2010年数学中考压轴题精选一

2010年中考数学压轴题【001】如图，已知抛物线2(1)33y a x =-+（a ≠0）经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．xyMCDPQOAB【002】如图16，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由； （4）当DE 经过点C 时，请直接．．写出t 的值．AC BPQED图16【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E，①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值。

2010年中考数学压轴题100题精选（5160题）答案2010年中考数学压轴题100题精选（51-60题）【051】如图14（1），抛物线与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C（0，）．［图14（2）、图14（3）为解答备用图］（1），点A的坐标为，点B的坐标为；（2）设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在抛物线上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．图14（1）图14（2）图14（3）【052】已知二次函数（）的图象经过点，，，直线（）与轴交于点．（1）求二次函数的解析式；（2）在直线（）上有一点（点在第四象限），使得为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，求点坐标（用含的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出的值及四边形的面积；若不存在，请说明理由．yxO【053】如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线（）经过，，三点，其顶点为，连接，点是线段上一个动点（不与重合），过点作轴的垂线，垂足为，连接．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点的坐标；（2）如果点的坐标为，的面积为，求与的函数关系式，写出自变量的取值范围，并求出的最大值；12331DyCBAP2ExO（3）在（2）的条件下，当取得最大值时，过点作的垂线，垂足为，连接，把沿直线折叠，点的对应点为，请直接写出点坐标，并判断点是否在该抛物线上．【054】如图，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在y 轴正半轴上，点A、C的坐标分别为（0，1）、（2，4）．点P从点A出发，沿A→B→C以每秒1个单位的速度运动，到点C停止；点Q在x轴上，横坐标为点P的横、纵坐标之和．抛物线经过A、C两点．过点P作x轴的垂线，垂足为M，交抛物线于点R．设点P的运动时间为t（秒），△PQR的面积为S （平方单位）．（1）求抛物线对应的函数关系式．（2）分别求t=1和t=4时，点Q的坐标．（3）当0＜≤5时，求S与t之间的函数关系式，并直接写出S的最大值．【055】在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点，点，如图所示：抛物线经过点．（1）求点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点（点除外），使仍然是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点的坐标；若不存在，请说明理由．BACxy（0，2）（－1，0）（第25题）【056】如图18，抛物线F：的顶点为P，抛物线：与y轴交于点A，与直线OP交于点B．过点P作PD⊥x轴于点D，平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F′：，抛物线F′与x轴的另一个交点为C．⑴当a = 1，b=－2，c = 3时，求点C的坐标(直接写出答案)；⑵若a、b、c满足了①求b：b′的值；②探究四边形OABC的形状，并说明理由．图18【057】直线与坐标轴分别交于、两点，、的长分别是方程的两根（），动点从点出发，沿路线→→以每秒1个单位长度的速度运动，到达点时运动停止．（1）直接写出、两点的坐标；（2）设点的运动时间为(秒)，的面积为，求与之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；（3）当时，直接写出点的坐标，此时，在坐标轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【058】如图，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C．（1）求A、B、C三点的坐标．（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP 的面积．CPByA（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG 轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．【059】如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN 的上方作正方形AEFG．（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；(4分)（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由；(4（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．(5分)图（2）MBEACDFG NNMBE CDFG图（1）【060】已知：如图所示，关于的抛物线与轴交于点、点，与轴交于点．（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）在抛物线上有一点，使四边形为等腰梯形，写出点的坐标，并求出直线的解析式；BAOCyx（第26题图）（3）在（2）中的直线交抛物线的对称轴于点，抛物线上有一动点，轴上有一动点．是否存在以为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．2010年中考数学压轴题100题精选（51-60题）答案【051】解：（1），（-1，0），B（3，0）． (3)分（2）如图14（1），抛物线的顶点为M（1，-4），连结OM．则△AOC的面积= ，△MOC的面积= ，△MOB的面积=6，∴四边形ABMC的面积=△AOC的面积+△MOC的面积+△MOB的面积=9．···················································6分图14（2）说明：也可过点M作抛物线的对称轴，将四边形ABMC的面积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和．（3）如图14（2），设D（m，），连结OD．则0＜m＜3，＜0．且△AOC的面积= ，△DOC的面积= ，△DOB的面积=- （），∴四边形ABDC的面积=△AOC的面积+△DOC的面积+△DOB的面积= = ．图14（3）图14（4）∴存在点D ，使四边形ABDC的面积最大为．（4）有两种情况：如图14（3），过点B作BQ1⊥BC，交抛物线于点Q1、交y 轴于点E，连接Q1C．∵∠CBO=45°，∴∠EBO=45°，BO=OE=3．∴点E的坐标为（0，3）．∴直线BE的解析式为．····················12分由解得∴点Q1的坐标为（-2，5）．······13分如图14（4），过点C作CF⊥CB，交抛物线于点Q2、交x 轴于点F，连接BQ2．∵∠CBO=45°，∴∠CFB=45°，OF=OC=3．∴点F的坐标为（-3，0）．∴直线CF的解析式为．····················14分由解得∴点Q2的坐标为（1，-4）．综上，在抛物线上存在点Q1（-2，5）、Q2（1，-4），使△BCQ1、△BCQ2是以BC为直角边的直角三角形．yxOBADC(x=m)(F2)F1E1 (E2)【052】解：（1）根据题意，得解得．．（2分）（2）当时，得或，∵，当时，得，∴，∵点在第四象限，∴．······························（4分）当时，得，∴，∵点在第四象限，∴．···················································（6分）（3）假设抛物线上存在一点，使得四边形为平行四边形，则，点的横坐标为，当点的坐标为时，点的坐标为，∵点在抛物线的图象上，∴，∴，∴，∴（舍去），∴，∴．·······································································（9分）当点的坐标为时，点的坐标为，∵点在抛物线的图象上，∴，∴，∴，∴（舍去），，∴，∴．【053】解：（1）设，把代入，得， (2)分∴抛物线的解析式为：．顶点的坐标为．·························5分（2）设直线解析式为：（），把两点坐标代入，得解得．∴直线解析式为．·················7分，∴············9分．················································10分∴当时，取得最大值，最大值为．·················································11分(E)12331DyCBAP2xOFMH（3）当取得最大值，，，∴．∴四边形是矩形．作点关于直线的对称点，连接．法一：过作轴于，交轴于点．设，则．在中，由勾股定理，．解得．∵，∴．由，可得，．∴．∴坐标．·············································································13分法二：连接，交于点，分别过点作的垂线，垂足为．易证．(E)12331DyCBAP2xOFMHNM∴．设，则．∴，．由三角形中位线定理，．∴，即．∴坐标． (13)分把坐标代入抛物线解析式，不成立，所以不在抛物线上．··············14分【054】（1）由抛物线经过点A(0，1)，C(2，4)，得解得∴抛物线对应的函数关系式为：．·························（2分）（2）当时，P点坐标为(1，1)，∴Q点坐标为(2，0)．当时，P点坐标为(2，3)，∴Q点坐标为(5，0)．·······················（5分）（3）当≤2时，．S ．当≤5时，．S ．（8分）BADCOMNxyP1P2 当时，S的最大值为2．···················································（10分）【055】（1）过点作轴，垂足为，；又，，点的坐标为； (4)分（2）抛物线经过点，则得到， (5)分解得，所以抛物线的解析式为；····································7分（3）假设存在点，使得仍然是以为直角边的等腰直角三角形：若以点为直角顶点；则延长至点，使得，得到等腰直角三角形，·····················8分过点作轴，；，可求得点；·······11分若以点为直角顶点；则过点作，且使得，得到等腰直角三角形，···········12分过点作轴，同理可证；·····································13分，可求得点；·······································14分经检验，点与点都在抛物线上．······················16分【056】解：（1）C（3，0）；（2）①抛物线，令=0，则= ，∴A点坐标（0，c）．∵，∴，∴点P的坐标为（）．∵PD⊥轴于D，∴点D的坐标为（）．……………………………………5分根据题意，得a=a′，c= c′，∴抛物线F′的解析式为．又∵抛物线F′经过点D（），∴．……………6分∴．又∵，∴．∴b:b′= ．②由①得，抛物线F′为．令y=0，则．∴．∵点D的横坐标为∴点C的坐标为（）．设直线OP的解析式为．∵点P的坐标为（），∴，∴，∴．∵点B是抛物线F与直线OP的交点，∴．∴．∵点P的横坐标为，∴点B的横坐标为．把代入，得．∴点B的坐标为．∴BC∥OA，AB∥OC．（或BC∥OA，BC =OA），∴四边形OABC是平行四边形．又∵∠AOC=90°，∴四边形OABC是矩形．