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于英建筑力学15-平面汇交力系合成与平衡的几何法.

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平面汇交力系的合成与平衡

平面汇交力系的合成与平衡

tan Fy Fy 122.3 0.501
Fx
Fx 243.91
方向角α=26.6°，合力的指向为第一象限。
机械工程基础
解： （1）选比例尺，如图所示。 （2）将F1、F2、F3首尾相接得到力多边形abcd，其封闭边矢量ad就是合
力矢量FR。量得ad的长度，得到合力FR＝1650N，FR与x轴夹角α＝16º21′。
平面力系
例2.2 一钢管放置在V形槽内如图a所示，已知：管重 P=5kN，钢管与槽面间的摩擦不计，求槽面对钢管的约束 力。 解：取钢管为研究对象，钢管受到的主动力为重力P和约 束力为FNA和FNB，汇交于O点，如图b所示。
F1
O F2
F4 F3
F1
O
B F2
FR
C
F3
D
F4
E
平面力系
（2）汇交力系的合成结果 共点力系可以合成为一个合力，合力作用在力系
的公共作用点，它等于这些力的矢量和，并可由此 力系的力多边形的封闭边表示。
矢量的表达式： FR= F1+ F2+ F3+ ···+ Fn
F1
O F2
F4 F3
F1
O
B F2
平面力系
解法一：选比例尺，令ab=P，bc=FNA，ca=FNB，将各力矢量 按其方向依次进行首尾相连得封闭的三角形abc，如图c所示。 量取bc边和ca边的边长，按照比例尺转换成力的单位，则槽面 对钢管的约束力为
FNA =bc=3.2kN FNB =ca=4.4kN
解法二：绘制力多边形如图2-4c所示，再利用三角关系的
FR
FR
C
F3
D
F4
E
平面力系

平面汇交力系合成与平衡的几何法

平面汇交力系合成与平衡的几何法

BA
BC
解得 F F 11.35kN
BA
BC
选压块C

F ix

0
FCB cosθ FCx 0
解得 F F cotθ Fl 11.25kN
2 Cx
2h

F iy

0
F CBsin FCy 0
解得 FCy 1.5kN
例2-6
已知: F=1400N, θ 20 , r 60mm
O
Oy
Ox
y
x
M
O
F R



M
O
F i

M F OR

x F
i
iy
y F
i
ix
例2-1 已知： P=20kN，R=0.6m, h=0.08m: 求：
1.水平拉力F=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力？ 2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F至少多大？
3.力F沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力F多大？
求：此力系的合力。
解：用解析法
FRx F ix F1 cos30 F2 cos60 F3 cos45 F4 cos45 129.3N
F Ry

F iy

F sin 30 1

F 2
sin 60
F sin 45 3
F 4
sin 45
112.3N
解： CD为二力杆，取踏板
由杠杆平衡条件
F cos yB F sin xB FCD l 0
解得
FCD

F
cos

yB
l

于英建筑力学15-平面汇交力系合成与平衡的几何法

于英建筑力学15-平面汇交力系合成与平衡的几何法

15
学习探究 如图（b）、（c）中所示都是平面汇交力系。前者力FTA、 FTB及FT三个力都作用于O点，后者力F´TA、F´TB及P分别作用于 A、B、C三点上，但它们作用线延长后都交于O点。 O FTA A FTB ， B C P (c)
16
FT O A (a)
2016/4/2
，
FTB
B
C P FTA
C F
45
0
D
10KN
a
c
FA F
FB
A FA
2016/4/2
b 测量得，FA=28.3KN， FB=20KN 。 B 注意：FA的方向不和开始假设一致 。 注意：利用自行封闭的力多边形可 FB 以求出两个未知数。
36
学习探究
例题3：课本32页习题2-3图（a）的AB、AC杆所受的 力，说明是拉力还是压力
6
学习探究
1、推论一：力的可传递性
B F A B F1 F2 B F1
=
F
A
=
A
2、推论二：三力平衡汇交定理
2016/4/2
7
学习探究
问题： 平衡状态 力
力系
2016/4/2
8
学习探究
新课讲授
•多个力合 力的求法 几何法
•重难点内容
2016/4/2
9
学习探究
学习目标
• 认知
认识平面汇交力系了解其特点
2016/4/2
21
学习探究
两个共点力的合成
F1 A F2 FR
F1
矢量表达式
FR F2
FR F1 F2
A 力三角形不唯一
2016/4/2
22

