人教A版选修4-5 第1章 第1课时不等式的基本性质 作业

[课时作业][A组基础巩固]1．“x<－1”是“x2－1>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：x2－1>0⇒x>1或x<－1，故x<－1⇒x2－1>0，但x2－1>0x<－1，∴“x<－1”是“x2－1>0”的充分不必要条件．答案：A2．下列命题中不正确的是()A．若3a>3b，则a>bB．若a>b，c>d，则a－d>b－cC．若a>b>0，c>d>0，则a d> bcD．若a>b>0，ac>bd，则c>d答案：D3．已知：M＝(x＋5)(x＋7)，N＝(x＋6)2，则M与N的大小关系为() A．M<N B．M>NC．M＝N D．M≥N解析：∵M－N＝(x＋5)(x＋7)－(x＋6)2＝－1<0，∴M<N.故选A.答案：A4．已知m，n∈R，则1m>1n成立的一个充要条件是()A．m>0>n B．n>m>0 C．m<n<0 D．mn(m－n)<0解析：∵1m>1n⇔1m－1n>0⇔n－mmn>0⇔mn(n－m)＞0⇔mn(m－n)<0.答案：D5．已知函数f(x)＝x＋x3，x1，x2，x3∈R，x1＋x2<0，x2＋x3<0，x3＋x1<0，那么f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值( )A ．一定大于0B ．一定小于0C ．等于0D ．正负都有可能解析：x 1＋x 2<0⇒x 1<－x 2，又∵f (x )＝x 3＋x 为奇函数，且在R 上递增，∴f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，即f (x 1)＋f (x 2)<0.同理：f (x 2)＋f (x 3)<0，f (x 1)＋f (x 3)<0.以上三式相加得2[f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)]<0.即f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)<0.答案：B6．有以下四个条件：①b >0＞a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0.其中能使1a ＜1b 成立的有________．解析：①∵b >0>a ，∴1b >0>1a ；②∵0>a >b ，∴1a <1b <0；③∵a >0>b ，∴1a >0>1b ；④∵a >b >0，∴1b >1a >0.答案：①②④7．若－1<a <2，－2<b <1，则a －|b |的取值范围是________．解析：∵－2<b <1，∴0≤|b |<2.∴－2<－|b |≤0.而－1<a <2，∴－3<a －|b |<2.答案：(－3,2)8．已知0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b 1＋b ，则M 、N 的大小关系是________．解析：法一：M －N ＝11＋a ＋11＋b －a 1＋a －b 1＋b＝1－a1＋a ＋1－b 1＋b ＝2(1－ab )(1＋a )(1＋b )，由已知可得，a >0，b >0且0<ab <1，∴1－ab >0，∴M －N >0，即M >N .法二：M N ＝2＋a ＋ba ＋b ＋2ab ，∵0<a <1b ，∴0<ab <1，∴2ab <2，∴a ＋b ＋2ab <a ＋b ＋2，∴2＋a ＋ba ＋b ＋2ab >1.又M >0，N >0，∴M >N .答案：M >N9．若a >0，b >0，求证：b 2a ＋a 2b ≥a ＋b .证明：∵b 2a ＋a 2b －a －b ＝(a －b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b a ＝(a －b )2(a ＋b )ab ，(a －b )2≥0恒成立，且已知a >0，b >0，∴a ＋b >0，ab >0.∴(a －b )2(a ＋b )ab ≥0.∴b 2a ＋a 2b ≥a ＋b .10．已知a >0，a 2－2ab ＋c 2＝0，bc >a 2，试比较a ，b ，c 的大小．解析：∵a 2－2ab ＋c 2＝0，∴b ＝a 2＋c 22a .又∵a 2＋c 2>0，a >0，∴b >0.又∵bc >a 2>0，∴bc 同号．∴c >0.∵(a －c )2＝2ab －2ac ＝2a (b －c )≥0，又∵a >0，∴b －c ≥0.当b －c >0时，b >c .又bc >a 2，b ＝a 2＋c 22a ，∴a 2＋c 22a ·c >a 2，即(a －c )(2a 2＋ac ＋c 2)<0.∵a >0，b >0，c >0，∴2a 2＋ac ＋c 2>0，a －c <0，即a <c .∴a <c <b .当b －c ＝0时，b ＝c .∵bc >a 2，∴b 2>a 2，b ≠a .∵a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2＝0，∴a ＝b .∴矛盾，也就是b －c ≠0.综上可知，a <c <b .[B 组 能力提升]1．若a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：对于0<ab <1，如果a >0，则b >0，a <1b 成立，如果a <0，则b <0，b >1a 成立，因此“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的充分条件；反之，若a ＝－1，b ＝2，结论“a <1b或b >1a ”成立，但条件0<ab <1不成立，因此“0<ab <1”不是“a <1b 或b >1a ”的必要条件；即“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的充分不必要条件．答案：A2．如果a ∈R ，且a 2＋a <0，那么a ，a 2，－a ，－a 2的大小关系是( )A ．a 2>a >－a 2>－aB ．－a >a 2>－a 2>aC ．－a >a 2>a >－a 2D ．a 2>－a >a >－a 2解析：∵a 2＋a <0，即a (a ＋1)<0可得，－1<a <0，∴－a >a 2>0，∴0>－a 2>a .综上有－a >a 2>－a 2>a .答案：B3．若a ，b ∈R ，且a >b ，则下列不等式：①b a >b －1a －1；②(a ＋b )2>(b ＋1)2；③(a －1)2>(b －1)2.其中不恒成立的是________．解析：①b a －b －1a －1＝ab －b －ab ＋a a (a －1)＝a －ba (a －1).