【057】(1)(2)∵，，∴当点在上运动时，，；当点在上运动时，作于点，有∵，∴∴（3）当时，，，此时，过各顶点作对边的平行线，与坐标轴无第二个交点，所以点不存在；当时，，，此时，、【058】解：（1）令，得解得，令，得ECB yPA∴A B C ·········3分（2）∵OA=OB=OC= ∴BAC= ACO= BCO=∵AP∥CB，∴PAB= ，过点P作PE 轴于E，则APE为等腰直角三角形令OE= ，则PE= ∴P∵点P在抛物线上∴解得，（不合题意，舍去）∴PE= ·······································4分∴四边形ACBP的面积= AB?OC+AB?PE= ·····················5分(3)．假设存在∵PAB= BAC = ∴PA AC∵MG 轴于点G，∴MGA= PAC =在Rt△AOC中，OA=OC= ∴AC= ，在Rt△PAE中，AE=PE= ∴AP= ··6分GM CB yPA设M点的横坐标为，则M①点M在轴左侧时，则(ⅰ) 当AMG PCA时，有= ∵AG= ，MG= 即解得（舍去）（舍去）………7分(ⅱ) 当MAG PCA时有= GM CB yPA即，解得：（舍去）∴M ···············································································8分②点M在轴右侧时，则(ⅰ) 当AMG PCA时有=∵AG= ，MG=∴解得（舍去）∴M(ⅱ) 当MAG PCA时有= 即解得：（舍去）∴M ∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似，M点的坐标为，，MBEACNDFG图（1）H 【059】解：（1）∵四边形ABCD 和四边形AEFG是正方形∴AB=AD，AE=AG，∠BAD＝∠EAG＝90o∴∠BAE＋∠EAD＝∠DAG＋∠EAD∴∠BAE＝∠DAG∴△BAE≌△DAG …………4分（2）∠FCN＝45o …………5分理由是：作FH⊥MN于H∵∠AEF＝∠ABE＝90o∴∠BAE +∠AEB＝90o，∠FEH+∠AEB＝90o∴∠FEH＝∠BAE 又∵AE=EF，∠EHF＝∠EBA ＝90o∴△EFH≌△ABE …………7分∴FH＝BE，EH＝AB＝BC，∴CH＝BE＝FH∵∠FHC＝90o，∴∠FCH＝45o …………8分MBEACNDFG图（2）H （3）当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，…………9分理由是：作FH⊥MN于H由已知可得∠EAG＝∠BAD＝∠AEF＝90o结合（1）（2）得∠FEH＝∠BAE＝∠DAG又∵G在射线CD上，∠GDA＝∠EHF＝∠EBA＝90o ∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE ……11分∴EH＝AD＝BC＝b，∴CH＝BE，∴＝＝∴在Rt△FEH中，tan∠FCN＝＝＝BAOCyx第26题图Q4Q3Q1Q2P3P1P2DCP4∴当点E由B向C运动时，∠FCN 的大小总保持不变，tan∠FCN＝【060】解：（1）根据题意，得，解得抛物线的解析式为，顶点坐标是（2，4）（2），设直线的解析式为直线经过点点（3）存在．，，，。

2010年中考数学压轴题100题精选（51-60题）答案【051】解：（1）3k =-，（-1，0），B （3，0）． ······················· 3分 （2）如图14（1），抛物线的顶点为M （1，-4），连结OM ．则 △AOC 的面积=23，△MOC 的面积=23，△MOB 的面积=6，∴ 四边形 ABMC 的面积=△AOC 的面积+△MOC 的面积+△MOB 的面积=9． ·································· 6分说明：也可过点M 作抛物线的对称轴，将四边形ABMC 的面积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和． （3）如图14（2），设D （m ，322--m m ），连结OD ． 则 0＜m ＜3，322--m m ＜0． 且 △AOC 的面积=23，△DOC 的面积=m 23， △DOB 的面积=-23（322--m m ）， ∴ 四边形 ABDC 的面积=△AOC 的面积+△DOC 的面积+△DOB 的面积=629232++-m m =875)23(232+--m ． ∴ 存在点D 315()24-，，使四边形ABDC 的面积最大为875．（4）有两种情况：如图14（3），过点B 作BQ 1⊥BC ，交抛物线于点Q 1、交y 轴于点E ，连接Q 1C ． ∵ ∠CBO =45°，∴∠EBO =45°，BO =OE =3． ∴ 点E 的坐标为（0，3）． ∴ 直线BE 的解析式为3y x =-+． ···························· 12分由2323y x y x x =-+⎧⎨=--⎩， 解得1125x y ，；2230.x y ，∴ 点Q 1的坐标为（-2，5）． ········· 13分如图14（4），过点C 作CF ⊥CB ，交抛物线于点Q 2、交x 轴于点F ，连接BQ 2．∵ ∠CBO =45°，∴∠CFB =45°，OF =OC =3． ∴ 点F 的坐标为（-3，0）．∴ 直线CF 的解析式为3y x =--．····························· 14分 由2323y x y x x =--⎧⎨=--⎩， 解得1103x y ，；2214x y ，．∴点Q 2的坐标为（1，-4）．综上，在抛物线上存在点Q 1（-2，5）、Q 2（1，-4）， 使△BCQ 1、△BCQ 2是以BC 为直角边的直角三角形．【052】解：（1）根据题意，得04202.a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，，图14（2）图14（3） 图14（4）yxOBA DE 1 (E 2)解得132a b c =-==-，，．232y x x ∴=-+-．（2分） （2）当EDB AOC △∽△时，得AO CO ED BD =或AO COBD ED=， ∵122AO CO BD m ===-，，，当AO CO ED BD =时，得122ED m =-， ∴22m ED -=，∵点E 在第四象限，∴122m E m -⎛⎫⎪⎝⎭，． ··········································· （4分） 当AO CO BD ED =时，得122m ED=-，∴24ED m =-， ∵点E 在第四象限，∴2(42)E m m -，． ········································································· （6分）（3）假设抛物线上存在一点F ，使得四边形ABEF 为平行四边形，则 1EF AB ==，点F 的横坐标为1m -， 当点1E 的坐标为22m m -⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，点1F 的坐标为212m m -⎛⎫- ⎪⎝⎭，，∵点1F 在抛物线的图象上，∴22(1)3(1)22mm m -=--+--，∴2211140m m -+=， ∴(27)(2)0m m --=，∴722m m ==，（舍去），∴15324F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，， ∴33144ABEFS=⨯=． ····································································································· （9分） 当点2E 的坐标为(42)m m -，时，点2F 的坐标为(142)m m --，， ∵点2F 在抛物线的图象上，∴242(1)3(1)2m m m -=--+--，∴27100m m -+=，∴(2)(5)0m m --=，∴2m =（舍去），5m =，∴2(46)F -，，∴166ABEFS =⨯=．【053】解：（1）设(1)(3)y a x x =+-，把(03)C ，代入，得1a =-， ······························ 2分∴抛物线的解析式为：223y x x =-++．顶点D 的坐标为(14)，． ··································· 5分 （2）设直线BD 解析式为：y kx b =+（0k ≠），把B D 、两点坐标代入，得304.k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得26k b =-=，．∴直线AD 解析式为26y x =-+． ························· 7分2111(26)3222s PE OE xy x x x x ===-+=-+，∴23(13)s x x x =-+<< ·················· 9分 22993934424s x x x ⎛⎫⎛⎫=--++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ····································································· 10分∴当32x =时，s 取得最大值，最大值为94． ······································································ 11分 （3）当s 取得最大值，32x =，3y =，∴332P ⎛⎫⎪⎝⎭，．∴四边形PEOF 是矩形． 作点P 关于直线EF 的对称点P '，连接P E P F ''、． 法一：过P '作P H y '⊥轴于H ，P F '交y 轴于点M设MC m =，则332MF m P M m P E ''==-=，，．在Rt P MC '△中，由勾股定理，223(3)2m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭解得158m =．∵CM P H P M PE '''=，∴910P H '=． 由EHP EP M ''△∽△，可得EH EP EP EM '='，65EH =．∴69355OH =-=． ∴P '坐标99105⎛⎫-⎪⎝⎭，． ·············································································································· 13分 法二：连接PP '，交CF 于点H ，分别过点H P '、作PC 的垂线，垂足为M N 、． 易证CMH HMP △∽△．∴12CM MH MH PM ==． 设CM k =，则24MH k PM k ==，．∴5PC =由三角形中位线定理，12845PN k P N k '====，∴12395210CN PN PC =-=-=，即910x =-． 69355y PF P N '=-=-=∴P '坐标99105⎛⎫- ⎪⎝⎭，． ··把P '坐标99105⎛⎫-⎪⎝⎭，代入抛物线解析式，不成立，所以P '不在抛物线上． ····················· 14分 【054】（1）由抛物线经过点A (0，1)，C (2，4)，得21,122 4.4c b c =⎧⎪⎨-⨯++=⎪⎩解得2,1.b c =⎧⎨=⎩ ∴抛物线对应的函数关系式为：21214y x x =-++． ··································· （2分）（2）当1t =时，P 点坐标为(1，1)，∴Q 点坐标为(2，0)． 当4t =时，P 点坐标为(2，3)，∴Q 点坐标为(5，0)． ································ （5分）（3）当0t <≤2时，211(211)124S t t =-++-⨯．S 218t t =-+．当2t <≤5时，1(5)(2212)2S t t =-+-+-．S 215322t t =-+-． （8分）当3t =时，S 的最大值为2． ································【055】（1）过点B 作BD x ⊥轴，垂足为D ， 9090BCD ACO ACO CAO ∠+∠=∠+∠=°，°BCD CAO ∴∠=∠；又90BDC COA CB AC ∠=∠==°；， BCD CAO ∴△≌△，12BD OC CD OA ∴====，∴点B 的坐标为(31)-，； ·················································· 4（2）抛物线22y ax ax =+-经过点(31)B -，，则得到1932a a =--， ··························· 5分 解得12a =，所以抛物线的解析式为211222y x x =+-； ···················································· 7分 （3）假设存在点P ，使得ACP △仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形：①若以点C 为直角顶点；则延长BC 至点1P ，使得1PC BC =，得到等腰直角三角形1ACP △， ······························ 8分 过点1P 作1PM x ⊥轴，11190CP BC MCP BCD PMC BDC =∠=∠∠=∠=，，°； 1MPC DBC ∴△≌△121CM CD PM BD ∴====，，可求得点1P (1，-1)； ·········· 11分 ②若以点A 为直角顶点；则过点A 作2AP CA ⊥，且使得2AP AC =，得到等腰直角三角形2ACP △， ················ 12分 过点2P 作2P N y ⊥轴，同理可证2AP N CAO △≌△； ····················································· 13分221NP OA AN OC ∴====，，可求得点2(21)P ，； ······················································· 14分 经检验，点1(11)P -，与点2(21)P ，都在抛物线211222y x x =+-上． ································ 16分 【056】解：（1） C （3，0）；（2）①抛物线c bx ax y ++=2，令x =0，则y =c ， ∴A 点坐标（0，c ）．