2021届宁夏长庆高级中学高三上学期第三次月考数学(理)试卷及解析

宁夏银川一中2021届高三第一学期第三次月考理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}0,1,2,3A =，{}|02B x R x =∈≤≤，则A B 的子集个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】D 【解析】 【分析】 先求出AB 集合元素个数，再根据求子集的公式求得子集个数．【详解】因为集合{}0,1,2,3A =，{}=02,B x x x R ≤≤∈ 所以{}0,1,2AB =所以子集个数为328= 个 故选：D2. 下列命题中错误的是（ ）A. 若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“()p q ∨⌝”为真命题B. 命题“若7a b +≠，则2a ≠或5b ≠”为真命题C. 命题“若20x x -=，则0x =或1x =”的否命题为“若20x x -=，则0x ≠且1x ≠”D. 命题:0p x ∃>，sin 21x x >-，则p ⌝为0x ∀>，sin 21x x ≤- 【答案】C 【解析】 【分析】根据含有逻辑联结词命题真假性，判断A 选项是否正确.根据原命题的逆否命题的真假性，判断B 选项是否正确.根据否命题的知识判断C 选项是否正确.根据特称命题的否定是全称命题的知识，判断D 选项是否正确.【详解】对于A 选项，由于q 为假命题，所以q ⌝为真命题，所以“()p q ∨⌝”为真命题，故A 选项正确.对于B 选项，原命题的逆否命题是“若2a =且5b =，则7a b +=”为真命题，原命题也是真命题，故B 选项正确.对于C 选项，命题“若20x x -=,则0x =或1x =”的否命题为“若20x x -≠,则0x ≠且1x ≠”，故C 选项错误.对于D 选项，根据含有一个量词的命题的否定，易得D 选项正确 故选：C3. 中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互变化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆O (O 为坐标原点)的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”．给出下列命题： ①对于任意一个圆O ，其“优美函数”有无数个；②函数22()ln(1)f x x x =++可以是某个圆的“优美函数”； ③正弦函数sin y x =可以同时是无数个圆的“优美函数”；④函数()y f x =是“优美函数”的充要条件为函数()y f x =的图象是中心对称图形．A. ①④B. ①③④C. ②③D. ①③【答案】D 【解析】 【分析】根据定义分析，优美函数具备的特征是，函数关于圆心（即坐标原点）呈中心对称. 【详解】对①，中心对称图形有无数个，①正确对②，函数22()ln(1)f x x x =++是偶函数，不关于原点成中心对称.②错误 对③，正弦函数关于原点成中心对称图形，③正确. 对④，充要条件应该是关于原点成中心对称图形，④错误 故选D【点睛】仔细阅读新定义问题，理解定义中优美函数的含义，找到中心对称图形，即可判断各项正误.4. 已知复数342iz i-=-（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除，求模，化简运算，求出z 的坐标得出答案.【详解】因为()()()34522222i i z i i i i -+===+--+，所以复数z 在复平面内对应的点为()2,1，位于第一象限． 故选:A ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除求模运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.5. 将函数sin 2y x =的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( ) A. cos 2y x = B. 1cos2y x =+C. 1si π24n y x =++⎛⎫ ⎪⎝⎭D. cos21y x =-【答案】B 【解析】 【分析】直接利用三角函数平移法则得到答案. 【详解】函数sin 2y x =的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是：sin 21sin 21cos 2142y x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题考查了三角函数平移，属于简单题.6. 设函数()()sin f x g x x =+，曲线()y g x =在点(0, (0))g 处的切线方程为31yx ，则曲线()y f x = 在点(0, (0))f 处切线方程为（ ） A. 41y x =+B. 42y x =+C. 21y x =+D.22y x =+【答案】A 【解析】 【分析】由曲线()y g x =在点(0, (0))g 处的切线方程为31y x 可求出(0)3g '=，(0)1g =，由此可求出(0)f '，(0)f ，根据点斜式即可求出. 【详解】由切线方程为切线方程为31yx 可知(0)3g '=，(0)1g =，∴(0)(0)cos04f g ''=+=，(0)1f = ∴切线为()140-=-y x ，即41y x =+. 故选：A.【点睛】本题考查利用导数求切线方程，属于基础题. 7. 设向量(0,1)b =，11,22a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则下列结论中正确的是（ ） A. //a b B. a b ⊥C. a 与b 的夹角为34π D. b 在a 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量平行，垂直，夹角以及向量投影坐标公式对各个选项进行检验即可. 【详解】A.110122⎛⎫⎛⎫-⨯≠-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即两个向量不满足平行的坐标公式，故错误； B.1101022⎛⎫⎛⎫-⨯+⨯-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即不满足向量垂直的坐标公式，故错误；C.122cos 2||||2a b a b θ-⋅===-，[]0,θπ∈，所以夹角为34π，正确；D.b 在a 方向上的投影为1222a b a-⋅==，故错误.故选：C【点睛】本题考查两个向量平行，垂直以及两个向量的夹角坐标公式，考查向量投影的计算方法，属于基础题.8. 已知正项数列{}n a 满足：11a =，2212n n a a +-=，则使7n a <成立的n 的最大值为（ ）A. 3B. 4C. 24D. 25【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的定义可知2{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，可求得221n a n =-，所以21n a n =-【详解】由等差数列的定义可知2{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列 所以21(1)221n a n n =+-⨯=-， 所以21n a n =-*n N ∈，又7n a <217n -<，即2149n -< 解得25n <，又*n N ∈， 所以24n =，故选C【点睛】本题考查等差数列的定义，通项公式，及一元一次不等式解法，突破点在于根据等差数列的定义，得到2{}n a 为等差数列，再进行求解．而不是直接求n a ，属基础题．9. 已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞）【答案】C 【解析】分析：首先根据g （x ）存在2个零点，得到方程()0f x x a ++=有两个解，将其转化为()f x x a =--有两个解，即直线y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数()f x 的图像（将(0)xe x >去掉），再画出直线y x =-，并将其上下移动，从图中可以发现，当1a -≤时，满足y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数()f x 的图像，xy e =在y 轴右侧的去掉，再画出直线y x =-，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程()f x x a =--有两个解， 也就是函数()g x 有两个零点， 此时满足1a -≤，即1a ≥-，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.10. 已知函数()cos()f x x ωϕ=-(04,0)ωϕπ<<<<的部分图象如图所示，(0)cos2f =，则下列判断正确的是（ ）A. 函数()f x 的最小正周期为4B. 函数()f x 的图象关于直线61x π=-对称C. 函数()f x 的图象关于点(1,0)4π+对称D. 函数()f x 的图象向左平移2个单位得到一个偶函数的图象 【答案】C 【解析】【详解】根据函数()cos()(04f x x ωϕω=-<<，0)ϕπ<<的部分图象， (0)cos2f =，cos cos2ϕ∴=，2ϕ∴=．再根据五点法作图可得120ω⨯-=，2ω∴=，()cos(22)f x x =-． 故它的周期为22ππ=，故A 不对． 令61x π=-，22124x π-=-，()f x 的值不是最值，故B 不对． 令14x π=+，222x π-=，()f x 的值为零，故函数()f x 的图象关于点(14π+，0)对称，故C 正确．把函数()f x 的图象向左平移2个单位，可得cos(22)y x =+的图象， 显然所得函数不是偶函数，故D 错误， 故选：C ． 故选C.11. 已知函数()f x 在定义域上的值不全为零，若函数()1f x +的图象关于()1,0对称，函数()3f x +的图象关于直线1x =对称，则下列式子中错误的是（ ）A. ()()f x f x -=B. (2)(6)f x f x -=+C. (2)(2)0f x f x -++--=D. (3)(3)0f x f x ++-=【答案】D【解析】 【分析】由题设条件可得函数()f x 的图象关于(2,0)对称，且关于直线4x =对称，从而得到()f x 为偶函数且为周期函数，从而可判断各项的正误. 【详解】∵函数(1)f x +的图象关于()1,0对称， ∴函数()f x 的图象关于(2,0)对称，令()(1)F x f x =+，∴()()2F x F x =--，即()(3)1f x f x -=-+，∴()()4f x f x -=- …⑴ 令()(3)G x f x =+，∵其图象关于直线对称，∴()()2G x G x +=-，即()()53f x f x +=-，∴()()44f x f x +=- …⑵由⑴⑵得，()()4f x f x +=-，∴()()8f x f x += …⑶ ∴()()()844f x f x f x -=-=+-，由⑵得()()()()()4444f x f x f x +-=--=,∴()()f x f x -=；∴A 对； 由⑶，得()()282f x f x -+=-，即()()26f x f x -=+，∴B 对； 由⑴得，()()220f x f x -++=，又()()f x f x -=，∴()()(2)(2)220f x f x f x f x -++--=-++=，∴C 对；若()()330f x f x ++-=，则()()6f x f x +=-，∴()()12f x f x +=，由⑶得()()124f x f x +=+，又()()4f x f x +=-，∴()()f x f x =-，即()0f x =，与题意矛盾，∴D 错. 故选：D.【点睛】本题考查函数图象的对称性、奇偶性、周期性，注意图象的对称性与函数解析式满足的等式关系之间的对应性，本题属于中档题.12. 若函数()sin xxf x e e x x -=-+-，则满足2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭恒成立的实数a 的取值范围为（ ）A. 12ln 2,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B. 1ln 2,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C. 7,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】 判断()sin xxf x e ex x -=-+-是R 上的奇函数，利用导函数可判断()f x 是R 上的增函数，2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭恒成立等价于22ln(1)2x a x -+≥-，分离a 得22ln(1)2x a x ≥-++，令2()2ln(1)2x g x x =-++，则max ()a g x ≥，经过分析知()g x 是R 上的偶函数，只需求()g x 在()0,∞+上的最大值，进而求得a 的取值范围. 【详解】因为()()sin xx f x ee x xf x --=--+=-，所以()f x 是R 上的奇函数，()cos 1x x f x e e x -'=++-，()cos 12cos 11cos 0x x x x f x e e x e e x x --'=++-≥⋅-=+≥，所以()f x 是R 上的增函数，2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭等价于22(2ln(1))22x x f a x f f ⎛⎫⎛⎫-+≥-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以22ln(1)2x a x -+≥-，所以22ln(1)2x a x ≥-++，令2()2ln(1)2x g x x =-++，则max ()a g x ≥，因为()()g x g x -=且定义域为R ，所以()g x =22ln(1)2xx -++是R 上的偶函数，所以只需求()g x 在()0,∞+上的最大值即可.当[)0,x ∈+∞时，2()2ln(1)2x g x x =-++，()()22122()111x x x x g x x x x x +---+'=-+==-+++， 则当[)0,1x ∈时，()0g x '>；当[)1,x ∈+∞时，()0g x '<； 所以()g x 在[)0,1上单调递增，在[)1,+∞上单调递减， 可得：max 1()(1)2ln 22g x g ==-， 即12ln 22a ≥-， 故选：A【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，考查导数研究函数单调性、最值以及恒成立问题，属于较难题.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若函数()22ln f x x x a x =++在0,1 上单调递减， 则实数a 的取值范围是_________.【答案】4a ≤- 【解析】试题分析：由已知可得()222'220a x x a f x x x x ++=++=≤在0,1上恒成立2220x x a ⇒++≤在0,1 上恒成立404a a ⇒+≤⇒≤-.考点：1、导数及其应用；2、函数与不等式.【方法点晴】本题考查导数及其应用、函数与不等式，涉及数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 利用导数处理不等式问题,在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决.由已知可得()222'220a x x af x x x x++=++=≤在0,1上恒成立2220x x a ⇒++≤在0,1上恒成立404a a ⇒+≤⇒≤-.14. 在边长为2的正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，AE 交BD 于F .若23AF x AB y AD =+，则x y +=________.【答案】718【解析】 【分析】根据向量加法的三角形法则得AE AD DE =+1122AD DC AD AB =+=+， 根据三角形相似可得23AF AE =，23AF AE =，代入AE 可得AF 2133AD AB +=，结合已知23AF x AB y AD =+，根据平面向量基本定理可得16x =，29y =，即可求解 【详解】因为在正方形中，E 为CD 中点， 所以AE AD DE =+1122AD DC AD AB =+=+， 又为EFD AFB ≅，所以2AF AB FE ED==，所以2AF FE =，23AF AE =，所以23AF AE =2122121()33333AD DC AD AB AD DC =++=+=， 又已知23AF x AB y AD =+， 根据平面向量基本定理可得16x =，29y =， 所以1276918x y +=+=， 故答案为：718【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于利用EFD AFB ≅，证得2AF ABFE ED==，进而，可以求出,x y ，难度属于基础题15. 已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若存在*m N ∈，满足228m m S S =，22212m m a m a m +=-，则数列{}n a 的公比为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据等比数列前n 项和公式和通项公式化简已知式，可得221272m m +=-，解出m ，进而根据27m q =求得结果.【详解】由228m m S S =得：()()()()()2111111128111mmm mmma q q q q qa q q q-+--==+=--- 27m q ⇒=由22212m m a m a m +=-得：2121112212m mm m m a a q m q a a q m --+===- 则221272m m +=- 3m ⇒= 327q ⇒= 则3q =本题正确结果：3【点睛】本题考查等比数列通项公式和前n 项和公式求解基本量的问题，关键是能够将已知关系式化成关于q 和m 的形式，构成方程组，解方程组求得结果.16. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若1b =，()1sin cos sin 2B BC C =+，则当角B 取最大值时，ABC 的周长为_________. 【答案】23+ 【解析】 【分析】先利用已知条件化简整理得tan 3tan AC ，再根据()tan tan B A C =-+化简，结合基本不等式和取最值的条件得到三角，最后求边长即得周长. 【详解】因为()1sin cos sin 2B BC C =+，所以sin 2cos sin 0B A C =->，即A 是钝角，,B C 是锐角，()sin sin cos cos sin 2cos sin A C A C A C A C+=+=-，即sin cos 3cos sin A C A C=-得tan 3tan A C，故()2tan tan 2tan 2tan tan 1tan tan 13tan 13tan tan A C C B A C A C C C C+-=-+===---+，因为tan 0C >，所以23tan 1233tan tan B C C=≤=+，当且仅当13tan tan C C=时，即3tan C 时tan B 最大，为3tan 3B =，故角B 取最大值，6B C π==，故23A π=，又由1b =，故11,1121132b c a ⎛⎫===+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭23. 故答案为：23.【点睛】本题解题关键在于灵活运用两角和与差的正弦公式，由弦化切得到tan 3tan A C ，结合()tan tan B A C =-+展开，利用基本不等式求解.