Confidence interval统计--置信区间

置信区间推导摘要：1.置信区间的概念与意义2.置信区间的计算方法3.置信区间的应用场景4.提高置信区间计算精度的方法5.总结与展望正文：一、置信区间的概念与意义置信区间（Confidence Interval，CI）是一种统计学上估计参数值范围的方法。

在假设检验中，置信区间用于表示样本统计量估计总体参数真值的可信程度。

它是由样本统计量加减一个或两个标准误差得到的区间，其中标准误差反映了样本统计量分布的宽度。

二、置信区间的计算方法1.单个样本置信区间的计算对于一个单一样本，置信区间的计算公式为：置信区间= 样本统计量± z值× 标准误差其中，z值是根据置信水平（1-α）查表得到的，α表示置信水平，标准误差则为样本统计量的标准差除以样本容量的平方根。

2.两个样本置信区间的计算对于两个样本，我们需要先计算合并后的样本统计量，然后使用单个样本置信区间的计算方法得到置信区间。

三、置信区间的应用场景1.总体参数的估计：在抽样调查中，我们可以使用置信区间来估计总体比例、均值等参数的真值。

2.比较两个样本的差异：通过计算两个样本的置信区间，可以判断它们之间的差异是否显著，从而进行合理的决策。

3.过程控制：在生产过程中，利用置信区间可以监测产品质量，确保生产过程的稳定。

四、提高置信区间计算精度的方法1.增加样本量：当样本量较大时，样本统计量的分布更加接近总体分布，从而提高置信区间的精度。

2.提高抽样方法：采用分层抽样、整群抽样等更科学的抽样方法，可以减小抽样误差，提高置信区间精度。

3.选择合适的置信水平：根据实际需求，合理选择置信水平，可以在一定程度上提高置信区间精度。

五、总结与展望置信区间作为一种有效的统计分析方法，在实际应用中具有重要意义。

通过掌握置信区间的计算方法和应用场景，我们可以更好地进行数据分析和决策。

随着统计学的发展，新的置信区间计算方法和技术不断涌现，为提高置信区间计算精度提供了更多可能性。

概率论与数理统计(李慧斌)复习大纲Chapter 7 Confidence Intervals置信区间7.1 Sampling Distribution 抽样分布统计量的分布称为抽样分布。

在本节中，我们将从正态分布推导出随机样本的样本方差分布，以及样本均值和样本方差的各种函数的分布。

复习：Thm 5.5.2若X1, X2,…, X n独立且满足，i= 1,2,…,n，若C1, C2,…, C n不全为零，则Corollary 5.5.2 设随机变量X1, X2,…, X n组成随机样本，满足正态分布，其中均值μ和方差σ2，则7.2 χ2Distribution卡方分布定义：若随机变量X1, X2,…, X n独立同分布且其中每个随机变量都满足标准正态分布，所以有着以n阶自由度卡方分布(χ2distribution with n degrees of freedom)，记作，n来源于独立随机变量中以n阶自由度的χ2分布的概率密度函数其中欧拉函数定义为χ2分布的性质：定理1定理2 （χ2分布的可加性）若X ~χ2 (n) , Y ~χ2(m)，X, Y独立，则X+Y ~ χ2 (n+m)例：设X1, X2,…, X n是正态分布的随机样本，证明Thm 7.3.1 设X1, X2,…, X n是正态分布的随机样本，则：（1）与独立；（2）注：，虽然基于n个，但是它们之和为0，所以指定数量的n-1确定剩余值。

因此有n-1阶自由度。

结果表明，只有从正态分布中抽取随机样本，样本均值和样本方差才是独立的。

证明如下：的联合概率分布函数为其中A为正交矩阵(orthogonal matrix)，且的联合概率分布函数为因此独立且⇒与独立且7.4 The t Distribution t分布定义：设X ~ N(0, 1), Y ~χ2 (n)且X和Y独立，则随机变量所满足的分布称为n阶自由度t分布，记作，其中的概率密度函数为t分布的性质：（1）f(x)图像呈钟型，且中心为0；（2）它的一般形状类似于平均分布0的正态分布的概率密度函数。

置信区间的解释及求取-学习了解95%置信区间（Confidence Interval,CI）：当给出某个估计值的95%置信区间为【a,b】时，可以理解为我们有95%的信心（Confidence）可以说样本的平均值介于a到b之间，而发生错误的概率为5%。

有时也会说90%，99%的置信区间，具体含义可参考95%置信区间。

置信区间具体计算方式为:(1) 知道样本均值(M)和标准差(ST)时：置信区间下限：a=M - n*ST; 置信区间上限：a=M + n*ST;当求取90% 置信区间时n=1.645当求取95% 置信区间时n=1.96当求取99% 置信区间时n=2.576(2) 通过利用蒙特卡洛（Monte Carlo）方法获得估计值分布时：先对所有估计值样本进行排序，置信区间下限：a为排序后第lower%百分位值; 置信区间上限：b为排序后第upper%百分位值.当求取90% 置信区间时 lower=5 upper=95;当求取95% 置信区间时lower=2.5 upper=97.5当求取99% 置信区间时lower=0.5 upper=99.5当样本足够大时，（1）和（2）获取的结果基本相等。

