概率论与数理统计期末考试之置信区间与拒绝域(含问题详解)

一、填空题（每小题3分，共15分）1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案：0.3解：3.0)(=+B A B A P即)(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+=所以1.0)(=AB P9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P .2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______.答案：161-e解答：λλλλλ---==+==+==≤e X P e eX P X P X P 2)2(,)1()0()1(2由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22即 0122=--λλ 解得1=λ，故161)3(-==e X P3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案：04,()()0,.Y Y X y f y F y f <<'===⎩其它解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则2()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤==-因为~(0,2)X U，所以(0X F =，即()Y X F y F = 故04,()()0,.Y Y Xyf y F y f<<'===⎩其它另解在(0,2)上函数2y x=严格单调，反函数为()h y=所以04,()0,.Y Xyf y f<<==⎩其它4．设随机变量YX,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>eXP，则=λ_________，}1),{min(≤YXP=_________.答案：2λ=，-4{min(,)1}1eP X Y≤=-解答：2(1)1(1)P X P X e eλ-->=-≤==，故2λ={min(,)1}1{min(,)1}P X Y P X Y≤=->1(1)(1)P X P Y=->>41e-=-.5．设总体X的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其它,0,1,)1()(xxxfθθ1->θ.nXXX,,,21是来自X的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________.答案：1111lnniixnθ==-∑解答：似然函数为111(,,;)(1)(1)(,,)nnn i niL x x x x xθθθθθ==+=+∏1ln ln(1)lnniiL n xθθ==++∑1lnln01niid L nxdθθ==++∑解似然方程得θ的极大似然估计为1111ln ni i x n θ==-∑.二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设,,A B C 为三个事件，且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是 （A ）若()1P C =，则AC 与BC 也独立. （B ）若()1P C =，则A C 与B 也独立. （C ）若()0P C =，则A C 与B 也独立.（D ）若C B ⊂，则A 与C 也独立. （ ）答案：（D ）.解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A ），（B ），（C ）都是正确的，只能选（D ）.事实上由图可见A 与C 不独立.2．设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ，则(||2)P X >的值为 （A ）2[1(2)]-Φ. （B ）2(2)1Φ-.（C ）2(2)-Φ. （D ）12(2)-Φ. （ ）答案：（A ）解答： ~(0,1)X N 所以(||2)1(||2)1(22)P X P X P X >=-≤=--<≤ 1(2)(2)1[2(2)1]2[1(2)]=-Φ+Φ-=-Φ-=-Φ 应选（A ）.3．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（A ）X 与Y 独立. （B ）()D X Y DX DY -=+.（C ）()D X Y DX DY -=-. （D ）()D XY DXDY =. （ ）解答：由不相关的等价条件知，0y x cov 0xy =⇒=），（ρ ()+2cov x y D X Y DX DY -=+（，） 应选（B ）.4．设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)111169183X Y P αβ若,X Y 独立，则,αβ的值为（A ）21,99αβ==. （A ）12,99αβ==.（C ） 11,66αβ== （D ）51,1818αβ==. （ ）解答：若,X Y独立则有(2,2)(2)(2)P X Y P X P Yα======1121()()()3939αβαα=+++=+∴29α=，19β=故应选（A）.5．设总体X的数学期望为12,,,,nX X Xμ为来自X的样本，则下列结论中正确的是（A）1X是μ的无偏估计量. （B）1X是μ的极大似然估计量.