2011届高考数学权威预测：28解三角形

2011年高考试题解三角形1A)(B)(C)答案： D解析：由正弦定理得，sin 2AsinB+sinBcos 2sinA ，即sinB （sin 2A+cos 2A ）sinA ， 故，所以ba= 2. (2011年高考天津卷理科6)如图，在△ABC 中，D 是边AC上的点，且,2,2AB AD AB BC BD ===，则sin C 的值为（ ）A．3 B．6C．3 D．6【答案】D【解析】设BD a =,则由题意可得:2,BC a =AB AD ==,在ABD ∆中,由余弦定理得：222cos 2AB AD BD A AB AD +-==⋅2232a a ⨯-=13，所以sin A=3，在△ABC 中，由正弦定理得，sin sin AB BCC A=，所以2sin 3aC =，解得sin C，故选D.3(2011年高考重庆卷理科6)若ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 满足22()4a b c +-=，且060C =，则ab 的值为（A ）43(B) 8-(C)1 (D) 23解析：选A 。

由22()4a b c +-=得22224a b ab c ++-=，由060C =得222421cos 222a b c ab C ab ab +--===，解得43ab =4. (2011年高考四川卷理科6)在∆ABC 中．222sin sin sin sin sin B C B C ≤+-.则A 的取值范围是( ) (A)(0，6π] (B)[ 6π，π) (c)(0，3π] (D) [ 3π，π) 答案：C解析：由题意正弦定理22222222211c o s23b c a a b c bc b c a bc A A bc π+-≤+-⇒+-≥⇒≥⇒≥⇒<≤ 5．(2011年高考福建卷理科10)已知函数f （x ）=e+x ，对于曲线y=f （x ）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以下判断： ①△ABC 一定是钝角三角形②△ABC 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形 ④△ABC 不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是A ．①③B ．①④C ． ②③D ．②④【答案】B6.(2011年高考安徽卷理科14)已知ABC ∆ 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_______________【答案】【命题意图】本题考查等差数列的概念，考查余弦定理的应用，考查利用公式求三角形面积.【解析】设三角形的三边长分别为4,,4a a a -+，最大角为θ，由余弦定理得222(4)(4)2(4)cos120a a a a a +=+--- ，则10a =，所以三边长为6,10,14.△ABC 的面积为1610sin1202S =⨯⨯⨯=7. (2011年高考全国新课标卷理科16)在ABC ∆中，60,B AC ==则2A B B C +的最大值为 。

2011年高三冲刺阶段解答题训练题集2 三角函数部分（文理科共用）一、 三角函数解答题1、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足10102sin=A ，4-=⋅,（I ）求ABC ∆的面积； （II ）若1c =，求a 的值．2、已知函数)0,(2cos sin 3cos 2)(2>∈++=ωωωωR x x x x x f 的最小正周期是π（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合． 3、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,设S 为△ABC的面积，满足222)S a b c =+-。

（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求CC B C 2cos 1)4sin()4sin(2-+++ππ的值.4、已知向量,)(),0)(1,(sin ),2cos ,cos 2(b a b a ⋅=>==x f x x x 令其中ωωωω 且.)(π的最小正周期为x f（1）求)4(πf 的值；（2）写出]2,2[)(ππ-在x f 上的单调递增区间。

5、 已知函数()cos (sin cos )1f x x x x =-+.（Ⅰ）求()f x 的值域和最小正周期；（Ⅱ）设(0,)a p Î，且()1f α=，求α的值. 6、已知函数.2sin 2cos 2cos 2sin 2)(22x x x x x f -+⋅= （I ）求函数f （x ）的最小正周期； （II ）若xx，x f x 4tan 14tan 126)(,160-+=<<求时当π的值。

