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电磁场与电磁波课程习题解答(第3版)一章习题解答1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下：求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B g ；（4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）⨯A C ； （7）()⨯A B C g 和()⨯A B C g ；（8）()⨯⨯A B C 和()⨯⨯A B C 。
解 （1）23A x y z+-===-e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e ee 64x y z +-=e e e （3）=A B g (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e g －11（4）由 cos AB θ===A B A B g ，得 1cos AB θ-=(135.5=o （5）A 在B 上的分量 B A =A cos AB θ==A B B g （6）⨯=A C 123502xy z-=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于⨯=B C 041502x yz-=-e e e 8520x y z ++e e e所以 ()⨯=A B C g (23)x y z +-e e e g (8520)42x y z ++=-e e e（8）()⨯⨯=A B C 1014502x yz---=-e e e 2405x y z -+e e e1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。
（1）判断123PP P ∆是否为一直角三角形； （2）求三角形的面积。
解 （1）三个顶点1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 的位置矢量分别为则 12214x z =-=-R r r e e ， 233228x y z =-=++R r r e e e ， 由此可见 故123PP P ∆为一直角三角形。
三章习题解答3.1 真空中半径为 a 的一个球面， 球的两极点处罚别设置点电荷q 和 q ，试计算球赤道平面上电通密度的通量(如题 3.1 图所示 )。
q赤道平面aq题图解 由点电荷 q 和 q 共同产生的电通密度为Dq [ R3R3 ]4 RRq { e r re z ( z a)e r r e z ( z a) }4[ r 2 (z a)2 ]3 2[ r 2 ( z a) 2 ] 3 2则球赤道平面上电通密度的通量Dgd SD ge zz 0d SSSq a( a)a3 2 ]2 r d r4[(r 22 3 2(r 22a )a )qaa 1(r 2( 1)qa 2 )1 2 021911 年卢瑟福在实验中使用的是半径为r a 的球体原子模型，其球体内平均散布有总电荷量为Ze 的电子云，在球心有一正电荷 Ze （ Z 是原子序数， e 是质子电荷量） ，经过实验得到球体内的电通量密度表达式为D e Ze 1 r，试证明之。
0 r 4r 2 r a 3解位于球心的正电荷 Ze 球体内产生的电通量密度为D 1e r 4Zer 2原子内电子云的电荷体密度为Ze3Ze4 r 3 3 4 r 3baa4 r 33Ze r 0ca电子云在原子内产生的电通量密度则为D 2 e r e r4 r 24 r a 3题 3. 3 图 (a)Ze 1 r故原子内总的电通量密度为DD 1 D 2 e r 4 r 2 r 3a3.3 电荷平均散布于两圆柱面间的地区中，体密度为0 C m 3, 两圆柱面半径分别为 a 和b ，轴线相距为c (cb a) ，如题 图 (a) 所示。
求空间各部分的电场。
解 因为两圆柱面间的电荷不是轴对称散布，不可以直接用高斯定律求解。
小圆柱面内看作同时拥有体密度分别为 0 的两种电荷散布， 这样在半径为有体密度为 0 的平均电荷散布，而在半径为a 的整个圆柱体内则拥有体密度为但可把半径为 a 的b 的整个圆柱体内具0 的平均电荷散布，如题 3.3 图 (b) 所示。
电磁场与电磁波(第4版)--全程导学及习题全解
电磁场与电磁波(第4版)--全程导学及习题全解
概括本书
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国优秀教育出版社出版。
