数学必修1 1.2.1《函数的概念》同步讲练

函数的概念1. 求下列函数的定义域：(1) y = —；(2)x + 2|-l2. 求下列函数的定义域与值域：(1))=士工；5-4x7.集合M ={x\-2<x<2}, N = {y\0<y<2],给出下列四个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是().9.已知函数/(X )的定义域为[-1,2),则/(x-1)的定义域为().A. [-1,2)B ・[0,-2)D. [-2,1)10. 已知 f(x) = x 2+x+1,则 /(V2)= _________ ； f : /(2) ] = ________ .11. B^n f(2x +1) = x 2 -2x ,则/(3)= _________ .12. (1)求函数y =竺二丄的定义域； (2)求函数的定义域与值域.Jx_3(2) y =—对 + 兀 + 2.3. 已知函数/(—) = x.求：(1) /(2)的值；(2) /(兀)的表达式1 + XX 24. 己知函数 /(x) = ------ R •1+F(1)求 f(x) + /(-)的值；(2)计算：/(1)+ /(2) + /(3) + /(4)+ /(]) +/(]) + /(】).x 2 345. 下列各组函数中，表示同一函数的是( ). B. y = Jx- lH\/x +1, y = Jx 2-1)W y =(長 y).c.(-00,-1)n(-|,i] D .(-oo-l)U(-l i]A. C. 6. yi, y = _ y = x, y = \[x^ 函数厂 E 的定义域为( 2x — 3x — 2A.B. (-00D ・/ //、、j/OJ\ ------- JAC. [0-3)不是函数图象的是( C ・ D.8.下列四个图象中, XA.)■XXx — 1 1 -3x13.已知f(x) = ax2 +bx+c , /(0) = 0，且/(x + l) = /(x) + x+l,试求f(x)的表达式.14. 已知函数 /(x), g(x)同时满足：g(x-y) = g(x)g(y) + /(x)/(刃；/(-1) = -1, /(0) = 0 , /(I) = 1, 求g(O),g ⑴,g (2)的值.函数的概念一、选择题1、已知函数/（兀+ 1）的定义域为[—2,3],则/（兀―2）的定义域为（）D. (YO , _1)U(-1’ + °°)6、下列函数/（兀）与g （jt ）表示同一函数的是（ ）C. [1,6]2、 函数/（x ）=——-—的最大值是（）、7 l-x （l-x ） 4 5 3 A. —B ・一C.—5443、 函数y = /一Z ）的值域为（ D.A. [0,12]B. —£,124、 函数y = yJl-X + y[x 的定义域为(A. {x x < 1}B. {x x > 0]5、 函数y = ^-的值域为()x-1 A. (―oo,l)U(b + °°)C. {0,2,6,12}D. {2,6,12})C. [x x> O]D. {x|O<x< 1}B ・(一1,1)A. /(x) = x 2-^g(x) = [VxjY 2B. /(x) = x^(x) = —C./(x) = yjx-l^jg (x) = yjx27、函数f(x) = -^—的定义域是(x-3D. f(x) = x2与g(x) = M^ )A. (-g,3)B. (3, + oo)C. (-00,3)0(3^ + °°)D. (-g,3)U(3, + °°)8、函数f .RiR,满足/(0)=L 且对任意x,yeR,均有/(马+1)= /(x)n/(y)-/(y)-x+2则有/(x) =( )A. x + 1B. x — 1C. x + 2D. x~2函数满足/询=1,且对任意x,yeR,均有 f(xy +1) = f(x) • f(y) - f(y) - x + 2 则有/W=(二、填空题13、 若函数 f(x)满足 f(x+l)= £_2X ,则 f(V2)= _________________ -14、 若f{x) = ax 2-y[2,a 为一个正的常数，且/[/(V2)] = -V2，贝也的值为 _______________v 4- 1片2 + ] 115、 已知/(—) = ^^ + —,则/⑴= _____________________ 。

3.1 函数的概念与性质3.1.1 函数及其表示方法第1课时函数的概念最新课程标准：在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念,体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。

了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域．知识点一函数的概念1．函数的概念一般地,给定两个非空实数集A与B,以及对应关系f,如果对于集合A中的每一个实数x,按照对应关系f,在集合B(集合B一般默认为实数集R,因此常常略去不写．)中都有唯一确定的实数y＝f(x)与x对应,则称f为定义在集合A上的一个函数,记作y＝f(x),x∈A.2．函数的定义域和值域函数y＝f(x)中x称为自变量,y称为因变量,自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域,所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f(x),x∈A}称为函数的值域．状元随笔对函数概念的3点说明(1)当A , B为非空实数集时,符号“ f ：A→B ”表示A到B的一个函数．(2)集合A中的数具有任意性,集合B中的数具有唯一性．(3)符号“f ”表示对应关系,在不同的函数中f的具体含义不一样．知识点二同一函数一般地,如果两个函数的定义域相同,对应关系也相同(即对自变量的每一个值,两个函数对应的函数值都相等),则称这两个函数就是同一个函数．[基础自测]1．下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是( )A．A＝{－1,0,1},B＝{0,1},f：A中的数平方B．A＝{0,1},B＝{－1,0,1},f：A中的数开方C．A＝Z,B＝Q,f：A中的数取倒数D．A＝{平行四边形},B＝R,f：求A中平行四边形的面积解析：对B,集合A中的元素1对应集合B中的元素±1,不符合函数的定义；对C,集合A中的元素0取倒数没有意义,在集合B中没有元素与之对应,不符合函数的定义；对D,A集合不是数集,故不符合函数的定义．综上,选A.答案：A 2．函数f(x)＝x －1x －2的定义域为( ) A ．(1,＋∞) B ．[1,＋∞) C ．[1,2) D ．[1,2)∪(2,＋∞) 解析：使函数f(x)＝x －1x －2有意义, 则⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，即x≥1,且x≠2.所以函数的定义域为{x|x≥1且x≠2}．故选D. 答案：D3．下列各组函数表示同一函数的是( ) A ．y ＝x 2－9x －3与y ＝x ＋3B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1C ．y ＝x 0(x≠0)与y ＝1(x≠0) D ．y ＝x ＋1,x∈Z 与y ＝x －1,x∈Z解析：A 中两函数定义域不同；B 中两函数值域不同；D 中两函数对应法则不同． 答案：C4．若函数f(x)＝x ＋6x －1,求f(4)＝________. 解析：f(4)＝4＋64－1＝2＋2＝4. 答案：4题型一 函数的定义[经典例题]例1 根据函数的定义判断下列对应关系是否为从集合A 到集合B 的函数： (1)A ＝{1,2,3},B ＝{7,8,9},f(1)＝f(2)＝7,f(3)＝8； (2)A ＝{1,2,3},B ＝{4,5,6},对应关系如图所示；(3)A＝R,B＝{y|y>0},f：x→y＝|x|；(4)A＝Z,B＝{－1,1},n为奇数时,f(n)＝－1,n为偶数时,f(n)＝1.【解析】对于集合A中的任意一个值,在集合B中都有唯一的值与之对应,因此(1)(4)中对应关系f 是从集合A到集合B的一个函数．(2)集合A中的元素3在集合B中没有对应元素,且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应,故所给对应关系不是集合A到集合B的函数．(3)A中的元素0在B中没有对应元素,故所给对应关系不是集合A到集合B的函数.1.从本题(1)可以看出函数f(x)的定义域是非空数集A,但值域不一定是非空数集B,也可以是集合B的子集．2．判断从集合A到集合B的对应是否为函数,一定要以函数的概念为准则,另外也要看A中的元素是否有意义,同时,一定要注意对特殊值的分析．方法归纳(1)判断一个集合A到集合B的对应关系是不是函数关系的方法：①A,B必须都是非空数集；②A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应．[注意] A中元素无剩余,B中元素允许有剩余．(2)函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x,y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”,而不能是“一对多”．跟踪训练1 (1)设M＝{x|0≤x≤2},N＝{y|0≤y≤2},给出下列四个图形,其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有( )A．0个B．1个C．2个 D．3个(2)下列对应是否是函数？D ．f(x)＝x 0与g(x)＝1x【解析】 函数的三要素相同的函数为相同函数,对于选项A,f(x)＝|x －1|与g(x)对应关系不同,故排除选项A,选项B 、C 中两函数的定义域不同,排除选项B 、C,故选D.【答案】 D 方法归纳判断同一函数的三个步骤和两个注意点(1)判断同一函数的三个步骤(2)两个注意点：①在化简解析式时,必须是等价变形； ②与用哪个字母表示无关．跟踪训练3 试判断下列函数是否为同一函数． (1)f(x)＝x 2－xx ,g(x)＝x －1；(2)f(x)＝x x ,g(x)＝x x； (3)f(x)＝x 2,g(x)＝(x ＋1)2； (4)f(x)＝|x|,g(x)＝x 2. 解析：序号 是否相同 原因(1) 不同 定义域不同,f(x)的定义域为{x|x≠0},g(x)的定义域为R(2) 不同 对应关系不同,f(x)＝1x,g(x)＝x(3) 不同 定义域相同,对应关系不同 (4)相同定义域和对应关系相同判断两个函数是否为同一函数,要看三要素是否对应相同．函数的值域可由定义域及对应关系来确定,因而只要判断定义域和对应关系是否对应相同即可．跟踪训练4 求下列函数的值域： (1)y ＝2x ＋1,x∈{1,2,3,4,5}； (2)y ＝x ＋1； (3)y ＝1－x 21＋x2；(4)y ＝－x 2－2x ＋3(－5≤x≤－2)．解析：(1)将x ＝1,2,3,4,5分别代入y ＝2x ＋1,计算得函数的值域为{3,5,7,9,11}． (2)因为x ≥0,所以x ＋1≥1, 即所求函数的值域为[1,＋∞)． (3)因为y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x 2,所以函数的定义域为R, 因为x 2＋1≥1,所以0<21＋x2≤2.所以y∈(－1,1]．所以所求函数的值域为(－1,1]． (4)y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4. 因为－5≤x≤－2, 所以－4≤x＋1≤－1. 所以1≤(x＋1)2≤16. 所以－12≤4－(x ＋1)2≤3. 所以所求函数的值域为[－12,3]． (3)先分离再求值域 (4)配方法求值域课时作业 15一、选择题1．下列各个图形中,不可能是函数y ＝f(x)的图像的是( )解析：对于1个x 有无数个y 与其对应,故不是y 的函数． 答案：A2．函数f(x)＝x ＋3＋(2x ＋3)3－2x 的定义域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，32 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，－32 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，3－2x>0，2x ＋3≠0，解得－3≤x<32且x≠－32,故选B.答案：B3．已知函数f(x)＝－1,则f(2)的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．不确定解析：因为函数f(x)＝－1,所以不论x 取何值其函数值都等于－1,故f(2)＝－1.故选B. 答案：B4．下列各组函数表示相等函数的是( ) A ．f(x)＝x －2,g(x)＝x 2－4x ＋2B ．f(x)＝|x|x,g(x)＝1C ．f(x)＝x 2－2x －1,g(t)＝t 2－2t －1 D ．f(x)＝12,g(x)＝(x －1)2解析：选项A 中f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|x≠－2},故定义域不同,因此不是相等函数；选项B 中f(x)的定义域为{x|x≠0},g(x)的定义域为R,故定义域不同,因此不是相等函数；选项D 中f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|x≠1},定义域不同,因此不是相等函数；而C 只是表示变量的字母不一样,表示的函数是相等的．答案：C 二、填空题 5．已知函数f(x)＝6x 2－1,求f(2)＝________. 解析：f(2)＝64－1＝2.答案：26．函数f(x)的图像如图所示,则f(x)的定义域为________,值域为________．解析：由f(x)的图像可知 －5≤x≤5,－2≤y≤3. 答案：[－5,5] [－2,3]7．若A ＝{x|y ＝x ＋1},B ＝{y|y ＝x 2＋1},则A∩B＝________. 解析：由A ＝{x|y ＝x ＋1},B ＝{y|y ＝x 2＋1}, 得A ＝[－1,＋∞),B ＝[1,＋∞), ∴A∩B＝[1,＋∞)． 答案：[1,＋∞) 三、解答题8．(1)求下列函数的定义域： ①y＝4－x ； ②y＝1|x|－x ；③y＝5－x ＋x －1－1x 2－9； (2)将长为a 的铁丝折成矩形,求矩形面积y 关于一边长x 的解析式,并写出此函数的定义域． 解析：(1)①4－x≥0,即x≤4,故函数的定义域为{x|x≤4}． ②分母|x|－x≠0, 即|x|≠x ,所以x<0. 故函数的定义域为{x|x<0}． ③解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5－x≥0，x －1≥0，x 2－9≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧x≤5，x≥1，x≠±3.故函数的定义域是{x|1≤x≤5,且x≠3}．[尖子生题库]10．(1)已知函数f(x)的定义域为[－1,5],求函数f(x－5)的定义域；(2)已知函数f(x－1)的定义域是[0,3],求函数f(x)的定义域．解析：(1)由－1≤x－5≤5,得4≤x≤10,所以函数f(x－5)的定义域是[4,10]．(2)由0≤x≤3,得－1≤x－1≤2,所以函数f(x)的定义域是[－1,2]．。

