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ghx第六章频率特性分析法(一)

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频率特性的图示方法

频率特性的图示方法
对数相频特性：
由：
2.典型环节的Bode图
始于点（ωT ，0)，斜率20dB/dec的直线
对数幅频特性：
低频段（ω<<ωT）， 20lgG(j)20lgT－20lgT＝0dB
高频段（ω>>ωT）， 20lgG(j) 20lg－20lgT
故：
ωT : 转角频率
(5)一阶微分环节
对数相频特性：
=0， G(j)=0°；=T，G(j)=45°；=， G(j)=90°； 对数相频特性曲线对称于点(T，45°)
01
20lgG(j)＝ 20lg G(j)= 90o
02
对数幅频特性：过点（1，0）斜率20dB/dec的直线
03
对数相频特性：过点（0，90o ）平行于横轴的直线
04
2.典型环节的Bode图
始于点（ωT ，0)， 斜率－20dB/dec的直线
(4)惯性环节
令：
故：
对数幅频特性：
低频段（ω<<ωT）源自 20lgG(j)20lgT－20lgT＝0dB
02
补充必要的几点，根据G(j)、G(j)和Re[G(j)]、Im[G(j)]的变化趋势以及G(j)所处的象限，作出Nyquist曲线的大致图形。
03
2.绘制Nyquist图的一般方法
例1 系统的传递函数
解 系统的频率特性
0
幅频：
相频：G(j) = －90ｏ－arctgT
实频：
虚频：
积分环节改变了起始点（低频段）
根据上述特点，可以直接绘制系统的对数幅频特性
Bode图的绘制
步骤如下
写出开环频率特性表达式，将所含各因子的转折频率由大到小依次标在频率轴上

哈工大控制原理专业课

哈工大控制原理专业课

: 0
斜率为
k 20 lg G( j2 ) 20 lg G( j1） dB/dec lg 2 lg 1
2）相频特性 纵轴是角度
（3）奈奎斯特稳定判据。
1）奈奎斯特图
• Z-闭环正极点数，P-开环正极点数， R-逆时针包围圈数。Z=0闭环系统稳定
•
Z=P-R
2）伯德图 N-在0dB以上的频段内，相 频特性对-180°正负穿越次数之差。 Z=0闭环系统稳定。
开环增益K
• 2005-5. 系统A,B,C的幅频特性见图 • 单位阶跃信号，比较稳态误差的大小 • 比较开环增益的大小。 • 比较超调量 • 比较调整时间
• 2005-6. 开环频率特性见图，求 • 系统的开环增益。 • 系统的相位裕度和幅值裕度。 • 系统的开环增益增大到原来的10倍时
的相位裕度和幅值裕度。
• 幅值裕度 Kg 20 dB 的开环增益K • 在原系统中串联一个
滞后环节 e0.1s ， 求相位裕度和幅值裕度
• 2004-4 系统的开环传递函数为
G(s)
50
s(s 5)(s 1)
• 试用奈氏判据判断系统的稳定性。
• 2004-5 控制系统如图所示。为使系统的
相角裕量等于 50 ，试确定K值。
• 写出三种校正装置的传递函数
• 哪一种校正装置使系统的相角裕度最 大，其值为多少？
• 校正后的系统在单位速度信号作用下 的稳态误差分别是多少？
• 2007-4. 系统的 • 开环传递函数为
G(s) K e s s(s 1)
• 其中K=10。为保证闭环稳定，求τ的 取值范围。
• 2006-4 系统见图，n为正整数。Gc (s) K
40 30

