江苏省苏州市2018届中考数学二轮复习第20课时《抛物线中的两个动点问题》

第18课时 坐标系中的动点问题(50分)一、填空题(每题10分，共20分)1．[2019·泰州]如图6－2－1，在平面内，线段AB ＝6，P 为线段AB 上的动点，三角形纸片CDE 的边CD 所在的直线与线段AB 垂直相交于点P ，且满足PC ＝P A ，若点P 沿AB 方向从点A 运动到点B ，则点E 运动的路径长为__62__．图6－2－1 第1题答图【解析】 如答图，E 点运动的轨迹与C 点运动的轨迹相同，C 点运动的路径长是62＋62＝62，故答案是6 2.2．菱形OBCD 在平面直角坐标系中的位置如图6－2－2所示，顶点B (2，0)，∠DOB ＝60°，P 是对角线OC 上一个动点，E (0，－1)，当EP ＋BP 最短时，点P 的坐标为__()23－3，2－3__．图6－2－2 第2题答图【解析】 如答图，连结DE 交OC 于点P ，则点P 满足EP ＋BP 最短．延长CD 交y 轴于点F ，则CF ⊥y 轴，∵四边形OBCD 是菱形，∴OD ＝CD ＝OB ＝2，∵∠DOB ＝60°，则∠DOF ＝30°，∴DF ＝1，OF ＝3，∴D (1，3)，C (3，3)．设直线DE 的解析式为y ＝kx －1，将点D 坐标代入，则k －1＝3，∴k ＝3＋1，则y ＝(3＋1)x －1，设直线OC 的表达式为y ＝mx ，将点C 坐标代入，则3m ＝3，∴m ＝33，则y ＝33x ，由⎩⎨⎧y ＝（3＋1）x －1，y ＝33x ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23－3，y ＝2－3，∴点P 的坐标为(23－3，2－3)． 二、解答题(共30分)3．(15分)[2019·长沙]如图6－2－3，直线l：y＝－x＋1与x轴，y轴分别交于A，B两点，P，Q是直线l上的两个动点，且点P在第二象限，点Q在第四象限，∠POQ＝135°.(1)求△AOB的周长；(2)设AQ＝t＞0，试用含t的代数式表示点P的坐标；(3)当动点P，Q在直线l上运动到使得△AOQ与△BPO的周长相等时，记tan∠AOQ＝m，若过点A的二次函数y＝ax2＋bx＋c同时满足以下两个条件：①6a＋3b＋2c＝0；②当m≤x≤m＋2时，函数y的最大值等于2m，求二次项系数a的值．解：(1)在函数y＝－x＋1中，令x＝0，得y＝1，∴B(0，1)，令y＝0，得x＝1，∴A(1，0)，则OA＝OB＝1，AB＝2，∴△AOB的周长为1＋1＋2＝2＋2；(2)∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝45°，∴∠PBO＝∠QAO＝135°，∴∠BPO＝∠OBA－∠POB＝45°－∠POB，∴∠AOQ＝∠POQ－∠BOA－∠POB＝45°－∠POB，即∠BPO＝∠AOQ，∴△PBO∽△OAQ，∴PB OA ＝OBAQ，∴PB＝OA·OBAQ＝1t，如答图，过点P作PH⊥OB于点H，则△PHB为等腰直角三角形．图6－2－3∵PB ＝1t ，∴PH ＝HB ＝22t ，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22t，1＋22t ； (3)由(2)可知△PBO ∽△OAQ ，若它们的周长相等，则相似比为1，即全等，∴PB ＝OA ，∴1t ＝1，∴t ＝1，同理可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22t ，－22t ，∴m ＝22t 1＋22t ＝2－1，∵抛物线经过点A ，∴a ＋b ＋c ＝0，又∵6a ＋3b ＋2c ＝0，∴b ＝－4a ，c ＝3a ，对称轴为直线x ＝2，当2－1≤x ≤2＋1时， ①若a ＞0，则开口向上，由题意，得x ＝2－1时，取得最大值2m ＝22＋2，即(2－1)2a ＋(2－1)b ＋c ＝22＋2，解得a ＝11＋827； ②若a ＜0，则开口向下，由题意，得x ＝2时，取得最大值22＋2，即4a ＋2b ＋c ＝22＋2，解得a ＝－22－2.综上所述，所求a 的值为11＋827或－22－2. 4．(15分)如图6－2－4，已知在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，以P (1，1)为圆心的⊙P 与x 轴，y 轴分别相切于点M 和点N .点F 从点M 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连结PF ，过点P 作PE ⊥PF 交y 轴于点E .设点F 运动的时间是t s(t >0)．(1)若点E 在y 轴的负半轴上，求证：PE ＝PF ；(2)在点F 运动过程中，设OE ＝a ，OF ＝b ，试用含a的代数式表示b ；(3)作点F 关于点M 的对称点F ′.经过M ，E 和F ′三点的抛物线的对称轴交x 轴于点Q ，连结QE .在点F 运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q ，O ，E 为顶点的三角形与以点P ，M ，F 为顶点的三角形相似，若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：如答图①，连结PM ，PN .∵⊙P 与x 轴，y 轴分别相切于点M 和点N ，∴PM ⊥MF ，PN ⊥ON 且PM ＝PN ，∴∠PMF ＝∠PNE ＝90°且∠NPM ＝90°.∵PE ⊥PF ，∴∠1＝∠3＝90°－∠2.在△PMF 和△PNE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠3＝∠1，PM ＝PN ，∠PMF ＝∠PNE .∴△PMF ≌△PNE (ASA )，∴PE ＝PF ；(2)分两种情况：①当t >1时，点E 在y 轴的负半轴上，如答图②，由(1)得△PMF ≌△PNE ，∴NE ＝MF ＝t ，PN ＝PM ＝1，∴b ＝OF ＝OM ＋MF ＝1＋t ，a ＝NE －ON ＝t －1.∴b －a ＝1＋t －(t －1)＝2，∴b ＝2＋a ； 图6－2－4第4题答图① 第4题答图②②当0<t≤1时，如答图③，点E在y轴的正半轴上或原点，同理可证△PMF≌△PNE，∴b＝OF＝OM＋MF＝1＋t，a＝OE＝ON－NE＝1－t，∴b＋a＝1＋t＋1－t＝2，∴b＝2－a.综上所述，当t>1时，b＝2＋a；当0<t≤1时，b＝2－a；(3)存在．t的值是2＋2或2－2或2或1＋174.(30分)5．(15分)[2019·攀枝花]如图6－2－5，在平面直角坐标系中，直线MN分别与x 轴，y轴交于点M(6，0)，N(0，23)，等边三角形ABC的顶点B与原点O 重合，BC边落在x轴正半轴上，点A恰好落在线段MN上，将等边三角形ABC从图①的位置沿正方向以每秒1个单位长度的速度平移，边AB，AC分别与线段MN交于点E，F(如图②所示)，设△ABC平移的时间为t(s)．(1)等边三角形ABC的边长为__3__；(2)在运动过程中，当t＝__3__时，MN垂直平分AB；(3)若在△ABC开始平移的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线BA→AC运动，当点P运动到C时即停止运动，△ABC 也随之停止平移．①当点P在线段BA上运动时，若△PEF与△MNO相似，求t的值；②当点P在线段AC上运动时，设S△PEF＝S，求S与t的函数关系式，并求出S最大值及此时点P的坐标．图6－2－5【解析】(1)由题易知OM＝6，ON＝23，∴MN＝43，∴∠NMO＝30°，∵∠第4题答图③ABC ＝60°，∴∠BAM ＝90°，即AB ⊥MN ，∴AB ＝12OM ＝3，即等边三角形边长为3；(2)由等边三角形的性质易知当MN 垂直平分AB 时，C 点与M 点重合，∴OB ＝OM －MB ＝3，即t ＝3；(3)①当P 点在线段AB 上运动时，则OB ＝t ，PB ＝2t ，则BM ＝6－t ，P A ＝3－2t ，△PEF 与△MNO 相似分为△PEF ∽△MON 或△PEF ∽△NOM 两种对应情况思考；②当点P 在线段AC 上运动时，S △PEF ＝12EF ·PH ＝12·32t ·3－t 2＝－38t 2＋338t ＝－38⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋9332≤9332 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32≤t ≤3，∴当t ＝32时，S max ＝9332. 解：(3)①当P 点在线段AB 上运动时，OB ＝t ，BP ＝2t ，则BM ＝6－t ，P A ＝3－2t ，△PEF 与△MNO 相似分为△PEF ∽△MON 或△PEF ∽△NOM 两种对应情况，第5题答图当△PEF ∽△MON 时，则∠EPF ＝∠EF A ＝∠EMB ＝30°，∴AE ＝12AF ＝14AP ＝3－2t 4，BE ＝12BM ＝6－t 2.又∵BE ＝AB －AE ＝3－3－2t 4，∴3－3－2t 4＝6－t 2，解得t ＝34；当△PEF ∽△NOM 时，若点P 在线段BE 上，则∠PFE ＝∠NMO ＝30°， 即PF ∥OM ，∴△P AF 是等边三角形，∴EF 垂直平分P A ，∴BE ＝BP ＋12P A ＝32＋t ，又∵BE ＝12MB ＝6－t 2，∴32＋t ＝6－t 2，解得t ＝1；当△PEF ∽△NOM 时，若点P 在线段AE 上，则P 点与A 点重合，即t ＝32.综上所述，t＝34或1或32；②当点P在线段AC上运动时，则BM＝6－t，PC＝6－2t，32≤t≤3.∴BE＝12BM＝3－t2，即AE＝t2，∴EF＝3AE＝32t，AF＝2AE＝t，∴CF＝AC－AF＝3－t，∴PF＝PC－CF＝3－t.如答图③，作PH⊥EF于H点，由∠AFE＝30°可知，PH＝12PF＝3－t2.S△PEF＝12EF·PH＝12·32t·3－t2＝－38t2＋338t＝－38⎝⎛⎭⎪⎫t－322＋9332≤9332⎝⎛⎭⎪⎫32≤t≤3，∴当t＝32时S max＝9332.6．(15分)[2019·衢州]在直角坐标系中，过原点O及点A(8，0)，C(0，6)作矩形OABC.连结OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连结EF.已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t s.图6－2－6(1)如图6－2－6①，当t＝3时，求DF的长；(2)如图②，当点E在线段AB上移动的过程中，∠DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠DEF的值；(3)连结AD，当AD将△DEF分成的两部分面积之比为1∶2时，求相应t的值．【解析】(1)当t＝3时，点E为AB中点．DE为△ABO的中位线．(2)过D作DM⊥OA，DN⊥AB，垂足分别为M，N.利用△DMF∽△DNE即可求解．(3)AD将△DEF分成的两部分面积之比为1∶2可转化为AD与EF交点G为EF的三等分点，即讨论G点所处的位置．第5题答图③解：(1)当t ＝3时，点E 为AB 中点．∵点D 为OB 中点，∴DE ∥OA ，DE ＝12OA ＝4.∵OA ⊥AB ，∴DE ⊥AB .∴∠OAB ＝∠DEA ＝90°.又∵DF ⊥DE ，∴∠DF A ＝90°，∴四边形DF AE 是矩形，∴DF ＝AE ＝3.(2)∠DEF 的大小不变．如答图①，过D 作DM ⊥OA ，DN ⊥AB ，垂足分别为M ，N .∵四边形OABC 是矩形，∴OA ⊥AB ，∴四边形DMAN 是矩形，∴∠MDN ＝90°，DM ∥AB ，DN ∥OA ，∴BD DO ＝BN NA ，OD DB ＝OM MA .∵点D 为OB 中点，∴M ，N 分别是OA ，AB 中点．∴DM ＝12AB ＝3，DN ＝12OA ＝4，∵∠EDF ＝90°，∴∠FDM ＝∠EDN .又∵∠DMF ＝∠DNE ＝90°，∴△DMF ∽△DNE ，∴DF DE ＝DM DN ＝34.∵∠EDF ＝90°，∴tan ∠DEF ＝34.第6题答图(3)过D 作DM ⊥OA ，DN ⊥AB ，垂足分别为M ，N .若AD 将△DEF 的面积分成1∶2的两部分，设AD 交EF 于点G ，则易得点G 为EF 的三等分点． ①如答图②，当E 到达AB 中点之前时，NE ＝3－t ，由△DMF ∽△DNE ，得MF ＝34(3－t )．∴AF ＝4＋MF ＝－34t ＋254. ∵G 1为EF 的三等分点，∴G 1⎝ ⎛⎭⎪⎫3t ＋7112，23t . 由点A (8，0)，D (4，3)得直线AD 的表达式为y ＝－34x ＋6，将G 1⎝ ⎛⎭⎪⎫3t ＋7112，23t 代入，得t ＝7541. ②如答图③，当E 越过AB 中点之后，NE ＝t －3，由△DMF ∽△DNE ，得MF ＝34(t －3)．∴AF ＝4－MF ＝－34t ＋254.∵G 2为EF 的三等分点，∴G 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3t ＋236，13t . 代入直线AD 表达式y ＝－34x ＋6，得t ＝7541.综上，t 的值为7541.(20分)7．(20分)[2019·绍兴]如图6－2－7①，已知▱ABCD ，AB ∥x 轴，AB ＝6，点A 的坐标为(1，－4)，点D 的坐标为(－3，4)，点B 在第四象限，点P 是▱ABCD 边上的一个动点．(1)若点P 在边BC 上，PD ＝CD ，求点P 的坐标；(2)若点P 在边AB ，AD 上，点P 关于坐标轴对称的点Q 落在直线y ＝x －1上，求点P 的坐标；(3)若点P 在边AB ，AD ，CD 上，点G 是AD 与y 轴的交点，如图②，过点P 作y 轴的平行线PM ，过点G 作x 轴的平行线GM ，它们相交于点M ，将△PGM 沿直线PG 翻折，当点M 的对应点落在坐标轴上时，求点P 的坐标(直接写出答案)．图6－2－7解：(1)∵CD ＝6，∴点P 与点C 重合，∴点P 的坐标是(3，4)．(2)①当点P 在边AD 上时，由已知得直线AD 的函数表达式为y ＝－2x －2，设P (a ，－2a －2)，且－3≤a ≤1.若点P 关于x 轴的对称点Q 1(a ，2a ＋2)在直线y ＝x －1上，则2a ＋2＝a －1，解得a ＝－3，此时P 1(－3，4)．若点P 关于y 轴对称点Q 2(－a ，－2a －2)在直线y ＝x －1上，则－2a －2＝ －a －1，解得a ＝－1，此时P 2(－1，0)．②当点P 在边AB 上时，设P (a ，－4)，且1≤a ≤7.若点P 关于x 轴对称点Q 3(a ，4)在直线y ＝x －1上，则4＝a －1，解得a ＝5，此时P (5，－4)．若点P 关于y 轴对称点Q 4(－a ，－4)在直线y ＝x －1上，则－4＝－a －1， 解得a ＝3，此时P 4(3，－4)．综上所述，点P 的坐标为(－3，4)或(－1，0)或(5，－4)或(3，－4)；(3)∵直线AD ：y ＝－2x －2，∴G (0，－2)，①如答图②，当点P 在CD 边上，设P (m ，4)，－3≤m ≤3，则M ′P ＝PM ＝4＋2＝6，M ′G ＝GM ＝|m |，易证得△OG ′M ′∽△HM ′P ，则OM ′HP ＝GM ′M ′P ，即OM ′4＝|m |6，∴OM ′＝23|m |，在Rt △OGM ′中，由勾股定理，得⎝ ⎛⎭⎪⎫23|m |2＋22＝m 2，解得m ＝－655或655，则P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－655，4或⎝ ⎛⎭⎪⎫655，4； 第7题答图② 第7题答图③②如答图③，当点P 在AD 边上时，设P (m ，－2m －2)，则PM ′＝PM ＝|－2m |，GM ′＝MG ＝|m |，易证得△OGM ′∽△HM ′P ， 第7题答图①第 11 页 则 OM ′HP ＝GM ′M ′P ，即OM ′|－2m －2|＝|m ||－2m |， ∴OM ′＝12|2m ＋2|，在Rt △OGM ′中，由勾股定理，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12|2m ＋2|2＋22＝m 2，解得m ＝－52，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，3；③如答图④，当点P 在AB 边上时，设P (m ，－4)，此时M ′在y 轴上，则四边形PMGM ′为正方形，GM ＝PM ＝4－2＝2，∴P (2，－4)．综上所述，点P 的坐标为(2，－4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，3或⎝ ⎛⎭⎪⎫－655，4或⎝ ⎛⎭⎪⎫655，4.第7题答图④。

初中数学压轴题：抛物线中的两个动点问题
以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，
使其能够成某些特殊的几何图形或研究生成几
何图形的面积，这是抛物线与平面几何生成综
合性问题的一种重要形式，也是各地中考中常
见的考点，也是综合解题能力提升的重要素材，
这类问题有一下常见的形式。

（1）抛物线上的动点能否构成等腰三角形；
（2）抛物线上的动点能否构成等腰三角形；
（3）抛物线上的动点能否构成平行四边形、矩形、菱形、正方形；（4）抛物线上的动点能否构成相似三角形；
（5）抛物线上的动点生成的几何图形的面积；。

三、解答重难点突破拓展题型二二次函数中的动态问题针对演练1.如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx-3（a，b是常数）的图象与x轴交于点A(-3，0)和点B(1，0），与y轴交于点C，动直线y=t（t为常数）与抛物线交于不同的两点P、Q.（1）求a和b的值；（2）求t的取值范围；（3）若∠PCQ=90°，求t的值.第1题图2.已知抛物线y=ax2+bx+c经过原点O及点A(-4，0)和点B(-6，3)，（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）如图①，将直线y=2x沿y轴向下平移后与（1）中所求抛物线只有一个交点C，平移后的直线与y轴交于点D ，求直线CD的解析式；（3）如图②，将（1）中所求抛物线向上平移4个单位得到新抛物线，请直接写出新抛物线上到直线CD距离最短的点的坐标及该最短距离.第2题图3.(2015乐山10分)如图①，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，若tan∠ABC＝3，一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为-8、2.（1）求二次函数的解析式；（2）直线l以AB为起始位置，绕点A顺时针旋转到AC位置停止，l与线段BC交于点D，P是AD的中点.①求点P的运动路程；②如图②，过点D作DE垂直x轴于点E，作DF⊥AC所在直线于点F，连接PE、PF，在l运动过程中，∠EPF的大小是否改变？请说明理由；（3）在（2）的条件下，连接EF，求△PEF周长的最小值.第3题图【答案】针对演练1.（1）【思路分析】将点A、点B的坐标代入二次函数解析式可求出a、b的值.解：将点A(-3，0)、点B(1，0)的坐标代入y=ax2+bx-3中可得：，解得：（2）【思路分析】根据二次函数及y=t，可得出方程，有两个交点，可得b2-4ac＞0，求解t的范围即可.解：由（1）知抛物线的解析式为y=x2+2x-3，动直线y=t，联立两个解析式可得：x2+2x-3=t，即x2+2x-（3+t）=0，∵动直线y=t（t为常数）与抛物线交于不同的两点，∴b2-4ac=4+4（3+t）＞0，解得：t＞-4.（3）【思路分析】如解图，证明△QCD∽△CPD，利用相似三角形的对应边成比例，可求出t的值.解：∵y=x2+2x-3=（x+1）2-4，∴抛物线的对称轴为直线x=-1，当x=0时，y=-3，∴C（0，-3）,设点Q的坐标为（m，t），则P（-2-m，t）,如解图，设PQ与y轴交于点D，第1题解图则CD=t+3，DQ=m，DP=m+2,∵∠PCQ=∠PCD+∠QCD=90°，∠DPC+∠PCD=90°，∴∠QCD=∠DPC，又∵∠PDC=∠QDC=90°，∴△QCD∽△CPD，∴，即,整理得：t2+6t+9=m2+2m，∵Q（m，t）在抛物线上，∴t=m2+2m-3，∴m2+2m=t+3，∴t2+6t+9=t+3，化简得：t2+5t+6=0，解得t=-2或t=-3，当t=-3时，动直线y=t经过点C，故不合题意，舍去．∴t=-2.2.（1）【思路分析】根据待定系数法，可得函数解析式.解：∵抛物线经过O（0，0），A（-4，0），B（-6，3）三点，∴解得∴抛物线的解析式为,∵∴抛物线的顶点坐标为（-2，-1）.（2）【思路分析】根据平移规律，可得直线CD的解析式，根据相切，可得关于m的方程，根据解方程，可得m .解：设直线CD的解析式为y=2x+m，根据题意，得x2+x=2x+m,化简整理，得x2-4x-4m＝0，由b2-4ac=16+16m＝0,解得m=-1，∴直线CD的解析式为y=2x-1.（3）【思路分析】根据平移规律,可得新抛物线,根据直线与抛物线相切,可得直线MN的解析式,根据解方程组,可得G点坐标,根据垂线的关系,可得直线GH的解析式,根据解方程组,可得H点坐标,根据勾股定理,可得答案.解：（2，7）;.【解法提示】平移后的解析式为y=x2+x+4①,。