平面汇交力系的合成几何法.ppt

平面汇交力系的合成几何法.ppt

小
结
平面汇交力系合成的几何法、平衡的几何条件 力在轴上的投影 汇交力系合成的解析法、平衡的解析条件 平衡方程的应用
NA
O
空间汇交力系
力在坐标轴上的投影：
力的矢量表示式
F Xi Yj Zk
1. 直接投影法
z
Z X
x
F Y
y
已知：力的大小 F，力与坐标轴的夹角 , ,
X F cos Y F cos Z F cos z
2. 二次投影法
Z
F
已知：F, 仰角, 方位角
X
Y y
x
先投影到平面上
Fxy F cos
联立解得
TBC 735N TBD 1094N RA 1500N
作业：
墙角处吊挂支架由两端铰接杆OA、OB和软绳OC构成，二杆分 别垂直于墙面且由绳OC维持在水平面内，如图3-34所示。结点O 处悬挂重物，重量W=500N，若OA=300mm，OB=400mm，OC绳 与水平面的夹角为30°，不计杆重。试求绳子拉力和二杆所受的 压力。
y x
Y 0 SBC sin 45 T1 T2 cos30 0 SBC
SBC
T1
T2 cos30 sin 45
2.64KN
（压力）
T2
T1
SAB (SBC cos45 T2 cos60 ) 1.37KN （拉力）
例.提升铰车具有棘轮插爪构成的止逆装置，已知提升重量
G=500N，图中尺寸d1=42cm，d2=24cm，a=12cm，h=5cm，
2
例. 已知简易起重架ABC，重物重P=1KN，滑轮
B大小、尺寸和杆AB、BC重均忽略不计，滑轮
的轴承光滑。求：杆AB及BC的受力。

第二章：平面汇交力系的合成与平衡

第二章：平面汇交力系的合成与平衡

第二章：平面汇交力系的合成与平衡第二章平面汇交力系的合成与平衡课题：第一节平面汇交力系的合成与平衡（一）[教学目标]一、知识目标：1、了解求解平面汇交力系的两种方法。

2、理解平面力系、平面汇交力系。

3、理解平面汇交力系平衡的几何条件。

二、能力目标：通过用几何法求解平面汇交力系的合力，提高学生运用平面几何知识解决力学问题的能力，提高对知识的理解运用能力。

三、素质目标：培养学生的分析问题能力[教学重点]平面汇交力系平衡的几何条件。

[难点分析]用几何法求解平面汇交力系的合力。

[学生分析]学生的数学基础知识需要强化补充。

[辅助教学手段]理论联系实际进行分析，围绕练习题展开讨论。

[课时安排]2课时[教学内容]一、导入新课我们在对力系进行研究时，为了方便，可以按照各力作用线的分布情况进行分类。

从讲实际结构的受力情况入题，一般结构所受的作用力不在同一个平面内，这种力系就属于空间力系；反之，如果所受的作用力都在同一个平面内，这种力系就属于平面力系。

那么在我们研究的力系中，也把它分为两类：空间力系和平面力系。

工程中许多结构所受的作用力虽是空间力系，但在一定条件下可以简化为平面力系，比如水坝、挡土墙的受力等。

平面力系是工程中最常见的力系，本章讨论的便是平面力系的合成和平衡问题，随之引出平面汇交力系的概念及其求解平面汇交力系的两种方法：几何法和解析法。

二、新课讲解1、平面汇交力系合成的几何法（1）导入：力是矢量，矢量的合成都可以遵循平行四边形法则，那么两个汇交力怎么合成呢：两个力的合力的作用点是原汇交点，大小和方向是以两个分力为邻边所构成的平行四边形的对角线。

