高中数学必修5限时训练双基限时练15

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】双基限时练(二十)1．目标函数z ＝3x －y ，将其看作直线方程时，z 的意义是( ) A ．该直线的截距 B ．该直线的纵截距 C ．该直线的横截距 D ．该直线纵截距的相反数 答案 D2．有5辆6吨的汽车，3辆4吨的汽车，要运送一批货物，完成这项运输任务的线性目标函数是( )A ．z ＝6x ＋4yB ．z ＝5x ＋3yC ．z ＝x ＋yD ．z ＝3x ＋5y答案 A3．已知目标函数z ＝2x ＋y ，且变量x ，y 满足下列条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≥－3，3x ＋5y <25，x ≥1，则( )A ．z max ＝12，z min ＝3B ．z max ＝12，无最小值C ．z min ＝3，无最大值D ．z 既无最大值又无最小值 解析 画出可行域，如图所示．画直线l ：2x ＋y ＝0，平移直线l ，知z ＝2x ＋y 既无最大值，又无最小值．答案 D4．给出平面可行域(如图)，若使目标函数z ＝ax ＋y 取最大值的最优解有无穷多个，则a ＝( )A.14B.35 C ．4D.53解析 由题意，知当直线y ＝－ax ＋z 与直线AC 重合时，最优解有无穷多个．∴－a ＝5－21－6＝－35，∴a ＝35.答案 B5．设变量x ，y 满足约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋2y ≤2，x ≥－2，则z ＝x －3y 的最小值为( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8解析 作出可行域．令z ＝0，则l 0：x －3y ＝0，平移l 0， 在点M (－2,2)处z 取到最小值，最小值z ＝－2－3×2＝－8.答案 D6．点P (x ，y )在直线4x ＋3y ＝0上，且x ，y 满足－14≤x －y ≤7，则点P 到坐标原点距离的取值范围是( )A ．[0,5]B ．[0,10]C ．[5,10]D ．[5,15]解析因x ，y 满足－14≤x －y ≤7，则点P (x ，y )，在⎩⎨⎧x －y ≤7，x －y ≥－14所确定的区域内，且原点也在这个区域内．又点P 在直线4x ＋3y ＝0上，由⎩⎨⎧ 4x ＋3y ＝0，x －y ＝－14，解得A (－6,8)．由⎩⎨⎧4x ＋3y ＝0，x －y ＝7，解得B (3，－4)．∴P 到坐标原点的距离最小为0， 又|OA |＝10，|BO |＝5.因此最大值为10，故其取值范围是[0,10]．如图所示．答案 B7．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥4，y ≥3x ，则z ＝x ＋2y 的最小值是________．解析 可行域如图．当直线x ＋2y ＝0平移经过点A (1,3)时，z 有最小值7. 答案 78．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，2x －y －2≤0所确定的平面区域记为D .若点(x ，y )是区域D 上的点，则2x ＋y 的最大值是________；若圆O ：x 2＋y 2＝r 2上的所有点都在区域D 内，则圆O 面积的最大值是________．解析 区域D 如图所示．令z ＝2x ＋y 可知，直线z ＝2x ＋y 经过(4,6)时z 最大，此时z ＝14；当圆O ：x 2＋y 2＝r 2和直线2x －y －2＝0相切时半径最大，此时半径r＝25，面积S ＝45π.答案 14 45π9．当x ，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y ＋k ≤0，(k 为常数)，且使z＝x ＋3y 取得最大值12时，k 的值为________．解析 根据题意，要使z 取得最大值12，直线2x ＋y ＋k ＝0与直线y ＝x 的交点B 必在第一象限，约束条件所在的平面区域为如图阴影部分所示的△ABO ，直线x ＋3y ＝0的斜率为－13，直线2x ＋y ＋k ＝0的斜率为－2，直线y ＝x 的斜率为1，故目标函数在B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 3，－k 3点取得最大值12，所以－k3＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 3＝12，解得k ＝－9.答案 －910．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ≥10，2x －3y ≤－6，2x ＋y ≤10，求y ＋1x ＋1的取值范围．解 作出不等式组表示的平面区域，如图所示．设k ＝y ＋1x ＋1，因为y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)表示平面区域内的点与点P (－1，－1)连线的斜率，由图可知k P A 最小，k PC 最大，而A (5,0)，C (0,2)，则k P A ＝0－(－1)5－(－1)＝16，k PC ＝2－(－1)0－(－1)＝3，所以k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，3，即y ＋1x ＋1的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，3. 高中数学知识点三角函数 1、 以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点 P 到原点的距离记为，则 sin= ， cos = ， tg = ， ctg = ， sec = ， csc = 。

双基限时练(六)一、选择题1．等差数列{a n }中，a 4＋a 5＝12，那么它前8项之和等于( ) A ．12 B ．24 C ．36D ．48解析 S 8＝(a 1＋a 8)×82＝(a 4＋a 5)×82＝48. 答案 D2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝12，则S 8等于( ) A ．36 B ．40 C ．48D ．24解析 由S 2＝4，S 4＝12， ∴S 4－S 2＝8.∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4，S 8－S 6成等差数列，S 8＝4×4＋4×32×4＝16＋24＝40.答案 B3．已知在等差数列{a n }中，S 13＝26，S 10＝50，则公差d 为( ) A ．2 B ．－2 C ．－4D ．4 解析 由S 13＝26，知a 7＝2，又S 10＝(a 4＋a 7)×102＝50，得a 4＋a 7＝10，得a 4＝8，又a 7＝a 4＋3d ，∴d ＝－2.答案 B4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 的值为( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析 ∵S n ＝n 2－9n ，∴{a n }为等差数列，∴a k ＝S k －S k －1＝k 2－9k －(k －1)2＋9(k －1)＝2k －1－9＝2k －10.由5<a k <8，得152<k <9，又k ∈N ＋，∴k ＝8.答案 B5．含2n －1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( ) A.2n ＋1n B.n n －1 C.n －1nD.n ＋12n解析 设公差为d ，S 奇＝na 1＋n (n －1)22d ， S 偶＝(n －1)a 2＋(n －1)(n －2)2·2d ， S 奇S 偶＝n [a 1＋(n －1)d ](n －1)[a 2＋(n －2)d ]＝n n －1. 