上海高一数学练习题

一、填空题1．已知、，且，（其中为虚数单位），则____________． 1z 2C z ∈12i z =+234z i =-i 12z z -=【答案】##15i -+5i 1-【分析】利用复数的减法化简可得结果. 【详解】. 122i 34i 15i z z -=+-+=-+故答案为：.15i -+2．已知，,且、的夹角为，则______． 2= a 3b = a bπ3a b -=【分析】根据求出，根据即可求出.cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅ a b ⋅a ab - 【详解】因为，，且、的夹角为，2= a 3b = a bπ3∴，1cos ,2332a b a b a b ⋅=⋅⋅=⨯⨯=∴. a ==. 3．已知复数满足（其中为虚数单位），则=___________． z 13i2i z+=i z【分析】根据复数的除法法则及复数的摸公式即可求解.【详解】由，得， 13i2i z+=()()()i i 2i 213i 13i 3i 1222i 3i z ⨯-⨯-++-====-=4．在中，，则_______ABC A 60,6,5B AB BC ∠=== AB BC ⋅=【答案】15-【分析】利用平面向量的数量积的运算即可得到答案. 【详解】因为，60,6,5B AB BC ∠=== 所以.()1cos 1806065152AB BC AB BC ⎛⎫⋅=⋅-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭故答案为：.15-5．正方体中，M 、N 分别是棱BC ，CC 1的中点，则直线MN 与D 1C 的位置关系1111ABCD A B C D -是______. 【答案】异面【分析】由异面直线的定义即可判断.【详解】正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱BC ，CC 1的中点， ∵平面，平面DCC 1D 1，， MN 11DCC D N =1D C ⊂1N D C ∉∴直线MN 与D 1C 的位置关系是异面．故答案为：异面．6．已知关于的实系数一元二次方程有一个模为1的虚根，则实数的取值为x 2220x kx k k ++-=k ______.【分析】根据实系数一元二次方程有虚根的性质，结合根与系数关系、复数与其共轭复数乘积的关系，可以求出实数的取值为k 【详解】因为关于的实系数一元二次方程有一个模为1的虚根，所以方程x 2220x kx k k ++-=的判别式小于零，即，2220x kx k k ++-=22(2)4()00k k k k --<⇒<关于的实系数一元二次方程有一个模为1的虚根，所以两根是互为共轭的虚x 2220x kx k k ++-=根，设为，而由题意可知：，由根与系数的关系可得：，而，,z z 1z z ==2z z k k ⋅=-1z z z ⋅==因此有210z z k k k k k ⋅=-=⇒=<∴=【点睛】本题考查了实系数一元二次方程有虚根的条件，考查了实系数一元二次方程有虚根的性质，考查了互为共轭的两个复数乘积的性质，考查了数学运算能力.7．如图，在长方体中，，，则直线与平面所成角1111ABCD A B C D -4AB BC ==12AA =1BC 11BB D D 的正弦值为__________.【分析】过作，垂足为，则平面，则即为所求角，从而可得1C 111C H B D ⊥H 1C H⊥11BB D D 1C BH ∠结果.【详解】依题意，画出图形，如图，过作，垂足为， 1C 111C H B D ⊥H 可知点H 为中点，4,AB BC ==由平面，1BB ⊥11A C 可得，又 11C H BB ⊥1111D B BB B ⋂=所以平面， 1C H ⊥11BB D D 则即为所求角， 1C BH ∠因为，， 4AB BC ==12AA=所以，111sin CH C BH BC ∠===8．如图，在直角三角形ABC 中，斜边AB ＝4，，以斜边AB 为一边向外作矩形,63ABC ππ∠⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ABMN ，且BM ＝2（其中点M 、N 与C 在直线AB 两侧），则的取值范围是________．CM CN ⋅【答案】4,12]【分析】设，以为原点直线、分别为轴、轴，建立平面直角坐标,63ABC ππθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭C CB CA x y 系，把表示为关于的三角函数可解决此题．CM CN ⋅θ【详解】解：设，，以为原点直线、分别为轴、轴，建立平面直角(6ABC πθ∠=∈3πC CB CA x y 坐标系，如图所示：则，，，(4cos 2sin ,2cos )M θθθ+(2sin ,4sin 2cos )N θθθ+(0,0)C∴()()4cos 2sin 2sin 2cos 4sin 2cos CM CN θθθθθθ⋅=+⋅++． 228sin cos 4sin 8sin cos 4cos 8sin 24θθθθθθθ=+++=+，，，，， (6πθ∈ )3π2(3πθ∴∈2)3πsin 2θ∴∈⎤⎥⎦． 8sin 24θ∴+∈(4,12⎤⎦故答案为：．(4,12⎤+⎦【点睛】本题考查平面向量的数量积的取值范围问题，对于较为复杂的一些问题，建立坐标系，利用坐标法求平面向量的数量积的取值范围是行之有效的方法．二、单选题9．已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，ABCD E F AB BC AB a =AD b =则等于（ ）EFA ．B ．C ．D ．()12a b + ()12a b - ()12b a - 12a b + 【答案】A【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案； 【详解】连结，则为的中位线，AC AC ABC A ，∴111222EF AC a b ==+故选：A10．设复数z =a +b i(a ，b ∈R )，若与互为共轭复数，则复数z 在复平面内对应的点位于i a -2i b +（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】根据共轭复数的概念求出即可判断.,a b 【详解】因为与互为共轭复数，所以， i a -2i b +2,1a b ==则复数z 在复平面内对应的点位于第一象限. ()2,1故选：A.11．以下数都在复数范围内（1）如果，则，； i 12i a b +=-1a =2b =-（2）1z +（3）；()()221212z z zz ⋅=⋅（4）若，则. ()()22120z z z z -+-=12z z z ==其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】利用复数的运算性质逐项分析即可 【详解】（1）错误,因为可以是复数,a b （2）错误,设,其中.111222i,i z x y z x y =+=+1212,,,R x x y y ∈()()()()22221212121212i .z z x x y y x x y y +=+++=+++()()()()()()()222212121212121212i 2i z z x x y y x x y y x x y y ⎡⎤+=+++=+-++++⎣⎦显然,从而()221212z z z z +≠+12z z +≠（3）正确,()()()2222221212121212z z z z z z z z z z ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅（4）错误,,则与互为相反数,复数范围内允许为负数,如()()22120z z z z -+-=()21z z -()22z z - 12i,0,1i z z z ===+故选：B12．如图，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂 足为点H ．则以下命题中，错误的命题是A ．点H 是△A 1BD 的垂心B ．AH 垂直平面CB 1D 1C ．AH 的延长线经过点C 1D ．直线AH 和BB 1所成角为45° 【答案】D【详解】因为三棱锥A －A 1BD 是正三棱锥，故顶点A 在底面的射影是底面的中心，A 正确；平面A 1BD ∥平面CB 1D 1，而AH 垂直于平面A 1BD ，所以AH 垂直于平面CB 1D 1，B 正确；根据对称性知C 正确，故选D.三、解答题13．已知.(1,0),(2,1)a b ==(1)若,且、、三点共线,求的值. 2,AB a b BC a mb =-=+A B C m (2)当实数为何值时,与垂直? k ka b - 2a b +【答案】(1)12-(2) 125【分析】（1）根据题意，由、、三点共线，可得与共线，列出方程即可得到的值；A B C ABBC m （2）根据题意，由平面向量垂直的坐标运算，代入公式，即可得到结果.【详解】（1）由题意可得，， ()()0,1,12,AB BC m m =-=+且、、三点共线，则可得，A B C AB BC λ=即，解得()0121m mλλ⎧=+⎨-=⎩12m =-（2）由题意可得，， ()()2,1,25,2ka b k a b -=--+=因为与垂直，则可得ka b - 2a b +()()52210k -+⨯-=解得 125k =14．已知复数． ()121i,z m m m R =-++∈(1)求||的最小值；1z (2)若复数为纯虚数，复数满足，，求． 1z 2z 24=z12||5z z +=12z z 【答案】(2)3i 4±【分析】（1）由复数模的公式，求得1z ==质，即可求解；（2）根据复数的分类，列出方程组求得，设，结合题意，得到13i z =2z a bi =+()123iz z a b +=++，列出方程组，求得的值，即可求解.,a b 【详解】（1）解：由复数，()121i,z m m m R =-++∈可得1z==≥=故当时，的最小值为 12m =1z （2）解：因复数是纯虚数，所以，解得，故()121i z m m =-++2010m m -=⎧⎨+≠⎩2m =13i z =设，则，2i,,)(z a b a b R =+∈()123i z z a b +=++由题意得，解之得或，所以或， ()222216325a b a b ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩40a b =⎧⎨=⎩40a b =-⎧⎨=⎩24z =24z =-所以. 123i 4z z =±15．如图，已知在长方体中，，，点是的中点．1111ABCD A B C D -3DA DC ==15DD =E 1D C(1)求证：平面；1AD ∥EBD (2)求异面直线与所成角的余弦值． 1AD DE 【答案】(1)证明见解析； (2). 2534【分析】(1)如图，根据中位线的性质可得，由线面平行的判定定理即可证明； 1//OE AD (2)由(1)可知为异面直线与所成角的平面角，利用勾股定理分别求出DEO ∠1AD DE DO OE DE 、、的值，结合余弦定理计算即可.【详解】（1）连接AC ，交BD 于点O ，则O 为AC 的中点，又因为E 为的中点，连接，则， 1CD OE 1//OE AD ∵平面EBD ，平面EBD ，1AD ⊄OE ⊂平面EBD ；∴1AD ∥（2）由(1)知，，1//OE AD 所以为异面直线与所成角的平面角， DEO ∠1AD DE 在中，DEO A 11122DO DB OE AD ====， DE ==由余弦定理，得，22225cos 234DE OE OD DEO DE OE +-∠===⋅故异面直线与所成角的余弦值为. 1AD DE 2534。

