平差三章
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第3章 平差随机模型的验后估计
第三章 平差随机模型的验后估计3－1 概述众所周知，一个平差问题必须首先建立改平差问题的数学模型，平差的数学模型包括函数模型和随机模型两类。
描述平差问题中观测量与观测量之间、观测量与未知参数之间相互关系的函数表达式，称平差函数模型。
随机模型是描述观测误差∆的一些随机特征，在平差中主要是∆的数学期望和方差，具有0)(=∆E （3-1-1）和10202)(-==∆P Q D σσ （3-1-2）（3-1-1）式表明观测误差中不含系统误差和粗差，是一般情况下最小二乘平差的要求（3-1-2）式式平差时定权的根据。
平差前，随机模型要已知)(∆D ，称为验前方差。
只有精确地已知验前方差)(∆D 才能精确地定权，所以随机模型的估计，就是验前方差)(∆D 的估计，也就是观测值权的估计。
过去很长的时间，平差都在单一的同类观测量中进行，例如测角网平差，水准网平差。
定权可从定义式（3-1-2）出发，采用测量平差中常用方法定权，例如，水准高差按路线长度倒数定权等。
随着平差对象从单一同类观测量扩展为不同类的多种观测量，一般，它们的验前方差又不能都已知，如果能精确地估计它们的方差，达到精确地定权就需要深入研究了。
所以，近20年来国内外测量界把平差随机模型的估计作为主要课题进行研究，取得了丰富的成果。
对不同类的观测量，一般采用经验公式定权，即根据仪器出厂标明的标称精度估算各自的方差，然后再按定义式（3-1-2）定权。
例如在边角同测的控制网中，测距仪给出的测边中误差标称精度公式为)(i i bs +±=ασ测角中误差为βσ（按规范），以i σ和βσ为测边和测角的验前方差定权，得122==βββσσP)/)'('(2222cm P iiss 单位：σσβ=在卫星网与地面网、重力网与水准网的联合平差，摄影测量与大地测量数据联合处理中，也可按上述经验公式的方法定权。
这种估计验前方差确定各类观测量权的方法，时间证明，在许多情况下是不够精确的。
第三章监测网平差及基准点稳定性分析
剔除动点后，其余点构成统计量
F1
ˆF 2 ˆ02
ˆF
2
=
dFT
PFF fF
dF
当F1<F分析值，分析即结束，反之，继续 剔除动点，继续检验，直到原假设不再拒绝，
最后剩下的都是稳定的点。
• 当网中存在固定点时，采用这些固定点作 基准，应用经典平差；
• 当网中某些点具有相对的稳定性，它们相 互变动是随机的情况下，则用这些点作拟 稳点，用拟稳平差对成果进行分析；
• 当监测网所有网点具有微小的随机变动时, 自由网平差是一种有效的分析方法.
因此，要合理地确定监测网的参考系，首先要 确定哪些点是稳定的或相对稳定的点，哪些点是 不稳定的点。从20世纪70年代起，人们相继提出 了多种关于监测点稳定性分析方法，其中平均间 隙法是一种比较典型的方法。
m i=1
xi =0
xm
x
1 m
m i 1
xi
0, x为水准网的高程重心.
x =0说明水准网的自由网平差参考系是网的高程重心.
以测边网为例：自由网平差
x1
1
G
T
X=
0
- y10
0 1 x10
1 0 - y20
0 1 x20
…1 …0 … ym0
0 1 xm0
y1 xm
所以：对监测网进行稳定性分析，并 根据稳定性分析结果选择平差方法，确立 一个对变形分析比较有利的参考系，是变 形观测数据处理的一项重要任务。
§3—2 监测网的参考系及其平差
起算数据称为平差问题的基准：基准给出了控制网的位 置。
尺度和方位的定义 即控制网的参考系.
