高二数学分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合测试题
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高二数学分类加法计数原理与分步乘法计数原理试题1.一件工作可以用2种方法完成,有3人会用第1种方法完成,另外5人会用第2种方法完成,从中选出1人来完成这件工作,不同选法的种数是()A.8B.15C.16D.30【答案】A【解析】分两类:3+5=8,故选A。
【考点】本题主要考查分类计数原理的应用。
点评:简单题,审清题意。
2.由数字0,1,2,3,4可组成无重复数字的两位数的个数是()A.25B.20C.16D.12【答案】C【解析】构成两位数,分两步考虑:十位数字不为零有4种选法,个位由4种选法,所以可组成无重复数字的两位数的个数是4×4=16,故选C。
【考点】本题主要考查分步计数原理的应用。
点评:特别注意十位数字不为零。
3.李芳有4件不同颜色的衬衣,3件不同花样的裙子,另有两套不同样式的连衣裙.“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出,则李芳有()种不同的选择方式()A.24B.14C.10D.9【答案】B【解析】两类,一类是衬衣+裙子:分两步,衬衣有4种选择,裙子有3种选择,有4×3=12;第二类是连衣裙,永种选择,所以共有12+2=14,故选B。
【考点】本题主要考查分步计数原理的应用。
点评:稍具综合性的简单题,审清题意。
4.把10个苹果分成三堆,要求每堆至少1个,至多5个,则不同的分法共有()A.4种B.5种C.6种D.7种【答案】A【解析】分类:三堆中“最多”的一堆为5个,其他两堆总和为5,每堆最至少1个,只有2种分法。
三堆中“最多”的一堆为4个,其他两堆总和为6,每堆最至少1个,只有2种分法。
三堆中“最多”的一堆为3个,那是不可能的。
【考点】本题主要考查分类计数原理的应用。
点评:本解法从“最多”的一堆分情况考虑开始,分别计算不同分法,然后求和。
用列举法也可以,形象、直观易懂。
5.平面内有7个点,其中有5个点在一条直线上,此外无三点共线,经过这7个点可连成不同直线的条数是.【答案】12【解析】分三类:这5个在一条线上的点连成1条直线;其中每一点与直线外2点各连成一条直线,有10条;直线外2点又相互连成1条直线;这样直线应该有1+5+5+1=12条.【考点】本题主要考查分类计数原理的应用。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合练习一.选择题1.有2位同学报名参加5个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有()A.10种B.20种C.25种D.32种2.完成一项工作,有两种方法,有5个人只会用第一种方法,另外有4个人只会用第二种方法,从这9个人中选1个人完成这项工作,则不同的选法共有()A.5种B.4种C.9种D.20种3.小王有70元钱,现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡.若他至少买一张,则不同的买法共有( )A.7种 B.8种 C.6种 D.9种4.有不同的语文书9本,不同的数学书7本,不同的英语书5本,从中选出不属于同一学科的书2本,则不同的选法有A.21种 B.315种 C.153种 D.143种5.高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习,去哪个工厂可以自由选择,甲工厂必须有班级要去,则不同的参观方案有()A.16种B.18种C.37种D.48种6.某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明,有5位同学只会用综合法证明,有3位同学只会用分析法证明,现任选1名同学证明这个问题,不同的选法种数有()种.A.8 B.15 C.18 D.307.现有A B C D E、、、、五位同学分别报名参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组竞赛,每人限报一组,那么不同的报名方法种数有( )A.120种B.5种C.35种D.53种8.从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会,则不同的选法种数为()A.6 B.5 C.3 D.2 9.已知{1,2,3},{4,5,6,7}a b∈∈,则方程22()()4x a y b-+-=可表示不同的圆的个数为()A.7 B.9 C.12 D.1610.用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A.243 B.252 C.261 D.279二.填空题11.要把四封信投入3个信箱,共有___________种不同的投法(用数值作答)12.5名工人分别要在3天中选择一天休息,不同方法的种数是____________.13.从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有8班汽车、2班火车和2班飞机.一天一人从甲地去乙地,共有________种不同的方法.14.从3名男生和4名女生中选出2人分别担任2项不同的社区活动服务者,要求男、女生各1人,那么不同的安排有________种(用数字做答);15.已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组成,且英文字母在前,数字在后.已知英文字母是A,B,C,D,E这5个字母中的1个,数字是1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中的一个,则共有__________个不同的编号(用数字作答).16.某县总工会利用业余时间开设太极、书法、绘画三个培训班,甲、乙、丙、丁四人报名参加,每人只报名参加一项,且甲乙不参加同一项,则不同的报名方法种数为_____________.17.联合国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资,每种物资既可以全部给一个国家,也可以由其中两个或三个国家均分,若每个国家都要有物资援助,则不同的援助方案有__________种.三.解答题18.某体育彩票规定:从01至36个号中抽出7个号为一注,每注2元,某人想从01至10中选3个连续的号,从11至20中选2个连续的号,从21至30中选1个号,从31至36中选1个号组成一注,此人想把这种特殊要求的号买全,需要花多少钱?19.设集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)是坐标平面上的点,a,b∈M.求:(1)P可以表示多少个平面上的不同的点? (2)P可以表示多少个第二象限的点?(3)P可以表示多少个不在直线y=x上的点?20.集合A1,A2满足A1∪A2=A,则称(A1,A2)为集合A的一种分拆,并规定:当且仅当A1=A2时,(A1,A2)与(A2,A1)为集合A的同一种分拆,则集合A={a,b,c}的不同分拆种数为多少?21.用0,1,2,3,4这五个数字可以组成多少个无重复数字的(1)四位密码?(2)四位数?(3)四位奇数?22.用n种不同的颜色为下列两块广告牌着色,(如图甲、乙),要求在A,B,C,D四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一颜色.(1)若n=6,则为甲图着色时共有多少种不同的方法;(2)若为乙图着色时共有120种不同方法,求n.分类加法计数原理与分步乘法计数原理一.选择题1.(2019·湖南高二月考)有2位同学报名参加5个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有()A.10种B.20种C.25种D.32种【答案】C【解析】每位同学有5种选择,则不同的报名方法共有:5525⨯=种选法故选:C2.(2019·陕西高二期末(理))完成一项工作,有两种方法,有5个人只会用第一种方法,另外有4个人只会用第二种方法,从这9个人中选1个人完成这项工作,则不同的选法共有()A.5种B.4种C.9种D.20种【答案】C【解析】会用第一种方法的有5个人,选1个人完成这项工作有5种选择;会用第二种方法的有4个人,选1个人完成这项工作有4种选择;两者相加一共有9种选择,故选C.3.(2019·重庆高二月考(理))小王有70元钱,现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡.若他至少买一张,则不同的买法共有( )A.7种 B.8种C.6种 D.9种【答案】A【解析】要完成的一件事是“至少买一张IC电话卡”,分三类完成:买1张IC卡,买2张IC 卡,买3张IC卡.而每一类都能独立完成“至少买一张IC电话卡”这件事.买1张IC卡有2种方法,即买一张20元面值的或买一张30元面值的;买2张IC卡有3种方法,即买两张20元面值的或买两张30元面值的或20元面值的和30元面值的各买一张,买3张IC卡有2种方法,即买两张20元面值的和一张30元面值的或3张20元面值的,故共有2+3+2=7(种)不同的买法.4.(2019·吉林省实验高二期末(理))有不同的语文书9本,不同的数学书7本,不同的英语书5本,从中选出不属于同一学科的书2本,则不同的选法有A.21种 B.315种 C.153种 D.143种【答案】D【解析】由题意,选一本语文书一本数学书有9×7=63种,选一本数学书一本英语书有5×7=35种,选一本语文书一本英语书有9×5=45种,∴共有63+45+35=143种选法.故选D.5.(2019·辽宁实验中学高三月考(理))高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习,去哪个工厂可以自由选择,甲工厂必须有班级要去,则不同的参观方案有()A.16种B.18种C.37种D.48种【答案】C【解析】根据题意,若不考虑限制条件,每个班级都有4种选择,共有种情况,其中工厂甲没有班级去,即每个班都选择了其他三个工厂,此时每个班级都有3种选择,共有种方案;则符合条件的有种,故选:C.6.(2019·陕西高二期末(理))某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明,有5位同学只会用综合法证明,有3位同学只会用分析法证明,现任选1名同学证明这个问题,不同的选法种数有()种.A.8 B.15 C.18 D.30【答案】A【解析】由题意知本题是一个分类计数问题,解决问题分成两个种类,一是可以用综合法证明,有5种方法, 一是可以用分析法来证明,有3种方法, 根据分类计数原理知共有3+5=8种结果, 故选A .7.(2019·湖北高二期末(理))现有A B C D E 、、、、五位同学分别报名参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组竞赛,每人限报一组,那么不同的报名方法种数有( ) A .120种 B .5种C .35种D .53种【答案】D 【解析】A 同学可以参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组,共有3种选择. 