1上海中学2023学年第一学期高一年级数学期末2024.01一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．函数224y x x =−+的图像关于直线________成轴对称． 2．已知函数()21,2,lg ,2,x x f x x x +<= ≥ 则()()()05f f f +=________．3．已知扇形的弧长和半径都是4，则扇形的面积为________．4．已知点()sin ,cos P αα在第二象限，则角α的终边在第________象限．5．化简：4224441sin cos sin cos sin cos θ⋅θ+θ⋅θ=−θ−θ________．6．若函数()1f x x a =−+在区间[)1,+∞上是严格增函数，则实数a 的取值范围为______． 7．函数()21yf x =−的定义域为()0,1，则函数()1yf x =−的定义域为________．8．函数3132xx y −=−的值域是________．9．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，且当0x >时，其表达式为()22x f x x =+，则当0x <时，其表达式为()f x =________．10．已知函数()3log ,034,3x x f x x x <<= −≥，若存在0a b c <<<满足()()f a f b ==()f c ，则()()f a f c abc的取值范围为________．11．已知函数()f x ，()g x ，()h x 的定义域均为R ．给出以下3个命题： （1）()f x 一定可以写成一个奇函数和一个偶函数之差；（2）若()f x 是奇函数，且在().0−∞是严格减函数，则()f x 在R 上是严格减函数； （3）若()()f x g x +，()()g x h x +，()()h x f x +在R 上均是严格增函数；则()f x ，()g x ，2()h x 中至少有一介在R 上是严格增函数．其中，假命题的序号为________．12．已知函数()f x 满足：()()()()22114f x f x f x f x +−++−=则下列三个结论： （1）()()()()2220242024186518654f f f f −+−=；（2）()()20232024f f =； （3）()()202418654f f +≤．其中正确的结论是________． 二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分) 13．若幂函数()()22235mm f x mm x −−=+−的图像不经过原点，则m 的值为（ ）A ．2B ．3−C ．3D ．3−或214．存在函数()f x 满足：x R ∀∈都有（ ） A ．()31fx x +=B ．211f x x=−C ．()211f x x +=+D ．()221f x x x +=+15．已知函数()()1,0,2,0,x x f x x x x +< =−≥ 若(1)f x −在区间I 上恒负，且是严格减函数，则区间I 可以是（ ）．A ．()2,1−−B ．()1,0−C ．()0,1D ．()1,216．定义域和值域均为[],a a −（常数0a >）的函数()y f x =和()y g x =的图像如图所示，给出下列四个命题：其中正确的个数是（ ）． （1）函数()()f g x 有且仅有三个零点； （2）函数()()g f x 有且仅有三个零点； （3）函数()()f f x 有且仅有九个零点； （4）函数()()g g x 有且仅有一个零点，A ．1B ．2C ．3D ．43三、解答题(共5道大题,其中17题14分,18题14分,19题14分,20题16分,21题18分,共计76分)17.（本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题7分,第（2）小题7分.)已知函数()f x 是R 上的严格增函数，()g x 是R 上的严格减函数，判断函数()()f x g x −的单调性，并利用定义证明．18.(本题满分14分.本题共2小题，第（1）小题8分,第（2）小题6分.) 在下面的坐标系中画出下列函数的图像： （1）2y x −=（2）22x y =−．419.(本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题6分,第（2）小题8分.) 解下列关于x 的方程：（1）162log log 163x x +=； （2）()()2416290x x x a a a −+⋅−−⋅=．20.（本题满分16分.本题共有3小题,第(1)小题满分4分,第（2）小题满分6分.第 (3)小题满分6分)某地中学生社会实践小组为研究学校附近某路段交通拥堵情况，经实地调查、数学建模，得该路段上平均行车速度v （单位：km/h ）与该路段上的行车数量n （单位：辆）的关系为：2600,9,1033000,10,n n v n n k ≤ += ≥ + 其中常数k R ∈．该路段上每日t 时的行车数量22(125)100n t =−−−+，[)0,24t ∈，t Z ∈．已知某日17时测得的平均行车速度为3km/h ．（1）求实数k 的值；（2）定义q nv =，求一天内q 的最大值（结果四舍五入到整数）．521.（本题满分18分.本题共有3个小题,第（1）小题满分4分,第（2）小题满分6分,在第(3)小题满分8分)若对任意的1a b ≤<，()f x 在区间(],a b 上不存在最小值，且对任意正整数n ，当(),1x n n ∈+时有()()()()()()11f n f x f x f n f n f n −+−+=−+．（1）比较()f n 与()1f n +，*n N ∈的大小关系； （2）判断()f x 是否为[)1,+∞上的增函数，并说明理由； （3）证明：当1x ≥时，()()2f x f x >．6参考答案一、填空题1.1x =；2.1；3.8；4.四；5.12； 6.(],2−∞； 7.()0,2； 8.()1,1,2−∞∪+∞；9.212x x +； 10.10,3； 11.（3）； 12.（1）（3）； 二、选择题13.A ； 14.D ； 15.B ； 16.B16.定义域和值域均为[],a a −（常数0a >）的函数()y f x =和()y g x =的图像如图所示，给出下列四个命题：其中正确的个数是（ ）．（1）函数()()f g x 有且仅有三个零点； （2）函数()()g f x 有且仅有三个零点； （3）函数()()f f x 有且仅有九个零点； （4）函数()()g g x 有且仅有一个零点，A ．1B ．2C ．3D ．4B(1)方程()0f g x = 有且仅有三个解;()g x 有三个不同值,由于()y g x =是减函数,所以有三个解,正确;(2)方程()0g f x = 有且仅有三个解;从图中可知,()()0f x ,a ∈可能有1,2,3个解,不正确; (3)方程()0f f x = 有且仅有九个解;类似(2)不正确;(4)方程()0g g x = 有且仅有一个解.结合图象,()y g x =是减函数,故正确.7故选B . 三、解答题 17.严格增，证明略 18. 画图略 19. （1）416x or =（2）①当0a ≤时，()23log 1x a =−；②当01a <<时，()()122233log 1,log 2x a x a =−=；③当1a ≥时，()23log 2x a =20.某地中学生社会实践小组为研究学校附近某路段交通拥堵情况，经实地调查、数学建模，得该路段上平均行车速度v （单位：km/h ）与该路段上的行车数量n （单位：辆）的关系为：2600,9,1033000,10,n n v n n k≤ +=≥ + 其中常数k R ∈．该路段上每日t 时的行车数量22(125)100n t =−−−+，[)0,24t ∈，t Z ∈．已知某日17时测得的平均行车速度为3km/h ．（1）求实数k 的值；（2）定义q nv =，求一天内q 的最大值（结果四舍五入到整数）． （1）1000k = （2）522(1)由17时测得的平均行车速度为3/km h ,得100n =, 代入*2600,9,1033000,10,……n n vn N n n k +∈ +,可得2330003100k =+,解得1000k =. (2)①当9…n 时,60060010101nq nv n n===++为增函数,所以6009300109…q ×<+; ②当10…n 时,330001000q nv n n==+在(0,上单调递增,在,)+∞上单调递减,8且由()31.631.7,知,当31,32n n ==时,较大的q 值为最大值, 分别代入31n =和32n =计算,结果均约为522,故522max q ≈. 综上可知,一天内车流量q 的最大值为522.21.若对任意的1a b ≤<，()f x 在区间(],a b 上不存在最小值，且对任意正整数n ，当(),1x n n ∈+时有()()()()()()11f n f x f x f n f n f n −+−+=−+．（1）比较()f n 与()1f n +，*n N ∈的大小关系； （2）判断()f x 是否为[)1,+∞上的增函数，并说明理由； （3）证明：当1x ≥时，()()2f x f x >．（1）()f n <()1f n + （2）不是 （3）证明见解析（3）①首先证明对于任意*n N ∈,()()1.f n f n <+当()1x n,n ∈+时,由()()()()()()11f n f x f x f n f n f n −+−+=−+∣∣ 可知()f x 介于()f n 和()1f n +之间.若()()1,…f n f n +则()f x 在区间(]1n,n +上存在最小值()1f n +,矛盾. 利用归纳法和上面结论可得：对于任意*,k n N ∈,()(),.n k f n f k <<当时 ②其次证明当1…n 且x n >时,()()f x f n >;当2…n 且x n <时,()()…f x f n . 任取x n >,设正整数k 满足1剟n k x k <+,则()()()()1剟剟f n f k f x f k …+. 若存在01厖k x k n +>使得()()0…f x f n ,则()()()()00剟?f x f n f k f x , 即()()0f k f x =.由于当()1x k ,k ∈+时,()()…f k f x , 所以()f x 在区间(0k ,x 有最小值()0f x ,矛盾.9类似可证,当2…n 且x n <时,()()…f x f n .③最后证明:当1…x 时,()()2f x f x >.当1x =时,()()21f f >成立.当1x >时,由21x x x −=>可知,存在*n N ∈使得2x n x <<,所以()()()2…f x f n f x <.当()1x n,n ∈+时,有:()()()()()()11f n f x f x f n f n f n −+−+=−+∣∣ 若()()1f n f n =+,则()()()1,f x f n f n ==+所以()f x 在(]1n,n +上存在最小值,故不具有性质p ,故不成立.若()()1f n f n ≠+,则()(){}()()(){},11min f n f n f x max f n ,f n +<<+假设()()1f n f n +<,则()f x 在(]1n,n +上存在最小值,故不具有性质p ,故假设不成立. 所以当()1x n,n ∈+时,()()()1f n f x f n <<+对于任意*n N ∈都成立. 又()()1f n f n <+,故当()*m n m n N <∈、所以()()()()11,f m f m f n f n <+<…<−<即()()f m f n <.所以当x n <时,则存在正整数m 使得1剟m x m n −<,则()()()()1剟f m f x f m f n −< 所以当x n <时,()()f x f n <,同理可证得当x n >时,()()f x f n >.所以当1x >时,必然存在正整数n ,使得2x n x <<,所以()()()2f x f n f x <<; 当1x =时,()()21f f >显然成立; 所以综上所述:当1…x 时,()()2f x f x >.。

第四章幂函数、指数函数和对数函数（下）三、对数4.4对数概念及其运算四、反函数4.5反函数的概念五、对数函数4.6对数函数的图像与性质六、指数方程和对数方程4.7简单的指数方程 4.8简单的对数方程第五章三角比一、任意角的三角比5.1任意角及其度量 5.2任意角的是那叫比二、三角恒等式5.3同角三角比的关系和诱导公式5.4两角和与差的余弦、正弦和正切5.5二倍角与半角的正弦、余弦和正切三、解斜三角形5.6正弦定理、余弦定理和解斜三角形1、当a ＞1时,函数y=a -x 与y=log a x 的图像？2、函数)45(log 1x x y -=+的定义域是？3、2log 31,21log 31,3log 21,31log 21的大小关系式是4、函数与的图象关于什么对称？5、方程lg lg(3)1x x ++=的解x =_______6、已知log a 3=m,log a 4=n, 则a 2m+ny x =3y x =--37、解方程：9x＋4x=25·6x.8、已知2lg2yx =lgx＋lgy,求yx的值.1、将74πα=-化为k πθ+（k Z ∈）的形式，则当θ最小时，θ的值是_______。

30°角转化为弧度制__________2、始边与x 轴正半轴重合，终边与－330°对称的角的集合为？3、角α的始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(),a a （0a ≠），则sin α=__________。

4、角α是第三象限角，且cos 02α<，则2α是第_____象限角。

5、设2sin cos 5sin 3cos θθθθ+=--，则sin 2θ＝________。

6、化简：sin 7cos15sin 8cos 7sin15sin 8︒+︒︒=︒-︒︒__________。

7、在△ABC 中，若222sin sin sin 1sin sin A B C B C--=，则A ＝______。

第1章 集合和命题1. （本P7例2）被3除余2的自然数全体组成的集合B =____________________。

2. (本P9例3）设A ={1，2，3，4｝,B ={1，2｝,试求集合C ,使C A ⊂≠且B C ⊆.3. （本P11例1）设集合A =｛(,)|210x y x y +=},B ={(,)|35x y x y -=｝，求A B ，并且说明它的意义。

4. （本P12例4）已知A ={|2x x k =,k ∈Z ｝,B ={|21x x k =-,k ∈Z },求A B 和A B .5. （本P23例2）设α:13x ≤≤，β：124m x m +≤≤+，m ∈R ,α是β的充分条件，求实数m 的取值范围。

6. （本P24。

1）已知α：0xy >，β：||||||x y x y +=+，则α是β的_________条件; 已知α：整数的13，β：与整数相差13的数,则α是β的_____________条件。

7. （册P3. 2）已知集合M =｛2|60x x x +-=}，集合N =｛|20y ay +=},且N M ⊆，求实数a 的值.8. (册P3. 6原题作为2009年高考试题）已知集合A =｛|1x x ≤},集合B ={|x x a ≥}，且=B A R ，求实数a 的取值范围。

9. (册P4. 2）已知集合A =｛1，4，x },集合B ={1，2x ｝，且A B A =，求x 的值及集合A 、B 。

10. （册P5. 4）已知集合U =｛|2x x ≥}，A ={|34y y ≤<},B =｛|25z z ≤<｝，求U A B ,U B A .11. （册P6。

6（2））如果命题A 的逆命题是B ，命题A 的否命题是C ,那么命题B 是命题C 的___________命题。

12. （册P7。

2(2））由命题甲成立，可推出命题乙不成立，下列说法一定正确的是（ ）（A ）命题甲不成立，可推出命题乙成立 （B)命题甲不成立,可推出命题乙不成立(C)命题乙成立，可推出命题甲成立 (D)命题乙成立，可推出命题甲不成立13. （册P8. 1）命题“x M ∈或x P ∈"是命题“x M P ∈”的____________条件.14. (册P8。

上海高一数学练习册答案一、选择题1. 函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 5 \)的图像与x轴的交点个数是：A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个答案：C2. 若\( a \neq 0 \)且\( ax^2 + bx + c = 0 \)有一个根为1，则下列哪个选项是正确的？A. \( b = -a \)B. \( c = a \)C. \( a + b + c = 0 \)D. \( a - b + c = 1 \)答案：C3. 已知\( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \)，那么\( \cos60^\circ \)的值是：A. \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)B. \( \frac{1}{2} \)C.\( \frac{1}{\sqrt{2}} \) D. \( \frac{1}{\sqrt{3}} \) 答案：A二、填空题1. 若\( \tan 45^\circ = 1 \)，则\( \cot 45^\circ \)的值为______ 。