7、已知AC =2sin 2(cos x x +，)2sin x -，=2sin 2(cos xx -，)2cos 2x .（Ⅰ）设BC AC x f ⋅=)(，求)(x f 的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）设有不相等的两个实数12,,22x x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,且1)()(21==x f x f ,求21x x +的值.8、已知在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，60B =,b =3a =. (Ⅰ)求cos A 的值； (Ⅱ) 求cos(2)61cos 2A A π--的值. 9、已知函数2()2cos cos()(0)23x f x x ωωωπ=++>的最小正周期为π.(Ⅰ)试求ω的值；(Ⅱ) 在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边.若1(),3,2f A c =-=ABC∆的面积ABC S ∆=求a 的值.10、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a, b, c ，已知向量m )3,(c b a -=，n )cos (cos C A ，=，满足m ∥n ， (Ⅰ)求cosA 的大小；(Ⅱ) 求)4sin()4sin(22sin 2ππ+--+A A C B 的值． 11、已知函数.)2sin()42cos(21)(x x x f --+=ππ（Ⅰ）求函数)(x f 的定义域；（Ⅱ）求函数)(x f 在区间)2,4[ππ-上的最值。

2011届某某高考数学权威预测题一、填空题（每小题5分，共70分）1、设复数122,2()z i z x i x R =+=-∈，若12z z •为实数，则x 为▲.2、*()RN N ＝▲．3、半径为1的半球的表面积为▲.4、“cos y x =是周期函数”写成三段论是： 大前提：三角函数都是周期函数 小前提：▲．结 论：函数cos y x =是周期函数5、若某程序框图如所示，则该程序运作后输出的y 等于▲.6、在锐角ABC ∆中，2,,A B B C ∠=∠∠∠的对边长分别是,b c ，则bb c+的取值X 围是▲. 7、若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的渐近线方程是▲.8、已知各项均为正数的等比数列765{}:2,n a a a a =+满足1192,a m n=+则的最小值为▲.9、已知定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数为/()f x ，满足/()()f x f x <且(1)y f x =+为偶函数，(2)1f =，则不等式()x f x e <的解集为▲.10、两圆2240()x y a a R ++++-=∈和22140()x y b b R ++--+=∈恰有三条共切线，则11a b+的最小值为▲. 11、设定义在R 上的函数()f x 满足对,x t R ∀∈，且0t ≠，都有(()())0t f x t f x +->，则{}{}(,)|()(,)|x y y f x x y y a ==的元素个数为 ▲．Q12、设点()a b ,在平面区域{()||1||1}D a b a b =,≤,≤中按均匀分布出现，则椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的离心率e＜2的概率为▲． 13已知ABC ∆中，I 为内心，2,3,4,AC BC AB AI xAB y AC ====+且，则x y +的值为▲.14、已知数列{}n a 的各项都是正整数，且1352n n nka a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩1n n n a a a +为奇数为偶数，k 是使为奇数的正整数 若存在*m N ∈，当n m >且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p =▲．二、解答题15、(14分) 如图，正△ABC 的边长为15，1235AP AB AC =+，1255BQ AB AC =+． （1）求证：四边形APQB 为梯形； （2）求梯形APQB 的面积．16、（14分）如图，已知正四面体ABCD 的棱长为3cm ． （1）求证：AD ⊥BC ；（2）已知点E 是CD 的中点，点P 在△ABC 的内部及边界上运动，且满足EP ∥平面ABD ，试求点P 的轨迹；（3）有一个小虫从点A 开始按以下规则前进：在每一个顶点处等可能地选择通过这个顶点的三条棱之一，并且沿着这条棱爬到尽头，当它爬了12cm 之后，求恰好回到A 点的概率．