答案 B6．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a 50＝200，a 51＋a 52＋…＋a 100＝2700，则a 1等于( )A ．－1221B ．－21.5C ．－20.5D ．－20解析 a 51＋a 52＋…＋a 100＝a 1＋50d ＋a 2＋50d ＋…＋a 50＋50d ＝200＋2500d ＝2700，∴d ＝1，又a 1＋a 2＋…＋a 50＝50a 1＋50×492×1＝200，得a 1＝－20.5.答案 C 二、填空题7．等差数列{a n }共有10项，其中奇数项的和为12.5，偶数项的和为15，则d ＝________.解析 S 偶－S 奇＝5d ，得d ＝12. 答案 128．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，则a 2＋a 4＋a 9＝________. 解析 S 9＝72＝9a 5，a 5＝8，a 2＋a 4＋a 9＝3a 5＝24. 答案 249．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5＝________.解析 ∵{a n }为等差数列，∴S 9＝9a 5，S 5＝5a 3，∴S 9S 5＝9a 55a 3＝95×59＝1.答案 1 三、解答题10．已知等差数列{a n }的项数n 为奇数，其中S 奇＝44，S 偶＝33，求项数．解 ∵数列的项数n 为奇数， ∴中间项M ＝S 奇－S 偶＝44－33＝11， S n ＝S 奇＋S 偶＝44＋33＝77.又S n ＝nM ＝11n ，∴11n ＝77，∴n ＝7.11．两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，若S n T n＝2n3n ＋1，求a nb n.解析 a n b n ＝(2n －1)a n (2n －1)b n ＝S 2n －1T 2n －1＝2(2n －1)3(2n －1)＋1＝4n －26n －2＝2n －13n －1.12．设a ，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0，若S 5＝5，求S 6及a 1.解 S 5S 6＋15＝0，S 5＝5，得S 6＝－3，由⎩⎨⎧5a 1＋5×42d ＝5，6a 1＋6×52d ＝－3，得a 1＝7.∴S 6＝－3，a 1＝7.思 维 探 究13．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S nn ＋c ，求非零常数c .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，且d >0.∵a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22，又a 3a 4＝117，∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两个根．又公差d >0，∴a 3<a 4，∴a 3＝9，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4. ∴a n ＝4n －3.(2)由(1)知，S n ＝n ×1＋n (n －1)2×4＝2n －n ， ∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c.∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c .∵{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3，1∴2c2＋c＝0，∴c＝－2(c＝0舍去)．。

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】双基限时练(七)1．下列叙述正确的是( )A ．数列1,3,5,7与7,5,3,1是同一数列B ．数列0,1,2,3，…的通项公式为a n ＝n C. 0,1,0,1，…是常数列D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n n ＋1是递增数列答案 D2．数列23，45，67，89，…的第10项是( ) A.1617 B.1819 C.2021 D.2223答案 C3．数列1,3,6,10，x,21，…中，x 的值是( ) A ．12 B ．13 C ．15 D ．16 答案 C4．下列说法不正确的是( ) A ．数列可以用图形表示 B ．数列的通项公式不唯一 C ．数列的项不能相等 D ．数列可能没有通项公式 答案 C5．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列解析 由a n ＋1－a n －3＝0，得a n ＋1＝a n ＋3， ∴数列{a n }是递增数列． 答案 A6．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( ) A ．a n ＋1＝a n ＋n (n ∈N *) B ．a n ＝a n －1＋n (n ∈N *，n ≥2) C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)(n ∈N *，n ≥2) D ．a n ＝a n －1＋(n －1)(n ∈N *，n ≥2)解析 把数的前5项代入验证，知a n ＝a n －1＋n 适合． 答案 B7．观察数列的特点，用适当的一个数填空：1，3，5，7，________，11，….答案 38．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第________项．解析 令n －2n 2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0，解得n ＝10，或n ＝52(舍去)， ∴a 10＝0.08. 答案 109．若数列的通项公式是a n ＝3－2n，则a 2n ＝________；a 2a 3＝________.解析 ∵a n ＝3－2n ，∴a 2n ＝3－22n ＝3－4n ，a 2a 3＝3－223－23＝15.答案 3－4n 1510．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－8n ＋12，那么该数列中为负数的项一共有________项．解析 由a n ＝n 2－8n ＋12<0， 得(n －2)(n －6)<0， ∴2<n <6，又n ∈N ＋， ∴n ＝3,4,5共3项． 答案 311．根据数列的通项公式，写出下列数列的前5项，并用图象表示出来．(1)a n ＝(－1)n ＋2； (2)a n ＝2nn ＋1.解 (1)∵a n ＝(－1)n ＋2，∴a 1＝1，a 2＝3，a 3＝1，a 4＝3，a 5＝1. ∴数列的前5项是1,3,1,3,1. 图象如图①.① ②(2)数列{a n }的前5项依次是：1，43，32，85，53.图象如图②. 12．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －23n ＋1.(1)求a 10；(2)710是否为该数列中的项？若是，它为第几项？ (3)求证：0<a n <1.解 (1)a 10＝3×10－23×10＋1＝2831.(2)令a n ＝710，即3n －23n ＋1＝710，解得n ＝3，∴710为数列{a n }中的项，为第3项． (3)证明：a n ＝3n －23n ＋1＝1－33n ＋1.∵n ∈N *，∴3n ＋1>3.∴0<33n ＋1<1，∴0<1－33n ＋1<1，即0<a n <1.。