一元二次方程及其应用一.选择题1.（2018•江苏淮安•3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k+1=0有两个相等的实数根，则k的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】根据判别式的意义得到△=（﹣2）2﹣4（﹣k+1）=0，然后解一次方程即可．【解答】解：根据题意得△=（﹣2）2﹣4（﹣k+1）=0，解得k=0．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．2.（2018•江苏苏州•3分）如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y=在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E．若AB=4，CE=2BE，tan∠AOD=，则k的值为（）A．3 B．2 C．6 D．12【分析】由tan∠AOD==可设AD=3A.OA=4a，在表示出点D.E的坐标，由反比例函数经过点D.E列出关于a的方程，解之求得a的值即可得出答案．【解答】解：∵tan∠AOD==，∴设AD=3A.OA=4a，则BC=AD=3a，点D坐标为（4a，3a），∵CE=2BE，∴BE=BC=a，∵AB=4，∴点E（4+4a，a），∵反比例函数y=经过点D.E，∴k=12a2=（4+4a）a，解得：a=或a=0（舍），则k=12×=3，故选：A．【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意表示出点D.E的坐标及反比例函数图象上点的横纵坐标乘积都等于反比例系数k．3.（2018•内蒙古包头市•3分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出m≤3，由m为正整数结合该方程的根都是整数，即可求出m的值，将其相加即可得出结论．【解答】解：∵a=1，b=2，c=m﹣2，关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有实数根∴△=b2﹣4ac=22﹣4（m﹣2）=12﹣4m≥0，∴m≤3．∵m为正整数，且该方程的根都是整数，∴m=2或3．∴2+3=5．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的整数解，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．4.（2018•上海•4分）下列对一元二次方程x2+x﹣3=0根的情况的判断，正确的是（）A．有两个不相等实数根B．有两个相等实数根C．有且只有一个实数根D．没有实数根【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=13＞0，进而即可得出方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根．【解答】解：∵a=1，b=1，c=﹣3，∴△=b2﹣4ac=12﹣4×（1）×（﹣3）=13＞0，∴方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．5. （2018•乌鲁木齐•4分）宾馆有50间房供游客居住，当毎间房毎天定价为180元时，宾馆会住满；当毎间房毎天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房毎天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x元．则有（）A．（180+x﹣20）（50﹣）=10890 B．（x﹣20）（50﹣）=10890C．x（50﹣）﹣50×20=10890 D．（x+180）（50﹣）﹣50×20=10890【分析】设房价定为x元，根据利润=房价的净利润×入住的房间数可得．【解答】解：设房价定为x元，根据题意，得（x﹣20）（50﹣）=10890．故选：B．【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系．6. （2018•嘉兴•3分）欧几里得的《原本》记载.形如的方程的图解法是：画，使,,,再在斜边上截取.则该方程的一个正根是（）A. 的长.B. 的长C. 的长D. 的长【答案】B【解析】【分析】可以利用求根公式求出方程的根，根据勾股定理求出AB的长，进而求得AD的长,即可发现结论.【解答】用求根公式求得：∵∴∴AD的长就是方程的正根.故选B.【点评】考查解一元二次方程已经勾股定理等，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键.6. （2018•贵州安顺•3分）一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（）A. B. C. D. 或【答案】A【解析】试题分析：∵，∴，即，，①等腰三角形的三边是2，2，5，∵2+2＜5，∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5=12；即等腰三角形的周长是12．故选A．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质．7. （2018•广西桂林•3分）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则k的值为（）A. B. C. 2或3 D. 或【答案】A【解析】分析：根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于k的方程，解之即可得出结论．详解：∵方程有两个相等的实根，∴△=k2-4×2×3=k2-24=0，解得：k=．故选：A．点睛：本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△=0时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键．8. （2018•广西南宁•3分）某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．80（1+x）2=100 B．100（1﹣x）2=80 C．80（1+2x）=100 D．80（1+x2）=100【分析】利用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程．【解答】解：由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80（1+x）吨，2018年蔬菜产量为80（1+x）（1+x）吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，即：80（1+x）（1+x）=100或80（1+x）2=100．故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2017年和2018年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．9. （2018·黑龙江龙东地区·3分）某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】设共有x个班级参赛，根据第一个球队和其他球队打（x﹣1）场球，第二个球队和其他球队打（x ﹣2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x﹣1）场球，然后根据计划安排15场比赛即可列出方程求解．【解答】解：设共有x个班级参赛，根据题意得：=15，解得：x1=6，x2=﹣5（不合题意，舍去），则共有6个班级参赛．故选：C．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，关键是准确找到描述语，根据等量关系准确的列出方程．此题还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．10.（2018•福建A卷•4分）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，下列判断正确的是（）A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根【分析】根据方程有两个相等的实数根可得出b=a+1或b=﹣（a+1），当b=a+1时，﹣1是方程x2+bx+a=0的根；当b=﹣（a+1）时，1是方程x2+bx+a=0的根．再结合a+1≠﹣（a+1），可得出1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，∴，∴b=a+1或b=﹣（a+1）．当b=a+1时，有a﹣b+1=0，此时﹣1是方程x2+bx+a=0的根；当b=﹣（a+1）时，有a+b+1=0，此时1是方程x2+bx+a=0的根．∵a+1≠0，∴a+1≠﹣（a+1），∴1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．11.（2018•福建B卷•4分）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，下列判断正确的是（）A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根【分析】根据方程有两个相等的实数根可得出b=a+1或b=﹣（a+1），当b=a+1时，﹣1是方程x2+bx+a=0的根；当b=﹣（a+1）时，1是方程x2+bx+a=0的根．再结合a+1≠﹣（a+1），可得出1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，∴，∴b=a+1或b=﹣（a+1）．当b=a+1时，有a﹣b+1=0，此时﹣1是方程x2+bx+a=0的根；当b=﹣（a+1）时，有a+b+1=0，此时1是方程x2+bx+a=0的根．∵a+1≠0，∴a+1≠﹣（a+1），∴1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．12.（2018•广东•3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜B．m≤C．m＞D．m≥【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×m＞0，∴m＜．故选：A．【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．1.. （2018•广西北海•3分）某种植基地 2016 年蔬菜产量为 80 吨，预计 2018 年蔬菜产量达到 100 吨，求蔬菜产量的年平均增长率.设蔬菜产量的年平均增长率为ρ则可列方程为A. 80(1 + ):= 100B. 100(1 −):= 80C. 80(1 + 2) = 100D. 80(1 + :) = 100【答案】 A【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【解析】由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为，根据 2016 年蔬菜产量为 80 吨，则2017 年蔬菜产量为80(1 + )吨，2018 年蔬菜产量为80(1 + ) (1 + )吨. 预计 2018 年蔬菜产量达到 100 吨，即80(1 + )(1 + ) =100，即80(1 + ):= 100.故选 A.【点评】此题考查了一元二次方程的应用(增长率问题).解题的关键是在于理清题目的意思，找到 2017 年和 2018 年的产量的代数式，根据条件找出等量关系式，列出方程.14.（2018•广西贵港•3分）已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3【分析】据根与系数的关系α+β=﹣1，αβ=﹣2，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．【解答】解：∵α，β是方程x2+x﹣2=0的两个实数根，∴α+β=﹣1，αβ=﹣2，∴α+β﹣αβ=﹣1﹣2=﹣3，故选：D．【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数关系的公式是关键．15.（2018•贵州铜仁•4分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为（）A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3【分析】利用因式分解法求出已知方程的解．【解答】解：x2﹣4x+3=0，分解因式得：（x﹣1）（x﹣3）=0，解得：x1=1，x2=3，故选：C．16.（2018•贵州遵义•3分）已知x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3=0的两根，且满足x1+x2﹣3x1x2=5，那么b的值为（）A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3【分析】直接利用根与系数的关系得出x1+x2=﹣b，x1x2=﹣3，进而求出答案．【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3=0的两根，∴x1+x2=﹣b，x1x2=﹣3，则x1+x2﹣3x1x2=5，﹣b﹣3×（﹣3）=5，解得：b=4．故选：A．16.（2018年湖南省娄底市）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k=0的根的情况是（）A．有两不相等实数根 B．有两相等实数根C．无实数根 D．不能确定【分析】先计算判别式得到△=（k+3）2﹣4×k=（k+1）2+8，再利用非负数的性质得到△＞0，然后可判断方程根的情况．【解答】解：△=（k+3）2﹣4×k=k2+2k+9=（k+1）2+8，∵（k+1）2≥0，∴（k+1）2+8＞0，即△＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．17.（2018湖南湘西州4.00分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（）A．1 B．﹣3 C．3 D．4【分析】设方程的另一个解为x1，根据两根之和等于﹣，即可得出关于x1的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设方程的另一个解为x1，根据题意得：﹣1+x1=2，解得：x1=3．故选：C．【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．18.（2018•上海•4分）下列对一元二次方程x2+x﹣3=0根的情况的判断，正确的是（）A．有两个不相等实数根B．有两个相等实数根C．有且只有一个实数根D．没有实数根【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=13＞0，进而即可得出方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根．【解答】解：∵a=1，b=1，c=﹣3，∴△=b2﹣4ac=12﹣4×（1）×（﹣3）=13＞0，∴方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．19. （2018•乌鲁木齐•4分）宾馆有50间房供游客居住，当毎间房毎天定价为180元时，宾馆会住满；当毎间房毎天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房毎天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x元．则有（）A．（180+x﹣20）（50﹣）=10890 B．（x﹣20）（50﹣）=10890C．x（50﹣）﹣50×20=10890D．（x+180）（50﹣）﹣50×20=10890【分析】设房价定为x元，根据利润=房价的净利润×入住的房间数可得．【解答】解：设房价定为x元，根据题意，得（x﹣20）（50﹣）=10890．故选：B．【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系．二.填空题1. （2018·湖南郴州·3分）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣6=0有一个根为﹣3，则方程的另一个根为 2 ．【分析】根据根与系数的关系得出a+（﹣3）=﹣k，﹣3a=﹣6，求出即可．【解答】解：设方程的另一个根为a，则根据根与系数的关系得：a+（﹣3）=﹣k，﹣3a=﹣6，解得：a=2，故答案为：2．【点评】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．2. （2018·湖南怀化·4分）关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，则m 的值是 1 ．【分析】由于关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的方程，解答即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，∴△=0，∴22﹣4m=0，∴m=1，故答案为：1．【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根，则可得△=0，此题难度不大．3.（2018•江苏徐州•3分）若x1.x2为方程x2+x﹣1=0的两个实数根，则x1+x2= ﹣1 ．【分析】直接根据根与系数的关系求解．【解答】解：根据题意得x1+x2=﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．4.（2018•江苏淮安•3分）一元二次方程x2﹣x=0的根是x1=0，x2=1 ．【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【解答】解：方程变形得：x（x﹣1）=0，可得x=0或x﹣1=0，解得：x1=0，x2=1．故答案为：x1=0，x2=1．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．5.（2018•江苏苏州•3分）若关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0有一个根是2，则m+n= ﹣2 ．【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=2代入x2+mx+2n=0得到4+2m+2n=0得n+m=﹣2，然后利用整体代入的方法进行计算．【解答】解：∵2（n≠0）是关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0的一个根，∴4+2m+2n=0，∴n+m=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程的解（根）：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．6.（2018•山东烟台市•3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则m的取值范围是3＜m≤5．【分析】根据根的判别式△＞0、根与系数的关系列出关于m的不等式组，通过解该不等式组，求得m的取值范围．【解答】解：依题意得：，解得3＜m≤5．故答案是：3＜m≤5．【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解此题的关键是得出关于m的不等式，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（A.B.c为常数，a≠0）①当b2﹣4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2﹣4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2﹣4ac＜0时，一元二次方程没有实数根．7.（2018•山东聊城市•3分）已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3=0有两个相等的实根，则k的值是．【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△=0，即可得出关于k的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出k的值．【解答】解：∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3=0有两个相等的实根，∴，解得：k=．故答案为：．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．8. （2018•达州•3分）已知：m2﹣2m﹣1=0，n2+2n﹣1=0且mn≠1，则的值为．【分析】将n2+2n﹣1=0变形为﹣﹣1=0，据此可得m，是方程x2﹣2x﹣1=0的两根，由韦达定理可得m+=2，代入=m+1+可得．【解答】解：由n2+2n﹣1=0可知n≠0．∴1+﹣=0．∴﹣﹣1=0，又m2﹣2m﹣1=0，且mn≠1，即m≠．∴m，是方程x2﹣2x﹣1=0的两根．∴m+=2．∴=m+1+=2+1=3，故答案为：3．【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是将方程变形后得出m，是方程x2﹣2x﹣1=0的两根及韦达定理．9.（2018•资阳•3分）已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，则m= ．【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m的方程，通过解关于m的方程求得m的值即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，∴m2﹣2m=0且m≠0，解得，m=2．故答案是：2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解的定义．解答该题时需注意二次项系数a≠0这一条件．11.（2018•贵州黔西南州•3分）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的解，则此三角形周长是13 ．【分析】求出方程的解，有两种情况：x=2时，看看是否符合三角形三边关系定理；x=4时，看看是否符合三角形三边关系定理；求出即可．【解答】解：x2﹣6x+8=0，（x﹣2）（x﹣4）=0，x﹣2=0，x﹣4=0，x1=2，x2=4，当x=2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x=2舍去，当x=4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4=13，故答案为：13．【点评】本题考查了三角形的三边关系定理和解一元二次方程等知识点，关键是确定第三边的大小，三角形的两边之和大于第三边，分类讨论思想的运用，题型较好，难度适中．12.(2018湖南省邵阳市)（3分）已知关于x的方程x2+3x﹣m=0的一个解为﹣3，则它的另一个解是0 ．【分析】设方程的另一个解是n，根据根与系数的关系可得出关于n的一元一次方程，解之即可得出方程的另一个解．【解答】解：设方程的另一个解是n，根据题意得：﹣3+n=﹣3，解得：n=0．故答案为：0．【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．13.2018湖南长沙3.00分）已知关于x方程x2﹣3x+a=0有一个根为1，则方程的另一个根为 2 ．【分析】设方程的另一个根为m，根据两根之和等于﹣，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设方程的另一个根为m，根据题意得：1+m=3，解得：m=2．故答案为：2．【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣是解题的关键14. （2018湖南张家界3.00分）关于x的一元二次方程x2﹣kx+1=0有两个相等的实数根，则k= ±2．【分析】根据题意可得△=0，进而可得k2﹣4=0，再解即可．【解答】解：由题意得：△=k2﹣4=0，故答案为：±2．【点评】此题主要考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．15. （2018•达州•3分）已知：m2﹣2m﹣1=0，n2+2n﹣1=0且mn≠1，则的值为．【分析】将n2+2n﹣1=0变形为﹣﹣1=0，据此可得m，是方程x2﹣2x﹣1=0的两根，由韦达定理可得m+=2，代入=m+1+可得．【解答】解：由n2+2n﹣1=0可知n≠0．∴1+﹣=0．∴﹣﹣1=0，又m2﹣2m﹣1=0，且mn≠1，即m≠．∴m，是方程x2﹣2x﹣1=0的两根．∴m+=2．∴=m+1+=2+1=3，故答案为：3．【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是将方程变形后得出m，是方程x2﹣2x﹣1=0的两根及韦达定理．16. （2018•资阳•3分）已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，则m= ．【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m的方程，通过解关于m的方程求得m的值即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，∴m2﹣2m=0且m≠0，故答案是：2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解的定义．解答该题时需注意二次项系数a≠0这一条件．三.解答题1. （2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·7分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2=0．（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2=21，求m的值．【分析】（1）利用判别式的意义得到△=（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，然后解不等式得到m 的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；（2）利用根与系数的关系得到x1+x2=﹣（2m+1），x1x2=m2﹣2，再利用（x1﹣x2）2+m2=21得到（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2=21，接着解关于m的方程，然后利用（1）中m的范围确定m的值．【解答】解：（1）根据题意得△=（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，解得m≥﹣，所以m的最小整数值为﹣2；（2）根据题意得x1+x2=﹣（2m+1），x1x2=m2﹣2，∵（x1﹣x2）2+m2=21，∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2=21，∴（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2=21，整理得m2+4m﹣12=0，解得m1=2，m2=﹣6，∵m≥﹣，∴m的值为2．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了根的判别式．2. （2018·湖北随州·7分）己知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若+=﹣1，求k的值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=﹣2k﹣3.x1x2=k2，结合+=﹣1即可得出关于k的分式方程，解之经检验即可得出结论．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根，∴△=（2k+3）2﹣4k2＞0，解得：k＞﹣．（2）∵x1.x2是方程x2+（2k+3）x+k2=0的实数根，∴x1+x2=﹣2k﹣3，x1x2=k2，∴+==﹣=﹣1，解得：k1=3，k2=﹣1，经检验，k1=3，k2=﹣1都是原分式方程的根．又∵k＞﹣，∴k=3．【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）根据根与系数的关系结合+=﹣1找出关于k 的分式方程．3.（2018•江苏苏州•8分）如图，已知抛物线y=x2﹣4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C为顶点，直线y=x+m经过点A，与y轴交于点D．（1）求线段AD的长；（2）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．【分析】（1）解方程求出点A的坐标，根据勾股定理计算即可；（2）设新抛物线对应的函数表达式为：y=x2+bx+2，根据二次函数的性质求出点C′的坐标，根据题意求出直线CC′的解析式，代入计算即可．【解答】解：（1）由x2﹣4=0得，x1=﹣2，x2=2，∵点A位于点B的左侧，∴A（﹣2，0），∵直线y=x+m经过点A，∴﹣2+m=0，解得，m=2，∴点D的坐标为（0，2），∴AD==2；（2）设新抛物线对应的函数表达式为：y=x2+bx+2，y=x2+bx+2=（x+）2+2﹣，则点C′的坐标为（﹣，2﹣），∵CC′平行于直线AD，且经过C（0，﹣4），∴直线CC′的解析式为：y=x﹣4，∴2﹣=﹣﹣4，解得，b1=﹣4，b2=6，∴新抛物线对应的函数表达式为：y=x2﹣4x+2或y=x2+6x+2．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点、待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的性质、抛物线与x轴的交点的求法是解题的关键．4.（2018•山东东营市•8分）关于x的方程2x2﹣5xsinA+2=0有两个相等的实数根，其中∠A 是锐角三角形ABC的一个内角．（1）求sinA的值；（2）若关于y的方程y2﹣10y+k2﹣4k+29=0的两个根恰好是△ABC的两边长，求△ABC的周长．【分析】（1）利用判别式的意义得到△=25sin2A﹣16=0，解得sinA=；（2）利用判别式的意义得到100﹣4（k2﹣4k+29）≥0，则﹣（k﹣2）2≥0，所以k=2，把k=2代入方程后解方程得到y1=y2=5，则△ABC是等腰三角形，且腰长为5．分两种情况：当∠A是顶角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，利用三角形函数求出AD=3，BD=4，再利用勾股定理求出BC即得到△ABC的周长；当∠A是底角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，AB=5，利用三角函数求出AD得到AC的长，从而得到△ABC的周长．【解答】解：（1）根据题意得△=25sin2A﹣16=0，∴sin2A=，∴sinA=或，∵∠A为锐角，∴sinA=；（2）由题意知，方程y2﹣10y+k2﹣4k+29=0有两个实数根，则△≥0，∴100﹣4（k2﹣4k+29）≥0，∴﹣（k﹣2）2≥0，∴（k﹣2）2≤0，又∵（k﹣2）2≥0，∴k=2，把k=2代入方程，得y2﹣10y+25=0，解得y1=y2=5，∴△ABC是等腰三角形，且腰长为5．分两种情况：当∠A是顶角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，AB=AC=5 ∵sinA=，∴AD=3，BD=4∴DC=2，∴BC=．∴△ABC的周长为；当∠A是底角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，AB=5，∵sinA=，∴A D=DC=3，∴AC=6．∴△ABC的周长为16，综合以上讨论可知：△ABC的周长为或16．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了解直角三角形．5. （2018•遂宁•8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a=0的两实数根x1，x2满足x1x2+x1+x2＞0，求a的取值范围．【分析】由方程根的个数，利用根的判别式可得到关于a的不等式，可求得a的取值范围，再由根与系数的关系可用a表示出x1x2和x1+x2的值，代入已知条件可得到关于a的不等式，则可求得a的取值范围．【解答】解：∵该一元二次方程有两个实数根，∴△=（﹣2）2﹣4×1×a=4﹣4a≥0，解得：a≤1，由韦达定理可得x1x2=a，x1+x2=2，∵x1x2+x1+x2＞0，∴a+2＞0，解得：a＞﹣2，∴﹣2＜a≤1．【点评】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，掌握根的个数与根的判别式的关系及一元二次方程的两根之和、两根之积与方程系数的关系是解题的关键．6. （2018•杭州•10分）设一次函数（是常数，）的图象过A（1，3），B（-1，-1）（1）求该一次函数的表达式；（2）若点（2a+2，a2）在该一次函数图象上，求a的值；（3）已知点C（x1， y1），D（x2， y2）在该一次函数图象上，设m=（x1-x2）（y1-y2），判断反比例函数的图象所在的象限，说明理由。

