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初中数学知识点——轴对称与中心对称一、轴对称与轴对称图形：1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。
2.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
注意：对称轴是直线而不是线段3.轴对称的性质：（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；（3）两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上；（4）如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
4.线段垂直平分线：（1）定义：垂直平分一条线段的直线是这条线的垂直平分线。
（2）性质：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
注意：根据线段垂直平分线的这一特性可以推出：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
5.角的平分线：（1）定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线.（2）性质：①在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.②到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.注意：根据角平分线的性质，三角形的三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.6.等腰三角形的性质与判定：性质：（1）对称性：等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，或底边上的高所在的直线是它的对称轴，或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴；（2）三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；（3）等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。
说明：等腰三角形的性质除“三线合一”外，三角形中的主要线段之间也存在着特殊的性质，如：①等腰三角形两底角的平分线相等；②等腰三角形两腰上的中线相等；③等腰三角形两腰上的高相等；④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等。
中心对称和轴对称的几何性质在几何学中，中心对称和轴对称是两种重要的对称性质。
它们在数学、物理、化学等领域中都有着广泛的应用。
本文将详细介绍中心对称和轴对称的几何性质，以及它们之间的区别和联系。
1. 中心对称中心对称是指图形相对于一个中心点进行对称，即图形中的每个点与中心点之间的连线都会与另一个点对称。
中心对称特性使得图形能够在某个中心点进行旋转180度后不变。
1.1 中心对称的判定条件一个图形是否具有中心对称可以通过以下两个判定条件来验证：1）图形中存在至少一个点，它与中心点之间的连线与该点与另一个点之间的连线对称。
2）图形中的每个点都与中心点之间的连线都能够与另一个点对称。
1.2 中心对称的性质中心对称具有以下几何性质：1）中心对称的图形具有镜像对称性，即图形可以关于中心点进行对称，将其中一个点对称到另一个位置。
2）中心对称的图形无论进行旋转多少度，都不会改变其形状和大小，只会改变位置。
2. 轴对称轴对称是指图形相对于一个轴线进行对称，即图形中的每个点与轴线之间的连线都会与另一个点对称。
轴对称特性使得图形能够在轴线上进行翻转后不变。
2.1 轴对称的判定条件判断一个图形是否具有轴对称可以通过以下两个条件来验证：1）图形中存在一个轴线，使得图形中的每个点与轴线之间的连线与该点与另一个点之间的连线对称。
2）图形中的每个点都与轴线之间的连线都能够与另一个点对称。
2.2 轴对称的性质轴对称具有以下几何性质：1）轴对称的图形具有镜像对称性，即图形可以关于轴线进行对称，将其中一部分镜像到另一部分。
2）轴对称的图形无论进行旋转多少度，只要不改变轴线的位置和方向，都不会改变图形的形状和大小，只会改变位置。
3. 中心对称和轴对称的区别和联系尽管中心对称和轴对称都是几何形状的对称性质，它们之间存在一些区别和联系。