描述：高中数学必修1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案第二章 函数 2.1 函数一、学习任务1. 通过同一过程中的变量关系理解函数的概念；了解构成函数的要素（定义域、值域、对应法则），会求一些简单函数的定义域和值域；初步掌握换元法的简单应用．2. 了解映射的概念，能判断一些简单的对应是不是映射．3. 理解函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会选择恰当的方法表示简单情境中的函数．了解简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值，会画函数的图象．4. 理解函数的单调性及其几何意义，会判断一些简单函数的单调性；理解函数最大（小）值的概念及其几何意义；了解函数奇偶性的含义．二、知识清单函数的相关概念函数的表示方法 映射函数的定义域的概念与求法函数的值域的概念与求法 函数的解析式的概念与求法分段函数复合函数 函数的单调性函数的最大（小）值 函数的奇偶性三、知识讲解1.函数的相关概念函数的概念设 ， 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数(function)．记作：其中， 叫做自变量，自变量取值的范围（数集 ）叫做这个函数的定义域． 叫做因变量，与 的值相对应的 值叫做函数在 处的函数值，所有函数值构成的集合叫做这个函数的值域．相同函数的概念A B f Ax B f (x )f :A →B A By =f (x ),x ∈A .x A y x y x {y | y =f (x ),x ∈A }N集合 的函数关系的有（ ）012．数轴表示为（2）{x | 2⩽x⩽8 且8]（3）函数 的图象是由 t 的映射的是（ ）N（2）函数图象如图所示：y的距离 与点y=f(x)如图为函数 的图象，试写出函数解： [1,2]2（5）（图象法）画出。

第一章1.21.2.1函数的概念基础巩固一、选择题1．下列四种说法中，不正确的是( )A ．在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D ．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素 [答案] B2．f (x )＝1＋x ＋x1－x 的定义域是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，－1]C ．RD ．[－1,1)∪(1，＋∞)[答案] D[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥01－x ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠1，故定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)，选D.3．各个图形中，不可能是函数y ＝f (x )的图象的是( )[答案] A[解析] 因为垂直x 轴的直线与函数y ＝f (x )的图象至多有一个交点，故选A. 4．(2015·曲阜二中月考试题)集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数是( )A ．f x →y ＝12xB ．f x →y ＝13xC ．f x →y ＝23xD ．f x →y ＝x[答案] C[解析] 对于选项C ，当x ＝4时，y ＝83＞2不合题意．故选C.5．下列各组函数相同的是( )A ．f (x )＝x 2－1x －1与g (x )＝x ＋1B ．f (x )＝－2x 3与g (x )＝x ·－2xC ．f (x )＝2x ＋1与g (x )＝2x 2＋xxD ．f (x )＝|x 2－1|与g (t )＝t 2－12[答案] D[解析] 对于A.f (x )的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)，g (x )的定义域是R ，定义域不同，故不是相同函数；对于B.f (x )＝|x |·－2x ，g (x )＝x ·－2x 的对应法则不同；对于C ，f (x )的定义域为R 与g (x )的定义域是{x |x ≠0}，定义域不同，故不是相同函数；对于D.f (x )＝|x 2－1|，g (t )＝|t 2－1|，定义域与对应关系都相同，故是相同函数，故选D.6．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 的交点个数有( ) A ．必有一个 B ．一个或两个 C ．至多一个 D ．可能两个以上[答案] C[解析] 当a 在f (x )定义域内时，有一个交点，否则无交点． 二、填空题 7．已知函数f (x )＝11＋x，又知f (t )＝6，则t ＝________. [答案] －56[解析] f (t )＝1t ＋1＝6.∴t ＝－568．用区间表示下列数集： (1){x |x ≥1}＝________； (2){x |2＜x ≤4}＝________； (3){x |x ＞－1且x ≠2}＝________.[答案] (1)[1，＋∞) (2)(2,4] (3)(－1,2)∪(2，＋∞) 三、解答题9．求下列函数的定义域，并用区间表示：(1)y ＝x ＋12x ＋1－1－x ；(2)y ＝5－x|x |－3.[分析] 列出满足条件的不等式组⇒解不等式组⇒求得定义域[解析] (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠01－x ≥0，解得x ≤1且x ≠－1，即函数定义域为{x |x ≤1且x ≠－1}＝(－∞，－1)∪(－1,1]．(2)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0|x |－3≠0，解得x ≤5，且x ≠±3，即函数定义域为{x |x ≤5，且x ≠±3}＝(－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,5]． [规律总结] 定义域的求法：(1)如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R ；(2)如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合；(3)如果f (x )为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；(4)如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合．(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况． 函数定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视． 10．已知函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2. (1)求函数的定义域； (2)求f (－3)，f (23)的值；(3)当a ＞0时，求f (a )，f (a －1)的值．[解析] (1)使根式x ＋3有意义的实数x 的集合是{x |x ≥－3}，使分式1x ＋2有意义的实数x 的集合是{x |x ≠－2}，所以这个函数的定义域是{x |x ≥－3}∩{x |x ≠－2}＝{x |x ≥－3，且x ≠－2}． (2)f (－3)＝－3＋3＋1－3＋2＝－1； f (23)＝23＋3＋123＋2＝113＋38＝38＋333. (3)因为a ＞0，故f (a )，f (a －1)有意义．f (a )＝a ＋3＋1a ＋2；f (a －1)＝a －1＋3＋1a －1＋2＝a ＋2＋1a ＋1.能力提升一、选择题1．给出下列从A 到B 的对应：①A ＝N ，B ＝{0,1}，对应关系是：A 中的元素除以2所得的余数 ②A ＝{0,1,2}，B ＝{4,1,0}，对应关系是f ：x →y ＝x 2③A ＝{0,1,2}，B ＝{0,1，12}，对应关系是f ：x →y ＝1x其中表示从集合A 到集合B 的函数有( )个．( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0 [答案] B[解析] 由于③中，0这个元素在B 中无对应元素，故不是函数，因此选B. 2．(2012·高考某某卷)下列函数中，不满足：f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x[答案] C[解析] f (x )＝kx 与f (x )＝k |x |均满足：f (2x )＝2f (x )得：A ，B ，D 满足条件． 3．(2014～2015惠安中学月考试题)A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤2}，下列图形中能表示以A 为定义域，B 为值域的函数的是( )[答案] B[解析] A 、C 、D 的值域都不是[1,2]，故选B. 4．(2015·某某高一检测)函数f (x )＝11－2x 的定义域为M ，g (x )＝x ＋1的定义域为N ，则M ∩N ＝( )A ．[－1，＋∞)B ．[－1，12)C ．(－1，12)D ．(－∞，12)[答案] B 二、填空题5．若函数f (x )的定义域为[2a －1，a ＋1]，值域为[a ＋3,4a ]，则a 的取值X 围是________．[答案] (1,2)[解析] 由区间的定义知⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＜a ＋1，a ＋3＜4a ⇒1＜a ＜2.6．函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么f (x )的定义域是________；其中只与x 的一个值对应的y 值的X 围是________．[答案] [－3,0]∪[2,3] [1,2)∪(4,5] [解析] 观察函数图象可知f (x )的定义域是[－3,0]∪[2,3]；只与x 的一个值对应的y 值的X 围是[1,2)∪(4,5]． 三、解答题7．求下列函数的定义域： (1)y ＝31－1－x；(2)y ＝x ＋10|x |－x；(3)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x.[解析] (1)要使函数有意义，需⎩⎨⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≠0⇔x ≤1且x ≠0，所以函数y ＝31－1－x的定义域为(－∞，0)∪(0,1]．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x |－x ≠0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，|x |≠x ，∴x ＜0且x ≠－1，∴原函数的定义域为{x |x ＜0且x ≠－1}． (3)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，2－x ＞0，x ≠0.解得－32≤x ＜2且x ≠0，所以函数y ＝2x ＋3－12－x ＋1x 的定义域为[－32，0)∪(0,2)．[点评] 求给出解析式的函数的定义域的步骤为：(1)列出使函数有意义的x 所适合的式子(往往是一个不等式组)；(2)解这个不等式组；(3)把不等式组的解表示成集合(或者区间)作为函数的定义域．8．已知函数f (x )＝1＋x 21－x 2，(1)求f (x )的定义域． (2)若f (a )＝2，求a 的值．(3)求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )． [解析] (1)要使函数f (x )＝1＋x 21－x 2有意义，只需1－x 2≠0，解得x ≠±1，所以函数的定义域为{x |x ≠±1}． (2)因为f (x )＝1＋x21－x2，且f (a )＝2，所以f (a )＝1＋a 21－a 2＝2，即a 2＝13，解得a ＝±33. (3)由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝x 2＋1x 2－1，－f (x )＝－1＋x 21－x 2＝x 2＋1x 2－1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )．。