Z06_频率特性

Z06_频率特性

1 G 1 jT
1 G (1 jT1 )(1 jT2 )
1 G (1 jT1 )(1 jT2 )(1 jT3 )
1 G j (1 jT1 )
1 G j (1 jT1 )(1 jT2 )
1 G ( j )2 (1 jT1 )(1 jT2 )
分析： 1 ω=0 2 ω=ωn 3 ω=∞
谐振峰值
（1）幅相曲线与负虚轴的交点为无阻尼自然频率 （2）当阻尼比较小时，曲线出现峰值，对应 的频率称为谐振频率。
谐振频率
r n 1 2
2
谐振峰值
M r | G( jr ) |
1 2 1
2
微分环节
一阶微分环节
二阶微分环节
G( j ) A( )e
j ( )
U ( ) jV ( )
虚频特性
实频特性
幅频特性： 频率特性的幅值随频率的变化关系
2 )| 2 A ( ) | G ( j A( ) | U | | V |
相频特性： 频率特性的相角随频率的变化关系
V ( ) G ( j ) ( ) arctan U
• NACA委员会成员
• 美国国家工程院的创始成员 • in 1989, the IEEE Control Systems Society established the Hendrik W. Bode Lecture Prize in order to: recognize distinguished contributions to control systems science or engineering
-T2/2
-T2/2
傅里叶变换

自动控制原理 ghx第六章频率特性分析法(四)

自动控制原理 ghx第六章频率特性分析法(四)

环
D(s)G(s) 特 性 式 [Ds()
N
(
s
)
]
1、辅助函数
F ( s )
1
Gk( s )
D(s) N(s) D(s)
奈奎斯特稳定判据 ：辅助函数
辅助函数 特点：
n
F ( s )
1
Gk( s )
D
(
s) N( D(s)
s
)
(s zj)
j1 n
(s pj)
j1
20
逐点计算得出相角变
40
化的曲线。
90
() /()
(3) 对数频率特性如图6-32。
135
截止频率：L(ω)=0处的频率，记为ωc
1≤ ω ≤10,惯性环节和一阶微分环节作
用相抵消
180 101
=2 =20
-114.5
100 /(rad/sec) 101
102
频率 /(rrad/s)
G1
(s)

1 1

τs Ts
,
0 τ T
1 τs G2(s) 1 Ts , 0 τ T
1 τs G3(s) 1 Ts , 0 τ T
含义：当ω从0至+∞变化时，完全相同幅频特性的 一类系统中，最小相位系统的相角变化量最小。
最小相位和非最小相位 0
Bode Diagram
L() /(dB)
5
举例：G1
(s)

1 1
τs Ts
,
0 τ T
1 τs G2(s) 1 Ts , 0 τ T
L1(ω) L2(ω)
20lg 1 τ 2ω2 20 lg 1 T 2ω2

频率分析法

频率分析法
i =1
n
表示系统可分解成个各环节，系统的幅频特性在BODE图 表示系统可分解成个各环节，系统的幅频特性在BODE图 BODE 上可由环节特性叠加而得到。 上可由环节特性叠加而得到。 同样， 同样，相频特性也具有这个特点
) ) ∠G( jω) = ∑∠( jτ iω +1 + + ∑∠( jTiω +1 −
Y ( jω ) ∠ = ∠ G ( jω ) X ( jω )
为此，定义对象的频率特性（正弦传递函数）如下： 为此，定义对象的频率特性（正弦传递函数）如下：
Y ( jω) = G( jω) X( jω)
线性定常系统的频率特性， ω取代其传递函数中s即 线性定常系统的频率特性，用jω取代其传递函数中 即得。 它是一个复变量，其幅值与幅角是频率的函数。 它是一个复变量，其幅值与幅角是频率的函数。 幅角为正称相位超前，幅角为负称相位滞后。 幅角为正称相位超前，幅角为负称相位滞后。
纸张张力控制系统
I = Ie jψi
正弦输入信号下系统的稳态输出
40
不
设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。 设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。
给系统输入一个幅值不变，而频率变化的正弦信号， 给系统输入一个幅值不变，而频率变化的正弦信号，响应如下
结论： 结论：
Ar=1 ω=0.5
线性定常系统是稳定的情况下，系统的正弦响应在 线性定常系统是稳定的情况下， 稳定的情况下 稳态时，输出与输入是同频率 而幅值和相角皆随 同频率， 稳态时，输出与输入是同频率，而幅值和相角皆随 ω而变的正弦。 而 的正弦。
Ae
即
jω t
jω
ωe j (π / 2)
A ωe
j ( ωt + π / 2 )

频率特性分析(1)