区别：1）中心对称是相对于一个点进行对称，而轴对称是相对于一个轴线进行对称。
2）中心对称的图形无论进行旋转多少度，都不会改变其形状和大小，但轴对称的图形必须在轴线上进行翻转才能保持不变。
对称知识点总结对称是指某一对象的两侧是完全一致的，可以通过某个中心或轴线进行重合。
对称在数学、艺术、自然界以及日常生活中都有着重要的作用。
在数学中，对称性是一种重要的概念，包括点对称、轴对称、中心对称等不同的形式。
本文将对对称的相关知识点做一个总结，包括对称的定义、性质、应用等方面。
一、对称的定义对称是指某个对象的一个部分或全体在某个中心或轴线附近重合的性质。
对称可以分为几种不同的类型，主要包括点对称、轴对称和中心对称。
1. 点对称如果一个图形中的每一点关于给定的点O对称，那么这个图形就是关于点O对称的。
对称点O就是图形的中心。
点对称是一种基本的对称形式，常见于各种几何图形中，例如圆、椭圆、正多边形等。
2. 轴对称如果一个图形中的每一点关于一条直线l对称，那么这个图形就是关于直线l对称的。
轴对称是一种常见的对称形式，在许多几何图形中都有所体现，例如直线、矩形、椭圆等。
3. 中心对称如果一个图形中的每一点关于某个点O对称，且这个点O同时也在这个图形中，那么这个图形就是关于点O中心对称的。
中心对称在计算机图形学、晶体学等领域有着广泛的应用。
二、对称的性质对称具有一些基本的性质，这些性质对理解和应用对称有着重要的意义。
1. 对称性对称性是指一个对象关于某个中心或轴线的重合性质。
所有的对称图形都具有对称性，这是对称的基本特征。
2. 对称轴/中心对称图形具有对称轴或对称中心，这个轴线或中心是图形对称的基础，通过这个轴线或中心可以将整个图形分为对称的两部分。
3. 对称图形的性质对称图形的性质包括：a. 对称图形的对边(对侧)相等b. 对称图形的特定角度相等，如正多边形的内角相等c. 对称图形的重心位于对称中心d. 对称图形可以通过对称变换得到e. 对称图形满足某些特定的几何关系三、对称的应用对称不仅是一种几何性质，还广泛地应用于各个领域。
以下是对称在不同领域中的应用：1. 对称在几何学中的应用对称在几何学中有着广泛的应用，可以帮助我们理解和分析各种几何图形，解决各种几何问题。
轴对称与中心对称图形图形在数学中扮演着重要的角色，我们常常通过图形来进行分析和研究。
其中，轴对称和中心对称是两种常见的图形特征，本文将对这两种特征进行深入探讨。
一、轴对称图形轴对称图形是指具有轴对称特点的图形。
轴对称意味着图形可以通过一个轴进行镜像对称，即图形和其镜像重合。
简单来说，轴对称图形是左右完全对称的，即使折叠图形，两边也完全相同。
轴对称图形具有以下特点：1. 存在轴线：轴对称图形一定存在轴线，该轴线可以是垂直、水平或倾斜的。
2. 镜像关系：图形沿轴线进行折叠后，两侧完全对称。
3. 完全对称：图形的任意一点关于轴线，其对应点均重合于图形上。
常见的轴对称图形有正方形、长方形、圆形等。
这些图形的特点是左右对称，通过图形中的轴线可以轻松确定这些图形是否轴对称。
例如，对于一个正方形，通过从中心点绘制两条垂直、水平的轴线，可以发现图形可以完全折叠。
二、中心对称图形中心对称图形是指图形具有中心对称性质的图形。
中心对称意味着图形可以通过一个中心点进行旋转180度，使得旋转后的图形与原图形完全一致。
中心对称图形具有以下特点：1. 存在中心点：中心对称图形一定存在中心点，该中心点可以位于图形内部或边界上。
2. 旋转180度：图形绕中心点旋转180度后，与原图形完全一致。
3. 完全一致：图形的任意一点关于中心点，其对应点均重合于图形上。
常见的中心对称图形有正五边形、正六边形等。
这些图形的特点是任意一点到中心点的距离相等，并且旋转180度后的图形与原图形完全相同。
总结：轴对称和中心对称是图形的重要特征，通过观察和分析图形的对称性质，可以更好地理解图形的形态和结构。
轴对称图形以左右对称为主要特点，而中心对称图形以中心旋转180度为主要特点。
研究和了解这些对称性质，有助于我们更深入地理解数学中的图形学知识。
通过对轴对称和中心对称图形的介绍，我们可以更好地理解图形的形态和特点。
图形学是数学中的重要分支，通过研究图形的特征和性质，我们可以将其应用于各个领域，如几何学、计算机图形学等。
对称图形的性质和原理对称图形是指图形中存在一个中心轴，沿该轴进行对称变换，图形不变。
对称图形具有许多特点和原理，以下将对对称图形的性质和原理进行详细解释。
一、对称图形的性质：1. 对称轴：对称图形中存在一个或多个轴，称为对称轴，对称轴上的任意两点关于对称轴对称。