（C）1X是μ的相合（一致）估计量. （D）1X不是μ的估计量. （）答案：（A）解答：1EXμ=，所以1X是μ的无偏估计，应选（A）.三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解：设A=‘任取一产品，经检验认为是合格品’B=‘任取一产品确是合格品’则（1）()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B=+0.90.950.10.020.857.=⨯+⨯=（2）()0.90.95(|)0.9977()0.857P ABP B AP A⨯===.四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设X为途中遇到红灯的次数，求X的分布列、分布函数、数学期望和方差.解：X 的概率分布为3323()()()0,1,2,3.55kkkP X k C k -===即01232754368125125125125XPX 的分布函数为0,0,27,01,12581(),12,125117,23,1251, 3.x x F x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎪≥⎪⎩263,55EX =⨯=231835525DX =⨯⨯=.五、（10分）设二维随机变量(,)X Y 在区域{(,)|0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤ 上服从均匀分布. 求（1）(,)X Y 关于X 的边缘概率密度；（2）Z X Y =+的分布函数与概率密度.（1）(,)X Y 的概率密度为2,(,)(,)0,.x y Df x y ∈⎧=⎨⎩其它 22,01()(,)0,X x x f x f x y dy +∞-∞-≤≤⎧==⎨⎩⎰其它（2）利用公式()(,)Z f z f x z x dx +∞-∞=-⎰其中2,01,01(,)0,x z x x f x z x ≤≤≤-≤-⎧-=⎨⎩其它2,01, 1.0,x x z ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它.当 0z <或1z >时()0Z f z = 01z ≤≤时 00()222z zZ f z dx x z ===⎰故Z 的概率密度为2,01,()0,Z z z f z ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.Z 的分布函数为200,00,0,()()2,01,01,1, 1.1,1z z Z Z z z f z f y dy ydy z z z z z -∞<⎧<⎧⎪⎪⎪==≤≤=≤≤⎨⎨⎪⎪>⎩>⎪⎩⎰⎰或利用分布函数法10,0,()()()2,01,1, 1.Z D z F z P Z z P X Y z dxdy z z ⎧<⎪⎪=≤=+≤=≤≤⎨⎪⎪>⎩⎰⎰20,0,,01,1, 1.z z z z <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩2,01,()()0,Z Z z z f z F z ≤≤⎧'==⎨⎩其它.六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X 和纵坐标Y 相互独立，且均服从2(0,2)N 分布. 求（1）命中环形区域22{(,)|12}D x y x y =≤+≤的概率；（2）命中点到目标中心距离Z =的数学期望.1）{,)}(,)DP X Y D f x y dxdy ∈=⎰⎰2222288111248x y r De dxdy erdrd πθππ+--==⋅⎰⎰⎰⎰2221122888211()8r r red ee e ------=-=-⎰；（2）22818x y EZ E e dxdy π+-+∞-∞-∞==⎰⎰22228801184r r rerdrd e r dr πθπ--+∞+∞==⎰⎰⎰222888r r rre e dr dr+∞---+∞+∞-∞=-+==⎰七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm）2~(,)X Nμσ，今抽取容量为16的样本，测得样本均值10x=，样本方差20.16s=. （1）求μ的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设2:0.1Hσ≤（显著性水平为0.05）.（附注）0.050.050.025(16) 1.746,(15) 1.753,(15) 2.132,t t t===2220.050.050.025(16)26.296,(15)24.996,(15)27.488.χχχ===解：（1）μ的置信度为1α-下的置信区间为/2/2(((X t n X t nαα--+-0.02510,0.4,16,0.05,(15) 2.132X s n tα=====所以μ的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）（2）2:0.1Hσ≤的拒绝域为22(1)nαχχ≥-.221515 1.6240.1Sχ==⨯=，20.05(15)24.996χ=因为220.052424.996(15)χχ=<=，所以接受H.《概率论与数理统计》期末考试试题（A）专业、班级：姓名：学号：一、单项选择题(每题3分共18分)1．D 2．A 3．B 4．A 5．A 6．B《概率论与数理统计》课程期末考试试题（B）专业、班级：姓名：学号：实用标准共8页第8页文档。

