轴对称图形的性质及应用

轴对称、中心对称图形的性质及应用一、轴对称图形如果把一个图形沿着某一条直线对折过来，在直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，能够重合的点互为对称点．轴对称图形具有以下的性质：(1)轴对称图形的两部分是全等的；(2)对称轴是连结两个对称点的线段的垂直平分线．在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质．譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线；正方形，菱形问题经常添设对角线等等．另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图形，或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中．例1 已知直线l外有一定点 P，试在l上求两点A、B，使AB＝m(定长)，且PA＋PB最短．分析当把P点沿l方向平移至C(如图1)，使PC＝m，那么问题就转化为在l上求一点B，使CB＋PB为最短．作法过P作PC∥l，使PC＝m，作P关于l的对称点P＇，连结CP＇交l于B．在l上作AB＝m，点A、B为所求之两点．证在l上另任取A＇B＇＝m，连PA、PA＇、PB＇，CB＇，A＇P＇，B＇P＇，则PA＇＝P＇A＇，PB＇＝P＇B＇，又PA＇B＇C 为平行四边形，∴CB＇＝PA＇．∵CB＇＋B＇P＇＞CP＇，∴ PA＇＋PB＇＞PA＋PB．例2 如图2，△ABC中，P为∠A外角平分线上一点，求证：PB＋PC＞AB＋AC．分析由于角平分线是角的对称轴，作AC关于AP的轴对称图形AD，连结DP、CP，则DP＝CP，BD＝AB＋AC．这样，把 AB＋AC、AC、PB、PC集中到△BDP中，从而由PB＋PD＞BD，可得PB＋PC＞AB＋AC．证 (略)说明通过变为轴对称图形后，起到相对集中条件的作用，又有将折线化直的作用(如AB＋AC化直为BD)．例3 等腰梯形的对角线互相垂直，且它的中位线等于m，求此梯形的高．解如图3．设等腰梯形AD∥BC，AB＝DC，对角线AC与BD相交于O，且AC⊥BD，中位线EF＝m．过AD、BC的中点M、N作直线，由等腰梯形ABCD关于直线MN成轴对称图形，∴O点在MN上，且OA＝OD，OB＝OC，AM＝DM，BN＝CN．又 AC⊥BD，故△AOD和△BOC均为等腰直角三角形．2OM＝AD，2ON＝BC．∵AD＋BC＝2EF＝2m，∴2OM＋2ON＝2m．∴OM＋ON＝m，即梯形高MN＝m．例4 凸四边形EFGH的四个顶点分别在边长为a的正方形ABCD的四条边上．证如图4，连结AA2，EE3．正方形ABCD和正方形A1BCD1关于BC对称；EFGH和E1FG1H1关于BC对称；A1BCD1和A2B1CD1关于 CD1对称；E1FG1H1和 E2F1G1H2关于CD1对称；A2B1CD1和A2B2C1D1关于A2D1对称，E2F1G1H2和E3F2G2H2关于A2D1对称．例5 如果一个四边形关于它的两组对边中点的两条连线成轴对称，则此四边形为矩形．已知如图22－5．四边形ABCD中，M、F、N、E分别为各边的中点，且MN、EF为它的对称轴．求证 ABCD是矩形．分析欲证ABCD是矩形，首先证明它是平行四边形，再证明它有一个直角即可．证∵四边形ABCD关于EF成轴对称，∴DC⊥EF，AB⊥EF，∴AB∥DC．同理AD∥BC．∴ABCD是平行四边形．∴DC＝AB．又∵DE＝DC/2，AF＝AB/2．∴DE AF，∴ADEF为平行四边形．∴AD∥EF，而DE⊥EF，∴DE⊥AD，∠D＝Rt∠．∴ABCD是矩形．二、中心对称图形如果把一个图形绕着某一点旋转180°后，能和原图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．这个点叫做对称中心，能重合的点互为对称点．中心对称图形具有以下性质：(1)关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．(2)关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一条直线上)且相等．平行四边形是中心对称图形．矩形、菱形、正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形．例6 如图6．已知ABCD，O是对角线 AC与BC的交点． EF过O点与AB交于E，与DC交于F．求证：OE＝OF．证∵O点是ABCD的对称中心，EF过O点与AB相交于E，与DC相交于F．故E、F两点是以点O为对称中心的对称点．∴OE＝OF．例7 △ABC中，底边BC上的两点M、N把BC三等分，BE是AC上的中线，AM、AN分BE 为a，b，c三部分，求：a∶b∶c．分析本题解法很多，我们利用中心对称图形求解．如图7，以E为中心，作已知图形的中心对称图形，则M＇C∥AM，N＇C ∥AN，于是可得a∶(2b＋2c)＝1/2，∴a＝b＋c，①(a＋b)∶2c＝DN＇∶N＇A＝2∶1，∴a＋b＝4c，②由①得，a－b＝c，③②＋③， 2a＝5c，∴a＝5c/2．②－③，2b＝3c，∴b＝3c/2．∴ a∶b∶c＝5c/2∶3c/2∶c＝5∶3∶2．解 (略)例8 若四边形的一组对边相等，延长这一组对边，使各与另一组对边的中点连线的延长线相交，则这两个交角必相等．已知如图8．四边形ABCD中， AD＝BC，E、F分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线分别与EF的延长线交于G、H．求证∠AGE＝∠BHE．分析为了使求证的两个角与已知条件发生联系，利用“旋转法”使角或线段搬家而沟通思路．证如图8，以E为对称中心，作△EBC的中心对称图形△EAM(即连结CE并延长CE到M 使EM＝EC，连结AM)．连结DM，AM＝BC＝AD，∴∠2＝∠3．∵DF＝FC，CE＝EM，∴DM∥HE，∴∠1＝∠2．∵AE＝EB， EM＝EC，∴AMBC是平行四边形．∴AM∥BH，而DA∥HE，∴∠3＝∠BHE．∴∠1＝∠BHE，即∠AGE＝∠BHE．习题1．如图9 一牧童在A处牧马，牧童家在B处．A、B处距河岸分别为300m、500m，CD ＝600m，天黑前，牧童从A点将马牵到河边去饮水后再赶回家．那么牧童最少要走多少米？2．证明：任一点关于正方形各边中点的对称点是一个正方形的顶点．3．求证：在四边形ABCD中，如果AB＝AD，CB＝CD，那么它的面积等于AC·BD/2．4．在直线MN两侧有A，B两点，在MN上求一点P，使P到A、B两点之差最大．5．等腰梯形的周长为22cm，中位线长为 7cm，两条对角线中点连线为3cm，求各边长．。

关于轴对称的知识点1．轴对称的定义把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴。

折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点。

【轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合。

成轴对称的两个图形一定全等。

】2．轴对称图形的定义把一个图形沿着某直线折叠，如果直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。

【轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定。

】3．轴对称与轴对称图形的区别与联系轴对称与轴对称图形的主要区别：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.。

4．轴对称的性质轴对称的性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分；成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称；成轴对称的两个图形全等。

5．线段的轴对称性①线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴。

②线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。

③线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线上。

【①线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件。

②三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心。

】6．线段的垂直平分线垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。

7．角的轴对称性（1）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴。

（2）角平分线上的点到角两边的距离相等。

轴对称图形的性质及应用轴对称图形是指通过对称轴将图形分为两个互补的部分，两侧部分完全对称的图形。

本文将介绍轴对称图形的特点、性质以及在日常生活中的应用。

特点：轴对称图形在对称轴两侧完全对称，也就是说，左右两侧完全相同，而相应的点到对称轴的距离也完全相等。

轴对称图形最简单的例子就是欧拉线。

性质：轴对称图形与一般图形相比，具有许多独特性质。

1.对称坐标：轴对称图形在对称轴两侧完全对称，因此可以将其坐标进行相应的简化，将对称轴视为原点，将图形分解为x轴和y轴两个部分。

这种简化的坐标系统被称为对称坐标系。

2.取消相似性：一个轴对称图形绕对称轴旋转180度后，两部分分别重叠，正反都是一样的。

这也就说明了轴对称图形并不具有缩放不变性。

与此相反，使用其他变换，如旋转和平移时，图形可能变形，但尺寸和形状不变化。

3.构造对称轴：如果给定一个轴对称图形，很容易通过观察来确定它的对称轴。

但是，如果给定一个线段，如何通过它来构造轴对称图形呢？有一种简单的方法是，将线段的中点作为对称轴，然后用半径相等的圆弧将线段两端连接起来，就可以得到一个轴对称图形。