同理BCDE 四位同学也各有3种选择,乘法原理得到5333333⨯⨯⨯⨯= 答案为D8.(2020·全国高三专题练习)从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会,则不同的选法种数为( ) A .6 B .5C .3D .2【答案】B 【解析】选女同学有3种选法,选男同学有2种选法,所以共有5种选法. 故选:B.9.(2020·全国高三专题练习)已知{1,2,3},{4,5,6,7}a b ∈∈,则方程22()()4x a y b -+-=可表示不同的圆的个数为( ) A .7 B .9C .12D .16【答案】C【解析】得到圆的方程分两步:第一步:确定a 有3种选法;第二步:确定b 有4种选法,由分步乘法计数原理知,共有3×4=12(个). 故选:C.10.(2020·全国高三专题练习)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A .243B .252C .261D .279 【答案】B 【解析】由分步乘法原理知:用0,1,…,9十个数字组成的三位数(含有重复数字的)共有9×10×10=900,组成无重复数字的三位数共有9×9×8=648,因此组成有重复数字的三位数共有900-648=252. 二.填空题11.(2018·上海市第二工业大学附属龚路中学高三月考)要把四封信投入3个信箱,共有___________种不同的投法(用数值作答) 【答案】81 【解析】把四封信投入3个信箱,每封信都有3种选择,根据分步计数原理共有43=81种不同的投法. 故答案为:8112.(2018·吉林高二期中(理))5名工人分别要在3天中选择一天休息,不同方法的种数是____________. 【答案】243【解析】每个人都有3种选择方法,根据分步计算原理可知方法有53243=种.13.(2020·全国高三专题练习)从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有8班汽车、2班火车和2班飞机.一天一人从甲地去乙地,共有________种不同的方法.【答案】12 【解析】(1)分三类:一类是乘汽车有8种方法;一类是乘火车有2种方法;一类是乘飞机有2种方法,由分类加法计数原理知,共有8+2+2=12(种)方法. 故答案为:12.14.(2020·北京高二期末)从3名男生和4名女生中选出2人分别担任2项不同的社区活动服务者,要求男、女生各1人,那么不同的安排有________种(用数字做答); 【答案】24 【解析】先选一名男生,有3种方法;再选一名女生,有4种方法,根据分步计数原理求得选取男、女生各1名,不同的安排方案种数为 4×3×2=24, 故答案为: 24.15.(2019·江苏高二期末(理))已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组成,且英文字母在前,数字在后.已知英文字母是A ,B ,C ,D ,E 这5个字母中的1个,数字是1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中的一个,则共有__________个不同的编号(用数字作答). 【答案】45 【解析】对于英文字母来说,共有5种可能,对于数字来说,共有9种可能,按照分步乘法原理,即可知道共有5945⨯=个不同的编号.16.(2019·河北高二期中(理))某县总工会利用业余时间开设太极、书法、绘画三个培训班,甲、乙、丙、丁四人报名参加,每人只报名参加一项,且甲乙不参加同一项,则不同的报名方法种数为_____________. 【答案】54 【解析】甲有三个培训可选,甲乙不参加同一项,所以乙有二个培训可选,丙、丁各有三个培训可选,根据乘法计数原理,不同的报名方法种数为3233=54⨯⨯⨯.17.(2018·浙江高考模拟)联合国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资,每种物资既可以全部给一个国家,也可以由其中两个或三个国家均分,若每个国家都要有物资援助,则不同的援助方案有__________种. 【答案】25.【解析】分析:按照每个国家都要有物资援助,分类型,求解即可. 详解:联合国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资, 每种物资既可以全部给一个国家,也可以由其中两个或三个国家均分,若每个国家都要有物资援助, 需要分为:粮食和药品都有,方法1种; 一个国家粮食,两个国家药品,有3种方法; 一个国家药品,两个国家粮食,有3种方法; 两个国家粮食,三个国家药品,有3种方法; 两个国家药品,三个国家粮食,有3种方法;一个国家粮食和药品,另两个国家各一种,有3×(2+2)=12种方法; 方法总数是:25. 故答案为:25. 三.解答题18.(2016·全国高二课时练习(理))18.(2016·全国高二课时练习(理))某体育彩票规定:从01至36个号中抽出7个号为一注,每注2元,某人想从01至10中选3个连续的号,从11至20中选2个连续的号,从21至30中选1个号,从31至36中选1个号组成一注,此人想把这种特殊要求的号买全,需要花多少钱? 【答案】8640元【解析】第一步:从01至10中选3个连续的号码有01,02,03;02,03,04;…;08,09,10,共8种不同的选法;第二步:同理,从11至20中选2个连续的自然数有9种不同的选法;第三步:从21至30中选一个号码有10种不同的选法;第四步:从31至36中选一个号码有6种不同的选法.共可组成8×9×10×6=4320注,所以需要花费2×4320=8640元钱.19.(2018·海林市朝鲜族中学高二单元测试)设集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)是坐标平面上的点,a,b∈M.求:(1)P可以表示多少个平面上的不同的点?(2)P可以表示多少个第二象限的点?(3)P可以表示多少个不在直线y=x上的点?【答案】(1)36;(2)6;(3)30【解析】(1)分两步,第一步确定a,有6种方法,第二步确定b也有6种方法,根据分步乘法计数原理共有6×6=36(个)不同的点.(2)分两步,第一步确定a,有3种方法,第2步确定b,有2种方法,根据分步乘法计数原理,第二象限的点共有3×2=6(个).(3)分两步,第一步确定a,有6种方法,第二步确定b,有5种方法,根据分步乘法计数原理不在直线y=x上的点共有6×5=30(个).20.(2018·上海市第二工业大学附属龚路中学高三月考)集合A1,A2满足A1∪A2=A,则称(A1,A2)为集合A的一种分拆,并规定:当且仅当A1=A2时,(A1,A2)与(A2,A1)为集合A的同一种分拆,则集合A={a,b,c}的不同分拆种数为多少?【答案】27种【解析】当A1=φ时,A2=A,此时只有1种分拆;当A1为单元素集时,A2=∁A A1或A,此时A1有三种情况,故拆法为6种;当A1为双元素集时,如A1={a,b},A2={c}、{a,c}、{b,c}、{a,b,c},此时A1有三种情况,故拆法为12种;当A1为A时,A2可取A的任何子集,此时A2有8种情况,故拆法为8种;综上,共27种拆法.21.(2017·湖北省松滋市第一中学高二课时练习)用0,1,2,3,4这五个数字可以组成多少个无重复数字的(1)四位密码?(2)四位数?(3)四位奇数?【答案】(1)120(个);(2)96个;(3)36(个).【解析】(1)可组成N=5×4×3×2=120(个).(2)依次确定千、百、十、个位,有N=4×4×3×2=96(个).(3)依次确定个位、首位、百位、十位,有N=2×3×3×2=36(个)22.(2017·湖北省松滋市第一中学高二课时练习)用n种不同的颜色为下列两块广告牌着色,(如图甲、乙),要求在A,B,C,D四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一颜色.(1)若n=6,则为甲图着色时共有多少种不同的方法;(2)若为乙图着色时共有120种不同方法,求n.【答案】(1)480(种);(2)n=5.【解析】(1)对区域A,B,C,D按顺序着色,共有6×5×4×4=480(种)(2) 对区域A,B,C,D按顺序着色,依次有n种、n-1种、n-2种和n-3种,由分布乘法计数原理,不同的着色方法共有n(n-1)(n-2(n-3)=120,整理得(n2-3n)(n2-3n+2)=120,(n2-3n)2+2(n2-3n)-120=0n2-3n-10=0或n2-3n+12=0(舍去),解得n=5.。
2012-13高二数学选修2-3一导学案002 编制人:郑淑芬 审核人:杨洪波 班级: 姓名: _____组 层次: 教师评价得分:_______批阅日期________月________日1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理检测题1.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a ,b 组成复数a +b i ,其中虚数有( )A .30个B .42个C .36个D .35个2.在“庆国庆、展才艺”国庆庆祝活动中,甲、乙、丙三位同学欲报名“朗诵比赛”、“歌唱比赛”,但学校规定每位同学限报其中的一个,且乙知道自已唱歌不如甲,若甲报唱歌,则乙就报朗诵,则他们三人不同的报名方法有( )A .3种B .6种C .7种D .8种3.记4名同学报名参加学校三个不同体育队,每人限报一队的不同报法种数为A ;记3个班分别从5个风景点中选择一处游览的不同选法种数为B ,则A ,B 分别是( )A .43,53B .34,35C .34,53D .43,354.设A ,B 是两个非空集合,定义A *B ={(a ,b )|a ∈A ,b ∈B },若P ={0,1,2},Q ={1,2,3,4},则P *Q 中元素的个数是( )A .4B .7C .12D .165.如图,用4种不同的颜色涂入图中的矩形A ,B ,C ,D 中,要求相邻的矩形涂色不同,则不同的涂法有( )A .72种B .48种C .24种D .12种6.甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( )A .6种B .12种C .24种D .30种7. 若自然数n 使得作竖式加法n +(n +1)+(n +2)均不产生进位现象,则称n 为“良数”.例如:32是“良数”,因为32+33+34不产生进位现象;23不是“良数”,因为23+24+25产生进位现象.那么小于1000的“良数”的个数为( )A .27B .36C .39D .488.如果一个三位数的十位数字既大于百位数字也大于个位数字,则这样的三位数共有( )A.240个B.285个C.231个D.243个9.已知集合A ={x | -2≤x ≤10,x ∈Z},m, n ∈A ,方程221x y m n+=表示长轴在x 轴上的椭圆,则这样的椭圆共有 (A )45个 (B )55个 (C )78个 (D )91个10.如图,某城市中,M 、N 两地有整齐的道路网,若规定只能向东或向北两个方向沿途中各个矩形的边前进,则从M 到N 不同的走法共有( )(A )25 (B )15 (C )13 (D )1011.设ABCDEF 为六边形,一只青蛙开始在A 处,它每次可随意跳到相邻两顶点之一.若在5次内(包括5次)跳到D 处,则停止跳动.