《概率分析与数理统计》期末考试试题及
解答(DOC)
概率分析与数理统计期末考试试题及解答
选择题
1. 以下哪个选项不是概率的性质？
- A. 非负性
- B. 有界性
- C. 可加性
- D. 全备性
答案：B. 有界性
2. 离散随机变量的概率分布可以通过哪个方法来表示？
- A. 概率分布函数
- B. 累积分布函数
- C. 概率密度函数
- D. 方差公式
答案：B. 累积分布函数
计算题
3. 一批产品有10% 的不合格品。

从该批产品中随机抽查5个，计算至少有一个不合格品的概率。

解答：
设事件 A 为至少有一个不合格品的概率，事件 A 的对立事件
为没有不合格品的概率。

不合格品的概率为 0.1，合格品的概率为 0.9。

则没有不合格品的概率为 (0.9)^5。

至少有一个不合格品的概率为 1 - (0.9)^5，约为 0.409。

4. 一个骰子投掷两次，计算至少一次出现的点数大于3的概率。

解答：
设事件 A 为至少一次出现的点数大于3的概率，事件 A 的对立事件为两次投掷点数都小于等于3的概率。

一个骰子点数大于3的概率为 3/6 = 1/2。

两次投掷点数都小于等于3的概率为 (1/2)^2 = 1/4。

至少一次出现的点数大于3的概率为 1 - 1/4，约为 0.75。

以上是《概率分析与数理统计》期末考试的部分试题及解答。

希望对你有帮助！。

一、选 择 题 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分) (1)设A 、B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则必有( )(A)0)(>A B P (B))()(A P B A P = (C)0)(=B A P (D))()()(B P A P AB P = (2)将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（ ）3311()()()()328168A B C D(3)),4,(~2μN X ),5,(~2μN Y }5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则( ) (A)对任意实数21,p p =μ （B ）对任意实数21,p p <μ (C)只对μ的个别值，才有21p p = （D ）对任意实数μ，都有21p p >(4)设随机变量X 的密度函数为)(x f ，且),()(x f x f =-)(x F 是X 的分布函数，则对任意 实数a 成立的是( ) （A ）⎰-=-adx x f a F 0)(1)( （B ）⎰-=-adx x f a F 0)(21)( （C ）)()(a F a F =- （D ）1)(2)(-=-a F a F(5)已知1250,,,X X X L 为来自总体()2,4X N :的样本，记5011,50i i X X ==∑ 则 50211()4i i X X =-∑服从分布为( ) （A ）4(2,)50N (B) 2(,4)50N （C ）()250χ (D) ()249χ 二、填 空 题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分)(1) 4.0)(=A P ,3.0)(=B P ,4.0)(=⋃B A P ,则___________)(=B A P(2) 设随机变量X 有密度⎩⎨⎧<<=其它010,4)(3x x x f , 则使)()(a X P a X P <=>的常数a =(3) 设随机变量),2(~2σN X ，若3.0}40{=<<X P ,则=<}0{X P (4)设()221xx f x -+-=， 则EX = , DX =(5)设总体~(,9)X N μ，已知样本容量为25，样本均值x m =；记0.1u a =，0.05u b =；()0.124t c =，()0.125t d =；()0.0524t l =，()0.0525t k =，则μ的置信度为0.9的置信区间为三、解答题 （共60分）1、(10分)某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%, 求：(1)全厂产品的次品率(2) 若任取一件产品发现是次品,此次品是甲车间生产的概率是多少？2、(10分)设X 与Y 两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为⎩⎨⎧≤≤=.,0;10,1)(其它x x f X ⎩⎨⎧≤>=-.0,0;0,)(y y e y f y Y求:随机变量Y X Z +=的概率密度函数.3、(10分)设随机变量X 服从参数2λ=的指数分布，证明：21XY e-=-服从()0,1上的均匀分布。

