第一章事件与概率§1.1 随机事件与样本空间教学目的要求：掌握几个基本概念,为后面的学习打下基础,并对本书内容体系有一个大致的了解.教材分析：1．概括分析：概率论是数理统计的理论基础,本节是概率论中的最基本的与最基础的内容之一.学习本节,要求学生掌握随机事件、样本空间、事件域、布尔代数等基本概念,了解事件之间的关系和事件之间的一些运算.2．教学重点：随机事件、样本空间、事件域、布尔代数等基本概念,事件之间的关系和事件之间的一些运算.3．教学难点：事件之间的关系和事件之间的一些运算的证明.教学过程：我们在引言中已经介绍了随机试验,现在进一步明确它的含意.一、几个基本概念：1．随机试验：一个试验如果满足下述条件：⑪试验可以在相同的情形下重复进行；⑫试验的所有可能结果是明确可知道的,并且不止一个；⑬每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现那一个结果.就称这样的试验是一个随机试验,为方便起见,也简称为试验.2．基本事件：随机试验的每一个可能的结果,称为基本事件.3．样本空间：所有基本事件的全体称为样本空间,通常用字母Ω表示.4．样本点：Ω中的点,即基本事件,有时也称作样本点,通常用字母ω表示.[例]1.1在前述试验中,令ω1={取得白球}, ω2={取得黑球}则Ω={ω1,ω2}[例]1.2 一个盒子中有十个完全相同球,分别标以号码1,2,…,10,从中任取一球,令i ={取得球的号码为i}则Ω={1,2, (10)·３·[例]1.3 讨论某电话交换台在单位时间内收到的呼唤次数,令i={收到的呼唤次数为i}则Ω={1,2,…}[例]1.4 测量某地水温,令 t={测得的水温为t℃}则Ω=[0,100]5．随机事件：无论是基本事件还是复杂事件,它们在试验中发生与否,都带有随机性,所以都叫随机事件或简称为事件.习惯上用大写字母A,B,C等表示事件.在试验中,如果出现A中所包含的某一个基本事件ω,则称作A发生,并记作ω∈A.我们已经知道样本空间Ω包含了全体基本事件,而随机事件不过是有某些特征的基本事件所组成,所以从集合论的观点来看,一个随机事件不过是样本空间Ω的一个子集而已.又因为Ω是所有基本事件所组成,因而在任一次试验中,必然要出现Ω中的某一基本事件ω,即ω∈Ω.也就是在试验中,Ω必然会发生,所以今后又用Ω来代表一个必然事件.相应地,空集Φ可以看作是Ω的子集,在任一次实验中不可能有ω∈Φ,也就是说Φ永远不可能发生,所以Φ是不可能事件.为了方便起见,我们把必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形.一个样本空间Ω中,可以有很多的随机事件.概率论的任务之一,是研究随机事件的规律,通过对较简单事件规律的研究去掌握更复杂事件的规律.为此,需要研究事件之间的关系和事件之间的一些运算.二、事件之间的关系和运算：1．如果事件A发生必然导致事件B发生,则称B包含了A,或称A是B的特款,并记作A⊂B或B⊃A.如图1.1.因为不可能事件Φ不含有任何ω,所以对任一事件A,我们约定Φ⊂A.2．如果有A⊂B,B⊂A同时成立,则称事件A与B相等,记作A=B.如图1.2.3．“事件A与B中至少有一个发生”,这样的一个事件称作事件A与B的并(或和)并记作A∪B.如图1.3.4．“事件A与B同时发生”,这样的一个事件称作事件A与B的交(或积),记作A∩B(或AB).如图1.4.5．“事件A发生而B不发生”,这样的一个事件称作事件A与B的差,记作A－B.如图1.5.6．若事件A与B不能同时发生,也就是说AB是一个不可能事件,即AB=Φ,则称事件A与B互不相容.如图1.6.7．若A是一个事件,令A=Ω－A,称A是A的对立事件或逆事件.如图1.7.·４··５·显然有： A A =Φ, A ∪A =Ω, A =A8．若有n 个事件：A 1,A 2,…,A n ,则“A 1,A 2,…,A n 中至少发生其中的一个”这样的事件称作A 1,A 2,…,A n 的并,并记作A 1∪A 2∪…∪A n 或n i i A 1=；若“A 1,A 2,…,A n 同时发生”,这样的事件称作A 1,A 2,…,A n 的交,记作A 1A 2…A n 或 n i iA 1=.大家已经有了一定的集合论知识,一定会发现事件间的关系及运算与布尔(Boole)代数在很多场合,用集合论的表达方式显得简练些,也更容易理解些.