22[1]. 单调性与极值性判定法则(浙江工商大学)

函数的单调性及其极值单调性是函数的重要性态之一，它既决定着函数递增和递减的状况，又能帮助我们研究函数的极值，还能证明某些不等式和分析函数的图形。

本节将以导数为工具，给出函数单调性的判别法及极值的求法。

一、函数的单调性1、函数单调性的判定为利用导数研究函数的单调性，我们首先来看图133--)(a 、)(b 。

图133--)(a 中函数)(x f y =的图像在),(b a 内沿x 轴的正向上升，除点))(,(ξξf 处的切线平行于x 轴外，)(a )(b 图133--曲线上其余点处的切线与x 轴的夹角均为锐角，即曲线)(x f y =在区间),(b a 内除个别点外切线的斜率为正；而图133--)(b 中函数)(x f y =的图像在),(b a 内沿x 轴的正向下降，除个别点外，曲线上其余点处的切线与x 轴的夹角均为钝角，即曲线)(x f y =在区间),(b a 内除个别点外切线的斜率为负。

由此可见函数的单调性与导数的符号有着密切的联系。

反过来，能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？下面我们利用拉格朗日中值定理来讨论。

设函数)(x f 在区间I 内可导，在I 内任取两点1x 和2x （21x x <），在区间],[21x x 上应用拉格朗日中值定理，得)()()()(1212x x f x f x f -'=-ξ （21x x <<ξ） （1）由于在（1）式中012>-x x ，因此，若在I 内导数)(x f '的符号保持为正，即0)(>'x f ，那么也有0)(>'ξf ，于是0)()()()(1212>-'=-x x f x f x f ξ即 )()(21x f x f <表明函数)(x f 在区间I 上单调增加。

同理，若在I 内导数)(x f '的符号保持为负，即0)(<'x f ，那么也有0)(<'ξf ，于是0)()()()(1212<-'=-x x f x f x f ξ即 )()(21x f x f > 表明函数)(x f 在区间I 上单调减少。

函数的单调性与极值点在数学的广袤世界里，函数就像是一个个独特的“角色”，拥有着自己的性格特点，而单调性和极值点就是它们性格中非常关键的部分。

首先，咱们来聊聊函数的单调性。

简单来说，单调性就是函数在某个区间内的变化趋势。

如果函数在某个区间内，随着自变量的增大，函数值也一直增大，那这个函数在这个区间就是单调递增的；反过来，如果随着自变量的增大，函数值反而减小，那就是单调递减的。

想象一下，你正在爬山。

如果一直往上走，高度越来越高，这就像是函数单调递增；要是一直往下走，高度越来越低，那就是单调递减。

比如说，一次函数 y ＝ 2x ＋ 1，它的斜率是 2，大于 0，所以在整个实数范围内，它都是单调递增的。

那怎么判断一个函数的单调性呢？这就得提到导数这个强大的工具啦。

对于一个可导函数，如果它的导数大于 0，那么函数在这个区间就是单调递增的；导数小于 0，就是单调递减的。

举个例子，函数 y ＝ x²，它的导数是 y' ＝ 2x。

当 x ＞ 0 时，导数2x ＞ 0，所以函数在区间（0, ＋∞）上单调递增；当 x ＜ 0 时，导数2x ＜ 0，函数在区间（∞， 0) 上单调递减。

说完单调性，咱们再来说说极值点。

极值点就像是函数变化过程中的“转折点”，在这个点上，函数的值比它周围的点都大或者都小。

比如说，函数 y ＝ x³ 3x²＋ 2，对它求导得到 y' ＝ 3x² 6x。

令导数等于 0，解得 x ＝ 0 或 x ＝ 2。

当 x ＜ 0 时，导数大于 0，函数单调递增；当 0 ＜ x ＜ 2 时，导数小于 0，函数单调递减；当 x ＞ 2 时，导数大于 0，函数又单调递增。

所以 x ＝ 0 是一个极大值点，x ＝ 2 是一个极小值点。

极值点可不是随便一个点就能当的，得满足一定的条件。

首先，这个点的导数得是 0 或者不存在；其次，在这个点的两侧，函数的单调性得发生变化。

函数的极值点与函数的单调性分析函数的极值点以及函数的单调性是数学中重要的概念，在数学问题中经常出现。

了解和掌握函数的极值点和单调性的分析方法对于解决问题和优化函数至关重要。

在本文中，我们将介绍函数极值点和函数单调性的定义、理论基础以及常用的分析方法。

首先，我们来定义函数的极值点。

在数学中，对于一个函数 f(x)，如果在某个点 a，函数在其邻近范围内的取值都小于等于 f(a)，则称该点为函数的极大值点；如果在某个点 b，函数在其邻近范围内的取值都大于等于 f(b)，则称该点为函数的极小值点。

