值为( )A ．0B ．2C ．4D .2『方法分析』 ①题目条件：已知两直线l 1、l 2的一般式，其系数含有a 和b ，且l 1⊥l 2. ②解题目标：求ab 的最大值．③关系探究：l 1⊥l 2隐含着a 与b 的数量关系，而ab≤a 2＋b 22，利用l 1⊥l 2时，讨论b ＋2＝0，b －2＝0，及b±2≠0时的斜率关系．『解题过程』 若b ＝2，两直线方程为y ＝－a 4x －1和x ＝3a ，此时两直线相交但不垂直．若b ＝－2，两直线方程为x ＝－4a 和y ＝a 4x －34，此时两直线相交但不垂直．若b≠±2，此时，两直线方程为y ＝－a b ＋2x －4b ＋2和y ＝－a b －2x ＋3b －2，此时两直线的斜率分别为－ab ＋2，－a b －2，由－a b ＋2·⎝⎛⎭⎫－a b －2＝－1得a 2＋b 2＝4.因为a 2＋b 2＝4≥2ab ，所以ab≤2，即ab 的最大值是2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．所以选B .『『答案』』 B『回归反思』 (1)为了把直线的一般式化为斜截式，要讨论斜率存在和不存在的情况，不可盲目写为y ＝－a b ＋2x －4b ＋2或y ＝－a b －2x ＋3b －2. (2)本题利用“A 1A 2＋B 1B 2＝0”研究直线垂直，则更好．即a 2＋(b ＋2)(b －2)＝0，∴a 2＋b 2＝4.1．(2013·高考重庆卷)设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2『解析』：选B .画出已知圆，利用数形结合法求解．如图，圆心M(3，－1)与定直线x ＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.2．(2013·高考福建卷)双曲线x 2－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )A .12B .22C ．1D .2『解析』：选B .求出双曲线的顶点和渐近线，再利用点到直线的距离公式求解． 双曲线x 2－y 2＝1的顶点坐标为(±1，0)， 渐近线为y ＝±x ，∴x±y ＝0，∴顶点到渐近线的距离为d ＝|±1±0|2＝22.3．(2013·高考全国新课标卷)已知点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直线y ＝ax ＋b(a>0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0，1)B .⎝⎛⎭⎫1－22，12 C .⎝⎛⎦⎤1－22，13 D .⎣⎡⎭⎫13，12 『解析』：选B .根据题意画出图形，根据面积相等得出a ，b 的关系式，然后求出b 的取值范围．由题意画出图形，如图(1)．由图可知，直线BC 的方程为x ＋y ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝ax ＋b ，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－b a ＋1，a ＋b a ＋1.可求N(0，b)，D ⎝⎛⎭⎫－ba ，0. ∵直线y ＝ax ＋b 将△ABC 分割为面积相等的两部分， ∴S △BDM ＝12S △ABC .又S △BOC ＝12S △ABC ，∴S △CMN ＝S △ODN ，即12×⎪⎪⎪⎪－b a ×b ＝12(1－b)×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－b a ＋1.整理得b 2a ＝（1－b ）2a ＋1.∴（1－b ）2b 2＝1＋a a ，∴1b －1＝1＋1a，∴1b＝1＋1a＋1，即b ＝11＋1a ＋1，可以看出，当a 增大时，b 也增大． 当a→＋∞时，b→12，即b<12.当a→0时，直线y ＝ax ＋b 接近于y ＝b.当y ＝b 时，如图(2)，S △CDM S △ABC ＝CN 2CO 2＝（1－b ）212＝12.∴1－b ＝22，∴b ＝1－22.∴b>1－22. 由上分析可知1－22<b<12，故选B . 4．(2013·高考四川卷)在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．『解析』：由已知得k AC ＝6－23－1＝2，k BD ＝5－（－1）1－7＝－1， 所以AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0，① BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0，②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4.所以直线AC 与直线BD 的交点为P(2，4)，此点即为所求点． 因为|PA|＋|PB|＋|PC|＋|PD|＝|AC|＋|BD|， 取异于P 点的任一点P′. 则|P′A|＋|P′B|＋|P′C|＋|P′D| ＝(|P′A|＋|P′C|)＋(|P′B|＋|P′D|) ＞|AC|＋|BD|＝|PA|＋|PB|＋|PC|＋|PD|.故P 点就是到A 、B 、C 、D 的距离之和最小的点．故应填(2，4)．『答案』：(2，4)高三数学一轮复习教案11。

第二节两直线的位置关系1．两直线的位置关系斜截式 一般式方 程 y ＝k 1x ＋b 1 y ＝k 2x ＋b 2 A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 21＋B 21≠0) A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 22＋B 22≠0)相 交 k 1≠k 2A 1B 2－A 2B 1≠0⎝⎛⎭⎫当A 2B 2≠0时，记为A 1A 2≠B 1B 2垂 直k 1＝－1k 2或k 1k 2＝－1 A 1A 2＋B 1B 2＝0⎝⎛⎭⎫当B 1B 2≠0时，记为A 1B 1·A 2B 2＝－1 平 行k 1＝k 2 且b 1≠b 2⎩⎪⎨⎪⎧ A 1B 2－A 2B 1＝0，B 2C 1－B 1C 2≠0或⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，A 1C 2－A 2C 1≠0⎝⎛⎭⎫当A 2B 2C 2≠0时，记为A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 22．两直线的交点设两条直线的方程是l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．3．几种距离 (1)两点间的距离：平面上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)间的距离公式 d (A ，B )＝|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22.(2)点到直线的距离：点P (x 1，y 1)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 1＋By 1＋C |A 2＋B 2. (3)两条平行线间的距离：两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.1．在判断两直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．『试一试』1．