课题：§1.2.1函数的概念教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；教学过程：一、引入课题1.复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；2.阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题备用实例：3.4.根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．二、新课教学（一）函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．注意：○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论（由学生完成，师生共同分析讲评）（二）典型例题1．求函数定义域课本P 20例1解：（略）说明：○1 函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例； ○2 如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 巩固练习：课本P 22第1题2．判断两个函数是否为同一函数课本P 21例2解：（略）说明：○1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）○2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作1．给出下列四种说法：①函数就是从定义域到值域的对应关系；②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只有一个元素；③因为f (x )＝5这个数值不随x 的变化而变化，所以f (0)＝5也成立；(4)f (x )表示的意义是与自变量x 对应的函数值，而不是f 与x 的乘积，其中正确的个数是________．2．给出下列对应：①A ＝R ，B ＝{x |x ＞0}，f ：x →|x |；②A ＝B ＝N ，f ：x →|x －3|；③A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →x 的平方根；④A ＝B ＝Z ，f ：x →x 2；⑤A ＝{三角形}，B ＝{x |x ＞0}，f ：“对A 中的三角形求面积与B 中元素对应”，其中能够表示从A 到B 的函数的序号是__________．3．已知函数f (x )的定义域A ＝{x |0≤x ≤2}，值域B ＝{y |1≤y ≤2}，在下面的图形中，能表示f (x )的图象的只可能是________(填序号)．4．下列各组函数中，表示同一函数的是________．①f (x )＝x ，2()()g x x =；②f (x )＝x ，2()()g x x =；③f (x )＝3x ＋1，g (t )＝3t ＋1；④f (x )＝|x |，2()()g x x =；⑤f (x )＝x ＋3，29()3x g x x -=-. 5．根据函数f (x )＝x 2的图象可知，当f (m )＞f (2)时，实数m 的取值范围为________．6．已知函数()11f x x x =++-，则f (x )的定义域为________，f (x )的值域为____________．7．画出下列函数的图象：(1)y ＝x 2－2，x ∈Z ，且|x |≤2；(2)y ＝x －1，x ∈[－1,4]；(3)y ＝－2x 2＋3x ，x ∈(0,2]．8．(1)求函数311y x=--的定义域； (2)已知函数(1)f x +的定义域为[0,3]，求f (x ＋2)的定义域．9.已知函数()x f x ax b=+ (a ，b 为常数，且a ≠0)，满足f (2)＝1，方程f (x )＝x 有惟一解． 求(1)a ，b 的值；(2)f (f (－3))的值；(3)f (x )的定义域和值域．参考答案1．4 解析：∵函数是从定义域到值域的对应，∴当定义域中只有一个元素时，值域也只能有一个元素，所以①②正确．∵f (x )＝5是常数函数，解析式与x 无关，∴对任意x ∈R ，都有f (x )＝5，∴③正确；由f (x )的符号意义知，④正确．2．②④ 解析：①0∈A ，|0|＝B ，∴f ：x →|x |不表示从A 到B 的函数；③当输入值为4∈A ，则有两个值±2输出(对应)，∴f ：x →x 的平方根不是从A 到B 的函数；⑤A 中的元素不是数集，所以该对应不是从A 到B 的函数．3．④ 解析：图①中，当1[0,)2x ∈时，y ∈[0,1)，B 中无元素相对应，同理②图中，当x ∈(1.5,2]时，y ∈[0,1)B 也无对应元素，故不是f (x )的图象．图③中对一个x 值如x ＝1，y 有两个值与之对应，所以不是f (x )的图象．只有图④符合．4．③④ 解析：①中，f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为[0，＋∞)，定义域不同不是同一函数；②中，2()g x x =＝|x |与f (x )的对应法则不同，不是同一函数．⑤中，f (x )的定义域为R ，29()33x g x x x -==+-.定义域为{x |x ≠3}．所以不是同一函数． 5．m ＜－2或m ＞2 解析：由函数f (x )＝x 2的图象知，当m ＞0时，由f (m )＞f (2)得m ＞2；当m ＜0时，由f (m )＞f (－2)，∴m ＜－2.6．[－1,1] [2,2] 解析：要使函数f (x )有意义，只需10,10.x x +≥⎧⎨-≥⎩∴－1≤x ≤1.即f (x )的定义域为[－1,1]．∵f (x )≥0，∴222[()](11)221f x x x x =++-=+-.∵－1≤x ≤1，∴x 2∈[0,1]，1－x 2∈[0,1]，∴2≤[f (x )]2≤4，∵f (x )≥0.∴2()2f x ≤≤，即f (x )的值域为[2,2]．7．解：(1)∵x ∈Z ，且|x |≤2，∴函数图象为5个孤立的点分布在抛物线y ＝x 2－2上．如图(1)．(2)图象为直线y ＝x －1在[－1,4]上的一段，即一条线段，如图(2)．(3)∵x ∈(0,2]，∴函数图象是抛物线y ＝－2x 2＋3x 介于0＜x ≤2之间的一部分．如图(3)．8．解：(1)要使函数有意义，则需110,10,x x ⎧--≠⎪⎨-≥⎪⎩∴0,1.x x ≠⎧⎨≤⎩ ∴x ≤1，且x ≠0.∴函数的定义域为(－∞，0)∪(0,1]．(2)∵()1fx +的定义域为[0,3]，∴0≤x ≤3，则1≤x ＋1≤4. ∴112x ≤+≤，故f (x )的定义域为[1,2]，∴使f (x ＋2)有意义的条件是1≤x ＋2≤2.即－1≤x ≤0，∴f (x ＋2)的定义域为[－1,0]．9.解：(1)由已知条件f (2)＝1，得212a b =+，∴2a ＋b ＝2①.又方程f (x )＝x ，即x x ax b=+有惟一解．∴x (ax ＋b －1)＝0有惟一解．∵ax 2＋(b －1)x ＝0 (a ≠0)的判别式Δ＝(b －1)2－4a ×0＝0，∴解得b ＝1，将b ＝1代入①式，得12a =.∴a 、b 的值分别为12，1. (2)由(1)知，2()1212x x f x x x ==++. ∴()23(3)632f ⨯--==-+. ∴263((3))(6)622f f f ⨯-===+. (3)∵()22x f x x =+，∴f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)． ∵()()2242422222x x f x x x x +-===-≠+++，∴f (x )的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．。