极大值点和极小值点都统称为函数的极值点。

要判断一个函数的极值点，可以通过求导数来实现。

对函数 f(x) 求导数并令导数等于零，求得的解即为函数的极值点。

具体步骤如下：1. 对函数 f(x) 求导数，并令导数等于零，得到方程 f'(x) = 0；2. 解方程 f'(x) = 0，得到函数的极值点。

接下来，我们来讨论函数的单调性。

在数学中，对于一个函数 f(x)，如果在一个区间上，随着 x 的增大，函数的取值不断增加，则称该函数在该区间上是递增的；如果在一个区间上，随着 x 的增大，函数的取值不断减少，则称该函数在该区间上是递减的。

同样地，要判断一个函数的单调性，可以通过导数的正负来确定。

具体步骤如下：1. 对函数 f(x) 求导数，并找到导数存在的区间；2. 在导数存在的区间，确定导数的正负情况；- 如果导数恒大于零，则函数在该区间上递增；- 如果导数恒小于零，则函数在该区间上递减；- 如果导数既大于零又小于零，则函数在该区间上不具备单调性。

函数的极值点和单调性分析在实际问题中有着广泛的应用。

以最简单的一次函数 y = kx + b 为例，我们来具体分析一下。

对于一次函数 y = kx + b，它是一个斜率为 k 的直线。

对于这种函数，它不存在极值点，因为它是一条直线且不存在拐点。

而单调性的分析则取决于斜率 k 的正负情况。

单调性的判断方法单调性是数学中常用的一个概念，用于描述函数在定义域上的变化规律。

判断函数的单调性可以帮助我们更好地理解和运用函数，因此具有重要的意义。

下面将结合实例逐步介绍判断函数单调性的方法。

首先，我们需要了解什么是函数的单调性。

一个函数f(x)在定义域内是严格递增的，如果当x1 < x2时，有f(x1) < f(x2)。

相反，如果满足x1 < x2时，有f(x1) > f(x2)，则函数f(x)是严格递减的。

另外，函数可能同时在某一个区间递增和递减，这被称为函数的非单调性。

对于一个给定的函数，我们可以通过函数的导数来判断其单调性。

具体来说，对于函数f(x)在定义域内连续且可导，我们有以下定理：1. 当函数的导数f'(x)在定义域内恒大于0时，函数f(x)在定义域上是严格递增的；2. 当函数的导数f'(x)在定义域内恒小于0时，函数f(x)在定义域上是严格递减的；这个定理的证明可以通过导数的定义和相关定理进行推导，但此处略去。

基于上述定理，我们可以采用以下步骤来判断函数的单调性：步骤一：求出函数f(x)的导数f'(x)。

步骤二：根据函数的导数f'(x)的符号进行分类讨论：- 如果f'(x) > 0，则说明函数在该区间递增；- 如果f'(x) < 0，则说明函数在该区间递减；- 如果f'(x) = 0，则说明函数在该点处取得极值，但不一定是单调的；步骤三：将上述分类讨论的结果归纳到函数f(x)的定义域内。