∵ac b 22=，∴ 242424442c a ac a ac ac a b ac ==-=-，∴点P 的坐标为（2,2ca b -）． ∵PD ⊥x 轴于D ，∴点D 的坐标为（0,2ab-）． ……………………………………5分 根据题意，得a=a ′，c= c ′，∴抛物线F ′的解析式为c x b ax y ++='2．又∵抛物线F ′经过点D （0,2a b-），∴c a b b ab a +-+⨯=)2('4022．……………6分 ∴ac bb b 4'202+-=．又∵ac b 22=，∴'2302bb b -=．∴b :b ′=32． ②由①得，抛物线F ′为c bx ax y ++=232． 令y=0，则0232=++c bx ax ． ∴abx a b x -=-=21,2．∵点D 的横坐标为,2a b -∴点C 的坐标为（0,ab-）． 设直线OP 的解析式为kx y =．∵点P 的坐标为（2,2ca b -）， ∴k a b c 22-=，∴22222b b b b ac b ac k -=-=-=-=，∴x by 2-=． ∵点B 是抛物线F 与直线OP 的交点，∴x b c bx ax 22-=++．∴abx a b x -=-=21,2．∵点P 的横坐标为a b 2-，∴点B 的横坐标为ab-．把a b x -=代入x by 2-=，得c a ac a b a b b y ===--=222)(22．∴点B 的坐标为),(c ab-．∴BC ∥OA ，AB ∥OC ．（或BC ∥OA ，BC =OA ），∴四边形OABC 是平行四边形．又∵∠AOC =90°，∴四边形OABC 【057】(1) )6,0(),0,8(B A(2)∵8=OA ，6=OB ，∴AB 当点P 在OB 上运动时，t OP =1t t OP OA S 4821211=⨯⨯=⨯=； 当点P 在BA 上运动时，作D P ⊥2有AB AP BO D P 22=∵t AP -+=1062∴51925125348821212+-=-⨯⨯=⨯⨯=t t D P OA S （3）当124=t 时，3=t ，)3,0(1P ，此时，过AOP ∆各顶点作对边的平行线，与坐标轴无第二个交点，所以点M 不存在； 当125192512=+-t 时，11=t ，)3,4(2P ，此时，)3,0(1M 、)6,0(2-M 【058】解：（1）令0y =，得210x -= 解得1x =±，令0x =，得1y =-∴ A (1,0)- B (1,0) C (0,1)- ·············（2）∵O A =O B =O C =1 ∴∠BAC =∠AC O=∠BC O=45 ∵A P ∥CB ，∴∠P AB =45，过点P 作P E ⊥x 轴于E ， 则∆A P E 为等腰直角三角形令O E =a ，则P E =1a + ∴P (,1)a a +∵点P 在抛物线21y x =-上 ∴211a a +=-解得12a =，21a =-（不合题意，舍去） ∴P E =3 · 4分 ∴四边形ACB P 的面积S =12AB •O C +12AB •P E =112123422⨯⨯+⨯⨯= ································ 5分 (3)． 假设存在∵∠P AB =∠BAC =45 ∴P A ⊥AC∵MG ⊥x 轴于点G ， ∴∠MG A =∠P AC =90在Rt △A O C 中，O A =O C =1 ∴AC ，在Rt △P AE 中，AE =P E =3 ∴A P= ······· 6分设M 点的横坐标为m ，则M 2(,1)m m - ①点M 在y 轴左侧时，则1m <- (ⅰ) 当∆A MG ∽∆P CA 时，有AG PA =MGCA∵A G=1m --MG=21m -2= 解得11m =-（舍去） 223m =（舍去）………7分 (ⅱ) 当∆M A G ∽∆P CA 时有AG CA =MGPA即 2=，解得：1m =-（舍去） 22m =-∴M (2,3)- ························································ 8分② 点M 在y 轴右侧时，则1m >(ⅰ) 当∆A MG ∽∆P CA 时有AG PA =MGCA∵A G=1m +，MG=21m -∴2= 解得11m =-（舍去） 243m = ∴M 47(,)39(ⅱ) 当∆M A G ∽∆P CA 时有AG CA =MGPA 即2=解得：11m =-（舍去） 24m = ∴M (4,15) ∴存在点M ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与∆P CA 相似，M 点的坐标为(2,3)-，47(,)39，(4,15)【059】解：（1）∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形 ∴AB =AD ，AE =AG ，∠BAD ＝∠EAG ＝90º∴∠BAE ＋∠EAD ＝∠DAG ＋∠EAD ∴∠BAE ＝∠DAG∴△ BAE ≌△DAG …………4分（2）∠FCN ＝45º …………5分 理由是：作FH ⊥MN 于H∵∠AEF ＝∠ABE ＝90º∴∠BAE +∠AEB ＝90º，∠FEH +∠AEB ＝90º∴∠FEH ＝∠BAE 又∵AE =EF ，∠EHF ＝∠EBA ＝90º∴△EFH ≌△ABE …………7分 ∴FH ＝BE ，EH ＝AB ＝BC ，∴CH ＝BE ＝FH∵∠FHC ＝90º，∴∠FCH ＝45º …………8分（3）当点E 由B 向C 运动时，∠FCN的大小总保持不变，…………9分理由是：作FH ⊥MN 于H由已知可得∠EAG ＝∠BAD ＝∠AEF ＝90º 结合（1）（2）得∠FEH ＝∠BAE ＝∠DAG又∵G 在射线CD 上，∠GDA ＝∠EHF ＝∠EBA ＝90º ∴△EFH ≌△GAD ，△EFH ∽△ABE ……11分 ∴EH ＝AD ＝BC ＝b ，∴CH ＝BE ，∴EH AB ＝FH BE ＝FHCH∴在Rt △FEH 中，tan ∠FCN ＝FH CH ＝EH AB ＝b a∴当点E 由B 向C 运动时，∠FCN ＝ba【060】解：（1）根据题意，得 4203660a c a c -+=⎧⎨++=⎩，解得143a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线的解析式为2134y x x =-++，顶点坐标是（2，4） （2）(43)D ，，设直线AD 的解析式为(0)y kx b k =+≠ 直线经过点(20)A -，、点(43)D ，2043k b k b -+=⎧∴⎨+=⎩121k b ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩ 112y x ∴=+（3）存在．120)Q ，，2(2)Q -，0，3(6Q -，4(6Q +M B E AC ND F G 图（2） HM B E A C ND F G图（1）H第26题图。

2010年各地中考压轴题精选1（北京）问题：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA。

探究∠DBC与∠ABC度数的比值。

请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。

(1) 当∠BAC=90︒时，依问题中的条件补全右图。

观察图形，AB与AC的数量关系为；可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为；(2) 当∠BAC≠90︒时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。

2（盐城）已知：函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点．（1）求这个函数关系式；（2）如图所示，设二次．．函数y=ax2+x+1图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；（3）在(2)中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物线y=ax2+x+1上，若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由．3.（广州）如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线y ＝－12x ＋b 交折线OAB 于点E ．（1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形OA 1B 1C 1，试探究OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.4.（南平）如图1，已知点B （1，3）、C （1，0），直线y=x +k 经过点B ，且与x 轴交于点A ，将△ABC 沿直线AB 折叠得到△ABD. （1）填空：A 点坐标为（____，____），D 点坐标为（____，____）； （2）若抛物线y= 13x 2+b x +c 经过C 、D 两点，求抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线沿y 轴向上平移，设平移后所得抛物线与y 轴交点为E ，点M 是平移后的抛物线与直线AB 的公共点，在抛物线平移过程中是否存在某一位置使得直线EM ∥x 轴.若存在，此时抛物线向上平移了几个单位？若不存在，请说明理由.（提示：抛物线y=ax 2+b x +c(a ≠0)的对称轴是x =－b 2a ，顶点坐标是（－b 2a ，4a c －b24a）.图1备用图5（大连）如图17，抛物线F ：2(0)y ax bx c a =++>与y 轴相交于点C ，直线1L 经过点C 且平行于x 轴，将1L 向上平移t 个单位得到直线2L ，设1L 与抛物线F 的交点为C 、D ，2L 与抛物线F 的交点为A 、B ，连接AC 、BC （1）当12a =，32b =-，1c =，2t =时，探究△ABC 的形状，并说明理由； （2）若△ABC 为直角三角形，求t 的值（用含a 的式子表示）；（3）在（2）的条件下，若点A 关于y 轴的对称点A ’恰好在抛物线F 的对称轴上，连接A ’C ，BD ，求四边形A ’CDB 的面积（用含a 的式子表示）6.（宿迁）已知抛物线c bx x y ++=2交x 轴于)0,1(A 、)0,3(B ，交y轴于点C ，其顶点为D ．（1）求b 、c 的值并写出抛物线的对称轴； （2）连接BC ，过点O 作直线BC OE ⊥交抛物线的对称轴于点E ．求证：四边形ODBE 是等腰梯形；（3）问Q 抛物线上是否存在点Q ，使得△OBQ的面积等于四边形ODBE 的面积的31？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（第28题）（第28题2）7.（烟台）如图，已知抛物线y=x2+bx-3a过点A（1,0），B(0,-3),与x轴交于另一点C。