那么这只青蛙从开始到停止,可能出现的不同跳法的种数是( )A .7B .8C .9D .1012.如图所示,用四种不同颜色给图中的A 、B 、C 、D 、E 、F 六个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法共有( )A .288种B .264种C .240种D .168种13.某体育彩票规定:从01至36共36个号中抽出7个号为一注,每注2元,某人想从01至10中选3个连续的号,从11至20中选2个连续的号,从21至30中选1个号,从31至36中选1个号组成一注,则这个人把这种特殊要求的号买全,至少要( )A.3 360元B.6 720元C.4 320元D.8 640元答题卡题号 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案14___________________15___________________ 16___________________17___________________18___________________19___________________ 20___________________21___________________A B C DMN22__________ ___________ _____________23___________________14.十字路口来往的车辆,如果不允许回头,共有________种行车路线.15.将1,2,3,…,9这9个数字填在如图所示的9个空格中,要求每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大,当3,4固定在图中的位置时,填写空格的方法数有________种.16.学校安排4名教师在六天里值班,每天只安排一名教师,每人至少安排一天,至多安排两天,且这两天要相连,那么不同的安排方法有________种(用数字作答).17.用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1,2,…,9的9个小正方形,使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同,且标号为1、5、9的小正方形涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法共有________种.18.72的正约数(包括1和72)共有___________个.19.计划展出6幅不同的画,其中1幅水彩画,2幅油画,3幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的画必须连在一起,并且水彩画不放在两端,那么不同的陈列法有___________种.20..电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竟猜中成绩优秀的观众来信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封,现由主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之星,再从两信箱中确定一名幸运伙伴,有_____________种不同的结果.21.从{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}中任选三个不同元素作为二次函数y=ax2+bx+c的系数,问能组成__________条图象为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线22.有六名同学报名参加三个智力竞赛项目(1)每人恰好参加一项,每项人数不限,有________种不同的报名方法(2)每项限报一人,且每人至多参加一项,有________种不同的报名方法(3)每项限报一人,但每人参加的项目不限,有________种不同的报名方法23.某出版社的7名工人中,有3人只会排版,2人只会印刷,还有2人既会排版又会印刷,现从7人中安排2人排版,2人印刷,有________种不同的安排方法3412 3 45 6 789课时作业(五十七)【基础热身】1.C 解析b有6种取法,a也有6种取法,由分步乘法计数原理共可以组成6×6=36个虚数.2.B 解析从甲着手分析,分两类:若甲报唱歌,乙则报朗诵,丙可任选,有2种报名方法;若甲报朗诵,则乙、丙均可任选,有2×2=4(种)报名方法.所以共有2+4=6(种)不同的报名方法.3.C 解析 4名学生参加3个运动队,每人限报一个,可以报同一运动队,应该是人选运动队,所以不同的报法种数是34,故A=34;3个班分别从5个风景点中选择一处游览,应该是班选风景点,故不同的选法种数是53,故B=53.4.C 解析由分步乘法计数原理知有3×4=12个.【能力提升】5.A 解析先分两类:一是四种颜色都用,这时A有4种涂法,B有3种涂法,C有2种涂法,D有1种涂法,共有4×3×2×1=24种涂法;二是用三种颜色,这时A,B,C的涂法有4×3×2=24种,D只要不与C同色即可,故D有2种涂法.故不同的涂法共有24+24×2=72种.6.C 解析方法1:两人各选修2门的种数为C24C24=36,再求出两人所选两门都相同和都不同的种数均为C24=6,故恰好有1门相同的选法有24种.方法2:恰有1门相同,先从4门选1门,选法C14,然后甲从剩下的3门选1门,乙再从甲选后剩下的2门中选1门,根据乘法原理共有选法4×3×2=24种.7.D 解析一位良数有0,1,2,共3个;两位数的良数十位数可以是1,2,3,两位数的良数有10,11,12,20,21,22,30,31,32,共9个;三位数的良数有百位为1,2,3,十位数为0的,个位可以是0,1,2,共3×3=9个,百位为1,2,3,十位不是零时,十位个位可以是两位良数,共有3×9=27个.根据分类加法计数原理,共有48个小于1000的良数.8.如果一个三位数的十位数字既大于百位数字也大于个位数字,则这样的三位数共有( )A.240个B.285个C.231个D.243个解析:当十位数字是9时,百位数字有8种取法,个位数字有9种取法,此时取法种数为8×9;当十位数字是8时,百位数字有7种取法,个位数字有8种取法,此时取法种数为7×8,依此类推,直到当十位数字是2时,百位数字有1种取法,个位数字有2种取法,此时取法种数为1×2,所以总的个数为1×2+2×3+3×4+…+8×9=240.9.已知集合A={x| -2≤x≤10,x∈Z},m, n∈A,方程221x ym n+=表示长轴在x轴上的椭圆,则这样的椭圆共有(A)45个(B)55个(C)78个(D)91个10.如图,某城市中,M、N两地有整齐的道路网,若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进,则从M到N不同的走法共有()(A)25 (B)15 (C)13 (D)10解:∵只能向东或向北两个方向沿图中的矩形的边前进,向北方向走的路线有3条,向东方向走的路线有5条,走路时向北方向有3种结果向东方向有5种结果,∴根据分步计数原理知共有3×5=15种结果,故选B.解:从A到D可能的情况是:①只跳三次:ABCD、AFED两种;②正好跳五次:ABCDED、AFEDCD、ABCDCD、AFEDED、AFABCD、ABBAFED、ABCBCD、AFEFED共8中,故可能出现的不同跳法的种数是:2+8=10种.故选D.12.分三类:①B、D、E、F用四种颜色,则有A44×1×1=24种方法;②B、D、E、F用三种颜色,则有A34×2×2+A34×2×1×2=192种方法;③B、D、E、F用两种颜色,则有A24×2×2=48,所以共有不同的涂色方法24+192+48=264种.13.解析:从01至10的三个连号的个数有8种;从11至20的两个连号的个数有9种;从21至30的单选号的个数有10种,从31至36的单选号的个数有6种,故总的选法有8×9×10×6=4 320种,可得需要钱数为8 640元.答案:D14. 解析由分步乘法计数原理有4×3=12.15.6 解析左上方只能填1,右下方只能填9,此时4的上方只能填2.右上方填5时,其下方填6,7,8;右上方填6时,其下方填7,8;右上方填7时,其下方只能填8,此时左下方的两个格填法随之确定.故只能有3+2+1=6种填法.解:∵由题意知,要求每一行从左到右依次增大,每一列从上到下依次增大,∴3的左边只可以填1和2,有两种选择,3的左边可以填写5,6,7,当这两个位置的数字确定以后,整个表格是确定的形式,∴填写表格的办法有2×3=6种结果,故答案为:6.16.144 解析有两名教师要值班两天,把六天分为四份,两个两天连排的是(1,2),(3,4);(1,2),(4,5);(1,2),(5,6);(2,3),(4,5);(2,3),(5,6);(3,4),(5,6),共六种情况,把四名教师进行全排列,有A44=24种情况,根据分步乘法计数原理,共有不同的排法6×24=144种.17.108 解析分步求解.只要在涂好1,5,9后,涂2,3,6即可,若3与1,5,9同色,则2,6的涂法为2×2,若3与1,5,9不同色,则3有两种涂法,2,6只有一种涂法,同理涂4,7,8,即涂法总数是C13(2×2+C12×1)×(2×2+C12×1)=3×6×6=108.18.72的正约数(包括1和72)共有___________个.解析:72=23×32.∴2m ·3n (0≤m≤3,0≤n≤2,m 、n ∈N )都是72的正约数.m的取法有4种,n 的取法有3种,由分步计数原理共3×4(个). 答案:1219.计划展出6幅不同的画,其中1幅水彩画,2幅油画,3幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的画必须连在一起,并且水彩画不放在两端,那么不同的陈列法有___________种. 解析:先把每种品种的画看成一个整体,而水彩画只能放在中间,又油画与国画放在两端有2种放法,再考虑2幅油画本身排放有2种方法,3幅国画本身排放有3×2=6(种)方法,故不同的陈列法有2×2×6=24(种). 答案:2420..电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竟猜中成绩优秀的观众来信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封,现由主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之星,再从两信箱中确定一名幸运伙伴,有_____________种不同的结果. 解析:分两类:(1)幸运之星在甲箱中抽,先定幸运之星,再在两箱中各定一名幸运伙伴有30×29×20=17 400种结果;(2)幸运之星在乙箱中抽,同理有20×19×30=11 400(种)结果,因此共有不同结果17 400+11 400=28 800(种).答案:28 80021.从{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}中任选三个不同元素作为二次函数y =ax 2+bx+c 的系数,问能组成多少条图象为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线? 