答案：12. 等差数列\( \{a_n\} \)的首项为2，公差为3，第10项为______ 。

答案：32三、解答题1. 解不等式\( |x - 3| < 2 \)。

解：不等式\( |x - 3| < 2 \)可以转化为\( -2 < x - 3 < 2 \)，进一步得到\( 1 < x < 5 \)。

2. 已知函数\( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \)，求导数\( f'(x) \)。

解：根据导数的定义，\( f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \)。

四、证明题1. 证明：对于任意实数\( x \)，都有\( 1 + x + x^2 \geq 0 \)。

证明：首先，当\( x = 0 \)时，不等式显然成立。

当\( x \neq 0 \)时，考虑函数\( g(x) = 1 + x + x^2 \)，求导得到\( g'(x) = 1+ 2x \)。

高一练习题汇总第一章 集合和命题1.1 集合及其表示法练习：1．11．判断下列各组对象能否构成集合，若能构成集合，指出是有限集还是无限集，若不能构成集合，请你说明理由：（1）上海市各区县名称；（2）末位数是３的自然数；（3）我们班的高个子同学．2.用∈、∉填空：12*N ； 1 -Z ； -2 R ；2 N ；； 0 ∅.3．用列举法表示下列集合：（1）组成中国国旗的颜色名称的集合；（2）绝对值小于４的整数组成的集合；４．用描述法表示下列集合：（１）偶数组成的集合；（２）平面直角坐标系内第一象限的点组成的集合．答案：练习：1．1１．（1）能；有限集（2）能；无限集（3）不能．２．∉∉∈∈∉∉；；；；；３．（1）｛红色，黄色｝（2）}3210{±±±，，，４．（1）}2{Z n n x x ∈=，（2）},,0,0),({R y x y x y x ∈>>说明：１．对集合概念由感性认识上升到理性认识，理解集合中元素的确定性及集合的分类．２．正确认识、理解元素与集合的关系．３．认识集合的表示方法，区分列举法与描述法的异同，能按要求表示集合．渗透德育教育．1.2 集合之间的关系练习：1.2１．判断下列说法是否正确：（１）对于任意集合A ，总有A A ⊆ ；（２）任意一个集合至少有两个不相等的子集；（３）若A a ∈且B A ⊆，则 B a ∈ ； （４）若B A ⊆且C A ⊆ ，则 C B =．２．用适当的符号（≠⊃,⊆=⊇,,,≠⊂）填空：（１）}{a },,{c b a ； （２）},,{b c a},{b a ； （３）},,{c b a },,{b c a ； （４）∅ },,{c b a ．３．根据要求完成下列问题：（１）写出满足},{b a M ⊆的所有集合M ；（２）写出满足}{a ≠⊂},,{c b a M ⊆ 的一个集合M ．４．设平行四边形组成的集合为Ａ，矩形组成的集合为Ｂ，正方形组成的集合为Ｃ，用集合的图示法表示集合Ａ,Ｂ,Ｃ之间的包含关系．答案: 练习：1.2１．（1）正确（2）错误（3）正确（4）错误 ２．（1）⊆或≠⊂（2）≠⊃或⊇（3）=（4）⊆或≠⊂３．（1）∅，}{a ，}{b ，},{b a （2）},{b a 等４． （第四题）说明：１．对子集，集合相等定义的理解．２．进一步认识元素、集合之间的关系，加强对概念理解．３．根据条件写集合，再次认识子集与真子集．４．集合的图示法．文字语言与图形语言之间的转化．1.3 集合的运算练习：１．３（１）１．填空：（1）若B A ⊆，则=B A ；（2）B A A ； B A B ．２．下列各运算不正确是 （ ）（Ａ）A B B A =； （Ｂ）A A A = ； （Ｃ）φφ= A ； （Ｄ）A A =φ ． ３．设}3),{(+==x y y x A ，}13),{(-==x y y x B ，求B A ． ４．设}12{≤<-=x x A ，}30{≤<=x x B ，求B A ，并在数轴上表示出来．答案：练习：１．３（１）１．（1）A （2）⊆⊆;２．D３．{})5,2( ４．{}10≤<x x说明：１．对定义的理解．２．揭示交集的性质．３．回顾初中知识，加强对交集的认识．４．交集的运算，为后续学习作铺垫．与课本例题相呼应．练习：１．３（２）１．求Z R N Q ,．２．填空：（1）若B A ⊆，则=B A ；（2）A B A ；B A B B A ． ３．设}31{≤<-=x x A ，}04{<≥=x x x B 或，求B A ，B A ． ４．已知},3{N n n x x A ∈==，},6{N n n x x B ∈==，求B A ，B A ．答案：练习：１．３（２）１．Z Q ,２．（1）B （2）⊆⊆⊆,; ３．}43{≥≤=x x x B A 或 ，}01{<<-=x x B A４．A ，B说明：１．常用集合的运算，对旧知识的巩固与提高．２．新知识与旧知识之间的联系，即加强对知识的理解，又是对能力的提升．３．具体运算，对新知的巩固．对应课本例３．４．抽象的运算，进一步巩固新知，体现渐进性．对应课本例４．练习：１．３（3）１．若R U =，判断下列各运算是否正确：（１）C R Q Q U = ； （２）C ∅=Q Q U ；（３）C U （C A U ）A =； （４）C ∅U R =． ２．设}12{≤<-=x x A ，R U =，求C A U ．３．如果，},9{*∈<=N x x x U }7321{，，，=A ，}65431{，，，，=B ，求C A U C B U ，C )(B A U ．４．用图示法表示下列集合：（１）C A U C B U ； ２）C )(B A U ．答案：练习：１．３（3）１．（1）正确（2）正确（3）正确（4）正确 ２．}12{>-≤x x x 或３．{2，4，5，6，7，8}４． （第四题）说明：１．对补集的定义及性质的理解．２．补集的运算，对补集定义的进一步巩固．与课本例５相呼应３．补集的运算，可拓展．对应课本例６．４．图形语言与符号语言之间的互化．１．４ 命题的形式及等价关系练习1．4（1）1． 判断下列命题的真假：（1）素数是奇数（2）不含任何元素的集合是空集；（3）{}1是}2,1,0{的真子集；（4）0是}2,1,0{的真子集；（5）A 、B 为两集合，如果A ∩B=A ，那么 A B ≠⊂.（6）如果Ａ是Ｂ的子集，那么Ｂ不是A 的子集。