在实际应用中，我们通常先找出函数的导数的零点，即f'(x) = 0的点。

这些点我们称之为临界点，它们对应于函数f(x)的极值点，可能是函数的拐点。

在求解过程中，我们可以利用一阶导数和二阶导数的性质，来确定极值点的性质和判断拐点的存在与位置。

下面通过具体的例子来说明如何判断函数的单调性。

假设我们要判断函数f(x) = x^2在定义域(-∞, +∞)上的单调性。

单调性与极值关系解析实际上，函数的极值并不直接影响其单调性，而是函数的单调性变化“揭示”了极值的存在。

让我们更详细地探讨这一关系：1. 单调性变化的标志函数的单调性描述了函数在其定义域内某区间上是否递增或递减。

当函数从递增变为递减，或者从递减变为递增时，这种单调性的变化通常意味着函数在这一点附近有一个极值。

换句话说，极值点是单调性改变的“转折点”。

2. 极值的定义极值点是函数在其局部范围内的最大或最小值点。

如果函数在某点c处取得局部最大值，那么在该点的左侧（如果存在的话），函数是递增的；而在该点的右侧（如果存在的话），函数是递减的。

类似地，对于局部最小值点，函数在其左侧递减，在其右侧递增。

3. 导数与极值为了找到极值点，我们通常会求函数的导数，并找到导数等于零的点（驻点）。

然而，并不是所有驻点都是极值点。

为了确定一个驻点是否是极值点，我们需要检查该点附近的导数符号变化。

如果导数在该点从正变为负，那么该点是局部最大值点；如果导数从负变为正，那么该点是局部最小值点。

4. 单调性与极值的关系总结●单调性变化是极值点存在的“信号”。

●极值点是单调性变化的“转折点”。

●我们通过检查函数在其驻点附近的单调性变化来确定极值点的存在和类型。

5. 示例考虑函数f(x)=x3−3x，其导数为f′(x)=3x2−3。

●驻点：令f′(x)=0，得到x=±1。

●单调性：当x<−1时，f′(x)>0，函数递增；当−1<x<1时，f′(x)<0，函数递减；当x>1时，f′(x)>0，函数再次递增。

●极值：由于函数在x=−1处由递增变为递减，故x=−1是局部最大值点；在x=1处由递减变为递增，故x=1是局部最小值点。

在这个示例中，我们首先确定了函数的单调性变化，然后利用这些变化来找到并分类极值点。

因此，可以说单调性的变化“导致”了极值点的识别，而不是极值“影响”了单调性。

函数的单调性与极值求解技巧概述函数的单调性和极值是数学中涉及函数性质和优化问题的重要概念。

单调性描述了函数在定义域上的递增或递减性质，而极值指的是函数在某个特定点上取得最大值或最小值的情况。

本文将概述函数的单调性与极值求解的一些基本技巧，并提供一些实例来帮助读者更好地理解这些概念。

一、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域上的递增或递减的性质。

具体而言，如果对于定义域上的任意两个不同的实数a和b，当a<b时，函数f(a)<f(b)则称函数f(x)在该定义域上递增；反之，当a<b时，函数f(a)>f(b)则称函数f(x)在该定义域上递减。