但对初学概率论的大家来说,重要的是要学会用概率论的语言来解释集合间的关系及运算,并能运用它们.[例] 1.5 设A 、B 、C 是Ω中的随机事件,则·６·1) 事件“A 与B 发生,C 不发生”可以表示成：C AB 或AB －C 或AB －ABC.2) 事件“A 、B 、C 中至少有二个发生”可以表示成：AB ∪AC ∪BC 或ABC BC A C B A C AB .3) 事件“A 、B 、C 中恰好发生二个”可以表示成： BC A C B A C AB .4) 事件“A 、B 、C 中有不多于一个事件发生”可以表示成：C B A C B A C B A C B A .5) 事件“A 发生而B 与C 都不发生”可以表示成：C B A 或A －B －C 或A －(B ∪C).6) 事件“A 、B 、C 恰好发生一个”可以表示成：C B A C B A C B A .7) 事件“A 、B 、C 中至少发生一个”可以表示成：C B A 或ABC BC A C B A C AB C B A C B A C B A .三、事件的运算规则：1. 交换律：A ∪B=B ∪A AB=BA2. 结合律：(A ∪B)∪C=A ∪(B ∪C) (AB)C=A(BC)3. 分配律：(A ∪B)C=AC ∪BC (AB)∪C=(A ∪C)(B ∪C)4. 德摩根(De Morgan)定理(对偶原则)：n i i n i i A A 11=== ni i n i i A A 11=== 四、事件域： 我们已经知道事件是Ω的某些子集,如果把“是事件”的这些子集归在一起,则得到一个类,记作ℱ,称作事件域,即ℱ={A ：A ⊂Ω,Ω是事件}在前面已经提到,Ω、Φ是事件,所以Ω∈ℱ,Φ∈ℱ.又讨论了事件间的运算“∪” 、·７·“∩”和“－”,如果A 与B 都是事件,即A ∈ℱ,B ∈ℱ,非常自然地要求A ∪B 、AB 、A －B 也是事件.因此,如果有A ∈ℱ、B ∈ℱ,就要求A ∪B ∈ℱ、AB ∈ℱ、A －B ∈ℱ用集合论的语言来说,就是事件域ℱ关于运算“∪” 、“∩”和“－”是封闭的.经过归纳与整理,事件域ℱ应该满足下述要求：⑪ Ω∈ℱ；⑫ 若A ∈ℱ,则A ∈ℱ；⑬ 若i A ∈ℱ,i=1,2, …,n,则 ni iA 1 ∈ℱ. 在集合论中,满足上述三个条件的集合类,称作布尔代数.所以事件域应该是一个布尔代数.对于样本空间Ω,如果ℱ是Ω的一切子集的全体,那么显然ℱ是一个布尔代数.§1.2 概率和频率教学目的要求：通过本节的学习,使学生掌握频率与概率的概念及其性质,为后面的学习打下基础. 教 材 分 析 ：1．概括分析：本节是概率论这一部分的最基本和最基础的重要内容之一.通过对引言中随机试验的分析给出了概率的定义,并通过频率与概率的内在关系的分析得到频率与概率的性质,在此基础上给出了概率的公理化定义.2．教学重点：概率的性质及公理化定义.3．教学难点：概率的公理化定义.教 学 过 程 ：回忆引言中的试验二,我们已经知道它是一个随机试验,并且样本空间Ω={ω1,ω2},其中ω1={取得白球},ω2={取得黑球}是其本事件.在一次试验中,虽然不能肯定是ω1还是ω2发生,但是我们可以问在一次试验中发生ω1(或ω2)的可能性有多大?由对称性,很自然地可·８·以断定在一次试验中,出现ω1 (或ω2)的可能性是½,因为我们知道盒子中白球数和黑球数都是5个.现在引入一个定义如下：一、频率和概率的定义：定义1.1 随机事件A 发生可能性大小的度量(数值),称为A 发生的概率,记作P(A). 正如恩格斯所指出的：“在表面上是偶然性在起作用的地方,这种偶然性始终是受内部的隐蔽着的规律支配的,而问题只是在于发现这些规律．”(恩格斯：《路德维希·费尔巴哈和德国古典哲学的终结》,人民出版社,1972年,第38页)．人们经过长期的实践发现,虽然个别随机事件在某次试验或观察中可以出现也可以不出现；但在大量试验中它却呈现出明显的规律性——频率稳定性．在掷一次硬币时,既可能出现正面,也可能出现反面,预先作出确定的判断是不可能的,但是假如硬币均匀,直观上出现正面与出现反面的机会应该相等,即在大量试验中出现正面的频率,,其结果如下:又如,在英语中某些字母出现的频率远远高于另外一些字母. 在进行了更深入的研究之后,人们还发现各个字母被使用的频率相当稳定．例如,下面就是英文字母使用频率的一字母使用频率的研究,对于打字机键盘的设计(在方便的地方安排使用频率较高的字母键)、印刷铅字的铸造(使用频率高的应铸得多些)、信息的编码(常用字母用较短的码)、密码的破译等等方面都是十分有用的．