2010矩阵论试题

南京工业大学 矩阵论 试卷2010--2011 学年第 2 学期 使用班级 研10班级 学号 姓名一填空（03'）.1. 设V 是实数域上全体22⨯阶对称矩阵组成的线性空间，则它是 维的，一组基是 ，任一实对称矩阵a c A c b ⎛⎫= ⎪⎝⎭在此组基下的坐标是 。

2. 在欧氏空间4R 中，内积按通常定义，则向量)0,4,1,1(-=α与)2,2,1,3(-=β之间的夹角>=<βα, ；向量α的长度为 。

3. 设1324A -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则 1A ＝ ，∞A ＝ 。

4. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=553311A ，则A 的满秩分解为A ＝ 。

5. 设111100A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A 的二个奇异值为1λ＝ ，2λ＝ 。

二(14).设22⨯R 中向量组⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111,0111,0011,00014321αααα 1 （1）证明4321,,,αααα是22⨯R 的一个基；（2）求从基22211211,,,E E E E 到基4321,,,αααα的过渡矩阵；（3）求矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2011P 在基4321,,,αααα下的坐标。

三)01('.在3R 中，对任意 3321),,(R a a a ∈=α, 定义：A 13213()(,2,)a a a a a α=+-， （1）证明：A 是3R 上的线性变换；（2）求A 在基)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321===εεε下的矩阵。

四)01('.在},,{][21022123R a a a x a x a a x R ∈++=中定义内积 ⎰-=11)()(),(dx x g x f g f ， 证明：21(),()(31)2f x x g x x ==-是正交的，并求它们的长度。

五)01('.设V 为3维的线性空间，321,,ααα为V 的一组基，A 是V 上的线性变换，且A 11αα=，A 2122ααα+=，A 3233ααα+=，求：（1）A 在基321,,ααα下的矩阵； （2）A 的特征值和特征向量；（3）在V 中能否选择适当的一组基，使得A 在这组基下的矩阵是对角阵？如果能，写出这组基及对角阵。

2010年《矩阵论》课外报告参考题目要求：1.任选至少一个题目，用中文写就报告，字数500字以上，能说明问题即可。

报告阐述要求尽量浅显明了，让具有《矩阵论》初步知识的读者也能看懂。

2.报告主要包含以下部分：报告题目、报告人信息、报告摘要、欲解决的题目内容、基本术语解释、基本理论阐述、报告正文、报告结论。

3.报告评分细则由助教协助任课教师共同拟定，报告成绩所占平时成绩的比例由任课老师决定。

4.报告题目也可以由学生自拟，但是要求不能太专业化了，要让绝大多数非专业的人士能看懂该报告。

否则，该报告不给成绩。

5.杜绝抄袭（含网上或非网上），情节严重者不给平时成绩。

1.人口迁移问题假设有两个地区——如南方和北方，之间发生人口迁移。

每一年北方50%的人口迁移到南方，同时有25%的南方人口迁移到北方，直观上可由下图表示：问题：如果这个移民过程持续下去，北方的人会不会全部都到南方？如果会请说明理由；如果不会，那么北方的最终人口分布会怎样？2. 最小二乘问题一颗导弹从敌国发射，通过雷达我们观测到了它的飞行轨迹，具体有如下数据：我国军情处分析得出该导弹沿抛物线轨道飞行。

问题：预测该导弹在什么水平距离着地。

3.排污问题考虑体积均为V加仑的三个装满脏水的桶，刚开始在编号为i的桶里面含有污染物ci 磅。

为了排除污染物，所有的水龙头同时打开，使得新鲜水以r加仑/秒的速度流进3号桶顶部，同时在它的底部的龙头也以r加仑/秒的速度流进2号桶顶部，而2号桶的底部的龙头同时也以r加仑/秒的速度流进1号桶顶部，最后1号桶的底部以r加仑/秒的速度把水排向其他地方。

t 时，每个箱子中含的污染物有多少磅？4.航班问题一家航空公司经营A、B、C、D和H五个城市的航线业务，其中H为中心城市。

各个城市间的路线见图1。

图 1假设你想从A城市飞往B城市，因此要完成这次路线，至少需要两个相连的航班，即A→H 和H→B。

如果没有中转站的话，就不得不要至少三个相连的航班。

第一章第一章第6题实数域R 上的全体n 阶对称（反对称）矩阵，对矩阵的加法和数量乘法。

解：实数域R 上的全体n 阶矩阵，对矩阵的加法和数量乘法构成R 上的线性空间nn R ⨯,记{}{}A A R A A W A A R A A V T n n T n n -=∈==∈=⨯⨯,/;,/ 以为，对任意的,,,,B B A A V B A T T ==∈则(),B A B A T+=+即V B A ∈+,所以V 对加法运算是封闭的；对任意的A A R k V A T =∈∈,,,则(),,V kA kA kA T∈=即所以V 对数乘运算封闭；所以，V 是nn R⨯的一个线性子空间，故V 构成实数域R 上的一个线性空间。

同理可证，W 也是一个线性空间。

P41第一章第8题(参考P10例题 1.2.5) 证明：存在1k ,2k ,3k ,4k 使得112233440k k k k αααα+++=即11111k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦+21101k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦+31110k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦+41011k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=0 解12341231341240000k k k k k k k k k k k k k +++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩ 得12340k k k k ====所以1α，2α，3α，4α线性无关P42第1章第12题解：因为A=x 1α1+x 2α2+x33α+x 4α4即x 1+x 2+x 3+x 4=1x 1+x 2+x 3=2x 1+x 3+x 4=-2x 1+x 2+x 4=0⇒x 1=-2x2=3x 3=1 x 4=-1所以A 的坐标为[x 1,x 2,x 3,x 4]T=[-2,3,1,-1]TP42第一章第13题 答案 f(x)=3+1-n 2x( 泰勒展开))(f x '=2(n-1)2-n x(x)f ''=2(n-1)(n-2)3-n x …… )1(f -n (x)=2(n-1)! )(f n (x)=0f(1)=5 )1(f '=2(n-1) (1)f ''=2(n-1)(n-2) …… )1(f -n (1)=2(n-1)!f(x)=f(1)+ )1(f '(x-1)+!21(1)f ''2)1(-x +……+)!1(1-n )1(f -n (1)1)1(--n x =5+2(n-1)(n-2)+!2)2)(1(2--n n 2)1(-x +……+)!1()1(2--n n ！1)1(--n x=5+211-n C (x-1)+221-n C 2)1(-x +……+211--n n C 1)1(--n x取f(x)=3+1-n 2x在基1, (x-1), 2)1(-x , ……,1)1(--n x 下的坐标为（5 , 211-n C , 221-n C ,…… , 211--n n C T)教材P42习题14：求基T)0,0,0,1(1=α，T)0,0,1,0(2=α，T )0,1,0,0(3=α，T)1,0,0,0(4=α，到基T )1,1,1,2(1-=β，T )0,1,3,0(2=β，T )1,2,3,5(3=β，T )3,1,6,6(4=β的过度矩阵，确定向量T x x x x ),,,(4321=ξ在基1β，2β，3β，4β，下的坐标，并求一非零向量，使它在这两组基下的坐标相同。