第三讲函数第一节函数及其图象(时间：60分钟分值：60分)评分标准：选择题和填空题每小题3分．命题点1平面直角坐标系中点的坐标特征1. (2019湘西州)已知点P(2，3)，则点P关于x轴的对称点的坐标为()A. (－2，3)B. (2，－3)C. (3，－2)D. (－3，2)2. (2019泸州)已知点A(a，1)与点B(－4，b)关于原点对称，则a＋b的值为()A. 5B. －5C. 3D. －33. 已知第二象限内的点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，则P点的坐标一定是()A. (3，4) B. (－3，4) C. (4，3) D. (－4，3)4. (2019邵阳)如图所示，三架飞机P，Q，R保持编队飞行，某时刻在坐标系中的坐标分别为(－1，1)，(－3，1)，(－1，－1)，30秒后，第4题图飞机P飞到P′(4，3)位置，则飞机Q，R的位置Q′，R′分别为()A. Q′(2，3)，R′(4，1)；B. Q′(2，3)，R′(2，1)C. Q′(2，2)，R′(4，1)；D. Q′(3，3)，R′(3，1)5. (2019贵港)在平面直角坐标系中，点P(m－3，4－2m)不可能在()A. 第一象限；B. 第二象限；C. 第三象限；D. 第四象限6. 已知点P(3－m，m)在第二象限，则m的取值范围是()A. m<0B. m≤0C. m>3D. m≥37. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)，我们把点P(－y＋1，x＋1)叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次到点A1，A2，A3，…，A n.例如：点A1的坐标为(3，1)，则点A2的坐标为(0，4)，…；若点A1的坐标为(a，b)，则点A2019的坐标为()A. (－b＋1，a＋1)B. (－a，－b＋2)C. (b－1，－a＋1)D. (a，b)8. 如图，一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，且每秒移动一个单位，在第1秒钟，它从原点运动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向运动即(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，0)→…，那么第35秒时质点所在位置的坐标是()A. (4，0)B. (0，5)C. (5，0)D. (5，5)第8题图命题点2函数自变量的取值范围9. (2019无锡)函数y＝x2－x中自变量x的取值范围是() A. x≠2 B. x≥2 C. x≤2 D. x>210. (2019恩施州)函数y＝1x－3＋x－1的自变量x的取值范围是()A. x≥1；B. x≥1且x≠3；C. x≠3；D. 1≤x≤3命题点3函数的表示方法及图象11. (2019泸州)下列曲线中不能表示y是x的函数的是()12. (2019绍兴)均匀地向一个容器注水，最后把容器注满．在注水的过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示(图中OABC为折线)，这个容器的形状可以是()13. (2019东营)小明从家到学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校．小明从家到学校行驶路程s(m)与时间t(min)的大致图象是()14. (2019宜宾)如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误．．的是()A. 乙前4秒行驶的路程为48米；B. 在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒C. 两车到第3秒时行驶的路程相等；D. 在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度第14题图15. (2019淄博)小明做了一个数学实验：将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器．然后，小明对准玻璃杯口匀速注水，如图所示，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部．则下面可以近似地刻画出容器最高．．水位h与注水时间t之间的变化情况的是()16. (2019济宁)如图，A，B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB，点P从点A出发，在⊙O上以每秒一个单位长度的速度匀速运动，回到点A运动结束，设运动时间为x(单位：s)，弦BP的长为y，那么下列图象中可能．．表示y与x函数关系的是()A. ①B. ③C. ②或④D. ①或③第16题图第17题图17. (2019孝感)如图，在△ABC中，点O是△ABC的内心，连接OB，OC，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E、F.已知△ABC的周长为8，BC＝x，△AEF的周长为y，则表示y与x的函数图象大致是()18. (2019西宁)如图，在正方形ABCD中，AB＝3 cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1 cm的速度运动，同时动点N自D点出发沿折线DC－CB以每秒2 cm的速度运动，到达B点时运动同时停止．设△AMN的面积为y(cm2)，运动时间为x(秒)，则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是()19. 关注传统文化(2019聊城)端午节前夕，在东昌湖举行的第七届全民健身运动会龙舟比赛中，甲、乙两队在500米的赛道上，所划行的路程y(m)与时间x(min)之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是()A. 乙队比甲队提前0.25 min到达终点B. 当乙队划行110 m时，此时落后甲队15 mC. 0.5 min后，乙队比甲队每分钟快40 mD. 自1.5 min开始，甲队若要与乙队同时到达终点，甲队的速度需提高到225 m/min第19题图20. (2019兰州)如图①，在矩形ABCD 中，动点E 从A 点出发，沿AB →BC 的方向运动，当点E 到达点C 时停止运动，过点E 作FE ⊥AE ，交CD 于F 点．设点E 运动的路程为x ，FC ＝y ，如图②所示表示的是y 与x 的函数关系的大致图象．当点E 在BC 上运动时，FC 的最大长度是25.则矩形ABCD 的面积是 ( ) A. 235 B. 5 C. 6 D. 254第20题图第二节 一次函数的图象与性质(时间：30分钟 分值：50分)评分标准：选择题和填空题每小题3分．1. (2019毕节)把直线y ＝2x －1向左平移1个单位，平移后直线的关系式为( )A. y ＝2x －2；B. y ＝2x ＋1；C. y ＝2x ；D. y ＝2x ＋22. (2019湘潭)一次函数y ＝ax ＋b 的图象如图所示，则不等式ax ＋b ≥0的解集是( )A. x ≥2B. x ≤2C. x ≥4D. x ≤4第2题图 第3题图3. (2019甘肃省卷)在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象如图所示，观察图象可得( )A. k>0，b>0 B. k>0，b<0 C. k<0，b>0 D. k<0，b<04. 已知直线l 1：y ＝－3x ＋b 与直线l 2：y ＝－kx ＋1在同一坐标系中的图象交于点(1，－2)，那么方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝b kx ＋y ＝1的解是 ( ) A. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－2 B. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2 C. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－2 D. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝2 5. 设正比例函数y ＝mx 的图象经过点A(m ，4)，且y 的值随x 值的增大而减小，则m ＝( )A. 2B. －2C. 4D. －46. (2019广安)当k<0时，一次函数y ＝kx －k 的图象不经过．．．( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限7. (2019怀化)一次函数y ＝－2x ＋m 的图象经过点P(－2，3)，且与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，则△AOB 的面积是 ( )A. 12 B. 14C. 4D. 8 8. (2019齐齐哈尔)已知等腰三角形的周长是10，底边长y 是腰长x 的函数，则下列图象中，能正确反映y 与x 之间函数关系的图象是( )9. (2019绥化)在同一平面直角坐标系中，直线y ＝4x ＋1与直线y ＝－x ＋b 的交点不可能在( )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限10. (2019天津)若正比例函数y ＝kx(k 为常数，k ≠0)的图象经过第二、四象限，则k 的值可以是________(写出一个即可)．11. (2019海南)在平面直角坐标系中，已知一次函数y ＝x ＋1的图象经过P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)两点，若x 1<x 2，则y 1________y 2.(填“>”、“<”或“＝”)12. (2019鹤壁模拟)已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过两点A(0，1)，B(2，0)，则当x________时，y ≤0.13. (2019株洲)如图示直线y ＝3x ＋3与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，当直线绕着点A 按顺时针方向旋转到与x 轴首次重合时，点B 运动的路径的长度为________．第13题图 第14题图14. (2019孝感)如图，将直线y ＝－x 沿y 轴向下平移后的直线恰好经过点A(2，－4)，且与y 轴交于点B ，在x 轴上存在一点P 使得PA ＋PB 的值最小，则点P 的坐标为________．15. (8分)(2019台州)如图，直线l 1：y ＝2x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋4相交于点P(1，b)．(1)求b ，m 的值；(2)垂直于x轴的直线x＝a与直线l1，l2分别交于点C，D，若线段CD长为2.求a的值．第15题图第三节一次函数的实际应用(时间：60分钟分值：65分)评分标准：选择题和填空题每小题3分．基础过关1. (8分)(2019洛阳模拟)某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，市场调查发现，该商品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克，且10≤x≤18)之间的函数关系如图所示：(1)求销售量y与销售价x的函数关系式；(2)该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？第1题图2. (8分)(2019天津)用A4纸复印文件，在甲复印店不管一次复印多少页，每页收费0.1元，在乙复印店复印同样的文件，一次复印页数不超过20时，每页收费0.12元；一次复印页数超过20时，超过部分每页收费0.09元．设在同一家复印店一次复印文件的页数为x(x为非负整数)．(Ⅰ)(Ⅱ)设在甲复印店复印收费y1元，在乙复印店复印收费y2元，分别写出y1，y2关于x 的函数关系式；(Ⅲ)当x>70时，顾客在哪家复印店复印花费少？请说明理由．3. (8分)某商场筹集资金12.8万元，一次性购进空调、彩电共30台．已知购3台空调、2台彩电需花费2.32万元，购2台空调、4台彩电需花费2.48万元．(1)计算每台空调与彩电的进价分别是多少元？(2)已知每台空调的售价为6100元，每台彩电的售价为3900元，设商场计划购进空调x台，空调和彩电全部销售完商场获得的利润为y元．试写出y与x的函数关系式；(3)根据市场需要，商场购进空调不少于10台，且购进的空调和彩电可以全部销售，那么在筹集资金范围内，商场有哪几种进货方案可供选择？选择哪种进货方案，商场获利最大？最大利润是多少元？4. (8分)(2019衢州)“五·一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．第4题图根据以上信息，解答下列问题：(1)设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，分别求出y1、y2关于x的函数表达式；(2)请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算．5. (8分)(2019永州)永州市是一个降水丰富的地区，今年4月初，某地连续降雨导致该(1)(2)请用求出的函数表达式预测该水库今年4月6日的水位；(3)你能用求出的函数表达式预测该水库今年12月1日的水位吗？6. (8分)(2019齐齐哈尔)“低碳环保、绿色出行”的理念得到广大群众的接受，越来越多的人喜欢选择自行车作为出行工具．小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆．小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y(米)与时间x(分钟)的关系如图．请结合图象，解答下列问题：(1)a＝________；b＝________；m＝________；(2)若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离；(3)在(2)的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距100米？(4)若小军的行驶速度是v米/分，且在途中与爸爸恰好相遇两次(不包括家、图书馆两地)，请直接写出v的取值范围．第6题图满分冲关1. (8分)关注国家政策为了贯彻落实市委市政府提出的“精准扶贫”精神，某校特制定了一系列关于帮扶A、B两贫困村的计划，现决定从某地运送152箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗．已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A、B两村的运费如下表：(1)求这15辆车中大小货车各多少辆？(2)现安排其中的10辆货车前往A村，其余货车前往B村．设前往A村的大货车为x 辆，前往A、B两村总费用为y元，试求出y与x的函数解析式；(3)在(2)的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少总费用．2. (9分)(2019孝感)为满足社区居民健身的需要，市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区．经考察，劲松公司有A，B两种型号的健身器材可供选择．(1)劲松公司2019年每套A型健身器材售价为2.5万元，经过连续两年降价，2019年每套售价为1.6万元，求每套A型健身器材年平均下降率n；(2)2019年市政府经过招标，决定年内采购并安装劲松公司A，B两种型号的健身器材共80套，采购专项经费总计不超过112万元．采购合同规定：每套A型健身器材售价为1.6万元，每套B型健身器材售价为1.5(1－n)万元．①A型健身器材最多可购买多少套？②安装完成后，若每套A型和B型健身器材一年的养护费分别是购买价的5%和15%，市政府计划支出10万元进行养护，问该计划支出能否满足一年的养护需要？第四节 反比例函数(时间：120分钟 分值：170分)评分标准： 选择题和填空题每小题3分．基础过关1. (2019郴州)已知反比例函数y ＝k x的图象过点A (1，－2)，则k 的值为 ( ) A. 1 B. 2 C. －2 D. －12. (2019湘西州)反比例函数y ＝k x(k >0)，当x <0时，图象在 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. (2019广东省卷)如图，在同一平面直角坐标系中，直线y ＝k 1x (k 1≠0)与双曲线y ＝k 2x(k 2≠0)相交于A 、B 两点，已知点A 的坐标为(1，2)，则点B 的坐标为 ( )A. (－1，－2)B. (－2，－1)C. (－1，－1)D. (－2，－2)第3题图 第4题图4. (2019徐州)如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y ＝kx ＋b (k ≠0)与y ＝m x(m ≠0)的图象相交于点A (2，3)，B (－6，－1)，则不等式kx ＋b ＞m x的解集为 ( ) A. x ＜－6 B. －6＜x ＜0或x ＞2C. x ＞2D. x ＜－6或0＜x ＜25. (2019天津)若点A (－1，y 1)，B (1，y 2)，C (3，y 3)在反比例函数y ＝－3x的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A. y 1<y 2<y 3 ；B. y 2<y 3<y 1；C. y 3<y 2<y 1；D. y 2<y 1<y 36. (2019宜昌)某学校要种植一块面积为100 m 2的长方形草坪，要求两边长均不小于5 m ，则草坪的一边长y (单位：m)随另一边长x (单位：m)的变化而变化的图象可能是( )7. (2019枣庄)如图，O 是坐标原点，菱形OABC 的顶点A 的坐标为(－3，4)，顶点C在x 轴的负半轴上，函数y ＝k x(x ＜0)的图象经过顶点B ，则k 的值为 ( ) A. －12 B. －27 C. －32 D. －36第7题图 第8题图8. (2019天门)如图，P (m ，m )是反比例函数y ＝9x在第一象限内的图象上一点，以P 为顶点作等边△P AB ，使AB 落在x 轴上，则△POB 的面积为( )A. 92B. 3 3C. 9＋1234D. 9＋3329. (2019济宁)请写出一个过点(1，1)，且与x 轴无交点的函数解析式：________． 10. (2019上海)如果反比例函数y ＝k x(k 是常数，k ≠0)的图象经过点(2，3)，那么在这个函数图象所在的每个象限内，y 的值随x 的值增大而________．(填“增大”或“减小”)11. (2019广西四市)对于函数y ＝2x ，当函数值y <－1时，自变量x 的取值范围是________．12. (2019长沙)如图，点M 是函数y ＝3x 与y ＝kx 的图象在第一象限内的交点，OM ＝4，则k 的值为________．第12题图 第14题图 第15题图13. (2019呼和浩特)已知函数y ＝－1x ，当自变量的取值为－1＜x＜0或x ≥2，函数值y 的取值________．14. (2019黔东南州)如图，已知点A 、B 分别在反比例函数y 1＝－2x 和y 2＝kx 的图象上，若点A 是线段OB 的中点，则k 的值为________．15. (2019西宁)如图，点A 在双曲线y ＝3x(x >0)上，过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，OA 的垂直平分线交OC 于点B ，当AC ＝1时，△ABC 的周长为________16. (8分)(2019随州)如图，在平面直角坐标系中，将坐标原点O 沿x 轴向左平移2个单位长度得到点A ，过点A 作y 轴的平行线交反比例函数y ＝k x 的图象于点B ，AB ＝32.(1)求反比例函数的解析式；(2)若P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)是该反比例函数图象上的两点，且x 1＜x 2时，y 1＞y 2，指出点P 、Q 各位于哪个象限？并简要说明理由．第16题图17. (8分)(2019百色)已知反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象经过点B (3，2)，点B 与点C 关于原点O 对称，BA ⊥x 轴于点A ，CD ⊥x 轴于点D .(1)求这个反比例函数的解析式； (2)求△ACD 的面积．第17题图18. (8分)(2019丽水)丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，记汽车行驶时间为t 小时，平均速度为v 千米/小时(汽车行驶速度不超过100千米/小时)．根据经验，v ，t v (千米/小时) 75 80 85 90 95 t (小时)4.003.753.533.333.16(1) (2)汽车上午7∶30从丽水出发，能否在上午10∶00之前到达杭州市场？请说明理由； (3)当汽车到达杭州市场的行驶时间t 满足3.5≤t ≤4，求平均速度v 的取值范围． 19. (8分)(2019苏州)如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，AB ⊥x 轴，垂足为A ，反比例函数y ＝k x (x >0)的图象经过点C ，交AB 于点D ，已知AB ＝4，BC ＝52. (1)若OA ＝4，求k 的值；(2)连接OC ，若BD ＝BC ，求OC 的长．第19题图20. (8分)(2019周口模拟)如图，在矩形OABC 中，OA ＝3，OC ＝2，F 是AB 上的一个动点(F 不与A ，B 重合). 过点F 的反比例函数y ＝kx(k ＞0)的图象与BC 边交于点E .(1)当F 为AB 的中点时，求该函数的解析式；(2)当k 为何值时，△EF A 的面积最大，最大面积是多少？第20题图21. (8分)(2019赤峰)如图，一次函数y ＝－33x ＋1的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为边在第一象限作等边△ABC .(1)若点C 在反比例函数y ＝kx的图象上，求该反比例函数的解析式；(2)点P (23，m )在第一象限，过点P 作x 轴的垂线，垂足为D ，当△P AD 与△OAB 相似时，P 点是否在(1)中反比例函数图象上？如果在，求出P 点坐标；如果不在，请加以说明．第21题图满分冲关1. (2019凉山州)已知抛物线y ＝x 2＋2x －m －2与x 轴没有交点，则函数y ＝mx 的大致图象是( )2. (2019洛阳模拟)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是反比例函数y ＝3x 的图象上的两点，若x 1<0<x 2，则下列结论正确的是 ( )A. y 1<0<y 2B. y 2<0<y 1C. y 1<y 2<0D. y 2<y 1<03. (2019海南)如图，△ABC 的三个顶点分别为A (1，2)、B (4，2)、C (4，4)．若反比例函数y ＝kx在第一象限内的图象与△ABC 有交点，则k 的取值范围是 ( )A. 1≤k ≤4B. 2≤k ≤8C. 2≤k ≤16D. 8≤k ≤16第3题图 第4题图4. (2019开封模拟)如图，正方形OABC ，ADEF 的顶点A ，D ，C 在坐标轴上，点F 在AB 上，点B ，E 在函数y ＝4x(x >0)的图象上，则点E 的坐标是( )A. (5＋1，5－1)；B. (3＋5，3－5)；C. (5－1，5＋1)；D. (3－5，3＋5) 5. (2019潍坊)一次函数y ＝ax ＋b 与反比例函数y ＝a －bx ，其中ab <0，a 、b 为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是( )6. (2019商丘模拟)已知双曲线y ＝3x 和y ＝kx 的部分图象如图所示，点C 是y 轴正半轴上一点，过点C 作AB ∥x 轴分别交两个图象于点A 、B ，若CB ＝2CA ，则k ＝________． 第6题图 第7题图7. 如图，A 、B 是反比例函数y ＝kx 上两点，AC ⊥y 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，AC ＝BD ＝15OC ，S 四边形ABDC ＝9，则k ＝________． 8. 已知P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是同一个反比例函数图象上的两点．若x 2＝x 1＋2，且1y 2＝1y 1＋12，则这个反比例函数的解析式为________． 9. (8分)(2019山西)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，其边长为2，点A ，点C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上．函数y ＝2x 的图象与CB 交于点D ，函数y ＝kx (k 为常数，k ≠0)的图象经过点D ，与AB 交于点E ，与函数y ＝2x 的图象在第三象限内交于点F ，连接AF ，EF .(1)求函数y ＝kx 的表达式，并直接写出E ，F 两点的坐标．(2)求△AEF 的面积．第9题图10. (8分)(2019舟山)如图，一次函数y ＝k 1x ＋b (k 1≠0)与反比例函数y ＝k 2x (k 2≠0)的图象交于点A (－1，2)，B (m ，－1)．(1)求这两个函数的表达式；(2)在x 轴上是否存在点P (n ，0)(n ＞0)，使△ABP 为等腰三角形？若存在，求n 的值；若不存在，请说明理由．第10题图11. (8分)注重阅读理解在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标的2倍的点称之为“理想点”，例如点(－2，－4)，(1，2)，(3，6)，…都是“理想点”，显然这样的“理想点”有无数多个．(1)若点M(2，a)是反比例函数y＝kx(k为常数，k≠0)图象上的“理想点”，求这个反比例函数的解析式；(2)函数y＝3mx－1(m为常数，m≠0)的图象上存在“理想点”吗？若存在，求出“理想点”的坐标；若不存在，请说明理由．12. (8分)如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OEFG的顶点E的坐标为(4，0)，顶点G的坐标为(0，2)，将矩形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在y轴的点N处，得到矩形OMNP，OM与GF交于点A.(1)求图象经过点A的反比例函数的解析式；(2)设(1)中的反比例函数图象交EF于点B，直接写出AB的解析式．第12题图13. (10分)平行四边形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中A(－6，0)，B(4，0)，C(5，3)，反比例函数y＝kx的图象经过点C.(1)求此反比例函数的解析式；(2)将平行四边形ABCD沿x轴翻折得到平行四边形AD′C′B，请你通过计算说明点D′在双曲线上；(3)求△AD′C的面积．第13题图14. (11分)(2019江西)如图，直线y＝k1x(x≥0)与双曲线y＝k2x(x＞0)相交于点P(2，4)．已知点A(4，0)，B(0，3)，连接AB，将Rt△AOB沿OP方向平移，使点O移动到点P，得到△A′PB′.过点A′作A′C∥y轴交双曲线于点C.(1)求k1与k2的值；(2)求直线PC的表达式；(3)直接写出线段AB扫过的面积．第14题图第五节二次函数的图象与性质(时间：60分钟分值：80分)评分标准：选择题和填空题每小题3分．基础过关1. (2019宿迁)将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是()A. y＝(x＋2)2＋1B. y＝(x＋2)2－1C. y＝(x－2)2＋1D. y＝(x－2)2－12. (2019金华)对于二次函数y＝－(x－1)2＋2的图象与性质，下列说法正确的是()A. 对称轴是直线x＝1，最小值是2B. 对称轴是直线x＝1，最大值是2C. 对称轴是直线x＝－1，最小值是2D. 对称轴是直线x＝－1，最大值是23. (2019兰州)2y的对应值：x 1 1.1 1.2 1.3 1.4那么方程 x 2＋3x －5＝0的一个近似根是( ) A. 1 B. 1.1 C. 1.2 D. 1.34. (2019宁波)抛物线y ＝x 2－2x ＋m 2＋2(m 是常数)的顶点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限5. (2019新乡模拟)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分图象，由图象可知不等式ax 2＋bx ＋c>0的解集是( )第5题图A. －1<x<5；B. x>5；C. x<－1；D. x<－1或x>56. 若二次函数y ＝x 2＋bx ＋5配方后为y ＝(x －2)2＋k ，则b 、k 的值分别为( ) A. 0，5 B. 0，1 C. －4，5 D. －4，17. (2019连云港)已知抛物线y ＝ax 2(a ＞0)过A(－2，y 1)、B(1，y 2)两点，则下列关系式一定正确的是 ( )A. y 1＞0＞y 2B. y 2＞0＞y 1C. y 1＞y 2＞0D. y 2＞y 1＞0 8. (2019苏州)若二次函数y ＝ax 2＋1的图象经过点(－2，0)，则关于x 的方程a(x －2)2＋1＝0的实数根为( )A. x 1＝0，x 2＝4B. x 1＝－2，x 2＝6C. x 1＝32，x 2＝52D. x 1＝－4，x 2＝09. (2019菏泽)一次函数y ＝ax ＋b 和反比例函数y ＝cx 在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )第9题图10. (2019滨州)在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线y ＝x 2＋5x ＋6，则原抛物线的解析式是( )A. y ＝－(x －52)2－114；B. y ＝－(x ＋52)2－114；C. y ＝－(x －52)2－14；D. y ＝－(x ＋52)2＋1411. (2019广安)如图所示，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为B(－1，3)，与x 轴的交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，以下结论：①b 2－4ac ＝0 ②a ＋b ＋c>0 ③2a －b ＝0 ④c －a ＝3 其中正确的有( )个A. 1B. 2C. 3D. 4第11题图 第12题图12. (2019盐城)如图，将函数y ＝12(x －2)2＋1的图象沿y 轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A(1，m)、B(4，n)平移后的对应点分别为点A′、B′，若曲线段AB 扫过的面积为9(图中的阴影部分)，则新图象的函数表达式是( )A. y ＝12(x －2)2－2；B. y ＝12(x －2)2＋7；C. y ＝12(x －2)2－5；D. y ＝12(x －2)2＋413. (2019邵阳)若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则a 的值可能是________．(写一个即可)14. (2019兰州)如图，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上的P(4，0)，Q 两点关于他的对称轴x ＝1对称，则Q 点的坐标为________．15. (2019青岛)若抛物线y ＝x 2－6x ＋m 与x 轴没有交点，则m 的取值范围是________． 16. (2019百色)经过A(4，0)，B(－2，0)，C(0，3)三点的抛物线解析式是________． 17. (2019咸宁)如图，直线y ＝mx ＋n 与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 交于A(－1，p)，B(4，q)两点，则关于x 的不等式mx ＋n>ax 2＋bx ＋c 的解集是________．第14题图 第17题图18. (8分)(2019平顶山模拟)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3的对称轴是直线x ＝1. (1)求证：2a ＋b ＝0；(2)若关于x 的方程ax 2＋bx －8＝0的一个根为4，求方程的另一个根． 满分冲关1. (2019广州)a ≠0，函数y ＝ax 与y ＝－ax 2＋a 在同一直角坐标系中的大致图象可能是( )2. (2019乐山)已知二次函数y ＝x 2－2mx(m 为常数)，当－1≤x ≤2时，函数值y 的最小值为－2，则m 的值是 ( )A. 32B. 2C. 32或 2D. －32或 2 3. (2019天津)已知抛物线y ＝x 2－4x ＋3与x 轴相交于点A ，B(点A 在点B 左侧)，顶点为M.平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M ′落在x 轴上，点B 平移后的对应点B′落在y 轴上，则平移后的抛物线解析式为( )A. y ＝x 2＋2x ＋1；B. y ＝x 2＋2x －1；C. y ＝x 2－2x ＋1；D. y ＝x 2－2x －1 4. (12分)(2019杭州)在平面直角坐标系中，设二次函数y 1＝(x ＋a)(x －a －1)，其中a ≠0.(1)若函数y1的图象经过点(1，－2)，求函数y1的表达式；(2)若一次函数y2＝ax＋b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；(3)已知点P(x0，m)和Q(1，n)在函数y1的图象上，若m<n，求x0的取值范围．第六节 二次函数的应用(时间：90分钟 分值：75分)评分标准：选择题和填空题每小题3分． 命题点1 二次函数的实际应用1. 某种品牌的服装进价为每件150元，当售价为每件210元时，每天可卖出20件，现需降价处理，且经市场调查；每件服装每降价2元，每天可多卖出1件，在确保盈利的前提下，若设每件服装降价x 元，每天售出服装的利润为y 元，则y 与x 的函数关系式为( )A. y ＝－12x 2＋10x ＋1200(0<x<60)；B. y ＝－12x 2＋10x －1250(0<x<60)C. y ＝－12x 2＋10x －1200(0<x<60)；D. y ＝－12x 2＋10x ＋1250(0<x<60)2. 某企业是一家专门生产季节性产品的企业，当产品无利润时，企业会自动停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y(万元)和月份n 之间满足函数关系式y ＝－n 2＋14n －24，则企业停产的月份为( )A. 2月和12月B. 2月至12月C. 1月D. 1月、2月和12月3. (2019临沂)足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m )与足球被踢出后经过的时间t(单位：s )t 0 1 2 3 4 5 6 7 … h8141820201814…下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m ；②足球飞行路线的对称轴是直线t ＝92；③足球被踢出9 s 时落地；④足球被踢出1.5 s 时，距离地面的高度是11 m .其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．44. (2019天门)飞机着陆后滑行的距离s(单位：米)关于滑行的时间t(单位：秒)的函数解析式是s ＝60t －32t 2，则飞机着陆后滑行的最长时间为________秒．5. (2019日照)如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为________米．第5题图6. (8分)(2019安徽)某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函售价x(元/千克) 50 60 70销售量y(千克) 100 80 60(1)求y与x(2)设商品每天的总利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式(利润＝收入－成本)；(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？命题点2二次函数与几何图形结合7. (10分)(2019深圳节选)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋2经过点A(－1，0)，B(4，0)，交y轴于点C.(1)求抛物线的解析式；(用一般式表示)(2)点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC＝23S△ABD？若存在，请直接给出点D坐标；若不存在，请说明理由．第7题图8. (10分)(2019苏州)如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝OC，点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD＝2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．(1)求b、c的值；(2)如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F′恰好在线段BE上，求点F的坐标；(3)如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N，试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．第8题图9. (10分)(2019湘西州)如图，已知抛物线y ＝－33x 2＋bx ＋3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为(－3，0)．(1)求b 的值及点B 的坐标；(2)试判断△ABC 的形状，并说明理由；(3)一动点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度向点B 运动，同时动点Q 从点B 出发，以每秒1个单位的速度向点C 运动(当点P 运动到点B 时，点Q 随之停止运动)，设运动时间为t 秒，当t 为何值时△PBQ 与△ABC 相似？第9题图10. (10分)(2019濮阳模拟)如图，直线y ＝－43x ＋4交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，抛物线y ＝ax 2－43x ＋c 过点A ，交y 轴于点B(0，－2)．(1)求抛物线的解析式；(2)点M为抛物线在第四象限部分上的一个动点，求四边形BMAC面积的最大值；(3)点D为抛物线对称轴上一点，规定：d＝|AD－BD|，探究d是否存在最大值？若存在，请直接写出d的最大值及此时点D的坐标．第10题图11. (12分)如图，二次函数y＝x2－bx＋c的图象交x轴于A(－1，0)、B(3，0)两点，交y轴于点C，连接BC，动点P以每秒1个单位长度的速度从A向B运动，动点Q以每秒2个单位长度的速度从B向C运动，P、Q同时出发，连接PQ，当点Q到达C点时，P、Q 同时停止运动，设运动时间为t秒．(1)求二次函数的解析式；(2)如图①，当△BPQ为直角三角形时，求t的值；(3)如图②，当t<2时，延长QP交y轴于点M，在抛物线上存在一点N，使得PQ的中点恰为MN的中点，请直接写出N点的坐标．第11题图。