一、填空题（每小题3分，共15分）1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案：0.3解：3.0)(=+B A B A P即)(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+=所以1.0)(=AB P9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P .2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______.答案：161-e解答：λλλλλ---==+==+==≤e X P e eX P X P X P 2)2(,)1()0()1(2由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故161)3(-==e X P3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案：04,()()0,.Y Y X y f y F y f <<'===⎩其它解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则2()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤=-因为~(0,2)X U，所以(0X F =，即()Y X F y F = 故04,()()0,.Y Y Xyf y F y f<<'===⎩其它另解在(0,2)上函数2y x=严格单调，反函数为()h y=所以04,()0,.Y Xyf y f<<==⎩其它4．设随机变量YX,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>eXP，则=λ_________，}1),{min(≤YXP=_________.答案：2λ=，-4{min(,)1}1eP X Y≤=-解答：2(1)1(1)P X P X e eλ-->=-≤==，故2λ={min(,)1}1{min(,)1}P X Y P X Y≤=->1(1)(1)P X P Y=->>41e-=-.5．设总体X的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其它,0,1,)1()(xxxfθθ1->θ.nXXX,,,21是来自X的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________.答案：1111lnniixnθ==-∑解答：似然函数为111(,,;)(1)(1)(,,)nnn i niL x x x x xθθθθθ==+=+∏1ln ln(1)lnniiL n xθθ==++∑1lnln01niid L nxdθθ==++∑解似然方程得θ的极大似然估计为1111ln ni i x n θ==-∑.二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设,,A B C 为三个事件，且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是 （A ）若()1P C =，则AC 与BC 也独立. （B ）若()1P C =，则A C 与B 也独立. （C ）若()0P C =，则AC 与B 也独立.（D ）若C B ⊂，则A 与C 也独立. （ ）答案：（D ）.解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A ），（B ），（C ）都是正确的，只能选（D ）.事实上由图可见A 与C 不独立.2．设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ，则(||2)P X >的值为 （A ）2[1(2)]-Φ. （B ）2(2)1Φ-.（C ）2(2)-Φ. （D ）12(2)-Φ. （ ）答案：（A ）解答： ~(0,1)X N 所以(||2)1(||2)1(22)P X P X P X >=-≤=--<≤ 1(2)(2)1[2(2)1]2[1(2)]=-Φ+Φ-=-Φ-=-Φ 应选（A ）.3．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（A ）X 与Y 独立. （B ）()D X Y DX DY -=+.（C ）()D X Y DX DY -=-. （D ）()D XY DXDY =. （ ）解答：由不相关的等价条件知，0y x cov 0xy =⇒=），（ρ ()+2cov x y D X Y DX DY -=+（，） 应选（B ）.4．设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)111169183X Y Pαβ若,X Y 独立，则,αβ的值为（A ）21,99αβ==. （A ）12,99αβ==.（C ） 11,66αβ== （D ）51,1818αβ==. （ ）解答： 若,X Y 独立则有(2,2)(2)(2)P X Y P X P Y α======1121()()()3939αβαα=+++=+ ∴29α=， 19β= 故应选（A ）.5．设总体X 的数学期望为12,,,,n X X X μ为来自X 的样本，则下列结论中正确的是（A ）1X 是μ的无偏估计量. （B ）1X 是μ的极大似然估计量. （C ）1X 是μ的相合（一致）估计量. （D ）1X 不是μ的估计量. （ ）答案：（A ） 解答：1EX μ=，所以1X 是μ的无偏估计，应选（A ）.三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02， 求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解：设A =‘任取一产品，经检验认为是合格品’ B =‘任取一产品确是合格品’则（1） ()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+0.90.950.10.020.857.=⨯+⨯= （2） ()0.90.95(|)0.9977()0.857P AB P B A P A ⨯===.四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设X 为途中遇到红灯的次数， 求X 的分布列、分布函数、数学期望和方差.解：X 的概率分布为3323()()()0,1,2,3.55kkkP X k C k -===即1232754368125125125125XPX 的分布函数为0,0,27,01,12581(),12,125117,23,1251, 3.x x F x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎪≥⎪⎩263,55EX =⨯=231835525DX =⨯⨯=.五、（10分）设二维随机变量(,)X Y 在区域{(,)|0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤ 上服从均匀分布. 求（1）(,)X Y 关于X 的边缘概率密度；（2）Z X Y =+的分布函数与概率密度.（1）(,)X Y 的概率密度为2,(,)(,)0,.x y Df x y ∈⎧=⎨⎩其它22,01()(,)0,X x x f x f x y dy +∞-∞-≤≤⎧==⎨⎩⎰其它（2）利用公式()(,)Z f z f x z x dx +∞-∞=-⎰其中2,01,01(,)0,x z x x f x z x ≤≤≤-≤-⎧-=⎨⎩其它2,01, 1.0,x x z ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它.当 0z <或1z >时()0Z f z = 01z ≤≤时 00()222z zZ f z dx x z ===⎰故Z 的概率密度为2,01,()0,Z z z f z ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.Z 的分布函数为200,00,0,()()2,01,01,1, 1.1,1z z Z Z z z f z f y dy ydy z z z z z -∞<⎧<⎧⎪⎪⎪==≤≤=≤≤⎨⎨⎪⎪>⎩>⎪⎩⎰⎰或利用分布函数法10,0,()()()2,01,1, 1.Z D z F z P Z z P X Y z dxdy z z ⎧<⎪⎪=≤=+≤=≤≤⎨⎪⎪>⎩⎰⎰20,0,,01,1, 1.z z z z <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩2,01,()()0,Z Z z z f z F z ≤≤⎧'==⎨⎩其它.六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X 和纵坐标Y 相互独立，且均服从2(0,2)N 分布. 求（1）命中环形区域22{(,)|12}D x y x y =≤+≤的概率；（2）命中点到目标中心距离Z =.1）{,)}(,)DP X Y D f x y dxdy ∈=⎰⎰2222288111248x y r De dxdy erdrd πθππ+--==⋅⎰⎰⎰⎰2221122888211()8r r red ee e ------=-=-⎰；（2）22818x y EZ E edxdy π+-+∞-∞-∞==⎰⎰22228801184r r rerdrd e r dr πθπ--+∞+∞==⎰⎰⎰222888r r rre e dr dr+∞---+∞+∞-∞=-+==⎰.七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm）2~(,)X Nμσ，今抽取容量为16的样本，测得样本均值10x=，样本方差20.16s=. （1）求μ的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设2:0.1Hσ≤（显著性水平为0.05）.（附注）0.050.050.025(16) 1.746,(15) 1.753,(15) 2.132,t t t===2220.050.050.025(16)26.296,(15)24.996,(15)27.488.χχχ===解：（1）μ的置信度为1α-下的置信区间为/2/2(((X t n X t nαα--+-0.02510,0.4,16,0.05,(15) 2.132X s n tα=====所以μ的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）（2）2:0.1Hσ≤的拒绝域为22(1)nαχχ≥-.221515 1.6240.1Sχ==⨯=，20.05(15)24.996χ=因为220.052424.996(15)χχ=<=，所以接受H.《概率论与数理统计》期末考试试题（A）专业、班级：姓名：学号：一、单项选择题(每题3分共18分)《概率论与数理统计》课程期末考试试题（B）专业、班级：姓名：学号：共 8页第 8页。