对于一个随机事件来说,它发生可能性大小的度量是由它自身决定的,并且是客观存在的．就好比一根木棒有长度,一块土地有面积一样,概率是随机事件发生可能性大小的度量,是随机事件自身的一个属性．一个根本的问题是,对一个给定的随机事件,它发生可能性大小的度量—一概率,究竟是多大呢？在前面的例子中,因为已经知道了盒子中的白球和黑球都是5个,才得以断定)(1 p =1/2.如果不知道盒子中的白球数和黑球数呢？在引言中已经提到,实践告诉我们,如果反复多次地从盒子中取球(取后放回搅匀),随着试验次数n 的增大,比值n n 白会逐渐稳定到1/2(n 白表示出现白球的次数),记·９· nn 白=试验总次数的次数出现1ω=)(1ωn f 称)(1ωn f 为事件ω1在n 次试验中出现的频率．频率当然也在一定程度上反映了发生可能性的大小．尽管每作—串(n 次)试验,所得到的频率)(1ωn f 可以各不相同,但是只要n 相当大,)(1ωn f 与)(1ωp 是会非常“靠近”的．因此概率是可以通过频率来“测量”的,或者说频率是概率的一个近似．在前述摸球的例子中,即使事先并不知道盒子中黑球和白球的比例数(这时概率虽然不知道,但它是客观存在的),经过反复多次的试验后,如果频率)(1ωn f 逐渐稳定到1/2,那么我们就可以判断盒子中的白球数和黑球数是相等的,进一步即可得到)(1ωp =1／2这个结论.这件事情其实质与测量长度和面积—样的平常,给定一根木棒,谁都不怀疑它有自身的“客观”的长度,长度是多少？我们可以用尺或仪器去测量,不论尺或仪器多么精确,测得的数值总是稳定在木棒真实的“长度”值的附近.事实上,人们也是把测量所得的值当作真实的“长度”．这个类比不仅帮助我们去理解概率和频率之间的内在关系,而且还启示了更深刻的事实：概率与长度、面积等变量一样,应该具有“测度”的性质.这个问题请读者先思考一下,然后让我们慢慢地来解释．二、频率和概率的性质：1.频率的性质:现在让我们比较仔细地考察一下频率．如果随机事件A 在n 次反复试验中发生了n 白次,称 )(A f n =n n 白为A 的频率．易知频率具有下述性质．(1)．非负性：即)(A f n ≥0； (2)．规范性,即若Ω是必然事件,则)(Ωn f ＝1；(3)．有限可加性：即若A 、B 互不相容(即AB=Φ),则)(B A f n ＝)(A f n 十)(B f n这三条性质的论证是很直观的,因为(1). A n ≥0,所以nn A ≥0；·１０·(2). Ω是必然事件,所以n n =Ω,从而nn Ω=1； (3). 若A ∪B 发生,意味着A 、B 中至少发生其中之一,又因为A 与B 互不相容(即不能同时发生),所以A ∪B 发生的次数一定是A 发生次数与B 发生次数之和,即B A B A n n n += ,从而有)(B A f n ＝)(A f n 十)(B f n成立．频率还具有一些别的性质,但是这三条性质是最基本的,其它的性质可以由它们推出．作为练习,读者不妨自己验证下述几个性质：(1) 不可能事件的频率为零,即)(Φn f =0；(2) 若A ⊂B,则)(A f n ≤)(B f n ,由此还可推得对任一事件A,有)(A f n ≤1；(3) 对有限个两两不相容事件(即任意两个事件互不相容),频率具有可加性.即若A i A j =Φ(1≤i,j≤m,i≠j),则()∑===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n n i i n A f A f 112. 概率的性质:因为频率的本质就是概率,因而我们有理由要求频率的这些性质也是概率所应该具有的．因为对每一个随机事件A,都有一个概率P(A)与之对应,而在§1中我们已经知道事件域ℱ是一个布尔代数,所以概P 实质上是在布尔代数上有定义的一个(集合)函数(因为ℱ中的元素是集合),它应该具有下述性质：(1)．非负性：P(A)≥0,对A ∈ℱ；(2)．规范性：P(Ω)＝1；(3)．有限可加性：若A i ∈ℱ,i ＝1,2,…,n,且A i A j ＝Φ(i ≠j),则()∑===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n n i i A f A P 11由此可知,给定一个随机试验,也就确定了一个样本空间Ω,事件域ℱ和概率P,其中ℱ是一个布尔代数,P 是定义在ℱ上的一个非负的、规范的有限可加集函数,这样一来,对随机试验这样的一个直观对象,我们就可以用“数学化”的语言来描述它们了．