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】双基限时练(二)1．在△ABC 中，a 2＋b 2<c 2，则这个三角形一定是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形解析 由a 2＋b 2<c 2，知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0， 又0<C <π，∴C 为钝角．故△ABC 为钝角三角形． 答案 B2．在△ABC 中，已知a 2＋b 2－c 2＝ab ，则C ＝( ) A ．60° B ．120° C ．30°D ．45°或135°解析 由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12， 又0°<C <180°，∴C ＝60°. 答案 A3．在△ABC 中，a ：b ：c ＝3：5：7，则△ABC 的最大角是( ) A ．30° B ．60° C ．90°D ．120°解析 由a ：b ：c ＝3：5：7，知最大边为c ，∴最大角为C ，设a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝7k (k >0)，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0°<C <180°，∴C ＝120°.答案 D4．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则这个三角形是( ) A ．不等边三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形D ．直角三角形解析 由b 2＝ac 及余弦定理，得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos60°， 即ac ＝a 2＋c 2－ac ，∴(a －c )2＝0，∴a ＝c ，又B ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形． 答案 B5．△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( )A ．19B ．14C ．－18D ．－19解析 由余弦定理，得cos B ＝AB 2＋BC 2－CA 22·AB ·BC ＝72＋52－622·7·5＝1935.∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 〈AB →，BC →〉＝7×5×⎝⎛⎭⎪⎫－1935＝－19.答案 D6．在△ABC 中，已知a ，b 是方程x 2－5x ＋2＝0的两根，C ＝120°，则边c ＝____________.解析 由韦达定理，得a ＋b ＝5，ab ＝2.由(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ， 得a 2＋b 2＝52－2×2＝21. ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos120°＝23. ∴c ＝23. 答案237．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则最大角的余弦值为____________．解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝72＋82－2×7×8×1314＝9.∴c ＝3，因此最大角为B ，由余弦定理，得 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－17. 答案 －178．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，b ＝7，c ＝3，则B ＝__________.解析 由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1＋3－72×1×3＝－32，∴B ＝5π6.答案 5π69．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝ab ，则角C ＝________.解析 由(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝ab ，得(a ＋b )2－c 2＝ab ，即 a 2＋b 2－c 2＝－ab . 由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12.∴c ＝2π3. 答案 2π310．在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，判断△ABC 的形状． 解 由余弦定理，知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝72＋62－1022×7×6＝－528.在△ABC 中，0°<B <180°，∴90°<B <180°. ∴△ABC 为钝角三角形．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cos C .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝7，b ＋c ＝4，求bc 的值．解 (1)根据正弦定理及2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cos C ， 得2sin B cos A ＝sin C cos A ＋sin A cos C ＝sin(A ＋C )＝sin B . ∵sin B ≠0，∴cos A ＝12. ∵0<A <π，∴A ＝π3. (2)根据余弦定理得7＝a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc ，∵b ＋c ＝4，∴bc ＝3.12．在△ABC 中，m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C 2，sin C 2， n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos C 2，－sin C 2，且m 与n 的夹角为π3.(1)求C ；(2)已知c ＝72，三角形面积S ＝332，求a ＋b . 解 (1)∵m ＝(cos C 2，sin C2)， n ＝(cos C 2，－sin C2)， ∴m ·n ＝cos 2C 2－sin 2C 2＝cos C .又m ·n ＝|m |·|n |cos π3＝12， ∴cos C ＝12.又0<C <π， ∴C ＝π3.(2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，c ＝72，∴494＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab . ∵S ＝12ab sin C ＝12ab sin π3＝34ab ， 而S ＝332，∴ab ＝6.∴(a ＋b )2＝494＋3ab ＝494＋18＝1214.∴a ＋b ＝112.高中数学知识点 三角函数 1、 以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点 P 到原点的距离记为，则 sin= ， cos = ， tg = ， ctg = ， sec = ， csc = 。

