约 瑟 夫 环 问 题 的 三 种 解 法 ( 2 0 2 0 )

习题33.1选择题(1) 有一半径为R 的水平圆转台，可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动，转动惯量为J ，开始时转台以匀角速度ω0转动，此时有一质量为m 的人站在转台中心，随后人沿半径向外跑去，当人到达转台边缘时，转台的角速度为(A) (B) 02ωmRJ J+02)(ωR m J J +(C) (D) 02ωmRJ0ω[答案： (A)](2) 如题3.1（2）图所示，一光滑的内表面半径为10cm 的半球形碗，以匀角速度ω绕其对称轴OC 旋转，已知放在碗内表面上的一个小球P 相对于碗静止，其位置高于碗底4cm ，则由此可推知碗旋转的角速度约为(A)13rad/s (B)17rad/s (C)10rad/s (D)18rad/s (a)(b)题3.1（2）图[答案： (A)](3)如3.1(3)图所示，有一小块物体，置于光滑的水平桌面上，有一绳其一端连结此物体，；另一端穿过桌面的小孔，该物体原以角速度ω在距孔为R 的圆周上转动，今将绳从小孔缓慢往下拉，则物体（A ）动能不变，动量改变。

（B ）动量不变，动能改变。

（C ）角动量不变，动量不变。

（D ）角动量改变，动量改变。

（E ）角动量不变，动能、动量都改变。

[答案： (E)]3.2填空题(1) 半径为30cm 的飞轮，从静止开始以0.5rad·s -2的匀角加速转动，则飞轮边缘上一点在飞轮转过240˚时的切向加速度a τ= ，法向加速度a n = 。

0.15; 1.256[答案：](2) 如题3.2（2）图所示，一匀质木球固结在一细棒下端，且可绕水平光滑固定轴O转动，今有一子弹沿着与水平面成一角度的方向击中木球而嵌于其中，则在此击中过程中，木球、子弹、细棒系统的 守恒，原因是 。

木球被击中后棒和球升高的过程中，对木球、子弹、细棒、地球系统的 守恒。

题3.2（2）图[答案：对o轴的角动量守恒，因为在子弹击中木球过程中系统所受外力对o轴的合外力矩为零，机械能守恒](3) 两个质量分布均匀的圆盘A和B的密度分别为ρA和ρB (ρA>ρB)，且两圆盘的总质量和厚度均相同。

2020年苏教版数学二年级下册重难点题型同步训练第四章《认识万以内的数》章节常考题集锦一、单选题1.三千零三写作（）A. 3003B. 3030C. 3300【答案】 A【解析】写数时，从高位写起，按数位顺序依次写.几千就在千位上写几，几百就在百位上写几……哪一位上一个数也没有，就在那一位上写0。

2.（2020三上·南浔期末）甲书架原有图书110本，如果从甲书架拿10本到乙书架，那么两个书架的图书就同样多。

乙书架原有图书（）。

A. 80本B. 90本C. 100本【答案】 B【解析】【解答】110-10=100（本），100-10=90（本）。

故答案为：B。

【分析】根据题意可知，用甲书架原来的图书本数-拿到乙书架的本数=现在甲书架的图书本数，也是现在乙书架的图书本数，然后用乙书架现在的图书本数-甲书架拿来的本数=原来乙书架的图书本数，据此列式解答。

3.跳绳比赛．（1）小丽大约跳了多少下？合适的答案是（）A. 100下B. 280下C. 180下（2）小青大约跳了多少下？合适的答案是（）A. 100下B. 280下C. 180下【答案】（1）B（2）A【解析】(1)求小丽大约跳了多少下？由小丽的话可知:小丽大约跳了的下数,一定比140下多,而且是多得多.100下比140下少,不符合题意；180下比140下少一些,也不符合题意；只有280下比140下多得多,符合题意,选C．(2)求小青大约跳了多少下？由小青的话可知:小青大约跳了的下数,一定比140下少,而且是少一些.280下、180下比140下多,都不符合题意；只有100下比140少一些,符合题意,选A．4.哪说的对？（）A. 我排第一我最多B. 我排第二我最多C. 我排第三我最多【答案】 B【解析】数的多少与排序没有关系，谁的个数多谁就最多。

所以选B5.在5和2中间添上( )个0，就变成了五百零二。

A. 1B. 2C. 3【答案】 A6.“600＞□95”，在□里最大能填（）A. 4B. 5C. 7D. 9 【答案】 B【解析】在□里可以填1、2、3、4、5，最大能填5，选B．即：600＞195，600＞295，600＞395，600＞495，600＞5957.找规律。

第一章习题答案1-1试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。

解：系统的模拟结构图如下：系统的状态方程如下：阿令，则所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为状态变量的状态方程，和以电阻上的电压作为输出量的输出方程。

解：由图，令，输出量有电路原理可知：既得写成矢量矩阵形式为：1-3参考例子1-3（P19）.1-4两输入，，两输出，的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。