频率特性分析(1)

bm xi( m ) (t ) bm 1 xi( m 1) (t ) b1 xi (t ) b0 xi (t ) 其传递函数为： X o ( s ) bm s m bm 1s m 1 b1s b0 G ( s) X i ( s ) an s n an 1s n 1 a1s a0
本章主要学习要点：
•频率特性的基本概念、特点、作用及其与传 递函数的关系 •极坐标图(耐奎斯特图)的概念，典型环节的 极坐标图 •对数坐标图(波德图)的概念及其画法。典型 环节的对数坐标图
2
4.1频率特性的概念
一、频率响应与频率特性 1.频率响应 线性定常系统对谐波输入的稳态响应。 根据微分方程解的理论，对于线性定常系统，若输入 一谐波信号，系统的稳态输出也为同一频率的谐波信 号，但幅值和相位发生了变化。
0
1
s j
则：X o ( j ) G ( j )
18
X o ( j ) G ( j ) X o ( j ) L[ xo (t )] s j xo (t )e st dt
0 s j
xo (t )e jt dt
0

F [ xo (t )] 故：F [ w(t )] G ( j ) ( 2)时间响应分析主要用于过渡过程分析，频率特性 主要用于稳态响应分析。 (3)在许多情况下，频域分析比时域分析容易；根据 频率特性，可以较方便地判别系统的稳定性和稳定 性储备，并对系统进行校正；易于系统工作的频率 范围，或设计具有合适的频率特性的系统。 19
3
若输入为xi (t ) X i sin t 则输出为xo (t ) X o ( ) sin[ t ( )]

频率分析法

i 1 j 1
( k s 1) ( l2 s 2 2 l l s 1)
k
m1
m2
Go ( j ) G1 ( j )G2 ( j )Gk ( j ) Gi ( j )
i 1
Go ( j ) G1 ( j ) G1 ( j ) G2 ( j ) G2 ( j ) Gi ( j ) Gi ( j )

( ) j 90
4-2-4 惯性环节
Nyquist图
1
1 G( j ) 1 Ts
s j
1 1 jT
T 1 G( j ) j arctan T 2 2 2 2 2 2 1 T 1 T 1 T 1 A( ) 1 2T 2
G( j ) G( j ) e j ( ) Im[G( j )] ( ) G( j ) arctg Re[G( j )]
G( j ) G( j ) e j ( ) G( j ) e j ( )
e j[ t ( )] e j[ t ( )] yn (t ) X G ( j ) 2j X G ( j ) sin[ t ( )]
()是单调减的，且以转折频率为 中心，两边反对称
① ② ③
最大误差
L( ) 20 lg 1 1 2T 2
1 / T
1 20 lg 3.01(dB) 2
误差修正曲线
4-2-5 一阶微分环节 G ( j ) 1 T s s j 1 jT
Nyquist图 Bode图
幅频特性与相频特性----系统的频率特性。
频率特性与传递函数的关系
s p
j
G ( j ) G ( s ) s j

频率特性的几种表示方法


Thursday, January 03, 2019
2
一、极坐标频率特性曲线（又称奈魁斯特曲线）
它是在复平面上用一条曲线表示 由 0 时的频率特性。 即用矢量 G ( j ) 的端点轨迹形成的图形。 是参变量。在曲线 的上的任意一点可以确定实频、虚频、幅频和相频特性。 根据上面的说明，可知： 频率特性曲线是S平面 Q ( ) 上变量s沿正虚轴变化 时在G(s)平面上的映射。

A( ) ( )
P ( )
0
G( s)
s 1 s2 s 1
由于 | G( j ) |是偶函数， 所以当 从 0 和 变化时，奈 0 魁斯特曲线对称于实 轴。 3
Thursday, January 03, 2019
二、对数频率特性曲线（又称波德图） 它由两条曲线组成：幅频特性曲线和相频特性曲线。
三、 对数幅相特性曲线（又称尼柯尔斯图） 尼柯尔斯图是将对数幅频特性和相频特性两条曲线合并成 一条曲线。横坐标为相角特性，单位度或弧度。纵坐标为对数 幅频特性，单位分贝。横、纵坐标都是线性分度。
Thursday, January 03, 2019
6
幅值 1
A( )
1.26
2
1.56
4
2.00
6
2.51
8
3.16
10
5.62
15
10.0
20
增益 0
Thursday, January 03, 2019
5
使用对数坐标图的优点：

