MO8YX14矩形

数学学习教案：矩形的应用——最大值和最小值问题一、教学目标本节课的教学目标是：1.能够掌握矩形的基本定义和性质。

2.能够利用最大值和最小值的思想解决实际问题。

3.能够应用矩形的相关知识进行计算。

二、教学重点本节课的教学重点是如何灵活应用最大值和最小值的思想解决实际问题。

三、教学难点本节课的教学难点是如何应用矩形的相关知识进行计算。

四、教学过程1.导入课题我们知道，矩形是指四边形的一种，它有很多特殊的性质。

下面请同学们回答一下，矩形有哪些性质。

2.知识讲解（1）矩形的定义：一个四边形，其中所有内角都是直角，同时所有对边长度相等的四边形，叫做矩形。

（2）矩形的性质：①对角线相等：矩形的两条对角线长度相等。

②对边相等：矩形对边长度相等，即相邻两边长度相等。

③对边平行：矩形的对边必定平行。

④中心对称：矩形的中心点是其对角线交点，而矩形的对角线是中心点的两条垂直平分线。

⑤面积计算：矩形面积等于其两个相邻边长的乘积。

（3）最大值和最小值问题：最大值和最小值问题是数学中一个非常重要的问题，它经常出现在生活中。

我们来看一个例子：例1：一个盒子，长20cm，宽12cm，高15cm，求盒子内可容纳最大的正方体体积。

我们需要思考如何求出这个正方体的边长。

我们可以先假设它的边长为x，则体积为V=x^3。

由于这个正方体必须放在盒子里，所以x不能超过盒子的最短边，即x<=min{20,12,15}=12。

因此，我们可以得到正方体的体积的最大值为V=12^3=1728。

这个例子说明了最大值和最小值问题的思维方式以及如何应用矩形的相关知识进行计算。

另外，我们还可以运用最小二乘法来求解最小值问题。

最小二乘法是一种常用的拟合方法，可以利用矩形的相关知识进行计算。

接下来让我们来看一个例子：例2：根据下面的数据，利用最小二乘法求出这组数据的线性方程 y = ax + b 。

x 0 1 2 3 4 5y 2 5 6 7 13 14首先我们需要思考，利用哪个数据可以通过矩形来计算，从而得到最小二乘法的公式a=(nΣxy –ΣxΣy) / (nΣx^2 –(Σx)^2) 和b=(Σy/n) –a(Σx/n)。

矩形的判定（练习一）1、如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC．要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是___________。

2、如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，∠A=90．要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是___________。

3、木工周师傅计划做一个长方形桌面，实际测量得到桌面的长为80cm，宽为60cm，对角线为120cm，这个桌面___________（“合格”或者“不合格”）4、如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形，求证：四边形ADBE 是矩形．5、如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=CD，问四边形ABCD是矩形吗？说明你的理由。

6、如图，点B、O、C三点共线，OE、OD分别平分∠AOB和∠AOC，且OE∥AD，AE∥OD；求证：四边形ADOE是矩形。

7、如图：口ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，求证：四边形DEBF是矩形90。

求证：四边形ABCD 8、如图，在四边形ABCD中，BF=DE，AC和EF互相平分并交于点O，∠B=0是矩形9、已知如图：口ABCD中，各内角的角平分线相交于E、F、G、H，求证：四边形EFGH是平行四边形．10、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，求证：四边形ADCE为矩形；11、如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．求证：（1）四边形BCDE是平行四边形．（2）口BCDE是矩形矩形的判定（练习二）1、如图，下列条件不能判定四边形ABCD是矩形的是（）A．∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°B．AB∥CD，AB=CD，AB⊥ADC．AO=BO，CO=DO D．AO=BO=CO=DO2、检查一个门框是否为矩形，下列方法中正确的是（）A．测量两条对角线，是否相等B．测量两条对角线，是否互相平分C．测量门框的三个角，是否都是直角D．测量两条对角线，是否互相垂直3、如图，在口ABCD中，∠1=∠2，此时，四边形ABCD是矩形吗？请说明理由。

例1如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=6，BC=10，则CE的长为多少？分析：根据折叠可知：△ADE≌△AFE⇒AD=AF=BC=10,DE=EF.在Rt△ABF中，AB=6，AF=10,根据勾股定理，得BF==8,所以CF=10-8=2.设CE的长为x,则DE=EF=6-x.在Rt△CEF中，CF=2,CE=x,EF=6-x,根据勾股定理列出方程，即可求出x的长.例2如图，将矩形ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF,若AB=3,AD=4,你能求折痕EF的长吗？分析：连接AC交EF与点O，由翻折可得到FE垂直平分AC，那么AF=FC，易证△AEO≌△CFO.那么求出OF长，乘2后就是EF长，利用直角三角形ABF求解即可．总结矩形折叠问题解题技巧和关键步骤（1）折叠确定全等等量线段转移（2）求出线段长度（3）设未知数，利用勾股关系建立方程好记性不如烂笔头，快快整理笔记在笔记本上，找题目练练哦！题目已经给你们准备好啦专题小练一．选择题1．（2018•牡丹江）如图，E为矩形ABCD的边AB上一点，将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处，若BE＝1，BC＝3，则CD的长为（ ）A．6 B．5C．4 D．32．（2019•辽阳）如图，直线EF是矩形ABCD的对称轴，点P在CD边上，将△BCP沿BP 折叠，点C恰好落在线段AP与EF的交点Q处，BC＝4，则线段AB的长是（ ）3．（2019•桂林）将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则的值为（ ）4．（2018•朝阳）如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，E为AD上一点，将△ABE沿BE折叠，点A恰好落在对角线BD上的点F处，则折线BE的长为（ ）5．（2018•毕节市）如图，在矩形ABCD中，AD＝3，M是CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折得到△ANM，若AN平分∠MAB，则折痕AM的长为（ ）二．填空题（共4小题）6．（2019•盘锦）如图，四边形ABCD是矩形纸片，将△BCD沿BD折叠，得到△BED，BE交AD于点F，AB＝3．AF：FD＝1：2，则AF＝ ．7．（2019•西藏）如图，把一张长为4，宽为2的矩形纸片，沿对角线折叠，则重叠部分的面积为 ．8．（2019•长春）如图，有一张矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6．先将矩形纸片ABCD 折叠，使边AD落在边AB上，点D落在点E处，折痕为AF；再将△AEF沿EF翻折，AF与BC 相交于点G，则△GCF的周长为 ．9．（2019•青岛）如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF．若AD＝4cm，则CF的长为 cm．三．解答题10．（2019•滨州）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．（1）求证：四边形CEFG是菱形；（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．▍ 声明：本文整理自网络，如有侵权，请联系删除。