（2）分析：在力的平行四边形法基础上，可以得到两个汇交力合成的三角形法和多个汇交力合成的力多边形法。

（3）概念：平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力的大小和方向等于原力系中各力的矢量和，其作用点是原汇交力系的交点。

2、平面汇交力系平衡的几何条件（1）分析：如果某平面汇交力系的力多边形首尾相重合，即力多边形自行闭合，则力系的合力等于零，物体处于平衡状态，该力系为平衡力系。

平面汇交力系的合成与平衡

平面汇交力系的合成与平衡
平面汇交力系是力学中的一个重要概念，它指的是多个力作用在物体的同一点，或者这些力的延长线可以相交于一点的力系。对于平面汇交力系，我们可以使用几何法进行合成，包括三角形法则、平行四边形法则以及力的多边形规则。通过这些方法，我们可以将多个力合成为一个合力，这个合力作用在力系的公共作用点上，并且它的大小和方向等于这些分力的矢量和。此外，平面汇交力系的合成结果分矢量在该轴上投影的代数和。平面汇交力系的平衡条件是合力等于零，也就是说，力系中各力的矢量和为零，这既可以通过几何条件来判断，即力多边形是自身封闭的，也可以通过解析条件来表达，即力系中各力在两个坐标轴上投影的代数和分别为零。这些概念和方法在力学分析和工程实际中有着广泛的应用。

平面汇交力系—平面汇交力系合成与平衡的几何法(建筑力学)


2. 任意个汇交力的合成
对任意个汇交力的合成，可逐次应用力三角形法则，将 这些力依次合成，从而求出合力的大小和方向。
F1
F2
F4 F3
F2
F1
F12 F123
F3
FR
F4
注意：力多边形的矢量法则为各分力（F1、F2、F3、F4） 沿着环绕力多边形边界的同一方向首尾相接，而合力FR则 由最初的起点指向最末的终点，为力多边形缺口的封闭边。
平面汇交力系
第一节 平面汇交力系合成与平衡的几何法
在工程实际中，经常遇到平面汇交力系的问题。
平面汇交力系
第一节 平面汇交力系合成与平衡的几何法
一、平面汇交力系合成的几何法
1. 两个汇交力的合成 FR
F1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F2
B F1
A
F2 C FR
ABC称为力的三角形。这种合成方法称为力三角形法则。
平面汇交力系
FR = ΣF = 0 在平衡情况下，力多边形中最后一个力的终点与第一 个力的起点重合（即力多边形的封闭边的长度为零），此 时的力多边形为自行封闭的力多边形。所以，平面汇交力 系平衡的几何条件为：力多边形自行闭合。
第二章 平面汇交力系
平面汇交力系
学习目标：
1.了解平面汇交力系合成与平衡的几何法；掌握平面汇交 力系合成与平衡的解析法。
2. 正确理解合力投影定理，能正确地将力沿坐标轴分解并 求力在坐标轴上的投影。
3. 熟练运用平衡方程求解平面汇交力系的平衡问题。
重点：
力在坐标轴上的投影和平面汇交力系平衡方程的应用。
平面汇交力系
任意变换力的次序，可画出形状不同的力多边形，但 合力FR的大小和方向仍然不变。
结论： 平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力的大小和方 向等于原力系中各力的矢量和，合力作用线通过原力系各 力的汇交点。