对称轴是对称图形的基本特征，可以通过对称轴将对称图形分为两个互为镜像的部分。
2. 中心对称：对称图形中心对称，是指存在一个中心点，穿过这个中心点向任意方向延伸的直线，与图形进行对称变换后，图形不变。
中心对称是最常见的一种对称形式。
3. 轴对称：对称图形轴对称，是指存在一个轴，图形中点关于该轴对称。
轴对称是对称图形的基本概念之一，轴对称也可以称为线对称或水平对称。
4. 镜像关系：对称图形中，对称轴两侧的图形互为镜像关系。
镜像关系是对称图形的重要特点之一，两个互为镜像的图形具有相同的形状和大小，但位置不同。
5. 对称中心：对称图形的中心，也可以是对称轴的交点，是对称图形的特定位置，可以通过对称中心将对称图形进行对称变换。
6. 对称变换：对称图形中进行的变换，即沿对称轴进行的对称变换，该变换不改变对称图形的形状和大小，只是改变了图形的位置。
二、对称图形的原理：对称图形的原理主要有以下几个方面：1. 对称性原理：对称图形是由对称轴和对称图形组成的，沿对称轴进行对称变换时，图形保持不变。
这是对称图形形成的基本原理，也是对称图形的本质特征。
2. 反射原理：对称图形的形成是通过对称轴的反射原理实现的，对称轴上的任意一点P，将其与对称轴交点O连接，延长OP成为OP’，OP’与OP互为镜像，即将点P通过对称轴反射到点P’。
这个反射原理可以推广到对称图形的所有点，从而实现整个图形的对称变换。
3. 对称中心原理：对称图形中存在对称中心，对称中心可以是对称轴的交点，通过对称中心进行对称变换时，图形保持不变。
对称中心原理是中心对称的实现方式，通过对称中心，对称图形可以实现全方位上下左右的对称变换。
轴对称图形、中心对称图形的基本概念轴对称图形的定义如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形。
轴对称图形的性质1）如果沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。
（对于一个图形来说）（2）把一格图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称。
这条直线就是对称轴。
两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重合的点）叫做对称点。
（对于两个图形来说）（3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段相等，对应角相等。
中心对称的定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称（central symmetry），这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。
中心对称的性质：①于中心对称的两个图形是全等形。
②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
③关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。
识别一个图形是否是中心对称图形就是看是否存在一点，使图形绕着这个点旋转180°后能与原图形重合。
中心对称是指两个图形绕某一个点旋转180°后，能够完全重合，这两个图形关于该点对称，该点称为对称中心.二者相辅相成，两图形成中心对称，必有对称中点，而点只有能使两个图形旋转180°后完全重合才称为对称中点。
既是轴对称图形又是中心对称图形的有：直线，线段，两条相交直线，矩形，菱形，正方形，圆等．只是轴对称图形的有：射线，角等腰三角形，等边三角形，等腰梯形等．只是中心对称图形的有：平行四边形等．既不是轴对称图形又不是中心对称图形有：不等边三角形，非等腰梯形等．。
轴对称与中心对称轴对称和中心对称是几何学中常用的概念，用来描述图形的对称性质。
它们在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍轴对称和中心对称的定义、性质以及一些实际应用。
轴对称的概念是指图形相对于某一条线对称，即图形绕某条线旋转180度后，仍能与原来的图形完全重合。
这条线被称为对称轴。
举个例子，我们可以想象一张纸上画了一个直角三角形，如果我们将纸沿着三角形的斜边对折，那么对折后的纸与原来的纸完全重合，这说明三角形是关于对称轴对称的。
中心对称是指图形相对于某一点对称，即图形绕某一点旋转180度后，仍能与原来的图形完全重合。
这个点被称为对称中心。
一个简单的例子是正方形，当我们将正方形绕着其中心旋转180度后，它仍然与原来的正方形完全一样。