可以展宽频带；频率是以10倍频表示的，因此可以清楚的 表示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性。 可以将乘法运算转化为加法运算。 所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线（渐进线） 近似表示。 对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近 似的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。

自动控制原理 ghx第六章频率特性分析法(五)


0 L(g )
L() /(dB)
幅值裕度物理意义 :
1)稳定系统的传递系 数增大KGM 倍,频率
() /()
特性通过(1,j0)点,系统临界稳定;
(c ) 180
2)若增大KGM 倍以上,系统不稳定。
1 g c
0
1 Re (c )
0
Bode Diagram LGM
(4) 0
0
(3)
(2)
称为广义奈奎斯特路径。
jR
6.5 奈奎斯特稳定判据
分析：
广义奈奎
j
jR
s平面
1) v (v>0)型系统: 0-和0+ ， 斯特路径
(1)

R
G(j)均趋于无限远处,
2) 当=0-0+时，角从90经 =0逆时针变化到+90 ，在
(4) 0
0

F平面
Im
2 '
1'
0
Re
前期回顾：奈式路径及其映射
j jR
F(s) 1 s平面
Gk( s )
D(s) N(s) D(s)

1)正虚轴s=jω,ω:0→+∞
R
(1)
Gk(jω),ω:0→∞
2)半徑无限大右半圆
0

|Gk(jω)|≈0
(2)
(3)
3)负虚轴s=jω, ω:-∞→0
越 负穿
正穿越
270
/(rad/sec)
在开环对数幅频特性L()>0的所有频率范围：
2(N+ N)=P时，闭环系统稳定。
6.5 奈奎斯特稳定判据
例6-10 已知一单位负反馈系统的开环传递函数在右半s平 面的无极点，其开环对数频率特性曲线如图6-53所示，其 中，v=2，试判断其稳定性。

频率分析法——精选推荐

第五章 频率分析法频率分析法与时域分析法一样，是经典自动控制理论中用于系统分析与综合的方法之一，它可以将控制系统的各种性能在频域中展示。

在频率分析法中，以控制系统的频率特性作为数学模型，以波德图或者其它图表作为分析工具，来研究、分析控制系统的动态性能与稳态性能。

频率分析法也是适用于线性定常系统，由于时间信号在变换域中为无穷多频谱成分的线性组合，而线性定常系统满足叠加原理，所以，分析、研究线性系统对于时间信号的所有频谱成分的响应特性，就是频率分析法的应用目的。

频率分析法由于使用方便，对问题的分析明确，便于掌握，因此和时域分析法一样，在自动控制系统的分析与综合中，获得了广泛的应用。

作为基础理论知识，在本章中，主要讨论控制系统的频率特性、频域稳定性判据以及开环频域性能分析等主要内容。

§5-1 频率特性5-1-1 基本概念在第二章中，以传递函数作为线性定常系统的数学模型，表为G s b s b s b s b s a s a s a m m m m nn n ()=++++++++−−−−1111110ΛΛ0j(5-1)这是一个复自变量s 的复变函数。

由于s =+σω，令s 的实部为零时，就可以得到另外一个复变函数G j ()ω表为G j G s s j ()()ωω==(5-2)复变函数G j ()ω的自变量为频率ω，因此将其称为频率特性。

由于G j ()ω的实部和虚部分别都是ω的函数，所以可以表为G j P jQ ()()()ωωω=+(5-3) 式中)](Re[)(ωωj G P =，为G j ()ω的实部，)](Im[)(ωωj G Q =，为G j ()ω的虚部。

另外还可以用G j ()ω的模和幅角来表示为)](arg[)()(ωωωG G j G =)()(ωϕω∠=A(5-4)式中)()(ωωj G A =，为G j ()ω的幅值，)](arg[)(ωωϕj G =∠，为G j ()ω的幅角。

