山东省2017届高考模拟(三)数学(文)试卷及答案(九校联考)
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2017年山东省高考文科数学试卷及参考答案与试题解析一、选择题:本题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(5分)设集合M={x||x-1|<1},N={x|x<2},则M∩N=( )A.(-1,1)B.(-1,2)C.(0,2)D.(1,2)2.(5分)已知i是虚数单位,若复数z满足zi=1+i,则z2=( )A.-2iB.2iC.-2D.23.(5分)已知x,y满足约束条件则z=x+2y的最大值是( )A.-3B.-1C.1D.34.(5分)已知cosx=,则cos2x=( )A.-B.C.-D.5.(5分)已知命题p:∃x∈R,x2-x+1≥0.命题q:若a2<b2,则a<b,下列命题为真命题的是( )A.p∧qB.p∧¬qC.¬p∧qD.¬p∧¬q6.(5分)若执行右侧的程序框图,当输入的x的值为4时,输出的y的值为2,则空白判断框中的条件可能为( )A.x>3B.x>4C.x≤4D.x≤57.(5分)函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为( )A. B. C.π D.2π8.(5分)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位:件).若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x和y的值分别为( )A.3,5B.5,5C.3,7D.5,79.(5分)设f(x)=若f(a)=f(a+1),则f()=( )A.2B.4C.6D.810.(5分)若函数e x f(x)(e=2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质,下列函数中具有M性质的是( )A.f(x)=2-xB.f(x)=x2C.f(x)=3-xD.f(x)=cosx二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分11.(5分)已知向量=(2,6),=(-1,λ),若,则λ=.12.(5分)若直线=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.13.(5分)由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为.14.(5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=.15.(5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.三、解答题16.(12分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.(Ⅰ)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;(Ⅱ)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.17.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=3,=-6,S△ABC=3,求A 和a.18.(12分)由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD 的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD,(Ⅰ)证明:A1O∥平面B1CD1;(Ⅱ)设M是OD的中点,证明:平面A1EM⊥平面B1CD1.19.(12分)已知{an }是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3.(1)求数列{an}通项公式;(2){bn } 为各项非零的等差数列,其前n项和为Sn,已知S2n+1=bnbn+1,求数列的前n项和Tn.20.(13分)已知函数f(x)=x3-ax2,a∈R,(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;(2)设函数g(x)=f(x)+(x-a)cosx-sinx,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.21.(14分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)动直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,⊙N的半径为|NO|.设D为AB的中点,DE,DF与⊙N分别相切于点E,F,求∠EDF的最小值.2017年山东省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本题共10小题,每小题5分,共50分。
二O 一七年高三校际联合模拟考试文科数学2017.05本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分,共5页。
满分150分。
考试时间120分钟。
考试结束后,将本试卷和答题卡—并交回. 注意事项:1.答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第I 卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
3.第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式:=V Sh 柱,其中S 为柱体的底面面积,h 为柱体的高.第I 卷(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)若复数12,z z 在复平面内的对应点关于实轴对称,122,i z i z z =-⋅=则 (A)5(B) 5-(C) 4i -+(D) 4i --(2)已知集合(){},1A x y y x ==+,集合(){},2B x y y x ==,则集合A B ⋂等于(A) ()12, (B) {}12, (C)(){}12,(D) ∅(3)若()1sin 32ππααπ-=≤≤,且,则cos α的值为(A)22(B) 22-(C)42(D) 42-(4)已知实数,x y 满足不等式组330,30,20,x y x y x y x +-≤⎧⎪--≤-⎨⎪≥⎩则的取值范围是(A) []1,3- (B) []3,1--(C) []1,6-(D) []6,1-(5) 命题:sin 21p x =,命题:tan 1q x p q =,则是的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(6)已知0.21.2512,,2log 22a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭,则,,a b c 的大小关系为(A) b a c << (B) c a b << (C) b c a << (D) c b a <<(7)某一算法程序框图如右图所示,则输出的S 的值为 (A)3(B) 3-(C) 3(D)0(8)已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(A) 6012π- (B) 606π- (C) 7212π-(D) 726π-(9)已知角θ始边与x 轴的非负半轴重合,与圆224x y +=相交于点A ,终边与圆224x y +=相交于点B ,点B 在x 轴上的射影为C ,积为()S θ,则函数ABC ∆的面()S θ的图象大致是(10)在等腰梯形()//2,1,20,1ABCD AB CD AB AD CD x x ===∈中,,且,其中,以A ,B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为1e ,以C ,D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为2e ,若对任意()0,1x ∈,不等式12t e e <+恒成立,则t 的最大值为(A)(B) (C)2(D)第II 卷(共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.(11)从编号为0,1,2,…,79的80件产品中,采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本,若编号为42的产品在样本中,则该样本中产品的最小编号为_____________.(12) 已知函数()2,0,4tan ,0,2x x f x f f x x ππ⎧<⎛⎫⎪⎛⎫==⎨ ⎪ ⎪-≤<⎝⎭⎝⎭⎪⎩则_______________.(13) 已知向量()()182,14,2,0,0,//a m b n m n a b m n==->>+若,则的最小值为____________.(14)已知函数()[)[)2017cos ,0,,2log ,,x x f x x πππππ⎧⎛⎫-∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪∈+∞⎪⎩若存在三个不同的实数,,a b c ,使得()()()f a f b f c ==,则a b c ++的取值范围为______________.(15)祖暅是我国齐梁时代的数学家,他提出了一条原理:“幂势既同,则积不容异”.这里的“幂”指水平截面的面积,“势”指高.这句话的意思是:两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体体积相等.由椭圆()222210y x a b a b+=>>所围成的平面图形绕y 轴旋转一周后,得到如图所示的几何体,称为椭球体.请类比应用祖暅原理求球体体积公式的做法,求出椭球体体积,其体积为______________.三、解答题:本大题共6小题,共75分. (16)(本小题满分12分)已知函数()11sin 23cos 2,,324f x x x x ππ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦. (I)求函数()f x 的值域;(II)已知锐角ABC ∆的两边长分别是函数()f x 的最大值和最小值,且ABC ∆的外接圆半径为32,求ABC ∆的面积.(17)(本小题满分12分)种子发芽率与昼夜温差有关.某研究性学习小组对此进行研究,他们分别记录了3月12日至3月16日的昼夜温差与每天100颗某种种子浸泡后的发芽数,如下表:(I )从3月12日至3月16日中任选2天,记发芽的种子数分别为c ,d ,求事件“c,d 均不小于25”的概率;(II )请根据3月13日至3月15日的三组数据,求出y 关于x 的线性回归方程$$y abx =+$; (III )若由线性回归方程得到的估计数据与实际数据误差均不超过2颗,则认为回归方程是可靠的,试用3月12日与16日的两组数据检验,(II )中的回归方程是否可靠?(18)(本小题满分12分)如图,菱ABCD 与四边形BDEF 相交于BD ,120,ABC BF ∠=⊥o 平面ABCD ,DE//BF,BF=2DE ,AF ⊥FC ,M 为CF 的中点,AC BD G ⋂=. (I)求证:GM //平面CDE ; (II)求证:平面ACE ⊥平面ACF .(19)(本小题满分12分)等差数列{}n a 前n 项和为5645,60n S S S ==,且. (I )求数列{}n a 的通项公式;(II )若数列{}n b 满足()1113n n n n b b a n N b b ++⎧⎫-=∈=⎨⎬⎩⎭且,求的前n 项和n T .(20)(本小题满分13分)已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,左、右顶点分别为12,.A B F F 以为直径的圆O 过椭圆E 的上顶点D ,直线DB 与圆O 相交得到的弦长为233.设点()(),P a t t ≠,连接PA 交椭圆于点C .(I)求椭圆E 的方程;(II)若三角形ABC 的面积不大于四边形OBPC 的面积,求t 的最小值.(21)(本小题满分14分)己知函数()()20x ax f x a e=≠,()1h x x x =-.(I)求函数()f x 的单调区间; (II)设()()()()()2111,22a g x f x h x f x h x cx ==+---⎡⎤⎣⎦且,已知函数()g x 在()0,+∞上是增函数.(1)研究函数()()()()0x f x h x ϕ=-+∞在,上零点的个数; (ii)求实数c 的取值范围.二〇一七年高三校际联合模拟考试文科数学参考答案 2017.05一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.ACBCC DADBB(1)答案A .解:∵复数12,z z 在复平面内的对应点关于实轴对称,12i,=-z ∴22i,=+z 则12=g z z (2﹣i )(2+i )=22+12=5.故选A . (2)答案C .解:据题意,得1,2,y x y x =+⎧⎨=⎩解得1,2,x y =⎧⎨=⎩所以集合A B I =(){}1,2.(3)答案B .解:1sin(π),3α-=ππ2α≤≤,则222cos 1sin 3=--=-αα. (4)答案C .解:设z=2-x y ,则=2-y x z ,作出不等式对应的平面区域(阴影部分)如图:平移直线=2y x ,由图象可知当直线=2-y x z 经过点(01),B 时,直线=2-y x z 的截距最大,此时z 最小,min 011z =-=-,当直线=2-y x z 经过点(30)C ,时,直线=2-y x z 的截距最小,此时z 最大,max 236z =⨯=,即26x y --1≤≤.(5)答案C .解:由sin 21,=x 得π2+2π,2=∈Z x k k ,即π+π,4=∈Z x k k ,由tan 1,=x 得π+π,4=∈Z x k k ,∴p 是q 的充要条件.故选:C .(6)答案D .解:∵0.20.2 1.21()=22,2-=<=b a ∴1>>a b .又∵552log 2=log 41=<c ,∴<<c b a .(7)答案A .解:由已知程序框图的功能是利用循环结构计算并输出变量.,233πsin 3π2017sin 03363π2017sin 3π2016sinsin π3π2sin 3πsin 336620160663πsin 3π2017sin sin π3π2sin 3πsinA S n y S 故选,故,个函数值的累加和为内,且同一周期的周期为的值,由于==+⨯=++⋅⋅⋅+++==÷=+⋅⋅⋅+++=Θ(8)答案D .解:根据三视图知:该几何体是直四棱柱,挖去一个半圆 柱体,且四棱柱的底面是等腰梯形,高为3;所以该组合体的体积为:π67232π2134)84(212-=⨯⨯-⨯⨯+⨯=V ,故选D . (9)答案B .解:由题得)sin 2,cos 2()02(θθB A ,,,所以()()0sin 2cos 222121≥⋅-==θθθAC BC S ,所以排除C,D . 又当4π3=θ时,212)(>+=θS ,综上可知,B 选项是正确的. (10)答案B .解:在等腰梯形ABCD 中,DAB AB AD AB AD BD ∠⋅⋅-+=cos 2222x x 41)1(21241+=-⨯⨯⨯-+=,)1,0(∈x ,由双曲线、椭圆定义可得1412,1,2141111-+==-+=x e c x a , 1412,,2141222++==++=x xe x c x a , 则21-411-41214121-41221x x x x x e e +++=++++=+,令),15,0(141-∈-+=x t ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+t t e e 42121在),15,0(-上单调递减,所以5154152121=⎪⎭⎫⎝⎛-+-⨯>+e e . 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.(11)10;(12)21;(13)29;(14)(2π,2018π);(15)24π3b a . (11)答案10.解:样本间隔为80÷5=16,∵42=16×2+10,∴该样本中产品的最小编号为10. (12)答案21.解:由已知π()tan 14f x =-=-,∴1π1(())(1)242f f f -=-==. (13)答案29.解:Q ∥a b ,∴420n m --=,即24n m +=.Q 0m >,0n >, ∴18m n +=118(2)()4n m m n ++=116(10)4n mm n ++≥116(102)4n m m n +⨯=92. 当且仅当843n m ==时取等号.(14)答案(2π,2018π).解:当[0,π]x ∈时,π()cos()sin 2f x x x =-=,∴()f x 在[0,π]上关于π2x =对称,且max ()1f x =;又当[π,)x ∈+∞时,()f x =2017log πx是增函数,函数()y f x =的图象如图所示.令2017log 1πx=,得2017πx =, Q ()f a =()f b =()f c ,实数a 、b 、c 互不相同,不妨设c b a <<,∴a +b =π,(π,2017π)c ∈,∴a +b +c =πc +(2π,2018π)∈.(15)答案24π3b a .解:椭圆的长半轴为a ,短半轴为b ,现构造两个底面半径为b ,高为a 的圆柱,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥,根据祖暅原理得出椭球的体积2(V V V =-圆柱圆锥)=2212ππ)3b a b a ⨯⨯-⨯(=24π3b a ⨯.三、解答题:本大题共6小题,共75分.(16)解:(Ⅰ)()sin 222sin(2)3f x x x x π==-π,………………………2分又]127π,3π[3π2∈-x , …………………………………………………………… 3分 所以当2π3π2=-x ,即12π5=x 时,max 5()()212f x f π== 2)12π5(=f , 当3π3π2=-x ,即3π=x 时,min ()()33f x f π== 3)3π(=f ,所以()f x 值域为2] ; …………………………………………………… 5分(II )设AB =,2AC = 则2sin sin 2B C ==, ………………….. .. 7分所以sin B =,sin C =,又ABC ∆是锐角三角形,所以1cos ,cosC 3B ==所以sin sin()A B C =+=, …………………………………………………… 9分所以1sin 2ABC S AB AC A ∆=⋅= ……………………………………………12分 (17)解:(Ⅰ)从5天中任选2天,共有10个基本事件:(12日,13日),(12日,14日),(12日,15日),(12日,16日),(13日,14日),(13日,15日),(13日,16日),(14日,15日),(14日,16日),(15日,16日).选出的二天种子发芽数均不小于25共有3个基本事件:(13日,14日),(13日,15日),(14日,15日).∴事件“,c d 均不小于25”的概率为310=P .…………………………………………5分 (Ⅱ)11131225302612,2733++++====x y .313=i i i x y x y =∑-5.32213i i x x =∑-=2.∴55ˆˆ,2712322==-⨯=-ba . ∴y 关于x 的线性回归方程为5ˆ=32-+y x .…………………………………………10分 (Ⅲ)当=10x 时,5ˆ=310=22,2322122y -+⨯-=<. 当=8x 时,5ˆ=38=17,1716122y -+⨯-=<. ∴回归方程5ˆ=32-+yx 是可靠的. ……………………………………………12分 (18)证明:(Ⅰ)取BC 的中点N ,连接MN GN ,.