轴对称和中心对称在几何学中有一些重要的性质。
首先，它们都是自反的，即一个图形关于对称轴或对称中心对称的话，它自身也是对称的。
其次，轴对称和中心对称都是可传递的，即如果图形A关于对称轴或对称中心对称，图形B关于同样的轴或中心对称，那么图形A 和图形B之间也是对称的。
轴对称和中心对称的应用非常广泛。
在艺术和设计领域，许多作品都利用了对称的美感。
建筑设计中，对称结构可以使建筑更加稳定和美观。
在化学领域，分子的对称性对于分子的性质和反应有着重要的影响。
在物理学中，对称性是研究物理定律和现象的基础。
总结起来，轴对称和中心对称是几何学中常用的概念，用来描述图形的对称性质。
它们有着自反性和传递性的特点，广泛应用于各个领域。
通过研究轴对称和中心对称，我们可以更深入地理解和应用几何学的知识。
轴对称与中心对称一、知识回顾(一)、轴对称与轴对称图形：1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。
2.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
注意：对称轴是直线而不是线段3.轴对称的性质：（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；（3）两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上；（4）如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
(二)、中心对称与中心对称图形：1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够和另外一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
2.中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。
3.中心对称的性质：（1）关于中心对称的两个图形是全等形；（2）在成中心对称的两个图形中,连接对称点的线段都经过对称中心,并且被对称中心平分；（3）成中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
（四）、几种常见的轴对称图形和中心对称图形：轴对称图形：线段、角、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圆对称轴的条数：角有一条对称轴，即该角的角平分线；等腰三角形有一条对称轴，是底边的垂直平分线；等边三角形有三条对称轴，分别是三边上的垂直平分线；菱形有两条对称轴，分别是两条对角线所在的直线，矩形有两条对称轴分别是两组对边中点的直线；中心对称图形：线段、平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆对称中心：线段的对称中心是线段的中点；平行四边形、菱形、矩形、正方形的对称中心是对角线的交点，圆的对称中心是圆心。
平面几何中的轴对称与中心对称平面几何是研究平面上的图形、点、线、面等几何概念和性质的数学分支。
在平面几何中，轴对称和中心对称是两个重要的概念。
本文将就轴对称和中心对称的定义、性质以及在实际应用中的意义进行探讨。
一、轴对称轴对称是指图形关于某条直线对称。
这条直线称为轴线或对称轴。
对于一个轴对称图形中的任意一点P，如果存在另一点Q在对称轴上，使得P关于对称轴对称，那么图形关于对称轴是轴对称的。
轴对称图形有许多有趣的性质。
首先，轴对称图形可以通过对称轴进行折叠，两边完全重合。
这意味着轴对称图形在对称轴两侧具有完全相同的形状和大小。
另外，轴对称图形的对称轴上的任意一点都是图形的中点，这与对称轴的定义是相关的。
轴对称在日常生活中有广泛的应用。
比如我们常见的五角星图案、心形图案等都是轴对称的。
在设计和美术领域中，轴对称的运用可以带来更好的平衡感和美观度。
在机械制图和建筑设计中，轴对称的概念也有重要的作用。
二、中心对称中心对称是指图形关于某个点对称。
这个点称为中心对称的中心。
对于一个中心对称图形中的任意一点P，如果存在另一点Q关于中心对称的中心对称，那么图形关于中心对称的中心是中心对称的。
中心对称图形的一个重要性质是，图形中的任意一点与中心对称的中心之间的距离相等。
这意味着中心对称图形的任意两点可以通过中心对称的变换互相转化。
而在轴对称图形中，两个点在对称轴上的距离并不一定相等。
中心对称也是我们生活中常见的一种对称方式。
比如自然界中的雪花、植物的叶子等都具有中心对称的特点。