应用：轴对称图形在各个领域都有着广泛的应用。

1.设计：在建筑设计过程中，轴对称设计可以增强结构的平衡和美感。

对称图案也常常出现在布艺和墙壁装饰品上。

2.生物学：轴对称图形在生物学中也有着广泛的应用。

例如，许多植物和动物的身体结构都具有轴对称性。

轴对称性在遗传学中也发挥着重要作用，它对生物特征的分析和研究有重要的指导作用。

3.艺术：轴对称图形是艺术中常常使用的一种形式。

例如，一些字母、标志和图形都是轴对称的，这在机器制图和商业设计中都很常见。

4.数学：轴对称图形在数学中也发挥着重要作用，特别是在几何学中。

几何转化和对称操作常常用于证明数学定理，而轴对称图形则是证明某些性质的好例子。

总结：轴对称图形是一种可以通过对称轴将图形分为两个互补的部分，两侧部分完全对称的图形。

轴对称图形具有特殊的性质，例如对称坐标，取消相似性以及构造对称轴等。

轴对称图形的性质及应用如果把一个图形沿着某一条直线对折过来，在直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，能够重合的点互为对称点．轴对称图形具有以下的性质：（1）轴对称图形的两部分是全等的；（2）对称轴是连结两个对称点的线段的垂直平分线．在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质．譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线；正方形，菱形问题经常添设对角线等等．另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图形，或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中．例1已知直线l 外有一定点 P ，试在l 上求两点A ，B ，使AB m =（定长），且PA PB +最短．分析：当把P 点沿l 方向平移至C （如图1），使PC m =，那么问题就转化为在l 上求一点B ，使CB PB +为最短．作法：过P 作//PC l ，使PC m =，作P 关于l 的对称点P '，连结CP '交l 于B ．在l 上作AB m =，点A ，B 为所求之两点．证：在l 上另任取A B m ''=，连PA ，PA '，PB '，CB '，A P ''，B P ''，则P A PA'''=，PB P B '''=，又PA B C ''为平行四边形，∴CB PA ''=． ∵CB '＋B P ''＞CP '， ∴PA '＋PB '＞PA ＋PB ．例2如图2，△ABC 中，P 为∠A 外角平分线上一点，求证：PB ＋PC ＞AB ＋AC ．分析：由于角平分线是角的对称轴，作AC关于AP的轴对称图形AD，连结DP，CP，则DP＝CP，BD＝AB＋AC．这样，把AB＋AC，AC，PB，PC集中到△BDP中，从而由PB＋PD＞BD，可得PB＋PC＞AB＋AC．证：（略）．点评：通过变为轴对称图形后，起到相对集中条件的作用，又有将折线化直的作用（如AB＋AC化直为BD）．例3等腰梯形的对角线互相垂直，且它的中位线等于m，求此梯形的高．解：如图3．设等腰梯形AD∥BC，AB＝DC，对角线AC与BD相交于O，且AC⊥BD，中位线EF＝m.过AD，BC的中点M，N作直线，由等腰梯形ABCD关于直线MN成轴对称图形，∴O点在MN上，且OA＝OD，OB＝OC，AM＝DM，BN＝CN．又AC⊥BD，故△AOD和△BOC均为等腰直角三角形．2OM＝AD，2ON＝BC．∵AD＋BC＝2EF＝2m，∴2OM＋2ON＝2m．∴OM＋ON＝m，即梯形高MN＝m．例4凸四边形EFGH的四个顶点分别在边长为a的正方形ABCD的四条边上．求证：EFGH的周长不小于．证：如图4，连结AA 2，EE 3．正方形ABCD 和正方形A 1BCD 1关于BC 对称；EFGH和E 1FG 1H 1关于BC 对称；A 1BCD 1和A 2B 1CD 1关于 CD 1对称；E 1FG 1H 1和 E 2F 1G 1H 2关于CD 1对称；A 2B 1CD 1和A 2B 2C 1D 1关于A 2D 1对称，E 2F 1G 1H 2和E 3F 2G 2H 2关于A 2D 1对称．2AA =，又23AE A E =32EE AA ==1122332EF FG GH HE EF FG G H H E EE AA ∴+++=+++==≥例5 如果一个四边形关于它的两组对边中点的两条连线成轴对称，则此四边形为矩形．已知：如图5．四边形ABCD 中，M ，F ，N ，E 分别为各边的中点，且MN ，EF 为它的对称轴．求证：ABCD 是矩形．分析：欲证ABCD 是矩形，首先证明它是平行四边形，再证明它有一个直角即可．证：∵四边形ABCD 关于EF 成轴对称，∴DC ⊥EF ，AB ⊥EF ， ∴AB ∥DC ．同理AD ∥BC ．∴ABCD 是平行四边形．∴DC ＝AB ．又∵2DC DE =，2AB AF =．∴D E AF ，∴ADEF 为平行四边形．∴AD ∥EF ，而DE ⊥EF ，∴DE ⊥AD ，∠D ＝90．∴ABCD 是矩形．轴对称应用举例山东 徐传军生活中很多图形的形状都有一个共同的特性———轴对称．在日常生活中利用轴对称的性质能解决很多问题，下面举例说明．一、确定方向例1 如图1，四边形ABCD 是长方形的弹子球台面，有黑白两球分别位于E 、F 两点的位置，试问，怎样撞击黑球E ，才能使黑球先碰撞台边DC ，反弹后再击中白球F ？解：作E 点关于直线CD 的对称点E ′，连接FE ′，与CD 的交点P 即为撞击点，点P即为所求．例2 如图2，甲车从A 处沿公路L 向右行驶，乙车从B 处出发，乙车行驶的速度与甲车行驶的速度相同，乙车要在最短的时间追上甲车，请问乙车行驶的方向？解：作AB 的垂直平分线EF ，交直线L 于点C ，乙车沿着BC 方向行驶即可．二、确定点的位置找最小值例3 如图3，AB ∥CD ，AC ⊥CD ，在AC 上找一点Ｅ,使得BE +DE 最小．解：作点B 关于AC 的对称点B ′,连接DB ′，交AC 于点E ，点E 就是要找的点．例4如图4，点A是总邮局，想在公路L1上建一分局D，在公路L2上建一分局E，使AD+DE+EA的和最小．解：作点A关于L1和L2的对称点B、C．连接BC，交L1于点D，交L2于点E．点D、E就是要找的点．三、与其他学科结合唐朝某地建造了一座十佛寺，竣工时，太守在庙门右边写了一副上联“万瓦千砖百匠造成十佛寺”，望有人对出下联，且表达恰如其分，你能对出下联来吗?对联中有数字万、千、百、十，几个月过去了，无人能对，有个文人李生路过，感觉庙前没有下联不像话，十分感慨．一连几天在庙前苦思冥想，未能对出下联，有次在庙前散步，望见一条大船由远而来，船夫正使劲的摇橹，这时李生突发灵感，对出了下联———“一舟二橹四人摇过八仙桥”．太守再次路过此庙时，看到下联，连连称赞“妙妙妙”．这副对联数字对数字，事物对事物，对称美如此的和谐．可见，对称美在文学方面也有生动深刻的体现．生活中的轴对称无处不在,只要你善于观察,将会发现其间所蕴涵的丰富的文化价值和对称美给人带来的回味无穷的享受．用轴对称解实际问题山东于秀坤在我们实际生活中，许多问题设计到轴对称的应用，下面介绍几例.例1要在河岸所在直线l上修一水泵站，分别向河岸同侧的A、B两村送水，请你设计水泵站应修在何处，所用管道最短？分析：设水泵站修在C点，此题的实质是求折线AC+BC的最短长度，可作出A点关于直线l的对称点A′，如图1，根据对称性，AC+BC=A′C+BC，所以连结BA′交直线l于点C，点C便是水泵站的位置，因为此时折线长AC+CB化成线段A′B的长，根据两点之间线段最短的道理便可确定点C是水泵的位置．图1 图2例2如图2，角形铁架∠MON小于60°，A、D是OM、ON上的点，为实际应用的需要，须在OM和ON上各找点B、C，使AB+BC+CD最小，问应如何找？分析：学习了轴对称，可以利用对称性化折为直的道理，分别作出点A、点D关于ON、OM的对称点A′、D′，连结A′D′与ON、OM交于B、C，则点B、C便是所求的点．例3如图3，EFGH是一个长方形的弹子球台面，有黑白两球分别位于A、B两点的位置．（1）试问：怎样撞击黑球A，使黑球A先碰撞台边EF反弹后再撞击白球B？（2）怎样撞击黑球A，使黑球先碰撞台边GH反弹后再击台边EF，最后击白球B？图3分析：利用轴对称的性质，分别作出B点关于EF的对称点，A点关于HG的对称点，问题得解．解：（1）①作点B关于EF的对称点B′，②连结AB′交EF于C点，则沿AC撞击A，球A必沿BC反弹击中白球B（如图4）．图4 图5（2）如图5，作法类似（1）．例4如图5，小河边有两个村庄，要在河对岸建一自来水厂向A村与B村供水，要符合条件：（1）若要使厂部到A、B的距离相等，则应选在哪儿？（2）若要使厂部到A村、B村的水管最省料，应建在什么地方？图5 图6 图7解：（1）如图6，取线段AB的中点G，过中点G作AB的垂线,交EF于P，则P到A、B的距离相等．（2）如图7，作点A关于河岸EF的对称点A′，连结A′B交EF于P，则P到A、B 的距离和最短．用轴对称知识解决打台球一题山东于秀坤题目：小强和小勇利用课本上学过的知识来进行台球比赛．（1）小强把白球放在如图1所示的位置，想通过击打白球撞击黑球，使黑球撞AC边后反弹进F洞；想想看小强这样击打，黑球能进F洞吗？请画图的方法验证你的判断，并说明理由．图1 （2）小勇想通过击打白球撞击黑球，使黑球至多撞台球桌边一次后进A洞，请你猜想小勇有几种方案？并分别在下面的台球桌上画出示意图，解释你的理由．分析：本题是一道操作型探究题，主要根据轴对称的知识的有关进行探究．第(1)题可以通过击打AC边使球反弹进F洞．第(2)题有多种方法．击球入洞需要对每一杆的角度进行适当的估算，实质上等同于几何角度的计算，二者有着密切的关系．要想至多撞台球桌边一次击黑球于F洞．方案可以有以下情况：(1)不击台球桌边，直接用白球撞击黑球;(2)通过白球击CF边反弹再撞击黑球进A洞；(3)用白球撞击DF边反弹撞击黑球进F洞．要想准确撞击黑球，必须找准击球的方向角度，准确估算击球的方向．在数学上，可以借助轴对称的知识来解决问题．解: (1)如图2，将白球与黑球视为两点，过这两点画直线交台球桌边AC于M，过点M 作法线MN⊥AC，在MN右侧∠F′MN=∠PMN，由于射线MF′过F洞，知黑球经过一次反弹后必进入F洞．图2（2）方案1：如图3，视白球、黑球为两点P，G，使A、G、P在同一直线上．方案2：如图4，延长AC到H点，使AC=CH，连接GH交FC于点K，根据轴对称的知识可知，用白球沿GK方向撞击边CF反弹后可进行A洞．方案3：如图5，延长AD到M点，使MD=AD，连结GM交DF于N，根据轴对称知识可知，沿GN方向用白球撞击黑球经反弹后可进入A洞．图3 图4 图5最短线路问题河北欧阳庆红吴立稳同学们，对于最短线路问题你一定很陌生吧?运动着的车、船、飞机，包括人们每天走路都要遇到这样的问题．古今中外的任何旅行者总希望寻求最佳的旅行路线，尽量走近道，少走冤枉路．我们把这类求近道的问题统称最短线路问题．另外，从某种意义上说，一笔画问题也属于这类问题，这类问题在生产、科研、生活中应用广泛．请同学们看下面几个生活中的最短线路问题．一、两点一线问题例1 如图1，某同学打台球时想绕过黑球，通过击黑球A，使主球A撞击桌边MN后反弹，来击中白球B．请在图中标明，黑球撞在MN上哪一点才能达到目的？(以球心A、B来代表两球)?分析：要撞击黑球A，使黑球A先撞击台边MN上的P点后反弹击中白球B，需∠APN=∠BPM，如图2，可作点A关于MN的对称点A’，连结A’B交MN于点P，则P点即为所求作的点．作法:（图2）：⑴作点A关于MN的对称点A’；⑵连结A’B，交MN于P．则经AP撞击台边MN，必沿P B反弹击中白球B．∴点P就是所要求的点．N图1说明：本题黑球A ，白球B 在MN 的同侧，直接确定撞击点的位置不容易，但若A 、B 在MN 的异侧，击球路线就容易确定了．本题可利用轴对称的特征将A 点转化到MN 的另一侧，设为A ’，连接A ’B 即可确定撞击点．二、一点两线问题例2 在一条大的河流中有一形如三角形的小岛（如图3），岸与小岛有一桥相连．现准备在小岛的三边上各设立一个水质取样点．水利部门在岸边设立了一个观测站，每天有专人从观测站步行去三个取样点取样，然后带回去化验．请问，三个取样点应分别设在什么位置，才能使得每天取样所用时间最短(假设速度一定)? 分析：此题要求时间最短，而速度一定，所以可转化为求最短路程．如图4，小桥DE为必走之路，所以容易得到D 为BC 边上的取样点．关键是确定另外两边上的取样点，这是线段之和最小的问题，我们的想法是将三条线段拼起来，关于线段最短，我们有“两点之间，线段最短”，利用对称便可使问题得到解决．解析：如图4，作点D 关于AB 的对称点F ；点D 关于AC 的对称点G ， 连接FG ，交AB 于M ，交AC 于N ．∴D 、M 、N 即所求三个取样点．（请同学们试着证一证）．三、同类变式 例3 某班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图５中的AO ，BO ），AO 桌面上摆满了糖果，BO 桌面上摆满了桔子，坐在C 处的学生小亮先拿糖果再拿桔子，然后回到座位，请你帮他设一条行走路线，使其所走的总路程最短？分析：此题是轴对称的特殊应用，需分两种情况讨论：①∠AOB 小于90°；②∠AOB 等于90°。