因为G 为菱形对角线的交点,所以G 为AC 中点,所以CD GN //,又因为N M ,分别为BC FC ,的中点,所以FB MN //,又因为BF DE //,所以MN DE //,又N GN MN =I ,所以平面//GMN 平面CDE ,又⊂GM 平面GMN ,所以//GM 平面CDE ; …………………6分 (Ⅱ)证明:连接GF GE ,,因为四边形ABCD 为菱形, 所以BC AB =,又⊥BF 平面ABCD ,所以CF AF =, 所以AC FG ⊥.设菱形的边长为2,ο120=∠ABC , 则3,1====GC GA GD GB ,又因为FC AF ⊥,所以3==GA FG ,则2=BF ,22=DE ,且⊥BF 平面ABCD ,BF DE //,得⊥DE 平面ABCD ,在直角三角形GED 中,26211=+=GE , 又在直角梯形BDEF 中,得223421=+=EF , 从而222GE GF EF +=,所以GE FG ⊥,又G GE AC =I , 所以⊥FG 平面ACE ,又⊂FG 平面ACF ,所以平面⊥ACE 平面ACF . ……………………………………………12分 (19)解:(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ,∵5645,60.S S ==∴1154545,265660,2a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩解得15,2.a d =⎧⎨=⎩∴ 5(1)22 3.n a n n =+-⨯=+ …………4分 (Ⅱ)∵123n n n b b a n +-==+,13b =, 112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---∴=-+-++-+L[][][]2(1)32(2)32133n n =-++-+++⨯++L2(1)232.2n n n n n -=⨯+=+ ……………8分 11111()(2)22n b n n n n ∴==-++. 1111111111(1)()()()()232435112n T n n n n ⎡⎤∴=-+-+-++-+-⎢⎥-++⎣⎦L 1111(1)2212n n =+--++31142(1)2(2)n n =--++. ……………12分 (20)解:(Ⅰ)因为以12F F 为直径的圆O 过点D ,所以,c b =则圆O 的方程为,222b y x =+ 又222+a bc =,所以a =,直线DB的方程为y x b =+,直线DB 与圆O 相交得到的弦长为223,则22)1||(2+-b ,1,33221222=∴=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-b b b 所以2a =, 所以椭圆E 的方程为2212x y +=. ………………………………5分(Ⅱ)设直线PA 的方程为222ty x =+(), 由2212222x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,(), 整理得2222(4)22280t x t x t +++-=,解得:12x =-,22242-24t x t =+,则点C 的坐标是22242-2444t tt t++(,), 故直线BC 的斜率为2BC k t =-,由于直线OP 的斜率为2OP tk =, 所以BC k 1OP k ⋅=-,所以OP BC ⊥. ………………………………10分222222222242-248(2)||(2)()44(4)t t t t BC t t t +=+=+++-,2||22+=t OP , 所以3212(+2)24OBPCt t S OP BC t =⨯⨯=+, 22144222244ABCt t S t t ∆=⨯⨯=++,所以322422(2)44t t t t t+≤++, 整理得224t +≥,又0>t ,2t ∴≥,所以min 2t =. ……………………………13分(21)解:(Ⅰ)∵)0(e)(2≠=a ax x f x ,∴xx x x x ax x ax x x a x f e)2(e )2()e e 2()(2-=-=-='---, ①当0>a 时,在),2()0,(∞+-∞∈Y x 时,0)(<'x f ,在)2,0(∈x 时,0)(>'x f ,故)(x f 在),2(),0,(∞+-∞上是减函数,在)2,0(上是增函数; ②当0<a 时,在),2()0,(∞+-∞∈Y x 时,0)(>'x f , 在)2,0(∈x 时,0)(<'x f ,故)(x f 在),2(),0,(∞+-∞上是增函数,在)2,0(上是减函数;……………………………5分(Ⅱ)(1)当1=a 时,函数)()()(x h x f x -=ϕ)1(e 2xx x x --=,求导,得211e )2()(xx x x x ---='ϕ, 当2≥x 时,0)(<'x ϕ恒成立, 当20<<x 时,1]2)2([)2(2=-+≤-x x x x , ∴211e )2()(x x x x x ---='ϕ011111e 122<--<--≤x x x , ∴0)(<'x ϕ在),0(∞+上恒成立,故)(x ϕ在),0(∞+上单调递减. 又0e 1)1(>=ϕ,023e 4)2(2<-=ϕ, 曲线)()()(x h xf x -=ϕ在[1,2]上连续不间断,∴由函数的零点存在性定理及其单调性知,∃唯一的0x ∈(1,2),使0)(0=x ϕ, 所以,函数)()()(x h x f x -=ϕ在),0(+∞上零点的个数为1.……………………………9分 (2)由(1)知,当),0(0x x ∈时,)(x ϕ>0,当),(0∞+∈x x 时,)(x ϕ<0.∴当0>x 时,2|)()(|21)]()([21)(cx x h x f x h x f x g ---+==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤<--,,e ,0,102202x x cx x x x cx xx x求导,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--≤<-+='.,2e )2(,0,211)(002x x cx x x x x cx x x g x由函数)(x g 在),0(+∞上是增函数,且曲线)(x g y =在),0(+∞上连续不断知:0)(≥'x g 在],0(0x ,),(0∞+x 上恒成立. ……………………………11分①当),(0∞+∈x x 时,cx x x x2e )2(--≥0在),(0∞+x 上恒成立,即x xc e22-≤在),(0∞+x 上恒成立, 记x x x u e 2)(-=,0x x >,则xx x u e3)(-=',0x x >, 当 x 变化时,)(x u ',)(x u 变化情况列表如下:∴)(x u min =)(x u 极小值=)3(u 3e -=, 故“x x c e 22-≤在),(0∞+x 上恒成立”,只需min)(2x u c ≤3e 1-=,即32e 1-≤c . ②当],0(0x x ∈时,=')(x g cx x 2112-+, 当0≤c 时,0)(>'x g 在],0(0x x ∈上恒成立, 综合①②知,当32e1-≤c 时,函数)(x g 在),0(+∞上是增函数. 故实数c 的取值范围是]2e1,(3--∞. ……………………………14分。
2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅲ)数学(文科)一、 选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的.(1)【2017年全国Ⅲ,文1,5分】已知集合{}1,2,3,4A =,{}2,4,6,8B =,则A B 中的元素的个数为( )(A )1 (B )2 (C )3 (D )4【答案】B【解析】集合A 和集合B 有共同元素2,4,则{}2,4A B =I 所以元素个数为2,故选B .(2)【2017年全国Ⅲ,文2,5分】复平面内表示复数i(2i)z =-+的点位于( )(A )第一象限 (B )第二象限 (C )第三象限 (D )第四象限【答案】C【解析】化解i(2i)z =-+得22i i 2i 1z =-+=--,所以复数位于第三象限,故选C .(3)【2017年全国Ⅲ,文3,5分】某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是( )(A )月接待游客量逐月增加 (B )年接待游客量逐年增加(C )各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月(D )各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳【答案】A【解析】由折线图可知,每年月接待游客量从8月份后存在下降趋势,故选A .(4)【2017年全国Ⅲ,文4,5分】已知4sin cos ,3αα-=,则sin 2α=( ) (A )79- (B )29- (C )29(D )79 【答案】A【解析】()2167sin cos 12sin cos 1sin 2,sin 299αααααα-=-=-=∴=- ,故选A . (5)【2017年全国Ⅲ,文5,5分】设,x y 满足约束条件3260,0,0,x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则z x y =-的取值范围是( ) (A )[]3,0- (B )[]3,2- (C )[]0,2 (D )[]0,3【答案】B【解析】由题意,画出可行域,端点坐标()0,0O ,()0,3A ,()2,0B .在端点,A B 处分别取的最小值与最大值. 所以最大值为2,最小值为3-,故选B .(6)【2017年全国Ⅲ,文6,5分】函数1()sin()cos()536f x x x ππ=++-的最大值为( ) (A )65 (B )1 (C )35 (D )15【答案】A【解析】11113()sin()cos()(sin cos cos sin sin 5365225f x x x x x x x x x ππ=++-=⋅+++⋅=+6sin()53x π=+,故选A .(7)【2017年全国Ⅲ,文7,5分】函数2sin 1x y x x=++的部分图像大致为( )(A )(B )(C )(D )【答案】D【解析】当1x =时,()111sin12sin12f =++=+>,故排除A ,C ,当x →+∞时,1y x →+,故排除B ,满足条件的只有D ,故选D .(8)【2017年全国Ⅲ,文8,5分】执行右面的程序框图,为使输出S 的值小于91,则输入的正整数N 的最小值为( )(A )5 (B )4 (C )3 (D )2【答案】D【解析】若2N =,第一次进入循环,12≤成立,100100,1010S M ==-=-,2i =2≤成立,第二次进入循环,此时101001090,110S M -=-==-=,3i =2≤不成立,所以输出9091S =<成立,所以输入的正整数N 的最小值是2,故选D .(9)【2017年全国Ⅲ,文9,5分】已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( )(A )π (B )3π4(C )π2 (D )π4 【答案】B【解析】如果,画出圆柱的轴截面,11,2AC AB ==,所以r BC == 22314V r h πππ==⨯⨯=⎝⎭,故选B . (10)【2017年全国Ⅲ,文10,5分】在正方体1111ABCD A B C D -中,E 为棱CD 的中点,则( ) (A )11A E DC ⊥ (B )1A E BD ⊥ (C )11A E BC ⊥ (D )1A E AC ⊥【答案】C【解析】11A B ⊥ 平面11BCC B 111A B BC ∴⊥,11BC B C ⊥又1111B C A B B = ,1BC ∴⊥平面11A B CD ,又1A E ⊂平面11A B CD 11A E BC ∴⊥,故选C .(11)【2017年全国Ⅲ,文11,5分】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ,2A ,且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切,则C 的离心率为( )(A (B (C (D )13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆是222x y a +=,直线20bx ay ab -+=与圆相切,所以圆心到直线的距离d a ==,整理为223a b =,即()22222323a a c a c =-⇒=,即2223c a = ,c e a ==A . (12)【2017年全国Ⅲ,文12,5分】已知函数()()2112x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点,则a =( )(A )12- (B )13 (C )12 (D )1【答案】C【解析】()()11220x x f x x a e e --+'=-+-= ,得1x =,即1x =为函数的极值点,故()10f =,则1220a -+=,12a =,故选C . 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. (13)【2017年全国Ⅲ,文13,5分】已知向量()2,3a =- ,()3,b m = ,且a b ⊥ ,则m =______. 【答案】2 【解析】因为a b ⊥ 0a b ∴⋅= ,得630m -+=,2m ∴=.(14)【2017年全国Ⅲ,文14,5分】双曲线2221(0)9x y a a -=>的一条渐近线方程为35y x =,则a =__ ____. 【答案】5 【解析】渐近线方程为b y x a=±,由题知3b =,所以5a =. (15)【2017年全国Ⅲ,文15,5分】ABC ∆内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,已知3,6,600===c b C ,则=A _______.【答案】075【解析】根据正弦定理有:03sin 60=sin B ∴=b c > 045=∴B 075=∴A . (16)【2017年全国Ⅲ,文16,5分】设函数1,0,()2,0,x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩,则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_______. 【答案】1(,)4-+∞ 【解析】由题意得:当12x >时12221x x -+> 恒成立,即12x >;当102x <≤时12112x x +-+> 恒成立,即 102x <≤;当0x ≤时1111124x x x ++-+>⇒>-,即104x -<≤;综上x 的取值范围是1(,)4-+∞. 三、解答题:共70分。
山东省高考数学三模试卷文科含答案The following text is amended on 12 November 2020.2017年山东省高考数学三模试卷(文科)含答案2017年山东省高考数学三模试卷(文科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.1.设全集U={﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2,3},集合A={x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0},则UA=()A.{﹣3,﹣2} B.{2,3} C.(﹣3,﹣2)D.(2,3)2.设0<x<,则“xsin2x<1”是“xsinx<1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.已知tan(α+β)=,tan(β﹣)=,那么tan(α+)等于()A.B.C.D.4.等差数列{an }的前n项和为Sn,a3=5,S6=36,则a6=()A.9 B.10 C.11 D.125.已知m,n是两条不同直线,α,β,γ是三个不同平面,下列命题中正确的是()A.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βB.若m⊥α,n⊥α,则m∥nC.若m∥α,n∥α,则m∥n D.若m∥α,m∥β,则α∥β6.设x,y满足约束条件:,则z=x﹣2y的最大值为()A.﹣3 B.3 C.4 D.﹣27.已知函数f(x)=kx﹣1,其中实数k随机选自区间[﹣2,2],x∈[0,1],f(x)≤0的概率是()A.B.C.D.8.已知函数g(x)=|e x﹣1|的图象如图所示,则函数y=g′(x)图象大致为()A.B.C.D.9.已知双曲线的右焦点为F,若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此直线的斜率的取值范围是()A.B.C.D.10.如图所示,两个非共线向量,的夹角为θ,M、N分别为OA与OB的中点,点C在直线MN上,且=x+y(x,y∈R),则x2+y2的最小值为()A.B.C.D.二、填空题:本大题共5个小题,每小题5分,共25分.11.已知向量,其中,且,则向量的夹角是.12.椭圆+=1与双曲线﹣y2=1焦点相同,则a= .13.已知圆C过点(﹣1,0),且圆心在x轴的负半轴上,直线l:y=x+1被该圆所截得的弦长为2,则圆C的标准方程为.14.若函数f(x)=2|x﹣a|(a∈R)满足f(1+x)=f(1﹣x),且f(x)在[m,+∞)上单调递增,则实数m的最小值等于.15.下面给出的四个命题中:①以抛物线y2=4x的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为(x﹣1)2+y2=1;②若m=﹣2,则直线(m+2)x+my+1=0与直线(m﹣2)x+(m+2)y﹣3=0相互垂直;③命题“x∈R,使得x2+3x+4=0”的否定是“x∈R,都有x2+3x+4≠0”;④将函数y=sin2x的图象向右平移个单位,得到函数y=sin(2x﹣)的图象.其中是真命题的有(将你认为正确的序号都填上).三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.某网站针对2014年中国好声音歌手A,B,C三人进行网上投票,结果如下:观众年龄支持A支持B支持C20岁以下20040080020岁以上(含20岁)100100400(1)在所有参与该活动的人中,用分层抽样的方法抽取n人,其中有6人支持A,求n的值.(2)在支持C的人中,用分层抽样的方法抽取6人作为一个总体,从这6人中任意选取2人,求恰有1人在20岁以下的概率.17.已知函数.(Ⅰ)求函数f(x)的最大值及取得最大值时的x的集合;(Ⅱ)△ABC中,a,b,c分别是A,B,C的对边,,求边长c的值.18.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,点O是对角线AC与BD 的交点,M是PD的中点.(1)求证:OM∥平面PAB;(2)平面PBD⊥平面PAC.19.已知数列{an }满足a1=1,且点P(an,an+1)在直线y=x+2上;数列{bn}的前n项和为Sn,满足Sn =2bn﹣2,n∈N*(Ⅰ)求数列{an }、{bn}的通项公式;(Ⅱ)设数列{cn }满足cn=anbn,数列{cn}的前n项和为Tn,求Tn的最小值.20.已知函数f(x)=xlnx.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)对于任意正实数x,不等式f(x)>kx﹣恒成立,求实数k的取值范围.21.已知椭圆,F为椭圆C的右焦点,过点F作x轴的垂线交椭圆C于一点.