解:抛物线经过原点,得c =0,当顶点在第一象限时,a <0,02>-ab, 即⎩⎨⎧><,0,0b a 则有3×4=12(种); 当顶点在第三象限时,a >0,02<-ab, 即a >0,b >0,则有4×3=12(种); 共计有12+12=24(种).14.解答 (1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项,各有3种不同选法,由分步计数原理知共有方法36=729种.(2)每项限报一人,且每人至多限报一项,因此可由项目选人,第一个项目有6种选法,第二个项目有5种选法,第三个项目只有4种选法,由分步计数原理得共有报名方法6×5×4=120种.(3)由于每人参加的项目不限,因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛,由分步乘法计数原理得共有不同的报名方法63=216种.15.解答 首先分类的标准要正确,可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版又会印刷”中的一个作为分类的标准.下面选择“既会排版又会印刷”作为分类的标准,按照被选出的人数,可将问题分为三类: 第一类:2人全不被选出,即从只会排版的3人中选2人,有3种选法;只会印刷的2人全被选出,有1种选法,由分步计数原理知共有3×1=3种选法.第二类:2人中被选出一人,有2种选法.若此人去排版,则再从会排版的3人中选1人,有3种选法,只会印刷的2人全被选出,有1种选法,由分步计数原理知共有2×3×1=6种选法;若此人去印刷,则再从会印刷的2人中选1人,有2种选法,从会排版的3人中选2人,有3种选法,由分步计数原理知共有2×3×2=12种选法.再由分类计数原理知共有6+12=18种选法.第三类:2人全被选出,同理共有16种选法. 所以共有3+18+16=37种选法. 【难点突破】。
第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(1)一、选择题1.某小组有8名男生,6名女生,要从中选出一名当组长,不同的选法有() A.48种B.24种C.14种D.12种解析:由分类加法计数原理共有8+6=14(种)选法.答案:C2.将1,2,3,…,9这9个数字填入如图所示的9个空格中,要求每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大,当3,4固定在图中的位置时,填写空格的方法有()A.6种B.12种C.18种D.24种解析:根据题意,1,2,9的位置是确定的,如图所示,则数字5,6,7,8应位于a,b,c,d中的位置.第一类,若5,6在a,b位置,则7,8在c,d位置.且a=5, b=6, c=7, d =8, 或者5,6与7,8换位置,所以共2种情况;第二类,5,6在a,c位置,则7,8在b,d位置,则共有2×2=4(种)情况.综上所述,空格的填写方法共2+4=6(种),故选A.答案:A3.(2019·长沙高二检测)满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为()A.14 B.13C.12 D.10解析:对a进行讨论,为0与不为0,当a不为0时还需考虑判别式与0的大小.若a=0,则b=-1,0,1,2,此时(a,b)的取值有4个;若a≠0,则方程ax2+2x+b=0有实根,需Δ=4-4ab≥0,所以ab≤1,此时(a,b)的取值为(-1,0),(-1,1),(-1,-1),(-1,2),(1,1),(1,0),(1,-1),(2,-1),(2,0),共9个.所以(a,b)的个数为4+9=13.故选B.答案:B4.(2020·天津市南开中学滨海生态城学校高二期中)4名同学分别报名参加学校的手工、绘画、机器人设计三个校本课程,每人限报其中一个课程,不同报法的种数是()A.81 B.64C.24 D.16解析:∵每名同学都有3种报名方案,∴四名同学共有3×3×3×3=81种报名方案.故选A.答案:A5.将5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,则不同放法共有()A.480种B.360种C.240种D.120种解析:第一步,先从4个盒子中选一个盒子准备装两个球,有4种选法;第二步,从5个球里选出两个球放入刚才选到的盒子里,有10种选法;第三步,把剩下的3个球依次放入余下的3个盒子中,有3×2×1=6(种)放法.由分步乘法原理得不同的放球方法有4×10×6=240(种),故选C.答案:C二、填空题6.十字路口来往的车辆,如果不允许回头,共有________种行车路线.解析:若从西来,有南、北、东3种行车路线,同理从南、北、东来也各有3种行车路线.因此共有3+3+3+3=12种.答案:127.等腰三角形的三边均为正整数,且其周长不大于10,这样的三角形共有________个.解析:可分4类,第一类,等腰三角形底边长为1,腰长可以是1,2,3,4,共4个;第二类,等腰三角形底边长是2,腰长可以是2,3,4,共3个;第三类,等腰三角形底边长是3,腰长可以是2,3,共2个;第四类,等腰三角形底边长是4,腰长可以是3,共1个.∴共有三角形4+3+2+1=10(个).答案:108.将A,B,C,D四个小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,若每个盒子中至少放一个球且A,B不能放入同一个盒子中,则不同的放法有________种(用数字填空).解析:先把A,B放入不同盒中,有3×2=6(种)放法,再放C,D,若C,D在同一盒中,只能是余下的1个盒,1种放法;若C,D在不同盒中,则必有一球在余下的1个盒中,另一球在A球或B球所在的盒中,有2×2=4(种)放法.故共有6×(1+4)=30(种)放法.答案:30三、解答题9.(2020·唐山市第十一中学高二期中)某班有男生28名、女生20名,从该班选出学生代表参加校学代会.(1)若学校分配给该班1名代表,则有多少种不同的选法?(2)若学校分配给该班2名代表,且男、女生代表各1名,则有多少种不同的选法?解:(1)选出1名代表,可以选男生,也可以选女生,因此完成“选1名代表”这件事分2类:第1类,从男生中选出1名代表,有28种不同方法;第2类,从女生中选出1名代表,有20种不同方法;根据分类加法计数原理,共有28+20=48种不同的选法.(2)完成“选出男、女生代表各1名”这件事,可以分2步完成:第1步,选1名男生代表,有28种不同方法;第2步,选1名女生代表,有20种不同方法.根据分步乘法计数原理,共有28×20=560种不同的选法.10.(2020·宜昌市第二中学高二月考)已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},若a,b,c∈M,则:(1)y=ax2+bx+c可以表示多少个不同的二次函数?(2)y=ax2+bx+c可以表示多少个图象开口向上的二次函数?解:(1)因为a不能取0,所以有5种取法,b有6种取法,c有6种取法,所以y=ax2+bx+c可以表示5×6×6=180个不同的二次函数.(2)y=ax2+bx+c的图象开口向上时,a不能取小于等于0的数,所以a有2种取法,b有6种取法,c有6种取法,所以y=ax2+bx+c可以表示2×6×6=72个图象开口向上的二次函数.。
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、选择题1.从甲地去乙地有3班火车,从乙地去丙地有2班轮船,甲到丙地再无其他路可走,则从甲地去丙地可选择的旅行方式有()A.5 种B.6种C.7种D.8种【答案】B【解析】由分步计数原理可知,可选方式有2×3=6种.故选B.2.将三封信投入三个信箱,可能的投放方法共有种( )A. 3B.6 C.9 D.27【答案】D【解析】将三封信投入三个信箱,由于信投入的信箱不指定,则每封信都有3种选择,所以总的投放方法33 种.故选D.有273.将1,2,3,…,9这9个数字填在如图的9个空格中,要求每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大.当3,4固定在图中的位置时,填写空格的方法为()A.6种B.12种C.18种D.24种【答案】A【解析】∵每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大,1、2、9只有一种填法,5只能填在右上角或左下角,5填后与之相邻的空格可填6、7、8任一个;余下两个数字按从小到大只有一种方法.共有2×3=6种结果,故选A.4.下表为第29届奥运会奖牌榜前10名:F C表示从“金牌、银牌、铜牌、总数”4项中任取不同两项构成的一个排列,按下面的方式对10个设(,)国家进行排名:首先按F由大至小排序(表格中从上至下),若F值相同,则按C值由大至小排序,若C值也相同,则顺序任意,那么在所有的排序中,中国的排名之和是()A .15B .20C .24D .27【答案】D【解析】分类讨论:若F 为金牌,3种排序中,中国均第1;若F 为银牌,在银牌-金牌,银牌-总数两种排序中,中国均第2,在银牌-铜牌的排序中,中国排第2或第3;若F 为铜牌,在铜牌-金牌,铜牌-总数的排序中,中国均第2,在铜牌-银牌的排序中,中国排第2或第3;若F 为总数,则3种排列中国均第2.故在所有的排序中,中国的排名之和为3×1+(2×2+2+3)+(2×2+2+3)+3×2=27,故选D5.方程22ay b x c =+中的,,{2,0,1,2,3}a b c ∈-,且,,a b c 互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有()A.28条B.32条C.36条D.48条【答案】B【解析】方程22ay b x c =+变形得222b c y b a x -=,若表示抛物线,则0,0≠≠b a ,所以分2,1,2,3b =-四种情况:(1)当2b =-时,1,0,2,3,2,0,1,3,3,0,1,2;a c a c a c ==⎧⎪==⎨⎪==⎩或或或或或或(2)当2b =时,2,0,1,3,1,2,0,3,3,2,0,1,a c a c a c =-=⎧⎪==-⎨⎪==-⎩或或或或或或以上两种情况下有4条重复,故共有9+5=14条;同理,若b=1,共有9条;若b=3时,共有9条.综上,共有14+9+9=32条.7.某团支部进行换届选举,从甲、乙、丙、丁四人中选出三人分别担任书记、副书记、组织委员,规定上届任职的甲、乙、丙三人不能连任原职,则不同的任职方案有()A .10B .11C .12D .13【答案】B【解析】当丁不入选时,由甲乙丙三个人担任,甲有2种选择,余下的乙和丙只有一种选择;当丁入选时,有3种结果,丁担任三个人中没有入选的人的职务时,只有一种结果,丁担任入选的两个人的职务时,有2种结果,共有()3219⨯+=种,综上可知,共有9+2=11种结果,故选B.二、填空题7.若a ,b ∈N *,且a +b ≤5,则复数a +b i 的个数为______.【答案】10【解析】按a 分类,当a 取1,2,3,4时,b 的值分别有4个、3个、2个、1个,由分类计数原理,得复数a +b i 共有4+3+2+1=10(个).8.n 个人参加某项资格考试,能否通过,有种可能的结果?【答案】2n【解析】每个人都有通过或不通过2种可能,共计有22...2(2)2n n ⨯⨯⨯=个三、解答题9.某班新年联欢晚会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目,如果将这2个节目插入原节目单中,那么有多少种不同的插法?【解析】5个节目排好后,有6个空可插入第一个节目,共6种不同的插法,再插第二个节目时有7个空,所以共有6×7=42种不同的插法.10.现有高一四个班学生34人,其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人,他们自愿组成数学课外小组.(1)选其中一人为负责人,有多少种不同的选法?(2)每班选一名组长,有多少种不同的选法?(3)推选二人作中心发言,这二人需来自不同的班级,有多少种不同的选法?【解析】(1)分四类:第一类,从一班学生中选1人,有7种选法;第二类,从二班学生中选1人,有8种选法;第三类,从三班学生中选1人,有9种选法;第四类,从四班学生中选1人,有10种选法.所以共有不同的选法有7+8+9+10=34(种).(2)分四步,第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长,所以共有不同的选法有7×8×9×10=5 040(种). (3)分六类,每类又分两步,从一、二班学生中各选1人,有7×8种不同的选法;从一、三班学生中各选1人,有7×9种不同的选法;从一、四班学生中各选1人,有7×10种不同的选法;从二、三班学生中各选1人,有8×9种不同的选法;从二、四班学生中各选1人,有8×10种不同的选法;从三、四班学生中各选1人,有9×10种不同的选法,所以共有不同的选法有7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431(种).。