双基限时练(十五) 待定系数法基 础 强 化1．已知某一次函数过点(3,2)，且在x 轴、y 轴上的截距相等，则这个一次函数的解析式为( )A ．y ＝23x B ．y ＝－x ＋5C ．y ＝23x ，或y ＝－x ＋5 D ．y ＝－23x ，或y ＝x －5解析 设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b ，由题意可知⎩⎨⎧3k ＋b ＝2，－bk ＝b ，∴⎩⎨⎧k ＝23，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝5， ∴该一次函数的解析式为y ＝23x ，或y ＝－x ＋5. 答案 C2．若函数f (x )＝mx 4x －3(x ≠34)在定义域内恒有f [f (x )]＝x ，则m 的值为( )A ．3 B.32 C ．－32D ．－3解析 f [f (x )]＝m 2x 4x －34mx 4x －3－3＝m 2x(4m －12)x ＋9.即m 2x(4m －12)x ＋9＝x 恒成立． ∴4m －12＝0，∴m ＝3. 答案 A3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x >0，)若f (－1)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 由f (－1)＝f (0)，f (－2)＝－2，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－b ＋c ＝c ，4－2b ＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c ＝－4，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －4，x ≤0，2，x >0.)令f (x )＝x ，得x ＝2或x ＝－2.答案 B4．若二次函数y＝2x2－2mx＋2m2－2的图象的顶点在y轴上，则m的值是()A．0 B．±1C．±2 D．±2解析由题意可知，二次函数的对称轴为y轴，∴m2＝0，∴m＝0.答案 A5．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴是直线x＝1，且经过P(3,0)，则a－b＋c的值为()A．0 B．－1C．1 D．2解析∵抛物线的对称轴为x＝1，且它经过P(3,0)，∴抛物线也经过(－1,0)，∴a－b＋c＝0.答案 A6．已知某二次函数的图象与函数y＝2x2的图象形状一样，开口方向相反，且其顶点为(－1,3)，则此函数的解析式为() A．y＝2(x－1)2＋3 B．y＝2(x＋1)2＋3C．y＝－2(x－1)2＋3 D．y＝－2(x＋1)2＋3解析设所求函数的解析式为y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，由题意可知a＝－2，h＝1，k＝3，故y＝－2(x＋1)2＋3.答案 D7．已知函数f(x)＝ax2＋2x－3的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为________．解析 当a ＝0时，f (x )＝2x －3，满足图象与x 轴有一个交点； 当a ≠0时，Δ＝4＋12a ＝0，∴a ＝－13. 综上所述，a ＝0，或a ＝－13. 答案 0或－138．若一次函数y ＝f (x )在区间[－1,3]上的最小值为1，最大值为3，则f (x )的解析式为________．解析 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)．当k >0时，⎩⎪⎨⎪⎧ k ·(－1)＋b ＝1，k ·3＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝12，b ＝32.当k <0时，⎩⎪⎨⎪⎧k ·(－1)＋b ＝3，k ·3＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，b ＝52.∴f (x )＝12x ＋32或f (x )＝－12x ＋52. 答案 f (x )＝12x ＋32或f (x )＝－12x ＋52能 力 提 升9．已知二次函数当x ＝4时有最小值－3，且它的图象与x 轴两交点间的距离为6，则这个二次函数的解析式为______________________．解析 由题意，知抛物线的对称轴为x ＝4，抛物线与x 轴的两交点的坐标是(1,0)与(7,0)，如图所示．设二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由条件可得抛物线的顶点为(4，－3)，且过点(1,0)和(7,0)，将三个点的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝16a ＋4b ＋c ，0＝a ＋b ＋c ，0＝49a ＋7b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝－83，c ＝73.∴所求二次函数的解析式为y ＝13x 2－83x ＋73. 答案 y ＝13x 2－83x ＋7310.已知y ＝f (x )的图象如图所示． (1)求f (x )的解析式；(2)求函数的值域．解 由图象可知①：当0≤x ≤2时，f (x )是一次函数． 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝b ＝2，f (1)＝k ＋b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，k ＝－2.故f (x )＝－2x ＋2. ②当2<x <3时，f (x )＝－2.③当3≤x ≤5时，f (x )是一次函数． 设f (x )＝mx ＋n (m ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧f (3)＝3m ＋n ＝－2，f (5)＝5m ＋n ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－5，此时f (x )＝x －5.综上可知，f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧－2x ＋2，0≤x ≤2，－2，2<x <3，x －5，3≤x ≤5.)由图可知该函数的值域为[－2,2]．11．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点(－1，－5)，且与正比例函数y ＝12x 的图象相交于点(2，a )．(1)求a 的值；(2)求一次函数的解析式．解 (1)a ＝12×2＝1.(2)⎩⎪⎨⎪⎧ －k ＋b ＝－5，2k ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－3，∴y ＝2x －3. 12．定义在[－6,6]上的奇函数f (x )，在[0,3]上为一次函数，在[3,6]上为二次函数，且x ∈[3,6]时，f (x )≤f (5)＝3，f (6)＝2，求f (x )的解析式．解 当x ∈[3,6]时，∵f (x )≤f (5)＝3， ∴可设f (x )＝a (x －5)2＋3.∵f (6)＝2，∴f (6)＝a (6－5)2＋3＝2，解得a ＝－1. ∴f (x )＝－(x －5)2＋3，x ∈[3,6]， 即f (x )＝－x 2＋10x －22，x ∈[3,6]． ∴f (3)＝－(3－5)2＋3＝－1.即x ∈[0,3]和x ∈[3,6]时，f (x )均过点(3，－1)． ∵x ∈[0,3]时，f (x )为一次函数， ∴可设f (x )＝kx ＋b .