小学数学实验35如何利用几何画板画周长一定的矩形利用几何画板绘制周长一定的矩形是一个非常有趣的小学数学实验。

通过这个实验，学生可以进一步理解周长的概念，并掌握如何画出具有相同周长的不同矩形。

在这个实验中，我们将会详细介绍利用几何画板画周长一定的矩形的方法。

下面是一个详细的步骤：步骤1：了解矩形的性质在开始实验之前，首先了解矩形的性质是非常重要的。

矩形是一个有四个边的图形，其中对应的边两两平行，相邻的边相等，并且四个角都是直角。

步骤2：理解周长的概念周长是指围绕一个封闭图形的边的总长度。

对于矩形来说，周长可以通过将四条边的长度相加来计算。

步骤3：选择合适的边长对于一个周长一定的矩形来说，其四条边的长度是可以不同的，只需满足周长相等的条件。

在开始绘制之前，我们需要决定矩形的边长。

可以让学生自由选择边长，也可以给予一些限制条件，以使得实验更有挑战性。

步骤4：开始绘制使用几何画板，选择“直线工具”或“画线工具”进行绘制。

首先，选择一个点作为矩形的一个顶点，然后在画板上拖动鼠标或触摸屏，绘制一条边。

这个边的长度可以根据学生选择的边长确定。

步骤5：绘制其他边按照矩形的性质，我们需要绘制另外三条边。

选择“直线工具”或“画线工具”，绘制与第一条边相邻的边，长度可以按照边长的设定进行确定。

然后，选择“直线工具”或“画线工具”，绘制与第二条边平行的边。

最后，选择“直线工具”或“画线工具”，绘制与第三条边相邻的边。

步骤6：检查矩形是否正确检查绘制的矩形是否符合矩形的性质。

确保相邻的边是平行的，并且长度相等。

还需要检查四个角是否都是直角。

如果矩形不正确，可以使用几何画板的“撤销”功能进行修改。

步骤7：尝试不同组合在实验中，学生可以尝试不同的边长组合，以绘制周长相等的矩形。

可以让学生尝试边长为整数或小数，探索周长不变的矩形的多样性。

步骤8：总结实验结果完成绘制后，学生可以记录每个矩形的边长，并计算周长。

可以将不同矩形的边长和周长整理在一张表格中，并观察它们之间的关系。

中考数学抛物线压轴题之矩形1．如图，在平面直角标系中，抛物线C：y＝与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为y轴正半轴上一点．且满足OD＝OC，连接BD，（1）如图1，点P为抛物线上位于x轴下方一点，连接PB，PD，当S△PBD最大时，连接AP，以PB为边向上作正△BPQ，连接AQ，点M与点N为直线AQ上的两点，MN＝2且点N位于M点下方，连接DN，求DN+MN+ AM的最小值（2）如图2，在第（1）问的条件下，点C关于x轴的对称点为E，将△BOE绕着点A逆时针旋转60°得到△B′O′E′，将抛物线y＝沿着射线PA方向平移，使得平移后的抛物线C′经过点E，此时抛物线C′与x轴的右交点记为点F，连接E′F，B′F，R为线段E’F上的一点，连接B′R，将△B′E′R沿着B′R翻折后与△B′E′F重合部分记为△B′RT，在平面内找一个点S，使得以B′、R、T、S为顶点的四边形为矩形，求点S的坐标．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．（1）试求抛物线的解析式；（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试求m 的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a＞0）与x轴交于A，B 两点（点A在点B的左侧）．（1）求点A与点B的坐标；（2）若a＝，点M是抛物线上一动点，若满足∠MAO不大于45°，求点M的横坐标m的取值范围．（3）经过点B的直线l：y＝kx+b与y轴正半轴交于点C．与抛物线的另一个交点为点D，且CD＝4BC．若点P在抛物线对称轴上，点Q在抛物线上，以点B，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．4．如图，一次函数y＝x+3与坐标轴交于A、C两点，过A、C两点的抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于另一点B抛物线顶点为E，连接AE．（1）求该抛物线的函数表达式及顶点E坐标；（2）点P是线段AE上的一动点，过点P作PF平行于y轴交AC于点F，连接EF，求△PEF面积的最大值及此时点P的坐标；（3）若点M为坐标轴上一点，点N为平面内任意一点，是否存在这样的点，使A、E、M、N为顶点的四边形是以AE为对角线的矩形？如果存在，请直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．5．如图1，抛物线y＝﹣x2+x﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线AE：y＝x﹣与抛物线相交于另一点E，点D为抛物线的顶点．（1）求直线BC的解析式及点E的坐标；（2）如图2，直线AE上方的抛物线上有一点P，过点P作PF⊥BC于点F，过点P作平行于y轴的直线交直线BC于点G，当△PFG周长最大时，在y轴上找一点M，在AE上找一点N，使得PM+MN+NE值最小，请求出此时N点的坐标及PM+MN+NE的最小值；（3）在第（2）问的条件下，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点N，E，R，S为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点S的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图：在平面直角坐标系中，直线l：y＝x﹣与x轴交于点A，经过点A的抛物线y＝ax2﹣3x+c的对称轴是x＝．（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PF＝3PE．求证：PE⊥PF；（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．7．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB：y＝﹣x+相交于点A（1，0）和B（t，），直线AB交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点D是x轴上的一个动点，连接BD、CD，请问△BCD的周长是否存在最小值？若存在，请求出点D的坐标，并求出周长最小值；若不存在，请说明理由．