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)已知A,B为椭圆C的左右顶点,P为椭圆C上异于A,B的任意一点,直线AP、BP分别交直线l:x=m(m>a)于M,N两点,(ⅰ)设直线AP、BP的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值;(ⅱ)若以线段MN为直径的圆过点F,求实数m的值.2017年山东省高考数学三模试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.A=()1.设全集U={﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2,3},集合A={x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0},则UA.{﹣3,﹣2} B.{2,3} C.(﹣3,﹣2)D.(2,3)【考点】补集及其运算.【分析】求出A中的解集确定出A,根据全集U求出A的补集即可.【解答】解:全集U={﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2,3},集合A={x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}={﹣1,0,1,2,3},A={﹣3.﹣2}.所以CU故选:A2.设0<x<,则“xsin2x<1”是“xsinx<1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【考点】不等关系与不等式;必要条件、充分条件与充要条件的判断;正弦函数的单调性.【分析】由x的范围得到sinx的范围,则由xsinx<1能得到xsin2x<1,反之不成立.答案可求.【解答】解:∵0<x<,∴0<sinx<1,故xsin2x<xsinx,若“xsinx<1”,则“xsin2x<1”若“xsin2x<1”,则xsinx<,>1.此时xsinx<1可能不成立.例如x→,sinx→1,xsinx>1.由此可知,“xsin2x<1”是“xsinx<1”的必要而不充分条件.故选B.3.已知tan(α+β)=,tan(β﹣)=,那么tan(α+)等于()A.B.C.D.【考点】两角和与差的正切函数.【分析】把已知的条件代入=tan[(α+β)﹣(β﹣)]=,运算求得结果.【解答】解:∵已知,∴=tan[(α+β)﹣(β﹣)]= = =,故选C.4.等差数列{an }的前n项和为Sn,a3=5,S6=36,则a6=()A.9 B.10 C.11 D.12【考点】等差数列的性质.【分析】由等差数列可得×6=36,从而求得a4=7,从而求得.【解答】解:∵S6=×6=36,a3=5,∴a4=7,∴a6=a4+(6﹣4)×(7﹣5)=11,故选:C.5.已知m,n是两条不同直线,α,β,γ是三个不同平面,下列命题中正确的是()A.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βB.若m⊥α,n⊥α,则m∥nC.若m∥α,n∥α,则m∥n D.若m∥α,m∥β,则α∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解.【解答】解:若α⊥γ,β⊥γ,则α与β相交或平行,故A错误;若m⊥α,n⊥α,则由直线与平面垂直的性质得m∥n,故B正确;若m∥α,n∥α,则m与n相交、平行或异面,故C错误;若m∥α,m∥β,则α与β相交或平行,故D错误.故选:B.6.设x,y满足约束条件:,则z=x﹣2y的最大值为()A.﹣3 B.3 C.4 D.﹣2【考点】简单线性规划.【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用z的几何意义,利用数形结合即可得到结论.【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:由z=x﹣2y,得y=平移直线y=,由图象可知当直线y=经过点A(3,0)时,直线y=的截距最小,此时z最大,此时z=3﹣2×0=3.max故选:B.7.已知函数f(x)=kx﹣1,其中实数k随机选自区间[﹣2,2],x∈[0,1],f(x)≤0的概率是()A.B.C.D.【考点】几何概型.【分析】由题意知本题是一个几何概型,概率的值对应长度之比,根据题目中所给的条件可求k的范围,区间的长度之比等于要求的概率.【解答】解:由题意知本题是一个几何概型,概率的值对应长度之比,∵﹣2≤k≤2,其区间长度是4,又∵对x∈[0,1],f(x)≥0且f(x)是关于x的一次型函数,在[0,1]上单调,∴,∴﹣2≤k≤1,其区间长度为3,∴P=,故选:D.8.已知函数g(x)=|e x﹣1|的图象如图所示,则函数y=g′(x)图象大致为()A.B.C.D.【考点】函数的图象.【分析】根据导数的几何意义:表示切线斜率,结合原函数图象可得切线斜率的变化情况,从而可得正确选项.【解答】解:根据函数图象可知当x<0时,切线的斜率小于0,且逐渐减小,当x>0时,切线的斜率大于0,且逐渐增加,故选C.9.已知双曲线的右焦点为F,若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此直线的斜率的取值范围是()A.B.C.D.【考点】双曲线的简单性质.【分析】渐近线方程y=x,当过焦点的两条直线与两条渐近线平行时,这两条直线与双曲线右支分别只有一个交点,由此能求出此直线的斜率的取值范围.【解答】解:渐近线方程y=x,当过焦点的两条直线与两条渐近线平行时,这两条直线与双曲线右支分别只有一个交点(因为双曲线正在与渐近线无限接近中),那么在斜率是[]两条直线之间的所有直线中,都与双曲线右支只有一个交点.此直线的斜率的取值范围[].故选:A.10.如图所示,两个非共线向量,的夹角为θ,M、N分别为OA与OB的中点,点C在直线MN上,且=x+y(x,y∈R),则x2+y2的最小值为()A.B.C.D.【考点】点到直线的距离公式;平面向量坐标表示的应用.【分析】法一:特殊值法,当θ=90°,||=||=1时,建立直角坐标系,得x+y=,所以x2+y2的最小值为原点到直线的距离的平方;解法二:因为点C、M、N共线,所以,有λ+μ=1,由M、N分别为OA与OB的中点,可得x+y=,下同法一【解答】解法一:特殊值法,当θ=90°,||=||=1时,建立直角坐标系,∴=x+y得x+y=,所以x2+y2的最小值为原点到直线的距离的平方;解法二:因为点C、M、N共线,所以,有λ+μ=1,又因为M、N分别为OA与OB的中点,所以=∴x+y=原题转化为:当x时,求x2+y2的最小值问题,∵y=∴x2+y2==结合二次函数的性质可知,当x=时,取得最小值为故选B二、填空题:本大题共5个小题,每小题5分,共25分.11.已知向量 ,其中,且,则向量 的夹角是.【考点】平面向量数量积的运算.【分析】由及便可以得到,再由便可由向量数量积的计算公式得到【解答】解:∴∴;即,从而便可得出向量 和 的夹角的大小. ; ;;∴;∴向量 的夹角为 .故答案为: .12.椭圆 + =1 与双曲线 ﹣y2=1 焦点相同,则 a=.【考点】圆锥曲线的综合. 【分析】利用双曲线以及椭圆的简单性质相同,列出方程求解即可.【解答】解:椭圆 + =1 的焦点坐标(,0),与双曲线 ﹣y2=1 焦点(,0)相同,可得:,解得 a=.故答案为:.13.已知圆 C 过点(﹣1,0),且圆心在 x 轴的负半轴上,直线 l:y=x+1 被该圆所截得的弦长 为 2 ,则圆 C 的标准方程为 (x+3)2+y2=4 . 【考点】圆的标准方程. 【分析】根据题意设圆心 C 坐标为(x,0),根据圆 C 过(﹣1,0),利用两点间的距离公式 表示出圆的半径,利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线 l 的距离 d,根据已知的弦长, 利用垂径定理及勾股定理列出关于 x 的方程,求出方程的解得到圆心坐标及半径,写出圆 C 的 标准方程即可.【解答】解:设圆心 C(x,0),则圆的半径 r=|BC|=|x+1|∴圆心 C 到直线 l 的距离|CD|=,弦长|AB|=2 ,则 r==|x+1|,整理得:x=1(不合题意,舍去)或 x=﹣3, ∴圆心 C(﹣3,0),半径为 2, 则圆 C 方程为(x+3)2+y2=4. 故答案为:(x+3)2+y2=4.14.若函数 f(x)=2|x﹣a|(a∈R)满足 f(1+x)=f(1﹣x),且 f(x)在[m,+∞)上单调递 增,则实数 m 的最小值等于 1 . 【考点】指数函数单调性的应用. 【分析】根据式子 f(1+x)=f(1﹣x),对称 f(x)关于 x=1 对称,利用指数函数的性质得 出:函数 f(x)=2|x﹣a|(a∈R),x=a 为对称轴,在[1,+∞)上单调递增,即可判断 m 的最小 值. 【解答】解:∵f(1+x)=f(1﹣x), ∴f(x)关于 x=1 对称, ∵函数 f(x)=2|x﹣a|(a∈R) x=a 为对称轴, ∴a=1, ∴f(x)在[1,+∞)上单调递增, ∵f(x)在[m,+∞)上单调递增, ∴m 的最小值为 1. 故答案为:1.15.下面给出的四个命题中: ①以抛物线 y2=4x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为(x﹣1)2+y2=1; ②若 m=﹣2,则直线(m+2)x+my+1=0 与直线(m﹣2)x+(m+2)y﹣3=0 相互垂直; ③命题“x∈R,使得 x2+3x+4=0”的否定是“x∈R,都有 x2+3x+4≠0”;④将函数 y=sin2x 的图象向右平移 个单位,得到函数 y=sin(2x﹣ )的图象.其中是真命题的有 ①②③ (将你认为正确的序号都填上). 【考点】特称命题;命题的否定;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;抛物线的简单性质. 【分析】①先求抛物线是焦点为(1,0),可求圆的半径为 r=1,从而可求圆的方程 ②把 m=﹣2 代入两直线方程即可检验直线是否垂直 ③根据特称命题的否定是全称命题可知正确;④函数向右平移 ,得到的函数为即可判断【解答】解:①抛物线是焦点为(1,0),圆的半径为 r=1,所以圆的方程为(x﹣1)2+y2=1, 正确;②当 m=﹣2,两直线方程为 和 ,两直线垂直所以正确;③根据特称命题的否定是全称命题可知正确;④函数向右平移 ,得到的函数为,所以不正确.所以正确的命题有①②③. 故答案为:①②③三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.某网站针对 2014 年中国好声音歌手 A,B,C 三人进行网上投票,结果如下:观众年龄支持 A支持 B支持 C20 岁以下20040080020 岁以上(含 20 岁)100100400(1)在所有参与该活动的人中,用分层抽样的方法抽取 n 人,其中有 6 人支持 A,求 n 的值. (2)在支持 C 的人中,用分层抽样的方法抽取 6 人作为一个总体,从这 6 人中任意选取 2 人, 求恰有 1 人在 20 岁以下的概率. 【考点】分层抽样方法;古典概型及其概率计算公式. 【分析】(1)根据分层抽样时,各层的抽样比相等,结合已知构造关于 n 的方程,解方程可得 n 值. (2)计算出这 6 人中任意选取 2 人的情况总数,及满足恰有 1 人在 20 岁以下的情况数,代入 古典概率概率计算公式,可得答案.【解答】解:(1)∵利用层抽样的方法抽取 n 个人时,从“支持 A 方案”的人中抽取了 6 人,∴=,解得 n=40;(2)从“支持 C 方案”的人中,用分层抽样的方法抽取的 6 人中, 年龄在 20 岁以下的有 4 人,分别记为 1,2,3,4,年龄在 20 岁以上(含 20 岁)的有 2 人, 记为 a,b, 则这 6 人中任意选取 2 人,共有 =15 种不同情况, 分别为:(1,2),(1,3),(1,4),(1,a),(1,b),(2,3),(2,4),(2, a),(2,b),(3,4),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b),(a,b), 其中恰好有 1 人在 20 岁以下的事件有: (1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b)共 8 种. 故恰有 1 人在 20 岁以下的概率 P= .17.已知函数.(Ⅰ)求函数 f(x)的最大值及取得最大值时的 x 的集合;(Ⅱ)△ABC 中,a,b,c 分别是 A,B,C 的对边,,求边长 c 的值. 【考点】三角函数的最值;三角形中的几何计算. 【分析】(Ⅰ)利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理,再根据正弦函数的性质 即可求出, (Ⅱ)先求出 C 的值,再根据向量的数量积的运算和余弦定理即可求出.【解答】解:(Ⅰ)f(x)=sinxcos(x+ )+1= cosxsinx﹣ sin2x+1= sin2x﹣ cos2x﹣ = sin(2x﹣ )+ ,∵ sin(2x﹣ )+ ≤ + = ,∴最大值为 ,当 2x﹣ = +2kπ 时,即 x=kπ+ ,k∈Z,即{x|x=kπ+ ,k∈Z}时,函数取的最大值,(Ⅱ)∵f(C)= sin(2C﹣ )+ = ,即 sin(2C﹣ )=1, ∴C= , ∵ =12, ∴ =| || |cos =2a× =12, ∴a=12, 由余弦定理可得 c2=a2+b2﹣2abcosC=144+4﹣2×12×2× =124, ∴c=218.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是菱形,点 O 是对角线 AC 与 BD 的交点,M 是 PD 的中点. (1)求证:OM∥平面 PAB; (2)平面 PBD⊥平面 PAC.【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 【分析】(1)利用三角形中位线的性质,证明线线平行,从而可得线面平行; (2)先证明 BD⊥平面 PAC,即可证明平面 PBD⊥平面 PAC. 【解答】证明:(1)∵在△PBD 中,O、M 分别是 BD、PD 的中点, ∴OM 是△PBD 的中位线,∴OM∥PB, ∵OM 平面 PBD,PB 平面 PBD, ∴OM∥平面 PAB; (2)∵底面 ABCD 是菱形,∴BD⊥AC, ∵PA⊥平面 ABCD,BD 平面 ABCD,∴BD⊥PA. ∵AC 平面 PAC,PA 平面 PAC,AC∩PA=A,∴BD⊥平面 PAC, ∵BD 平面 PBD, ∴平面 PBD⊥平面 PAC.19.已知数列{an}满足 a1=1,且点 P(an,an+1)在直线 y=x+2 上;数列{bn}的前 n 项和为 Sn,满 足 Sn=2bn﹣2,n∈N* (Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式; (Ⅱ)设数列{cn}满足 cn=anbn,数列{cn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn 的最小值. 【考点】数列的求和;数列与解析几何的综合.【分析】(Ⅰ)利用等差数列的定义和通项公式即可得出 an.利用“当 n=1,b1=2;当 n≥2 时,bn=Sn﹣Sn﹣1”和等比数列的通项公式即可得出 bn; (Ⅱ)利用“错位相减法”和等比数列的前 n 项和公式即可得出 Tn,该数列 Tn=(2n﹣3)2n+1+6 为递增数列,问题得以解决.【解答】解:(Ⅰ)∵点{an,an+1)在直线 y=x+2 上, ∴an+1=an+2,即 an+1﹣an=2,又 a1=1, ∴数列{an}是以 1 为首项,2 为公比的等差数列, ∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1 当 n=1,b1=2b1﹣2,则 b1=2 当 n≥2 时,bn=Sn﹣Sn﹣1=2bn﹣2﹣(2bn﹣1﹣2)=2bn﹣2bn﹣1, ∴bn=2bn﹣1(n≥2), ∴{bn}是等比数列,公比为 2,首项 b1=2. ∴bn=2n, (Ⅱ))∵cn=anbn=(2n﹣1)2n, ∴Tn=121+322+…+(2n﹣1)2n,① 2Tn=122+323+…+(2n﹣3)2n+(2n﹣1)2n+1,② ①﹣②得:﹣Tn=21+2(22+…+2n)﹣(2n﹣1)2n+1=﹣2+2×﹣(2n﹣1)2n+1=﹣6+(3﹣2n)2n+1,∴Tn=(2n﹣3)2n+1+6, ∵该数列 Tn=(2n﹣3)2n+1+6 为递增数列, ∴当 n=1 时,有最小值为 2,20.已知函数 f(x)=xlnx. (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)对于任意正实数 x,不等式 f(x)>kx﹣ 恒成立,求实数 k 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的单调性;函数恒成立问题. 【分析】(1)根据导数和函数的单调的关系即可得到.(2)对于任意正实数 x,不等式 f(x)>kx﹣ 恒成立,即为 k<lnx+ ,x>0,令 g(x) =lnx+ ,x>0,求出导数,求得单调区间,得到极小值也为最小值,即可得到 k 的范围. 【解答】解:(1)∵f(x)=xlnx. ∴f′(x)=1+lnx, 当 x∈(0, )时,f′(x)<0;当 x∈( ,+∞)时,f′(x)>0. 所以函数 f(x)在(0, )上单调递减,在( ,+∞)上单调递增. (2)由于 x>0,f(x)>kx﹣ 恒成立, ∴k<lnx+ . 构造函数 k(x)=lnx+ . ∴k′(x)= ﹣ = . 令 k′(x)=0,解得 x= , 当 x∈(0, )时,k′(x)<0,当 x∈( ,+∞)时,k′(x)>0. ∴函数 k(x)在点 x= 处取得最小值,即 k( )=1﹣ln2. 因此所求的 k 的取值范围是(﹣∞,1﹣ln2).21.已知椭圆,F 为椭圆 C 的右焦点,过点 F 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于一点.(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知 A,B 为椭圆 C 的左右顶点,P 为椭圆 C 上异于 A,B 的任意一点,直线 AP、BP 分别 交直线 l:x=m(m>a)于 M,N 两点, (ⅰ)设直线 AP、BP 的斜率分别为 k1,k2,求证:k1k2 为定值; (ⅱ)若以线段 MN 为直径的圆过点 F,求实数 m 的值. 【考点】直线与椭圆的位置关系;椭圆的标准方程.【分析】(Ⅰ)由 c=1, == ,即可求得 a 和 b 的值,即可求得椭圆 C 的方程;(Ⅱ)(ⅰ)求得直线直线 AP、BP 的斜率分别为 k1,k2,由 P 在椭圆方程,则 y02=3﹣ x02,即 可求得 k1k2 为定值; (ⅱ)由题意可知 =0,根据向量数量积的坐标运算,即可求得实数 m 的值.【解答】解:(Ⅰ)由题意可知:c=1, = 解得:a=2,b= ,= =,∴椭圆的标准方程:;(Ⅱ)(ⅰ)证明:由题意可知:由 A(﹣2,0),B(2,0),设 P(x0,y0)在椭圆方程 C 上, 则 x0≠0,y02=3﹣ x02,则 k1=,k2=,由 k1k2====﹣ ,∴k1k2 为定值﹣ ; (ⅱ)由题意可知:直线 AP、BP 的斜率一点存在,设直线 AP:y=k1(x+2), 令 x=m,则 y=k1(m+2),即 M(m,k1(m+2)), 直线 BP:y=k2(x﹣2),令 x=m,则 y=k2(m﹣2),即 N(m,k2(m﹣2)),m>2, 以 MN 为直径的圆过点 F(1,0), 则 FM⊥FN,即 =0, 即 =(m﹣1,k1(m+2))(m﹣1,k2(m﹣2)), =(m﹣1)2+k1k2(m2﹣4)=0, 由(ⅰ)可知:k1k2=﹣ ,代入椭圆方程,整理得:(m﹣1)2+(﹣ )(m2﹣4)=0,即(m2﹣4)=0,解得:m=4, 实数 m 的值 4.2017 年 4 月 15 日。