解：系统的状态空间表达式如下所示：1-5系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。

解：令，则有相应的模拟结构图如下：1-6（2）已知系统传递函数,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图解：1-7给定下列状态空间表达式（1）画出其模拟结构图（2）求系统的传递函数解：（2）1-8求下列矩阵的特征矢量（3）解：A的特征方程解之得：当时，解得：令得（或令，得）当时，解得：令得（或令，得）当时，解得：令得1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）（2）解：A的特征方程当时，解之得令得当时，解之得令得当时，解之得令得约旦标准型1-10已知两系统的传递函数分别为W1(s)和W2(s)试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果解：（1）串联联结（2）并联联结1-11（第3版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：1-11（第2版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：1-12已知差分方程为试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u的系数b(即控制列阵)为（1）解法1：解法2：求T,使得得所以所以，状态空间表达式为第二章习题答案2-4用三种方法计算以下矩阵指数函数。

（2）A=解：第一种方法：令则，即。

求解得到，当时，特征矢量由，得即，可令当时，特征矢量由，得即，可令则，第二种方法，即拉氏反变换法：第三种方法，即凯莱—哈密顿定理由第一种方法可知，2-5下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A阵。

2025届陕西省榆林府谷县麻镇中学物理高一上期中联考模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：（1-6题为单选题7-12为多选，每题4分，漏选得2分，错选和不选得零分）1、关于力，下列说法中正确的是（ ）A ．两物体间有相互的弹力作用，物体一定发生了弹性形变；B ．运动物体所受的摩擦力方向一定跟运动方向相反；C ．两物体相互接触就一定有弹力的相互作用；D ．地球上的物体一离开地面就不受到重力作用．2、北京奥运会上美国游泳名将菲尔普斯一举拿下了8枚金牌并刷新了7项世界纪录，成为奥运会历史上最伟大的运动员．“水立方”的泳池长50m ，在100米蝶泳中，测得菲尔普斯游完全程的时间为50.58s ，则他所通过的位移和路程（将运动员看成质点）分别是（ ）A ．100 m 、100 mB ．0 、 150mC ．150 m 、 0D ．0 、 100m3、质量为m 的物体初速度0v 从与O 点相距s 的A 点出发，与弹簧相碰后最大压缩量为x ，则从开始相撞到弹簧被压缩到最短，物体克服弹簧弹力所做功为（ ）A ．mgs μB ．()mg s x μ+C ．()2012mv mg s x μ-+D ．2012mv mgx μ- 4、一辆汽车正在平直公路上匀速行驶，由于前方出现交通事故，司机采取紧急刹车，依次经过a 、b 、c 、d 四点。

已知通过ab 、bc 和cd 位移所用时间之比为1∶2∶3，ab 和cd 距离分别为x 1和x 2，则bc 段的距离为( )A ．B ．C ．D ．5、下列关于摩擦力的说法正确的是（ ）A ．滑动摩擦力的方向总是与物体的运动方向相反B ．两物体间有弹力就一定有摩擦力C ．摩擦力一定阻碍物体的运动D ．两个运动的物体之间可能存在静摩擦力，且静摩擦力的方向可与物体运动的方向成任意夹角6、汽车原以36km/h 的速度匀速行驶，现以1m/s 2的加速度加速运动，则10s 后汽车的速度( )A ．10 m/sB ．20 m/sC ．36m/sD ．46m/s7、做匀减速直线运动的质点,它的加速度大小为a ，初速度大小为v 0，经过时间t 速度减小到零，则它在这段时间内的位移大小可以用下列哪些式子表示A ．v 0t +12at 2B ．202v aC ．02v tD ．12at 2 8、物体以速度v 0水平抛出，若不计空气阻力，则当其竖直分位移与水平位移相等时，以下说法中正确的是 A ．瞬时速度大小为05vB ．竖直分速度等于水平分速度C ．运动的位移为02v gD ．运动的时间为02v g9、物体受到几个力的作用处于平衡状态，若再对物体施加一个恒力，则物体可能做（ ）A ．匀速直线运动或静止B ．匀变速直线运动C ．曲线运动D ．匀变速曲线运动10、小明同学利用数码相机连拍功能（此相机每秒连拍10张），记录下北京奥运会跳水比赛中小将陈若琳和王鑫在10m 跳台跳水的全过程．所拍摄的第一张恰为她们起跳的瞬间，第五张如图甲所示，小明同学认为这时她们在最高点．第十九张如图乙所示，她们正好身体竖直双手触及水面．设起跳时她们的重心离台面的距离和触水时她们的重心离水面的距离相等．由以上材料可知（不计空气阻力，g 取10m/s 2）（ ）A ．第五张照片是在最高点B．陈若琳的起跳速度约为3.4m/sC．第五张照片是在上升阶段D．第五张照片是在下降阶段11、(多选)一物体以初速度v0做匀减速运动，第1 s内通过的位移为x1＝3 m，第2 s内通过的位移为x2＝2 m，又经过位移x3物体的速度减小为0，则下列说法中正确的是( )A．加速度a的大小为1 m/s2B．初速度v0的大小为2.5 m/sC．位移x3的大小为1.125 m D．整个运动过程的平均速度大小为2.5 m/s12、如图所示,木板P下端通过光滑铰链固定于水平地面上的O点,物体A、B叠放在木板上且处于静止状态,此时物体B的上表面水平。