17、（14分）在海岸A 处，发现北偏东045方向、距离A 处13-海里的B 处有一艘走私船；在A 处北偏西075方向、距离A 处2海里的C 处的辑私船奉命以310海里/小时的速度追截走私船.同时，走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东030方向逃窜，问辑私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？18、（16分）如图，在平面直角坐标系中，方程为220x y Dx Ey F ++++=的圆M 的内接四边形ABCD 的对角线AC 和BD 互相垂直，且AC 和BD 分别在x 轴和y 轴上 . （1）求证：0F <；（2）若四边形ABCD 的面积为8，对角线AC 的长为2，且0AB AD ⋅=，求224D E F +-的值；（3）设四边形ABCD 的一条边CD 的中点为G ，OH AB ⊥且垂足为H .试用平面解析几何的研究方法判断点O 、G 、H 是否共线，并说明理由.B AC D19、（16分）定义：对于任意*n ∈N ，满足条件212n n n a a a +++≤且n a M ≤（M 是与n 无关的常数）的无穷数列{}n a 称为T 数列．（1）若2n a n =-(*n ∈N )，证明：数列{}n a 是T 数列；（2）设数列{}n b 的通项为243nn b n =-，且数列{}n b 是T 数列，求M 的取值X 围；（3）设数列1n c q n p=--(*n ∈N )，问数列{}n c 是否是T 数列？请说明理由．20、（16分）对于正整数,a b ，存在唯一一对整数q r 和，使得,0a bq r r q =+≤<.特别地，当0r =时，称b 能整除a ，记作|b a ，已知{1,2,3,,23}A =.（1）存在q A ∈，使得201191(091)q r r =+≤<，试求,q r 的值；（2）求证：不存在这样的函数:{1,2,3}f A →，使得对任意的整数12,x x A ∈，若12||{1,2,3}x x -∈，则12()()f x f x ≠；（3）若,()12(()B A card B card B ⊆=指集合B 中元素的个数），且存在,,,|a b B b a b a ∈<，则称B 为“和谐集”.求最大的m A ∈，使含m 的集合A 的有12个元素的任意子集为“和谐集”，并说明理由.答案一、填空题1、4；2、{0}；3、53π；4、cos y x =是三角函数； 5、63； 6、11(,)32； 7、0x ±=； 8、4； 9、(0,)+∞； 10、1； 11、０或１； 12、116；13、23； 14、1或5.二、解答题15、解：（1）因PQ PA AB BQ =++=1235AB AC --1255AB AB AC +++=1315AB ，…4分 故PQ ∥AB ，且|PQ |=13，|AB |=15，|PQ |≠|AB |，于是四边形APQB 为梯形．…7分 （2）设直线PQ 交AC 于点M ，则25AM AC =，故梯形APQB 的高h 为正△ABC 的AB 边上高的25，即2155h ==11分从而，梯形APQB 的面积为1(1315)2+⨯=14分16、解：（1）取BC 中点M ，连AM ，DM ．因△ABC 及△BCD 均为正三角形，故BC ⊥AM ，BC ⊥DM ．因AM ，DM 为平面ADM 内的两条相交直线，故BC ⊥平面ADM ，于是BC ⊥AD ．…4分 （2）连接EM ，并取AC 的中点Q ，连QE ，QM ．于是EQ ∥AD ，故EQ ∥平面ABD ． 同理MQ ∥平面ABD ．因EQ ，MQ 为平面QEM 内的两条相交直线，故平面QEM ∥平面ABD ，从而点P 的轨迹为线段QM ． ……………………8分 （3）依题设小虫共走过了4条棱，每次走某条棱均有3种选择，故所有等可能基本事件总数为34=81． ……………………10分 走第1条棱时，有3种选择，不妨设走了AB ，然后走第2条棱为：或BA 或BC 或BD ． 若第2条棱走的为BA ，则第3条棱可以选择走AB ，AC ，AD ，计3种可能；若第2条棱走的为BC ，则第3条棱可以选择走CB ，CD ，计2种可能；同理第2条棱走BD 时，第3棱的走法亦有2种选择． ……………………12分 故小虫走12cm 后仍回到A 点的选择有3×(3+2+2)=21种可能． 于是，所求的概率为2178127=． ……………………14分 17、解：设辑私船t 小时后在D 处追上走私船，则有t BD t CD 10,310==.在ABC ∆中，0120,2,13=∠=-=ABC AC AB .利用余弦定理可得6=BC .…4分由正弦定理，222362sin sin =⋅=∠=∠BAC BC AC ABC , 得045=∠ABC ，即BC 与正北方向垂直.于是0120=∠CBD .……………8分在BCD ∆中，由正弦定理得，21310120sin 10sin sin 0=⋅=∠=∠tt CD CBD BD BCD 得030=∠BCD , 又030sin 120sin BC CD =，63310=t，得106=t .