2010年全国各地中考数学压轴题专辑参考答案及评分标准（一）1 •解：(1)V 抛物线 y = — m Jx2 + 5m x + m 2-3m + 2 经过原点4 4m 2 — 3m + 2= 0，解得 m i = 1, m 2= 2 由题意知m 1M 1,.・.m = 2 •••抛物线的解析式为 y = — 1 x 2+ 5 x 4 2•.•点 B (2, n )在抛物线 y = — 1 x 2+ 5 x 上，• n = 4 4 2 •••点B 的坐标为(2, 4).......................... 2分(2)①设直线0B 的解析式为y = k 1x 求得直线OB 的解析式为y = 2x •/ A 点是抛物线与x 轴的一个交点，可求得 A 点的坐标为（10, 0） 设P 点的坐标为（a , 0）,则E 点的坐标为（a , 2a ） 根据题意作等腰直角三角形PCD ，如图1可求得点C 的坐标为（3a , 2a ）由C 点在抛物线上，得 2a = — 1 x （3a ）2+ - x 3a4 2 92 11 22即—a — — a = 0，解得 a 1 = — , a 2= 0 （舍去） ②依题意作等腰直角三角形 QMN 设直线AB 的解析式为y = k 2x + b1由点A （10, 0）,点B （2, 4），求得直线 AB 的解析式为y = — - x + 52 当P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上, 有以下三种情况：第一种情况：CD 与NQ 在同一条直线上，如图 2所示 可证△ DPQ 为等腰直角三角形此时OP 、DP 、AQ 的长可依次表示为 t 、4t 、2t 个单位 • PQ = DP = 4t , • t + 4t + 2t = 10• t =卫7第二种情况：PC 与MN 在同一条直线上，如图 3所示 可证△ PQM 为等腰直角三角形42—22• OP = 2 .......................................................................... 4 分— y J ')MN1AQx1 P图3此时OP 、AQ 的长可依次表示为t 、2t 个单位 ••• OQ = 10-2t•/ F 点在直线 AB 上，• FQ = t ,• MQ = 2t • - PQ = MQ = CQ = 2t , • t + 2t + 2t = 10 • t = 2第三种情况：点 P 、Q 重合时，PD 与QM 在同一条直线上, 如图4 所示 此时OP 、AQ 的长可依次表示为t 、2t 个单位 • t + 2t = 10 • t =巴3综上，符合题意的t 值分别为, 2, 1° ........................................ 7 3 2•解： （I ）如图1，作点D 关于x 轴的对称点D ，连接CD 与x 轴交于点E ,连接DE若在边OA 上任取点E'（与点E 不重合），连接 CE'、DE'、D E（n ）如图2,作点D 关于x 轴的对称点 D ；在CB 边上截取 CG = 2，连接D G 与x 轴交于点E ,在EA 上截取EF = 2，则四边形GEFC 为平行四边形，得 GE = C y•抛物线顶点E 的坐标为（1 , 4）由 DE + CE '= D E + CE '> CD ' = D E + CE = DE + CE 可知△ CDE 的周长最小•••在矩形OACB 中, OA = 3, OB = 4, D 为边OB 的中点 • BC = 3, D O = DO = 2, D B = 6T OE // BC ,「. Rt △ D OE s Rt △ D BC , OE BC• OE =• BC = - x 3 = 1D B6•点E 的坐标为(1, 0) ............................................. 6分yJBC/ // D K //is/ :uO /E 隹'A x* 声D图1又DC 、EF 的长为定值，•此时得到的点 E 、F 使四边形CDEF 的周长最小 OE // BC ,「. Rt △ D OE s Rt △ D BG ,OE BGOE = DO • BG =D O •2 1 (BC — CG) = x 1 =-D B D B 6 3OF = OE + EF = -+ 2 = 73 3点E 的坐标为（ -,0) ，点F 的坐标为（-,0） .......... (10)分3 3C(H)将(I)中的抛物线向下平移，则顶点E在对称轴x= 1上，又b = 2•••抛物线的解析式为y=—x2+ 2x + c (a>0)•••此时抛物线与y轴的交点为C (0, c),顶点为E (1,1 + c)•••方程—X2+ 2X+ C= 0 的两个根为X1= 1—一1 C , X2 = 1+ 1 c•此时抛物线与x轴的交点为A (1 —1 c , 0), B (1 + , 1 c , 0)如图，过点E作EF // CB与x轴交于点F，连接CF，贝U S^BCE = S^BCFS^BCE = S^ABC, • S^ BCF = S^ABCBF = AB= 2 1 c设对称轴x= 1与x轴交于点D ,1 ,______________则DF = - AB + BF = 3 1 c2由EF // CB 得/ EFD = / CBO • Rt △EDF s Rt △COB,.史=C° DF OB即3.1 ——c，结合题意，解得1 1 c5c=—4•••点C设直线(0,BC的解析式为y= mx + n,贝U 5 =n 4c 5 ,0 = m+ n2 解得1m =25n =-1 5y= —一x+ ..........................2 4(川)根据题意，设抛物线的顶点为 E (h, k),( h>0, k>0)则抛物线的解析式为y= —(x—h)2+ k 此时抛物线与y轴的交点为C (0, —h2+ k),与x轴的交点为 A (h—k , 0), B ( h+ ... k , 0).( ,k >h>0)•直线BC的解析式为过点E作EF // CB与x轴交于点F，连接CF，贝U S^BCE = S MCFS^BCE = 29AOC,• S^BCF = 2S S OC• BF = 2AO = 2( ■. k —h)设该抛物线的对称轴与x轴交于点D,则DF = ^AB + BF = 3 k —2h2由Rt△ EDF s Rt△ COB，得■E D =DF OBh2 k h k ,即2h2—5、k h+ 2k= 0x结合题意，解得h =2①•••点 E ( h , k )在直线 y =— 4x + 3上， k = — 4h + 3②由①②，并结合题意，解得 ,k = 1.k = 1，h =丄2.抛物线的解析式为 y =— x 2+ x + 3 .................................................................................... 10分44.解：（1）vZ B = 30° / ACB = 90° BAC = 60°T AD = AE ，./ AED = 60°=/ CEP •••/ EPC = 30°................................................................................................................... 1 分•••△ BDP 为等腰三角形•/△ AEPBDP , •/ EAP = / EPA = / DBP = / DPB = 30° AE = EP = 1•// ACB = 90° ADQ ABC.AD = AQ AB = AC 'x 2 2x 8 ..DQ = AD BC = AB ' • tan / BPD =匹=-=丄 ........................... 9 分CP 4 2 (3)如图3，过D 点作DQ 丄AC 于点0,则厶DQE PCE•••在 RT △ ECP 中, (2)如图2，过点 1 1EC =丄 EP = 1 ........... 2 2 D 作DQ 丄AC 于点Q , 且设AQ = a , BD = x •/ AE = 1 , EC = 2, • QC = 3 — a •••在 RT △ ADQ中，DQ = , AD 2 — AQ 2 x 2 2x 8x 1解得x = 4,即卩BD = 4过点 C 作 CF//DP ，则△ ADE AFCAE ACADAF• AF = AC ，即 DF = EC = 2BF = DF = 2•/△ BFCBDP , BF BDBC BP即 BC = CP = 46分设 AQ = a ,贝V QE = 1 — a...Q E = DQ 且 tan / BPD = - , DQ = 3( 1 — a)EC CP 3在Rt △ ADQ 中，由勾股定理得： AD 2= AQ 2+ DQ 2即 12= a 2+ [3(1 — a)] 2,解得 a = 1 (舍去)或 a = — , . DQ = — .............. 10 分5 54•/△ ADQABC ，二 AD = DH =竺=—^ =——AB BC AC 1 x 5 5x...AB = 5 5x , BC = 3 3x ......................................................................................................... 12 分•/ OC = AC ，/ ACO = 120° •/AOC = / OAC = 30° •/ OC = AC , CD 丄 OA ,. OD = DA = 1在 Rt △ ODC 中，OC = 一OD 一 = 一1一 =兰迢 .............. 1 分 cos AOC cos 30 32(i)当 0 V t v 时，OQ = t , AP = 3t , OP = 2— 3t31过点Q 作QE 丄OA 于点E ,贝U EQ = 1 t2••• OPQ = 1 OP • EQ = 1 (2— 3t) • 1 t = — - t 2+ 丄 t2 2 2 4 2即 S = — 3t 2+ ^t ........................................................................ 3 分4 2(ii)当 2 v t < ◎时，如图②，OQ = t , OP = 3t —233•// BOA = 60° / AOC = 30° •/ POQ = 90° 1 1 3 2• S ^OPQ = OQ • OP = -1 • (3t — 2) = t — t2 2 2即 S = 3t 2—t2故当0v t v - 时,S =— 3t 2+丄仁当 2 — 2.3 时，S = -12— t 3 4 2 3 3 2(2) D (三 ,1）或（空,0 ）或 2 (—,0)或( 4 2 3 /3 3 3 3 3(3) BMN 的周长不发生变化如图③，延长 BA 至点F ，使AF = OM ,连结CF•// MOC = / FAC = 90° OC = AC ,.A MOC FAC4 4•••三角形 ABC 的周长 y = AB + BC + AC =+ 丄仝 + 1 + x = 3 + 3x 44即 y = 3+ 3 (x >0) ............................................................. 14 分5.解：（1）如图①，过点C 作CD 丄E O图①A x•该抛物线的解析式为y =丄x 2 — - x — 6164在 Rt △ AOC 中，AC = . 82 + 62 = 10 = AD •点D 在对称轴上，连结 DQ ,显然Z PDC = Z QDC 由已知Z PDC = Z ACD• Z QDC = Z ACD , • DQ // ACDB = AB — AD = 20— 10= 10 1• DQ ABC 的中位线，• DQ = 1 AC = 5 ............................................................................... •分2 AP = AD — PD = AD — DQ = 10— 5= 5, • t = 5— 1 = 5 (秒)•存在t = 5秒时，线段 PQ 被直线CD 垂直平分 .................................... •分 在 Rt △ BOC 中，BC = - 122 + 62 = 6、、5 , • CQ = 3.5••• MC = CF ，/ MCO = / FCA ....................... ••• FCN = / FCA + / NCA = / MCO + / NCA10分 =/ OCA - Z MCN = 60° • FCN = Z MCN又••• MC = CF , CN = CNMCN ◎△ FCN• MN = NF ......................................................................................................................... 11 分 • BM + MN + BN = BM + NF + BN = BO — OM + BA + AF = BA + BO = 4• BMN 的周长不变，其周长为 412分6•解：（1）方法2•••抛物线过 C (0, — 6) ,• c = — 6，即 y = ax + bx — 62a144a +12b — 6 = 0解得 a = — , b =——16 416•该抛物线的解析式为1y = — (x + 8)( x — 12) 16方法二：••• A 、B 关于 x = 2 对称，• A ( — 8, 0) 设y = a(x + 8)( x — 12) , v C ( 0, — 6)在抛物线上1 • — 6= a(0+ 8)( 0 —12), • a =(2)存在，设直线 CD 垂直平分PQ3分4分•点Q的运动速度为每秒？