第１题图 （1）在整个运动过程中，当点 G在线段 AE上时，求 t 的值； （2）在整个运动过程中，是否存在点 P，使△ APQ是等腰三角形？若存在，求出 t 的值； 若不存在，说明理由； （3）在整个运动过程中，设△ GMN与△ AEF重叠部分的面积为 S．请直接写出 S 与 t 之间的 函数关系式以及自变量 t 的取值范围 ; (4) 在运动过程中，是否存在某一时刻 t , 使得 S: S△GMN=1:2? 若存在，求出 t 的值，若不存在， 请说明理由 .
2018 年中考数学压轴题专题解析 --- 几何动态探究问题—动点 +动面
1. 已知在矩形 ABCD中， E 为 BC边上一点， AE⊥DE， AB＝12， BE＝16， F 为线段 BE上一点， EF＝ 7，连接 AF．如图①，现有一张硬质纸片△ GMN，∠ NGM＝ 90°， NG＝ 6，MG＝ 8，斜边 MN 与边 BC在同一直线上，点 N与点 E 重合，点 G在线段 DE上．如图②，△ GMN从图①的位置 出发，以每秒 1 个单位的速度沿 EB向点 B 匀速移动，同时点 P 从 A点出发，以每秒 1 个单 位的速度沿 AD向点 D匀速移动，点 Q为直线 GN与线段 AE的交点，连接 PQ．当点 N到达终 点 B 时，△ GMN和点 P同时停止运动．设运动时间为 t 秒，解答下列问题：
AB与 QR在同一直线 l 上，开始时点 Q与点 A 重合，让△ PQR以 1cm/ s 的速度在直线 l 上运 动，同时 M点从点 Q出发以 1cm/ s 沿 QP运动，直至点 Q与点 B 重合时，都停止运动，设运
动的时间为
t （ s），四边形
PMBN的面积为
S（
2
cm
）．
第 2 题图
（1）当 t =1s 时，求 S 的值；