初中数学轴对称图形的性质有哪些轴对称图形是指一个图形中存在一条直线，将图形分成两个完全对称的部分。

这条直线被称为轴对称线，也被称为对称轴。

下面是轴对称图形的一些性质：1. 对称性质：轴对称图形的两个部分是完全对称的，即它们在形状、大小和位置上完全一致，只是相对于轴对称线的位置互换。

这种对称性使得我们能够在一个部分中观察到一些性质，并将其应用到另一个对称部分中。

2. 轴对称线性质：轴对称图形的轴对称线上的任意一点与它的对称点距离相等。

也就是说，如果一个点在轴对称线上，那么它的对称点也在轴对称线上。

这个性质对于计算轴对称图形中各个点的坐标非常有用。

3. 对称中心性质：轴对称图形的对称中心即为轴对称线上的任意一点。

对称中心具有以下性质：a. 对称中心是轴对称图形的一个重要特征，它可以帮助我们确定图形的对称关系。

b. 对称中心到轴对称图形上任意一点的距离等于该点到轴对称线所在直线的距离。

c. 对称中心到轴对称线的距离等于轴对称图形中所有点到轴对称线的距离的平均值。

4. 对称点性质：轴对称图形中每个点都有一个对称点，它们在轴对称线上对称。

对称点的坐标可以通过对称轴上的点的坐标进行计算。

例如，在一个矩形中，矩形的左上角和右下角是对称的，它们在垂直轴对称线上对称。

5. 线段对称性质：轴对称图形中的任意一条线段，它的两个端点关于轴对称线对称。

这个性质对于计算轴对称图形中线段的长度非常有用。

6. 角度对称性质：轴对称图形中的任意一个角度，它的两个角度顶点关于轴对称线对称。

这个性质对于计算轴对称图形中角度的大小非常有用。

7. 区域对称性质：轴对称图形中的任意一个区域，它关于轴对称线对称。

这个性质对于计算轴对称图形中区域的面积非常有用。

通过了解轴对称图形的性质，我们可以更好地理解几何学中的对称性和图形变换。

轴对称图形的性质在解决与对称性和图形变换相关的问题时非常重要。

希望以上内容能够帮助你了解轴对称图形的性质。

如果你还有其他问题，请随时提问。

轴对称图形轴对称图形是几何学中的一个重要概念，在许多领域中都有着广泛的应用。

轴对称图形是指可以通过某条虚拟线（称为轴）将图形分成两个对称的部分的图形。

接下来我们将深入探讨轴对称图形的性质、特点以及一些实际应用。

轴对称图形的性质轴对称图形具有以下几个显著的性质：1.对称轴：轴对称图形存在一个或多个对称轴，通过这些轴，可以将图形分成两个完全对称的部分。

对称轴可以是水平、垂直或斜线。

2.对应点：轴对称图形上的每个点都有一个对应的对称点，这个对称点关于对称轴相对位置相同，但是在轴对称图形中却是互为镜像的。

3.性质保持不变：轴对称变换不改变轴对称图形的性质，如面积、周长等，它只改变图形在空间中的位置和方向。

轴对称图形的分类根据轴对称的不同性质，轴对称图形可以分为以下几类：1.轴对称图形：最简单的轴对称图形是对称图形本身，例如正方形、正圆等。

2.轴对称字母：字母X在垂直中线上是轴对称。

3.轴对称数字：数字0、1、8在水平、垂直中线上是轴对称的。

4.轴对称图形的组合：多个轴对称图形可以组合在一起形成一个更大的轴对称图形。

轴对称图形的实际应用轴对称图形在日常生活中有着广泛的应用，下面列举几个实际应用：1.艺术创作：许多艺术作品中都运用了轴对称的原理，通过对称的布局或对称的图案来吸引观众的眼球。

