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第二章 波函数和薛定谔方程本章重点1. 微粒的状态由波函数完全描写（正确理解ψ的意义和性质）.2. 状态随时间的变化遵从薛定谔方程（掌握，会用）.3. 几个应用例子，说明了量子力学处理问题的方法和结果的特征（逐步理解）.§2.1波函数的统计解释引入：在经典力学中，用坐标和动量描述质点的运动状态。
在量子力学中，我们也要找到描述微观粒子的量，由于量子力学与经典力学根本不同，在量子力学中，微观粒子既要描述粒子性又要描述其波动性。
那么这一章我们首先来找用什么量来描述微观粒子。
重点: 微粒的状态由波函数完全描写 难点: 波函数ψ的意义和性质的理解 一、状态的描述1. 经典力学中质点的状态由)(,v p r描写 经典力学中用)(,v p r两基本量来描写质点的状态。
〈1〉每个时刻t 该二量都有完全确定的数值，且随t 变化；在任一时刻，我们都能测到质点确定的动量和坐标，并且他们是连续变化的。
〈2〉质点的其它力学量，如L E r V E k，总),(,等全是p r ,的函数—p r,决定体系的一切性质。
〈3〉质点状态的变化（运动）遵从牛顿定律：F dtrd m =22，当F 已知时，如果初始时刻)(,000v p r已知，则积分得：00)(v dt m F t v t+=⎰ ， 00)(p dt F t p t +=⎰ ， 00)()(r dt t v t r t+=⎰,即任何时刻的)(),(t p t r完全确定.〈4〉)(t r描写质点运动的轨道。
2.微粒的状态由波函数),(t rψ来完全描写<1> 微粒除了粒子性，还有波动性，这就决定了它不可能同时具有确定的r 和p,自由粒子由平面单色波描写，（)(Et r p i Ae-⋅=ψ，以后我们会看到）这时p 有确定值，而r完全不确定。
微粒无同时确定的p r,，也就不可能有确定的轨道。
<2> 为了描写粒子的状态，量子力学中用一个反映其波粒二象性的波函数),(t rψ来描写。
自主学习01 教材内容第二章波函数与薛定谔方程知识框架重点难点第一节第二节第三节第四节第五节第六节第七节第八节本章习题本章自测知识框架重点难点1.认识微观粒子的运动用一个波函数来描述（量子力学的第一个基本假定）和粒子的可观测力学量之间的关系；明确波函数的意义。
2.理解量子力学的两个基本原理（测不准原理和态迭加原理）的内容，并明确它们从不同侧面反映了微观粒子波动性的本质。
s3.明确微观粒子运动所满足的基本方程是薛定谔方程，其求解在定态问题中简化为定态薛定谔方程。
4.领会一维定态的求解方法以及一维定态的基本性质。
5.领会束缚态、一维散射态、波函数的连续性条件、反射系数、透射系数、完全透射、势垒贯穿、共振6.简明应用：定态薛定谔方程的求解、无限深方势阱、势、线性谐振子[本章教学难点]明确微观粒子运动所满足的基本方程是薛定谔方程，其求解在定态问题中简化为定态薛定谔方程。
掌握定态问题的求解方法，一维定态问题的一般性质。
2.1薛定谔方程的引进[本节要求]掌握一维势箱中粒子的薛定谔方程的求解方法及部分物理量的计算 [重点难点]1． 薛定谔方程的建立 2． 薛定谔方程的求解的过程 3． 物理量的计算 [本节内容]在经典力学中, 力学体系在t 时刻的状态由其坐标r 和相应的动量p 或速度v 决定, 其运动状态随时间的变化规律遵从牛顿运动方程. 如果我们知道力学体系的初始状态, 即可从牛顿方程求出体系在任一时刻的运动状态. 而微观粒子的量子态用波函数),(t r ψ描述,一旦),(t rψ确定,粒子的任何一个力学量的平均值以及它取各种可能测值的几率都完全确定, 那么量子态),(t rψ怎样随时间演化以及在各种具体情况下如何求出波函数呢? 薛定谔（E.Schrodinger,1926）提出的波动方程成功地解决了这个问题.下面从一个最简单的途径来引进这个方程.先讨论自由粒子情况.