§1.3 古典概型教学目的要求：通过本节的学习,使学生在复习巩固排列组合的基础上掌握古典概型的定义和计算公式,并能灵活运用它们解决实际问题.教材分析：1．概括分析：古典概型在概率论中占有相当重要的地位,早在古代就引起了人们的注意.它的内容比较简单,应用却很广泛,深入考察古典概率问题,有助于我们直观地理解概率论的一些基本概念,合理地解决产品质量控制等实际问题.因此,掌握古典概率问题的解法,对于学好概率论具有十分重要的意义.本节首先给出古典概型的定义,然后在复习排列组合的基础上通过实例讲述古典概型问题的解法,达到灵活运用定义与公式的目的.2．教学重点：古典概型的定义与公式及古典概型问题的解法.3．教学难点：古典概型问题的解法及古典概型定义与公式的灵活运用.教学过程：在§2中已经提到,一个随机试验,数学上是用样本空间Ω,事件域ℱ和概率P来描述的．对一个随机事件A,如何寻求它的概率P(A)是概率论的一个基本的课题. 我们先讨论一类最简单的随机试验.一、古典概型的定义与计算公式:1.古典概型的定义:有一类最简单的随机试验,它具有下述特征：(1) 样本空间的元素(即基本事件)只有有限个.不妨设为n个,并记它们为ω1、ω2、…、ωn.(2)每个基本事件出现的可能性是相等的,即有 P(ω1)=P(ω2)=…P(ωn)这种等可能的数学模型曾经是概率论发展初期的主要研究对象,通常就称这种数学模型为古典概型.它在概率论中有很重要的地位,一方面,因为它比较简单,许多概念既直观而又容易理解,另一方面,它又概括了许多实际问题,有很广泛的应用.2.古典概型的计算公式:对上述的古典概型,它的样本空间Ω={ω1、ω2、…、ωn},事件域ℱ为Ω的所有子集的全体．这时,连同Φ、Ω在内,ℱ中含有2n个事件,并且从概率的有限可加性知:1＝P(Ω)＝P(ω1)+P(ω2)+…+P(ωn)于是 P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)=1/n·１１··１２· 对任意一个随机事件A ∈ℱ,如果A 是k 个基本事件的和,即A ＝k i i i ωωω 21,则基本事件总数的有利事件数基本事件总数中所含的基本事件数A A n k A P ===)( (A 中所含的基本事件数,习惯上常常称为是A 的有利事件数),不难验证,上述的概率P(·)的确具有非负性、规范性和有限可加性.事实上,古典概型的大部分问题都能形象化地用摸球模型来描述.以后我们经常研究摸球模型,意义即在于此.前节例1.1及其有关概率的计算是古典概型的一个例子,但并不是所有古典概型的事件的概率计算都这么容易．事实上,古典概型中许多概率的计算相当困难而富有技巧,计算的要点是给定样本点,并计算它的总数,而后再计算有利场合的数目．在这些计算中,经常要用到一些排列与组合公式．二、基本的组合分析公式1.全部组合分析公式的推导基于下列两条原理：乘法原理与加法原理．为说明这两条原理,请读者和我们一起参加一个智力游戏.王经理从上海去北京参加一个商品展销会,但途中还要到天津去处理一件业务.从上海到天津可以坐飞机,也可以坐火车,还可以坐船；从天津到北京则只有火车与汽车两种交通工具可用.请问王经理从上海到北京一共有几种走法？图 2.1的图(a)是上述问题的忠实描绘.把它重新表示为(b),使我们一目了然地知道,王经理共有6种走法.这样一种表示方法是具有启发性的,它告诉我们,对于同类问题可有一个通用的计算方法．把上海—天津,再从天津—北京看作相继进行的两个过程,分别记为A 1与A 2．一般地,假设完成过程A 1共有n 1种方法(在我们的游戏中n 1＝3),完成A 2共有n 2种方法(本例中n 2＝2),那末,完成整个过程一共有n 1×n 2种方法(这里3×2＝6)．这就是所谓的乘法原理．现在把游戏的条件稍微改变一下．假定因时间关系,王经理只能去北京和天津中的一地,而从上海直接去北京可以有铁路与民航两种走法,此时王经理的走法一共有多少种呢？直接采用类似图2.1(b)的表示方法,便知此时共有5种走法,如图2.2所示.现在不同的是,两个过程不是相继的而是并行的.因此在计算中不能用乘法,只能用加法．这样,进行过程A 1或A 2的方法一共有n 1+n 2种.这就是加法原理．容易知道,这两条原理可以推广到多个过程的情况．利用上述原理,可以导出排列与组合的公式.2．