2017年第三次全国大联考【新课标III 卷】文科数学·全解全析一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1.若集合{}2,1,0,1,2M =--,21{|1,}2N y y x x ==-+∈R ,则M N =( )A .{}2,1,0,1--B .{}2,1,0--C .{}1,2D .{}2 1.A 【命题意图】本题考查集合的运算、二次函数值域,意在考查运算求解能力.【解析】因为{}2,1,0,1,2M =--,{}|1N y y =≤,则{}2,1,0,1MN =--,故选A . 2.已知i 是虚数单位,若复数z 满足41i 1z=-+,则共轭复数z 在复平面上对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限2.D 【命题意图】本题考查复数的运算、共轭复数与模的计算,意在考查运算求解能力. 【解析】由41i 1z =-+,得()()()41i 41112i 1i 1i 1i z +=-=-=+--+,则12i z =-,在复平面上对应的点的坐标为()1,2-,位于第四象限,故选D .3.在长为4的线段PQ 上随机取一点R (R 不取端点值),以PR 的长为边长的正方形的面积大于9的概率为( )A .12B .14C .716D .9163.B 【命题意图】本题考查几何概型,意在考查运算求解能力. 【解析】由题意,知29PR >,即34PR <<,则所求概率为43144-=,故选B . 4.已知函数()1e 2x x f x -=+,且()2e 1f x -≤+,则实数x 的取值范围是( )A .()(),33,-∞+∞B .(],3-∞C .()3,+∞D .(),-∞+∞4.B 【命题意图】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的应用,意在考查运算求解能力、等价变换的能力.【解析】由函数解析式易知()f x 在R 上为增函数,且()1e 1f =+,所以原不等式等价于()()21f x f -≤,所以21x -≤,解得3x ≤,故选B .5.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,,A B 为抛物线上两个不同的点,满足||||8AF BF +=,且线段AB 的中点坐标为()3,4,则p =( )A .12 B .2 C .4 D .8 5.B 【命题意图】本题主要考查抛物线的几何性质,意在考查运算求解能力.【解析】由题意知236A B x x +=⨯=,根据抛物线的定义及||||8AF BF +=知822A B p p x x +++=,即68p +=,解得2p =,故选B . 6.若变量,x y 满足约束条件2204x y x y x -≥-⎧⎪-≤⎨⎪≥-⎩,且331z x y m =-++-的最大值为1,则m =( )A .3-B .1-C .1D .36.A 【命题意图】本题主要考查线性规划问题,意在考查作图与识图能力.【解析】作出约束条件2204x y x y x -≥-⎧⎪-≤⎨⎪≥-⎩所对应的可行域(如图中阴影部分).变形目标函数可得直线331y x z m =+-+, 当直线经过点()4,1A --时,z 取得最大值,即()341311m -⨯--+-=,解得3m =-,故选A .7.执行下列程序框图,如果输出的i 值为2,那么输入的x 的取值范围是( )A .4x <B .24x <<C .24x ≤<D .416x ≤<7.C 【命题意图】本题主要考查程序框图,意在考查辨识框图的能力、运算求解能力.【解析】执行下列程序:20,log i x x ==→()221,log log i x x ==→()()2222,log log log i x x ==,则由()()()22222log log log 0log log 0x x ⎧<⎪⎨≥⎪⎩,解得24x ≤<,故选C .8.如图,网格上小正方形的边长为1,粗实线与粗虚线画出的是正方体中挖去了两个半圆锥得到的一个几开始x 输入0i =2log x x =0?x <1i i =+i 输出结束何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A .8045+πB .()84451+-πC .()80451+-π D .8445+π 8.C 【命题意图】本题主要考查三视图与正方体、圆锥的表面积,意在考查空间想象能力、转换能力、运算求解能力.【解析】根据三视图还原出来的几何体如下图所示,其表面积221164224422S ⎛⎫=⨯-⨯π⨯+⨯⨯ ⎪⎝⎭+22242π⨯⨯+=()80451+-π,故选C .9.函数()223e x y x x =+的图象大致是( )9.A 【命题意图】本题考查函数图象、导数与极值的关系,意在考查识图能力.【解析】由()f x 的解析式知只有两个零点32x =-与0x =,排除B ;又()()2273e x f x x x '=++,由()0f x '=知函数有两个极值点,排除C ,D ,故选A .10.已知过半径为2的球的球心的大圆面α内有一个内接正ABC △,点P 是过AB 且与平面α垂直的球的截面圆上任意一点,则点P 到平面ABC 的最大距离为( )A .3B .3C .3D .23 10.B 【命题意图】本题主要考查球的性质、面面垂直的应用,意在考查空间想象能力、运算求解能力.【解析】如图所示,由题意,知平面PAB ⊥平面ABC ,所以点P 在平面ABC 上的射影D 落在AB 上,所以PD ⊥平面ABC ,所以当D 为AB 的中点时,点P 到平面ABC 的距离最大,即为PD .因为ABC △是正三角形,则31CD OD ==,,223PD OP OD =-=,故选B .1123的双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ,若线段OF 的垂直平分线与双曲线一条渐近线的交点到另一条渐近线的距离为c λ(c 为半焦距,0λ>),则实数λ的值是( )A .12B .13C .2D .3 11.A 【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质,意在考查逻辑思维能力、运算求解能力及方程思想的应用.【解析】由题意,得()0F c ,,不妨设线段OF 的垂直平分线2c x =与渐近线b y x a =的交点为,22c bc a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,因此它到另一条渐近线b y x a =-,即0bx ay +=的距离为2222bc bc b c a b λ+==+.又由23c a =与222c a b =+可得12b c =,所以12λ=,故选A . 12.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和,()*4n p a n n =∈N ,若*n ∀∈N ,*m ∃∈N ,使得22816n m pS a p n =+成立,且满足条件的所有正整数p 从小到大构成数列{}n b ,则数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T =( )A .()161n n +B .()41n n +C .14n n+ D .()161n n + 12.A 【命题意图】本题考查数列通项与前n 项和,意在考查运算求解能力、裂项法的应用.【解析】因为4n p a n =,所以()18n p S n n =+,代入22816n m pS p n a -=,得()22811684p p p n n p n m ⋅+-=⋅⋅,整理,得4p m n =.由于*m ∈N ,*n ∈N ,*p ∈N ,则必有4p k =()*k ∈N ,于是4n b n =,所以()111111161161n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭,则n T =()1111111111162231161161n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,故选A . 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.在菱形ABCD 中,()2,3AC =-,()1,2BD x =-,则x =____________.13.4【命题意图】本题主要考查平面向量的垂直的条件,意在考查运算求解能力与转化能力.【解析】由菱形的性质知AC BD ⊥,则 ()()21320AC BD x ⋅=-+-⨯=,解得4x =.14.已知()()()13log 3x a a x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩(1,*a a ≠∈N ),若()()2418f f +=,则a =____________. 14.4【命题意图】本题主要考查分段函数的求值,意在考查运算求解能力.【解析】由题意,得21log 418a a ++=,即2log 417a a +=.因为1,*a a ≠∈N ,所以217a <,则24a ≤≤,分别验证2,3,4a =知,只有4a =满足条件,故4a =.15.《孙子算经》是中国古代重要的数学专著,其中记载了一道有趣的数学问题:“今有出门,望见九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢,巢有九禽,禽有九雏,雏有九毛,毛有九色.”问这个数学问题中动物有_____只.(数字作答)15.590490【命题意图】本题考查数学文化、等比数列,意在考查运算求解能力、审读能力.【解析】由题意,知“堤、木、枝、巢、禽、雏、毛”的数量构成一个首项19a =,公比9q =的等比数列{}n a ,其通项公式为1999n n n a -=⋅=,则动物的数量为()5655699919590490a a +=+=+=(只).16.已知函数())sin 03f x x ωωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭>的最小正周期为π,若0,3x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦,不等式()()()21110f x a f x a ---+≤∈⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦R 恒成立,则实数a 的取值范围是___________.16.1,2⎛+-∞- ⎝⎦【命题意图】本题考查三角函数的性质与值域、不等式恒成立,意在考查运算求解能力、等价转化能力.【解析】由22T ωπ==,得()sin 23f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭则当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()1f x ≤≤令()1t f x =-,则1t -≤≤,且210t at -+≤恒成立,整理可得1a t t ≤+,而函数1y t t=+在区间1⎡-⎣上单调递增,所以1y tt =+的最小值为(1+-=,则12a +≤-. 三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12)在ABC △中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,满足2222cos 40a c b bc A c +-+-=,且()cos 1cos c A b C =-.(Ⅰ)求c 的值及判断ABC △的形状; (Ⅱ)若6C π=,求ABC △的面积. 17.【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积与三角恒等变换,意在考查运算求解能力、逻辑推理能力,以及方程思想、转化思想的应用.【解析】(Ⅰ)由2222cos 40a c b bc A c +-+-=,根据余弦定理,得 2222222402b c a a c b bc c bc +-+-+⋅-=,整理,得2c =.………………2分 由()cos 1cos c A b C =-,根据正弦定理,得()sin cos sin 1cos C A B C =-,即sin sin cos sin cos B C A B C =+=()sin sin cos cos sin A C A C A C +=+,……………4分 所以sin cos sin cos B C A C =,故cos 0C =或sin sin A B =.……………5分当cos 0C =时,2C π=,故ABC △为直角三角形; 当sin sin A B =时,A B =,故ABC △为等腰三角形.………………7分(Ⅱ)由(Ⅰ)知2c =,A B =,则a b =,………………8分因为6C π=,所以由余弦定理,得22242cos 6a a a π=+-,解得28a =+,………………10分所以ABC △的面积21sin 226S a π==………………12分 18.(本小题满分12分)某初级中学根据运动场地的影响,且为尽大可能让学生都参与到运动会中来,在2016冬季运动会中设置了五个项目,其中属于跑步类的两项分别是200米和400米,另外三项分别为跳绳、跳远、跳高.学校要求每位学生必须参加,且只能参加其中一项,该校780名学生参加各运动项目人数统计如下表:其中参加跑步类的人数所占频率为13,为了了解学生身体健康与参加运动项目之间的关系,用分层抽样的方法从这780名学生中抽取13人进行分析.(Ⅰ)求表格中m 和n 的取值以及抽取的13人中参加200米的学生人数;(Ⅱ)抽取的13名学生中恰好包含X Y ,两名同学,其中X 同学参加的项目是200米,Y 同学参加的项目是跳绳,现从参加200米和跳绳两个项目中随机抽取3人,求这3人中正好有X Y ,两名同学的概率.18.【命题意图】本题考查分层抽样、古典概型,意在考查学生的数据获取与处理能力、逻辑思维能力、运算求解能力.【解析】(Ⅰ)由题意,得参加跑步类的有778042013⨯=人,………………1分 所以420240180m =-=,78042018012060n =---=.………………3分 根据分层抽样法知,抽取的13人中参加200米的学生人数有180133780⨯=人.………………5分 (Ⅱ)选出的13人中参加200米的有3人,分别记为12,,A A X ,参加跳绳的有3人,分别记为12,,B B Y .………………7分现从这6人中任选3人,有()()()()()()()()121211221211121112,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A X A A B A A B A A Y A X B A X B A X Y A B B ,()()()()()()()()1112212222122122,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B Y A B Y A X B A X B A X Y A B B A B Y A B Y ,()()()()121212,,,,,,,,,,,X B B X B Y X B Y B B Y ,共20种,………………10分其中这3人中正好有X Y ,两名同学的情况有4种,由古典概型的概率计算公式可得所求概率为41205=.………………12分 19.(本小题满分12分)在多面体ABCDEFG 中,四边形ABCD 为正方形,AF ⊥平面ABCD ,AF BG DE ∥∥,且AB AF BG DE ===,H 为EG 中点.(Ⅰ)求证:BD CH ⊥;(Ⅱ)若正方形ABCD 的边长为1,求三棱锥G BCE -的体积.19.【命题意图】本题考查空间直线与平面间平行和垂直的判断与证明、三棱锥的体积,意在考查空间想象能力、逻辑推证能力、运算求解能力.【解析】(Ⅰ)连接AC 交BD 于点M ,连接MH .∵AF BG DE ∥∥,BG DE =,∴四边形BDEG 为矩形,………………1分又∵H 为EG 中点,∴MH BG AF ∥∥,MH BG =,………………2分又∵AF ⊥平面ABCD ,∴MH ⊥平面ABCD ,∴MH ⊥BD .………………3分在正方形ABCD 中,BD AC ⊥,且AC MH M =,∴BD ⊥平面CMH ,………………4分 又CH ⊂平面CMH ,∴BD CH ⊥.………………5分(Ⅱ)连接,BF AG 交于点N ,则∵AB AF BG DE ===,AF BG DE ∥∥,∴四边形ADEF 和四边形ABGF 均为平行四边形, ∴EF AD BC ,∴四边形BCEF 为平行四边形.………………7分又AF ⊥平面ABCD ,∴AF AB ⊥,平面ABGF ⊥平面ABCD ,∴四边形ABGF 为正方形,∴AG BF ⊥.………………8分又∵BC AB ⊥,∴BC ⊥平面ABGF .∵AG ⊂平面ABGF ,∴BC AG ⊥.………………9分 又∵BC BF B =,∴AG ⊥平面BCEF ,即GN ⊥平面BCEF .………………10分 根据条件可得1222GN AG ==,1BC EF AB ===,………………11分 ∴1111211222366G BCE G BCEF BCEF V V GN S --==⨯⋅==.………………12分20.(本小题满分12分)已知左、右焦点分别为12F F 、的椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的一短轴端点为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,直线l 与椭圆C 交于,P Q 两个不同的点.当四边形12PF F Q为矩形时,其面积为4. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设()3,0A -,问:是否存在过定点()1,0M 的直线n 与椭圆C 交于,M N 两个不同的点,使AMN △?若不存在,说明理由;若存在,求出直线n 的斜率.20.【命题意图】本题主要考查椭圆的方程及几何性质、直线与椭圆的位置关系,意在考查学生的逻辑思维能力、分析能力与运算求解能力,以及方程思想、数形结合思想、分类讨论思想.【解析】(Ⅰ)由题意,得32b = ①,且12||2F Fc =,21||b PF a =,则2121||||24b F F PFc a ⋅=⋅= ②.………………2分 由①②联立,并结合222a b c =+,解得29a =, 所以椭圆C 的方程为224199x y +=.………………4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知点()3,0A -是椭圆C 的左顶点,当直线n 与x 轴平行时,AMN △不存在,…………………6分,所以设直线n 的方程为1x my =+,并设点11(,)M x y ,22(,)N x y , 联立2241991x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,得()224280m y my ++-=, 其判别式()2224324361280m m m ∆=++=+>,…………8分, 所以12224m y y m +=-+,12284y y m =-+, 所以121||||2AMN S AM y y ∆=-==,…………10分 假设存在直线n= 解得24m =或26017m =-(舍去),所以2m =±,……………………11分故存在直线n :21x y =±+使得AMN S △n 的斜率为12±.…………12分 21.(本小题满分12分)设函数()2ln f x ax x a =--.(Ⅰ)讨论函数()f x 的单调性;(Ⅱ)如果对任意()1,x ∈+∞,都有()e 1e x f x x+>,求实数a 的取值范围. 21.【命题意图】本题主要考查导数与单调性和最值的关系、不等式恒成立问题,意在考查运算求解能力、逻辑推理能力、等价转化能力, 以及分类讨论的思想、等价转化思想、构造法的应用.【解析】(Ⅰ)()()212120ax f x ax x x x-'=-=>.………………1分 当0a ≤时,()0f x '<,()f x 在(0,)+∞内单调递减;………………2分当0a >时,令()0f x '=,有x =x ⎛∈ ⎝时,()0f x '<,()f x 单调递减;当x ⎫∈+∞⎪⎭时,()0f x '>,()f x 单调递增.