概率论与数理统计期末试卷及答案一、填空题：1、一袋中有50个球，其中20个红球，30个白球，现两人从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取到白球的概率为 3/5 。

2、设P(A)=1/2, P(B|A)=1/3, P(A|B)=1/2，那么()P AB = 2/3 。

3、若随机变量X 的概率密度为2(),11,f x Ax x =-<<那么A= 3/2 。

4、若二维随机变量（X,Y ）在以原点为圆心的单位圆内的概率密度函数是1/π，其它区域都是0，那么221()2P X Y +<= 1/2 。

5、掷n 枚骰子，记所得点数之和为X ，则EX = 3.5n 。

6、若X ，Y ，Z 两两不相关，且DX=DY=DZ=2，则D(X+Y+Z) = 6 。

7、若随机变量12,,,n X X X 相互独立且同分布于标准正态分布N(0,1)，那么它们的平方和22212n X X X +++服从的分布是2()n χ。

8、设A n 是n 次相互独立的试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则对任意的0>ε,lim {||}An n p n→+∞-≥ε= 0 。

9、设总体2(,)XN μσ，其中2σ已知，样本为12,,,n X X X ，设00:H =μμ，10:H <μμ，则拒绝域为z α<-。

10、设总体X 服从区间[1,a ]上的均匀分布，其中a 是未知参数。

若有一个来自这个总体的样本2, 1.8, 2.7, 1.9, 2.2, 那么参数a 的极大似然估计值a = 12max{,,,} 2.7n x x x =。

二、选择题1、设10张奖券只有一张中奖，现有10个人排队依次抽奖，则下列结论正确的是（ A ） （A ）每个人中奖的概率相同； （B ）第一个人比第十个人中奖的概率大；（C ）第一个人没有中奖，而第二个人中奖的概率是1/9； （D ）每个人是否中奖是相互独立的 2、设随机变量X 与Y 相互独立，且21(,)X N μσ，22(,)Y N μσ，则X Y -服从的分布是（ B ）（A ）212(,)N -μμσ；（B ）212(,2)N -μμσ；（C ）212(,)N +μμσ；（D ）212(,2)N +μμσ3、设事件A 、B 互斥，且()0P A >，()0P B >，则下列式子成立的是（ D ）（A ）(|)()P A B P A =； （B ）(|)0P B A >； （C ）(|)()P A B P B =； （D ）(|)0P B A =；4、设随机变量X 与Y 独立同分布，P(X= -1) = P(Y= -1) =1/2，P(X= 1) = P(Y= 1) =1/2，则下列成立的是（ A ）（A ）()1/2P X Y ==； （B ）()1P X Y ==； （C ）(0)1/4P X Y +==； （D ）(1)1/4P XY ==；5、有10张奖券，其中8张2元，2张5元。