1 2 4 5 3《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》基本练习一、 选择题1.由数字0,1,2,3,4可组成无重复数字的两位数的个数是( )A.25 B.20 C.16 D.122.由0,1,2,3,...,9十个数码和一个虚数单位i 可以组成虚数的个数为( )A.100 B .10 C .9 D .903.教学大楼共有五层,每层均有两个楼梯,由一层到五层的走法有( )A .10种B .52种 C.25种 D.42种 4.三边长均为正整数,且最大边长为11的三角形的个数为( )A.25 B.26 C.36 D.375.4名同学分别报名参加数、理、化竞赛,每人限报其中的1科,不同的报名方法种数 ( )A .24B .4C .34D .436.甲、乙、丙三个电台,分别有3、4、4人,新年中彼此祝贺,每两个电台的人都彼此一一通话,那么他们一共要通话( )A .40次B .48次C .36次D .24次。
7.编号为A ,B ,C ,D ,E 的五个小球放在如图所示五个盒子中。
要求每个盒子只能放一个小球,且A 不能放1,2号,B 必须放在与A 相邻的盒子中。
则不同的放法有( )种A.42B.36C.32D.308.一只青蛙在三角形ABC 的三个顶点之间跳动,若此青蛙从A 点起跳,跳4次后仍回到A 点,则此青蛙不同的跳法的种数是( )A .4B .5C .6D .79.一植物园参观路径如右图所示,若要全部参观并且路线不重复,则不同的参观路线种数共有( )A .6种B .8种C .36种D .48种10.现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张,100元人民币2张,从中至少取一张,共可组成不同的币值种数是( )A.1024种B.1023种C.1536种D. 1535种11.平面内有7个点,其中有5个点在一条直线上,此外无三点共线,经过这7个点可连成不同直线12.某班元旦晚会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了2个新节目,如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同的插法的种数为________.13.电子计算机的输入纸带每排有8个穿孔位置,每个穿孔位置可穿孔或不穿孔,则每排可产生 _________种不同的信息.14.在1,2,3,4,5这五个数字所组成的没有重复数字的三位数中,其各位数字之和为9的三位数共有________个.。
§1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(一)一、分类加法计数原理的应用某学生去书店,发现三本好书,决定至少买其中一本,则该生的购书方案有________种.答案7解析在三本好书中至少买一本,可分为三类:恰买一本,有3种方案;恰买2本,有3种方案;恰买3本,有1种方案,从而共有3+3+1=7(种)方案.【反思感悟】分类加法计数原理的实质是“整体”等于“部分”之和,就是“整体”(即完成一件事的方法)分成若干个互不相交的类,使得每一类中的元素的个数易于计算.王刚同学衣服上左、右各有一个口袋,左边口袋装有30张英语单词卡片,右边口袋装有20张英语单词卡片,这些英语单词卡片都互不相同,问从两个口袋里任取一张英语单词卡片,有多少种不同的取法?解从口袋中任取一张英语单词卡片的方法分两类:第一类:从左边口袋取一张英语单词卡片,有30种不同的取法;第二类:从右边口袋取一张英语单词卡片,有20种不同的取法.上述的其中任何一种取法都能独立完成取一张英语单词卡片这件事,应用分类加法计数原理,所以从两个口袋里任取一张英语单词卡片的方法为30+20=50(种).二、分步乘法计数原理的应用(1)有5本书全部借给3名学生,有多少种不同的借法?(2)有3名学生分配到某工厂的5个车间去参加社会实践,求有多少种不同分配方案?解(1)中要完成的事件是把5本书全部借给3名学生,可分5个步骤完成.每一步把一本书借出去,有3种不同的方法,根据分步乘法计数原理,共有N=3×3×3×3×3=35=243(种)不同的借法.(2)中要完成的事件是把3个学生分配到5个车间中,可分3个步骤完成,每一步分配一名学生,有5种不同的方法,根据分步乘法计数原理,共有N=5×5×5=53=125(种)不同的分配方案.【反思感悟】解决这类问题,切忌死记公式“m n”或“n m”,而应弄清楚哪类元素必须用完,就以它为主进行分析,并以该元素为分步的依据进行分步,再用分步乘法计数原理来求解.集合A={a,b,c,d,e}有5个元素,集合B={m,n,f,h}有4个元素,则:(1)从集合A到集合B可以建立________个不同的映射.(2)从集合B到集合A可以建立________个不同的映射.答案(1)45(2)54解析要想建立一个从A到B的映射,必须使集合A中的每一个元素能在B中有唯一确定的元素与之对应,因此,要使A中5个元素均找到象,必须分5步完成.首先看A中元素a在B中的象的可能有4种,其他同样,用分步乘法原理求解.故根据映射定义,以及分步计数原理可得.(1)可建立起4×4×4×4×4=45(个)不同的映射;(2)可建立起5×5×5×5=54(个)不同的映射.三、两个计数原理的简单综合应用集合A={1,2,-3},B={-1,-2,3,4}.现从A,B中各取一个元素作为点P(x,y)的坐标.(1)可以得到多少个不同的点?(2)在这些点中,位于第一象限的有几个点?解(1)第一类:选A中的元素为x,B中的元素为y,有3×4=12(个)不同的点;第二类:选A中的元素为y,B中的元素为x,有4×3=12(个)不同的点.∴可以得到24个不同的点.(2)第一象限内的点,即x,y必须为正数,从而只能取A,B中的正数,同样分两类.N =2×2+2×2=8(个).即这些点中,位于第一象限的有8个点.【反思感悟】此题既要用到分类计数原理,又要用到分步计数原理,解题的关键是恰当分类,合理分步.王华同学有一些课外参考书.其中有5本不同的外语书,4本不同的数学书,3本不同的物理书,他的同学想从中借2本不同学科的参考书,问有多少种不同的选法?解选1本外语书和选1本数学书,有5×4=20(种)选法;选1本外语书和选1本物理书,有5×3=15(种)选法;选1本数学书和选1本物理书,有4×3=12(种)选法.故共有20+15+12=47(种)不同的选法.课堂小结:1.应用分类加法计数原理要注意的问题(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,完成这件事可以有哪些办法,怎样才算是完成这件事.(2)完成这件事的n类方法是相互独立的,无论哪种方案中的哪种方法都可以单独完成这件事,而不需要再用到其他的方法.(3)确立恰当的分类标准,准确地对“这件事”进行分类,要求每一种方法必属于某一类方案,不同类方案的任意两种方法是不同的方法,也就是分类时必须既“不重复”也“不遗漏”.2.应用分步乘法计数原理要注意的问题(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,单独用题目中所给的某种方法是不是不能完成这件事,也就是说必须要经过几步才能完成这件事.(2)完成这件事需要分成若干个步骤,只有每个步骤都完成了,才算完成这件事,缺少哪一步,这件事都不可能完成.(3)根据题意正确分步,要求各步之间必须连续,只有按照这几步逐步地去做,才能完成这件事,各步骤之间既不能重复也不能遗漏.3.两个原理的区别两个基本原理的区别在于:分类加法计数原理每次得到的是最后结果,分步乘法计数原理每次得到的是中间结果,表解如下:分类加法计数原理分步乘法计数原理区别一每类办法都能独立地完成这件事,它是独立的、一次的且每次得到的是最后结果,只需一种方法就可完成这件事每一步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事区别二各类办法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是关联的、独立的,“关联”确保不遗漏,“独立”确保不重复一、选择题1.一个包内有5本不同的小说,另一个包内有4本不同的教科书,从两个包内任取一本书的取法有()A.5种B.4种C.9种D.20种答案 C解析取一本书有两类不同的方案:第一类方案从有5本不同的书的包中取,共有5种不同的方法;第二类方案是从有4本不同的书的包中取,有4种不同的方法,所以共有N =5+4=9种取法.2.某公共汽车上有10名乘客,要求在沿途的5个车站全部下完,乘客下车的可能方式有()A.510种B.105种C.50种D.以上都不对答案 A解析本题的“一件事”是指10个乘客的一种下车方式,完成一件事即为10名乘客下完车.分10步完成,第一步安排第一个乘客下车,有5种方法…,第10步是安排最后一名乘客下车,有5种方法.所以乘客下车的方式共有510种方法.3.某体育彩票规定:从01至36共36个号中抽出7个号(号码由小到大排列)为一注,每注2元.某人想从01至10中选3个连续的号,从11至20中选2个连续的号,从21至30中选1个号,从31至36中选1个号组成一注,则这人把这种特殊要求的号码买全,至少要花()A.3 360元B.6 720元C.4 320元D.8 640元答案 D解析抽一注号码分四步完成,共有N=8×9×10×6=4 320个不同的注.共需花4 320×2=8 640元.4.有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,则不同的配法种数()A.7 B.64 C.12 D.81。