………………4分 综上所述,0a ≤时,函数()f x 在(0,)+∞内单调递减;当0a >时,函数()f x 在⎛⎝内单调递减,在⎫+∞⎪⎭内单调递增.………………5分 (Ⅱ)令1e ()ex g x x =-()()1,x ∈+∞,即e e ()e x x x g x x -=()()1,x ∈+∞. ………………6分 令()e e x h x x =-,则()()e e 01xh x x '=->>,则()h x 在()1,+∞内单调递增, 所以()()10h x h >=,故()0g x >.………………7分当0a ≤,1x >时,()2ln 0f x ax x a =--<, 故当()()f x g x >在区间(1,)+∞内恒成立时,必有0a >.………………8分 当102a <<时,1>,由(Ⅰ)知函数()f x 在上单调递减,即x ∈时,()(1)()f x f g x <<,不符合题意,舍去.………………9分 当12a ≥时,令()()()u x f x g x =-,1x >,则 ()2211e 11e 22e e x u x ax ax x x x x x '=-+->-+-=3222221210ax x x x x x -+-+>>,……10分所以()u x 在1x >时单调递增,所以()()10u x u >=恒成立,即()()f x g x >恒成立,满足题意.………………11分 综上,1[,)2a ∈+∞.………………12分请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分.22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l的参数方程为1222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数),以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为()4cos 2sin m ρρθθ--=-,且直线l 与圆C 相交于不同的,A B 两点.(Ⅰ)求线段AB 垂直平分线l '的极坐标方程;(Ⅱ)若||AB =m 的值.(Ⅲ)若1m =,求过点()4,4N 与圆C 相切的切线方程.22.【命题意图】本题考查直线的极坐标与圆的参数方程、直线与圆的位置关系,意在考查运算求解能力、等价转化能力.【解析】(Ⅰ)消去参数t ,得直线l 的普通方程为10x y -+=,斜率为1,所以直线l '的斜率为1-.………………1分因为圆C 的极坐标方程可化为24cos 2sin 0m ρρθρθ--+=,所以将222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==代入上述方程得圆C 的直角坐标方程为22420x y x y m +--+=,则配方,得()()22215x y m -+-=-,其圆心为()2,1C ,半径为)5m <.………………3分由题意,知直线l '经过圆心()2,1C ,所以直线l '的方程为()12y x -=--,即30x y +-=,所以由cos ,sin x y ρθρθ==,得直线l '的极坐标方程为()cos sin 3ρθθ+=.………………5分(Ⅱ)因为||AB =C 到直线l)5m =<.)5m =<,解得1m =.………………7分(Ⅲ)当所求切线的斜率存在时,设切线方程为4(4)y k x -=-,即440kx y k --+=.2=, 解得512k =,所以所求切线的方程为512280x y -+=; 当所求切线的斜率不存在时,切线方程为4x =.………………9分综上,所求切线的方程为4x =或512280x y -+=.………………10分23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知不等式2222x x +-->的解集为M .(Ⅰ)求集合M ;(Ⅱ)已知t 为集合M 中的最小正整数,若1,1,1a b c >>>,且()()()111a b c t ---=,求证:8abc ≥.23.【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法、不等式的证明,意在考查运算求解能力、逻辑推理能力、分类讨论与等价转化的思想.【解析】(Ⅰ)设()222f x x x =+--,则()4,13,124,2x x f x x x x x --<-⎧⎪=-≤<⎨⎪+≥⎩,………………1分当1x <-时,由42x -->,得6x <-,6x <-∴;………………2分当12x -≤<时,由32x >,得23x >,223x <<∴;………………3分 当2x ≥时,由42x +>,得2x >-,2x ≥∴.………………4分综上所述,集合M 为2|63x x x ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或.………………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知1t =,则()()()1111a b c t ---==.因为1,1,1a b c >>>,所以10,10,10a b c ->->->, ………………6分则()110a a =-+≥>(当且仅当2a =时等号成立),……………7分()110b b =-+≥>(当且仅当2b =时等号成立),………………8分 ()110c c =-+≥>(当且仅当2c =时等号成立),………………9分 则8abc ≥≥(当且仅当2a b c ===时等号成立), 即8abc ≥.………………10分。
山东省日照市2017届高三模拟考试数学(文)试题本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分,共5页。
满分150分。
考试时间120分钟。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项:1.答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第I卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第I卷(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.集合{}{}2,则=≤≤=->⋂=02,0A x xB x x x A BA.RB. ()()012-∞⋃,,C.∅D. (]12,2.已知,t R i ∈为虚数单位,复数121234,z i z t i z z =+=+⋅,且是实数,则t 等于A. 34B. 43C. 43-D. 34-3.设,a b 为实数,命题甲:0a b <<,命题乙:2ab b >,则命题甲是命题乙的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知某几何体的三视图如右图,则该几何体的表面积是 A.24B. 36+C.36D. 36+5.已知x ,y 满足22y xx y z x y x a ≥⎧⎪+≤=+⎨⎪≥⎩,且的最大值是最小值的4倍,则a 的值是A. 4B. 34C. 211D. 146.如右图,在4,30,ABC AB BC ABC AD ∆==∠=o 中,是边BC 上的高,则AD AC ⋅uuu r uu u r的值等于A.0B.4C.8D. 4-7.已知函数()()21cos ,4f x x x f x '=+是函数()f x 的导函数,则()f x '的图象大致是8.函数()()sin 002f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭其中,,的图象如图所示,需为了得到()sin 2g x x =的图象,则只将()f x 的图象A. 向左平移6π个长度单位B. 向右平移3π个长度单位C. 向右平移6π个长度单位D. 向左平移3π个长度单位9.已知抛物线()220y px p =>上一点()()1,0M m m >到其焦点的距离为5,双曲线221x y a-=的左顶点为A ,若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行,则实数a 的值是 A. 19B.125C. 15D. 1310.已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x '=,当0x ≠时,()()0f x f x x '+>,若()1111,22,ln ln 2222a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则,,a b c 的大小关系正确的是A. a b c <<B. b c a <<C. a c b <<D. c a b <<第II 卷(共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.在ABC ∆中,若21,3b c C a π==∠==,则 ________. 12.在某市“创建文明城市”活动中,对800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(左下图),但是年龄组为[)25,30的数据不慎丢失,据此估计这800名志愿者年龄在[)25,30的人数为______.13.运行如右上图所示的程序框图,则输出的结果S 为________. 14.已知函数()22,1,22,1,x x f x x x -⎧≤-=⎨+>-⎩则满足()2f a ≥的实数a 的取值范围是________.15.已知数集{}()1234512345,,,,0A a a a a a a a a a a =≤<<<<具有性质p : 对任意,15i j Z i j ∈≤≤≤,其中,均有()53.60ji aa A a a -∈==若,则_________.三、解答题:本大题共6小题,共75分. 16.(本小题满分12分)某中学在高二年级开设大学先修课程《线性代数》,共有50名同学选修,其中男同学30名,女同学20名.为了对这门课程的教学效果进行评估,学校按性别采用分层抽样的方法抽取5人进行考核.(I )求抽取的5人中男、女同学的人数;(II )考核前,评估小组打算从抽取的5人中随机选出2名同学进行访谈,求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率.17. (本小题满分12分) 已知函数())22sin cos 0,0f x a x x x a ωωωω=+>>的最大值为2,且最小正周期为π.(I )求函数()f x 的解析式及其对称轴方程;(II )若()4,sin 436f παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求的值.18. (本小题满分12分)如图,已知四边形ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD ,CD=PD=2EA,PD//EA ,F ,G ,H 分别为PB ,BE ,PC 的中点. (I )求证:GH//平面PDAE ; (II )求证:平面FGH ⊥平面PCD.19. (本小题满分12分)已知数列{}n a 中,111,1,33,n n n a n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数,为偶数. (I )证明数列232n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列;(II )若n S 是数列{}n a 的前n 项和,求2n S .20. (本小题满分13分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>,其中12,F F 为左、右焦点,且离心率e =l 与椭圆交于两不同点()()1122,,,P x y Q x y .当直线l 过椭圆C 右焦点F 2且倾斜角为4π时,原点O 到直线l的距离为2.(I )求椭圆C 的方程;(II )若OP OQ ON OPQ +=∆u u u r u u u r u u u r ,当求ON PQ⋅uuu r uu u r 的最大值.21. (本小题满分14分)已知函数()()()sin ,x f x x g x e f x '==⋅,其中e 为自然对数的底数. (I )求曲线()y g x =在点()()0,0g 处的切线方程;(II )若对任意,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,不等式()()g x x f x m ≥⋅+恒成立,求实数m 的取值范围;(III )试探究当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,方程()()g x x f x =⋅的解的个数,并说明理由.2017年高三模拟考试文科数学参考答案与评分标准 03 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 答案:DDABD BACAC 1.答案D .解析: {}[0,2],|01(1,2]A B x x x A B ==<>∴⋂= 或,故选D. 2.答案D.解析: 复数1234i i z z t =+=+,,所以12 (34)(43)i z z t t ⋅=+++,又12·z z 是实数,所以430t =+,所以t =34-.故选D.3.答案A.解析: 由命题甲成立即0a b <<,可得2()0ab b a b b -=->,即2b ab >命题乙成立,而当命题乙成立时即2ab b >,可取1,2==b a ,显然0a b <<不成立,故选A .4.答案B.解析:由题意知该几何体为四棱锥,底面是长为4、宽为3的长方形,一条侧棱和底面垂直.又故侧面积为144+34+432⨯⨯⨯(),底面积12,所以表面积为故选B.5.答案D. 解析:先画出可行域如右图:由2y x x y =⎧⎨+=⎩,得B (1,1),由x ay x =⎧⎨=⎩,得C (a ,a ),当直线2z x y =+过点B (1,1)时,目标函数2z x y =+取得最大 值,最大值为3;当直线2z x y =+过点C (a ,a )时,目标函数2z x y =+取得最小值,最小值为3a ;由条件得343a =⨯,所以a =14,故选D.6.答案B.解析:因为4,30AB BC ABC ==∠= ,AD 是边BC 上的高,AD =2,所以1()2442AD AC AD AB BC AD AB AD BC ⋅=⋅+=⋅+⋅=⨯⨯=,故选B.7.答案A.解析:本题可用排除法,1()sin 2f x x x '=-.∴函数()f x '为奇函数,故B 、D 错误;又ππ()1024f '=-<,故C 错误;故选A .8.答案C .解析:由图象可得3π2,,1===ϕωA 所以)3π2sin()(+=x x f ,将)(x f 的图象向右平移6π个单位可得)(x g 的图象,故选C.9. 答案 A.解析: 由抛物线定义可得M 点到准线的距离为5,因此,8=p 故抛物线方程为x y 162=,所以)4,1(M ,点)0,(a A -,由AM 的斜率等于渐近线的斜率得aa114=+,解得91=a ,故答案为A.10. 答案 C.解析:构造函数()()h x xf x =,∴()()()h x f x x f x ''=+⋅, ∵()y f x =是定义在实数集R 上的奇函数,∴()h x 是定义在实数集R 上的偶函数,当x >0时,()()()0h x f x x f x ''=+⋅>,∴此时函数()h x 单调递增.∵111()()222a f h ==,2(2)2(2)(2)b f f h =--==,111(ln )(ln )(ln )(ln 2)(ln 2)222c f h h h ===-=,又1ln 222<<,.a c b ∴<<.故选C .二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 答案:11.1 12.160 13.1007-14.(,1][0,)-∞-+∞ 15.30 11.答案:1.解析:在ABC∆中,由余弦定理,得2222π121cos3a a +-⨯⨯⨯=,又0a >,解得1a =. 12.答案:160.解析:设年龄在[)25,30的志愿者的频率是p ,则有50.0150.0750.0650.021p ⨯++⨯+⨯+⨯=,解得0.2p =,故区间[)25,30内的人数是8000.2160⨯=.13.答案:1007-.解析:由程序框图可知123201320141007(1)1007S =-+-+-=⨯-=- .14.答案:(,1][0,)-∞-+∞ .解析:当1a ≤-时,2()22a f a -=≥,解得12a ≤-,此时1a ≤-; 当1a >-时,()222f a a =+≥,解得0a ≥,此时0a ≥. 故实数a 的取值范围是(,1][0,)-∞-+∞ .15.答案:30.解析:由题意知,60为集合中的最大数.令1i j ==,则可得集合中的最小数10a =.这样根据题意就有:2460a a -=,3360a a -=,4260a a -=,可见,330a =.三、解答题:本大题共6小题,共75分.16.解:(Ⅰ)抽取的5人中男同学的人数为305350⨯=,女同学的人数为205250⨯=. ……4分(Ⅱ)记3名男同学为123,,A A A ,2名女同学为12,B B . 从5人中随机选出2名同学,所有可能的结果有12131112232122,,,,,,,A A A A A B A B A A A B A B 313212,,A B A B B B ,共10个. (7)分用C 表示:“选出的两名同学中恰有一名女同学”这一事件,则C中的结果有6个,它们是:11122122,,,,A B A B A B A B 3132,A B A B .………………10分所以 选出的两名同学中恰有一名女同学的概率63()105P C ==. ………………12分17.解:(Ⅰ)x x a x f ωω2cos 32sin )(+=,由题意()f x 的周期为π,所以2ππ2ω=,得1ω= (2)分)(x f 最大值为2,故232=+a ,又0>a ,1=∴a∴π()2sin(2)3f x x =+………………4分 令ππ2π32x k +=+,解得()f x 的对称轴为ππ()122k x k =+∈Z . ……………… 6分 (Ⅱ)由4()3f α=知π42sin(2)33α+=,即π2sin(2)33α+=, ………………8分∴ππππsin 4sin 22cos 226323ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ………………10分22π2112sin 212339α⎛⎫⎛⎫=-++=-+⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………12分18.解:(Ⅰ)分别取PD 的中点M EA ,的中点.N 连结MH NG MN ,,. 因为G H ,分别为BE PC ,的中点,所以 , .因为AB 与CD 平行且相等,所以MH 平行且等于NG ,故四边形GHMN 是平行四边形.所以GH MN . …………4分又因为GH ⊄平面PDAE ,MN ⊂平面PDAE ,所以GH平面PDAE . (6)分(若通过面面平行来证明也可,酌情给分)(Ⅱ)证明:因为PD ⊥平面ABCD ,BC ⊂平面ABCD ,所以PD BC ⊥.因为,,BC CD PD CD D ⊥= 所以BC ⊥平面PCD . 因为F H ,分别为PB PC 、的中点,所以.FH BC 所以FH ⊥平面.PCD 因为FH ⊂平面FGH,所以平面FGH ⊥平面PCD . (12)分19.解:(Ⅰ)设232n n b a =-,则1213131(1)2326b a a =-=+-=-,………………2分因为21222(1)122221313113(21)(6)(21)13232322.333332222n n n n n n n n n n a n a n n a a b b a a a a +++++--++---=====----所以数列23{}2n a -是以16-为首项,13为公比的等比数= 12CDMH = NG 12AB列.