（3）设点M是抛物线对称轴上一点，点N在抛物线上，以点A、B、M、N为顶点的四边形是否可能为矩形？若能，请求出点M的坐标，若不能，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝kx+h与x轴相交于点A（﹣1，0），与y轴相交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+3的一交点为点D，抛物线过x轴上的AB两点，且CD＝4AC．（1）求直线l和抛物线的解析式；（2）点E是直线l上方抛物线上的一动点，求当△ADE面积最大时，点E的坐标；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，四边形APDQ能否为矩形？若能，请直接写出点P 的坐标；若不能，请说明理由．9．如图，抛物线y＝x2+hx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）点P是线段BD上一点，当PE＝PC时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物上点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是矩形，且MG＝2FM时，请求出点M的坐标．10．如图，已知二次函数y＝m2x2﹣2mx﹣3（m是常数，m＞0）的图象与x轴分别相交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．点C关于l的对称点为D，连接AD．点E为该函数图象上一点，AB平分∠DAE．（1）①线段AB的长为．②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示）（2）设M是该函数图象上一点，点N在l上．探索：是否存在点M．使得以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由．11．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B 的左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．12．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D和点C 关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E．（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形．若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．13．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y 轴的交点为C，过点C作CA∥x轴交抛物线于点A，在AC延长线上取点B，使BC＝AC，连接OA，OB，BD 和AD．（1）若点A的坐标是（﹣4，4）．①求b，c的值；②试判断四边形AOBD的形状，并说明理由；（2）是否存在这样的点A，使得四边形AOBD是矩形？若存在，请直接写出一个符合条件的点A的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，已知二次函数的图象过点A（0，﹣3），B（，），对称轴为直线x＝﹣，点P是抛物线上的一动点，过点P分别作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，在四边形PMON上分别截取PC＝MP，MD＝OM，OE＝ON，NF＝NP．（1）求此二次函数的解析式；（2）求证：以C、D、E、F为顶点的四边形CDEF是平行四边形；（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x＝﹣1．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．（1）试求抛物线的解析式；（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试求m 的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角标系中，抛物线C：y＝与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为y轴正半轴上一点．且满足OD＝OC，连接BD，（1）如图1，点P为抛物线上位于x轴下方一点，连接PB，PD，当S△PBD最大时，连接AP，以PB为边向上作正△BPQ，连接AQ，点M与点N为直线AQ上的两点，MN＝2且点N位于M点下方，连接DN，求DN+MN+ AM的最小值（2）如图2，在第（1）问的条件下，点C关于x轴的对称点为E，将△BOE绕着点A逆时针旋转60°得到△B′O′E′，将抛物线y＝沿着射线PA方向平移，使得平移后的抛物线C′经过点E，此时抛物线C′与x轴的右交点记为点F，连接E′F，B′F，R为线段E’F上的一点，连接B′R，将△B′E′R沿着B′R翻折后与△B′E′F重合部分记为△B′RT，在平面内找一个点S，使得以B′、R、T、S为顶点的四边形为矩形，求点S的坐标．1．【解答】解：（1）如图1，过点D作DD'∥MN，且DD'＝MN＝2，连接D'M；过点D'作D'J⊥y轴于点J；作直线AP，过点M作MH⊥AP于点H，过点D'作D'K⊥AP于点K∵y＝＝0解得：x1＝﹣3，x2＝1∴A（﹣3，0），B（1，0）∵x＝0时，y＝＝﹣∴C（0，﹣），OC＝∴OD＝OC＝，D（0，）设P（t，t2+t﹣）（﹣3＜t＜1）设直线PB解析式为y＝kx+b，与y轴交于点G∴解得：∴直线PB：y＝（t+）x﹣t﹣，G（0，﹣t﹣）∴DG＝﹣（﹣t﹣）＝t+∴S△BPD＝S△BDG+S△PDG＝DG•x B+DG•|x P|＝DG•（x B﹣x