因为a －b >0，a (a －1)符号不确定，①不恒成立；②取a ＝2，b ＝－2，则(a ＋b )2＝0，(b ＋1)2>0，②不恒成立；③取a ＝2，b ＝－2，则(a －1)2＝1，(b －1)2＝9，③不恒成立．答案：①②③4．设实数x ，y 满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y 4的最大值是________． 解析：∵4≤x 2y ≤9，∴19≤y x 2≤14，∴181≤y 2x 4≤116.又∵3≤xy 2≤8，而x 3y 4＝1y 4x 3＝1xy 2·y 2x 4，且127≤xy 2·y 2x 4≤12，∴2≤x3y 4≤27.答案：275．已知a ，b ，c 均为正数，且b <c ，比较ab 与ac ＋bc 的大小．解析：法一：∵a >0，且b <c ，∴ab <ac ，∵c >0，b >0，∴bc >0，∴ac ＋bc >ac >ab ，即ab <ac ＋bc .法二：∵a >0，b >0，c >0，∴0<a <a ＋b ，∵0<b <c ，∴ab <c (a ＋b )，即ab <ac ＋bc .法三：ab －(ac ＋bc )＝a (b －c )－bc .∵b <c ，∴b －c <0，而a >0，∴a (b －c )<0.又∵b >0，c >0，∴bc >0，－bc <0，∴a (b －c )－bc <0，即ab －(ac ＋bc )<0.∴ab <ac ＋bc .6．已知f (x )＝ax 2＋c ，且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围． 解析：由－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，得⎩⎨⎧ －4≤a ＋c ≤－1，－1≤4a ＋c ≤5.设u ＝a ＋c ，v ＝4a ＋c ，则有a ＝v －u 3，c ＝4u －v 3，∴f (3)＝9a ＋c ＝－53u ＋83v .又⎩⎨⎧ －4≤u ≤－1－1≤v ≤5，∴⎩⎪⎨⎪⎧53≤－53u ≤203，－83≤83v ≤403.∴－1≤－53u ＋83v ≤20，即－1≤f (3)≤20.∴f (3)的取值范围为[－1,20]。

第一讲不等式和绝对值不等式不等式和绝对值不等式1．回首和复习不等式的基天性质和基本不等式．2．理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋ b| ≤|a＋ |b|；(2)|a－ b| ≤|a－c|＋ |c－b|；(3)会利用绝对值的几何意义求解以下种类的不等式：|ax＋ b| ≤c， |ax＋ b| ≥c，|x－ c|＋ |x－ b| ≥a.,在自然界中存在着大批的不等量关系和等量关系，不等关系和相等关系是基本的数学关系．它们在数学研究和数学应用中起侧重要的作用．学习时注意适合联系实质，加深理解现实生活中的不等关系与相等关系．适合应用数形联合有益于解决问题．如函数的图象、会合的韦恩图、数集的数轴表示等．1．1不等式1．1.1不等式的基天性质1．回首和复习不等式的基天性质．2．灵巧应用比较法比较两个数的大小．3．娴熟应用不等式的基天性质进行变形与简单证明．1．实数的运算性质与大小次序的关系．数轴上右侧的点表示的数总大于左侧的点所表示的数，从实数的减法和在数轴上的表示可知：a＞ b? a－ b________；a＝ b? a－ b________；a＜ b? a－ b________．答案: ＞0＝0＜0得出结论：要比较两个实数的大小，只需考察它们的差的符号即可．22答案: ＞2.不等式的基天性质．(1)对称性：假如a＞ b，那么 b＜ a；假如 b＜ a，那么 a＞b.(2)传达性：假如a＞ b，且 b＞ c，那么 a＞ c，即 a＞ b， b＞ c? a＞ c.(3)加法：假如a＞ b，那么 a＋ c＞b＋ c，即 a＞ b? a＋ c＞ b＋ c.推论：假如a＞b，且 c＞ d，那么 a＋ c＞ b＋ d.即 a＞ b， c＞ d? a＋ c＞ b＋ d.(4)乘法：假如a＞ b ，且 c＞ 0，那么 ac＞bc；假如 a＞ b，且 c＜ 0，那么 ac＜ bc.(5)乘方：假如a＞ b＞ 0，那么 a n＞b n (n∈N ，且 n＞ 1)．n n(6)开方：假如a＞ b＞ 0，那么a＞b(n∈N ，且 n＞ 1)．思虑 3若a＞b＞0，则有3a____2b.答案 : 2．思虑 2：＞思虑3：＞一层练习1．设 a， b， c∈R 且 a>b，则 ()112233A ． ac>bc B.a<b C． a >b D ． a >b答案 :D2． (2014 ·川高考理科四 )若 a＞ b＞ 0， c＜ d＜ 0，则必定有 ()A.a＞ bB.a＜ bC.a＞ bD.a＜bc d c d d c d c分析：选 D. 由于 c＜ d＜ 0，因此－ c＞－ d＞ 0，即得－1d＞－1c＞ 0，又 a＞b＞ 0.得－ad＞－bc，a b进而有d＜c.答案： D2 3．比较大小：(x＋ 5)(x＋ 7)________( x＋ 6) .答案：＜1＞1” 同时成立的条件是4 ．“ a ＞b”与“a b________________________________________________________________________ ．答案： b＜ 0＜ a二层练习5．已知 a ， b ，c 知足 c ＜ b ＜ a ，且 ac ＜ 0，那么以下选项中不必定建立的是 ( )A ． ab ＞ acB ． c(b － a)＞0C ．cb 2＜ ab 2D ． ac(a － c)＜ 0答案： Cππ )＜ α＜ β＜，则 α－ β的取值范围是 (6．设角 α，β 知足－ 22A ．－ π ＜ α－β＜ 0B ．－ π ＜ α－ β＜π πC ．－ 2 ＜ α－ β＜0ππD ．－ 2＜ α－ β＜2答案： A7．假如 a<b<0，那么以下不等式建立的是 ()1 12A. a <b B ． ab<b211C ．－ ab<－ aD ．－ a <－ b答案： D1 1b a 8．若 < <0，则以下不等式： ① a ＋b<ab ；② |a|>|b|；③ a<b ；④＋ >2. 此中正确的有 ()a babA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案： B9．已知 a>b>0，则a与 a ＋ 1的大小是 ________． b b ＋ 1答案： a >a ＋ 1b b ＋ 1b 2 a 210．已知 a>0，b>0，则 a ＋ b 与 a ＋ b 的大小关系是 ________．22答案： b＋a≥ a ＋ ba b三 层 练 习11．设 x ，y ∈ R ，则 “x ≥1且 y ≥ 2是”“x ＋y ≥ 3的”( ) A ．充足而不用要条件 B ．必需而不充足条件 C ．充要条件D ．即不充足也不用要条件 答案： A12．