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介质和介质损耗、电磁场交换及其在线性系统和空间结构中的应用、电磁波传播过程、偏全息表表面波及其交换以及应用、数码电磁场模拟等内容，为学习者在研究使用电磁场与电磁波方面设计了全面的教学素材。
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第7章 导行电磁波前面我们讨论了电磁波在无界空间的传播以及电磁波对平面分界面的反射与透射现象。
在这一章中我们将讨论电磁波在有界空间的传播，即导波系统中的电磁波。
所谓导波系统是指引导电磁波沿一定方向传播的装置，被引导的电磁波称为导行波。
常见的导波系统有规则金属波导（如矩形波导、圆波导）、传输线（如平行双线、同轴线）和表面波波导（如微带线），图7.0.1给出了一些常见的导波系统。
导波系统中电磁波的传输问题属于电磁场边值问题，即在给定边界条件下解电磁波动方程，这时我们可以得到导波系统中的电磁场分布和电磁波的传播特性。
在这一章中，将用该方法讨论矩形波导、圆波导和同轴线中的电磁波传播问题以及谐振腔中的场分布及相关参数。
然而，当边界比较复杂时，用这种方法得到解析解就很困难，这时如果是双导体（或多导体）导波系统且传播的电磁波频率不太高，就可以引入分布参数，用“电路”中的电压和电流等效前面波导中的电场和磁场，这种方法称为“等效传输线”法。
这一章我们还将用该方法讨论平行双线和同轴线中波的传播特性。
7.1导行电磁波概论任意截面的均匀导波系统如图7.1.1所示。
为讨论简单又不失一般性，可作如下假设： （1）波导的横截面沿z 方向是均匀的，即导波内的电场和磁场分布只与坐标x ,y 有关，与坐标z 无关。
（2）构成波导壁的导体是理想导体，即σ=∞。
（3）波导内填充的媒质为理想介质，即0σ=，且各向同性。
（4）所讨论的区域内没有源分布，即0ρ=0=J 。
a 矩形波导b 圆柱形波导c 同轴线传输线d 双线传输线e 微带线图7.0.1 常见的几种导波系统（5）波导内的电磁场是时谐场，角频率为ω。
设波导中电磁波沿+z 方向传播，对于角频率为ω的时谐场，由假设条件（1）和（2）可将其电磁场量表示为()()()(),,,,,,,z z x y z x y e x y z x y e γγ--==E E H H (7.1.1)式中γ称为传播常数，表征导波系统中电磁场的传播特性。
电磁场与电磁波习题讲解静电场的基本内容2.7 半径分别为a和b（a>b），球心距离为c（c<a-b）的两球面间均匀分布有体密度为ρV的电荷，如图所示。
求空间各区域的电通量密度。
解：由于两球面间的电荷不是球对称分布，不能直接用高斯定律求解。
但可把半径为b的小球面内看作同时具有体密度分别为±ρV的两种电荷分布，这样在半径为a的大球体内具有体密度为ρV的均匀电荷分布，而在半径为b的小球体内则具有体密度为－ρV的均匀电荷分布。
空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。
以球体a的球心为原点建立球坐标系，设场点为P(r)，场点到球体b球心的距离矢量为r’。
分三种情形讨论。
如果场点位于大球体外的区域，则大小球体产生的电场强度分别为如果场点位于大球体内的实心区域，则大小球体产生的电场强度分别为如果场点位于小球体内的空腔区域，则大小球体产生的电场强度分别为恒定电场的基本内容2.17一个有两层介质(ε1, ε2)的平行板电容器，两种介质的电导率分别为σ1和σ2，电容器极板的面积为S，如图所示。
在外加电压为U时，求：(1)电容器的电场强度；(2)两种介质分界面上表面的自由电荷密度；(3)电容器的漏电导；(4)当满足参数σ1ε2=σ2ε1时，问G/C=?（C为电容器电容）。
恒定磁场的基本内容4.4如果在半径为a，电流为I的无限长圆柱导体内有一个不同轴的半径为b的圆柱空腔，两轴线间距离为c，且c+b<a。
求空腔内的磁通密度。
解：将空腔中视为同时存在J和-J的两种电流密度，这样可将原来的电流分布分解为两个均匀的电流分布：一个电流密度为J、均匀分布在半径为a 的圆柱内，另一个电流密度为-J、均匀分布在半径为b的圆柱内。
由安培环路定律，分别求出两个均匀分布电流的磁场，然后进行叠加即可得到圆柱内外的磁场。
首先，面电流密度为其次，设场点为P(r)，场点到圆柱a轴心的距离矢量为ρ，到圆柱b轴心的距离矢量为ρ’。
2011电磁场与电磁波
习题集
电磁场与电磁波
补充习题
1 若z y x a a a A -+=23，z
y x a a a B 32+-=,求：
1 B A +；
2 B A •；
3 B A ⨯；