……………12分答：当辑私船沿东偏北︒30.……14分 18、解:（1）证法一：由题意，原点O 必定在圆M 内，即点(0,0)代入方程220x y Dx Ey F ++++=的左边后的值小于0， 于是有0F <，即证.…………4分证法二：由题意，不难发现A 、C 两点分别在x 轴正负半轴上. 设两点坐标分别为(),0A a ，(),0C c ，则有0ac <.对于圆方程220x y Dx Ey F ++++=，当0y =时，可得20x Dx F ++=，其中方程的两根分别为点A 和点C 的横坐标，于是有A C x x ac F ==.因为0ac <，故0F <.………………4分（2）不难发现，对角线互相垂直的四边形ABCD 面积2AC BDS ⋅=，因为8S =，2AC =，可得8BD =.………………6分又因为0AB AD ⋅=，所以A ∠为直角，而因为四边形是圆M 的内接四边形，故284BD r r ==⇒=.………………8分对于方程220x y Dx Ey F ++++=所表示的圆，可知22244D E F r +-=，所以2224464D E F r +-==.………………10分（3）证：设四边形四个顶点的坐标分别为(),0A a ，()0,B b ，(),0C c ，()0,D d . 则可得点G 的坐标为,22c d ⎛⎫⎪⎝⎭，即,22c d OG ⎛⎫= ⎪⎝⎭.………………12分 又(),AB a b =-，且AB OH ⊥，故要使G 、O 、H 三点共线，只需证0AB OG ⋅=即可. 而2bd ac AB OG -⋅=，且对于圆M 的一般方程220x y Dx Ey F ++++=， 当0y =时可得20x Dx F ++=，其中方程的两根分别为点A 和点C 的横坐标， 于是有A C x x ac F ==.………………14分同理，当0x =时，可得20y Ey F ++=，其中方程的两根分别为点B 和点D 的纵坐标，于是有B D y y bd F ==. 所以，02bd acAB OG -⋅==，即AB OG ⊥. 故O 、G 、H 必定三点共线.………………16分19、解：(1) 由2n a n =-得222212(2)2(1)20n n n a a a n n n +++-=--+++=-<所以数列{}n a 满足212n n n a a a +++≤. 2n a n =-(*n ∈N )单调递减,所以当n =1时，n a 取得最大值-1，即1n a ≤-.所以，数列{}n a 是T 数列.……4分(2) 由243n n b n =-得()1124132432423n n nn n b b n n ++-=+--+=-⋅，当24230n-⋅≥,即2n ≤时，10n n b b +->，此时数列{}n b 单调递增；……………6分而当3n ≥时，10n n b b +-<，此时数列{}n b 单调递减；因此数列{}n b 中的最大项是3b ，所以，M 的取值X 围是 3494M b ≥=. ……………9分 （3）假设数列{}n c 是T 数列，依题意有：2111222(2)(1)()(1)(2)n n n c c c p n p n p n p n p n p n +++-=+-=--+-+-----…11分 因为*n ∈N ,所以当且仅当p 小于n 的最小值时,2102n n n c c c +++-≤对任意n 恒成立，即可得1p <. ……………14分又当1p <时，0n p ->,1n c q q n p=-<-，故M q ≥ 综上所述：当1p <且M q ≥时，数列{}n c 是T 数列．……………16分 20、（1）解：因为201191229=⨯+，所以22,9q r ==.……………3分（2）证明：假设存在这样的函数:{1,2,3}f A →，使得对任意的整数,x y ，若12||{1,2,3}x x -∈，则12()()f x f x ≠.设(1),{1,2,3},(2),{1,2,3}f a a f b b =∈=∈，由已知a b ≠.由于|31|2,|32|1-=-=，所以(3)(1),(3)(2)f f f f ≠≠. ……………6分 不妨令(3),{1,2,3}f c c =∈，这里,c a ≠且c b ≠， 同理，(4),(4)f b f c ≠≠且, 因为{1,2,3}只有三个元素，所以(4)f a =. 即(1)(4)f f =，但|41|3-=，与已知矛盾. 因此，假设不成立，即不存在这样的函数:{1,2,3}f A →，使得对任意的整数12,x x A ∈，若12||{1,2,3}x x -∈，则12()()f x f x ≠.……………9分 （3）解：当8m =时，记{7|1,2,,16},{2(7)|1,2,3,4}M i i N i i =+==+=，记MP N =，则()12card P =，显然对任意116i j ≤<≤，不存在3n ≥，使得7(7)j n i +=+成立.故P 是非 “和谐集”，此时，{8,9,10,11,12,13,14,15,17,19,21,23}P =.