1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理一.选择题:1.已知x∈ {2 , 3, 7} ,y∈ { - 31,- 24, 4} ,则x·y能够表示不一样值的个数是(A)1+1=2( B)1+1+1=3( C)2×3=6( D)3×3=92.某学生去书店买书,发现三本好书,决定起码买一本,则不一样的买法种数为( A)3(B)6(C)7(D)93.某电话号码为168×××××,若后边的五个数字都由 6 或 8 构成,则这类电话号码一共有( A)20个(B)25个(C)32个(D)60个4.此刻有 4 件不一样样式的上衣和三件不一样颜色的长裤,假如一条长裤和一件上衣配成一套,某人要配一套衣服,则不一样的选法数为( A)7(B)64(C)12(D)815.如图:甲————乙,在少儿公园中有四个圆圈构成的连环道路,从甲走到乙,不一样的路线的走法有()。
( A)2种(B)8种(C)12种(D)16种6. 5 个高中应届毕业生报考 3 所要点院校,每人报且仅报一所院校,则不一样的报名方法共有()种。
( A)35(B)53(C)15( D)6二.填空题:7. 5 名男生, 4 名女生,( 1)若从中派一人出黑板报,共有种不一样的派法;( 2)若男女各派一人共同写黑板报,共有种不一样的派法。
8.A={1 ,2, 3, 4} ,B={5, 6, 7} ,则从A到B的映照有个。
9.某镇有三家酒店,现有5 名游客住店,则不一样的投宿方法有种。
10.三位正整数所有印出,“ 0”这个铅字需要用个。
11.直线l上有 7 个点,直线上有 8 个点,则经过这些点中的两点最多有m条直线。
12.事件A发生致使事件 B 发生,若 A 发生的方式有m种, B 发生的方式有n 种,则 A、 B 接踵发生的方式有种。
参照答案基础卷1.D2.C3.C 4.C5.D6.A7. 9; 208. 819. 24310. 18011. 5812. mn专心爱心专心1。
第十章计数原理、概率、随机变量及其分布(理)概率(文)第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理(理)时间:45分钟分值:75分一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)1 .教学大楼共有4层,每层都有东西两个楼梯,由一层到四层共有走法种数为()A. 6B. 23C. 42D. 44解析由一层到二层有2种选择,二层到三层有2种选择,三层到四层有2种选择f/.23 = 8.答案B2.按ABO血型系统学说,每个人的血型为A、B、0、AB型四种之一,依血型遗传学,当父母的血型中没有AB型时,子女的血型有可能是O型,若某人的血型是O型,则其父母血型的所有可能情况有()A. 6种B. 9种C. 10种D. 12 种解析找出其父母血型的所有情况分两步完成,第一步找父亲的血型,依题意有3种;第二步找母亲的血型也有3种,由分步乘法计数原理得:其父母血型的所有可能情况有3X3 = 9(种)・答案B3∙ (2014・惠州月考)2012年奥运会上,8名运动员争夺3项乒乓球冠军,获得冠军的可能有()A. 83种B. 38种D. C3种8解析把8名运动员看作8家“店” 3项冠军看作3位“客”,它们都可住进任意一家“店”,每位“客”有8种可能.根据乘法原理,共有8义8 X 8=83(种)不同的结果.答案A4.若三角形的三边均为正整数,其中一边长为4,另外两边长分别为A C,且满足bW4Wc,则这样的三角形有()A. 10 个B. 14 个C. 15个D. 21 个解析当b=1时,c = 4 ;当b=2时,c=4,5 ;当b = 3时,C =4,5,6 ;当b = 4时,c=4,5,6,7.故共有10个这样的三角形.答案A5.(2014∙湘潭月考)25人排成5义5方阵,从中选出3人,要求其中任意2人既不同行也不同列,则不同的选法有()A. 60 种B. IOo种C. 300种D. 600种解析5×5的方阵中,先从中任意取3行,有C§ = 10(种)方法,再从中选出3人,其中任意2人既不同行也不同列的情况有CleC 二5 4 3 60(种),故所选出的3人中任意2人既不同行也不同列的选法共有10X60 = 600(种).6.(2013・山东卷)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为()A. 243B. 252C. 261D. 279解析0~9能组成的三位数的个数为9×10×10 = 900(个),能组成的无重复数字的三位数个数为9×9×8 = 648(个),故能组成的有重复数字的三位数的个数为900 - 648=252(个),故选B.答案B二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)7 .如图所示,在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中,与正八边形有公共边的三角形有个.解析把与正八边形有公共边的三角形分为两类:第一类,有一条公共边的三角形共有8X4 = 32(个);第二类,有两条公共边的三角形共有8个.由分类加法计数原理知,共有32 + 8=40(个).8 .有A、B两种类型的车床各一台,现有甲、乙、丙三名工人,其中甲、乙都会操作两种车床,丙只会操作A种车床,现从三名工人中选两名分别去操作以上车床,则不同的选派方法有种.解析若选甲、乙两人,则有甲操作A车床,乙操作B车床或甲操作B车床,乙操作A车床,共有2种选派方法;若选甲、丙两人,则只有甲操作B车床,丙操作A车床这1种选派方法;若选乙、丙两人,则只有乙操作B车床,丙操作A车床这1种选派方法..∙.共有2 + 1 +1 = 4(种)不同的选派方法.答案49 .用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字),要求任何相邻两个数字的奇偶性不同,且1和2相邻,这样的六位数的个数是(用数字作答).解析若1在①或⑥号位,2在②或⑤号位,方法数各4种.若1在②、③、④、⑤号位,2的排法有2种,方法数各8种,故有4 + 4 + 8 + 8 + 8 + 8 = 40(个).答案40三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)10 .某单位职工义务献血,在体检合格的人中,O型血的共有28人,A 型血的共有7人,B 型血的共有9人,AB 型血的共有3人.(1)从中任选1人去献血,有多少种不同的选法?(2)从四种血型的人中各选1人去献血,有多少种不同的选法? 解从O 型血的人中选1人有28种不同的因去,从A 型血的人 中选1人共有7种不同的选法,从B 型血的人中选1人共有9种不 同的选法,从AB 型血的人中选1人共有3种不同的选法.⑴任选1人去献血,即不论选哪种血型的哪一个人,这件“任 选1人去献血”的事情就已完成,所以用分类加法计数原理,有28 + 7 + 9 + 3 = 47(种)不同选法.(2)要从四种血型的人中各选1人,即要在每种血型的人中依次 选出1人后,这件“各选1人去献血”的事情才完成,所以用分步乘 法计数原理,有28X7X9X3 = 5 292(种)不同的选法.子里,要求每个盒子只能放一个小球,且A 球不能放在1,2号,B 球 必须放在与A 球相邻的盒子中,求不同的放法有多少种?解根据A 球所在位置分三类: d小鬼放11.编号为A, B, C, D, E 的五 如图所示的五个盒⑴若A球放在3号盒子内,则B球只能放在4号盒子内,余下的三个盒子放球C、D、E ,则根据分步乘法计数原理得,3X2Xl = 6(种)不同的放法;(2)若A球放在5号盒子内,则B球只能放在4号盒子内,余下的三个盒子放球C、D、E ,则根据分步乘法计数原理得,3X2Xl = 6(种)不同的放法;⑶若A球放在4号盒子内,则8球可以放在2号、3号、5号盒子中的彳丑可一个,余下的三个盒子放球C。
专题26 分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、单选题1.(2020·湖北省高二期中)将3名防控新冠疫情志愿者全部分配给2个不同的社区服务,不同的分配方案有()A.12种B.9种C.8种D.6种【答案】C【解析】每名防控新冠疫情志愿者都有两种不同的分配方法,根据分步计数原理可知,不同的分配方案总数为328种.故选:C2.(2020·山东省高二期中)现有高一学生5名,高二学生4名,高三学生3名.从中任选1人参加市团委组织的演讲比赛,有多少种不同的选法()A.60 B.45 C.30 D.12【答案】D【解析】因为三个年级共有12名学生,由分类加法计数原理可得:从中任选1人参加市团委组织的演讲比赛,共有12种不同的选法.故选:D.3.(2020·广东省湛江二十一中高二开学考试)有不同的语文书9本,不同的数学书7本,不同的英语书5本,从中选出不属于同一学科的书2本,则不同的选法有()A.21种B.315种C.153种D.143种【答案】D【解析】由题意,选一本语文书一本数学书有9×7=63种,选一本数学书一本英语书有5×7=35种,选一本语文书一本英语书有9×5=45种,∴共有63+45+35=143种选法.故选D.4.(2020·浙江省宁波诺丁汉附中高二期中)教学大楼共有五层,每层均有两个楼梯,由一层到五层的走法有()A.10种B.52种C.25种D.42种【答案】D【解析】共分4步:一层到二层2种,二层到三层2种,三层到四层2种,四层到五层2种,一共42=16种. 故选D.5.(2020·天津大钟庄高中高二月考)四大名著是中国文学史上的经典作品,是世界宝贵的文化遗产.在某学校举行的“文学名著阅读月”活动中,甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》、《西游记》(每种名著至少有5本),若每人只借阅一本名著,则不同的借阅方案种数为()A.54B.45C.·45C D.45A【答案】A【解析】对于甲来说,有4种借阅可能,同理每人都有4种借阅可能,根据乘法原理,故共有54种可能,答案为A.6.(2020·宁夏回族自治区宁夏育才中学高二开学考试(理))如图,某城市中,M、N两地有整齐的道路网,若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进,则从M到N不同的走法共有()A.10 B.13 C.15 D.25【答案】C【解析】因为只能向东或向北两个方向向北走的路有5条,向东走的路有3条走路时向北走的路有5种结果,向东走的路有3种结果⨯=种结果,选C根据分步计数原理知共有35157.(2020·吉林省长春市实验中学高二期中(理))某市汽车牌照号码可以上网自编,但规定从左到右第二个号码只能从字母B 、C 、D 中选择,其他四个号码可以从0~9这十个数字中选择(数字可以重复),某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3、5、6、8、9中选择,其他号码只想在1、3、6、9中选择,则他的车牌号码可选的所有可能情况有( )A .180种B .360种C .720种D .960种【答案】D【解析】根据题意,车主第一个号码在数字3、5、6、8、9中选择,共5种选法,第二个号码只能从字母B 、C 、D 中选择,有3种选法,剩下的3个号码在1、3、6、9中选择,每个号码有4种选法,则共有4×4×4=64种选法, 则共有5×3×64=960种, 故选:D.8.