三角形中常用的诱导公式有：()()()sin sin ,cos cos ,tan tan A B C A B C A B C +=+=-+=-，sincos 22A B C+=，cossin 22A B C+=等等. 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17. 已知函数()21ax f x x b+=+的图像过点(1,2)，且函数图像又关于原点对称.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若关于x 的不等式()()()24xf x t x t >-+-在()0,∞+上恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】（1）21()x f x x+=；（2）(),4-∞.【解析】【分析】（1）根据图象关于原点对称得()f x 图象过点(1,2)和(1,2)--，再用待定系数即可求解；（2）将()()()24xf x t x t >-+-化为225(1)x x x t ++>+，再用分离参数法求解即可.【详解】（1）依题意，函数()f x 的图象过点(1,2)和(1,2)--.所以1(1)221111210(1)21a f a b a b a a b b f b +⎧==⎪⎧-==⎧⎪+⇒⇒⎨⎨⎨++==⎩⎩⎪-==-⎪-+⎩，故21()x f x x +=. （2）不等式()(2)(4)xf x t x t >-+-可化为225(1)x x x t ++>+.即2251x x t x ++<+对一切的()0,x ∈+∞恒成立.因为22541411x x x x x ++=++≥++，当且仅当1x =时等号成立，所以实数t 的取值范围为(),4-∞.【点睛】本题考查待定系数法求解析式，不等式恒成立问题，是中档题.根据不等式恒成立求解参数范围的两种方法：（1）分类讨论法：根据参数的临界值分类讨论参数的取值是否满足要求；（2）参变分离法：将参数从不等式中分离出来，通过函数或者不等式确定最值，由此得到参数范围.18. 在三角形ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若()31sin ,tan 53A AB =-=，角C 为钝角， 5.b =（1）求sin B 的值； （2）求边c 的长. 【答案】（1）10sin B =（2）13c = 【解析】 【分析】（1）由()sin sin B A A B ⎡⎤=--⎣⎦，分别求得sin cos A A ，，()()sin cos A B A B --，得到答案；（2）利用正弦定理sin sin a A b B=得到 310a =13c =． 【详解】(1)因为角C 为钝角，3sin 5A = ，所以24cos 1sin 5A A =-= ，又()1tan 3A B -= ，所以02A B π<-< ，且()()sin 1010A B A B -=-= ， 所以()()()sin sin sin cos cos sin B A A B A A B A A B ⎡⎤=--=---⎣⎦3455101010== . (2)因为sin 310sin a A b B ==，且5b = ，所以310a =， 又()cos cos cos cos sin sin 510C A B A B A B =-+=-+= ， 则2222cos 952523105169510c a b ab C ⎛=+-=+-⨯= ⎝ ，所以 13c = .19. 已知数列{}n a 满足114a =，112n n n n a a a a ---=⋅（2n ≥，*n N ∈），0n a ≠ （1）证明数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭*()n N ∈为等比数列，求出{}n a 的通项公式； （2）数列{}n a 的前项和为n T ，求证：对任意*n N ∈，23n T <. 【答案】（1）证明见解析，11321n n a -=⨯+；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）由1120n n n n a a a a ----⋅=l 两边同时除以1n n a a -⋅得到有1211n na a --=，再构造等比数列得解（2）放缩111132132n n n a --=<⨯+⨯，再利用等比数列求和得解.【详解】（1）由1120n n n n a a a a ----⋅=有1211n n a a --=，∴11112(1)n n a a --=- ∴数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为1113a -=，公比为2的等比数列.∴11132n n a --=⋅，∴11321n n a -=⨯+ （2）11321n n a -=⨯+， ∴212111111111313213213213323232n n n T --=++++<+++++⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯，1211111[1()()]3222n -=++++ 1112122(1)1332312n n -=⋅=-<-. 【点睛】本题考查利用递推关系证明等比数列及求通项，并用放缩法证明不等式，属于基础题.20. 已知函数()()22cos 13f x p x x =-，在R 上的最大值为3．（1）求p 的值及函数()f x 的周期与单调递增区间；（2）若锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()0f A =，求b c的取值范围．【答案】（1）2p =，周期为π，单调递增区间为πππ,π62m m ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭，π2ππ,π23m m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，m ∈Z （2）1,22b c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）化简得π()12sin 26f x p x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，根据最大值求出p 的值，再求出函数的周期和单调递增区间；（2）根据()0f A =得到2π3B C +=，ππ,62C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,化简得sin 31sin 2tan 2b Bc C C ==+，再求范围得解. 【详解】（1）依题意()()22cos 13f x p x x =-+22cos 23cos p x x x =-- 1cos 232p x x =---π12sin 26p x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，∵()f x 的最大值为3，∴123p -+=，∴2p =， ∴()π12sin 26f x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，其中ππ2x k ≠+，k ∈Z ，其周期为2ππ2T ==． 因为ππ3π22π,2π622x m m ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，m ∈Z 时，()f x 单调递增， 解得π2ππ,π63x m m ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦． ∴()f x 的单调递增区间为πππ,π62m m ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭，π2ππ,π23m m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，m ∈Z ． （2）∵()π12sin 206f A A ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，且A 为锐角， ∴π5π266A +=，∴π3A =，∴2π3B C +=．又∵B ，C 为锐角，所以022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩∴ππ,62C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．∴2π31sin sin sin 31322sin sin sin 2C C C b B c C C C ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭====+，其中3tan 3C ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，∴1,22b c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，考查正弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 21. 设函数()21ln 2f x x ax bx =--． （1）当12a b ==时，求函数()f x 的最大值； （2）当0a =，1b =-，方程()22mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值． 【答案】（1）34-；（2）12m =. 【解析】 【分析】（1）先写解析式，利用导数判断函数函数单调性并求最值即可；（2）先写解析式代入方程，把方程有解问题转化成构造函数的零点问题，研究其导数、最值情况，构建关系求解参数即可.【详解】解：（1）依题意，知()f x 的定义域为()0,∞+， 当12a b ==时，()211ln 42f x x x x =--，()()()21111222x x f x x x x-+-'=--= 令()0f x '=，解得1x =．（∵0x >），当01x <<时，()0f x '>，此时()f x 单调递增； 当1x >时，()0f x '<，此时()f x 单调递减． 所以()f x 的极大值为()314f =-，此即为最大值； （2）由0a =，1b =-，得()ln f x x x =+因为方程()22mf x x =有唯一实数解，所以22ln 20x m x mx --=有唯一实数解，设()22ln 2g x x m x mx =--，则()2222x mx mg x x--'=，令()0g x '=，即20x mx m --=． 因为0m >，0x >，所以2140m m m x -+=<（舍去），224m m mx ++=， 当()20,x x ∈时，()0g x '<，()g x 在()20,x 上单调递减， 当()2,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在()2,x +∞单调递增， 当2x x =时，()20g x '=，()g x 取最小值()2g x ． 因为()0g x =有唯一解，所以()20g x =，则()()2200g x g x ⎧=⎪⎨='⎪⎩，即22222222ln 200x m x mx x mx m ⎧--=⎨--=⎩．所以222ln 0m x mx m +-=，因为0m >，所以222ln 10x x +-= （*） 设函数()2ln 1h x x x =+-，易见当0x >时，()h x 是增函数，所以()0h x =至多有一解． 因为()10h =，所以方程（*）的解为21x =，即2412m m m ++=，解得12m =． 【点睛】本题考查了函数导数与函数的单调性、最值和零点问题，属于中档题.22. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 的极坐标方程为22212cos ρθ=-，射线()π03θρ=≥与曲线C 交于点P ，点Q 满足23PQ PO =，设倾斜角为α的直线l 经过点Q ． （1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的参数方程；（2）直线l 与曲线C 交于M 、N 两点，当α为何值时，QM QN ⋅最大？求出此最大值．【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为22221x y +=，直线l 的参数方程为3cos 1sin x t y t αα⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，其中t 为参数（2）当2πα=时，QM QN ⋅取得最大值283-【解析】 【分析】（1）直接代极坐标化直角坐标的公式求出曲线C 的直角坐标方程为22221x y +=，求出点Q的直角坐标为3,13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，再写出直线l 的参数方程；（2）设交点M ，N 所对应的参数分别为1t ，2t ，求出()1225631sin QM QN t t α-⋅==+，再求出最大值得解.【详解】（1）∵()2222222212cos 222xy x x y ρθ=-=+-=+，∴曲线C 的直角坐标方程为22221x y +=．∵点P 2213π2cos3=-，又∵23PQ PO =，∴点Q 的极径为1223333⨯= ∴点Q 的直角坐标为33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴直线l 的参数方程为3cos 1sin x t y t αα⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，其中t 为参数． （2）将l 的参数方程代入22221x y +=， 得()222561sin 4sin 3033t t ααα⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭， 设交点M ，N 所对应的参数分别为1t ，2t ，则()1225631sin t t α-=+，∴()1225628331sin QM QN t t α-⋅==≤-+，当2sin 1α=即2πα=时取等． 【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标互化，考查直线参数方程中t 的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 23. [选修4-5：不等式选讲]已知函数()225f x x =+-.（1）解不等式：()|1|f x x ≥-；（2）当1m ≥-时，函数()()||g x f x x m =+-的图象与x 轴围成一个三角形，求实数m 的取值范围.【答案】（1）(][),82,-∞-⋃+∞（2）{}3,412⎡⎫⋃-⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知，可按不等中两个绝对值式的零点将实数集分为三部分进行分段求解，然后再综合其所得解，从而求出所求不等式的解集；（Ⅱ）由题意，可将m 的值分为1m =-和1m >-进行分类讨论，当1m =-时，函数()315g x x =+-不过原点，且最小值为5-，此时满足题意；当1m >-时，函数()37,13,133,x m x g x x m x m x m x m -+-≤-⎧⎪=+--<≤⎨⎪-->⎩，再由函数()g x 的单调性及值域，求出实数m 的范围，最后综合两种情况，从而得出实数m 的范围.试题解析：（Ⅰ）由题意知，原不等式等价于12251x x x ≤-⎧⎨---≥-⎩或112251x x x -<≤⎧⎨+-≥-⎩或12251x x x >⎧⎨+-≥-⎩， 解得8x ≤-或∅或2x ≥，综上所述，不等式()1f x x ≥-的解集为(][),82,-∞-⋃+∞.（Ⅱ）当1m =-时，则()2251g x x x =+-++ 315x =+-，此时()g x 的图象与x 轴围成一个三角形，满足题意： 当1m >-时，()225g x x x m =+-+- 37,13,133,x m x x m x m x m x m -+-≤-⎧⎪=+--<≤⎨⎪-->⎩，则函数()g x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增.要使函数()g x 的图象与x 轴围成一个三角形，则()()140230g m g m m ⎧-=-<⎪⎨=-≥⎪⎩，解得342m ≤<； 综上所述，实数m 的取值范围为{}3,412⎡⎫⋃-⎪⎢⎣⎭.。

宁夏长庆高级中学2021届高三上学期第三次月考理综化学试卷可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 Na-23 Cu -64一、选择题(每小题6分，每小题只有一个选项符合题意)7.化学与人类社会的生活、生产密切相关。

以下说法中不正确的是A．我国发射的“嫦娥三号”月球探测器中使用的碳纤维是一种新型无机非金属材料B．高纯度的二氧化硅广泛用于制作光导纤维，光导纤维遇强碱会“断路”C．“青蒿一握，以水二升渍，绞取汁”，屠呦呦对青蒿素的提取属于化学变化D．家庭用“84”消毒液与洁厕灵不可混合使用，否则会发生中毒事故8.下列离子方程式正确的是A．腐蚀法制作印刷线路板：Fe3＋＋Cu===Fe2＋＋Cu2＋B. 氯气溶于水：Cl2＋H2O ===2H＋＋Cl－＋ClO－C．AlCl3溶液中加入过量稀氨水：Al3＋＋4NH3·H2O===AlO－2＋4NH＋4＋2H2OD. NaHCO3溶液中加入足量Ba(OH)2溶液：HCO－3＋Ba2＋＋OH－===BaCO3↓＋H2O9．设N A为阿伏加德罗常数的值，下列叙述正确的是A. 7.8 g Na2O2中含有的阴离子数为0.1N AB．100 mL 1 mol·L－1 FeCl3溶液中所含Fe3＋的数目为0.1N AC. 常温常压下，14 g由N2与CO组成的混合气体含有的分子数目为N AD. 2.24 L(标准状况)苯在O2中完全燃烧，得到0.6N A个CO2分子10. 铬(Cr)与铝的性质相似，Cr(OH)3＋OH－===CrO－2＋2H2O，下列推断中正确的是A．往CrCl3溶液加入过量NaOH溶液可制得Cr(OH)3B．对CrCl3·6H2O加热脱水可得CrCl3C．Cr2O3既能溶于盐酸，又能溶于NaOH溶液D．CrO－2水解使溶液显酸性11.根据下列实验操作和现象得出的结论正确的是12. 下列关于有机物因果关系的叙述中，完全正确的一组是13.已知：KClO3＋6HCl(浓)===KCl＋3Cl2↑＋3H2O。