P）＝（t+）（1﹣t）＝﹣（t2+4t﹣5）∴t＝﹣＝﹣2时，S△BPD最大∴P（﹣2，﹣），直线PB解析式为y＝x﹣，直线AP解析式为y＝﹣x﹣3∴tan∠ABP＝＝∴∠ABP＝30°∵△BPQ为等边三角形∴∠PBQ＝60°，BP＝PQ＝BQ∴BA平分∠PBQ∴PQ⊥x轴，PQ与x轴交点I为PQ中点∴Q（﹣2，）∴Rt△AQI中，tan∠QAI＝∴∠QAI＝∠PAI＝60°∴∠MAH＝180°﹣∠PAI﹣∠QAI＝60°∵MH⊥AP于点H∴Rt△AHM＝90°，sin∠MAH＝∴MH＝AM∵DD'∥MN，DD'＝MN＝2∴四边形MNDD'是平行四边形∴D'M＝DN∴DN+MN+AM＝2+D'M+MH∵D'K⊥AP于点K∴当点D'、M、H在同一直线上时，DN+MN+AM＝2+D'M+MH＝2+D'K最短∵DD'∥MN，D（0，）∴∠D'DJ＝30°∴D'J＝DD'＝1，DJ＝DD'＝∴D'（1，）∵∠PAI＝60°，∠ABP＝30°∴∠APB＝180°﹣∠PAI﹣∠ABP＝90°∴PB∥D'K设直线D'K解析式为y＝x+d，把点D'代入得：+d＝解得：d＝∴直线D'K：y＝x+把直线AP与直线D'K解析式联立得：解得：∴K（﹣，）∴D'K＝∴DN+MN+AM的最小值为（2）连接B'A、BB'、EA、E'A、EE'，如图2∵点C（0，﹣）关于x轴的对称点为E∴E（0，）∴tan∠EAB＝∴∠EAB＝30°∵抛物线C'由抛物线C平移得到，且经过点E∴设抛物线C'解析式为：y＝x2+mx+，∵A（﹣3，0），P（﹣2，﹣），E（0，），B（1，0），∴BE∥PA，BE＝PA，∴抛物线C'经过点A（﹣3，0），∴×9﹣3m+＝0解得：m＝∴抛物线C'解析式为：y＝x2+x+∵x2+x+＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝﹣1∴F（﹣1，0）∵将△BOE绕着点A逆时针旋转60°得到△B′O′E′∴∠BAB'＝∠EAE'＝60°，AB'＝AB＝1﹣（﹣3）＝4，AE'＝AE＝∴△ABB'、△AEE'是等边三角形∴∠E'AB＝∠E'AE+∠EAB＝90°，点B'在AB的垂直平分线上∴E'（﹣3，2），B'（﹣1，2）∴B'E'＝2，∠FB'E'＝90°，E'F＝∴∠B'FE'＝30°，∠B'E'F＝60°①如图3，点T在E'F上，∠B'TR＝90°过点S作SW⊥B'E'于点W，设翻折后点E'的对应点为E'' ∴∠E'B'T＝30°，B'T＝B'E'＝∵△B′E′R翻折得△B'E''R∴∠B'E''R＝∠B'E'R＝60°，B'E''＝B'E'＝2∴E''T＝B'E''﹣B'T＝2﹣∴Rt△RTE''中，RT＝E''T＝2﹣3∵四边形RTB'S是矩形∴∠SB'T＝90°，SB'＝RT＝2﹣3∴∠SB'W＝∠SB'T﹣∠E'B'T＝60°∴B'W＝SB'＝﹣，SW＝SB'＝3﹣∴x S＝x B'﹣B'W＝，y S＝y B'+SW＝3+∴S（，3+）②如图4，点T在E'F上，∠B'RT＝90°过点S作SX⊥B'F于点X∴E'R＝B'E'＝1，点E'翻折后落在E'F上即为点T∴B'S＝RT＝E'R＝1∵∠SB'X＝90°﹣∠RB'F＝30°∴XS＝B'S＝，B'X＝B'S＝∴x S＝x B'+XS＝﹣，y S＝y B'﹣B'X＝∴S（﹣，）③如图5，点T在B'F上，∠B'TR＝90°∴RE''∥E'B'，∠E''＝∠B'E'R＝60°∴∠E'BE''＝∠E'RE''＝120°∴四边形B'E'RE''是平行四边形∵E'R＝E''R∴▱B'E'RE''是菱形∴B'E'＝E'R∴△B'E'R是等边三角形∵∠B'SR＝90°，即RS⊥B'E'∴点S为B'E'中点∴S（﹣2，2）综上所述，使得以B′、R、T、S为顶点的四边形为矩形的点S坐标为（，3+）或（﹣，）或（﹣2，2）．2．【解答】解：（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，所以可以假设y＝a（x+2）（x﹣4），∵OC＝2OA，OA＝2，∴C（0，4），代入抛物线的解析式得到a＝﹣，∴y＝﹣（x+2）（x﹣4）或y＝﹣x2+x+4或y＝﹣（x﹣1）2+．（2）如图1中，由题意，点P在y轴的右侧，作PE⊥x轴于E，交BC于F．∵CD∥PE，∴△CMD∽△FMP，∴m＝＝，∵直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1），∵BC的解析式为y＝﹣x+4，设P（n，﹣n2+n+4），则F（n，﹣n+4），∴PF＝﹣n2+n+4﹣（﹣n+4）＝﹣（n﹣2）2+2，∴m＝＝﹣（n﹣2）2+，∵﹣＜0，∴当n＝2时，m有最大值，最大值为，此时P（2，4）．（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．①当DP是矩形的边时，有两种情形，a、如图2﹣1中，四边形DQNP是矩形时，有（2）可知P（2，4），代入y＝kx+1中，得到k＝，∴直线DP的解析式为y＝x+1，可得D（0，1），E（﹣，0），由△DOE∽△QOD可得＝，∴OD2＝OE•OQ，∴1＝•OQ，∴OQ＝，∴Q（，0）．根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向下平移1个单位得到点N，∴N（2+，4﹣1），即N（，3）b、如图2﹣2中，四边形PDNQ是矩形时，∵直线PD的解析式为y＝x+1，PQ⊥PD，∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+，∴Q（8，0），根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，∴N（0+6，1﹣4），即N（6，﹣3）．②当DP是对角线时，设Q（x，0），则QD2＝x2+1，QP2＝（x﹣2）2+42，PD2＝13，∵Q是直角顶点，∴QD2+QP2＝PD2，∴x2+1+（x﹣2）2+16＝13，整理得x2﹣2x+4＝0，方程无解，此种情形不存在，综上所述，满足条件的点N坐标为（，3）或（6，﹣3）．3．【解答】解：（1）y＝a（x+3）（x﹣1），令y＝0，则x＝1或﹣3，故点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（1，0）；（2）抛物线的表达式为：y＝（x+3）（x﹣1）…①，当∠MAO＝45°时，如图所示，则直线AM的表达式为：y＝x…②，联立①②并解得：m＝x＝4或﹣3（舍去﹣3），故点M（4，7）；②∠M′AO＝45°时同理可得：点M（﹣2，﹣1）；故：﹣2≤m≤4；（3）①当BD是矩形的对角线时，如图2所示，过点Q作x轴的平行线EF，过点B作BE⊥EF，过点D作DF⊥EF，抛物线的表达式为：y＝ax2+2ax﹣3a，函数的对称轴为：x＝﹣1，抛物线点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（1，0），则点P的横坐标为：﹣1，OB＝1，而CD＝4BC，则点D的横坐标为：﹣4，故点D（﹣4，5a），即HD＝5a，线段BD的中点K的横坐标为：＝﹣，则点Q的横坐标为：﹣2，则点Q（﹣2，﹣3a），则HF＝BE ＝3a，∵∠DQF+∠BQE＝90°，∠BQE+∠QBE＝90°，∴∠QBE＝∠DQF，∴△DFQ∽△QEB，则，，解得：a＝（舍去负值），同理△PGB≌△DFQ（AAS），∴PG＝DF＝8a＝4，故点P（﹣1，4）；②如图3，当BD是矩形的边时，作DI⊥x轴，QN⊥x轴，过点P作PL⊥DI于点L，同理△PLD≌△BNQ（AAS），∴BN＝PL＝3，∴点Q的横坐标为4，则点Q（4，21a），则QN＝DL＝21a，同理△PLD∽△DIB，∴，即，解得：a＝（舍去负值），LI＝26a＝，故点P（﹣1，），；综上，点P的坐标为：P（﹣1，4）或（﹣1，）．