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________． 『解析』：∵63＝m 4≠14－3，∴m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2.『答案』：22．已知p ：直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，q ：a ＝－1，则p 是q 的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不必要也不充分”)．『解析』：由于直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行的充要条件是1×a －(－1)×1＝0，即a ＝－1.『答案』：充要1．与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直和平行的直线方程可设为： (1)垂直：Bx －Ay ＋m ＝0； (2)平行：Ax ＋By ＋n ＝0. 2．转化思想在对称问题中的应用对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，利用坐标转移法． 『练一练』1．点(2,3)关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是________．『解析』：设对称点为(a ，b )，则⎩⎨⎧b －3a －2＝1，a ＋22＋b ＋32＋1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－3.『答案』：(－4，－3)2．已知直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则直线l 的方程为________．『解析』：由直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直，可知直线l 的斜率是－32，由点斜式可得直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.『答案』：3x ＋2y －1＝0考点一两直线平行与垂直1．(2014·镇江期末)已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0与直线l 2：2x ＋(a －1)y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________.『解析』：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0，所以有2a ＋3(a －1)＝0，所以a ＝35.『答案』：352．(2014·苏锡常镇、连云港、徐州六市调研(一))已知m 为实数，直线l 1：mx ＋y ＋3＝0，l 2：(3m －2)x ＋my ＋2＝0，则“m ＝1”是“l 1∥l 2”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．『解析』：由两直线平行可得m 2－(3m －2)＝0，解得m ＝1或m ＝2.将m ＝1代入可得l 1：x ＋y ＋3＝0，l 2：x ＋y ＋2＝0，易知l 1与l 2不重合；将m ＝2代入可得l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：4x ＋2y ＋2＝0，易知l 1与l 2不重合，故两直线平行的充要条件为m ＝1或m ＝2，故m ＝1是其成立的充分不必要条件．『答案』：充分不必要3．经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________．『解析』：法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P (0,2)． ∵l ⊥l 3，∴直线l 的斜率k 1＝－43，∴直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.法二：∵直线l 过直线l 1和l 2的交点，∴可设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0， 即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0.∵l 与l 3垂直，∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0， ∴λ＝11，∴直线l 的方程为12x ＋9y －18＝0，即4x ＋3y －6＝0. 『答案』：4x ＋3y －6＝0『备课札记』 『类题通法』充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1和l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．考点二距离问题『典例』 已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使|P A |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2.解：设点P 的坐标为(a ，b )． ∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)． 而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1， ∴线段AB 的垂直平分线方程为 y ＋2＝x －3， 即x －y －5＝0.∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上， ∴a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， ∴|4a ＋3b －2|5＝2， 即4a ＋3b －2＝±10，②由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，或⎩⎨⎧a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87.『备课札记』 『类题通法』1．点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．注意直线方程为一般式． 2．动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便，如本例中|P A |＝|PB |这一条件的转化处理．『针对训练』与直线7x ＋24y －5＝0平行，并且到它的距离等于3的直线方程是__________________． 『解析』：设所求直线方程为7x ＋24y ＋m ＝0， 由3＝|m ＋5|72＋242，∴m ＝70或－80.『答案』：7x ＋4y －80＝0或7x ＋24y ＋70＝0考点三对称问题角度一 点关于点的对称1．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．解：设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上， 代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0， 解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上， 所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 角度二 点关于线对称2．