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课后提高作业六函数的观点(45 分钟70 分)一、选择题 (每题 5 分，共 40 分 )1.(2016 ·上海高一检测)某校有一个班级，设变量x 是该班同学的姓名，变量y 是该班同学的学号，变量z 是该班同学的身高，变量w 是该班同学某一门课程的考试成绩，则以下选项中必定正确的选项是()A.y 是 x 的函数B.z 是 y 的函数C.w 是 z 的函数D.x 是 z 的函数【分析】选 B. 姓名不是数集，故A，D 不建立，成绩 w 可能与多个身高z 对应，不可以组成函数 .学号会合到身高会合的对应是数集间的对应，且任一个学号都对应独一一个身高，所以z 是 y 的函数 .2.若 f(x)=，则 f(1) 的值为()A. B.- C.D.-【分析】选 C.由 f(x)=，得 f(1)== .【延长研究】此题条件不变，若f(a)=，则 a 的值为多少？【分析】由 f(a)=，得=，整理得： a2-2a+2=0，即 (a-)2=0，所以 a=.3.(2016 ·潍坊高一检测 )函数 f(x)=-的定义域是()A.-，1B.C.D.【分析】选 B. 由 1-x>0 ， 3x+1>0 可得， - <x<1 ，进而得 B 答案 .4.(2016 ·唐山高一检测2)已知 f(x)= π (x∈ R) ，则 f( π )的值是 ()A. π2B. πC.D.不确立【分析】选 B. 由函数分析式可知该函数为常函数，所以自变量取随意实数时函数值不变，均为π .所以 f( π2 )=π.5.(2016 ·平湖高一检测)以下几个图形中，能够表示函数关系y=f(x) 的图象的是()【分析】选 A.A 中知足每一个自变量对应独一的函数值； B ， C， D 中关于某一部分自变量值对应两个函数值，所以不可以组成函数关系.6.以下函数中与函数y=定义域同样的是()A.f(x)=B.f(x)=C.f(x)=|x|D.f(x)=【分析】选 A.y=的定义域为{x|x>0}.关于 A ，由得x>0，故f(x)=的定义域为{x|x>0}.关于 B， f(x) 的定义域为 {x|x ≠ 0}.关于 C， f(x)=|x| 的定义域为R.关于 D，由得x≥ 1，故定义域为{x|x≥ 1}.7.(2016 ·东莞高一检测)设 A={x|0 ≤ x≤ 2} ，B={y|1 ≤y≤ 2} ，以下图形表示会合 A 到会合 B 的函数的图象的是()【解题指南】认真察看图形，正确选项中x 的取值范围一定是[0， 2]， y 的取值范围一定是[1， 2]，由此进行选用 .【分析】选 D.A 和 B 中 y 的取值范围不是 [1， 2]，不合题意，故 A 和 B 都不建立；C 中 x 的取值范围不是 [0， 2]， y 的取值范围不是 [1，2] ，不合题意，故 C 不建立；D 中， 0≤ x≤2，1≤y≤ 2，且关于定义域中的每一个x 值，都有独一的y 值与之对应，切合题意 .8.以下函数中，不知足 f(2x)=2f(x) 的是 ()A.f(x)=|x|B.f(x)=x-|x|C.f(x)=x+1D.f(x)=-x【分析】选 C.关于 A ， f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x)建立，关于 B ， f(2x)=2x-|2x|=2x-2|x|=2(x-|x|)=2f(x)建立，关于 C， f(2x)=2x+1≠ 2f(x) ，关于 D ，f(2x)=-2x=2f(x) 建立 .二、填空题 (每题 5 分，共 10 分 )9.(2015 ·汕头高一检测 )函数 y=f(x) 的图象与直线 x=1 的公共点有个 .【分析】设函数的定义域为[a， b]，由函数的定义知，函数的定义域中含有元素 1 时， y 有独一的一个值与之对应，此时函数 y=f(x) 的图象与直线x=1 有一个交点 (如图①所示 )；定义域中不包括 1 时，函数图象与 x=1 没有交点 (如图②所示 ).答案： 0或1【误区警告】此题简单忽略 1 可能不在函数y=f(x) 的定义域中的状况.10.(2016 ·肇庆高一检测 )已知定义域为R，函数 f(x) 知足 f(a+b)=f(a) ·f(b)(a ，b∈R)，且 f(x)>0 ，若 f(1)=，则f(-2)等于.【解题指南】函数f(x) 知足 f(a+b)=f(a) ·f(b)(a ，b∈ R)，且 f(x)>0 ，令 x=0 可求 f(0) ，而后由f(1)=可求f(2)，而后由f(0)=f(2)f(-2) 可求 f(-2).【分析】由于函数f(x) 知足 f(a+b)=f(a) · f(b)(a ， b∈ R)，且 f(x)>0 ，2所以f(0)=f (0)，所以 f(0)=1 ，由于 f(1)=，所以f(2)=f(1)· f(1)=，所以 f(0)=f(2)f(-2)=1 ，所以 f(-2)=4.答案： 4三、解答题 (每题 10 分，共 20 分 )11.(2016 ·重庆高一检测) 已知f(x)=，计算f(1)+f(2)++f(2016)+f+f+ +f.【解题指南】先计算f(x)+f的值，再对式子分组，而后乞降.【分析】 f(x)+f=+=+=1，故 f+f(2)=1，f+f(3)=1 ，， f+f(2016)=1 ，又 f(1)==，所以 f(1)+f(2)+ +f(2016)+f+f+ +f=f(1)+++ += +2015=.12.求函数 y=的定义域，并用区间表示.【分析】要使函数分析式存心义，需知足：即所以 -2≤ x≤ 3 且 x≠.所以函数的定义域是.用区间表示为-2，∪， 3 .【能力挑战题】若函数f(x)=的定义域为R，求m 的取值范围.【分析】要使函数f(x) 存心义，一定mx2+x+3 ≠ 0.2又由于函数的定义域为R，故 mx +x+3 ≠0 对一确实数x 恒建立 .当 m=0 时， x+3≠ 0，即 x≠ -3，与 f(x) 定义域为R 矛盾，所以m=0 不合题意 .当 m≠ 0 时，有=12-12m<0 ，得 m>.综上可知m 的取值范围是.封闭Word文档返回原板块。

3.1.1 函数的概念一、单选题1．下列四个方程中表示y 是x 的函数的是( )①x －2y ＝6；②x 2＋y ＝1；③x ＋y 2＝1；④x ＝ 2 .A ．①②B ．①④C ．③④D ．①②④2．下列从集合A 到集合B 的对应关系f 是函数的是( )A ．A ＝{－1，0，1}，B ＝{0，1}，f ：A 中的数平方B ．A ＝{0，1}，B ＝{－1，0，1}，f ：A 中的数开方C ．A ＝Z ，B ＝Q ，f ：A 中的数取倒数D ．A ＝{平行四边形}，B ＝R ，f ：求A 中平行四边形的面积3．函数y ＝f(x)的图象与直线x ＝2 022的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．0个或1个D ．以上答案都不对 4．若集合M ＝{x|－4≤x≤4}，N ＝{y|－2≤y≤2}，下列式子不表示定义在集合M 到集合N 上的函数的是( )A ．y ＝12x B ．y ＝12 (x －1) C ．y ＝14 x 2－2 D ．y ＝18x 2 5.(2020河南南阳一中高一上月考,)已知函数f (x -2)的定义域为[0,2],则函数f (2x -1)的定义域为( ) A.[-2,0] B.[-1,3] C.[32,52] D.[-12,12]6.已知f (x )的定义域为[-2,2],且函数g (x √2x+1则g (x )的定义域为 ( )A.(-12,3] B.(-1,+∞) C.(-12,0)∪(0,3) D.(-12,3) 7.若函数f (x )=√mx 2-mx+2的定义域为R,则实数m 的取值范围是 ( ) A.[0,8) B.(8,+∞) C.(0,8) D.(-∞,0)∪(8,+∞)8.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x +y )=f (x )+f (y )+2xy (x ,y ∈R),且f (1)=2,则f (-3)等于 ( )A.2B.3C.6D.9二、多选题。