∵f (x )在x ∈[－6,6]上是奇函数， ∴f (0)＝0，∴b ＝0，即f (x )＝kx ，将点(3，－1)代入，得－1＝3k ，∴k ＝－13， ∴f (x )＝－13x ，x ∈[0,3]，∴f (x )＝⎩⎨⎧－13x ，x ∈[0，3]，－(x －5)2＋3，x ∈[3，6].又∵f (x )为奇函数，∴x ∈[－3,0]时，f (x )＝－f (－x )＝－13x ；x ∈[－6，－3]时，f (x )＝－f (－x )＝(－x －5)2－3＝(x ＋5)2－3. 即f (x )＝x 2＋10x ＋22，x ∈[－6，－3]．∴f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋10x ＋22，x ∈[－6，－3]，－13x ，x ∈[－3，3]，－x 2＋10x －22，x ∈[3，6].品 味 高 考13．已知一个二次函数y ＝f (x )，f (0)＝3，又知当x ＝－3或x ＝－5时，这个函数的值都为0，求其解析式．解 设y ＝f (x )＝a (x ＋3)(x ＋5)(a ≠0)， 由f (0)＝3，得 3＝a (0＋3)(0＋5)， ∴a ＝15.∴y ＝15(x ＋3)(x ＋5)＝15x 2＋85x ＋3. ∴f (x )＝15x 2＋85x ＋3.。

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】双基限时练(一)1．有关正弦定理的叙述：①正弦定理仅适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③正弦定理仅适用于钝角三角形；④在给定三角形中，各边与它的对角的正弦的比为定值；⑤在△ABC 中，sin A sin B sin C ＝a bc .其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析 ①②③不正确，④⑤正确． 答案 B2．在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3D.32解析 由正弦定理，得AC sin B ＝BC sin A ，即AC ＝BC ·sin B sin A ＝32×sin45°sin60°＝2 3.答案 B3．在△ABC 中，已知b ＝2，c ＝1，B ＝45°，则a 等于( ) A.6－22 B.6＋22 C.2＋1D ．3－ 2解析 由正弦定理，得sin C ＝c sin B b ＝sin45°2＝12，又b >c ，∴C＝30°，从而A＝180°－(B＋C)＝105°，∴a＝b sin Asin B，得a＝6＋22.答案 B4．在△ABC中，已知3b＝23a sin B，cos B＝cos C，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析利用正弦定理及第一个等式，可得sin A＝32，A＝π3，或2π3，但由第二个等式及B与C的范围，知B＝C，故△ABC必为等腰三角形．答案 B5．在△ABC中，若3a＝2b sin A，则B等于()A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°解析∵3a＝2b sin A，∴3sin A＝2sin B sin A.∵sin A≠0，∴sin B＝32，又0°<B<180°，∴B＝60°，或120°.答案 D6．在△ABC中，已知a：b：c＝4：3：5，则2sin A－sin Bsin C＝________.解析 设a ＝4k ，b ＝3k ，c ＝5k (k >0)，由正弦定理，得 2sin A －sin B sin C ＝2×4k －3k5k ＝1. 答案 17．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝22，则边c ＝________.解析 由A ＋B ＋C ＝180°，知C ＝30°， 由c sin C ＝b sin B ，得c ＝b sin C sin B ＝22×1222＝2.答案 28．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________. 解析 ∵tan A ＝13，∴sin A ＝110 .在△ABC 中，AB sin C ＝BCsin A ， ∴AB ＝BC sin A ·sin C ＝10×12＝102. 答案1029．在△ABC 中，若A ：B ：C ＝1：2：3，则a b c ＝________. 解析 由A ＋B ＋C ＝180°及A ：B ：C ＝1:2:3，知A ＝180°×16＝30°，B ＝180°×26＝60°，C ＝180°×36＝90°.∴a：b ：c ＝sin30°：sin60°：sin90°＝12：32：1＝1：3：2.答案 1：3：210．如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2.(1)求cos ∠CBE 的值； (2)求AE .解 (1)∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ， ∴∠CBE ＝15°.∴cos ∠CBE ＝cos15°＝cos(45°－30°)＝6＋24. (2)在△ABE 中，AB ＝2， 由正弦定理，得AE sin (45°－15°)＝2sin (90°＋15°)，故AE ＝2sin30°sin75°＝2×126＋24＝6－ 2.11．△ABC 三边各不相等，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c且a cos A ＝b cos B ，求a ＋bc 的取值范围．解 ∵a cos A ＝b cos B ，∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin2A ＝sin2B .∵2A,2B ∈(0,2π)，∴2A ＝2B ，或2A ＋2B ＝π， ∴A ＝B ，或A ＋B ＝π2.如果A ＝B ，那么a ＝b 不合题意，∴A ＋B ＝π2. ∴a ＋b c ＝sin A ＋sin Bsin C ＝sin A ＋sin B ＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4.∵a ≠b ，C ＝π2，∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且A ≠π4，∴a ＋bc ∈(1，2)．12．在△ABC 中，sin(C －A )＝1，sin B ＝13. (1)求sin A ；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积． 解 (1)∵sin(C －A )＝1，－π<C －A <π， ∴C －A ＝π2.∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＋A ＋π2＝π，∴B ＝π2－2A ，∴sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2A ＝cos2A ＝13.∴1－2sin 2A ＝13.∴sin 2A ＝13，∴sin A ＝33.(2)由(1)知，A 为锐角，∴cos A ＝63，sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A ＝cos A ＝63， 由正弦定理得AB ＝AC ·sin Csin B ＝6·6313＝6.S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝12×6×6×33＝3 2.。