确定函数的单调性时，可以通过导数的符号来判断。

如果函数f(x)在定义域上导数大于零，则函数在该定义域上递增；如果函数f(x)在定义域上导数小于零，则函数在该定义域上递减。

举例来说，考虑函数f(x)=2x+3。

该函数的导数恒为2，大于零，因此函数在整个定义域上递增。

二、函数的极值求解技巧求解函数的极值是优化问题中的关键步骤，可以帮助我们找到函数取得最大值或最小值的点。

下面介绍几种常见的极值求解技巧。

1. 导数法导数法是求解函数极值的一种常见方法。

具体而言，需要首先计算函数的导数，然后找到导数为零的点，即潜在的极值点。

通过对导数的符号进行分析，可以确定函数在该点附近的单调性以及极值类型。

举例来说，考虑函数f(x)=x^2-2x+1。

首先计算函数的导数为f'(x)=2x-2。

令f'(x)=0，可以求得x=1。

通过导数的符号分析可知，当x<1时，函数递减；当x>1时，函数递增。

因此，函数在x=1处取得极小值。

2. 二阶导数法对于某些函数，一阶导数法不足以判断极值的类型。

这时可以进一步求取二阶导数，并对二阶导数进行符号分析。

如果二阶导数大于零，则函数在该点附近有极小值；如果二阶导数小于零，则函数在该点附近有极大值。

举例来说，考虑函数f(x)=x^3-3x^2。

掌握高考数学中的函数单调性与极限关系技巧有哪些要点在高考数学中，函数单调性与极限关系是一个非常重要且常考的知识点。

掌握了函数的单调性以及极限关系的技巧，能够帮助我们更好地解决相关题目，提高解题效率。

下面，我将为大家总结一些在掌握高考数学中函数单调性与极限关系技巧方面的要点。

一、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域上的变化趋势，主要分为递增和递减两种情况。

掌握函数的单调性可以帮助我们判断函数在某个区间上的变化趋势，从而更好地解决相关题目。

1. 使用导数判断函数的单调性导数是刻画函数变化趋势的有效工具，通过导数的正负性可以快速判断函数的单调性。

当函数在某个区间上导数恒大于零时，函数在该区间上单调递增；当函数在某个区间上导数恒小于零时，函数在该区间上单调递减。

2. 使用零点判断函数的单调性函数的零点是指函数在定义域上取得零值的点，也就是函数与x轴的交点。

通过求解函数的零点，我们可以判断函数在相邻两个零点之间的单调性。

当函数的零点按照从小到大的顺序排列时，可以判断函数在相邻两个零点之间的单调性。

3. 使用一阶导数与二阶导数判断函数的单调性除了使用导数判断函数的单调性外，我们还可以使用一阶导数与二阶导数之间的关系来判断函数的单调性。

当函数的一阶导数恒大于零且二阶导数恒大于零时，函数在该区间上单调递增；当函数的一阶导数恒小于零且二阶导数恒小于零时，函数在该区间上单调递减。

二、函数的极限关系函数的极限关系是指当自变量趋近于某个特定值时，函数的取值趋近于某个特定值的性质。

掌握函数的极限关系可以帮助我们判断函数的趋势，解决与极限相关的题目。

1. 使用极限的四则运算法则当我们在计算函数的极限时，可以利用极限的四则运算法则简化问题。

根据极限的四则运算法则，我们可以将复杂的函数拆分成简单的基本函数，再对每个基本函数计算极限。

2. 使用夹逼准则判断函数的极限夹逼准则是一种重要的判断函数极限的方法。

当我们求解函数的极限时，如果可以找到两个函数作为夹逼函数，且夹逼函数的极限都为某个特定值，那么函数的极限也将趋近于这个特定值。

函数的单调性及其极值一、基本内容1. 函数单调性的判定：设函数)(x f y =在I 内可导，若在I 内，(1) 0)(>'x f , 则函数)(x f y =在I 上单调增加；(2) 0)(<'x f , 则函数)(x f y =在I 上单调减少。

2. 函数的极值及其求法： （1）极值的概念：设函数)(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义，如果对于去心邻域)ˆ(0xU 内的任一x ，有)()(0x f x f < （或)()(0x f x f >）则称)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值（或极小值），而0x 点称为函数)(x f 的极大值点（或极小值点）。

极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点和极小值点统称为函数的极值点。

（2）极值的必要条件：设函数)(x f 在点0x 可导，且在0x 处取得极值，则0)(0='x f 。

（3）极值的充分条件（极值的判定）：第一充分条件：设函数)(x f 在0x 处连续，且在0x 的某去心邻域)ˆ(0xU 内可导，若①在点0x 的左邻域内，0)(>'x f ，在点0x 的右邻域内，0)(<'x f ，则)(x f 在0x 处取得极大值；②在点0x 的左邻域内，0)(<'x f ，在点0x 的右邻域内，0)(>'x f ，则)(x f 在0x 处取得极小值；③在点0x 的邻域内，)(x f '不变号，则)(x f 在0x 处没有极值。

第二充分条件：设函数)(x f 在0x 处具有二阶导数且0)(0='x f ，0)(0≠''x f ，则①当0)(0<''x f ，函数在0x 处取得极大值；②当0)(0>''x f ，函数在0x 处取得极小值。

二、学习要求1. 掌握用导数判断函数的单调性的方法;2. 理解函数极值的概念，掌握用导数求函数极值的方法。

函数的单调性与极值求解是微积分中的重要概念，对于理解函数的性质、预测函数的变化趋势以及解决实际问题都具有重要意义。

本文将从单调性的定义、判断方法、应用，极值的定义、求解方法、应用等方面进行详细探讨。

一、单调性1. 单调性的定义单调性描述了函数值随自变量变化的规律。

若在一个区间内，函数值随自变量的增大而增大（减小而减小），则称函数在该区间内单调递增（递减）。

根据定义，我们可以知道单调性是一个局部性质，即一个函数在不同的区间内可以有不同的单调性。

2. 判断单调性的方法（1）导数法：通过求函数的导数，判断导数的符号来确定函数的单调性。

若导数在某区间内大于0，则函数在该区间内单调递增；若导数在某区间内小于0，则函数在该区间内单调递减。

（2）定义法：根据单调性的定义，对于任意的两个点x1和x2（x1<x2），如果函数在x1处的函数值小于在x2处的函数值，则函数在[x1, x2]区间内单调递增；反之，如果函数在x1处的函数值大于在x2处的函数值，则函数在[x1, x2]区间内单调递减。

3. 单调性的应用单调性在实际应用中具有广泛的用途。

例如，在经济学中，很多经济指标（如需求、供应等）都可以表示为自变量（如价格、收入等）的函数，通过分析这些函数的单调性，可以预测经济指标的变化趋势。

此外，在优化问题、工程问题等领域，单调性也发挥着重要作用。

二、极值1. 极值的定义极值描述的是函数在某一点处的局部性质，即函数值在该点及其附近达到最大或最小。

如果一个函数在某一点处的函数值大于（或小于）其附近所有点的函数值，则称函数在该点处取得极大值（或极小值）。

2. 求解极值的方法（1）一阶导数法：首先求出函数的导数，然后解导数等于0的方程，得到可能的极值点。

接着分析导数在这些点附近的符号变化，如果导数由正变负，则函数在此点处取得极大值；如果导数由负变正，则函数在此点处取得极小值。

（2）二阶导数法：在求得一阶导数等于0的点后，进一步求出函数的二阶导数。