§1.2函数及其表示1.2.1 函数的概念学习目标 1.理解函数的概念(重点、难点).2.了解构成函数的三要素(重点).3.正确使用函数、区间符号(易错点).知识点1 函数的概念(1)函数的概念概念设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域x的取值X围值域与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的定义域和值域一定是无限集合.( )(2)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.( )(3)在函数的定义中，集合B是函数的值域.( )提示(1)×函数的定义域和值域也可能是有限集，如f(x)＝1；(2)×根据函数的定义，对于定义域中的任何一个x，在值域中都有唯一确定的y与之对应；(3)×在函数的定义中，函数的值域是集合B的子集.知识点2 区间及有关概念(1)一般区间的表示.设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义 名称 符号 数轴表示{x |a ≤x ≤b } 闭区间 [a ，b ] {x |a <x <b }开区间 (a ，b ){x |a ≤x <b }半开半闭区间 [a ，b ){x |a <x ≤b }半开半闭区间(a ，b ](2)特殊区间的表示. 定义 R {x |x ≥a } {x |x >a } {x |x ≤a } {x |x <a } 符号(－∞，＋∞)[a ，＋∞)(a ，＋∞)(－∞，a ](－∞，a )【预习评价】已知全集U ＝R ，A ＝{x |1<x ≤3}，则∁U A 用区间表示为________. 解析 ∁U A ＝{x |x ≤1或x >3}，用区间可表示为(－∞，1]∪(3，＋∞). 答案 (－∞，1]∪(3，＋∞)题型一 函数关系的判定【例1】 (1)下列图形中，不能确定y 是x 的函数的是( )(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R 上的一个函数？为什么？ ①f ：把x 对应到3x ＋1；②g ：把x 对应到|x |＋1； ③h ：把x 对应到1x；④r ：把x 对应到x .(1)解析 任作一条垂直于x 轴的直线x ＝a ，移动直线，根据函数的定义可知，此直线与函数图象至多有一个交点.结合选项可知D 不满足要求，因此不表示函数关系. 答案 D(2)解 ①是实数集R 上的一个函数.它的对应关系f 是：把x 乘3再加1，对于任意x ∈R ，3x ＋1都有唯一确定的值与之对应，如当x ＝－1时，有3x ＋1＝－2与之对应. 同理，②也是实数集R 上的一个函数. ③不是实数集R x ＝0时，1x的值不存在.④不是实数集R x <0时，x 的值不存在.(1)任取一条垂直于x 轴的直线l ； (2)在定义域内平行移动直线l ；(3)若l 与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.【训练1】 设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有( )解析 ①错，x ＝2时，在N 中无元素与之对应，不满足任意性.②对，同时满足任意性与唯一性.③错，x ＝2时，对应元素y ＝3∉N ，不满足任意性.④错，x ＝1时，在N 中有两个元素与之对应，不满足唯一性. 答案 B题型二 相等函数【例2】(1)下列各组函数：①f (x )＝x 2－xx，g (x )＝x －1；②f (x )＝x x ，g (x )＝x x；③f (x )＝（x ＋3）2，g (x )＝x ＋3； ④f (x )＝x ＋1，g (x )＝x ＋x 0；⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f (t )＝80t (0≤t ≤5)与一次函数g (x )＝80x (0≤x ≤5).其中表示相等函数的是________(填上所有正确的序号).(2)试判断函数y ＝x －1·x ＋1与函数y ＝（x ＋1）（x －1）是否相等，并说明理由. (1)解析 ①f (x )与g (x )的定义域不同，不是相等函数；②f (x )与g (x )的解析式不同，不是相等函数；③f (x )＝|x ＋3|，与g (x )的解析式不同，不是相等函数；④f (x )与g (x )的定义域不同，不是相等函数；⑤f (t )与g (x )的定义域、值域、对应关系皆相同，故是相等函数. 答案 ⑤y ＝x －1·x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ＋1≥0，解得x ≥1，故定义域为{x |x ≥1}，对于函数y ＝（x ＋1）（x －1），由(x ＋1)(x －1)≥0解得x ≥1或x ≤－1，故定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}，显然两个函数定义域不同，故不是相等函数. 规律方法 判断两个函数为相等函数应注意的三点(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是相等函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是相等函数.(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的. (3)在化简解析式时，必须是等价变形.【训练2】 判断以下各组函数是否表示相等函数： (1)f (x )＝(x )2；g (x )＝x 2.(2)f (x )＝x 2－2x －1；g (t )＝t 2－2t －1.解 (1)由于函数f (x )＝(x )2的定义域为{x |x ≥0}，而g (x )＝x 2的定义域为{x |x ∈R }，它们的定义域不同，所以它们不表示相等函数.(2)两个函数的定义域和对应关系都相同，所以它们表示相等函数. 题型三 求函数值【例3】 已知f (x )＝11＋x (x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R ).(1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f (g (3))的值.解 (1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13.又∵g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6. (2)∵g (3)＝32＋2＝11， ∴f (g (3))＝f (11)＝11＋11＝112. 规律方法 求函数值的方法及关注点(1)方法：①已知f (x )的解析式时，只需用a 替换解析式中的x 即得f (a )的值；②求f (g (a ))的值应遵循由里往外的原则.(2)关注点：用来替换解析式中x 的数a 必须是函数定义域内的值，否则函数无意义. 【训练3】 已知函数f (x )＝x ＋1x ＋2. (1)求f (2)；(2)求f (f (1)). 解 (1)∵f (x )＝x ＋1x ＋2，∴f (2)＝2＋12＋2＝34. (2)f (1)＝1＋11＋2＝23，f (f (1))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23＋123＋2＝58.【例4－1】 求下列函数的定义域： (1)y ＝（x ＋1）2x ＋1－1－x ；(2)y ＝5－x |x |－3.解 (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0.解得x ≤1，且x ≠－1，即函数定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}.(2)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0，|x |－3≠0，解得x ≤5，且x ≠±3，即函数定义域为{x |x ≤5，且x ≠±3}. 规律方法 求函数定义域的实质及结果要求(1)求函数的定义域实质是解不等式(组)，即将满足的条件转化为解不等式(组)的问题，要求把满足条件的不等式列全.(2)结果要求：定义域的表达形式可以是集合形式，也可以是区间形式. 方向2 求抽象函数的定义域【例4－2】 (1)设函数f (x )＝x ，则f (x ＋1)等于什么？f (x ＋1)的定义域是什么？ (2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0，＋∞)，那么函数y ＝f (x ＋1)的定义域是什么？ 解 (1)f (x ＋1)＝x ＋1.令x ＋1≥0，解得x ≥－1，所以f (x ＋1)＝x ＋1的定义域为[－1，＋∞).(2)函数y ＝f (x )的定义域是[0，＋∞)，所以令x ＋1≥0，解得x ≥－1，所以函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[－1，＋∞).【例4－3】 若函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[1，2]，根据函数定义域的定义，这里的“[1，2]”是指谁的取值X 围？使对应关系f 有意义的自变量t ＝x ＋1的X 围是什么？函数y ＝f (x )的定义域是什么？解 这里的“[1，2]”是自变量xx ∈[1，2]，所以x ＋1∈[2，3]，所以使对应关系f 有意义的自变量t ＝x ＋1的X 围是[2，3]，所以函数y ＝f (x )的定义域是[2，3].【例4－4】 (1)已知函数y ＝f (x )的定义域为[－2，3]，求函数y ＝f (2x －3)的定义域； (2)已知函数y ＝f (2x －3)的定义域是[－2，3]，求函数y ＝f (x ＋2)的定义域.解 (1)因为函数y ＝f (x )的定义域为[－2，3]，即x ∈[－2，3]，函数y ＝f (2x －3)中2x －3的X 围与函数y ＝f (x )中x 的X 围相同，所以－2≤2x －3≤3，解得12≤x ≤3，所以函数y ＝f (2x －3)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3. (2)因为x ∈[－2，3]，所以2x －3∈[－7，3]，即函数y ＝f (x )的定义域为[－7，3]. 令－7≤x ＋2≤3，解得－9≤x ≤1，所以函数y ＝f (x ＋2)的定义域为[－9，1]. 规律方法 两类抽象函数的定义域的求法(1)已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域：若f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))中a ≤g (x )≤b ，从中解得x 的取值集合即为f (g (x ))的定义域.(2)已知f (g (x ))的定义域，求f (x )的定义域：若f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，即a ≤x ≤b ，求得g (x )的取值X 围，g (x )的值域即为f (x )的定义域.课堂达标1.下列图象中表示函数图象的是( )解析 根据函数的定义，对定义域中任意的一个x 都存在唯一的y 与之对应，而A ，B ，D 都存在一对多，只有C 满足函数的定义.故选C. 答案 C2.下列各组函数中表示相等函数的是( ) A.f (x )＝x 与g (x )＝(x )2B.f (x )＝|x |与g (x )＝x (x >0)C.f (x )＝2x －1与g (x )＝2x ＋1(x ∈N *)D.f (x )＝x 2－1x －1与g (x )＝x ＋1(x ≠1)解析 选项A ，B ，C 中两个函数的定义域均不相同，故选D. 答案 Df (x )＝x －4＋1x －5的定义域是________.解析 ∵函数f (x )＝x －4＋1x －5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，x －5≠0，解得x ≥4，且x ≠5.∴函数f (x )的定义域是[4，5)∪(5，＋∞). 答案 [4，5)∪(5，＋∞)f (x )的定义域为(0，2)，则f (x －1)的定义域为________.解析 由题意知0<x －1<2，解得1<x <3，故f (x －1)的定义域为(1，3). 答案 (1，3)f (x )＝x 2＋x －1.(1)求f (2)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ；(2)若f (x )＝5，求x 的值. 解 (1)f (2)＝22＋2－1＝5， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x 2＋1x－1＝1＋x －x 2x 2.(2)∵f (x )＝x 2＋x －1＝5，∴x 2＋x －6＝0， ∴x ＝2或x ＝－3.课堂小结1.函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系.由于函数的定义域和对应关系一经确定，值域随之确定，所以判断两个函数是否相等只须两个函数的定义域和对应法则一样即可.2.f (x )是函数符号，f 表示对应关系，f (x )表示x 对应的函数值，绝对不能理解为f 与xff (x )表示外，还可用g (x )，F (x )等表示.基础过关1.下列函数中，与函数y ＝x 相等的是( ) A.y ＝(x )2B.y ＝x 2C.y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0－x ，x <0D.y ＝3x 3解析 函数y ＝x 的定义域为R ；y ＝(x )2的定义域为[0，＋∞)；y ＝x 2＝|x |，对应关系不同；y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，－x ，x <0，对应关系不同；y ＝3x 3＝x ，且定义域为R .故选D.答案 D2.下列四个图象中，是函数图象的是( )A.①B.①③④C.①②③D.③④解析 由每一个自变量x 对应唯一一个f (x )可知②不是函数图象，①③④是函数图象. 答案 By ＝1－x ＋x 的定义域为( )A.{x |x ≤1}B.{x |x ≥0}C.{x |x ≥1或x ≤0}D.{x |0≤x ≤1}解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ≥0，解得0≤x ≤1.答案 Df (x )＝2x －1，g (x )＝x 2，则g (f (2)－1)＝________.解析 f (2)－1＝2×2－1－1＝2，所以g (f (2)－1)＝g (2)＝22＝4. 答案 45.用区间表示下列集合： (1){x |－12≤x <5}＝________；(2){x |x <1或2<x ≤3}＝________.解析 (1)注意到包括不包括区间的端点与不等式含不含等号对应，则{x |－12≤x <5}＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，5. (2)注意到集合中的“或”对应区间中的“∪”，则{x |x <1或2<x ≤3}＝(－∞，1)∪(2，3].答案 (1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，5 (2)(－∞，1)∪(2，3]f (x )＝x ＋5＋1x －2.(1)求函数的定义域；(2)求f (－4)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23的值. 解 (1)使根式x ＋5有意义的实数x 的取值集合是{x |x ≥－5}，使分式1x －2有意义的实数x 的取值集合是{x |x ≠2}，所以这个函数的定义域是{x |x ≥－5}∩{x |x ≠2}＝{x |x ≥－5且x ≠2}. (2)f (－4)＝－4＋5＋1－4－2＝1－16＝56. f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23＋5＋123－2＝173－34＝513－34.f (x )＝x 21＋x2.(1)求f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的值； (2)求证f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 是定值.(1)解 ∵f (x )＝x 21＋x2， ∴f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝221＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1221＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1. f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝321＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1321＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1. (2)证明 f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2 ＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1. 能力提升f (x )＝ax 2－1，a 为一个正常数，且f (f (－1))＝－1，那么a 的值是( )A.1B.0解析 f (－1)＝a ·(－1)2－1＝a －1，f (f (－1))＝a ·(a －1)2－1＝a 3－2a 2＋a －1＝－1. ∴a 3－2a 2＋a ＝0，∴a ＝1或a ＝0(舍去). 答案 Af (x )＝x －4mx 2＋4x ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值X 围是( )A.(－∞，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，43 解析 (1)当m ＝0时，分母为4x ＋3，此时定义域不为R ，故m ＝0不符合题意.(2)当m ≠0时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ＝16－4×3m <0，解得m >43. 由(1)(2)知，实数m 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞. 答案 Cf (x )的定义域为(－1，1)，则函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f (x －1)的定义域是________. 解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－1<x 2<1，－1<x －1<1，即⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <2，0<x <2.从而0<x <2， 于是函数g (x )的定义域为(0，2).答案 (0，2)f (x )满足f (x )＋f (y )＝f (xy )，且f (5)＝m ，f (7)＝n ，则f (175)＝________.解析 ∵f (x )满足f (x )＋f (y )＝f (xy )，且f (5)＝m ，f (7)＝n ，∴把x ＝5，y ＝7代入得f (5)＋f (7)＝f (35)，∴m ＋n ＝f (35)，把x ＝5，y ＝35代入得f (5)＋f (35)＝f (175)，∴m ＋m ＋n ＝f (175)，即2m ＋n ＝f (175)，∴f (175)＝2m ＋n .答案 2m ＋n数的定义域：(1)y ＝（x ＋1）0x ＋2； (2)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x . 解 (1)由于00无意义，故x ＋1≠0，即x ≠－1.又x ＋2>0，x >－2，所以x >－2且x ≠－1.所以函数y ＝（x ＋1）0x ＋2的定义域为{x |x >－2，且x ≠－1}. (2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，2－x >0，x ≠0，解得－32≤x <2，且x ≠0，所以函数y ＝2x ＋3－12－x ＋1x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x <2，且x ≠0. 13.(选做题)已知甲地到乙地的高速公路长1 500 km ，现有一辆汽车以100 km/h 的速度从甲地驶往乙地，写出汽车离开甲地的距离s (单位：km)与时间t (单位：h)的函数解析式，并求出函数的定义域.解 ∵汽车在甲、乙两地之间匀速行驶，∴s ＝100 t .∵汽车行驶速度为100 km/h ，两地之间的距离为1 500 km ，∴从甲地到乙地所用时间为15小时.∴所求函数解析式为s ＝100t ，0≤t ≤15.。