……………………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)得123111126323n nn n b a -⎛⎫⎛⎫=-=-⋅=-⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,即2113232nn a ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭, …………………8分由()2211213n n a a n -=+-,得()1212111533216232n n n a a n n --⎛⎫=--=-⋅-+⎪⎝⎭, …………………10分所以12121111692692333n n nn n a a n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-⋅+-+=-⋅-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦, ()()()21234212n n n S a a a a a a -=++++++L()211126129333nn n⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+++-++++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L L 11133(1)2691213nn n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=-⋅-⋅+-()221113631233nnn n n ⎛⎫⎛⎫=--+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,……………………………………12分20.解:(Ⅰ)因为直线l 的倾斜角为π4,2(,0)F c ,所以,直线l 的方程为y x c =-,2=,所以1c=.又e=a=b=椭圆C的方程22132x y+= . ………………4分(Ⅱ))当直线l的斜率不存在时,,P Q两点关于x轴对称,则1212,x x y y==-,由()11,P x y在椭圆上,则2211132x y+=,而11S x y==,则111x y==知ON PQ⋅=……………………………………5分当直线l的斜率存在时,设直线l为y kx m=+,代入22132x y+=可得2223()6x kx m++=,即222(23)6360k x kmx m+++-=,由题意0∆>,即2232k m+>.2121222636,2323km mx x x xk k-+=-=++. ……………………………………7分12PQ x=-==d=11222POQS d PQ∆=⋅⋅==,化为222224(32)(32)m k m k +-=+,222222(32)22(32)(2)0k m k m +-++= , 即222(322)0k m +-=. 则22322k m +=,满足0∆>, (9)分由前知123kx x m+=-,2121232()22k y y k x x m m m m+=++=-+=,22221212222941()()2(3)k ON x x y y m m m=+++=+=- .22222222224(32)2(21)1(1)2(2)(23)k m m PQ k k m m+-+=+==++ ………………………11分2222114(3)(2)25ON PQ m m =-+ ≤,当且仅当221132m m-=+,即m =时等号成立,故5ON PQ≤.综上可知ON PQ的最大值为5. (13)分21.解:(Ⅰ)依题意得,()ecos .xg x x =⋅()00e cos01g ==,()e cos e sin ,x x g x x x '=- (0)1g '=.所以曲线()y g x =在点(0,(0))g 处的切线方程为1y x =+. ……………………4分(Ⅱ)等价于对任意π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,()()min[]m g x x f x -⋅≤.·· 5分 设()()()e cos sin xh x g x x f x x x x =-⋅=-,π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.则()()()ecos e sin sin cos e cos e 1sin xx x x h x x x x x x x x x '=---=--+因为π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,所以()()e cos 0,e 1sin 0xx x x x -+≥≤,所以()0h x '…,故()h x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增, ······ 6分因此当π2x =-时,函数()h x 取得最小值ππ22h ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭; ·· 7分 所以π2m ≤-,即实数m 的取值范围是π,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. ···· 8分 (Ⅲ)设()()()e cos sin x H x g x x f x x x x =-⋅=-,ππ[,]22x ∈-. ①当π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,由(Ⅱ)知,函数()H x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增, 故函数()H x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦至多只有一个零点, 又()ππ010,022H H ⎛⎫=>-=-< ⎪⎝⎭,而且函数()H x 图象在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是连续不断的,因此,函数()H x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且只有一个零点. · 10分 ②当π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,()()g x x f x >⋅恒成立.证明如下:设π()e,[0,]4xx x x ϕ=-∈,则()e 10x x '=-ϕ≥,所以()x ϕ在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增, 所以π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,()(0)1x ϕϕ>=,所以e 0xx >>, 又π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,cos sin 0x x >≥,所以e cos sin x x x x ⋅>,即()()g x x f x >⋅,即()0H x >.故函数()H x 在π0,4⎛⎤⎥⎝⎦上没有零点.········ 11分 ③当ππ,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,()e (cos sin )(sin cos )0xH x x x x x x '=--+<,所以函数()H x 在ππ,42⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减,故函数()H x 在ππ,42⎛⎤⎥⎝⎦至多只有一个零点,又π4ππππ())0,()04422H e H =->=-<,而且函数()H x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是连续不断的,因此,函数()H x 在ππ,42⎛⎤⎥⎝⎦上有且只有一个零点.·· 13分 综上所述,ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,方程()()g x x f x =⋅有两个解. 14分。
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符号题目要求的.(1)设集合{}11M x x =-<,{}x 2N x =<,则MN =A.(-1,1)B. (-1,2)C. (0,2)D. (1,2) 【答案】C【解析】由|1|1x -<得02x <<,故M N={|02}{|2}{|02}x x x x x x =<<⋂<=<< ,选C.(2)已知i 是虚数单位,若复数满足1zi i =+,则2z = A.-2i B.2i C.-2 D.2 【答案】A【解析】由1zi i =+得22()(1)zi i =+,即22z i -=,故22z i =-,选A.(3)已知x,y 满足约束条件x 2y 50x 30x 2⎧≤⎪≥⎨⎪≤⎩-++则z=x+2y 的最大值是 A.-3 B.-1 C.1 D.3 【答案】D当其经过直线x 2y 50=-+与y 2=的交点(1,2)-时,2z x y =+最大为1223z =-+⨯=,选D.(4)已知34cosx =,则2cos x = (A)-14 (B) 14 (C) - 18 (D) 18【答案】D(5) 已知命题p :x R ∃∈ , 210x x -+≥;命题q :若22a b <,则a<b.下列命题为真命题的是(A )p Λ q (B)p Λ⌝ q (C) ⌝ p Λ q (D) ⌝ p Λ ⌝ q 【答案】B【解析】由0x =时210x x -+≥成立知p 是真命题,由222212,1(2)<<-可知q 是假命题,故选B.(6)执行右侧的程序框图,当输入的x 值时,输入的y 的值为2,则空白判断框中的条件可能为(A )x>3 (B) x>4 (C)x ≤ 4 (D)x ≤ 5 【答案】B【解析】输入x 为4,要想输出y 为2,则程序经过2log 42y ==,故判断框填4x >,选B. (7)函数sin2cos23+=y x x 最小正周期为A2π B 23π C π D 2π 【答案】C(8)如图所示的茎叶图记录了甲乙两组各5名工人某日的产量数据(单位:件)。
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题文山东卷本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项:1.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
答案写在试卷上无效。
3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式:如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B).【试卷点评】【命题特点】2017年山东高考数学试卷,试卷结构总体保持了传统的命题风格,以能力立意,注重考查考生的基础知识、基本技能和基本数学素养,符合考试说明的各项要求,贴近中学教学实际,是一份知识与能力完美融合、传统与创新和谐统一的优秀试卷.试题的顺序编排,遵循由易到难,基本符合学生由易到难的答题习惯.从命题内容来看,既突出热点内容的年年考查,又注意了非热点内容的考查,对教学工作有较好的导向性.同以往相比,今年对直线与圆没有独立的考题,而在压轴题的圆锥曲线问题中有所涉及直线与圆的位置关系,对基本不等式有独立的考查,与往年突出考查等差数列不同,今年对此考查有所淡化.具体看还有以下特点:1.体现新课标理念,保持稳定,适度创新.试卷紧扣山东高考《考试说明》,重点内容重点考查,试题注重考查高中数学的基础知识,并以重点知识为主线组织全卷,在知识网络交汇处设计试题内容,且有适度难度.而对新增内容则重点考查基本概念、基础知识,难度不大.2.关注通性通法.试卷淡化了特殊的技巧,全面考查通性通法,体现了以知识为载体,以方法为依托,以能力考查为目的的命题要求. 数学思想方法是数学的灵魂,是对数学知识最高层次的概括与提炼,也是试卷考查的核心.通过命题精心设计,较好地考查了数形结合的思想、函数与方程的思想、转化与化归的数学思想.利用函数导数讨论函数的单调性、极值的过程,将分类与整合的思想挖掘得淋漓尽致.3.体现数学应用,关注社会生活.通过概率问题考查考生应用数学的能力,以学生都熟悉的内容为背景,体现试卷设计问题背景的公平性,对推动数学教学中关注身边的数学起到良好的导向.【命题趋势】2018年起,山东将不再自主命题,综合全国卷特点,结合山东教学实际,预测2018年应特别关注:1.函数与导数知识:以导数知识为背景的函数问题,多与单调性相关;对具体函数的基本性质(奇偶性、周期性、函数图象、函数与方程)、分段函数及抽象函数的考查依然是重点. 导数的几何意义与利用导数研究函数的性质的命题变换空间较大,直接求解问题、定值问题、存在性问题、求参数问题等,因此,其难度应会保持在中档以上.2.三角函数与向量知识:三角函数将从三角函数的图象和性质、三角变换、解三角形等三个方面进行考查,预计在未来考卷中,三方面内容依然会轮流出现在小题、大题中,大题综合化的趋势不容忽视.向量具有数与形的双重性,并具有较强的工具性,从近几年命题看,高考中向量试题的命题趋向依然是考查平面向量的基本概念和运算律;考查平面向量的坐标运算;考查平面向量与几何、三角、代数等学科的综合性问题,其难度不会增大.3.不等式知识:突出工具性,淡化独立性,突出解不等式及不等式的应用是不等式命题的重要趋向之一.不等式的性质与指数函数、对数函数、三角函数、二次函数等结合起来,考查不等式的性质、最值、函数的单调性等;证明不等式的试题,多与导数、数列、解析几何等知识为背景,在知识网络的交汇处命题,综合性往往较强,能力要求较高;解不等式的试题,往往与集合、函数图象等相结合.4.数列知识:等差数列、等比数列的通项公式及求和公式,依然会是考查的重点.由于数列求和问题的求解策略较为模式化,因此,这方面的创新往往会在融入“和”与“通项”的关系方面,让考生从此探究数列特征,确定应对方法.少有可能会象浙江卷,将数列与不等式综合,作为压轴难题出现.5.立体几何知识:近几年的命题说明,通过垂直、平行位置关系的证明题,二面角等角的计算问题,综合考查考生的逻辑思维能力、推理论证能力以及计算能力,在这方面文科倾向于证明.6.解析几何知识:预计小题中考查直线与圆、双曲线及抛物线的标准方程和几何性质为主旋律,解答题考查椭圆及椭圆与直线的位置关系等综合性问题为主,考查抛物线及抛物线与直线的位置关系等综合性问题为辅,和导数一样,命题变换空间较大,面积问题、定点问题、定值问题、存在性问题、求参数问题等,因此,导数问题或圆锥曲线问题作为压轴题的地位难以变化.7.概率与统计知识:概率与统计知识较为繁杂,命题的难度伸缩性也较大,其中较多地考查基础知识、基本应用,内容包括:古典概型、几何概型、茎叶图、平均数、中位数、变量的相关性、频率分布直方图(表)、假设性检验、回归分析等.试卷解析第Ⅰ卷(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)设集合{}11M x x =-<,{}2N x x =<,则M N =(A )()1,1- (B )()1,2- (C )()0,2 (D )()1,2【答案】C【解析】试题分析:由|1|1x -<得02x <<,故={|02}{|2}{|02}MN x x x x x x <<<=<<,故选C. 【考点】 不等式的解法,集合的运算【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题,应先把集合化简再计算,对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号能否取到,对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助Venn 图.(2)已知i 是虚数单位,若复数z 满足i 1i z =+,则2z =(A )-2i (B )2i (C )-2 (D )2【答案】A【解析】【考点】复数的运算【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则,除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化.注意下面结论的灵活运用:(1)(1±i)2=±2i;(2)1+i 1-i =i,1-i 1+i=-i. (3)已知x ,y 满足约束条件250302x y x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则z =x +2y 的最大值是(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3【答案】D【解析】【考点】线性规划【名师点睛】(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是:“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点,并代入不等式(组).若满足不等式(组),则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域;否则就对应与特殊点异侧的平面区域.当不等式中带等号时,边界为实线;不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点.(2)利用线性规划求目标函数最值的步骤:①画出约束条件对应的可行域;②将目标函数视为动直线,并将其平移经过可行域,找到最优解;③将最优解代入目标函数,求出最大值或最小值.(4)已知3cos4x=,则cos2x=(A)14-(B)14(C)18-(D)18【解析】 试题分析:由3cos 4x =得2231cos22cos 12148x x ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭,故选D. 【考点】二倍角公式【名师点睛】(1)三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征.(2)三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点.(5)已知命题p :,x ∃∈R 210x x -+≥;命题q :若22a b <,则a <b .下列命题为真命题的是(A )p q ∧ (B )p q ∧⌝ (C )p q ⌝∧ (D )p q ⌝∧⌝【答案】B【解析】【考点】命题真假的判断【名师点睛】判断一个命题为真命题,要给出推理与证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例.根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假.(6)执行下面的程序框图,当输入的x 的值为4时,输出的y 的值为2,则空白判断框中的条件可能为(A )3x > (B )4x > (C )4x ≤ (D )5x ≤【解析】【考点】程序框图【名师点睛】程序框图试题主要有求程序框图执行的结果和完善程序框图两种形式,求程序框图执行的结果,要先找出控制循环的变量的初值(计数变量与累加变量的初始值)、步长、终值(或控制循环的条件),然后看循环体,循环体是反复执行的步骤,循环次数比较少时,可依次列出;循环次数较多时,可先循环几次,找出规律,最后要特别注意循环结束的条件,不要出现多一次或少一次循环的错误.完善程序框图的试题多为判断框内内容的填写,这类问题常涉及,,,≥>≤<的选择,解答时要根据循环结构的类型,正确地进行选择,注意直到型循环是“先循环,后判断,条件满足时终止循环”,而当型循环则是“先判断,后循环,条件满足时执行循环”,两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的,它们恰好相反.另外,还要注意判断框内的条件不是唯一的,如5i >也可写成6i ≥.