一、填空题1．已知集合，，则__________． {1,1,2}A =-{}20B x x x =+=A B = 【答案】{}1-【分析】可求出集合，然后进行交集的运算即可．B 【详解】解：，1，，，，{1A =- 2}{1B =-0}．{1}A B ∴=- 故答案为：．{}1-2．设a 、b 都为正数，且，则的最小值为________. 4a b +=11a b +【答案】1【分析】把变形为：利用已知，结合基本不等式进行求解即可. 11a b +1114()4a b ⨯⋅+【详解】因为a 、b 都为正数，所以有：， 111111114(()((2)(214444b a a b a b a b a b ⨯⋅+=+⋅+=⋅++≥⋅+=当且仅当时取等号，即时取等号，b a a b=2a b ==故答案为：13．函数，则______________. 2()1y f x x ==-1(3)f -=【答案】 53【解析】3在反函数的定义域中，它必在原函数的值域中，因为反函数与原函数的对应关系相反，故由解得值为所求. 231x =-x 【详解】由解得，所以. 231x =-53x =15(3)3f -=故答案为： 534．已知且，若，，则_______________.0a >1a ≠log 2a m =log 3a n =m n a +=【答案】6【解析】利用指数式与对数式的互化，再利用同底数幂相乘即可.【详解】，同理：log 2,2m a m a =∴= 3n a =∴236m n m n a a a +==⨯=故答案为：6【点睛】对数运算技巧：(1)指数式与对数式互化；(2)灵活应用对数的运算性质；(3) 逆用法则、公式；(4) 应用换底公式，化为同底结构．5．已知函数，是偶函数，则的值为______．()()221f x ax b x =+++22,x a a ⎡⎤∈-⎣⎦a b +【答案】1-【分析】根据奇偶定义可建立方程求解即可.【详解】由题意得，所以，所以.2220202b a a a a +=⎧⎪-+=⎨⎪-<⎩1,2a b ==-1a b +=-故答案为：1-6．若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为______．22mm y x -++=m R m 【答案】或01【分析】依题意可得，解得的取值范围，再由为整数，求出参数的值.220m m -++>m m 【详解】由题意得，解得，又为整数，所以或.220m m -++>12m -<<m 0m =1故答案为：或017．用“二分法”求方程在区间内的实根，首先取区间中点进行判断，那么下一340x x +-=()1,32x =个取的点是______．x =【答案】1.5## 32【分析】先确定函数单调性，根据二分法求解即可得解.【详解】设函数，易得函数为严格增函数，3()4f x x x =+-因为，，(1)20f =-<(2)60f =>所以下一个有根区间是，(1,2)那么下一个取的点是．1.5x =故答案为：1.58．已知函数的最小值为-2，则实数a =________.22([0,1])y x ax x =+∈【答案】 32-【分析】根据二次函数的对称轴与所给区间的相对位置进行分类讨论求解即可.【详解】，所以该二次函数的对称轴为：，222()2()y f x x ax x a a ==+=+-x a =-当时，即，函数在时单调递减，1a ≤-1a ≤-2()2f x x ax =+[0,1]x ∈因此，显然符合； min 3()(1)1222f x f a a ==+=-⇒=-1a ≤-当时，即时，； 01a <-<10a -<<2min ()2f x a a =-=-⇒=10a -<<当时，即时，函数在时单调递增，0a -≤0a ≥2()2f x x ax =+[0,1]x ∈因此，不符合题意，综上所述：， min ()(0)02f x f ==≠-32a =-故答案为： 32-9．设方程的实根，其中k 为正整数，则所有实根的和为22log 1122x a a --=-+12,,,k x x x ______．【答案】4【分析】画出的图象，由图象的特征可求.2()log 11g x x =--【详解】令，，2()|log ||1|f x x =-22()|log ||1||log ||1|()f x x x f x -=--=-=所以函数图象关于轴对称，2()|log ||1|f x x =-y 令，则的图象关于直线对称，2()log 11g x x =--()(1)g x f x =-1x =因为方程的实根，可以看作函数的图象与直线22log 1122x a a --=-+2()log 11g x x =--的交点横坐标.222y a a =-+由图可知方程有4个实根，且关于直线对称.22log 1122x a a --=-+1x =所以.12344x x x x +++=故答案为：4.10．设函数，，如果对任意的实数，任意的实数，不等()2x f x =2()2g x x x a =-+1[1,2]x ∈2[1,2]x ∈式恒成立，则实数a 的取值范围为________．()()121f x g x -≥【答案】(,1][6,)-∞+∞U【分析】分别求出函数，在上的值域，把问题转化为关于的不等式()2x f x =2()2g x x x a =-+[1,2]a 组，求出解集即可【详解】解：因为在上为增函数，()2x f x =[1,2]所以，min max ()(1)2,()(2)4f x f f x f ====所以在上的值域为，()2x f x =[1,2][2,4]因为的对称轴为直线，2()2g x x x a =-+1x =所以在上为增函数，2()2g x x x a =-+[1,2]所以，min max ()(1)1,()(2)g x g a g x g a ==-==所以在上的值域为，2()2g x x x a =-+[1,2][1]a a -,因为对任意的实数，任意的实数，不等式恒成立，1[1,2]x ∈2[1,2]x ∈()()121f x g x -≥所以，解得， (1)4121a a ⎧--≥⎪⎨-≥⎪⎩4613a a a a ≤≥⎧⎨≤≥⎩或或所以或，1a ≤6a ≥所以实数a 的取值范围为，(,1][6,)-∞+∞U 故答案为：(,1][6,)-∞+∞U 【点睛】此题考查函数在闭区间上的最值问题和不等式恒成立问题，考查了数学转化思想，解题的关键是求出函数，在上的值域，把问题转化为，从而()2x f x =2()2g x x x a =-+[1,2](1)4121a a ⎧--≥⎪⎨-≥⎪⎩可求出实数a 的取值范围，属于中档题二、单选题11．已知x ，y 是实数，则“”是“”的（ ）x y >33x y >A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由充要条件的定义求解即可【详解】因为 ， 2233223()()()24y y x y x y x xy y x y x ⎡⎤⎛⎫-=-++=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦若，则， x y >223()024y y x y x ⎡⎤⎛⎫-++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦若，则，即， 223()024y y x y x ⎡⎤⎛⎫-++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦0x y ->x y >所以 ，即“”是“”的充要条件，33x y x y >⇔>x y >33x y >故选：C.12．如果，那么（ ）12log 0.8log 0.80x x <<A ．B ． 2101x x <<<1201x x <<<C ．D ．121x x <<211x x <<【答案】C【分析】根据换底公式可得，再利用单调性可以判断C 正0.820.810.8log log 0log 1x x <<=0.8log y x =确.【详解】因为，则，12log 0.8log 0.80x x <<0.820.810.8log log 0log 1x x <<=又因为在上单调递减，0.8log y x =()0,∞+那么，121x x <<故选：C ．13．在同一直角坐标系中，二次函数与幂函数图像的关系可能为（ ） 2y ax bx =+(0)b a y x x =>A ． B ． C ．D ．【答案】A【分析】根据题意，结合二次函数和幂函数的性质依次分析选项，即可得到答案.【详解】对于A ，二次函数开口向上，则，其对称轴，则，即2y ax bx =+0a >b x 02a =->0b a<幂函数为减函数，符合题意；(0)b a y x x =>对于B ， 二次函数开口向下，则，其对称轴，则，即幂函数2y ax bx =+a<0b x 02a =->0b a <为减函数，不符合题意；(0)b a y x x =>对于C ，二次函数开口向上，则，其对称轴，则，即幂函数2y ax bx =+0a >12b x a=-=-2b a =为增函数，且其增加的越来越快，不符合题意；(0)b a y x x =>对于D ， 二次函数开口向下，则，其对称轴，则，即幂函2y ax bx =+a<0122b x a =->-01b a <<数为增函数，且其增加的越来越慢快，不符合题意；(0)b a y x x =>故选：A 【点睛】关键点点睛：本题考查函数图像的分析，在同一个坐标系中同时考查二次函数和幂函数性质即可得解，考查学生的分析试题能力，数形结合思想，属于基础题.14．若函数与在区间上都是严格减函数，则实数的取值范围为（ ） ||y x a =--1a y x =+[1,2]a A ．B ．C ．D ． (,0)-∞(1,0)(0,1]-⋃(0,1)(0,1]【答案】D【分析】由一次函数及反比例函数的单调性，结合图像变换即可得到实数的取值范围.a 【详解】函数的图像关于对称，||y x a =--x a =所以当，y 随x 的增大而减小，当，y 随x 的增大而增大.x a >x a <要使函数在区间上都是严格减函数，||y x a =--[1,2]只需； 1a ≤要使在区间上都是严格减函数，只需； 1a y x =+[1,2]0a >故a 的范围为.01a <≤故选：D三、解答题15．求下列不等式的解集：(1) 4351x x +>-(2)2332x x -<-【答案】(1)(1,8)(2)(1,)+∞【分析】（1）根据分式不等式及一元二次不等式的解法求解集.（2）应用公式法求绝对值不等式的解集.【详解】（1），故解集为； ()()4385018011x x x x x x +->⇔<⇔--<--(1,8)（2），|23|32322332x x x x x -<-⇔-+<-<-故解集为.(1,)+∞16．已知函数． ()22(11)1x f x x x =-<<-(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；()f x (2)判断函数的单调性并证明．()f x 【答案】(1)是奇函数，理由见解析()f x (2)在上单调递减，证明见解析()f x (1,1)-【分析】（1）根据函数奇偶性定义进行判断证明；（2）根据函数单调性定义进行证明.【详解】（1）是奇函数，理由如下：()f x 函数，则定义域关于原点对称， ()22(11)1x f x x x =-<<-因为，所以是奇函数； ()()221x f x f x x --==--()f x （2）任取，1211x x -<<<则 22121211221222221212222222()()11(1)(1)x x x x x x x x f x f x x x x x --+-=-=---- ， 1221211221222212122()2()2(1)()(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x -+-+-==----因为，所以， 1211x x -<<<2212211210,0,10,10x x x x x x +>->-<-<所以，所以在上单调递减.12())0(f x f x ->()f x (1,1)-17．将函数（且）的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到log 2a y x =-0a >1a ≠函数的图像．()y f x =(1)求函数的解析式()f x (2)设函数，若对一切恒成立，求实数m 的取值范围；()()()1f x f x F x a ++=()m F x <()1,x ∈-+∞(3)讨论关于x 的方程，在区间上解的个数． ()log ap f x x=()1,-+∞【答案】(1)()log (1)a f x x =+(2)(,0]-∞(3)答案见解析【分析】(1)由图象的平移特点可得所求函数的解析式；(2)求得的解析式，可得对一切恒成立，再由二次函数的性质可得所()F x (1)(2)m x x <++(1,)∈-+∞x 求范围；(3)将方程等价转化为且，根据题意只需讨论在区间()log a p f x x =1(1p x x x +=>-0)x ≠(1)p x x =+上的解的个数，利用图象，数形结合即可求得答案.(1,)-+∞【详解】（1）将函数且的图象向左平移1个单位，log 2(0a y x a =->1)a ≠得到的图象，再向上平移2个单位，得函数的图象； log (1)2a y x =+-()log (1)a f x x =+（2）函数，，()()()()()()()1log 1log 212a a f x f x x x F x a a x x +++++===++1x >-若对一切恒成立，()m F x <(1,)∈-+∞x 则对一切恒成立，(1)(2)m x x <++(1,)∈-+∞x 由在严格单调递增，得，(1)(2)y x x =++(1,)-+∞(1)(2)0y x x =++>所以，即的取值范围是；0m ≤m (,0]-∞（3）关于的方程 x ()log log (1)log aa a p p f x x x x=⇔+=且， 1(1p x x x ⇔+=>-0)x ≠所以只需讨论在区间且x ≠0上的解的个数．(1)p x x =+(1,)-+∞由二次函数且的图象得，(1)(1y x x x =+>-0)x ≠当时，原方程的解有0个； 1(,)4p ∈-∞-当时，原方程的解有1个； 1(0,)4p ⎧⎫∈-+∞⎨⎬⎩⎭当时，原方程的解有2个． 1(,0)4p ∈-18．其公司研发新产品，预估获得25万元到2000万元的投资收益，现在准备拟定一个奖励方案：奖金y （万元）随投资收益x （万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．(1)用数学语言列出公司对函数模型的基本要求；(2)判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由； ()1050x f x =+(3)已知函数符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 取值范围． ()1252g x a ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭【答案】(1)答案见解析(2)不符合，理由见解析(3) 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据函数单调性的定义以及最值的定义，结合题意中的不等关系，可得答案； （2）由（1）所得的三个条件，进行检验，可得答案；（3）利用幂函数的单调性，结合题意中的最值以及不等关系，可得不等式组，利用基本不等式，可得答案.【详解】（1）满足的基本要求是：①是定义域上的严格增函数，()f x ()f x [25,2000]②的最大值不超过75，③在上恒成立； ()f x ()5x f x ≤[25,2000]（2），不满足要求③，故不符合； ()1050x f x =+()5050115f =>（3）因为，所以函数满足条件①， 12a ≥()gx 由函数满足条件②得，解得()g x 2575≤a ≤由函数满足条件③得，对恒成立， ()gx 255x ≤[25,2000]x ∈即恒成立，2a ≤[25,2000]x ∈时取等号，所以． 2≥=25x =1a ≤综上所述，实数的取值范围是． a 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦19．已知函数 ()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩(1)设k 、m 均为实数，当时，的最大值为1，且满足此条件的任意实数x 及m 的(],x m ∈-∞()f x 值，使得关于x 的不等式恒成立，求k 的取值范围；()()22310f x m k m k ≤--+-(2)设t 为实数，若关于x 的方程恰有两个不相等的实数根且，()()2log 0f f x t x --=⎡⎤⎣⎦12,x x 12x x <试将表示为关于t 的函数，并写出此函数的定义域． 1221212log 211++--+-x x x x 【答案】(1)4k ≥(2)， 1221212log 2|1||1|x x x x ++--+-1t t=+(]1,3【分析】(1)分离参数，得，再借助基本不等式求解即可； 4(3)83k m m ≥-++-(2)先得出，再对，进行分类讨论. ()()22,1()log log ,1x x f f x x x ≤⎧=⎨>⎩1x >1x ≤【详解】（1）当时，，故.(,]x m ∈-∞max ()f x =102m ≤≤要使得不等式恒成立，2()(2)310f x m k m k ≤--+-需使，2(2)310m k m k --+-1≥即对于任意的都成立. 2(2)3110m k m k --+-≥[0,2]m ∈因为，所以. 133m ≤-≤4(3)83k m m ≥-++-由，得 30m ->403m <-4(3)84843m m -++≤-+=- （当且仅当时取等号）1m =所以；4k ≥（2）由函数，得， ()f x 22,0log ,0x x x x ⎧≤=⎨>⎩()()22,1()log log ,1x x f f x x x ≤⎧=⎨>⎩①若，则方程变为，1x ≤[]2()log ()0f f x t x --=x =2log ()t x -即，则，2x t x =-2x t x =+为递增函数，，则有；2x y x =+1x ≤3t ≤②若，则方程变为1x >[]2()log ()0f f x t x --=，即，且，故，()222log log log ()x t x =-2log x t x =-0t x ->1t >于是分别是方程、的两个根，则，，12,x x 2x t x =-2log x t x =-11x ≤21x <即，121x x ≤<由于函数与的图像关于直线对称，2log y x =2x y =y x =故，12x x t +=， 122122log 2()x x t x x t +=-+=()()1212112|1||1|211x x x x =--+-+-+-1t=故，且， 1221212log 2|1||1|x x x x ++--+-1t t =+13t <≤故此函数的定义域为.(]1,3【点睛】方法点睛：对于非二次不等式恒成立求参问题，一般先分离参数，转化为最值问题，进而可借助函数或基本不等式进行求解；方程解的个数可等价于两个不同函数交点个数，分段函数则需要考虑每一段解析式是否成立.20．对于定义在D 上的函数，设区间是D 的一个子集，若存在，使得函()y f x =[,]m n 0(,)x m n ∈数在区间上是严格减函数，在区间上是严格增函数，则称函数在区()y f x =[]0,m x []0,x n ()y f x =间上具有性质P ．[,]m n （1）若函数在区间上具有性质P ，写出实数a 、b 所满足的条件；2y ax bx =+[0,1]（2）设c 是常数，若函数在区间上具有性质P ，求实数c 的取值范围．3y x cx =-[1,2]【答案】（1）；（2）．20a b -<<()3,12c ∈【分析】（1）根据定义判断出为二次函数，然后根据的单调性和单调区间判断出2y ax bx =+()f x 的开口以及对称轴，由此得到满足的条件；2y ax bx =+,a b （2）先分析函数在区间上为严格增函数和严格减函数时的取值，据此分析出3y x cx =-[1,2]c 在区间上先递减再递增时的取值范围，由此求解出的取值范围.3y x cx =-[1,2]c c 【详解】（1）当函数在区间上具有性质P 时，由其图象在R 上是抛物线， 2y ax bx =+[0,1]故此抛物线的开口向上（即），且对称轴是； 0a >(0,1)2b x a=-∈于是，实数a ，b 所满足的条件为：．20a b -<<（2）记．设，是区间上任意给定的两个实数，3()f x x cx =-1x 2x [1,2]总有． ()()()()2212121122f x f x x x x x x x c -=-++-若，当时，总有且，3c ≤12x x <120x x -<22112211130x x x x c ++->++-=故，因此在区间上是严格增函数，不符合题目要求．()()120f x f x -<3y x cx =-[1,2]若，当时，总有且，12c ≥12x x <120x x -<222211222222120x x x x c ++-<+⨯+-=故，因此在区间上是严格减函数，不符合题目要求．()()120f x f x ->3y x cx =-[1,2]若，当且时，总有且， 312c <<12x x <12,x x ⎡∈⎢⎣120x x -<2211220333c c c x x x x c c ++-<++-=故，因此在区间上是严格减函数； ()()120f x f x ->3y x cx =-⎡⎢⎣当且时，总有且， 12x x <12,2x x ⎤∈⎥⎦120x x -<2211220333c c c x x x x c c ++->=++-=故，因此在区间上是严格增函数．()()120f x f x -<3y x cx =-2⎤⎥⎦因此，当时，函数在区间上具有性质P ．()3,12c ∈3y x cx =-[1,2]【点睛】关键点点睛：本题属于函数的新定义问题，求解本题第二问的关键在于对于性质的理P 解，通过分析函数不具备性质的情况：严格单调递增、严格单调递减，借此分析出可能具备性质P的情况，然后再进行验证即可. P。

