抛物线上动点

抛物线及其性质知识点及题型归纳总结知识点精讲一、抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线)(l F l ∉的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线.注 若在定义中有l F ∈，则动点的轨迹为l 的垂线，垂足为点F . 二、抛物线的方程、图形及性质抛物线的标准方程有4种形式：)0(2,2,2,22222>-==-==p py x py x px y px y ，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向（如表10-3所示）1. 点),(00y x P 与抛物线)0(22>=p px y 的关系（1）P 在抛物线内（含焦点）0202px y <⇔. （2）P 在抛物线上0202px y =⇔. （3）P 在抛物线外0202px y >⇔.2. 焦半径抛物线上的点),(00y x P 与焦点F 的距离称为焦半径，若)0(22>=p px y ，则焦半径20px PF +=，2max p PF =. 3. )0(>p p 的几何意义p 为焦点F 到准线l 的距离，即焦准距，p 越大，抛物线开口越大.4. 焦点弦若AB 为抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦，),(11y x A ，),(22y x B ，则有以下结论：（1）4221p x x =.（2）221p y y -=.（3）焦点弦长公式1：p x x AB ++=21，p x x x x =≥+21212，当21x x =时，焦点弦取最小值p 2，即所有焦点弦中通径最短，其长度为p 2.焦点弦长公式2：α2sin 2pAB =（α为直线AB 与对称轴的夹角）.（4）AOB ∆的面积公式：αsin 22p S AOB =∆（α为直线AB 与对称轴的夹角）. 5.抛物线的弦若AB 为抛物线22(p 0)y px => 的任意一条弦，1122(x ,y ),B(x ,y )A ，弦的中点为000(x ,y )(y 0)M ≠ ，则（1） 弦长公式：1212(k k 0)AB AB x y y =-=-=≠ （2） 0AB p k y =（3） 直线AB 的方程为000(x x )py y y -=- （4） 线段AB 的垂直平分线方程为000(x x )y y y p-=-- 6．求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（4A法） （1）2(A 0),y Ax =≠ 焦点为(,0)4A ，准线为4A x =-(2) 2(A 0),x Ay =≠ 焦点为(0,)4A ，准线为4A y =-如24y x =，即24y x =，焦点为1(0,)16 ，准线方程为116y =-7．参数方程22(p 0)y px => 的参数方程为222x pt y pt ⎧=⎨=⎩（参数t R ∈）8．切线方程和切点弦方程抛物线22(p 0)y px =>的切线方程为0000(x x ),(x ,y )y y p =+为切点切点弦方程为00(x x ),y y p =+点00(x ,y )在抛物线外与中点弦平行的直线为00(x x ),y y p =+此直线与抛物线相离，点00(x ,y )（含焦点）是弦AB 的中点，中点弦AB 的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果。

抛物线专题考点1 抛物线的定义题型 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换1.已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为【[解析]过点P 作准线的垂线l 交准线于点R ，由抛物线的定义知，PR PQ PF PQ +=+，当P 点为抛物线与垂线l 的交点时，PR PQ +取得最小值，最小值为点Q 到准线的距离 ,因准线方程为x=-1,故最小值为32. 已知点),4,3(A F 是抛物线x y 82=的焦点,M 是抛物线上的动点,当MF MA +最小时, M 点坐标是 ( )A. )0,0(B. )62,3(C. )4,2(D. )62,3(-[解析] 设M 到准线的距离为MK ,则MK MA MF MA +=+|||，当MK MA +最小时，M 点坐标是)4,2(，选C考点2 抛物线的标准方程题型:求抛物线的标准方程3.求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点(-3,2) (2)焦点在直线上【解题思路】以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论.[解析] (1)设所求的抛物线的方程为22y px =-或22(0)x py p =>, ∵过点(-3,2) ∴229)3(24⋅=--=p p 或 ∴2934p p ==或 ∴抛物线方程为243y x =-或292x y =,前者的准线方程是1,3x =后者的准线方程为98y =- (2)令0x =得2y =-，令0y =得4x =，∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时,42p =, ∴8p =，此时抛物线方程216y x =;焦点为(0,-2)时22p = ∴4p =，此时抛物线方程28x y =-.∴所求抛物线方程为216y x =或28x y =-,对应的准线方程分别是4,2x y =-=.4.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.能使这抛物线方程为y 2=10x 的条件是____________.（要求填写合适条件的序号）[解析] 用排除法，由抛物线方程y 2=10x 可排除①③④，从而②⑤满足条件.5. 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与Y 轴的交点，A 为抛物线上一点,且3||,17||==AF AM ，求此抛物线的方程[解析] 设点'A 是点A 在准线上的射影，则3|'|=AA ，由勾股定理知22|'|=MA ，点A 的横坐标为)23,22(p -，代入方程py x 22=得2=p 或4，抛物线的方程y x 42=或y x 82= 考点3 抛物线的几何性质题型：有关焦半径和焦点弦的计算与论证6.设A 、B 为抛物线px y22=上的点,且 90=∠AOB (O 为原点),则直线AB 必过的定点坐标为__________.【解题思路】由特殊入手，先探求定点位置 ［解析］设直线OA 方程为kx y =,由⎩⎨⎧==px y kx y 22解出A 点坐标为)2,2(2k p k p ⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y x k y 212解出B 点坐标为)2,2(2pk pk -，直线AB 方程为221)2(2k pk x k pk y ---=+,令0=y 得p x 2=，直线AB 必过的定点)0,2(p【指引】（1）由于是填空题，可取两特殊直线AB, 求交点即可；（2）B 点坐标可由A 点坐标用k1-换k 而得。