自由粒子能量与动量之间的关系是m p E 22=(1)由德布罗意关系,粒子的能量E 和动量p与跟粒子运动相联系的波的角频率ω和波矢k 之间有k p E==ω(2)也就是说,与具有一定能量E 和动量p 的粒子相联系的是平面单色波()()()()()Et r p i tr k i p ee t r -⋅-⋅==2/32/32121,ππψω (3)由此式可得ψψE t i =∂∂,ψψp i =∇-,ψψ222p =∇- (4)利用式(1),可以得出0)2()2(222=-=∇+∂∂ψψm p E m t i(5)对自由粒子的一般状态,波函数具有波包的形式,即许多平面单色波的叠加p d e p t r Et r p i 3)(23)()2(1),(-⋅⎰∞-∞+=ϕπψ (6)其中m p E 22=.可证 p d Ee p t i Et r p i 3)(23)()2(1-⋅⎰∞-∞+=∂∂ϕπψp d e p p Et r p i 3)(22322)()2(1-⋅⎰∞-∞+=∇-ϕπψ所以0)2)(()2(1)2(3)(22322=-∞-∞+=∇+∂∂-⋅⎰p d e m p E p m t i Et r p iϕπψ可见ψ仍满足方程(5) .所以式(5) 是自由粒子情况下波函数满足的方程.值得注意的是,如在经典能量动量关系(1)中作替换∇-=→∂∂→i p p ti E ˆ (7) 然后作用于波函数,就可得方程(5).其次考虑在势场)(r V中运动的粒子,按经典粒子的能量关系式 ()r V m p E+=22 (8)对上式作替换(7),并作用于波函数上,即得薛定谔方程),(ˆ),()(2),(22t r H t r r V m t r t i ψψψ≡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=∂∂ (9)应该强调,薛定谔方程是量子力学最基本的方程,其地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当,但这个方程是量子力学的一个基本假定,并不能从什么更根本的假定来证明它,其正确性,归根到底只能靠实践来检验. 另一方面, 薛定谔方程只含对时间的一阶导数, 为何可以描述波动过程呢? 在经典力学中, 波动方程022=∇-u a u tt 有周期性的解, 而热传导方程022=∇-u a u t 则描述不可逆过程, 没有周期性的解. 实际上,()t r k A u ω-⋅=cos 或()t r k A ω-⋅sin 都不满足热传导方程, 这是因为(以余弦函数为例)()()()πωωπωωωω+-⋅=-⋅-=∇⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅=-⋅=∂∂=t r k A k t r k A k u t r k A t r k A t u u tcos cos 23cos sin 222 (10)这样t u 使相位增加23π,u 2∇使相位增加π,可见周期函数不可能满足热传导方程. 薛定谔方程虽然只含对时间的一阶导数, 但在t ∂∂ψ前面出现2πi e i =,正好使两者相位一致, 因而有周期性的解, 而且薛定谔方程中i 因子的出现, 使得波函数一般是复函数. 关于薛定谔方程的两点讨论: 1.定域的几率守恒对薛定谔方程(9)取复共轭,并注意到V V =*,得*)2(22ψψV m t i +∇-=∂∂-* (11))11()9(⨯-⨯*ψψ,得*)*(2*)*(2)*(2222ψψψψψψψψψψ∇-∇⋅∇-=∇-∇-=∂∂m mt i (12)令),(),(*t r t rψψρ= (13)*)ˆˆ*(21*)*(2ψψψψψψψψp pm m i j -=∇-∇-= (14)则式(12) 化为0=⋅∇+∂∂j t ρ(15)在空间闭区域V 中对上式积分,并根据高斯（Gauss ）定理,得⎰⎰⋅-=S V s d j x d dt d 3ρ (16)上式左边代表在闭区域V 中找到粒子的总几率（或粒子数）在单位时间内的增加,而右边代表单位时间内通过封闭曲面S 而流入V 的几率（或粒子数）.所以j具有几率流密度的意义.在式(16)中,让∞→V（全空间）.对任何实际的波函数,是满足平方可积条件的,即∞→r 时,()εψ+-∝23r （0>ε）.可证明,式(16)右边面积分趋于零.所以),(32=∞-∞+⎰x d t r dt d ψ从此式可见=∞-∞+⎰x d t r 32),( ψ常数 (与时间无关) (17)这与预期的一样,在全空间找到粒子的几率的总和应不随时间改变.