参考资料：http://140.116.72.80/~smallko/ns2/confidence_interval.htmConfidence Limits: The range of confidence interval附MATLAB 求取置信区间源码：%%% 置信区间的定义90%，95%，99%-------Liumin 2010.04.28clearclcsampledata=randn(10000,1);a=0.01; %0.01 对应99%置信区间，0.05 对应95%置信区间，0.1 对应90%置信区间if a==0.01n=2.576; % 2.576 对应99%置信区间，1.96 对应95%置信区间，1.645 对应90%置信区间elseif a==0.05n=1.96;elseif a==0.1n=1.645;end%计算对应百分位值meana=mean(sampledata);stda=std(sampledata);sorta=sort(sampledata); %对数据从小到大排序leng=size(sampledata,1);CIa(1:2,1)=[sorta(leng*a/2);sorta(leng*(1-a/2))];%利用公式计算置信区间CIf(1:2,1)=[meana-n*stda;meana+n*stda]; …………………………………………………………………………………………。

置信区间怎么算
置信区间是指由样本统计量所构造的总体参数的估计区间。

在统计学中，一个概率样本的置信区间（Confidence interval）是对这个样本的某个总体参数的区间估计。

置信区间展现的是这个参数的真实值有一定概率落在测量结果的周围的程度，其给出的是被测量参数的测量值的可信程度，即前面所要求的“一个概率”。

置信区间怎么算，方法/步骤
置信区间的计算公式取决于所用到的统计量。

置信区间是在预先确定好的显著性水平下计算出来的，显著性水平通常称为α(希腊字母alpha)，如前所述，绝大多数情况会将α设为0.05。

置信度为(1-α)，或者100×(1-α)%。

于是，如果α=0.05，那么置信度则是0.95或95%，后一种表示方式更为常用。

置信区间的常用计算方法如下：Pr(c1<=μ<=c2)=1-α；其中：α是显著性水平（例：0.05或0.10）；Pr表示概率，是单词probablity的缩写；100%*(1-α)或(1-α)或指置信水平（例如：95%或0.95）；表达方式：interval(c1,c2) - 置信区间。

置信区间（Confidenceinterval）是啥
可信程度那种~
对这个样本的某个总体参数的区间估计。

置信区间展现的是这个参数的真实值有⼀定概率落在测量结果的周围的程度。

置信区间给出的是被测量参数测量值的可信程度范围，即前⾯所要求的“⼀定概率”。

这个概率被称为置信⽔平
如果在⼀次⼤选中某⼈的⽀持率为55%，⽽置信⽔平0.95上的置信区间是（50%,60%），那么他的真实⽀持率有百分之九⼗五的机率落在百分之五⼗和百分之六⼗之间，因此他的真实⽀持率不⾜⼀半的可能性⼩于百分之2.5（假设分布是对称的）。

如例⼦中⼀样，置信⽔平⼀般⽤百分⽐表⽰，因此置信⽔平0.95上的置信区间也可以表达为：95%置信区间。

置信区间的两端被称为置信极限。

对⼀个给定情形的估计来说，置信⽔平越⾼，所对应的置信区间就会越⼤。

置信区间（Confidence Interval）分类：专业学习2010-04-28 13:32阅读(6841)评论(5)一直做着的不确定性分析，很多时候会涉及到置信区间的概念，但一直没能有个清晰的认识，今天终于从网上查资料，具体核实了置信区间的含义。

95%置信区间（Confidence Interval,CI）：当给出某个估计值的95%置信区间为【a,b】时，可以理解为我们有95%的信心（Confidence）可以说样本的平均值介于a到b之间，而发生错误的概率为5%。

有时也会说90%，99%的置信区间，具体含义可参考95%置信区间。

置信区间具体计算方式为:(1)知道样本均值(M)和标准差(ST)时：置信区间下限：a=M - n*ST; 置信区间上限：a=M + n*ST;当求取90% 置信区间时n=1.645当求取95% 置信区间时n=1.96当求取99% 置信区间时n=2.576（2）通过利用蒙特卡洛（Monte Carlo）方法获得估计值分布时：先对所有估计值样本进行排序，置信区间下限：a为排序后第lower%百分位值; 置信区间上限：b为排序后第upper%百分位值.当求取90% 置信区间时 lower=5 upper=95;当求取95% 置信区间时lower=2.5 upper=97.5当求取99% 置信区间时lower=0.5 upper=99.5当样本足够大时，（1）和（2）获取的结果基本相等。

参考资料：http://140.116.72.80/~smallko/ns2/confidence_interval.htm附刚准备MATLAB 求取置信区间源码：……………………………………………………………………………………………………………………%%% 置信区间的定义90%，95%，99%clearclcsampledata=randn(10000,1);a=0.01; %0.01 对应99%置信区间，0.05 对应95%置信区间，0.1 对应90%置信区间if a==0.01n=2.576; % 2.576 对应99%置信区间，1.96 对应95%置信区间，1.645 对应90%置信区间elseif a==0.05n=1.96;elseif a==0.1n=1.645;end%计算对应百分位值meana=mean(sampledata);stda=std(sampledata);sorta=sort(sampledata); %对数据从小到大排序leng=size(sampledata,1);CIa(1:2,1)=[sorta(leng*a/2);sorta(leng*(1-a/2))]; %利用公式计算置信区间CIf(1:2,1)=[meana-n*stda;meana+n*stda];。

⼩马哥课堂-统计学-置信区间Confidence interval(置信区间)confidence interval (CI) is a type of interval estimate, computed from the statistics of the observed data, that might contain the true value of an unknown population parameter. The interval has an associated confidence level that, loosely speaking, quantifies the level of confidence that the parameter lies in the interval. More strictly speaking, the confidence level represents the frequency (i.e. the proportion) of possible confidence intervals that contain the true value of the unknown population parameter. In other words, if confidence intervals are constructed using a given confidence level from an infinite number of independent sample statistics, the proportion of those intervals that contain the true value of the parameter will be equal to the confidence level.置信区间是由样本统计量得到的对总体参数的区间估计。