湖南师大内部资料高二数学选修2-1课件：222椭圆的简单几何性质1新人教A版

椭圆的几何性质
椭圆的对称性
椭圆具有中心对称性，即关于 中心对称
椭圆具有轴对称性，即关于长 轴或短轴对称
椭圆具有旋转对称性，即关于 原点旋转一定角度后仍保持形 状不变
椭圆的对称性是椭圆的一个重 要几何性质，也是椭圆与其对称轴，它们互相垂直，相交于椭圆的中心。 长轴是椭圆的两个顶点之间的连线，短轴是椭圆的两个焦点之间的连线。 长轴的长度是短轴长度的2倍，短轴的长度是长轴长度的一半。 长轴和短轴的长度决定了椭圆的形状和大小。
椭圆面积的求法： 利用椭圆面积公 式，结合已知条 件求解
椭圆面积的性质： 与长半轴和短半 轴的乘积成正比
椭圆面积的应用： 在几何、物理、 工程等领域都有 广泛应用
椭圆的周长
椭圆周长公 式：
L=4aE(1e^2)
a：椭圆的长 半轴
b：椭圆的短 半轴
e：椭圆的离 心率
E：椭圆的偏 心率
椭圆周长的 计算方法： 根据公式进 行计算，注 意公式中的 参数值需要 准确获取。
椭圆面积与周长的关系
椭圆面积与周长的关系：椭圆的面积与周长之间存在一定的关系，可以通过公式进行计算。 椭圆面积公式：S=πab，其中a、b分别为椭圆的长轴和短轴。 椭圆周长公式：L=4(a+b)，其中a、b分别为椭圆的长轴和短轴。 椭圆面积与周长的关系：椭圆的面积与周长之间存在一定的关系，可以通过公式进行计算。
高中数学2221椭圆的简单几 何性质课件新人教A版选修
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1 单击添加目录项标题 2 椭圆的定义与标准方程 3 椭圆的几何性质 4 椭圆的面积与周长 5 椭圆的切线与法线 6 椭圆的极坐标方程

一、听要点。

一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物
理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
二、听思路。

思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行
如何刻画椭圆的扁平程度？——离心率
4、椭圆的离心率
离心率定义：椭圆的焦距与长轴长的比：e

c
叫做椭圆的离心率。
a
[1]离心率的取值范围：0<e<1 (因为ac0)
[2]离心率对椭圆形状的影响：
1）e 越接近 1，c 就越接近 a ，从而 b就越小，
椭圆就越扁（离心率越大椭圆越扁）
2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭
顶点坐标 轴长
( a , 0 ) (a,0) ( 0 , b ) (0,b)
长轴长为2 a , 短轴长为 2 b . (a b )
y
B
(0 , b )
2
yb
A1
( a , 0) F1
xa
2a
A2 x
O
2b
F2 ( a , 0 )
y b
B 1 (0, b)
xa
根据前面所学有关知识画出下列图形
使a得 c 是这个角的某种三角函数值？） y
a
越大，椭圆越圆
易得： c o s c
a
越小，椭圆越扁
越小
A1
越大

或������2
25
+
2������02 =1.
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
(2)∵椭圆的长轴长是 6,cos∠OFA=23,
∴点 A 不是长轴的端点(是短轴的端点). ∴|OF|=c,|AF|=a=3.
∴������
3
=
23.∴c=2, b2= 32- 22= 5.
∴椭圆的方程是������2
目标导航
预习导引
12
轴长 焦点
长轴长为 2a,短轴长为 2b
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
焦点的位置 焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
焦距 对称性
2c 对称轴为 x 轴和 y 轴,对称中心为原点
离心率
e=c ,其中 c= a2-b2
a
目标导航
预习导引
12
求椭圆 16x2+25y2=400 的长轴长、短轴长、离心率以及焦点和 顶点的坐标.
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
由 e= 23,得
������+2 ������+3
=
23,∴m=1.
∴椭圆的标准方程为
x2+
������2
1
=1,
4
∴a=1,b=12,c= 23. ∴椭圆的长轴和短轴的长分别为 2 和 1,两焦点坐标分别为
F1
-
3 2
,0
和 F2
3 2
,0
,四个顶点分别为
A1(-1,0),A2(1,0),B1
9
+
������2 5
=1