2022-2023学年上海市上海中学高一上学期期末练习数学试题一、填空题1．函数（）的反函数为______.()21f x x =-1x ≥【答案】()1f x -=()0x ≤【分析】按定义直接求即可.【详解】∵，则，1x ≥()201f x x =≤-故，故反函数为x =()1f x -=()0x ≤故答案为：.()1f x -=()0x ≤2．函数的值域为______．12xy x -=+()11x -≤≤【答案】[]0,2【分析】利用常数分离的方法得到，然后利用变量的取值范围进行求解即可．13=122x y x x -=-++【详解】由，13=122x y x x -=-++又，则，则，所以，11x -≤≤12+3x ≤≤3132+x ≤≤30122+x ≤-≤故函数的值域为．12x y x -=+()11x -≤≤[]0,2故答案为：．[]0,23．方程的解是________．()()233log 45log 1x x x --=+x =【答案】6【分析】根据对数真数大于零和对数函数的单调性可直接构造不等式组求得结果.【详解】由得：，()()233log 45log 1x x x --=+2245010451x x x x x x ⎧-->⎪+>⎨⎪--=+⎩即，解得：.()()()()2150156160x x x x x x x ⎧+->⎪>-⎨⎪--=+-=⎩6x =故答案为：.64．若函数则________.()2,0,(1)(2),0,x x f x f x f x x -⎧≤=⎨--->⎩()2023f =【答案】1-【分析】由函数的定义得出在时，函数具有的周期性，利用周期性求函数值．0x >【详解】当x >0时，f (x )=f (x －1)－f (x －2)，①∴f (x ＋1)=f (x )－f (x －1)，②①＋②得，f (x ＋1)=－f (x －2)，∴时，f (x )的周期为6，0x >∴f (2 023)=f (337×6＋1)=f (1)=f (0)－f (－1)=20－21=－1.故答案为：．1-5．函数的递增区间是_________2lg(43)y x x =-+【答案】(3,)+∞【分析】先求出定义域，在定义域内判断函数的单调性．【详解】由题意，则或，2430x x -+>1x <3x >易知在是递减，在上递增，而是增函数．243u x x =-+(,1)-∞(3,)+∞lg y u =∴函数的递增区间是．2lg(43)y x x =-+(3,)+∞故答案为：(3,)+∞【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，掌握对数函数的性质是解题关键．6．幂函数的图像与两条坐标轴均没有公共点，则实数的取值集合是______.()2357m y m m x -=-+m 【答案】{}2,3【分析】根据幂函数的定义及性质列方程与不等式求解即可得实数的取值集合.m 【详解】解：因为幂函数，所以，()2357m y m m x -=-+22571560m m m m -+=⇒-+=解得或，2m =3m =幂函数的图像与两条坐标轴均没有公共点，所以，即，()2357m y m m x -=-+30m -≤3m ≤所以或均符合题意，则实数的取值集合是.2m =3m =m {}2,3故答案为：.{}2,37．不等式的解为______.()()2233213x x +<-【答案】24,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】根据幂函数的性质确定幂函数的奇偶性与单调性即可解不等式.()23f x x=【详解】解：幂函数的定义域为，且函数在上单调递增，()23f x x ==R [)0,∞+又，则为偶函数，所以在上单调递减，()()f x f x -===()f x ()f x (),0∞-则由不等式可得，平方后整理得，()()2233213x x +<-213x x +<-231080x x +-<即，解得，则不等式的解集为.()()3240x x -+<243x -<<24,3⎛⎫- ⎪⎝⎭故答案为：.24,3⎛⎫- ⎪⎝⎭8．已知函数，，若存在常数，对任意，存在唯一的，使得()y f x =x D ∈C 1x D ∈2x D ∈，则称常数是函数在上的“倍几何平均数”.已知函数，C=C ()f x D ()2xf x -=，则在上的“倍几何平均数”是______.[]1,2x ∈()f x []1,2【分析】由“倍几何平均数”的定义可知即为函数，最大值与最小值的几何平均数，C ()y f x =x D ∈根据函数在上的单调性，即可求得在上的“倍几何平均数”.()2xf x -=[]1,2x ∈()f x []1,2【详解】解：由已知中倍几何平均数的定义可得即为函数，最大值与最小值的几C ()y f x =x D ∈何平均数又函数，在为减函数()2xf x -=[]1,2x ∈故其最大值，最小值1122M -==2124m -==故.C ===9．定义在上的函数的反函数为，若为奇函数，则()0,∞+()y f x =()1y f x -=()()41,0,0x x g x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩的解为______.()12f x -=【答案】##0.93751516【分析】由奇函数的定义，当时，，代入已知解析式，即可得到所求的解析式，0x >0x -<0x >再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值．【详解】解：若为奇函数，()()41,0,0x x g x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩可得当时，，即有，0x >0x -<()41x g x --=-由为奇函数，可得，()g x ()()g x g x =--则，，()()14xg x f x -==-0x >由定义在上的函数的反函数为，()0,∞+()y f x =()1y f x -=且，()12f x -=可由，()21521416f -=-=可得的解为．()12fx -=1516x =故答案为：．151610．已知函数，若，则实数的()(20232023log 20232x x f x x -=+-+()()2564f a f a -+≤a 取值范围是______.【答案】[]6,1-【分析】首项确定函数的定义域为，然后可得，观察可得，故不等x ∈R ()f x -()()4f x f x +-=式可转换为；再利用指数函数、对数函数、函数定义证明()()2564f a f a -+≤()()256f a f a -≤-可判断在上的单调性，故不等式解，即，解不等式可得()f x x ∈R ()()256f a f a -≤-256a a -≤-实数的取值范围.a【详解】解：因为，定义域满足，解得()(20232023log 20232x x f x x -=+-+0x >，x ∈R所以()(202320232023log 202322023log 20232x x x x f x x ---=+--+=-+++，(20232023log 20232x x x -=--++故，所以，()()4f x f x +-=()()224f a f a +-=则不等式，转化为，即，()()2564f a f a -+≤()()()()22256f a f a f a f a -+≤+-()()256f a f a -≤-又函数在上单调递增，在上单调递减，2023xy =x ∈R 2023x y -=x ∈R ，且设，12,R x x ∀∈12x x <所以((()()121212x x x x x x -=-+=-()()(1212121x x x x xx ⎛=-=-=- ⎝，因为，所以，1200x x >>，12x x <120x x -<所以，由于函数在上单调递增，12x x <2023log y x =()0,x ∈+∞所以，故函数在上单调递增，((2023120232log log x x <(2023log y x =+x ∈R 所以由函数单调性的性质可得在上单调递增，()(20232023log 20232x xf x x -=+-+x ∈R 故，可得，解得，()()256f a f a -≤-()()2256560610a aa a a a -≤-⇒+-≤⇒+-≤61a -≤≤所以实数的取值范围是.a []6,1-故答案为：.[]6,1-11．若函数有零点，则其所有零点的集合为______.（用列()()2421421433xxf x x x x =+-+-+举法表示）.【答案】{}3,1,1,3--【分析】注意到.令，结合时，偶函数()()()21123xxf x x x =+-+-()0f x =0x >均在上单调递增可得答案.()()21123，xxg x x h x x =+-=+-()0,∞+【详解】注意到，令，()()()21123xxf x x x =+-+-()0f x =得或.2110xx +-=230xx +-=令，注意到均为偶函数，()()21123，xxg x x h x x =+-=+-()(),g x h x .又时，函数与函数在上单调递增，()()310g h ==0x >2xy =y x =()0,∞+则在上单调递增，()()21123，xxg x x h x x =+-=+-()0,∞+故在上有唯一零点，得，()(),g x h x ()0,∞+21103xx x +-=⇒=±.则所有零点的集合为.2301xx x +-=⇒=±()f x {}3,1,1,3--故答案为：.{}3,1,1,3--12．已知定义在R 上的奇函数满足：，且当时，()f x ()()2f x f x +=-01x ≤≤，若对于任意，都有，则实数的取值范围为()()2log f x x a =+[]0,1x ∈()221log 3f x tx -+≥-t ______.【答案】1722t ≤≤【分析】先由题给条件求得函数的单调区间对称轴对称中心，进而将转()f x ()221log 3f x tx -+≥-化为关于实数的不等式组，解之即可求得实数的取值范围.t t 【详解】定义在R 上的奇函数满足，则，则，()f x ()00f =2log 0a =1a =又由可得，，()()2f x f x +=-()()()24f x f x f x =-+=+则函数的最小正周期为4，()f x 由，可得函数有对称轴，()()()2f x f x f x +=-=-()f x 1x =当时，，单调递增，01x ≤≤()()2log 1f x x =+由奇函数图像关于原点对称可得，()f x 当时，，单调递增，10x -≤≤()()2log 1f x x =--+则函数在单调递增，又函数有对称轴，()f x []1,1-()f x 1x =则函数在单调递减，()f x []1,3又在内，由，[]1,0x ∈-()21log 3f x =-即，可得，()223log 11log x --+=-12x =-又函数有对称轴，则时，，()f x 1x =52x =()21log 3f x =-则在内，由，可得，[]13,x ∈-()21log 3f x ≥-1522x -≤≤令，，由任意，都有，2()g x x tx =-+[]0,1x ∈[]0,1x ∈()221log 3f x tx -+≥-又，则的值域是的子集，15(0)0,22g ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦()g x 15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦①当，即时，在单调递减，0t <02t <()g x []0,1[]()1,0g x t ∈-则，则，不等式组无解，不符合题意；[]1,0t -15,22⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦0112t t <⎧⎪⎨-≥-⎪⎩②当，即时，在时取最小值，01t ≤≤1022t ≤≤()g x 1x =在时取最大值，则2t x =2()1,4t g x t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦则，则，解之得；21,4t t ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15,22⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦211201542t t t ⎧-≥-⎪⎪≤≤⎨⎪⎪≤⎩112t ≤≤③当，即时，在时取最小值，12t <≤1122t<≤()g x 0x =在时取最大值，则2t x =2()0,4t g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则，则，解之得；20,4t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦15,22⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦212542t t <≤⎧⎪⎨≤⎪⎩12t <≤④当，即时，在单调递增，2t >12t >()g x []0,1[]()0,1g x t ∈-则，则，解之得，[]0,1t -15,22⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦2512t t >⎧⎪⎨-≤⎪⎩722t <≤综上，实数的取值范围为t 1722t ≤≤故答案为：1722t ≤≤【点睛】分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容.分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力.二、单选题13．下列进口车的车标经过旋转后可以看成函数图像的是（ ）.A．B ．C．D．【答案】D【分析】根据函数自变量与因变量一对一或多对一的特征判断.【详解】函数图像满足：自变量在它的允许范围内取定一个值时，在图像上都有唯一确定的点与它对应.选项D 的进口车的车标经过旋转后可以看成函数图像，其它三个选项都不满足条件.故选：D 14．