(7)函数2cos 2y x x =+的最小正周期为 (A )π2 (B )2π3(C )π (D )2π 【答案】C【解析】试题分析:因为π2cos 22sin 23y x x x ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭,所以其最小正周期2ππ2T ==,故选C. 【考点】三角变换及三角函数的性质【名师点睛】求三角函数周期的方法:①利用周期函数的定义.②利用公式:y =A sin(ωx +φ)和y =A cos(ωx +φ)的最小正周期为2π|ω|,y =tan(ωx +φ)的最小正周期为π|ω|.③对于形如sin cos y a x b x ωω=+的函数,一般先把其化为()y x ωϕ=+的形式再求周期.(8)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位:件).若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x 和y 的值分别为(A )3,5 (B )5,5 (C )3,7 (D )5,7【答案】A【解析】【考点】茎叶图、样本的数字特征【名师点睛】由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况,这一点同频率分布直方图类似.它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据,没有任何信息损失;第二点是茎叶图便于记录和表示.缺点是当样本容量较大时,作图较烦琐. 利用茎叶图对样本进行估计时,要注意区分茎与叶,茎是指中间的一列数,叶是从茎的旁边生长出来的数.(9)设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭(A )2 (B )4 (C )6 (D )8【答案】C【解析】试题分析:由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【考点】分段函数求值 【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式,代入求解;当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围.(10)若函数()e x f x (e=2.71828是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中具有M 性质的是(A )()2x f x -= (B )()2f x x = (C )()3xf x -= (D )()cos f x x = 【答案】A【考点】导数的应用【名师点睛】(1)确定函数单调区间的步骤:① 确定函数f (x )的定义域;②求f ′(x );③解不等式f ′(x )>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;④解不等式f ′(x )<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.(2)根据函数单调性确定参数范围的方法:①利用集合间的包含关系处理:y =f (x )在(a ,b )上单调,则区间(a ,b )是相应单调区间的子集.②转化为不等式的恒成立问题,即转化为“若函数单调递增,则f ′(x )≥0;若函数单调递减,则f ′(x )≤0”来求解.第Ⅱ卷(共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.(11)已知向量a =(2,6),b =(1,)λ- ,若∥a b ,则λ= .【答案】3-【解析】试题分析:由∥a b 可得162 3.λλ-⨯=⇒=-【考点】向量共线与向量的坐标运算【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略:(1)利用两向量共线求参数.如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则∥a b 的充要条件是x 1y 2=x 2y 1”解题比较方便.(2)利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地,在求与一个已知向量a 共线的向量时,可设所求向量为λa (λ∈R ),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量.(3)三点共线问题.A ,B ,C 三点共线等价于AB →与AC →共线.(12)若直线1(00)x y a b a b+=>,> 过点(1,2),则2a +b 的最小值为 . 【答案】8【解析】【考点】基本不等式【名师点睛】应用基本不等式解题一定要注意应用的前提:“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件.在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式.(13)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为 .【答案】π22+ 【解析】试题分析:由三视图可知,长方体的长、宽、高分别为2,1,1,圆柱的高为1,底面圆半径为1,所以2π1π21121242V ⨯=⨯⨯+⨯⨯=+. 【考点】三视图及几何体体积的计算.【名师点睛】(1)由实物图画三视图或判断、选择三视图,此时需要注意“长对正、高平齐、宽相等”的原则.(2)由三视图还原实物图,解题时首先对柱、锥、台、球的三视图要熟悉,复杂的几何体也是由这些简单的几何体组合而成的;其次,要遵循以下三步:①看视图,明关系;②分部分,想整体;③综合起来,定整体.(14)已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x +4)=f (x -2).若当[3,0]x ∈-时,()6xf x -=,则f (919)= .【答案】6【解析】【考点】函数奇偶性与周期性【名师点睛】与函数奇偶性有关问题的解决方法:①已知函数的奇偶性,求函数值:将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.②已知函数的奇偶性求解析式:将待求区间上的自变量,转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组),从而得到f (x )的解析式.③已知函数的奇偶性,求函数解析式中参数的值:常利用待定系数法,利用f (x )±f (-x )=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程求解.④应用奇偶性画图象和判断单调性:利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.(15)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线22221(00)x y a b a b-=>>,的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ,B 两点.若|AF |+|BF |=4|OF |,则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】y x = 【解析】 试题分析:由抛物线定义可得:||||=4222A B A B p p p AF BF y y y y p ++++=⨯⇒+=, 因为22222222221202x y a y pb y a b a b x py ⎧-=⎪⇒-+=⎨⎪=⎩,所以222A B pb y y p a a +==⇒=⇒渐近线方程为2y x =±. 【考点】抛物线的定义与性质、双曲线的几何性质【名师点睛】若AB 是抛物线()220y px p =>的焦点弦,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).则 (1)y 1y 2=-p 2,x 1x 2=p 24.(2)|AB |=x 1+x 2+p =2p sin 2θ(θ为AB 的倾斜角).(3)1|AF |+1|BF |为定值2p . (4)以AB 为直径的圆与准线相切.(5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切.三、解答题:本大题共6小题,共75分. (16)(本小题满分12分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1,A 2,A 3和3个欧洲国家B 1,B 2,B 3中选择2个国家去旅游. (Ⅰ)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;(Ⅱ)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率. 【答案】(Ⅰ)15;(Ⅱ)2.9【解析】包含1A 但不包括1B 的事件所包含的基本事件有:{}{}1213,,,A B A B ,共2个, 所以所求事件的概率为:29P =.【考点】古典概型【名师点睛】(1)对于事件A 的概率的计算,关键是要分清基本事件总数n 与事件A 包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题:第一,本试验是否是等可能的;第二,本试验的基本事件数有多少个;第三,事件A 是什么,它包含的基本事件有多少个.(2)如果基本事件的个数比较少,可用列举法把古典概型试验所包含的基本事件一一列举出来,然后再求出事件A 中的基本事件数,利用公式P (A )=mn求出事件A 的概率,这是一个形象、直观的好方法,但列举时必须按照某一顺序做到不重不漏. (17)(本小题满分12分)在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b =3,6AB AC ⋅=-,3ABC S =△,求A 和a .【答案】3=π,4A a 【解析】又3b =,所以c =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-,得29823(2a =+-⨯⨯-,所以a =【考点】解三角形【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角与几何产生联系,为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据,也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据.其主要方法有:化角法,化边法,面积法,运用初等几何法.注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想. (18)(本小题满分12分)由四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1- B 1CD 1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD 为正方形,O 为AC 与BD 的交点,E 为AD 的中点,A 1E ⊥平面ABCD . (Ⅰ)证明:1A O ∥平面B 1CD 1;(Ⅱ)设M 是OD 的中点,证明:平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1.【答案】(Ⅰ)证明见解析.(Ⅱ)证明见解析. 【解析】所以1A O ∥平面11B CD .(Ⅱ)因为AC BD ⊥,E ,M 分别为AD 和OD 的中点, 所以EM BD ⊥,又1A E ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD , 所以1,A E BD ⊥【考点】空间中的线面位置关系【名师点睛】证明线面平行时,先直观判断平面内是否存在一条直线和已知直线平行,若找不到这样的直线,可以考虑通过面面平行来推导线面平行,应用线面平行性质的关键是如何确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线.在应用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理进行平行转化时,一定要注意定理成立的条件,严格按照定理成立的条件规范书写步骤,如把线面平行转化为线线平行时,必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交,则直线与交线平行. (19)(本小题满分12分)已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ){}n b 为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】(Ⅰ)2nn a =;(Ⅱ)2552n nn T +=-【解析】试题分析:(Ⅰ)列出关于1,a q 的方程组,解方程组求基本量;(Ⅱ)用错位相减法求和.试题解析:(Ⅰ)设{}n a 的公比为q ,由题意知:22111(1)6,a q a q a q +==.又0n a >,解得:12,2a q ==,所以2n n a =.(Ⅱ)由题意知:121211(21)()(21)2n n n n b b S n b +++++==+,又2111,0,n n n n S b b b +++=≠【考点】等比数列的通项,错位相减法求和.【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公比q ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解.等比数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1,a n ,q ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想.(2)用错位相减法求和时,应注意:在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出“S n -qS n ”的表达式,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解. (20)(本小题满分13分)已知函数()3211,32f x x ax a =-∈R . (Ⅰ)当a =2时,求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程;(Ⅱ)设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--,讨论()g x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.【答案】(Ⅰ)390x y --=,(Ⅱ)见解析. 【解析】试题分析:(Ⅰ)根据导数的几何意义,求出切线的斜率,再用点斜式写出切线方程;(Ⅱ)由()()(sin )g x x a x x '=--,通过讨论确定()g x 的单调性,再由单调性确定极值.试题解析:(Ⅰ)由题意2()f x x ax '=-,所以,当2a =时,(3)0f =,2()2f x x x '=-,因为(0)0h =,所以,当0x >时,()0h x >;当0x <时,()0h x <. (1)当0a <时,()()(sin )g x x a x x '=--,当(,)x a ∈-∞时,0x a -<,()0g x '>,()g x 单调递增; 当(,0)x a ∈时,0x a ->,()0g x '<,()g x 单调递减; 当(0,)x ∈+∞时,0x a ->,()0g x '>,()g x 单调递增. 所以当x a =时()g x 取到极大值,极大值是31()sin 6g a a a =--, 当0x =时()g x 取到极小值,极小值是(0)g a =-. (2)当0a =时,()(sin )g x x x x '=-, 当(,)x ∈-∞+∞时,()0g x '≥,()g x 单调递增;所以()g x 在(,)-∞+∞上单调递增,()g x 无极大值也无极小值. (3)当0a >时,()()(sin )g x x a x x '=--,当(,0)x ∈-∞时,0x a -<,()0g x '>,()g x 单调递增;有极小值,极大值是31()sin 6g a a a =--,极小值是(0)g a =-; 当0a =时,函数()g x 在(,)-∞+∞上单调递增,无极值;当0a >时,函数()g x 在(,0)-∞和(,)a +∞上单调递增,在(0,)a 上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是(0)g a =-,极小值是31()sin 6g a a a =--. 【考点】导数的几何意义及导数的应用【名师点睛】(1)求函数f (x )极值的步骤:①确定函数的定义域;②求导数f ′(x );③解方程f ′(x )=0,求出函数定义域内的所有根;④检验f ′(x )在f ′(x )=0的根x 0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f (x )在x 0处取极大值,如果左负右正,那么f (x )在x 0处取极小值.(2)若函数y =f (x )在区间(a ,b )内有极值,那么y =f (x )在(a ,b )内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值. (21)(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221x y a b+=(a >b >0)的离心率为2,椭圆C 截直线y =1所得线段的长度为(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)动直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ,B 两点,交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点,⊙N 的半径为|NO |. 设D 为AB 的中点,DE ,DF 与⊙N 分别相切于点E ,F ,求∠EDF 的最小值.【答案】(Ⅰ)22142x y +=;(Ⅱ)EDF ∠的最小值为π3. 【解析】又当1y =时,2222a x a b =-,得2222a a b-=,所以224,2a b ==,因此椭圆方程为22142x y +=. (Ⅱ)设1122(,),(,)A x y B x y ,联立方程2224y kx mx y =+⎧⎨+=⎩, 得222(21)4240k x kmx m +++-=, 由0∆>得2242m k <+.(*) 且122421kmx x k +=+,令283,3t k t =+≥, 故21214t k ++=, 所以2221616111(1)2ND t t NFt t=+=++++ . 令1y t t=+,所以211y t'=-. 当3t ≥时,0y '>,从而1y t t =+在[3,)+∞上单调递增,因此1103t t +≥,等号当且仅当3t =时成立,此时0k =,所以22134 NDNF≤+=,【考点】圆与椭圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系【名师点睛】圆锥曲线中的两类最值问题:①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题;②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题.常见解法:①几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决;②代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值,最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解.。