y2

b2

b

y

b
故整个椭圆位于y b, x a所围成的矩形内.
2、对称性：
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。
从方程上看：
（1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称；
（2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；
（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原
a
a
因为 a >c>0,所以 e 的取值范围是:__0_<_e_<__1__
e 越接近于Zx.xk 1,则c越接近于a,从而b就越小,因此椭圆 就越扁反之,e越接近于0, c 就越接近于0,从而b 就越 接近于 a,这时椭圆就越接近于圆.
例1、根据下列条件，分别求椭圆的离心率e： （1）焦距等于长短轴端点间的距离； （2）短轴顶点与两焦点组成等边三角形； （3）一个焦点将长轴分成2:3的两段； （4）长轴一顶点与与短轴的两个顶点构成等边三角形。
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2.2.2椭圆的简单几何性质
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A1
F1
y
B2
b
oc
B1
a
A2
F2
1、椭圆的定义:
平面内到两定点F1、F2的距离和为常数（大于
|F1F2 |）的点的轨迹叫做椭圆。
2、椭圆的标准方程是：
x2 y2 a2 b2 1(a b 0)
y2 x2 a2 b2 1
Zx.xk
(c,0)
(0,c)
长半轴长为a,短半轴长为b.
焦距为2c;
a2=b2+c2
e c a
3、椭圆中a,b,c的关系是:

x2 y2 (2)设椭圆的方程为 2＋ 2＝1(a>b>0)． a b 如图所示，△A1FA2 为等腰直角三角形，
OF 为斜边 A1A2 的中线(高)， 且|OF|＝c，|A1A2|＝2b， ∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32， x2 y2 故所求椭圆的方程为32＋16＝1.
[点评]
利用椭圆的几何性质求标准方程，通常采用待定
成才之路· 数学
人教A版 ·选修2-1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章
圆锥曲线与方程
第二章
2．2 椭 圆
第二章
第 2 课时 椭圆的简单几何性质
课前自主预习 课堂巩固训练 课堂典例讲练 课后强化作业 方法规律总结
课程目标解读
1．掌握椭圆的简单几何性质． 2．了解椭圆的离心率对椭圆扁平程度的影响． 3．掌握椭圆标准方程中的 a、b 以及 c、e 的几何意义，a、 b、c、e 之间的相互关系．
＝3，故椭圆的长轴和短轴的长分别为 2a＝10,2b＝8，离心率 e c 3 ＝ ＝ ，焦点坐标 F1(0，－3)，F2(0,3)，顶点坐标为 A1(0，－ a 5 5)，A2(0,5)，B1(－4，0)，B2(4,0).
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
命题方向
利用椭圆的几何性质求标准方程
[例 2]
求适合下列条件的椭圆的标准方程．
率、焦点和顶点坐标． [分析] 由题目可获取以下主要信息：①已知椭圆的方
程；②研究椭圆的几何性质．解答本题可先把方程化成标准 形式然后再写出性质．
[解析]
x2 y2 把已知方程化成标准方程 ＋ ＝1， 16 9
于是 a＝4，b＝3，c＝ 16－9＝ 7， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a＝8 和 2b＝6，离心率 c 7 e＝a＝ 4 ， 两个焦点坐标分别是(－ 7，0)，( 7，0)， 四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)．

8 2 2 x＝－3， x ＋8y ＝8， 此时，由 得 x－y＋3＝0 y＝1， 3 即
8 1 P－3，3.
• [点评]
本题利用了数形结合的思想寻找解题思路，简
化了运算过程，也可以设出P点坐标，利用点到直线的距 离公式求出最小值．
人民教育出版社 高二 | 选修2-1
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4 2 由①②可知|PF1|，|PF2|是方程 x －2ax＋3b ＝0 的两
2
根． 4 2 则有 Δ＝4a －4×3b ≥0，即 3a2≥4b2＝4(a2－c2)，
2
所以 4c2≥a2. c 1 所以 e＝ ≥ ，又 e<1，所以该椭圆离心率 e 的范围 a 2
率有直接联系，同时，a、b、c之间是平方关系，所以，在求e值时， 也常先考查它的平方值．
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[例4] 已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P， 使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最小，并求出最小 值．
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[解析] 直线为
设与直线 x－y＋4＝0 平行且与椭圆相切的 得 9y2－2my＋m2
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c2 所以a2＝9－6 2＝3( 2－1)2. c 所以 e＝ ＝ 6－ 3. a
• [点评] 所谓求椭圆的离心率e的值，即求 的值，所以，解答
这类题目的主要思路是将已知条件转化为a、b、c之间的关系．如
特征三角形中边边关系、椭圆的定义、c2＝a2－b2等关系都与离心
A
)
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2．椭圆 6x2＋y2＝6 的长轴的端点坐标是 ( D ) A．(－1,0)，(1,0) B．(－6,0)，(6,0) C．(－ 6，0)，( 6，0) D．(0，－ 6)，(0， 6)