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】双基限时练(六)1．在△ABC 中，已知BC ＝6，A ＝30°，B ＝120°，则△ABC 的面积等于( )A ．9B ．18C ．9 3D ．18 3解析 由正弦定理得AC sin B ＝BC sin A ， ∴AC ＝BC ·sin B sin A ＝6×sin120°sin30°＝6 3. 又∠ACB ＝180°－120°－30°＝30°， ∴S △ABC ＝12×63×6×12＝9 3. 答案 C2．在△ABC 中，若a 2＋b 2＋ab <c 2，则△ABC 是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形D ．形状无法判定解析 由a 2＋b 2＋ab <c 2，得a 2＋b 2－c 2<－ab . 又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <－12.又cos120°＝－12，∴C >120°，故△ABC 为钝角三角形． 答案 A3．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，若△ABC 的面积为32，则tan C 为( )A. 3B ．1C.33D.32解析 由S △ABC ＝12BC ·BA sin B ＝32，得BA ＝1， 由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B . ∴AC ＝3，∴AC 2＋BA 2＝BC 2.∴△ABC 为直角三角形，其中A 为直角． ∴tan C ＝AB AC ＝33. 答案 C4．三角形的两边长为3和5，其夹角的余弦值是方程5x 2－7x －6＝0的根，则该三角形的面积是( )A ．6 B.152 C ．8D ．10解析 由5x 2－7x －6＝0，得x ＝－35，或x ＝2(舍去)．∴cos α＝－35，sin α＝45，∴S △＝12×3×5×45＝6.答案 A5．△ABC 中，A ＝60°，b ＝16，此三角形的面积S ＝2203，则a 的值为( )A ．7B ．25C ．55D ．49解析 由S ＝220 3，得12bc sin A ＝220 3.即12×16×c ×32＝220 3，∴c ＝55. ∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos60°＝162＋552－2×16×55×12＝2401.∴a ＝49. 答案 D6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知a ＝3，b ＝3，C ＝30°，则A ＝________.解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3＋9－2×3×3×32＝3， ∴c ＝ 3.又a sin A ＝c sin C ，∴sin A ＝a sin Cc ＝3·123＝12，∴a <b ，∴A <B ，∴A ＝30°. 答案 30°7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝______.解析 ∵(3b －c )cos A ＝a cos C ， ∴由正弦定理，得(3sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C .∴3sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B .∴cos A ＝33.答案 338．在△ABC 中，a 2－b 2＋bc ·cos A －ac ·cos B ＝________. 解析 由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，得bc ·cos A ＝12(b 2＋c 2－a 2)，同理ac ·cos B ＝12(a 2＋c 2－b 2)．∴a 2－b 2＋bc ·cos A －ac ·cos B＝a 2－b 2＋12(b 2＋c 2－a 2)－12(a 2＋c 2－b 2)＝a 2－b 2＋b 2－a 2＝0. 答案 09．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，c ＝4，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C的值为________．解析 在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，得a ＋b ＋c ＝2R (sin A ＋sin B ＋sin C )．又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋16－2×1×4×12＝13，∴a ＝13，∴a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ＝a sin A ＝13sin60°＝2393. 答案 239310．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，又c ＝21，b ＝4，且BC 边上的高h ＝2 3.(1)求角C ； (2)求边a 的长．解 (1)由于△ABC 为锐角三角形，过A 作AD ⊥BC 于D 点，sin C ＝234＝32，则C ＝60°. (2)由余弦定理，可知 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，则(21)2＝42＋a 2－2×4×a ×12，即a 2－4a －5＝0.所以a ＝5，或a ＝－1(舍)． 因此所求角C ＝60°，边a 长为5.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，求△ABC 的面积． 解 (1)由余弦定理及已知条件，得 a 2＋b 2－ab ＝4.又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3得ab ＝4，联立方程组⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)由题意，得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， 即sin B cos A ＝2sin A cos A . 当cos A ＝0时，A ＝π2，B ＝π6， ∴a ＝433，b ＝233.∴△ABC 的面积S ＝12·a 2－b 2·b ＝23 3. 当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ， 由正弦定理，知b ＝2a ，联立方程组⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎨⎧a ＝233，b ＝433.∴△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233.12．△ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，cos A ＝1213.(1)求AB →·AC →；(2)若c －b ＝1，求a 的值．解 (1)在△ABC 中，∵cos A ＝1213，∴sin A ＝513. 又S △ABC ＝12bc sin A ＝30，∴bc ＝12×13. ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos A ＝bc cos A ＝144. (2)由(1)知bc ＝12×13，又c －b ＝1， ∴b ＝12，c ＝13.在△ABC 中，由余弦定理，得 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝122＋132－2×12×13×1213＝25，∴a ＝5.。