专题3 三角函数1．（2021·江苏三校联考）已知32cos 263a m ππα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，32cos 263m ππββ⎛⎫⎛⎫-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中m ∈R ，则cos()αβ+=____________．【答案】12【分析】构造3()sin f x x x =+，判断()f x 的奇偶性与单调性，把2cos 3πα⎛⎫-⎪⎝⎭化为sin 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，2cos 3πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭化为sin 6πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭，利用()f x 的奇偶性与单调性求出αβ+的值，再计算cos()αβ+的值．【解析】设3()sin f x x x =+，则2()3cos f x x x '=+，易知()f x '是偶函数．当01x ≤<时，230x ≥，cos 0x >，∴()0f x '>； 当1≥x 时，233x ≥，cos 1x ≥-，()0f x '>． ∴()0f x '>恒成立，即()f x 在定义域内单调递增．∵3()sin ()f x x x f x -=--=-，∴()f x 为奇函数，∴()f x 的图象关于点()0,0对称，∵2cos cos sin 3266ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∴332cos sin 26366m ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，同理可得33cos sin 262666m πππππββββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．则066f f ππαβ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴066ππαβ-+-=，即3παβ+=，故1cos()cos 32παβ+==． 2．（2021·湖南长沙市·长郡中学高三月考）已知函数()2sin()f x x h ωϕ=++的最小正周期为π，若()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最大值为M ，则M 的最小值为________．【分析】求出ω的值，取2ω=，然后对函数()y f x =在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是否单调进行分类讨论，利用绝对值三角不等式结合辅助角公式可求得M 的最小值．【解析】由于函数()()2sin f x x h ωϕ=++的最小正周期为π，则22πωπ==，2ω∴=±．不妨取2ω=，则()()2sin 2f x x h ϕ=++． 若函数()y f x =在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调，则(){}max 0,max 2sin ,2cos 4M f f h h πϕϕ⎧⎫⎛⎫==++⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭()()()max max max2sin 2cos sin cos 24h h ϕϕπϕϕϕ⎛⎫+-+⎫⎛⎫≥=-=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎭⎝⎭， 若函数()y f x =在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上先增后减，则(){}max 0,,2max 2sin ,2cos ,2,24M f f h h h h h πϕϕ⎧⎫⎛⎫=+=++----⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭()()()()2sin 2cos 2242sin cos 44h h h ϕϕϕϕ+++-+-+≥==22-≥； 若函数()y f x =在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上先减后增，同理可知M ．222-<，综上可知，M 的最小值为22-． 【名师点睛】本题考查正弦型函数在区间上最值的求解，涉及绝对值三角不等式的应用，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于难题．3．（2021·全国超级全能生联考）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当(],0x ∈-∞时，()123xf x =+，设()sin h x x π=，若函数()()()g x f x h x =-，则()g x 在区间[]2020,2019-上的零点个数为___________． 【答案】4038【分析】求出函数()h x 的最小正周期，作出函数()h x 与()f x 的图象，分析两个函数在[]2020,0-和[]0,2019上的图象的交点个数，由此可得出结论．【解析】函数()sin h x x π=的最小正周期为22T ππ==．当0x ≤时，()123xf x =+；当0x ≥时，()()1112323xx f x f x -⎛⎫=-=+=+ ⎪⎝⎭． 要求函数()g x 的零点个数，即求函数()h x 与()f x 的图象的交点个数，1211111122332f g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴函数()h x 与()f x 在[]0,2上的图象无交点．作出函数()h x 与()f x 的图象如下图所示：当0x ≤时，由图象可知，对任意的[]0,1009k ∈且k ∈N ，函数()h x 与()f x 在[]22,2k k ---上的图象有两个交点，∴函数()h x 与()f x 在[]2020,0-上的图象有2020个交点； 当0x >时，由图象可知，函数()h x 与()f x 在[]0,2上的图象无交点，对任意的[]0,1008k ∈且k ∈N ，函数()h x 与()f x 在[]21,23k k ++上有且只有两个交点， ∴函数()h x 与()f x 在[]0,2019上共有2018个交点． 综上所述，()g x 在区间[]2020,2019-上的零点个数为4038． 【名师点睛】方法点睛：判定函数()f x 的零点个数的常用方法：（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；（2）数形结合法：先令()0f x =，将函数()f x 的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果．4．（2021·宁夏长庆高级中学高三月考（理））已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin sin sin 0A B C -=，则sin sin 2sin B CA-的取值范围为_________【答案】11,22⎛⎫-⎪⎝⎭ 【分析】由已知结合正弦定理可得，2a bc =然后结合余弦定理，2222cos a b c bc A =+-()()221cos b c bc A =-+-，令sin sin 2sin 2B C b cp A a--==，代换后结合余弦的性质即可求解．【解析】∵2sin sin sin 0A B C -=，∴2a bc =，由余弦定理可得：()()22222cos 21cos a b c bc A b c bc A =+-=-+-， 令sin sin 2sin 2B C b c p A a --==，则2b c pa -=，因此()()222221cos a pa a A =+-，∴22cos 14A p -=，∵A 为锐角，0cos 1A <<，∴22cos 1144A p -=<，∴1122p -<<，故答案为：11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【名师点睛】关键点点睛：首先利用正弦定理化角为边可得2a bc =，再利用余弦定理并配方可得()()2221cos a b c bc A =-+-关键是令sin sin 2sin 2B C b cp A a--==，2b c pa -=，将b c -、bc 代换掉，结合余弦的性质即可求得范围．5．（2021·河南信阳期末（理））在ABC 中，()()3cos ,cos ,cos ,sin AB x x AC x x ==，则ABC 面积的最大值是____________ 【答案】34【分析】计算113sin 22624ABC S x π⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭△，得到答案．【解析】()22211sin ,1cos,2ABC S AB AC AB AC AB ACAB AC=⋅=⋅-△()22212AB AC AB AC=⋅-⋅=2113sin cos sin 22624x x x x π⎛⎫=-=--≤ ⎪⎝⎭， 当sin 216x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时等号成立．此时262x ππ-=-，即6x π=-时，满足题意．故答案为：34． 【名师点睛】本题考查了三角形面积的最值，向量运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力． 6．（2021·浙江省杭州第二中学高三开学考试）已知ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边为,,a b c ．若60BAC ︒∠=，D 为边BC 上一点，且1,:2:3AD BD DC c b ==，则23b c +的最小值为_________．【分析】设BAD θ∠=，则3CAD πθ∠=-，则由:2:3BD DC c b =可以推得:2:3ABD ACD S S c b ∆∆=，再利用面积公式可以解出sin θ，从而根据ABC ABD ACD S S S ∆∆∆=+，可以推出23b c+=不等式即可得出结论． 【解析】设BAD θ∠=，(π0θ3)则3CAD πθ∠=-，1,:2:3AD BD DC c b ==，23ABD ACD S BD c S CD b∆∆∴==，即11sin 22131sin()23c cb b θπθ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-，化简得4sin θθ=，即tan θ=，故sin θ==，3sin()sin 32πθθ-=， 又ABC ABD ACD S S S ∆∆∆=+，∴111sin sin sin()23223bc c b ππθθ=+-，即23c b +=，即23b c+= 23(23)b c b c ∴+=+⋅23()b c +669)b cc b =+++12)≥+=，(当且仅当b c=时取等号)． 7．（2021·河南三门峡期末（理））已知函数()sin cos f x x x =，3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有以下结论： ①()f x 的图象关于直线y 轴对称②()f x 在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ③()f x 的一个对称中心是,02π⎛⎫⎪⎝⎭④()f x 的最大值为12则上述说法正确的序号为__________（请填上所有正确序号）． 【答案】②④【解析】3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，1sin 2,,222()sin cos 13sin 2,,222x x f x x x x x ππππ⎧⎡⎤∈-⎪⎢⎥⎪⎣⎦==⎨⎡⎤⎪-∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩根据图像知：①()f x 的图象关于直线y 轴对称，错误；②()f x 在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，正确； ③()f x 的一个对称中心是,02π⎛⎫⎪⎝⎭，错误；④()f x 的最大值为12，正确；故答案为②④．【名师点睛】本题考查了三角函数的化简，三角函数的图像，三角函数性质，意在考查学生对于三角函数的综合理解和应用．8．（2021·广东深圳一模）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点．”已知ABC 内接于单位圆，以BC ，AC ，AB 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A '，B '，C '．若30ACB ∠=︒，则A B C '''的面积最大值为_______．【答案】36+ 【分析】设,BC a AC b ==，求出90B CA ''∠=︒，从而可得2221()3A B a b ''=+，在ABC 中，设BAC α∠=，由正弦定理用α表示出,a b ，这样22a b +就表示为α的函数，然后由降幂公式，两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质可得最大值，从而得面积最大值． 【解析】设,BC a AC b ==，由题意以,,AC BC CA 边向外作等边三角形,,ACE BCD ABF △△△，其外接圆圆心分别为,,A B C '''，连接,CB CA ''并延长分别交,EA BD 于,P Q ，则2233CB CP '===，同理CA '=， ,ACE BCD 都是等边三角形，则30PCA QCB ∠=∠=︒，又30ACB ∠=︒，则90A CB ''∠=︒，∴222221()3A B CB CA a b ''''=+=+，A B C '''是正三角形，∴其面积为2221)2S A B A B A B a b ''''''===+， ABC 内接于单位圆，即其外接圆半径为1r =，则2sin 2sin a r BAC BAC =∠=∠，同理2sin b ABC =∠，设BAC α∠=，则18030150ABC αα∠=︒-︒-=︒-，2222224(sin sin )4[sin sin (150)]a b BAC ABC αα+=∠+∠=+︒-2214[sin (cos )]2ααα=+22714sin cos cos 44αααα⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭227sin cos cos αααα=++1cos 2162423cos 22αααα-=+⨯+=+-14sin 22)2αα=+-460)α=+-︒，0150α︒<<︒，60260240α-︒<-︒<︒，∴当75α=︒时，22a b +取得最大值4+，∴A B C '''的面积最大值为3(4126+⨯+=．【名师点睛】关键点点睛：本题考查三角函数在几何中的应用，解题关键是设设,BC a AC b ==，用,a b 表示出A B ''（说明90B CA ''∠=︒即可得），等边A B C '''面积就可能用,a b 表示，然后用正弦定理把,a b 用角表示，利用三角函数的恒等变换及正弦函数性质求得最大值．9．（2021·北京石景山区·高三一模）海水受日月的引力，会发生潮汐现象．在通常情况下，船在涨潮时驶入航道，进入港口，落潮时返回海洋．某兴趣小组通过1A 技术模拟在一次潮汐现象下货船出入港口的实验：首先，设定水深y （单位：米）随时间x （单位：小时）的变化规律为0.8sin 2()y x R ωω=+∈，其中0xπω；然后，假设某货船空载时吃水深度（船底与水面的距离）为0．5米，满载时吃水深度为2米，卸货过程中，随着货物卸载，吃水深度以每小时0．4米的速度减小；并制定了安全条例，规定船底与海底之间至少要有0．4米的安全间隙．在此次模拟实验中，若货船满载进入港口，那么以下结论正确的是__________．①若6π=ω，货船在港口全程不卸货，则该船在港口至多能停留4个小时； ②若6π=ω，货船进入港口后，立即进行货物卸载，则该船在港口至多能停留4个小时；③若1ω=，货船于1x =时进入港口后，立即进行货物卸载，则2x π=时，船底离海底的距离最大；④若1ω=，货船于1x =时进入港口后，立即进行货物卸载，则23x π=时，船底离海底的距离最大． 【答案】①④【分析】根据船离海底距离为0.8sin .204x y y ω≥==-，解三角不等式可判断①；由船离海底距离()20.8sin0.46f x x x π=+，利用导数判断单调性即可判断②；船离海底距离()()30.8sin 0.41f x x x =+-，利用导数求出最值即可判断③、④【解析】①不卸货，则吃水恒为2米，∴船离海底为()10.8sin 2x y y f x ω=-==， 当()10.4f x ≥时，1sin62x π≥，则5666x πππ≤≤， 解得15x ≤≤，∴最多停留时间为514-=小时，故①正确；②立即卸货，∴吃水深度220.4h x =-，且20.40.5x -≥，解得1504x ≤≤， 此时船离海底()220.8sin 0.46f x y h x x π=-=+，()2215cos 0.40,01564f x x x ππ'=+>≤≤， ∴()2f x 在150,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且当1x =时，()210.80.4f =>， 由1564x <≤，0.8sin 20.50.8sin 1.5 1.50.80.70.466y x x ππ=+-=+≥-=>，此段时间都可以停靠， 又()210.80.4f =>，6154∴-=>，故②错误；③与④，0.8sin 2()y x R ωω=+∈，()()320.41,1h x x π=--≤≤，()()30.8sin 0.41f x x x ∴=+-，()30.8cos 0.40f x x '=+=，解得23x π=，当21,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()30f x '>；当2,3x ππ⎛⎤⎥⎝⎦时，()30f x '<，∴当23x π=时，船底离海底的距离最大． 故答案为：①④．【名师点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数的应用、导数的应用，解题的关键是表示出船离海底距离的关系式，此题综合性比较强，考查了知识的应用能力以及计算能力．10．（2021·山西临汾一模（理））对于一个函数()()y f x x D =∈，若存在两条距离为d 的直线1y kx m =+和2y kx m =+，使得()12kx m f x kx m +≤≤+在x D ∈时恒成立，称函数()f x 在D 内有一个宽度为d 的通道．则下列函数在[)1,+∞内有一个宽度为1的通道的有______．（填序号即可）①()()1sin cos 2f x x =+；②()ln x f x x =；③()f x =()2cos 3f x x x =+． 【答案】②③④【分析】对于①②④，分析发现()f x 在定义域内存在最大和最小值，则()f x 在两条水平直线之间，计算过最值的两条水平直线间的距离可判断；对于③，可发现函数()f x 的渐近线为y x =，则可判定过端点与渐进性平行的直线为1y x =-，且距离1d <，则存在两条直线，距离可得到．【解析】对于①，()()1sin cos 224f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()22f x -≤≤，则()f x 在两条直线y =和y =之间，两直线的距离122d ⎛=--=> ⎝⎭，∴不存在宽度为1的通道，故①错误；对于②，函数()ln x f x x =，研究函数()f x 在[)1,+∞上的最大值()21ln xf x x-'=， 函数在x e =时取得极大值点即最大值点，()11f e e =<，x →+∞时，函数()0f x →，()10f x e<≤，故存在两直线1y =和0y =，1d =，故②正确；对于③，函数()f x =函数()f x 随x 的增大而增大，渐近线为y x =，取两条直线1y x =，1y x =-，故1d ==，故③正确；对于④，函数()2cos 3f x x x =+，∴222cos 333x x x x +≥+≥-，由此得到两直线的距离13d ===<，故存在两条直线23y x =-，23y x =-，两条直线的距离1d =．故④正确．故答案为：②③④．【名师点睛】本题考查学生的思维能力和转化能力，属于中档题；知识点点睛：（1）观察三角函数的图像需要用到三角函数的辅助角公式，然后可知三角函数的最值；（2）函数图像的判断经常需要借助于导数，用导数求得函数的最值或范围； 11．（2021·江苏常州一模）若2cos 1x x +=，则5sin cos 2=63x x ππ⎛⎫⎛⎫-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭___________．【答案】732【分析】由题意可得4sin 16x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，令6x t π+=，则1sin 4t =，6x t π=-，化简即得解． 【解析】由题意可得4sin 16x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，令6x t π+=，则1sin 4t =，6x t π=-， ∴原式()27sin cos 2sin (12sin )32t t t t π=-=-=，故答案为：732． 【名师点睛】方法点睛：三角恒等变换求值常用的方法：三看（看角看名看式）三变（变角变名变式）．要根据已知条件灵活选择方法求解．12．（2021·广西玉林模拟）函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 的图象的一条对称轴是直线6x π=-，则ω的最小值为___________．