排列：所谓排列,是从共有n 个元素的总体中取出r 个来进行有顺序的放置(或者说有顺序地取出r 个元素).这时既要虑到取出的元素也要顾及其取出顺序.这种排列可分为两类：第一种是有放回的选取,这时每次选取都是在全体元素中进行,同一元素可被重复选中；另一种是不放回选取,这时一个元素一旦被取出便立刻从总体中除去,因此每个元素至多被选中一次,在后一种情况,必有r ≤n ．(1)在有放回选取中,从n 个元素中取出r 个元素进行排列,这种排列称为有重复的排列,其总数共有n r 种．(2)在不放回选取中,从n 个元素中取出r 个元素进行排列,其总数为rn A ＝n(n －1)(n －2)…(n －r ＋1)这种排列称为选排列.特别当r ＝n 时,称为全排列．(3)n 个元素的全排列数为P n ＝n(n －1)…3·2·1＝n ！3．组合:(1)从n 个元素中取出r 个元素而不考虑其顺序,称为组合,其总数为:)!(!!!)1()1(!r n r n r r n n n r A r n C r n r n-=+--==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 这里⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛r n 是二项展开式的系数,(a+b)n =∑=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n r r n r b a r n 0 (2)若r 1＋r 2＋…＋r k ＝n,把n 个不同的元素分成k 个部分,第一部分r 1个,第二部分r 2个,……,第k 部分r k 个,则不同的分法有:!!!!21k r r r n 种,上式中的数称为多项系数,因为它是(x 1＋x 2＋…＋x k )n 展开式中k rk r r x x x 2121的系数,当k ＝2时,即为组合数．(3)若n 个元素中有n 1个带足标“1”,n 2个带足标“2”,……,n k 个带足标“k ”,且n 1＋n 2＋…＋n k =n,从这n 个元素中取出r 个,使得带有足标“i ”的元素有r i 个(1≤i ≤k),而r 1＋r 2＋…＋r k =r,这时不同取法的总数为:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k k r n r n r n 2211这里当然要求r i ≤n i .4．一些常用等式:把排列公式推广到r 是正整数而n 是任意实数x 的场合,有时是需要的,这时记r x A ＝x(x-1)(x-2)…(x-r ＋1)同样定义!)1()2)(1(!r r x x x x r A r x r x +---==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 及 0!=1, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0x =1. 对于正整数n,若r>n,则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛r n =0.这样一来二项系数有性质: ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k n n k n , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k a k a k 1)1( 由于 ∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+nr r n x r n x 0)1(故 n n n n n n 2210=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 利用幂级数乘法又可以证明⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n b a b n a n b a n b a 0110 特别地 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n n n n n n n n 20110 即 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n n n 210222 现在举一些求A ∈ℱ的概率P(A)的例子.