双基限时练(二)一、选择题1．若数列{a n }的通项公式a n ＝3n ＋2，则数列{a n }的图像是( ) A ．一条直线 B ．一条抛物线 C ．一群孤立的点D ．一个圆解析 ∵n ∈N ＋，∴数列{a n }的图像是一群孤立的点，且这些点都在直线y ＝3x ＋2上．答案 C2．在数列{a n }中，a n ＝3－2n ，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列D ．摆动数列解析 ∵a n ＋1－a n ＝3－2(n ＋1)－3＋2n ＝－2<0，∴数列{a n }为递减数列．答案 B3．已知数列{a n }为递减数列，且a n ＝(3－2a )n ＋1，则实数a 的取值范围是( )A ．a <32B ．a >32C ．a ≤32D ．a ≥32解析 由{a n }为递减数列，知3－2a <0，即a >32. 答案 B4．数列{3n 2－28n }中，各项中最小的项是( ) A ．第4项 B ．第5项 C ．第6项 D ．第7项解析 对称轴n ＝286＝143＝423，∴当n ＝5时，a n 取得最小值． 答案 B5．数列{a n }的通项公式是a n ＝anbn ＋1，其中a 、b 都为正实数，则a n 与a n ＋1的大小关系是( )A ．a n >a n ＋1B ．a n <a n ＋1C ．a n ＝a n ＋1D ．与n 有关解析 a n ＋1－a n ＝a (n ＋1)b (n ＋1)＋1－anbn ＋1＝abn 2＋abn ＋an ＋a －abn 2－abn －an (bn ＋1)[b (n ＋1)＋1]＝a(bn ＋1)[b (n ＋1)＋1]. ∵a ，b ∈R ＋，n ∈N ＋，∴a n ＋1－a n >0. 答案 B6．已知数列{－2n 2＋4an ＋3}中的数值最大的项为第6项，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫112，6 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫6，132C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤112，132 D ．{6}解析 由题意得，对称轴a ∈[5.5,6.5]． 答案 C 二、填空题7．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋a n，则a 5＝________.解析 由a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋a n，得a 2＝12，a 3＝121＋12＝13，a 4＝1343＝14，a 5＝1454＝15.答案 158．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2，则a n ＝_______________. 解析 由a n ＋1＝a n ＋2，a 1＝1，知a 2＝3，a 3＝5，a 4＝7，…，a n ＝2n －1.答案 2n －19．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N ＋)，则f (n ＋1)－f (n )＝________.解析 由f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，得f (n ＋1)＝1n ＋1＋1＋1n ＋1＋2＋…＋12n ＋12n ＋1＋12(n ＋1)，∴f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2. 答案12n ＋1－12n ＋2三、解答题10．已知a n ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n(a ≠0且为常数)，试判断{a n }的单调性． 解 ∵a n －a n －1＝－a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n(n ≥2，且n ∈N ＋)，∴当a >0时，a n －a n －1<0.即a n <a n －1，数列{a n }为递减数列． 当a <0时，a n －a n －1>0，即a n >a n －1，数列{a n }是递增数列． 11．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4. (1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？求出最小值． 解 (1)由a n ＝n 2－5n ＋4＝(n －52)2－94当n ＝2时，a n ＝－2， 当n ＝3时，a 3＝－2， 当n ＝1时，a 1＝0， 同理，当n ＝4时，a 4＝0， 由函数的单调性可知， 当n ≥5时，a n >0，∴数列中只有a 2，a 3这两项为负数． (2)由a n ＝n 2－5n ＋4＝(n －52)2－94， 知对称轴为n ＝52＝2.5，又n ∈N ＋，∴当n ＝2，或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2. 12．已知数列{a n }满足a n ≤a n ＋1，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N ＋，求实数λ的取值范围．解 ∵a n ≤a n ＋1，∴n 2＋λn －(n ＋1)2－λ(n ＋1)≤0，即λ≥－(2n ＋1)，n ∈N ＋.∴λ≥－3.∴实数λ的取值范围是[－3，＋∞)．思 维 探 究13．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝1n 2＋5n ＋4.(1)你能判断该数列是递增的，还是递减的吗？ (2)该数列中有负数项吗？解(1)对任意n∈N＋，∵a n＋1－a n＝1(n＋1)2＋5(n＋1)＋4－1n2＋5n＋4＝－2(n＋3)[(n＋1)2＋5(n＋1)＋4](n2＋5n＋4)<0，∴数列{a n}是递减数列．(2)令a n<0，即1n2＋5n＋4<0，∴n2＋5n＋4<0得(n＋4)(n＋1)<0，∴－4<n<－1. 而n∈N＋，故数列{a n}没有负数项．。

双基限时练(十五) 指数概念的扩充基 础 强 化1．a－89中，字母a 不能取的值是( )A. 0B. 1C. 98D. 12答案 A2．下列各式正确的是( ) A. －x ＝(－x ) 12(x ≠0)B. x －13＝－3x (x ≠0)C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y －34＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 3(x ，y ≠0) D.6y 2＝y 13(y <0)答案 C3．已知(x 2－3x ＋2)0没有意义，则x 的值为( ) A. 1B. 2C. 1或2D. －1或2解析 由于00没有意义，故x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1，或x ＝2，故答案为C.答案 C4．下列各式是分数指数幂的是( ) A. a 0 B. (m 2＋1)－3 C. 0－5D. ⎝⎛⎭⎪⎫－2332解析 选项A 中a 无限制条件，不符合分数指数幂的定义；选项C 中0－5无意义，因为0的负分数指数幂无意义；选项D 不符合分数指数幂的定义，底数小于0.故选B.答案 B5．