4 A 和B 所构成平面的单位法线；
5 A 和B 之
间较小的夹角；6 B 在A 上的标投影和矢投影
2 证明矢量场z y x a xy a xz a yz E ++=是无散的，也是无旋的。
3 若z y x f 23=，求f ∇，求在)5,3,2(P 的f 2∇。
5 假设0<x 的区域为空气，0>x 的区域为电介质，介电常数为03ε，如果空气
中的电场强度z y x a a a E 5431++=（V/m ），求电介质中的电场强度。
7 同轴电缆内半径为a ，电压为0V ，外导体半径b 且接地，求导体间的电位分布，内导体的表面电荷密度，单位长度的电容。
10 在一个无源电介质中的电场强度x a z t C E )cos(βω-=V/m ，其中C 为场的幅度，ω为角频率，β为常数。
在什么条件下此场能够存在？其它的场量是什么？
11 已知无源电介质中的电场强度x a kz t E E )cos(-=ωV/m ，此处E 为峰值，k 为常数，求此区域内的磁场强度，功率流的方向，平均功率密度。
12 自由空间的电场表示式为x a z t E )cos(10βω+=V/m ，若时间周期为100ns ，
求常数k ，磁场强度，功率流方向，平均功率密度，电场中的能量密度，磁场中的能量密度。
13 已知无源区的电场强度为y a kz t x C E )cos(sin -=ωαV/m ，用相量求磁场强度，场存在的必要条件，每单位面积的时间平均功率流。
14 若自由空间中均匀平面波的磁场强度为x a z t H )30000cos(100β+= A/m ，求相位常数，波长，传播速度，电场强度，单位面积时间平均功率流。
16 决定下面波的极化类型
m
a y t a y t E m a e e a e e E m
a e a e E z x y z j j x z j j z x j y x j /V )5.0sin(4)5.0cos(3/V 916/V 10010010041004300300 ---=-=+=-----ππ
17 电场强度为y x a z t a z t )sin(5)cos(12βωβω--- V/m 的均匀平面波以200M
rad/s 在无耗媒质中（1,5.2==r r με）传播，求相应的磁场强度，相位常数，波长，本征阻抗，相速，波的极化。
2
8 已知真空中半径为a 的圆环上均匀分布的线电荷密度为l ρ，求通过圆心的轴线上任一点的电位与电场强度。
9 已知空间电场强度z
y x a a a E 543-+=，求（0，0，0）与（1，1，2）两点间的电位差。
11 已经电流环半径为a ，电流为I ，电流环位于z=0平面，求),0,0(h P 处的磁通密度。
12 若在a y -=处放置一根无限长线电流I ，电流的流动方向为z 轴正方向；在a y =处放置另一根无限长线电流I ，该电流的流动方向为x 轴正方向，求坐标原点处的磁通密度。
13 已知边长为a 的等边三角形回路电流为I ，周围介质为真空，求回路中心点的磁通密度。
14若无限长的半径为a 的圆柱体中电流密度分布函数为：)4(2r r e J x
+= ，a r ≤，求圆柱体内外的磁通密度。
15 若无限长直导线与半径为a 的圆环导线平行放置，计算直导线与圆环之间的互感。
16 设真空中的磁通密度为y a kz t B )106sin(1083-⨯=-π，试求空间位移电流密度的瞬时值。
19 证明：一个线极化平面波可以分解为两个旋转方向相反的圆极化波。
21 设真空中圆极化平面电磁波的电场强度为：x j z
y e a j a x E π2)(100)(-+= V/m
求该平面波的频率、波长、极化旋转方向、磁场强度及能流密度。
3 已知标量场1),,(22++=Φz y y x z y x ，求（2，1，3）处方向导数的最大值。
4 求空间任一点（x ，y ，z ）的位置矢量r 的散度。
6 计算点电荷的电场强度。
7 计算电偶极子的电场强度。
8 设半径为a ，电荷体密度为ρ的无限长圆柱带电体位于真空，计算该带电体内外的电场强度。
10 计算无限长的电流为I 的线电流产生的磁通密度。
11 计算半径为a ，电流为I 的小电流圆环在其中心产生的磁通密度。
12 计算无限长直导线与矩形线圈之间的互感。
设线圈与导线平行，周围介质为真空。
13 计算载有直流电流的同轴线单位长度内的电感。
设同轴线内导体的半径为a ；外导体的内半径为b ，外半径为c 。
16 已知均匀平面波在真空中沿+z 方向传播，其电场强度的瞬时值为：
x a z t t z E )2106sin(20),(8ππ-⨯= V/m,求：1 频率及波长 2 电场强度及磁场强度的相量表示 3 复能流密度矢量 4 相速度
1.