【答案】12【分析】由图象平移可得()g x ，利用整体对应的方式可得332k πππωπ--=+，解得ω后，结合0>ω可得结果． 【解析】()sin 663g x f x x πππω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又6x π=-是()g x 的对称轴，()663332k k Z ππππππωωπ⎛⎫∴---=--=+∈ ⎪⎝⎭，解得：()532k k Z ω=--∈，0ω>，∴当1k =-时，min 12ω=． 【名师点睛】方法点睛：本题考查根据三角函数的性质求解解析式的问题，解决此类问题的常用方法是结合五点作图法，利用整体对应的方式来构造方程．13．（2021·内蒙古呼和浩特一模（理））四边形ABCD 内接于圆O ，10AB CD ==，6AD =，60BCD ∠=︒，下面四个结论：①四边形ABCD 为梯形 ②圆O 的直径为14③ABD △的三边长度可以构成一个等差数列④四边形ABCD 的面积为其中正确结论的序号有___________． 【答案】①③④【分析】由OAB ODC ≅及等腰三角形，可得BAD CDA ∠=∠，ABC DCB ∠=∠，从而得180CBA DAB ∠+∠=︒，∴//AD BC ，证明①正确，由余弦定理求得对角线长，然后由正弦定理求得圆直径，判断②，同理可判断③，求出梯形的高和底BC 后可得梯形面积，判断④． 【解析】连接,,,OA OB OC OD ，∵OA OB OC OD ===，又AB CD =，∴OAB ODC ≅，OAB ODC ∠=∠，又OAD ODA ∠=∠， ∴BAD CDA ∠=∠，同理ABC DCB ∠=∠，∴180CBA DAB ∠+∠=︒，∴//AD BC ，而60BCD ∠=︒，∴四边形ABCD 为梯形，①正确；60BCD ∠=︒，则120ADC =∠︒，222222cos 6102610cos120196AC AD CD AD CD CDA =+-⋅∠=+-⨯⨯︒=，14AC =，设圆O 半径为R ，则142sin sin1202AC R ADC ===∠︒，②错； 同理14BD =，,,AB AD BD 构成等差数列，③正确；作DE BC ⊥于E ，则梯形的高为10sin 60DE =︒=6210cos6016BC =+⨯︒=，面积为1(616)2S =⨯+⨯=，④正确．故答案为：①③④．【名师点睛】思路点睛：本题考查正弦定理与余弦定理在平面几何中的应用，解题方法是应用平面几何的知识证明圆四边形是梯形，然后由余弦定理和正弦定理可求得对角线长及圆直径，由直角三角形中三角函数定义求得梯形面积．从而判断各命题的真假．14．（2021·甘肃高三一模（文））函数()cos 22f x x x =-，x ∈R ，有下列命题： ①()y f x =的表达式可改写为2cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； ②直线12x π=是函数()f x 图象的一条对称轴； ③函数()f x 的图象可以由函数2sin 2y x =的图象向右平移6π个单位长度得到；④满足()f x ≤x 的取值范围是3,124x k x k k ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ．其中正确的命题序号是__________．（注：把你认为正确的命题序号都填上） 【答案】①④【分析】根据辅助角公式化简函数可判断①；根据余弦函数的性质可判断②；由图象的平移变换判断③；根据余弦函数的图象解三角不等式判断④．【解析】()cos 222cos(2)3f x x x x π==+，故①正确； 当12x π=时，()2cos 0122y f ππ===，故②错误；∵函数2sin 2y x =的图象向右平移6π个单位长度得到))62sin 2(2sin(32y x x ππ==--， 而2sin(2)2cos(2)33x x ππ-≠+，故③错误；由()f x ≤2cos(2)3x π+≤cos(2)3x π+≤，∴11222,636k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得3,124k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ，故④正确．故答案为：①④．【名师点睛】关键点点睛：根据三角函数的图象与性质可研究函数的对称轴，解三角不等式，利用三角恒等变换可化简函数解析式，属于中档题．15．（2021·内蒙古呼和浩特一模（文））古希腊的几何学家用平面去截一个圆锥面，将所截得的不同的截线称为圆锥曲线．某同学用过母线PB 的中点且与底面圆的直径AB 垂直的平面截圆锥，得到了如图所示的一支双曲线．已知圆锥的高2PO =，底面圆的半径为4，则此双曲线的两条渐近线的夹角的正弦值为___________．【答案】45【分析】根据题意，建立如图的直角坐标系，不妨设双曲线的方程为：()222210,0x y a b a b-=>>，进而根据几何关系得()1,0M ，((,2,C D -，待定系数得1a =，2b =．进一步设两条渐近线的夹角为2θ，根据三角函数关系求解即可得答案．【解析】根据题意，设双曲线与圆锥底面圆的交点为,C D ，连接CD 交AB 于E ，连接ME ，并延长，使得'O E OP =，进而在平面MCD 中，以'O 为坐标原点，'O E 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图， 不妨设双曲线的方程为：()222210,0x y a b a b-=>>，由于OP ⊥底面ABC ，∴//ME PO ，2PO =，∴'1MO ME ==，∵底面圆的半径为4，M 为PB 的中点，∴2OE =，∴EC ED ==∴在双曲线中，()1,0M ，((,2,C D -，∴1a =，241211b-=，解得2b =， ∴双曲线的渐近线方程为2y x =±，设双曲线的两条渐近线的夹角为2θ，则tan 2θ=，∴22tan 4tan 21tan 3θθθ==--，∴29cos 225θ=，4sin 25θ==．【名师点睛】本题考查双曲线的方程，渐近线，三角函数变换，考查综合分析应用能力，是中档题．本题解题的关键在于根据题意建立如图的直角坐标系，进而将空间问题转化为平面问题，根据待定系数法求得方程．16．（2021·中学生标准学术能力诊断性3月测试）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c，D 为边BC 上的一点，若6c =，b =sin BAD ∠=，cos BAC ∠=，则AD =__________． 【答案】4【分析】根据余弦定理可以求出a 的值，可以判断出ABC 是等腰三角形，利用等腰三角形的性质，结合余弦定理、正弦定理、同角的三角函数关系式、二倍角的正弦公式进行求解即可．【解析】由余弦定理知：6a c ====， ∴ABC 是等腰三角形，即BAC C ∠=∠， 设CD x =，则6BD x =-，AD y =，在ADC 中，由余弦定理可知：2222cos AD AC CD AC DC C =+-⋅⋅∠，即222182318(1)y x x x x =+-⨯=-+，∵cos 4BAC ∠=，∴sin 4BAC ∠===，∴有sin sin(2)sin 22sin cos 2B BAC BAC BAC BAC π=-∠=∠=∠⋅∠==因此有sin sin B BAD =∠=，在ADB △中，由正弦弦定理可知： 66(2)BD AD y x x y =⇒=-⇒=-，把(2)代入(1)得，22(6)3(6)18y y y =---+，解得4y =，即4=AD ，故答案为：4．【名师点睛】解题关键：通过余弦定理判断出三角形的形状、通过正弦定理和余弦定理得到等式是解题的关键．17．（2021·甘肃兰州模拟（文））在ABC ∆中，D 为BC 中点，2,AB AD ==，且sin cos 2sin sin cos A AB C C=-+，则AC =________． 【答案】4【分析】由sin cos 2sin sin cos A A B C C =-+化简得1cos 2A =-，根据向量关系()12AD AB AC =+化简求得结果． 【解析】由sin cos 2sin sin cos A AB C C=-+得sin cos 2cos sin cos sin A C A B A C =--，∴()sin 2cos sin A C A B +=-，则sin 2cos sin B A B =-，∵sin 0B ≠得1cos 2A =- ，∵()12AD AB AC =+，则()()()()222242AD AB AC AB AB AC AC =+=+⋅+，∵2,AB AD ==，设AC x =，则21244cos x x A =++⋅ ，∴2280x x --=，解得4x =或2x =-（舍去），∴4AC =．18．（2021·甘肃兰州模拟）在ABC 中，(2)0AB AC BC ⋅+=，1sin 3C =，则22sin sin A B -的值为______．【答案】127【分析】利用向量的数量积化简已知条件，再利用余弦定理和正弦定理化简即可求解． 【解析】在ABC 中，(2)0AB AC BC ⋅+=，可得()(22cos cos 0)AB AC BC AB AC A AB BC B ⋅+-==+2cos cos bc A ac B =即2cos cos b A a B =，由余弦定理可知222222222b c a a c b b a bc ac +-+-⋅=⋅，可得22233a b c -=，由正弦定理可知2223sin 3sin sin A B C -=，∵1sin 3C =，∴221sin sin 27A B -=． 【名师点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是将已知条件转化为三角形的边和角，再利用正弦和余弦定理计算．19．（2021·湖南长沙市·长郡中学高三二模）如图，某湖有一半径为100m 的半圆形岸边，现决定在圆心O 处设立一个水文监测中心(大小忽略不计)，在其正东方向相距200m 的点A 处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B 以及湖中的点C 处，再分别安装一套监测设备，且满足AB AC =，90BAC ∠=︒．定义：四边形OACB 及其内部区域为“直接监测覆盖区域”；设AOB θ∠=．则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为___________．【答案】()225000m【分析】先用θ表示AB =θ表示出25100sin 2cos 2OACB S θθ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，最后运用两角和差的正余弦公式求最值即可．【解析】在OAB 中，AOB θ∠=，100OB =，200OA =， 2222cos AB OB OA OB OA AOB ∴=+-⋅⋅∠，即10054cos AB θ=-⋅，211sin 22OACB OAB ABC S S S OA OB AB θ∴=+=⋅⋅⋅+⋅△△，25100sin 2cos 2OACB S θθ⎛⎫∴=--+ ⎪⎝⎭令tan 2ϕ=，则()251002OACB S θϕ⎤=-+⎥⎦，∴直接监测覆盖区域”面积的最大值为()225000m ．20．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三一模（理））已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2A B =，则82c bb a+的取值范围为______． 【答案】(5.5,8)【分析】先利用正弦定理和2A B =，将82c b b a +转化为2412cos cos 2B B +-，然后令cos t B =，则2411()2,(,1)22f t t t t =+-∈，再利用导数判断函数的单调性，从而可求出()f t 的取值范围，进而可得答案【解析】∵2A B =，∴8sin 8sin 22sin sin c b C B b a B A +=+sin(3)8sin 2sin sin 2B B B B π-=+sin 38sin 2sin sin 2B BB B=+sin cos 2cos sin 28sin 2sin 2sin cos B B B B B B B B +=+2cos 24cos 2cos B B B =++2412cos cos 2B B =+-，∵2,A B A B C π=++=，∴3C A B B ππ=--=-，∴03B π<<，∴03B π<<，∴1cos (,1)2B ∈，令cos t B =，则2411()2,(,1)22f t t t t =+-∈，∴2'2244(1)1()4,(,1)2t f t t t t t -=-=∈， ∴'()0f t <在1(,1)2t ∈上恒成立，∴()f t 在1(,1)2上单调递减，∴1(1)()()2f f t f <<，即5.5()8f t <<，∴82c bb a+的取值范围为(5.5,8)． 【名师点睛】关键点点睛：此题考查正弦定理的应用，考查导数的应用，解题的关键是利用正弦定理将82c b b a +转化为2412cos cos 2B B +-，再构造函数，利用导数求解即可，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题21．（2021·辽宁高三一模（理））关于函数()2sin sin 2f x x x =+有如下四个命题： ①()f x 的最小正周期为2π； ②()f x 在[0,2]π内有3个极值点； ③()f x 在[0,2]π内有3个零点； ④()f x 的图象关于直线3x π=对称．其中所有真命题的序号为___________． 【答案】①③【分析】根据函数周期的求法，可判定①正确；利用导数和极值的定义，可判定②不正确；根据函数零点的定义和求法，可判定③正确；根据函数的对称性的判定方法，可判定④不正确． 【解析】由函数sin y x =的最小正周期为2π，函数sin 2y x =的最小正周期为π， ∴函数()2sin sin 2f x x x =+的最小正周期为两个函数周期的最小公倍数， ∴函数()f x 的最小正周期为2π，∴①正确；由()22cos 2cos22cos 4cos 22(2cos 1)(cos 1),[0,2]f x x x x x x x x π'=+=+-=-+∈，∵cos [1,1]x ∈-，可得cos 10x +≥，当[0,)3x π∈时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当5(,)33x ππ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当5(,2]3x ππ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增； ∴当3x π=时，函数()f x 取得极大值，当53x π=时，函数()f x 取得极小值，即()f x 在[0,2]π内有2个极值点，∴②不正确；令()0f x =，即2sin sin 22sin (1cos )0x x x x +=+=，解得sin 0x =或cos 1x =-， ∵[0,2]x π，∴0,,2x ππ=，即()f x 在[0,2]π内有3个零点，∴③正确； 由2()2sin()sin[2()]4sin()cos ()()3333623x f x x x x f x ππππππ-=-+-=--≠+， ∴④不正确．故答案为：①③【名师点睛】解答三角函数的图象与性质的基本方法：1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为sin()y A wx ϕ=+的形式；2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解．22．（2021·广东揭阳一模）已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2a =，2222a b c =+，则ABC 的面积的最大值为_______________．【答案】23【分析】利用余弦定理可得222222cos 42a b c bc A b c =+-==+，然后可得cos ,sin A A ，最后计算三角形面积并使用不等式进行计算可得结果．【解析】由余弦定理可得222222cos 42a b c bc A b c =+-==+，化简得cos 2bA c=-，则sin 2A c =，则ABC的面积22213942sin 2412243b c b S bc A +-===≤=．23．（2021·江西上饶一模（理））已知ABC 的外心为O ，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，2223320AO CB BO AC b a ⋅+⋅+-=，则cos B 的最小值为_______．【答案】34【分析】首先分别取BC 的中点为D ，AC 的中点为E ，再转化向量数量积，利用外心的几何性质化简，得2224a cb +=，再根据余弦定理，通过基本不等式求cos B 的最小值．【解析】记BC 的中点为D ，AC 的中点为E ， 则()()()12AO CB AD DO CB AD CB AB AC AB AC ⋅=+⋅=⋅=+⋅-()()22221122AB AC c b =-=-， 同理：()2212BO AC a c -⋅=， ∵2223320AO CB BO AC b a ⋅+⋅+-=，∴22222233202a c c b b a --+⋅+-=，∴2224a cb +=， ∴()22222363cos 2884a c a cb ac B ac ac ac ++-==≥=（当且仅当a c ==时等号成立），答案为34． 【名师点睛】关键点点睛：本题的关键是利用外心的性质，转化()AO CB AD DO CB ⋅=+⋅，利用DO CB ⊥，得0DO CB ⋅=，化简向量的数量积．24．（2021·内蒙古包头期末（理））已知60A =︒，ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中7a =，sin sin B C +=bc 的值为______． 【答案】40【分析】首先根据正弦定理求2R ，并表示sin sin 22b c B C R R+=+，最后根据余弦定理求bc 的值．【解析】22sin a R R A =⇒==，根据正弦定理可知1322b c b c R R +=⇒+=，根据余弦定理可知()2222222cos 3a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-，得249133bc =-，解得：40bc =．【名师点睛】方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到；(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制． 25．（2021·吉林延边朝鲜族自治州·高三月考（文））已知函数()217cos 22sin 32f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的单调递减区间为________．【答案】(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【分析】利用诱导公式、降幂公式、两角和正弦和余弦公式化简为正弦型函数，再利用整体思想，即可求出()f x 的单调递减区间．【解析】()217cos 22sin 32f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 22cos 3πx x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭cos 2cossin 2sin (1cos 2)33ππx x x =--+1cos 221cos 222x x x =---1cos 2212x x =---sin(2)16πx =-+-，由222262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，∴()f x 的单调递减区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦．【名师点睛】方法点睛：求三角函数单调区间的方法：求函数()sin()f x A x ωϕ=+的单调区间，可利用换元法转化为两个简单函数(t x ωϕ=+与sin y A t =)进行求解，应注意ω的符号对复合函数单调性的影响，牢记基本法则——同增异减．