设 0< a<b<1，则以下不等式建立的是()331 1 A ． a >b B. a <bC ．a b >1D ． lg( b －a)<0答案： D13． (2014 ·东高考理科山 )已知实数 x ， y 知足 a x ＜ a y (0＜ a ＜ 1)，则以下关系式恒建立的是()11A.x 2＋1＞y 2＋ 1B ．ln( x 2＋ 1)＞ ln( y 2＋ 1)C ．sin x ＞sin y33D ． x ＞y分析：选 D. 由 a x ＜a y (0＜ a ＜1) 知， x ＞ y ，因此1A ． y ＝ x 2＋ 1在 (－ ∞， 0)递加， (0，＋ ∞)递减，没法判断B ．y ＝ ln( x 2＋ 1)在 (－∞， 0)递减， (0，＋ ∞)递加，没法判断C ．y ＝ sin x 为周期函数，没法判断D ． y ＝ x 3 在 R 上为增函数， x 3＞ y 3 答案： D14．设 a>b>1， c<0，给出以下三个结论：c c ① a >b ；② a c <b c ；③ log b (a －c)>log a (b － c)．此中全部的正确结论的序号是 ________． A ．① B ．①② C ．②③D ．①②③分析：依据不等式的性质结构函数求解．1 1∵ a>b>1，∴ a <b .又 c<0，∴ca >cb ，故①正确．结构函数 y ＝ x c .∵ c<0，∴ y ＝ x c 在 (0，＋ ∞)上是减函数．又 a>b>1，∴ a c <b c ，故②正确． ∵ a>b>1，－ c>0，∴ a － c>b － c>1.∵ a>b>1，∴ log b (a － c)>log a ( a －c)>log a (b － c)，即 log b (a － c)>log a (b －c)，故③正确．答案： D1．不等关系与不等式．(1)不等关系重申的是关系，而不等式重申的则是表示二者不等关系的式子，可用“ a＞b”，“ a＜b”，“ a≠ b”，“ a≥ b”，“ a≤ b”等式子表示，不等关系可经过不等式来表现；走开不等式，不等关系就没法表现．(2)将不等关系娴熟化为不等式是解决不等式应用题的基础，不行忽略．2．不等式的性质．关于不等式的性质，重点是正确理解和运用，要弄清每一个性质的条件和结论，注意条件放宽和增强后，结论能否发生了变化；运用不等式的性质时，必定要注意不等式建立的条件，切不行用仿佛、是或很明显的原因取代不等式的性质．特别提示：在使用不等式的性质时，必定要搞清它们建立的前提条件．3．比较两个实数的大小．要比较两个实数的大小，往常能够归纳为判断它们的差的符号 (仅判断差的符号，至于切实值是多少没关紧急 )．在详细判断两个实数 (或代数式 )的差的符号的过程中，常会波及一些详细变形，如：因式分解、配方法等．关于详细问题，怎样采纳适合的变形方式来达到目的，要视详细问题而定．。

第一讲 不等式和绝对值不等式一 不等式第1课时 不等式的基本性质一、选择题1．已知a ＞b ＞c ，则下列不等式正确的是( )A ．ac ＞bcB ．ac 2＞bc 2C ．b (a －b )＞c (a －b )D ．|ac |＞|bc |2．已知a ＞－1且b ＞－1，则p ＝b 1＋a ＋a 1＋b 与q ＝a 1＋a ＋b1＋b 的大小关系是() A ．p ＞q B ．p ＜qC ．p ≥qD ．p ≤q3．设a ，b ∈(－∞，0)，则“a ＞b ”是“a －1a ＞b －1b ”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，若ca ＋b ＜a b ＋c ＜bc ＋a ，则( )A ．c ＜a ＜bB ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．c ＜b ＜a5．设a ＞1＞b ＞－1，则下列不等式中恒成立的是( )A.1a ＜1bB.1a ＞1bC ．a ＞b 2D ．a 2＞2b6．设角α，β满足－π2＜α＜β＜π2，则α－β的取值范围是( )A ．－π＜α－β＜0B ．－π＜α－β＜πC ．－π2＜α－β＜0D ．－π2＜α－β＜π2二、填空题7．已知0＜m ＜a ＜b ，若x ＝sina －mb －m ，y ＝sin a b ，z ＝sin a ＋m b ＋m ，则x ，y ，z 的大小关系为______________．8．已知0＜a ＜1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b 1＋b，则M ，N 的大小关系是________． 9．若a ，b ∈R ，且a ＞b ，下列不等式：①b a ＞b －1a －1；②(a ＋b )2＞(b ＋1)2；③(a －1)2＞(b －1)2. 其中不成立的是________．(填序号)10．已知三个不等式：①ab ＞0；②c a ＞d b；③bc ＞ad .以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成________个正确命题．三、解答题11．已知a ，b ，x ，y 都是正数，且1a ＞1b，x ＞y . 求证：x x ＋a ＞y y ＋b.12．已知a ，b ，c 是正实数，求证：a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥b a ＋c b ＋a c.13.已知a＞0，b＞0，试比较ab＋ba与a＋b的大小．四、探究与拓展14．若x＞y＞0，则y2＋1x2＋1与yx的大小关系是________．15．已知－1≤a＋b≤1,1≤a－2b≤3，求a＋3b的取值范围．答案精析1．C 2.C3．C [a ，b ∈(－∞，0)，∵a ＞b ，∴1a ＜1b ，即－1a ＞－1b， ∴a －1a ＞b －1b， ∴“a ＞b ”是“a －1a ＞b －1b”的充分条件． 又由a －1a ＞b －1b ⇒a －b ＋1b －1a ＞0⇒(a －b )＋a －b ab ＞0⇒(a －b )·ab ＋1ab＞0⇒a －b ＞0⇒a ＞b . ∴“a ＞b ”又是“a －1a ＞b －1b”的必要条件．] 4．A [由ca ＋b ＜ab ＋c ＜bc ＋a ，可得ca ＋b ＋1＜ab ＋c ＋1＜bc ＋a ＋1，即a ＋b ＋ca ＋b ＜a ＋b ＋cb ＋c ＜a ＋b ＋c c ＋a.又a ，b ，c ∈(0，＋∞)，所以a ＋b ＞b ＋c ＞c ＋a .由a ＋b ＞b ＋c ，可得a ＞c ；由b ＋c ＞c ＋a ，可得b ＞a ，于是有c ＜a ＜b .]5．C 6.A 7.x ＜y ＜z 8.M ＞N9．①②③10．