第三讲函数第一节函数及其图象(时间：60分钟分值：60分)评分标准：选择题和填空题每小题3分．命题点1平面直角坐标系中点的坐标特征1. (2017湘西州)已知点P(2，3)，则点P关于x轴的对称点的坐标为()A. (－2，3)B. (2，－3)C. (3，－2)D. (－3，2)2. (2017泸州)已知点A(a，1)与点B(－4，b)关于原点对称，则a＋b的值为()A. 5B. －5C. 3D. －33. 已知第二象限内的点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，则P点的坐标一定是()A. (3，4) B. (－3，4) C. (4，3) D. (－4，3)4. (2017邵阳)如图所示，三架飞机P，Q，R保持编队飞行，某时刻在坐标系中的坐标分别为(－1，1)，(－3，1)，(－1，－1)，30秒后，第4题图飞机P飞到P′(4，3)位置，则飞机Q，R的位置Q′，R′分别为()A. Q′(2，3)，R′(4，1)；B. Q′(2，3)，R′(2，1)C. Q′(2，2)，R′(4，1)；D. Q′(3，3)，R′(3，1)5. (2017贵港)在平面直角坐标系中，点P(m－3，4－2m)不可能在()A. 第一象限；B. 第二象限；C. 第三象限；D. 第四象限6. 已知点P(3－m，m)在第二象限，则m的取值范围是()A. m<0B. m≤0C. m>3D. m≥37. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)，我们把点P(－y＋1，x＋1)叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次到点A1，A2，A3，…，A n.例如：点A1的坐标为(3，1)，则点A2的坐标为(0，4)，…；若点A1的坐标为(a，b)，则点A2018的坐标为()A. (－b＋1，a＋1)B. (－a，－b＋2)C. (b－1，－a＋1)D. (a，b)8. 如图，一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，且每秒移动一个单位，在第1秒钟，它从原点运动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向运动即(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，0)→…，那么第35秒时质点所在位置的坐标是()A. (4，0)B. (0，5)C. (5，0)D. (5，5)第8题图命题点2函数自变量的取值范围9. (2017无锡)函数y＝x2－x中自变量x的取值范围是() A. x≠2 B. x≥2 C. x≤2 D. x>210. (2017恩施州)函数y＝1x－3＋x－1的自变量x的取值范围是()A. x≥1；B. x≥1且x≠3；C. x≠3；D. 1≤x≤3命题点3函数的表示方法及图象11. (2017泸州)下列曲线中不能表示y是x的函数的是()12. (2017绍兴)均匀地向一个容器注水，最后把容器注满．在注水的过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示(图中OABC为折线)，这个容器的形状可以是()13. (2017东营)小明从家到学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校．小明从家到学校行驶路程s(m)与时间t(min)的大致图象是()14. (2016宜宾)如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误．．的是()A. 乙前4秒行驶的路程为48米；B. 在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒C. 两车到第3秒时行驶的路程相等；D. 在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度第14题图15. (2017淄博)小明做了一个数学实验：将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器．然后，小明对准玻璃杯口匀速注水，如图所示，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部．则下面可以近似地刻画出容器最高．．水位h与注水时间t之间的变化情况的是()16. (2017济宁)如图，A，B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB，点P从点A出发，在⊙O上以每秒一个单位长度的速度匀速运动，回到点A运动结束，设运动时间为x(单位：s)，弦BP的长为y，那么下列图象中可能．．表示y与x函数关系的是()A. ①B. ③C. ②或④D. ①或③第16题图第17题图17. (2017孝感)如图，在△ABC中，点O是△ABC的内心，连接OB，OC，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E、F.已知△ABC的周长为8，BC＝x，△AEF的周长为y，则表示y与x的函数图象大致是()18. (2017西宁)如图，在正方形ABCD中，AB＝3 cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1 cm的速度运动，同时动点N自D点出发沿折线DC－CB以每秒2 cm的速度运动，到达B点时运动同时停止．设△AMN的面积为y(cm2)，运动时间为x(秒)，则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是()19. 关注传统文化(2017聊城)端午节前夕，在东昌湖举行的第七届全民健身运动会龙舟比赛中，甲、乙两队在500米的赛道上，所划行的路程y(m )与时间x(min )之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是( )A. 乙队比甲队提前0.25 min 到达终点B. 当乙队划行110 m 时，此时落后甲队15 mC. 0.5 min 后，乙队比甲队每分钟快40 mD. 自1.5 min 开始，甲队若要与乙队同时到达终点，甲队的速度需提高到225 m /min第19题图20. (2017兰州)如图①，在矩形ABCD 中，动点E 从A 点出发，沿AB →BC 的方向运动，当点E 到达点C 时停止运动，过点E 作FE ⊥AE ，交CD 于F 点．设点E 运动的路程为x ，FC ＝y ，如图②所示表示的是y 与x 的函数关系的大致图象．当点E 在BC 上运动时，FC 的最大长度是25.则矩形ABCD 的面积是 ( ) A. 235 B. 5 C. 6 D. 254第20题图第二节 一次函数的图象与性质(时间：30分钟 分值：50分)评分标准：选择题和填空题每小题3分．1. (2017毕节)把直线y ＝2x －1向左平移1个单位，平移后直线的关系式为( )A. y ＝2x －2；B. y ＝2x ＋1；C. y ＝2x ；D. y ＝2x ＋22. (2017湘潭)一次函数y ＝ax ＋b 的图象如图所示，则不等式ax ＋b ≥0的解集是( )A. x ≥2B. x ≤2C. x ≥4D. x ≤4第2题图 第3题图3. (2017甘肃省卷)在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象如图所示，观察图象可得( )A. k>0，b>0 B. k>0，b<0 C. k<0，b>0 D. k<0，b<04. 已知直线l 1：y ＝－3x ＋b 与直线l 2：y ＝－kx ＋1在同一坐标系中的图象交于点(1，－2)，那么方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝b kx ＋y ＝1的解是 ( ) A. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－2 B. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2 C. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－2 D. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝2 5. 设正比例函数y ＝mx 的图象经过点A(m ，4)，且y 的值随x 值的增大而减小，则m ＝( )A. 2B. －2C. 4D. －46. (2017广安)当k<0时，一次函数y ＝kx －k 的图象不经过．．．( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限7. (2017怀化)一次函数y ＝－2x ＋m 的图象经过点P(－2，3)，且与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，则△AOB 的面积是 ( )A. 12 B. 14C. 4D. 8 8. (2017齐齐哈尔)已知等腰三角形的周长是10，底边长y 是腰长x 的函数，则下列图象中，能正确反映y 与x 之间函数关系的图象是( )9. (2017绥化)在同一平面直角坐标系中，直线y ＝4x ＋1与直线y ＝－x ＋b 的交点不可能在( )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限10. (2017天津)若正比例函数y ＝kx(k 为常数，k ≠0)的图象经过第二、四象限，则k 的值可以是________(写出一个即可)．11. (2017海南)在平面直角坐标系中，已知一次函数y ＝x ＋1的图象经过P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)两点，若x 1<x 2，则y 1________y 2.(填“>”、“<”或“＝”)12. (2017鹤壁模拟)已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过两点A(0，1)，B(2，0)，则当x________时，y ≤0.13. (2017株洲)如图示直线y ＝3x ＋3与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，当直线绕着点A 按顺时针方向旋转到与x 轴首次重合时，点B 运动的路径的长度为________．第13题图 第14题图14. (2017孝感)如图，将直线y＝－x沿y轴向下平移后的直线恰好经过点A(2，－4)，且与y轴交于点B，在x轴上存在一点P使得PA＋PB的值最小，则点P的坐标为________．15. (8分)(2017台州)如图，直线l1：y＝2x＋1与直线l2：y＝mx＋4相交于点P(1，b)．(1)求b，m的值；(2)垂直于x轴的直线x＝a与直线l1，l2分别交于点C，D，若线段CD长为2.求a的值．第15题图第三节一次函数的实际应用(时间：60分钟分值：65分)评分标准：选择题和填空题每小题3分．基础过关1. (8分)(2017洛阳模拟)某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，市场调查发现，该商品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克，且10≤x≤18)之间的函数关系如图所示：(1)求销售量y与销售价x的函数关系式；(2)该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？第1题图2. (8分)(2017天津)用A4纸复印文件，在甲复印店不管一次复印多少页，每页收费0.1元，在乙复印店复印同样的文件，一次复印页数不超过20时，每页收费0.12元；一次复印页数超过20时，超过部分每页收费0.09元．设在同一家复印店一次复印文件的页数为x(x为非负整数)．(Ⅰ)一次复印页数(页) 5 10 20 30 …甲复印店收费(元) 0.5 2 …乙复印店收费(元) 0.6 2.4 …(Ⅱ)设在甲复印店复印收费y1元，在乙复印店复印收费y2元，分别写出y1，y2关于x 的函数关系式；(Ⅲ)当x>70时，顾客在哪家复印店复印花费少？请说明理由．3. (8分)某商场筹集资金12.8万元，一次性购进空调、彩电共30台．已知购3台空调、2台彩电需花费2.32万元，购2台空调、4台彩电需花费2.48万元．(1)计算每台空调与彩电的进价分别是多少元？(2)已知每台空调的售价为6100元，每台彩电的售价为3900元，设商场计划购进空调x台，空调和彩电全部销售完商场获得的利润为y元．试写出y与x的函数关系式；(3)根据市场需要，商场购进空调不少于10台，且购进的空调和彩电可以全部销售，那么在筹集资金范围内，商场有哪几种进货方案可供选择？选择哪种进货方案，商场获利最大？最大利润是多少元？4. (8分)(2017衢州)“五·一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．第4题图根据以上信息，解答下列问题：(1)设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，分别求出y1、y2关于x的函数表达式；(2)请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算．5. (8分)(2017永州)永州市是一个降水丰富的地区，今年4月初，某地连续降雨导致该地某水库水位持续上涨，下表是该水库4月1日～4月4日的水位变化情况：日期x 1 2 3 4水位y(米) 20.00 20.50 21.00 21.50(1)请建立该水库水位y与日期x之间的函数模型；(2)请用求出的函数表达式预测该水库今年4月6日的水位；(3)你能用求出的函数表达式预测该水库今年12月1日的水位吗？6. (8分)(2017齐齐哈尔)“低碳环保、绿色出行”的理念得到广大群众的接受，越来越多的人喜欢选择自行车作为出行工具．小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆．小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y(米)与时间x(分钟)的关系如图．请结合图象，解答下列问题：(1)a＝________；b＝________；m＝________；(2)若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离；(3)在(2)的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距100米？(4)若小军的行驶速度是v米/分，且在途中与爸爸恰好相遇两次(不包括家、图书馆两地)，请直接写出v的取值范围．第6题图满分冲关1. (8分)关注国家政策为了贯彻落实市委市政府提出的“精准扶贫”精神，某校特制定了一系列关于帮扶A、B两贫困村的计划，现决定从某地运送152箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗．已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A、B两村的运费如下表：目的地车型A村(元/辆)B村(元/辆)大货车800900小货车400600(1)求这15辆车中大小货车各多少辆？(2)现安排其中的10辆货车前往A村，其余货车前往B村．设前往A村的大货车为x 辆，前往A、B两村总费用为y元，试求出y与x的函数解析式；(3)在(2)的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少总费用．2. (9分)(2017孝感)为满足社区居民健身的需要，市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区．经考察，劲松公司有A，B两种型号的健身器材可供选择．(1)劲松公司2015年每套A型健身器材售价为2.5万元，经过连续两年降价，2017年每套售价为1.6万元，求每套A型健身器材年平均下降率n；(2)2017年市政府经过招标，决定年内采购并安装劲松公司A，B两种型号的健身器材共80套，采购专项经费总计不超过112万元．采购合同规定：每套A型健身器材售价为1.6万元，每套B型健身器材售价为1.5(1－n)万元．①A型健身器材最多可购买多少套？②安装完成后，若每套A型和B型健身器材一年的养护费分别是购买价的5%和15%，市政府计划支出10万元进行养护，问该计划支出能否满足一年的养护需要？第四节 反比例函数(时间：120分钟 分值：170分)评分标准： 选择题和填空题每小题3分．基础过关1. (2017郴州)已知反比例函数y ＝k x的图象过点A (1，－2)，则k 的值为 ( ) A. 1 B. 2 C. －2 D. －12. (2017湘西州)反比例函数y ＝k x(k >0)，当x <0时，图象在 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. (2017广东省卷)如图，在同一平面直角坐标系中，直线y ＝k 1x (k 1≠0)与双曲线y ＝k 2x(k 2≠0)相交于A 、B 两点，已知点A 的坐标为(1，2)，则点B 的坐标为 ( )A. (－1，－2)B. (－2，－1)C. (－1，－1)D. (－2，－2)第3题图 第4题图4. (2017徐州)如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y ＝kx ＋b (k ≠0)与y ＝m x(m ≠0)的图象相交于点A (2，3)，B (－6，－1)，则不等式kx ＋b ＞m x的解集为 ( ) A. x ＜－6 B. －6＜x ＜0或x ＞2C. x ＞2D. x ＜－6或0＜x ＜25. (2017天津)若点A (－1，y 1)，B (1，y 2)，C (3，y 3)在反比例函数y ＝－3x的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A. y 1<y 2<y 3 ；B. y 2<y 3<y 1；C. y 3<y 2<y 1；D. y 2<y 1<y 36. (2017宜昌)某学校要种植一块面积为100 m 2的长方形草坪，要求两边长均不小于5 m ，则草坪的一边长y (单位：m)随另一边长x (单位：m)的变化而变化的图象可能是( )7. (2017枣庄)如图，O 是坐标原点，菱形OABC 的顶点A 的坐标为(－3，4)，顶点C在x 轴的负半轴上，函数y ＝k x(x ＜0)的图象经过顶点B ，则k 的值为 ( )A. －12B. －27C. －32D. －36第7题图 第8题图8. (2017天门)如图，P (m ，m )是反比例函数y ＝9x在第一象限内的图象上一点，以P 为顶点作等边△P AB ，使AB 落在x 轴上，则△POB 的面积为( )A. 92B. 3 3C. 9＋1234D. 9＋3329. (2017济宁)请写出一个过点(1，1)，且与x 轴无交点的函数解析式：________．10. (2017上海)如果反比例函数y ＝k x(k 是常数，k ≠0)的图象经过点(2，3)，那么在这个函数图象所在的每个象限内，y 的值随x 的值增大而________．(填“增大”或“减小”)11. (2017广西四市)对于函数y ＝2x，当函数值y <－1时，自变量x 的取值范围是________．12. (2017长沙)如图，点M 是函数y ＝3x 与y ＝k x的图象在第一象限内的交点，OM ＝4，则k 的值为________．第12题图 第14题图第15题图 13. (2016呼和浩特)已知函数y ＝－1x，当自变量的取值为－1＜x ＜0或x ≥2，函数值y 的取值________．14. (2017黔东南州)如图，已知点A 、B 分别在反比例函数y 1＝－2x 和y 2＝k x的图象上，若点A 是线段OB 的中点，则k 的值为________．15. (2017西宁)如图，点A 在双曲线y ＝3x(x >0)上，过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，OA 的垂直平分线交OC 于点B ，当AC ＝1时，△ABC 的周长为________16. (8分)(2017随州)如图，在平面直角坐标系中，将坐标原点O 沿x 轴向左平移2个单位长度得到点A ，过点A 作y 轴的平行线交反比例函数y ＝k x 的图象于点B ，AB ＝32.(1)求反比例函数的解析式；(2)若P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)是该反比例函数图象上的两点，且x 1＜x 2时，y 1＞y 2，指出点P 、Q 各位于哪个象限？并简要说明理由．第16题图17. (8分)(2017百色)已知反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象经过点B (3，2)，点B 与点C 关于原点O 对称，BA ⊥x 轴于点A ，CD ⊥x 轴于点D .(1)求这个反比例函数的解析式； (2)求△ACD 的面积．第17题图18. (8分)(2017丽水)丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，记汽车行驶时间为t 小时，平均速度为v 千米/小时(汽车行驶速度不超过100千米/小时)．根据经验，v ，t v (千米/小时) 75 80 85 90 95 t (小时)4.003.753.533.333.16(1) (2)汽车上午7∶30从丽水出发，能否在上午10∶00之前到达杭州市场？请说明理由； (3)当汽车到达杭州市场的行驶时间t 满足3.5≤t ≤4，求平均速度v 的取值范围．19. (8分)(2017苏州)如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，AB ⊥x 轴，垂足为A ，反比例函数y ＝k x (x >0)的图象经过点C ，交AB 于点D ，已知AB ＝4，BC ＝52. (1)若OA ＝4，求k 的值；(2)连接OC ，若BD ＝BC ，求OC 的长．第19题图20. (8分)(2017周口模拟)如图，在矩形OABC 中，OA ＝3，OC ＝2，F 是AB 上的一个动点(F 不与A ，B 重合). 过点F 的反比例函数y ＝kx(k ＞0)的图象与BC 边交于点E .(1)当F 为AB 的中点时，求该函数的解析式；(2)当k 为何值时，△EF A 的面积最大，最大面积是多少？第20题图 21. (8分)(2017赤峰)如图，一次函数y ＝－33x ＋1的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为边在第一象限作等边△ABC .(1)若点C 在反比例函数y ＝kx 的图象上，求该反比例函数的解析式；(2)点P (23，m )在第一象限，过点P 作x 轴的垂线，垂足为D ，当△P AD 与△OAB 相似时，P 点是否在(1)中反比例函数图象上？如果在，求出P 点坐标；如果不在，请加以说明．第21题图满分冲关1. (2017凉山州)已知抛物线y ＝x 2＋2x －m －2与x 轴没有交点，则函数y ＝mx的大致图象是( )2. (2017洛阳模拟)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是反比例函数y ＝3x 的图象上的两点，若x 1<0<x 2，则下列结论正确的是 ( )A. y 1<0<y 2B. y 2<0<y 1C. y 1<y 2<0D. y 2<y 1<03. (2017海南)如图，△ABC 的三个顶点分别为A (1，2)、B (4，2)、C (4，4)．若反比例函数y ＝kx在第一象限内的图象与△ABC 有交点，则k 的取值范围是 ( )A. 1≤k ≤4B. 2≤k ≤8C. 2≤k ≤16D. 8≤k ≤16第3题图 第4题图4. (2017开封模拟)如图，正方形OABC ，ADEF 的顶点A ，D ，C 在坐标轴上，点F 在AB 上，点B ，E 在函数y ＝4x(x >0)的图象上，则点E 的坐标是( )A. (5＋1，5－1)；B. (3＋5，3－5)；C. (5－1，5＋1)；D. (3－5，3＋5) 5. (2017潍坊)一次函数y ＝ax ＋b 与反比例函数y ＝a －bx ，其中ab <0，a 、b 为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是( )6. (2017商丘模拟)已知双曲线y ＝3x 和y ＝kx 的部分图象如图所示，点C 是y 轴正半轴上一点，过点C 作AB ∥x 轴分别交两个图象于点A 、B ，若CB ＝2CA ，则k ＝________．第6题图 第7题图7. 如图，A 、B 是反比例函数y ＝kx 上两点，AC ⊥y 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，AC ＝BD ＝15OC ，S 四边形ABDC ＝9，则k ＝________． 8. 已知P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是同一个反比例函数图象上的两点．若x 2＝x 1＋2，且1y 2＝1y 1＋12，则这个反比例函数的解析式为________． 9. (8分)(2017山西)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，其边长为2，点A ，点C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上．函数y ＝2x 的图象与CB 交于点D ，函数y ＝kx (k 为常数，k ≠0)的图象经过点D ，与AB 交于点E ，与函数y ＝2x 的图象在第三象限内交于点F ，连接AF ，EF .(1)求函数y ＝kx 的表达式，并直接写出E ，F 两点的坐标．(2)求△AEF 的面积．第9题图10. (8分)(2017舟山)如图，一次函数y ＝k 1x ＋b (k 1≠0)与反比例函数y ＝k 2x (k 2≠0)的图象交于点A (－1，2)，B (m ，－1)．(1)求这两个函数的表达式；(2)在x 轴上是否存在点P (n ，0)(n ＞0)，使△ABP 为等腰三角形？若存在，求n 的值；若不存在，请说明理由．第10题图11. (8分)注重阅读理解在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标的2倍的点称之为“理想点”，例如点(－2，－4)，(1，2)，(3，6)，…都是“理想点”，显然这样的“理想点”有无数多个．(1)若点M(2，a)是反比例函数y＝kx(k为常数，k≠0)图象上的“理想点”，求这个反比例函数的解析式；(2)函数y＝3mx－1(m为常数，m≠0)的图象上存在“理想点”吗？若存在，求出“理想点”的坐标；若不存在，请说明理由．12. (8分)如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OEFG的顶点E的坐标为(4，0)，顶点G的坐标为(0，2)，将矩形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在y轴的点N处，得到矩形OMNP，OM与GF交于点A.(1)求图象经过点A的反比例函数的解析式；(2)设(1)中的反比例函数图象交EF于点B，直接写出AB的解析式．第12题图13. (10分)平行四边形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中A(－6，0)，B(4，0)，C(5，3)，反比例函数y＝kx的图象经过点C.(1)求此反比例函数的解析式；(2)将平行四边形ABCD沿x轴翻折得到平行四边形AD′C′B，请你通过计算说明点D′在双曲线上；(3)求△AD′C的面积．第13题图14. (11分)(2017江西)如图，直线y＝k1x(x≥0)与双曲线y＝k2x(x＞0)相交于点P(2，4)．已知点A(4，0)，B(0，3)，连接AB，将Rt△AOB沿OP方向平移，使点O移动到点P，得到△A′PB′.过点A′作A′C∥y轴交双曲线于点C.(1)求k1与k2的值；(2)求直线PC的表达式；(3)直接写出线段AB扫过的面积．第14题图第五节二次函数的图象与性质(时间：60分钟分值：80分)评分标准：选择题和填空题每小题3分．基础过关1. (2017宿迁)将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是()A. y＝(x＋2)2＋1B. y＝(x＋2)2－1C. y＝(x－2)2＋1D. y＝(x－2)2－12. (2017金华)对于二次函数y＝－(x－1)2＋2的图象与性质，下列说法正确的是()A. 对称轴是直线x＝1，最小值是2B. 对称轴是直线x＝1，最大值是2C. 对称轴是直线x＝－1，最小值是2D. 对称轴是直线x＝－1，最大值是23. (2017兰州)下表是一组二次函数y＝x2＋3x－5的自变量x与函数值y的对应值：x 1 1.1 1.2 1.3 1.4y －1 －0.49 0.04 0.59 1.16那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是()A. 1B. 1.1C. 1.2D. 1.34. (2017宁波)抛物线y＝x2－2x＋m2＋2(m是常数)的顶点在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. (2017新乡模拟)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c>0的解集是()第5题图A. －1<x<5；B. x>5；C. x<－1；D. x<－1或x>56. 若二次函数y ＝x 2＋bx ＋5配方后为y ＝(x －2)2＋k ，则b 、k 的值分别为( ) A. 0，5 B. 0，1 C. －4，5 D. －4，17. (2017连云港)已知抛物线y ＝ax 2(a ＞0)过A(－2，y 1)、B(1，y 2)两点，则下列关系式一定正确的是 ( )A. y 1＞0＞y 2B. y 2＞0＞y 1C. y 1＞y 2＞0D. y 2＞y 1＞08. (2017苏州)若二次函数y ＝ax 2＋1的图象经过点(－2，0)，则关于x 的方程a(x －2)2＋1＝0的实数根为( )A. x 1＝0，x 2＝4B. x 1＝－2，x 2＝6C. x 1＝32，x 2＝52D. x 1＝－4，x 2＝09. (2017菏泽)一次函数y ＝ax ＋b 和反比例函数y ＝cx 在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )第9题图10. (2016滨州)在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线y ＝x 2＋5x ＋6，则原抛物线的解析式是( )A. y ＝－(x －52)2－114；B. y ＝－(x ＋52)2－114；C. y ＝－(x －52)2－14；D. y ＝－(x ＋52)2＋1411. (2017广安)如图所示，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为B(－1，3)，与x 轴的交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，以下结论：①b 2－4ac ＝0 ②a ＋b ＋c>0 ③2a －b ＝0 ④c －a ＝3 其中正确的有( )个A. 1B. 2C. 3D. 4第11题图 第12题图12. (2017盐城)如图，将函数y＝12(x－2)2＋1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A(1，m)、B(4，n)平移后的对应点分别为点A′、B′，若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分)，则新图象的函数表达式是()A. y＝12(x－2)2－2；B. y＝12(x－2)2＋7；C. y＝12(x－2)2－5；D. y＝12(x－2)2＋413. (2017邵阳)若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则a的值可能是________．(写一个即可)14. (2017兰州)如图，若抛物线y＝ax2＋bx＋c上的P(4，0)，Q两点关于他的对称轴x ＝1对称，则Q点的坐标为________．15. (2017青岛)若抛物线y＝x2－6x＋m与x轴没有交点，则m的取值范围是________．16. (2017百色)经过A(4，0)，B(－2，0)，C(0，3)三点的抛物线解析式是________．17. (2017咸宁)如图，直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A(－1，p)，B(4，q)两点，则关于x的不等式mx＋n>ax2＋bx＋c的解集是________．第14题图第17题图18. (8分)(2017平顶山模拟)已知抛物线y＝ax2＋bx＋3的对称轴是直线x＝1.(1)求证：2a＋b＝0；(2)若关于x的方程ax2＋bx－8＝0的一个根为4，求方程的另一个根．满分冲关1. (2017广州)a≠0，函数y＝ax与y＝－ax2＋a在同一直角坐标系中的大致图象可能是()2. (2017乐山)已知二次函数y＝x2－2mx(m为常数)，当－1≤x≤2时，函数值y的最小值为－2，则m的值是()A. 32 B. 2 C.32或 2 D. －32或 23. (2017天津)已知抛物线y＝x2－4x＋3与x轴相交于点A，B(点A在点B左侧)，顶点为M.平移该抛物线，使点M平移后的对应点M′落在x轴上，点B平移后的对应点B′落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为()A. y＝x2＋2x＋1；B. y＝x2＋2x－1；C. y＝x2－2x＋1；D. y＝x2－2x－14. (12分)(2017杭州)在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝(x＋a)(x－a－1)，其中a≠0.(1)若函数y1的图象经过点(1，－2)，求函数y1的表达式；(2)若一次函数y2＝ax＋b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；(3)已知点P(x0，m)和Q(1，n)在函数y1的图象上，若m<n，求x0的取值范围．第六节 二次函数的应用(时间：90分钟 分值：75分)评分标准：选择题和填空题每小题3分． 命题点1 二次函数的实际应用1. 某种品牌的服装进价为每件150元，当售价为每件210元时，每天可卖出20件，现需降价处理，且经市场调查；每件服装每降价2元，每天可多卖出1件，在确保盈利的前提下，若设每件服装降价x 元，每天售出服装的利润为y 元，则y 与x 的函数关系式为( )A. y ＝－12x 2＋10x ＋1200(0<x<60)；B. y ＝－12x 2＋10x －1250(0<x<60)C. y ＝－12x 2＋10x －1200(0<x<60)；D. y ＝－12x 2＋10x ＋1250(0<x<60)2. 某企业是一家专门生产季节性产品的企业，当产品无利润时，企业会自动停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y(万元)和月份n 之间满足函数关系式y ＝－n 2＋14n －24，则企业停产的月份为( )A. 2月和12月B. 2月至12月C. 1月D. 1月、2月和12月3. (2017临沂)足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m )与足球被踢出后经过的时间t(单位：s )之间的关系如下表：t 0 1 2 3 4 5 6 7 … h8141820201814…下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m ；②足球飞行路线的对称轴是直线t ＝92；③足球被踢出9 s 时落地；④足球被踢出1.5 s 时，距离地面的高度是11 m .其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．44. (2017天门)飞机着陆后滑行的距离s(单位：米)关于滑行的时间t(单位：秒)的函数解析式是s ＝60t －32t 2，则飞机着陆后滑行的最长时间为________秒．5. (2016日照)如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为________米．第5题图6. (8分)(2017安徽)某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x(元/千克) 50 60 70销售量y(千克) 100 80 60(1)求y与x之间的函数表达式；(2)设商品每天的总利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式(利润＝收入－成本)；(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？命题点2二次函数与几何图形结合7. (10分)(2017深圳节选)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋2经过点A(－1，0)，B(4，0)，交y轴于点C.(1)求抛物线的解析式；(用一般式表示)(2)点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC＝23S△ABD？若存在，请直接给出点D坐标；若不存在，请说明理由．第7题图8. (10分)(2017苏州)如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝OC，点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD＝2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．(1)求b、c的值；(2)如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F′恰好在线段BE上，求点F的坐标；(3)如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N，试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．第8题图9. (10分)(2017湘西州)如图，已知抛物线y ＝－33x 2＋bx ＋3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为(－3，0)．(1)求b 的值及点B 的坐标；(2)试判断△ABC 的形状，并说明理由；(3)一动点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度向点B 运动，同时动点Q 从点B 出发，以每秒1个单位的速度向点C 运动(当点P 运动到点B 时，点Q 随之停止运动)，设运动时间为t 秒，当t 为何值时△PBQ 与△ABC 相似？第9题图10. (10分)(2017濮阳模拟)如图，直线y ＝－43x ＋4交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，抛物线y ＝ax 2－43x ＋c 过点A ，交y 轴于点B(0，－2)． (1)求抛物线的解析式；(2)点M 为抛物线在第四象限部分上的一个动点，求四边形BMAC 面积的最大值；(3)点D 为抛物线对称轴上一点，规定：d ＝|AD －BD|，探究d 是否存在最大值？若存在，请直接写出d 的最大值及此时点D 的坐标．第10题图11. (12分)如图，二次函数y ＝x 2－bx ＋c 的图象交x 轴于A(－1，0)、B(3，0)两点，交y 轴于点C ，连接BC ，动点P 以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动，动点Q 以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动，P 、Q 同时出发，连接PQ ，当点Q 到达C 点时，P 、Q 同时停止运动，设运动时间为t 秒．(1)求二次函数的解析式；(2)如图①，当△BPQ 为直角三角形时，求t 的值；(3)如图②，当t<2时，延长QP 交y 轴于点M ，在抛物线上存在一点N ，使得PQ 的中点恰为MN 的中点，请直接写出N 点的坐标．第11题图。