数字推理题的解题技巧（7）(2)、5，15，10，215，()A.415B.-115C.445D.-112解析：10=5*5-15215=15*15-10115=10*10-215(3)、4，18，56，130，()A.216B.217C.218D.219(6)、5，10，15，85，140，()A.285B.7225C.305D.7445解析： 5^2=10+15，10^2=15+85，15^2=85+140，85^2=140+7085(1)、1，2，3，7，16，()，191A.66B.65C.64D.63解析：1^2＋2＝3，2^2+3=7，7^2+16=651）48，2，4，6，54，（），3，9A. 6B. 5C. 2D. 3解析：第⼀题四个四个为⼀组，答案应该是21，2，4，6，9，（c），18A、11B、12C、13D、18解析：思路1我有⼀个解释，仅供参考~：）1+2+4-1=62+4+6-3=94+6+9-6=136+9+13-10=18其中1、3、6、10⼆级等差思路2: 应该是13，我是这样推理的：（1+4）/2=2余1（2+6）/2=4余0（4+9）/2=6余1（6+？）/2=9余0或者1（9+18）/2=？余0或者1满⾜条件的只有13(7) 120,20,( ),-4A.0B.16C.18D.19120=5^3-520=5^2-50=5^1-5-4=5^0-5所以答案是A(8) 6, 13 , 32, 69,( )A.121B.133C.125D.130选D6=3*2+013=3*4+132=3*10+269=3*22+3130=3*42+442-22=20，22-10=12，10-4=6，4-2=220-12=8，12-6=6，6-2=48、6、4等差。

1,9,45,( ),891A.52B.49C.189D.293答案应该是C1=1*3^09=3*3^145=5*3^2189=7*3^3891=11*3^41、3、5、7、11的规律1）48，2，4，6，54，（），3，9A. 6B. 5C. 2D. 3我选C48=2×4×654=?×3×9=>2(2) -7, 3, 4,( ), 11A. -6B. 7C. 10D. 13我选B前两个数相加的和的绝对值=第三个数=>选B9) 3.3,5.7,13.5,( )A.7.7B. 4.2C. 11.4D. 6.8我选A把分⼦拆开为⼀组数列:3,5,13,?把分母拆开为⼀组数列:3,7,5,?以上两组数列均为质数列故分⼦ ?=>7分母 ?=>7再把推出的分⼦和分母重新组合还原本数字项=>7.7以上是个⼈的拙见,还望⾼⼈能够指点⼀⼆.......这些数全可以被2除尽那低⼈就乱说⼀通啦~~呵呵：）1、这个题没有分数，谈不上分⼦分母的问题，我想⼀定是笔误了。

2025届高三物理一轮复习多维度导学与分层专练专题17动力学中的连接体问题、临界极值问题导练目标导练内容目标1加速度相同的连接体问题目标2加速度不同的连接体问题目标3动力学中的临界极值问题【知识导学与典例导练】一、动力学中的连接体问题1.处理连接体问题的方法(1)整体法的选取原则及解题步骤①当只涉及系统的受力和运动情况而不涉及系统内某些物体的受力和运动情况时，一般采用整体法。

②运用整体法解题的基本步骤：(2)隔离法的选取原则及解题步骤①当涉及系统(连接体)内某个物体的受力和运动情况时，一般采用隔离法。

②运用隔离法解题的基本步骤：第一步：明确研究对象或过程、状态。

第二步：将某个研究对象或某段运动过程、某个状态从系统或全过程中隔离出来。

第三步：画出某状态下的受力图或运动过程示意图。

第四步：选用适当的物理规律列方程求解。

2.加速度相同的连接体问题常见模型条件交叉内力公式模型一地面光滑，m 1和m 2具有共同加速度整体：()a m m F 211+=（F 1为m 1所受到的外力）隔离m 2：m 2和m 1之间绳的拉力T （内力）大小：21212F T m a m m m ==+（注：分子是m 2与作用在m 1上的外力F 1交叉相乘）模型二地面光滑，m 1和m 2具有共同加速度整体：()a m m F 212+=（F 2为m 2所受到的外力）隔离m 1：m 2和m 1之间绳的拉力T （内力）大小：12112F T m a m m m ==+（注：分子是m 1与作用在m 2上的外力F 2交叉相乘）模型三地面光滑，m 1和m 2具有共同加速度整体：()am m F F 2121+=-（F 2为m 2所受到的外力，F 1为m 1所受到的外力）隔离m 1：m 2和m 1之间绳的拉力T （内力）大小：11F T m a-=21122111Fm FmT F m am m+=-=+（注：分子是m2与作用在m1上的外力F1交叉相乘“加上”m1与作用在m2上的外力F2交叉相乘）模型四地面光滑，m1和m2具有共同加速度整体：()ammFF2121+=+隔离m1：内力T：11F T m a-=22111112-Fm FmT F m am m=-=+（注：分子是m2与作用在m1上的外力F1交叉相乘“减去”m1与作用在m2上的外力F2交叉相乘）模型五地面不光滑，m1和m2具有共同加速度类似于模型三：对m1把（F1-f1）的合力记作F1’；对m2把（F2+f2）的合力记作F2’，则有：整体：()ammFF2121+=-’’隔离m1：12211112F mT m FF m am m+=-=+’’’（注：F1’和F2’分别为两个物体除内力以外的各自所受所有外力的合力，等同于模型三中的F1和F2，公式形式相同）模型六地面不光滑，m1和m2具有共同加速度类似于模型三：水平外力分别是m1受到的F1和m2受到的摩擦力f2，此种情况的水平内力为物体间的摩擦力F f。