4．【解答】解：（1）一次函数y＝x+3与坐标轴交于A、C两点，则点A、C的坐标为（﹣3，0）、（0，3），将点A、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3，顶点E（﹣1，4）；（2）将点A、E的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AE的表达式为：y＝2x+6，设点P（x，2x+6），则点F（x，x+3），S△PEF＝PF×（x E﹣x）＝×（2x+6﹣x﹣3）（﹣1﹣x）＝﹣（x+3）（x+1），当x＝﹣2时，S△PEF有最大值为，此时点P（﹣2，2）；（3）点A、E的坐标分别为（﹣3，0）、（﹣1，4），AE2＝20，①当点M（m，0）在x轴上时，设点N（s，t），则AE＝MN，且AE中点坐标为MN中点坐标，即：，解得：，故点N（﹣3，4）；②当点M在y轴上时，同理可得：点N（﹣4，3）或（﹣4，1）；综上，点N坐标为：N（﹣3，4）或（﹣4，3）或（﹣4，1）．5．【解答】解：（1）当y＝0时，，解得x1＝1，x2＝4所以点A（1，0），B（4，0）设BC直线解析式为y＝kx+b，将B、C坐标代入得，解得所以直线BC的解析式为联立方程，解得，∴点E坐标为（）（2）设P（），G（）PG＝（）﹣（）＝﹣当△PFG周长最大时，线段PG最长＜0，所以PG有最大值当m＝2时，PG最大，P点坐标为（2，）如图，作P点关于y轴的对称点P'，在AE下方作∠AEQ＝30°，过点p'作P'Q⊥EQ，垂足为Q，P'Q交x轴于S，交AE于N，作P'T⊥x轴，垂足为T，ER⊥x轴，垂足为R则P'Q＝PM+MN+NE由题意可知，P'（﹣2，），∠P'ST＝60°在Rt△P'ST中，tan∠p'ST＝＝∴TS＝3∴S点坐标为（1，0）设P'S直线解析式为y＝kx+b将P'、S坐标代入得，解得所以P'S直线解析式y＝+在Rt△EHR中tan∠EHR＝＝∴HR＝∴H（，0）∴SH＝∴SQ＝∵P'S＝∴P'Q＝所以PM+MN+NE的最小值为．点N坐标为（1，0）（3）如图所示，设R1的纵坐标长度为m当NE为矩形对角线时可证△NA1R1∽△R1ZE，∴＝∴＝解得m1＝﹣，m2＝﹣﹣（舍去）∴R1的坐标为（，﹣+）可证△NB1S1≌△EZR1∴S1坐标为（，+）同理S2坐标为（，﹣）当NE为矩形的一边时，如图可证△S3HN≌△R3FE≌△R3GE在Rt△R3GE中，GE＝，由三角函数可得EF＝∴HN＝，S3H＝∴S3坐标为（，）同理可得S4坐标为（，﹣）6．【解答】解：（1）当y＝0时，x﹣＝0，解得x＝4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x＝，得，解得，抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣4；（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，∴直线m的解析式为y＝x．∵点P是直线m上任意一点，∴设P（3a，a），则PC＝|3a|，PB＝|a|．又∵PF＝3PE，设PB＝n，PC＝3n，PE＝m，PF＝3m，则CF＝＝3，BE＝，∴＝＝＝3，∵∠PCF＝∠PBE＝90°，∴△PCF∽△PBE，∴∠FPC＝∠EPB．∵∠CPE+∠EPB＝90°，∴∠FPC+∠CPE＝90°，∴FP⊥PE．（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE＝6﹣a．∵CF＝3BE＝18﹣3a，∴OF＝20﹣3a．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴＝，＝，∴Q x+6＝0+a，Q y+2＝20﹣3a+0，∴Q x＝a﹣6，Q y＝18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a＝（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a＝4或a＝8（舍去）．∴Q（﹣2，6）．如下图所示：当点E在点B的右侧时，设E（a，0），则BE＝a﹣6．∵CF＝3BE＝3a﹣18，∴OF＝3a﹣20．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴＝，＝，∴Q x+6＝0+a，Q y+2＝20﹣3a+0，∴Q x＝a﹣6，Q y＝18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a＝（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a＝8或a＝4（舍去）．∴Q（2，﹣6）．综上所述，点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．7．【解答】解：（1）对于y＝﹣x+，令y＝得x＝﹣4，∴B（﹣4，）．分别把A（1，0）和B（﹣4，）代入y＝x2+bx+c，得解得，则该抛物线解析式为：y＝x2+x﹣，∵﹣＝﹣1，∴对称轴为直线x＝﹣1；（2）直线AB：y＝﹣x+相交于点C（0，），作点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，﹣），连接BC′交x轴于点D，根据“两点之间线段最短”可得BD+CD的和最小，从而△BCD的周长也最小，∵B（﹣4，），C′（0，﹣），∴直线BC′的解析式为y＝﹣x﹣．