3解析 若ab ＞0，bc ＞ad 成立，不等式bc ＞ad 两边同除以ab ，得c a ＞d b ，即ab ＞0，bc ＞ad ⇒c a ＞d b； 若ab ＞0，c a ＞d b 成立，c a ＞d b两边同乘以ab ，得bc ＞ad ， 即ab ＞0，c a ＞d b⇒bc ＞ad ； 若c a ＞d b，bc ＞ad 成立，由于c a －d b ＝bc －ad ab＞0， 又bc －ad ＞0，故ab ＞0，所以c a ＞d b，bc ＞ad ⇒ab ＞0. 综上，任两个作为条件都可推出第三个成立，故可组成3个正确命题．11．证明 因为a ，b ，x ，y 都是正数且1a ＞1b ，x ＞y ，所以x a ＞y b ，故a x ＜b y， 则a x ＋1＜b y ＋1，即a ＋x x ＜b ＋y y. 所以x x ＋a ＞y b ＋y. 12．证明 由(a b －b c )2＋(b c －c a )2＋(c a －a b)2≥0， 得2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)－2(b a ＋c b ＋a c)≥0. 所以a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥b a ＋c b ＋a c. 13．解 (a b ＋b a)－(a ＋b ) ＝a a ＋b b －ab (a ＋b )ab＝a a ＋b b －a b －b a ab ＝a (a －b )－b (a －b )ab＝(a －b )(a －b )ab＝(a ＋b )(a －b )2ab. 又因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b ＞0，ab ＞0，又因为(a －b )2≥0(当且仅当a ＝b 时等号成立)，所以(a ＋b )(a －b )2ab ≥0，即a b ＋b a ≥a ＋b (当且仅当a ＝b 时等号成立)． 14.y 2＋1x 2＋1＞y x解析 y 2＋1x 2＋1－y 2x 2 ＝x 2(y 2＋1)－y 2(x 2＋1)x 2(x 2＋1)＝x 2－y 2x 2(x 2＋1)＝(x －y )(x ＋y )x 2(x 2＋1). 因为x ＞y ＞0，所以x －y ＞0，x ＋y ＞0，x 2＞0，x 2＋1＞1，所以(x －y )(x ＋y )x 2(x 2＋1)＞0. 所以y 2＋1x 2＋1＞y 2x 2＞0.故y 2＋1x 2＋1＞y x. 15．解 设a ＋3b ＝λ1(a ＋b )＋λ2(a －2b ) ＝(λ1＋λ2)a ＋(λ1－2λ2)b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＋λ2＝1，λ1－2λ2＝3，解得λ1＝53，λ2＝－23. ∴－53≤53(a ＋b )≤53， －2≤－23(a －2b )≤－23， ∴－113≤a ＋3b ≤1， 即a ＋3b 的取值范围为[－113，1]．。

自我小测1．若a ＞b ＞1，P Q ＝12(lg a ＋lg b )，lg 2a b R ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＝，则( )． A ．R ＜P ＜Q B ．P ＜Q ＜RC ．Q ＜P ＜RD ．P ＜R ＜Q2．设x ，y ∈R ，且x ＋y ＝5，则3x ＋3y 的最小值是( )．A ．10B ．． D ．3．已知不等式(x ＋y )(1a x y＋)≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )．A ．2B ．4C ．6D ．8 4．下列命题：①1xx ＋的最小值是22的最小值是22＋的最小值是2；④423x x ＋－的最小值是2，其中正确的命题的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．45．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是__________．6．(1)若x ＞0，求12()3f x x x ＝＋的最小值； (2)若x ＜0，求12()3f x x x＝＋的最大值． 7．求函数25152x x y x ＋＋＝＋(x ≥0)的最小值． 8．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底的造价为每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，求这个水池的最低造价．9.求函数2212sin cos y αα＝＋，π02α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时的最小值．参考答案1. 答案：B解析：∵a ＞b ＞1⇒lg a ＞0，lg b ＞0，∴Q ＝12(lg a ＋lg b )P ，12R ＝(lg a ＋lg b )＝Q ，∴R ＞Q ＞P . 2. 答案：D解析：33x y ≥＋.3. 答案：B解析：1()1a ax y x y a x y y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＋＝＋＋＋211)a ≥＋＋，当且仅当y x 取等号， ∵1()9a x y x y ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭＋＋对任意正实数x ，y 恒成立，∴需21)9≥.∴a ≥4. 4. 答案：A解析：当x ＜0时，1xx ＋无最小值，∴①错误；当x ＝02＋的最小值是2，2＋取得最小值2，但此时x 2＝－3不成立， 2取不到最小值2，∴③错误；当x ＞0时，423<0x x－－，∴④错误． 5. 答案：[9，＋∞)解析：t (t ＞0)，由ab ＝a ＋b ＋3≥3，则有t 2≥2t ＋3，∴t ≥3或t ≤－1(舍去)3≥.∴ab ≥9，当a ＝b ＝3时取等号．6. 解：(1)x ＞0，由基本不等式，得12()312f x x x ≥＝＋. 当且仅当123x x＝，即x ＝2时，f (x )取最小值12. (2)∵x ＜0，∴－x ＞0， 则1212()33f x x x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝＋＝－ ＝123x x ⎡⎤⎛⎫--(-) ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＋12≤--，当且仅当123x x -－，即x ＝－2时，f (x )取最大值－12. 7. 解：原式变形，得222992122x x y x x x ()()＋＋＋＋＝＝＋＋＋＋＋．因为x ≥0，所以x ＋2＞0.所以9262x x ≥＋＋＋. 所以y ≥7，当且仅当x ＝1时，等号成立．所以函数y 的最小值为7.8. 解：设水池的造价为y 元，池底的长为x m ， 则宽为4 m x.∴y ＝4×120＋822x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋×80＝480＋4320x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋≥480＋320× 1 760， 当且仅当4x x＝，即x ＝2 m 时，y min ＝1 760元．所以这个水池的最低造价为1 760元． 9. 解：2212sin cos αα＋＝222222sin cos 2sin cos sin cos αααααα()＋＋＋ 2222cos 2sin 33sin cos αααα≥＝＋＋＋当且仅当2222cos 2sin sin cos αααα＝，即tan αy min ＝3＋。