亦单位长度............................................ •分5(3)存在过点Q作QH丄x轴于H，则QH = 3, PH = 9在Rt△ PQH 中，PQ = V92+ 32= ^'10 .............................................................................. •分①当MP = MQ ，即M 为顶点时设直线CD 的解析式为y = kx + m (k z 0)则:-6 = mk = 3 0 = 2k + m解得• y = 3x -6m = - 6当 x = 1 时，y = -3,••• M i (1, -3)......................................... 10 分② 当PQ 为等腰△ MPQ 的腰且P 为顶点时 设直线x = 1上存在点M (1,y )，由勾股定理得： 42 + y 2= (3、、10)2,.，. y = ± ,74 • M 2 (1 , v'74 ), M 3 (1, - V?4 )......................................... 11 分③ 当PQ 为等腰△ MPQ 的腰且Q 为顶点时过点Q 作QE 丄y 轴于E ,交直线x = 1于F ，则F ( 1, -3) 设直线x = 1上存在点M (1,y )，由勾股定理得：52 + ( y + 3)2= (3J0)2,： y =- 3 ± ,65 •- M 4 (1 , - 3+ \65 ), M 5 ( 1, -3- .65 ).................................. 12 分综上所述，存在点 M ，使△ MPQ 为等腰三角形，点 M 的坐标为：M 1 (1 , - 3), M 2 (1，-. 74 ), M 3 ( 1, - ： 74 ), M 4 (1 , - 3+ .65 ), M 5 (1, - 3 -.65 )7•解：2(1) 把 A ( - 1, 0), B (1, 0)代入 y = ax + bx + 1 得：a -b + 1 = 0 a = - 1解得a +b + 1 = 0b = 0• ............................................................................................................................... •抛物线的解析式为 y = - x + 1 ............................................................................................... •分 (2) .................................................................................................................................... 令 x = 0,得 y — 1 ,• C (0, 1) ................................................... •分OA — OB — OC — 1，•/ BAC — / ACO — / BCO — / ABC — 45° •/ BD // CA ，•/ ABD — / BAC — 45°如图1,过点D 作DE 丄x 轴于丘，则厶EDB 为等腰直角三角形 设 EO — x ,贝U ED — x + 1,. D ( -x , - x -1) •••点 D 在抛物线 y =- x 2 + 1 上，• - x - 1=-( - x)2+ 1 解得X 1= 2, X 2 =- 1 (不合题意，舍去)也可)1 1• S 四边形 ACBD — AB - OC + 一 AB - ED2 21 1= J.x 2 x 1 + x 2x 3 22=4 ....................................................................................................... •分（说明：也可直接求直角梯形ACBD的面积为4）（3）存在.................................................................. 8分•••/ ABC = / ABD = 45°,DBC = 90°•/ MN 丄x 轴，•••/ MNA = Z DBC = 90°BC = OB2+ OC2= 2 , BD = .. ED2+ EB2= 3、. 2 设M点的横坐标为m,则M （m, - m2+ 1）①当点M在y轴左侧时，如图2,则m< - 1i ）若厶NMA BCD，则MNNA BC BD即m - 1= _2，整理得3m2+ m-2 = 0—m —1 3,2解得m1 = —1 （舍去），m2=—（舍去）3.............................................................. 9分ii ）若厶NAM BCD，则■MN= BD NA BCm2- 1 3j2—m —1 . 2整理得m2+ 3m+ 2 = 0解得m1= - 1 （舍去），m2= -2- m2+ 1 = - （-2）2+ 1= - 3•- M1 （-2, - 3）10分②当点M在y轴右侧时，如图2,则m> 1i ）若厶NMA BCD，则■MN=匹AN BD即必1= _2，整理得3m2- m- 4= 0m + 1 3・2解得m1= - 1 （舍去），m2=-3•—m2+ 1 = —（—）2+ 1 =——3 94 7•M 2 （—,—-）.........................3 9i ）若NAM BCD，则MNAN BD BCm2-1 m+ 13、-2=2，整理得m2- 3m-4 = 0解得m i= —1 (舍去)，m2 = 4 /• —m2+ 1 = —42+ 1 = —15• M3 （4, —15）•存在点M,使以A、M、N为顶点的三角形与△ BCD相似，M点的坐标分别为： 4 7M1 (—2, —3), M2(_,—_), M3 (4, —15) (12)分3 9&解：（1）：抛物线y= 1x2+ bx+ c 经过点 A ( 2, 0), C (0, —1) 2.2+ 2b + c= 0c = —1解得：b =—丄,2c= —1 .................................................................................... (2)分•抛物线的解析式为1 2 1 ‘y= x —x—1 ............................................................ (3)分2 2(2)设点D 的坐标为(m, 0)( 0v m v 2)，贝U OD = m, AD = 2 —m由厶ADEAOC得，竺=匹......................................................... •分AO OC...2 m = DE_2 = 1••• DE = .................................................................................................................... 5分2DCE 的面积=—x 2——m x m =—丄m2+ 1 m = —— ( m—1) 2+ —2 2 4 2 4 4当m= 1时，△ DCE的面积最大•••点D的坐标为（1, 0）(3)存在12 1 12 1在y= x —x—1 中，令y = 0,得—x —x—1= 02 2 2 2解得X1= —1 , x2= 2，•点B的坐标为（—1 , 0）设直线BC的解析式为y= kx+ b一k + b = 0则 b =—1 解得k=—1, b=- 1•直线BC的解析式为y=—x—1AC = 、、OA2+ OC2= 5在Rt△ AOC中，由勾股定理得:•••点B ( —1, 0),点C (0, ①当以C为顶点且PC = AC = —1),. OB = OC / BCO = 45.5时，如图1ACHP1OB Oj y9/图1设P (n , -n - 1)，过点P 作PH 丄y 轴于H 则/ HCP = Z BCO = 45° CH = PH = | n|在 Rt △ PCH 中，n 2+ n 2= ( 5)2，解得 n i = -I 0 , &= -—°22••• P i (兰，-』-1),卩2(-丄，210 -1) 2 2 2 2........................................................... -10 分②当以A 为顶点且AC = AP = ,5时，如图2 设P ( t ，-1 - 1)，过点P 作PG 丄x 轴于G 则 AG = | 2 -1| , GP = | -1- 1| 在 Rt △ APG 中，T AG 2+ PG 2= AP 2•••(2-t)2+ ( -1- 1)2 = 5,解得：t 1= 1, t 2= 0 (舍去)二 P 3 (1 , - 2) ................................ -11 分 ③当以P 为顶点时，PC = PA ,如图3设P (x , - X - 1),过点P 作PM 丄y 轴于M , PN 丄x 轴于N 则 N (x , 0)•/△ C 为等腰直角三角形，• PM = CM = x , PA = PC =2 x• AN = | x - 2| , PN = | -x -1| 在 Rt △ PAN 中，T AN 2+ PN 2= PA 2 •••(x -2) 2+ (x + 1)2= ( , 2 x) 2,解得：x=-212分BC 上存在点卩，使厶ACP 为等腰三角形，点 P的坐标为： 八 r 顶 怖八 r 57、―1 ) , P 2 ( -,― 1), P 3 ( 1 , - 2), P 4 (,)2 2 2 2 2a9.( 1)证：T △ ABC s^ A 1B 1C 1，且相似比为 k (k > 1),.••旦=k ,「. a = ka 1a 1又T c = a 1, • a = kc ............................................................................................................. •分 (2)解：取 a = 8, b = 6, c = 4,冋时取 a 1 = 4, b 1 = 3, C 1 = 2 ............................................. •分 此时—=—=—=2, • △ ABCA 1B 1C 1 且 c = a 1 ............................................................................................................ 10 分a 1b 1 C 1 注：本题也是开放型的，只要给出的 △ ABC 和厶A 1B 1C 1符合要求就相应赋分.(3)解：不存在这样的 △ ABC 和厶A 1B 1C 1 .理由如下： 若 k = 2,贝V a = 2a 1, b = 2b 1, c = 2c 1综上所述，在直线 P 1 (于，又T b= a1, c= b1,. a= 2a1 = 2b= 4b1 = 4c•- b= 2c ................................................................................................................................ 12 分••• b + c = 2c + c = 3c v 4c = a ，而 b + c > a 故不存在这样的 △ ABC 和厶A I B I C I ，使得k = 2..................................注：本题不要求学生严格按反证法的证明格式推理，只要能说明在题设要求下 情况不可能即可.10. ( 1)猜想：OG 丄 CD .证明：如图，连结 OC 、OD ，贝y OC = OD .••• G 是CD 的中点 •由等腰三角形的性质，有 OG 丄CD . 2分(2)证明：T AB 是O O 的直径，•/ ACB = 90°.而/ CAE = Z CBF (同弧所对的圆周角相等). 在 Rt △ ACE 和 Rt △ BCF 中vZ ACE = Z BCF = 90° AC = BC ,Z CAE = Z CBF• Rt △ ACE 也 Rt △ BCF . ( ASA )• AE = BF . ........................................................ •分(3)解：如图，过点 O 作BD 的垂线，垂足为 H ，贝U H 为BD 的中点.1• OH = - AD ，即 AD = 2OH .2又Z CAD = Z BAD , • CD = Z BD , • OH = OG . 