设方程的两根为，（），则（ ）.e ln 1x x ⋅=1x 2x 12x x <A ．，B ．，10x <20x >101x <<22x >C ．D ．1201x x <<121x x >【答案】C 【分析】对AB ，令，由零点存在定理判断；()ln e xf x x -=-()0x >对CD ，由根的方程得，结合根的范围可得及其符号，即可2121ln ln e e x x x x ---=-2112ln e e x x x x --=-得的范围.12x x 【详解】由题意得，，由得，120x x <<e ln 1x x ⋅=ln e 0x x --=令 ，，，，()ln e x f x x -=-()0x >()11e 0f -=-<()212ln 20e f =->10e 111110e e e f ⎛⎫=->-= ⎪⎝⎭对AB ，由得，故AB 错；()()()110,120e f f f f æöç÷×<×<ç÷èø()121,1,1,2e x x æöç÷ÎÎç÷èø对CD ， 由得，1212ln e ln e 0x x x x ---=-=2121ln ln e e x x x x ---=-由得，∴，故C 对D 错.()121,1,1,2e x x æöç÷ÎÎç÷èø()212112ln ln ln e e 0x x x x x x ----==-<1201x x <<故选：C 15．设函数，的定义域分别为、，且.若对任意的，都有，()f x ()g x F G F G ⊆x F ∈()()g x f x =则称为在上的一个“延拓函数”.已知函数（），若为在上一()g x ()f x G ()2xf x =0x ≤()g x ()f x R 个延拓函数，且是偶函数，则函数的解析式是（ ）()g x ()g x A ．B ．()2xg x =()12xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．D ．()2log g x x=()12log g x x=【答案】B【分析】由题意函数，为在上一个延拓函数，求出，然后利用()2(0)x f x x =≤()g x ()f x R ()g x 偶函数推出函数的解析式．()g x 【详解】解：，()2(0)x f x x =≤为在上的一个延拓函数，()g x ()f x R 则当时，，(],0x ∈-∞()()2xg x f x ==因为是偶函数()g x 当时，，0x >()()2xg x g x -=-=综上．()122xxg x -⎛⎫== ⎪⎝⎭故选：B ．16．是定义在区间上的奇函数，其图象如图所示：令，则下列关于函数()f x [,]c c -()()g x af x b =+的叙述正确的是（ ）()g xA ．若，则函数的图象关于原点对称a<0()g x B ．若，，则方程有大于2的实根1a =-20b -<<()0g x =C ．若，，则方程有两个实根0a ≠2b =()0g x =D ．若，，则方程有三个实根1a ≥2b <()0g x =【答案】B【分析】A.取，判断；B.由，仍是奇函数，2仍是它的一个零点，再由上1a =-1b =1a =-()f x -下平移判断； C.取，判断；D.取，判断.12a =2b =1a =3b =-【详解】A.若，，则函数不是奇函数，其图象不可能关于原点对称，故错误；1a =-1b =()g x B.当时，仍是奇函数，2仍是它的一个零点，但单调性与相反，若再加b ，1a =-()f x -()f x ，则图象又向下平移个单位长度，所以有大于2的实根，故正确；20b -<<b -()()0g x f x b =-+=C.若，，则，其图象由的图象向上平移2个单位长度，那么12a =2b =1()()22g x f x =+()f x 只有1个零点，所以只有1个实根，故错误；()g x ()0g x =D.若，，则的图象由的图象向下平移3个单位长度，它只有1个零点，即1a =3b =-()g x ()f x 只有一个实根，故错误.()0g x =故选：B.三、解答题17．（1）求函数的值域；21x x y x ++=（2）求函数.y x =+【答案】（1）；（2）(][),13,-∞-+∞ (],3-∞【分析】（1）函数化成，结合均值不等式分别判断、的最值，从而得出值域.11y x x =++0x >0x <（2）由换元法将函数转换成二次函数的值域问题.【详解】（1），，2111x x y x x x ++==++0x ≠当时，，当且仅当时等号成立；0x>1113y x x =++≥=1x =当时，，当且仅当时等号成立.0x<1111y x x ⎛⎫=---+≤-=- ⎪⎝⎭=1x -故函数值域为；(][),13,-∞-+∞ （2）函数定义域为，令 ，则，故函数值域为2x≤0t t ³()2222133y t t t =-+=--+£.(],3-∞18．（1）判断函数的奇偶性并说明理由；()22log 233x y x -=--（2）证明：函数在上严格增.33y x x =+(),-∞+∞【答案】（1）函数为奇函数，证明见解析；（2）证明见解析()22log 233x y x -=--【分析】（1）根据函数解析式先确定函数定义域，定义域对称后化简解析式，按照奇偶性判断即可；（2）按照函数单调性定义取值、作差、变形、定号、下结论等步骤证明即可.【详解】解：（1）函数为奇函数，理由如下：()22log 233x y x -=--函数定义域满足，即函数定义域为，()22log 233x y x -=--22033006x x x x x ⎧⎧-><<⎪⎪⇒⎨⎨--≠≠≠⎪⎪⎩⎩且)(⎡⎣所以，则()()()()222222log 2log 2log 23333x x x y f x x x x---====----+-，()()()()2222log 2log 2x x f x f x xx---=-==--故函数为奇函数；()22log 233x y x -=--（2）证明：任取，且，()12,,x x ∈-∞+∞12x x <所以()()()()()()33332212112212121211223333y y x x x x x x x x x x x x x x -=+-+=-+-=-+++，()221212213324x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+++⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦因为，所以，又恒成立，所以，即，12x x <120x x -<22122133024x x x ⎛⎫+++> ⎪⎝⎭120y y -<12y y <故函数在上严格增.33y x x =+(),-∞+∞19．某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量（毫克）与时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线．y t (1)写出服药后与之间的函数关系式；y t ()y f t =(2)进一步测定：每毫升血液中的含药量不少于毫克时，药物对治疗疾病有效，求服药一次治疗0.25疾病的有效时间．【答案】(1)()34,011,12t t t f t t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩(2)小时7916【分析】（1）将点的坐标代入函数的解析式，求出的值，将点的坐标代入函数M y kt =k ()3,1的解析式，由此可得出函数的解析式；12t ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭()f t （2）解不等式，即可得解.()0.25f t ≥【详解】（1）解：当时，设函数的解析式为，将点的坐标代入得，此时[]0,1t ∈y kt =()1,4M 4k =；4y t =当时，函数的解析式为，将点的坐标代入得，所以．()1,t ∈+∞12t ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭()3,13a =312t y -⎛⎫= ⎪⎝⎭综上，.()34,011,12t t t f t t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩（2）解：当时，由，可得；01t ≤≤()40.25f t t =≥1116t ≤≤当时，由，可得.1t >()310.252t f t -⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭15t <≤所以，不等式的解集为.()0.25f t ≥1516t t ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭因为，服药一次治疗疾病的有效时间为小时．17951616-=791620．（1）求证：关于的方程（，）在区间内存在唯一解.x 10nxx +-=n ∈N 2n ≥1,12⎛⎫⎪⎝⎭（2）已知，函数.若关于的方程的解集a ∈R ()21log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭x ()()2log 3240f x a x a --+-=⎡⎤⎣⎦中恰好有一个元素，求实数的取值范围.a 【答案】（1）证明见解析；（2）或或.{3|12a a <≤2a =}3a =【分析】（1）记.判断出在为增函数，利用零点存在定理()()21,,n x x x n n ϕ=+-∈≥N ()x ϕ()0,∞+即可证明；（2）把方程转化为只有一个根，讨论根的()()2log 3240f x a x a --+-=⎡⎤⎣⎦()(1)310x a x ⎡⎤+--=⎣⎦情况，求出实数的取值范围.a 【详解】（1）记.()()21,,n x x x n n ϕ=+-∈≥N 因为和在均为增函数，所以在均为增函数.ny x =1y x =-()0,∞+()x ϕ()0,∞+因为，，()111112110,,22222nn n ϕ⎛⎫⎛⎫=+-<+-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥N ()()111110n ϕ=+-=>所以()1102ϕϕ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭所以在有且只有一个零点，()x ϕ1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭即关于的方程（，）在区间内存在唯一解.x 10nxx +-=n ∈N 2n ≥1,12⎛⎫⎪⎝⎭（2）方程即,亦即当时，()()2log 3240f x a x a --+-=⎡⎤⎣⎦1(3)24a a x a x +=-+-()3240a x a -+->方程①有一解.1(3)4a x a x =-+-①式化简为②.()(1)310x a x ⎡⎤+--=⎣⎦当时，方程②的解为，满足条件，符合题意；3a ==1x -(3)240a x a -+->当时，方程②的解为，满足条件，符合题意；2a ==1x -(3)240a x a -+->当且时，方程②的解为或.3a ≠2a ≠=1x -13x a =-若是方程①的根，则，即；=1x -10a ->1a >若是方程①的根，则，即；13x a =-230a ->32a >所以要使方程①有且只有一解，只需.312a <≤综上所述：方程的解集中恰好有一个元素，实数的取值范围()()2log 3240f x a x a --+-=⎡⎤⎣⎦a 或或{3|12a a <≤2a =}3a =21．设，是的两个非空子集，如果函数满足：①；②对任意，S T R ()y f x =(){}T f x x S =∈1x ，当时，恒有，那么称函数为集合到集合的“保序同构函数”.2x S ∈12x x <()()12f x f x <()y f x =S T (1)写出集合到集合且的一个保序同构函数（不需要证明）；A =R {R ,B x x =∈}0x >(2)求证：不存在从整数集的到有理数集的保序同构函数；Z Q (3)已知存在正实数和使得函数是集合到集合的保序同构函数，求实数s t ()21xf x x m =+-[]0,s []0,t 的取值范围和的最大值（用表示）.m s m 【答案】(1)()2xf x =(2)见解析(3)，1m >s 【分析】（1）根据保序同构函数的概念以及常见基本初等函数的性质即可求解，（2）利用反证法，结合保序同构函数的定义即可证明，（3）根据保序同构函数的定义可知 为单调递增的函数，结合对勾函数的单调性即可求解.()f x 【详解】（1）()2xf x =（2）假设存在一个从集合到集合的“保序同构函数”，Z Q 由“保序同构函数”的定义可知，集合和集合中的元素必须是一一对应的，Z Q 不妨设整数0和1在中的像分别为和，Q a b 根据保序性，因为，01<所以，a b <又也是有理数，但是没有确定的原像，2a b +2a b+因为0和1之间没有另外的整数了，故假设不成立，故不存在从集合到集合的“保序同构函数”；Z Q （3），()()21011x f x x m x m x x ==>-+-+若是集合到集合的保序同构函数，则在单调递()21x f x x m =+-[]0,s []0,t ()21xf x x m =+-[]0,x s ∈增，且()f x ≥当 时，即，函数单调递增，且，则单调递减，10m -<1m <()11f x m x x =-+()0f x >1m y x x -=+这与均为单调递增函数，则单调递增相矛盾，故不成立，舍去，1,m y x yx -==1m y x x -=+1m <当时，由对勾函数性质可知：当单调递增，当时，1m >x ≥1m y x x -=+0x <单调递减，且当取最小值，因此1m y x x -=+x =1m yx x -=+在()11f x m x x =-+0x <≤所以是到集合的保序同构函数，则 ，此时()11f x m x x =-+[]0,s []0,t s ≤()()max f x f s t ==当时，，不满足是到集合的保序同构函数，1m =()()10f x x x=≠()11f x m x x =-+[]0,s []0,t 综上，，1m >s。