• 经典平差：采用选择固定基准的办法确定参考 系. （满足待估参数的求取要求） • 监测网平差：满足有多期复测的观测值估计的 位移 是一种“绝对的”或接近绝对的位移
第三章 水准网平差程序设计
2）已知点高程信息：该部分占N1行，每行格式为
已知点编号，该点的高程（单位：米）。
注意：在给控制点编号时，先给待定点编号，然后 给已知点编号。编号从1开始顺序编号。 3）高差观测值信息：该部分占NS行，每行格式为
测段编号，测段起点编号，测段终点编号，测段观 测高差（单位：米），测段长度（单位：千米）。
（3）循环访问每一个观测值，取出每个观测值的 起点点号（假定为p1）和终点点号（假定为p2 ）
根据p1、p2得到p1到目标点的路线长度S1和p2到 目标点的长度S2，再结合p1、p2的路线长度S12， 判断p1是否可以作为p2的邻接点，以及p2 是否可
以作为p1的邻接点。
那么p1可作为p2的邻接点的条件为：
本章难点： 1、近似高程计算 2、最短路线的计算 3、误差方程及法方程的构建 4、直接计算出法方程的系数矩阵BTPB和常 数矩阵BTPL
一、水准网间接平差算法概述
该课程中所采用的平差模型为间接平差，即所
选的独立参数的个数等于必要观测数，这样可以
将每个观测值表示成这t个参数的函数，组成观测
方程。
H近似 H已知 h测段
水网观测数据（测段）的组织：
测段号 起点 终点
1
AB
2
EC
3
DC
4
BC
5
AD
6
AC
7
AF
测段高差(m)
5.835 1.006 7.384 3.782 2.270 9.64 0.003
测段长(km) 测站数
1.5 0.8 2.1 3.2 1.7 1.3 4.1
水准网近似高程计算算法
间接平差的函数模型： L B X d
误差理论与测量平差基础第三章 协方差传播律及权
X
0 1
,
X
0 2
,
,
X
0 n
也可写为：
dZ
f X1
dX1 0
f X
2
dX2 0
f X
n
0 dX n
KdX
因此只要对非线性函数求全微分，获得系数矩阵即 可应用协方差传播率
12
第三章 协方差传播率及权
6、多个观测向量非线性函数的方差—协方差矩阵
基本思想：a、利用泰勒级数展开，略去二次以上项，
为第l2ilj i组E观(li测 值E(l的i ))方(l j 差 E；(l j ))
为第i组观测值关于第j组观测值的协方差，协方差用 来描述第i个观测值与第j个观测值之间的相关程度。
3
第三章 协方差传播率及权
§3-2 协方差传播率
1、协方差传播律的作用 （图3－1示例）
计算观测向量函数的方差—协方差矩阵，从而评 定观测向量函数的精度。
20
第三章 协方差传播率及权
对上式求全微分，得
dZ1
f1 X 1
dX 1
f1 X 2
dX 2
f1 X n
dX n
dZ 2
f 2 X 1
dX 1
f 2 X 2
dX 2
f 2 X n
dX n
dZt
f t X 1
dX 1
f t X 2
dX 2
f t X n
dX n
21
第三章 协方差传播率及权
2、预备公式
E(C) C , E(CX ) CE(X ), E(X Y ) E(X ) E(Y )
E(X1 X 2 X n ) E(X1) E(X 2) E(X n )
误差理论与平差基础-第3章 协方差传播率及权
2 0 0 2 DLL 0 0 2 0 0
2 0 0 2 / 3 1 / 3 1 / 3 2 / 3 1 / 3 1 / 3 1 / 3 2 / 3 1 / 3 0 2 0 1 / 3 2 / 3 1 / 3 DL ˆL ˆ 2 1 / 3 1 / 3 2 / 3 0 0 1 / 3 1 / 3 2 / 3
106.1 7.8 121 2.6 6.8 244.3
二、协方差传播律
2、线性函数的方差——协方差
[例7] 求等精度观测的三角形三个内角按照闭合差分配后角 度的协方差阵。 三角形闭合差: w 180 L1 L2 L3