高考衣食住用行衣:高考前这段时间,提醒同学们出门一定要看天气,否则淋雨感冒,就会影响考场发挥。
穿着自己习惯的衣服,可以让人在紧张时产生亲切感和安全感,并能有效防止不良情绪产生。
食:清淡的饮食最适合考试,切忌吃太油腻或者刺激性强的食物。
如果可能的话,每天吃一两个水果,补充维生素。
另外,进考场前一定要少喝水!住:考前休息很重要。
好好休息并不意味着很早就要上床睡觉,根据以往考生的经验,太早上床反而容易失眠。
考前按照你平时习惯的时间上床休息就可以了,但最迟不要超过十点半。
用:出门考试之前,一定要检查文具包。
看看答题的工具是否准备齐全,应该带的证件是否都在,不要到了考场才想起来有什么工具没带,或者什么工具用着不顺手。
行:看考场的时候同学们要多留心,要仔细了解自己住的地方到考场可以坐哪些路线的公交车?有几种方式可以到达?大概要花多长时间?去考场的路上有没有修路堵车的情况?考试当天,应该保证至少提前20分钟到达考场。
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学本试卷分第I卷和第II卷两部分,共4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项:1.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
答案写在试卷上无效。
3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4、填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
参考公式:如果事件A ,B 互斥,那么P (A+B )=P(A)+P(B)第I 卷(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符号题目要求的.(1)设集合{}11M x x =-<,{}2N x x =<,则M N =I (A )()1,1- (B )()1,2- (C )()0,2(D )()1,2(2)已知i 是虚数单位,若复数z 满足i 1i z =+,则2z = (A)-2i ( B)2i (C)-2 (D)2(3)已知x ,y 满足约束条件250302x y x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则z =x +2y 的最大值是(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3(4)已知3cos 4x =,则cos2x = (A)14- (B)14 (C)18- (D)18(5)已知命题p :,x ∃∈R 210x x -+≥;命题q :若22a b <,则a <b .下列命题为真命题的是(A)p q ∧ (B)p q ∧⌝ (C)p q ⌝∧ (D)p q ⌝∧⌝(6)执行右侧的程序框图,当输入的x 的值为4时,输出的y 的值为2,则空白判断框中的条件可能为(A )3x > (B )4x > (C )4x ≤ (D )5x ≤ (7)函数3sin 2cos 2y x x =+最小正周期为(A )π2 (B )2π3(C )π (D ) 2π(8)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位:件).若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x 和y 的值分别为(A ) 3,5 (B ) 5,5 (C ) 3,7 (D ) 5,7(9)设()(),0121,1x x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭(A )2 (B ) 4 (C ) 6 (D ) 8(10)若函数()e xf x (e=2.71828L ,是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质,下列函数中具有M 性质的是 (A )()2xf x -= (B )()2f x x = (C )()-3xf x =(D )()cos f x x = 第II 卷(共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分(11)已知向量a =(2,6),b =(1,)λ-,若a ∥b ,则λ= .(12)若直线1(00)x ya b a b+=>,>过点(1,2),则2a +b 的最小值为 . (13)由一个长方体和两个14圆柱构成的几何体的三视图如右图,则该几何体的体积为 .(14)已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x +4)=f (x -2).若当[3,0]x ∈-时,()6xf x -=,则f (919)= .(15)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线22221(00)x y a b a b -=>>,的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ,B 两点,若|AF |+|BF |=4|OF |,则该双曲线的渐近线方程为 .三、解答题:本大题共6小题,共75分.(16)(本小题满分12分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1,A 2,A 3和3个欧洲国家B 1,B 2,B 3中选择2个国家去旅游.(Ⅰ)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;(Ⅱ)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率.(17)(本小题满分12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b =3,6AB AC ⋅=-u u u r u u u r,S △ABC =3,求A和a .(18)(本小题满分12分)由四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1- B 1CD 1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD 为正方形,O 为AC 与BD 的交点,E 为AD 的中点,A 1E ⊥平面ABCD , (Ⅰ)证明:1A O ∥平面B 1CD 1;(Ⅱ)设M 是OD 的中点,证明:平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1.19.(本小题满分12分)已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. (I)求数列{a n }通项公式;(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 20.(本小题满分13分)已知函数()3211,32f x x ax a =-∈R . (I)当a =2时,求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程;(II)设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--,z.x.x.k 讨论()g x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.21.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221x y a b+=(a >b >0)的离心率为22,椭圆C 截直线y =1所得线段的长度为22.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)动直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ,B 两点,交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点,⊙N 的半径为|NO |. 设D 为AB 的中点,DE ,DF 与⊙N 分别相切于点E ,F ,求∠EDF 的最小值.绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学试题参考答案一、选择题(1) C (2) A (3) D (4) D (5) B(6) B (7) C (8) A (9) C (10) A二、填空题(11)3(12)8(13)π22+ (14)6(15)2y x =± 三、解答题 (16)解:(Ⅰ)由题意知,从6个国家里任选两个国家,其一切可能的结果组成的基本事件有:()()1213,,,,A A A A ()23,,A A ()11,,A B ()()1213,,,,A B A B ()()()212223,,,,,,A B A B A B ()()()313233,,,,,,A B A B A B ()()()121323,,,,,,B B B B B B 共15个,所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有:()()()121323,,,,,,A A A A A A 共3个,则所求事件的概率为:()31155P A ==. (Ⅱ) 从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个,其一切可能的结果组成的基本事件有:()11,,A B ()()1213,,,,A B A B ()()()212223,,,,,,A B A B A B ()()()313233,,,,,,A B A B A B 共9个,包括1A 但不包括1B 的事件所包含的基本事件有:()()1213,,,,A B A B 共2个. 则所求事件的概率为:29P =. (17)解:因为6AB AC ⋅=-u u u r u u u r,所以cos 6bc A =-,又 3ABC S ∆=,所以sin 6bc A =, 因此tan 1A =-, 又0A π<<所以34A π=,又3b =,所以c =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得29823(29a =+-⨯⨯=,所以a =(18) 证明:(Ⅰ)取11B D 中点1O ,连接111,CO AO ,由于1111ABCD A B C D -为四棱柱, 所以1111//,=AO CO AO CO , 因此四边形11A OCO 为平行四边形, 所以11//A O O C ,又1O C ⊂平面11B CD ,1AO ⊄平面11B CD , 所以1//AO 平面11B CD , (Ⅱ)因为 AC BD ⊥,E,M 分别为AD 和OD 的中点, 所以EM BD ⊥,又 1A E ⊥面ABCD ,BD ABCD ⊂平面 所以1,A E BD ⊥ 因为 11//B D BD所以11111EM B D A E B D ⊥⊥,又 A 1E, EM 11,A EM A E EM E ⊂⋂=平面 所以11B D ⊥平面111,A EM B D ⊂又平面11B CD , 所以 平面1A EM ⊥平面11B CD 。
4. C . 6. 2711嘀,tan ( B-4)=4兀(od — )等于( 13181C .3 22等差数列{a n }的前n 项和为S n , a 3=5, S e =36,则a s =()9 B . 10 C . 11 D . 12已知m , n 是两条不同直线,a, B, 丫是三个不同平面,下列命题中正确的是( 若a 丄Y ,肚Y 贝U a/l .若m 丄a, n 丄a,则m // n 若 m // a, n // a,贝U m // n D .若 m // a m // B 贝U a// B设x , y 满足约束条件:,则z=x - 2y 的最大值为(C . 4D . -27.已知函数f (x ) =kx - 1,其中实数k 随机选自区间[-2 , 2] , ? x € [0 , 1] , f (x )< 0的概 率是( )A L o 111 3A.自 B . 7 c .旨 D . T=|e x - 1|的图象如图所示,则函数y=g' (x )图象大致为(2017年山东省高考数学三模试卷(文科)含答案2017年山东省高考数学三模试卷(文科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.1 •设全集 U={ - 3,- 2,- 1, 0, 1, 2, 3},集合 A={x € Z| x2 - 2x - 3<0},则?U A=( A • { - 3,- 2} B . {2, 3} C . (- 3,- 2)D . (2, 3)2. 设 0v x v —,贝q “xsi ?x v 1”是 “xsi 门疋1”的( )A.充分而不必要条件 B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件3.已知 tan ( a +B) ,那么tan D .吉V3 T * V ] 10.如图所示,两个非共线向量 玉,匝的夹角为e, M 、N 分别为OA 与OB 的中点,点C 在直 线MN 上,且 2X! [+y i-t (x , y € R ),则x 2+y 2的最小值为()C .填空题:本大题共5个小题,每小题5分,共25分. 13. 已知圆C 过点(-1,0),且圆心在x 轴的负半轴上,直线I : y=x+1被该圆所截得的弦长 为2 .:则圆C 的标准方程为 —.14. 若函数 f (x ) =2|x -a| 则实数m 的最小值等于_ 15. 下面给出的四个命题中:① 以抛物线y 2=4x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为(x - 1) 2+/=1;② 若m=- 2,则直线(m+2) x+my+1=0与直线(m - 2) x+ (m+2) y - 3=0相互垂直; ③ 命题? x € R ,使得X 2+3X +4=0”的否定是? x € R ,都有x 2+3x+4工0”兀|JT④ 将函数y=sin2x 的图象向右平移——个单位,得到函数y=sin (2x-p )的图象.若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则11 12 已知向量二其中I lb 1=2,且禹丄: 则向量M 「的夹角是=1q-y 2=1焦点相同,则a=(a € R )满足 f (1+x ) =f (1 - x ),且 f (x )在[m ,+^)上单调递增,此直线的斜率的取值范围是()c .A .C..椭圆2与双曲线丄一其中是真命题的有 ___ (将你认为正确的序号都填上).、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤16•某网站针对2014年中国好声音歌手A,B,C三人进行网上投票,结果如下:观众年龄支持A支持B支持C20岁以下20040080020岁以上(含20岁) 100100400(1)在所有参与该活动的人中,用分层抽样的方法抽取n人,其中有6人支持A,求n的值.求恰有1人在20岁以下的概率.(I )求函数f (x)的最大值及取得最大值时的x的集合;(「△ABC中,a,b,c分别是A,B,C的对边,昭寻22. 討衣二12,求边长c的值.18. 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA丄平面ABCD,底面ABCD是菱形,点0是对角线AC 与BD 的交点,M是PD的中点.(1)求证:0M //平面PAB;(2)平面PBD丄平面PAC.19. 已知数列{a n}满足a1=1,且点P (a n,a n+1)在直线y=x+2上;数列{b n}的前n项和为S n,满足S n=2b n- 2,n€ N*(I )求数列{a n}、{b n}的通项公式;(II )设数列{C n}满足C n=a n b n,数列{ C n}的前n项和为T n,求T n的最小值.20. 已知函数f (x) =xlnx .(1)讨论函数f (x)的单调性;(2)对于任意正实数x,不等式f (x)>kx-丄恒成立,求实数k的取值范围.2 221 .已知椭圆'11,F为椭圆C的右焦点,过点F作x轴的垂线交椭圆C于一点* • - •(I)求椭圆C的方程;(2)在支持C的人中,用分层抽样的方法抽取6人作为一个总体,从这6人中任意选取2人, 17. 已知函数2■'门「--j—-.(U)已知A , B为椭圆C的左右顶点,P为椭圆C上异于A , B的任意一点,直线AP、BP分别交直线I: x=m( m> a)于M , N两点,(i )设直线AP、BP的斜率分别为k i, k2,求证:k i k2为定值;(ii )若以线段MN为直径的圆过点F,求实数m的值.12017年山东省高考数学三模试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.1.设全集U={ - 3,- 2,- 1, 0, 1, 2, 3},集合A={x € Z| x2- 2x - 3<0},则?U A=( ) A . { - 3,- 2} B . {2, 3} C. (- 3,- 2) D . (2, 3)【考点】补集及其运算.【分析】求出A中的解集确定出A,根据全集U求出A的补集即可.【解答】解:全集U={ - 3,- 2,- 1, 0, 1, 2, 3},集合A={x € Z|x2- 2x - 3< 0}={ - 1, 0, 1, 2, 3},所以C u A={ - 3.- 2}.故选:A2. 设0v x v —,贝U “xsi^x v 1”是“xsi门疋1”的( )A .充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D .既不充分也不必要条件【考点】不等关系与不等式;必要条件、充分条件与充要条件的判断;正弦函数的单调性.【分析】由x的范围得到sinx的范围,则由xsinx v 1能得到xsin2x v 1,反之不成立.答案可求.兀I【解答】解:I 0v x<一二0v si nx v 1,故xsin2x v xsinx,若“xsin v 1” 则“xsi2x v 1”若“xsiftx v 1”贝U xsinx<诘書,盏丁〉1.此时xsinx v 1可能不成立.例如x书-,sinx —1, xsinx > 1.由此可知,“xsiftx v 1”是“xsin v 1”的必要而不充分条件.故选B.12 71 1 兀3. 已知tan ( a+B) =7-, tan ( p-—) ,那么tan ( o+^~)等于( )1故选C .4.等差数列{a n }的前n 项和为S n , a 3=5, S 6=36,则a s =( )A . 9B . 10C . 11D . 12 【考点】等差数列的性质. 【分析】由等差数列可得' X 6=36,从而求得a 4=7,从而求得.2(a^+ a. J【解答】 解::S 6=—;规X 6=36, a 3=5, • a 4=7,• a 6=a 4+ (6 - 4)X( 7 - 5) =11, 故选:C .5.已知m , n 是两条不同直线,a, B 丫是二个不同平面,下列命题中正确的是( )A .若 a 丄丫,B 丄 Y 贝u all .若 m 丄 a, n 丄 a,贝U m // nC .若 m // a, n // a,贝U m // nD .若 m // a m // B 贝U all B 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解. 【解答】解:若a 丄Y B 丄Y 则a 与B 相交或平行,故A 错误; 若m 丄a, n 丄a,则由直线与平面垂直的性质得 m // n ,故B 正确;13 1822【考点】两角和与差的正切函数. 【分析】1T把已知的条件代入 5〔^十~)=tan[ (a +® -(B运算求得结果.【解答】解:•••已知tantQ + P 也口匚卩气-)^,X兀••• t 曲(au-)=tan[ (a+B) _( P _—) ]=)-Tan (卩亠TT4))]=: : TC -l+tan 〔。