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复习导入：
1. 椭圆的定义，椭圆的焦点坐标，焦距. 把平面内与两个定点 F1，F2 的距离之
和等于常数（大于| F1F2|）的点的轨迹叫做 椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点 间的距离叫做椭圆的焦距.
复习导入：
1. 椭圆的定义，椭圆的焦点坐标，焦距. 把平面内与两个定点 F1，F2 的距离之
4.离心率——刻画椭圆的扁平程度.把椭圆的
c
焦点与长轴长的比
a
称为离心率.记 e
c a
.
可以理解为在椭圆的长轴长不变的前提下，
两个焦点离开中心的程度.
举例应用
例 1 求椭圆 16x2+25y2=400 的长轴和短轴的 长，离心率，焦点和定点坐标.
练习
1、求椭圆 x2+4y2=16 和椭圆 9x2+y2=81 的长 轴和短轴长，离心率，焦点坐标，定点坐标.
和等于常数（大于| F1F2|）的点的轨迹叫做 椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点 间的距离叫做椭圆的焦距.
2.椭圆的标准方程.
x2 y2 a2 b2 1
讲授新课 椭圆的几何性质
讲授新课
椭圆的几何性质
1.范围——变量 x，y 的取值范围，亦即曲线 的取值范围：横坐标-a<x<a；纵坐标-b<x<b .
练习
1、求椭圆 x2+4y2=16 和椭圆 9x2+y2=81 的长 轴和短轴长，离心率，焦点坐标，定点坐标.
2、求适合下列条件的椭圆的标准方程.
⑴ 经过点 P(3,0),Q(0,2) 3 ⑵ 长轴长是 20，离心率等个更圆， 哪一个更扁？
（1）9 x2 y2 36与 x2 y2 1 16 12

• [答案] C
[解析] 由条件知 a＝6，e＝ac＝13， ∴c＝2， ∴b2＝a2－c2＝32，故选 C.
3．(2014·佛山质检)已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点
恰好为一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为( )
1 A.3
B．12
C．
3 3
D．
2 2
• [答案] D
[解析] 依题意椭圆的焦距和短轴长相等，故 b＝c，a2－
c2＝c2，∴e＝
2 2.
4．(2014·安徽理，14)若 F1，F2 分别是椭圆 E：x2＋by22＝ 1(0<b<1)的左、右焦点，过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A、B 两点．若 |AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x 轴，则椭圆 E 的方程为________．
[答案] x2＋32y2＝1
[解析] 如图，由题意，A 点横坐标为 c，
• 思维导航
• 2．观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一 样，哪些量影响其扁平程度？怎样刻画？
• 新知导学 • 3．椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭离心圆率 的
__________．
• 4．依据椭圆的几何性质填写下表：
标准方程
ax22＋by22＝1(a>b>0)
bx22＋ay22＝1(a>b>0)
图形
焦点
F_1_(_－__c_,0_)_，__F_2_(_c_,0_)_
_F_1_(_0_，__－__c_)，__F__2(_0_，__c)
焦距 范围 性 对称性 质 顶点
|F1F2|＝2c(c＝ a2－b2) |F1F2|＝2c(c＝ a2－b2)
__|_x_|≤_a_，__|_y_|≤_b_____
∵|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴x2＋4x2＝4c2，