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i
m1
m2
2 2 k
2ζ ks 1) τ k 2ζTls 1) l
s
i1 ν n1
(T s 1)(T s
j j1 l1
k 1 n2
2 2 l
式中,m 1 2m2 m, n1 2n2 n,K为传递系数。 ν
a: 原系统的单位阶跃响应 b: 忽略电磁时间常数Ta
频率特性定义： 零初始条件下稳态输出正弦信号与输入正弦信号 的复数比.
2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2
u (t ) , y ss (t )
u (t )
频率不变 幅值和相位发生变化。
5 4 3 2 1 0
线性系统
Um
Ym
y ss (t )
-1 -2
0
0 0.5 1 1.5 2
G(j)在复平面上滑过的轨迹 反映 :0+∞时的频率特性的变化。
6.3 频率特性图示法-幅相频率特性曲线
uR
R
RC电 路 :
i
ui (t )
C
uC uo (t )
A( )
1 1 (T ) 2
( ) - arctan T ) (
Im
0
0
( )
Re
G ( j )
e
j G ( j ) j t

6.2 频率特性的基本概念
yss( ) G(j ) U m sin(t G(j )) A ) m sin(t ( )) t =( U
系统的频率特性为
Yss G( j ) e jG ( j ) G ( s ) s j A( )e j ( ) U (6 - 11)
为什么忽略开环传 递函数中小惯性环 节有这样的后果？
开环放大系数比较适当、 动态性能较好的情况下， 略去小时间常数环节不 致造成重大误差。
高阶系统不能随意忽略小时间 常数环节
为什么引入频率特性分析：视角变换
钢珠和铜珠分离
频率特性分析的优点
便于分析：
高阶系统的输出变化更复杂：视角的变换，使得信号特 征更为清楚，易分析； 任意函数都可分解为无穷多个不同频率正弦信号的和。
U m j t U e G ( j ) m e j t 2j 2j
y ss ( t ) G ( j )
幅值 | G ( j ) | 、 相位G ( j )分别 是的偶函数和 奇函数
Um G ( j ) e j G ( j ) e j t G ( j ) e j G ( j ) e j t 2j U m G ( j ) e j G ( j ) j t G ( j ) e j G ( j ) j t 2j
Um 幅 频 特 性 A( ) : 1 (T ) 1 Um 1 (T )2
2
R
ui (t )
i
C
uC uo (t )
G ( j )
1
相 频 特 性 ： - arctan( ) T
该电路起到了低通滤波的作用。 物理意义：对不同频率信号的 “复现能力”，跟踪能力。 为什么？ 储能元件的存在，及其能量交换。 和时域响应有什么联系？ 动态特性分析
滞后（开环偶极子）校正
第六章 频率特性分析法
华南理工大学 自动化科学与工程学院
6.1 引言
本章知识体系
基本知识： 频率特性概念 频率特性表示法
开环频率特性： 特点、稳定判据 与稳定裕度
基于频率特性的 性能分析：开环、 闭环
仿真： MATLAB
一、为什么要引入频率特性分析？
自动控制系统的研究方法
G ( j1 )
Q( ) A( )
G ( j )
A(1)
幅相频率特性 (Nyquist曲线) G ( j 2 )
A(2 )
( )
0
(1 )
P( )
Re
0
( 2 )
Re
G(j)复平面上的表示 转角以逆时针方向为正
ω作为参变量标在曲线相应点旁,并用箭 头表示 ω增大时轨迹的走向
现实 对象
抽象
模 型
控制 方法
经典控制理论
现实 对象
抽象
传递函数 微分方程 结构图
时域法 根轨迹法 频率法
为什么引入频率特性分析
时域分析法：直观、准确，对一二阶系统：微分方程 (传递函数) 分析时域性能； 高阶系统：难于建模和求解,而忽略小时间常数环节有 时会对系统造成很大影响。
G(s)
(τs 1)(τs K