山东省泰安一中、宁阳一中2025届高三第五次模拟考试语文试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

1、阅读下面的文字，完成下列小题。

日前从国际奥委会执委会会议传来消息：武术将成为2022年青奥会正式比赛项目。

武术入青奥，是中华武术国际推广工作持续发展、的结果。

多年来，在国家体育总局、中国武术协会、国际武联的共同推动下，武术运动深耕海外，武术之花遍开五洲。

特别是2008年北京奥运会以来，武术的全球爱好者，国际“朋友圈”不断扩大。

目前，全世界约有1.2亿人从事武术运动。

（）。

武术是传统文化的瑰宝，文化基因的作用不容忽视。

中华武术自诞生以来，东方哲学思想即蕴含其中，深受全球武术爱好者所欢迎。

各国“功夫小子”在青奥会上一抱拳、一搭手，展现的是中华体育的风采，的是以武会友的善意，增进的是文化间的了解，以武止戈、以和为贵的中国理念必将世界。

1．依次填入文中横线上的词语，全都恰当的一项是A．顺理成章比比皆是传播激扬B．水到渠成俯拾皆是传递激扬C．水到渠成比比皆是传递激荡D．顺理成章俯拾皆是传播激荡2．下列填入文中括号内的语句，衔接最恰当的一项是A．除了运动本身吸引力十足外，武术也有着独特的文化魅力。

B．除了武术有着独特的文化魅力外，运动本身也吸引力十足。

C．除了运动本身吸引力十足外，武术文化也有着独特魅力。

D．除了武术文化有着独特魅力外，运动本身的吸引力也十足。

3．文中画横线的句子有语病，下列修改最恰当的一项是A．自中华武术诞生以来，即蕴含东方哲学思想，深受全球武术爱好者所欢迎。

B．自中华武术诞生以来，东方哲学思想即蕴含其中，深受全球武术爱好者所欢迎。

C．中华武术自诞生以来，东方哲学思想即蕴含其中，深受全球武术爱好者欢迎。

第一章机械加工工艺规程的制定习题答案一、填空题1、生产过程包括：技术准备过程、生产过程、辅助生产过程、生产服务四过程。

在生产过程中与机械加工有关的过程称为机械加工工艺过程，其文件固定形式称为机械加工工艺规程。

2、零件的机械加工工艺过程由若干个工序所组成；在每一个工序中可以包含一个或几个工步；又可以包含一个或几个安装，在每一个安装中可以包含一个或几个工位，每一个工位可能包含一个或几个工作行程。

工序是依据工作地点是否变化和工作过程是否连续来划分的。

3、获得尺寸精度的方法有：试切法、调整法、定尺寸法和自动控制法。

4、机械加工中常用的毛坯有：铸件、锻件、型材、焊接件、冷冲压件毛坯和其它形式的毛坯。

5、根据基础基准的应用场合和作用不同，基准可分为：设计基准和工艺基准两大类。

而工艺基准又可分为：工序基准、定位基准、测量基准和装配基准。

6、精基准的选择原则有：基准重合原则、基准统一原则、作为定位基准应保证工件定位准确，夹紧可靠，夹具结构简单，操作方便、互为基准原则、自为基准原则。

7、在机械加工中，零件的加工阶段通常有：粗加工阶段、半精加工阶段、精加工阶段和光整加工阶段四个加工阶段。

8、机械加工中的预备热处理方法有：退火、正火、调质和时效处理四种。

9、机械加工中的最终热处理方法有：淬火、渗碳淬火和氮化处理三种。

10、在安排机械加工顺序时，一般应遵循的有：“先粗后精” 原则、“先主后次” 原则、“先基面后其它”原则和“先面后孔”的原则。

11、加工余量可分为工序余量和总加工余量。

12、标注工序尺寸公差时，一般毛坯尺寸公差采用双向对称标注；最后一道工序标注设计尺寸公差；而中间工序的工序尺寸公差一般按“入体”原则标注；即对包容表面（孔），其基本尺寸是最小工序尺寸，公差表现为上偏差；对被包容表面（轴），其基本尺寸是最大工序尺寸，公差表现为下偏差。