3、范围：椭圆位于直线x=± a和y= ± b所围成的矩形框内。
离心率对椭圆形状的影响（当a不变时）
b
a
或cb
的大小能刻画椭圆扁的程圆度吗？
例1：已知椭圆方程为16x2+25y2=400,求椭圆的长轴
和短轴长、焦点和顶点坐标，离心率。
例2：求适合下列条件的椭圆的标准方程
练习1： 1、求下列椭圆的长轴长、短轴长、离心率和顶 点坐标。
e c (0<e<1) a
(e越接近于1越扁)
a、b、c的关系 c2 a2 b2
x2 y2 b2 a2 1(ab0)
|x|≤ b,|y|≤ a 同前
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a)
(0 , c)、(0, -c) 同前
同前
同前
练习2：
1. 根据下列条件，求椭圆的标准方程。 ① 长轴长和短轴长分别为8和6. ②焦距是12，离心率是0.6，焦点在x轴上。 ③一焦点坐标为（－3，0）,一顶点坐标为（0，5）
2.已知椭圆的一个焦点为F（6，0）点B，C是短轴的两端
点，△FBC是等边三角形，求这个椭圆的标准方程
课后作业：已知椭圆 x2(m 3)y2m (m 0)的离心率
e
3 2
,
求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、
顶点坐标。
我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激 组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性的 有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在自 ，对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，挥动依旧没 棒和球，然后用更大的力气对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”可是接下来的结果，并未如愿。男孩子似乎有些气馁，可是转念一想：我抛球这么刁，一定是个 己喊：“我是世界上最棒的挥球手！”其实，大多数情况下，很多人做不到这看似荒谬的自我鼓励，可是，这故事却深深反映了这个男孩子自我鼓励下的执著，而这执 奇迹往往是执著者造成的。许多人惊奇地发现，他们之所以达不到自己孜孜以求的目标，是因为他们的主要目标太小、而且太模糊不清，使自己失去动力。如果你的主 的实现就会遥遥无期。因此，真正能激励你奋发向上的是确立一个既宏伟又具体的远大目标。实现目标的道路绝不是坦途。它总是呈现出一条波浪线，有起也有落，但 看你的时间表，框出你放松、调整、恢复元气的时间。即使你现在感觉不错，也要做好调整计划。这才是明智之举。在自己的事业波峰时，要给自己安排休整点。安排 使是离开自己挚爱的工作也要如此。只有这样，在你重新投入工作时才能更富激情。困难对于脑力运动者来说，不过是一场场艰辛的比赛。真正的运动者总是盼望比赛 就很难在生活中找到动力，如果学会了把握困难带来的机遇，你自然会动力陡生。所以，困难不可怕，可怕的是回避困难。大多数人通过别人对自己的印象和看法来看 错，尤其正面反馈。但是，仅凭别人的一面之辞，把自己的个人形象建立在别人身上，就会面临严重束缚自己的。因此，只把这些溢美之词当作自己生活中的点缀。人 人身上找寻自己，应该经常自省。有时候我们不做一件事，是因为我们没有把握做好。我们感到自己“状态不佳”或精力不足时，往往会把必须做的事放在一边，或静 果有些事你知道需要做却又提不起劲，尽管去做，不要怕犯错。给自己一点自嘲式幽默。抱一种打趣的心情来对待自己做不好的事情，一旦做起来了尽管乐在其中。所 战后，要尽量放松。在脑电波开始平和你的中枢神经系统时，你可感受到自己的内在动力在不断增加。你很快会知道自己有何收获。自己能做的事，放松可以产生迎接 ，面对社会，面对工作，一切的未来都需要自己去把握。人一定要靠自己。命运如何眷顾，都不会去怜惜一个不努力的人，更不会去同情一个懒惰的人，一切都需要自 帮你，一时的享受也只不过是过眼云烟，成功需要自己去努力。当今社会的快速发展，各行各业的疲软，再加上每年几百万毕业生涌向社会，社会生存压力太大，以至 努力提高自己。看着身边一个个同龄人那么优秀，看着朋友圈的老同学个个事业有成、买房买车，我们心急如梵，害怕被这个社会抛弃。所以努力、焦躁、急迫这些名 太想改变自己，太想早一日成为自己梦想中的那个自己。收藏各种技能学习资料，塞满了电脑各大硬盘；报名流行的各种付费社群，忙的人仰马翻；于是科比看四点钟 纷开始早起打卡行动。其实……其实我们不觉得太心急了吗？这是有一次自己疲于奔命，病倒了，在医院打点滴时想到的。我时常恐慌，害怕自己浪费时间，就连在医 的一种浪费。想快点结束，所以乘着护士不在，自己偷偷的拨快了点滴速度。刚开始自己还能勉强受得了，过了差不多十分钟，真心忍不住了，只好叫护士帮我调到合 上，我就在想，平时做事和打点滴何尝不是一样，都是有一个度，你太急躁了、太想赶超，身体是受不了的。身体是革命的本钱，我们还年轻，还有大把的时间够我们 是1000前面的那个若是1都不存在了，后面再多的0又有什么用？我是一个急性子，做事风风火火的，所以对于想改变自己，是比任何人都要心急。这次病倒了，个人感 通乱忙乎才导致的，病倒换来的努力根本是一钱不值。生病的那几天，我跟自己的大学老师打了一个电话，想让老师帮我解惑一下，自己到底是怎么了。别人也很努力 我了，为啥他们反到身体倍棒而一无所获的自己却病倒了？老师开着电脑，给我分享了两个小故事讲的第一个故事是“保龄球效应”，保龄球投掷对象是10个瓶子，你 是90分，而你如果每次能砸倒10个瓶子，最终得分是240分。故事讲完，老师问我明白啥意思没？我说大概猜到一点，你让我再努力点，对吗？不对！你已经够努力了， 你，你现在就是那个每次砸倒9个瓶子的人。你累倒的原因是因为你同时在几个场馆玩，每一个场馆得分都是90分，而有些人，则是只在一个场馆玩，玩多了，他就能 倍，得分却还是远远超过你。老师讲的第二故事是“挖水井”，一个人选择好一处地基，就在那里一直坚持不懈的挖下去，而另一个人则是到处选地基，这边挖几米， 出水来了，而另一个人则是直到累死也没有挖出一滴水。首先，你必须承认努力是必须的，只要你比别人努力了那么一点，你确实能超过一些人。只是人的精力也是有 终得到的结果只会是永远装不满水桶的半桶水。和老师通完电话后，我调整了几天，也对自己手头上的事物做一些大改变。将目前摆在面前的计划一一列出来，挑出最 再以此类推，排完手中所有的计划。对于那些不是很急的，对目前生活和工作不是特别重要的，先果断放弃。我现在最迫切的目标是什么？当然是七月份的转行新媒体 第一位。而新媒体所需学习的技能又有很多，那怎么办呢？先挑自己有点底子的，有点基础的，把巩固持续加强。个人感觉自己写还是有点小基础的，所以就给自己一 文字，加强文案方面的训练。而另外PS也是做运营的必备条件之一，所以在训练文案的同时，还得练习PS，给自己的要求是每天练习PS半小时。还有别的吗？不敢有了 多了。一直很喜欢作家刘瑜的一段话：每当我一天什么也没干的时候，我就开始焦虑。每当我两天什么都没干的时候，我就开始烦躁。每当我三天什么都没干的时候， 我三天什么都没干啊，我寝食难安……这正是我三个月前的真实写照。多年来，我已经养成一种习惯，绝不让任何一分钟死有余辜：我在堵车的时候听日语，在等人的 ，在任意两件事的衔接点那里扒出细缝，用来回邮件、回短信……我以为这就是所谓的勤奋，也心安理得地享受着同伴的钦佩。但我很快就发现，我的工作时间越来越 情绪越来越焦躁，只要有十分钟的无作为，我就会变得非常慌张！而我的社交时间也不得不尽量地缩短，我甚至不再有功夫交朋友。更可怕的是，我的工�

e＝ac＝||FO2FB22||＝cos∠OF2B2.
(4)若椭圆的标准方程为ax22＋yb22＝1(a>b>0)，则椭圆与 x 轴的交点 A1，A2 到焦点 F2 的距离分别最大和最小，且|A1F2|＝a＋c，|A2F2| ＝a－c.
精选ppt
15
思考:已知椭圆的长轴A1A2和短轴B1B2 ，
怎样确定椭圆焦点的位置？
知椭圆的标准方程，则根据a、b的值可确定其性质．
(2)明确a，b的几何意义，a是长半轴长，b是短半轴长，不
要与长轴长、短轴长混淆，由c2＝a2－b2，可得“已知椭圆
的四个顶点，求焦点”的几何作图法，只要以短轴的端点
B1(或B2)为圆心，以a为半径作弧交长轴于两点，这两点就 是焦点．
精选ppt
14
(3)如图所示椭圆中的△OF2B2 找出 a，b，c， e 对应的线段或量为 a＝|F2B2|，b＝|OB2|，c＝|OF2|，
B2
a
A1
F1 c
b
oc
a
A2
F2
因为a2=b2+c2,所以以椭圆B1 短轴端点为
圆心,a长为半径的圆与x轴的交点即为
椭圆焦点.
精选ppt
16
4 离心率
思 考观 察 不 同 的 图2椭 .1圆 9,我 们 发, 现
椭 圆 的 扁 平 程 ,那度么 ,用 不什 一么 量 可 以 画 椭 圆 的 扁 平 ? 程 度 呢
18
我们把椭圆的焦 轴距 长与 c的称 长为椭： 圆的离心率
用e来表示， e即 c.
a
a
因为 a >c>0,所以 e 的取值范围是:__0_<_e_<_1___
e 越接近于1,则c越接近于a,从而b就越小,因此椭圆就 越扁反之,e越接近于0, c 就越接近于0,从而b 就越接近 于 a,这时椭圆就越接近于圆