第一讲DIYIJIANG不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质课后篇巩固探究A组1.(2017广东深圳一模)已知a>b>0,c<0,下列不等关系正确的是()A.ac>bcB.a c>b cC.log a(a-c)>log b(b-c)D.c<0,∴-c>0.又a>b>0,∴a-c>b-c>0,ac<bc.故>0.即.2.(2017广东潮州二模)若a>b,则下列各式正确的是()A.a·lg x>b·lg xB.ax2>bx2C.a2>b2D.a·2x>b·2xa>b,当lg x≤0时,a·lg x>b·lg x不成立,故A错误.当x=0时,ax2=bx2,故B错误.若a=0,b=-1,则a2<b2,故C错误.∵2x>0,∴a·2x>b·2x,故D正确.3.若角α,β满足-<α<β<,则α-β的取值范围是()A.(-2π,2π)B.(-2π,0)C.(-π,0)D.(-π,π)-<β<,所以-<-β<.又α-β=α+(-β),且α<β,所以-2π<α-β<0.4.若a>1,b<1,则下列结论中正确的是()A. B.>1C.a2>b2D.ab<a+b-1a>1,b<1得a-1>0,b-1<0,所以(a-1)(b-1)<0,展开整理,得ab<a+b-1.5.已知1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,则3a-2b的取值范围是()A.[-6,14]B.[-2,14]C.[-6,10]D.[-2,10]3a-2b=m(a+b)+n(a-b),则所以因为1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,所以(a+b)≤,-(a-b)≤,故-2≤3a-2b≤10.6.已知0<a<1,则a,,a2的大小关系是.(从小到大)a-<0,∴a<.又a-a2=a(1-a)>0,∴a>a2.∴a2<a<.2<a<7.已知-3<b<a<-1,-2<c<-1,则(a-b)c2的取值范围是.0<a-b<2,1<c2<4,则0<(a-b)c2<8.8.设a>b>c>0,若x=,y=,z=,则x,y,z之间的大小关系是.(从小到大)x2-y2=a2+(b+c)2-b2-(c+a)2=2c(b-a)<0,所以x<y.同理可得y<z,故x,y,z之间的大小关系是x<y<z.9.若3<a<7,1<b<10,试求a+b,3a-2b,的取值范围.3<a<7,1<b<10,所以4<a+b<17,即a+b∈(4,17).因为9<3a<21,-20<-2b<-2,所以-11<3a-2b<19,即3a-2b∈(-11,19).因为9<a2<49,所以.又1<b<10,所以,即.10.导学号26394000在等比数列{a n}中,若a1>0,q>0,前n项和为S n,试比较的大小.q=1时,=3,=5,所以.当q>0,且q≠1时,=<0,所以有.综上可知有.B组1.(2017河北衡水模拟)已知0<a<b<1,c>1,则()A.log a c<log b cB.C.ab c<ba cD.a log c<b log ca=,b=,c=2,得选项A,B,C错误.由0<a<b<1,c>1,则>1,log c x在定义域上单调递增.故a log c<b log c.2.已知a,b∈R,则下列条件中能使a>b成立的必要不充分条件是()A.a>b-1B.a>b+1C.|a|>|b|D.3a>3b解析因为a>b⇒a>b-1,但a>b-1a>b,所以“a>b-1”是“a>b”的必要不充分条件;“a>b+1”是“a>b”的充分不必要条件;“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分也不必要条件;“3a>3b”是“a>b”的充要条件.3.导学号26394001已知实数a,b,c满足b+c=3a2-4a+6,c-b=a2-4a+4,则a,b,c的大小关系是()A.c≥b>aB.a>c≥bC.c>b>aD.a>c>bc-b=a2-4a+4=(a-2)2≥0易知c≥b,又由已知可解得b=a2+1>a,所以c≥b>a.4.若a,b∈R,且a2b2+a2+5>2ab+4a,则a,b应满足的条件是.(ab-1)2+(a-2)2>0,则a≠2或b≠.≠2或b≠5.设x>5,P=,Q=,试比较P与Q的大小关系.P=,Q=,又,所以Q<P.6.导学号26394002已知θ∈,且a=2sin2θ+sin 2θ,b=sin θ+cos θ,试比较a与b的大小.θ∈,所以a=2sin2θ+sin 2θ>0,b=sin θ+cos θ>0.因为=2sin θ,又θ∈,所以sin θ∈,2sin θ∈(0,1),即0<<1,故a<b.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

2016-2017学年高中数学 第1讲 不等式和绝对值不等式 1.1 不等式的基本性质课后练习 新人教A 版选修4-5一、选择题1．若a ＜b ＜0，则( ) A.1a ＜1b B ．0＜a b＜1C ．ab ＞b 2D.b a ＞a b解析： 因为a ＜b <0，所以1a ＞1b ，故A 错．因为a ＜b ＜0，所以|a |＞|b |，所以ab＞1，故B 错．因为a ＜b ＜0，所以ab ＞b ·b ，即ab ＞b 2，故C 对．因为a ，b 同号，|a |＞|b |，所以ab ＞1,0＜b a＜1，故D 错．答案： C2．已知三个不等式：ab ＞0，bc －ad ＞0，c a －d b＞0(其中a ，b ，c ，d 均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析： 由ab ＞0，bc －ad ＞0可得bc ＞ad 两边同除以ab 得 c a ＞d b ，即c a －db＞0. 由c a －d b ＞0得c a ＞d b，再由ab ＞0， 两边同乘以ab 得bc ＞ad ，即bc －ad ＞0.