13、尺寸链由环组成，根据其性质不同可以将尺寸环分为组成环对封闭环；而根据组成环对封闭环的影响情况不同，又可以将组成环分为增环和减环。

1.2 简要阐述环境工程学的主要任务及其学科体系解：环境工程学作为环境学科的一个重要分支，主要任务是利用环境学科以及工程学的方法，研究环境污染控制理论、技术、措施和政策，以改善环境质量，保证人类的身体健康和生存以及社会的可持续发展。

图1-2 是环境工程学的学科体系。

1.3 去除水中的悬浮物，有哪些可能的方法，它们的技术原理是什么？解：去除水中悬浮物的方法主要有：沉淀、离心分离、气浮、过滤（砂滤等）、过滤（筛网过滤）、反渗透、膜分离、蒸发浓缩等。

上述方法对应的技术原理分别为：重力沉降作用、离心沉降作用、浮力作用、物理阻截作用、物理阻截作用、渗透压、物理截留等、水与污染物的蒸发性差异。

1.4 空气中挥发性有机物（VOCs）的去除有哪些可能的技术，它们的技术原理是什么？解：去除空气中挥发性有机物（VOCs）的主要技术有：物理吸收法、化学吸收法、吸附法、催化氧化法、生物法、燃烧法等。

上述方法对应的技术原理分别为：物理吸收、化学吸收、界面吸附作用、氧化还原反应、生物降解作用、燃烧反应。

1.5 简述土壤污染可能带来的危害及其作用途径。

解：土壤污染的危害及其作用途径主要有以下几个方面：①通过雨水淋溶作用,可能导致地下水和周围地表水体的污染;②污染土壤通过土壤颗粒物等形式能直接或间接地为人或动物所吸入;③通过植物吸收而进入食物链,对食物链上的生物产生毒害作用等。

1.6 环境净化与污染控制技术原理可以分为哪几类？它们的主要作用原理是什么？解：从技术原理上看，环境净化与污染控制技术原理可以分为“隔离技术”、“分离技术”和“转化技术”三大类。

隔离技术是将污染物或者污染介质隔离从而切断污染物向周围环境的扩散，防止污染近一步扩大。

分离技术是利用污染物与污染介质或其它污染物在物理性质或化学性质上的差异使其与介质分离，从而达到污染物去除或回收利用的目的。

转化技术是利用化学或生物反应，使污染物转化成无害物质或易于分离的物质，从而使污染介质得到净化与处理。

鸡兔同箜问题教案篇1教学目标：1. 知识与技能目标：学生能够理解鸡兔同笼问题的含义，掌握鸡兔同笼问题的基本解法，如假设法、方程法等，并能熟练运用这些方法解决实际问题。

2. 过程与方法目标：通过自主探究、合作交流等活动，培养学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力，提高学生的数学应用意识。

3. 情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，增强学生的自信心和克服困难的勇气，让学生在解决问题的过程中体验到成功的喜悦。

教学重点与难点：1. 教学重点：掌握鸡兔同笼问题的基本解法，如假设法和方程法。

2. 教学难点：理解假设法的思路，能灵活运用不同方法解决鸡兔同笼问题，并能举一反三解决类似的数学问题。

教学方法：1. 讲授法：讲解鸡兔同笼问题的基本概念和解题方法。

2. 讨论法：组织学生小组讨论，交流解题思路和方法。

3. 练习法：通过课堂练习和课后作业，巩固所学知识和技能。

教学过程：一、数学故事引入（5 分钟）同学们，今天老师给大家带来一个有趣的数学故事。

在古代，有一个笼子里关着鸡和兔子，头一共有35 个，脚一共有94 只，你们知道笼子里鸡和兔子各有多少只吗？这个问题是不是很有趣呀？那让我们一起来探索其中的奥秘吧！二、讲解鸡兔同笼问题（10 分钟）1. 呈现问题：笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有8 个头，从下面数，有26 只脚。

鸡和兔各有几只？2. 分析问题：引导学生思考，鸡有2 只脚，兔有4 只脚。

3. 假设法讲解：假设笼子里都是鸡，那么脚的总数应该是8×2 = 16 只，而实际有26 只脚，多出来的10 只脚是因为把兔当成鸡来算了，每只兔少算了2 只脚，所以兔的数量就是10÷2 = 5 只，鸡的数量就是8 - 5 = 3 只。

4. 方程法讲解：设鸡有x 只，兔有y 只。

根据头的数量可得x + y = 8，根据脚的数量可得2x + 4y = 26，联立方程组解得x = 3，y = 5。

数论专题（⼆）数论基础知识⼆、数论基础知识1、欧⼏⾥德算法(辗转相除法)2、扩展欧⼏⾥德定理a.线性同余b.同余⽅程求解c.逆元3、中国剩余定理（孙⼦定理）4、欧拉函数a.互素b.筛选法求解欧拉函数c.欧拉定理和费马⼩定理5、容斥原理⼆、数论基础知识1、欧⼏⾥德定理（辗转相除法）定理：gcd(a, b) = gcd(b, a % b)。