26．（2021·张家口市宣化第一中学高三月考）函数()sin cos sin cos f x x x x x =++-的最小正周期T =___________．【答案】2π 【分析】由题可得()2f x f x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可判断()f x 是以2π为周期的函数，再讨论()f x 在0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的单调性可得出结论．【解析】()sin cos sin cos 22222f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos sin cos sin x x x x =-++sin cos sin cos ()x x x x f x =++-=， ()f x ∴是以2π为周期的函数， 当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin cos cos sin 2cos f x x x x x x =++-=，函数单调递减， 当,42x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()sin cos sin cos 2sin f x x x x x x =++-=，函数单调递增， ∴在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内不存在小于2π的周期，2π∴是()f x 的最小正周期．【名师点睛】本题考查三角函数周期的求解，解题的关键是先判断出2π是函数的周期，再根据其性质探讨其为最小正周期．27．（2021·安徽皖江名校联盟2月联考）设点O 是ABC 外接圆的圆心，3AB =，且4AO BC =-⋅．则sin sin B C的值是___________． 【答案】13【分析】取BC 中点D ，AO AD DO =+，而0DO BC ⋅=，这样4AO BC =-⋅就可以用,AC AB 表示，求得AC ，然后由正弦定理得结论． 【解析】设点D 是边BC 的中点，则()()()()221122AO BC AD DO A BC AD BC AC AB A AC AB B C =⋅=⋅=+⋅-=+-⋅ 即()21942AC -=-，21AC =，1AC =，故sin 1sin 3B AC C AB ==．【名师点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的数量积，考查正弦定理．解题关键是取BC 中点D ，利用数量积的运算法则得C AD BC AO B =⋅⋅，从而可求得边长AC ． 28．（2021·安徽高三月考（文））关于函数cos 23()2x f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=的性质，下列表述正确的是 ①是周期函数，且最小正周期是π； ②是轴对称图形，且对称轴是直线,26k x k Z ππ=-∈； ③定义域是R ，值域是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦；④是中心对称图形，且对称中心是,1212k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭； ⑤单调减区问是,,63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． 【答案】①②③⑤【分析】由周期公式可判断①；验证226k f x ππ⎧⎫⎛⎫--⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭是否大于()f x 可判断②；由23x π+的范围得cos 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的范围可判断③；如果对称中心是,1212k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，令0k =，通过验证(0)16f f π⎛⎫+= ⎪⎝⎭是否成立可判断④；求余弦函数的单调递减区间可判断⑤． 【解析】①22T ππ==，∴()f x 是周期函数，且最小正周期是π，故正确； ②cos 22cos 22633322226k x k x k f x ππππππππ⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎡⎤⎛⎫--+--+⎨⎬⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎩⎭⎣⎦⎧⎫⎛⎫--==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭cos 22cos 23322()x k x f x πππ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭===，故正确；③定义域是R ，∴23x R π+∈，∴[]cos 21,13x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，∴cos 2312,22x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即值域是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故正确；④如果对称中心是,1212k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，令0k =，则,112π⎛⎫⎪⎝⎭是对称中心，应有(0)16f f π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而cos3(0)2f π==21cos 32226f ππ-⎛⎫=== ⎪⎝⎭1≠，故错误； ⑤由复合函数的单调性可得()f x 的单调减区间是222,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即单调递减区问是,,63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，正确，故答案为：①②③⑤．【名师点睛】本题考查了复合函数的性质，解题关键点是熟练掌握余弦函数的性质和指数函数的性质，考查了学生分析问题、解决问题的能力．29．（2021·陕西咸阳一模（理））已知函数()sin(cos )cos(cos )f x x x =+，现有以下命题： ①()f x 是偶函数； ②()f x 是以2π为周期的周期函数；③()f x 的图像关于2x π=对称； ④()f x ．其中真命题有________． 【答案】①②④【分析】根据三角函数图象性质逐一进行判断：①根据()f x 写出()f x -，并判断与()f x 关系即可；②写出(2)f x π+，判断与()f x 是否相等；③判断()f x π-与()f x 的关系；④设cos ,[1,1]t x t =∈-，∴sin cos )4y t t t π=+=+，根据t 的取值范围确定最值并判断．【解析】①函数()sin(cos )cos(cos )f x x x =+定义域为R ，关于原点对称，()sin[cos()]cos[cos()]sin(cos )cos(cos )()f x x x x x f x -=-+-=+=，∴函数()f x 是偶函数；∴①正确；②(2)sin[cos(2)]cos[cos(2)]sin(cos )cos(cos )()f x x x x x f x πππ+=+++=+=， ∴()f x 是以2π为周期的周期函数；∴②正确；③()sin[cos()]cos[cos()]sin(cos )cos(cos )()f x x x x x f x πππ-=-+-=-+≠， ∴()f x 的图像不关于2x π=对称；∴③错误；④令cos ,[1,1]t x t =∈-，∴sin cos )4y t t t π=+=+，∵[1,1]444t πππ+∈-++，∴42t ππ+=，即4t π=时，max y =()f x ；∴ ④正确； ∴真命题为①②④．【名师点睛】正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．30．（2021·江西景德镇期末（理））已知a ，b ，c 分别为ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，5a c ==，且227cos 25a b bc A ac -+=-，G 为ABC 的重心，则GA =________【分析】根据已知等式，利用余弦定理角化边，结合已知条件可以求得b 的值，进而求得cos A 的值，然后根据()13AG AB AC =+，利用向量的数量积运算可求得AG 的长度． 【解析】由余弦定理得2222cos b c a bc A +-=，∴222a cos 2b c bc A +-=，∵227cos 25a b bc A ac -+=-，∴222227225b c a a b ac +--+=-，将5a c ==代入得：8b =， ∴222644cos 22855b c a A bc +-===⨯⨯，设以,AB AC 为邻边的平行四边形的另一个顶点为D ，则()1133AG AD AB AC ==+，AG ===【名师点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，要熟练使用上弦定理角化边，并结合向量的数量积运算可更快的求解．31．（2021·安徽蚌埠二模（理））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 0a C C b c +--=，且2a =，则ABC 内切圆半径的最大值为___________．【分析】由已知可得cos sin 0a C C b c --=根据正弦定理化简求得3A π=，由余弦定理可得b c +的取值范围，根据11()sin 22ABC S a b c R bc A =++=△，化简计算可求得结果．【解析】cos 0a C C b c +--=，且2a =，∴cos sin 0a C C b c +--=，∴sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=，∴()sin cos sin sin sin sin sin A C A C B C A C C =+=++，sin cos sin sin A C A C C =+，sin 0C ≠，cos 1A A -=，即1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 又()50,,,,666663A A A A πππππππ⎛⎫∈∴-∈-∴-== ⎪⎝⎭，，由余弦定理：2221cos 22b c a A bc +-==， ()243b c bc ∴+-=，又22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，()()2234044b c b c b c +∴+-≤∴<+≤，，又2b c a +>=，24b c ∴<+≤， 设ABC 内切圆半径为R ，则11()sin 22ABC S a b c R bc A =++=△，(2)2b c R bc ++=，即()()2=2142232663R b c b c c b =⋅+-⎡⎤+≤-⎣=+⎦+，max R ∴=． 【名师点睛】思路点睛：解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现"边化角"，二是利用余弦定理实现"角化边"；利用三角形面积公式11()sin 22ABC S a b c R bc A =++=△，即可将问题得解． 32．（2021·安徽池州期末（理））已知在锐角ABC，且212tan tan sin A B A +=，其内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，则边c 的最小值为_____________．【答案】2。

2017-2018学年第一学期第三次月考高三数学（理）试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分)1、已知全集{}*9,N U x x x =≤∈集合{}1,2,3A =,{}3,4,5,6B =，则()U A B = A ．{}3 B ．{}7,8 C ．{}7,8,9 D ．{}1,2,3,4,5,62、 已知i 是虚数单位，若(1)13z i i +=+，则=zA ．2i +B ．2i -C ．1i -+D ．1i -- 3、如果函数2()f x x bx c =++对任意实数t 都有(2)(2)f t f t +=-，那么 A ．(2)(1)(4)f f f << B ．(1)(2)(4)f f f << C ．(2)(4)(1)f f f << D ．(4)(2)(1)f f f <<4、如图，四边形ABCD 是正方形,延长CD 至E ，使得DE CD =，若点P 为CD 的中点， 且AP k AB mAE =+，则k m += A ．3 B ．25C ．2 D5、已知数列{}n a 满足331log 1log n n a a ++=(*n N ∈）且2469a a a ++=,则15793log ()a a a ++的值是A ．5-B ．15- C ．5D ．错误!6、数列{}n a 的通项公式为249n a n =-，当该数列的前n 项和n S 达到最小时，n 等于A ．24B ．25C ．26D ．277、已知函数()sin())(0,||)2f x x x πωφωφωφ=++><，其图象相邻的两条对称轴方程为0x =与2x π=,则A ．()f x 的最小正周期为2π，且在(0,)π上为单调递增函数B ．()f x 的最小正周期为2π，且在(0,)π上为单调递减函数C ．()f x 的最小正周期为π，且在(0,)2π上为单调递增函数D ．()f x 的最小正周期为π,且在(0,)2π上为单调递减函数8、在等比数列{}n a 中，12a =，公比2q =．若1234()m a a a a a m N *=∈，则m =A ．11B ．10C ．9D ．89、已知点O 是边长为1的等边ABC △的中心,则()()OA OB OA OC +⋅+等于 A ．19B ．19-C ．3D ．16-10312sin()sin()()2ππθθ-+-= 其中,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭A ．sin cos θθ-B ．cos sin θθ-C ．(sin cos )θθ±-D ．sin cos θθ+11、下图所示为函数()y f x =，()y g x =的导函数的图像，那么()y f x =，()y g x =的图像可能是12、若二次不等式230x ax +->在区间[2,5]上有解,则a 的取值范围是 A ．225a >- B ．12a <- C ．225a ≥- D ．12a ≤- 二、填空题13、函数2y x =与函数2y x =的图象围成的封闭图形的面积为14、设函数23y ax bx =++在0x =处取得极值，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于直线210x y ++=,则a b +的值为__________． 15、已知数列{}n a 满足:111n na a +=-，12a =,记数列{}n a 的前n 项之积为n P ，则 2011P =______。

宁夏银川一中2021届高三上学期第三次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合M={x|2x≤4}，N={x|x（1﹣x）＞0}，则C M N=（）A．（﹣∞，0）∪[1，+∞]B．（﹣∞，0）∪[1，2]C．（﹣∞，0]∪[1，2]D．（﹣∞，0]∪[1，+∞]2．（5分）已知复数z=1+i+i2+i3+…+i2021，则化简得z=（）A．0B．﹣1 C．1D．1+i3．（5分）S n为等差数列{a n}的前n项和，a2+a8=6，则S9=（）A．B．27 C．54 D．1084．（5分）关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），则的最小值是（）A．B．C．D ．5．（5分）在△ABC中，C=90°，且CA=CB=3，点M 满足等于（）A．2B．3C．4D．66．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，e x＞0”B．命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题C．“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”⇔“（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立”D．命题“若a=﹣1，则函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题为真命题7．（5分）能够把圆O：x2+y2=16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”，下列函数不是圆O的“和谐函数”的是（）A．f（x）=4x3+x B．C．D．f（x）=e x+e﹣x8．（5分）已知sin2α=，则cos2（α+）=（）A．B．C．D ．9．（5分）已知数列{a n}，{b n}满足a1=b1=1，，则数列的前10项的和为（）A．B．C．D ．10．（5分）函数y=sin4x+cos4x是（）A．最小正周期为，值域为[，1]的函数B．最小正周期为，值域为[，1]的函数C．最小正周期为，值域为[，1]的函数D．最小正周期为，值域为[，1]的函数11．（5分）如图，矩形A n B n C n D n的一边A n B n在x轴上，另外两个顶点C n，D n在函数f（x）=x+（x＞0）的图象上．若点B n的坐标（n，0）（n≥2，n∈N+），记矩形A n B n C n D n的周长为a n，则a2+a3+…+a10=（）A．208 B．216 C．212 D．22012．（5分）若直角坐标平面内A、B两点满足条件：①点A、B都在f（x）的图象上；②点A、B关于原点对称，则对称点对（A，B）是函数的一个“姊妹点对”（点对（A，B）与（B，A）可看作同一个“姊妹点对”）．已知函数f（x）=，则f（x）的“姊妹点对”有（）个．A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设x，y 满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．14．（5分）在△ABC 中，已知内角，边，则△ABC的面积S的最大值为．15．（5分）已知，数列的前n项和为S n，数列{b n}的通项公式为b n=n﹣8，则b n S n 的最小值为．16．（5分）在技术工程中，经常用到双曲正弦函数shx=和双曲余弦函数chx=．其实双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数相类似，比如关于正、余函数有cos（x+y）=cosxcosy ﹣sinxsiny成立，而关于双曲正、余弦函数满足cb（x+y）=chxchy+shxshy．请你类比正弦函数和余弦函数关系式，写出关于双曲正弦、双曲余弦函数的一个新关系式．三、解答题：本大题共5小题，共计70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，q=．（1）求a n与b n；（2）设数列{c n}满足c n=|b n﹣a5|，求{c n}的前项和T n．18．（12分）已知函数（ω＞0，．其图象的最高点与相邻对称中心的距离为，且过点．（Ⅰ）求函数f（x）的达式；（Ⅱ）在△ABC中．a、b、c分别是角A、B、C 的对边，，，角C为锐角．且满足2a=4asinC ﹣csinA，求c的值．19．（12分）已知数列{a n}的首项a1=，a n+1=，n=1，2，…．（Ⅰ）证明：数列{﹣1}是等比数列；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．