同理，当9,10,11,12m =时，存在含m 的集合A 的有12个元素的子集为“和谐集”. 因此7m ≤.……………12分下面证明：含7的任意集合A 的有12个元素的子集为“和谐集”. 设1211{,,,,7}B a a a =.若1，14，21都不属于集合B ，构造集合123{2,4,8,16},{3,6,12},{5,10,20}B B B ===，/45{9,18},{11,22},{13,15,17,19,23}B B B ===.以上12345,,,,B B B B B 每个集合中的元素都是倍数关系.考虑/B B ⊆的情况，也即/B 中5个元素全都是B 的元素，B 中剩下6个元素必须从12345,,,,B B B B B 这5个集合中选取6个元素，那么至少有一个集合有两个元素被选，即集合B 中至少有两个元素存在倍数关系.综上所述，含7的任意集合A 的有12个元素的子集B 为“和谐集”，即m 的最大值为7.……16分。

2011年高考解析几何命题预测解析几何是中学数学的重点、难点，也是经久不衰的高考热点.历年的高考试题就是很好的例证.横看2010年全国19套理科卷，套套都有解析几何.纵看广东近四年，年年都有圆锥曲线.因此，我们有理由预测2011年广东的高考命题一定会有一道解析几何试题.结合考试说明及近期各地的模拟试题特点，我们估计试题会从下述几个方面进行设计.预测1、圆相关问题此类试题重点考查圆的方程、直线与圆的位置关系及直线与圆相交之后产生的各种性质.由于新课标对圆锥曲线降低了要求，于是与圆相关的问题便成了解析几何中备受关注的内容.近年高考也确实不负众望，请看：近年广东理科卷、广东文科卷都有与圆的相关问题，近年全国卷Ⅰ理也是与圆有关的问题，北京理科试卷也曾考查与圆相关问题；江西卷理科也曾考查过与圆相关的问题.因此，我们预测今年高考围绕圆的相关问题设计试题的可能性很大，必须引起我们和高度重视.样题1 已知点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2≠0），O 是坐标原点，P是线段AB的中点，若C是点A关于原点的对称点，Q是线段BC的中点，且OP=OQ，设圆C的方程为x2+y2-（x1+x2）x-（y1+y2）y=0，（I）证明线段AB是圆C的直径；（II）是否存在常数p使2p（x1+x2）=y12+y22+8p2+2y1y2与圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为同时成立？若存在，求出p的值；不存在，说明理由；解析（I）由于点P的坐标为（，），点A（x1，y1）关于原点的对称点为C（-x1，-y1），点Q的坐标为（，）. 由OP=OQ，得OP2=OQ2，即（）2+（）2=（）2+（）2x1x2+y1y2=0，由此得OA⊥OB，由方程x2+y2-（x1+x2）x-（y1+y2）y=0知圆C过原点，故线段AB是圆C的直径.（II）由2p（x1+x2）= y12+y22+8p2+2y1y2，得x1+x2=[（y1+y2）2+8p2]. 又圆心（，）到直线x-2y=0的距离为d==≤=，从而得p=2.点评本题意在考查圆的有关知识，直线、点到直线的距离及二次函数最值等.考查综合运用圆锥曲线问题的求解技能、技巧.设出相关点的坐标，充分利用条件中的“OP=OQ”是求解的关键.预测2、轨迹探求问题轨迹探求问题重点考查求轨迹的方法与技巧，建立在轨迹特征的基础上探求轨迹的其它性质及其它结论.轨迹探求问题是解析几何中的重要内容，也是解析几何中的基础内容，几乎对解几的考查都会与轨迹问题有关，如：近年江苏卷考查求抛物线方程与直线方程；广东理科卷考查求中点轨迹方程；海南、宁夏卷考查“求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线”；湖南理科卷解几题的第一问考查求动点的轨迹方程问题；为此，今年关于轨迹方面会不会设计试题，应引起我们必要的关注.样题2 已知定点F（1，0），动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP到点N，且&#8226;=0，=.（１）求点N的轨迹方程；（２）直线l与点N的轨迹交于A、B不同两点，若&#8226;=-4，且4≤AB≤4，求直线l的斜率k的取值范围．解析（１）由于=，则P为MN的中点．设N（x，y），则M（－x，0），P（0，）．由&#8226;=0，得（-x，-）&#8226;（1，-）=0，∴（-x）&#8226;1+（-）&#8226;（-）=0，∴y2=4x，所以点N的轨迹方程是y2=4x．（２）直线l的方程是与y=kx+m（k≠0）与y2=4x联立消去y，得（kx+m）2=4x，整理得k2x2+（2kx-4）x+m2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=.由&#8226;=-4，得x1x2+y1y2=-4，∴+=-4，即（+2）2=0，∴m=-2k.