建筑力学

平面汇交力系的合成方法有：①几何法（矢量法）；②解析法（投影法）。
图2-1
一、合成——几何法
1、三力情况
设刚体上作用有汇交于同一点的三个力F1、 F2、F3，如图2-1a所示。显然，连续应用力 的平行四边形法则，或力的三角形法则，就 可以求出三个力的合力。
以力多边形求合力的方法称为平面汇交 力系合成的几何法。
图2-1
2、一般情况 上述方法可以推广到包含任意几个力的 汇交力系求合力的情况，合力的大小和方向 仍由多边形的封闭边来表示，其作用线仍通 过各力的汇交点，即合力等于力系中各力的 矢量和（或几何和）， 其表达式为
Fn F1 F2 Fn Fi
二、平衡 物体在平面汇交力系作用下平衡的必要和 充分条件是合力等于零，用矢量式表示为
，称为解析法。
FR
四、平衡
在前面已讲过，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是
该力系的合力为零，即 FR ＝0。由式（2-6）可知，要使
FR FR2x FR2y
2
2
Fx Fy
必须也只需：
Fx 0, Fy 0
小结
1.各力的作用线在同一平面内且相交于一点的 力系，称为平面汇交力系。研究平面汇交力 系重点是讨论平衡问题。研究的方法有：① 几何法（矢量法）；②解析法（投影法）。
2.平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力 系的合力为零。
3.求解平面汇交力系合成与平衡问题的解析法 是以力在坐标轴上的投影为基础的。
FRx Fix
投 影
定
理
将上述关系推广到由任意 n 个力组成的平面汇交力系中，则得
FRx F1x F2x Fnx Fi*x FRy F1y F2y Fny Fi*y

平面汇交力系的合成与平衡


第二章 平面汇交力系与平面力偶系
§2.3 平面汇交力系的合成与平衡的解析法
二、平面汇交力系平衡的解析条件—平衡方程
汇交力系平衡的充分必要条件是力系的合力为零 FR 0
于是可得合力FR大小为0，即 FR = | FR | =
FRx2+FRy2+FRz2
(∑Fx)2+ (∑Fy)2 + (∑Fz)2 =0
B
60°
A
例：构架由AB、AC组成，A、B、C三点都是铰 接。A点受向下力G，杆重忽略不计。求AB、AC 杆的受力。 解：①取整个构架为研究对象，画受力图 ②选投影轴 ③列平衡方程求解 ∑Fx = 0 x -FB sin60°+FC sin30°= 0
30°
G C
y
FB
B A
∑Fy = 0
FB cos60°+FC cos30°-G= 0
|Fy | =Fy
|Fz | =Fz
i、j、k表示沿xyz轴方向的单位矢量 Fx =Fx i Fy =Fy j Fz =Fz k
F =Fx+Fy+Fz = Fx i +Fy j +Fz k
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
§2.2 力在坐标轴上的投影
三、力的投影与分力的比较
1.联系 力在直角坐标轴上投影的大小与其沿相应轴分力
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
§2.3 平面汇交力系的合成与平衡的解析法
一、平面汇交力系合成的解析法（合力的大小和方向）
FRx = ∑Fix = ∑Fx FRy = ∑Fiy = ∑Fy FRz = ∑Fiz = ∑Fz 合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上的投影的代数和 —— 合力投影定理