在 Rt △ BDE 和 Rt △ ADB 中vZ DBE = Z DAC = Z BAD , • Rt △ BDE s Rt △ ADB .• BD =匹，即 BD 2= AD - DE .AD DB• BD 2= AD - DE = 2OG - DE = 6(2 -屁). ................................................ •分又 BD = FD , • BF = 2BD .• BF 2= 4BD 2= 24(2-近) ............................... ①. .... •分设 AC = x ,贝V BC = x , AB = . 2 x .v AD 是Z BAC 的平分线，•/ FAD = Z BAD .在 Rt △ ABD 和 Rt △ AFD 中vZ ADB = Z ADF = 90°, AD = AD , Z FAD = Z BAD• Rt △ ABD 也 Rt △ AFD . ( ASA ) • AF = AB = . 2x , BD = FD . • CF = AF — AC = 2x -x = (2 — 1)x .在Rt △ BCF 中，由勾股定理，得BF 2= BC 2+ CF 2= x 2+ [(血—1)x]2= 2(2—V2)X 2. ............... ②.••…10 分••••14 分 k = 2的由①、②，得2(2 —、、2)x2= 24( 2—.2 ).••• x 2= 12,.・.x = 2.3 或—2. 3 (舍去) AB = 2x =2 • 2.3 = 2.6.•••o O 的半径长为J6 . ....................................................................................... 11分 •• S o o = n •( 6)2= 6 n........................................................................................................................ 12 分11. 解：(1 )由题意得2 4解得 a = — , b = — , c = — 2.3 3 •这条抛物线的函数表达式为y = — x 2+ — x — 233(2)如图，连结 AC 、BC .A ,AC 与对称轴x = — 1的交点即为所求的点 P .设直线AC 的表达式为y = kx + b ,则—3k + b = 0b = —2解得 k =— 2 , b = — 2.3•直线AC 的表达式为y = — -x — 2 ......................3 把x = — 1代入上式，得y = — 2 X ( — 1)— 2= 3•/ DE // PC ,即卩 DE // AC ,.A OEDOAC . 3 3 3 -,• OE = 3— -m , • AE = - m .222方法 连结OPS = S ^POE + S A POD —S A OED=—X( 3—— m) X - + 丄 X( 2—m) X1—— X(3 — — m) X ( 2 — m)2 23 2 2 23 2 3= --- m + 一 m ................................................................................................. 10 分— 2由于BC 的长度一定，要使△ PBC 的周长最小，必须使PB + PC 最小.••点 P 的坐标为(—1,—-)3(3) S 存在最大值，理由如下：OE = OA ，即 _0EOD 0C 2— m点B 关于对称轴的对称点是点 2a9a — 3b + c =08分••• — - v 0,. S存在最大值. ............................................ 11分—s = — 3 m + — m = - 3( m_ 1) 2 2 3 4 5 6+ 34 2 44•••当m = 1时，S 最大=-.......................................... 12分4 方法二：S = S ^OAC — S ^OED — S^ PAE — S^ PCD11 3 13 4 1=—x 3 x 2 — x ( 3— m) x ( 2— m) 一 x — m x — — — x m x 1 2 2 2 2 2 3 23 2 3 =—一 m H ——m ................................................................................................. 10 分4 2 以下同方法一.12. ......................................................................................... ( 1)证明：连接0M ......................................................................... 1分•/ MP 是O O 的切线，• 0M 丄MP•••/ OMD + / DMP = 90° •/ 0A 丄 0B ,「./ OND + Z ODM= 90°又•••/ MNP = Z OND , Z ODM = Z OMD• Z DMP = Z MNP ,• PM = PN ........................ •分 1 (2)解：设 BC 交 OM 于点 E ,v BD = 4, • OA = OB = BD = 2 23•- PA = - AO = 3,「. PO = 5 ....................................................................................... •分2• tan Z EFO = .3，直线EF 的倾斜角为 60° •直线EF 的解析式为：y —= tan60 ° x — ( — , 3 )] 化简得：y = 13 x + 4. .................................................................................................... •分(2)设矩形沿直线 EF 向右下方翻折后，B 、C 的对应点为B (X 1, y 1), C (X 2, y 2) 过B '作B 'A '丄AE 交AE 所在直线于 A '点2•/ BC // MP , OM 丄 MP ,• OM 丄 BC ,• BE = BC .................................................. 7 分 vZ BOM + Z MOP = 90°,在 Rt △ OMP 中，Z MPO + Z MOP = 90° • Z BOM = Z MPO ，又 vZ BEO = Z OMP = 90° •••△ OMPBEO ,「. 9^ =匹 ................................................ 10 分OP BO13.解: 得: = BE ，• BE = - , • • BC = 8 .................................................................... 12分 5 2 5 51)由于折痕所在直线 EF0) P过 E(— ■ 3 , 1 )、v B 'E= BE= 2、、3 , Z B EF = Z BEF = 60 °•••/ B'EA'= 60° A A E = J3 , B A = 3二 A 与 A '重合,B '在 y 轴上，••• X 1= 0, y i = -2，即 B '( 0, - 2) 【此时需说明B ' （x i , y i ）在y 轴上】设二次函数的解析式为： y = ax 2 + bx + c抛物线经过 B （- 3. 3，1）、E （- . 3，1）•••该二次函数解析式为：y =- ^x 2- -/3x -2 ....................................................................... •分33（3）能，可以在直线 EF 上找到P 点，连接B 'C 交EF 于P 点，再连接BP由于B 'p = BP ，此时点 P 与C 、B '在一条直线上，故 BP + PC = B P + PC 的和最小 由于为BC 定长所以满足 △ PBC 周长最小. ............................................ 10分设直线B C 的解析式为：y = kx + b•••点P 的坐标为( -18 3 ,-巴) 11 111）设线段AB 所对应的函数关系式为 y = kx + b•线段AB 所对应的函数关系式为 y 甲=-80X + 540 .................................................自变量x 的取值范围是3< x < -27 （或3< x < 旦，下同） .................... •分4 427a — 3 3 b + c = 1 3a — v'3 b + c = 1c = - 2a =--3解得b = - — V33c = — 2B ' ( 0, - 2)-2 = b则0 =-3、、3k + b解得k =-92 ；3••直线B C 的解析式为：y =- ' x -29 又•••点P 为直线B C 与直线EF 的交点解得y = 3x + 410 y =-石14分14.解:把(3, 300),(27 , 0)代入得 300 = 3k + b27 0= k + b4k = - 80 解得b = 540C(2)••• x=-在3<x w 27中，.••把x=-代入y 甲=—80x+ 540 中得y 甲=1802 4 2(3)①若直线经过顶点，则 AC 边上的中垂线即为所求线段 ....................... 8分②若直线不过顶点，可分以下三种情况： (a)直线与BC 、AC 分别交于E 、F ，如图2所示过点E 作EH 丄AC 于点H ，过点B 作BG 丄AC 于点G 易求得 BG = 4， AG = CG = 3 设 CF = X ，贝U CE = 8—x4 由厶 CEHCBG ，可得 EH = - (8 — x)5根据面积相等，可得 丄• x • — ( 8— x) = 6 ......................... 10分2 5 •- x =3 (舍去，即为①)或 x = 5• CF = 5， CE = 3，直线EF 即为所求直线 ................ .乙车的速度为—=40 (km/h ) 12分(3)由题意知有两次相遇方法一:15①当 0W x < 3 时，100x + 40x = 300，解得：x =716分 ②当 3v x w 27 时，(540 — 80x) + 40x = 300,解得：x = 64 20分综上所述，当它们行驶了15小时或6小时时，两车相遇 7方法二：设经过X 1小时两车首次相遇 15则 40X 1 + 100x 1= 300，解得：x 1 =..............716分设经过X 小时则 80(X 2 — 3) = 40X 2，解得:X 2= 620分15.解：(1)图(2)不能如图1,若直线CD 平分△ ABC 的面积 那么 S\ ADC = S^ DBC 1 1•——AD • CE = BD • CE 2 2• - AD = BD ............................................... 5 分 •/ AC 丰 BC ,「. AD + AC 丰 BD + BC •过点C 不能画出一条“等分积周线” ............ 7分 图1(b) 直线与AB、AC分别交于M、N，如图3 所示图212分由（a ）可得AM = 3, AN = 5,直线MN 即为所求直线 （仿照上面给分） ................................. 15分 （c ）直线与AB 、BC 分别交于P 、Q ,如图4所示过点A 作AY 丄BC 于点Y ,过点P 作PX 丄BC 于点XAY = 245BQ = 8 —xPC CQ 16•解：（1）①如图1，当PQ // AB 时，有 =...... 2分AC CB3 3t-，解得：t = 24.•.当 t = 2 秒时，PQ // AB②解法1:如图2，当t = 2秒时，PQ // AB ,此时PQ 为 5△ ACB 的中位线，PQ = 5 ............................................ 6分2 取PQ 的中点M ，则以PQ 为直径的圆的圆心为 M , 1半径为丄PQ ................................................................. 