10 / 103.1.1 函数的概念一、知识点归纳知识点1. 函数的有关概念 (1)函数的概念(2)同一个函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数．(3)函数的三要素：定义域、对应关系、值域是函数的三要素，缺一不可． 知识点2．知识点二 区间及相关概念 (1)区间的概念及记法设a ，b 是两个实数，而且a ＜b ，我们规定：(2)无穷大实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．(3)特殊区间的表示二、题型分析题型一函数的定义【例1】根据函数的定义判断下列对应关系是否为从集合A到集合B的函数：(1)A＝{1,2,3}，B＝{7,8,9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8；(2)A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6}，对应关系如图所示；(3)A＝R，B＝{y|y>0}，f：x→y＝|x|；10 / 10(4)A＝Z，B＝{－1,1}，n为奇数时，f(n)＝－1，n为偶数时，f(n)＝1.【答案】见解析【解析】对于集合A中的任意一个值，在集合B中都有唯一的值与之对应，因此(1)(4)中对应关系f是从集合A到集合B的一个函数．(2)集合A中的元素3在集合B中没有对应元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数．(3)A中的元素0在B中没有对应元素，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数.【规律方法总结】(1)判断一个集合A到集合B的对应关系是不是函数关系的方法：∈A，B必须都是非空数集；∈A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应．【注意】A中元素无剩余，B中元素允许有剩余．(2)函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”．【变式1】. 下列对应或关系式中是A到B的函数的是()A．A＝R，B＝R，x2＋y2＝1 B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：C．A＝R，B＝R，f：x→y＝1 x－2D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝2x－1【答案】B【解析】：A错误，x2＋y2＝1可化为y＝±1－x2，显然对任意x∈A，y值不唯一．B正确，符合函数的定义．C错误，2∈A，在B中找不到与之相对应的数．D错误，－1∈A，在B中找不到与之相对应的数．10 / 1010 / 10题型二 求函数的定义域【例2】求下列函数的定义域．(1)y ＝3－12x ；(2)y ＝(x ＋1)0x ＋2；(3)y ＝5－x |x |－3；(4)f (x )＝x ＋1－x 2－3x ＋4. 【答案】见解析【解析】(1)函数y ＝3－12x 的定义域为R.(2)由于0的零次幂无意义，故x ＋1≠0，即x ≠－1. 又x ＋2＞0，即x ＞－2，所以x ＞－2且x ≠－1. 所以函数y ＝(x ＋1)0x ＋2的定义域为{x |x ＞－2且x ≠－1}．(3)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0，|x |－3≠0，解得x ≤5，且x ≠±3，所以函数y ＝5－x|x |－3的定义域为{x |x ≤5且x ≠±3}． (4)要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，－x 2－3x ＋4>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，(x ＋4)(x －1)<0，解不等式组得－1≤x <1. 因此函数f (x )的定义域为{x |－1≤x <1}．10 / 10【规律方法总结】求函数定义域的常用方法 (1)若f (x )是分式，则应考虑使分母不为零； (2)若f (x )是偶次根式，则被开方数大于或等于零；(3)若f (x )是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合； (4)若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义； (5)若f (x )是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义． 【变式2】．设全集为R ，函数f (x )＝2－x 的定义域为M ，则∈R M 为( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，2) C ．(－∞，2] D ．[2，＋∞)【答案】A【解析】： 由2－x ≥0解得x ≤2，所以M ＝(－∞，2]，所以∈R M ＝(2，＋∞)． 【变式3】．函数f (x )＝x x －1的定义域为________．【答案】：{x |x ≥0且x ≠1}【解析】：要使x x －1有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x －1≠0，解得x ≥0且x ≠1，故函数f (x )的定义域为{x |x ≥0且x ≠1}．题型三 同一函数(2)两个注意点：10 / 10题型四 求函数的值、值域问题【例4】(1)f (x )＝2x 2＋2，g (x )＝1x ＋2，则f (2)＝________；g (f (2))＝________；g (a )＋g (0)(a ≠－2)＝________. (2)求下列函数的值域： ∈y ＝x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； ∈y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； ∈y ＝2x ＋1x －3；∈y ＝2x －x －1.【答案】：10112 1a ＋2＋12【解析】(1)因为f (x )＝2x 2＋2， 所以f (2)＝2×22＋2＝10， 又因为g (x )＝1x ＋2，10 / 10所以g (f (2))＝g (10)＝110＋2＝112，g (a )＋g (0)＝1a ＋2＋12(a ≠2)．(2)∈观察法：因为x ∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．∈配方法：y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)． ∈分离常数法：y ＝2x ＋1x －3＝2(x －3)＋7x －3＝2＋7x －3，显然7x －3≠0，所以y ≠2.故函数的值域为(－∞，2)∈(2，＋∞)．∈换元法：设t ＝x －1，则t ≥0且x ＝t 2＋1，所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝2⎝⎛⎭⎫t －142＋158，由t ≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为⎣⎡⎭⎫158，＋∞. 【规律方法总结】1．函数求值的方法(1)已知f (x )的表达式时，只需用a 替换表达式中的x 即得f (a )的值． (2)求f (g (a ))的值应遵循由里往外的原则． 2．求函数值域常用的4种方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；10 / 10(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f (x )＝ax ＋b ＋cx ＋d (其中a ，b ，c ，d 为常数，且a ≠0)型的函数常用换元法． 【变式5】求下列函数的值域： (1)y ＝2x ＋1＋1；(2)y ＝1－x 21＋x 2.【解析】：(1)因为2x ＋1≥0，所以2x ＋1＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)． (2)因为y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x 2，又函数的定义域为R ，所以x 2＋1≥1， 所以0<21＋x 2≤2，则y ∈(－1,1]．所以所求函数的值域为(－1,1]．三、课堂达标检测1．下列各个图形中，不可能是函数y ＝f (x )的图象的是( )【答案】：A【解析】：对于1个x 有无数个y 与其对应，故不是y 的函数． 2.已知函数f (x )＝－1，则f (2)的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．不确定 【答案】：B【解析】：因为函数f (x )＝－1，4．函数y＝1＋2－x的定义域为()A．[1，＋∞)B．(－∞，1]C．[2，＋∞)D．(－∞，2]【答案】D【解析】：要使函数式有意义，需2－x≥0，解得x≤2.5．用区间表示下列数集：(1){x|x≥1}＝________；(2){x|2<x≤4}＝________；(3){x|x>－1，且x≠2}＝________.【答案】：(1)[1，＋∞)(2)(2,4](3)(－1,2)∈(2，＋∞)6．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为________．【答案】：{－1,1,3,5,7}【解析】：定义域为{1,2,3,4,5}，逐一代入求值可得值域为{－1,1,3,5,7}．10 / 1010 / 107.下列各组函数是同一个函数的是________．(填序号) ∈f (x )＝－2x 3与g (x )＝x －2x ； ∈f (x )＝x 0与g (x )＝1x0；∈f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1. 【答案】∈∈【解析】∈f (x )＝－x －2x ，g (x )＝x －2x ，对应关系不同，故f (x )与g (x )不是同一个函数； ∈f (x )＝x 0＝1(x ≠0)，g (x )＝1x 0＝1(x ≠0)，对应关系与定义域均相同，故是同一个函数；∈f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1，对应关系和定义域均相同，故是同一个函数． 8.若f (x )＝1－x1＋x (x ≠－1)，求f (0)，f (1)，f (1－a )(a ≠2)，f (f (2))的值．【答案】2【解析】：f (0)＝1－01＋0＝1，f (1)＝1－11＋1＝0，f (1－a )＝1－(1－a )1＋(1－a )＝a2－a (a ≠2)，f (f (2))＝1－f (2)1＋f (2)＝1－1－21＋21＋1－21＋2＝2. 四、课后提升作业一、选择题1．已知f (x )＝x 2＋1，则f (f (－1))＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．510 / 10【答案】D【解析】： 因为f (－1)＝(－1)2＋1＝2，所以f (f (－1))＝f (2)＝22＋1＝5.2．已知M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，函数f (x )的定义域为M ，值域为N ，则f (x )的图象可以是( )【答案】B【解析】： A 项中函数的定义域为[－2,0]，C 项中对任一x 都有两个y 值与之对应，D 项中函数的值域不是[0,2]，均不是函数f (x )的图象．故选B. 3．下列各组函数表示相等函数的是( ) A ．y ＝x 2－3x －3与y ＝x ＋3(x ≠3)B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0)D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z 【答案】C【解析】： 选项A 、B 及D 中对应关系都不同，故都不是相等函数． 4．函数f (x )＝3x 21－x －23x ＋1的定义域是( )A.⎣⎡⎦⎤－13，1 B.⎝⎛⎭⎫－13，1 C.⎝⎛⎭⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－13 【答案】B【解析】： 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，3x ＋1＞0，可得－13＜x ＜1，从而得B 答案．10 / 105．若函数f (x )＝ax 2－1，a 为一个正数，且f (f (－1))＝－1，那么a 的值是( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．2【答案】A【解析】： ∈f (x )＝ax 2－1，∈f (－1)＝a －1， f (f (－1))＝f (a －1)＝a ·(a －1)2－1＝－1. ∈a (a －1)2＝0. 又∈a 为正数，∈a ＝1.6．已知函数y ＝f (x )，则函数与直线x ＝a 的交点个数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．无数个 D ．至多一个【答案】D【解析】根据函数的概念，在定义域范围内任意一个自变量x 的值都有唯一的函数值与之对应，因此直线x ＝a 与函数y ＝f (x )的图象最多只有一个交点．7．已知等腰三角形ABC 的周长为10，底边长y 关于腰长x 的函数关系式为y ＝10－2x ，则此函数的定义域为( ) A ．RB ．{x |x >0}C ．{x |0<x <5} D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪52<x <5 【答案】 D【解析】 ∈∈ABC 的底边长显然大于0，即y ＝10－2x >0，∈x <5.又两边之和大于第三边，∈2x >10－2x ，∈x >52，∈此函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪52<x <5. 8.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式10 / 10为y ＝x 2，值域为{1,4}的“同族函数”的个数为( )A ．6B ．9C ．12D ．16 【答案】B【解析】由题意知，问题的关键在于确定函数定义域的个数．函数解析式为y ＝x 2，值域为{1,4}，当x ＝±1时，y ＝1，当x ＝±2时，y ＝4，则定义域可以为{1,2}，{1，－2}，{－1,2}，{－1，－2}，{1，－1,2}，{1，－1，－2}，{－1,2，－2}，{1，－2,2}，{1，－1,2，－2}，因此“同族函数”共有9个．二、填空题9．设f (x )＝11－x ，则f (f (a ))＝________.【答案】：a －1a(a ≠0，且a ≠1)【解析】：f (f (a ))＝11－11－a ＝11－a －11－a ＝a －1a (a ≠0，且a ≠1)．10．函数y ＝2x ＋41－x 的值域为________(用区间表示)． 【答案】：(－∞，4]【解析】：令t ＝1－x ，则x ＝1－t 2(t ≥0)， y ＝2x ＋41－x ＝2－2t 2＋4t ＝－2(t －1)2＋4. 又∈t ≥0，∈当t ＝1时，y max ＝4. 故原函数的值域是(－∞，4]．11．设常数a ∈R ，函数f (x )＝|x －1|＋|x 2－a |，若f (2)＝1，则f (1)＝________. 【答案】3【解析】由f (2)＝1＋|22－a |＝1，可得a ＝4，所以f (1)＝|1－1|＋|1－4|＝3.12．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎡⎦⎤－254，－4，则m 的取值范围为________．10 / 10【答案】 ⎣⎡⎦⎤32，3【解析】 ∈当x ＝0或x ＝3时，y ＝－4；当x ＝32时，y ＝－254，∈m ∈⎣⎡⎦⎤32，3. 13．已知函数f (x )＝2kx 2－4kx ＋k ＋3的定义域为R ，则k 的取值范围是________．【答案】 0≤k <1【解析】 由题意可得kx 2－4kx ＋k ＋3>0恒成立． ∈当k ＝0时，3>0恒成立，所以满足题意；∈当k ≠0时，须使⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝(4k )2－4k (k ＋3)<0， 解得0<k <1.综上所得，k 的取值范围为0≤k <1.三、解答题14．试求下列函数的定义域与值域： (1)f (x )＝(x －1)2＋1，x ∈{－1,0,1,2,3}； (2)f (x )＝5x ＋4x －1； (3)f (x )＝x －x ＋1. 【答案】见解析【解析】：(1)函数的定义域为{－1,0,1,2,3}，则f (－1)＝[(－1)－1]2＋1＝5，同理可得f (0)＝2，f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝5，所以函数的值域为{1,2,5}．(2)函数的定义域是{x |x ≠1}，y ＝5x ＋4x －1＝5＋9x －1，所以函数的值域为{y |y ≠5}．(3)要使函数式有意义，需x ＋1≥0，即x ≥－1，故函数的定义域是{x |x ≥－1}．设t ＝x ＋1，则x ＝t 2－1(t ≥0)，10 / 10于是f (t )＝t 2－1－t ＝⎝⎛⎭⎫t －122－54.又t ≥0，故f (t )≥－54.所以函数的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ≥－54. 15．(1)已知函数f (x )的定义域为[－1,5]，求函数f (x －5)的定义域； (2)已知函数f (x －1)的定义域是[0,3]，求函数f (x )的定义域； (3)若f (x )的定义域为[－3,5]，求φ(x )＝f (－x )＋f (x )的定义域． 【答案】见解析【解析】 (1)由－1≤x －5≤5，得4≤x ≤10，所以函数f (x －5)的定义域是[4,10]． (2)由0≤x ≤3，得－1≤x －1≤2，所以函数f (x )的定义域是[－1,2]．(3)已知f (x )的定义域为[－3,5]，则φ(x )的定义域需满足⎩⎪⎨⎪⎧ －3≤－x ≤5，－3≤x ≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧－5≤x ≤3，－3≤x ≤5，解得－3≤x ≤3.所以函数φ(x )的定义域为[－3,3]． 16．已知函数f (x )＝x 21＋x 2.(1)求f (2)＋⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ，f (3)＋⎪⎭⎫ ⎝⎛31f 的值；(2)由(1)中求得的结果，你发现f (x )与⎪⎭⎫⎝⎛x 1f 有什么关系？并证明你的结论； (3)求f (2)＋⎪⎭⎫⎝⎛21f ＋f (3)＋⎪⎭⎫ ⎝⎛31f ＋…＋f (2 019)＋f ⎪⎭⎫⎝⎛20191f 的值． 【答案】见解析【解析】：(1)∈f (x )＝x 21＋x 2，∈f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝221＋22＋⎝⎛⎭⎫1221＋⎝⎛⎭⎫122＝1，10 / 10f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝321＋32＋⎝⎛⎭⎫1321＋⎝⎛⎭⎫132＝1. (2)由(1)可发现f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1.证明：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝⎛⎭⎫1x 21＋⎝⎛⎭⎫1x 2＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1. (3)由(2)知f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1，∈f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝1，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝1，f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝1，…，f (2 019)＋f ⎝⎛⎭⎫12 019＝1. ∈f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2 019)＋f ⎝⎛⎭⎫12 019＝2 018.。