令y＝0，可得x＝﹣，∴D（﹣，0），∴当△BCD的周长最小时，点D的坐标为（﹣，0），最小周长＝BC+BC′＝+＝5+2；（3）①若AB为四边形的边长，作AE⊥AB，交y轴于点E，又OA⊥CE，∴△AOC∽△EOA，∴OE＝2OA＝2，∴E（0，﹣2）∴直线AE为y＝2x﹣2，令2x﹣2＝x2+x﹣，解得x1＝x2＝1，∴直线AE与抛物线只有一个交点为A，∴不存在满足题意的矩形；②若AB为四边形的对角线，当四边形是平行四边形时，对角线互相平分，有x A+x B＝x M+x N，即：1+（﹣4）＝﹣1+x N，解得x N＝﹣2．把x N＝﹣2代入y＝x2+x﹣，得y N＝﹣，由y A+y B＝y M+y N得：y M＝4，∴M（﹣1，4），N（﹣2，﹣），此时MN＝＝，AB＝＝，∴MN＝AB，∴平行四边形AMBN为矩形，综上，能为矩形，M（﹣1，4）．8．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+3，得b＝2，所以抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，过点D作DF⊥x轴于点F，如图1易证△AOC∽△AFD，∴，∵CD＝4AC，∴＝，∴点D横坐标为4，把x＝4代入y＝﹣x2+2x+3，得y＝﹣5，∴D（4，﹣5），把x＝4，y＝﹣5；x＝﹣1，y＝0代入y＝kx+h，解得，k＝﹣1，h＝﹣1，∴直线l的解析式为y＝﹣x﹣1．（2）过点E作EM⊥x轴，交AD于点M，如图2设点E（m，﹣m2+2m+3），则M（m，﹣m﹣1），∴EM＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m﹣1）═﹣m2+3m+4，∴S△ADE＝（﹣m2+3m+4）＝，当m＝时，△ADE的面积最大，此时，E（，）．（3）不存在理由如下：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，设P（1，m），如图4，则易得Q（2，3），m＝﹣5a﹣3＝﹣8，则P（1，﹣8），PQ2＝12+112＝122，PD2＝32+32＝18QD2＝22+82＝68，∴PD2+QD2≠PQ2，∴∠PDQ≠90°，此时平行四边形ADPQ不是矩形，9．【解答】解：（1）抛物线y＝x2+hx+c，即：a＝1，抛物线过A（﹣1，0），B（3，0）两点，则抛物线的表达式为：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3；（2）点C（0，﹣3），函数的对称轴为：x＝1，故点E（1，0），点D（1，﹣4），将点BD代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：直线BD的表达式为：y＝2x﹣6，设点P（m，2m﹣6），PE＝PC时，则：m2+（2m﹣6+3）2＝（m﹣1）2+（2m﹣6）2，解得：m＝2，故点P（2，﹣2）；（3）设点M的坐标为（a，0），则点G的坐标为（a，﹣a2+2a+3），∵以F、M、N、G为顶点的四边形是矩形，∴MG＝2FM时，|a2﹣2a﹣3|＝2|a﹣2|，解得：a＝或2，故点M的坐标为：（2，0）或（2﹣，0）或（，0）或（﹣，0）．10．【解答】解：（1）①令y＝0，则（mx﹣3）（mx+1）＝0，∴x＝﹣或x＝，∴A（﹣，0），B（，0），∴AB＝，故答案为；②∵二次函数y＝m2x2﹣2mx﹣3，∴C（0，﹣3），对称轴l：x＝，∴D（，﹣3）∵AB平分∠DAE，∴点D关于x轴的对称点Q（，3）在直线AE上，∴直线AE的解析式为y＝mx+1，∵点E是抛物线和直线AE的交点，∴E（，5）．（2）设M（x，m2x2﹣2mx﹣3），N（，a）∵A（﹣，0），E（，5）．以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形，①以AE，MN为对角线时，AE，MN的中点重合，∴﹣+＝x+，∴x＝，∴M（，﹣3），∵MA2+ME2＝AE2，∴+9++64＝+25，∴m＝﹣（舍），或m＝，∴M（4，﹣3），②以AN，ME为对角线时，AN，ME的中点重合，∴﹣+＝x+，∴x＝﹣，∴M（﹣，21），∵AE2+AM2＝ME2，∴+25++441＝+256，∴m＝﹣（舍）或m＝∴，③以AM，NE为对角线时，∴AM，NE的中点重合，∴x+（﹣）＝+，∴x＝，∴M（，21），∵AE2+EM2＝AM2，∴+25++256＝+441，此方程无解，即：存在，M（4，﹣3）或．11．【解答】解：（1）令y＝0，则ax2﹣2ax﹣3a＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3∵点A在点B的左侧，∴A（﹣1，0），如图1，作DF⊥x轴于F，∴DF∥OC，∴＝，∵CD＝4AC，∴＝＝4，∵OA＝1，∴OF＝4，∴D点的横坐标为4，代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得，y＝5a，∴D（4，5a），把A、D坐标代入y＝kx+b得，解得，∴直线l的函数表达式为y＝ax+a．（2）如图1，过点E作EN⊥y轴于点N设点E（m，a（m+1）（m﹣3）），y AE＝k1x+b1，则，解得：，∴y AE＝a（m﹣3）x+a（m﹣3），M（0，a（m﹣3））∵MC＝a（m﹣3）﹣a，NE＝m∴S△ACE＝S△ACM+S△CEM＝[a（m﹣3）﹣a]+[a（m﹣3）﹣a]m＝（m+1）[a（m﹣3）﹣a]＝（m﹣）2﹣a，∴有最大值﹣a＝，∴a＝﹣；（3）令ax2﹣2ax﹣3a＝ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴D（4，5a），∵y＝ax2﹣2ax﹣3a，∴抛物线的对称轴为x＝1，设P1（1，m），①若AD是矩形的一条边，由AQ∥DP知x D﹣x P＝x A﹣x Q，可知Q点横坐标为﹣4，将x＝﹣4代入抛物线方程得Q（﹣4，21a），m＝y D+y Q＝21a+5a＝26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP＝90°，∴AD2+PD2＝AP2，∵AD2＝[4﹣（﹣1）]2+（5a）2＝52+（5a）2，PD2＝（1﹣4）2+（26a﹣5a）2＝32+（21a）2，∴[4﹣（﹣1）]2+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2＝（﹣1﹣1）2+（26a）2，即a2＝，∵a＜0，∴a＝﹣，∴P1（1，﹣）．