2. 两个相互垂直的线极化波叠加，说明在什么条件下将分别形成：1 新的线
极化波 2园极化波 3 椭圆极化波
3.
4. 写出麦克斯韦方程组的微分形式，说明每个方程物理意义，并说明位移电
流和传导电流的区别。
5.
6. 写出时变场的边界条件。
1.
2. 频率为300MHz 的均匀平面波在各向同性的均匀理想介质中沿＋Z 方向传
播，介质的特性参数为4=r ε，1=r μ，0=σ。
设电场沿X 方向，即
x x E e E =。
已知，当t ＝0，81=z m 时，电场等于其振幅值10－3V/m 。
试求：（1）波的传播速度、波数和波长。
（2）电场和磁场的瞬时表达式。
3.
4. 电场强度为y x e z t e z t )sin(5)cos(12βωβω--- V/m 的均匀平面波以100M
rad/s 在无耗媒质中（1,5.2==r r με）传播，求相应的磁场强度，相位常数，波长，本征阻抗，相速，波的极化。
5.
6. 已知无界理想介质(ε=9ε0, μ=μ0，σ=0)中正弦均匀平面电磁波的频率
f=108Hz ， 电场强度为y j jkz x jkz e e e e E 3--34π++=V/m 。
试求：
(1) 均匀平面电磁波的相速度v p 、波长λ、波数k 和波阻抗η；
(2) 电场强度和磁场强度的瞬时值表达式；
(3) 与电磁波传播方向垂直的单位面积上通过的平均功率。
7.
8. y 方向线性极化的均匀平面电磁波在ε=9ε0的理想介质中沿x 方向传播，在
x=0处垂直入射到ε=2ε0的理想介质表面。
若入射波的角频率ω=200rad/s ，在介质分界面处电场强度的最大值为0.3V/m 。
求：
（1）反射系数和透射系数；
（2）两种介质中电场、磁场的瞬时表达式；
（3）两种介质中坡印亭矢量的平均值。
9.
10. 均匀平面波从理想介质（μr =1，εr =10）垂直入射到理想导体表面上，测得
理想介质中电场强度最大值为500V/m ，第一个最大电场强度值与理想导体表面的距离为2m ，求：
（1）该平面波的频率和相位常数；
（2）试写出介质中电场和磁场的瞬时表达式。
11.
12. 一圆极化平面电磁波的电场0j e (j )V/m z m x y E β-=+E e e 从空气垂直入射到
1r μ=，4r ε=的理想介质表面上。
(1) 求反射波和透射波的电场；
(2) 它们分别属于什么极化波？
以下是书本习题：
1 设标量3
2yz xy +=Φ，矢量z y x a a a A -+=22，求标量函数Φ在点)1,1,2(-处沿矢量A 的方向上的方向导数。
2 已知标量函数。
求该标量函数在点P （1,2,3）处的最大变化率及其方向。
3 若标量函数为。
求在点P （1，-2,1）处的梯度。
4 证明：，，，其中是位置矢量。
5 已知在圆柱坐标系中某点的位置为，求该点在相应的直角坐标系及圆坐标中的位置。
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