中考数学压轴题：妙解双动点问题，一眼识题，学霸解
题技巧！
在中考数学中，双动点问题是一种常见的问题类型，这类问题要求考生掌握一定的数学思维和解题技巧。

下面我将通过一道中考数学压轴题来讲解如何妙解双动点问题。

题目：在直角坐标系中，点A的坐标为$(0,4)$，点B的坐标为$(3,0)$，点
C的坐标为$(2,0)$。

点D是动点，当以A、D、C为顶点的三角形面积与以B、D、C为顶点的三角形面积相等时，求点D的坐标。

首先，我们需要理解题目要求，即以A、D、C为顶点的三角形面积与以B、D、C为顶点的三角形面积相等。

根据三角形面积的计算公式，面积 = (底
× 高) / 2，因此我们可以推断出AD和BD的高相等。

第一步，过点D作DE垂直于BC于E，这样我们可以得到两个相似三角形：△ADE和△BDE。

由于两个三角形的对应边成比例，我们可以设DE的长度为x，然后根据相似三角形的性质求出AD和BD的长度。

第二步，根据题目条件，我们知道以A、D、C为顶点的三角形面积与以B、D、C为顶点的三角形面积相等，因此我们可以得到方程：$\frac{AD
\times DE}{2} = \frac{BC \times DE}{2}$。

解这个方程可以得到AD的长度。

第三步，根据AD和DE的长度，我们可以求出AE的长度，然后利用勾股定理求出AD的长度。

最后我们可以得到点D的坐标。

综上所述，通过妙解双动点问题，我们可以得到点D的坐标为$(1,2)$或$(\frac{3}{4},\frac{5}{2})$。

抛物线中的动点问题专题复习【精品】本文档将介绍抛物线中的动点问题的相关知识，并提供复材料和练题。

一、概述抛物线中的动点问题是数学中涉及到抛物线和动点运动的问题。

通过研究动点在抛物线上的运动，可以解决与速度、加速度、时间等相关的物理问题。

二、相关概念在抛物线中的动点问题中，有几个重要的概念需要掌握：1. 抛物线：抛物线是一种特殊的曲线，具有对称性和顶点。

它可以用一条二次函数的图像来表示。

抛物线：抛物线是一种特殊的曲线，具有对称性和顶点。

它可以用一条二次函数的图像来表示。

2. 动点：动点是在抛物线上移动的一个点，其位置随时间的变化而变化。

动点：动点是在抛物线上移动的一个点，其位置随时间的变化而变化。

3. 速度：动点在抛物线上的运动速度可以用速度向量表示。

速度是动点在单位时间内所移动的距离。

速度：动点在抛物线上的运动速度可以用速度向量表示。

速度是动点在单位时间内所移动的距离。

4. 加速度：动点在抛物线上的运动加速度是速度的导数，表示速度的变化率。

加速度：动点在抛物线上的运动加速度是速度的导数，表示速度的变化率。

三、解题方法在解决抛物线中的动点问题时，可以采用以下方法：1. 分析曲线方程：首先要了解抛物线的方程以及其特点，例如顶点坐标、对称轴等。

分析曲线方程：首先要了解抛物线的方程以及其特点，例如顶点坐标、对称轴等。

2. 确定动点的运动方程：根据题目给出的条件，可以推导出动点的运动方程，通常是关于时间的函数。

确定动点的运动方程：根据题目给出的条件，可以推导出动点的运动方程，通常是关于时间的函数。

3. 计算速度和加速度：利用导数和微分的知识，可以计算动点在抛物线上的速度和加速度。

计算速度和加速度：利用导数和微分的知识，可以计算动点在抛物线上的速度和加速度。

4. 解决相关问题：根据题目的要求，可以利用速度、加速度等参数解决与动点运动相关的物理问题。

解决相关问题：根据题目的要求，可以利用速度、加速度等参数解决与动点运动相关的物理问题。

函数的动点问题例1．如图①，在平行四边形ABCD中，AD＝9cm，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→A的方向移动，直到点P到达点A后才停止．已知△PAD的面积y（单位：cm 2）与点P移动的时间x（单位：s）之间的函数关系如图②所示，图②中a与b的和为___________．同类题型1.1如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交DC于点F，设BE＝x，FC＝y，则当点E从点B运动到点C时，y关于x的函数图象是（）A．B．C．D．同类题型1.2如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是BC边上靠近点B的三等分点，动点P从点A 出发，沿路径A→D→C→E运动，则△APE的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是（）A．B．C．D．同类题型1.3如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，一个以点B为顶点的60°角绕点B旋转，这个角的两边分别与线段AD的延长线及CD的延长线交于点P、Q，设DP＝x，DQ＝y，则能大致反映y与x的函数关系的图象是（）A．B．C．D．例2．如图，等边△ABC的边长为2cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AC向点C运动，到达点C停止；同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿AB－BC向点C运动，到达点C停止，设△APQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．同类题型2.1如图1，E为矩形ABCD边AD上的一点，点P从点B沿折线BE－ED－DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是2cm/s．若P、Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t的函数关系图象如图2，则下列结论错误的是（）A．AE＝12cm B．sin∠EBC＝74C．当0＜t≤8时，y＝72t2D．当t＝9s时，△PBQ是等腰三角形同类题型2.2矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P从点B出发以每秒2个单位长的速度沿BA－AD－DCD 的方向运动到C点停止，动点Q以每秒1个单位的速度沿BC方向运动到C点停止，假设P、两点同时出发，运动时间是t秒，y＝S△PBQ，则y与t的函数图象大致是（）A．B．C．D．同类题型2.3如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，AC与BD交于点O，M是BC的中点．P、Q两点沿着B→C→D方向分别从点B、点M同时出发，并都以1cm/s的速度运动，当点Q到达D点时，两点同时停止运动．在P、Q两点运动的过程中，与△OPQ的面积随时间t变化的图象最接近的是（）A．B．C．D．例3．如图，正六边形ABCDEF的边长为6cm，P是对角线BE上一动点，过点P作直线l与BE垂直，动点P从B点出发且以1cm/s的速度匀速平移至E点．设直线l扫过正六边形ABCDEF区域的面积为S（cm 2），点P的运动时间为t（s），下列能反映S与t之间函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．同类题型3.1如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD的直线l 从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止．设直线l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t（秒），下列能反映S与t之间函数关系的图象是（）。

中考热点问题"双动点问题"的处理方法总结动点问题是中考数学必考的重难点问题，大多数同学都是“谈动色变”，选择直接放弃的更是大有人在。

解决动点问题，大家一定不要被其“动”所吓倒，我们要充分发挥空间想象能力，“动"中求“静"，化“动”为“静"，利用已知条件和所学知识点，寻找和所求相关的不变量和确定关系，这样，题目就化难为易了。

动点问题一般分为点动、线动和面动这三种类型，本节我们主要学习两类较难的动点问题。

一.不关联双动点问题对于不关联的双动点问题，我们采用“控制变量法"，我们先控制其中一个点不动，分析另一个点运动轨迹，之后再让这个点运动起来，这样我们可以使问题更直观，思路更清晰。

我们先来看一道例题：例1.如图，RTAABC中，AC=3,AB=4,D、E分别是AB、AC上的两个动点，将AADE 沿着DE翻折，A点落在A'处，求A'C的最小值。

【简答】首先，我们固定D点不动，使E点动起来，随着E点的运动，X'始终在以D为圆心，DA为半径的圆上运动（如图1）,图1只有当C、A'、D三点共线时，A z C是最短的(如图2)；图2然后我们让D点也动起来，随着D点的运动，圆D的半径会发生变化，圆的半径越大，离C点就越近，因此，当D与B重合时，圆离C点的距离最近，再，移动E点，使得A，落在BC上，此时C、A，、D三定共线(如图3),CA'最小为5-4=1.图3二.多动点联动问题对于多个点运动并且是联动的这类问题，我们采用相对运动法，可以让这多个点静止，让原本的定点动起来，这样减少了动点的个数，使得问题简单化。

(原则是：让数量少的点动，让数量多的点休息)如下面这道天津中考题的最后一问。

例2.在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点0的坐标为(0,0),点A 的坐标为(5,0),点B的坐标为(0,3).以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC,得到矩形ADEF,点0,B,C的对应点分别为D,E, F.(1)如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标.(2)如图②，当点D落在线段BE上时，连接AB,AD与BC交于点H.①求证：AADB义AAOB；②求点H的坐标.(3)记K为矩形AOBC对角线的交点，S^jAKDE的面积，求S的取值范围(直接写出结果即可).【简答】(1)VA(5.0), B (0.3).・.・OA=5,OB=3,..•四边形AOBC是矩形.AAC OB=3,OA BC-5,ZOBC=ZC-90°.•.•矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到，/.AD=AO=5.在RtAAlK中，CD V a D2+AC2 4..•.BD=BC-CD 1.AD(h3).(2)®由四边形ADEF是短形，得到ZADE=90°.•・•点D在线段BE上，:.ZADB90°,由(1)可知，AD-AO.又AB AB.ZAOB=90%ARtAADBSSRlAAOB②如图b中.由八ADB^AAOB.得到ZBAD-ZBAO.又在矩形AOBC中，OA〃BC,/.ZCBA=ZOAB,.\ZBAD=ZCBA..\BH=AH.设AH=BH=m.则HC BC-BH5-m.在RtAAHC中,VAIP-HC^AC^.ABH y..・.H(—,3).<3）要求△KDE面积的取值范围.我们只要考虑K、D,E三个点的运动情况即可.由于D、E西个点都在运动.3KDE面积的取值范围不好确定.例3.直线1外有一点D,点D到直线的距离为3,让腰长为2的等腰直角三角板ABC在直线］上滑动，则AD+CD的最小值为.【简答】由于运动是相对的，可以看做D点在直线r上运动，作点a关于直线r的对称点A'.可知当A\D、C三点共线时AD+CD 最小，最小值为A，C的长。

文档根源为:从网络采集整理.word版本可编写.支持.第一讲抛物线中的动点问题一、利用动点（图形）地点进行分类，把运动问题切割成几个静态问题，而后运用转变的思想和方法将几何问题转变为函数和方程问题二、利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转变为函数或方程。