建筑力学 第3章：平面力系的合成与平衡


M=Fd
(a)
(b) 图力线平移定理的证明
可见，一个力可以分解为一个与其等值平行的力和一 个位于平移平面内的力偶。反之，一个力偶和一个位于该 力偶作用面内的力，也可以用一个位于力偶作用面内的力 来等效替换 如打乒乓球，若球拍对球作用的力其作用线通过球心 （球的质心），则球将平动而不旋转；但若力的作用线与 球相切——“削球”，则球将产生平动和转动。 c
FR = 0
F = F + F
i 1
2
+ +Fn = 0 （2-4）
（二）平衡 ——几何法 平面汇交力系平衡的充要条件是：力多边形自行封 闭，即 或
FR =0 F1+F2+F3+F4=0
F4
O
F1 F2
a
F1 b
F2
c
F3
F4
F3
d
平 衡——解析法 由几何法知：平面汇交力系平衡的必要和充分条件 是该力系的合力为零，即 F 0 而 则
例题
解：
1.取梁AB作为研究对象。
2.画出受力图。
60º
3.作出相应的力三角形。
30º
4.由力多边形解出：
FA = F cos30=17.3 kN FB = F sin30=10 kN
60º
30º
例题
如图轧路碾子自重P = 20 kN，半径 R = 0.6 m，障碍物高 h = 0.08 m碾子中心O处作用一 水平拉力F，试求: (1)当水平 拉力F = 5 kN时，碾子对地面和
第一节 汇交力系的合成与平衡
对于成平衡的空间(或平面)汇交力系，如 用作图法将F1、……、Fn相加，得到的将是闭 合的力多边形。就是说，空间汇交力系成平衡 的图解条件是力多边形闭合。 对于刚体受不平行的三个力作用而成平衡 的情况，有如下结论：若刚体受不平行的三个 力作用而成平衡，则此三个力的作用线必共面 且汇交于一点。这就是所谓的三力平衡定理。
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终点作一个带箭头的线段，这个封闭线段就代表
合力FR。
2018/12/12
27
学习探究 总之，平面汇交力系总是可以合成简化为一个合力：其大 小和方向等于各分力的矢量和，其作用线通过汇交点。即
FR F1 F2 Fn
FR Fi
i 1 n
合力FR对刚体的作用与原力系对该刚体的作用等效。
O ， FTB ，
FTA O
A FTB (b)
B
C P (c)
A
(a)
C P FTA
2018/12/12
15
学习探究 如图（b）、（c）中所示都是平面汇交力系。前者力FTA、 FTB及FT三个力都作用于O点，后者力F´TA、F´TB及P分别作用于 A、B、C三点上，但它们作用线延长后都交于O点。 O FTA A FTB ， B C P (c)
2018/12/12
24
学习探究
② 多个汇交力的合成
c F1 A F3
F2
F3
F2
b
F1 a FR
d F4 e
F2 c
F1
d F4 e FR
F4
a
F3
b
注意：可任意变换各分力的作图顺序！
2018/12/12
25
学习探究
② 多个汇交力的合成
D
FR F3
A F2 FR12
C
F1
B
力 多 边 形 不 唯 一
公理
•平行四边形
法则
2018/12/12
6
学习探究
1、推论一：力的可传递性
B F A B F1 F2 B F1
=
F
A
=
A
2、推论二：三力平衡汇交定理
2018/12/12
7
学习探究
问题： 平衡状态 力
力系
2018/12/12
8
பைடு நூலகம்
学习探究
新课讲授
•多个力合 力的求法 几何法
•重难点内容
2018/12/12
2018/12/12
3
学习探究
第一节 平面汇交力系的几何法
F
A
FA
2018/12/12
B
FB
4
学习探究
一、知识回顾
1、“四公理”+“两推论” 2、平行四边形法则—计算方法
2018/12/12
5
学习探究
一、知识回顾
1、静力学四大公理
• 二力平衡
公理
•作用力和反
作用力公理
POWER
力
• 加减平衡力系
2018/12/12
23
学习探究 c F1 A F2 F3 F4 b F1 FR F2 F3 d F4 e c d e
b
a
a
各分力与合力构成的多边形 abcde 称为力多边形。
力多边形中表示合力的边 ae 称为力多边形的封闭边。 各分力首尾相接，形成一条有向折线段称为力链。