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，求点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标． 解：设A ′(x ，y )，对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型.归纳起来常见的命题角度有：1点关于点的对称； 2点关于线对称； 3线关于线对称； 4对称问题的应用.再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. 角度三 线关于线对称3．在『角度二』的条件下，求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程． 解：在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设对称点M ′(a ，b )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝⎛⎭⎫a ＋22－3×⎝⎛⎭⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. 角度四 对称问题的应用4．光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －66＋4＝x －11＋2，即10x －3y ＋8＝0.『备课札记』『类题通法』处理对称问题的方法(1)中心对称①点P (x ，y )关于O (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y . ②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ×⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．『课堂练通考点』1．已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0和l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0，则l 1∥l 2的充要条件是a ＝________.『解析』：由题意知，l 1∥l 2⇔1a －2＝a 3≠62a ，即a ＝－1. 『答案』：－12．若直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0垂直，则实数a ＝________. 『解析』：由a ×1＋(a －1)×2＝0 ∴a ＝23.『答案』：233．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是________． 『解析』：由题意得直线x －2y ＋1＝0与直线x ＝1的交点坐标为(1,1)．又直线x －2y ＋1＝0上的点(－1,0)关于直线x ＝1的对称点为(3,0)，所以由直线方程的两点式，得y －01－0＝x －31－3，即x ＋2y －3＝0.『答案』：x ＋2y －3＝04. 已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________． 『解析』：由题意得，点P 到直线的距离为 |4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15， 解之得，0≤a ≤10， 所以a ∈『0,10』． 『答案』：『0,10』5．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求分别满足下列条件的a ，b 的值．(1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与l 2垂直；(2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1，l 2的距离相等． 解：(1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)＋(－b )·1＝0， 即a 2－a －b ＝0. ①又点(－3，－1)在l 1上， ∴－3a ＋b ＋4＝0 ② 由①②得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 1∥l 2，∴a b ＝1－a ，b ＝a 1－a ，故l 1和l 2的方程可分别表示为： (a －1)x ＋y ＋4a －1a＝0， (a －1)x ＋y ＋a1－a ＝0，又原点到l 1与l 2的距离相等． ∴4⎪⎪⎪⎪a －1a ＝⎪⎪⎪⎪a 1－a ，∴a ＝2或a ＝23，∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.。

江苏省灌南高级中学高三数学复习导学案：两条直线的位置关系高考要求：C级学习目标： 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．自主梳理1．两直线的位置关系：平面上两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况．(1)两直线平行对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2⇔____________________.对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2B2C2≠0)，l1∥l2⇔___________________________________.(2)两直线垂直对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔k1·k2＝____.对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝____.2．两条直线的交点两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，如果两直线相交，则交点的坐标一定是这两个方程的________；反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是l1和l2的________，因此，l1、l2是否有交点，就看l1、l2构成的方程组是否有________．3．有关距离(1)两点间的距离平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离P1P2＝_______________.(2)点到直线的距离平面上一点P(x0，y0)到一条直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝______________________.(3)两平行线间的距离已知l1、l2是平行线，求l1、l2间距离的方法：①求一条直线上一点到另一条直线的距离；②设l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则l1与l2之间的距离d＝_______.基础检测例2 见导航第137页例2变式训练2 △ABC的两条高所在直线的方程分别为2x－3y＋1＝0和x＋y＝0，顶点A的坐标为(1,2)，求BC边所在直线的方程．例3见导航第137页例3。