20．（12分）已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x2﹣x在x=0处取得极值（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）=﹣x+b在区间[0，2]上有两个不同的实根，求实数b的取值范围．21．（12分）已知函数g（x）=x3+（a﹣2）x2，h（x）=2alnx，f（x）=g′（x）﹣h（x）．（1）当a∈R时，争辩函数f（x）的单调性．（2）是否存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有＜a．若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．一、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．一、选修4-4；坐标系与参数方程．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．一、选修4-5：不等式选讲24．已知f（x）=|2x﹣1|+ax﹣5（a是常数，a∈R）①当a=1时求不等式f（x）≥0的解集．②假如函数y=f（x）恰有两个不同的零点，求a的取值范围．宁夏银川一中2021届高三上学期第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合M={x|2x≤4}，N={x|x（1﹣x）＞0}，则C M N=（）A．（﹣∞，0）∪[1，+∞]B．（﹣∞，0）∪[1，2]C．（﹣∞，0]∪[1，2]D．（﹣∞，0]∪[1，+∞]考点：补集及其运算．专题：集合．分析：求出M与N中不等式的解集确定出M与N，依据全集M求出N的补集即可．解答：解：由M中不等式变形得：2x≤4=22，即x≤2，∴M=（﹣∞，2]，由B中不等式变形得：x（x﹣1）＜0，解得：0＜x＜1，即N=（0，1），则∁M N=（﹣∞，0]∪[1，2]．故选：C．点评：此题考查了补集及其运算，娴熟把握补集的定义是解本题的关键．2．（5分）已知复数z=1+i+i2+i3+…+i2021，则化简得z=（）A．0B．﹣1 C．1D．1+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的周期性、等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：∵i4=1，∴复数z=1+i+i2+i3+…+i2021===0．故选：A．点评：本题考查了复数的周期性、等比数列的前n项和公式，属于基础题．3．（5分）S n为等差数列{a n}的前n项和，a2+a8=6，则S9=（）A．B．27 C．54 D．108考点：等差数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：依据所给的项a2，a8的下标特点，和所求和的下标特点，可以依据等差数列性质，利用a2+a8=2a5，求出a5，而S9=9a5，问题获解．解答：解：依据等差数列性质，可得a2+a8=2a5=6，∴a5=3，依据等差数列和的性质可得，S9=9a5=27．故选：B．点评：本题考查等差数列通项公式，求和计算．合理利用性质求解，应是本题的立意所在．4．（5分）关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），则的最小值是（）A．B．C．D ．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），利用根与系数的关系可得x1+x2，x1x2，再利用基本不等式即可得出．解答：解：∵关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），∴△=16a2﹣12a2=4a2＞0，又a＞0，可得a＞0．∴x1+x2=4a ，，∴=4a+==，当且仅当a=时取等号．∴的最小值是．故选：C．点评：本题考查了一元二次不等式解集与相应的一元二次方程的实数根的关系、根与系数的关系、基本不等式的性质，属于基础题．5．（5分）在△ABC中，C=90°，且CA=CB=3，点M 满足等于（）A．2B．3C．4D．6考点：平面对量数量积的运算．专题：计算题．分析：由•=（）•，再利用向量和的夹角等于45°，两个向量的数量积的定义，求出•的值．解答：解：由题意得AB=3，△ABC是等腰直角三角形，•=（）•=+=0+||•||cos45°=×3×3×=3，故选B．点评：本题考查两个向量的数量积的定义，留意向量和的夹角等于45°这一条件的运用．6．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，e x＞0”B．命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题C．“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”⇔“（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立”D．命题“若a=﹣1，则函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题为真命题考点：命题的真假推断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：A中全称命题的否定是特称命题，并且一真一假；B中原命题与逆否命题是同真同假，写出它的逆否命题再判定真假；C、“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”转化为“（）min≥a max在x∈[1，2]上恒成立”；D、写出原命题的逆命题再判定真假．解答：A、“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x0∈R，e x≤0”；∴命题错误；B、∵x=2且y=1时，x+y=3是真命题；∴若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题；C、“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”⇔“（）min≥a max在x∈[1，2]上恒成立”，命题错误；D、“若a=﹣1，则函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题是：“f（x）=ax2+2x﹣1有一个零点时，a=﹣1”，∵f（x）有一个零点时，a=﹣1或a=0；∴命题错误．故选：B．点评：本题通过命题真假的判定考查了简洁的规律关系的应用，是基础题．7．（5分）能够把圆O：x2+y2=16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”，下列函数不是圆O的“和谐函数”的是（）A．f（x）=4x3+x B．C．D．f（x）=e x+e﹣x考点：奇偶性与单调性的综合．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：由“和谐函数”的定义及选项知，该函数若为“和谐函数”，其函数须为过原点的奇函数，由此逐项推断即可得到答案．解答：解：由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数．A中，f（0）=0，且f（x）为奇函数，故f（x）=4x3+x为“和谐函数”；B中，f（0）=ln=ln1=0，且f（﹣x）=ln =ln=﹣ln=﹣f（x），所以f（x）为奇函数，所以f（x）=ln为“和谐函数”；C中，f（0）=tan0=0，且f（﹣x）=tan=﹣tan=﹣f（x），所以f（x）为奇函数，故f（x）=tan为“和谐函数”；D中，f（0）=e0+e﹣0=2，所以f（x）=e x+e﹣x的图象不过原点，故f（x））=e x+e﹣x不为“和谐函数”；故选D．点评：本题考查函数的奇偶性、单调性，考查同学对新问题的分析理解力量及解决力量，属中档题．8．（5分）已知sin2α=，则cos2（α+）=（）A．B．C．D ．考点：二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用．专题：三角函数的求值．分析：所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用诱导公式变形，将已知等式代入计算即可求出值．解答：解：∵sin2α=，∴cos2（α+）=[1+cos（2α+）]=（1﹣sin2α）=×（1﹣）=．故选A点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，娴熟把握公式是解本题的关键．9．（5分）已知数列{a n}，{b n}满足a1=b1=1，，则数列的前10项的和为（）A．B．C．D ．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题．分析：依据等差数列与等比数列的定义结合题中的条件得到数列{a n}与{b n}的通项公式，进而表达出的通项公式并且可以证明此数列为等比数列，再利用等比数列前n项和的公式计算出答案即可．解答：解：由题意可得，所以数列{a n}是等差数列，且公差是2，{b n}是等比数列，且公比是2．又由于a1=1，所以a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1．所以=b1•22n﹣2=22n﹣2．设c n =，所以c n=22n﹣2，所以，所以数列{c n}是等比数列，且公比为4，首项为1．由等比数列的前n项和的公式得：其前10 项的和为．故选D．点评：解决此类问题的关键是娴熟把握等比数列与等差数列的定义，以及它们的通项公式与前n项和的表示式．10．（5分）函数y=sin4x+cos4x是（）A．最小正周期为，值域为[，1]的函数B．最小正周期为，值域为[，1]的函数C．最小正周期为，值域为[，1]的函数D．最小正周期为，值域为[，1]的函数考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值．分析：利用平方关系与二倍角的正弦将y=sin4x+cos4x化为y=1﹣×sin22x，再利用降幂公式可求得y=+×cos4x，从而可求其周期和值域．解答：解：∵y=sin4x+cos4x=（sin2x+cos2x）2﹣2sin2xcos2x=1﹣×sin22x=1﹣×=+×cos4x，∴其周期T==，其值域为[，1]故选：C．点评：本题考查三角函数的周期性、值域及其求法，突出考查二倍角的正弦与余弦，降幂是关键，属于中档题．11．（5分）如图，矩形A n B n C n D n的一边A n B n在x轴上，另外两个顶点C n，D n在函数f（x）=x+（x＞0）的图象上．若点B n的坐标（n，0）（n≥2，n∈N+），记矩形A n B n C n D n的周长为a n，则a2+a3+…+a10=（）A．208 B．216 C．212 D．220考点：数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：依题意，可求得C n（n，n+），D n （，n+）从而可求得a n=4n；继而可求得a2+a3+…+a10的值．解答：解：∵点B n的坐标（n，0）（n≥2，n∈N+），顶点C n，D n在函数f（x）=x+（x＞0）的图象上，∴C n（n，n+）；依题意知，D n （，n+）；∴|A n B n|=n ﹣（n≥2，n∈N+），∴a n=2（n ﹣）+2（n+）=4n．∴a n+1﹣a n=4，又a1=4，∴数列{a n}是首项为4，公差为4的等差数列，∴a2+a3+…+a10===216．故选：B．点评：本题考查数列的求和，求得a n=4n是关键，考查分析推理与运算力量，属于中档题．12．（5分）若直角坐标平面内A、B两点满足条件：①点A、B都在f（x）的图象上；②点A、B关于原点对称，则对称点对（A，B）是函数的一个“姊妹点对”（点对（A，B）与（B，A）可看作同一个“姊妹点对”）．已知函数f（x）=，则f（x）的“姊妹点对”有（）个．A．1B．2C．3D．4考点：函数的值．专题：压轴题；新定义．分析：首先弄清关于原点对称的点的特点，进而把问题转化为求方程的根的个数，再转化为求函数φ（x）=2e x+x2+2x零点的个数即可．解答：解：设P（x，y）（x＜0），则点P关于原点的对称点为P′（﹣x，﹣y），于是，化为2e x+x2+2x=0，令φ（x）=2e x+x2+2x，下面证明方程φ（x）=0有两解．由x2+2x≤0，解得﹣2≤x≤0，而＞0（x≥0），∴只要考虑x∈[﹣2，0]即可．求导φ′（x）=2e x+2x+2，令g（x）=2e x+2x+2，则g′（x）=2e x+2＞0，∴φ′（x）在区间[﹣2，0]上单调递增，而φ′（﹣2）=2e﹣2﹣4+2＜0，φ′（﹣1）=2e﹣1＞0，∴φ（x）在区间（﹣2，0）上只存在一个极值点x0．而φ（﹣2）=2e﹣2＞0，φ（﹣1）=2e﹣1﹣1＜0，φ（0）=2＞0，∴函数φ（x）在区间（﹣2，﹣1），（﹣1，0）分别各有一个零点．也就是说f（x）的“姊妹点对”有两个．故选B．点评：本题考查了函数的零点，擅长转化及娴熟利用导数推断方程的根的个数是解决问题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设x，y 满足约束条件，则z=2x﹣y 的最大值为8．考点：简洁线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x ﹣z ，平移直线y=2x ﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即A （5，2）将A 的坐标代入目标函数z=2x ﹣y，得z=2×5﹣2=8．即z=2x﹣y的最大值为8．故答案为：8点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．14．（5分）在△ABC中，已知内角，边，则△ABC的面积S的最大值为．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：依据余弦定理结合三角形的面积公式以及基本不等式，即可求出结论．解答：解：由余弦定理，得12=b2+c2﹣bc．又S=bcsinA=bc；而b2+c2≥2bc⇒bc+12≥2bc⇒bc≤12，（当且仅当b=c时等号成立）所以S=bcsinA=bc≤3．即△ABC的面积S的最大值为：3．故答案为：3．点评：本题为三角函数公式的应用题目，属于中档题．解决本题的关键在于依据余弦定理以及基本不等公式得到bc≤12．15．（5分）已知，数列的前n项和为S n，数列{b n}的通项公式为b n=n﹣8，则b n S n 的最小值为﹣4．考点：定积分；数列的函数特性；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意，先由微积分基本定理求出a n再依据通项的结构求出数列的前n项和为S n，然后代入求b n S n的最小值即可得到答案解答：解：a n=（2x+1）dx=（x2+x）=n2+n∴==﹣∴数列{ }的前n项和为S n=++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=又b n=n﹣8，n∈N*，则b n S n=×（n﹣8）=n+1+﹣10≥2 ﹣10=﹣4，等号当且仅当n+1=，即n=2时成立，故b n S n的最小值为﹣4．故答案为：﹣4．点评：本题考查微积分基本定理及数列的求和，数列的最值等问题，综合性强，学问转换快，解题时要严谨认真，莫因变形消灭失误导致解题失败．16．（5分）在技术工程中，经常用到双曲正弦函数shx=和双曲余弦函数chx=．其实双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数相类似，比如关于正、余函数有cos（x+y）=cosxcosy ﹣sinxsiny成立，而关于双曲正、余弦函数满足cb（x+y）=chxchy+shxshy．请你类比正弦函数和余弦函数关系式，写出关于双曲正弦、双曲余弦函数的一个新关系式sh2x﹣ch 2=﹣1，ch2x ﹣sh2x=1．考点：类比推理．专题：计算题；推理和证明．分析：留意到双曲正弦函数和双曲余弦函数平方后的相同项，即可得到新的关系式．解答：解：sh2x=（e2x+﹣2）ch2x=（e2x++2）∴sh2x﹣ch2=﹣1∴ch2x﹣sh2x=1故答案为：sh2x﹣ch2=﹣1，ch2x﹣sh2x=1点评：本题为开放题型，考查类比推理，考查分析问题、解决问题的力量．三、解答题：本大题共5小题，共计70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，q=．（1）求a n与b n；（2）设数列{c n}满足c n=|b n﹣a5|，求{c n}的前项和T n．考点：数列的求和；等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式，由已知条件，列出方程组，分别求出等差数列的公差和等比数列的公比，由此能求出a n与b n．（2）由（1）及c n=|b n﹣a5|，推导出c n=|3n﹣1﹣15|=，由此利用分组求和法能求出{c n}的前项和T n．解答：（本题满分14分）解：（1）∵等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，q=，等差数列{a n}中，a1=3，∴，即，解得q=3，或q=﹣4（舍），d=3，∴a n=3n，（7分）（2）∵c n =|b n﹣a 5|，∴c n=|3n﹣1﹣15|=，∴当n≤3时，=，当n ≥4时，T n=﹣15n+2T3=．∴．（14分）点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，留意公组求和法的合理运用．18．（12分）已知函数（ω＞0，．其图象的最高点与相邻对称中心的距离为，且过点．（Ⅰ）求函数f（x）的达式；（Ⅱ）在△ABC中．a、b、c分别是角A、B、C的对边，，，角C为锐角．且满足2a=4asinC ﹣csinA，求c的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的正弦函数；正弦定理．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，依据函数的周期求ω，把所给的点的坐标代入求出Φ的值，从而确定出函数的解析式．（Ⅱ）依据条件2a=4asinC﹣csinA，由正弦定理求得sinC的值，可得cosC的值，再由余弦定理求得c的值．解答：解：（Ⅰ）由于．（2分）∵最高点与相邻对称中心的距离为=，则，即T=π，（3分）∴，∵ω＞0，∴ω=2．（4分）又f（x）过点，∴，即，∴．（5分）∵，∴，∴．（6分）（Ⅱ）2a=4asinC﹣csinA，由正弦定理可得2sinA=4sinAsinC﹣sinCsinA，解得．（8分）又∵，∴．（9分）又，，∴b=6，（11分）由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=21，∴．（12分）点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，两角和差的正弦公式、正弦定理和余弦定理的应用，两个向量的数量积的定义，属于中档题．19．（12分）已知数列{a n}的首项a1=，a n+1=，n=1，2，…．（Ⅰ）证明：数列{﹣1}是等比数列；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．考点：数列递推式；等比关系的确定；数列的求和．专题：计算题；压轴题．分析：（1）化简构造新的数列，进而证明数列是等比数列．（2）依据（1）求出数列的递推公式，得出a n ，进而构造数列，求出数列的通项公式，进而求出前n项和S n．解答：解：（Ⅰ）由已知：，∴，（2分）∴，又，∴，（4分）∴数列是以为首项，为公比的等比数列．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，∴．（8分）设，①则，②由①﹣②得：，（10分）∴．又1+2+3+…．（12分）∴数列的前n 项和：．（14分）点评：此题主要考查通过构造新数列达到求解数列的通项公式和前n项和的方法．20．（12分）已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x2﹣x在x=0处取得极值（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）=﹣x+b在区间[0，2]上有两个不同的实根，求实数b的取值范围．