由bc －ad ＞0，c a －d b >0可得bc ＞ad ，c a ＞d b，所以可得ab ＞0. 答案： D3．若1a ＜1b ＜0，则下列不等式：①a ＋b ＜ab ；②|a |>|b |；③a ＜b ；④b a ＋ab＞2中，正确的不等式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：1a ＜1b ＜0⇔b ＜a ＜0，∴a ＋b ＜0＜ab ，|a |＜|b |，b a ＋a b＞2b a ·ab＝2(∵b ＜a ＜0，故等号取不到)，即①④正确，②③错误，故选B.(注：本题亦可用特值法，如取a ＝－1，b ＝－2验证得)答案： B4．已知0＜x ＜y ＜a ＜1，则有( ) A ．log a (xy )＜0 B ．0＜log a (xy )＜1 C ．1＜log a (xy )＜2D ．log a (xy )＞2解析：∵0＜x ＜y ＜a ＜1，∴0＜xy ＜a 2＜1，由对数函数的单调性和对数的定义得，log a (xy )＞log a a 2＝2.答案： D 二、填空题5．若x >0，则x ＋4x的最小值为( )A ．2B ．3C ．2 2D ．4解析：∵x >0， ∴x ＋4x≥2x ·4x ＝4， 当且仅当x ＝4x即x ＝2时取等号， 所以x ＋4x的最小值为4.答案： D6．若0＜2α－β＜π，－π2＜α－2β＜π，则α＋β的取值X 围是________． 解析： 由－π2＜α－2β＜π得－π＜2β－α＜π2，再与0＜2α－β＜π相加得－π＜α＋β＜3π2答案： －π＜α＋β＜3π2三、解答题7．设a ＞0，b ＞0且a ≠b ，试比较a a b b与a b b a的大小．解析：a a b b a b b a ＝a a －b ÷b a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b.当a ＞b ＞0时，ab＞1，a －b ＞0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ba －b ＞1，于是a a b b ＞a b b a . 当b ＞a ＞0时，0＜a b＜1，a －b ＜0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ＞1，于是a a b b ＞a b b a . 综上所述，对于不相等的正数a ，b ，都有a a b b＞a b b a.8．已知－6＜a ＜8,2＜b ＜3，分别求2a ＋b ，a －b ，a b的取值X 围． 解析：∵－6＜a ＜8，∴－12＜2a ＜16. 又2＜b ＜3，∴－10＜2a ＋b ＜19， ∵2＜b ＜3，∴－3＜－b ＜－2.又－6＜a ＜8，∴－9＜a －b ＜6. ∵2＜b ＜3，∴13＜1b ＜12.①当0≤a ＜8时，0≤a b ＜4；②当－6＜a ＜0时，－3＜a b＜0. 综合①②得－3＜a b＜4.9．设f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值X 围． 解析： 设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)， 则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a －(m －n )b .于是，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10. ∴5≤f (－2)≤10.。

, [学生用书P4])[A 基础达标]1．当a ≠0时，“a >1”是“1a<1”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.当a >1时，1a <1成立． 当1a <1时，a －1a>0， 所以a <0或a >1.故必要性不成立．2．若a ，b 为非零实数，且a ＜b ，则下列不等式成立的是( )A ．1a ＞1bB ．a 2＜b 2C ．a 2b ＜ab 2D ．(a －1)3＜(b －1)3解析：选D.对于选项A ，如a ＝－3，b ＝1时，1a ＞1b显然不成立，故不正确； 对于选项B ，如a ＝－3，b ＝－1，显然a 2＜b 2不成立，故不正确；对于选项C ，如a ＝－3，b ＝1时，显然a 2b ＜ab 2不成立，故不正确；对于选项D ，因为a ＜b ，所以a －1＜b －1，因为函数y ＝x 3在定义域R 上是增函数，故(a －1)3＜(b －1)3成立，故选D.3．已知a ＞b ＞c ，则下列不等式正确的是( )A ．ac ＞bcB ．ac 2＞bc 2C ．b (a －b )＞c (a －b )D ．|ac |＞|bc |解析：选C.a ＞b ＞c ⇒a －b ＞0⇒(a －b )b ＞(a －b )c .4．若a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，则( )A ．ab >bcB ．ac >bcC ．ab >acD ．a |b |>c |b |解析：选C.若a ≤0，因为a >b >c ，所以a ＋b ＋c <0与a ＋b ＋c ＝0矛盾，所以a >0.又b >c ，所以ab >ac .5．如果a ＜b ＜0，那么下列不等式成立的是( )A ．a 2＜abB ．－ab ＜－b 2C ．1a ＜1bD ．b a ＞a b解析：选B.对于A ，由a ＜b ＜0，得a 2＞ab ，故A 错误；对于B ，若a ＜b ＜0，则－a ＞－b ＞0，b ＜0，所以－ab ＜－b 2，故B 正确；对于C ，由a ＜b ＜0，两边同除以ab 得1b ＜1a ，即1a ＞1b，故C 错误； 对于D ，0＜b a ＜1，a b＞1，故D 错误；故选B. 6．已知a <b ，c >d ，则a ＋d 与b ＋c 的大小关系是a ＋d ________b ＋c .解析：a <b ⇒b >a ，又c >d ，所以b ＋c >a ＋d ，即a ＋d <b ＋c .答案：<7．已知0＜a ＜1，则a ，1a，a 2的大小关系是________． 解析：因为a －1a ＝（a ＋1）（a －1）a＜0， 所以a ＜1a. 又a －a 2＝a (1－a )＞0，所以a ＞a 2.所以a 2＜a ＜1a. 答案：a 2＜a ＜1a8．设x ＝a 2b 2＋5，y ＝2ab －a 2－4a ，若x ＞y ，则实数a ，b 满足的条件是________．解析：x －y ＝(a 2b 2－2ab ＋1)＋(a 2＋4a ＋4)＝(ab －1)2＋(a ＋2)2.由x ＞y 得条件是ab ≠1或a ≠－2.答案：ab ≠1或a ≠－29．已知m ，n 是正数，证明：m 3n ＋n 3m≥m 2＋n 2. 