上海高一数学下学期期末精选50题（基础版）一、单选题1．（2021·上海·高一期末）为了得到函数()sin 23y x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（）个单位长度.A．向右平移3πB．向右平移6πC．向左平移3πD．向左平移6π2．（2021·上海市金山中学高一期末）若函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则ω=（）A．2±B．2C．±1D．13．（2021·上海·高一期末）函数cos y x =在区间[π-，a ]上为增函数，则a 的取值范围是（）A．(,2ππ--B．(π-，0]C．(2π-，0]D．(,)ππ-4．（2021·上海·高一期末）已知平面向量(1,2),(2,)a b k ==- ，若a 与b共线，则k 等于（）A．1B．4-C．1-D．45．（2021·上海·高一期末）已知ABC 是边长为2的正三角形，则向量AB在BC上的投影是（）A．1-B．1C．6．（2021·上海闵行·高一期末）已知单位向量,a b满足2b a -= a b ⋅=（）A．12-B．2-C．12D．27．（2021··高一期末）若点M 是ABC 所在平面内的一点，满足3144AM AB AC →→→=+，则MB MC（）A．14B．4C．13D．38．（2021··高一期末）复数16z i =+的虚部是（）A．i B．6i C．1D．69．（2021··高一期末）已知i 是虚数单位，复数1iz i =+，则z 的虚部为（）A．12iB．12i-C．12D．12-二、填空题10．（2022·上海·华师大二附中高一期末）如图，单位圆上有一点0P ⎝⎭，点P 以点P 0为起点按逆时针方向以每秒π12弧度作圆周运动，5秒后点P 的纵坐标y是_____________.11．（2022·上海市延安中学高一期末）已知扇形的半径为4，圆心角为34π，则扇形的面积为___________.12．（2022·上海市延安中学高一期末）123-︒是第___________象限角.13．（2022·上海市延安中学高一期末）已知角α的终边经过点(1,3)P -，则tan α=___________.14．（2022·上海·曹杨二中高一期末）已知()1sin 3θπ-=-，化简：()()()()sin 5cos tan 2cos cot 2πθθππθππθθ--⋅+⋅-=⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭______．15．（2022·上海·曹杨二中高一期末）若一个扇形的弧长和面积均为3，则该扇形的圆心角的弧度数为______．16．（2022·上海市大同中学高一期末）已知角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边过点(3,4)P -，则sin α=_________．17．（2022·上海·格致中学高一期末）若角α的终边与以原点为圆心的单位圆交于点34,55P ⎛⎫⎪⎝⎭，则sin α的值为___________.18．（2022·上海市建平中学高一期末）方程cos sin 2x x =在()0,2x π∈上的解集为_____________.19．（2022·上海市建平中学高一期末）化简：()tan -=p a ___________（结果用α的三角函数表示）20．（2022·上海市第三女子中学高一期末）已知1cos 3α=，π02α-<<，则sin α=______．21．（2020·上海金山·高一期末）将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后，所得图象对应的函数解析式为________．22．（2021·上海松江·高一期末）函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则()f x =______．23．（2021·上海市延安中学高一期末）函数πtan 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π3π,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的值域为______.24．（2021·上海南汇中学高一期末）函数sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的单调增区间为______.25．（2021·上海·高一期末）在函数22sin(4)3y x π=+的图象的对称轴中，则离y 轴最近的一条对称轴方程为___________.26．（2021·上海·高一期末）函数y=9-sin x 的单调递增区间是____________________.27．（2021·上海中学高一期末）()4,3a =- 的单位向量的坐标为__________．28．（2021·上海中学高一期末）已知向量a ，b不共线，实数x ，y 满足()()2452x y a b a x y b -+=+- ，则x y +的值为__________．29．（2021·上海徐汇·高一期末）已知(1,0),(5,5)a b ==，则向量b 在向量a 方向上的投影向量的坐标为_______．30．（2021·上海松江·高一期末）已知向量(),1a x =r ，()2,3b =- ，若//a b，则实数x 的值是______．31．（2021·上海市建平中学高一期末）设()2,3A ，()1,5B -，且3AD AB =，则点D 的坐标是______．32．（2021·上海市金山中学高一期末）设向量(),1a n = ，()4,2b =-- ，且//a b，则实数n 的值是__________.33．（2021·上海·高一期末）已知向量()(),3,4,6a x b == 且a b ⊥，则x =______．34．（2021·上海·高一期末）已知(3,4)a =- ，则与a垂直的一个单位向量的坐标为___________.35．（2021·上海·高一期末）已知向量(1,2)a =- ，(2,)b λ= ，若 b a ⊥r r，则实数λ的值为___________.36．（2021·上海·高一期末）已知()2,1a =r ，(),4b λ= ，且a b ⊥，则实数λ=_________．37．（2021··高一期末）i 是虚数单位，202020201(()11i i i++=--________．38．（2021··高一期末）(4－i 5)(6＋2i 7)＝________．39．（2021··高一期末）若z C ∈，且25i z =-，则()Re z =________.40．（2021··高一期末）复数2i -的共轭复数为_________（i 为虚数单位）41．（2021·上海·高一期末）计算：tan 22.5°－1tan 22.5︒＝_____.42．（2021·上海·高一期末）如果()1sin 2A π+=-，那么cos 2A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．43．（2021·上海·高一期末）在△ABC 中，已知a，b ＝2，c A ＝________．三、解答题44．（2022·上海·华师大二附中高一期末）已知1sin 1a a θ-=+，31cos 1a a θ-=+，且π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.(1)求实数a 的值；(2)求()tan cot 2ππθθ⎛⎫++- ⎪⎝⎭.45．（2021··高一期末）求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么（1）y ＝cos x ＋1，x ∈R ；（2）y ＝sin2x ，x ∈R .46．（2021··高一期末）已知函数(cos sin )sin 2()cos x x xf x x-=（1）求函数()f x 的定义域：（2）求函数()f x 的单调递减区间：（3）求函数了()f x 在区间11,2424ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.47．（2021·上海·高一期末）已知函数()2f x sin2x 2cos x 1=+-，x R ∈．()1求函数()f x 的最小正周期；()2用五点法作出函数()f x 一个周期内的图象．48．（2020·上海金山·高一期末）已知4sin 5x =．(1)若x ∈R ，求方程的解集；(2)若0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos 2x 和cos 2x 的值．49．（2021·上海松江·高一期末）（1）已知角α终边上有一点P 的坐标是()3,4a a -，其中0a >，求2sin cos αα+的值．（2）证明恒等式：1tan1sin 2cos 1tan 2αααα++=-．50．（2021·上海·高一期末）平面内给定三个向量(3,2)a = ，(1,2)b =- ，(4,1)c =.（1）求满足a mb nc =-的实数m ，n ；（2）若()//(2)a kc b a +-，求实数k 的值.上海高一数学下学期期末精选50题（基础版）一、单选题1．（2021·上海·高一期末）为了得到函数()sin 23y x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（）个单位长度.A．向右平移3πB．向右平移6πC．向左平移3πD．向左平移6π【答案】B 【分析】利用三角函数图象的平移规律可得出结论.【详解】因为sin 2sin 236y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以，为了得到函数()sin 23y x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点向右平移6π个单位长度.故选：B.2．（2021·上海市金山中学高一期末）若函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则ω=（）A．2±B．2C．±1D．1【答案】A 【分析】结合最小正周期的公式直接求解即可.【详解】因为2T ππω==，所以2ω=±，故选：A.3．（2021·上海·高一期末）函数cos y x =在区间[π-，a ]上为增函数，则a 的取值范围是（）A．(,)2ππ--B．(π-，0]C．(2π-，0]D．(,)ππ-【答案】B 【分析】根据余弦函数的图象与性质，结合条件，即可得答案.【详解】函数cos y x =在区间[π-，0]上为增函数，在[0，]π上为减函数，又已知函数cos y x =在区间[π-，]a 上为增函数，所以0a π-<，即a 的取值范围是(π-，0].故选：B.4．（2021·上海·高一期末）已知平面向量(1,2),(2,)a b k ==- ，若a 与b共线，则k 等于（）A．1B．4-C．1-D．4【答案】B 【分析】由向量共线得出()1220k ⨯-⨯-=即可求解.【详解】由题，若a 与b共线，则()1220k ⨯-⨯-=，解得4k =-.故选：B.5．（2021·上海·高一期末）已知ABC 是边长为2的正三角形，则向量AB在BC上的投影是（）A．1-B．1C．【答案】A 【分析】由投影的概念计算即可.【详解】AB 在BC 方向的投影为22cos12012||AB BC BC ︒⋅⨯⨯==-.故选：A.6．（2021·上海闵行·高一期末）已知单位向量,a b满足2b a -= 则a b ⋅ =（）A．12-B．2-C．12D．2【答案】C 【分析】根据2b a -，即可求解.【详解】由题意，单位向量,a b，即1,1a b == ，又由2b a -=12a b ⋅= .故选：C.7．（2021··高一期末）若点M 是ABC 所在平面内的一点，满足3144AM AB AC →→→=+，则MB MC（）A．14B．4C．13D．3【答案】C 【分析】化简3144AM AB AC →→→=+得31044MB MC →→→+=，即得解.【详解】3131()()4444AM AB AC AM MB AM MC →→→→→→→=+=+++331131()444444AM MB AM MC AM MB MC →→→→→→→=+++=++，∴31044MB MC →→→+=，得13MB MC =．故选：C．8．（2021··高一期末）复数16z i =+的虚部是（）A．i B．6iC．1D．6【答案】D 【分析】根据复数的概念可得.【详解】16z i =+的虚部是6.故选：D.9．（2021··高一期末）已知i 是虚数单位，复数1iz i =+，则z 的虚部为（）A．12i B．12i-C．12D．12-【答案】C 【分析】利用复数的除法化简复数z ，由此可得出复数z 的虚部.【详解】()()()1111111222i i i i z i i i i -+====+++-，因此，复数z 的虚部为12.故选：C.二、填空题10．（2022·上海·华师大二附中高一期末）如图，单位圆上有一点02222P ⎝⎭，点P 以点P 0为起点按逆时针方向以每秒π12弧度作圆周运动，5秒后点P 的纵坐标y 是_____________.【分析】根据单位圆上点0P 的坐标求出0π4P Ox ∠=，从而求出2π3POx ∠=，从而求出点P 的纵坐标.【详解】因为02222P ⎫⎪⎪⎝⎭位于第一象限，且0tan 1P Ox ∠=，故0π4P Ox ∠=，所以ππ2π54123POx ∠=+⨯=，故2π3sin sin32POx ∠==，所以点P 的纵坐标3sin 2y POx =∠=11．（2022·上海市延安中学高一期末）已知扇形的半径为4，圆心角为34π，则扇形的面积为___________.【答案】6π【分析】先计算扇形的弧长，再利用扇形的面积公式可求扇形的面积．【详解】根据扇形的弧长公式可得3434l r παπ==⨯=，根据扇形的面积公式可得1134622S lr ππ==⋅⋅=．故答案为：6π．12．（2022·上海市延安中学高一期末）123-︒是第___________象限角.【答案】三【分析】根据给定的范围确定其象限即可.【详解】由18012390-︒<-︒<-︒，故123-︒在第三象限.故答案为：三.13．（2022·上海市延安中学高一期末）已知角α的终边经过点(1,3)P -，则tan α=___________.【答案】3-【分析】根据正切函数定义计算【详解】由题意3tan 31α==--．故答案为：3-．14．（2022·上海·曹杨二中高一期末）已知()1sin 3θπ-=-，化简：()()()()sin 5cos tan 2cos cot 2πθθππθππθθ--⋅+⋅-=⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭______．【答案】13【分析】化简已知得1sin 3θ=，再利用诱导公式化简原式即得解.【详解】解：因为()1sin 3θπ-=-，所以11sin ,sin 33θθ-=-∴=.()()()()()()()sin 5cos tan 2sin cos tan sin cos tan cos cot 2πθθππθθθθθπθθπθθ--⋅+⋅-⋅-⋅-==-⋅-⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭.所以原式13=.故答案为：1315．（2022·上海·曹杨二中高一期末）若一个扇形的弧长和面积均为3，则该扇形的圆心角的弧度数为______．【答案】32【分析】根据扇形面积公式和圆心角的弧度数公式，即可得到答案；【详解】331232l l r l r =⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩，∴3||2l r α==，故答案为：3216．（2022·上海市大同中学高一期末）已知角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边过点(3,4)P -，则sin α=_________．【答案】45##0.8【分析】利用任意角的三角函数的定义求解【详解】因为角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边过点(3,4)P -，所以4sin 5y r α==，故答案为：4517．（2022·上海·格致中学高一期末）若角α的终边与以原点为圆心的单位圆交于点34,55P ⎛⎫⎪⎝⎭，则sin α的值为___________.【答案】45##0.8【分析】直接根据三角函数定义求解即可.【详解】解：因为角α的终边与以原点为圆心的单位圆交于点34,55P ⎛⎫⎪⎝⎭，所以根据三角函数单位圆的定义得4sin 5α=故答案为：4518．（2022·上海市建平中学高一期末）方程cos sin 2x x =在()0,2x π∈上的解集为_____________.【答案】35,,,2266ππππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】先利用倍角公式化简后解方程，然后根据三角函数的性质求解.【详解】解：由题意得：cos sin 22sin cos x x x x==cos 0x ∴=或1sin 2x =又 ()0,2x π∈当cos 0x =时，2x π=或32π当1sin 2x =时，6x π=或56π故方程cos sin 2x x =在()0,2x π∈上的解集为35,,,2266ππππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭.故答案为：35,,,2266ππππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭19．（2022·上海市建平中学高一期末）化简：()tan -=p a ___________（结果用α的三角函数表示）【答案】tan α-【分析】根据诱导公式直接求解.【详解】由诱导公式可得，()tan tan p a a -=-，故答案为：tan α-20．（2022·上海市第三女子中学高一期末）已知1cos 3α=，π02α-<<，则sin α=______．【答案】【分析】利用同角三角函数基本关系进行求解.【详解】因为1cos 3α=及22sin cos 1αα+=，所以228sin 1cos 3αα=-=，因为π02α-<<，所以sin α=故答案为：21．（2020·上海金山·高一期末）将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后，所得图象对应的函数解析式为________．【答案】sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【分析】由题意利用函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，即可得到结果．【详解】将函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位，所得图象对应的函数解析式sin 2sin 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故答案为：sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.22．（2021·上海松江·高一期末）函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤ ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则()f x =______．【答案】2sin 4x π⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据函数的最值、最小正周期、特殊点进行求解即可.【详解】由函数的图象可知函数的最大值为2，所以2A =，由函数的图象可知函数的最小正周期为8，而0>ω，所以有284ππωω=⇒=，又因为函数过原点，所以()02sin 0f ϕ==，而2πϕ≤，所以0ϕ=，所以()2sin 4f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故答案为：2sin 4x π⎛⎫⎪⎝⎭23．（2021·上海市延安中学高一期末）函数πtan 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π3π,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的值域为______.【答案】(1,)+∞【分析】由题意利用正切函数的性质，即可解出．