一、填空题（每小题3分，共15分）1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案：0.3解： 即 所以9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P Y .2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______.答案： 解答：由)2(4)1(==≤X P X P 知λλλλλ---=+e e e 22即0122=--λλ解得1=λ，故3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案：解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 因为~(0,2)X U，所以(0X F =，即()Y X F y F = 故另解在(0,2)上函数2y x =严格单调，反函数为()h y =所以4． 设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________. 答案：2λ=，-4{min(,)1}1e P X Y ≤=-解答：2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故2λ=41e -=-.5． 设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其它,0,10,)1()(x x x f θθ1->θ.n X X X ,,,21Λ是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________.答案：解答：似然函数为解似然方程得θ的极大似然估计为$1111ln ni i x n θ==-∑.二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设,,A B C 为三个事件，且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是 （A ）若()1P C =，则AC 与BC 也独立.（B）若()1U与B也独立.P C=，则A C（C）若()0U与B也独立.P C=，则A C（D）若C B⊂，则A与C也独立.（）答案：（D）.解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A），（B），（C）都是正确的，只能选（D）.事实上由图可见2．设随机变量X()xΦ，则(||2)P X>的值为（A）2[1(2)]-Φ.（C）2(2)-Φ.（答案：（A）解答：~(0,1)X N所以(||2)1(||2)1(22)>=-≤=--<≤P X P X P X=-Φ+Φ-=-Φ-=-Φ应选（A）.1(2)(2)1[2(2)1]2[1(2)]3．设随机变量X和Y不相关，则下列结论中正确的是（A）X与Y独立.（B）()-=+.D X Y DX DY（C）()=.（）D XY DXDYD X Y DX DY-=-.（D）()解答：由不相关的等价条件知，0y x cov 0xy =⇒=），（ρ 应选（B ）.4．设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为 若,X Y 独立，则,αβ的值为（A ）21,99αβ==.（A ）12,99αβ==.（C ）11,66αβ==（D ）51,1818αβ==.（）解答：若,X Y 独立则有2,,n X X L 为来自X 的样本，则下列结论中 11X 是μ的极大似然估计量.（C ）1X 是μ的相合（一致）估计量.（D ）1X 不是μ的估计量.（） 答案：（A ） 解答：1EX μ=，所以1X 是μ的无偏估计，应选（A ）.三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02， 求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率. 解：设A =‘任取一产品，经检验认为是合格品’ B =‘任取一产品确是合格品’则（1）()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+ （2）()0.90.95(|)0.9977()0.857P AB P B A P A ⨯===. 四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5.设X 为途中遇到红灯的次数， 求X 的分布列、分布函数、数学期望和方差.解：X 的概率分布为即01232754368125125125125XPX 的分布函数为231835525DX =⨯⨯=.五、（10分）设二维随机变量(,)X Y 在区域{(,)|0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤上服从均匀分布.求（1）(,)X Y 关于X 的边缘概率密度；（2）Z X Y =+的分布函数与概率密度.（(,)f x z x dx -1,01z x x ≤-≤-2,01, 1.0,x x z ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它.当0z <或1z >时()0f z =0022zx z =故Z 六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X 和纵坐标Y 相互独立，且均服从2(0,2)N 分布.求（1）命中环形区域22{(,)|12}D x y x y =≤+≤的概率；（2）命中点到目标中心距离Z =的数学期望.(,)x y dxdy1182e --；22818x y edxdy π+--∞⎰28r dr -+∞-∞=⎰七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm ）2~(,)X N μσ，今抽取容量为16的样本，测得样本均值10x =，样本方差20.16s =.（1）求μ的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设20:0.1H σ≤（显着性水平为0.05）. （附注）0.050.050.025(16) 1.746,(15) 1.753,(15) 2.132,t t t === 解：（1）μ的置信度为1α-下的置信区间为所以μ的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）（2）20:0.1H σ≤的拒绝域为22(1)n αχχ≥-. 221515 1.6240.1S χ==⨯=，20.05(15)24.996χ= 因为220.052424.996(15)χχ=<=，所以接受0H . 《概率论与数理统计》期末考试试题（A ）专业、班级：姓名：学号：一、 单项选择题(每题3分共18分)专业、班级：姓名：学号：页。