证明：a = kb + r = kb + a%b，则a % b = a - kb。

令d为a和b的公约数，则d|a且d|b 根据整除的组合性原则，有d|(a-kb)，即d|(a%b)。

这就说明如果d是a和b的公约数，那么d也⼀定是b和a%b的公约数，即两者的公约数是⼀样的，所以最⼤公约数也必定相等。

这个定理可以直接⽤递归实现，代码如下：int gcd(int a, int b) {return b ? gcd(b, a%b) : a;}这个函数揭⽰了⼀个约定俗成的概念，即任何⾮零整数和零的最⼤公约数为它本⾝。

【例题8】f[0] = 0, 当n>1时，f[n] = (f[n-1]+a) % b，给定a和b，问是否存在⼀个⾃然数k (0 <= k< b)，是f[n]永远都取不到的。

永远有多远？并不是本题的范畴。

但是可以发现的是这⾥的f[...]⼀定是有循环节的，如果在某个循环节内都⽆法找到那个⾃然数k，那么必定是永远都找不到了。

求出f[n]的通项公式，为f[n] = an % b，令an = kb + r，那么这⾥的r = f[n]，如果t = gcd(a, b)，r = an-kb = t ( (a/t)n -(b/t)k )，则有t|r，要满⾜所有的r使得t|r,只有当t = 1的时候，于是这个问题的解也就出来了，只要求a和b的gcd，如果gcd(a,b) > 1，则存在⼀个k使得f[n]永远都取不到，直观的理解是当gcd(a, b) > 1，那么f[n]不可能是素数。

1.蛋白质的一级结构（共价结构）蛋白质的一级结构也称共价结构、主链结构。

2.蛋白质结构层次一级结构（氨基酸顺序、共价结构、主链结构）↓是指蛋白质分子中氨基酸残基的排列顺序二级结构↓超二级结构↓构象（高级结构）结构域↓三级结构(球状结构)↓四级结构(多亚基聚集体)3.一级结构的要点．4.蛋白质测序的一般步骤祥见 P116（1）测定蛋白质分子中多肽链的数目。

（2）拆分蛋白质分子中的多肽链。

（3）测定多肽链的氨基酸组成。

（4）断裂链内二硫键。

（5）分析多肽链的N末端和C末端。

（6）多肽链部分裂解成肽段。

（7）测定各个肽段的氨基酸顺序（8）确定肽段在多肽链中的顺序。

（9）确定多肽链中二硫键的位置。

5.蛋白质测序的基本策略对于一个纯蛋白质，理想方法是从N端直接测至C端，但目前只能测60个N端氨基酸。

6. 直接法（测蛋白质的序列）两种以上特异性裂解法 N CA 法裂解 A1 A2 A3 A4B 法裂解 B1 B2 B3 B4用两种不同的裂解方法，产生两组切点不同的肽段，分离纯化每一个肽段，分离测定两个肽段的氨基酸序列，拼接成一条完整的肽链。

7. 间接法（测核酸序列推断氨基酸序列）核酸测序，一次可测600-800bp8. 测序前的准备工作9. 蛋白质的纯度鉴定纯度要求，97%以上，且均一，纯度鉴定方法。

（两种以上才可靠）⑴聚丙烯酰胺凝胶电泳(PAGE)要求一条带⑵DNS —cl （二甲氨基萘磺酰氯）法测N 端氨基酸10. 测定分子量用于估算氨基酸残基n=方法：凝胶过滤法、沉降系数法11. 确定亚基种类及数目多亚基蛋白的亚基间有两种结合方式：⑴非共价键结合8mol/L 尿素，SDS SDS-PAGE 测分子量⑵二硫键结合过甲酸氧化：—S —S —+HCOOOH → SO 3Hβ巯基乙醇还原：举例:： 血红蛋白 (α2β2)（注意，人的血红蛋白α和β的N 端相同。

）分子量： M拆亚基： M 1 、M 2 两条带拆二硫键： M 1 、M 2 两条带分子量关系： M = 2M 1 + 2M 212. 测定氨基酸组成主要是酸水解，同时辅以碱水解。