波函数的归一化不随时间而改变.若在初始时刻波函数是归一化的,则在以后任何时刻都是归一化的.2.定态与能量本征值方程讨论一种常见而且极重要的情形,即势场V(r)不显含t.此时,薛定谔方程存在下列形式的解)()(),(t f r t rψψ= (18)代入薛定谔方程,分离变数后,得E r r V m r dt df t f i =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=)()(2)(1)(122 ψψE 是既不依赖于t,也不依赖于r的常数,这样E i t f dt d -=)(ln所以iEt e t f -~)(.因此,得到形如下式的特解Etie r t r -=)(),(ψψ (19)其中)(rψ满足下列方程 ())()()(2ˆ22r E r r V m r H ψψψ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-≡ (20)此式称为不含时间的薛定谔方程.形如(19)的波函数描述一个简谐振动,它的角频率是E =ω,按德布罗意关系,E 就是体系处于这个波函数所描述的状态时的能量.如果粒子初始时刻(t=0) 处于某一能量本征态()()r r Eψψ=0,,其中()r E ψ满足方程(20),若()r V 或Hˆ不显含时间t,容易验证()()()iEt r t r E -=exp ,ψψ满足含时薛定谔方程(9) ,并与初始时刻一样,()t r ,ψ也满足不含时薛定谔方程(20).也就是说,体系处于形如式(19)所描述的状态时,能量具有确定值.我们把这种具有确定能量值的状态称为定态,方程(20) 称为定态薛定谔方程.容易证明,粒子处于定态时,粒子在空间的几率密度()rρ、几率流密度()r j及任何不显含时间t 的力学量的平均值都不随时间而改变.数学上,把一个算符F ˆ作用于一个函数上而得到一个常数f 乘以该函数的方程,称为f 或算符F ˆ的本征方程,常数f 称为算符F ˆ的本征值.因此,定态薛定谔方程也称为能量或哈密顿算符H ˆ的本征值方程.设ψn 是体系哈密顿算符H ˆ的属于本征值E n 的本征函数,则体系的定态波函数为()()t iE n n ne r t r -=ψψ, (21)它也是含时薛定谔方程(9) 的特解,而含时薛定谔方程(9) 的一般解可表示为()()()t iE n n nn n n ne r c t r c t r -∑∑==ψψψ,, (22)它是若干定态波函数的叠加,按态叠加原理,当体系处于()t r , ψ态时,发现粒子处于()t r n ,ψ的几率为2nc .既然体系处于()t r ,ψ态时,其能量可以取各种不同的值,所以波函数(22) 不是定态波函数.在这种态下,粒子的几率密度()rρ和几率流密度()r j 都要随时间改变.除守恒量外,任何不显含时间t 的力学量的平均值也要随时间改变. 思考题1. 设()()()r c r c r E E 21210,ψ+ψ=ψ,问()0,r ψ是否为定态, 为什么? 求()t r , ψ. 答: ()0,r ψ不是定态.()()()t E iE t E iE e r c e r c t r 221121, ψ+ψ=ψ-.2. 计算r e ikr =ψ1和e ikr-=ψ2相应的几率流密度, 并由所得结果说明这两个波函数描述的是怎样传播的波.答:re r v mr k j 221==, 描述向外传播的球面波; r e r v j22-=, 描述向内传播的球面波.3. 粒子在一维势场中运动, 若所处的外场均匀但与时间有关, 即()()t V t x V =,,试用分离变量法求解一维薛定谔方程.答:()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+λ-μλ±⎰=ψt ds s V t i x ieAe t x 02,, 其中A 和λ为常数, 由归一化条件和初始条件确定.2.2 波函数的统计诠释[本节要求]认识微观粒子的运动用一个波函数来描述（量子力学的第一个基本假定）和粒子的可观测力学量之间的关系；波函数的平方给出了位置的测量结果；明确波函数的意义。