抛物线上动点p的三角形面积-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在数学中，抛物线是一种具有特定形状的曲线，其形状类似于开口向上的U形。

它是由一个定点和一条直线（称为准线或直线段）确定的曲线，其中定点被称为焦点，准线表示为直线段AB。

抛物线是一种非常重要的曲线，广泛应用于物理学、工程学等领域。

本文将围绕着抛物线上的动点P展开讨论。

在抛物线上，动点P具有自由运动的能力，并且可以在曲线上任意选择不同的位置。

我们将重点研究动点P所形成的三角形的面积，并探究如何计算这个面积。

通过研究动点P在抛物线上的运动以及三角形的面积计算方法，我们可以深入理解抛物线曲线的几何特征，并且可以应用这些知识解决实际问题。

同时，对抛物线上动点P的三角形面积的意义和应用也将在文章中进行探讨。

最后，在总结部分我们将对本文的内容进行总结，并展望未来对抛物线相关问题的研究方向。

本文旨在提供一个清晰的抛物线上动点P三角形面积的计算方法，并希望读者通过阅读本文能够对抛物线的几何特性有更深入的了解。

【1.2 文章结构】本文将分为以下几个部分来探讨抛物线上动点P的三角形面积的计算方法。

每个部分的内容如下：（1）引言：在引言部分，我们将概述本文的主题和研究对象，并介绍文章的结构和目的。

同时，我们也将对抛物线的定义和性质进行简要介绍。

（2）正文：在正文部分，我们将分为三个小节来详细阐述抛物线上动点P的三角形面积的计算方法。

首先，我们会介绍抛物线的定义和性质，包括其数学表达和几何特征。

然后，我们会讨论动点P在抛物线上的运动规律，这一部分将包括动点P在不同位置的情况下的三角形面积的变化规律。

最后，我们将介绍具体的计算方法，包括利用向量、坐标和参数方程等不同的方法来计算动点P的三角形面积。

（3）结论：在结论部分，我们将对前面的研究结果进行总结，并探讨抛物线上动点P的三角形面积的一些意义和应用。

同时，我们也会展望未来可能的研究方向和可进一步发展的领域。

通过以上的安排，我们旨在全面而系统地介绍抛物线上动点P的三角形面积的计算方法，并探讨其应用的可能性，为相关领域的研究和实践提供一定的参考和指导。

七年级数学上册抛物线上的动点问题专题训练1. 抛物线基本概念回顾- 抛物线是由一个定点（焦点）和一条定直线（准线）确定的图形。

- 抛物线上的每个点到焦点和准线的距离相等。

2. 动点问题举例2.1 抛物线上的动点运动问题- 问题描述：一个动点在抛物线上沿着抛物线的轨迹运动，求动点的运动方程。

- 解决方法：设动点的坐标为(x, y)，根据抛物线的性质可以建立动点的坐标关系，进而得到动点的运动方程。

2.2 抛物线运动模型问题- 问题描述：已知一个物体以抛物线的轨迹从斜上方抛出，求该物体的落地点和最大高度等相关信息。

- 解决方法：根据已知条件和抛物线的性质，构建物体的运动模型，求解得到落地点和最大高度等信息。

2.3 抛物线与反射问题- 问题描述：光线从斜上方射向抛物面镜，求光线经过反射后的方向。

- 解决方法：根据抛物面镜的性质和光的反射定律，通过构建方程求解光线的反射方向。

3. 题训练3.1 填空题1. 抛物线的焦点是________，准线是________。

2. 抛物线上的动点到焦点和准线的距离________。

3. 已知抛物线的焦点为F(2, 3)，准线为y = 4，求抛物线的顶点坐标________。

4. 动点坐标关系为x = t, y = t^2，表示一个动点在抛物线上匀速运动，其中t表示________。

5. 从斜上方以速度v抛出一个物体，抛物线的方程为y = 2x - x^2，求物体从抛出到落地所用的时间t，已知重力加速度为g。

3.2 计算题1. 已知抛物线的焦点为F(1, 2)，准线为y = 3，求抛物线的顶点坐标和对称轴方程。

2. 炮弹以速度v从地面射出，抛物线方程为y = -16x^2 + vx，求炮弹的最大高度和落地点坐标。

4. 总结本文档主要介绍了七年级数学上册关于抛物线上的动点问题的专题训练。

通过回顾抛物线的基本概念，举例介绍了动点的运动问题、抛物线运动模型问题以及抛物线与反射问题。

中考数学抛物线动点题秒杀技巧全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：抛物线是数学中一个非常重要的概念，也是中考数学考试中常常会出现的题型之一。

抛物线的性质不仅仅是个别的知识点，更是一个整体的系统性知识。

在解题过程中，我们需要灵活运用抛物线的相关知识，抓住关键点，掌握一些技巧，才能在考试中取得更好的成绩。

本文将为大家介绍一些中考数学抛物线动点题的秒杀技巧，希望能够帮助大家顺利解答相关题目。

我们需要了解抛物线的基本性质。

抛物线是一种特殊的二次曲线，其一般方程为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0。

抛物线开口的方向取决于a的正负性：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

在抛物线上，我们常常遇到顶点、焦点、准线等概念，这些都是解题过程中需要重点关注的内容。

在解决抛物线动点题时，我们首先要确定动点的位置。

动点通常是抛物线上的一个点，在运动过程中其坐标会发生变化。

设抛物线的方程为y=ax^2+bx+c，动点的坐标为(x,y)，我们需要根据题目中的条件，确定动点的位置。

我们需要利用抛物线的性质，建立动点坐标变化的关系式。

在解题过程中，我们常常需要根据已知条件列方程，利用抛物线的性质建立动点坐标变化的关系式，从而求解动点的轨迹、移动方向等。

如果动点在抛物线上以匀速运动，我们可以利用速度的定义建立关于动点坐标的变化式。

我们需要灵活运用数学知识，解题过程中要注意化繁为简。

在解决抛物线动点题时，我们可能会遇到复杂的条件和问题，这时我们需要善于化繁为简，抓住关键点，简化问题。

可以通过几何、代数等不同的方法，灵活运用数学知识，解题过程中要注意逻辑性，不要陷入死胡同。

中考数学抛物线动点题并不是难题，关键在于掌握抛物线的基本性质，灵活运用数学知识，化繁为简，善于建立关系式，抓住关键点。

通过不断练习，积累经验，相信大家能够在考试中轻松应对抛物线动点题，取得好成绩。

希望以上的技巧能够帮助大家更好地掌握抛物线动点题的解题方法，祝大家在中考数学考试中取得优异成绩！第二篇示例：中考数学中，抛物线动点题是考生普遍认为比较难的题型之一。