1 2 1 1 ˆ L1 L1 W L1 L2 L3 60 3 3 3 3 1 1 2 1 ˆ L2 L2 W L1 L2 L3 60 3 3 3 3 ˆ L 1 W 1 L 1 L 2 L 60 L 3 3 1 2 3 3 3 3 3
a1( X A X s ) b1 (YA YS ) c1 ( Z A Z S ) a3 ( X A X S ) b3 (YA YS ) c3 ( Z A Z S )
a 2 ( X A X s ) b2 (YA YS ) c2 ( Z A Z S ) a3 ( X A X S ) b3 (YA YS ) c3 ( Z A Z S )
XY
XY XY
表示X、Y 间互不相关，对于 正态分布而言，相互独立。
YX XY 0
YX XY 0
表示X、Y 间相关。
二、协方差传播律
测量平差第三章习题与答案
测量平差第三章思考题3.1 下列各式中的()1,2,3i L i =均为等精度独立观测值，其中误差为s ，试求X 的中误差： （1）()12312X LL L =++；（2）123L L X L =3.2 已知观测值1L ，2L 的中误差12s s s ==，120s =，设11225,2X L Y L L =+=-，12Z L L =，t X Y =+，试求X ，Y ，Z 和t 的中误差。
的中误差。
3.3 设有观测向量[]12331TL L L L =，其协方差阵为，其协方差阵为40003002L LD éùêú=êúêúëû分别求下列函数的的方差：分别求下列函数的的方差： （1）1133F L L =-； （2）2233F L L =3.4 设有同精度独立观测值向量[]12331TL LLL=的函数为113s i n s i n A BL Y S L =，22A B Y L a =-，式中A B a 和A B S 为无误差的已知值，测角误差1"s =，试求函数的方差12y s 、22y s及其协方差12y y s3.5 在图中△ABC 中测得A A s б，边长b b s ±，c c s ±，试求三角形面积的中误差ss 。
3.6 在水准测量中，设每站观测高差的中误差均为1mm ，今要求从已知点推算待定点的高程中误差不大于5cm ，问可以设多少站？，问可以设多少站？ 3.7 有一角度测4个测回，得中误差为0.42〃，问再增加多少个测回其中误差为0.28〃？〃？ 3.8 在相同观测条件下，应用水准测量测定了三角点A ，B ，C 之间的高差，设三角形的边长分别为S 1=10km ，S 2=8km ，S 3=4km ，令40km 的高差观测值权威单位权观测，试求各段观测高差之权及单位权中误差。
第3讲(三角网条件平差
2012-4-25 2
第三章 条件平差
第四节
二、条件方程的列立 条件方程的种类：图形条件（内角和条件）、水平条件（圆周条件）、极条件、 条件方程的种类：图形条件（内角和条件）、水平条件（圆周条件）、极条件、 ）、水平条件 ）、极条件 方位角条件、边长条件、坐标条件。 方位角条件、边长条件、坐标条件。 1. 图形条件(n=15 图形条件(n=15 t=8 r=7 哪7个？) 每个三角形内角平差值和等于180 每个三角形内角平差值和等于180
sin L1 sin L4 sin L7 sin L10 sin L13 sin L1 sin L4 sin L7 sin L10 sin L13 v v cot L1 1 − cot L2 2 sin L2 sin L5 sin L8 sin L11 sin L14 ρ ′′ sin L2 sin L5 sin L8 sin L11 sin L14 ρ ′′
第三章 条件平差
第四节
三角网平差的目的 求待定点平面坐标平差值， 求待定点平面坐标平差值，并进行精度 评定。 评定。 三角网件方程个数等于多余观测个数。 条件方程个数等于多余观测个数。
r=nr=n-t