(2020·江苏省高二期中)由0,1,2,3,5组成的无重复数字的五位偶数共有( )A .36个B .42个C .48个D .120个 【答案】B【解析】分两类:一、若五位数的个位数是0,则有1432124n =⨯⨯⨯=种情形;二、若五位数的个位数是2,由于0不排首位,因此只有1,3,5有3种情形,中间的三个位置有3216⨯⨯=种情形,依据分步计数原理可得23618n =⨯=种情形.由分类计数原理可得所有无重复五位偶数的个数为12241842n n n =+=+=,应选答案B .9.(2020·北京十二中高二月考(理))将数字1,1,2,2,3,3排成三行两列,要求每行的数字互不相同,每列的数字也互不相同,则不同的排列方法共有( )A .12种B .18种C .24种D .36种 【答案】A【解析】由题意,可按分步原理计数,第一步,第一行第一个位置可从1,2,3三数字中任意选一个,有三种选法,第二步,第一行第二个位置可从余下两数字中选一个,有二种选法,第三步,第二行第一个位置,由于不能与第一行第一个位置上的数字同,故其有两种选法,第四步,第二行第二个位置,由于不能与第一行第二个数字同也不能第二行第一个数字同,故它只能有一种填法,第五步,第三行第一个数字不能与第一行与第二行的第一个数字同,故其只有一种填法,第六步,此时只余下一个数字,故第三行第二列只有一种填法,由分步原理知,总的排列方法有3×2×2×1×1×1=12种.故选:A.10.(2020·江西省高三三模(理))在明代珠算发明之前,我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具来记数、列式和计算.算筹实际上是一根根相同长度的小木棍,算筹有纵式和横式两种,如图是利用算筹表示1~9的数字,表示多位数时,个位用纵式,十位用横式,百位用纵式,千位用横式,以此类推,例如,137可以用7根小木棍表示“”,则用6根小木棍(要求用完6根)能表示不含“0”且没有重复数字的三位数的个数是()A.12B.18C.24D.27【答案】C【解析】数字7、2、1组成6个,数字7、6、1组成6个,数字6、3、1组成6个,数字3、2、1组成6个,共24个符合要求的三位数.故选:C.11.(2020·北京市鲁迅中学高二月考)算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具,为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中,以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字,如图:表示多位数时,个位用纵式,十位用横式,百位用纵式,千位用横式,以此类推,遇零则置空,如图:如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中,那么可以表示的三位数的个数为()A.46B.44C.42D.40【答案】B【解析】按每一位算筹的根数分类一共有15种情况,如下(5,0,0),(4,1,0),(4,0,1),(3,2,0),(3,1,1),(3,0,2),(2,3,0),(2,2,1),(2,1,2),(2,3,0),(1,4,0),(1,3,1),(1,2,2),(1,1,3),(1,0,4),2根以上的算筹可以表示两个数字,运用分布乘法计数原理,则上列情况能表示的三位数字个数分别为:2,2,2,4,2,4,4,4,4,4,2,2,4,2,2,根据分布加法计数原理,5根算筹能表示的三位数字个数为:++++++++++++++=.22242444442242244故选B.12.(2018·浙江省高三三模)三位数中,如果百位数字、十位数字、个位数字刚好能构成等差数列,则称为“等差三位数”,例如:147,642,777,420等等.等差三位数的总个数为()A.32 B.36 C.40 D.45【答案】D【解析】由题意得若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为0的“等差三位数”,则只要各位数字不为零即可,有9个;若百位数字、十位数字个位数字构成公差为1的“等差三位数”,则百位数字不大于7,有7个;若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为2的“等差三位数”,则百位数字不大于5,有5个;若百位数字十位数字个位数字构成公差为3的“等差三位数”,则百位数字不大于3,有3个;若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为4的“等差三位数”,则百位数字只能为1,有1个;-的“等差三位数,则百位数字不小于2,有8个;若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为1若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为2-的“等差三位数”,则百位数字不小于4,有6个;-的“等差三位数”,则百位数字不小于6,有4个;若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为3-的“等差三位数”,则百位数字不小于8有2个.若百位数字、十位数字个位数字构成公差为4++++++++=个,综上所述,“等差三位数”的总数为97531864245故选:D.二、填空题13.(2020·四川省泸县第二中学高二期中(理))已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组成,且英文字母在前,数字在后.已知英文字母是A,B,C,D,E这5个字母中的1个,数字是1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中的一个,则共有__________个不同的编号(用数字作答).【答案】45【解析】对于英文字母来说,共有5种可能,对于数字来说,共有9种可能,按照分步乘法原理,即可知道共有⨯=个不同的编号.594514.(2020·汪清县汪清第六中学高二期中(理))现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色,要求有公共边界的两块不能用同一种颜色,则不同的着色方法种数为__________.【答案】48【解析】根据题意,设需要涂色的四个部分依次分A、B、C、D,对于区域A,有4种颜色可选,有4种涂色方法,对于区域B,与区域A相邻,有3种颜色可选,有3种涂色方法,对于区域C,与区域A,B相邻,有2种颜色可选,有2种涂色方法,对于区域D,与区域B,C相邻,有2种颜色可选,有2种涂色方法,⨯⨯⨯=种.则不同的涂色方法有432248故答案为:48.15.(2018·浙江省高三月考)用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中6个格子,每格子染一种颜色,并且从左往右数,不管数到哪个格子,总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为________.【答案】20从左往右数,不管数到哪个格子,总有黑色格子不少于白色格子包含的情况有:全染黑色,有1种方法;第一个格子染黑色,另外5个格子中有1个格子染白色,剩余的都染黑色,有5种方法;第一个格子染黑色,另外5个格子中有2个格子染白色,剩余的都染黑色,有9种方法;第一个格子染黑色,另外5个格黑子中有3个格子染白色,剩余的都染黑色,有5种方法.+++=.所以从左往右数,不管数到哪个格子,总有黑色格子不少于白色格子的染色方法数为159520故答案为:20.16.(2020·山东省高二期中)用0,1,2,3,4,5六个数字,可以组成没有重复数字的三位数的个数是________;可以组成有重复数字的三位数的个数为________.【答案】100 180【解析】百位的数字可以选择的种数为5种,十位,个位可以选的种数分别为5种,4种⨯⨯;则可组成无重复数字的三位数的种数为554=100⨯⨯=.可组成有重复数字的三位数的种数为566180故答案为:(1).100;(2). 180三、解答题17.小明同学要从教学楼的一层到四层,已知从第一层到第二层有4个扶梯可走,从第二层到第三层有3个扶梯可走,从第三层到第四层有2个扶梯可走,那么小明同学从第一层到第四层有多少种不同的走法?【答案】24【解析】第1步,从第一层到第二层有4种不同的走法;第2步,从第二层到第三层有3种不同的走法;第3步,从第三层到第四层有2种不同的走法;⨯⨯=种.根据分步乘法计数原理,小明同学从教学楼的第一层到第四层的不同走法有43224 18.(2020·唐山市第十一中学高二期中)某班有男生28名、女生20名,从该班选出学生代表参加校学代会.(1)若学校分配给该班1名代表,则有多少种不同的选法?(2)若学校分配给该班2名代表,且男、女生代表各1名,则有多少种不同的选法?【答案】(1)48;(2)560.(1)选出1名代表,可以选男生,也可以选女生,因此完成“选1名代表”这件事分2类:第1类,从男生中选出1名代表,有28种不同方法;第2类,从女生中选出1名代表,有20种不同方法.根据分类加法计数原理,共有28+20=48种不同的选法.(2)完成“选出男、女生代表各1名”这件事,可以分2步完成:第1步,选1名男生代表,有28种不同方法;第2步,选1名女生代表,有20种不同方法.根据分步乘法计数原理,共有28×20=560种不同的选法. 19.(2020·宜昌市人文艺术高中(宜昌市第二中学)高二月考)已知集合{}3,2,1,0,1,2M =---,若a ,b ,c ∈M ,则:(1)2y ax bx c =++可以表示多少个不同的二次函数?(2)2y ax bx c =++可以表示多少个图象开口向上的二次函数?【答案】(1)180;(2)72.【解析】(1)因为a 不能取0,所以有5种取法,b 有6种取法,c 有6种取法,所以2y ax bx c =++可以表示566180⨯⨯=个不同的二次函数. (2)2y ax bx c =++的图象开口向上时,a 不能取小于等于0的数,所以有2种取法,b 有6种取法,c 有6种取法,所以2y ax bx c =++可以表示26672⨯⨯=个图象开口向上的二次函数20.(2019·甘南藏族自治州合作第一中学高二期中(理))一个口袋里有5封信,另一个口袋里有4封信,各封信内容均不相同.(1)从两个口袋中任取一封信,有多少种不同的取法?(2)从两个口袋里各取一封信,有多少种不同的取法?(3)把这两个口袋里的9封信,分别投入4个邮筒,有多少种不同的投法?【答案】(1)9,(2)20,(3)94【解析】(1)任取一封信,不论从哪个口袋里取,都能单独完成这件事,是分类问题从第一个口袋中取一封信有5种情况,从第二个口袋中取一封信有4种情况+=种则共有549(2)各取一封信,不论从哪个口袋中取,都不能完成这件事,是分步问题应分两个步骤完成,第一步,从第一个口袋中取一封信有5种情况,第二步,从第二个口袋中取一封信有4种情况⨯=种由分步乘法计数原理,共有5420(3)第一封信投入邮筒有4种可能第二封信投入邮筒有4种可能第九封信投入邮筒有4种可能由分步乘法计数原理可知,共有94种不同的投法21.(2020·南京市中华中学高二月考)现有3名医生,5名护士、2名麻醉师.(1)从中选派1名去参加外出学习,有多少种不同的选法?(2)从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组,有多少种不同的选法?【答案】(1)10;(2)30【解析】(1)分三类:第一类:选出的是医生,共有3种选法;第二类:选出的是护士,共有5种选法;第三类:选出的是麻醉师,共有2种选法;根据分类加法计数原理,共有3+5+2=10种选法.(2)分三步:第一步:选出1名医生,共有3种选法;第二步:选出1名护士,共有5种选法;第三步:选出1名麻醉师,共有2种选法;⨯⨯=种选法.根据分步乘法计数原理,共有3523022.(2020·武汉市钢城第四中学高二期中)某校学生会由高一年级5人,高二年级6人,高三年级4人组成.(1)选其中1人为学生会主席,有多少种不同的选法?(2)若每年级选1人为校学生会常委,有多少种不同的选法?(3)若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动,有多少种不同的选法?【答案】(1)15;(2)120;(3)74【解析】(1)选其中1人为学生会主席,各年级均可,分三类:N=5+6+4=15种;(2)每年级选1人为校学生会常委,可分步从各年级分别选择,N=5×6×4=120种;(3)要选出不同年级的两人参加市里组织的活动,首先按年级分三类“1,2年级”,“1,3年级”,“2,3年级”,再各类分步选择:N=5×6+6×4+4×5=74种.;。