证明：因为m 3n ＋n 3m －m 2－n 2＝m 3－n 3n ＋n 3－m 3m ＝（m 3－n 3）（m －n ）mn＝（m －n ）2（m 2＋mn ＋n 2）mn. 又m ，n 均为正实数，所以（m －n ）2（m 2＋mn ＋n 2）mn≥0， 所以m 3n ＋n 3m≥m 2＋n 2. 10．设24＜a ≤25，5＜b ≤12，求a ＋b ，a －b ，ab ，a b的取值范围． 解：由24＜a ≤25，5＜b ≤12，得29＜a ＋b ≤37，120＜ab ≤300.由24＜a ≤25，－12≤－b ＜－5，得12＜a －b ＜20.由24＜a ≤25，112≤1b ＜15，得2＜a b＜5. [B 能力提升]1．现给出下列三个不等式：①a 2＋1>2a ；②a 2＋b 2>2⎝⎛⎭⎫a －b －32；③(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)>(ac ＋bd )2.其中恒成立的不等式的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B.对于①，因为a 2－2a ＋1＝(a －1)2≥0，所以当a ＝1时，a 2＋1＝2a .所以a 2＋1>2a 不恒成立．对于②，因为(a 2＋b 2)－2⎝⎛⎭⎫a －b －32＝(a 2－2a ＋1)＋(b 2＋2b ＋1)＋1＝(a －1)2＋(b ＋1)2＋1>0，所以a 2＋b 2>2⎝⎛⎭⎫a －b －32恒成立．对于③，因为(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)－(ac ＋bd )2＝a 2d 2＋b 2c 2－2abcd ＝(ad －bc )2， 当ad ＝bc 时，(ad －bc )2＝0，所以(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)>(ac ＋bd )2不恒成立，故选B.2．若a ，b ∈R ，且a ＞b ，下列不等式：①b a ＞b －1a －1；②(a ＋b )2＞(b ＋1)2；③(a －1)2＞(b －1)2. 其中不成立的是________．解析：①b a －b －1a －1＝ab －b －ab ＋a a （a －1）＝a －b a （a －1）. 因为a －b ＞0，a (a －1)的符号不确定，①不成立；②取a ＝2，b ＝－2，则(a ＋b )2＝0，(b ＋1)2＝1，②不成立；③取a ＝2，b ＝－2，则(a －1)2＝1，(b －1)2＝9，③不成立．答案：①②③3．已知y ＜x ＜0，0＜a ＜b ，求证：y 2－a ＞x 2－b . 证明：因为y ＜x ＜0，所以－y ＞－x ＞0，所以(－y )2＞(－x )2＞0，即y 2＞x 2.①因为0＜a ＜b ，所以0＜a ＜b ， 所以－a ＞－b .②由①②得y 2－a ＞x 2－b .4．已知α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3.试求α＋3β的取值范围． 解：设α＋3β＝λ(α＋β)＋μ(α＋2β)＝(λ＋μ)α＋(λ＋2μ)β，比较α，β的系数得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝1λ＋2μ＝3， 解得λ＝－1，μ＝2.由题意知－1≤－(α＋β)≤1，2≤2(α＋2β)≤6， 两式相加得1≤α＋3β≤7，所以α＋3β的取值范围是[1，7]．。

第一课时 不等式的基本性质[基础达标]1.若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有 A.a d ＞b c B.a d ＜b cC.a c ＞b dD.a c ＜b d解析 解法一 令a ＝3，b ＝2，c ＝－3，d ＝－2， 则a c ＝－1，b d＝－1，排除选项C ，D ；又a d ＝－32，b c ＝－23，所以a d ＜bc，所以选项A 错误，选项B 正确.故选B. 解法二 因为c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0，所以1－d ＞1－c ＞0.又a ＞b ＞0，所以a －d ＞b －c ，所以a d ＜bc .故选B.答案B2.如果a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是 A.ab >ac B.c (b －a )>0 C.cb 2<ab 2D.ac (a －c )<0解析 由条件c <b <a ，ac <0，得a >0，c <0，但b 的正负情况不确定.解法一 取a ＝1，b ＝0，c ＝－1分别代入选项A ，B ，C ，D 中验证可知选项C 不成立. 解法二 由题意，知c <0，a >0，则选项A 一定正确；因为c <0，b －a <0，所以c (b －a )>0，所以选项B 一定正确；因为ac <0，a －c >0，所以ac (a －c )<0，所以选项D 一定正确，故选C(当b ＝0时，不成立).答案C3.已知a >b ，则下列不等式： ①a 2>b 2；②lg(a －b )>0；③1a －b >1a. 其中不一定成立的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3解析 对于①，a 2－b 2＝(a －b )(a ＋b )，且a －b >0，但a ＋b 的正负无法确定；对于②，a －b >0，但a －b 与1的关系无法确定；对于③，1a －b －1a ＝b （a －b ）a ，且a －b >0，但ba 的正负无法确定，所以这三个不等式都无法确定是否成立.答案D4.当a ＞0时且a ≠1时，log a (1＋a )与log a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a 的大小关系为________.解析log a (1＋a )－log a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a＝log a 1＋a1＋1a＝log a a ＝1，因此log a (1＋a )＞log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a .答案log a (1＋a )＞log a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a5.已知x ，y 均为正数，设m ＝1x ＋1y ，n ＝4x ＋y ，试比较m 和n 的大小.解析m －n ＝1x ＋1y －4x ＋y＝x ＋y xy －4x ＋y ＝（x ＋y ）2－4xy xy （x ＋y ）＝（x －y ）2xy （x ＋y ）， ∵x ，y 均为正数，∴x ＞0，y ＞0，xy ＞0，x ＋y ＞0，(x －y )2≥0， ∴m －n ≥0即m ≥n .