在艺术作品和装饰品中，中心对称的图案也常常被运用。
轴对称和中心对称在几何学中是两个重要的概念，它们不仅有着理论上的意义，也有着实际的应用。
通过对轴对称和中心对称的研究，我们可以更好地理解图形的性质和特点，扩展我们的几何思维方式。
总结：在平面几何中，轴对称和中心对称是两个基本的对称方式。
轴对称是指图形关于某条直线对称，而中心对称是指图形关于某个点对称。
对称性在数学中的应用与实例数学是一门研究数量、结构、变化以及空间等概念的学科，而对称性作为数学中的重要概念之一，具有广泛的应用。
本文将探讨对称性在数学中的应用，并通过实例来说明。
一、对称性的定义与基本概念对称性是指在某种变换下，物体或者形状保持不变的性质。
在数学中，对称性可以分为几种不同的类型，如轴对称、中心对称、旋转对称等。
其中，轴对称是最常见的一种对称性，指的是物体或者形状相对于某条直线对称，即对称轴。
中心对称则是指物体或者形状相对于某个点对称，即对称中心。
旋转对称则是指物体或者形状在某个角度的旋转下保持不变。
二、对称性在几何中的应用1. 轴对称与图形的构造轴对称性在几何中的应用非常广泛。
它可以用于图形的构造，特别是对于对称图形的绘制。
通过找到图形的对称轴，我们可以更加方便地绘制出整个图形。
比如，在绘制一个正方形时，我们只需要找到一个对称轴，然后通过对称性来绘制出其他三条边，从而快速完成整个图形。
2. 中心对称与图形的判定中心对称性在几何中的应用主要体现在图形的判定上。
通过观察图形是否相对于某个点对称，我们可以判断一个图形是否具有中心对称性。
这在几何中的证明问题中尤为重要。
比如，我们可以利用中心对称性来证明两个三角形的相似性，或者证明两个线段相等等。
三、对称性在代数中的应用1. 对称多项式对称多项式是指在变量的任意排列下保持不变的多项式。
它在代数中有着重要的应用。
对称多项式的性质使得我们可以通过研究其中一部分的值来得出整个多项式的值。
这在代数中的方程求解、多项式展开等问题中具有重要意义。
2. 对称矩阵对称矩阵是指矩阵的主对角线两侧的元素相等的矩阵。
对称矩阵在线性代数中有着广泛的应用。
它具有许多重要的性质，如对称矩阵的特征值一定是实数，对称矩阵可以通过正交变换对角化等。
这些性质使得对称矩阵在解决线性方程组、最优化问题等方面起到了关键作用。
四、对称性在组合数学中的应用1. 对称图形的计数对称性在组合数学中被广泛应用于对称图形的计数问题。
轴对称、中心对称图形的性质及应用
一、轴对称图形
如果把一个图形沿着某一条直线对折过来，在直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，能够重合的点互为对称点．
轴对称图形具有以下的性质：(1)轴对称图形的两部分是全等的；(2)对称轴是连结两个对称点的线段的垂直平分线．
在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质．譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线；正方形，菱形问题经常添设对角线等等．
另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图形，或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中．
例1 已知直线l外有一定点 P，试在l上求两点A、B，使AB＝m(定长)，且PA＋PB最短．
分析当把P点沿l方向平移至C(如图1)，使PC＝m，那么问题就转化为在l上求一点B，使CB＋PB为最短．
作法过P作PC∥l，使PC＝m，作P关于l的对称点P＇，连结CP＇交l于B．在l上作AB＝m，点A、B为所求之两点．
证在l上另任取A＇B＇＝m，连PA、PA＇、PB＇，CB＇，A＇P＇，B＇P＇，则PA＇＝P＇A＇，PB＇＝P＇B＇，又PA＇B＇C 为平行四边形，∴CB＇＝PA＇．∵CB＇＋B＇P＇＞CP＇，∴ PA＇＋PB＇＞PA＋PB．
例2 如图2，△ABC中，P为∠A外角平分线上一点，求证：PB＋PC＞AB＋AC．
分析由于角平分线是角的对称轴，作AC关于AP的轴对称图形AD，连结DP、CP，则DP＝CP，BD＝AB＋AC．这样，把 AB＋AC、AC、PB、PC集中到△BDP中，从而由PB＋PD＞BD，可得PB＋PC＞AB＋AC．
证 (略)
说明通过变为轴对称图形后，起到相对集中条件的作用，又有将折线化直的作用(如AB＋AC化直为BD)．
例3 等腰梯形的对角线互相垂直，且它的中位线等于m，求此梯形的高．