由于直线与N的轨迹交于不同的两点，则△=（2km-4）2-4k2m2>0，即km （Ⅰ）若直线m与x轴正半轴的交点为T，且&#8226;=1，求点T的坐标；（Ⅱ）求直线A1P与直线A2Q的交点M的轨迹E的方程；（Ⅲ）过点F（1，0）作直线l与（Ⅱ）中的轨迹E交于不同的两点A、B，设=，若∈[-2，-1]，求+（T为（Ⅰ）中的点）的取值范围.解析（Ⅰ）由题，得A1（-，0），A2（，0），设P（x0，y0），Q（x0，-y0），则=（x0+，y0），=（x0-，-y0）.由&#8226;=1x02-y02-2=1，即x02-y02=3.……①又P（x0，y0）在双曲线上，则-y02=1.…………②联立①②，解得x0=±2.由题意，x0＞0，∴x0=2，∴点T的坐标为（2，0）.（Ⅱ）设直线A1P与直线A2Q的交点M的坐标为（x，y）.由A1、P、M三点共线，得（x0+）y=y0（x+）；…………③由A2、Q、M三点共线，得（x0-）y=-y0（x-）,…………④联立③④，解得x0=，y0=.∵P（x0，y0）在双曲线上，∴-（）２＝１.∴轨迹E的方程为-y2=1.（x≠０，y≠０）（Ⅲ）容易验证直线l的斜率不为0，故可设直线l的方程为x＝ky＋１代入+y2=1中，得（k2+2）y2+2ky-1=0.设A（x1，y1）,B（x2，y2），y1≠０且y2≠0，则由根与系数的关系，得y1＋y2＝-……⑤，y1＋y2＝-……⑥=∴有y1=y2且＜0.将⑤式平方除以⑥式，得++2=-++2=-由∈[-2,-1]-≤++2≤0-≤-≤00≤k2≤.∵=(x1-2，y1)，=(x2-2，y2)，∵+=(x1+x2-4，y1+y2).又y1+y2=-，∴x1+x2-4=k(y1+y2)-2=-.故｜+｜2=(x1+x2-4)2+(y1+y2)2=16-+.令t=，∵0≤k2≤，∴≤≤，即t∈[，].∴｜+｜2=f（t）=8t2-28t+16=8（t-）2-.而t∈[，] ，∴f（t）∈[4，]，∴｜+｜∈[2，].点评本题的设计意图是建立在轨迹的基础上，求特定式子的范围.重点考查能否转化为函数问题？能否顺利地产生变量的范围？建立在变量范围的基础上完成求解.本题可以从第一问开始，一步一步慢慢展开，最终获得“全胜”.预测5、圆锥曲线中研究性问题高考重点考查建立在特殊问题的基础上，逐步分析与探索，最终产生一般性的结论，然后，再一般性结论进行推广应用.研究性问题是近年高考命题的热点与重点，它广泛地存在于数学的各个章节之中，圆锥曲线中研究性问题有其特殊性，也许对考生的各种能力有全面的考查，因而，在解几试题中经常遇到此类试题.如：近年山东卷理考查“是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点”；福建卷理科考查“是否存在a,使得O,M,S三点共线”；湖北考查“试判断＝4S1S3是否成立”等这些都是典型的研究性问题，交汇的开放性，给了考生很大探索空间，是一类选拔性极好试题，预测今年此类试题我们在试卷上还会见到.样题5 如图，曲线C1∶+=1（b＞a＞0，y≥0）与抛物线C2∶x2=2py（p＞0）的交点分别为A，B，曲线C1与抛物线C2在点A处的切线分别为k1和k2.（I）k1k2是否与P无关？若是，给出证明；若否，给以说明；（II）若l2与y轴的交点为D（0，-2）时，a2+b2是否存在与P无关的最小值，若存在，求出此值，并求出此时的曲线C1与抛物线C2的方程.若最小值与p有关，当此最小值为9时，求曲线C1与抛物线C2的方程.解析（I）设A（x0，y0），由+=1（b＞a＞0，y≥0）得y=.由于y′=-,则k1=y′｜=-｜.同理得k2=y′｜=，所以k1k2=-.=-.（※）又因为x20=2py0，y0==,则=，即=.代入（※）式得k1k2=-=-&#8226;=-2（）2，显然k1k2与p无关.（II）设A（x0，）则x0∈（-a，0），由（I）知k2=，则l2∶y=（x-x0）+.又l2过点D（0，-2）则x20=4p，即x0=-2，所以A（-2,2）.将点A的坐标代入曲线C1的方程得+=1.则a2+b2=（a2+b2）（+）=4p+4++≥4p+4+8当且仅当=时等号成立.显然，a2+b2不存在与p无关的最小值，当4p+4+8=9，再结合+=1，得p=，a2=3，b2=6，于是C1∶+=1（y≥0），C2∶x2=.点评本题两问的结论都需要考生细心探究，在探究的过程中使用了导数、不等式等基本工具，其间还夹杂着求曲线方程.看上去知识点较多，但难度适合广东考生，此题在试卷中的排列应是解答题的第四题或五题，难度系数0.45左右.预测6、圆锥曲线与其他知识点综合问题高考重点考查圆锥曲线与函数、导数、不等式、向量等结合，建立在相应知识的基础上展开问题，所用到的知识往往难度不大，但较多、较全面.圆锥曲线是设计综合性强、选拔功能突出的压轴题重要内容之一.它与很多章节都有很好的交汇性，常见的有与函数、数列、不等式、三角及平面向量等.近年安徽卷理科卷考查圆锥曲线与三角、数列结合的综合性问题.广东理科将圆锥曲线、导数、数列、不等式等融为一体，对考生分析问题与解决问题的能力进行了综合考查.