[能力提升]1.若a ，b 为实数，则“0＜ab ＜1”是“a ＜1b 或b ＞1a”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 当0＜ab ＜1时，若b ＞0，则有a ＜1b ；若b ＜0，则a ＜0，从而有b ＞1a.“0＜ab＜1”是“a ＜1b 或b ＞1a”的充分条件.反之，取b ＝1，a ＝－2，则有a ＜1b 或b ＞1a，但ab ＜0.故选A.答案A2.已知函数f (x )＝x ＋x 3，x 1，x 2，x 3∈R ，x 1＋x 2＜0，x 2＋x 3＜0，x 3＋x 1＜0，那么f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值A.一定大于0B.一定小于0C.等于0D.正负都有可能解析x 1＋x 2＜0⇒x 1＜－x 2，又∵f (x )＝x 3＋x 为奇函数，且在R 上递增， ∴f (x 1)＜f (－x 2)＝－f (x 2)， 即f (x 1)＋f (x 2)＜0. 同理：f (x 2)＋f (x 3)＜0，f (x 1)＋f (x 3)＜0.以上三式相加得2[f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)]＜0. 即f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＜0. 答案B3.若1a ＜1b ＜0，则下列不等式：①a ＋b ＜ab ；②|a |＞|b |；③a ＜b ；④b a ＋ab＞2中，正确的不等式有A.1个B.2个C.3个D.4个解析1a ＜1b ＜0⇔b ＜a ＜0，∴a ＋b ＜0＜ab ，|a |＜|b |，b a ＋a b＞2b a ·ab＝2(∵b ＜a ＜0，故等号取不到)，即①④正确，②③错误，故选B.(注：本题亦可用特值法，如取a ＝－1，b ＝－2验证得)答案B4.若0<x <y <1，则下列不等式正确的是 A.4y<4xB.x 3>y 3C.log 4x <log 4yD.⎝ ⎛⎭⎪⎫14x <⎝ ⎛⎭⎪⎫14y解析由0<x <y <1，则4y>4x，x 3<y 3，log 4x <log 4y ，⎝ ⎛⎭⎪⎫14x>⎝ ⎛⎭⎪⎫14y.故选C. 答案C5.已知三个不等式：ab ＞0，bc －ad ＞0，c a －db＞0(其中a ，b ，c ，d 均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是A.0B.1C.2D.3答案D6.已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列选项中不恒成立的是 A.b a ＞c a B.b －ac＞0C.b 2c ＞a 2cD.a －cac＜0 解析 ∵c ＜b ＜a 且ac ＜0， ∴a ＞0，c ＜0.由b ＞c ，a ＞0，即1a ＞0，可得b a ＞ca，故A 恒成立.∵b ＜a ，∴b －a ＜0. 又c ＜0，∴b －ac＞0，故B 恒成立. ∵c ＜a ，∴a －c ＞0. 又ac ＜0，∴a －cac＜0，故D 恒成立. 当b ＝－2，a ＝1时，b 2＞a 2，而c ＜0，∴b 2c ＜a 2c，故C 不恒成立. 答案C7.以下四个不等式：①a <0<b ；②b <a <0；③b <0<a ；④0<b <a .其中使1a <1b成立的充分条件是________.解析1a <1b ⇔b －a ab<0⇔b －a 与ab 异号，依题设①②④能使b －a 与ab 异号.答案 ①②④8.设a ＞b ，(1)ac 2＞bc 2；(2)2a ＞2b ；(3)1a ＜1b；(4)a 3＞b 3；(5)a 2＞b 2中正确的结论有________.解析 若c ＝0，(1)错；若a ，b 异号或a ，b 中有一个为0，(3)(5)错. 答案 (2)(4)9.实数a ，b ，c ，d 满足下列三个条件：①d >c ；②a ＋b ＝c ＋d ；③a ＋d <b ＋c .则将a ，b ，c ，d 按照从小到大的次序排列为________.解析 本题条件较多，若两两比较，需6次，很麻烦.但如果能找到一个合理的程序，则可以减少解题步骤.⎭⎪⎬⎪⎫③⇒d －b <c －a ②⇒c －a ＝b －d ⇒⎩⎪⎨⎪⎧d －b <b －d ，a －c <c －a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧d <b ，a <c ，又由①，得a <c <d <b . 答案a <c <d <b10.若a >0，b >0，求证：b 2a ＋a 2b≥a ＋b .证明b 2a ＋a 2b －(a ＋b )＝（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2）ab－(a ＋b )＝（a ＋b ）（a －b ）2ab.∵a >0，b >0，∴a ＋b >0，ab >0，(a －b )2≥0.∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b . 11.已知f (x )＝ax 2＋c ，且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值X 围. 解析 由－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5， 得－4≤a ＋c ≤－1，－1≤4a ＋c ≤5. 设u ＝a ＋c ，v ＝4a ＋c ，则有a ＝v －u 3，c ＝4u －v 3.∴f (3)＝9a ＋c ＝－53u ＋83v .又⎩⎪⎨⎪⎧－4≤u ≤－1，－1≤v ≤5，∴⎩⎪⎨⎪⎧53≤－53u ≤203，－83≤83v ≤403. ∴－1≤－53u ＋83v ≤20.∴f (3)∈[－1，20]. 12.已知a ＞0，a ≠1. (1)比较下列各组大小①a 2＋1与a ＋a ；②a 3＋1与a 2＋a ；③a 5＋1与a 3＋a 2. (2)探讨在m ，n ∈N ＋条件下，am ＋n＋1与a m ＋a n的大小关系，并加以证明.解析 (1)①a 2＋1＞a ＋a ；②a 3＋1＞a 2＋a ；③a 5＋1＞a 3＋a 2. (2)根据(1)可探讨，得am ＋n＋1＞a m ＋a n.(证明如下)a m ＋n ＋1－(a m ＋a n )＝a m (a n －1)＋(1－a n )＝(a m－1)(a n－1). 当a ＞1时，a m＞1，a n＞1，∴(a m－1)(a n－1)＞0；当0＜a＜1时，0＜a m＜1，0＜a n＜1，∴(a m－1)(a n－1)＞0；总之(a m－1)(a n－1)＞0，即a m＋n＋1＞a m＋a n.。