2.建筑设计：建筑中的对称结构能够给人一种和谐、美感的感受。

许多古代建筑和现代建筑都运用了轴对称的设计。

3.产品设计：在产品设计中，轴对称设计能够提升产品的稳定性和美观性，例如汽车、手机等产品。

4.生物学：生物体中也存在轴对称结构，例如人体的左右对称、植物的对称花瓣等。

总结轴对称图形作为一种重要的几何概念，不仅在数学中有着丰富的性质和特点，而且在各个领域都有着重要的应用。

通过深入研究和理解轴对称图形，我们可以更好地利用这一概念在日常生活和工作中发挥作用，为人们创造更多美好的体验和设计。

希望本文对读者们有所启发，谢谢阅读！。

平面几何中的轴对称图形在平面几何学中，轴对称图形是指具有轴对称性质的图形。

轴对称图形是指通过某条轴线进行翻转或旋转180度后，能够得到与原图形完全重合的图形。

轴对称图形具有一些特殊的性质和应用，下面将详细介绍轴对称图形及其相关概念。

一、轴对称图形的定义及性质轴对称图形是指通过某条轴线进行翻转或旋转180度后，能够得到与原图形完全重合的图形。

轴对称图形具有以下几个性质：1. 对称轴：轴对称图形中存在一条轴线，称为对称轴。

对称轴将图形分为两个完全相同的部分，每个部分关于对称轴是对称的。

2. 点对称：轴对称图形中的每个点关于对称轴都有对应的点，且这些点与对称轴的距离相等。

3. 对称中心：轴对称图形中的对称轴交于一点，称为对称中心。

对称中心是轴对称图形的一个重要特点，它是图形的中心点。

二、常见的轴对称图形在平面几何中，有许多常见的轴对称图形，下面介绍几种常见的轴对称图形及其特点：1. 矩形：矩形是一种具有四个直角的四边形，它具有两对平行边。

矩形的两条对角线相等且互相垂直，因此矩形是一个轴对称图形。

2. 正方形：正方形是一种特殊的矩形，它具有四个相等的边和四个直角。

正方形的对角线相等且互相垂直，因此正方形也是一个轴对称图形。

3. 圆：圆是由一条曲线组成的，其中每个点到圆心的距离都相等。

圆具有无数个对称轴，因为任意经过圆心的直径都可以作为对称轴。

4. 椭圆：椭圆是由两个焦点和一条连接两个焦点的线段上的点构成的。

椭圆具有两条互相垂直的对称轴，因此是一个轴对称图形。

5. 正多边形：正多边形是指所有边长相等且所有内角相等的多边形。

正多边形具有以中心为对称中心的多条对称轴。

三、轴对称图形的应用轴对称图形在现实生活中有许多应用，下面列举几个常见的应用场景：1. 建筑设计：许多建筑物的立面设计采用轴对称图形，以达到美观和平衡的效果。

例如，宫殿、教堂等建筑常常采用对称的设计。

2. 花纹设计：许多花纹和图案都是轴对称的，如壁纸、地板砖等。

轴对称及其性质轴对称是一种几何特征，指的是图形经过某条线对称后，两侧完全重合。

在数学和几何学中，轴对称性质被广泛应用于解决问题和分析形状的对称性。

本文将介绍轴对称的定义、性质以及它在现实生活和数学领域的应用。

一、定义及例子轴对称是指一个形状可以通过某条直线旋转180度并完全重合。

这条直线被称为轴线，轴线两侧的图形是镜像关系。

例如，一个正方形具有4条轴对称线，分别是水平线、垂直线和两条对角线。

而心形、圆形、椭圆形等也都具有轴对称。

二、轴对称的性质1. 自反性：轴对称图形中的每个点都和关于轴线对称的另一个点相关联。

反过来，如果一个点和另一个点关于轴对称线对称，那么这个图形就是轴对称的。

2. 保角性：轴对称不改变图形的角度。

如果一个图形是轴对称的，那么对于轴上的任意一对相应点，它们构成的角度相等。

3. 保长度性：轴对称不改变图形的边长。

如果一个图形是轴对称的，那么轴上的每对相应点之间的距离相等。

4. 结构性：轴对称图形的结构和形状在镜像轴两侧是完全对称的。

这意味着一个轴对称图形的一半可以通过镜像来获得另一半。

三、轴对称的应用1. 图案设计：轴对称被广泛应用于图案设计中。

通过利用轴对称性质，设计师可以创造出美观、对称的图案来增强视觉效果。

2. 建筑设计：轴对称的概念在建筑设计中起着重要的作用。

许多建筑物的设计中都使用了轴对称性，使得建筑物的外观显得平衡和谐。

3. 数学推理：轴对称性质被广泛应用于数学推理和证明中。

通过分析轴对称，我们可以推导出关于图形的特定性质和关系，从而解决各种数学问题。

4. 自然界：自然界中很多物体都具有轴对称性，如植物、昆虫身体结构等。

通过研究这些轴对称物体，我们可以更好地理解自然界的形态和结构。

总结：轴对称是一种形状经过某条轴线旋转180度并完全重合的几何特征。

它具有自反性、保角性、保长度性和结构性等性质。

轴对称不仅在图案设计和建筑设计中起着重要作用，也在数学推理和自然界中具有广泛的应用。

知新篇一.轴对称的性质及其应用（1）轴对称的性质：①对应点所连的线段被对称轴 。

②对应 相等，对应 相等。

（2）如图是一个轴对称图形，直线AO 是对称轴， 则相等的线段有： = ， = 。

线段CD 被直线AO 。

量得30B∠，则∠E= 。

（3）设A 、B 两点关于直线MN 对称，则_____垂直平分______。

（4）等腰三角形是轴对称图形，它的底边被对称轴_________。

提醒：（1）对称轴上的点即是对应点所连线段的垂直平分线. （2）找准对应线段和对应角。

二.轴对称在实际中的应用 1.按边分类：图（1）是 三角形，图（2）是 三角形，图（3）是 三角形. 2.按角分类：图（1）是 三角形，图（2）是 三角形，图（3）是 三角形. 三.三角形的三边关系1.AB+AC BC, AB-AC BC.2.结论：三角形两边的和______第三边．三角形两边的差____第三边．【典例】【思路分析】判断三条线段能否组成三角形可根据三角形三边关系：“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行判断.最简单方法是：看较短两边的和是否大于最长边. 【解析】【点睛】在判断已知三条线段是否能够组成三角形，必须满足下列两个条件之一：（1）如果选最长边作第三边，则需判断其余两边之和大于第三边，（2）如果选最短边作第三边，则需判断其余两边之差小于第三边.三角形三边关系靓题拾贝三角形的三边关系：（1）三角形任意两边之和大于第三边．（2）三角形任意两边之差小于第三边．注意：这里的“两边”指的是任意的两边，对于“两边之差”它可能是正数，也可能是负数，一般地取“差”的绝对值． 一、 判断三条已知线段能否组成三角形【例1】已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，能组成三角形的是 （ ） A.1，2，3 B.2，5，8 C.3，4，5 D.4，5，10解：选C ．对于A ，1+2=3，所以A 不能，对于B ，2+5＜8，所以B 不能，对于D ，4+5＜10，所以D 不能． 二、已知三角形的周长，判断三边能否组成等腰三角形【例2】将长度为12m 的一根铁丝，截成三段，能围成等腰三角形的是 （ ） A.8m ，2m ，2m B.7m ，2.5m ，2.5m C.6m ，3m ，3m D.1m ，5.5m ，5.5m 解：选D ．根据三边关系，三个选项A 、B 、C 均有两边之和小于或等于第三边． 三、已知三角形的两边长，求第三边取值的个数【例3】已知三角形的三边长分别是3、8、x ，若x 的值为偶数，则x 的值有 （ ） A.6个 B.5个 C.4个 D.3个解：选D ．根据三角形三边关系有：8-3＜x ＜8+3即5＜x ＜11，若x 为偶数，则x=6，8，10.1.探新知 预习乐园提素能 自测自评A B ECD O214版北师七上学案教用P12左上T22.如图，ABC △与A B C '''△关于直线l 对称，则B ∠的度数为（ ） A ．30B ．50C ．90D 100．3.下列图形中，哪一幅成轴对称（ ）4.已知三角形的三边长分别是3，8，x ，若x 的值为偶数，则x 的值有 （ ）A.6个B.5个C.4个D.3个5.为估计池塘两岸A 、B 间的距离，杨阳在池塘一侧选取 了一点P ，测得PA=16m ，PB=12m ，那么AB 间的距离不可能是（ ）A.5mB.15mC.20mD.28m6.一辆汽车的牌号在水中的倒影如图所示，则这辆汽车的牌号应为______．7.如图，三角形纸片ABC ，10cm 7cm 6cm AB BC AC ===，，，沿过点B 的直线折叠这个三角形，使顶点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为BD ，则AED △的周长为 cm ．8.两根木棒的长分别是8cm ，10cm ，要选择第三根木棒将它们钉成三角形，那么第三根木棒的长x 的取值范围是________.9.如图所示，在△ABC 中，D ，E 是BC ，AC 上的两点，连结BE ，AD 交于F ，（1）图中有几个三角形?并表示出来;（2）△BDF 的三个顶点是什么?三条边是什么? （3）AB 边是哪些三角形的边? （4）F 点是哪些三角形的顶点?10.一个等腰三角形的周长是36 cm ．（1）已知腰长是底边长的2倍,求各边的长； （2）已知其中一边长8cm ，求另外两边的长．11.已知三角形的两边长分别是4cm 和9cm ．（1）求第三边的取值范围； （2）已知第三边长是偶数，求第三边长；（3）求周长的取值范围．12.（全家总动员）一次晚会上，主持人出了一道题目：“如何把变成一个真正的等式"，很长时间没有人答出，小兰仅仅拿出了一面镜子，就很快解决了这道题目，你知道她是怎样做的吗？答案探新知，预习乐园:一、1.互相重合 对称轴2.（1）（2）（4）（5）是轴对称图形，都有2条对称轴，（3）是轴对称图形，有无数条对称轴。