用力多边形求合力的作图规则称为力的多边形法则。
21
学习探究
两个共点力的合成
F1 A F2 FR
F1
矢量表达式
FR F2
FR F1 F2
A 力三角形不唯一
2018/12/12
22
学习探究
② 多个汇交力的合成
c F1 A
F2
F3
F2
F3 F123 FR
F12
b
F1 a
d F4 e
F4
力的多边形法：按照同样的比例尺将各力矢的有向线 段首尾相接，形成一个不封闭的多边形，再画一条从 起点到终点的封闭边，就是汇交力系的合力。
16
FT O A (a)
2018/12/12
，
FTB
B
C P FTA
O
(b)
学习探究
二、平面汇交力系的合成
2018/12/12
17
学习探究
平面汇交力系是指力系中各力的作用线或者作用 线的延长线位于一个平面内，并且相交于一点。
合成就是指要用一个合力去等效替换这个 复杂的力系。
F
A
FA
2018/12/12
D FR F3 F2 FR13 F1 B C
A
求合力,只需依次平移各力,使其首尾相接,最后 画出封闭多边形即可。
2018/12/12
26
学习探究
几何法 几何法求合力：把组成平面汇交力系的多个
共点力，利用三角形法则变成首尾相连的不封闭 用几何作图求合力的方法，称为几何法。
多边形，最后从第一个力的起点到最后一个力的
B
FB
18
学习探究
① 两个汇交力的合成 公理--平行四边形法则
作用在物体上同一点的两个力，可以合成为 一个合力。合力的作用点也在该点，合力的大小 和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对 角线确定。
F1 FR F2
2018/12/12
19
学习探究
① 两个汇交力的合成
F1
O
力的可传性原理： 汇交力→→共点力
12
学习探究
A
B
D
C
2018/12/12
13
学习探究
判断下面3个物体受到的力属于那个力系？
平面汇交力系
A A B
C
G
C B A F
平面一般力系
平面平行力系
B
2018/12/12
14
学习探究 若一力系中各力的作用线都在同一平面内且汇交于 一点，称此力系为平面汇交力系。
O点的受力图
O FT B
重物AB的受力图
28 2018/12/12
28
学习探究
课堂练习：已知空间一点A处存在一平面汇交力系，
该力系由4个力组成，力的大小和方向如下图所示，求 其合力FR
F4 F3 F3
F2
F4 F1
FR
F2 F1
A
2018/12/12
29
学习探究
例题1：课本29页例题2-2：求合力的大小和方向 已知F1=10KN，F2=20KN，F3=25KN
F3 FR
60
0 0
10KN
d
a
220
b
F3
300 600
30
F1
F2
x
F2
F1 c
用尺子测量，根据比例尺可得合力为44KN。 合力与水平线的夹角用量角器测得为22度。
2018/12/12
30
学习探究
几何法解题步骤：① 选研究对象；② 作出受力图； ③ 作力多边形，选择适当的比例尺； ④ 求出未知数 几何法解题不足： ①精度不够，误差大 ②作图要求精度高；
学习探究
建筑力学
第二章第一节
平面汇交力系的几何法
合肥铁路工程学校 机电教研室
2018/12/12
1
学习探究 温故知新 学习探究 知识强化 提纲挈领
平面汇交力系合成与平衡的几何法
课堂延伸
2018/12/12
2
学习探究
本节课需要解决的问题:
1、平面汇交力系合成的几何法 2、平面汇交力系平衡的几何条件
力的三角形法则 F1
F2
F合
F2
2018/12/12
20
学习探究 力的三角形法则
F合
F2
O
F1
力的三角形定则： 求两个力的合力时， ①画出第一个分力F1， ②由F1的终点画出第二个分力F2， ③由第一个分力的起点至第二个分力的终点画出有向线段， ④这个有向线段就代表合力的大小和方向。
2018/12/12
9
学习探究
学习目标
• 认知
认识平面汇交力系了解其特点
• 技能
会画平面汇交力系的力多边形
2018/12/12
10
学习探究
一、平面力系的分类
2018/12/12
11
学习探究
1。 平面力系分类
力 的 作 用 线 分 布 特 点
1
平面汇交力系
平面平行力系 平面力偶系
2 3
4
平面一般力系
2018/12/12