选修2-3 1.1第一课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、选择题1.一个袋子里放有6个球,另一个袋子里放有8个球,每个球各不相同,从两袋子里各取一个球,不同取法的种数为() A.182B.14C.48D.91[答案] C[解析]由分步乘法计数原理得不同取法的种数为6×8=48,故选C.2.从甲地到乙地一天有汽车8班,火车3班,轮船2班,某人从甲地到乙地,他共有不同的走法数为()A.13种B.16种C.24种D.48种[答案] A[解析]应用分类加法计数原理,不同走法数为8+3+2=13(种).故选A.3.集合A={a,b,c},B={d,e,f,g},从集合A到集合B 的不同的映射个数是()A.24 B.81C.6 D.64[答案] D[解析]由分步乘法计数原理得43=64,故选D.4.5本不同的书,全部送给6位学生,有多少种不同的送书方法()A.720种B.7776种C.360种D.3888种[答案] B[解析]每本书有6种不同去向,5本书全部送完,这件事情才算完成.由乘法原理知不同送书方法有65=7776种.5.有四位老师在同一年级的4个班级中,各教一个班的数学,在数学考试时,要求每位老师均不在本班监考,则安排监考的方法种数是()A.8种B.9种C.10种D.11种[答案] B[解析]设四个班级分别是A,B,C,D,它们的老师分别是a,b,c,d,并设a监考的是B,则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级,共有3种不同的方法;同理当a监考C,D时,剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有3种不同的方法.这样,用分类加法计数原理求解,共有3+3+3=9(种)不同的安排方法.另外,本题还可让a先选,可从B,C,D中选一个,即有3种选法.若选的是B,则b从剩下的3个班级中任选一个,也有3种选法,剩下的两个老师都只有一种选法,这样用分步乘法计数原理求解,共有3×3×1×1=9(种)不同的安排方法.6.某通讯公司推出一组手机卡号码,卡号的前七位数字固定,从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10 000个号码,公司规定:凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”,则这组号码中“优惠卡”的个数为()A.2 000 B.4 096C.5 904 D.8 320[答案] C[解析]可从反面考虑,卡号后四位数不带“4”或“7”的共有8×8×8×8=4 096个,所以符合题意的共有5 904个.7.如下图所示,小圆圈表示网络的结点,结点之间的线段表示它们有网线相连.连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息,信息可以从分开不同的路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量为()A.26 B.24C.20 D.19[答案] D[解析]因信息可以分开沿不同的路线同时传递,由分类计数原理,完成从A向B传递有四种方法:12→5→3,12→6→4,12→6→7,12→8→6,故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上信息量的和:3+4+6+6=19,故选D.8.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了2个新节目,如果将这2个新节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为()A.42 B.30C.20 D.12[答案] A[解析]将新增的2个节目分别插入原定的5个节目中,插入第1个有6种插法,插入第2个时有7个空,共7种插法,所以不同的插法共6×7=42(种).9.定义集合A与B的运算A*B如下:A*B={(x,y)|x∈A,y∈B},若A={a,b,c},B={a,c,d,e},则集合A*B的元素个数为() A.34B.43C.12 D.24[答案] C[解析]显然(a,a)、(a,c)等均为A*B中的元素,确定A*B中的元素是A中取一个元素来确定x,B中取一个元素来确定y,由分步计数原理可知A*B中有3×4=12个元素.故选C.10.某医院研究所研制了5种消炎药X1、X2、X3、X4、X5和4种退烧药T1、T2、T3、T4,现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效试验,又知X1、X2两种消炎药必须同时搭配使用,但X3和X4两种药不能同时使用,则不同的试验方案有() A.16种B.15种C.14种D.13种[答案] C[解析]解决这类问题应分类讨论,要做到不重不漏,尽量做到一题多解,从不同角度思考问题.试验方案有:①消炎药为X1、X2,退烧药有4种选法;②消炎药为X3、X4,退烧药有3种选法;③消炎药为X3、X5,退烧药有3种选法;④消炎药为X4、X5,退烧药有4种选法,所以符合题意的选法有4+3+3+4=14(种).二、填空题11.用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数,则其中数字1,2相邻的偶数有________个(用数字作答).[答案]24[解析]可以分三类情况讨论:①若末位数字为0,则1,2为一组,且可以交换位置,3,4各为1个数字,共可以组成12个五位数;②若末位数字为2,则1与它相邻,其余3个数字排在前3位,且0不是首位数字,则共有4个五位数;③若末位数字为4,则1,2为一组,且可以交换位置,3,0各为1个数字,且0不是首位数字,则共有8个五位数,所以符合要求的五位数共有24个.12.三边均为整数且最大边长为11的三角形有________个.[答案]36[解析]另两边长用x,y表示,且不妨设1≤x≤y≤11.要构成三角形,需x+y≥12.当y=11时,x∈{1,2,…,11},有11个三角形;当y=10时,x∈{2,3,…,10},有9个三角形……当y=6时,x=6,有1个三角形.所以满足条件的三角形有11+9+7+5+3+1=36(个).13.5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种.(用数字作答)[答案]48[解析]本题可分为两类完成:两老一新时,有3×2×2=12(种)排法;两新一老时,有2×3×3×2=36(种)排法,即共有48种排法.14.已知下图的每个开关都有闭合与不闭合两种可能,因此5个开关共有25种可能.在这25种可能中,电路从P到Q接通的情况有______种.[答案]16[解析]五个开关全闭合有1种情况能使电路接通;四个开关闭合有5种情况能使电路接通;三个开关闭合有8种情况能使电路接通;两个开关闭合有2种情况能使电路接通;所以共有1+5+8+2=16种情况能使电路接通.三、解答题15.有不同的红球8个,不同的白球7个.(1)从中任意取出一个球,有多少种不同的取法?(2)从中任意取出两个不同颜色的球,有多少种不同的取法?[解析](1)由分类加法计数原理得从中任取一个球共有8+7=15种;(2)由分步乘法计数原理得从中任取两个球共有8×7=56种.16.若x,y∈N*,且x+y≤6,试求有序自然数对(x,y)的个数.[分析]由题目可获取以下主要信息:(1)由x,y∈N*且x+y≤6,知x,y的取值均不超过6;(2)(x,y)是有序数对.解答本题可按x(或y)的取值分类解决.[解析]按x的取值时行分类:x=1时,y=1,2,…,5,共构成5个有序自然数对;x=2时,y=1,2,…,4,共构成4个有序自然数对;…x=5时,y=1,共构成1个有序自然数对.根据分类计数原理,共有N=5+4+3+2+1=15个有序自然数对.[点评]本题是分类计数原理的实际应用,首先考虑x,y的取值均为正整数,且其和不能超过6,同时注意(x,y)是有序数对,如(1,2)与(2,1)是不同的数对,故可按x或y的取值进行分类解决.计数的关键是抓住完成一件事是分类还是分步,一个类别内又要分成几个步骤,一个步骤是否又会分若干类.17.随着人们生活水平的提高,某城市家庭汽车拥有量迅速增长,汽车牌照号码需要扩容.交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法,每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字,并有3个字母必须合成一组出现,3个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照?[解析]将汽车牌照分为2类,一类的字母组合在左,另一类的字母组合在右.字母组合在左时,分6个步骤确定一个牌照的字母和数字:第1步,从26个字母中选1个,放在首位,有26种选法;第2步,从剩下的25个字母中选1个,放在第2位,有25种选法;第3步,从剩下的24个字母中选1个,放在第3位,有24种选法;第4步,从10个数字中选1个,放在第4位,有10种选法;第5步,从剩下的9个数字中选1个,放在第5位,有9种选法;第6步,从剩下的8个数字中选1个,放在第6位,有8种选法.根据分步乘法计数原理,字母组合在左的牌照共有26×25×24×10×9×8=11 232 000(个).同理,字母组合在右的牌照也有11 232 000个.所以,共能给11 232 000+11 232 000=22 464 000辆汽车上牌照.18.已知集合A={a1,a2,a3,a4},集合B={b1,b2},其中a i,b j(i=1,2,3,4,j=1,2)均为实数.(1)从集合A到集合B能构成多少个不同的映射?(2)能构成多少个以集合A为定义域,集合B为值域的不同函数?[解析](1)因为集合A中的元素a i(i=1,2,3,4)与集合B中元素的对应方法都有2种,由分步乘法计数原理,可构成A→B的映射有N =24=16个.(2)在(1)的映射中,a1,a2,a3,a4均对应同一元素b1或b2的情形.此时构不成以集合A为定义域,以集合B为值域的函数,这样的映射有2个.所以构成以集合A为定义域,以集合B为值域的函数有M=16-2=14个.。