②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为（，），Q（2，﹣3a），m＝5a﹣（﹣3a）＝8a，则P（1，8a），∵四边形AQDP为矩形，∴∠APD＝90°，∴AP2+PD2＝AD2，∵AP2＝[1﹣（﹣1）]2+（8a）2＝22+（8a）2，PD2＝（4﹣1）2+（8a﹣5a）2＝32+（3a）2，AD2＝[4﹣（﹣1）]2+（5a）2＝52+（5a）2，∴22+（8a）2+32+（3a）2＝52+（5a）2，解得a2＝，∵a＜0，∴a＝﹣，∴P2（1，﹣4）．综上可得，P点的坐标为P1（1，﹣4），P2（1，﹣）．12．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3），当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0），B（3，0），∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线对称轴为直线x＝1，而点D和点C关于直线x＝1对称，∴D（2，3），设直线AD的解析式为y＝kx+b，把A（﹣1，0），D（2，3）分别代入得，解得，∴直线AD的解析式为y＝x+1；（2）当x＝0时，y＝x+1＝1，则E（0，1），∵OA＝OE，∴△OAE为等腰直角三角形，∴∠EAO＝45°，∵FH∥OA，∴△FGH为等腰直角三角形，过点F作FN⊥x轴交AD于N，如图，∴FN⊥FH，∴△FNH为等腰直角三角形，而FG⊥HN，∴GH＝NG，∴△FGH周长等于△FGN的周长，∵FG＝GN＝FN，∴△FGN周长＝（1+）FN，∴当FN最大时，△FGN周长的最大，设F（x，﹣x2+2x+3），则N（x，x+1），∴FN＝﹣x2+2x+3﹣x﹣1＝﹣（x﹣）2+，当x＝时，FN有最大值，∴△FGN周长的最大值为（1+）×＝，即△FGH周长的最大值为；（3）直线AM交y轴于R，y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，则M（1，4）设直线AM的解析式为y＝mx+n，把A（﹣1，0）、M（1，4）分别代入得，解得，∴直线AM的解析式为y＝2x+2，当x＝0时，y＝2x+2＝2，则R（0，2），当AQ为矩形APQM的对角线，如图1，∵∠RAP＝90°，而AO⊥PR，∴Rt△AOR∽Rt△POA，∴AO：OP＝OR：OA，即1：OP＝2：1，解得OP＝，∴P点坐标为（0，﹣），∵点A（﹣1，0）向上平移4个单位，向右平移2个单位得到M（1，4），∴点P（0，﹣）向上平移4个单位，向右平移2个单位得到Q（2，），∵点T和点Q关于AM所在直线对称，∴T点坐标为（0，）；当AP为矩形AMPQ的对角线，反向延长QA交y轴于S，如图2，同理可得S点坐标为（0，﹣），∵R点为AM的中点，∴R点为PS的中点，∴PM＝SA，P（0，），∵PM＝AQ，∴AQ＝AS，∴点Q关于AM的对称点为S，即T点坐标为（0，﹣）．综上所述，点T的坐标为（0，）或（0，﹣）．13．【解答】解：（1）①∵AC∥x轴，A点坐标为（﹣4，4）．∴点C的坐标是（0，4）把A、C两点的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得，，解得；②四边形AOBD是平行四边形；理由如下：由①得抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣4x+4，∵y＝﹣（x+2）2+8，∴顶点D的坐标为（﹣2，8），过D点作DE⊥AB于点E，则DE＝OC＝4，AE＝2，∵AC＝4，∴BC＝AC＝2，∴AE＝BC．∵AC∥x轴，∴∠AED＝∠BCO＝90°，∴△AED≌△BCO，∴AD＝BO．∠DAE＝∠OBC，∴AD∥BO，∴四边形AOBD是平行四边形．（2）存在，点A的坐标可以是（﹣2，2）要使四边形AOBD是矩形；则需∠AOB＝∠BCO＝90°，∵∠ABO＝∠OBC，∴△ABO∽△OBC，∴＝，又∵AB＝AC+BC＝3BC，∴OB＝BC，∴在Rt△OBC中，根据勾股定理可得：OC＝BC，AC＝OC，∵C点是抛物线与y轴交点，∴OC＝c，∴A点坐标为（﹣c，c），∴顶点横坐标＝﹣c，b＝﹣c，顶点D纵坐标是点A纵坐标的2倍，为2c，顶点D的坐标为（﹣c，2c）∵将D点代入可得2c＝﹣（﹣c）2+c•c+c，解得：c＝2或者0，当c为0时四边形AOBD不是矩形，舍去，故c＝2；∴A点坐标为（﹣2，2）．14．【解答】（1）解：设抛物线的解析式为：y＝a（x+）2+k，∵点A（0，﹣3），B（，）在抛物线上，∴，解得：a＝1，k＝．∴抛物线的解析式为：y＝（x+）2＝x2+x﹣3．（2）证明：如右图，连接CD、DE、EF、FC．∵PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，∴四边形PMON为矩形，∴PM＝ON，PN＝OM．∵PC＝MP，OE＝ON，∴PC＝OE；∵MD＝OM，NF＝NP，∴MD＝NF，∴PF＝OD．在△PCF与△OED中，∴△PCF≌△OED（SAS），∴CF＝DE．同理可证：△CDM≌△FEN，∴CD＝EF．∵CF＝DE，CD＝EF，∴四边形CDEF是平行四边形．（3）解：假设存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形．设矩形PMON的边长PM＝ON＝m，PN＝OM＝n，则PC＝m，MC＝m，MD＝n，PF＝n．若四边形CDEF为矩形，则∠DCF＝90°，易证△PCF∽△MDC，∴，即，化简得：m2＝n2，∴m＝n，即矩形PMON为正方形．∴点P为抛物线y＝x2+x﹣3与坐标象限角平分线y＝x或y＝﹣x的交点．联立，解得，，∴P1（，），P2（﹣，﹣）；联立，解得，，∴P3（﹣3，3），P4（1，﹣1）．∴抛物线上存在点P，使四边形CDEF为矩形．这样的点有四个，在四个坐标象限内各一个，其坐标分别为：P1（，），P2（﹣，﹣），P3（﹣3，3），P4（1，﹣1）．15．【解答】解：（1）根据题意，设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）2+k，∵点A（1，0），B（0，3）在抛物线上，∴，解得：a＝﹣1，k＝4，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）2+4．（2）①∵四边形OMPQ为矩形，∴OM＝PQ，即3t＝﹣（t+1）2+4，整理得：t2+5t﹣3＝0，解得t＝，由于t＝＜0，故舍去，∴当t＝秒时，四边形OMPQ为矩形；②Rt△AOB中，OA＝1，OB＝3，∴tanA＝3．若△AON为等腰三角形，有三种情况：。