1964年全国高考数学试题及其解析2.甲乙二人在河的南岸O处,隔河在正北方向有一建筑物P.甲向正东、乙向正西沿河岸而行,甲每分钟比乙多走a米.10分钟后,甲望建筑物P在北a度西(即北偏西a度),乙望建筑物P在北β度东(即北偏东β度),求O与P之间的距离.3.解方程x4+1=0;并且证明:平面内表示这个方程的根的四个点是一个正方形的顶点.4.已知A、B、C是三角形的三个内角,求证:5.已知方程x3+mx2-3x+n=0的三个根的平方和为6,且知这个方程有两相等的正根,求m、n的值.6.圆台形铁桶的上口半径是15厘米,下底半径是10厘米,母线长是30厘米,将铁桶的侧面沿一条母线剪开铺平,得图中扇面形状的铁片ABCD.求A、B两点间的距离.7.A、B、C、D四个点在平面M和平面N之外,A、B、C、D在平面M内的射影是A1、B1、C1、D1,在平面N内的射影是A2、B2、C2、D2.已知A1、B1、C1、D1在一条直线上,A2B2C2D2是一个平行四边形,求证ABCD也是一个平行四边形.8.下图中ABCD是正方形,其每边长为1;在正方形内,⊙O与⊙O＇互相外切,并且⊙O与AB、AD两边相切,⊙O＇与CB、CD两边相切.(1)求这两圆半径之和.(2)当两圆半径各多么长时,两圆面积之和最小?当半径各多么长时,面积之和最大?证明你的结论.附加题(1)如果把第8题中的正方形改成矩形,你能得到什么结果?为什么?(2)如果把第8题中的正方形改成棱长为1的正方体,把圆改成球,你能得到什么结果?为什么?1964年试题答案1.解法一:解法二:2.解:如图,设OB=x,则OA=x+10a.再设OP=h,则htgα=x+10a,htgβ=x.h(tgα-tgβ)=10a,3.解法一:原方程即x4=-1,也就是x4=cos(2k+1)π+isin(2k+1)π令k=0、1、2、3,就得到原方程的四个根:如图,∠M1OM2等于x2的辐角减去x1的辐角，故∴M1M2=M2M3=M3M4=M4M1.∴M1M2M3M4是一个正方形.解法二:x4+1=(x4+2x2+1)-2x2∴原方程即它的根是如图,线段M2M1与M3M4显然都平行于OX轴,线段M4M1与M3M2都平行于OY 轴.所以M1M2M3M4是一个正方形.4.解法一:利用正弦定理代入所要证明的等式的右边,并化简得由余弦定理,上式右边就是cosA.解法二:利用A=π-(B+C),sin2B+sin2C-sin2A=sin2B+sin2c-sin2(B+C)=sin2B+sin2C-(sinBcosC+cosBsinC)2=sin2B+sin2C-sin2Bcos2C-cos2Bsin2C-2sinBsinCcosBcosC=sin2B(1-cos2C)+sin2C(1-cos2B)-2sinBsinCcosBcosC=2sin2Bsin2C-2sinBsinCcosBcosC=2sinBsinC(sinBsinC-cosBcosC)=2sinBsinC[-cos(B+C)]=2sinBsinC·cos[π-(B+C)]=2sinBsinCcosA.两边除以2sinBsinC,得到5.解法一:设这个方程的三个根为α、α、β.根据已知条件和根与系数的关系,得(2)的两边乘以2,得2α2+4αβ=-6,(3)(1)与(3)的两边分别相加,得4α2+4αβ+β2=0,即(2α+β)2=0,∴β=-2α.代入(1),2α2+(-2α)2=6,6α2=6,∴α=±1.α=-1不符合题意,舍去.故α=1,β=-2.∴m=-(2α+β)=0,n=-α2β=2.解法二:仿解法一得代简,得α4-2α2+1=0,即(α2-1)2=0,∴α=±1.α=-1不合题意,舍去.故α=1,代入(2)得,β=-2.∴m=-(2α+β)=0,n=-α2β=2.6.解法一:延长AD、BC相交于O,设∠COD=θ,OD=x,则(x+30)θ=30π,xθ=20π,相减,得30θ=10π,因为△OAB是一个等边三角形,所以AB=OA=90（厘米）.解法二:延长AD、BC相交于O,设OD=x,则解出x,得x=60,因为△OAB是一个等边三角形,所以AB=OA=90（厘米）.7.解:如图,设A1、B1、C1、D1所在的直线为l,过直线l与直线作AA1作一平面P,则P必垂直于M.显然A在平面P内.又因B1在平面P内,且直线BB1垂直于平面M,故BB1必在平面P内.因而B也在平面P内.同理,C、D也在平面P内.因AA2∥DD2,且A2B2∥D2C2,故由AA2与A2B2所决定的平面平行于由DD2与D2C2所决定的平面.又P与这两个平面的交线分别为AB与CD,故AB∥CD.同理BC∥AD.故ABCD是平行四边形.8.解法一:但OO是两圆连心线,所以OO抇=r+r抇=s.故由上式得(2)两圆面积之和是π(r2+r＇2)=π[r2+(s-r)2]现在讨论当半径各多么长时,面积之和最大.不妨先设r≥r＇,即不妨解法二:(2)两圆面积之和是两圆面积之和最小.由(Ⅲ),得附加题(1)如果把第8题中的正方形改成矩形,你能得什么结果?为什么?容易看出:AP=r,RB=O＇Q=r＇.因此,OS=PR=a-s.仿此,O＇S=b-s.但△OSO＇是直角三角形,而OO＇=r+r＇=s,故得(a-s)2+(b-s)2=s2.即s2-2(a+b)s+a2+b2=0.显然s<a+b,故应取“-”号.因此另一方面,两圆面积之和为又由（Ⅱ）有(2)如果把第8题中的正方形改成棱长为1的正方体,把圆改成球,你能得到什么结果?为什么?解:设球O与球O′互相外切,并且都在正方体ABCD—BACD内部.设球O与过A的三个面相切,球O与C的三个面相切.设球O与球的半径分别为r与r＇,r+r＇=s.两球表面积之和是4π(r2+r2)=2π[(r+r＇)2+(r-r＇)2]=2π[s2+(r-r＇)2]=2π[s2+(2r-s)2].两球体积之和是。