测角网、测边网、边角同测网。无 关键在于确定必要观测个数 t 。 测角网、测边网、边角同测网。 论网型多么复杂， 论网型多么复杂，都是由三角形和 大地四边形相互邻接或重叠而组成。 当网中有2个或2 大地四边形相互邻接或重叠而组成。 1.当网中有2个或2个以上已知点时 t=2 t=2倍待定点数 当网中仅具备4个必要起算数据（ 当网中仅具备4个必要起算数据（一点 坐标、一条边的方位、 坐标、一条边的方位、一条边的边 2.当网中少于2个已知点时 当网中少于2 长或已知两点坐标） 称为自由 长或已知两点坐标）时，称为自由 这四个数据成为必要起算数据。 网。这四个数据成为必要起算数据。 （1）测角网 t=2倍总点数t=2倍总点数-4 多余四个必要起算数据时，成为非自由 多余四个必要起算数据时，成为非自由 网。 （2）测边或边角网 t=2倍总点数t=2倍总点数-3
第三章 条件平差
第四节
二、条件方程的列立 条件方程的种类：图形条件（内角和条件）、水平条件（圆周条件）、极条件、 条件方程的种类：图形条件（内角和条件）、水平条件（圆周条件）、极条件、 ）、水平条件 ）、极条件 方位角条件、边长条件、坐标条件。 方位角条件、边长条件、坐标条件。 1. 图形条件(n=15 图形条件(n=15 t=8 r=7 哪7个？) 每个三角形内角平差值和等于180 每个三角形内角平差值和等于180
sin L1 sin L4 sin L7 sin L10 sin L13 sin L1 sin L4 sin L7 sin L10 sin L13 v v cot L1 1 − cot L2 2 sin L2 sin L5 sin L8 sin L11 sin L14 ρ ′′ sin L2 sin L5 sin L8 sin L11 sin L14 ρ ′′
第三章 条件平差
第四节
三角网平差的目的 求待定点平面坐标平差值， 求待定点平面坐标平差值，并进行精度 评定。 评定。 三角网件方程个数等于多余观测个数。 条件方程个数等于多余观测个数。
r=nr=n-t
测角网、测边网、边角同测网。无 关键在于确定必要观测个数 t 。 测角网、测边网、边角同测网。 论网型多么复杂， 论网型多么复杂，都是由三角形和 大地四边形相互邻接或重叠而组成。 当网中有2个或2 大地四边形相互邻接或重叠而组成。 1.当网中有2个或2个以上已知点时 t=2 t=2倍待定点数 当网中仅具备4个必要起算数据（ 当网中仅具备4个必要起算数据（一点 坐标、一条边的方位、 坐标、一条边的方位、一条边的边 2.当网中少于2个已知点时 当网中少于2 长或已知两点坐标） 称为自由 长或已知两点坐标）时，称为自由 这四个数据成为必要起算数据。 网。这四个数据成为必要起算数据。 （1）测角网 t=2倍总点数t=2倍总点数-4 多余四个必要起算数据时，成为非自由 多余四个必要起算数据时，成为非自由 网。 （2）测边或边角网 t=2倍总点数t=2倍总点数-3
第三章 监测网平差及参考点稳定性检验
1
V T PV s nt d
求 ( NN ) ： 可以在方阵中任意去掉d行、d列，把余下的式子 （已是满秩的）求出凯来逆，再在原来去掉的行、列补上0， 即为NN的一个广义逆。
因广义逆不唯一，但可以证明，用不同的广义 逆（NN）-代入上式后，求得的X向量却是相同的， 故X有唯一解！
3.3 秩亏自由网平差
2 X T 2K T N 0 X
X NK
X NK
T NNK A Pl 代入法方程，有：
NX AT Pl
K ( NN ) 1 AT Pl
X N ( NN ) 1 AT Pl
NN 仍是秩亏的，但
X N ( NN ) 1 AT Pl 却是惟一的
观测改正数： V AX l ( AN ( NN ) 1 AT P E )l 单位权方差：
3.3 秩亏自由网平差
四、 秩亏自由网平差——直接解法
问题的提出:在秩亏自由网平差中,如果像经典平差平差那样,只 要求遵循最小二乘原则求未知参数的解,将不可能取得唯一确定 的估计量; 解决方法:为了得唯一确定的估计量,需要在遵循最小二乘原则基 础上附加另外条件; 附加条件的前提:该条件的确定应保证所求得的未知数的估计量 是最优的. 这样的最优解是唯一存在的,它就是法方程的最小范数解!