概率统计是应用数学的一个重要分支，它研究的是随机事件发生的规律。

在进行概率统计分析时，我们通常会碰到一个问题：如何确定样本统计量的准确性程度。

而置信区间的概念，就是为解决这个问题而提出的。

概率统计中的置信区间是指样本统计量的一个范围，该范围内有一定的概率囊括了总体参数的真值。

简单来说，就是用统计学的方法对总体参数进行估计，并给出一个估计的误差范围。

置信区间主要用于估计总体均值、比例、方差等参数。

假设我们想要估计某一总体的均值，简单抽取10个样本并计算得到样本均值为x̄ = 5.2，标准差为s=1.5。

我们希望通过这个样本均值来估计总体的均值μ，同时给出一个估计误差范围。

这时候，我们就可以利用置信区间的方法来得到一个包含总体均值的区间范围。

通常情况下，置信区间的计算是基于正态分布的。

假设我们希望置信水平为95%，也就是说我们希望样本能够包含总体均值的概率为95%。

根据正态分布的性质，我们知道在95%的置信水平下，标准正态分布的两个统计量之间的区间为[-1.96, 1.96]。

进一步计算，置信区间的计算公式为：置信区间 = 样本均值± Z * （标准差/√n）其中，Z为标准正态分布的分位数，n为样本容量。

对于一般情况下的置信区间计算，我们可以使用查表法来确定Z的值。

在这个例子中，我们可以计算得到置信区间的范围为[4.65, 5.75]。

这意味着我们有95%的置信水平相信总体均值μ落在4.65到5.75的范围内。

通过置信区间的计算，我们可以得到对总体均值μ的估计范围。

这个估计范围可以反映估计的可靠程度。

根据置信区间给出的范围，我们可以判断总体均值是否落在样本均值周围的某一范围内。

当样本容量越大时，置信区间越窄，估计的精度越高。

反之，样本容量越小，置信区间越宽，估计的精度越低。

需要注意的是，置信区间并不是总体参数的准确估计，而是一个范围的估计。

这个范围可能会包含总体参数的真值，也可能不包含。

因此，在进行统计分析时，我们需要根据置信区间的宽度和其与总体参数的关系来判断估计的可靠性。

一、填空题（每小题 3 分，共 15 分）1．设事件A, B仅发生一个的概率为0.3，且P( A)P(B)0.5 ，则 A, B 至少有一个不发生的概率为 __________.答案： 0.3解：P( AB AB)0.3即0.3 P( AB ) P( AB) P(A) P( AB) P(B) P( AB) 0.52P( AB)所以P( AB) 0.1P( A B ) P( AB ) 1 P( AB) 0.9.2．设随机变量X服从泊松分布，且P ( X1) 4 P( X2) ，则P(X3)______.答案：1 e16解答：2P( X1)P( X0)P( X1)e e,P( X2)e2 2e 2由 P( X 1)4P( X 2) 知e e即 2 2 1 0解得1，故1 e1P(X3)63．设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y X 2在区间(0,4)内的概率密度为 f Y ( y)_________.答案：11,0 y4,f Y ( y)F Y ( y)f X ( y ) 4 yy20, 其它 .解答：设 Y 的分布函数为F Y( y),X 的分布函数为F X ( x) ，密度为 f X ( x) 则F Y ( y)P( Y y)2X y)P(y X)y X F()y F()yP(X因为 X ~ U (0,2) ，所以F X(y )0 ，即 F Y ( y)F X (y )故11,0 y 4,f Y ( y) F Y ( y) 4 yf X ( y )2y0,其它 .另解在 (0, 2) 上函数 y x2严格单调，反函数为h( y)y所以11,0 y 4,f Y ( y) f X ( y) 4 y2y,其它 .4．设随机变量X ,Y 相互独立，且均服从参数为的指数分布，P( X 1) e 2，则_________ ，P{min( X ,Y)1} =_________.答案： 2 ，P{min( X ,Y)1} 1 e-4解答：P( X 1) 1 P( X 1) e e 2，故2P{min( X ,Y ) 1} 1P{min( X ,Y )1}1P( X1)P(Y1)1e 4.5．设总体X的概率密度为f ( x)(1) x , 0x1,0,其它1.X1 , X 2 , , X n是来自X的样本，则未知参数的极大似然估计量为 _________.答案：111 nln x in i1解答：似然函数为n1)n ( x1 , , x n )L( x1 , , x n ; )(1)x i (i1nln L n ln(1)ln x ii 1d ln L n nln x i 0d1i 1解似然方程得的极大似然估计为11.1nln x in i 1二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）1．设A, B,C为三个事件，且A, B 相互独立，则以下结论中不正确的是（ A ）若P(C )1，则AC与BC也独立.（ B）若P(C )1，则A C 与 B 也独立.（ C）若P(C )0 ，则A C 与 B 也独立.（ D）若C B ，则 A 与C也独立.（）答案：（ D） .解答：因为概率为1的事件和概率为0 的事件与任何事件独立，所以（ A ），（ B），（C）都是正确的，只能选（D） .事实上由图S可见 A 与 C 不独立 .A BC2．设随机变量X ~ N (0,1),X 的分布函数为( x) ，则 P(| X |2) 的值为（ A ）2[1(2)] .（ B）2(2) 1 .（ C）2(2) .（ D ）12(2) .（）答案：（ A ）解答：X ~ N (0,1)所以 P(| X |2) 1P(| X | 2) 1 P( 2 X 2) 1( 2 )( 2 ) 1 [ 2( 2 )1] 2 [ 1应选（ A） .3．设随机变量X 和 Y 不相关，则下列结论中正确的是（ A ）X与Y独立 .（B）D ( X Y) DX DY .（ C）D ( X Y) DX DY .（D）D ( XY )DXDY .（）答案：（ B）解答：由不相关的等价条件知，xy0cov（ x， y） 0D ( X Y ) DX DY +2cov（ x， y）应选（ B ） .4．设离散型随机变量X 和 Y 的联合概率分布为( X ,Y ) (1,1)(1,2)(1,3)(2,1) (2, 2) (2,3)1111P91836若 X ,Y 独立，则,的值为（ A ） 2 ,1.