在下面的讨论中,如无特别需要,常常把事件域ℱ略去.三、概率直接计算的例子：[例1]一部四本头的文集按任意次序放到书架上去,问各册自右向左或自左向右恰成1,2,3,4的顺序的概率是多少?[解] 若以a,b,c,d,分别表示自左向右排列的书的卷号,则上述文集放置的方式可与向量(a,b,c,d)建立一一对应,因为a,b,c,d 取值于1,2,3,4,因此这种向量的总数相当于4个元素的全排列数4!=24,由于文集按“任意的”次序放到书架上去,因此这24种排列中出现任意一种的可能性都相同,这是古典概型概率,其有利场合有2种,即自左向右或自右向左成1,2,3,4顺序,因此所求概率为：2/24=1/12[例2] 有10个电阻,其电阻值分别为1Ω,2Ω,…,10Ω,从中取出三个,要求取出的三个电阻,一个小于5Ω,一个等于5Ω,另一个大于5Ω,问取一次就能达到要求的概率．[解] 把从10个电阻中取出3个的各种可能取法作为样本点全体,这是古典概型,其总数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=310310C ,有利场合数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛151114. 故所求概率为P=61310151114=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛[例3]某城有N 部卡车,车牌号从1到N,有一个外地人到该城去,把遇到的n 部车子的牌号抄下(可能重复抄到某些车牌号),问抄到的最大号码正好为k 的概率．(1≤k ≤N)[解]这种抄法可以看作是对N 个车牌号进行n 次有放回的抽样．所有可能的抽法共有N n 种,以它为样本点全体．由于每部卡车被遇到的机会可以认为相同,因此这是一个古典概型概率的计算问题,有利场合数可以这样考虑：先考虑最大车牌号不大于k 的取法,这样取法共有k n 种,再考虑最大车牌号不大于k-1的取法,其数目有(k-1)n 种,因此有k n -(k-1)n 种取法其最大车牌号正好为k,这就是有利场合的数目,因而所求概率为 P=n nn Nk k )1(-- [例4]设有n 个球,每个都能以同样的概率1/N 落到N 个格子(N ≥n)的每一个格子中,试求:(1)某指定的n 个格子中各有一个球的概率;(2)任何n 个格子中各有一个球的概率．[解]这是一个古典概型问题,由于每个球可落入N 个格子中的任一个,所以n 个球在N个格子中的分布相当于从N 个元素中选取n 个进行有重复的排列,故共有N n 种可能分布.在第一个问题中,有利场合相当于n 个球在那指定的n 个格子中全排列,总数为n!,因而所求概率为 P 1=n!/N n .在第二个问题中,n 个房间可以任意,即可以从N 个房间中任意选出n 个来,这种选法共有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n N 种,对于每种选定的n 个房间,有利场合正如第一个问题一样为n!,故所求概率为nN n n N P !2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 这个例子是古典概型中一个很典型的问题,不少实际问题可以归结为它．例如,若把球解释为粒子,把格子解释为相空间中的小区域,则这个问题便相应于统计物理学中的马克斯威尔—波尔茨曼(MaxWell-Boltzmann)统计．概率论历史上有一个颇为有名的问题：要求参加某次集会的n 个人中没有两个人生日相同的概率．若把n 个人看作上面问题中的n 个球,而把一年的365天作为格子,则N=365,这时P 2就给出所求的概率.例如当n=40时,P 2=0.109,这个概率是意外的小.[例5] (抽签问题)袋中有a 只黑球,b 只白球,它们除颜色不同外,其他方面没有差别,现在把球随机地一只只摸出来,求第k 次摸出的一只球是黑球的概率(1≤k ≤a+b).[第一种解法] 把a 只黑球及b 只白球都看作是不同的(例如设想把它们进行编号),若把摸出的球依次放在排列成一直线的a+b 位置上,则可能的排列法相当于把a+b 个元素进行全排列,总数为(a+b)!,把它们作为样本点全体．有利场合数为a ×(a+b-1)!,这是因为第k 次摸得黑球有a 种取法,而另外(a+b-1)次摸球相当于a+b-1只球进行全排列,有(a+b-1)!