3.2 监测网经典平差
一、间接平差原理
误差方程式：
L V AX
设观测值权为 P ，根据最小二乘原理：
V T PV min
求极值，有：
d (V T PdX
AT PV 0
3.2 监测网经典平差
AT P( AX l ) 0 AT PAX AT Pl
7.3mm
H P H P 0 H P 103.455m 7.3mm 103.4623
V T PV s nt d
求 ( NN ) ： 可以在方阵中任意去掉d行、d列，把余下的式子 （已是满秩的）求出凯来逆，再在原来去掉的行、列补上0， 即为NN的一个广义逆。
因广义逆不唯一，但可以证明，用不同的广义 逆（NN）-代入上式后，求得的X向量却是相同的， 故X有唯一解！
3.3 秩亏自由网平差
2 X T 2K T N 0 X
X NK
X NK
T NNK A Pl 代入法方程，有：
NX AT Pl
K ( NN ) 1 AT Pl
X N ( NN ) 1 AT Pl
NN 仍是秩亏的，但
X N ( NN ) 1 AT Pl 却是惟一的
观测改正数： V AX l ( AN ( NN ) 1 AT P E )l 单位权方差：
3.3 秩亏自由网平差
四、 秩亏自由网平差——直接解法
问题的提出:在秩亏自由网平差中,如果像经典平差平差那样,只 要求遵循最小二乘原则求未知参数的解,将不可能取得唯一确定 的估计量; 解决方法:为了得唯一确定的估计量,需要在遵循最小二乘原则基 础上附加另外条件; 附加条件的前提:该条件的确定应保证所求得的未知数的估计量 是最优的. 这样的最优解是唯一存在的,它就是法方程的最小范数解!
3.2 监测网经典平差
一、间接平差原理
误差方程式：
L V AX
设观测值权为 P ，根据最小二乘原理：
V T PV min
求极值，有：
d (V T PdX
AT PV 0
3.2 监测网经典平差
AT P( AX l ) 0 AT PAX AT Pl
7.3mm
H P H P 0 H P 103.455m 7.3mm 103.4623
第三章-间接平差2009
⎞ ⎛ n ⎜ ∑ aij b ji ⎟ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ j =1
61
所以（B6）式得征。
−1 T −1 −1 T −1 −1 = N bb B PQPBN bb = N bb B PBN b b = N bb
−1 T −1 T Q VV = (BN bb B P − I )Q(BN bb B P − I) T −1 T −1 T = (BN bb B P − I )Q(PBN bb B − I)
2 2 D =σ0 Q =σ0 P −1 ，且 rk(Q) = n
n×n
n× n
平差准则为最小二乘原理
V T PV = min ˆ ，进而求得 V 值，在数学中就是 间接平差就是在最小二乘原理要求下求出误差方程的待定参数 x
求多元函数的极值问题。
§3.1 间接平差原理
在间接平差的函数模型中，有 n = t + r 个误差方程，即
【 ∗ 】二次型对向量的导数
T
T
在二次型 V PV 中，矩阵 P 中的各元素为常数，向量 V 的各元素作为自变量，则该二次型的 导数为
T
d (V T PV ) = dV T ( PV ) + (V T P ) dV
T
上式右端每一项的值在转置后是不变的，因此得
T T T dV T ( PV ) = ⎡ ⎣ dV ( P V ) ⎤ ⎦ = V P dV
−1 T −1 T = (BN bb B − Q)(PBN bb B − I)
−1 T −1 T −1 T −1 T = BN bb B PBN bb B − BN bb B − QPBN bb B +Q
−1 T −1 T −1 T = BN bb B − BN bb B − BN bb B +Q
第9讲第三章条件平差-条件方程2pdf
如图平面三角网，其中 A、B、C 为已知点，P 为未知点，观测值为 cotL1v1 cotL3v3 cotL4v4 cotL6v6 w极 0 ，观测 各内角 Li （ i 1,2, ,6 ）
（3）固定边条件一个
ˆ ，L ˆ L v ， 值的平差值为 L i i i i
20
C 75
（2）圆周条件（水平条件） 圆周条件的个数等于中心点的条数。
9 3 6 D 4 2 B
ˆ L ˆ L ˆ 3600 0 L 3 6 9
A
8 1
ˆ L v 代入： 将L i i i L3 v 3 L6 v 6 L9 v 9 3600 0
v3 v6 v9 w4 0，w4 L3 L6 L9 3600
17
二、条件方程的形式
例 1：在右图所示的水准网中（箭头指 向高端） ，设观测高差为 h1 , h2 , h3 , h4 , h5 ，高 ˆ ,h ˆ ,h ˆ ,h ˆ ,h ˆ ，列出最或 差的最或然值为 h 1 2 3 4 5 然值及改正数应满足的条件关系式。