一、平行四边形与抛物线【例】如图甲，在平面直角坐标系中，A、B的坐标分别为（4，0）、（0，3），抛物线y=x2+bx+c经过点B，且对称轴是直线x=﹣．1）求抛物线对应的函数分析式；2）将图甲中△ABO沿x轴向左平移到△DCE（如图乙），当四边形ABCD是菱形时，请说明点C和点D都在该抛物线上；3）在（2）中，若点M是抛物线上的一个动点（点M不与点C、D重合），经过点M作MN∥y轴交直线CD于N，设点M的横坐标为t，MN的长度为l，求l与t之间的函数分析式，并求当t为什么值时，以M、N、C、E为极点的四边形是平行四边形．变式操练【变式】如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上，而且OA、OB的长分别是方程x2﹣7x+12=0的两根（OA＜OB），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点0运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒．（1）求A、B两点的坐标．（2）求当t为什么值时，△APQ与△AOB相像，并直接写出此时点Q的坐标．（3）当t=2时，在座标平面内，能否存在点M，使以A、P、Q、M为极点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明原因．【变式】如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与向来线订交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其极点为D．文档根源为:从网络采集整理.word版本可编写.支持.（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC订交于点B，E为直线AC上的随意一点，过点E作EF∥BD 交抛物线于点F，以B，D，E，F为极点的四边形可否为平行四边形？若能，求点若不可以，请说明原因；E的坐标；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．二、梯形与抛物线【例】已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，成立如下图的平面直角坐标系，点B在第一象限内．将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．（1）求点C的坐标；2（2）若抛物线y=ax+bx（a≠0）经过C、A两点，求此抛物线的分析式；（3）若上述抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一动点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M，问：能否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，恳求出此时点P的坐标；若不存在，请说明原因．变式操练【变式】如图，O为坐标原点，直线l绕着点A（0，2）旋转，与经过点C（0，1）的二次函数y=x2+h的图象交于不一样的两点P、Q．（1）求h的值；（2）经过操作、察看，算出△POQ的面积的最小值（不用说理）；（3）过点P、C作直线，与x轴交于点B，试问：在直线l的旋转过程中，四边形AOBQ能否为梯形？假如，请说明原因；若不是，请指出四边形的形状．【变式】如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形AOCD的极点A的坐标是（0，4），现有两动点P，Q，点P从点O出发沿线段OC（不包含端点O，C）以每秒2个单位长度的速度匀速向点C运动，点Q从点C出发沿线段CD（不包含端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动．点P，Q同时出发，同时停止，设运动时间为t（秒），当t=2（秒）时，PQ=2 ．（1）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围．（2）连结AQ并延伸交x轴于点E，把AE沿AD翻折交CD延伸线于点F，连结EF，则△AEF的面积S能否随t的变化而变化？若变化，求出 S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值．（3）在（2）的条件下，t为什么值时，四边形APQF是梯形？三、等腰三角形、菱形与抛物线【例】在平面直角坐标系xOy中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB在x轴上，直角极点C在y轴正半轴上，已知点A（﹣1，0）．（1）请直接写出点B、C的坐标：B 、C ；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）现有与上述三角板完整同样的三角板DEF（此中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把极点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C．此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于点M．①设AE=x，当x为什么值时，△OCE∽△OBC；②在①的条件下研究：抛物线的对称轴上能否存在点P使△PEM是等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明原因．变式操练【变式】如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的极点A、B分别落在座标轴上．O为原点，点A 的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8）．动点M从点O出发．沿OA向终点A以文档根源为:从网络采集整理.word版本可编写.支持.每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒个单位的速度运动．当一个动点抵达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒（t＞0）．（1）当t=3秒时．直接写出点N的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的分析式；（2）在此运动的过程中，△MNA的面积能否存在最大值？若存在，恳求出最大值；若不存在，请说明原因；（3）当t为什么值时，△MNA是一个等腰三角形？【变式】如图，直线l1经过点A（﹣1，0），直线l2经过点B（3，0），l1、l2均为与y轴交于点C（0，），抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴挨次与x轴交于点D、与l2交于点E、与抛物线交于点F、与l1交于点G．求证：DE=EF=FG；（3）若l1⊥l2于y轴上的C点处，点P为抛物线上一动点，要使△PCG为等腰三角形，请写出切合条件的点P 的坐标，并简述原因．【变式】如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=12 ，点C的坐标为（﹣18，0）．（1）求点B的坐标；（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE=4，OD=2BD，求直线DE的分析式；（3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，在座标平面内能否存在点Q，使以O、E、P、Q为极点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明原因．【变式】如图，已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线极点为E，它的对称轴与x轴交于点D．直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F．（1）求m的值及该抛物线对应的分析式；（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S△ADP=S△ADC，求出所有切合条件的点P的坐标；（3）点Q是平面内随意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，能否能使以 Q、A、E、M四点为极点的四边形是菱形？若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不可以，请说明原因．四、直角三角形与抛物线【例】如图，抛物线y=与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的随意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点的坐标；（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为极点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的分析式．【变式】如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直均分线和BC所在的直线成立平面直角坐标系，抛物线y=﹣x2+x+4经过A、B两点．文档根源为:从网络采集整理.word版本可编写.支持.（1）写出点A、点B的坐标；（2）若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P，连结PA、PB．设直线l挪动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；（3）在（2）的条件下，抛物线上能否存在一点P，使得△PAM是直角三角形？若存在，恳求出点P的坐标；若不存在，请说明原因．【变式】如图，极点为P（4，﹣4）的二次函数图象经过原点（0，0），点A在该图象上，OA交其对称轴l于点M，点M、N对于点P对称，连结AN、ON，（1）求该二次函数的关系式；（2）若点A在对称轴l右边的二次函数图象上运动时，请解答下边问题：①证明：∠ANM=∠ONM；②△ANO可否为直角三角形？假如能，恳求出全部切合条件的点A的坐标；假如不可以，请说明原因．【变式】如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2交x轴于点P，交y轴于点A．抛物线y=x2+bx+c的图象过点E（﹣1，0），并与直线订交于A、B两点．（1）求抛物线的分析式（关系式）；（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；（3）除点C外，在座标轴上能否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，恳求出点M的坐标；若不存在，请说明原因．五、相像三角形与抛物线2（1）求抛物线的分析式；（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，获得的直线与抛物线只有一个公共点值及点D的坐标；D，求m的（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出全部知足△POD∽△NOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．变式操练【变式】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其极点B的坐标为（3，﹣）．（1）求抛物线的函数分析式及点A的坐标；（2）在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB；（3）在抛物线上能否存在点Q，使△AQO与△AOB相像？假如存在，恳求出Q点的坐标；假如不存在，请说明原因．【变式】如图，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴订交于点B、C，与y轴订交于点E，且点B在点C的左边．（1）若抛物线C1过点M（2，2），务实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上能否存在点F，使得以点B、C、F为极点的三角形与△BCE相像？若存在，求m的值；若不存在，请说明原因．文档根源为:从网络采集整理.word版本可编写.支持.【变式】如图，已知二次函数的图象过点A（﹣4，3），B（4，4）．（1）求二次函数的分析式：（2）求证：△ACB是直角三角形；（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，能否存在以P、H、D为极点的三角形与△ABC相像？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明原因．【变式】如图，直线AB交x轴于点B（4，0），交y轴于点A（0，4），直线DM⊥x轴正半轴于点M，交线段AB于点C，DM=6，连结DA，∠DAC=90°．（1）直接写出直线AB的分析式；（2）求点D的坐标；（3）若点P是线段MB上的动点，过点P作x轴的垂线，交AB于点F，交过O、D、B三点的抛物线于点E，连结CE．能否存在点P，使△BPF与△FCE相像？若存在，恳求出点P的坐标；若不存在，请说明原因．【变式】在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的关系分析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，能否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明原因；（3）在平面直角坐标系中，能否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明原因；（4）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．能否存在点Q，使以点B、Q、E为极点的三角形与△AOC相像？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明原因；（5）点M为抛物线上一动点，在x轴上能否存在点Q，使以A、C、M、Q为极点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明原因．六、抛物线中的翻折问题【例】如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点．（1）求抛物线分析式及点D坐标；（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为极点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．能否存在点P，使Q′恰巧落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明原因．变式操练【变式】如图，在平面直角坐标系中，二次函数点在原点的左边，B点的坐标为（3，0），与y抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A轴交于C （0，﹣3）点，点P是直线BC下方的（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，获得四边形POP′C，那么能否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，恳求出此时点P的坐标；若不存在，请说明原因．（3）当点P运动到什么地点时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．。

【中考压轴题专题突破】二次函数中的双抛物线问题1．如图1，若抛物线l1的顶点A在抛物线l2上，抛物线l2的顶点B也在抛物线l1上（点A 与点B不重合）．我们称抛物线l1，l2互为“友好”抛物线，一条抛物线的“友好”抛物线可以有多条．（1）如图2，抛物线l3：y＝（x﹣2）2﹣1与y轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，则点D的坐标为；（2）求以点D为顶点的l3的“友好”抛物线l4的表达式，并指出l3与l4中y同时随x 增大而增大的自变量的取值范围；（3）若抛物线y＝a1（x﹣m）2+n的任意一条“友好”抛物线的表达式为y＝a2（x﹣h）2+k，写出a1与a2的关式，并说明理由．2．某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2﹣2﹣3的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x…﹣3﹣﹣2﹣101234…y 0﹣m﹣4﹣3﹣4﹣3﹣0…其中，m＝．（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该图象的另一部分；（3）观察函数图象，写出两条函数的性质；（4）进一步探究函数图象发现：①方程x2﹣2﹣3＝0有个实数根；②函数图象与直线y＝﹣3有个交点，所以对应方程x2﹣2﹣3＝﹣3有个实数根；③关于x的方程x2﹣2﹣3＝a有4个实数根，a的取值范围是．3．如图，Rt△FHG中，∠H＝90°，FH∥x轴，＝0.6，则称Rt△FHG为准黄金直角三角形（G在F的右上方）．已知二次函数y1＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点E（0，﹣3），顶点为C（1，﹣4），点D为二次函数y2＝a（x﹣1﹣m）2+0.6m ﹣4（m＞0）图象的顶点．（1）求二次函数y1的函数关系式；（2）若准黄金直角三角形的顶点F与点A重合、G落在二次函数y1的图象上，求点G 的坐标及△FHG的面积；（3）设一次函数y＝mx+m与函数y1、y2的图象对称轴右侧曲线分别交于点P、Q．且P、Q两点分别与准黄金直角三角形的顶点F、G重合，求m的值，并判断以C、D、Q、P 为顶点的四边形形状，请说明理由．4．定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图，抛物线C1与抛物线C2组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1与抛物线C2与x轴有相同的交点M，N（点M在点N的左侧），与y轴的交点分别为A，B且点A的坐标为（0，﹣3），抛物线C2的解析式为y＝mx2+4mx﹣12m，（m＞0）．（1）请你根据“月牙线”的定义，设计一个开口向下．“月牙线”，直接写出两条抛物线的解析式；（2）求M，N两点的坐标；（3）在第三象限内的抛物线C1上是否存在一点P，使得△P AM的面积最大？若存在，求出△P AM的面积的最大值；若不存在，说明理由．5．如图1，抛物线M1：y＝﹣x2+4x交x正半轴于点A，将抛物线M1先向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到抛物线M2，M1与M2交于点B，直线OB交M2于点C．（1）求抛物线M2的解析式；（2）点P是抛物线M1上AB间的一点，作PQ⊥x轴交抛物线M2于点Q，连接CP，CQ．设点P的横坐标为m，当m为何值时，使△CPQ的面积最大，并求出最大值；（3）如图2，将直线OB向下平移，交抛物线M1于点E，F，交抛物线M2于点G，H，则的值是否为定值，证明你的结论．6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），将该抛物线位于x轴上方的曲线记作M，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC，BC．（1）求曲线N所在抛物线的函数表达式；（2）求△ABC外接圆的面积；（3）点P为曲线M或曲线N上的动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标；（4）在直线BC上方的曲线M上确定两个点D 1，D2，使得＝＝S△ABC．并求出点D1，D2的坐标；在曲线M或N上是否存在五个点T1，T2，T3，T4，T5，使得这五个点分别与点B，C围成的三角形的面积为？若存在，直接写出这五个点T1，T2，T3，T4，T5的坐标；若不存在，请说明理由．【中考压轴题专题突破】二次函数中的双抛物线问题参考答案与试题解析一．解答题（共6小题）1．解：（1）y＝（x﹣2）2﹣1，当x＝0时，y＝×（0﹣2）2﹣1＝1，即C点的坐标是（0，1），∵抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的对称轴是直线x＝2，∴点C关于直线x＝2的对称点D的坐标是（4，1），即D点的坐标是（4，1），故答案为：（4，1）；（2）y＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（2，﹣1），设l4的函数解析式是y＝a（x﹣4）2+1，∵由“友好”抛物线的定义，l4过点（2，﹣1），∴﹣1＝a（2﹣4）2+1，解得：a＝﹣，∴l4的函数解析式是y＝a（x﹣4）2+1，∴l3与l4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围是2≤x≤4；（3）a1+a2＝0，理由是：∵抛物线y＝a1（x﹣m）2+n与抛物线y＝a2（x﹣h）2+k互为“友好”抛物线，∴，方程的两边相加得：k+n＝（a1+a2）（m﹣h）2+n+k，即（a1+a2）（m﹣h）2＝0，∵m≠h，∴a1+a2＝0．2．解：（1）根据函数的对称性可得m＝﹣3，故答案为：﹣3（2）画出的函数图象如图所示；（3）由函数图象知：①函数的图象关于y轴对称；②当x＞1时，y随x的增大而增大；（4）①函数图象与x轴有2个交点，所以对应的方程有2个实数根；②由函数图象知：的图象与直线y＝﹣3有3个交点，∴方程有3个实数根；③由函数图象知：∵关于x的方程x2﹣2﹣3＝a有4个实数根，∴a的取值范围是﹣4＜a＜﹣3，故答案为：2，3，3，﹣4＜a＜﹣3．3．解：（1）设二次函数y1的函数关系式为y1＝a（x﹣1）2﹣4，将E（0，﹣3）代入得a﹣4＝﹣3，解得a＝1，∴y1＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；（2）设G[p，0.6（p+1）]，代入函数关系式，得，（p﹣1）2﹣4＝0.6（p+1），解得p1＝3.6，p2＝﹣1（舍去），所以点G坐标为（3.6，2.76）．由x2﹣2x﹣3＝0知x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0）、B（3，0），则AH＝4.6，GH＝2.76，∴S△FHG＝×4.6×2.76＝6.348；（3）∵y＝mx+m＝m（x+1），∴当x＝﹣1时，y＝0，∴直线y＝mx+m过点A，延长QH，交x轴于点R，由平行线的性质得，QR⊥x轴．∵FH∥x轴，∴∠QPH＝∠QAR，∴∠PHQ＝∠ARQ＝90°，∴△AQR∽△PHQ，∴＝＝0.6，设Q[n，0.6（n+1）]，代入y＝mx+m中，得mn+m＝0.6（n+1），整理，得：m（n+1）＝0.6（n+1），∵n+1≠0，∴m＝0.6．四边形CDPQ为平行四边形，理由如下：连接CD，并延长交x轴于点S，过点D作DK⊥x轴于点K，延长KD，过点C作CT垂直KD延长线，垂足为T，∵y2＝（x﹣1﹣m）2+0.6m﹣4，∴点D由点C向右平移m个单位，再向上平移0.6m个单位所得，∴＝＝0.6，∴tan∠KSD＝tan∠QAR，∴∠KSD＝∠QAR，∴AQ∥CS，即CD∥PQ．∵AQ∥CS，由抛物线平移的性质可得，CT＝PH，DT＝QH，∴PQ＝CD，∴四边形CDPQ为平行四边形．4．解：（1）如图1，抛物线y＝﹣x2+2x+3与抛物线y＝﹣x2+x+1所围成的封闭曲线即为开口向下的“月牙线”；（2）在抛物线C2的解析式y＝mx2+4mx﹣12m中，当y＝0时，mx2+4mx﹣12m＝0，∵m≠0，∴x2+4x﹣12＝0，解得，x1＝﹣6，x2＝2，∵点M在点N的左边，∴M（﹣6，0），N（2，0）；（3）存在，理由如下：如图2，连接AM，PO，PM，P A，∵抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同，∴可设抛物线C1的解析式y＝nx2+4nx﹣12n（n＞0），∵抛物线C1与y轴的交点为A（0，﹣3），∴﹣12n＝﹣3，∴n＝，∴抛物线C1的解析式为y＝x2+x﹣3，∴可设点P的坐标为（t，t2+t﹣3），∴S△P AM＝S△PMO+S△P AO﹣S△AOM＝×6×（﹣t2﹣t+3）+×3×（﹣t）﹣×6×3＝﹣t2﹣t，＝﹣（t+3）2+，∵﹣＜0，﹣6＜t＜0，∴根据二次函数的图象和性质知，当m＝﹣3时，即点P的坐标为（﹣3，﹣）时，△P AM的面积有最大值，最大值为．5．解：（1）∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴将其先向右平移3个单位，再向上平移3个单位的解析式为：y＝﹣（x﹣5）2+7＝﹣x2+10x﹣18；（2）∵抛物线M1与M2交于点B，∴﹣x2+4x＝﹣x2+10x﹣18，解得，x＝3，∴B（3，3），将点B（3，3）代入y＝kx，得，k＝1，∴y OB＝x，∵抛物线M2与直线OB交于点C，∴x＝﹣x2+10x﹣18，解得，x1＝3，x2＝6，∴C（6，6），∵点P的横坐标为m，∴点P（m，﹣m2+4m），则Q（m，﹣m2+10m﹣18），∴QP＝﹣m2+10m﹣18﹣（﹣m2+4m）＝6m﹣18，∴S△PQC＝（6m﹣18）（6﹣m）＝﹣3m2+27m﹣54，＝﹣3（m﹣）2+，在y＝﹣m2+4m中，当y＝0时，x1＝0，x2＝4，∴A（4，0），∵B（3，3），∴3≤m≤4，∴在S＝﹣3（m﹣）2+中，根据二次函数的图象及性质可知，当m＝4时，△PCQ有最大值，最大值为6；（3）的值是定值1，理由如下：设将直线OB向下平移k个单位长度得到直线EH，则y EH＝x﹣k，∴令x﹣k＝﹣x2+4x，解得，x1＝，x2＝，∴x F＝，x E＝，令x﹣k＝﹣x2+10x﹣18，解得，x1＝，x2＝，∴x H＝，x G＝，∴ME＝x G﹣x E＝﹣＝3，FN＝x H﹣x F＝﹣＝3，分别过G，H作y轴的平行线，过E，F作x轴的平行线，交点分别为M，N，Q，则∠HFN＝∠GEM，∠HNF＝∠GME＝90°，∴△GEM∽△HFN，∴＝，∴＝＝＝1，∴的值是定值1．6．解：（1）∵N与M图象下方的部分关于x轴对称，∴N所在函数解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）令x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵曲线N交y轴于点C，∴C（0，3），分别作BC与AB的垂直平分线交于点O'，则O'为△ABC的外接圆，∵Rt△BOC为等腰直角三角形，∴OO'＝OH＝O'H＝1，∵HB＝2，∴O'B＝，∵O'B是△ABC外接圆的半径，∴△ABC外接圆的面积＝5π；（3）当P点在M上时，设P（m，m2﹣2m﹣3），Q（n，0），∴m≥3或m≤﹣1；①当BQ∥PC，BQ＝PC时，B、C的中点为（，），P、Q的中点为（，），∴＝，解得m＝1+或m＝1﹣，＝，解得n＝2﹣或n＝2+，∴Q（2﹣，0）或Q（2+，0）；②当BP∥CQ，BP＝CQ时，B、Q的中点为（，0），P、C的中点为（，），∴＝0，解得m＝0或m＝2（都不符合）；当P点在N上时，设P（m，﹣m2+2m+3），Q（n，0），∴﹣1≤m≤3，③当BQ∥PC，BQ＝PC时，B、C的中点为（，），P、Q的中点为（，），∴＝，解得m＝0或m＝2，＝，解得n＝3或n＝1，∴Q（1，0）或Q（3，0），∵Q（3，0）与B（3，0）重合，∴Q（1，0）；④当BP∥CQ，BP＝CQ时，B、Q的中点为（，0），P、C的中点为（，），∴＝0，解得m＝1+或m＝1﹣（都不符合）；综上所述：Q（1，0）或Q（2﹣，0）或Q（2+，0）时以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形；（4）∵＝＝S△ABC，∴D1D2所在直线与直线BC平行，∵BC＝3，设A点到BC的距离为h，∵△ABC的面积＝×3h＝×4×3，∴h＝2，∴D1D2所在直线与直线BC间的距离为2，设D1D2的直线解析式为y＝﹣x+b，∴b﹣3＝4，∴b＝7，∴y＝﹣x+7，联立，解得x＝或x＝，∴D1（，），D2（，）；联立，解得x无解；综上所述：D1（，），D2（，）；∵T1，T2，T3，T4，T5与点B，C围成的三角形的面积为，∴T1，T2，T3，T4，T5到直线BC的距离为，设与BC平行的直线为y＝﹣x+t，∴|t﹣3|＝，∴t＝或t＝，∴y＝﹣x+或y＝﹣x+，当点在M上时，x≥3或x≤﹣1，联立，解得x＝或x＝﹣，∴x＝﹣，∴T1（﹣，）；联立，解得x＝或x＝，∴T2（，）或T3（，）；当点在N上时，﹣1≤x≤3，联立，解得x＝（舍）或x＝，∴T4（，）；联立，解得x＝，∴T5（，）；综上所述：存在五个点符合条件，分别是T1（﹣，）或T2（，）或T3（，）或T4（，）或T5（，）．。