e j G ( j ) j t G ( j ) U m 2j j sin ( G ( j ) t ) j sin (G( j ) t ) G ( j ) U m 2j G ( j ) U m sin ( t G ( j )) (6 - 10) A( )U m sin ( t ( ))
K g N ( s) U m ω U mω 输 出 ： ( s ) G( s )U ( s ) G( s ) L[U m sinωt ] G( s ) 2 Y n 2 s ω s 2 ω2 ( s pl ) 若G( s )极点互 不相同，则 l 1
n bl a a Y ( s) s jω s jω l 1 s pl
频率特性
输入：正弦信号 输出特征：系统的稳态响应 研究对象：
输入和输出稳态响应之间的关系：反映系统的动、静态 特性； 及其与系统结构、时域特征之间的关系。
u (t ) , y ss (t )
u (t )
y ss (t )
Um
Ym
0
t

一、为什么引入频率特性 二、什么是频率特性
三、如何进行频率特性分析？
6.3 频率特性图示法-幅相频率特性曲线
用极坐标和直角坐标表示频率特性：
G( j )向量表示 | G( j ) | G( j ) A( ) ( ) P( ) jQ( ) (6-16)
Im
Im
A(): 幅频特性 : 相频特性 P(): 实频特性 Q(): 虚频特性
-3 -4
t
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

2.5
3
-5
极坐标形式：将正弦信号用幅值+相位表达为复数。 系统的频率特性为：系统的输出与输入之复数比。
6.2 频率特性的基本概念
考虑系统传递函数的一般形式
G( s) K g N ( s)
(s p )
l 1 l
n
(6 - 1)
输入： (t ) U m sinωt 1(t ) u
利用待定系数法： a Y ( s )(s j ) |s j G( j )
其中， G ( j ) G ( s)
s j
输 出 ： ( s) G( s) Y
Umω s 2 ω2
Um U ，a Y ( s )(s j ) |s j G( j ) m 2j 2j
/(rad/sec)
频率特性分析引入的依据 系统模型间的关系
频率特性：与系统的结构参数、稳定性、时域性能之间有 一定的对应关系。
美国贝尔实验室的 Hendrik Wade Bode (1938)， 以及Harry Nyquist(1940)提出频率响应法
Bode
Nyquist
14
二、什么是频率特性分析？
§6-1 频率特性的基本概念-频率特性定义
当t 时 , 系 统 稳 态 输 出 为 : uoss ( t ) Um 1 (T )
2
si n ( t arctanT ) U om si n ( t ) (6 - 13)
uR
6.2.2 频率特性的物理意义
1 Um G(s) uoss ( t ) sin( t arctanT ) 2 Ts 1 1 (T )
频率特性可以从传递函数得到 输入正弦信号ω不同时，输入输出的频率特性表达不同。 表达频 率特性 A( ) G ( j ) 的关键 幅值比
幅 频 特 性(也 常 称 增 益: )
相频特性 :
( ) G( j )
相位差
6.2.2 频率特性的物理意义
电路的输入电压和输出电压分 别为ui(t)和uo(t)，对应的拉普 拉斯变换分别为Ui(s)和Uo(s)
0
4/T
8/T

G ( j )
0
90
0
4/T
8/T

频率特性可实验测量
正弦信号发生器
线性定常系统或元件 （实验对象）
双踪示波器
在所关心的频率范围，按一定间隔改变输入信号的频率值， 分别测得对应的幅值比和相位差即可求得系统的频率特性曲 线。 频率特性的优点：能通过实验方法来建立系统的数学模型。
5
L( ) /(dB)
1)对数幅值，纵坐标均匀刻度， 单位是分贝(dB）。
L( ) 20lgG( j ) 20lg A( )
10
15
20
25 0
( ) /()
2)对数相频特性的纵坐标为相 角，单位是度(°)。
45
( ) G( j )
优点： 1) 将乘除运算转化为加减运算，因而可通过简单的图像叠加 快速绘制高阶系统的伯德图 ；如 20lgA1()A2()=20lgA1()+20lgA2()
对象模型存在不确定性因素时，仍能得到满意设计结果 （因为它突出了主要矛盾：特定位置处相位与幅值关系）
2 1.5 1
2 5 4 3
0.5 0 -0.5 -1
线性系统
1 0 -1 -2 -3