今年此类试题绝不可轻视.样题6如图，ABCD是边长为2的正方形纸片，沿某动直线为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B都落在边AD上，记为B′；折痕l与AB交于点E，点M满足关系式=+.若以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系（如下图）.（Ⅰ）求点M的轨迹方程；（Ⅱ）若曲线S是由点M的轨迹及其关于边AB对称的曲线组成的，等腰梯形A1B1C1D1的三边A1B1，B1C1，C1D1分别与曲线S切于点P，Q，R.且一底边A1D1在x上，求梯形A1B1C1D1面积的最小值.解析（Ⅰ）如图，设M（x,y），B′（x0，2），又E（0,b），显然直线l的斜率存在，故不妨设直线l的方程为y=kx+b，则kBB′==-k=-，而BB′的中点（，1）在直线l上，故（-）&#8226;+b=1b=1+……①由于=+（x,y-b）=（0,-b）+（x0，2-b）x=x0，y=2-b，代入①即得y=-+1（0≤x0≤2），又，点M的轨迹方程y=-+1（0≤x≤2）.（Ⅱ）易知曲线S的方程为y=-+1（-2≤x≤2），设梯形A1B1C1D1的面积为s，点P的坐标为（t，-t2+1）（0＜t≤2），点Q的坐标为（0，1），直线B1C1的方程为y=1.又y=-+1y′=-y′｜x=t=-,∴直线A1B1的方程为y-（-t2+1）=-（x-t）.令y=0,得x=. ∴A1（，0）.令y=1,得x=t，∴B1（t，1）.∴s=（t+）×1×2=t+≥2，当且仅当t=，即t=时，取“=”且∈（0，2]，∴t=时，有s最小值为2.∴梯形A1B1C1D1的面积的最小值为2.点评本题将函数、导数、不等式、向量等融为一体，求解过程涉及对称思想、方程思想及换元思想，虽然不是高潮迭起，但细想起来有点“曲径通幽”的感觉.由于本题的背景较新，无模式可依，考生做起来，入手较为困难，思路不易展开.几何，中学数学永恒的兴奋点，它始终是高考试卷中的一道亮丽的风景，这道风景成就了许多人，细心研读本文、仔细揣摩样题，也许下一个成功者就是你.（作者单位：中山市实验高中）责任编校徐国坚注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF 格式阅读原文。

2011年高考解三角形一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（天津·理6）如图1，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB AD =，2AB =，2BC BD =，则sin C 的值为ABC．3D．62．（浙江·文5）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +＝A ．12-B ．12C ．1-D ．13．（福建·理10）已知函数()x f x e x =+，对于曲线()y f x =上横坐标成等差数列的三个点A 、B 、C ，给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形； ②△ABC 可能是直角三角形； ③△ABC 可能是等腰三角形； ④△ABC 不可能是等腰三角形．其中，正确的判断是A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④4．（辽宁·理4）△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c，2sin sin cos a A B b A +=，则b a＝A．B．CD5．（四川·理6·文8）在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是A ．0,6π⎛⎤⎥⎝⎦B ．,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．0,3π⎛⎤⎥⎝⎦D ．,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．（重庆·理6）若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足22()4a b c +-=，且60C =，则ab 的值为A ．43B．8-C ．1D ．23ADBC7．（重庆·文8）若△ABC 的内角A 、B 、C 满足6sin 4sin 3sin A B C ==，则cos B ＝AB ．34CD ．1116二、填空题：把答案填在题中横线上．8．（课标全国·理16）在△ABC 中，60B =，AC ，则2AB BC +的最大值为 ．9．（课标全国·文15）在△ABC 中，120B = ，7AC =，5AB =，则△ABC 的面积为 ．10．（安徽·理14）已知△ABC 的一个内角为120 ，三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为 ．