【中考压轴题专题突破】二次函数中的动点问题1．已知：二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B 在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x2﹣10x+16＝0的两个根，且A点坐标为（﹣6，0）．（1）求此二次函数的表达式；（2）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC 于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；2．如图是二次函数y＝（x+m）2+k的图象，其顶点坐标为M（1，﹣4）．（1）求出图象与x轴的交点A，B的坐标；（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使S△P AB＝S△MAB？若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点C在x轴上一动点，以BC为边作正方形BCDE，正方形BCDE还有一个顶点（除点B外）在抛物线上，请写出满足条件的点E的坐标；（4）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y＝x+b与此图象至少有三个公共点时，请直接写出b的取值范围是．3．如图，二次函数图象的顶点为坐标系原点O，且经过点A（3，3），一次函数的图象经过点A和点B（6，0）．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）如果一次函数图象与y轴相交于点C，点D在线段AC上，与y轴平行的直线DE 与二次函数图象相交于点E，∠CDO＝∠OED，求点D的坐标；（3）当点D在直线AC上的一个动点时，以点O、C、D、E为顶点的四边形能成为平行四边形吗？请说明理由．4．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴相交点C（0，）．（1）求该二次函数解析式；（2）连接AC、BC，点M、N分别是线段AB、BC上的动点，且始终满足BM＝BN，连接MN．①将△BMN沿MN翻折，B点能恰好落在AC边上的P处吗？若能，请判断四边形BMPN的形状并求出PN的长；若不能，请说明理由．②将△BMN沿MN翻折，B点能恰好落在此抛物线上吗？若能，请直接写出此时B点关于MN的对称点Q的坐标；若不能，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如图（1），点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点p作Y轴的平行线交X轴于点E．当△PBC面积的最大值时，点F为线段BC 一点（不与点BC重合），连接EF，动点G从点E出发，沿线段EF以每秒1个单位的速度运动到点F，再沿FC以每秒个单位的速度运动到点C后停止，当点F的坐标是多少时，点G在整个运动过程中用时最少？（3）如图2，将△ACO沿射线CB方向以每秒个单位的速度平移，记平移后的△ACO 为△A1C1O1连接AA1，直线AA1交抛物线与点M，设平移的时间为t秒，当△AMC1为等腰三角形时，求t的值．6．如图，二次函数y＝x2+bx﹣的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．（1）b＝；点D的坐标：；（2）线段AO上是否存在点P（点P不与A、O重合），使得OE的长为1；（3）在x轴负半轴上是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．【中考压轴题专题突破】二次函数中的动点问题参考答案与试题解析一．解答题（共6小题）1．解：（1）由x2﹣10x+16＝0得x1＝2，x2＝8，∴B（2，0），C（0，8）∵点A（﹣6，0），B（2，0），C（0，8）在二次函数y＝ax2+bx+c的图象上，∴，得，∴所求二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣x+8；（2）∵AB＝8，OC＝8，依题意，AE＝m，则BE＝8﹣m，∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10．∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴＝，即＝，∴EF＝．过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝，∴＝，∴FG＝•＝8﹣m，∴S＝S△BCE﹣S△BFE＝＝﹣（0＜m＜8）．2．解：（1）∵M（1，﹣4）是二次函数y＝（x+m）2+k的顶点坐标，∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，当x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3．∴A、B两点的坐标分别为A（﹣1，0），B（3，0）；（2）在二次函数的图象上存在点P，使设P（x，y），则，又，∴2|y|＝×8，即y＝±5，∵二次函数的最小值为﹣4，∴y＝5．当y＝5时，x＝﹣2或x＝4．∴P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）；（3）不妨设点E在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上，C点的坐标为（m，0）．当BC为正方形BCDE的边时，则D点的坐标为（m，m2﹣2m﹣3）．∵四边形BCDE是正方形，∴BC＝DE，∴|m﹣3|＝|m2﹣2m﹣3|，即m﹣3＝m2﹣2m﹣3，或m﹣3＝﹣（m2﹣2m﹣3），解得m1＝0，m2＝3，或m1＝﹣2，m2＝3，当m＝3时，C点与B点重合，不合题意，舍去，∴C点的坐标为（0，0）或（﹣2，0），则E1（3，4），E2（3，﹣4），当点C与原点重合时也符合题意，此时点D（0，﹣3），可得E3（3，﹣3）；当点C为（﹣2，0）时也符合题意，此时点D（﹣2，5），可得E4（3，5）．综上所述，符合条件的点E的坐标是（3，4）或（3，﹣4）或（3，﹣3）或（3，5）．（4）如图3，依题意知，当﹣1≤x≤3时，翻折后的抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3与直线y＝x+b与新抛物线有1个交点时，﹣x2+2x+3＝x+b，即x2﹣x﹣3﹣b＝0，则△＝（﹣1）2﹣4×（﹣3﹣b）＝0，解得b＝当直线y＝x+b经过A（﹣1，0）时﹣1+b＝0，可得b＝1，由题意可知y＝x+b在y＝x+1的下方．由图可知符合题意的b的取值范围1≤b≤．故答案是：1≤b≤．3．解：（1）设二次函数的解析式为y＝ax2，把A（3，3）代入得a＝，∴二次函数的解析式为y＝x2；设一次函数的解析式为y＝kx+b，把A（3，3），B（6，0）分别代入得，3k+b＝3，6k+b＝0，解得k＝﹣1，b＝6，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+6；（2）∵DE∥y轴，∠CDO＝∠OED，∴△CDO∽△OED，∴，设D点的坐标为（m，﹣m+6），那么点E的坐标为（m，），∴OD2＝，又∵由直线y＝﹣x+6与y轴交于点C，∴点C的坐标为（0，6），CO＝6，∴，解得m1＝0（不合题意，舍去），m2＝，∴点D的坐标为（，）；（3）以点O、C、D、E为顶点的四边形能成为平行四边形．理由如下：若DE＝OC，以点O、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，①当点D在点E上方，．x＝0（舍去），x＝﹣3，y＝﹣（﹣3）+6＝9②当点D在E下方，x2﹣（﹣x+6）＝6，得x＝．当x＝，y＝﹣+6＝；当x＝，y＝﹣+6＝．所以当D点坐标为：（﹣3，9）或（，）或（，）．4．解：（1）将A、B、C三点坐标分别代入y＝ax2+bx+c（a≠0）中得：，解得：∴该二次函数解析式为：y＝﹣x2﹣x+．（2）①假设B点能恰好落在AC边上的P处，由题知：OA＝3，OB＝1，OC＝，∴AC＝2，BC＝2，AB＝4；∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，∠A＝30°，∠B＝60°．又由BM＝BN＝PN＝PM知四边形BMPN为菱形．设PN＝m，由PN∥AB可得：＝，即＝．∴m＝，即PN的长为．②由①知：QN始终与x轴平行，若点Q在抛物线上，则点N也在抛物线上，且QN＝CB＝2；已知C（0，），则Q（﹣2，）；当x＝﹣2时，y＝﹣x2﹣x+＝﹣×4﹣×（﹣2）+＝，∴Q（﹣2，）正好在抛物线的图象上；故答案：能，此时Q的坐标为（﹣2，）．5．解：（1）结论：△ABC是直角三角形．理由：如图1中，连接AC．∵抛物线y＝x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣），在Rt△AOC中，∵tan∠ACO＝＝，∴∠ACO＝30°，在Rt△OBC中，∵tan∠BCO＝＝，∴∠BCO＝60°，∴∠ACB＝∠ACO+∠BCO＝90°，∴△ABC是直角三角形．（2）设P（m，m2﹣m﹣），作射线CN，使得∠BCN＝60°，作FH⊥CN于H，FG⊥AE于G，则FH＝CF•cos30°＝CF．则S△PBC＝S△POC+S△POB﹣S△BOC＝××m+×3×（﹣m2+m+）﹣××3＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴m＝时，△PBC的面积最大，此时P（，﹣），∵动点G的运动时间＝+＝EF+CF＝EF+FH，根据垂线段最短可知，当EH⊥CN时，动点G的运动时间最小，∵∠EFB＝∠EBF＝30°，∴EF＝EB＝，在Rt△EFG中，FG＝EF•cos30°＝，EG＝，OG＝，∴此时F的坐标为（，﹣）．（3）由题意直线BC的解析式为y＝x﹣，直线AC的解析式为y＝x+，由，解得或，∴M（4，），∵C1（t，t﹣），∴AM2＝52+（）2，C1A2＝（t+1）2+（t﹣）2，MC1＝（4﹣t）2+（﹣t+）2，①当AM＝MC1时，52+（）2＝（4﹣t）2+（﹣t+）2，解得t＝5+或5﹣，②当C1A＝C1M时，（t+1）2+（t﹣）2＝（4﹣t）2+（﹣t+）2，解得t＝③当C1A＝AM时，52+（）2＝（t+1）2+（t﹣）2，解得t＝s或﹣（舍弃），综上所述，满足条件的t的值为（5+）s或（5﹣）s或s或s．6．解：（1）∵点A（﹣3，0）在二次函数y＝x2+bx﹣的图象上，∴0＝﹣3b﹣，解得b＝1，∴二次函数解析式为y＝x2+x﹣＝（x+3）（x﹣1），∴点B（1，0），AB＝1﹣（﹣3）＝4，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB＝4，∴点D（﹣3，4），故答案为：1；（﹣3，4）．（2）直线PE交y轴于点E，如图1，假设存在点P，使得OE的长为1，设OP＝a，则AP＝3﹣a，∵DP⊥AE，∠APD+∠DPE+∠EPO＝180°，∴∠EPO＝90°﹣∠APD＝∠ADP，tan∠ADP＝＝，tan∠EPO＝＝，∴＝，即a2﹣3a+4＝0，△＝（﹣3）2﹣4×4＝﹣7，无解故线段AO上不存在点P（点P不与A、O重合），使得OE的长为1．（3）假设存在这样的点P，DE交x轴于点M，如图2，∵△PED是等腰三角形，∴DP＝PE，∵DP⊥PE，四边形ABCD为正方形∴∠EPO+∠APD＝90°，∠DAP＝90°，∠P AD+∠APD＝90°，∴∠EPO＝∠PDA，∠PEO＝∠DP A，在△PEO和△DAP中，，∴△PEO≌△DAP，∴PO＝DA＝4，OE＝AP＝PO﹣AO＝4﹣3＝1，∴点P坐标为（﹣4，0）．∵DA⊥x轴，∴DA∥EO，∴∠ADM＝∠OEM（两直线平行，内错角相等），又∵∠AMD＝∠OME（对顶角），∴△DAM∽EOM，∴＝＝，∵OM+MA＝OA＝3，∴MA＝×3＝，△PED与正方形ABCD重叠部分△ADM面积为×AD×AM＝×4×＝．答：存在这样的点P，点P的坐标为（﹣4，1），此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积为．。

图解中考题——用二次函数求线段的最值（2018苏州中考第
18题）
一、题目
（2018 苏州中考）如图，已知AB=8,P为线段AB上的一个动点，分别以PA、PB为边，在AB的同侧作菱形APCD、PBFE,点P、C、E 在一条直线上，∠DAP=60°，M、N分别是对角线AC、BE的中点，当点P在线段AB上移动时，点M、N之间的距离最短为_______________.
二、分析：MN的长是怎样变化的呢？看下图
从上图可以看出，MN的长是大→小→大的一个变化过程，所以最小值不是在端点处，也不在中点处。

那会在什么位置呢？
根据已知条件，我们将图形分解来看看，左边的菱形分解如下：
右边的菱形同样如此，
分解然后组合
找到MN是直角三角形的斜边这个关键之后，接下来，MN的长与点P的位置有怎样的关联呢？
最后
三、思路流程：
四、解答
五、反思
1.出现等腰三角形，构造底边上的中线是一条常用的辅助线。

2.通过构造辅助线将已知和未知集中到一个三角形中。

这是一种常用的方法。

第19课时 抛物线中的一个动点问题(40分)1．(20分)[2019·酒泉]如图6－3－1，已知二次函数y＝2＋＋4的图象与x 轴交于点B (－2，0)，点C (8，0)，与y 轴交于点A .(1)求二次函数y ＝2＋＋4的表达式；(2)连结，，若点N 在线段上运动(不与点B ，C 重合)，过点N 作∥，交于点M ，当△面积最大时，求N 点的坐标；(3)连结，在(2)的结论下，求与的数量关系．【解析】 (1)用待定系数法，将点B ，点C 的坐标分别代入y ＝2＋＋4，解得a ，b ，即可求出二次函数的表达式；(2)设点N 的坐标为(n ，0)(－2＜n ＜8)，则＝n ＋2，＝8－n .由题意可知，＝10，＝4，S △＝20，S △＝2(n ＋2)，因∥，根据平行线分线段成比例定理可得＝＝，由△，△是同高三角形，可得出＝＝＝，从而得出△的面积S 与n 的二次函数关系式，根据二次函数的顶点性质，即可求出当n ＝3时，即N (3，0)时，△的面积最大；(3)当N (3，0)时，N 为边中点，由∥推出M 为边中点，根据直角三角形中线定理可得＝，利用勾股定理，易得＝2，＝4，即可求出＝.解：(1)将点B ，点C 的坐标分别代入y ＝2＋＋4，得解得a ＝－，b ＝.∴该二次函数的表达式为y ＝－x 2＋x ＋4；(2)设点N 的坐标为(n ，0)(－2＜n ＜8)；则＝n ＋2，＝8－n .∵B (－2，0)，C (8，0)，∴＝10.图6－3－1令x ＝0，得y ＝4，∴A (0，4)，＝4，∵∥，∴＝＝.∵＝4，＝10，∴S △＝·＝20.S △＝·＝(n ＋2)×4＝2(n ＋2)，又∵＝＝，∴S △＝S △＝(8－n )(n ＋2)＝－(n －3)2＋5.∴当n ＝3时，即N (3，0)时，△的面积最大；(3)当N (3，0)时，N 为边中点．∴M 为边中点，∴＝，∵＝＝＝2，＝＝＝4，∴＝，∴＝.2．(20分)[2019·贵港]如图6－3－2，抛物线y ＝2＋－5(a ≠0)与x 轴交于点A (－5，0)和点B (3，0)，与y 轴交于点C .(1)求该抛物线的表达式；(2)若E 为x 轴下方抛物线上的一动点，当S △＝S △时，求点E 的坐标；(3)在(2)的条件下，抛物线上是否存在点P ，使∠＝∠？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)把A ，B 两点坐标代入表达式，可得解得∴抛物线的表达式为y ＝x 2＋x －5；(2)在y ＝x 2＋x －5中，令x ＝0，可得y ＝－5，∴点C 坐标为(0，－5)，图6－3－2∵S△＝S△，且点E在x轴下方，∴点E纵坐标和点C纵坐标相同，当y＝－5时，代入可得x2＋x－5＝－5，解得x＝－2或x＝0(舍去)，∴点E坐标为(－2，－5)；(3)假设存在满足条件的P点，其坐标为，如答图，连结，，，过点E作⊥于点D，过点P作⊥x轴于点Q，则＝＋＝5＋m，＝，在△中，＝＝5，则＝5，∠＝∠＝45°，由(2)可得＝2，在△中，可得＝＝，∴＝－＝5－＝4，当∠＝∠时，则△∽△，∴＝，即＝，∴m2＋m－5＝(5＋m)或m2＋m－5＝－(5＋m)，当m2＋m－5＝(5＋m)时，整理可得4m2＋5m－75＝0，解得m＝或m＝－5(与点A重合，舍去)，当m2＋m－5＝－(5＋m)时，整理可得4m2＋11m－45＝0，解得m＝或m＝－5(与点A重合，舍去)，∴存在满足条件的点P，其横坐标为或.(40分)第2题答图3．(20分)[2019·南宁]如图6－3－3，已知抛物线经过原点O ，顶点为A (1，1)，且与直线y ＝x －2交于B ，C两点．(1)求抛物线的表达式及点C 的坐标；(2)求证：△是直角三角形；(3)若N 为x 轴上的一个动点，过点N 作⊥x 轴与抛物线交于点M ，则是否存在以O ，M ，N 为顶点的三角形与△相似？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】 (1)∵顶点坐标为(1，1)，∴设抛物线表达式为y ＝a (x －1)2＋1，又∵抛物线过原点，∴0＝a (0－1)2＋1，解得a ＝－1，∴抛物线的表达式为y ＝－(x －1)2＋1，即y ＝－x 2＋2x ，联立抛物线和直线表达式，可得解得或∴B (2，0)，C (－1，－3)；(2)证明：如答图，分别过A ，C 两点作x 轴的垂线，交x 轴于D ，E 两点， 则＝＝＝1，＝＋＝2＋1＝3，＝3.∴∠＝∠＝45°，即∠＝90°，∴△是直角三角形；(3)假设存在满足条件的点N ，设N (x ，0)，则M (x ，－x 2＋2x )，∴＝，＝|－x 2＋2，由(2)在△和△中，可分别求得＝，＝3，图6－3－3第3题答图∵⊥x 轴于点N ，∴∠＝∠＝90°，∴当△和△相似时有＝或＝，①当＝时，则有＝，即·|－x ＋2|＝，∵当x ＝0时M ，O ，N 不能构成三角形，∴x ≠0，∴|－x ＋2|＝，即－x ＋2＝±，解得x 1＝，x 2＝，此时点N 坐标为或；②当＝时，则有＝，即·|－x ＋2|＝3，∴|－x ＋2|＝3，即－x ＋2＝±3，解得x ＝5或－1，此时点N 坐标为(－1，0)或(5，0)，综上可知，存在满足条件的点N ，其坐标为或或(－1，0)或(5，0)．4．(20分)[2019·泸州]如图6－3－4，已知二次函数y ＝2＋＋c (a ≠0)的图象经过A (－1，0)，B (4，0)，C (0，2)三点．(1)求该二次函数的表达式；(2)点D 是该二次函数图象上的一点，且满足∠＝∠(O 是坐标原点)，求点D 的坐标；(3)点P 是该二次函数图象上位于第一象限内的一个动点，连结分别交，y 轴于点E ，F ，若△，△的面积分别为S 1，S 2，求S 1－S 2的最大值．【解析】 (1)根据待定系数法求解；(2)设直线与y 轴的交点为M (0，t )．根据∠＝∠列关于t 的方程求解t，从而可图6－3－4确定直线表达式，再求直线与抛物线交点坐标即可，注意分类讨论；(3)过点P作∥y轴交直线于点H，设P(t，2＋＋c)，根据直线表达式点H的坐标，计算线段长度；用t表示直线表达式，解出点E，F坐标从而可表示出线段，将S1－S2用t表示，根据二次函数性质求最值．解：(1)设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)(x－4)，∵抛物线图象过点C(0，2)，∴－4a＝2，解得a＝－.∴抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－4)，即y＝－x2＋x＋2；(2)设直线与y轴的交点为M(0，t)．∵∠＝∠，∴∠＝∠，∴∠＝∠＝2，∴＝2，即t＝±8.当t＝8时，直线表达式为y＝－2x＋8.联立解得∴D(3，2)．当t＝－8时，直线表达式为y＝2x－8.联立解得∴D(－5，－18)．综上：点D的坐标为(3，2)或(－5，－18)；(3)如答图，过点P作∥y轴交直线于点H，设，直线的表达式为y＝－x＋2，则，∴＝－＝－t2＋2t；第4题答图直线的表达式为y＝(x＋1)，取x＝0，得y＝2－t；故，＝2－＝t；联立解得＝，∴S1＝(－)(－)＝，S2＝··.∴S1－S2＝－··＝－t2＋4x＝－＋.∴当t＝时，S1－S2有最大值，最大值为.(20分)5．(20分)[2019·金华]在平面直角坐标系中，O为原点，平行于x轴的直线与抛物线L：y＝2相交于A，B两点(点B在第一象限)，点D在的延长线上．(1)已知a＝1，点B的纵坐标为2.①如图6－3－5①，向右平移抛物线L使该抛物线过点B，与的延长线交于点C，求的长；②如图②，若＝，过点B，D的抛物线L2，其顶点M在x轴上，求该抛物线的函数表达式；(2)如图③，若＝，过O，B，D三点的抛物线L3的顶点为P，对应函数的二次项系数为a3，过点P作∥x轴交抛物线L于E，F两点，求的值，并直接写出的值．图6－3－5解：(1)①对于二次函数y＝x2，当y＝2时，2＝x2，解得x1＝，x2＝－，∴＝2.∵平移得到的抛物线L1经过点B，∴＝＝2，∴＝4；②如答图①，记抛物线L2的对称轴与相交于点N.根据抛物线的轴对称性，得＝＝，∴＝.设抛物线L2的函数表达式为y＝a2·.由①得，点B的坐标为，∴2＝a2·，解得a2＝4.∴抛物线L2的函数表达式为y＝4；即y＝4x2－12x＋18.第5题答图(2)如答图②，设抛物线L3与x轴交于点G，其对称轴与x轴交于点Q，过点B作⊥x轴于点K.设＝t，则＝＝2t，点B的坐标为(t，2)，根据抛物线的轴对称性，得＝2t，＝2＝4t.设抛物线L3的函数表达式为y＝a3x(x－4t)，∵该抛物线过点B(t，2)，∴2＝a3t(t－4t)，又∵t≠0，∴＝－，由题意得，点P的坐标为(2t，－4a3t2)，则－4a3t2＝2，解得x1＝t，x2＝－t，＝t，∴＝.。