考点：函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数推断．专题：导数的综合应用．分析：（1）令f′（x）=0，即可求得a值；（2）f（x）=﹣x+b在区间[0，2]上有两个不同的实根，即b=ln（x+1）﹣x2+x在区间[0，2]上有两个不同的实根，问题可转化为争辩函数g（x）=ln（x+1）﹣x2+x在[0，2]上最值和极值状况．利用导数可以求得，再借助图象可得b的范围．解答：解：（1）f′（x）=﹣2x﹣1，∵f′（0）=0，∴a=1．（2）f（x）=ln（x+1）﹣x2﹣x所以问题转化为b=ln（x+1）﹣x2+x在[0，2]上有两个不同的解，从而可争辩函数g（x）=ln（x+1）﹣x2+x在[0，2]上最值和极值状况．∵g′（x）=﹣，∴g（x）的增区间为[0，1]，减区间为[1，2]．∴g max（x）=g（1）=+ln2，g min（x）=g（0）=0，又g（2）=﹣1+ln3，∴当b∈[﹣1+ln3，+ln2）时，方程有两个不同解．点评：本题考查函数在某点取得极值的条件及方程根的个数问题，留意函数与方程思想、数形结合思想的运用．21．（12分）已知函数g（x）=x3+（a﹣2）x2，h（x）=2alnx，f（x）=g′（x）﹣h（x）．（1）当a∈R时，争辩函数f（x）的单调性．（2）是否存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有＜a．若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．考点：利用导数争辩函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）通过争辩a的范围，从而得出函数的单调性；（2）先假设存在实数a，满足题意，通过争辩x1，x2的大小，得不等式组，求出a无解，从而得出结论．解答：解：（1）f（x）=x2+（a﹣2）x﹣2alnx（x＞0），f′（x）=x+a﹣2﹣=（x＞0），①当a＞0时，f（x）在（0，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数．②当﹣2＜a≤0时，f（x）在（0，﹣a）上是增函数；在（﹣a，2）是减函数；在（2，+∞）上是增函数．③当a=﹣2时，f（x）在（0，+∞）上是增函数．④当a＜﹣2时，f（x）在（0，2）上是增函数；在（2，﹣a）上是减函数；在（﹣a，+∞）上是增函数．（2）假设存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有＜a恒成立，当x1＞x2时，等价于f（x2）﹣f（x1）＜a（x1﹣x2）即f（x2）+ax2＜f（x1）+ax1恒成立．令g（x）=f（x）+ax=x2﹣2alnx﹣2x+2ax，只要g（x）在（0，+∞）上恒为增函数，所以g′（x）≥0恒成马上可．又g′（x）=x ﹣﹣2+2a=，只要x2+（2a﹣2）x﹣2a≥0在（0，+∞）恒成马上可．设h（x）=x2+（2a﹣2）x﹣2a，则由△=4（a﹣1）2+8a=4a2+4＞0及得，a∈∅，当x1＜x2时，等价于f（x2）﹣f（x1）＞a（x1﹣x2）即f（x2）+ax2＞f（x1）+ax1恒成立，g（x）在（0，+∞）上恒为增函数，所以g′（x）＞0恒成马上可，a∈∅，综上所述，不存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2时，都有＜a．点评：本题考查了函数的单调性问题，考查了求参数的范围问题，考查了导数的应用，是一道综合题．一、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题；直线与圆．分析：（1）连接BE、OE，由直径所对的圆周角为直角，得到BE⊥EC，从而得出DE=BD=，由此证出△ODE≌△ODB，得∠OED=∠OBD=90°，利用圆内接四边形形的判定定理得到O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，由（1）的结论证出DE为圆O的切线，从而得出DE2=DM•DH，再将DH分解为DO+OH，并利用OH=和DO=，化简即可得到等式2DE2=DM•AC+DM•AB成立．解答：解：（1）连接BE、OE，则∵AB为圆0的直径，∴∠AEB=90°，得BE⊥EC，又∵D是BC的中点，∴ED是Rt△BEC的中线，可得DE=BD．又∵OE=OB，OD=OD，∴△ODE≌△ODB．可得∠OED=∠OBD=90°，因此，O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，∵DE⊥OE，OE是半径，∴DE为圆O的切线．可得DE2=DM•DH=DM•（DO+OH）=DM•DO+DM•OH．∵OH=，OD为△ABC的中位线，得DO=，∴，化简得2DE2=DM•AC+DM•AB．点评：本题着重考查了圆的切线的性质定理与判定、直径所对的圆周角、全等三角形的判定与性质等学问，属于中档题．一、选修4-4；坐标系与参数方程．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．考点：椭圆的参数方程；简洁曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：综合题；压轴题．分析：（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．解答：解：（1）点A，B，C，D 的极坐标为点A，B，C，D 的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]点评：本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中档题．一、选修4-5：不等式选讲24．已知f（x）=|2x﹣1|+ax﹣5（a是常数，a∈R）①当a=1时求不等式f（x）≥0的解集．②假如函数y=f（x）恰有两个不同的零点，求a的取值范围．考点：函数零点的判定定理；带确定值的函数．专题：计算题．分析：①当a=1时，f（x）=，把和的解集取并集，即得所求．②由f（x）=0得|2x﹣1|=﹣ax+5，作出y=|2x﹣1|和y=﹣ax+5 的图象，观看可以知道，当﹣2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，由此得到a的取值范围．解答：解：①当a=1时，f（x）=|2x﹣1|+x﹣5=．由解得x≥2；由解得x≤﹣4．∴f（x）≥0的解为{x|x≥2或x≤﹣4}．②由f（x）=0得|2x﹣1|=﹣ax+5．作出y=|2x﹣1|和y=﹣ax+5 的图象，观看可以知道，当﹣2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，函数y=f（x）有两个不同的零点．故a的取值范围是（﹣2，2）．点评：本题考查函数零点的判定定理，带有确定值的函数，体现了转化的数学思想，属于基础题．。

宁夏高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设全集是实数集，，，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．B．C．D．2.下列函数中既是奇函数，又在区间上是增函数的为（）A．B．C．D．3.实数，，的大小关系正确的是（）A．B．C．D．4.曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．5.函数的一个零点落在下列哪个区间（）A．B．C．D．6.下列四个命题：①命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；②“”是“”的充分不必要条件；③若是假命题，则均为假命题；④对于命题，使得，则为：，均有其中，错误的命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个7.若函数与函数的图象关于直线对称，则的值为（）A．B．1C．D．8.已知函数定义域是，则的定义域（）A．B．C．D．9.若实数满足，则关于的函数的图象大致是（）10.已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（）A．B．C．D．11.若关于的方程，有两个不同的实根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.函数的定义域是__________.2.已知函数，则的值为__________.3.已知偶函数在单调递减，若，则的取值范围是__________.4.已知直线与曲线相切，则的值为__________.三、解答题1.已知集合，，.（1）求，；（2）若非空集合，求的取值范围.2.选修4-4：坐标系与参数方程.在直角坐标系中，以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为.（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）求曲线上的点到直线的最大距离3.选修4-5：不等式选讲设函数，其中.（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求的值.4.已知定义域为的单调减函数是奇函数，当时，.（1）求的解析式；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围5.已知函数的图象过点，且在点处的切线方程.（1）求函数的解析式；（2）求函数与的图象有三个交点，求的取值范围.6.已知函数．（1）当时，求函数在上的最小值和最大值；（2）当时，讨论函数的单调性；（3）是否存在实数，对任意的，且，都有恒成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.宁夏高三高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.设全集是实数集，，，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由韦恩图可以看出，阴影部分是中去掉部分，即阴影部分的元素属于不属于，图中阴影所表示的集合是,，故.故选C.【考点】集合的运算.2.下列函数中既是奇函数，又在区间上是增函数的为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】A项, 是偶函数,在区间先减后增,故A项错误.B项,由得函数在区间上单减，故B项错误.C项,是偶函数,故C项错误.D项,是奇函数,由正弦函数得相关性质得函数在区间上单调递增,故D项正确.选D.【考点】函数性质的综合.3.实数，，的大小关系正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据指数函数和对数函数得性质,知,,,即,.故选C.【考点】1.指对函数的图象和性质；2.不等关系与不等式.4.曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】对求导得,代入得,则切线方程为,即.故选B.【考点】导数的概念及其几何性质.5.函数的一个零点落在下列哪个区间（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题得单调递增,,,的零点落在区间上.【考点】函数零点的判定定理.6.下列四个命题：①命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；②“”是“”的充分不必要条件；③若是假命题，则均为假命题；④对于命题，使得，则为：，均有其中，错误的命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】①项,根据逆否命题概念知其为真命题,故①正确.②项,由可以推出;而由推不出,因为还可能是,故②项正确.③项,为真命题为假命题,或为假命题为真命题,均能满足是假命题,故③项错误.④项,根据否命题得概念,故④项正确.正确答案为A.【考点】全称量词与存在量词.7.若函数与函数的图象关于直线对称，则的值为（）A．B．1C．D．【答案】D【解析】由题意知,,,故选D.【考点】对数函数的性质及应用.8.已知函数定义域是，则的定义域（）A．B．C．D．【答案】D【解析】的定义域是，则，即函数的定义域为.令,解得.则的定义域为.故选D.【考点】抽象函数的定义域.9.若实数满足，则关于的函数的图象大致是（）【答案】B【解析】对已知等式变形,可得,两边取指数得：，即，因此大致图象是关于对称的，两边随轴的延伸无限接近.故选B.【考点】函数得图象及其变换.【方法点晴】本题通过函数的图象,主要考察函数得定义域、值域及其单调性、对称性,属于中档题.识别函数图象应注意以下几点:1.函数的定义域、值域.2.函数的性质（单调性、奇偶性、周期性等）.3.函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点,经过的定点等）.4.对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分布范围、趋势、对称性等方面研究函数.10.已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】不等式等价于：（1）即解得；（2）即解得.综上，不等式的解集为.故选D.【考点】函数性质的综合.【方法点晴】不等式是高考数学命题的重点内容,解不等式的应用非常广泛,如求函数的定义域、值域、求参数的取值范围等,高考试题中对于解不等式要求较高,往往与函数概念,特别是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质等密切联系,本题利用抽象函数的性质得到大致图象,列出不等式从而求解的间接求不等式的方法.11.若关于的方程，有两个不同的实根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令,且,在时单调递增,,当时,,所以;当时, ,有正负两个解.故选B.【考点】方程根个数的判断.【方法点晴】函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解.有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的.本题利用换元与参变分离的方法,把方程根问题转化为两个函数图象的交点问题.二、填空题1.函数的定义域是__________.【答案】【解析】,，解得或.因此函数的定义域为.【考点】函数的定义域.2.已知函数，则的值为__________.【答案】【解析】由题意得,,故填.【考点】1.分段函数；2.指数运算.3.已知偶函数在单调递减，若，则的取值范围是__________.【答案】【解析】因为偶函数在单调递减,所以不等式等价于,则,即,故不等式得解集为.【考点】函数性质的应用.【方法点晴】本题考查函数的奇偶性的应用,由函数为偶函数可知,恒成立,因此成立,即把括号内的变量统一到区间上,便可利用函数在单减,去掉符号,从而给不等式求解.抽象函数的性质为高考考查的重点内容,需根据给定的信息大致画出函数的图象,从而解出不等式.4.已知直线与曲线相切，则的值为__________.【答案】【解析】设切点,则,,又,切线方程为,即,,,.【考点】曲线的切线方程.【方法点晴】本题是一道关于导数几何意义得题目,关键是掌握利用导数求曲线上过某点切线方程得斜率,首先设出切点坐标,对函数求导写出点斜式直线方程,根据斜率与已知相等,可以得到与的一个等量关系,再由切点在曲线上,把与的等式整体代入曲线方程,便可解得,进而求得.本题需要考生灵活运用对数的运算法则与根据导数写切线方程等方法.三、解答题1.已知集合，，.（1）求，；（2）若非空集合，求的取值范围.【答案】（1）,；（2）.【解析】试题分析:（1）根据集合交、并集运算求出；（2）为集合的子集,比较端点的大小关系,得出的范围.试题解析：解：（1），，（2）由（1）知，当时，要，则，解得.【考点】1.集合的运算；2.集合间的关系.2.选修4-4：坐标系与参数方程.在直角坐标系中，以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为.（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）求曲线上的点到直线的最大距离【答案】（1）,；（2）.【解析】（1）利用极坐标与平面直角坐标系的转化；（2）利用参数方程设出动点坐标,把距离求最值问题转化成三角函数的最值.试题解析：解：（1）由得，∴，由得.（2）在上任取一点，则点到直线的距离为.∴当，即时，【考点】1.极坐标方程；2.点到直线距离的最值.【方法点晴】本题考查了直角坐标系下的普通方程和极坐标系下极坐标方程之间的互化问题,直接利用公式代入即可.第二问求的是曲线上任一点到直线距离的最值,设点时选择用参数方法,转化为了三角函数求最值问题,注意写出取等条件,以及是否能够取到最值.（2）中还可求与已知直线平行的直线与曲线相切时的切点即为所求点,相比较利用参数方程求解较简单,此题难度适中.3.选修4-5：不等式选讲设函数，其中.（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）将代入函数解析式,求解不等式即可；（2）分两种情况和讨论的解集,结合可得解集为,根据已知条件可得值.试题解析：解：（1）当时，可化为，由此可得或.故不等式的解集为（2）由得，此不等式化为不等式组或，即或因为，所以不等式组的解集为，由题设可得，故.【考点】1.分段函数；2.解不等式.4.已知定义域为的单调减函数是奇函数，当时，.（1）求的解析式；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由是奇函数,得,再由定义得,可求出解析式；（2）根据单调递减且为奇函数,去掉符号,解不等式得的范围.试题解析：解：（1）∵定义域为的函数是奇函数，∴，当时，，∴又∵函数是奇函数，∴∴综上所述（2）在上单调递减由得∵是奇函数，∴又∵是减函数，∴即对任意恒成立∴得即为所求.【考点】1.函数解析式；2.函数单调性.5.已知函数的图象过点，且在点处的切线方程.（1）求函数的解析式；（2）求函数与的图象有三个交点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）将代入函数解析式可得的值.将代入直线可得的值.再由切线方程可知切线斜率为,由导数的几何意义可知,联立方程组可得的值；（2）可将问题转化为有三个不等的实根问题,再通过参变量分离转化为与图象有三个交点.然后对求导判单调性画出图象,数形结合分析可得出的范围.试题解析：解：（1）由的图象经过点，知.所以，则由在处的切线方程是知，，，所以，即，解得，故所求的解析式是.（2）因为函数与的图象有三个交点有三个根，有三个根.令，则的图象与图象有三个交点.+-+的极大值为，的极小值为2，因此【考点】1.导数的几何意义；2.用导数研究函数的图象及性质.6.已知函数．（1）当时，求函数在上的最小值和最大值；（2）当时，讨论函数的单调性；（3）是否存在实数，对任意的，且，都有恒成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）最小值为,；（2）①当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，②当时，在上是增函数，③当时，则在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数；（3）.【解析】（1）函数定义域为,当时求导判断导函数得正负,即可得函数单调性,从而得到最值；（2）因为,根据,将与进行比较,分类讨论,确定函数的单调性；（3）假设存在使不等式恒成立,不妨设,若，即，构建函数,在为增函数,只需在恒成立即可.试题解析：解：（1）当时，.则，∴当时，，当时，，∴在上是减函数，在上是增函数.∴当时，取得最小值，其最小值为.又，.，∴∴.（2）的定义域为，，①当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数.②当时，在上是增函数.③当时，则在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数.（3）假设存在实数，对任意的，且，都有恒成立，不妨设，若，即，令只要在为增函数要使在恒成立，只需，，故存在满足题意.【考点】1.函数最值；2.含参讨论判单调性；3.恒成立问题.【方法点晴】本题主要是考查了导数在研究函数中的运用,分析函数的单调性和函数的最值,和不等式的证明综合运用.（1）利用已知函数求解函数定义域,然后求解导函数,分析导数大于或小于零得到单调区间.（2）根据已知函数的单调性,对于参数分情况讨论,得到最值.（3）假设存在实数满足题意,则利用函数的单调性得到的范围.。