二维几何中的轴对称关系在二维几何中，轴对称是一种重要的几何关系，它描述了一个图形相对于某条直线的对称性。

轴对称关系不仅在数学中有着广泛的应用，而且在日常生活中也随处可见。

本文将探讨轴对称关系的定义、性质以及一些实际应用。

一、轴对称关系的定义轴对称关系是指一个图形在某条直线上的对称性。

具体来说，如果一个图形中的每个点关于某条直线对称，那么我们就说这个图形具有轴对称关系。

这条直线被称为轴线或对称轴。

二、轴对称关系的性质1. 对称性：轴对称关系具有对称性，即图形中的每个点关于轴线对称。

这意味着如果一个点P关于轴线对称得到点P'，那么点P'也关于轴线对称得到点P。

换句话说，图形中的每个点都有一个对应的对称点。

2. 轴线上的点：轴对称关系中，轴线上的点保持不变。

这意味着轴线上的点与其对称点重合。

例如，如果一条直线与轴线平行且与轴线上的一点相交，那么它与轴线上的对称点也会相交。

3. 图形的性质：轴对称关系可以保持图形的某些性质不变。

例如，如果一个图形是等边三角形，并且具有轴对称关系，那么它的对称图形也是等边三角形。

三、轴对称关系的实际应用1. 艺术设计：轴对称关系在艺术设计中被广泛应用。

许多艺术品、建筑物和装饰品都利用轴对称关系来创造美感和平衡感。

例如，许多古代建筑物的立面设计中常常使用轴对称来达到对称美。

2. 几何构图：在摄影和绘画中，轴对称关系也被用于构图。

通过将主题或元素放置在轴线两侧，可以创造出平衡和稳定感。

这种构图方法常用于风景摄影和肖像画中。

3. 工程设计：轴对称关系在工程设计中也起到重要的作用。

例如，在建筑设计中，对称结构可以提供更好的力学稳定性和均衡负荷分布。

在机械设计中，对称部件可以减少制造和装配的难度。

4. 数学推理：轴对称关系在数学推理中也有广泛的应用。

通过利用图形的轴对称性，我们可以推导出一些性质和定理。

例如，根据轴对称关系，我们可以证明一个图形的对角线长度相等。

总结：轴对称关系是二维几何中的重要概念，它描述了一个图形相对于某条直线的对称性。

轴对称图形的性质及应用如果把一个图形沿着某一条直线对折过来，在直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，能够重合的点互为对称点．轴对称图形具有以下的性质：（1）轴对称图形的两部分是全等的；（2）对称轴是连结两个对称点的线段的垂直平分线．在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质．譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线；正方形，菱形问题经常添设对角线等等．另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图形，或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中．例1已知直线l 外有一定点 P ，试在l 上求两点A ，B ，使AB m =（定长），且PA PB +最短．分析：当把P 点沿l 方向平移至C （如图1），使PC m =，那么问题就转化为在l 上求一点B ，使CB PB +为最短．作法：过P 作//PC l ，使PC m =，作P 关于l 的对称点P '，连结CP '交l 于B ．在l 上作AB m =，点A ，B 为所求之两点．证：在l 上另任取A B m ''=，连PA ，PA '，PB '，CB '，A P ''，B P ''，则P A PA'''=，PB P B '''=，又PA B C ''为平行四边形，∴CB PA ''=． ∵CB '＋B P ''＞CP '， ∴PA '＋PB '＞PA ＋PB ．例2如图2，△ABC 中，P 为∠A 外角平分线上一点，求证：PB ＋PC ＞AB ＋AC ．分析：由于角平分线是角的对称轴，作AC关于AP的轴对称图形AD，连结DP，CP，则DP＝CP，BD＝AB＋AC．这样，把AB＋AC，AC，PB，PC集中到△BDP中，从而由PB＋PD＞BD，可得PB＋PC＞AB＋AC．证：（略）．点评：通过变为轴对称图形后，起到相对集中条件的作用，又有将折线化直的作用（如AB＋AC化直为BD）．例3等腰梯形的对角线互相垂直，且它的中位线等于m，求此梯形的高．解：如图3．设等腰梯形AD∥BC，AB＝DC，对角线AC与BD相交于O，且AC⊥BD，中位线EF＝m.过AD，BC的中点M，N作直线，由等腰梯形ABCD关于直线MN成轴对称图形，∴O点在MN上，且OA＝OD，OB＝OC，AM＝DM，BN＝CN．又AC⊥BD，故△AOD和△BOC均为等腰直角三角形．2OM＝AD，2ON＝BC．∵AD＋BC＝2EF＝2m，∴2OM＋2ON＝2m．∴OM＋ON＝m，即梯形高MN＝m．例4凸四边形EFGH的四个顶点分别在边长为a的正方形ABCD的四条边上．求证：EFGH的周长不小于．证：如图4，连结AA 2，EE 3．正方形ABCD 和正方形A 1BCD 1关于BC 对称；EFGH和E 1FG 1H 1关于BC 对称；A 1BCD 1和A 2B 1CD 1关于 CD 1对称；E 1FG 1H 1和 E 2F 1G 1H 2关于CD 1对称；A 2B 1CD 1和A 2B 2C 1D 1关于A 2D 1对称，E 2F 1G 1H 2和E 3F 2G 2H 2关于A 2D 1对称．2AA =，又23AE A E =32EE AA ==1122332EF FG GH HE EF FG G H H E EE AA ∴+++=+++==≥例5 如果一个四边形关于它的两组对边中点的两条连线成轴对称，则此四边形为矩形．已知：如图5．四边形ABCD 中，M ，F ，N ，E 分别为各边的中点，且MN ，EF 为它的对称轴．求证：ABCD 是矩形．分析：欲证ABCD 是矩形，首先证明它是平行四边形，再证明它有一个直角即可．证：∵四边形ABCD 关于EF 成轴对称，∴DC ⊥EF ，AB ⊥EF ， ∴AB ∥DC ．同理AD ∥BC ．∴ABCD 是平行四边形．∴DC ＝AB ．又∵2DC DE =，2AB AF =．∴D E AF ，∴ADEF 为平行四边形．∴AD ∥EF ，而DE ⊥EF ，∴DE ⊥AD ，∠D ＝90 ．∴ABCD 是矩形．轴对称应用举例山东 徐传军生活中很多图形的形状都有一个共同的特性———轴对称．在日常生活中利用轴对称的性质能解决很多问题，下面举例说明．一、确定方向例1 如图1，四边形ABCD 是长方形的弹子球台面，有黑白两球分别位于E 、F 两点的位置，试问，怎样撞击黑球E ，才能使黑球先碰撞台边DC ，反弹后再击中白球F ？解：作E 点关于直线CD 的对称点E ′，连接FE ′，与CD 的交点P 即为撞击点，点P即为所求．例2 如图2，甲车从A 处沿公路L 向右行驶，乙车从B 处出发，乙车行驶的速度与甲车行驶的速度相同，乙车要在最短的时间追上甲车，请问乙车行驶的方向？解：作AB 的垂直平分线EF ，交直线L 于点C ，乙车沿着BC 方向行驶即可．二、确定点的位置找最小值例3 如图3，AB ∥CD ，AC ⊥CD ，在AC 上找一点Ｅ,使得BE +DE 最小．解：作点B 关于AC 的对称点B ′,连接DB ′，交AC 于点E ，点E 就是要找的点．例4如图4，点A是总邮局，想在公路L1上建一分局D，在公路L2上建一分局E，使AD+DE+EA的和最小．解：作点A关于L1和L2的对称点B、C．连接BC，交L1于点D，交L2于点E．点D、E就是要找的点．三、与其他学科结合唐朝某地建造了一座十佛寺，竣工时，太守在庙门右边写了一副上联“万瓦千砖百匠造成十佛寺”，望有人对出下联，且表达恰如其分，你能对出下联来吗?对联中有数字万、千、百、十，几个月过去了，无人能对，有个文人李生路过，感觉庙前没有下联不像话，十分感慨．一连几天在庙前苦思冥想，未能对出下联，有次在庙前散步，望见一条大船由远而来，船夫正使劲的摇橹，这时李生突发灵感，对出了下联———“一舟二橹四人摇过八仙桥”．太守再次路过此庙时，看到下联，连连称赞“妙妙妙”．这副对联数字对数字，事物对事物，对称美如此的和谐．可见，对称美在文学方面也有生动深刻的体现．生活中的轴对称无处不在,只要你善于观察,将会发现其间所蕴涵的丰富的文化价值和对称美给人带来的回味无穷的享受．用轴对称解实际问题山东于秀坤在我们实际生活中，许多问题设计到轴对称的应用，下面介绍几例.例1要在河岸所在直线l上修一水泵站，分别向河岸同侧的A、B两村送水，请你设计水泵站应修在何处，所用管道最短？分析：设水泵站修在C点，此题的实质是求折线AC+BC的最短长度，可作出A点关于直线l的对称点A′，如图1，根据对称性，AC+BC=A′C+BC，所以连结BA′交直线l于点C，点C便是水泵站的位置，因为此时折线长AC+CB化成线段A′B的长，根据两点之间线段最短的道理便可确定点C是水泵的位置．图1 图2例2如图2，角形铁架∠MON小于60°，A、D是OM、ON上的点，为实际应用的需要，须在OM和ON上各找点B、C，使AB+BC+CD最小，问应如何找？分析：学习了轴对称，可以利用对称性化折为直的道理，分别作出点A、点D关于ON、OM的对称点A′、D′，连结A′D′与ON、OM交于B、C，则点B、C便是所求的点．例3如图3，EFGH是一个长方形的弹子球台面，有黑白两球分别位于A、B两点的位置．（1）试问：怎样撞击黑球A，使黑球A先碰撞台边EF反弹后再撞击白球B？（2）怎样撞击黑球A，使黑球先碰撞台边GH反弹后再击台边EF，最后击白球B？图3分析：利用轴对称的性质，分别作出B点关于EF的对称点，A点关于HG的对称点，问题得解．解：（1）①作点B关于EF的对称点B′，②连结AB′交EF于C点，则沿AC撞击A，球A必沿BC反弹击中白球B（如图4）．图4 图5（2）如图5，作法类似（1）．例4如图5，小河边有两个村庄，要在河对岸建一自来水厂向A村与B村供水，要符合条件：（1）若要使厂部到A、B的距离相等，则应选在哪儿？（2）若要使厂部到A村、B村的水管最省料，应建在什么地方？图5 图6 图7解：（1）如图6，取线段AB的中点G，过中点G作AB的垂线,交EF于P，则P到A、B的距离相等．（2）如图7，作点A关于河岸EF的对称点A′，连结A′B交EF于P，则P到A、B 的距离和最短．用轴对称知识解决打台球一题山东于秀坤题目：小强和小勇利用课本上学过的知识来进行台球比赛．（1）小强把白球放在如图1所示的位置，想通过击打白球撞击黑球，使黑球撞AC边后反弹进F洞；想想看小强这样击打，黑球能进F洞吗？请画图的方法验证你的判断，并说明理由．图1 （2）小勇想通过击打白球撞击黑球，使黑球至多撞台球桌边一次后进A洞，请你猜想小勇有几种方案？并分别在下面的台球桌上画出示意图，解释你的理由．分析：本题是一道操作型探究题，主要根据轴对称的知识的有关进行探究．第(1)题可以通过击打AC边使球反弹进F洞．第(2)题有多种方法．击球入洞需要对每一杆的角度进行适当的估算，实质上等同于几何角度的计算，二者有着密切的关系．要想至多撞台球桌边一次击黑球于F洞．方案可以有以下情况：(1)不击台球桌边，直接用白球撞击黑球;(2)通过白球击CF边反弹再撞击黑球进A洞；(3)用白球撞击DF边反弹撞击黑球进F洞．要想准确撞击黑球，必须找准击球的方向角度，准确估算击球的方向．在数学上，可以借助轴对称的知识来解决问题．解: (1)如图2，将白球与黑球视为两点，过这两点画直线交台球桌边AC于M，过点M 作法线MN⊥AC，在MN右侧∠F′MN=∠PMN，由于射线MF′过F洞，知黑球经过一次反弹后必进入F洞．图2（2）方案1：如图3，视白球、黑球为两点P，G，使A、G、P在同一直线上．方案2：如图4，延长AC到H点，使AC=CH，连接GH交FC于点K，根据轴对称的知识可知，用白球沿GK方向撞击边CF反弹后可进行A洞．方案3：如图5，延长AD到M点，使MD=AD，连结GM交DF于N，根据轴对称知识可知，沿GN方向用白球撞击黑球经反弹后可进入A洞．图3 图4 图5最短线路问题河北欧阳庆红吴立稳同学们，对于最短线路问题你一定很陌生吧?运动着的车、船、飞机，包括人们每天走路都要遇到这样的问题．古今中外的任何旅行者总希望寻求最佳的旅行路线，尽量走近道，少走冤枉路．我们把这类求近道的问题统称最短线路问题．另外，从某种意义上说，一笔画问题也属于这类问题，这类问题在生产、科研、生活中应用广泛．请同学们看下面几个生活中的最短线路问题．一、两点一线问题例1 如图1，某同学打台球时想绕过黑球，通过击黑球A，使主球A撞击桌边MN后反弹，来击中白球B．请在图中标明，黑球撞在MN上哪一点才能达到目的？(以球心A、B来代表两球)?分析：要撞击黑球A，使黑球A先撞击台边MN上的P点后反弹击中白球B，需∠APN=∠BPM，如图2，可作点A关于MN的对称点A’，连结A’B交MN于点P，则P点即为所求作的点．作法:（图2）：⑴作点A关于MN的对称点A’；⑵连结A’B，交MN于P．则经AP撞击台边MN，必沿P B反弹击中白球B．∴点P就是所要求的点．N图1说明：本题黑球A ，白球B 在MN 的同侧，直接确定撞击点的位置不容易，但若A 、B 在MN 的异侧，击球路线就容易确定了．本题可利用轴对称的特征将A 点转化到MN 的另一侧，设为A ’，连接A ’B 即可确定撞击点．二、一点两线问题例2 在一条大的河流中有一形如三角形的小岛（如图3），岸与小岛有一桥相连．现准备在小岛的三边上各设立一个水质取样点．水利部门在岸边设立了一个观测站，每天有专人从观测站步行去三个取样点取样，然后带回去化验．请问，三个取样点应分别设在什么位置，才能使得每天取样所用时间最短(假设速度一定)? 分析：此题要求时间最短，而速度一定，所以可转化为求最短路程．如图4，小桥DE为必走之路，所以容易得到D 为BC 边上的取样点．关键是确定另外两边上的取样点，这是线段之和最小的问题，我们的想法是将三条线段拼起来，关于线段最短，我们有“两点之间，线段最短”，利用对称便可使问题得到解决．解析：如图4，作点D 关于AB 的对称点F ；点D 关于AC 的对称点G ， 连接FG ，交AB 于M ，交AC 于N ．∴D 、M 、N 即所求三个取样点．（请同学们试着证一证）．三、同类变式 例3 某班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图５中的AO ，BO ），AO 桌面上摆满了糖果，BO 桌面上摆满了桔子，坐在C 处的学生小亮先拿糖果再拿桔子，然后回到座位，请你帮他设一条行走路线，使其所走的总路程最短？分析：此题是轴对称的特殊应用，需分两种情况讨论：①∠AOB 小于90°；②∠AOB 等于90°。