高中数学必修一《函数及其表示》导学导练【范例析考点】考点一：函数及映射的概念 例1：判断下列对应是否为函数：（1）;,,Z y R x x y y x ∈∈→的最大整数，为不大于其中 （2）2,,,x y y x x N y R →=∈∈；（3）x y x →=，{|06}x x x ∈≤≤，{|03}y y y ∈≤≤； （4）16x y x →=，{|06}x x x ∈≤≤，{|03}y y y ∈≤≤．【变式练习】1、判断下列对应:f A B →是否是从集合A 到集合B 的函数：（1）{},0,:,:;A R B x R x f x x f A B ==∈>→→ （2）*,,:1,:.A N B N f x x f A B ==→-→ （3）{}20,,:,:.A x R x B R f x x f A B =∈>=→→2、在映射中B A f →:，},|),{(R y x y x B A ∈==，且),(),(:y x y x y x f +-→，则与A 中的元素)2,1(-对应的B 中的元素为（ ） A 、)1,3(-B 、)3,1(C 、)3,1(--D 、)1,3(3、设M ＝｛x ｜－2≤x ≤2｝，N ＝｛y ｜0≤y ≤2｝，函数f （x ）的定义域为M ，值域为N ，则f （x ）的图象可以是（ ）考点二：画函数图象 例2：画出下列函数的图象： （1）()1f x x =+；（2）2()(1)1,[1,3)f x x x =-+∈； （3）5y x =，{1,2,3,4}x ∈； （4）()f x【变式练习】1、画出下列函数的图象、 （1）y ＝x 2－2，x ∈Z 且｜x ｜≤2； （2）y ＝－2x 2＋3x ，x ∈（0，2］； （3）y ＝x ｜2－x ｜； （4）⎪⎩⎪⎨⎧≥≤．－，＜－－，＜－＝2322323x x x x y考点三：求函数的定义域 例3：求下列函数的定义域：（1）；24)(++=x x x f （2）y=11---x x ；（3）1()2f x x=-．【变式练习】1、已知函数()11x f x x+=-的定义域为A ，函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的定义域为B ，则（ ） A ．AB B =B ．A ≠⊂BC ．A B =D ．A B B =2、若)(x f 的定义域为[0，1]，则)2(+x f 的定义域为（ ）A 、[0，1]B 、[2，3]C 、[－2，－1]D 、无法确定 3、函数xx x f -++=211)(的定义域为4、若函数()f x R ，则m 的取值范围是考点四：求函数的值域例4：已知函数2361y x x =-+，利用函数图象分别求它在下列区间上的值域：（1）[1,2]x ∈-； （2）[4,0]x ∈-； （3）[2,5]x ∈．例5：函数y =x +x 21-的值域是( )A.(－∞,1]B.(－∞,－1]C.RD.［1,+∞)例6：求函数125x y x -=+的值域。