专题04 抛物线上的点到定点与焦点(或准线)之和的最值 本内容主要研究抛物线上的点到定点与焦点(或准线)之和的最值.根据三角形两边之和不小于第三边，即AF PF PA ≥+，当且仅当点P 在线段AF 上时PF PA +的最小值是AF .利用抛物线的定义将动点（在抛物线上）到焦点与到准线的距离进行互化，定点所在位置是抛物线的内部还是外部，求抛物线上的点到定点与焦点(或准线)之和的最值时方法有差异.先看例题：例：抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B (4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点Q 的坐标为 .分析：B 在抛物线内，如图，作QR ⊥l 交于R ，则当B 、Q 、R 三点共线时，距离和最小. 归纳整理：求抛物线上的点到定点与焦点(或准线)之和的最值：利用抛物线的定义将动点（在抛物线上）到焦点与到准线的距离进行互化；定点所在位置是抛物线的内部还是外部；根据三角形两边之和大于第三边，共线时取得最值.再看一个例题，加深印象：例：抛物线C :y 2=4x 上一点P 到点A (3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________分析：A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =，因而易发现，当A 、P 、F 三点共线时，距离和最小.总结：1. 利用抛物线的定义将动点（在抛物线上）到焦点与到准线的距离进行互化；2. 判断定点所在位置是抛物线的内部还是外部；3. 根据三角形两边之和大于第三边，共线时取得最值.练习：1. 已知抛物线x y 42=，P 是抛物线上一点. 设F 是焦点，一个定点为()3,6A ，求PF PA +的最小值，并指出此时点P 的坐标.2. 已知点F 是抛物线2:4C y x =的焦点，点B 在抛物线C 上，(5,4)A ，当ABF ∆周长最小时，该三角形的面积为 .3. 已知点P 在抛物线y 2=4x 上, 那么点P 到点Q (2,－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时, 点P 的坐标为( )A.1(1,)4- B.1(,1)4 C.(1,2) D.(1,－2)4. 已知点P 是抛物线y 2=2x 上的一个动点,则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )17 B.3 5 D. 92答案：1.2.【答案】2【解析】过点B 作抛物线C 的准线1x =-的垂线，垂足为点B 1，因为周长L AF AB BF =++142AB BB =+，所以当A ，B ，B 1三点共线时ABF ∆的周长最小，此时点B 的坐标为(4,4)，ABF ∆的面积11422S =⨯⨯=． 3. 4.。

抛 物 线一、考纲要求1．了解抛物线的定义和几何图形；2．了解抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程；理解抛物线的简单性质，会用抛物线的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题。

二、回归教材1．抛物线x y 82-=的焦点坐标是 ，准线方程是 ，焦点到准线的距离是 。

2．抛物线x y 42=上一点M 到焦点的距离为3，则点M 的横坐标=x 。

3．经过点()32，P 的抛物线的标准方程为 。

4．焦点在直线042=--y x 上的抛物线的标准方程为 。

三、知识回顾1．抛物线的定义平面内到一个定点F 和一条定直线l ( )的距离 的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的 ，直线l 叫做抛物线的3．①p 的几何意义是 。

②抛物线)0(22>=p px y 上一点()00,y x P 到抛物线焦点F 的距离为 ；若过抛物线)0(22>=p px y 焦点F 的直线与抛物线交于两点),(11y x P 和),(22y x Q ，则弦长=PQ 。