下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是( )A. (－1) 13 和(－1) 26B. 02和012C. 2 12和414D. 4－32和⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3解析 选项A 和B所给的式子(－1) 13 和(－1)23，02不符合分数指数幂定义的限制条件，故均不正确；选项D 所给的式子4－ 32和⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3虽符合分数指数幂的定义，但值不相等，故不正确．而C 中212＝2，414 ＝422＝212＝2，故选C.答案 B6.3(－3)5＋3952等于( )A. 2335 B. －2335 C. 0 D. 1答案 C7.4(3－π)4的值为________． 解析4(3－π)4＝|3－π|＝π－3.答案 π－3能 力 提 升8．在式子(3－2x ) －12中，x 的取值范围是________．解析 由于(3－2x )－12＝1(3－2x ) 12＝13－2x，因此应有3－2x >0，即x <32.答案 x <329.40.0625＋254－(π)0－3278＝________.解析40.0625＋254－(π)0－ 3278＝12＋52－1－32＝12.答案 1210．求函数y ＝(2x ＋3)－38－(6x －5)的定义域．解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3>0，6x －5≠0，解得x >－32且x ≠56.∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >－32且x ≠56. 11．把下列是根式的化为分数指数幂，是分数指数幂的化为根式(式中字母均为正实数)．解12．已知幂函数y ＝f (x )的图像过点(9，13)．(1)求f (x )的解析式； (2)求f (25)的值；(3)若f (a )＝b (a ，b >0)，则a 用b 可表示成什么？ 解 (1)设f (x )＝x t ，则9t ＝13. 即32t ＝3－1，∴t ＝－12，∴f (x )＝x－12(x >0)．(2)f (25)＝25－12＝125 12＝125＝15.(3)由f (a )＝b 得a－12＝b ，∴a ＝b －2＝1b 2.考 题 速 递13．若(4a ＋1)2＝－4a －1，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵(4a ＋1)2＝|4a ＋1|＝－4a －1，则4a ＋1≤0，∴a ≤－14. 答案 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－14。

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】双基限时练(四)1．在△ABC 中，若sin B ：sin C ＝3：4，则边c b 等于( )A ．4：3，或16：9B ．3：4C ．16：9D ．4：3解析 由正弦定理c sin C ＝b sin B ，得c b ＝sin C sin B ＝43. 答案 D2．在△ABC 中，已知a ＝32，b ＝162，∠A ＝2∠B ，则边长c 等于( )A ．32 2B ．16 2C ．4 2D ．16解析 由正弦定理，可得a b ＝sin A sin B ＝sin2B sin B ＝2cos B .∴cos B ＝22，∴B ＝45°，A ＝90°，∴c ＝b ＝16 2.答案 B3．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解析 由正弦定理及题设条件，知sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C .由sin Acos A ＝sin Bcos B ，得sin(A －B )＝0.∵0<A <π，0<B <π，得－π<A －B <π，∴A －B ＝0.∴A ＝B .同理B ＝C ，∴△ABC 是等边三角形．答案 B4．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( ) A ．6 B ．2 6 C ．3 6D ．4 6解析 由余弦定理，得 AC 2＝BC 2＋AB 2－2·AB ·BC ·cos B ＝62＋42－2×6×4×13＝36，∴AC ＝6. 答案 A5．有一长为10 m 的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是( )A ．5B ．10C ．10 2D ．10 3解析 如图，设将坡底加长到C 时，倾斜角为30°，在△ABC 中，AB ＝10 m ，∠C ＝30°，∠BAC ＝75°－30°＝45°.由正弦定理得BC sin ∠BAC＝AB sin C .即BC＝AB sin∠BACsin C＝10×2212＝102(m)．答案 C6．在△ABC中，已知AC＝2，BC＝3，cos A＝－513，则sin B＝________.解析∵cos A＝－513，∴sin A＝1213.由正弦定理，可得3sin A＝2sin B，∴sin B＝2sin A3＝23×1213＝813.答案8137．一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过 3 h，该船实际航程为________．解析如图所示，设O A→表示水流方向，O B→为船航行方向．则O C→为船实际航行方向．由题意，知|A C→|＝43，|O A→|＝23，∠OAC＝60°，在△OAC中，由余弦定理，得OC2＝(43)2＋(23)2－2×43×23×1＝36.2∴|OC|＝6.答案 6 km8．某人从A处出发，沿北偏东60°行走3 3 km到B处，再沿正东方向行走2 km到C处，则A，C两地距离为________ km.解析如图所示，由题意可知AB＝33，BC＝2，∠ABC＝150°.由余弦定理，得AC2＝27＋4－2×33×2×cos150°＝49，AC＝7.则A，C两地距离为7 km.答案79．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x＝________.解析如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B 点，易知在△AOB 中，AB ＝10 cm ，∠OAB ＝75°，∠ABO ＝45°，则∠AOB ＝60°，由正弦定理知：x ＝AB ·sin ∠ABO sin ∠AOB ＝10×sin45°sin60°＝1063(cm)．答案 1063 cm10．如图，某炮兵阵地位于A 点，两观察所分别位于C ，D 两点．已知△ACD 为正三角形，且DC ＝ 3 km ，当目标出现在B 点时，测得∠BCD ＝75°，∠CDB ＝45°，求炮兵阵地与目标的距离．解 ∠CBD ＝180°－∠CDB －∠BCD ＝180°－45°－75°＝60°， 在△BCD 中，由正弦定理，得 BD ＝CD sin75°sin60°＝6＋22.在△ABD 中，∠ADB ＝45°＋60°＝105°， 由余弦定理，得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos105°＝3＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×2－64＝5＋2 3. ∴AB ＝5＋2 3.∴炮兵阵地与目标的距离为5＋23km.高中数学知识点三角函数 1、 以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点 P 到原点的距离记为，则 sin= ， cos = ， tg = ， ctg = ， sec = ， csc = 。