8分2 过点M 、C 向AB 作垂线，垂足分别为 N 、H12 1 6贝U CH = 一 , MN = — CH = 一 ................ 10 分5 2 5 1••• MN v— PQ ,.直线AB 与以PQ 为直径的圆相交2.......................................................... 12分解法2:如图3,当t = 2秒时，PQ // AB ,此时PQ 为 △ ACB 的中位线，取 PQ 的中点M ，分别过点 M 、C 向由面积法可得 （注：若直接按与两边相交的情况分类, 也相应给分）设BP = x ,则C综上所述，符合条件的直线共有三条 20分图1AB作垂线，垂足分别为N、H , CH交PQ于点G,连接CM1••• MN = _ CH ，即 MN = GH = CG2 在 Rt △ CGM 中，GC V MC ,「. MN V MC•••直线AB 与以PQ 为直径的圆相交 .............. 12分解法3:如图4,当t = 2秒时，PQ // AB ,此时PQ 为仏ACB 的中位线，过点Q 向AB 作垂线，垂足为N ,则 Rt △ BNQ s Rt △ BCA , • =竺，即-=竺,AB AC 5 3• NQ = 65•直线AB 与以PQ 为直径的圆相交(2) 解法1:如图5，取PQ 的中点 M ，作MN 丄AB 、PG 丄AB 、QH丄AB ,垂足分 别为N 、G 、H则由 Rt △ APG s Rt △ ABC ，得 PG = 4t ................... 14 分5 3由 Rt △ BHQ s Rg BCA ，得 HQ = - (4 -1) ................ 16 分 此时MN 是梯形PGHQ 的中位线，• MN = 6 + _L510.......................................................... 20分当PQ 2= 4MN 2时，以PQ 为直径的圆与直线 AB 相切 即(3 — t) 2+ t 2= 4( 6 + —)2 ........................................ 26 分5 10G 、N连接 AM 、BM 、CM由 S A ABC = S^ ACM + S^ BCM + S ^ ABM 可得： 1 t 1 1 1 1 x 3 x + —x 4 x ( 3—t) + x 5x MH =—x 3 x 4 22 2 2 2 2解得：MH = 6 + —5 10当PQ 2= 4MN 2时，以PQ 为直径的圆与直线 AB 相切 即(3 — t) 2+ t 2= 4( 6 + — ) 2 ........................................ 26 分5 10 解得：t 1 = 3, t 2= 27 ...................................................... 30 分由平行线间的距离处处相等可知，点 M 到AB 的距离为-，小于-PQ5 212分解得:t1= 3, t2= £ 30分解法2:如图6,取PQ 的中点M ，作MH 丄AB 、MG 丄AC 、 垂足分别为H 、N ,图4MN 丄BC ,垂足分别为H 、图649解法3:如图7,取PQ的中点M ,作MH丄AB、MN丄BC,延长 NM 交 AB 于点 G ,贝U MN = - PC = -（3-t ） , NQ = - CQ=-,2 2 2 2由 Rt △ BGN s Rt △ BAC ,得 GN = 3 - ?t , • GM = 3-- t -丄（3-1）=8 - -又••• Rt A GMH s Rt △ ABC ,：些 BC解得：MH = 6 +丄5 10当PQ 2= 4MN 2时，以PQ 为直径的圆与直线 AB 相切 即（3-1）2+ t 2= 4（ 6 + — ）25 10 解得：&= 3, t 2= 27 ..................492.5 （小时）17.解：（1）若二分队应在营地不休息, 则 a = 0,速度为4千米/时,一 10行至塌方处需一4因为一分队到塌方处并打通道路需要 10+ 1 （小时） b所以要使二分队在最短时间内赶到A 镇，则有：10 + 1 <2.5,• b >迴（千米/时）b 3故一分队的行进速度至少为20千米/时3分3（2）若b = 4千米/时，则一分队到塌方处并打通道路需要 10+ 1= 3.5 （小时） 4一分队赶到A 镇共需30 + 1 = & 5 （小时）4（I ）若二分队在营地不休息,且在塌方处需停留，则后 20千米与一分队同行，二分队和一分队可同时赶到 A 镇;10分（n ）若二分队在营地休息，则a > 0，二分队的行进速度为 4+ a > 4千米/时①若二分队在塌方处需停留，则当一分队打通道路后，二分队将先赶到A 镇，不符合题意，舍去; .................................................................................................................. 11分②若二分队在塌方处不停留，要使二分队和一分队同时赶到 A 镇，则有： 30 2a + = & 5,即 a 2-4. 5a — 4= 04 a••• NB =GM 即 MH AB ' 4AH26分M30分4.536.254.536.25 4 6解得a i =v 0 (舍去)，a 2= > > 3 (舍去)22 2.................................................................................................................. 13分综上所述，要使二分队和一分队同时赶到 A 镇，二分队应在营地不休息 14分(1) 如图4，由一于AD = BD ，将△ AED 绕点D 旋转180 °得厶BE 贝V AE = BE ； ED = E'D ,连接 E F•••/ FBE = / ABC + / ABE = / ABC + / CAB = 90°•••在 Rt △ BE ；F 中有 BE ' 2+ BF 2= E F 2 又••• FD 垂直平分 EE ；••• EF = E 'F • AE 2+ BF 2= EF 2(2) 如图5,由于AC = BC ,将厶AEC 绕点C 旋转90°得厶BE C 贝U AE = BE , CE = CE '，连接 E F•••/ FBE '= / ABC + / CBE '= / ABC + / CAB = 90•••在 Rt △ BE 'F 中有 BE ' 2+ BF 2= E F 2•••/ E CF = Z E CB + / BCF = Z ACE + / BCF=90° — Z ECF = 90° — 45°= 45°= Z ECFCE = CE ', CF = CF• △ CEF 也厶 CE 'F ,••• EF = E F2 2 2• AE 2+ BF 2= EF 2(3) 将厶ADF 绕点A 顺时针旋转 90°得厶ABG ，且FD = GB , AF = AG 因为△ CEF 的周长等于正方形 ABCD 的周长的一半，所以 CE + EF + CF = CD + CB = CF + FD + CE + BE EF = FD + BE = GB + BE = GE 从而可得厶 AEG ^A AEF ,.Z EAG = Z EAF 又•••/ EAG = Z EAB + Z BAG ,Z BAG = Z DAF• Z EAF = Z EAB + Z DAF ，而Z EAB + Z EAF + Z DAF = 90° • Z EAF = 45°由(2)知 BM 2 + DN 2= MN 2•••由勾股定理的逆定理知：线段 BM 、MN 、DN 能构成直角三角形 ................ 18分19.解: (1)由题意知：k 2= 1x 6 = 6 ........................................................................................... 1分•••反比例函数的解析式为 y = 6x18.12分/DD 图4D FA又 B (a, 3)在y= 6的图象上，• a = 2,二B ( 2, 3)x231•••直线 y = k i x + b 过 A (1, 6), B (2, 3)两点(2) x 的取值范围为1 v x v 2(3) ..................................................................................................................................... 当 S 梯形 OBCD = 12 时，PC = PE ................................................................................................. •分 设点 P 的坐标为(m , n ),T BC // OD , CE 丄OD , OB = CD , B ( 2, 3) C (m , 3) , CE = 3, BC = m — 2, OD = m + 21iS 梯形 OBCD =CE ,即卩 12=丄 x (m — 2 + m + 2) x 322• m = 4, mn = 6,「. n = 3，即 PE = 1 CE2 2• PC = PE ......................................................................................................................... 10 分20. 解：(1)同意.连接 EF ，则/ EGF = Z D = 90 ° EG = AE = ED , EF = EF• Rt △ EGF 也 Rt △ EDF , • GF = DF ........................................................................... •分 (2) 由(1 )知 GF = DF ，设 DF = x , BC = y ,则有 GF = x , AD = y •/ DC = 2DF , • CF = x , DC = AB = BG = 2x • BF = BG + GF = 3x在 Rt △ BCF 中，BC 2+ CF 2= BF 2,即即 y 2+ x 2= (3x)2• y = 2^2 x ,「. -AD = — =、、2 ................................................. 6 分AB 2x (3) 由(1 )知 GF = DF ，设 DF = x , BC = y ,则有 GF = x , AD = yT DC = n ■ DF , • DC = AB = BG = nx• CF = (n — 1)x , BF = BG + GF = (n + 1)x在 Rt △ BCF 中，BC 2+ CF 2= BF 2,即卩 y 2+ [( n — 1)x]2 = [( n + 1)x]2 • y = 2jn x ,「. -AD = — = (或 鼻)................................ 10 分AB nx nJ n21.解：(1)设抛物线的解析式为 y = ax 2 + bx + c (0),则有=1 16a — 4b + c = 0 a= 2c = — 4 解得 b = 14a + 2b + c = 0c = —4•抛物线的解析式为 y =丄x 2 + x — 4k , + b = 6 2k i + b = 3解得：爲3(2)过点M 作MD 丄x 轴于点D ，设M 点的坐标为(m , - m 2+ m — 4)2232则AD = m + 4, MD = —— m2—m + 42S = S^AMD + S 梯形DMBO ——S^ABO1 12 1 1 2—=-(m+ 4)( —-m2—m+ 4) + — ( —— m2—m+ 4+ 4)( —m)—丄x 4x 42 2 2 2 2=—m2—4m ( —4v mv 0) ................................................... •分即S= —m2—4m = —(m+ 2) 2+ 4.S最大值=4 .............................................................................................................................. 7分(3)满足题意的Q点的坐标有四个，分别是：( —4, 4),( 4, —4)(—2 + 2,5 , 2—2...5 ),( —2—2. 5 , 2 + 2、、5 ) ......................... 11 分22. 解：(1)设直线DE的解析式为y= kx+ b3= b k = —1•••点D , E的坐标为(0, 3)、( 6, 0),. 解得 20= 6k + bb = 3直线DE 的解析式为y= —1 x+ 3 ..................................................................................... 1分2•••点M在AB边上，B (4, 2)，而四边形OABC是矩形，.••点M的纵坐标为2一11又•••点M 在直线y=—— x+ 3 上，.2= —— x+ 3,. x = 2 2 2.M (2, 2) ................................................................. •分(2)V y= m( x> 0)经过点M (2, 2),. m = 4,. y= - ............................. •分x x又•••点N在BC边上，B (4, 2),.点N的横坐标为4, ,,, 1•••点N 在直线y= —-x+ 3 上，.y = 12.N (4, 1) ............................................................... •分4 4•.•当x= 4时，y= — = 1,.点N在函数y=-的图象上 .............................. •分x x(3) 4< mW 8 .................................................................................................................... •分23•解：(1) y= 2t；(2)当BP = 1时，有两种情形:1①如图1,若点P从点M向点B运动，有MB = -BC = 4,2.PQ = 6 •连接EM ,•••△ EPQ是等边三角形，. EM丄PQ,. EM = 3.3•/ AB = 3.3 ,•.点E 在AD 上•••△ EPQ与梯形ABCD重叠部分为△ EPQ，其面积为：33。