第二章04图解法的特殊情况同学们大家好，今天我们来看一下图解法的几种特殊情况，使我们对于线性规划模型的解有一个更加深入的认识。

前面的两个例题中，模型的最优解都是唯一的，但是有的时候并不是这样的。

有的时候，一个线性规划模型有无穷多个最优解，有的时候，线性规划模型是没有可行解的，有的时候模型是无界解，下面我们分别看一下。

第一种情况的是无穷多个最优解。

我们举个例子，在例2-1中，我们把目标函数改为x 1+2x 2，模型就变成了下面这个模型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤++=0,124 16 482st.2max 21212121x x x x x x x x z 在用图解法对它进行求解，画等值线的时候，发现等值线是与BC 这条直线平行的。

为了取得目标函数的最大值，等值线应该向上平移，但是当平移到最上面的时候，恰好与直线BC 重合，也就是线段BC 上的点都使目标函数值达到最大，此时，称线性规划模型有无穷多最优解。

第二种情况是无可行解，也就是线性规划模型的可行域是空集。

例如，在例2-1里面增加约束条件，要求生产产品1、产品2至少3kg 。

此时的模型为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥≤≤≤++=0,3312416482st.32max 2121212121x x x x x x x x x x z多边形OABCD 包围的区域是原例2-1模型的可行域，直线l 1和l 2相交的右上阴影区域是新加入条件的区域。

显然，这两个区域不相交，也就是可行域为空集，从而无可行解。

第三种情况是无界解。

如果一个线性规划模型的解无限地变大或变小，却不违反任何约束条件，这样的最优化问题的最优解称为无界解。

例如，在用图解法求解下面线性规划模型时12121212min 221st.200,0f x x x x x x x x =+-≥⎧⎪-≥⎨⎪≥≥⎩它的可行域是一个无界凸区域，如下图所示。

为了让目标函数值取得最小值，我们应在与可行域有交点的前提下，把等值线尽量向下平移，当平移到B 点时，与可行域只有一个交点，即B 为模型最优解。

阿西莫夫《基地》章节内容概括第一篇心理史学家[以线索人物盖尔·多尼克的角度，描写了当时的帝国首都川陀的社会环境，透露出了帝国衰败已是不争的事实。

又介绍了哈里·谢顿其人与其用心理史学建立基地的背景，为下文打下基础。

]01数学博士盖尔·多尼克被谢顿邀请到川陀，参与神秘的谢顿计划。

02盖尔·多尼克来到川陀，03.戴尔游览川陀。

04盖尔·多尼克与谢顿会面。

谢顿用心理学史推算川陀的未来——川陀在三个世纪内完全灭亡。

05公共安全委员会询问盖尔，并限制他的行动，盖尔找律师为他辩护。

帝国的皇帝没有任何权力，权力掌握在公共安全委员会的贵族手中06谢顿泰然自若，承受审判，预言川陀的未来——三个世纪内将变成废墟。

谢顿与安全委员会委员陈主委进行论辩。

07陈主委是帝国的真正的皇帝。

谢顿在“死刑”与“流放”之间选择了流放，准备到与世隔绝的端点星。

08谢顿与盖尔在川陀大学见面，谢顿为移民已准备了两年半。

第二篇百科全书编者[描写了建立已有五十年的基地。

这时的基地仍是一个纯粹的“科研基地”，处于领导阶级的仍是百科全书编者们，市长实际上没有实权。

而且基地没有武装，临近的却是虎视眈眈的“四王国”。

基地面临第一次危机，安纳克里昂星郡想要吞并端点星的危机。

基地利用“势力均衡”来防止外来者入侵。

]庆典——电脑终将开启穹窿。

核能，无核武器，回归到了煤与石油的时代。

03哈定参加百科全书理事会会议，分析银河帝国的现状与原因，大家都期待着穹窿开启。

04银河帝国特使道尔文大人，与哈定谈核电厂炉心融解问题，放射性污染问题，银河外缘的独立王国问题。

05哈定第二次参加百科全书理事会会议。

与理事会成员产生冲突，思想思维的冲突。

哈定批评他们不自立自强，不独立思考，因循守旧，不创新，只固守不发展，食古不化。

06哈定准备发动军事政变，分析理事会的现状——对统治端点星，毫无能力，他精准的判断未来。

07谢顿在穹窿中出现，说百科全书基地只不过是个幌子，他分析银河帝国现状，端点星的现状和未来。