轴对称知识点汇总轴对称是数学中的一个重要概念，它在几何学、代数学等领域中起着重要作用。

本文将对轴对称的基本概念、性质和应用进行详细的介绍。

一、轴对称的定义和基本概念轴对称，又称对称轴，是指图形中的一条线，使得图形关于该线对称。

具体来说，如果将图形沿着某条线对折，两边完全重合，那么这条线就是图形的轴对称线。

任何一个图形都可以有多个轴对称线，有些图形可能甚至有无穷多条轴对称线。

而有些图形则没有轴对称线。

对于有轴对称线的图形，它们的轴对称线可以是水平线、垂直线、或者斜线。

二、轴对称的性质1. 轴对称图形的性质：轴对称图形的两侧是完全相同的，对称轴是图形中的一部分，把图形分成了两个完全相同的部分。

2. 轴对称线上的点：对于一个轴对称图形，轴对称线上的点在折叠时会与它们在轴对称线的对称点重合。

3. 轴对称与图形的变换：轴对称是一种图形的变换方式，通过轴对称变换可以将图形变成它自身。

4. 轴对称图形的不变性：轴对称图形具有不变性，即通过轴对称变换后的图形与原来的图形完全相同。

三、轴对称的应用1. 几何学中的应用：轴对称的概念在几何学中有广泛的应用。

例如，我们可以利用轴对称性质判断一个图形是否是轴对称图形，可以利用轴对称线进行图形的构造等。

2. 统计学中的应用：在统计学中，轴对称性质可以用于数据的处理和分析。

通过利用图形的轴对称性，我们可以找到数据的对称特征，进而进行统计推断和预测。

3. 计算机图形学中的应用：轴对称性质在计算机图形学中也有广泛的应用。

通过利用轴对称性质，可以对图像进行压缩、旋转和对称变换等操作。

四、轴对称的例题解析为了更好地理解轴对称的概念和应用，接下来将通过几个例题进行解析。

例题一：判断图形是否具有轴对称性质，并找出它的轴对称线。

解析：首先观察图形，如果把图形沿某条线对折后，两边完全重合，那么这条线就是图形的轴对称线。

如果通过观察发现存在这样的轴对称线，那么该图形具有轴对称性质。

例题二：给定一个轴对称图形和一个点P，求点P关于轴对称线的对称点P'。

第二章 轴对称图形（知识归纳+题型突破）1、从生活中提炼轴对称模型，归纳轴对称的概念。

2、通过图形变换理解轴对称图形的性质，在生活中运用轴对称解决问题。

【知识点1】轴对称的概念把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形___关于这条直线对称___，也称这两个图形___成轴对称___，这条直线叫做___对称轴___，两个图形中的对应点叫做___对称点___．【知识点2】轴对称图形的概念把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够___互相重合___，那么称这个图形是___轴对称图形___，这条直线就是___对称轴___．【知识点3】轴对称与轴对称图形的区别与联系名称两个图形成轴对称轴对称图形图形图形个数针对两个图形而言，是两个图形的一种特殊位置关系针对一个图形而言，是某个图形的一种特殊几何性质对称轴只有一条对称轴可以有一条或多条、甚至无数条对称轴对称点在两个图形上在同一个图形上区别验证沿某条直线折叠后，两个图形能够沿某条直线折叠后，直线两旁的部重合分能够互相重合联系（1）沿对称轴折叠后能够重合；（2）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么这个整体就是一个轴对称图形（1）沿对称轴折叠后，对称轴两旁的部分能够互相重合；（2）如果把一个轴对称图形位于对称轴两旁的部分看成两个图形，那么这两部分图形就成轴对称【知识点4】线段的轴对称性线段___是___轴对称图形，线段的___垂直平分线___是它的对称轴．【知识点5】垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点___到线段两端的距离相等___．几何语言：∵MN 是线段AB 的垂直平分线（或MN ⊥AB 于点D ，且AD = BD ），∴CA = CB．【知识点6】垂直平分线的判定定理到线段两端距离相等的点在线段的___垂直平分线___上．几何语言：∵CA = CB ，∴点C 在线段AB 的垂直平分线上．【知识点7】角的轴对称性角___是___轴对称图形，___角平分线所在的直线___是它的对称轴．【知识点8】角平分线的性质角平分线上的点___到角两边的距离相等___．几何语言：∵PF平分∠APB（或∠APF=∠BPF），EC⊥PA于C，ED⊥PB于D，∴EC=ED．【知识点9】角平分线的判定定理角的内部到___角两边距离___相等的点在角的平分线上．几何语言：∵EC⊥PA于C，ED⊥PB于D，EC=ED，∴点E在∠APB的平分线上．【知识点10】等腰三角形的轴对称性等腰三角形___是___轴对称图形，对称轴是___顶角平分线所在直线___．【知识点11】等边对等角等边对等角：等腰三角形的两底角相等．几何语言：在△ABC中∵AB=AC∴∠B=∠C（等边对等角）【知识点12】三线合一三线合一：等腰三角形___底边上的高线___、___底边上的中线___、___顶角平分线___重合．几何语言：在△ABC中∵AB=AC，∠BAD=∠CAD∴AD⊥BC，BD=CD【知识点13】等腰三角形的判定等角对等边：有两个角___相等___的三角形是等腰三角形．几何语言：在△ABC中∵∠B=∠C∴AB=AC（等角对等边）题型一轴对称图形的识别【例1】作出下列各图形的一条对称轴【答案】见解析【分析】依据轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此即可解答．【详解】解：根据分析画各图的对称轴如下：【例2】如果正三角形有n条对称轴，那么n=．【答案】3【分析】根据轴对称的定义进行判断即可．巩固训练：1．图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（）A．2B．4C．6D．8【答案】C【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．【详解】解：由图可知，该图形有6条对称轴；故选：C2．对称轴最多的图形是（）A．圆B．长方形C．正方形D．等边三角形【答案】A【分析】依据轴对称图形的意义，即在同一个平面内，一个图形沿某条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，则这个图形就是轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此解答即可．【详解】解：圆有无数条对称轴，长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，等边三角形有3条对称轴；故选：A．3．某校学生为校运动会设计会标，在以下四个标志中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据轴对称图形的概念逐项判断即可解答．【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．题型二镜面对称问题【例3】如图，从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是（）A．4:00B．8:00C．12:20D．12:40【答案】B【分析】镜子中的时间和实际时间关于钟表上过6和12的直线对称，作出相应图形，即可得到准确时间．【答案】3265巩固训练：4．小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（）A．B．．D ．【答案】C “”题型三 轴对称的性质【例6】如图，ABC V 与A B C ¢¢¢V 关于直线MN 对称，BB ¢交MN 于点O ，下列结论①AB A B ¢¢=；②OB OB ¢=；③AA BB ¢¢∥中，正确的有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【答案】A 【分析】根据轴对称的性质解答．【详解】解：∵ABC V 与A B C ¢¢¢V 关于直线MN 对称，BB ¢交MN 于点O ，∴AB A B ¢¢=，OB OB ¢=，AA BB ¢¢∥，综上，三个选项都正确，故选：A ．【例7】如图，已知点A 、B 是直线MN 同侧两点，点A ¢、A 关于直线MN 对称．连接A B ¢交直线MN 于点P ，连接AP ．若5cm A B ¢=，则AP BP +的长为（ ）A ．10cmB ．8cmC ．5cmD ．无法确定【答案】C 【分析】根据轴对称的性质得到A P AP ¢=，由AP BP A P BP A B ¢¢+=+=即可得到答案．【详解】解：∵点A ¢、A 关于直线MN 对称，连接A B ¢交直线MN 于点P ，连接AP ．∴A P AP ¢=，∴5cm AP BP A P BP A B ¢¢+=+==，即AP BP +的长为5cm ．故选：C【例8】如图，P 在AOB Ð内，点C 、D 分别是点P 关于AO 、BO 的对称点．如果PMN V 的周长为12，则CD 的长为（ ）A ．6B ．12C ．15D ．18【答案】B 【分析】先根据轴对称的性质得到CM PM DN PN ==，，再根据三角形周长公式得到12PM MN PN ++=，则12CD CM MN DN PM MN PN =++=++=．【详解】解：∵点C 、D 分别是点P 关于AO 、BO 的对称点，∴CM PM DN PN ==，，∵PMN V 的周长为12，∴12PM MN PN ++=，∴12CD CM MN DN PM MN PN =++=++=，故选B ．巩固训练：∴PMN V 的周长为121215PM PN MN MN PM P N PP ++++==＝．故答案为：15．8．如图，ABC V 和ADE V 关于直线l 对称，已知15AB =，10DE =，70D Ð=°．求B Ð的度数及BC 、AD 的长度．【答案】70B Ð=°，10BC =、15AD =【分析】根据轴对称的性质，对应边相等，对应角相等即可得出答案．【详解】解：ABC QV 和ADE V 关于直线l 对称，AB AD \=，BC DE =，B D Ð=Ð，又15AB =Q ，10DE =，70D Ð=°．70B \Ð=°，10BC =，15AD =，题型四 折叠问题【答案】90°【分析】根据折叠的性质得到Ð求解即可．【详解】∵将长方形纸片按如图方式折叠，A．17B．10【答案】A【分析】由折叠的性质可得AD=V沿直线DE 【详解】解：∵将ABC巩固训练：A ．角平分线B ．高线【答案】C 【分析】根据折叠的性质可得：【详解】解：∵将ABC V 折叠，使点∴D 为BC 中点，∴AD 是ABC V 的中线；【答案】24°/24度【详解】解：∵将长方形纸片∴90,E B EAC Ð=Ð=°Ð∴180EAB EFC Ð=Ð=°-【答案】55°/55度【详解】解：如图，由翻折不变性可知：2ÐÐ=∵宽度相等的纸条边缘平行，∴13Ð=Ð，12\Ð=Ð，题型五 垂直平分线的性质【例12】甲、乙、丙三家分别位于ABC V 的三个顶点处，现要建造一个核酸检测点，使得三家到核酸检测点的距离相等，则核酸检测点应建造在 （ ）A ．三边垂直平分线的交点B ．三条角平分线的交点C ．三条高的交点D ．三条中线的交点【答案】A【分析】根据线段垂直平分线的性质即可解答．【详解】解：∵线段的垂直平分线的点到线段的两个端点的距离相等，∴这三家到核酸检测点距离相等，核酸检测点的建造位置是在ABC V 三边的垂直平分线上，故选A ．【例13】如图，在ABC V 中，AB AC ^，3AB =，5BC =，4AC =，EF 垂直平分BC ，点P 为直线EF 上的任意一点，则ABP V 周长的最小值是（ ）A．7B．6C．12D．8【答案】A【详解】解：∵EF垂直平分BC，∴B、C关于EF对称，设AC交EF于D，∴当P和D重合时，即A、P、C三点共线时，AP+BP的值最小，∵EF垂直平分BC，∴AD=CD，∴AD+BD=AD+CD=AC=4，∴△ABP周长的最小值是AB+AC=3+4=7，故A正确．故选：A．【例14】如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝5，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，点F是DE上任意一点，△BCF的周长的最小值是（ ）A．2B．12C．5D．7【答案】B【分析】由于A，C关于直线DE为对称，所以F和D重合时，FC FB最小，最小值等于AB，即可求得BCF D 的周长的最小值．【详解】解：DE Q 是线段AC 的垂直平分线，A \，C 关于直线DE 为对称，F \和D 重合时，FC FB +最小，即BCF D 的周长的最小值，DE Q 是线段AC 的垂直平分线，DC DA \=，FC FB \+的最小值7DC DB AB =+==，BCF \D 的最小周长7512FC FB BC =++=+=，故选：B ．【例15】已知ABC V 中120BAC Ð=°，26BC =，AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于E 、F ，与AB AC ，分别交于点D 、G ．求：(1)EAF Ð的度数．(2)求AEF △的周长．【答案】(1)60°(2)26【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得到AE BE =，CF AF =，得出等腰三角形即可；（2）根据线段的垂直平分线的性质得到AE BE =，CF AF =，这样就将AEF △的周长转化为线段BC 的长．【详解】（1）AB Q 、AC 的垂直平分线分别交BC 于E 、FAE BE \=、CF AF =，B EAB \Ð=Ð，C FACÐ=Ð()180B C BAC\Ð+Ð=°-Ð180120=°-°60=°EAF BAC EAB FAC\Ð=Ð-Ð-Ð120()B C =°-Ð+Ð12060=°-°60=°60EAF \Ð=°（2）AE BE =Q 、CF AF=AEF \V 的周长EA EF AF=++BE EF FC=++BC=26=AEF \V 的周长26=巩固训练：12．如图，A ，B ，C 表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（ ）A ．AC ，BC 两边高线的交点处B ．AC ，BC 两边中线的交点处C ．AC ，BC 两边垂直平分线的交点处D ．A Ð，B Ð两内角平分线的交点处【答案】C【分析】根据垂直平分线的性质可知，到A ，B ，C 表示三个居民小区距离相等的点，是AC ，BC 两边垂直平分线的交点，由此即可求解．【详解】解：如图所示，分别作AC ，BC 两边垂直平分线MN ，PQ 交于点O ，连接OA ，OB ，OC ，∵MN ，PQ 是AC ，BC 两边垂直平分线，∴OA OB OC ==，∴点O 是到三个小区的距离相等的点，即点O 是AC ，BC 两边垂直平分线的交点，故选：C ．13．如图，在ABC V 中，DM ，EN 分别垂直平分边AC 和边BC ，交边AB 于M ，N 两点，DM 与EN 相交于点F ．(1)若5AB =，则CMN V 的周长为 ______；(2)若70MFN Ð=°，求MCN Ð的度数．【答案】(1)5；(2)40°．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到MA MC =，NB NC =，再根据三角形的周长公式计算即可；（2）根据三角形内角和定理求出FMN FNM Ð+Ð，根据对顶角相等求出AMD BNE Ð+Ð，根据等腰三角形的性质即可得到答案.【详解】（1）∵DM ，EN 分别垂直平分边AC 和边BC ，∴MA MC =，NB NC =，∴CMN V 的周长5MC MN NC MA MN NB AB =++=++==，∴CMN V 的周长5=，故答案为：5；（2）∵70MFN Ð=°，∴180110FMN FNM MFN Ð+Ð=°-Ð=°，∴110AMD BNE FMN FNM Ð+Ð=Ð+Ð=°，∴()18070A B AMD BNE Ð+Ð=°-Ð+Ð=°，∵MA MC =，NB NC =，∴A MCA Ð=Ð，B NCB Ð=Ð，∴()18040MCN A B MCA NCB Ð=°-Ð+Ð+Ð+Ð=°．