解如图3．设等腰梯形AD∥BC，AB＝DC，对角线AC与BD相交于O，且AC⊥BD，中位线EF＝m．过AD、BC的中点M、N作直线，由等腰梯形ABCD关于直线MN成轴对称图形，∴O点在MN上，且OA＝OD，OB＝OC，AM＝DM，BN＝CN．又 AC⊥BD，故△AOD和△BOC均为等腰直角三角形．2OM＝AD，2ON＝BC．∵AD＋BC＝2EF＝2m，∴2OM＋2ON＝2m．
∴OM＋ON＝m，即梯形高MN＝m．
例4 凸四边形EFGH的四个顶点分别在边长为a的正方形ABCD的四条边上．
证如图4，连结AA2，EE3．正方形ABCD和正方形A1BCD1关于BC对称；EFGH和E1FG1H1关于BC对称；A1BCD1和A2B1CD1关于 CD1对称；E1FG1H1和 E2F1G1H2关于CD1对称；A2B1CD1和A2B2C1D1关于A2D1对称，E2F1G1H2和E3F2G2H2关于A2D1对称．
例5 如果一个四边形关于它的两组对边中点的两条连线成轴对称，则此四边形为矩形．
已知如图22－5．四边形ABCD中，M、F、N、E分别为各边的中点，且MN、EF为它的对称轴．
求证 ABCD是矩形．
分析欲证ABCD是矩形，首先证明它是平行四边形，再证明它有一个直角即可．
证∵四边形ABCD关于EF成轴对称，∴DC⊥EF，AB⊥EF，∴AB∥DC．同理AD∥BC．∴ABCD是平行四边形．∴DC＝AB．
又∵DE＝DC/2，AF＝AB/2．∴DE AF，∴ADEF为平行四边形．∴AD∥EF，而DE⊥EF，∴DE⊥AD，∠D＝Rt∠．∴ABCD是矩形．
二、中心对称图形
如果把一个图形绕着某一点旋转180°后，能和原图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．这个点叫做对称中心，能重合的点互为对称点．
中心对称图形具有以下性质：(1)关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．(2)关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一条直线上)且相等．
平行四边形是中心对称图形．矩形、菱形、正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形．
例6 如图6．已知ABCD，O是对角线 AC与BC的交点． EF过O点与AB交于E，与DC交于F．求证：OE＝OF．
证∵O点是ABCD的对称中心，EF过O点与AB相交于E，与DC相交于F．故E、F
两点是以点O为对称中心的对称点．∴OE＝OF．
例7 △ABC中，底边BC上的两点M、N把BC三等分，BE是AC上的中线，AM、AN分BE 为a，b，c三部分，求：a∶b∶c．
分析本题解法很多，我们利用中心对称图形求解．如图7，以E为中心，作已知图形的中心对称图形，则M＇C∥AM，N＇C ∥AN，于是可得
a∶(2b＋2c)＝1/2，∴a＝b＋c，①
(a＋b)∶2c＝DN＇∶N＇A＝2∶1，
∴a＋b＝4c，②
由①得，a－b＝c，③
②＋③， 2a＝5c，∴a＝5c/2．
②－③，2b＝3c，∴b＝3c/2．
∴ a∶b∶c＝5c/2∶3c/2∶c＝5∶3∶2．
解 (略)
例8 若四边形的一组对边相等，延长这一组对边，使各与另一组对边的中点连线的延长线相交，则这两个交角必相等．
已知如图8．四边形ABCD中， AD＝BC，E、F分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线分别与EF的延长线交于G、H．
求证∠AGE＝∠BHE．
分析为了使求证的两个角与已知条件发生联系，利用“旋转法”使角或线段搬家而沟通思路．
证如图8，以E为对称中心，作△EBC的中心对称图形△EAM(即连结CE并延长CE到M 使EM＝EC，连结AM)．连结DM，AM＝BC＝AD，∴∠2＝∠3．
∵DF＝FC，CE＝EM，∴DM∥HE，∴∠1＝∠2．
∵AE＝EB， EM＝EC，∴AMBC是平行四边形．
∴AM∥BH，而DA∥HE，∴∠3＝∠BHE．
∴∠1＝∠BHE，即∠AGE＝∠BHE．
习题
1．如图9 一牧童在A处牧马，牧童家在B处．A、B处距河岸分别为300m、500m，CD ＝600m，天黑前，牧童从A点将马牵到河边去饮水后再赶回家．那么牧童最少要走多少米？
2．证明：任一点关于正方形各边中点的对称点是一个正方形的顶点．
3．求证：在四边形ABCD中，如果AB＝AD，CB＝CD，那么它的面积等于AC·BD/2．4．在直线MN两侧有A，B两点，在MN上求一点P，使P到A、B两点之差最大．
5．等腰梯形的周长为22cm，中位线长为 7cm，两条对角线中点连线为3cm，求各边长．。