宁夏 2021 版数学高三上学期理数第三次阶段性考试试卷（II）卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2015 高二上·广州期末) 已知集合 A={y|y=2x}，B={y|y=}，则 A∩B 等于（ ）A . {y|y≥0}B . {y|y＞0}C . {y|y≥1}D . {y|y＞1}2. （2 分） 已知命题 p:a,b ,则|a|+|b|>1 是|a+b|>1 的充分不必要条件;命题 q:已知 A,B,C 是锐角三角形ABC 的三个内角,向量,,则 与 的夹角是锐角,则（ ）A . p假q真 B . p 且 q 为真 C . p真q假 D . p 或 q 为假3. （2 分） (2020·厦门模拟) 函数的最小正周期与最大值之比为（ ）A.B.C.D.4. （2 分） (2017·大新模拟) 已知向量 =（x，1）， =（4，2），若 ∥ ，则 •（ ﹣ ） 等于（ ）A.5第 1 页 共 14 页B . 10C.﹣D . ﹣55. （2 分） (2018 高一下·黑龙江期末) 设 成等比数列，则这个三角形的形状是（ ）的三内角 A、B、C 成等差数列，、、A . 直角三角形B . 钝角三角形C . 等边三角形D . 等腰直角三角形6. （2 分） 在等比数列{an}中，an＞0，若 a1a2a3…a2012=22012 ， 则 a2a2011=（ ）A.2B.4C . 21005D . 210067. （2 分） 已知向量， 则向量 的夹角为 （ ）A.B.C.D. 8. （2 分） 如图梯形 A1B1C1D1 是一平面图形 ABCD 的斜二侧直观图，若 A1D1∥O′y′A1B1∥C1D1 ， A1B1= C1D1=2，A1D1=1，则四边形 ABCD 的面积是（ ）第 2 页 共 14 页A . 10 B.5 C.5 D . 109. （2 分） (2020·吉林模拟) 已知双曲线 作直线 l 与双曲线 C 的右支交于点 A，B 两点．若的焦点为，，过，，则 C 的方程是（ ）A. B.C.D.10. （2 分） 李芳有 4 件不同颜色的衬衣，3 件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．“五一”节需 选择一套服装参加歌舞演出，则李芳有（ ）种不同的选择方式（ ）A . 24B . 14C . 10D.911. （2 分） (2019 高二上·宁波期中) 若圆的距离为，则直线 的倾斜角的取值范围是（ ）上至少有三个不同的点到直线第 3 页 共 14 页A. B. C. D.12. （2 分） (2018·许昌模拟) 已知 F1 ， F2 分别为椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，P 为椭圆上一点，O 为坐标原点，且（＋）·＝0，｜｜＝2｜｜，则该椭圆的离心率为（ ）A.B.C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 5 分)13. （1 分） (2020 高二下·天津期中) （ ）6 的展开式中常数项是________．14.（1 分） (2020 高一下·深圳月考) 平面向量满足，，，则________．15. （2 分） (2017 高一下·苏州期末) 集合 A={1，2，3，4}，B={1，2，3}，点 P 的坐标为（m，n），m∈A， n∈B，则点 P 在直线 x+y=5 上的概率为________．16. （1 分） (2019·怀化模拟) 已知双曲线 ：第一象限内的点在双曲线 的渐近线上，且第 4 页 共 14 页的左、右焦点分别为 、 ， ，若以 为焦点的抛物线 ：经过点 ，则双曲线 的离心率为________．三、 解答题 (共 7 题；共 46 分)17. （10 分） 等差数列{an}中，a2=8，S6=66 （1）求数列{an}的通项公式 an；（2）设 bn=， Tn=b1+b2+b3+…+bn ， 求 Tn ．18. （2 分） (2019 高二下·四川月考) 2018 年 6 月 14 日，第二十一届世界杯尼球赛在俄罗斯拉开了帷幕， 某大学在二年级作了问卷调查,从该校二年级学生中抽取了 人进行调查,其中女生中对足球运动有兴趣的占，而男生有 人表示对足球运动没有兴趣.（1） 完成列联表,并回答能否有的把握认为“对足球是否有兴趣与性别有关”？男 女 合计有兴趣没有兴趣合计（2） 若将频率视为概率,现再从该校二年级全体学生中,采用随机抽样的方法每饮抽取 名学生,抽取 次， 记被抽取的 名学生中对足球有兴趣的人数为 ，若每次抽取的结果是相互独立的，求 的分布列和数学期 望.附:19. （ 10 分 ） (2017· 烟 台 模 拟 ) 已 知 向 量 ．（1） 求 f（x）的单调减区间；第 5 页 共 14 页，向量，函数（2） 将函数 f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移 个 单位长度，得到 y=g（x）的图象，求函数 y=g（x）的解析式及其图象的对称中心．20. （10 分） (2020·南通模拟) 已知函数，．（1） 当时，①若曲线与直线相切，求 c 的值；②若曲线与直线有公共点，求 c 的取值范围．（2） 当 值．时，不等式对于任意正实数 x 恒成立，当 c 取得最大值时，求 a，b 的21. （2 分） (2020 高二下·上海期中) 已知梯形中，的中点.，E、F 分别是 、 上的动点，且沿 将梯形翻折，使平面平面，如图.， ，设，G 是（），（1） 当时，求证：；（2） 若以 B、C、D、F 为顶点的三棱锥的体积记为，求的最大值；（3） 当取得最大值时，求二面角的余弦值.22. （2 分） (2020 高二下·郑州期末) 在直角坐标系中，直线 的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为.（1） 求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；（2） 过点作直线 的垂线，交曲线 于 ， 两点，求.第 6 页 共 14 页23. （10 分） (2017·揭阳模拟) [不等式选讲] 设函数 f（x）=a（x﹣1）． （Ⅰ）当 a=1 时，解不等式|f（x）|+|f（﹣x）|≥3x；（Ⅱ）设|a|≤1，当|x|≤1 时，求证：．第 7 页 共 14 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 5 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 8 页 共 14 页16-1、三、 解答题 (共 7 题；共 46 分)17-1、18-1、18-2、第 9 页 共 14 页19-1、19-2、第 10 页 共 14 页20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、。

2021届宁夏长庆高级中学2018级高三上学期第三次月考数学（理）试卷★祝考试顺利★(含答案)一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,满分60分．1．已知全集R U =,集合}5,4,3,2,1,0{=A ,}2|{≥=x x B ,则图中阴影部分所表示的集合 （ ）A ．{}1B ．{}0,1,2C ．{}1,2D ． {}0,1 2．一个圆锥的表面积为π,它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形,则该圆锥的 高长为 （ ） A. 12 B. 2 C. 32 D ． 2 3.2 AE EO ED == 如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，且，则（）12. 33A AD AB -21. 33B AD AB + 21. 33C AD AB - 12. 33D AD AB + {}48114. , 16 , 11= n a a a S +=在等差数列中已知则该数列的前项和（）A ．58B ．88C ．143D ． 176 5. , ||||1, 2)0, , a b a b a b b a b ==-⋅=已知平面向量，满足若（则向量的夹角为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒6．若1cos()=42πθ-,则sin 2=θ （ ） A ．21- B ．23- C ．21 D ．23 []327. -66 22x x x y -=+ 函数在，的大致图象为（ ）8．如图所示,四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形,起辅助作用),则四面体ABCD 的正视图、侧视图、俯视图是(用①②③④⑤⑥代表图形( )A ．①②⑥B ． ④⑤⑥C ．①②③D ．③④⑤9．在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且c A A c C A a 31cos sin cos sin =+,552cos =B ,2=b ,则△ABC 的面积为（ ）A ．23B ．2C ．25D ．58．若将函数y ＝sin()4y x πω=+(ω>0)的图象向左平移π6个单位长度后,与函数cos()4y x πω=+的图象重合,则ω的最小值为（ ）A ．1B ．23C ．2D ．311．在Rt ABC ∆中,已知90,3,4,C CA CB P ∠===为线段AB 上的一点,且。

宁夏长庆高级中学2021届高三数学上学期第三次月考试题 理（含解析）一､选择题：1. 已知全集U =R ，集合{1,2,3,4,5},{2}A B x Rx ==∈≥∣，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. {1}B. {0,1}C. {1,2}D. {0,1,2}【答案】A 【解析】 【分析】根据图像判断出阴影部分表示()UAB ，由此求得正确选项.【详解】根据图像可知，阴影部分表示()UA B ，{}U|2B x x =<，所以()UA B {}1=.故选：A【点睛】本小题主要考查集合交集与补集的概念和运算，考查韦恩图，属于基础题. 2. 一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120︒的扇形，则该圆锥的高长为（ ） A.12B. 2C.322【答案】D 【解析】 【分析】设出圆锥的底面半径以及母线长，由圆锥的表面积以及圆心角公式求出半径和母线，根据勾股定理即可求出圆锥的高.【详解】解：设圆锥底面半径是r ，母线长l ，2r rl πππ∴+=，即21r rl +=①根据圆心角公式得：223rlππ=， 即3l r =② 由①②解得：12r =，32l =， ∴高222231222h l r ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.3. 如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2AE EO =，则ED =（ ）A. 1233AD AB - B.2133AD AB + C. 2133AD AB -D. 1233AD AB +【答案】C 【解析】 【分析】画出图形，以,?AB AD 为基底将向量ED 进行分解后可得结果． 【详解】画出图形，如下图．选取,?AB AD 为基底，则()211333AE AO AC AB AD ===+， ∴()121333ED AD AE AD AB AD AD AB =-=-+=-． 故选C ．【点睛】应用平面向量基本定理应注意的问题（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理选择基底会给解题带来方便．（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．4. 在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝（ ） A. 58 B. 88C. 143D. 176【答案】B 【解析】 试题分析：等差数列前n项和公式1()2n n n a a s +=，481111111()11()111688222a a a a s ++⨯====．考点：数列前n 项和公式．5. 已知平面向量,a b 满足||||1a b ==，若(2)0a b b -⋅=，则向量,a b 的夹角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 120°【答案】C 【解析】 【分析】利用向量数量积公式知22||1b b ==代入(2)0a b b -⋅=，化简可得12a b ⋅=，然后再代入||||1a b ==，即可求出向量,a b 的夹角.【详解】2(2)2210a b b a b b a b -⋅=⋅-=⋅-=， 12a b ∴⋅=1cos ,2a b a b a b⋅∴〈〉==，故向量,a b 的夹角为60．故选：C.【点睛】本题考查向量数量积的应用，以及向量夹角的计算，考查学生的运算求解能力，属于基础题． 6. 若1cos 42πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 2θ=（ ） A. 12-B. 32-C.12D.32【答案】A 【解析】 【分析】 利用sin 2cos 22πθθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，结合二倍角公式可求得结果. 【详解】由1cos 42πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得：211sin 2cos 22cos 112422ππθθθ⎛⎫⎛⎫=-=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.7. 函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A. B. C.D.【答案】B 【解析】 【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果．【详解】设32()22x x x y f x -==+，则332()2()()2222x x x xx x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ．【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．8. 如图所示，四面体ABCD 的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面体ABCD 的三视图是（用①②③④⑤⑥代表图形）A ①②⑥ B. ①②③ C. ④⑤⑥ D. ③④⑤【答案】B 【解析】试题分析：经观察可得正视图为①、侧视图为②、俯视图为③，故选B. 考点：三视图.【方法点晴】本题主要考查三视图，属于中等题型.应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正）,主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐）,左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等）,若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称．此外本题应注意掌握虚线和实线的正确使用，方能正确求解. 9. 在ABC 中，角A ､B ､C 所对的边分别为a ､b ､c ，且1sin cos sin cos 3a A C c A A c +=，25cos B =，2b =ABC 的面积为（ ）A.32B. 2 5 5【答案】A【解析】 【分析】利用正弦定理边角互化，结合同角三角函数关系可求得a =，利用余弦定理构造方程可求得,a c ，代入三角形面积公式即可求得结果.【详解】由正弦定理得：21sin cos sin sin cos sin 3A C C A A C +=， ()()2sin cos sin sin cos sin sin cos cos sin sin sin A C C A A A A C A C A A C ∴+=+=+1sin sin sin 3A B C ==，()0,B π∈，cos 5B =，sin 5B ∴=，1sin 3A C =，由正弦定理得：153a c =，3a c ∴=. 由余弦定理得：22222225422cos 2939b ac ac B c c c c =+-=+-==，解得：3c =，a ∴=113sin 32252ABCSac B ∴==⨯=. 故选：A.【点睛】思路点睛：本题考查解三角形中的正余弦定理和三角形面积公式的应用。

宁夏兴庆区长庆高级中学2021届高三数学上学期第三次月考试题文制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日考前须知：1．在答题之前，考生先将本人的姓名、准考证号码填写上清楚。

2．选择题必须使需要用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内答题，超出答题区域书写之答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第一卷〔一共60分〕一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．1. 集合{}1->=x x A ，{}2<=x x B ，那么=B A 〔 〕A. ()∞+-，1B. ()2，∞-C. ()21，-D. ∅2. 向量()3,2=a，()2,3=b =-〔 〕A. 2B. 2C. 25D. 503. 命题R x p ∈∀：，012≥++ax ax ，假设p ⌝是真命题，那么实数 a 的取值范围是〔 〕 A. (]4,0 B. []4,0 C. ()[)+∞∞-,40 ，D. ()()∞+∞-，，404. 函数1062+-=x x y 在区间()4,2上是〔 〕A. 递减函数B. 递增函数C. 先递减再递增D. 先递增再递减 5. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 2454=+a a ，486=S ，那么{}n a 的公差为〔 〕 B. 1 B. 2 C. 4 D. 8 6. 假设41π=x ，432π=x 是函数()()0sin >=ωωx x f 两个相邻的极值点，那么=ω〔 〕A. 2B.23 C. 1 D. 217. 非零向量a ，b =，且()a b a ⊥+2，那么a 与b 的夹角为〔 〕 A.3π B. 2π C. 32π D. 65π8. 如图是①a x y =；②b x y =；③cx y =在第一象限的图像，那么c b a ，，的大小关系为〔 〕A. a b c <<B. c b a <<C. a c b <<D. b c a <<9. 在ABC ∆中，c b a ，，分别为角A ，B ，C 的对边，假设A a B c C b sin cos cos =+,那么此ABC ∆的形状为〔 〕A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形或者直角三角形D. 等腰直角三角形10. 函数()x x f xcos 21-⎪⎭⎫⎝⎛=，那么()x f 在[]π20，上的零点个数为〔 〕A. 1B. 2C. 3D. 4 11. ⎪⎭⎫⎝⎛∈20πα，，12cos 2sin 2+=αα，那么=αsin 〔 〕A.51B. 55C. 33D. 5512. 数列{}n a 满足31=a ，()()2111≥-+=-n n n a a n n ，那么数列的通项公式n a 为〔 〕A. n 14-B. n 13-C. n 12-D. n11-第二卷〔一共90分〕二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分。