14．如图，在ABC V 中DE ，是AC 的垂直平分线，4cm AE =，ABC V 的周长为23cm ，求ABD △的周长．【答案】ABD △的周长为15cm ．【分析】根据垂直平分线的性质可得AD CD =，28cm AC AE ==，即可得出15cm AB AC +=，则ABD △的周长AB BD AD AB BD CD AB BC =++=++=+，即可求解．【详解】解：∵DE 是AC 的垂直平分线，∴AD CD =，()28cm AC AE ==．∵ABC V 的周长()23cm AB BC AC AB BD DC AC =++=+++=，∴()23815cm AB AC +=-=，∴ABD △的周长()23815cm AB BD AD AB BD CD AB BC =++=++=+=-=．即ABD △的周长为15cm ．【答案】13【分析】根据垂直平分线的性质，可得【详解】解：∵AB 的垂直平分线∴BE AE =，∵BCE V 的周长为BE BC EC ++题型六 角平分线的性质【答案】6【分析】过O 点作OH BA ^于H 点，如图，先根据角平分线的性质得到解决问题．【详解】解：过O 点作OH BA ^于H 点，如图，BO Q 平分ABC OD BC OH BA Ð^^，，6OH OD \＝＝，∵点E 为射线BA 上一动点，∴OE 的最小值为OH 的长，即OE 的最小值为6．故答案为：6．【例17】如图，DE AB ^于E ，DF AC ^于F ，AD 平分BAC Ð，若BE CF =，探索+AB AC 与AE 的数量关系，并证明之．【答案】2AB AC AE +=，见解析【分析】先根据角平分线的性质得出DE DF =，再证明Rt Rt (HL)ADE ADF ≌△△，得出AE AF =，根据线段的和差即可得出答案．【详解】证明：∵DE AB ^于E ，DF AC ^于F ，AD 平分BAC Ð，∴DE DF =，在Rt ADE △和Rt ADF V 中，AD AD DE DF =ìí=î，∴Rt Rt (HL)ADE ADF ≌△△，∴AE AF =，∵BE AE AB =-，CF AC AF =-，∴AE AB AC AF -=-，∴2AB AC AE +=．Ð的度数；(1)求BOCÐ的周长．(2)求AMN【答案】(1)130°(2)12巩固训练：16．如图，四边形ABCD 中，90B C Ð=Ð=°，点E 为BC 的中点，且AE 平分BAD Ð．(1)求证：DE 平分ADC Ð；(2)求证：AB CD AD +=．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）过点E 作EF AD ^于F ，根据角平分线的性质得出BE EF =，再根据BE CE =，得出CE EF =，进而根据角平分线的判定定理可得出结论；（2）根据角平分线的性质得出BE EF =，CE EF =，再证明V V ≌ABE AFE ，CED FED V V ≌，根据全等三角形的性质得出AB AF =，DC DF =，进而得出结论．【详解】（1）证明：如图，过点E 作EF AD ^于F ，∵90B Ð=°，AE 平分BAD Ð，∴BE EF =，∵E 是BC 的中点，∴BE CE =，∴CE EF =，又∵90C Ð=°，EF AD ^，∴DE 是ADC Ð的平分线．(1)求证：DE 平分ADC Ð；(2)若3AD =，7CD =，278ABE S =V ，求ADC S △【答案】(1)见解析∵BE 平分ABC Ð，EF AB ^，∴EF EN =，∵AE 平分DAF Ð，A．110°B．120°【答案】C【分析】根据题意可得，点O数，再根据三角形的内角和等于V三边【详解】解：∵O到ABC．．．．【答案】D【分析】根据到角两边的距离相等的点在角平分线上进行判断即可．【详解】解：∵到角两边的距离相等的点在角平分线上，题型七作图【例21】如图，已知甲工厂靠近公路a，乙工厂靠近公路b，为了发展经济，甲、乙两工厂准备合建一个仓库，经协商，仓库必须满足以下两个要求：①到两工厂的距离相等；Ð内，且到两条公路的距离相等．②在MON你能帮忙确定仓库的位置吗？（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析Ð的平分线OC，则FG与OC的交点F就是仓【分析】连接DE，作线段DE的垂直平分线FG，作角MON库的位置．【详解】解：如图，点F为仓库的位置．【例22】如图，两公路AO与BO相交于点O，两公路内侧有两工厂C和D，现要修建一货站使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹）【答案】见解析Ð的角平分线和线段CD的垂直平分线，两线的交点即为所求．【分析】只要作出AOB【详解】解：如图所示：点P 即为所求．【例23】用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．如图，某小区绿化带ABC V 内部有两个喷水臂P 、Q ，现欲在ABC V 内部建一个水泵O ，使得水泵O 到BA ，BC 的距离相等，且到两个喷水管P 、Q 的距离也相等，请你在图中标出水泵O 的位置．【答案】作图见解析【分析】作BM 平分ABC Ð，作EF 垂直平分线段PQ 交BM 于点O 即可．【详解】解：如图，作BM 平分ABC Ð，作EF 垂直平分线段PQ 交BM 于点O ，∵BM 平分ABC Ð，点O 在射线BM 上，∴点O 到BA ，BC 的距离相等，∵EF 垂直平分线段PQ ，点O 在直线EF 上，∴点O 到P 、Q 的距离相等，∴O 到BA ，BC 的距离相等，且到点P 、Q 的距离也相等，则点O 即为所作．巩固训练：21．如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．（保留作图痕迹）【答案】见解析【分析】根据题意，P点既在线段AB的垂直平分线上，又在两条公路所夹角的平分线上．故两线交点即为发射塔P的位置．【详解】解：作出线段AB的垂直平分线，与CODÐ的平分线交于P点，则如图，P点为所求．．22．如图，校园有两条路OA、OB，在交叉口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你用尺规作出灯柱的位置点P．（请保留作图痕迹）【答案】见解析Ð的角平分线，它们的交点即为点P．【分析】分别作线段CD的垂直平分线和AOB【详解】解；如图，点P为所作．23．如图，某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路），现计划在∠AOB 内部修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等，你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．【答案】能，作图见解析Ð的角平分线OK，连接MN，作MN的垂直平分线RQ，OK和RQ相交于点【分析】根据题意，作AOBS，根据角平分线和垂直平分线的性质分析，即可得到答案．Ð的角平分线OK，连接MN，作MN的垂直平分线RQ，OK和RQ相交于点【详解】根据题意，作AOBS，如下图：∵OK 是AOB Ð的角平分线∴OK 上的点，到两条公路的距离也相等；∵RQ 是MN 的垂直平分线∴RQ 上的点，到两所大学的距离相等∵OK 和RQ 相交于点S ，∴仓库P 应该建在点S 的位置．题型八 等腰三角形三线合一【例24】如图，AD 、CE 分别是ABC V 的中线和角平分线，若AB AC =，26CAD Ð=°，则ACE Ð的度数为（ ）A ．26°B ．32°C ．38°D ．48°【答案】B 【分析】先利用等腰三角形三线合一性质，得到90ADC Ð=°，再利用直角三角形的性质，得到64ACD Ð=°，结合CE 是ABC V 的角平分线，计算即可．【详解】∵AD 是ABC V 的中线，AB AC =，∴90ADC Ð=°，A．2.5【答案】B【分析】根据已知可得答．巩固训练：24．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（）A．过顶点的直线B．腰上的中线所在的直线(1)求证：OBC △为等腰三角形；(2)若25ACF Ð=°，求ÐBOE 【答案】(1)见解析．(2)15°题型九等腰三角形度数巩固训练：∵AB AC =，∴(11802ABC C Ð=Ð=°-②如图，当顶角为钝角三角形时：∵50ABD Ð=°，90D Ð=∴9050140BAC Ð=°+°=∵AB AC =，∴()1180140202C ABC Ð=Ð=°-°=°．故答案为：70°或20°．题型十 等腰三角形外角问题【例27】如图，在第1个1A BC V 中，130B A B CB а＝，＝；在边1A B 上任取一点D ，延长1CA 到A 2，使121A A A D ＝，得到第2个12A A D V ；在边2A D 上任取一点E ，延长12A A 到A 3，使232A A A E ＝，得到第3个23A A E △；……按此做法继续下去，则第n 个三角形中以n A 为顶点的内角度数是（ ）巩固训练：27．如图，30MON Ð=°，点123,,,A A A L 在射线ON 上，点123,,,B B B L 在射线OM 上，112A B A △，223334,A B A A B A L △△均为等边三角形．若11OA =，则1n n n A B A +△的边长为（ ）A ．2nB ．12n -C ．12n +D ．22n +【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质得出，111130A OB A B O Ð=Ð=° ，01112112OA A B A B ====，利用同样的方法，122222A O A B ===，23332242A B A O A O ====，由此规律可得12n n n A B -=．【详解】112A B A QV 为等边三角形，30MON Ð=°111130A OB A B O \Ð=Ð=°1112112OA A B A B ====同理：122222A O AB ===23332242A B A O A O ====L由此类推可得1n n n A B A +△的边长12n n n A B -=．故选B ．28．如图，已知ABC V 是等边三角形，点B ，C ，D ，F 在同一条直线上，CD CE =，DF DG =，求F Ð的度数．【答案】15°【分析】根据等边三角形的性质，等边对等角性质，三角形外角性质计算即可．【详解】解：∵ABC V 是等边三角形，∴60ACB Ð=°，∵CD CE =，∴CDE CED Ð=Ð，∵260ACB CDE CED CDE Ð=Ð+Ð=Ð=°，∴30Ð=°CDE ，∵DF DG =，∴DFG DGF Ð=Ð，∵230CDE DFG DGF F Ð=Ð+Ð=Ð=°，∴15F Ð=°．题型十一 等腰三角形个数和格点问题【例28】在如图所示的网格中，在格点上找一点P ，使ABP V 为等腰三角形，则点P 有（ ）A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个【答案】C 【分析】分三种情况讨论：以AB 为腰，点A 为顶角顶点；以AB 为腰，点B 为顶角顶点；以AB 为底．【详解】解：如图：如图，以AB 为腰，点A 为顶角顶点的等腰三角形有5个；以AB 为腰，点B 为顶角顶点的等腰三角形有3个；不存在以AB 为底的等腰ABP V ，所以合计8个．故选：C ．【例29】如图中的大长方形都是由边长为1的小正方形组成，其中每个正方形的顶点称之为格点，若A 、B 、C 三点均在格点上，且ABC V 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数有（ ）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个【答案】C 【分析】分A Ð为顶角和B Ð为顶角判定即可．【详解】当A Ð为顶角时，符合的点有一个6C ；当B Ð为顶角时，符合的点有五个12345,,,,,C C C C C ；一共有6个．故选C ．【例30】如图，在ABC V 中，AB AC =，36A Ð=°，BD 是ABC V 的角平分线，则图中的等腰三角形共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】由BD 是ABC V 的角平分线，可得272ABC ABD Ð=Ð=°，又可求72ABC C Ð=Ð=°，所以ABC V 是等腰三角形；又180218027236A ABC Ð=°-Ð=°-´°=°，故A ABD Ð=Ð，所以ABD V 是等腰三角形；由36DBC ABD Ð=Ð=°，得72C Ð=°，可求72BDC Ð=°，故BDC C Ð=Ð，所以BDC V 是等腰三角形．【详解】解：BD Q 是ABC V 的角平分线，272ABC ABD \Ð=Ð=°，72ABC C \Ð=Ð=°，ABC V \是等腰三角形①．180218027236A ABC Ð=°-Ð=°-´°=°，A ABD \Ð=Ð，ABD \V 是等腰三角形②．36DBC ABD Ð=Ð=°Q ，72C Ð=°，72BDC \Ð=°，BDC C \Ð=Ð，BDC \V 是等腰三角形③．故图中的等腰三角形有3个．故选：C ．巩固训练：29．如图，线段AC 、BD 互相垂直平分，则图中共有等腰三角形（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C 【分析】根据垂直平分线的性质得出AB AD DC BC ===，继而根据等腰三角形判定定理即可求解．【详解】解：∵线段AC 、BD 互相垂直平分，∴,AB AD CB CD ==,,DA DC BA BC ==，∴有等腰三角形,,,ABD CBD DAC BAC △△△△共4个，故选：C ．30．如图，BD 是ABC V 的平分线，3672A ABC Ð=Ð=°°，， DE BC ∥交AB 于E ，则图中等腰三角形的个数是（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理判定ABC V 为等腰三角形，然后由角平分线、平行线的性质、等角对等边来找图中的等腰三角形．【详解】解：∵在ABC V 中，=36°=72°A ABC ÐÐ，，∴°=C=72ABC ÐÐ，【答案】D【分析】逐个画出图形，即可得到答案．【详解】解：图①中，∠A=36°，AB=AC，则∠ABC=∠ACB=72°，以B为顶点，在△ABC内作∠ABC的平分线，则∠ABD=∠DBC=36°，∴∠A=∠ABD=36°，∴△ABD是等腰三角形，而∠DBC=∠ABC-∠ABD=36°，∠ACB=72°，∴∠ACB=∠BDC=72°，∴△BDC是等腰三角形，故直线BD将△ABC分成了两个小等腰三角形，故①符合题意；图③中，∠BAC=90°，AB=AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∠B=∠C=45°，过A作AE⊥BC于E，如图：则△ABE和△ACE是等腰直角三角形，故直线AE将△ABC分成了两个小等腰三角形，故③符合题意；图④中，∠BAC=108°，AB=AC，则∠B=∠C=36°，以A为顶点，在△ABC内作∠BAF=72°，如图：则△ABF和△ACF都是等腰三角形，故④符合题意；图②是等边三角形，没有直线能将它分成两个小的等腰三角形，故②不符合题意；故选：D．题型十十二直角三角形性质问题A．6B．【答案】C【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得【答案】6△是直角三角形，可求【分析】可证ADCV中，【详解】解：Q在ABC\V是直角三角形，ADCQ是AC的中点，E巩固训练：33．在Rt ABC △中，Ð【答案】16【分析】根据直角三角形斜边中线的性质，即可求解．【详解】解：∵90C Ð=。