种构成法,故所求概率为ba ab a b a a P k +=+-+⨯=)!()!1( 这个结果与k 无关．回想—下,就会发觉这与我们平常的生活经验是一致的.例如在体育比赛中进行抽签,对各队机会均等,与抽签的先后次序无关.[第二种解法] 把a 只黑球看作是没有区别的,把b 只白球也看作是没有区别的.仍把摸出的球依次放在排列成一直线的a+b 位置上,因若把a 只黑球的位置固定下来则其他位置必然是放白球,而黑球的位置可以有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a 种放法,以这种放法作为样本点.这时有利场合数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+11a b a ,这是由于第k 次取得黑球,这个位置必须放黑球,剩下的黑球可以在a+b-1个位置上任取a-1个位置,因此共有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+11a b a 种放法．所以所求概率为 b a a a b a a b a P k +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=11 两种不同的解法答案相同,注意考察一下两种解法的不同,就会发现主要在于选取的样本空间不同．在前—种解法中把球看作是“有个性的”,而在后一种解法中则对同色球不加区别,因此在第一种解法中要顾及各黑球及各白球间的顺序而用排列,第二种解法则不注意顺序而用组合,但最后还是得出了相同的答案.这种情况的产生并不奇怪,这说明对于同一随机现象,可以用不同的模型来描述,只要方法正确,结论总是一致的.在这个例子中,第二种解法中的每一个样本点是由第一种解法中的a!·b!个样本点合并而成的．这个例子告诉我们,在计算样本点总数及有利场合数时,必须对同一个确定的样本空间考虑,因此其中一个考虑顺序,另一个也必须考虑顺序,否则结果一定不正确．既然同一个随机现象可用不同的样本空间来描述,因此对同一个概率也常常有多种不同的求法,我们应逐步训练自己能采用最简便的方法解题,为此熟悉同一问题的多种不同解法是重要的.例如,对例5就存在着多种不同的解法,上面提供的只是比较自然的两种.注意到在这两种解法中,我们对不同的k 用的是同一个样本空间,也就是说：我们构造了一个可以描述a 十b 次摸球的样本空间,并利用它一举解决了“第k(1≤k ≤a+b)次摸得黑球”这一概率的计算．假如允许对不同的k 用不同的样本空间,则我们完全可以构造一个只包含前k 次试验,甚至只包含第k 次试验的样本空间,这时也能求得有关概率.特别是选用最后一种样本空间简直马上可以看出正确答案,不过这种做法对初学者或许不那么容易理解． 四、古典概率的计算方法:求解古典概率问题,一般要做好三方面的工作：一是判明问题性质,分辨所解的问题,是不是古典概率问题.如果问题所及的试验,具有以下两个基本特征：(1)试验的样本空间的元素只有有限个；(2)试验中每个样本点出现豹可能性相同.那么,我们就可断定它是一个古典概率问题.二是掌握古典概率的计算公式．如果样本空间包含的样本点的总数为n,事件A 包含的样本点数(即A 的有利场合的数目)为k,那么事件A 的概率是 P(A)=nk =样本点总数包含的样本点数事件A =样本点总数的有利场合数A 三是根据公式要求,确定n 和k 的数值.这是解题的关键性一步,计算方法灵活多变,没有一个固定的模式.古典概率一种解法,大体都是围绕n 和k 的计算而展开的.五、几类基本问题:抛硬币、掷骰(t óu)子、摸球、取数等随机试验,在概率问题的研究中,有着十分重要的意义.一方面,这些随机试验,是人们从大量的随机现象中筛选出来的理想化的概率模型.它们的内容生动形象,结构清楚明确,富有直观性和典型性,便于深入浅出地反映事物的本质,揭示事物的规律.另一方面,这种模型化的处理方法,思想活泼,应用广泛,具有极大的普遍性,不少复杂问题的解决,常常可以归结为某种简单的模型.因此,有目的地考察并掌握若干常见的概率模型,有助于我们举一反三,触类旁通,丰富解题的技能和技巧,从根本上提高解答概率题的能力.本部分主要讨论古典概率中的四类基本问题(摸球问题、分球入盒问题、随机取数问题和选票问题),给出它们的一般解法,指出它们的典型意义,介绍它们的常见应用.。