ˆ h ˆ ˆ h h 0 1 2 4 ˆ h ˆ ˆ 0 h h 2 3 5
28
观测值独立时
N AP 1 AT
C 75 6 D 3 A 8 1 4 2 B
n=9 t=4 r=n-t=9-4=5
9
19
（1）图形条件（内角和条件） 独立图形条件的个数等于互不重叠的三角形个数再加实 对角线的条数。
ˆ L ˆ L ˆ 180 0 0 ABD : L 1 2 3 ˆ L ˆ L ˆ 180 0 0 BCD : L 4 5 6 ˆ L ˆ L ˆ 180 0 0 ACD : L 7 8 9
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第一节 数学期望的传播
数学期望的定义： E( X ) xf ( x)dx
1. E (C ) C
Wuhan University
2. E (CX ) CE( X )
E(CX ) Cxf ( x)dx C xf ( x)dx CE( X ) 3. E ( X Y ) E ( X ) E (Y )
A h1
1
h6 h7 2 5 h5 4 h8 B
h2 h3
h H 5 H A h2 h7或H 5 H B h8或H 5 H A 4 h3 h4＋h5等
3
三角形的内角值
1 2 1 1 ˆ L1 L1 W L1 L2 L3 60 3 3 3 3 1 2 1 ˆ L2 L1 L2 L3 60 3 3 3 ˆ 1 L 1 L 2 L 60 L3 1 2 3 3 3 3
也可以用课本中式3-2-5计算
Wuhan University
例题3 设再测站A上，已知∠ABC=α, 设无误差，观测
角β1和β2的中误差σ1＝σ2＝1.4″，协方差σ12＝-1（秒2）， 求角x的中误差σx。
1 x 1 2 1 1 2 1 令＝ 2 12 12 1.96 1 D 2 21 2 1 1.96
土地资源管理专业
武汉大学资源与环境科学学院 二0一二年三月
第三章 协方差传播律及权
Wuhan University
全章共分7节，是本课程的重点内容之一。 重点：协方差传播律，权与定权的常用方法，以及协因数 传播律。 难点：权，权阵，协因数和协因数阵等重要概念的定义， 定权的常用方法公式应用的条件，以及广义传播律（协方差 传播律和协因数传播律）应用于观测值的非线性函数情况下 的精度评定问题。 要求：通过本章的学习，弄清协因数阵，权阵中的对角 元素与观测值的权之间的关系； 能牢固地掌握广义传播律和定权的常用方法的全部公式， 并能熟练地应用到测量实践中去，解决各类精度评定问题。
Wuhan University
往往，我们需要的成果不是通过直接测量获取的，而 是由直接测量的数据计算出来的，即需要的数据是观测值 的函数。如： 电磁波测距时，平距 S S cos
S 斜距
竖角 极坐标法测待定点坐标
X P X A S cos( AB ) YP YA S sin( AB )
2 1 2 3
ˆ L3 1/ 3L1 1/ 3L2 2 / 3L3 60
2 ˆ 2 / 3 1 / 3 1 / 3 L 60 L1 1 ˆ ˆ L 1 / 3 2 / 3 1 / 3 L 60 DLL 2 L 2 2 ˆ L 1 / 3 1 / 3 2 / 3 L 60 2 3 3
X Z F1 F2 Y DXY F1T DYY F2T
F1DXX F1T F1DXY F2T F2 DYX F1T F2 DYY F2T
X X I 0 Y DXX DZX F1 F2 DYX
L 例题2 设有观测向量 31 ，已知其协方差阵为 6 0 试求下列函数的方差：
F 3L2 2 L3
令L L1 L2 L3 , 又有k 0 3 2
T
0 2 4 0 2 0 2
F 0 3 2 L
6 0 2 0 DF 0 3 2 0 4 0 3 44 2 0 2 2
t1 tn n1 t1
E ( Z ) E ( KX k0 ) K X k0
DZZ E[( Z E ( Z ))( Z E ( Z ))T ] E[( KX K X )( KX K X )T ]
tt
KE[( X X )( X X )T ]K T K DXX K T
rn nn nt
当Y=Z时，变成（1）式，习惯上将描述观测值X的协方 差阵DXX与观测值函数Z的协方差阵Dzz以及两组函数Z和Y的
互协方差阵之间关系的公式都称为协方差传播律。
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例题4 设在一个三角形中，同精度独立观测得到三个内 角L1、L2、L3，其中误差为σ。 ˆ ˆ ˆ 试求将三角形闭合差平均分配后的各角 L1 , L2 , L3，的协方差阵。 三角形闭合差由下式计算： L1 L2 L3 180 ˆ L1 L1 1/ 3 2 / 3L1 1/ 3L2 1/ 3L3 60 ˆ L 1/ 3L 2 / 3L 1/ 3L 60
K k1
k2 kn
11