四、范例导析例1．抛物线2ax y =的焦点坐标是 ；若准线方程是2=y ，则a = 。

例2．设P 是抛物线x y 42=上的一个动点，F 是焦点。

（1）求点P 到点A （-1，1）的距离与点P 到直线1-=x 的距离之和的最小值；（2）若B 点的坐标为（3，2），求PF PB +的最小值。

例3．已知抛物线)0(22>=p py x 上一点)4,(m A 到其焦点的距离为417，求p 与m 的值。

例4．F 是抛物线x y 42=的焦点，C B A ,,在抛物线上，若0 =++FC FB FA ，则FA +FB +FC = 。

五、练习反馈1．若抛物线x y 22=上的两点B A ,到焦点的距离之和为5，则线段AB 的中点P 到y 轴的距离是 。

2．抛物线2x y -=上的点到直线0834=-+y x 距离的最小值是 。

3．已知点M 是抛物线x y 42=上的一点，F 是抛物线的焦点，A 在圆1)1()3(:22=-++y x C 上，则MF MA +的最小值为 。

例析与抛物线有关的最短距离问题以抛物线为载体，求抛物线上（或对称轴）的一动点到两定点距离之和的最小值问题，是近年中考常见的题型，解决此类问题的关键是：将相关线段进行转换，最终利用“两点之间线段最短”或“垂线段最短”来解决问题．现举例说明如下．一、动点在直线上数学模型如图1．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 是以直线x ＝－2b a为对称轴的轴对称图形．抛 物线上纵坐标相同的A 、B 两点是对称点．因此，对称轴上任一动点P 到这两点的距离相等，即PA ＝PB ．模型应用：例1 如图2，二次函数的图象经过点D(0，且顶点C 的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB 的长为6．(1)求二次函数的解析式；(答：二次函数的解析式为：y x －4)2 (2)在该抛物线的对称轴上找一点P ，使PA ＋PD 最小，求出点P 的坐标； 解析 ∵点A 、B 关于直线x ＝4对称，∴PA ＝PB ．∴PA ＋PD ＝PB ＋PD ≥DB.∴当点P 在线段DB 上时，PA ＋PD 取得最小值．∴DB 与对称轴的交点即为所求点P ．设直线x ＝4与x 轴交于点M.∵PM ∥OD ，∴∠BPM ＝∠BDO ，点评 要在已知直线上找与同侧两点距离之和最小的点，对其中一个点作对称变换，把同侧点转化为异侧点后，利用“两点之间线段最短”来求最值．二、动点在曲线上数学模型如图3．平面内，到一个定点F 和一条不过此点的定直线l 距离相等的点的轨迹（或集合）称之为抛物线．因此，抛物线x 2＝2p y 上任一动点P 到一个定点F(0，2P )的距离等于到一条定直线l ：y ＝－2P 的距离，即PE ＝PF ． 模型应用：例2 如图4，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A （－4，3）、B(2，0)两点，当x ＝3和x ＝－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等．经过点C （0，－2）的直线l 与x 轴平行，O 为坐标原点．