【详解】当π3π,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,442x πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴函数tan(14y x π=->，故函数的值域为(1,)+∞，故答案为：(1,)+∞．24．（2021·上海南汇中学高一期末）函数sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎣⎦的单调增区间为______.【答案】0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求得2,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，令662x πππ≤+≤，即可求得函数的单调增区间.【详解】由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得2,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，令662x πππ≤+≤，解得03x π≤≤，即函数sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的单调增区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦.25．（2021·上海·高一期末）在函数22sin(4)3y x π=+的图象的对称轴中，则离y 轴最近的一条对称轴方程为___________.【答案】24x π=-【分析】根据正弦函数的对称性，整体代换可得答案.【详解】令24()32x k k Z πππ+=+∈，整理得()424k x k Z ππ=-∈.当0k =时，24x π=-满足题意.故答案为：24x π=-.26．（2021·上海·高一期末）函数y=9-sin x 的单调递增区间是____________________.【答案】32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【分析】求y=9-sin x 的单调递增区间即求y=sin x 的单调递减区间，根据正弦函数的性质，即可得答案.【详解】y=9-sin x 的单调递增区间与y=sin x 的单调递减区间相同，为32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦故答案为32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.27．（2021·上海中学高一期末）()4,3a =-的单位向量的坐标为__________．【答案】4343,,5555⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，【分析】根据单位向量的求法，即可得答案.【详解】由题意得：与a同方向的单位向量为()43,554,35a a -=⎛-⎭=⎫ ⎪⎝.故答案为：43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭28．（2021·上海中学高一期末）已知向量a ，b不共线，实数x ，y 满足()()2452x y a b a x y b -+=+- ，则x y +的值为__________．【答案】1【分析】根据题意，列出方程组，求得x，y ，即可得答案.【详解】因为()()2452x y a b a x y b -+=+- ，且向量a ，b 不共线，所以2542x y x y -=⎧⎨=-⎩，解得2,1x y ==-，所以1x y +=.故答案为：129．（2021·上海徐汇·高一期末）已知(1,0),(5,5)a b ==，则向量b 在向量a 方向上的投影向量的坐标为_______．【答案】（5，0）【分析】根据定义即可求出投影向量.【详解】b →在a →方向上投影向量为()()5··1,05,01a b a a a ⋅== ，所以b →在a →方向上投影向量为（5,0）.故答案为：（5,0）.30．（2021·上海松江·高一期末）已知向量(),1a x =r ，()2,3b =- ，若//a b ，则实数x 的值是______．【答案】23-【分析】应用向量共线的坐标表示得230x +=，即可求x .【详解】由题意知：230x +=，解得23x =-.故答案为：23-31．（2021·上海市建平中学高一期末）设()2,3A ，()1,5B -，且3AD AB =，则点D 的坐标是______．【答案】()7,9-【分析】根据平面向量线性运算的坐标运算法则计算可得．【详解】解： ()2,3A ，()1,5B -，3AD AB =，所以()()()1,52,33,2AB =--=- ，AD OD OA =- ，即OD AD OA =+ ∴()()()32,333,27,9OD AD OA OA AB =+=+=+-=-．故答案为：(7,9)-．32．（2021·上海市金山中学高一期末）设向量(),1a n = ，()4,2b =-- ，且//a b，则实数n 的值是__________.【答案】2【分析】由向量平行的坐标表示列方程，即可求参数n .【详解】由//a b ，(),1a n =，()4,2b =-- ，则有240n -+=，解得2n =.故答案为：2.33．（2021·上海·高一期末）已知向量()(),3,4,6a x b == 且a b ⊥，则x =______．【答案】92-【分析】由a b ⊥，得0a b ⋅= ，利用平面向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】解：a b ⊥，()(),3,4,6a x b == ，0a b ∴⋅=r r，即4360x +⨯=，92x ∴=-，故答案为：92-.34．（2021·上海·高一期末）已知(3,4)a =- ，则与a垂直的一个单位向量的坐标为___________.【答案】43,55⎛⎫ ⎪⎝⎭（或43,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭）【分析】由条件设与a垂直的单位向量坐标为(),x y ，再由条件列式求解.【详解】设与a方向相同的单位向量坐标为(),x y ，则221340x y x y ⎧+=⎨-+=⎩，解得4535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或4535x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩与a 垂直的单位向量是43,55⎛⎫ ⎪⎝⎭（或43,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭）.故答案为：43,55⎛⎫ ⎪⎝⎭（或43,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭）35．（2021·上海·高一期末）已知向量(1,2)a =- ，(2,)b λ= ，若 b a ⊥r r ，则实数λ的值为___________.【答案】1【分析】根据向量垂直的坐标表示，由题中条件，列出方程，即可求出结果.【详解】因为向量(1,2)a =- ，(2,)b λ= ，若 b a ⊥r r ，则220 a b λ=-=⋅r r ，解得1λ=.故答案为：1.36．（2021·上海·高一期末）已知()2,1a =r ，(),4b λ= ，且a b ⊥，则实数λ=_________．【答案】2-【分析】根据平面向量垂直的坐标表示可得出关于实数λ的等式，由此可求得λ的值.【详解】由已知可得240a b λ⋅=+=，解得2λ=-.故答案为：2-.37．（2021··高一期末）i是虚数单位，202020201()1i i++=-________．【答案】0【分析】先化简，再利用n i 的周期性计算可得.【详解】原式＝2101020204252245051[()]()1101i i i i⨯+⨯+=+=-+=--.故答案为：0.【点睛】n i 具有周期性：①41k i =；②41k i i +=；③421k i +=-；④43k i i +=-.38．（2021··高一期末）(4－i 5)(6＋2i 7)＝________．【答案】22－14i 【分析】根据复数乘法运算计算即可.【详解】解析：(4－i 5)(6＋2i 7)＝(4－i )(6－2i )＝22－14i ．故答案为：22－14i .39．（2021··高一期末）若z C ∈，且25i z =-，则()Re z =________.【答案】5【分析】推导出()52z i -=，从而2552z i i=+=-，由此能求出()Re z .【详解】解：∵z C ∈，且25i z =-，∴()52z i -=，∴2225552iz i i i=+=+=-，∴()5Re z =.故答案为：5.【点睛】本题考查复数的实部的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.关键是利用复数的运算求出z 的标准形式，并注意准确掌握实部的概念.40．（2021··高一期末）复数2i -的共轭复数为_________（i 为虚数单位）【答案】2i +【分析】由共轭复数的定义求解．【详解】复数2i -的共轭复数为2i +．故答案为：2i +．41．（2021·上海·高一期末）计算：tan 22.5°－1tan 22.5︒＝_____.【答案】-2【分析】利用正切的二倍角公式即可求解.【详解】tan 22.5°－1tan 22.5︒2tan 22.51tan 22.5-=2122tan 22.5tan 22.51=⋅- 2122tan 22.51tan 22.5=-⋅- 122tan 45=-⋅=-故答案为：-242．（2021·上海·高一期末）如果()1sin 2A π+=-，那么cos 2A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．【答案】12-【分析】条件和要求的式子分别先运用诱导公式化简，然后再代值即可.【详解】由()11sin sin ,sin 22π+=-=-∴=A A A ，而1cos sin 22A A π⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭．故答案为：12-.43．（2021·上海·高一期末）在△ABC 中，已知a，b ＝2，c ＋1，则A ＝________．【答案】60°【分析】由余弦定理求出cos A 即可求出.【详解】解析：由余弦定理得222221cos22b c a A bc +-==，又0°＜A ＜180°，所以A ＝60°．故答案为：60°.三、解答题44．（2022·上海·华师大二附中高一期末）已知1sin 1a a θ-=+，31cos 1a a θ-=+，且π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.(1)求实数a 的值；(2)求()tan cot 2ππθθ⎛⎫++- ⎪⎝⎭.【答案】(1)19(2)32【分析】（1）根据同角三角函数关系求解19a =或1，结合角所在象限求出11,3a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，从而得到答案；（2）在第一问的基础上，得到正弦和余弦，进而求出正切和余弦，利用诱导公式求出答案.(1)由题意得：22131111a a a a --⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，解得：19a =或1因为π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1sin 01a a θ-=>+，31cos 01a a θ-=<+，解得：11,3a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，综上：19a =.(2)由（1）得：14sin 15a a θ-==+，313cos 15a a θ-==-+，故sin 4tan cos 3θθθ==-，3cot 4θ=-，故()33tan c ππot 2cot 2242θθθ⎛⎫⎛⎫++-=-=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭45．（2021··高一期末）求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么（1）y ＝cos x ＋1，x ∈R ；（2）y ＝sin2x ，x ∈R .【答案】（1）2，2,x k k Z π=∈；（2）1，,4x k k Z ππ=+∈.【分析】根据三角函数的性质，直接求函数的最大值，并求此时对应的x 值.【详解】（1）函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 的最大值是1＋1＝2，此时2,x k k Z π=∈；（2）函数y ＝sin2x ，x ∈R 的最大值是1，此时22,2x k k Z ππ=+∈，得,4x k k Z ππ=+∈.46．（2021··高一期末）已知函数(cos sin )sin 2()cos x x xf x x-=（1）求函数()f x 的定义域：（2）求函数()f x 的单调递减区间：（3）求函数了()f x 在区间11,2424ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】（1）|k ,R,k 2x x x Z ππ⎧⎫≠+∈∈⎨⎬⎩⎭.（2）5,,8228k k k k ππππππππ⎡⎫⎛⎤++++⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦,Z k ∈.（3）max ()(18f x f π==-,min 11()()124f x f π==-.【分析】（1）根据分母不等于0求出函数的定义域.（2）化简函数的表达式,利用正弦函数的单调减区间求解函数的单调减区间即可.（3）通过x 满足11,2424ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦求出相位的范围,利用正弦函数的值域,求解函数的最大值和最小值.【详解】解：（1）函数(cos sin )sin 2()cos x x xf x x-=的定义域为：cos 0x ≠,即|k ,R,k 2x x x Z ππ⎧⎫≠+∈∈⎨⎬⎩⎭,（2）(cos sin )sin 2()cos x x x f x x-=2(cos sin )sin cos cos x x x xx-=22sin cos 2sin x x x=-sin 2cos 21x x =+-214x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,令3222242k x k πππππ+≤+≤+且,2x k k Z ππ≠+∈,解得：522x 244k k ππππ+≤≤+,即3,x ,Z 882k x k k k ππππππ+≤≤+≠+∈所以()f x 的单调递减区间：5,,8228k k k k ππππππππ⎡⎫⎛⎤++++⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦，,Z k ∈.（3）由11,2424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,可得：72,436x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,当242x ππ+=,即：8x π=时,max ()()18f x f π=当7246x ππ+=,即：1124x π=时,min 11()()124f x f π==-【点睛】本题考查三角函数的最值以及三角函数的化简与应用,两角和与差的三角函数的应用考查计算能力.47．（2021·上海·高一期末）已知函数()2f x sin2x 2cos x 1=+-，x R ∈．()1求函数()f x 的最小正周期；()2用五点法作出函数()f x 一个周期内的图象．【答案】（1）π；（2）见解析.【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简，即可求解最小正周期；（2）列表，作图即可．【详解】()1函数()2πf x sin2x 2cos x 1sin2x cos2x 2x .4⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭∴函数()f x 的最小正周期2πT π2==；()2由()1可知()πf x 2x .4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭五点列表，作图：【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，解题时应根据画三角函数的图象的基本步骤画出图形，是基础题．48．（2020·上海金山·高一期末）已知4sin 5x =．(1)若x ∈R ，求方程的解集；(2)若0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos 2x 和cos 2x 的值．【答案】(1)42arcsin 5x x k π⎧=+⎨⎩或()421arcsin ,5x k k π⎫=+-∈⎬⎭Z(2)725-【分析】（1）利用反三角函数，即可求出结果；（2）根据同角的基本关系可得3cos 5x =，再根据余弦的二倍角公式，即可求出结果.(1)解：因为4sin 5x =，所以4arcsin 5x =，又x ∈R ，所以方程4sin 5x =的解集42arcsin 5x x k π⎧=+⎨⎩或()421arcsin ,5x k k π⎫=+-∈⎬⎭Z ；(2)解：因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5x =，所以3cos 5x ==；所以2247cos 212sin 12=525x x ⎛⎫=-=-⨯- ⎪⎝⎭;因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 02x >，所以25cos25x =49．（2021·上海松江·高一期末）（1）已知角α终边上有一点P 的坐标是()3,4a a -，其中0a >，求2sin cos αα+的值．（2）证明恒等式：1tan1sin 2cos 1tan 2αααα++=-．【答案】（1）1-；（2）证明见解析.【分析】（1）根据角α终边上的点坐标求sin α、cos α，进而求2sin cos αα+即可；（2）利用二倍角正余弦公式、同角的弦切关系，即可证恒等式.【详解】（1）当0a >时，点P 到原点的距离为5a ，由三角比的定义得：44sin 55a a α-==-，33cos 55a a α==，∴432152si os 5n c αα⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭+；（2）证明：222sin cos 12sin cossin cos 1sin 222222cos cos sin cos sincos sin cos sin 22222222αααααααααααααααα⎛⎫+++ +⎝⎭===⎛⎫⎛⎫---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1tan 21tan 2αα+=-．50．（2021·上海·高一期末）平面内给定三个向量(3,2)a = ，(1,2)b =- ，(4,1)c =.（1）求满足a mb nc =-的实数m ，n ；（2）若()//(2)a kc b a +-，求实数k 的值.【答案】（1）59m =，89n =-；（2）1613k =-.【分析】（1）依题意求出mb nc -的坐标，再根据向量相等得到方程组，解得即可；（2）首先求出a kc +与2b a - 的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得；【详解】解：（1）因为(3,2)a = ，(1,2)b =- ，(4,1)c = ，且a mb nc=- (3，2)(1a mb nc m ==-=-，2)(4n -，1)(4m n =--，2)m n -.∴4322m n m n --=⎧⎨-=⎩，解得59m =，89n =-.（2）(3a kc +=，2)(4k +，1)(34k =+，2)k +.22(1b a -=-，2)(3-，2)(5=-，2).5(2)2(34)0k k ∴-+-+=，解得1613k =-.。