知识点总结一、轴对称及轴对称图形：1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够及另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。

2.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的局部能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

注意：对称轴是直线而不是线段3.轴对称的性质：〔1〕关于某条直线对称的两个图形是全等形；〔2〕如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；〔3〕两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上；〔4〕如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

4.线段垂直平分线：〔1〕定义：垂直平分一条线段的直线是这条线的垂直平分线。

〔2〕性质：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

注意：根据线段垂直平分线的这一特性可以推出：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

5.角的平分线：〔1〕定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线.〔2〕性质：①在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.②到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.注意：根据角平分线的性质，三角形的三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.6.等腰三角形的性质及判定：性质：〔1〕对称性：等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，或底边上的高所在的直线是它的对称轴，或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴；〔2〕三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；〔3〕等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。

说明：等腰三角形的性质除三线合一外，三角形中的主要线段之间也存在着特殊的性质，如：①等腰三角形两底角的平分线相等；②等腰三角形两腰上的中线相等；③等腰三角形两腰上的高相等；④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等。

认识轴对称知识点总结一、轴对称的定义轴对称是指一个几何图形相对于某条轴线对称，即图形的两侧关于轴线对称。

轴对称是一种基本的几何变换，它可以帮助我们理解和研究各种几何图形的性质，解决与几何图形相关的问题。

二、轴对称的性质1. 被轴对称的图形的对称轴上的点不动，对称轴的垂线上的点互为对称点。

2. 被轴对称的图形的对称轴上任意两点的对称点都在对称轴上。

3. 被轴对称的图形上的任意一点，与其对称点关于对称轴的距离相等。

三、轴对称的应用轴对称在几何学中有着广泛的应用。

在平面几何中，我们经常通过轴对称来研究图形的性质、判断图形的对称特征、构造具有对称性的图形等。

在日常生活中，轴对称也有很多实际的应用，比如建筑设计、工艺品制作、装饰设计等。

四、轴对称的判定方法1. 通过观察图形的性质来判断是否具有轴对称性。

2. 通过观察图形的对称性来判断是否具有轴对称性。

3. 通过对称图形的性质和定理来判断是否具有轴对称性。

五、轴对称的性质及定理1. 轴对称的图形的对称轴上的点不动定理：轴对称的图形的对称轴上的点不动，即对称轴上的任意一点都是自身的对称点。

2. 轴对称的图形的对称轴是垂直的定理：如果一个图形具有轴对称性，那么图形的对称轴一定是垂直的。

3. 被轴对称的图形的对称轴上任意两点的对称点都在对称轴上定理：对任意一点A在对称轴上，A的对称点B也在对称轴上。

4. 对称中心位置可以通过对称图形的性质来判断定理：对称中心位置是轴对称的图形的重要性质之一。

5. 被轴对称的图形上的任意一点，与其对称点关于对称轴的距离相等定理：被轴对称的图形上的任意一点，与其对称点关于对称轴的距禿相等。

六、轴对称的图形1. 线段线段是具有轴对称性的图形。

2. 三角形三角形也可以是轴对称的图形。

3. 正方形和矩形正方形和矩形也是轴对称的图形。

4. 圆形圆形也具有轴对称性。

七、轴对称的构造1. 利用尺规作图的方法来构造轴对称的图形。

2. 利用计算机绘图软件来构造轴对称的图形。

解析高考数学中的轴对称及应用高考数学中的轴对称及应用高考数学中的轴对称是一个比较基础但非常重要的概念。

它在几何学中占有重要的地位，不仅具有实用性，而且还是许多数学理论的基础。

一、轴对称的概念及性质轴对称是指物体沿一条轴线对称。

这条轴称为轴对称线。

基本上，轴对称就是将一物体的左、右两边通过轴线翻折变成一模一样的镜像图形。

在高考数学中，轴对称的概念有许多重要性质。

其中最为关键的有以下几点：1. 轴对称性质：轴对称的物体左、右对称，所以它的任何一个点都有对称点。

比如：图形A点对称的是B点，B点对称的是A 点，因为它们的轴线相等。

2.轴对称轴线对称性质：轴对称的物体沿轴线对称，轴线也对称。

这意味着，轴线上任意一点的两侧图形相等。

3. 轴对称保角性质：轴对称不破坏图形的原始角度，保证图形中每个角度仍保持不变。

4. 轴对称具有传递性：如果图形B是图形A关于轴线对称的，那么图形C就是图形B关于轴线对称的。

这个性质适用于几何中许多图形和关系。

二、轴对称在实际问题中的应用轴对称不仅仅是一种几何概念，它也有许多实际应用。

下面就介绍一些常见的应用：1. 体积测量：轴对称图形的体积计算通常可以通过对对称轴线进行切割、旋转或借助积分方法来计算。

比如：通过绕y轴旋转直线y=x得到的旋转体积公式是V=pi∫y^2-y^2 dx，通过绕x轴旋转直线y=x得到的体积公式是V=pi∫x^2-x^2 dy。

2. 模型制造：许多科学研究和技术领域都使用轴对称构造来制造物体，这种工艺可以通过几何分析和计算机模拟来设计出复杂的立体形状。

3. 平移图形：对于一般平移时，使用轴对称方法最为便利。

比如：平移正方形的时候，可以将其对称到y=-x这条轴线上，这样就可以使平移得到的新图形保持对称性。

4. 缩放图形：轴对称可以使对称轴线伸缩或旋转，从而使图形进行缩放或扭曲。

本文只是介绍了一些基本的轴对称概念和应用，实际上其应用非常之广泛。

为了更好地理解这一概念，我们需要在练习中不断巩固和深化。

轴对称图形教案中的知识点又有哪些实际应用场景？轴对称图形是指图形围绕一个轴线对称，形成的两部分完全相同。

轴对称图形有多种应用场景，包括建筑设计、艺术设计、机器制造等多个领域，下面我们来详细了解一下轴对称图形的知识点以及在不同领域的实际应用场景。

一、轴对称图形的基本概念1.轴线：平面上的一条无限延伸的直线，沿这条直线将平面上的图形分为两部分。

2.轴对称图形：以其轴线为对称轴将整个图形分成两部分，两部分形状和大小完全一致。

3.轴对称中心：轴线与图形的交点。

4.轴对称性质：轴对称的图形对称性质，具有左右对称、上下对称、中心对称等多种性质。

二、轴对称图形的应用场景1.建筑设计轴对称图形在建筑设计中应用广泛，常常可以看到建筑物呈现出左右对称、上下对称、中心对称等情况。

在建筑设计中，轴对称图形具有优美的对称性，可以使建筑物在外观上更加美观、稳重，而且可以减少一些工艺上的难度，对建筑物的稳定性也有很好的效果。

2.艺术设计轴对称图形在艺术设计中也经常运用，无论是绘画、雕塑还是建筑设计等领域，轴对称图形都可以为艺术品增添一份优美的对称性和韵律感，可以被用来表达一些特殊的意义。

3.机器制造轴对称图形在机器制造领域的应用也比较广泛，机器制造中有很多机器部件需要对称，这些部件不仅可以减少加工难度，同时还可以减少材料的使用量，降低成本。

例如，一些装配式的夹具、工具等，常常会采用轴对称的结构。

三、轴对称图形在教学中的作用1.能够提高学生的空间想象力，让学生对空间有深入的认识，增强学生的空间感知能力。

2.能够培养学生的分析能力和解决问题的能力，因为轴对称图形的制作需要较高的技巧要求和极强的分析能力，只有不断地练习，才能更加熟练地掌握制作技巧。

3.提高学生的美学审美能力，轴对称图形在建筑设计和艺术设计中的应用很多，通过对轴对称图形的学习和制作，可以更好地提高学生的美学审美能力，让学生更好地欣赏美好的事物。

四、轴对称图形的制作方法1.通过折纸的方式制作：可以通过折纸的方式制作轴对称图形，折纸需要精细的技巧和一定的耐心，但是制作出来的图形效果很好。