(1)求直线AB 和这条抛物线的解析式；(2)以A 为圆心，AO 为半径的圆记为⊙A ，判断直线l 与⊙A 的位置关系，并说明理由；(3)设直线AB 上的点D 的横坐标为－1，P(m ，n)是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上的动点，当△PDO 的周长最小时，求四边形CODP 的面积．解析 (1)直线AB 的解析式为y ＝12x ＋1； 抛物线的解析式为y ＝214x －1；(2)直线l 与⊙A 相切，理由略；(3)把x ＝－1代入y ＝－12x ＋1，得y ＝32，∴D （－1， 32)．过点P作PH⊥直线l于点H，则PH＝n＋2，即14m2＋1．∴PH＝PO．∵DO的长度为定值，∴当PD＋PO即PD＋PH最小时，△PDO的周长最小．当D、P、H三点在一条直线上时，PD＋PH最小．∴点P的横坐标为－1，代入抛物线的解析式，得n＝－3 4 .∴P（－1，－34）．此时四边形CODP的面积为：点评该题从特殊情形出发，通过观察、猜想并计算发现：抛物线上任一动点到定点的距离等于到定直线的距离，进而根据这一特性进行线段的转换，最后利用“垂线段最短”来解决问题．。

初中数学抛物线上的动点问题抛物线上的动点问题，这听起来像是数学课上最无聊的内容了，但它就像那杯热腾腾的奶茶，里面藏着不少惊喜呢！想象一下，一个小球在空中飞来飞去，它的轨迹就像一条优美的抛物线，哦，真是太酷了。

这个动点问题就像是在跟我们讲一个故事，讲述着这个小球如何在某个特定的时刻、某个特定的地方，和我们发生奇妙的碰撞。

咱们得明白什么是抛物线。

想象一下，小时候玩风筝，放得太高了，风一吹，风筝就会沿着一个弯曲的轨迹下落。

那就是抛物线的感觉。

抛物线有点像是大自然给我们的一个玩具，它可以用来解决许多有趣的问题，比如说，投篮的时候，篮球的弧线也是抛物线啊！所以，咱们一边学习，心里还得想着这些有趣的场景，真是两全其美。

什么是动点呢？小球就像是一个小精灵，它在抛物线上跳来跳去，不停地变化位置。

我们要想象一下，这个小精灵在做什么。

它可能在追逐小鸟，或者在寻找糖果。

哦，想到糖果我都想流口水了！这个动点就是一个在抛物线上不断移动的点，简单吧？我们用数学的语言来描述它，其实就是用公式来告诉我们它的位置随时间的变化。

想想看，多有趣啊，这小精灵跟着时间的脚步在舞动。

再说说，为什么要研究这些动点问题呢？生活中到处都是这样的抛物线和动点。

比如说，你扔一个苹果，苹果的轨迹就像抛物线一样。

你知道的，苹果掉下来可能会砸到人的头上，哈哈，那就很尴尬了。

不过，从这个角度看，苹果的落点就成了一个动点的问题，咱们要算好它落在哪里，避免意外发生，这就是用数学来保护自己啊。

说到这里，不得不提一提动点的速度和位置，这俩家伙简直就是双胞胎。

动点的速度就像是你在追赶公交车的时候，心里的那个紧张感。

咱们得知道，这小精灵在每一秒钟的位置变化得有多快。

速度快了，位置就变得飞快；速度慢了，哎，可能就得慢慢来，像在沙滩上走路一样，费劲。

有些同学可能觉得数学公式枯燥无味，其实这些公式就像是调料，少了它们，整个故事就没味道。

比如说，抛物线的方程y = ax² + bx + c，这些字母就像是调皮的小精灵，代表着不同的数值。