☆学习目标☆（1）通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的三要素；（3）能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。

（4）掌握函数相等的概念；掌握函数定义域的求法； ☆温故知新☆ 回顾初中函数的定义：☆激趣导入☆讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？路程与时间、速度与时间、速度与路程 它们之间一个量发生变化，另外一个量也随之发生变化.我们今天就来学习：1.2.1函数的概念 ☆自学题纲☆1．自学教材必修一P15-16的三个实例并讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着怎样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？函数的定义：设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：(),y f x x A =∈其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）。

显然，值域是集合B 的子集。

注意：① “y =f (x )”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y =g (x )”；②函数符号“y =f (x )”中的f (x )表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x ． 思考1：构成函数的三要素是什么？ 答：定义域、对应关系和值域试一试1.设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有( )A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 【答案】C【解析】①的定义域不是集合M ；②能；③能；④与函数的定义矛盾．故选C. 思考2：一次函数、二次函数、反比例函数的定义域、值域分别是什么？2．自学教材必修一P17并回答完成试一试2. 设a 、b 是两个实数，且a <b ，则：（1） 满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为； （2） 满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为（a ,b ）；（3） 满足不等式a x b a x b ≤<<≤或的实数x 的集合叫做半开半闭区间，表示为[)(],,,a b a b ；这里的实数a 和b 都叫做相应区间的端点。

课题：1.2.1函数的概念精讲部分学习目标展示1. 理解区间的概念及写法；2. 理解并掌握函数的概念；3. 会用函数的符号及理解函数的三要素；4. 理解两个函数相等并会判断两个函数是否同一函数 衔接性知识1. 以前学过哪几种函数，它们的一般表达式是什么？ 答：学过正比例函数(0)y kx k =≠，反比例函数(0)ky k x=≠，一次函数(0)y kx b k =+≠，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠2. 它们的图象及性质，你知道哪些？例1. 已知()23f x x=+，（1）求：(1)f，(1)f a+，(2)f x，[()]f f x；（2）若(3)8f m=，求实数m的值.解：（1）(1)2135f=⨯+=，(1)2(1)325f a a a+=++=+(2)2(2)343f x x x=+=+，[()]2()32(23)349f f x f x x x=+=++=+（2）(3)2(3)3638f m m m=+=+=Q，56m∴=例2. 求下列函数的定义域（要求用区间表示）（1）32()55xf xx+=-（2）()2f x x=+ (3) ()|2|1f xx=+-解：（1）使()f x有意义，得550x-≠，解得1x≠所以()f x的定义域为(,1)(1,)-∞+∞U；（2）使()f x 有意义，得3060x x -≥⎧⎨->⎩，解得36x ≤<，所以()f x 的定义域为[3,6)（3）使()f x 有意义，得|2|10x +-≠，解得1x ≠-且3x ≠- 所以()f x 的定义域为(,3)(3,1)(1,)-∞----+∞U U ； 归纳：求函数定义域的方法，其中已知函数()y f x = （1）若()f x 为整式，则定义域为R .（2）若()f x 为分式，则定义域是使分母不为零的实数的集合；（3）若()f x 是偶次根式，那么函数的定义域是根号内的式子不小于零的实数的集合； （4）若()f x 是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合（即使每个部分有意义的实数的集合的交集）；（5）若()f x 是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合.例3.求下列函数的值域： （1）()214f x x =++ (2) 2()31f x x =++ （3）2()241f x x x =-+ 解：（1）2102144x x +≥+≥Q，即()4f x ≥，所以()f x 的值域是[4,)+∞（2）2203311x x ≠∴+≠++Q，即()3f x ≠ 所以()f x 的值域是(,3)(3,)-∞+∞U（3）222()2412(2)12(1)1f x x x x x x =-+=-+=--，222(1)02(1)11x x -≥∴--≥-Q ，即()1f x ≥-，所以()f x 的值域是[1,)-+∞例4.已知()f x 为二次函数，且(0)0f =，(1)()1f x f x x +=++，求()f x 的表达式 解：设2()(0)f x ax bx c a =++≠，则由(0)0f =，得0c =而 22(1)(1)(1)(2)f x a x b x ax a b x a b +=+++=++++22()11(1)1f x x ax bx x ax b x ++=+++=+++(1)()1f x f x x ∴+=++，211a b b a b +=+⎧∴⎨+=⎩，解得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 从而()f x 的表达式为211()22f x x x =+精练部分A 类试题（普通班用）1. 下列函数中，定义域与值不相同的是（ ）A ．()21f x x =+B ．1()f x x =C．()f x = D ．21()1(1)f x x =+- 解：A 中，()f x 定义域与值域均为R ；B 中，()f x 定义域与值域均为(,0)(0,)-∞+∞U ；C 中，()f x 定义域与值域均为(0,)+∞；D 中()f x 定义域(,1)(1,)-∞+∞U ，值域均为(1,)+∞，定义域与值不相同，选D2. 下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）①(3)(5)()3x x f x x +-=+，()5g x x =-；②()f x =()g x =③x x f =)(，2)(x x g =；④()f x =()g x =；⑤2()f x =，()25g x x =-A ①②B ②③C ④D ③⑤解：①中()f x 的定义域为{|3}x x ≠-， ()g x 的定义域为R ，定义域不同，不是同一函数；②中，由1010x x +≥⎧⎨-≥⎩，得()f x 的定义域为{|1}x x ≥，由(1)(1)0x x +-≥，得()g x 的定义域为{|1x x ≥或1}x ≤-，定义域不同，不是同一函数；③中()f x x =，()||g x x =，对应关系不同，不是同一函数；④中，()f x =()g x ==，是同一函数；⑤()f x 的定义域为5{|}2x x ≥，()g x 的定义域为R ，定义域不同，不是同一函数。