2010年全国中考数学压轴题1.已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，弦CE AB ⊥于F ，C 是 AD 的中点，连结BD并延长交CE 的延长线于点G ，连结AD ，分别交CE 、BC 于点P 、Q ． （1）求证：P 是△ACQ 的外心；（2）若3tan ,84ABC CF ∠==,求CQ 的长； （3）求证：2()FP PQ FP FG += ．2. 如图,设抛物线C 1:()512-+=x a y , C 2:()512+--=x a y ,C 1与C 2的交点为A, B,点A )4,2(,点B 的横坐标是－2.（1）求a 的值及点B 的坐标；（2）点D 在线段AB 上,过D 作x 轴的垂线,垂足为点H ,在DH 的右侧作 正三角形DHG . 记过C 2顶点Ｍ的直线为l ,且l 与x 轴交于点N . ① 若l 过△DHG 的顶点G ,点D 的坐标为(1, 2)，求点N 的横坐标； ② 若l 与△DHG 的边DG 相交,求点N 的横坐标的取值范围.3.如图，二次函数k m x y ++=2)(的图象，其顶点坐标为M(1,-4).（1）求出图象与x 轴的交点A,B 的坐标； （2）二次函数的图象上是否存在点P ，使M A B P A BS S ∆∆=45,若存在，求P 点的坐标；若不存在，请说明；（3）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.4.已知：函数y=ax 2+x+1的图象与x 轴只有一个公共点．（1）求这个函数关系式；（2）如图所示，设二次．．函数y=ax 2+x+1图象的顶点为B ，与y 轴的交点为A ，P 为图象上的一点，若以线段PB 为直径的圆与直线AB 相切于点B ，求P 点的坐标；（3）在(2)中，若圆与x 轴另一交点关于直线PB 的对称点为M ，试探索点M 是否在抛物线y=ax 2+x+1上，若在抛物线上，求出M 点的坐标；若不在，请说明理由．A xyOB5.如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1-）的抛物线y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B在点C 的左侧）. 已知A 点坐标为（0，3）. （1）求此抛物线的解析式； （2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ， 如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明； （3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，PAC∆的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC ∆的最大面积.6.在直角梯形OABC 中，CB//OA ，∠COA=90︒，CB=3，OA=6，BA=3分别以OA 、OC 边所在直线为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系。

2010年全国中考数学试题分类汇编——压轴题（一）1.（2010年浙江杭州）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y =+1，点C的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，AB与y轴交于点M，已知点Q(x，y)在抛物线上，点P(t，0)在x轴上.(1) 写出点M的坐标；(2) 当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时.①求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；②当梯形CMQP的两底的长度之比为1：2时，求t的值.2.（2010年浙江湖州）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P 是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D），连结PC，过点P 作PE⊥PC交AB于E（1）在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC⊥QE？若存在，求线段AP与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由；（2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求BE的取值范围．ABCDPE3.（2010年浙江嘉兴市）如图，已知抛物线y＝－x2＋x＋4交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B．（1）求A、B两点的坐标，并求直线AB的解析式；（2）设P（x，y）（x＞0）是直线y＝x上的一点，Q是OP的中点（O是原点），以PQ为对角线作正方形PEQF，若正方形PEQF与直线AB有公共点，求x的取值范围；（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S，求S关于x的函数解析式，并探究S的最大值．4.（2010年浙江金华）如图，P为正方形ABCD的对称中心，A（0，3），B（1，0），直线OP交AB于N，DC于M，点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以个单位每秒速度运动，运动时间为t。

求：（1）C的坐标为 ▲ ；（2）当t为何值时，△ANO与△DMR相似？（3）△HCR面积S与t的函数关系式；并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形时t的值及S的最大值。

2010年中考数学压轴题100题精选（81-90题）【081】如图，已知抛物线y ＝34x 2＋bx ＋c 与坐标轴交于A 、B 、C 三点， A 点的坐标为（－1，0），过点C 的直线y ＝34tx －3与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，过P 作PH ⊥OB 于点H ．若PB ＝5t ，且0＜t ＜1．（1）填空：点C 的坐标是_▲_，b ＝_▲_，c ＝_▲_； （2）求线段QH 的长（用含t 的式子表示）；（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由．【082】（09上海）在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为(10)，，点C 的坐标为(04)，，直线CM x ∥轴（如图7所示）．点B 与点A 关于原点对b=+（b为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，联结OD．称，直线y x b（1）求b的值和点D的坐标；△是等腰三角形，求点P的坐标；（2）设点P在x轴的正半轴上，若POD（3）在（2）的条件下，如果以PD为半径的圆P与圆O外切，求圆O的半径．【083】如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.【084】如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P （0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？BAOyx【085】如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ．(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3) 如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．【086】如图，以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A，BM平分3，∠ABC交AC于点M，AD⊥BC于点D，AD交BM于点N，ME⊥BC于点E，AB2=AF·AC，cos∠ABD=5 AD=12．⑴求证：△ANM≌△ENM；⑵求证：FB是⊙O的切线；⑶证明四边形AMEN是菱形，并求该菱形的面积S．【087】如图，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过矩形ABCD 的两个顶点A 、B ，AB 平行于x 轴，对角线BD 与抛物线交于点P ，点A 的坐标为(0，2)，AB ＝4． (1)求抛物线的解析式；(2)若S △APO ＝23，求矩形ABCD 的面积．【088】如图所示，已知在直角梯形OABC 中，AB OC BC x ∥，⊥轴于点(11)(31)C A B ，，、，．动点P 从O 点出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P 点作PQ 垂直于直线．．OA ，垂足为Q ．设P 点移动的时间为t 秒（04t <<），OPQ △与直角梯形OABC 重叠部分的面积为S ． （1）求经过O A B 、、三点的抛物线解析式； （2）求S 与t 的函数关系式；（3）将OPQ △绕着点P 顺时针旋转90°，是否存在t ，使得OPQ △的顶点O 或Q 在抛物线上？若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．【089】如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆的圆心O 在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A B C D 、、、四点．抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点D ，与直线y x =交于点M N 、，且MA NC 、分别与圆O 相切于点A 和点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连结DE ，并延长DE 交圆O 于F ，求EF 的长． （3）过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ，判断点P 是否在抛物线上，说明理由．【090】如图（9）-1，抛物线23y ax ax b =-+经过A （1-，0），C （3，2-）两点，与y 轴交于点D ，与x 轴交于另一点B ． （1）求此抛物线的解析式；（2）若直线)0(1≠+=k kx y 将四边形ABCD 面积二等分，求k 的值；（3）如图（9）-2，过点E （1，1）作EF ⊥x 轴于点F ，将△AEF 绕平面内某点旋转180°得△MNQ （点M 、N 、Q 分别与点A 、E 、F 对应），使点M 、N 在抛物线上，作MG ⊥x 轴于点G ，若线段MG ︰AG ＝1︰2，求点M ，N 的坐标．y=kx +1图（9）-1图（9）-2。