Z k1 x1 k2 x2 kn xn k0
E ( Z ) E ( KX k0 ) KE( X ) k0 K X k0
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根据方差的定义，Z 的方差为 2 DZZ Z E[( Z E ( Z ))( Z E ( Z ))T ]
E( X Y )
( x y ) f ( x, y )dxdy
x[ f ( x, y )dy]dx y[ f ( x, y )dx]dy
xf1 ( x)dx yf2 ( y )dy E ( X ) E (Y )
β
1
B
A
x1 1 1 1.92 1 1.96 x 1.4
2 x
二、多个观测值线性函数的协方差阵
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水准测量
H1 H A h1 H 2 H A h2 H 3 H A h3 H 4 H A h3 h4
展开以后得 2 2 2 2 2 DZZ Z k12 12 k2 2 kn n 2k1k2 12 2k1k3 13 2k1kn 1n 2kn 1kn n 1,n
当各分量两两独立时， ij 0 2 2 2 2 2 DZZ Z k12 12 k2 2 kn n
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例题1 设有观测向量 试求下列函数的方差：
F1 L1 2 L2 3L3
31
L，已知其协方差阵为 DLL
4 2 3
2 F 12 4 22 2 (3) 2 3 39
1
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第二节 协方差传播律
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一、观测值线性函数的方差 对于观测值 X ，其数学期望μx,协方差阵DXX
n1
DXX
有观测值的线性函数 Z K x k0
11 1n n1
12 12 1n 2 21 2 2 n E[( X x )( X x )T ] 2 n1 n 2 n
可以推广至一般情况 E( X1 X 2 X n ) E( X1 ) E( X 2 ) E( X n ) 4. 对于相互独立的变量X,Y有
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E ( X , Y ) E ( X ) E (Y )
因为变量X,Y相互独立，有 f ( X , Y ) f1 ( X ) f 2 ( y)
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对于观测值 X ，其数学期望μx，若有X的t个线性函数
n1
Z1 k11 X 1 k12 X 2 k1n X n k10 Z 2 k 21 X 1 k 22 X 2 k2 n X n k 20 Z t kt1 X 1 kt 2 X 2 ktn X n kt 0 用矩阵形式表示 Z K X k0
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2 2 / 3 1/ 3 1/ 3 2 / 3 1/ 3 1/ 3 DLL 1/ 3 2 / 3 1/ 3 2 1/ 3 2 / 3 1/ 3 ˆˆ 2 1/ 3 1/ 3 2 / 3 1/ 3 1/ 3 2 / 3
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角度（前方）交会法，求待定点坐标
XP X B ctg X Actg YB YA ctg ctg
YB ctg YActg X B X A YP ctg ctg
观测值的函数的中误差与观测值的中误差之间存在怎样
的关系？
tn nn nt
（1）
协方差传播律是协方差阵传播律的一种特殊情况
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对于观测值 X ，若还有X的r个线性函数 同样可得： T D FD
n1
Y FX f
r1 rn n1 r1
rr
YY
rn
nn
XX
F
nr
Y 关于Z 的互协方差阵
DYZ E[(Y E (Y ))( Z E ( Z ))T ] E[( FX F X )( KX K X )T ] FE[( X X )( X X )T ]K T F DXX K T
例题5设有函数 Z F1 X F2 Y ，已知X与Y的协方差阵 DXX t1 n1 r1 tn tr 和 DYY ，X关于Y的互协方差阵为 DXY ，求 DZZ和 Z关于X及Y 的互协方差阵 DZX和 DZY 。
nn
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rr
nr
tt