八年级数学矩形、菱形、正方形模块精细化讲解，性质判定全搞定矩形、菱形、正方形是八年级下册特殊平行四边形这一章节的重要组成部分。

他们都是基于平行四边形的性质衍生出来的其基本的性质都和平行四边形是一样的。

所以大家在进行学习和记忆的时候只需要紧抓其特殊部分，就能把他们都区分出来。

熟练掌握矩形，菱形，正方形的性质，定义和判定是这部分学习的重点，同时这部分也是中考数学几何部分的重要考点。

只有把这些性质和判定融会贯通。

那么在遇到综合题或者是类似题型的几何才能应对自如，尽快的形成自己的解题思路。

本讲内容主要分为三个模块，由于模块较多，每个模块均分为基本概念及提高解答题两种题型进行练习；其中模块一主要为矩形性质判定及重要结论的应用，并结合三角形全等，通过矩形的判定进一步阐释矩形的特殊性；模块二主要为菱形性质判定及重要结论的应用并结合三角形的性质，通过菱形的判定进一步阐释菱形的特殊性；模块三主要为正方形性质判定及重要结论的应用，通过正方形的判定进一步阐释正方形与平行四边形与菱形的关系；本讲的最后一部分作为一道探索题目，既让学生们巩固了菱形的判定定理，又活用菱形性质构造符合题意的图形，还考查了学生们对材料题目的把握，但难度不是很大，趣味性又很强，贴近新教改思路。

模块一矩形的定义、性质及判定矩形部分除了大家要掌握起定义，性质和判定外，那么其中重要的结论唐老师已经在下方的表格当中给大家陈列出来，这也是在解题时一个非常重要的思路。

希望大家千万不要错过。

【夯实基础】学以致用才是学会与否的重要评判标准。

所以对于基础部分的练习主要是对所学知识点巩固。

所以大家千万不要嫌弃这部分比较简单，随意地带过。

这部分基础性比较强的题做得好与不好，能够决定了同学们基础是否扎实，所以其重要性也不言而喻。

【能力提升】模块二菱形的定义、性质及判定临行的学习基于平行四边形的性质，另外还需要和前面学习的矩形的性质进行比较，它们有什么共同的地方和不同的地方学会用。

课题：矩形中的折叠问题学习目标：1.掌握矩形的性质、轴对称性质等知识.2.能借助勾股定理、相似、三角函数等知识解决矩形中的折叠问题.重点：解决矩形中的折叠问题.难点：找出或构造基本图形解决矩形中的折叠问题.【自主探究】如果是我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，可以采用下面的方法（如图）：第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开．第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时，得到了线段BN．观察所得的∠ABM，∠MBN，∠NBC这三个角有什么关系？你能证明吗？【合作探究】探究1.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交边BC于点E．（1）求证：BE=DE；（2）若AB=4，AD=8，求DE的长．练习1．如图，将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG．若AB=4，BC=8，则△AGF的面积为．变式1：四边形AFCG是形．试说明理由变式2：求折痕FG的长．探究2.如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在E处，EQ与BC相交于F．若AD=8cm，AB=6cm，AE=4cm．求△EBF的周长．练习2．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边CD、BC上，且DC=3DE=3a．将矩形沿直线EF折叠，使点C恰好落在AD边上的点P处，求FP的长．练习3．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P与点B、C 都不重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．探究3.如图，已知矩形纸片OABC在平面直角坐标系中，将该纸片沿对角线AC进行折叠，使得点B到达点D的位置，若该纸片的长为8，宽为4，则点D的坐标为．【分层探究】A组：1.如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2=40°，则图中∠1的度数为．2.如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若AB的长为2，则FM的长为．B组：1.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，求CF的长．2.将一矩形纸片按图1﹣图4方式折叠：第一步，在矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步：如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平；第三步：折出内侧矩形的对角线AB，并将AB折到图3中所示的AD处；第四步：展平纸片，按照所得的点D折出DE．我们称宽与长的比是（约为0.618）的矩形为黄金矩形．（1）若MN=4cm①图3中AB=cm；②图4中的黄金矩形为；（2）设AB=a，AQ+BD=b，AQ•BD=c，请用一个等式表示a、b、c之间的数量关系并证明．。

矩形的五种折叠方法折叠问题的实质是轴对称问题，折叠原理实际上是图形的全等问题，对应角相等，对应线段相等。

对应点的连线被折痕垂直平分。

矩形在日常生活中随处可见，矩形的性质又具有平行四边形的所有性质，并且具有对角线互相平分且相等的特有性质，它不仅是中心对称图形，而且还是轴对称图形.所以矩形的折叠问题是中考热点问题，并且折叠的方法不同，问题不同，给参加中考的考生带来各种各样的困境，为了让参加中考的孩子们轻松应考，先把矩形的折叠问题进行总结一下.一.沿对角线折叠例1.在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别落在x轴，y轴上，且OA=4，0C=3。

如图，将△OAB沿对角线OB翻折得到△OBN，ON与AB交于点M。

（1）判断△OBM是什么三角形，并说明理由，并求出△OBM的面积（2）求MN的长.【分析】由矩形性质可知，AB=OC=3,BC=OA=4,∠COA=∠OAB=90°OA∥BC 所以∠AOB=∠MBO根据折叠原理得∠AOB=∠MOB，所以∠MBO=∠MOB，∴MB=MO所以△OBM是等腰三角形，二．折一角，使直角顶点到对边例2.如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A 在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝5，OC ＝4.在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处．则点D 的坐标是 ．【分析】折叠原理知，AE=AO=5，AB=OC=4，OD=ED 由勾股先求得BE=3，∴CE=2，然后设OD=x ，则CD=4-x在Rt △DCE 中由勾股定理即可求得OD 的长，然后就得到点D 的坐标。

练习：如图，折叠矩形的一边AD ，点D 落在BC 边上点F 处，已知AB=8，BC=10，则EC 的长是 。

（这道题目先求BF 的长，再求CF 的长，然后再勾股定理）练习2.如图，矩形纸片ABCD ，若把△ABE 沿折痕BE 上折叠，使A 点恰好落在CD 上，此时，AE:ED=5:3，BE=55，求矩形的长和宽。