11．（福建·理14）如图2，△ABC 中，2AB AC ==，BC =D 在BC 上，45ADC ∠= ，则AD 的长度等于 ．12．（福建·文14）若△ABC2BC =，60C = ，则边AB 的长度等于 ．13．（北京·理9）在△ABC 中，若5b =，4B π=，tan 2A =，则sin A ＝ ；a ＝ ． 14．（北京·文9）在△ABC 中，若5b =，4B π=，1sin 3A =，则a ＝ ． 15．（江西·文14）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若(4,)P y 是角θ的终边上一点，且sin θ=，则y ＝ ． 16．（上海·理16·文8）在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若75CAB ∠=，60CBA ∠= ，则A 、C 两点之间的距离是 千米．ABD三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（山东·理17）在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos 2cos 2cos A C c aB b --=．（1）求sin sin CA的值；（2）若1cos 4B =，2b =，求△ABC 的面积S ．18．（山东·文17）在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos 2cos 2cos A C c aB b --=．（1）求sin sin CA的值；（2）若1cos 4B =，△ABC 的周长为5，求b 的长．19．（江苏·15）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）若sin()2cos 6A A π+=，求A 的值；（2）若1cos 3A =，3b c =，求sin C 的值．20．（天津·文16）在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知B C =，2b ． （1）求cos A 的值； （2）求cos(2)4A π+的值．21．（安徽·文16）在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a =b =12cos()0B C ++=，求边BC 上的高．22．（浙江·理18）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知s i n s i n s i n (A C p B p R +=∈，且214ac b =．（1）当54p =，1b =时，求a ，c 的值；（2）若角B 为锐角，求p 的取值范围．23．（辽宁·文17）△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，2sin sin cos a A B b A +=．（1）求ba；（2）若222c b =，求B ．24．（湖南·理17·文17）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足sin cos c A a C =． （1）求角C 的大小；（2cos()4A B π-+的最大值，并求取得最大值时角A 、B 的大小．25．（陕西·理18·文18）叙述并证明余弦定理． 26．（江西·理17）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知s i n c o s 1s i n 2C C C +=-．（1）求sin C 的值；（2）若224()8a b a b +=+-，求边c 的值．27．（江西·文17）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3c o s c o s c o s a A c B b C =+． （1）求cos A 的值；（2）若1a =，cos cos B C +=c 的值． 28．（全国·理17）△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知90A C -=，a c +=，求C ．29．（全国·文18）△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，sin sin sin sin a A c C C b B +=．（1）求B ；（2）若75A =，2b =，求a ，c ．30．（湖北·理16·文16）设△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知1a =，2b =，1cos 4C =． （1）求△ABC 的周长； （2）求cos()A C -的值．。