（ A ）99（ C）1,1（ D ）661 ,2.995 ,1.（）1818答案：（ A ）解答： 若 X ,Y 独立则有1 2 3P( X2, Y 2) P(X2)P(Y 2)11 1 119183(1)(1)2 ( 1)6 11 393 9232131 1 1，992918故应选（ A ） .5．设总体X 的数学期望为 , X 1 , X 2 , , X n 为来自 X 的样本，则下列结论中正确的是 （ A ） X 1 是 的无偏估计量 .（ B ） X 1 是 的极大似然估计量 . （ C ） X 1 是的相合（一致）估计量. （ D ） X 1 不是 的估计量 . （）答案：（ A ）解答：EX 1 ，所以 X 1 是 的无偏估计，应选（ A ） .三、（ 7 分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（ 1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（ 2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解： 设 A ‘任取一产品，经检验认为是合格品’B ‘任取一产品确是合格品’则（ 1） P( A)P( B)P(A | B) P( B)P( A | B)0.90.95 0.1 0.02 0.857.（ 2） P( B | A)P( AB) 0.9 0.950.9977 .P( A)0.857四、（ 12 分）从学校乘汽车到火车站的途中有3 个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设 X 为途中遇到红灯的次数，求 X 的分布列、分布函数、数学期望和方差.解： X 的概率分布为P( X k )C 3k( 2) k( 3)3 kk 0,1,2,3.55X0 1 2 3 即P2754368125125125125X 的分布函数为0 , x 0,27 , 0 x 1,125F ( x)81 1 x2,,125117 , 2x 3,1251 ,x 3.EX3 2 6 ,5 5DX 32 3 1 85 5.2 5五、（ 10 分）设二维随机变量(X , Y) 在区域 D {( x, y) | x 0, y0, x y 1} 上服从均匀分布 . 求（ 1） ( X ,Y) 关于 X 的边缘概率密度； （ 2） Z X Y 的分布函数与概率密度 .解： y（1） ( X ,Y ) 的概率密度为12, ( x, y) Df ( x, y)x+y=10, 其它 .DD 1xf X ( x)2 2x, 0 x 1 z1f ( x, y)dy0 ,其它x+y=z（ 2）利用公式 f Z (z) f (x, z x)dx2, 0 x 1,0 z x 1 x 2, 0 x 1, x z1.其中 f (x, z x)其它0, 其它.0,当 z0 或 z 1时 f Z (z) 0zzz=x0 z 1时 f Z ( z) 2z2z0 dx 2x 0故 Z 的概率密度为2z, 0 z1,f Z ( z)0 , 其它.Z 的分布函数为0,z00 ,z0,z zf Z ( y)dy z 1z2 ,0z 1,f Z (z)2ydy, 01 ,z 1.1,z1或利用分布函数法0,z0 ,F Z ( z) P( Z z) P( X Y )z 2 d x d, y 0z1 ,D11,z 1.0,z0,z2,0z 1,1,z 1.f Z ( z)F Z2z,0z1, (z),其它.六、（ 10 分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X 和纵坐标 Y 相互独立，且均服从 N (0, 22 ) 分布.求（1）命中环形区域 D {( x, y) |1x2y22} 的概率；（ 2）命中点到目标中心距离Z X 2Y 2的数学期望 .解： y（ 1）P{ X ,Y)D} f (x, y) dxdyD1x2 y212r 2e dxdy28e 8 rdrdD2481012xr 22r 2211 2r ) e 8 e 8 e 2；e 8 d (181x2y2（ 2）EZ E(X 2Y 2 )x2y 2 1 e8 dxdy812r 21r 2re 8 rdrd e8 r 2dr8040r 2r 22 1 r 2re8e 8dre 8dr 2 .22七、（ 11 分）设某机器生产的零件长度（单位：cm ） X ~ N ( , 2) ，今抽取容量为 16 的样本，测得样本均值x 10 ，样本方差 s 20.16 . （ 1）求 的置信度为 0.95 的置信区间；（ 2）检验假设 H 0 :20.1（显著性水平为 0.05） .（附注） t 0.05 (16) 1.746, t 0.05 (15) 1.753, t 0.025 (15)2.132,2 (16) 26.296,2 (15) 24.996,2 (15) 27.488.0.050.050.025解：（ 1） 的置信度为 1下的置信区间为( X t /2 (n 1) s , X t /2 ( n 1) s)n nX 10, s0.4, n 16, 0.05, t 0.025 (15) 2.132所以的置信度为 0.95 的置信区间为（ 9.7868， 10.2132）（ 2） H 0 :20.1的拒绝域为22(n 1) .215S 2 15 1.6 24 ， 02.05 (15)24.9962 0.102.05 (15) ，所以接受 H 0 .因为24 24.996《概率论与数理统计》期末考试试题（A ）专业、班级：姓名： 学号：一、单项选择题 (每题 3 分 共 18 分 )1．D 2．A 3．B 4． A 5． A 6．B题 号一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二总成绩得 分一、单项选择题 (每题 3 分共 18 分 )（1）若事件 A、B 适合 P( AB) 0, 则以下说法正确的是().(A) A 与 B 互斥 (互不相容 );(B) P(A) 0 或 P( B) 0;(C) A 与 B 同时出现是不可能事件 ;(D) P( A) 0 , 则 P (B A)0.（ 2）设随机变量X其概率分布为X -1012P0.20.30.1 0.4则 P{ X 1.5} （）。